1. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 1
§1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm
A. Tóm tắt lý thuyết
Cho  y f x  C .
1. Tiếp tuyến tại một điểm
Tiếp tuyến với  C tại   0 0;M x f x là đường thẳng
    0 0 0: '   y f x x x f x .
Ta cũng nói rằng  tiếp xúc với  C hay  C tiếp xúc , hoặc
 và  C tiếp xúc nhau.
Chú ý. Khi nói đến tiếp tuyến của  C tại M , ta phải hiểu rằng M thuộc  C và M là nơi xảy
ra sự tiếp xúc.
2. Tiếp tuyến qua một điểm
Tiếp tuyến qua M của  C là tiếp tuyến với  C tại một điểm N nào đó. Điểm M có thể
thuộc  C hoặc không, trong trường hợp thuộc  C thì M lại có thể là tiếp điểm hoặc không
(xem các hình vẽ ở dưới).
Bài toán. Viết phương trình tiếp tuyến qua  1 1;M x y của  C .
Phương pháp giải. B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0x của  C :
    0 0 0: 'y f x x x f x    .
B2  đi qua M khi và chỉ khi     1 0 1 0 0'y f x x x f x   . Giải phương trình này để tìm 0x .
B3 Thay mỗi 0x tìm được ở bước 2 vào phương trình , ta được một tiếp tuyến qua M của
 C .
B. Các ví dụ
Δ
O
y
x
M x0;f x0  
C( )
N
M
(C)
M
N
(C)
M≡N
(C)

2. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 2
Ví dụ 1. Cho
2
2
1
3 1
x x
y
x
 


 C . Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M có hoành độ
bằng 1.
Giải. Ta có
 
2
22
3 4 1
'
3 1
x x
y
x
 


. Lần lượt thay 1x  vào các biểu thức của y và 'y , ta được
 
1
' 1
8
y   và  
1
1
4
y  . Suy ra phương trình tiếp tuyến với  C tại M là:
 
1 1
: 1
8 4
y x     
1 3
:
8 8
y x    .
Chú ý. Ta có thể dùng ký hiệu y và 'y thay cho f và 'f trong trường hợp bài toán chỉ đề cập
đến một hàm số.
Ví dụ 2. Cho 3 2
4 5 2y x x x     C . Viết phương trình các tiếp tuyến của  C tại những
giao điểm của  C với trục hoành.
Giải. Từ phương trình của  C , cho 0y  ta được:
3 2
4 5 2 0x x x       
2
2 1 0x x   
2
1
x
x
 
  
.
Suy ra  C có hai giao điểm với trục hoành là  1 2;0M  và  2 1;0M  .
Từ 2
' 3 8 5y x x   suy ra  ' 2 1y   ,  ' 1 0y   . Do đó phương trình tiếp tuyến với  C tại
các điểm 1M , 2M lần lượt là:
 1 : 1. 2 0y x     1 : 2y x   ,
 2 : 0. 1 0y x     2 : 0y  .
Ví dụ 3. [ĐHB08] Cho  3 2
4 6 1y x x C   . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm
 1; 9M   của  C .
Giải. Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ 0x là:
    0 0 0: 'y y x x x f x       2 3 2
0 0 0 0 0: 12 12 4 6 1y x x x x x x       .
Điều kiện  đi qua  1; 9M   tương đương với

3. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 3
  2 3 2
0 0 0 0 09 12 12 1 4 6 1x x x x x         3 2
0 0 08 6 12 10 0x x x     0
0
5
4
1
x
x



 
.
 0
5
4
x  
 
 
0
0
15
'
4
9
16
y x
y x



  


15 5 9
:
4 4 16
y x
 
    
 

15 21
:
4 4
y x   .
 0 1x   
 
 
0
0
' 24
9
y x
y x


 
  : 24 1 9y x     : 24 15y x   .
Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M của  C là
15 21
:
4 4
y x   , : 24 15y x   .
C. Bài tập
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết rằng:
1)  C là đồ thị hàm số 4 2
2 3y x x   và hoành độ tiếp điểm bằng 2 ;
2)  C là đồ thị hàm số 3 2
3 2y x x   và tung độ tiếp điểm bằng 2 ;
3)  C là đồ thị hàm số
2
3 4
1
x x
y
x
 


và tiếp điểm là giao điểm của  C với trục tung;
4)  C là đồ thị hàm số 3 2
2 3 5y x x   và tiếp tuyến đi qua
19
;4
12
A
 
 
 
;
5)  C là đồ thị hàm số 3 2
3 2y x x   và tiếp tuyến đi qua  1;4A  .
Bài 2. Cho 3 2
2 3 12 1y x x x     C . Tìm những điểm thuộc  C mà tiếp tuyến tại đó đi qua
gốc tọa độ.
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1 1) 24 43y x  ; 2) 2y  , 9 7y x  ; 3) 7 4y x  ; 4) 12 15y x  ,
21 645
32 128
y x   ,
4y  ; 5) 4y  ,
9 7
4 4
y x   . Bài 2  1;12M  .

4. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 4
§2. Điều kiện tồn tại tiếp tuyến
A. Tóm tắt lý thuyết
Xét bài toán sau đây.
Bài toán. Cho đồ thị hàm số  y f x  C . Tìm điều kiện của tham số để  C có tiếp tuyến
thỏa mãn một điều kiện nào đó.
Phương pháp giải. B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0x của  C :
    0 0 0: 'y f x x x f x    .
B2 Áp điều kiện của bài toán lên đường thẳng  để nhận được một phương trình ẩn 0x . Tiếp
tuyến tồn lại khi và chỉ khi phương trình này có nghiệm 0x .
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho  
1
1
x
y x
x



 C . Chứng minh qua điểm  1; 1I   không tồn tại tiếp tuyến của
 C .
Giải. Xét tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0x của  C
    0 0 0: 'y f x x x f x    
 
  0
02
00
12
:
11
x
y x x
xx

   

.
đi qua  1; 1I   nghĩa là
 
  0
02
00
12
1 1
11
x
x
xx

    

 0
0 0
12
1
1 1
x
x x

  
 
 0
0
3
1
1
x
x

 


 0 0
0
1 3
1 0
x x
x
   

 
 0x  .
Vậy không tồn tại 0x để  đi qua I . Nói cách khác qua I không có tiếp tuyến của  C .
Ví dụ 2. Cho 2
4 3 6y x mx    C . Tìm m để  C có tiếp tuyến đi qua  1; 2A  .
Giải. Phương trình tiếp tuyến với  C tại điểm có hoành độ 0x là:
    0 0 0: 'y y x x x y x        2
0 0 0 0: 8 3 4 3 6y x m x x x mx       .
 C có tiếp tuyến đi qua  1; 2A  khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với 0x :
   2
0 0 0 02 8 3 1 4 3 6x m x x mx       .  *
Ta có

5. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 5
 *  2
0 04 8 3 8 0x x m    ( ' 12 48m   ).
Do đó  * có nghiệm khi và chỉ khi
' 0   12 48 0m   4m   .
Vậy  C có tiếp tuyến đi qua  1; 2A  khi và chỉ khi 4m   .
Ví dụ 3. Cho
2 1
2
x
y
x



 C . Tìm trên đường thẳng 3x  các điểm mà qua đó có tiếp tuyến của
 C .
Giải. Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0 2x  ) là:
    0 0 0: 'y y x x x y x    
 
  0
02
00
2 15
:
22
x
y x x
xx

   

.
Điểm A nằm trên đường thẳng 3x   tọa độ A có dạng  3;A a .
Qua A có tiếp tuyến tới  C khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với 0x :
 
  0
02
00
2 15
: 3
22
x
a x
xx

   

.  1
Ta thấy
 1 
        
2
0 0 0 0 0
0
2 5 3 2 1 2 2 0
2 0
a x x x x x
x
          

 
       
2
0 0 0 02 5 3 2 1 2a x x x x      
    2
0 02 2 2 1 4 17 0a x a x a      .  2
Trường hợp 1. 2 0a    2a  . Khi đó  2 trở thành
010 21 0x    0
21
10
x  .
Trong trường hợp này  2 có nghiệm   1 có nghiệm.
Trường hợp 2. 2 0a    2a  . Khi đó  2 là phương trình bậc hai có 5 35a    . Do đó,
trong trường hợp này  1 có nghiệm khi và chỉ khi  2 có nghiệm, tức là

6. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 6
0   5 35 0a    7a  .
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là   3; 7A a a  .
Ví dụ 4. [ĐHD02] Cho
  2
2 1
1
m x m
y
x
 


 C và :d y x . Tìm m để  C tiếp xúc với d .
Giải. Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0 1x  ) là:
    0 0 0: 'y y x x x y x      
 
2 2
0
0
0 0
2 11
:
1 1
m x mm
y x x
x x
  
    
  

 
2 2 2
0
0
0 0 0
2 11 1
:
1 1 1
m x mm m
y x x
x x x
     
      
     
.
 C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại 0x sao cho hai đường thẳng  và d trùng nhau. Tức là
hệ sau đây có nghiệm đối với 0x
 
2
0
2 2
0
0
0 0
1
1
1
2 11
0
1 1
m
x
m x mm
x
x x
 
  
 

   
   
  
.  *
Ta có
 * 
 
 
 
2
0
2
0
0
0
1
1 1
1
2 1
0 2
1
m
x
m x m
x
x
 
  
 

 
   
.
 1 
0
0
0
1
1 1
1 1
x
x m
x m


  
   

0
0
0
1
2
x
x m
x m



  
.
 1m   2 1m m     1 vô nghiệm   * vô nghiệm.
 1m  :  1 
0
0 2
x m
x m

  
. Thay 0x m vào vế trái của  2 ta có

7. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 7
 
  2
2 1
2 0
1
m m m
VT m
m
 
   

 0x m là một nghiệm của  *   * có nghiệm. Vậy
 C tiếp xúc với d khi và chỉ khi 1m  .
Ví dụ 5. Cho 4 2
8 7y x x    C . Tìm m để đường thẳng : 60d y x m  tiếp xúc với  C .
Với mỗi m tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của d và  C .
Giải. Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ 0x là:
    0 0 0: 'y y x x x y x          0 0 0 0: ' 'y y x x x y x y x    .
 C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại 0x sao cho  và d trùng nhau, điều đó có nghĩa là hệ
sau đây có nghiệm đối với 0x
 
   
0
0 0 0
' 60
'
y x
x y x y x m


  

   
   
0
0 0
' 60 1
60 2
y x
m x y x


  
.
 1  3
0 04 16 60x x   0 3x  . Thay 0 3x  vào  2 ta có 164m   .
Vậy d tiếp xúc với  C khi và chỉ khi 164m   . Khi đó hoành độ tiếp điểm là 0 3x  .
C. Bài tập
Bài 1. Cho
1
x
y
x


 C . Chứng minh rằng qua  1;1I của  C , không tồn tại tiếp tuyến nào
của  C .
Bài 2. Tìm m sao cho đồ thị hàm số
1
x m
y
x m


 
có tiếp tuyến đi qua điểm  0; 2A  .
Bài 3. Cho 4 2
2y x x   C .
1) Tìm trên trục tung những điểm mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới  C ;
2) Tìm những điểm trên đường thẳng 3y  mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới  C .
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 2
2
1
3
m  . Bài 3 1) Những điểm cần tìm có dạng  0;A a với
1
3
a  ; 2) Những điểm cần
tìm có dạng  ;3A a với  ; 3 3;a        .

8. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 8
§3. Hệ số góc của tiếp tuyến
A. Giới thiệu
Ta biết rằng  0'f x là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y f x tại điểm có hoành độ 0x
. Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho 3 22
2 2
3
y x x x     C . Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2
của  C .
Giải. Ta có
 0' 2y x   2
0 02 2 2 2x x    2
0 0 2 0x x   
0
0
1
2
x
x
 
 
.
Ta có  
7
1
3
y   ,  
2
2
3
y   . Suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
 1
7
: 2 1
3
y x     1
13
: 2
3
y x   ,
 2
2
: 2 2
3
y x     2
14
: 2
3
y x   .
Ví dụ 2. Cho 3 2
3 12 5y x x x     C . Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của
 C .
Giải. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0x của  C là:
   
22
0 0 0 0' 3 6 12 3 1 15 15k f x x x x          15k   .
Dấu “” xảy ra khi và chỉ khi 0 1x  . Do đó k nhỏ nhất bằng 15 , đạt được khi và chỉ khi
0 1x  . Ta có  1 9f   , suy ra tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của  C là:
 : 15 1 9y x      : 15 6y x    .
Ví dụ 3. [ĐHD10] Cho 4 2
6y x x     C . Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng
1
: 1
6
d y x  của  C .
Giải. Gọi  là tiếp tuyến với  C tại điểm có hoành độ 0x   có hệ số góc là  0'k y x .
d  
1
1
6
k    6k    3
0 04 2 6x x     0 1x  .
0 1x    0 4y x    : 6 1 4y x      : 6 10y x    .

9. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 9
Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của  C là : 6 10y x    .
Chú ý. (Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc)
Cho 1 1 1: y k x m   và 2 2 2: y k x m   . Ta có:
 1 2   
1 2
1 2
k k
m m



;
 1 2  
1 2
1 2
k k
m m



;
 1 2    1 2 1k k   ;
 Cho  0 ;90  , ta có: 1 tạo với 2 góc   1 2
1 2
tan
1
k k
k k




;
Đặc biệt, nếu 2 0k  thì: 1 tạo với 2 góc   1 tank  .
Ví dụ 4. [ĐHD05] Cho 3 21 1
3 2 3
m
y x x    mC . Gọi M là điểm thuộc  mC có hoành độ
bằng 1 . Tìm m để tiếp tuyến tại M của  mC song song với đường thẳng :5 0d x y  .
Giải. Phương trình tiếp tuyến tại M của  mC là
    : ' 1 1 1y y x y        : 1 1
2
m
y m x       : 1 1
2
m
y m x     .
Ta có : 5d y x . Do đó d 
1 5
1 0
2
m
m
 


 
 4m  .
Vậy tiếp tuyến tại M của  mC song song với đường thẳng d  4m  .
Ví dụ 5. Cho 4 21
3 2
24
y mx m x
 
    
 
 mC . Gọi A và B lần lượt là các điểm có hoành độ
bằng 1 và 2 của  mC . Tìm m để các tiếp tuyến của  mC tại A và B vuông góc với nhau.
Giải. Ta có   3 1
' 4 6
12
y x mx m x
 
   
 
 hệ số góc các tiếp tuyến của  mC tại A và B lần
lượt là  
1
' 1 10
12
y m    và  
1
' 2 44
6
y m  . Do đó các tiếp tuyến của  mC tại A và B
vuông góc với nhau khi và chỉ khi

10. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 10
   ' 1 ' 2 1y y    
1 1
10 44 1
12 6
m m
  
      
  
 2 16 71
440 0
3 72
m m   
1
24
71
1320
m
m



  

.
C. Bài tập
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết
1)  C là đồ thị hàm số 3 2
3 5 1y x x x    , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
2)  C là đồ thị hàm số 3 21
5 2
3
y x x x     , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
Bài 2. Cho 3 21
1
3
y x mx x m      C . Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất của đồ thị là 10 . Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết rằng
1) [ĐHB06]  C là đồ thị hàm số
2
1
2
x x
y
x
 


và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
: 1d y x  .
2)  C là đồ thị hàm số
1 2
2 1
x
y
x



và tiếp tuyến song song với đường thẳng :4 1 0d x y   .
3)  C là đồ thị hàm số 3 21 1
2 1
2 2
y x x x    và tiếp tuyến tạo với đường thẳng
: 3 1 0d x y   góc 45 .
Bài 4. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị  C của hàm số 31 2
3 3
y x x   mà tiếp tuyến tại đó
vuông góc với đường thẳng
1 2
:
3 3
d y x   .
Bài 5. Cho    3 21
1 3 4 1
3
y mx m x m x       mC . Tìm điều kiện của m để  mC có tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng 2012y x  .
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1 1) 2 2y x  ; 2)
7
6
3
y x  . Bài 2 3m   , 3m  thì tiếp tuyến là 1 : 10 11d y x   ,
3m   thì tiếp tuyến là 2 : 10 13d y x   . Bài 3 1) 2 2 5y x    , 2 2 5y x    ; 2)

11. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 11
4 7y x   3)
1 1
2 2
y x  ,
1 229
2 54
y x  , 2 1y x   ,
29
2
27
y x   . Bài 4  2;0 và
4
2;
3
 
 
 
.
Bài 5
1
48
m  hoặc
7
240
m   .

12. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 12
§4. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến
A. Tóm tắt lý thuyết
Phần này sử dụng một số kiến thức sau:
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Cho điểm  0 0;M x y và đường thẳng : 0ax by c    . Ta có công thức tính khoảng cách từ
M đến :
  0 0
2 2
;
ax by c
d M
a b
 
 

.
2. Giao điểm của hai đường thẳng
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho 3 2
2 4y x x x    C . Viết phương trình các tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến
tạo với Ox góc 45 .
Giải. Hệ số góc của tiếp tuyến  tại điểm có hoành độ 0x của  C là:
  2
0 0 0' 6 8 1k y x x x    .
Ta có
 , 45Ox   tan45k  
1
1
k
k

  
.
 1k   2
0 06 8 1 1x x   
0
0
0
4
3
x
x


 

.
+) 0 0x    0 0y x   : y x  .
+) 0
4
3
x    0
28
27
y x   
4 28
: 1.
3 27
y x
 
    
 

64
:
27
y x   .
 1k    2
0 06 8 1 1x x    
0
0
1
1
3
x
x


 

.
+) 0 1x    0 1y x     : 1 1y x      : y x   .

13. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 13
+) 0
1
3
x    0
1
27
y x   
1 1
:
3 27
y x
 
     
 

8
:
27
y x    .
Các tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 của  C là: y x ,
64
27
y x  , y x  ,
8
27
y x   .
Ví dụ 2. Cho
1
2 1
x
y
x



 C . Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cách
1 1
;
2 2
I
 
  
 
một khoảng bằng
3
10
.
Giải. Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0
1
2
x   ) là:
    0 0 0: 'y y x x x y x   

 
  0
02
00
13
:
2 12 1
x
y x x
xx

   

  
2 2
0 0 0:3 2 1 2 4 1 0x x y x x      
  
 
   
2 2
0 0 0
0
4 4
0 0
3 1
2 1 2 4 1
3 2 12 2
;
9 2 1 9 2 1
x x x
x
d I
x x
     

  
   
.
Do đó:
 
3
;
10
d A   
 
0
4
0
3 2 1 3
109 2 1
x
x


 
    
4 2
0 02 1 10 2 1 9 0x x     
 
 
2
0
2
0
2 1 1
2 1 9
x
x
  

  

0
0
0
0
0
1
1
2
x
x
x
x

  
 

 
.
 0 0x  
 
 
0
0
' 3
1
y x
y x
 


 : 3 1y x    .
 0 1x   
 
 
0
0
' 3
2
y x
y x
 

 
  : 3 1 2y x      : 3 5y x    .

14. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 14
 0 1x  
 
 
0
0
1
'
3
0
y x
y x

 

 
  
1
3
: 1y x    
1 1
3 3
: y x    .
 0 2x   
 
 
0
0
1
'
3
1
y x
y x

 

  
  
1
3
: 2 1y x     
1 5
3 3
: y x    .
Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 3 1y x   , 3 5y x   ,
1 1
3 3
y x   ,
1 5
3 3
y x   .
Ví dụ 3. Cho
3 2
1
x
y
x



 C .Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cách đều các
điểm  7;6A  và  3;10B  .
Giải. Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0 1x   ) là:
    0 0 0: 'y y x x x y x    
 
  0
02
00
3 25
:
11
x
y x x
xx

    

  
2 2
0 0 0:5 1 2 6 3 0x x y x x       .
 cách đều các điểm A và B khi và chỉ khi:
   ; ;d A d B   
 
 
 
 
2 22 2
0 0 0 0 0 0
4 4
0 0
35 6 1 2 6 3 15 10 1 2 6 3
25 1 25 1
x x x x x x
x x
           

   
 2 2
0 0 0 08 6 32 12 14 8x x x x      2 2
0 0 0 04 3 16 6 7 4x x x x    

 
2 2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
4 3 16 6 7 4
4 3 16 6 7 4
x x x x
x x x x
     

     

 2
0 0
2
0 0
2 6 0 ' 5 0
2 0
voânghieämx x
x x
        

  

0
0
1
2
x
x

  
.

15. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 15
 0 1x  
 
 
0
0
5
'
4
1
2
y x
y x

 

 

  
5 1
4
:
2
1y x     
5 7
4 4
: y x    .
 0 2x   
 
 
0
0
' 5
7
y x
y x
 

 
  : 5 2 7y x      : 5 17y x    .
Vậy phương trình các tiếp tuyến cách đều A và B của  C là
5 7
4 4
y x   , 5 17y x   .
Ví dụ 4. Cho
2 1
1
x
y
x



 C . Tìm tọa độ điểm  M C sao cho khoảng cách từ điểm  1;2I
tới tiếp tuyến của  C tại M đạt giá trị lớn nhất.
Giải. Giả sử 0x là hoành độ của M  tiếp tuyến tại M của ( )C có phương trình:
    0 0 0: 'y y x x x y x    
 
 02
00
3 3
: 2
11
y x x
xx
     

  
2 2
0 0 03 1 2 5 0x x y x x     
  
 
   
 
 
2 2
0 0 0 0
4 4
2
0 0
02
0
3 2 1 2 2 1 6 1 6
;
99 1 9 1 1
1
x x x x
d I
x x x
x
     
   
     

.
Theo bất đẳng thức Cô-si:
 
 
2
02
0
9
1 2 9 6
1
x
x
   

, suy ra  , 6d I   . Đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi
 
 
2
02
0
9
1
1
x
x
 

  
2
0 1 3x    0 1 3x    .
Vậy khoảng cách  ;d I  lớn nhất bằng 6 , đạt được khi và chỉ khi 0 1 3x    
 1 3;2 3M    hoặc  1 3;2 3M   
Ví dụ 5. [ĐHD07] Cho
2
1
x
y
x


 C . Tìm tọa độ điểm M thuộc  C biết tiếp tuyến của  C
tại M cắt hai trục Ox , Oy tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
.

16. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 16
Giải. Ta có
 
2
2
'
1
y
x


. Xét điểm  M C , M có hoành độ 0x . Ta có phương trình tiếp tuyến
với  C tại M :
    0 0 0: y f x x x f x    
 
  0
02
00
22
:
11
x
y x x
xx
   


   
2
0
2 2
0 0
22
:
1 1
xx
y
x x
  
 
.
A Ox      
2
0
2 2
0 0
:
22
1 1
0
A
xx
y
x
y
x
 
 





  2
0 ;0A x ,
B Oy      
2
0
2 2
0 0
:
22
1 1
0
B
xx
y
x
x
x
 
 






 
2
0
2
0
2
1
0;
x
x
B
 
 
 
 
.
Ta có 2
0OA x ,
 
2
0
2
0
2
1
x
OB
x



 
4
0
2
0
.
2 1
ABC
xOAOB
S
x
 

.
1
4
OABS  
 
4
0
2
0
1
41
x
x


  
2
0 0
4
14x x  
 
0 0
0
2
0
2
2 1
2 1
x x
x x
 

 



 
0 0
0 0
2
2
2 1 0
2 1 0 7 0 voânghieäm
x x
x x

      
  



0
1
0 2
1x
x


 

 1;1
1
; 2
2
M
M


      
.
C. Bài tập
Bài 1. Cho 4 21
2 3
2
y mx m x
 
    
 
 mC . Tìm m để tiếp tuyến của  mC tại các điểm có
hoành độ bằng 1 và 3 tạo với nhau một góc có cô-sin bằng
3
13
.
Bài 2. Cho
3
4
x
y
x



 C . Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cách
 4; 1A   một khoảng bằng
7 2
5
.

17. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 17
Bài 3. Cho
1
3 4
x
y
x



 C . Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết khoảng cách từ điểm
4 1
;
3 3
I
 
 
 
tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4. [ĐHA09] Cho
2
2 3
x
y
x



 C . Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cắt
các trục tọa độ tại các điểm A, B sao cho tam giác OAB cân tại O .
Bài 5. Cho
 
3
2 1
x
y
x



 C . Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cắt các trục
tọa độ tại các điểm A, B sao cho trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O .
Bài 6. Cho
2
2
x
y
x


 C . Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết rằng tiếp tuyến cắt các
trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại hai điểm A, B phân biệt sao cho 2AB OA .
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1.
1
48
m  hoặc
7
240
m   . Bài 2. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
7 15y x   , 7 43y x   ,
1 3
7 7
y x   ,
1 25
7 7
y x   . Bài 3. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu
cầu bài toán là: 1y x  ,
7
3
y x  . Bài 4. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài
toán là 2y x   . Bài 5. Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là
3
2
y x   ,
5
2
y x   .
Bài 6. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là 4y x   .

18. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 18
§5. Điều kiện tiếp xúc
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa (Hình 1). Cho  y f x  C và  y g x  'C .
 C và  'C tiếp xúc với nhau tại điểm  0 0;M x y nếu cả hai điều
kiện sau đây thỏa mãn:
 M là một điểm chung của  C và  'C ;
 Tiếp tuyến của hai đường cong tại M trùng nhau.
Điểm M được gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho.
Hình 1
2. Điều kiện tiếp xúc. Để xét sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số  y f x  C và  y g x
 'C , ta xét hệ:
   
   ' '
f x g x
f x g x



.  *
Ta có:
  C và  'C tiếp xúc nhau  hệ  * có nghiệm đối với x ;
 Nghiệm của  * chính là hoành độ tiếp điểm;
 0x là hoành độ tiếp điểm  tiếp tuyến chung của  C và  'C tại điểm có hoành độ 0x
là:     0 0 0'y f x x x f x   .
Hệ quả. Đường thẳng y kx m  là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y f x  C khi và chỉ khi
hệ
 
 '
f x kx m
f x k
 


có nghiệm đối với x .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [SGKNC] Cho 3 5
2
4
y x x    C và 2
2y x x    'C . Chứng minh  C và  'C
tiếp xúc nhau và viết phương trình tiếp tuyến chung.
Giải. Ký hiệu   3 5
4 2f x x x   và   2
2g x x x   . Xét hệ:
y
xO
y0
x0
M

19. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 19
   
   ' '
f x g x
f x g x



 I .
Ta có  I 
 
3 2
'
'3 2
5
2 2
4
5
2 2
4
x x x x
x x x x

    


        

3 2
4
2
0
5
3 2 1
4
x
x x
x x
   


  


1
2
x  .
Vậy  C và  'C tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ bằng
1
2
.
1 5
2 4
1
' 2
2
g
g
  
  
  

     
 phương trình tiếp tuyến chung là:
1 5
2
2 4
y x
 
   
 
hay
9
2
4
y x  .
Ví dụ 2. [SGK] Chứng minh rằng đường thẳng y kx m  là tiếp tuyến của parabol
2
y ax bx c   ( 0a  ) khi và chỉ khi phương trình 2
ax bx c kx m     1 có nghiệm kép.
Giải. Ta có
 1   2
0ax b k x c m     (    
2
4b k a c m     ).
Do đó:  1 có nghiệm kép  0      
2
4 0b k a c m    .
Đường thẳng và parabol đã cho tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đối với x
 I
2
2
ax bx c kx m
ax b k
    

 
.
Ta có  I 
     
 
2
0 1
2
2
ax b k x c m
k b
x
a
     

 


.
 I có nghiệm 
2
k b
x
a

 là nghiệm của  1
    
2
0
2 2
k b k b
a b k c m
a a
  
      
 

   
 
2 2
0
4 2
b k b k
c m
a a
 
   
    
2
4 0b k a c m      1 có nghiệm kép (ĐPCM).

20. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 20
Ví dụ 3. [SGKNC] Viết phương trình đường thẳng qua điểm  1; 2A  và tiếp xúc với parabol
2
2y x x  .
Giải. Phương trình đường thẳng qua  1; 2A  có hệ số góc k có dạng  : 1 2y k x    
: 2y kx k    .
Xét phương trình 2
2 2x x kx k    hay  2
2 2x k x k     1 (    
2
2 4 2k k     ).
 tiếp xúc với parabol đã cho   1 có nghiệm kép  0  
2
2
k
k
 
 
.
 2k     : 2 1 2y x      : 2y x   .
 2k    : 2 1 2y x     : 2 4y x   .
Vậy qua điểm A có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là: 2y x  và 2 4y x  .
Ví dụ 4. [ĐHB08] Cho 3 2
4 6 1y x x    C . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm
 1; 9M   của  C .
Giải. Đường thẳng qua M , hệ số góc k có phương trình dạng  : 1 9y k x    .
 là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm
 I
   
 
3 2
2
4 6 1 1 9 1
12 12 2
x x k x
x x k
     

 
.
Thế  2 vào  1 ta có:
  3 2 2
4 6 1 12 12 1 9x x x x x       3 2
4 3 6 5 0x x x    
5
4
1
x
x



 
.
Do đó:  I có nghiệm  5
4x  là nghiệm của  2 hoặc 1x   là nghiệm của  2 .
 Thay
5
4
x  vào  2 ta có
15
4
k    
15
: 1 9
4
y x    
15 21
:
4 4
y x   .
 Thay 1x   vào  2 ta có 24k    : 24 1 9y x     : 24 15y x   .
Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M của  C là
15 21
4 4
y x  , 24 15y x  .

21. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 21
Ví dụ 5. [ĐHD02] Cho
  2
2 1
1
m x m
y
x
 


 C và :d y x . Tìm m để  C tiếp xúc với d .
Giải.  C tiếp xúc với d khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đối với x
 I
 
 ' 1
f x x
f x



.
Ta có  I 
  2
2
2 1
1
1
1
1
m x m
x
x
m
x
  



     

     2
2 1 1 1
2
1
m x m x x
x m
x m
x
    


  
 
Do đó  I có nghiệm khi và chỉ khi
 
 
1
1
2 1
2 1
laønghieäm cuûa
laønghieäm cuûa
m
m
m
m
 


  
 

   
     
2
2
1
2 1 1
2 1
2 1 2 2 1
m
m m m m m
m
m m m m m
 

   

 
      

1
1
1
m
m
m
m
 


 





 1m  .
Vậy  C tiếp xúc với d  1m  .
C. Bài tập
Bài 1. [SGK] Chứng minh các đồ thị sau tiếp xúc nhau và viết phương trình tiếp tuyến chung
1) 2
3 1y x x   và
2
2 3
1
x x
y
x
  


.
2)
2
3
2 2
x
y x  và
3
2
x
y
x


.
3)   2
3 6y f x x x     ,   3 2
4y g x x x    và   2
7 8y h x x x    .
Bài 2. [SGK] Chứng minh có hai tiếp tuyến của parabol 2
3y x x  đi qua điểm
3 5
;
2 2
A
 
 
 
và
chúng vuông góc với nhau.
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến qua A của đồ thị  C trong các trường hợp sau:
1)
23
; 2
9
A
 
 
 
,  C là đồ thị hàm số 3 2
3 2y x x   .
2)  6;5A  ,  C là đồ thị hàm số
2
2
x
y
x



.

22. Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 22
Bài 4. Chứng minh rằng qua  1;0A có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau của đồ thị hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
 


.
Bài 5. Tìm m để đường thẳng 9y mx  tiếp xúc với đồ thị 4 2
8 7y x x   .
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1 1) 5y x  ; 2)
3
2
y x ; 3) 5 7y x  . Chú ý. Ba đồ thị hàm số  y f x ,  y g x ,
 y h x tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ
     
     ' ' '
f x g x h x
f x g x h x
 

 
có nghiệm đối với x . Bài 2
Đường thẳng  qua
3 5
;
2 2
A
 
 
 
có hệ số góc k 
3 5
:
2 2
y k x
 
    
 
. Ta chứng minh tồn tại
hai giá trị của k có tích bằng 1 sao cho phương trình 2 3 5
3
2 2
x x k x
 
    
 
có nghiệm kép.
Bài 3 1)
5 61
3 27
y x   , 9 25y x  , 2y   ; 2) 1y x   ,
1 7
4 2
y x   . Bài 4 Chứng minh
tồn tại hai giá trị của k có tích bằng 1 sao cho hệ
 
2
'2
2 2
1
1
2 2
1
x x
k x
x
x x
k
x
  
 


      
có nghiệm. Bài 5
0m  .