Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

200 bai tap hinh hoc toa do phang tran si tung (2)

262,014 views

Published on

200 bai tap hinh hoc toa do phang tran si tung (2)

  1. 1. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : x - 7y +17 = 0 , d2 : x + y - 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1,d2 một tam giác cân tại giao điểm của d1,d2 . · Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là: 7 17 5 3 13 0 1 ( 7) 1 1 3 4 0 x y x y x y ( ) D D - + + - é + - = = Û ê - - = + - + ë x y ( ) 2 3 cos45 3 8 3 0 - Û = 0 Û 2 - - 2 = Û é = ë ê + 2 + ( - 1) = - 3 * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x + y - 5 = 0 * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x - 3y - 5 = 0 Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. d : 3x + y - 5 = 0 ; d : x - 3y - 5 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) d1 : x - 7y +17 = 0 , d2 : x + y - 5 = 0 , P(0;1) . ĐS: x + 3y - 3 = 0 ; 3x - y +1 = 0 . 1 ( 1) 3 1 ( 3 3) Þ = Ûì - = - í -+ = - - î 3 1 1( 3 3) 3 2 Û + + = Û =- = - + Với t = -2Þa - b = -2Þb = 0,a = -2 ÞD : x + y +1 = 0 Trang 1 1 2 2 2 2 2 Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với D1 hoặc D2 . KL: x + 3y - 3 = 0 và 3x - y +1 = 0 Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d x y 1 :2 - + 5 = 0 . d x y 2 : 3 + 6 –7 = 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2. · d1 VTCP ar1 = (2;-1); d2 VTCP ar2 = (3;6) uur uur Ta có: a1.a2 = 2.3 -1.6 = 0 nên d1 ^ d2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: d : A(x - 2) + B(y +1) = 0Û Ax + By - 2A + B = 0 d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450 A B A B A AB B A 2 B 2 2 2 B A Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d x y 1 : 3 5 0 + + = , d x y 2 : 3 + +1 = 0 và điểm I(1;-2) . Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt d1,d2 lần lượt tại A và B sao cho AB = 2 2 . uur uur · Giả sử A(a;-3a - 5)Îd1; B(b;-3b -1)Îd2 ; IA = (a -1;-3a - 3); IB = (b -1;-3b +1) I, A, B thẳng hàng IB kIA b k a b k a uur uur · Nếu a = 1 thì b = 1 Þ AB = 4 (không thoả). · Nếu a ¹ 1 thì b b a a b a 1 - - += - - Û = - - AB b a a b t t = ( - )2 + é3( - ) + 4ù2 = 2 2 Û 2 + (3 + 4)2 = 8 ë û (với t = a - b ). t2 t t t 5 12 4 0 2; 2 5
  2. 2. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng + Với t 2 a b 2 b 4 ,a 2 - - = Þ - = Þ = = ÞD : 7x - y - 9 = 0 5 5 5 5 Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y +1 = 0 , d :2 x – y –1 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương uuur uuur r ứng tại A và B sao cho 2MA + MB = 2 0 ì Î ì - - ìï = - - - í Ûí Þí î Î î - îï = - ( ) ( ; 1 ) ( 1; 1 ) ( ) (2 2; ) (2 3; ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur é = ê ë = - 2 3 (1) 2 3 (2) 2( 1) 3( 1) 5 5 5 (1) 2 ; , (2;2) 2(3 6) 3(3 ) 2 2 2 ì - = - ïì æ ö Û Û = Þ í - = - í ç ÷ î îï = è ø (2) 2( 1) 3( 1) 1 (1; 2), (1;3) Ûì - = - - = í Ûì Þ - î 2(3 - 6) = - 3(3 - ) í î = 1 - 1 3 1 2 3 . 1 12 = + ³ Þ ³ . 3 6 ( 3 ) 12 3 1 1 2 ìï = ì Þ + = Û Û = í = = í = î ïî Trang 2 . · Giả sử: A(a; uuur –a–1), uuur B(b; r 2b – 1). Từ điều kiện 2MA + MB = 0 tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0 Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : x + y +1 = 0, d2 : x –2y + 2 = 0 lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA. · A d Aa a MA a a B d B b b MB b b 1 2 uuur uuur . Từ A, B, M thẳng hàng và MB = 3MA Þ MB = 3MA uuur uuur (1) hoặc MB = -3MA (2) ìæ ö ï ç- - ÷Þ - - = íè ø ïî - - (1) Þ A d x y B 2 ; 1 3 3 ( ) : 5 1 0 ( 4; 1) hoặc (2) Þ A( ) d x y ì - Þ - - = B íî 0; 1 ( ): 1 0 (4;3) Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : 3x - y - 5 = 0, d2 : x + y - 4 = 0 lần lượt tại A, B sao cho 2MA –3MB = 0 . · Giả sử A(a;3a - 5)Îd1, B(b;4 - b)Îd2 . Vì A, B, M thẳng hàng và 2MA = 3MB nên MA MB MA MB + a b a A B a b b . Suy ra d : x - y = 0 . + a b a A B a b b . Suy ra d : x -1 = 0 . Vậy có d : x - y = 0 hoặc d : x -1 = 0 . Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA + 3OB) nhỏ nhất. · PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): x y a b + = 1 (a,b>0) M(3; 1) Î d Cô si ab a b a b Mà OA + 3OB = a + 3b ³ 2 3ab = 12 a b a OA OB b a b min 2 Phương trình đường thẳng d là: x y + = 1 Û x + 3y - 6 = 0 6 2
  3. 3. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng C âu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA +OB nhỏ nhất. · x + 2y - 6 = 0 Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho 1 + 2 = 1. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có : 1 1 2 1 . 3 1. 2 1 1 9 4 æ ö æ ö æ öæ ö = ç + ÷ = ç + ÷ £ ç + ÷ç + ÷ è ø è ø è øè 2 2 ø 1 + 2 = 1 Û a 10, b 20 ì + = í = î Trang 3 9 4 + nhỏ nhất. OA2 OB2 · Đường thẳng (d) đi qua M(1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên A(a;0);B(0;b) với a.b ¹ 0 Þ Phương trình của (d) có dạng x y a b + = 1. Vì (d) qua M nên a b 2 2 3 9 a b a b a b Û 9 4 9 9 4 9 + ³ Û a2 b2 10 + ³ . OA2 OB2 10 Dấu bằng xảy ra khi 1 : 3 1: 2 3 = và a b a b = = Þ d : 2x + 9y - 20 = 0 . 9 Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(3;1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2). · x + 3y - 6 = 0; x - y - 2 = 0 Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S = 4 . · Gọi A(a;0),B(0;b) (a,b ¹ 0) là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: d x y : + = 1 . a b 2 1 1 Theo giả thiết, ta có: a b ab 8 ì + = ïíï î = 2 Û b a ab ab 8 . · Khi ab = 8 thì 2b + a = 8 . Nên: b = 2;a = 4Þd1 : x + 2y - 4 = 0. · Khi ab = -8 thì 2b + a = -8 . Ta có: b2 + 4b - 4 = 0Ûb = -2 ± 2 2 . + Với b = -2 + 2 2 Þd : (1- 2 ) x + 2(1+ 2 ) y - 4 = 0 + Với b = -2 - 2 2 Þd : (1+ 2 ) x + 2(1- 2 ) y + 4 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) M(8;6),S = 12 . ĐS: d : 3x - 2y -12 = 0 ; d : 3x - 8y + 24 = 0 Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình 2x – y + 3 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (D) qua A và tạo với d một góc α có cosα 1 10 = . · PT đường thẳng (D) có dạng: a(x –2) + b(y +1) = 0 Û ax + by –2a + b = 0 (a2 + b2 ¹ 0) Ta có: cos 2 1 a b a2 b2 a - = = 5( + ) 10 Û7a2 – 8ab + b2 = 0. Chon a = 1 Þ b = 1; b = 7. Þ (D1): x + y – 1 = 0 và (D2): x + 7y + 5 = 0
  4. 4. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d : 2x + 3y + 4 = 0 . Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 450 . · PT đường thẳng (D) có dạng: a(x –2) + b(y -1) = 0Û ax + by –(2a + b) = 0 (a2 + b2 ¹ 0) . Ta có: + đạt giá trị nhỏ nhất. 1 1 1 1 + = ³ (không đổi) + đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 Trang 4 cos45 2 3 a b a b 0 2 2 13. + = + 5 Û 5a2 - 24ab - 5b2 = 0 Û a b é = êë 5 = - a b + Với a = 5b . Chọn a = 5,b = 1 Þ Phương trình D : 5x + y -11 = 0 . + Với 5a = -b . Chọn a = 1,b = -5 Þ Phương trình D : x - 5y + 3 = 0 . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x - y - 2 = 0 và điểm I(1;1) . d Lập phương ·trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng 450 . · Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ¹ 0) . 2 Vì ( ,D) = 450 1 nên a b a2 b2 . 5 2 - = + 3 3 a b b a Û é = êë = - · Với a = 3b Þ D: 3x + y + c = 0 . Mặt khác d(I;D) = 10 4 c Û = 10 6 cc 14 + 10 Û é = êë = - · Với b = -3aÞ D: x - 3y + c = 0 . Mặt khác d(I;D) = 10 2 c 8 Û = 10 cc - + 10 Û é = - êë = 12 Vậy các đường thẳng cần tìm: 3x + y + 6 = 0; 3x + y -14 = 0 ; x - 3y - 8 = 0; x - 3y +12 = 0 . Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d1 , d2 có phương trình lần lượt là 3x + y + 2 = 0 và x - 3y + 4 = 0 . Gọi A là giao điểm của d1và d2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1và d2 lần lượt tại B , C B vàC A 1 1 ( khác ) sao cho AB2 AC2 · A = d1Çd2 Þ A(-1;1) . Ta có d1 ^ d2 . Gọi D là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu vuông góc của A trên D . ta có: AB2 AC2 AH2 AM2 1 1 Þ AB2 AC2 AM2 khi H ºM, hay D là đường thẳng đi qua M và vuông góc với AM. Þ Phương trình D: x + y - 2 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với M(1; 2) - , d x y 1 :3 5 0 + + = , d x y 2 : 3 5 0 - + = . ĐS: x y : 1 0 D + + = . Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : x –3y –4 = 0 và đường tròn (C) : x2 + y2 –4y = 0 . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1). · M Î (d) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b) N Î (C) Þ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 Þ b 0; b 6 5 = =
  5. 5. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M 38; 6 , N 8; 4 uuur r . 1 . 2 32 ; 4 , 22 ; 32 13 13 13 13 æ ö æ ö ç- ÷ ç - ÷ è ø è ø 1 2 ( , ). ( , ) 3 2 D = Û = = +- - = Û + = Û =- = 1 (0;1) 7 4 ; 7 5 5 5 ( 1)( 1) ( 1)(5 ) 0 ( 1) ( 1) ( 1) (5 ) Trang 5 æ ö æ ö ç 55 ÷ ç- è ø è 5 5 ÷ ø Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng D: 2x + 3y + 4 = 0 . Tìm điểm B thuộc đường thẳng D sao cho đường thẳng AB và D hợp với nhau góc 450 . · D có PTTS: x t 1 3 2 2 ì = - í = - + î y t và VTCP ur = (-3;2) . Giả sử B(1- 3t;-2 + 2t)ÎD . (AB,D) = 450 Þ AB u cos( ; ) 1 2 = uuur r AB u AB u Û = r t t t t 2 15 169 156 45 0 13 3 13 é ê = Û - - = Ûêê = - ë . Vậy các điểm cần tìm là: B1 B2 . Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x - 3y - 6 = 0 và điểm N(3;4) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích bằng 15 2 . uuur · Ta có ON = (3;4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: 4x - 3y = 0. Giả sử M(3m + 6;m)Îd . Khi đó ta có ONM ONM S S d M ON ON d M ON D ON Û 4.(3m 6) 3m 3 9m 24 15 m 1; m 13 5 3 + Với m = -1Þ M(3;-1) + Với m M 13 7; 13 - æ - ö = Þ ç- ÷ 3 3 è ø Câu 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d : x - 2y + 2 = 0 . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC . · Giả sử B(2b - 2;b),C(2c - 2;c)Îd . uuur 2 6 Vì DABC vuông ở B nên AB ^ d Û AB.ud r = 0 Û B ; æ ö ç ÷ è 5 5 ø Þ AB 2 5 = Þ BC 5 5 5 = BC c2 c 1 125 300 180 = - + = 5 5 5 Û c C c C é = Þ ê æ ö ê = Þ ç ÷ ë è ø Câu 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y - 3 = 0 , d2 : x + y - 9 = 0 và điểm A(1;4) . Tìm điểm BÎd1,CÎd2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. uuur uuur · Gọi B(b;3 - b)Îd1, C(c;9 - c)Îd2 Þ AB = (b -1;-1- b) , AC = (c -1;5 - c) . uuur uuur ìí . = 0 î = DABC vuông cân tại A Û AB AC AB AC Û b c b c b 2 b 2 c 2 c 2 ì - - - + - = í - + + = - + - î (*) Vì c = 1 không là nghiệm của (*) nên
  6. 6. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng 1 ( 1)(5 ) (1) ì + - ï - = - ïí ï - + + + = - + - îï - ( 1) (5 ) ( 1) ( 1) (5 ) (2) é = - 2 êë = - ( 1) ( 2) 2 (2 ) ( 1) 3 5 ì - + - = - í - + - = - + î 2 1 2 2 3 1 0, - - æ ö = 2 1 = ç - ÷ + > " - - è 2 ø 2 Trang 6 (*) Û b b c c 1 b c b c c c 2 2 2 2 2 2 ( 1) Từ (2) Û (b +1)2 = (c -1)2 Û b c b c . + Với b = c - 2 , thay vào (1) ta được c = 4, b = 2 Þ B(2;1), C(4;5) . + Với b = -c , thay vào (1) ta được c = 2, b = -2 Þ B(-2;5), C(2;7) . Vậy: B(2;1), C(4;5) hoặc B(-2;5), C(2;7) . Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có phương trình: d m x m y m 1 : ( –1) ( –2) 2 – 0 + + = ; d m x m y m 2 : (2 – ) + ( –1) + 3 –5 = 0 . Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P = d1 Ç d2. Tìm m sao cho PA + PB lớn nhất. · Xét Hệ PT: m x m y m mx m y m . Ta có D m m m m m m Þ d1,d2 luôn cắt nhau. Ta có: A(0;1)Îd1, B(2;-1)Îd2, d1 ^ d2 Þ D APB vuông tại P Þ P nằm trên đường tròn đường kính AB. Ta có: (PA + PB)2 £ 2(PA2 + PB2 ) = 2AB2 = 16 Þ PA + PB £ 4 . Dấu "=" xảy ra Û PA = PB Û P là trung điểm của cung »AB Û P(2; 1) hoặc P(0; –1) Û m = 1 hoặc m = 2 . Vậy PA + PB lớn nhất Û m = 1 hoặc m = 2 . Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (D): x –2y –2 = 0 và hai điểm A(-1;2) , B(3;4) . Tìm điểm MÎ(D) sao cho 2MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất. uuur uuur · Giả sử MM(2t + 2;t)ÎDÞ AM = (2t + 3;t - 2), BM = (2t -1;t - 4) Ta có: 2AM2 + BM2 = 15t2 + 4t + 43 = f (t)Þ f t f min ( ) 2 æ ö = ç- ÷ 15 è ø Þ M 26 ; 2 æ ö ç - è 15 15 ÷ ø Câu 23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x - y + 3 = 0 và 2 điểm A(1;0),B(2;1) . Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất. · Ta có: (2xA - yA + 3).(2xB - yB + 3) = 30 > 0 Þ A, B nằm cùng phía đối với d. Gọi A¢ là điểm đối xứng của A qua d Þ A¢(-3;2) Þ Phương trình A¢B : x + 5y - 7 = 0 . Với mọi điểm M Î d, ta có: MA + MB = MA¢ + MB ³ A¢B . Mà MA¢ + MB nhỏ nhất Û A¢, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của A¢B với d. Khi đó: M 8 ;17 æ ö ç- ÷ è ø 11 11 .
  7. 7. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng TĐP 02: ĐƯỜNG TRÒN Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): 2x – y –5 = 0 và đường tròn (C’): x2 + y2 - 20x + 50 = 0 . Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1). · A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): x2 + y2 - 4x - 8y +10 = 0 Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng + - + + = + - + + = ( -2) + ( +1) = và (x 4)2 (y 5)2 9 æ ö æ ö æ ö ç - ÷ + ç + ÷ = ç ÷ è ø è ø è ø Trang 7 3 2 , A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm của DABC nằm trên đường thẳng d : 3x – y –8 = 0 . Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C. · Tìm được C1(1;-1) , C2(-2;-10) . + Với C1(1;-1) Þ (C): x2 y2 x y 11 11 16 0 3 3 3 + Với C2(-2;-10) Þ (C): x2 y2 x y 91 91 416 0 3 3 3 Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d x y 1 :2 + - 3 = 0 , d x y 2 : 3 4 5 0 + + = , d x y 3 : 4 + 3 + 2 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3. · Gọi tâm đường tròn là I(t;3- 2t) Î d1. Khi đó: d(I,d2) = d(I,d3) Û 3t 4(3 2t) 5 t t 5 4 3(3 2 ) 2 5 + - + = + - + Û tt 2 4 éêë == Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: x 2 y 2 49 25 - + + = . 25 Câu hỏi tương tự: a) Với d x y 1 : –6 –10 0 = , d x y 2 : 3 4 5 0 + + = , d x y 3 :4 - 3 - 5 = 0 . 2 2 2 10 70 7 43 43 43 ĐS: (x -10)2 + y2 = 49 hoặc x y . Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳngD : x + 3y + 8 = 0 , D ' :3x - 4y +10 = 0 và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng D , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D¢. · Giả sử tâm I(-3t - 8;t) Î D.. Ta có: d(I,D¢) = IA 3( - 3 t - 8) - 4 t + 10 Û t 2 t 2 2 2 ( 3 8 2) ( 1) 3 4 = - - + + - + Û t = -3 Þ I(1;-3), R = 5 PT đường tròn cần tìm: (x -1)2 + (y + 3)2 = 25 . Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : 4x - 3y + 3 = 0 và D ' : 3x - 4y - 31 = 0 . Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng D tại điểm có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với D '.Tìm tọa độ tiếp điểm của (C) và D ' . · Gọi I(a;b) là tâm của đường tròn (C). (C) tiếp xúc với D tại điểm M(6;9) và (C) tiếp xúc với D¢ nên
  8. 8. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ì D = D ìï - + = - - ìï - - + = - í Ûí Ûí î ^ = ï - + - = ï î î + = ( , ) ( , ') 4 3 3 3 4 31 4 3 54 3 3 6 85 d I d I a b a b a a a IM u a b a b (3;4) 5 5 4 D 3( 6) 4( 9) 0 3 4 54 ìï 25 - 150 = 4 6 - 85 Û í 54 - 3 Û é = 10; = 6 = ë ê = - 190; = 156 Vậy: (C) : (x -10)2 + (y - 6)2 = 25 tiếp xúc với D ' tại N(13;2) hoặc (C) : (x +190)2 + (y -156)2 = 60025 tiếp xúc với D ' tại N(-43;-ïî 40) é - + + = ê 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = thì phương trình đường tròn là: x y æ ö ç - ÷ + + = è ø Û é = ëê = - Trang 8 uuur r a a a b b a a b 4 Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với các trục toạ độ. · Phương trình đường tròn có dạng: x a y a a a x a y a a b - + - = êë a) Þ a = 1; a = 5 b) Þ vô nghiệm. Kết luận: (x -1)2 + (y +1)2 = 1 và (x - 5)2 + (y + 5)2 = 25 . Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : 2x - y - 4 = 0 . Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d). · Gọi I(m;2m - 4)Î(d) là tâm đường tròn cần tìm. Ta có: m m m m 2 4 4, 4 = - Û = = . 3 · m 4 3 2 2 4 4 16 3 3 9 æ ö æ ö ç - ÷ + ç + ÷ = è ø è ø . · m = 4 thì phương trình đường tròn là: (x - 4)2 + (y - 4)2 = 16 . Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (D): 3x –4y + 8 = 0 . Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (D). · Tâm I của đường tròn nằm uuur trên đường trung trực d của đoạn AB d qua M(1; 2) có VTPT là AB = (4;2) Þ d: 2x + y – 4 = 0 Þ Tâm I(a;4 – 2a) Ta có IA = d(I,D) Û 11a - 8 = 5 5a2 -10a +10 Û 2a2 – 37a + 93 = 0 Û a a 3 31 2 é = ê = êë · Với a = 3 Þ I(3;–2), R = 5 Þ (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 · Với a = 31 2 Þ I 31; 27 æ ö ç - è 2 ÷ ø , R = 65 2 2 31 ( 27)2 4225 2 4 Þ (C): x y Câu 9. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x + 2y - 3 = 0 và D : x + 3y - 5 = 0 . Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng 2 10 5 , có tâm thuộc d và tiếp xúc với D . · Tâm I Î d ÞI(-2a + 3;a) . (C) tiếp xúc với D nên: d(I,D) = R a - 2 2 10 10 5 Û = aa 6 2
  9. 9. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng + + - = hoặc (C): (x 7)2 (y 2)2 8 - + + = . 2 2 8 6 9 5 5 æ ö æ ö ç - ÷ + ç + ÷ = è ø è ø Trang 9 Þ (C): (x 9)2 (y 6)2 8 5 5 Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4 3x - 4 = 0 . Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C¢), bán kính R¢ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A. · (C) có tâm I(-2 3;0) , bán kính R= 4; A(0; 2). Gọi I¢ là tâm của (C¢). PT đường thẳng IA : x t ì = í = + î 2 3 2 2 y t , I 'ÎIA Þ I¢(2 3t;2t + 2) . AI = 2 I ¢ A Û t 1 = Þ I '( 3;3) 2 uur uur Þ (C¢): (x - 3)2 + (y - 3)2 = 4 Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 –4y –5 = 0 . Hãy viết phương trình đường tròn (C¢) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M 4 ; 2 5 5 æ ö ç ÷ è ø · (C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M Þ I¢ 8; 6 æ - ö ç è 5 5 ÷ ø Þ (C¢): x y Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C¢) tâm M(5; 1) biết (C¢) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 3 . · (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3 . PT đường thẳng IM: 3x - 4y -11 = 0 . AB = 3 . Gọi H(x; y) là trung điểm của AB. Ta có: H IM IH R2 AH2 3 2 ì Î ïí = - = ïî Û 3 x 4 y 11 0 ( x 1) 2 ( y 2) 2 9 4 ì - - = ïí - + + = ïî Û 1 29 ;5 10 11 11 ;5 10 é x = - y = - x = y = - êêê ë Þ H 1 29 ;5 10 æ ö ç- - ÷ è ø hoặc H 11 11 ;510 æ ö ç - ÷ è ø . · Với H 1 29 ;5 10 æ ö ç- - ÷ è ø . Ta có R¢2 = MH2 + AH2 = 43 Þ PT (C¢): (x - 5)2 + (y -1)2 = 43. · Với H 11 11 ;510 æ ö ç - ÷ è ø . Ta có R¢2 = MH2 + AH2 = 13 Þ PT (C¢): (x - 5)2 + (y -1)2 = 13. Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x -1)2 + (y - 2)2 = 4 và điểm K(3;4) . Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C). · (C) có tâm I(1;2) , bán kính R = 2 . S IAB D lớn nhất Û DIAB vuông tại I Û AB = 2 2 . Mà IK = 2 2 nên có hai đường tròn thoả YCBT. + (T1) có bán kính R1 = R = 2 Þ T x 2 y 2 1 ( ) : ( - 3) + ( - 4) = 4
  10. 10. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng + (T2) có bán kính R 2 2 = 3 2) + ( 2) = 2 5 Þ T x 2 y 2 2 1 æ 9 ö 3 4 4 4 1 63 1. - ç ÷ + - = Û = è ø Þ - = - Þ = 2 4 3 Trang 10 2 ( 1 ( ) : ( - 3) + ( - 4) = 20 . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A(–2;3), B C 1;0 , (2;0) æ ö ç ÷ è ø 4 . · Điểm D(d;0) d 1 2 æ ö ç < < ÷ è ø 4 thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A khi và chỉ khi ( ) ( ) 2 DB AB d d d d DC AC d 2 2 - + - Phương trình AD: x + 2 y - 3 = Û x + y - 1 = 0 3 - 3 ; AC: x + 2 y - 3 = Û 3x + 4y - 6 = 0 4 - 3 Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là 1- b và bán kính cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có: ( b) b b b b 31 - + 4 - 6 2 2 3 5 3 4 = Û - = + Þ 3 5 4 b b b b b b 3 3 5 1 2 é - = Þ = - êêê - =- Þ = ë Rõ ràng chỉ có giá trị b 1 = là hợp lý. 2 2 2 1 1 1 2 2 4 æ ö æ ö ç - ÷ + ç - ÷ = è ø è ø Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp DABC là: x y Câu 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): 4x - 3y -12 = 0 và (d2): 4x + 3y -12 = 0 . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2) và trục Oy. · Gọi A = d1Çd2,B = d1ÇOy,C = d2 ÇOy Þ A(3;0),B(0;-4),C(0;4) Þ DABC cân đỉnh A và AO là phân giác trong của góc A. Gọi I, R là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp DABC Þ I R 4 ;0 , 4 æ ö ç ÷ = è ø 3 3 . Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y -1 = 0 và hai đường tròn có phương trình: (C1): (x - 3)2 + (y + 4)2 = 8 , (C2): (x + 5)2 + (y - 4)2 = 32 . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2). · Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử I(a;a –1)Îd . (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II1 = R + R1, II2 = R + R2 Þ II1 – R1 = II2 – R2 Û (a - 3)2 + (a + 3)2 - 2 2 = (a - 5)2 + (a + 5)2 - 4 2 Û a = 0 Þ I(0; –1), R = 2 Þ Phương trình (C): x2 + (y +1)2 = 2 . Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp DABC.
  11. 11. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng 2, 1, 10 1, 2, 10 é = =- = - êë = = = - Trang 11 · y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0. Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )Cx y x 2 2 : 2 0 + + = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30o . · (C) : (x +1)2 + y2 = 1Þ I(-1;0);R = 1. Hệ số góc của tiếp tuyến (D) cần tìm là ± 3 . Þ PT (D) có dạng D1 : 3x - y + b = 0 hoặc D2 : 3x + y + b = 0 + D1 : 3x - y + b = 0 tiếp xúc (C) Ûd(I,D1) = R b 3 1 b 2 3 2 -Û = Û =± + . Kết luận: (D1) : 3x - y ± 2 + 3 = 0 + (D2) : 3x + y + b = 0 tiếp xúc (C) Ûd(I,D2 ) = R b 3 1 b 2 3 2 -Û = Û =± + . Kết luận: (D2) : 3x + y ± 2 + 3 = 0 . Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 6x - 2y + 5 = 0 và đường thẳng (d): 3x + y - 3 = 0 . Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc 450 . · (C) có tâm I(3; 1), bán kính R = 5 . Giả sử (D): ax + by + c = 0 (c ¹ 0) . Từ: ì = ïí d ( I , ) 5 cos( d , ) 2 2 D D = ïî Þ a b c a b c :2 10 0 : 2 10 0 Þ x y é - - = êë x + y - = DD . Câu 20. Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C) : (x -1)2 + (y -1)2 = 10 và đường thẳng d ·d : 2x - y - 2 = 0 . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 450 . · (C) có tâm I(1;1) bán kính R = 10 . Gọi nr = (a;b) là VTPT của tiếp tuyến D (a2 + b2 ¹ 0) , 2 (, ) 450 1 Vì D= nên a b a2 b2 . 5 2 - = + 3 3 a b b a Û é = êë = - · Với a = 3b Þ D: 3x + y + c = 0 . Mặt khác d(I;D) = R 4 c 6 Û = 10 cc + 10 14 Û é = êë = - · Với b = -3aÞ D: x - 3y + c = 0 . Mặt khác d(I;D) = R 2 c 8 Û = 10 cc - + 10 Û é = - êë = 12 Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: 3x + y + 6 = 0; 3x + y -14 = 0 ; x - 3y - 8 = 0; x - 3y +12 = 0 . Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1): x2 + y2 –2x –2y –2 = 0 , (C2): x2 + y2 –8x –2y +16 = 0 . · (C1) có tâm I1(1; 1) , bán kính R1 = 2; (C2) có tâm I2(4; 1) , bán kính R2 = 1. Ta có: I1I2 = 3 = R1 + R2 Þ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1) Þ (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy. * Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: (D) : y = ax + b Û (D) :ax - y + b = 0 ta có:
  12. 12. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ì + - ì ì ï = ï = ï = - ì = ï + ï ï í Û í Û í í î = ï + - ï - ï + ï = ï = ï = î + î î ( ) : 3, ( ) : 2 4 + 7 2 , ( ) 2 4 - 7 2 D = D =- + D = + ì - + 1 2 = ïï í + ï - + - + = îï + + 1 14 4 2 2 1 1 ( , ) ( , ) ì D = í î D = - + = . Trang 12 a b 1 d I R a a a b hay dI R a b b b 2 2 a b 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ( ; ) 4 4 ( ; ) 4 1 4 7 2 4 7 2 1 4 4 D D Vậy, có 3 tiếp tuyến chung: 1 x 2 y x 3 y x 4 4 4 4 Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): (x - 2)2 + (y - 3)2 = 2 và (C’): (x -1)2 + (y - 2)2 = 8. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’). · (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R = 2 ; (C¢) có tâm I¢(1; 2) và bán kính R' = 2 2 . Ta có: II ' = 2 = R - R¢ Þ (C) và (C¢) tiếp xúc trong Þ Tọa độ tiếp điểm M(3; 4). Vì (C) và (C¢) tiếp xúc trong nên chúng uur có duy nhất một tiếp tuyến chung là đường thẳng qua điểm M(3; 4), có véc tơ pháp tuyến là II¢ = (-1;-1) Þ PTTT: x + y - 7 = 0 Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C x2 y2 y ( 1) : + - 2 - 3 = 0 và C x2 y2 x y ( 2) : + - 8 - 8 + 28 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) . · (C1) có tâm I1(0;1) , bán kính R1 = 2 ; (C2) có tâm I2(4;4) , bán kính R2 = 2 . Ta có: I1I2 = 5 > 4 = R1 + R2 Þ (C1),(C2 ) ngoài nhau. Xét hai trường hợp: + Nếu d // Oy thì phương trình của d có dạng: x + c = 0 . Khi đó: d I d d I d c c 1 2 ( , ) = ( , )Û = 4 + Û c = -2 Þ d : x - 2 = 0 . + Nếu d không song song với Oy thì phương trình của d có dạng: d : y = ax + b . Khi đó: ( , ) 2 ( , ) ( , ) d I d d I d d I d ì = í = î 1 1 2 Û b a b a b 2 a a Û 3 ; 7 4 2 3 ; 3 4 2 7 ; 37 24 12 é = = êêê = = - a b a b a b êê = - = êë Þ d : 3x - 4y +14 = 0 hoặc d : 3x - 4y - 6 = 0 hoặc d : 7x + 24y - 74 = 0 . Vậy: d : x - 2 = 0 ; d : 3x - 4y +14 = 0 ; d : 3x - 4y - 6 = 0 ; d : 7x + 24y - 74 = 0 . Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C x2 y2 y ( 1) : + - 4 - 5 = 0 và C x2 y2 x y ( 2) : + - 6 + 8 +16 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) . · (C1) có tâm I1(0;1) , bán kính R1 = 3 ; (C2) có tâm I2(3;-4), bán kính R2 = 3. Giả sử tiếp tuyến chung D của (C1), (C2) có phương trình: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ¹ 0) . D là tiếp tuyến chung của (C1), (C2)Û dI R dI R 1 1 2 2 2 2 2 3 (1) 3 4 3 (2) Û b c a b 2 2 a b c a b ìï + = + í - + = + ïî Từ (1) và (2) suy ra a = 2b hoặc c 3a 2b 2 + TH1: Với a = 2b . Chọn b = 1 Þ a = 2,c = -2 ± 3 5 Þ D : 2x + y - 2 ± 3 5 = 0
  13. 13. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng - + = . Thay vào (1) ta được: = Þ = Þ æ ö = = - ç ÷ = 2 2 2 2 2 2 2 2 Trang 13 + TH2: Với c 3a 2b 2 a a b a b a b 2 2 0 2 2 4 3 é = - = + Û ê = - êë . Þ D : y + 2 = 0 hoặc D : 4x - 3y - 9 = 0 . Câu 25. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4 3x - 4 = 0 . Tia Oy cắt (C) tại điểm A. Lập phương trình đường tròn (T) có bán kính R¢ = 2 sao cho (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A. · (C) có tâm I(-2 3;0) , bán kính R = 4 . Tia Oy cắt (C) tại A(0;2) . Gọi J là tâm của (T). Phương trình IA: x t ì = í = + î 2 3 2 2 y t . Giả sử J(2 3t;2t + 2)Î(IA) . (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A nên AI JA t J 2 1 ( 3;3) 2 uur uur . Vậy: (T) : (x - 3)2 + (y - 3)2 = 4 . Câu 26. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 = 1 và phương trình: x2 + y2 –2(m +1)x + 4my –5 = 0 (1). Chứng minh rằng phương trình (1) là phương trình của đường tròn với mọi m. Gọi các đường tròn tương ứng là (Cm). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C). · (Cm) có tâm I(m +1;-2m), bán kính R' = (m +1)2 + 4m2 + 5 , (C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 1, OI = (m +1)2 + 4m2 , ta có OI < R¢ Vậy (C) và (Cm) chỉ tiếp xúc trong. Þ R¢ – R = OI ( vì R’ > R) Þ m 1; m 3 =- = . 5 ( ) : ( 1) 1 Câu 27. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn có phương trình C x 2 y2 1 - + = và 2 C x 2 y 2 2 () : ( - 2) + ( - 2) = 4 . Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C1) và cắt (C2) tại hai điểm M,N sao cho MN = 2 2 . · (C1) có tâm I1(1;0) , bán kính R1 1 2 = ; (C2) có tâm I1(2;2) , bán kính R2 = 2 . Gọi H là trung điểm của MN Þ d I d I H R MN 2 2 ( 2, ) 2 2 2 2 è ø Phương trình đường thẳng d có dạng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ¹ 0). Ta có: ( , ) 1 d I 1 d d I d 2 2 ( , ) 2 ì = ïíï î = Û a c a b a b c a b ìï + = + í + + = + ïî . Giải hệ tìm được a, b, c. Vậy: d : x + y - 2 = 0; d : x + 7y - 6 = 0 ; d : x - y - 2 = 0 ; d : 7x - y - 2 = 0 Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 –6x + 5 = 0 . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600 .
  14. 14. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng · (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m) Î Oy · Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB Þ ·AMB AMB ì - + - = í + - = î Khử x giữa (1) và (2) ta được: ( ) ( ) 1 5 32 1 6 2 7 - é = - = Û - = Û ê = ë Trang 14 0 0 60 (1) 120 (2) é = ê = êë Vì MI là phân giác của ·A MB nên: (1) Û ·A MI = 300 MI IA sin300 Û = Û MI = 2R Û m2 + 9 = 4Ûm = ± 7 (2) Û ·A MI = 600 MI IA sin 600 Û = Û MI = 2 3 3 R Û m2 9 4 3 + = Vô nghiệm Vậy có 3 hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0; - 7 ) Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng D định bởi: (C) : x2 + y2 - 4x - 2y = 0; D : x + 2y -12 = 0 . Tìm điểm M trên D sao cho từ M vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600. · Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R = 5 . Gọi A, B là hai tiếp điểm. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 600 thì IAM là nửa tam giác đều suy ra IM = 2R=2 5 . Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: (x - 2)2 + (y -1)2 = 20 . Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng D, nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ phương trình: ( x 2)2 ( y 1)2 20 (1) x y 2 12 0 (2) y y y y y y 2 2 2 3 2 10 1 20 5 42 81 0 27 5 é = - + + - = Û - + = Û ê = êë Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M(6;3) hoặc M 6 ; 27 æ ö ç ÷ è 5 5 ø Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x -1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng d : x + y + m = 0 . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. · (C) có tâm I(1; –2), R = 3. ABIC là hình vuông cạnh bằng 3Þ IA = 3 2 m Û m m m Câu hỏi tương tự: a) (C) : x2 + y2 = 1, d : x - y + m = 0 ĐS: m = ±2. Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x -1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng d : 3x - 4y + m = 0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (C) (A, B là hai tiếp điểm) sao cho PAB là tam giác đều. · (C) có tâm I(1;-2) , bán kính R = 3. DPAB đều Þ PI = 2AI = 2R = 6 Þ P nằm trên đường tròn (T) có tâm I, bán kính r = 6 . Do trên d có duy nhất một điểm P thoả YCBT nên d là tiếp
  15. 15. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng ( , ) 6 11 6 19 + é = = Û = Û ê = - ë 5 41 = . Suy ra: OH OA2 AH2 9 = - = và 2 2 2 2 ìï ( ) 18 6 65 0 5 25 ì Î Û + - - + = í = í î îï + = æ + - ö ç ÷ è ø 2 2 2 2 0 1 0 1 ( 0 1) ( 0 3) æ + ö æ - ö - + + ç - ÷ + ç - ÷ = è ø è ø ì + 1 - 1 ( - 1) 2 + ( + 3) 2 ï ( - 0 ) 2 + ( - 0 ) 2 = 0 0 2 2 4 Þ (1 - ) - (3 + ) - - 3 = 0 (1) î ( - 1) + ( + 2) = 4 Toạ độ các điểm T1, T2 thoả mãn (1), mà qua 2 điểm phân biệt xác định duy nhất 1 đường thẳng nên phương trình T1T2 là x(1- x0) - y(3 + x0) - x0 - 3 = 0 . A(1;-1) nằm trên T1T2 nên 1- x0 + (3 + x0) - x0 - 3 = 0 Û x0 = 1 Þ M(1;2) íï . Trang 15 tuyến của (T) Þ d I d m m m . Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C) : x2 + y2 -18x - 6y + 65 = 0 và (C¢) : x2 + y2 = 9 . Từ điểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C¢), gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 4,8. · (C’) có tâm O(0;0), bán kính R = OA = 3 . Gọi H = ABÇOMÞ H là trung điểm của AB Þ AH 12 5 5 OM OA 2 = = 5. OH Giả sử M(x; y) . Ta có: M C x y x y OM x y 4 5 3 0 x x y y Ûì = Ú ì = í = í = î î Vậy M(4;3) hoặc M(5;0) . Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x -1)2 + (y + 2)2 = 4 . M là điểm di động trên đường thẳng d : y = x +1. Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp tuyến MT1, MT2 tới (C) (T1, T2 là tiếp điểm) và tìm toạ độ điểm M, biết đường thẳng TT 1 2 đi qua điểm A(1;-1) . · (C) có tâm I(1;-2) , bán kính R = 2 . Giả sử M(x0; x0 +1)Îd . IM x 2 x 2 x 2 R = ( 0 -1) + ( 0 + 3) = 2( 0 +1) + 8 > 2 = Þ M nằm ngoài (C) Þ qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C). Gọi J là trung điểm IM Þ x x J 0 0 1 1 ; 2 2 . Đường tròn (T) đường kính IM có tâm J bán kính R IM 1 2 = có phương trình x x x x ( ) : T x y 2 2 4 Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MT1, MT2 đến (C) Þ ·IT M ·IT M 0 T T T 1 = 2 = 90 Þ 1, 2 Î( ) Þ{T1,T2}= (C)Ç(T) Þ toạ độ T1, T2 thoả mãn hệ: x x x x x y x x x y x x y 0 0 0 2 2 Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x –1)2 + (y +1)2 = 25 và điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho MA = 3MB. · PM/(C) = 27 > 0Þ M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5. Mặt khác: uuur uuur PM C MA MB MB2 MB BH /( ) = . = 3 Þ = 3Þ = 3 Þ IH = R2 - BH2 = 4 = d[M,(d)]
  16. 16. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0). 6 4 0 [ ,( )] 4 4 12 , 2 - - - 2 3 3 3 = = Û - = + - : chọn a = 3, b = – 4 Þ d: 3x – 4 y + 5 = 0. 3 4 4 10 1 , 4 - + + é = - Þ = = Ûê 3 1 4 10 1 Trang 16 a b a d M d a2 b2 a b 5 - - é = = Û = Û ê + ê = - ë . Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0. Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình (x - 2)2 + (y +1)2 = 25 theo một dây cung có độ dài bằng l = 8 . · d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 Û ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0) Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài l = 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d bằng 3. d (I d ) a b a b a b a b a b 2 2 2 2 + a a ab a b 2 0 8 6 0 3 4 é = Û + = Û ê = - êë · a = 0: chọn b = 1 Þ d: y – 2 = 0 · a = b 3 4 Câu hỏi tương tự: a) d đi qua O, (C) : x2 + y2 - 2x + 6y -15 = 0 , l = 8 . ĐS: d : 3x - 4y = 0 ; d : y = 0 . b) d đi qua Q(5;2) , (C) : x2 + y2 - 4x - 8y - 5 = 0 , l = 5 2 . ĐS: d : x - y - 3 = 0 ; d :17x - 7y - 71 = 0 . c) d đi qua A(9;6) , (C) : x2 + y2 - 8x - 2y = 0 , l = 4 3 . d : y 2x 12 1 21 ĐS: = -; d : y =- x + 2 2 Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x - 8y - 8 = 0 . Viết phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng d : 3x + y - 2 = 0 và cắt đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài l = 6 . · (C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5. PT đường thẳng D có dạng: 3x + y + c = 0, c ¹ 2 . Vì D cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên: ( ) c c d I 2 c D + ë = - - . Vậy phương trình D cần tìm là: 3x + y + 4 10 -1 = 0 hoặc 3x + y - 4 10 -1 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) (C) : (x - 3)2 + (y -1)2 = 3, d : 3x - 4y + 2012 = 0 , l = 2 5 . ĐS: D : 3x - 4y + 5 = 0 ; D : 3x - 4y -15 = 0 . Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :(x + 4)2 + (y - 3)2 = 25 và đường thẳng D : 3x - 4y +10 = 0 . Lập phương trình đường thẳng d biết d ^ (D) và d cắt (C) tại A, B sao cho AB = 6. · (C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do d ^ D nên PT của d có dạng: 4x + 3y + m = 0 . Ta có: d(I,(D1)) = IH = AI 2 - AH2 = 52 - 32 = 4 Û 16 9 m m 27 4 4 3 13 - + + é = = Û ê = - + ë 2 2 m
  17. 17. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Vậy PT các đường thẳng cần tìm là: 4x + 3y + 27 = 0 và 4x + 3y -13 = 0 . Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2y - 3 = 0 và điểm M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất. · (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 5 . IM = 2 < 5 Þ M nằm trong đường tròn (C). Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d. Ta có: AB = 2AH = 2 IA2 - IH2 = 2 5 - IH2 ³ 2 5 - IM2 = 2 3 . Dấu "=" xảy ra Û H º M hay d ^ IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI = (1;-1) - - = : chọn A = 47 Þ B = -24 - 5 55 Þ d: 47(x - 2) - (24 + 5 55)(y - 6) = 0 - + = : chọn A = 47 Þ B = -24 + 5 55 Þ d: 47(x - 2) + (-24 + 5 55)(y - 6) = 0 3 3 3 Trang 17 uuur Þ Phương trình d: x - y + 2 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với (C): x2 + y2 - 8x - 4y -16 = 0 , M(–1; 0). ĐS: d : 5x + 2y + 5 = 0 Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho DOAB có diện tích lớn nhất. · Tam giác OAB có diện tích lớn nhất Û DOAB vuông cân tại O. Khi đó d(O,d) 5 2 = . 2 Giả sử phương trình đường thẳng d: A(x - 2) + B(y - 6) = 0 (A2 + B2 ¹ 0) d(O,d) 5 2 = Û 2 2 6 5 2 A B A2 B2 2 - - = + Û 47B2 + 48AB -17A2 = 0 Û é - - 24 5 55 47 24 5 55 47 B A = êê ê - + = êë B A + Với B A 24 5 55 47 + Với B A 24 5 55 47 Câu hỏi tương tự: a) (C) : x2 + y2 + 4x - 6y + 9 = 0 , M(1;-8) . ĐS: 7x + y +1 = 0; 17x + 7y + 39 = 0 . Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0 và điểm A(3;3) . Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C). · (C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3) Î (C). PT đường thẳng d có dạng: a(x - 3) + b(y - 3) = 0, a2 + b2 ¹ 0 Û ax + by - 3a - 3b = 0 . Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B Þ AB = 4 2 . Gọi I là tâm hình vuông. Ta có: d ( I , d ) = 2 2 ( 1 1 = AD = AB ) 2 2 a b a b a2 b2 2 2 - - - Û = +
  18. 18. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Û 4b = 2 2 a2 + b2 Ûa2 = b2 Ûa = ±b . Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1. Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là: x + y - 6 = 0 hoặc x - y = 0 . Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 = 13 và (C2): (x - 6)2 + y2 = 25 . Gọi A là một giao điểm của (C1) và (C2) với yA > 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. · (C1) có tâm O(0; 0), bán kính R1 = 13 . (C2) có tâm I2(6; 0), bán kính R2 = 5. Giao điểm A(2; 3). Giả sử d: a(x - 2) + b(y - 3) = 0 (a2 + b2 ¹ 0) . Gọi d1 = d(O,d), d2 = d(I2,d) . Từ giả thiết Þ R2 d2 R2 d2 1 - 1 = 2 - 2 Û d d 2 2 2 - 1 = 12 Û = - = - = = = £ . Dấu "=" xảy ra Û ·A OB = 900 . Khi đó d(I;d) 1 Trang 18 2 2 (6 - 2 - 3 ) (-2 - 3 ) 12 a a b a b a b a b - = 2 2 2 2 + + Û b2 + 3ab = 0 Û b 0 3 é = êë = - b a . · Với b = 0: Chọn a = 1 Þ Phương trình d: x - 2 = 0 . · Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3 Þ Phương trình d: x - 3y + 7 = 0 . Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: mx + 4y = 0 , đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I. Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12. · (C) có tâm I(1;m) , bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB. IH d I m m m ( , ) 4 5 m2 m2 16 16 + = D= = + + ; 25 (5 ) 20 AH IA IH m 2 m m 2 2 2 2 16 16 + + S IAB 12 D = Û m dI AH m m m 2 3 ( , ). 12 3 25 48 0 16 3 é = ± D = Û - + = Û ê = ± êë Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 1, đường thẳng (d) : x + y + m = 0 . Tìm m để (C) cắt (d) tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất. · (C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B Ûd(O;d) < 1 Khi đó: · · SOAB OAOB AOB AOB 1 . .sin 1 .sin 1 2 2 2 OB = 900 . Vậy AOB S lón nhất Û ·A = Û m = ±1. 2 Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) : 2x + my +1- 2 = 0 và đường tròn có phương trình (C) : x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 . Gọi I là tâm đường tròn (C) . Tìm m sao cho (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó. · C ( ) có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3. (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Ûd(I,d) < R Û 2 - 2m +1- 2 < 3 2 + m2
  19. 19. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Û1- 4m + 4m2 < 18 + 9m2 Û5m2 + 4m +17 > 0ÛmÎR Ta có: SIAB IA IB ·AIB IA IB 1 . sin 1 . 9 2 2 2 = £ = IB = 900 Û AB = R 2 = 3 2 Û d(I,d) 3 2 - = + m m 22 Trang 19 Vậy: SIAB lớn nhất là 9 2 khi ·A 2 = Û m m 1 2 3 2 2 2 2 Û +16 + 32 = 0 Û m = -4 Câu hỏi tương tự: a) Với d : x + my –2m + 3 = 0 , (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0. ĐS: m 0 m 8 15 = Ú = Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x - 6y + 9 = 0 và điểm M(1;-8) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C). · (C) có tâm I(-2;3) , bán kính R = 2 . PT đường thẳng d qua M(1;-8) có dạng: d : ax + by - a + 8b = 0 ( a2 + b2 ¹ 0 ). S IAB IA IB AIB AIB 1 . .sin 2sin D 2= = . Do đó: S IAB D lớn nhất Û ·A · · IB = 900 Û d(I,d) 2 = IA = 2 2 11 - 3 2 b a a2 b2 Û = + 7 Û 7a2 - 66ab +118b2 = 0 Û a b é = êë = 7 17 a b . + Với b = 1Þ a = 7 Þ d : 7x + y +1 = 0 + Với b = 7Þa = 17 Þ d :17x + 7y + 39 = 0 Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng D: x + my –2m + 3 = 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích DIAB lớn nhất. · (C) có tâm là I (–2; –2); R = 2 . Giả sử D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Kẻ đường cao IH của DIAB, ta có: SDABC = · SIAB IA IB AIB 1 . .sin = = ·sin AIB 2 Do đó IAB S lớn nhất Û sin·A IB = 1 Û DAIB vuông tại I Û IH = IA 1 2 = (thỏa IH < R) Û 1 4 m m2 1 1 - = + Û 15m2 – 8m = 0 Û m = 0 hay m = 8 15 Câu hỏi tương tự: a) Với (C) : x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 , D : 2x + my +1- 2 = 0 . ĐS: m = -4. b) Với (C) : x2 + y2 - 2x - 4y - 5 = 0 , D : x + my - 2 = 0 . ĐS: m = -2 Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x –5y –2 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y - 8 = 0 . Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho
  20. 20. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng tam giác ABC vuông ở B. · Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình ì + + - - = ì = = í Ûí î - - = î = - = - 2 2 2 4 8 0 0; 2 5 2 0 1; 3 x y x y y x x y y x . Vì xA > 0 nên ta được A(2;0), B(–3;–1). D= < Þ đường thẳng (D ) cắt (C) tại ì + + - - = í + - = î 2 2 2 4 8 0 3 2 1 0 é = = - êë = - = D = . Như vậy d(M,D) lớn nhất Û M trùng với Q. ì + - - - = ì + - - - = í Ûí î + - = î = - 2 2 2 4 5 0 2 2 2 4 5 0 3 12 0 12 3 æ + - ö æ - + ö ç ÷ ç ÷ è ø è ø Trang 20 Vì ·A BC = 900 nên AC là đường kính đường tròn, tức điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I của đường tròn. Tâm I(–1;2), suy ra C(–4;4). Câu 48. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ): x2 + y2 + 2x - 4y - 8 = 0 và đường thẳng (D ): 2x - 3y -1 = 0 . Chứng minh rằng (D ) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn (C ) sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất. · (C) có tâm I(–1; 2), bán kính R = 13 . d I R ( , ) 9 13 hai điểm A, B phân biệt. Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có S ABM AB d M 1 . ( , ) D 2 = D . Trong đó AB không đổi nên S ABM D lớn nhất Û d(M,D) lớn nhất. Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với (D ). PT đường thẳng d là 3x + 2y -1 = 0. Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn (C). Toạ độ P, Q là nghiệm của hệ phương trình: x y x y x y 1, 1 3, 5 Û x y x y Þ P(1; –1); Q(–3; 5) Ta có d(P, ) 4 D = ; d(Q, ) 22 13 13 Vậy tọa độ điểm M(–3; 5). Câu 49. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 4y - 5 = 0 và A(0; –1) Î (C). Tìm toạ độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho DABC đều. uur uur · (C) có tâm I(1;2) và R= 10 . Gọi H là trung điểm BC. Suy ra AI = 2.IH H 3 ; 7 æ ö Û ç ÷ 2 2 è ø DABC đều Þ I là trọng tâm. Phương trình (BC): x + 3y -12 = 0 Vì B, C Î (C) nên tọa độ của B, C là các nghiệm của hệ phương trình: x y x y x y x y x y x y Giải hệ PT trên ta được: B C 7 3 ; 3 3 3 ; 7 3 ; 3 3 3 2 2 2 2 hoặc ngược lại. Câu 50. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x - 3)2 + (y - 4)2 = 35 và điểm A(5; 5). Tìm trên (C) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. · (C) có tâm I(3; 4). Ta có: AB AC ì = í = î IB IC Þ AI là đường trung trực của BC. DABC vuông cân tại A nên AI cũng là phân giác của BAC . Do đó AB và AC hợp với AI một góc 450 . Gọi d là đường thẳng 450 uur qua A và hợp với AI một góc . Khi đó B, C là giao điểm của d với (C) và AB = AC. Vì IA = (2;·1) ¹ (1; 1), (1; –1) nên d không cùng phương với các trục toạ độ Þ VTCP của d có hai thành phần đều khác 0. Gọi ur = (1;a) là VTCP của d. Ta có:
  21. 21. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng uur r Û a a2 2 2 + = 5 1+ Û cos , 2 + 2 + 2 = = = 1 2 1 5 1 2 æ + + ö æ - - ö ç ÷ç ÷ è øè ø r Þ Phương trình đường thẳng d: æ + - ö æ - + ö ç ÷ç ÷ è øè ø æ - + ö æ - - ö ç ÷ç ÷ è øè ø = + = - - = . Gọi M(x;y) và h = d(M, AB) . 1 . 20 4 4 3 12 4 4 3 8 0 2 3 5 4 3 32 0 - - é - + = = Û = Û = Û ê - - = ë 4 3 8 0 ( 2;0); 14 ; 48 ì - + = æ ö í Þ - ç- ÷ î + = è ø æ ö ç ÷Î è ø Trang 21 (IA u) a a a2 2 a2 + + + a a 3 1 3 é = ê = - êë 5 5 3 + Với a = 3, thì ur = (1;3) Þ Phương trình đường thẳng d: x t ì = + í = + î y t . Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là: 9 13 ; 7 3 13 , 9 13 ; 7 3 13 2 2 2 2 + Với a = - , thì u 1; 1 1 3 æ ö = ç - 3 ÷ è ø 5 5 1 x t y t 3 ì = + ïí = - ïî . Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là: 7 3 13 ;11 13 , 7 3 13 ;11 13 2 2 2 2 +Vì AB = AC nên ta có hai cặp điểm cần tìm là: æ 7 + 3 13 ;11 - 13 ö æ , 9 + 13 ; 7 + 3 13 ö ç ÷ç ÷ è øè ø 2 2 2 2 và 7 3 13 ;11 13 , 9 13 ; 7 3 13 2 2 2 2 Câu 51. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 = 4 và các điểm A 1; 8 æ ö ç - è 3 ÷ ø , B(3;0) . Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 20 3 . · AB AB x y 4 64 10 ; : 4 3 12 0 9 3 Ta có: h AB h x y x y x y + x y M M x2 y2 4 25 75 + 4 3 32 0 x y x2 y2 ì - - = í î + = 4 (vô nghiệm) Câu 52. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x - 6y + 9 = 0 và đường thẳng d : 3x - 4y + 5 = 0 . Tìm những điểm M Î (C) và N Î d sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. · (C) có tâm I(-1;3) , bán kính R = 1 Þ d(I,d) = 2 > R Þ d Ç(C) =Æ . Gọi D là đường thẳng qua I và vuông góc với d Þ (D) : 4x + 3y - 5 = 0 . Gọi N0 d N0 1; 7 5 5 D æ ö = Ç Þ ç ÷ è ø . 2 ;11 , 8;19 55 5 5 æ ö æ ö ç- ÷ ç- ÷ è ø è ø Gọi M1,M2 là các giao điểm của D và (C) Þ M1 M2 Þ MN ngắn nhất khi M º M1,N º N0 . Vậy các điểm cần tìm: M C 2 ;11 ( ) æ ö ç- ÷Î è 5 5 ø , N d 1; 7 5 5 .
  22. 22. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng TĐP 03: CÁC ĐƯỜNG CÔNIC Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 2 2 æ ö æ ö æ öæ öæ ö = ç - ÷ + ç + ÷ - ç - ÷ç + ÷ç- ÷ è ø è ø è øè øè ø 2 3 3 3 3 1 103 10 10 2 10 10 + = Þ + = , a2 = b2 + 3 Þ Trang 22 x2 y2 1 + = . A, B là các điểm trên (E) 25 16 sao cho: AF1+BF2 = 8, với F1,F2 là các tiêu điểm. Tính AF2 + BF1. · AF1+AF2 = 2a và BF1+BF2 = 2a Þ AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 4a = 20 Mà AF1 + BF2 = 8 Þ AF2 + BF1 = 12 Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình elip với các tiêu điểm F1(-1;1),F2(5;1) và tâm sai e = 0,6 . · Giả sử M(x; y) là điểm thuộc elip. Vì nửa trục lớn của elip là a c e 3 5 0,6 = = = nên ta có: MF MF x 2 y 2 x 2 y 2 1 + 2 = 10Û ( +1) + ( -1) + ( - 5) + ( -1) = 10Û (x - 2)2 (y - 1)2 + = 1 25 16 Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E): x2 y2 1 + = . Tìm toạ độ 4 1 các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều. · A B 2 ; 4 3 , 2 ; 4 3 æ ö æ ö ç ÷ ç - ÷ è 7 7 ø è 7 7 ø Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 1 + = . Tìm các điểm M Î (E) sao 100 25 cho ·FMF 0 1 2 = 120 (F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)). 10 3 , 10 3 · Ta có: a = 10, b = 5 Þ c = 5 3 . Gọi M(x; y) Î (E) Þ MF1 x MF2 x = - = + . 2 2 F F 2 MF 2 MF 2 MF MF ·FMF 1 2 = 1 + 2 - 2 1. 2.cos 1 2 Û ( ) x x x x 2 2 2 2 2 Û x = 0 (y= ± 5). Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M1(0; 5), M2(0; –5). Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm F1(- 3;0);F2( 3;0) và đi qua điểm A 3; 1 æ ö ç è 2 ÷ ø . Lập phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M trên elip, hãy tính biểu thức: P FM2 F M2 OM2 FM F M = 1 + 2 –3 – 1 . 2 . 2 2 2 2 2 2 x y a b a b · (E): 1 3 1 1 4 x2 y2 1 + = 4 1 Þ P = (a + exM)2 + (a –exM)2 –2(xM2 + yM2 ) –(a2 - e2xM2 ) = 1
  23. 23. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng C âu 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E): 4x2 +16y2 = 64 . Gọi F2 là tiêu điểm bên phải của (E). M là điểm bất kì trên (E). Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F2 và tới đường thẳng : x 8 D = có giá trị không đổi. 1. . ( ; ) 2 3 2 æ 1 ö ç . 5 1 æ 1 1 ö 9 - .4 ÷ £ ç + ÷ 5 + 16 = .80 = 36 è 5 2 ø è 5 4 ø 20 Û x0 - 2y0 £ 6Û - 6 £ x0 - 2y0 £ 6Û- 3 £ x0 - 2y0 + 3 £ 9Þ x0 - 2y0 + 3 £ 9 ì ïï 5 4 ï = ï 1 1 ì max 2 3 9 5 = - 8 Þ - + = Û í - Û í î - = 5 2 2 6 2 3 9 î - + = S 1 AB.d(C, AB) 85 2x 3y 3. 85 x y = = + = + ì ì ïï + = ï = í Ûí ï = îï = ïî Trang 23 3 · Ta có: F2( 12;0) . Gọi M(x0; y0 )Î(E) Þ x MF a ex 0 2 0 8 3 2 - = - = , x 8 8 3 ( , ) dM x 0 0 3 3 D - = - = (vì -4 £ x0 £ 4 ) Þ MF d M 2 3 = (không đổi). ( ,D) 2 Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 5x2 +16y2 = 80 và hai điểm A(–5; –1), B(–1; 1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích DMAB. · Phương trình đường thẳng (AB): x - 2y + 3 = 0 và AB = 2 5 Gọi M x y E x2 y2 ( 0; 0)Î( )Þ 5 0 +16 0 = 80. Ta có: x - 2 y + 3 x - 2 y + 3 d ( M ; AB ) = 0 0 = 0 0 1 + 4 5 Diện tích DMAB: S AB d M AB x0 y0 = = - - æ ö ç - ÷ è ø 1 ; 1 , ( 5 ; 4 ) 5 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 2 cặp số x0 y0 có: 2 x y ( x 2 2 ) 0 0 0 y 0 x y x y x y x y x y 0 0 0 0 0 0 0 0 x y 0 0 8 3 5 3 ì ï = Û íï = - î Vậy, SMAB khi M max 9 8; 5 æ ö = ç - ÷ 3 3 è ø . Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp 2 2 E x y ( ): 1 + = và hai điểm A(3;–2), B(–3; 9 4 2) . Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. x2 y2 · PT đường thẳng AB: 2x + 3y = 0 . Gọi C(x; y) Î (E), với x > 0, y > 0 Þ + = 1 . 9 4 ABC 2 2 13 13 3 2 æ ö 3 85 2 x2 y2 3 170 13 9 4 13 £ çç + ÷÷ = è ø Dấu "=" xảy ra Û x y x x y y 2 2 1 3 2 9 4 2 2 3 2 æ ö ç ÷ è ø . Vậy C 3 2; 2 2 .
  24. 24. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip E x y 2 50 ( 1) 2 9 x x x k k k Û + = Û = Û = - + = , M(1;1) ĐS: D : 4x + 9y -13 = 0 é=Þ = 0 2 2( ) 1 2 0 £ 2 Þ 0 £ y0 £ 2 Þ y x loaïi + = . Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki, ta có: 8 2 8 2 Trang 24 2 2 ( ): 1 + = và điểm M(1;1). Viết phương 25 9 trình đường thẳng đi qua M và cắt elip tại hai điểm A,B sao cho M là trung điểm của AB . · Nhận xét rằng MÏOx nên đường thẳng x = 1 không cắt elip tại hai điểm thỏa YCBT. Xét đường thẳng D qua M(1; 1) có PT: y = k(x -1) +1. Toạ độ các giao điểm A,B của D và (E) là nghiệm của hệ: 2 2 x y y k x 1 (1) 25 9 ( 1)1 (2) ìï + = íï î = - + Þ (25k2 + 9)x2 - 50k(k -1)x + 25(k2 - 2k - 9) = 0 (3) PT (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi k . Theo Viet: 50 ( 1) 25 9 x x k k k 1 2 2 - + = + . Do đó M là trung điểm của AB M k 1 2 2 - 25 + 9 25 . Vậy PT đường thẳng D: 9x + 25y - 34 = 0 . Câu hỏi tương tự: x 2 y 2 a) Với ( E ): 1 9 4 Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 1 + = . Tìm điểm M Î (E) sao cho 8 2 M có toạ độ nguyên. · Trước hết ta có nhận xét: Nếu điểm (x; y)Î(E) thì các điểm (-x; y),(x;-y),(-x;-y) cũng thuộc (E). Do đó ta chỉ cần xét điểm M(x0; y0 )Î(E) với x0, y0 ³ 0; x0, y0 ÎZ . Ta có: x2 y2 0 0 1 8 2 + = Þ y2 0 0 0 0 ê y = Þ x = êë Þ M(2;1) . Vậy các điểm thoả YCBT là: (2;1),(-2;1),(2;-1),(-2;-1) . Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 1 + = . Tìm điểm M Î (E) sao cho 8 2 tổng hai toạ độ của M có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). x2 y2 · Giả sử M(x; y)Î(E) Þ 1 8 2 æ 2 2 ö x y x y ( )2 (8 2) 10 + £ + ç + ÷ = 8 2 è ø Þ - 10 £ x + y £ 10 . + x + y £ 10 . Dấu "=" xảy ra Û x y x y 10 ì = ïíï î + = æ ö ç ÷ è ø Û M 4 10 ; 10 5 5 . + x + y ³ - 10 . Dấu "=" xảy ra Û x y x y 10 ì = ïíï î + = - æ ö ç- - ÷ è ø Û M 4 10 ; 10 5 5
  25. 25. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): + = Û + = . BC = 2y0 và (BC) : x = x0 Þ d(A,(BC)) = 3 - x0 = Û 3 - x0 = 3y0 Û y2 x 2 6 ; 6 , 6 ; 6 9 4 9 4 9 4 9 4 M n m N n m æ ö æ - - ö çç ÷÷ çç ÷÷ è + + ø è + + ø 6 ; 6 , 6 ; 6 P m n Q m n æ - ö æ - ö çç ÷÷ çç ÷÷ è + + ø è + + ø 2 . 72( ) = = = = M M P P (9 2 4 2)(4 2 9 2) (9 4 ) (4 9 ) 13 + + £ = ( 2 + 2) Trang 25 x2 y2 + = 1 và điểm A(3;0) . Tìm trên 9 3 (E) các điểm B, C sao cho B, C đối xứng qua trục Ox và DABC là tam giác đều. · Không mất tính tổng quát, giả sử B(x0; y0),C(x0;-y0 ) với y0 > 0. x 2 2 Ta có: 0 y 0 2 2 1 x 0 3 y 0 9 9 3 Do AÎOx , B và C đối xứng qua Ox nên DABC cân tâị A Suy ra: DABC đều Û d A BC BC ( ,( )) 3 2 3 0 = ( 0 - 3) ( 3) 9 0 2 2 0 0 0 Þ x x x x 0 3 é = + - = Û ê = ë . + Với x0 = 0 Þ y0 = 3 Þ B(0; 3), C(0;- 3) . + Với x0 = 3 Þ y0 = 0 (loại). Vậy: B(0; 3), C(0;- 3) . Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 1 + = và các đường thẳng 9 4 d1 :mx - ny = 0 , d2 : nx+my = 0 , với m2 + n2 ¹ 0 . Gọi M, N là các giao điểm của d1 với (E), P, Q là các giao điểm của d2 với (E). Tìm điều kiện đối với m,n để diện tích tứ giác MPNQ đạt giá trị nhỏ nhất. x nt · PTTS của d1,d2 là: d 1 y mt 1 1 : ì = í = î , x mt d y nt 2 2 2 : ì = - í = î . + M, N là các giao điểm của d1 và (E) Þ m2 n2 m2 n2 m2 n2 m2 n2 + P, Q là các giao điểm của d2 và (E) Þ m2 n2 m2 n2 m2 n2 m2 n2 4 9 4 9 4 9 4 9 + Ta có: MN ^ PQ tại trung điểm O của mỗi đường nên MPNQ là hình thoi. S SMPNQ MN PQ OM OP 1 . 2 . 2 2 2 x y x y m + n m n m n 2 2 2 2 2 2 2 2 (9 4 )(4 9 ) + + = + + Áp dụng BĐT Cô-si: 2 2 2 2 m n m n m + n + m + n m n 2 2 2 2 72( ) 144 13 ( ) 13 2 S m n Þ + ³ = 2 2 m n + . Dấu "=" xảy ra Û 9m2 + 4n2 = 4m2 + 9n2 Ûm = ±n Vậy: min S 144 = khi m = ±n . 13 Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình: x2 y2 1 - = . 16 9
  26. 26. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). · (H) có các tiêu điểm F1(-5;0);F2(5;0) . HCN cơ sở của (H) có một đỉnh là M( 4; 3), Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng: ìï 2 = 2 + 2 ìï 2 Ûí = í îï 2 + 2 = 22 îï 2 = 5 40 9 16 15 uuur uur uur uur 2 2 0 1 0 1 4 2 4 8 - - = Û ê Û ê ë - = - ë = Trang 26 2 2 2 2 + = 1 ( với a > b) x y a b (E) cũng có hai tiêu điểm F F a2 b2 2 1(-5;0); 2(5;0)Þ - = 5 (1) M(4;3)Î(E)Û9a2 +16b2 = a2b2 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ:a b a a b ab b . Vậy (E): x2 y2 1 + = 40 15 Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hypebol (H) có phương trình x2 y2 1 - = . 9 4 Giả sử (d) là một tiếp tuyến thay đổi và F là một trong hai tiêu điểm của (H), kẻ FM ^(d). Chứng minh rằng M luôn nằm trên một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó · (H) có một tiêu điểm F( 13;0) . Giả sử pttt (d): ax + by + c = 0 . Khi đó: 9a2 – 4b2 = c2 (*) Phương trình đường thẳng qua F vuông góc với (d) là (D): b( x - 13) – a y = 0 Toạ độ của M là nghiệm của hệ: ax by c bx ay 13b ì + = - í - = î Bình phương hai vế của từng phương trình rồi cộng lại và kết hợp với (*), ta được x2 + y2 = 9 Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y2 = x và điểm I(0; 2). Tìm toạ độ hai điểm M, N Î (P) sao cho IM = 4IN . · Gọi M(x0; y0 ), N(x1; y1) là hai điểm thuộc (P), khi đó ta có: x y2 x y2 0 = 0; 1 = 1 IM x y y2 y = ( 0; 0 - 2) = ( 0; 0 - 2) uuur ; IN y y y2 y IN y2 y = ( 1; 1 - 2) = ( 1 ; 1 - 2); 4 = (4 1 ; 4 1 - 8) uuur uur Theo giả thiết: IM = 4IN , suy ra: y y y y ìï = í - = - ïî 1 1; 2; 4 3 9; 6; 36 y x y x y x y x é = Þ = =- = 1 1 0 0 1 1 0 0 Û ê = Þ = = = ë Vậy, có 2 cặp điểm cần tìm: M(4;–2), N(1;1) hay M(36;6), N(9;3) . Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y2 = 8x . Giả sử đường thẳng d đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x1, x2 . Chứng minh: AB = x1 + x2 + 4 . · Theo công thức tính bk qua tiêu: FA = x1 + 2 , FB = x2 + 2Þ AB = FA + FB = x1 + x2 + 4 . Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Elip (E): x2 + 5y2 = 5 , Parabol (P) : x = 10y2 . Hãy viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (D) : x + 3y - 6 = 0 , đồng thời tiếp xúc với trục hoành Ox và cát tuyến chung của Elip (E) với Parabol (P). · Đường thẳng đi qua các giao điểm của (E) và (P): x = 2 é 4 - 3 b = b é b = 1 Tâm I Î D nên: I(6 - 3b;b) . Ta có: b b b b b 6 3 2 43 2 Þ (C): (x - 3)2 + (y -1)2 = 1 hoặc (C): x2 + (y - 2)2 = 4
  27. 27. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng TĐP 04: TAM GIÁC Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho DABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương trình d1: 3x –4y + 27 = 0 , phân giác trong góc C có phương trình d2: x + 2y –5 = 0 . Tìm toạ độ điểm A. · Phương trình BC: 2 50 3 (3;1) ì - - = = í Ûì Þ î + 2 - 50 = í î = 1 2 4 (4;3) 2 3 x x x ì = - = ¢ í Þ î = - = 30 5 ( 5;3) ì - = Ûì = - í Þ - î 3 - 4 + 270 = í î = 3 æ ö - ç ÷ 1 1 2 2 2 . .sin . . 2 2 Trang 27 x - 2 y + 1 = 3 - 4 Þ Toạ độ điểm C(-1;3) + Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d2, I là giao điểm của BB’ và d2. Þ phương trình BB’: x - 2 y + 1 1 2 = Û2x - y - 5 = 0 + Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: x y x I x y y ' ' + Vì I là trung điểm BB’ nên: B I B B I B B y y y + Đường AC qua C và B’ nên có phương trình: y –3 =0. + Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: y x A x y y Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM và phân giác trong BD. Biết H( 4;1), M 17 ;12 5 è ø và BD có phương trình x + y - 5 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC. · Đường thẳng D qua H và vuông góc với BD có PT: x - y + 5 = 0 . DÇBD = I ÞI(0;5) Giả sử DÇ AB = H ' . D BHH ' cân tại B Þ I là trung điểm của HH 'Þ H '(4;9) . Phương trình AB: 5x + y - 29 = 0 . B = AB Ç BD Þ B(6;-1) Þ A 4 ;25 æ ö ç è 5 ÷ ø Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3). Biết phương trình đường phân giác trong (AD): x + 2y - 5 = 0 , đường trung tuyến (AM): 4x +13y -10 = 0 . Tìm toạ độ đỉnh B. · Ta có A = AD Ç AM Þ A(9; –2). Gọi C¢ là điểm đối xứng của C qua AD Þ C¢ Î AB. Ta tìm được: C¢(2; –1). Suy ra phương trình (AB): x - 9 y + 2 2 9 1 2 =-- + Û x + 7y + 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng Cx // AB Þ (Cx): x + 7y - 25 = 0 Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 , A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): 3x – y –4 = 0 . · PTTS của d: x t ì = í = - + î y 4 3t . Giả sử C(t; –4 + 3t) Î d. S AB AC A AB AC ( AB AC) = = - uuur uuur = 3 2 Û t t 2 4 4 1 3 + + = Û tt 2 1 é = - êë = Þ C(–2; –10) hoặc C(1;–1).
  28. 28. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(2; –3), B(3; –2), có diện tích bằng æ ö ç - ÷ è ø = = Þ = . = Þ - - - = , GÎD : x + y - 2 = 0 . ĐS: C(18;-12) hoặc C(-9;15) 2 3 D = Þ IK = 1CH 1 = Þ C 5; 8 Trang 28 3 2 và trọng tâm G thuộc đường thẳng D : 3x – y –8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C. · Ta có: AB = 2 , trung điểm M 5; 5 2 2 . Phương trình AB: x - y - 5 = 0 . SABC AB d C AB d C AB 1 . ( , ) 3 ( , ) 3 2 2 2 Gọi G(t;3t - 8)ÎD Þ d G AB ( , ) 1 2 t (3t 8) 5 1 = Û tt 2 2 1 2 é = êë = · Với t = 1 Þ G(1; –5) Þ C(–2; –10) · Với t = 2 Þ G(2; –2) Þ C(1; –1) Câu hỏi tương tự: a) Với A(2;-1) , B(1;- 2) , SABC 27 2 Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x + 2y - 3 = 0 và hai điểm A(-1;2) , B(2;1) . Tìm toạ độ điểm C thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2. · AB = 10 , C(-2a + 3;a)Î d. Phương trình đường thẳng AB : x + 3y - 5 = 0 . S 1 D ABC = 2 Û AB . d ( C , AB ) = 2 2 1 a - 2 10. 2 2 10 Û = aa 6 2 Û é = êë = - · Với a = 6 ta có C(-9;6) · Với a = -2 ta có C(7;-2) . Câu hỏi tương tự: a) Với d : x - 2y -1 = 0 , A(1; 0), B(3; -1) , SABC = 6 . ĐS: C(7;3) hoặc C(-5;-3) . Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –3), B(3; –2), diện tích tam giác bằng 1,5 và trọng tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x - y - 8 = 0 . Tìm toạ độ điểm C. · Vẽ CH ^ AB, IK ^ AB. AB = 2Þ CH = ABC S AB 2 = . 3 2 Giả sử I(a; 3a – 8) Î d. Phương trình AB: x - y - 5 = 0 . d I AB IK ( , ) = Û a 3 2 1 - = Û aa 2 1 é = êë = Þ I(2; –2) hoặc I(1; –5). + Với I(2; –2) Þ C(1; –1) + Với I(1; –5) Þ C(–2; –10). Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;0),B(0;2) , diện tích tam giác bằng 2 và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng d: y = x . Tìm toạ độ điểm C. · Phương trình AB : 2x + y - 2 = 0 . Giả sử I(t;t)Îd Þ C(2t -1;2t) . Theo giả thiết: S ABC AB d C AB 1 . ( , ) 2 D 2= = Û 6t - 4 = 4 Û t 0; t 4 3 = = . + Với t = 0 Þ C(-1;0) + Với t 4 3 æ ö ç ÷ è 3 3 ø . Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 5); B(4; –3), đường phân giác trong vẽ từ C là d : x + 2y - 8 = 0 . Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
  29. 29. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng · Gọi E là điểm đối xứng của A qua d Þ E Î BC. Tìm được E(1;1) Þ PT đường thẳng BC: 4x + 3y +1 = 0 . C = d ÇBC Þ C(-2;5). Phương trình đường tròn (ABC) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0; a2 + b2 - c > 0 4 10 29 6 10 34 1 ; 5; 99 ì - + = - ï ì - í- - + = - Ûí = = = î ï- î + + = - + - - - = . ì - + = í + + = î æ ö ç- ÷ è ø 2 2 2 2 2 8 10 8 10 æ ö æ ö æ ö æ ö = Ûç - ÷ + ç + ÷ = ç ÷ + ç ÷ Trang 29 Ta có A, B, C Î (ABC) Þ a b c a b c a b c a b c 2 8 4 8 6 25 Vậy phương trình đường tròn là: x2 y2 x y 5 99 0 4 4 Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là M(-1;2) , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I(2;-1) . Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình 2x + y +1 = 0 . Tìm toạ độ đỉnh C. uuur · PT đường thẳng AB qua M và nhận MI = (3;-3) làm VTPT: (AB) : x - y + 3 = 0 . Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y x y 3 0 2 1 0 Þ A 4 ; 5 æ ö ç- è 3 3 ÷ ø . M(-1;2) là trung điểm của AB nên B 2 ; 7 3 3 . Đường thẳng BC qua B và nhận nr = (2;1) làm VTCP nên có PT: 2 2 3 7 3 x t y t ì = - + ïíï = + î Giả sử C t t BC 2 2 ; 7 ( ) æ ö ç- + + ÷Î è 3 3 ø . Ta có: IB IC t t 3 3 3 3 è ø è ø è ø è ø Û 0( ) 4 5 t loaïi vìC B t é= º ê = êë Vậy: C 14 ; 47 æ ö ç ÷ è 15 15 ø . Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với AB = 5 , đỉnh C(-1;-1) , đường thẳng AB có phương trình x + 2y - 3 = 0 , trọng tâm của DABC thuộc đường thẳng d : x + y - 2 = 0 . Xác định toạ độ các đỉnh A, B của tam giác ABC. uuur uur · Gọi I(a;b) là trung điểm của AB, G là trọng tâm DABC Þ CG CI 2 3 = Þ x a G y b G 2 1 3 2 1 3 ì - = ïí ï - = î Do GÎd nên 2a - 1 2b - 1 2 0 3 3 + - = Þ Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: 2 3 0 a b a b ìï + - = í - - + - = ïî 2 1 2 1 2 0 3 3 Þ ab 5 1 ì = í = - î Þ I(5;-1) . Ta có , ( ) AB AB IA IB 5 2 ì Î ïí = = ïî Þ Toạ độ các điểm A, B là các nghiệm của hệ: 2 3 0 x y x 2 y 2 ( 5) ( 1) 5 4 ì + - = ïí - + + = ïî
  30. 30. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng æ ö æ ö ç - ÷ ç - ÷ è ø è ø 2 7 0 ì + - = í + - = î 5 8 0 ì + + = ïïí ï + + = ïî 3 7 0 ì - - = í + + = î 2 + x 1 + y 2 x 1 y = ; = . MÎ(CM) Þ B B x y 3 7 0 x y ïî ïì - - = í 2 + 1 + + + = 3 7 0 ì - - = í + - = î 3 7 0 = = Þ S ABC AC BH 1 . 1 .2 10.8 10 16 = - = - . Vậy B C 1 ; 9 , 7 ; 1 æ ö æ ö ç- ÷ ç- ÷ è ø è ø Trang 30 Û 4; 1 x y x y 2 6; 3 2 é = = - êêê = = - ë Þ A B 4; 1 , 6; 3 2 2 hoặc A B 6; 3 , 4; 1 æ ö æ ö ç - ÷ ç - ÷ è ø è ø 2 2 . Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm G(2;1) và hai đường thẳng d x y 1 : 2 7 0 + - = , d x y 2 :5 + - 8 = 0 . Tìm toạ độ điểm BÎd1,CÎd2 sao cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm, biết A là giao điểm của d1, d2 . · Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y x y Û x y 1 3 ì = í = î Þ A(1;3). Giả sử B(7 - 2b;b)Îd1; C(c;8 - 5c)Îd2 . Vì G là trọng tâm của DABC nên: A B C G A B C G x x x x y y y y 3 3 2 2 Þ b c ì - = í - = - î 5 8 b c Þ b c 2 2 ì = í = î . Vậy: B(3;2), C(2;-2) . Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;1) . Đường cao BH có phương trình x - 3y - 7 = 0 . Đường trung tuyến CM có phương trình x + y +1 = 0 . Xác định toạ độ các đỉnh B, C. Tính diện tích tam giác ABC. · AC qua A và vuông góc với đường cao BH Þ (AC) : x - 3y - 7 = 0 . Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: x y x y 1 0 Þ C(4;-5) . Trung điểm M của AB có: B B M M 2 2 1 0 + + + + = . 2 2 Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: x B y B 1 0 2 2 Þ B(-2;-3) . Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ: x y x y Þ H 14 ; 7 æ ö ç - è 5 5 ÷ ø . BH AC 8 10; 2 10 5 D 2 2 5 = = = (đvdt). Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;-2) , phương trình đường cao kẻ từ C và đường trung trực của BC lần lượt là: x - y + 2 = 0 , 3x + 4y - 2 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B và C. · Đường thẳng AB qua A và vuông góc với đường cao CH Þ (AB) : x - y + 2 = 0 . Gọi B(b;2 - b)Î(AB) , C(c;c + 2)Î(CH) Þ Trung điểm M của BC: M b c ; 4 b c æ + - + ö ç ÷ è ø 2 2 . Vì M thuộc trung trực của BC nên: 3(b + c) + 4(4 - b + c) - 4 = 0 Û -b + 7c +12 = 0 (1) uuur BC = (c - b;c + b) là 1 VTPT của trung trực BC nên 4(c - b) = 3(c + b) Û c = 7b (2) Từ (1) và (2) Þ c b 7 , 1 4 4 44 4 4 .
  31. 31. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng C âu 15. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(-1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng D : x - y - 4 = 0 . Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18. · Gọi H là trung điểm của BC Þ H là hình chiếu của A trên D Þ H 7 ; 1 ì - - = æ ö æ ö ç - ÷ ç ÷ è ø è ø 2 7 2 3.2 3 5 3.0 ì + + - = í - - + = î + - + - = 52 4 6 0 80 8 4 0 50 7 0 x x y y Trang 31 æ ö ç - ÷ è ø 2 2 Þ AH 9 2 = Theo giả thiết: S ABC BC AH BC 18 1 . 18 4 2 D 2 = Þ = Þ = Þ HB = HC = 2 2 . Toạ độ các điểm B, C là các nghiệm của hệ: 4 0 7 1 8 2 2 x y x y 2 2 ïí æ ö æ ö ïç - ÷ + ç + ÷ = îè ø è ø 11; 3 2 2 3 ; 5 2 2 é x = y = x = y = - êêê ë Û Vậy B C 11; 3 , 3 ; 5 æ ö æ ö ç ÷ ç - ÷ è ø è ø 2 2 2 2 hoặc B C 3 ; 5 , 11; 3 2 2 2 2 . Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 , d2: x + 2y –7 = 0 và tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 và điểm C thuộc d2 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. · Do B Î d1 nên B(m; – m – 5), C Î d2 nên C(7 – 2n; n) Do G là trọng tâm DABC nên m n m n 1 1 mn Ûì = - í = î Þ B(–1; –4), C(5; 1) Þ PT đường tròn ngoại tiếp DABC: x2 y2 x y 83 17 338 0 27 9 27 Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;6) , phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là d x y 1 :2 - +13 = 0 và d x y 2 :6 -13 + 29 = 0 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . · Đường cao CH : 2x - y +13 = 0 , trung tuyến CM : 6x -13y + 29 = 0 ÞC(-7; -1) PT đường thẳng AB: x + 2y -16 = 0 . M = CM Ç AB Þ M(6;5) Þ B(8;4) . Giả sử phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp DABC : x2 + y2 + mx + ny + p = 0. Vì A, B, C Î (C) nên m n p m n p m n p ì + + + = ï + + + = íï î - - + = mn p 4 6 72 ì = - Ûï = íï î = - . Suy ra PT đường tròn: x2 + y2 - 4x + 6y - 72 = 0 . Câu 18. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1 : x + y + 5 = 0 và d2 : x + 2y –7 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG. · Giả sử B(-5 - b;b)Îd1; C(7 - 2c;c)Îd2 . Vì G là trọng tâm DABC nên ta có hệ: B C B C 2 6 3 0 ì + + = í + + = î Þ B(–1;–4) , C(5; 1). Phương trình BG: 4x –3y –8 = 0 . Bán kính R d C BG ( , ) 9 5 = = Þ Phương trình đường tròn: x 2 y 2 ( –5) ( –1) 81 25 + =
  32. 32. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-3;6) , trực tâm H(2;1) , = Þ ç ÷ . 0 ì x - y = 3 ì x = 1 ì x = 6 = Ûí Ûí Ú í î - + + - = î = - î = ( 5)( 3) ( 6) 0 2 3 2 5 0 ì + + = í î - - = ì + + = í î - + = + - + ( ; ) 3 2 = = = = Ç ì + - = Þ í + - = î Trang 32 trọng tâm G 4 ; 7 æ ö ç ÷ è 3 3 ø . Xác định toạ độ các đỉnh B và C. · Gọi I là trung điểm của BC. Ta có AG AI I 2 7 ; 1 æ ö 3 2 2 è ø uuur uur Đường thẳng BC qua I vuông góc với AH có phương trình: x - y - 3 = 0 Vì I là trung điểm của BC nên giả sử B(xB; yB) thì C(7 - xB;1- yB) và xB - yB - 3 = 0 . uuur uuur H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ^ AB ; CH = (-5 + xB; yB), AB = (xB + 3; yB - 6) B B B B B B B B B CH AB x x y y y uuur uuur Vậy B(1;-2),C(6;3) hoặc B(6;3),C(1;-2) Câu 20. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao CH : x - y +1 = 0 , phân giác trong BN : 2x + y + 5 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác ABC. · Do AB ^ CH nên phương trình AB: x + y +1 = 0 . 2 5 0 + B = ABÇBN Þ Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: x y x y ì + + = í î + + = 1 0 Û x y 4 3 ì = - í = î ÞB(-4;3) . + Lấy A’ đối xứng với A qua BN thì A'ÎBC . Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): x - 2y - 5 = 0 . Gọi I = (d)ÇBN . Giải hệ: x y x y 2 5 0 . Suy ra: I(–1; 3) Þ A'(-3;-4) + Phương trình BC: 7x + y + 25 = 0 . Giải hệ: BC x y :7 25 0 : 1 0 CH x y Þ C 13; 9 æ ö ç- - ÷ è ø 4 4 . + BC 2 2 4 13 3 9 450 æ ö æ ö = ç- + ÷ + ç + ÷ = 4 4 4 è ø è ø , d A BC 7.1 1( 2) 25 = = 2 2 7 + 1 . Suy ra: SABC d A BC BC 1 ( ; ). 1 .3 2. 450 45 . 2 2 4 4 Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho DABC , với đỉnh A(1; –3) phương trình đường phân giác trong BD: x + y - 2 = 0 và phương trình đường trung tuyến CE: x + 8y - 7 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C. · Gọi E là trung điểm của AB. Giả sử B(b;2 b)BD E æ b + 1; 1 + b ö - ÎCE Þ ç - ÷Î 2 2 è ø Þ b = -3 Þ B(-3;5) . Gọi A¢ là điểm đối xứng của A qua BD Þ A¢ Î BC. Tìm được A¢(5; 1) Þ Phương trình BC: x + 2y - 7 = 0 ; C CE BC : x 8 y 7 0 C (7;0) 2 7 0 x y . Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; –4). Phương trình : đường trung 2 trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là d1 : x + y -1 = 0 và d 3 x - y - 9 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC.
  33. 33. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng · Gọi C(c;3c - 9)Îd2 và M là trung điểm của BC Þ M(m;1-m)Îd1 . Þ B(2m - c;11- 2m - 3c) . Gọi I là trung điểm của AB, ta có - + - - - - = Û m = 2 Þ M(2;-1) 4 5 3 2 2 5 1 Trang 33 I 2m c 3; 7 2m 3c æ - + - - ö ç ÷ è ø 2 2 . Vì I Î (d2) nên 3. 2m c 3 7 2m 3c 9 0 2 2 Þ Phương trình BC: x - y - 3 = 0 . C = BC Çd2 ÞC(3;0)Þ B(1;-2) . Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng d đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y - 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; -3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. · Gọi H là chân đường cao xuất phát từ A Þ H đối xứng với A qua d Þ H(-2;-2) Þ PT đường thẳng BC: x + y + 4 = 0 . Giả sử B(m;-4 -m)ÎBC Þ C(-4 -m;m) uuur uuur Þ CE = (5 + m;-3 - m), AB = (m - 6;-10 -m) . uuur uuur Vì CE ^ AB nên AB.CE = 0Û(m - 6)(m + 5) + (m + 3)(m +10) = 0 Û m = 0; m = -6 . Vậy: B(0;-4), C(-4;0) hoặc B(-6;2), C(2;-6) . Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2;4) . Đường thẳng D qua trung điểm của cạnh AB và AC có phương trình 4x - 6y + 9 = 0 ; trung điểm của cạnh BC nằm trên đường thẳng d có phương trình: 2x - 2y -1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng 7 2 và đỉnh C có hoành độ lớn hơn 1. · Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua D, ta tính được A' 40 ; 31 æ ö ç ÷ è 13 13 ø Þ BC : 2x - 3y +1 = 0 Ta gọi M là trung điểm của BC, thì M là giao của đường thẳng d và BC nên M 5;2 æ ö ç è 2 ÷ ø . Giả sử 3 1;t (BC) 2 tC æ - ö ç ÷Î è ø . Ta có S ABC d A BC BC BC BC 1 ( ; ). 7 1 7 . 13 2 2 2 13 D = Û = Û = CM 13 2 Û = t t t C t C loaïi 2 3 6 ( 2)2 13 3 (4;3) 2 2 1 (1;1) ( ) æ - ö é = é Û ç ÷ + - = Û ê Û ê è ø ë = ë Þ B(1;1) . Vậy: B(1;1) , C(4;3) . Câu 25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho DABC có tọa độ đỉnh B(3; 5) , phương trình đường cao hạ từ đỉnh A và đường trung tuyến hạ từ đỉnh C lần lượt là d1 : 2x – 5y + 3 = 0 và d2 : x + y – 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C của tam giác ABC. · Gọi M là trung điểm AB thì M Î d2 nên M(a;5 - a) . Đỉnh A Î d1 nên A 5b 3;b æ - ö ç è 2 ÷ ø . 2 2 x x x y y y ì + = í + = î M là trung điểm AB: A B M A B M a b a a b b Ûì - = Ûì = í + = í = î î Þ A(1; 1). Phương trình BC: 5x + 2y - 25 = 0 ; C = d2 ÇBC Þ C(5; 0). Câu 26. Trong mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ Oxy, cho DABC với AB = 5, đỉnh C(-1;-1) , phương trình cạnh AB : x + 2y - 3 = 0 và trọng tâm G của DABC thuộc đường thẳng
  34. 34. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng d : x + y - 2 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh A,B của tam giác. · Gọi I(x; y) là trung điểm AB , G(xG; yG) là trọng tâm của DABC 2 3 0 ìï + - = í - - Þ - + - = ïî A x y IA x y AB æ ö Þ = - + + = ç ÷ = 2 3 0 4 6 5 1 5 1 3 x y x x x y y y 2 2 ì + - = ì = ì = ï Ûï Ú ï í - + + = í = - í = - îï îï îï Vậy: A B 4, 1 , 6; 3 æ ö æ ö ç - ÷ ç - ÷ è ø è ø 3 2 0 x y x y ì - + = ï íæ ö æ ö ïç + ÷ + ç - ÷ = îè ø è ø æ + ö æ - ö ç ÷Î Þ ç - ÷ è ø è ø D æ - ö é = = Û - + = Û ç ÷ ê= Trang 34 Þ 2 1 x x ì - ï = 2 G 3 3 2 1 = Ûí - ï = G CG CI y y 3 î uuur uur GÎd : x + y - 2 = 0 nên có: xG + yG - 2 = 0 Û 2x - 1 2y - 1 + - 2 = 0 3 3 Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ: x y x y I 2 1 2 1 (5; 1) 2 0 3 3 Gọi A A A A 2 ( ; ) 2 ( 5)2 ( 1)2 5 2 4 è ø . Hơn nữa AÎ AB : x + 2y - 3 = 0 suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: A A A A ( ) ( ) A A A A 4 2 2 æ ö æ ö ç - ÷ ç - 2 ÷ è ø è 2 ø hoặc B A 4, 1 , 6; 3 2 2 . Câu 27. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm toạ độ các đỉnh của một tam giác vuông cân, biết đỉnh C(3;-1) và phương trình của cạnh huyền là d : 3x - y + 2 = 0 . · Toạ độ điểm C không thoả mãn phương trình cạnh huyền nên DABC vuông cân tại C. Gọi I là trung điểm của AB . Phương trình đường thẳng CI: x + 3y = 0 . I = CI Ç AB Þ I 3; 1 æ ö ç- è 5 5 ÷ ø Þ AI BI CI 72 5 = = = Ta có: , AB d AI BI 72 5 ì Î ïí = = ïî Û 2 2 3 1 72 5 5 5 3; 19 5 5 9 ; 17 5 5 é x = y = x - y = = êêê- ë Û Vậy toạ độ 2 đỉnh cần tìm là: 3;19 , 9 ; 17 5 5 5 5 æ öæ ö ç ÷ ç- - ÷ è øè ø . Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; –5) và đường thẳng D có phương trình: 3x - 4y + 4 = 0 . Tìm trên D hai điểm A và B đối xứng nhau qua I 2; 5 æ ö ç ÷ è ø 2 sao cho diện tích tam giác ABC bằng 15. · Gọi A a; 3a 4 B 4 a;16 3a 4 4 Þ SABC AB d C AB 1 . ( , ) 3 = D = Þ AB = 5. 2 AB a a a a 2 5 (4 2 )2 6 3 25 4 2 0 è ø ë . Vậy hai điểm cần tìm là A(0; 1) và B(4; 4). Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với B(1;-2) đường cao
  35. 35. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng AH : x - y + 3 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, C của tam giác ABC biết C thuộc đường thẳng d :2x + y -1 = 0 và diện tích tam giác ABC bằng 1. · Phương trình BC : x + y +1 = 0 . C = BC Ç d Þ C(2;-3). Gọi A(x0; y0 )Î AH Þ x0 - y0 + 3 = 0 (1); BC AH d A BC 0 0 1 1 1 0 + 0 + 1 é . 1 . . 2 1 0 + 0 + 1 = 2 (2) D 2 2 2 1 2 (3) = = Û = Û ê + + = - ë £ £ nên S ABC D đạt GTLN Û b = 0 Þ B(0;0),C(0;5) . uuur uuur Trang 35 x y 2, ( , ) + + 2 = = = ABC x y x y S AH BC x y 0 0 Từ (1) và (2) x A y 0 0 1 ( 1;2) 2 ì = - Þí Þ - î = . Từ (1) và (3) x A y 0 0 3 ( 3;0) 0 ì = - Þí Þ - î = Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A(2;1) , điểm B nằm trên trục hoành, điểm C nằm trên trục tung sao cho các điểm B, C có toạ độ không âm. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. · Giả sử B(b;0), C(0;c), (b,c ³ 0) . uuur uuur 5 DABC vuông tại A Û AB.AC = 0 Û c = -2b + 5 ³ 0Û 0 £ b £ . 2 S 1 AB . AC 1 = = (b - 2)2 + 1. 22 + (c - 1)2 ABC = (b - 2)2 D + 1 = b2 - 4b + 5 2 2 Do 0 b 5 2 Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3) , trọng tâm G(4;-2) , trung trực của AB là d : 3x + 2y - 4 = 0 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. · Gọi M là trung điểm của BC Þ AM AG 3 2 = Þ M 13; 3 æ ö ç - ÷ è ø 2 2 . AB ^ d Þ AB nhận urd = (2;-3) làm VTPT Þ Phương trình AB : 2x - 3y - 7 = 0 . Gọi N là trung điểm của AB Þ N = AB Ç d Þ N(2;-1) Þ B(5;1) Þ C(8;-4) . PT đường tròn (C) ngoại tiếp DABC có dạng: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 ( a2 + b2 - c > 0 ). Khi đó ta có hệ: 2 a 6 b c 10 10 a 2 b c 26 16 a 8 b c 80 ìï + - = + + = - íï î - + = - Û a b c 74 21 23 7 8 3 ì = ïïï = - íïï = ïî . Vậy: ( C ) : x2 y2 148 x 46 y 8 + - + + = 0 21 7 3 Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2, 0) và phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: 4x + y +14 = 0 ; 2x + 5y - 2 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. · A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(-1;6) , các điểm M(2;2)N(1;1) lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. · Đường thẳng CH qua H và vuông góc với MN Þ CH : x + y + 5 = 0 .
  36. 36. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Giả sử C(a;5 - a)ÎCH Þ CN = (1- a;a - 4) = Þ C A B 11; 1 , 3 ; 9 , 7 ; 5 æ ö æ ö æ ö ç - ÷ ç- ÷ ç- ÷ è ø è ø è ø 2 3 0 ì + - = í + - = î 2 3 0 2 5 0 ì + - = í - + = î 2 2 0 ì + - = í - + = î æ ö ç- ÷ è ø 2 2 0 ì + - = í - + = î 4 2 9 0 4 2 9 0 ì - + = ïí Trang 36 uuur uuur Vì M là trung điểm của AC nên A(4 - a;a -1) Þ AH = (a - 5;7 - a) Vì N là trung điểm của BC nên B(2 - a;a - 3) uuur uuur Vì H là trực tâm DABC nên: AH.CN = 0 Û (a - 5)(1- a) + (7 - a)(a - 4) = 0 Û a a 3 11 2 é = ê = êë . + Với a = 3 Þ C(3;2), A(1;2),B(-1;0) + Với a 11 2 2 2 22 2 2 Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phân giác trong AD và đường cao CH lần lượt có phương trình x + y - 2 = 0 , x - 2y + 5 = 0 . Điểm M(3;0) thuộc đoạn AC thoả mãn AB = 2AM . Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. · Gọi E là điểm đối xứng của M qua AD Þ E(2;-1) . Đường thẳng AB qua E và vuông góc với CH Þ (AB) : 2x + y - 3 = 0 . Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y x y 2 0 Þ A(1;1) Þ PT (AM) : x + 2y - 3 = 0 Do AB = 2AM nên E là trung điểm của AB Þ B(3;-3). Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: x y x y Þ C(-1;2) Vậy: A(1;1) , B(3;-3), C(-1;2) . Câu hỏi tương tự: a) (AD) : x - y = 0 , (CH) : 2x + y + 3 = 0 , M(0;-1) . ĐS: A(1;1) ; B(-3;-1) ;C 1; 2 æ ö ç- - 2 ÷ è ø Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC có phương trình x + 2y - 2 = 0 . Đường cao kẻ từ B có phương trình x - y + 4 = 0 , điểm M(-1;0) thuộc đường cao kẻ từ C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC. · Toạ độ đỉnh B là nghiệm của hệ: x y x y 4 0 Þ B(-2;2) . Gọi d là đường thẳng qua M và song song với BC Þ d : x + 2y +1 = 0. Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B Þ Toạ độ của N là nghiệm của hệ: x y x y 4 0 ì - + = í + + = î 2 1 0 Þ N(-3;1) . Gọi I là trung điểm của MN Þ I 2; 1 2 . Gọi E là trung điểm của BC Þ IE là đường trung trực của BC Þ IE : 4x - 2y + 9 = 0 . Toạ độ điểm E là nghiệm của hệ: x y x y Þ E 7 17 ;5 10 æ ö ç- ÷ è ø Þ C 4 ; 7 æ ö ç- è 5 5 ÷ ø . Đường thẳng CA qua C và vuông góc với BN Þ CA : x y 3 0 + - = . 5 Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ: x y x y 3 0 5 + - = ïî Þ A 13 ;19 æ ö ç- è 10 10 ÷ ø .
  37. 37. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng æ ö ç- ÷ è ø æ ö ç ÷ è ø 3 0 4 : ( 4;1) ìï + + = ì = - Ç = í Ûí Þ - = = + î ïî 2 0 ì + - = í + + = î 2 6 3 0 æ ö ç ÷ è ø Trang 37 Vậy: A 13 ;19 æ ö ç- è 10 10 ÷ ø , B(-2;2) , C 4 ; 7 5 5 . Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x –4y –2 = 0 , cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. · Ta có AC vuông góc với BH và đi qua M(1; 1) nên có phương trình: y = x . Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ : 2 x y x A y x y 4 2 0 3 2 ; 2 2 3 3 3 ì ì - - = ï = - æ ö í Ûí Þ ç- - ÷ î = ï è ø = - î Vì M là trung điểm của AC nên C 8; 8 3 3 Vì BC đi qua C và song song với d nên BC có phương trình: y x = + 2 4 x y x BH BC B x B y y 2 1 4 Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao BH : 3x + 4y +10 = 0 , đường phân giác trong góc A là AD có phương trình là x - y +1 = 0 , điểm M(0; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một khoảng bằng 2 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. · Gọi N đối xứng với M qua AD . Ta có N Î AC và N (1;1) Þ PT cạnh AC : 4x - 3y -1 = 0 A = AC Ç ADÞ A(4;5) . AB đi qua M, A Þ PT cạnh AB : 3x - 4y + 8 = 0 Þ B 3; 1 æ ö ç- - ÷ è ø 4 Gọi C(a;b)Î ACÞ4a - 3b -1 = 0 , ta có MC = 2 ÞC(1;1) hoặc C 31 ; 33 æ ö ç ÷ è 25 25 ø . Kiểm tra điều kiện B, C khác phía với AD, ta có cả hai điểm trên đều thỏa mãn. Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung điểm của cạnh BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y - 2 = 0 và d2: 2x + 6y + 3 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. · Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y x y Þ A 15; 7 æ ö ç - ÷ è ø 4 4 . Giả sử: B(b;2 - b)Î d1, C c; 3 2c æ - - ö ç 6 ÷ è ø Î d2. M(–1; 1) là trung điểm của BC Û b c 1 2 2 3 2 b c 6 1 2 ì + = - ïï í - - ï - + = ïî Û b c 1 4 9 4 ì = ïíï = - î Þ B 1 ; 7 4 4 , C 9 ; 1 æ ö ç- ÷ è ø 4 4 . Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho DABC cân có đáy là BC. Đỉnh A có tọa độ là các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh AB : y = 3 7(x -1) . Biết chu
  38. 38. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng vi củaDABC bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. · B = ABÇOxÞB(1;0) , AÎ ABÞ A(a;3 7(a -1))Þa > 1 (do xA > 0, yA > 0 ). Gọi AH là đường cao DABC ÞH(a;0)ÞC(2a -1;0)Þ BC = 2(a -1), AB = AC = 8(a -1) . Chu vi DABC = 18Ûa = 2ÞC(3;0), A(2;3 7). Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y –4 = 0 ; x – y –1 = 0 . Phân giác trong của góc A nằm trên đường thẳng x + 2y –6 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. · Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình: x y x A ì + - = Ûì = - Þ - í + - = í = î î 4 3 4 0 1 1;0 ì + - = Ûì = Þ í - - = í = î î cos( ; ) cos( ; ) 1. 2. 4.1 2.3 2 3 1 2 2 2 5. 25. 5 2 2 2 2 (3 4 ) 0 0 Û + = + Û - = Û é = êë - = · a = 0 Þb ¹ 0 . Do đó D3 : y - 4 = 0 · 3a – 4b = 0: Chọn a = 4 thì b = 3. Suy ra x y 3 : 3 4 0 ì - = Ûì = Þ í - - = í = î î æ - + - - ö ç ÷Î è ø æ - + ö - - ç ÷ - + = Þ = - è ø æ ö ç ÷ è ø Trang 38 4 3 4 0 2 ( 2;4) 2 6 0 4 x y y Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương trình x y x B( ) 1 0 0 x y y Phương trình AC qua điểm A(–2;4) có dạng: a(x + 2) + b(y - 4) = 0Ûax + by + 2a - 4b = 0 Gọi D1 : 4x + 3y - 4 = 0; D2 : x + 2y - 6 = 0; D3 : ax + by + 2a - 4b = 0 Từ giả thiết suy ra· ( )·( ) D2;D3 = D1;D2 . Do đó · · a b a b DD D D + + = Û = + a b a b a a b a a b D 4 + 3 - 4 = 0 (trùng với D1 ). Do vậy, phương trình của đường thẳng AC là y – 4 = 0. Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình:y x C 4 0 5 (5;4) 10 4 x y y Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. · Gọi C(c; 2c + 3) và I(m;6 - m) là trung điểm của BC. Suy ra: B(2m - c; 9 - 2m - 2c). Vì C’ là trung điểm của AB nên: C' 2m c 5;11 2m 2c CC' 2 2 nên 2 2m c 5 11 2m 2c 3 0 m 5 2 2 6 I 5; 41 æ ö Þ ç- ÷ 6 6 è ø . Phương trình BC: 3x - 3y + 23 = 0 Þ C 14 ; 37 3 3 Þ B 19 ; 4 æ ö ç- è 3 3 ÷ ø . Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, biết toạ độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là H(2;2), I(1;2) và trung điểm M 5; 5 æ ö ç ÷ è ø 2 2 của cạnh BC. Hãy tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết xB > xC ( xB , xC lần lượt hoành độ điểm B và C). uuur uur 4 · Gọi G là trọng tâm DABC ta có : GH = -2GI Þ G ;2 æ ö ç è 3 ÷ ø

×