2. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
CỦA NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Định nghĩa:
Giả sử y f(x) liên tục trên khoảng (a, b), khi đó hàm số y F(x) là một nguyên hàm của hàm số y
f(x) khi và chỉ khi F(x) f(x), x(a, b).
Nếu y F(x) là một nguyên hàm của hàm số y f(x) thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số y
f(x) là tập hợp I F( x ) c c R và tập hợp này còn được kí hiệu dưới dấu tích phân bất định
I f ( x )dx F( x ) c
2. Vi phân:
2.1 Giả sử y f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm x(a,b). Cho x một số
gia x sao cho (x + x) (a,b), khi đó ta có:
• Công thức vi phân theo số gia:
dy y x x
df x f x x
• Công thức biến đổi vi phân:
Chọn hàm số y x dy = dx = x’.x = x dx = x.
Vậy ta có:
dy y x x
df x f x x
dy y x dx
df x f x dx
• Nếu hàm số f(x) có vi phân tại điểm x thì ta nói f(x) khả vi tại điểm x.
Do df x f x x nên f(x) khả vi tại điểm x f(x) có đạo hàm tại điểm x
2.2. Tính chất: Giả sử u và v là 2 hàm số cùng khả vi tại điểm x. Khi đó:
2
udv vduud u v du dv ; d uv udv vdu ; d
v v
2.3 Vi phân của hàm hợp
Nếu
y f (u )
u g( x )
và f, g khả vi thì dy f u du f u u x dx
3. Quan hệ giữa đạo hàm nguyên hàm và vi phân:
f x dx F x c F x f x dF x f x dx
3. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
4. Các tính chất của nguyên hàm và tích phân
4.1. Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì :
f x dx f x ; d f x dx f x dx
4.2. Nếu F(x) có đạo hàm thì: d F x F x c
4.3. Phép cộng: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì: f x g x dx f x dx g x dx
4.4. Phép trừ: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì: f x g x dx f x dx g x dx
4.5. Phép nhân với một hằng số thực khác 0: kf x dx k f x dx , k 0
4.6. Công thức đổi biến số: Cho y = f(u) và u = g(x).
Nếu f x dx F x c thì f g x g x dx f u du F u c
5. Nhận xét: Nếu f x dx F x c với F(x) là hàm sơ cấp thì ta nói tích phân bất định
f x dx
biểu diễn được dưới dạng hữu hạn. Ta có nhận xét:
tích phân bất định sau tồn tại
2
x dx sin x cos x
e dx; ; sin x dx; dx; dx
ln x x x
… nhưng chúng không
thể biểu diễn được dưới dạng hữu hạn.
II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Điều kiện khả tích: Các hàm liên tục trên [a, b], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a, b] và
các hàm đơn điệu bị chặn trên [a, b] đều khả tích trên [a, b].
2. Ý nghĩa hình học: Nếu f(x) > 0 trên đoạn [a, b] thì
b
a
f x dx là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi
các đường: y f(x), x a, x b, y 0
O
y
x0
a=x 1 1x
2 x2 ...... k-1x xk xnxn-1 =b... ...
k-1 k n-1 n
C1
2C
3C k-1N
kN
n-1C
nC nN
N1
Ck
B1
2B Bk
BnBk+1
......
4. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
3. Các định lý, tính chất và công thức của tích phân xác định:
4.1. Định lý 1: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn [a, b]
4.2. Định lý 2: Nếu f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(x) g(x),x[a, b]
thì
b b
a a
f x dx g x dx . Dấu bằng xảy ra f(x) g(x), x[a, b]
Công thức Newton - Leipnitz:
Nếu f x dx F x c thì
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
4.4. Phép cộng:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4.5. Phép trừ:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0:
b b
a a
kf x dx k f x dx , k 0
4.7. Công thức đảo cận tích phân:
b a
a b
f x dx f x dx ;
a
a
f x dx 0
4.8. Công thức tách cận tích phân:
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
4.9. Công thức đổi biến số: Cho y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và hàm x (t) khả vi,
liên tục trên đoạn [m, M] và
t m,M t m,M
Min t a; Max t b ; m a; M b .
Khi đó ta có:
b M
a m
f x dx f t t dt
4.10. Công thức tích phân từng phần: Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a, b],
khi đó:
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx
5. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
III. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
cxdx cudu
c
x
dxx
1
1
, 1 c
u
duudxuu
1
'
1
1
Cxdx
x
ln
1
Cudu
u
dx
u
u
ln
1'
Cedxe xx
Ceduedxeu uuu
'
Ca
a
dxa xx
.
ln
1
Ca
a
duadxau uuu
.
ln
1
'
Cxxdx cossin Cuuduudxu cossinsin'
Cxxdx sincos Cuuduudxu sincoscos'
Cxdxx
x
dx
tan)1(tan
cos
2
2 Cuduu
u
dxu
tan)1(tan
cos
' 2
2
Cxdxx
x
dx
cot)1(cot
sin
2
2 Cuduu
u
dxu
cot)1(cot
sin
' 2
2
Cxdx
x2
1
Cudu
u
dx
u
u
2
1
2
'
III. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG :
cxdx 1
cos ax b dx sin ax b
a
c
c
bax
a
dxbax
1
1
)(
1
, 1 1
sin ax b dx cos ax b c
a
1dx
ln ax b c
ax b a
2
1dx
cotg ax b c
asin ax b
1ax b ax b
e dx e c
a
2
1dx
tg ax b c
acos ax b
1ax b ax b
m dx m c
aln m
cbax
abaxa
baxd
dxbax
)cos(ln
1
)cos(.
))(cos(
)tan(
6. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
2 2
1dx x
arctg c
a aa x
cbax
abaxa
baxd
dxbax
)sin(ln
1
)sin(.
))(sin(
)cot(
2 2
1
2
dx a x
ln c
a a xa x
b
ln ax b dx x ln ax b x c
a
2 2
2 2
dx
ln x x a c
x a
2 2 2
2 2
2 2
x a x a x
a x dx arcsin c
a
2 2
dx x
arcsin c
aa x
2 2
ax
ax e a sinbx bcosbx
e sinbxdx c
a b
2 2
1dx x
arccos c
a ax x a
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a
2 2
2 2
1dx a x a
ln c
a xx x a
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a
2 2
ax
ax e acosbx bsinbx
e cosbxdx c
a b
IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại
bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản
nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm
V. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN
V.1. Phương pháp sử dụng phép biến đổi đạo hàm để tính nguyên hàm :
Công thức cớ sở của phương pháp : cxfxfddxxf )()('.)(
Các phép biến đổi thường gặp :
cxvxuxvxuddxxvxudxxvxu )()()()(')()(')(')(
cuvuvddxuvdxuvvu )()'()''(
c
v
u
v
u
ddx
v
u
dx
v
uvvu
'
''
2
cudxudx
u
u
'
2
'
7. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
Các trường hợp riêng :
cexuexuddxexudxexuexudxexuxu xxxxxx
)()(')(').()(')()('
cexuexuddxexudxexuexudxexuxu xxxxxx
)()(')(').()(')()('
dxexuexudxexauxu baxbaxbax
').()(')()('
cexuexuddxexu baxbaxbax
)()(')(
cexuexuddxexuexudxexuxvxu xvxvxvxvxv
)()()()()(
)()(')()(')()(')('
Bài tập áp dụng :
1.
dxx
91
1
2. dxxex ).ln( 2
3.
dx
xx
xe
ln3
).ln(
4.
dx
x
x
2
1
5.
dx
xx
x
322
)1(1
6. dxxxex
)1tan(tan 2
7.
dx
x
x
ex
cos1
sin1
8.
dx
x
xxee xx
ln
9.
dxe
x
xx x
2
2
1
1
10.
dxe
x
x x
x
1
12
3
)1(
114
11.
dxxex
4
sin
12.
dxe
x
xx x
xx
1
1
3
3
2
)1(
)2(
12.
dxe
xx
xx x
4129
376
2
2
(HD:
1
2
32
723
63
2323)23(
376
2
2
b
a
ba
ab
a
x
bax
x
bax
x
xx
)
V.2 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẢN NGUYÊN HÀM (các phép biến đổi thường gặp)
1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:
1
n nx x ;
m m
nn km mn nkx x ; x x
1
n n
n n
1 1
x ; x
x x
;
m
n
n m
1
x
x
;
m
nk
n k m
1
x
x
2. Biến đổi vi phân:
dx d(x ± 1) d(x ± 2) … d(x ± p)
adx d(ax ± 1) d(ax ± 2) … d(ax ± p)
x p1 x 1 x 2dx d d d
a a aa
8. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau
1
x 1 x 2 x 3 x 4
J dx
x x
; 2
7x 3
J dx
2x 5
;
2
3
3x 7x 5
J dx
x 2
3 2 2 2
4 5 6 10
2x 5x 7x 10 4x 9x 10 2x 3x 9
J dx ;J dx ; J dx
x 1 2x 1 x 1
3 2 3 2
7 815 30
x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4
J dx ; J dx
x 2 x 1
dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ
332
11
152
10
3100
9
2 432 4 55 9
12 13 14
47
x 3x 5
J 2x 3 . x 1 dx ; J dx ; J x . 2x 3 dx
2x 1
9 3
15 16 17
4 2 2
105
x x x
J dx ; J dx ; J dx
x x 1 x x 12 3x
18 19 202 2 2 2
dx dx dx
J ; J ; J
x 2 x 5 x 2 x 6 x 2 x 3
21 22 232 2 2 2 2 2
x dx dx dx
J ; J ; J
x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3
ln 2 ln 2 ln 2 ln 22x x
x
24 25 26 27 xx x
1 0 0 0
dx e dx 1 e
J ; J ; J e 1dx ; J dx
1 ee 1 e 1
2 2
x x1 1 1 1x
28 29 30 31x 2x 2x x 3x
0 0 0 0
1 e dx 1 ee dx dx
J ; J ; J ; J dx
1 e 1 e e e e
ln 2 ln 4 1 e3x
32 33 34 35x 3 x x x
0 0 0 1
dx dx e dx 1 ln x
J ; J ; J ; J dx
xe e 4e 1 e
3 1 1
6
5 2 5 3 3 2
36 37 38
0 0 0
J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx
2
x1 1 1 1
2x x
39 40 41 42x x x x
0 0 0 0
2 1 dxdx dx
J ; J ; J ; J e 1 e dx
4 3 4 2 4
dxxxJ 3
6
22
43 2cottan
2
0
44
sin1
1
dx
x
J
2
0
45
cos1
1
dx
x
J
2
2
46 sin1
dxxJ
9. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
Các công thức nguyên hàm thường dùng :
Cbax
a
dx
bax
ln
11
Mở rộng Cxuxud
xu
dx
xu
xu
)(ln)(
)(
1
)(
)('
C
baxnan
bax
a
dxbaxdx
bax n
n
n
n
1
1
))(1(
11
1
)(1
)(
)(
1
2 2
1dx x
arctg c
a aa x
2 2
1
2
dx a x
ln c
a a xa x
Chú ý : Với tích phân dạng : dx
xQ
xP
)(
)(
Nếu Bậc[P(x)] Bậc[Q(x)] thì ta thực hiệ phép chia
P(x) cho Q(x) để chuyển tích phân trên về dạng
dx
xQ
xs
xr
)(
)(
)( trong đó Bậc[S(x)] < Bậc[Q(x)] Sau đó
sử dụng một trong các phương pháp sau :
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT THỨC TRONG TÍCH PHÂN HỮU TỶ
Loại I : Tính nguyên hàm :
dx
cbxax
xP
I 2
)(
Với 02
cbxax (1)
có acb 42
TH 1 : < 0 {phương trình (1) vô nghiệm }
2
)(
)(
xa
xP
Xét
n
m
nxmxP ĐNT
)()(
1
2
22
.)(ln
2)()(
)(1
I
a
n
x
a
m
dx
x
n
dx
x
xm
a
I
Giải I1 bằng cách đặt ẩn phụ : tx tan
dttdt
t
dx )1(tan
cos
1 2
2
10. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
Ctdtdtt
t
I
11
)1(tan
)1(tan
1 2
21
Ví dụ :
0
1 2
2
0
1 2
0
1 2
23
22
2
1
0
222
2
1
22
dx
xx
x
x
x
dx
xx
x
xdx
xx
xxx
1
2
3
I
Giải I1 :
0
1
0
1 221
1)1(
2
22
2
dx
x
x
dx
xx
x
I
Đặt : dxdttxt )1(tan1tan 2
Đổi cận :
01
4
0
tx
tx
2ln
2
1
40
cosln1tan)1(tan
1tan
1tan 44
0
4
0
2
21
ttdttdtt
t
t
I
TH 2 : = 0 {phương trình (1) có nghiệm kép x = }
2
)(
)(
xa
xP
Xét
n
m
x
n
x
m
x
xP ĐNT
22
)()(
)(
C
xa
n
x
a
m
dx
x
n
dx
x
m
a
I
1
ln
)(
1
2
Ví dụ : 2
1
0 2
2
1
0 2
1
0 2
23
2
1
)1(
12
0
1
212
12
1
12
Idx
x
x
x
x
dx
xx
x
xdx
xx
xxx
Giải I2:
1
0 2
1
0 2
1
0 22
)1(
1
1
2
)1(
1)1(2
)1(
12
dx
xx
dx
x
x
dx
x
x
I
12ln2
0
1
1
1
1ln2
x
x
TH 3 : > 0 {phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x = và x = }
))((
)(
xxa
xP
Xét
n
m
x
n
x
m
xx
xP ĐNT
))((
)(
Cx
a
m
x
a
m
dx
x
n
dx
x
m
a
I
lnln
1
11. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com
Ví dụ : dx
xx
x
xdxdx
xx
x
xdx
xx
xxx
3
2
3
2
3
2 2
3
2 2
23
)
2
3
)(1(2
1
352
1
352
1452
3
3
2
2
2
2
5
)
2
3
)(1(
1
2
2
3
2
Idx
xx
xx
Giải I3: xét ĐNT:
5
4
1
2
3
1
2
3
)(
2
3
)1(1
m
n
nm
nm
nmxnmxnxmx
2ln43ln5
2
3
1ln4
2
3
2
3
ln5
1
1
4
2
3
1
5
2
3
)1(
)
2
3
(4)1(5 3
2
3
2
3
2
3
xxdx
x
dx
x
dx
xx
xx
I
Loại II : Tính nguyên hàm :
dx
dcxbxax
xP
I 23
)(
Với 023
dcxbxax (2)
TH 1 : Phương trình (2) có 1 nghiệm đơn x = duy nhất
))((
)(
2
xxxa
xP
Xét
k
n
m
xx
knx
x
m
xxx
xP ĐNT
22
))((
)(
222
1
ln
1
))((
)(1
I
a
x
a
m
dx
xx
knx
dx
x
m
a
dx
xxx
xP
a
I
Giải I2 bằng phương pháp ở loại 1
Ví dụ :
0
1 2
0
1 3
)1)(1(
2
1
2
dx
xxx
x
dx
x
x
I
Xét đồng nhất thức : ))(1()1(2 2
knxxxxmx
1
1
1
2
1
0
;)()(2 2
n
k
m
km
nkm
nm
Rxkmxnkmxnmx
22
0
1 2
0
1 2
2
2ln
1
0
1ln
1
1
1
1
)1)(1(
)1)(1()1(
IIxdx
xx
x
x
dx
xxx
xxxx
I
12. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
Giải I2 :
0
1 22
4
3
2
1
1
dx
x
x
I Đặt dxxdxxx )1(tan
2
3
tan
2
3
2
1 2
Đổi cận :
6
0
tx ,
6
1
tx
333
1
cosln
2
1
cos
sin
2
3
3
2
1tan
2
3
4
3
tan
2
3
2
1
tan
2
3
6
66
6
6
6
2
22
ttdt
t
t
dtt
t
t
I
TH 2 : Phương trình (2) có 1 nghiệm đơn x = và 1 nghiệm kép x =
2
))((
)(
xxa
xP
Xét
k
n
m
x
k
x
n
x
m
xx
xP ĐNT
22
)())((
)(
dx
x
k
dx
x
n
dx
x
m
axx
xP
a
I 22
)(
1
))((
)(1
C
xa
k
x
a
n
x
a
m
1
lnln
Ví dụ :
0
1 2
2
0
1 23
2
)2()1(
374
254
374
dx
xx
xx
dx
xxx
xx
I
Xét đồng nhất thức : Rx
x
k
x
n
x
m
xx
xx
;
)1(12)2()1(
374
22
2
3
2
1
122
532
3
;
)2()1(
22)32()(
)2()1(
374
2
2
2
2
k
n
m
knm
nmk
nm
Rx
xx
knmxnmkxnm
xx
xx
6ln
2
3
1
0
1
3
1ln22ln
)1(
3
1
2
2
10
1 2
x
xxdx
xxx
I
TH 3 : Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt : x = ; x = và x =
))()((
)(
xxxa
xP
xét
k
n
m
x
k
x
n
x
m
xxx
xP ĐNT
))()((
)(
13. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com
dx
x
k
dx
x
n
dx
x
m
axxx
xP
a
I
1
))()((
)(1
Cx
a
k
x
a
n
x
a
m
lnlnln
Ví dụ :
dx
xxx
xx
dx
xxx
xx
I
)1)(1)(2(
1116
22
1116 2
23
2
Xét đồng nhất thức :
)1)(1)(2(
1116 2
xxx
xx
=
112
x
k
x
n
x
m
Rx
3
2
1
122
113
6
;)1)(2()1)(2()1)(1(1116 2
k
n
m
knm
kn
knm
Rxxxkxxnxxmxx
Cxxxdx
xxx
I
1ln31ln22ln
1
3
1
2
2
1
TH 4 : Phương trình (2) có nghiệm bội ba x =
3
)(
)(
xa
xP
xét
k
n
m
x
k
x
n
x
m
x
xP ĐNT
323
)()()(
)(
323
)()(
1
)(
)(1
x
k
dx
x
n
dx
x
m
a
dx
x
xP
a
I
C
xa
k
xa
n
x
a
m
2
)(
1
2
1
ln
Loại III : Tính nguyên hàm : dx
x
xP
I n
)(
)(
Xét đồng nhất thức : n
n
n
x
A
x
A
x
A
x
A
x
xP
)(
...
)()()(
)(
3
3
2
21
dx
x
A
dx
x
A
dx
x
A
dx
x
A
dx
x
xP
I n
n
n
)(
...
)()()(
)(
3
3
2
21
C
xn
A
x
A
x
AxA n
n
12
3
21
)(
1
1
...
)(
1
2
1
ln
14. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 www.toanhocdanang.com
Chú ý :
Trong loại này ta có thể dùng đồng nhất thức dạng đa thức :
n
nn xAxAxAAxP )(...)()()( 2
210
Hoặc có thể sử dụng công thức khai triển taylor tại điểm x = :
n
n
nnn
nn x
n
P
x
P
x
P
PxP )(
!
)(
...)(
!2
)("
)(
!1
)('
)()(
)(
2
Ví dụ :
dx
x
xp
dx
x
xxx
I 5050
34
)2(
)(
)2(
8753
149)2('71512)(' 23
PxxxP 204)2(''3036)('' 2
PxxxP
174)('''3072)(''' xPxxP 72)2(72)( )4()4(
PxP 66)2( P
432
)2(
!4
72
)2(
!3
174
)2(
!2
204
)2(
!1
149
66)(
xxxxxP
432
)2(3)2(29)2(102)2(14966)( xxxxxP
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
I 4747484950
)2(
1
3
)2(
1
29
)2(
1
102
)2(
1
149
)2(
1
66
C
xxxxx
I
4746474849
)2(47
1
3
)2(46
1
29
)2(47
1
)2(48
1
149
)2(49
1
66
Loại IV : Tính nguyên hàm : dx
xx
xP
I nn
)()(
)(
Xét đồng nhất thức :
m
m
n
n
mn
x
B
x
B
x
B
x
A
x
A
x
A
xx
xP
)(
...
)()(
...
)()()(
)(
2
21
2
21
dx
xx
xP
I mn
)()(
)(
dx
x
B
dx
x
B
dx
x
B
dx
x
A
dx
x
A
dx
x
A
m
m
n
n
)(
...
)()(
...
)( 2
21
2
21
C
xm
B
x
BxB
xn
A
x
AxA m
m
n
n
121121
)(
1
1
...
1
ln
)(
1
1
...
1
ln
15. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 www.toanhocdanang.com
II. KỸ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU
Công thức tổng quát :
dx
xv
bxu
dx
xv
axu
ba
dx
xv
bxuaxu
ba
dx
xv )(
)(
)(
)(1
)(
)()(1
)(
1
Chú ý : Việc chọn u(x) và a, b phải đảm bảo được hai tích phân sinh ra đơn giản , dể tích hơn
tích phân đầu.
Các trường hợp thường gặp :
C
ax
bx
ba
dx
ax
dx
bxba
dx
bxax
bxax
ba
dx
bxax
ln
1111
))((
)()(1
))((
1
dx
bxax
bx
b
a
ax
ab
b
dx
bxax
x
))((
)()(
))((
Cax
b
a
bx
ba
dx
axb
a
dx
bxab
b
lnln
111
dx
baxx
adx
bxaxb
dx
bxax
xabxa
b
dx
bxax nkkmnkmnkm
kk
nkm
)(
1
).(
11
).(
.).(1
).(
1
1
III. KỸ THUẬT CHỐNG NHỊ THỨC
Dạng : I =
dxdcxbax
dcx
bax
xf mh
m
n
).()(,
)(
)(
,
Dùng các phép biến đổi đại số để đưa về dạng
dx
dcxdcx
bax
xf 2
)(
1
.,
Đặt
act
bdt
x
dx
dcx
cbad
dt
dcx
bax
t
2
)(
I =
dtt
act
bdt
f
cbad
,
1
Các trường hợp thường gặp :
1.
C
bx
ax
abbx
ax
d
bx
axab
dx
bx
ab
bx
axab
dx
bxax
I
ln
11111
))((
1
21
2.
bx
ax
d
bx
ax
bx
ab
dx
bx
ab
bx
ax
bx
ab
dx
bxax
I
)(1)(1
))((
1
22
Đặt
2
1
2
t
ab
bx
bx
ax
dtdt
bx
ax
t C
bxax
bxax
C
t
t
dt
t
I
ln
1
1
ln
1
1
2 22
16. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 www.toanhocdanang.com
Bình luận :
Ta có thể thực hiện thao tác trên cho tích phân có dạng
dx
xbax
I
))((
1
3
Với I2 ta còn cách giải khác là : Đặt bxaxt nhưng không thể áp dụng cách này cho I3
VI. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KIỂU ĐỐI XỨNG
Dạng : dx
xg
xf
)(
)(
2
2
(Hoặc f và g là các đa thức có hệ số đối xứng)
Phương pháp :
Rút gọn phân thức (nếu có) sau đó chia tử và mẫu cho x2
để đưa về một trong 2 dạng :
dx
x
x
xQ
x
xP
2
1
1
1
1
hoặc
dx
x
x
xQ
x
xP
2
1
1
1
1
Dạng 1: Với tích phân có dạng
dx
x
x
xQ
x
xP
I 2
1
1
1
1
Đặt : dx
x
dx
x
xdt
x
xt
2
1
1
11
Khi đó : dt
tQ
tP
I
)(
)(
là tích phân đơn giản hơn tích phân đề
Dạng 2: Với tích phân có dạng
dx
x
x
xQ
x
xP
I 2
1
1
1
1
Đặt : dx
x
dx
x
xdt
x
xt
2
1
1
11
Khi đó : dt
tQ
tP
I
)(
)(
là tích phân đơn giản hơn tích phân đề
17. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 www.toanhocdanang.com
Bài tập áp dụng :
1.
dx
xx
x
232
1
3
2
2.
dx
xx )3(
1
2
3.
1
0 2
2
252
4
dx
xx
xx
4.
dx
xxx
xx
)315)(1(
210
3
2
5.
3
2 3
2
)1(
1
dx
x
xx
6. 310
)1(xx
dx
7.
1
0 2
2
1
)1(
dx
x
x
8.
1
0 24
34
1
dx
xx
9.
2
1 5
5
)1(
1
dx
xx
x
10.
2
0 42
)4(
1
dx
x
11.
3
1 26
)1(
1
dx
xx
12. xx
dx
53 50
13. 250
)72( xx
dx
14.
2
1 8
5
1
dx
x
xx
15.
dx
x
x
6
4
)1(
)73(
16.
dx
x
x
10
7
)1(
)3(
17. 35
)1()2( xx
dx
18. 43
)43()12( xx
dx
19. dx
x
x
1
1
4
2
20. dx
x 1
1
4 21. dx
xx 45
)14()23(
1
22. dx
x
x
1
1
4
2
23.
dx
xxx
xx
144 246
3
24. dx
xx 1
1
24 25. dx
x
x
1
1
6
4
26. dx
xxxx
x
1545
1
234
2
27.
2
51
1 24
2
1
1
dx
xx
x
28.
dx
x
x
10
2
)32(
29.
)13)(15(
)1(
22
2
xxxx
dxx
30. dx
x
x
10072
2011
)1(
31. 59
3xx
dx
32.
ln5
ln3
2 3x x
dx
e e
18. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 18 www.toanhocdanang.com
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Công thức nguyên hàm cớ bản :
Cbax
a
dxbax )cos(
1
)sin( Cbax
a
dxbax )sin(
1
)cos(
Cbax
a
dx
bax
dxbax
)tan(
1
)(cos
1
1)(tan 2
2
Cbax
a
dx
bax
dxbax
)cot(
1
)(sin
1
1)(cot 2
2
Cbax
a
baxd
baxa
dx
bax
bax
a
dxbax
)cos(ln
1
)cos(
)cos(
11
)cos(
')cos(1
)tan(
Cbax
a
baxd
baxa
dx
bax
bax
a
dxbax
)sin(ln
1
)sin(
)sin(
11
)sin(
')sin(1
)cot(
Các tích phân sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm cớ bản :
dxnmxbaxf )cos(;)sin( { Trong đó cos)(sin,f không chứa sin, cos ở trong căn và
dưới mẫu và không nằm trong hàm hợp}
Khi đó ta cần sử dụng 2 loại công thức (hạ bậc , tích thành tổng) cho đến khi sin, cos đều ở
dạng bậc 1 và không có dạng tích thì ta sử dụng các công thức trong bảng nguyên hàm.
Ví dụ :
xdx
xxx
xdxxxdxxx 5sin
2
2cos1
.
4
cos33cos
5sincoscos.5sin.cos 235
dxxxxxxxdxxxx 2sin54sin106sin108sin510sin
32
1
5sincos53cos
2
5
5cos
2
1
8
1
Cxxxxx
2cos
2
5
4cos
2
5
6cos
3
5
8cos
8
5
10cos
10
1
32
1
Các phương pháp đặt ẩn phụ của tích phân lượng giác cơ bản :
Dạng 1 : dxxxfI )cos,(sin1 {Trong đó : )cos,(sin)cos,sin( xxfxxf }
Khi đó dùng các phép biến đổi lượng giác để biến I1 về dạng : dxxxgI sin).(cos1
Đặt xdxdtxt sincos dttgI ).(1
19. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 www.toanhocdanang.com
Dạng 2 : dxxxfI )cos,(sin1 {Trong đó : )cos,(sin)cos,(sin xxfxxf }
Khi đó dùng các phép biến đổi lượng giác để biến I1 về dạng : dxxxgI cos).(sin1
Đặt xdxdtxt cossin dttgI ).(1
Dạng 3 : dxxxfI )cos,(sin1 {Trong đó : )cos,(sin)cos,sin( xxfxxf (
*)
}
Khi đó dùng các phép biến đổi lượng giác để biến I1 về dạng :
dx
x
xgI 21
cos
1
).(tan
Đặt dx
x
dtxt 2
cos
1
tan dttgI ).(1
Chú ý :
Ta có thể đặt xt cot nếu I1 dể biến đổi được về dạng dx
x
xg 2
sin
1
).(cot
Với bài toán chứa căn đôi khi không cần thỏa (*) ta cũng có thể giải bằng phương pháp đặt
xt tan hoặc xt cot
Bình luận : Ở bài trên ta có thể giải bằng cách khác đơn giản hơn :
Đặt : dx
x
x
tdt
x
t 22
cos
tan
1
cos
1
CxCtdttdt
t
I 2tan
1 2
Dạng 4 :
dx
x
x
xx
xxxxxxfI
)
4
cos(
)
4
sin(
cossin
cossin;)
4
cos(,)
4
sin(,cossin1
Dùng công thức
)
4
cos(2sincos
)
4
sin(2cossin
xxx
xxx
để đưa tích phân về dạng :
dxxxxxxxgI )sin.(coscossin;cossin1
Đặt :
2
1
cos.sin
)sin(cos
cossin 2
t
xx
dxxxdt
xxt
dt
t
tgI .
2
1
;
2
1
20. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 www.toanhocdanang.com
Dạng 5 : Phương pháp hữu tỷ hóa tích phân lượng giác.
dxxxfI )cos,(sin1
Đặt : dt
t
dxdx
x
dx
x
dt
x
t
1
2
1
2
tan
2
1
2
cos2
1
2
tan 2
2
2
2
2
2
1
1
cos;
1
2
sin
t
t
x
t
t
x
dx
tt
t
t
t
fI
1
2
).
1
1
,
1
2
( 22
2
21
Trường hợp riêng :
dx
x
I n
sin
1
1 Đặt : dt
t
dx
x
t
1
2
2
tan 2
và
1
2
sin 2
t
t
x
dttCdt
t
tC
dt
t
t
dt
tt
t
I
n
k
nkk
nnn
n
k
kk
n
nn
n
nnn
n 1
0
2
11
1
0
2
1
1
12
12
2
1
2
1
2
11
2
1
1
2
2
1
Sử dụng công thức :
1ln
1
1
1
khiCx
khiC
x
dxx
dx
x
I n
cos
1
2 Đặt : dxdtxt
2
dt
t
dx
x
I n
n sin
1
)
2
(cos
1
2
Giải tương tự I1
dx
x
xdx
xx
dx
x
I
n
n
n 2
2
22222
cos
1
.1tan
cos
1
.
cos
1
cos
1
Đặt : dx
x
dtxt 2
cos
1
tan dttI n
.)1( 2
3
21. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 www.toanhocdanang.com
KỶ THUẬT ĐỒNG NHẤT THỨC TRONG TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Dạng cơ bản :
Dạng 1:
dx
bxax
I
)sin()sin(
1
dx
bxax
bxaxbxax
ba
dx
bxax
bxax
ba
I
)sin()sin(
)sin()cos()cos()sin(
)sin(
1
)sin()sin(
)()(sin
)sin(
1
C
ax
bx
baax
axd
bx
bxd
ba
)sin(
)sin(
ln
)sin(
1
)sin(
)sin(
)sin(
)sin(
)sin(
1
Bình luận : Bằng phép biến đổi tương tự như trên ta có thể giải các dạng tương tự sau :
...
)cos()cos(
)()(sin
)sin(
1
)cos()cos(
1
1 dx
bxax
bxax
ba
dx
bxax
I
dx
bx
bx
ax
ax
ba
dx
bxax
bxax
ba
dx
bxax
I
)cos(
)sin(
)sin(
)cos(
)sin(
1
)cos()sin(
)()(cos
)sin(
1
)cos()sin(
1
2
Dạng 2:
xbxa
dx
I
cossin
C1:
dx
xxba
dx
xxbaxba
I
2
cos
2
tan2
11
2
cos
2
sin2
11
)sin(
11
2
222222
C
x
bax
x
d
ba
2
tanln
1
2
tan
2
tan
1
2222
C2:
dx
x
x
baxba
I
)(sin
)sin(1
)sin(
11
22222
C
x
x
bax
xd
ba
1)cos(
1)cos(
ln
2
1
)(cos1
)sin(1
22222
Bình luận : Ngoài rat a còn có cách giải khác là đặt
2
tan
x
t
Loại I : Tính nguyên hàm :
dx
xnxm
xbxa
cos.sin.
cos.sin.
Xét đồng nhất thức : )'cos.sin.()cos.sin.(cos.sin. xnxmxnxmxbxa
)sin.cos.()cos.sin.( xnxmxnxm
2222
;
nm
anbm
nm
bnam
bmn
anm
22. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 22 www.toanhocdanang.com
Loại II : Tính nguyên hàm :
dx
pxnxm
cxbxa
cos.sin.
cos.sin.
Xét đồng nhất thức: )'cos.sin.()cos.sin.(cos.sin. pxnxmpxnxmcxbxa
)sin.cos.()cos.sin.( xnxmpxnxm
p
nm
bnam
c
nm
anbm
nm
bnam
cp
bmn
anm
222222
;;
Loại III : Tính nguyên hàm :
dx
xnxm
xbxa
I k
)cos.sin.(
cos.sin.
3
Xét đồng nhất thức : )'cos.sin.()cos.sin.(cos.sin. xnxmxnxmxbxa
)sin.cos.()cos.sin.( xnxmxnxm
2222
;
nm
anbm
nm
bnam
bmn
anm
bakk
II
xnxm
xnxmd
dx
xnxm
I
)cossin(
)cossin(
)cossin(
1
13
Giải Ia : Nếu k – 1 là số chẳn ta đặt xt tan .
Nếu k – 1 là số lẻ ta đặt
2
tan
x
t
Giải Ib : Nếu k =1 thì CxnxmIb cossinln
Nếu 1k thì
C
k
xnxm
I
k
b
1
cossin
1
Bài tập áp dụng :
1.
2
3
2
)cos1(
cos
dx
x
x
2.
2
0 2
cos1
4sin
dx
x
x
3.
dx
xcos1
1
4. 3
0
3
coscos
sin
dx
xx
x
5.
dx
x
xx
2cos
sinsin 3
6.
4
0 2sin1
sin
dx
x
x
7.
3
4
22
cossin
1
dx
xx
8. dx
x6
cos
1
9.
dx
x
x
cos1
sin4 4
23. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 23 www.toanhocdanang.com
10. dx
xx 3
cossin
1
11.
dx
xx sin22sin
1
12.
2
0 2cos
x
dx
13.
2
0
cos31
sin2sin
dx
x
xx
14. xx
dx
cossin
15.
dx
x
x
2sin2
sin
16.
dx
xx
xx
cossin
cossin
17. xdxx 24
cossin 18.
dx
xtan1
1
19.
dx
xx
xx
cos4sin3
cos3sin2
20. x
dxx
2cos42
.cos
21.
dx
xx
x
3
)cos(sin
sin4
22.
dx
xx
xx
22
cos4sin3
cos4sin3
23. 3sin5cos3 xx
dx
24. dxx
4
tan
25.
dxx
x
xx
.cot.
sin
sinsin
3
3 3
26. dx
xx 53
cossin
1
27. dx
xx4 53
cossin
1
28.
dx
xx cossin2
1
29.
dx
xx
x
cos3sin
cos2
30.
2
2 2cos
1cos
dx
x
x
31.
2
0 cos31
sin1
dx
x
x
32.
2
0 1cossin
sin
dx
xx
x
33.
3
6
2
sincos
xx
dx
34. dx
x
xx
3
0 5
8
cos
1cos.5sin
35.
dx
xx
xx
5sin4cos3
1cos2sin3
36.
dx
xx 3cos5sin2
1
37.
2
0 cos31
sin1
dx
x
x
38.
2
2 2cos
1cos
dx
x
x
39.
2
0 cos1
cos1
dx
x
x
40.
2
0 1cossin
.cos
xx
dxx
41. dx
xxx
x
4
0 )cos(sin22sin
4
sin
42.
4
0 3
)2cos(sin
2cos
dx
xx
x
43.
3
4 2sin3
sincos
dx
x
xx
44.
4
0
44
cossin
cossin
dx
xx
xx
45.
4
0 2sin1
sin
dx
x
x
24. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 24 www.toanhocdanang.com
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN VÔ TỶ (CHỨA CĂN)
dxxxfI n
))(,(1
Cách 1 : Đặt : n xt )(
Nhận xét : Để đặt được
n xt )( ta cần thực hiện việc kiểm tra các bước như sau :
Kiểm tra xem trong I1 có chứa dxx)(' . Nếu chưa có ta cần phải nhân, chia thêm lượng
)(' x (chú ý: baxx ,,0)(' - đoạn cận của tích phân)
Sau khi nhân, chia cho )(' x ta cần kiểm tra phần dư ra có thể thay t vào được không.
dxxxxgI n
)('))(,(1
Đặt :
)(
)('
)()(
1
tx
dxxdtnt
xtxt
n
nn
dxtttgnI n
1
1 )),((.
Trường hợp riêng :
Với dạng dxbaxxf ),( ta luôn giải được bằng cách đặt baxt
Với một số tích phân ta không thể đặt m n
baxt thì ta thử đặt m
n
x
b
at (Chú ý với
thao tác này thì tích phân không được xét trên đoạn cận có chứa số 0)
Với các tích phân có chứa căn thức của tích hoặc thương hai nhị thức (mx + n) thì ta dùng
phép biến đổi đại số để đưa về dạng
dx
dcxdcx
bax
xf 2
)(
1
., . Sau đó đặt
act
dtb
x
dx
dcx
dt
bcad
t
dcx
bax
t
dcx
bax
t
2
2
2
2 )(
12
dxxxxxf knnn
)(')(,...,)(,)( 21
.
Đặt : )(xtm
{trong đó m = BSCNN(n1, n2, …, nk)}
dx
cbxax2
1
biến đổi về dạng
dt
mt2
1
Bằng cách đặt mttu 2
ta có:
Cmttdt
mt
2
2
ln
1
dx
cbxaxnmx 2
)(
1
Đặt
t
nmx
1
để chuyển về dạng:
dx
tt 2
1
baxnmx
dx
22
)(
Đặt baxxt 2
.
25. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 25 www.toanhocdanang.com
Bài tập áp dụng :
1.
3
1 7
1
dx
x
xx
2.
4
2
7 9
dx
I
x x
3.
2 3
2
5
dx
I .
x x 4
4. dx
x
x
I
2
0 5
4
1
5.
1
0
25
1 dxxxI 6.
/ 2
0
sin2x sin x
I dx
1 3cosx
7.
e
1
1 3ln x ln x
I dx.
x
8.
2
1 1 1
xdx
I
x
9.
16
2
4
1 1
dx
I
x x
10.
1
5
2 4
4
0
1I x x dx 11. dx
xx
I
63
0 3
11
1
12. 16 2
1 1 ln
e
I
dx
x x
13.
2 3
5 2
5 4
dx
I
x x
14.
7 3
6 3 2
0 1
x dx
I
x
15.
2
7 3
1 1
dx
I
x x
16.
1
0
2
1
dx
e
e
x
x
17.
2ln
0
.1 dxex
18.
2
2 2
10
1
1I x x dx
19.
3
2
11
2
1I x dx 20.
3 2
12 2
1
1 x dx
I
x
21.
5 33
13 2
0
2
1
I
x x
dx
x
22.
3 2
15
1
ln
ln 1
e x
I dx
x x
23. dx
x
I
3
2 2
1
1
23.
3
1 2
2
4
1
dx
xx
I
25. dx
x
xx
I
2
1 4
3 3
3 26. dx
x
x
I
1
2
1 34
1
27.
2
1 2
5
134
52
dx
xx
x
I
28.
3
4
2
cos1cos
tan
dx
xx
x
29.
1
0
dx
ee
e
xx
x
30. 2
0
56 3
cossincos1
xdxxx
31.
6
4
5
2
1
.
2
4
dx
xx
x
I 32.
dx
xx
x 1
.
1
1
33.
2
0
)2)(1(
1
dx
xx
34. dx
xx
33 3
.2
1
35. dx
xx
24
1.
1
36. dx
x
x
3
11
11
26. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 26 www.toanhocdanang.com
37. dx
x
x
x
x
x
5
3
2
2
1
1
1
1
1
1 38.
dx
xx
x
3 2
1
39. 23
1)1( xx
xdx
40.
3
2 2
22)1( xxx
dx
41.
2
1 2
13)32( xxx
dx
42.
1
0 2
54
4
dx
xx
x
43.
1
0 2
4)52(
76
dx
xxx
x
44.
1
0 2
22)1(
32
dx
xxx
x
45.
dx
xx
x
2
469
118
46. dx
xx
3
2 22
3)2(
1
47.
3
2 22
563)42(
)34(
xxxx
dxx
48. dx
x
x
2
1 2
2
2
5
Cách 2 : Dùng các công thức để biến đổi biểu thức trong căn về dạng lủy thức theo bậc của căn .
dxxxfdxxxfdxxxfI n nn
))(,())(,())(,(1
Thông thường tích phân loại này thì biểu thức trong căn là hàm lượng giác (khi đó công thức lượng
giác thường dùng là công thức nhân đôi nhân ba)
Các công thức thường dùng :
2
222
)
4
sin(2)
2
cos
2
(sin
2
cos
2
cos
2
sin2
2
sin
2
2sin1sin1
x
xxxxxxx
x
2
2
2
cos211
2
cos21
2
2cos1cos
xxx
x
2
2
2
sin2)
2
sin21(1
2
2cos1cos1
xxx
x
22222
)cot(tancot.tan2cottan2cottan xxxxxxxx
Bài tập áp dụng :
1. 3
6
22
.2cottan
dxxx 2. dxx 4
3
4
12cos
3. dxx
2
0
sin1 4.
2
2
3
coscos.cos
dxxxx
Cách 3 : Dùng các phép biến đổi đại số để tách thành nhiều tích phân để có thể sử dụng trực tiếp
công thức nguyên hàm .
27. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 27 www.toanhocdanang.com
dxbxabxadxxxfI mnn )..())(,( 1111
Sử dụng công thức nguyên hàm :
Cbax
na
n
Cbax
n
n
a
dxbaxdxbax nn
n
n
n
n
1
11
)(
)1(1
1
..
Phép biến đổi đại số thường dùng : Nhân liên hợp
Chú ý : Khi nhân liên hợp cần phải để ý đại lương liên hợp phải khác 0 khi biến chạy trên
cả đoạn tích phân
Cách 4 : Phép lượng giác hóa tích phân vô tỷ :
Dạng 1: dxxaxfI ),( 22
1
Đặt : tax sin. tdtadx cos Điều kiện :
2
,
2
t
tatataxa coscos)sin1( 222222
dttatatafI .cos)cos,sin(1
Dạng 2: dxaxxfI ),( 22
2
Đặt :
t
a
x
cos
dt
t
ta
dx 2
cos
sin
Điều kiện :
2
3
,
2
,0
t
tata
t
aax tantan)1
cos
1
( 22
2
222
dt
t
ta
ta
t
a
fI .
cos
sin
)tan,
cos
( 22
Dạng 3: dxaxxfI ),( 22
3
Đặt : dttadt
t
a
dxtax )1(tan
cos
tan 2
2
Điều kiện :
2
,0
t
t
a
t
ataxa
cos
1
cos
1
)1(tan 2
22222
28. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 28 www.toanhocdanang.com
dt
t
a
t
atafI .
cos
)
cos
1
,tan( 23
Dạng 4:
dx
xa
xa
xfI ),(4
Đặt : dttadxtax .2sin22cos Điều kiện :
2
,0
t
t
t
t
t
t
t
xa
xa
sin
cos
sin
cos
2cos1
2cos1
2
2
dtta
t
t
atafI .2sin2)
sin
cos
,2cos(4
Bài tập áp dụng :
1.
1
2
1 3
32
)1(
dx
x
x
2. 2
3
0
22
.3)3( dxxx 3.
2
1
0 52
2
)1(
dx
x
x
4.
21
31 22
23)1(
dx
xxx
x
5.
1
0 22
4)4(
1
dx
xx
6.
2
2 2
1
1
dx
xx
7.
23
1 322
)54()2(
1
dx
xxx
8.
8
4
2
16
dx
x
x
9. dx
x
x
1
3
1 8
52
)1(
10.
2222
22
2
2
1` 2
2
xx
dx
xxx
xxx
11. dx
x
x
2/3
2/3 2
2
29
12. dx
x
x
.
1
12
1
0
13. dx
x
xx
1
3
1 3
22
1)1(
14.
2
3
0
2
3
3
dx
x
x
x 15. dx
x
x
.
5
52
5
0
16.
1
0 22
2
1)1(
dx
xx
x
17.
1
0
3
2
2
dx
x
x
x
29. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 29 www.toanhocdanang.com
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I. Công thức tích phân từng phần :
Cho u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục trên miền D, khi đó ta có :
udvudvuvudvudvuvdvduudvuvd )()(
Từ đó ta có các công thức sau:
Công thức nguyên hàm từng phần : vduuvudv
Công thức tích phân từng phần :
b
a
b
a
vdu
a
b
uvudv
Nhận dạng : hàm số dưới dấu tích phân thường là tích của hai loại hàm khác nhau.
Chú ý : khi thực hiện thao tác tích phân từng phần ta phải để ý đến các chú ý sau :
Chọn biểu thức u sao cho du dơn giản.
Chọn dv sao cho dv đơn giản
Tích phân kết quả
b
a
vdu phải đơn giản hơn tích phân ban đầu
b
a
udv
Mục đích :
Hường 1: Nếu tích phân có dạng dxxxfI k
)(ln)(1 (hoặc dxxfxPI )()(2 )
{trong đó )(xP là một đa thức theo biến x và )(xf là một hàm tùy ý theo biến x}
Thì mục đích tích phân từng phần là khử )(ln xk
ở tích phân I1 bằng cách chọn
)(ln xu k
(hoặc khử )(xP ở tích phân I2 bằng cách chọn )(xPu )
Khi đó số bậc của ln (hoặc của P(x) )là số lần lấy tích phân từng phần
Hường 2 : thực hiện tích phân từng phần ít nhất hai lần để trở về lại tích phân I ban đầu
khi đó ta có được phương trình sau :
a
m
ImaIaaImI
1
)1(1
{Hường 2 thường được sử dụng khi cả hai loại hàm số dưới dấu tích phân
không thể mất di khi thực hiên đạo hàm mọi cấp }
30. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 30 www.toanhocdanang.com
Các dạng tích phân từng phần cơ bản :
Dạng 1:
bax
bax
bax
bax
m
e
dxbax
bax
dv
xPu
dx
m
e
bax
bax
xP )cos(
)sin(
)(
)cos(
)sin(
).(
Với P(x) là một đa thức
Dạng 2:
dxxfdv
bax
bax
u
dx
bax
bax
xf m
m
)(
)(log
)ln(
)(log
)ln(
)(
Dạng 3: Tích phân từng phân luân hồi (Biến đổi tích phân về dạng I = m – aI
1
a
m
I )
Loại 1:
dxxdv
x
x
x
x
u
dx
x
x
x
x
x
m
xa
a
xa
a
m
)cos(log
)sin(log
)cos(ln
)sin(ln
)cos(log
)sin(log
)cos(ln
)sin(ln
Loại 2:
dxnmx
dxnmx
dv
k
e
u
dxnmxk
dxnmxk
dxnmxe
dxnmxe
bax
bax
bax
bax
bax
bax
)cos(
)sin(
)cos(
)sin(
)cos(
)sin(
Bài tập áp dụng :
1. xdxx cos3
2. xdxx 23
cos 3.
dxex x 153
4.
4
0
2
sin
dxxx
5.
1
0
2
)1ln( dxxx 6.
1
0 2
2
1
)1ln(
dx
x
xxx
7.
e
xdxx
1
22
ln 8.
2
1
0 1
1
ln dx
x
x
x
9.
1
0 2
2
1
)1ln(
dx
xx
xxx
10.
1
0
2
)1ln( dxxxx 11.
3
1 22
)1(
ln
x
xdxx
12.
0
1
1)1(
1ln
xx
dxx
31. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 31 www.toanhocdanang.com
13.
3
1 2
)1(
ln3
dx
x
x
14. dxxx )sin(ln2
15.
0
22
sin xdxe x
16.
dxe
x
x x
cos1
sin1
17. 2
0
3sin
cossin
2
xdxxe x
18.
dx
x
x
cos1
19.
dx
x
x
cos1
20.
dx
x
x
sin1
21. 2
3
)cos1ln(cos
dxxx 22.
3
4
)ln(tansin
dxxx 23.
4
0 cos1
sin
dx
x
xx
24. 4 2
sin1
cos
tan
o
dxx
x
x
25.
3
0 2
2
cossin
dx
xxx
x
26.
e
xdx
x
x
1
ln
3
2 27.
dx
x
xxee xx
ln
28.
dxe
x
xx x
2
2
1
1
29.
dxe
x
x x
x
1
12
3
)1(
114
30.
dxe
x
xx x
xx
1
1
3
3
2
)1(
)2(
MỘT SỐ TÍCH PHÂN CÓ ĐẶC BIỆT
Dạng I :
a
a
dxxfI )(1
Nếu f(x) là hàm số chẵn vá liên tục trên đoạn aa , thì :
a
dxxfI
0
1 )(2
Nếu f(x) là hàm số lẻ vá liên tục trên đoạn aa , thì : 01 I
Dạng II:
aa
a x
dxxfdx
b
xf
I
0
2 )(
1
)(
(với f(x) là hàm số chẵn và lien tục trên aa , )
Dạng III:
2
0
2
2
0
)sin,(cos)cos,(sin
dtttfdxxxfI
xt
Dạng III:
000
)(sin
2
)(sin)()(sin dxxfIdttftdxxxfI
xt
Dạng IV:
2
0
2
0
22
0
)cos,(sin)cos,(sin)2()cos,(sin dxxxfIdtttftdxxxxfI
xt
Bài tập áp dụng :
1. dxxxx
1
1
22
1sin 2.
1
1
2010
2
1ln dxxx
3. dx
xxx
xxxx
xx
x 3
24
35
1
1 44
4
cos1
sin
cossin
sin
4.
dx
xx
1
1 2
112
1
5.
2
2
1
5cos2sinsin
dx
e
xxx
x
6.
1
1 2
2
11
)1ln(
dx
xe
xxx
x
7.
1
1
22
1
)1ln(
dx
e
xx
x
8.
2
2
2
1
cos
dx
e
xx
x
9.
dx
xxx
x
12
cossin 88
10. 2
0
)ln(tan
dxx 11.
0
3 7cos
3sin
5sin
xdx
x
x
32. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 32 www.toanhocdanang.com
33. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 33 www.toanhocdanang.com
34. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 34 www.toanhocdanang.com
35. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 35 www.toanhocdanang.com
36. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 36 www.toanhocdanang.com
37. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 37 www.toanhocdanang.com
38. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 38 www.toanhocdanang.com
39. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 39 www.toanhocdanang.com
40. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 40 www.toanhocdanang.com
41. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 41 www.toanhocdanang.com
42. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 42 www.toanhocdanang.com
43. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 43 www.toanhocdanang.com
BÀI TẬP ÔN TẬP
1. I x x x x dx
2
4 4 6 6
0
(sin cos )(sin cos )
2.
x
I dx
x
4
0
2 1
1 2 1
3. x
I e x x dx
22
sin 3
0
.sin .cos .
4.
1
0
1
2 ln 1
1
x
I x x dx
x
5.
2
2
6
1
sin sin
2
x x dx 6.
6
2 2 1 4 1
dx
I
x x
7. 2
1
ln
3 ln
1 ln
e
x
I x x dx
x x
8.
2
2
0
( sin )cos
I x x xdx 9.
xx
dx
I 53
cos.sin
10.
1
2
0
ln( 1) I x x x dx 11.
2
3
0
sin
(sin cos )
xdx
I
x x
12.
1
3 2
0
1 I x x dx
13. J =
1
1
( ln )
e x
x
xe
dx
x e x
14.
2
0
1 sin
.
1 cos
xx
e dx
x
15.
2
cos
0
sin .sin 2
x
I e x xdx
16.
6
2 2 1 4 1
dx
I
x x
17.
3
6 2
1
(1 )
dx
x x
18.
1
2
ln
e
I x xdx
x
19.
4
3
4
1
1
( 1) dx
x x
20.
2
ln .ln
e
e
dx
x x ex
21.
4
2
0
2
1 tan
x
x e
e x dx
x
22.
2
0
1 sin 2
I x xdx 23.
2
3
0
7sin 5cos
(sin cos )
x x
dx
x x
24.
4
0
cos sin
3 sin 2
x x
I dx
x
25.
x
x x
e
dx
e e
ln6 2
ln4 6 5
26. x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4
27.
x
dx
x
8
2
3
1
1
28.
x
dx
x x
2 2
2
1 7 12
29.
2 2
6
1
sin sin .
2
x x dx 30. x x dx
2
3 2
0
(cos 1)cos .
31. Tìm nguyên hàm của hàm số
x
f x
x
2
4
1
( )
2 1
. 32.
x
I dx
x
8
3
ln
1
33.
6
0
sin
cos2
x
dx
x
34.
3
2
2
1
log
1 3ln
e
x
I dx
x x
35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
x x x
f x
x
2 3
2
ln( 1)
( )
1
36.
1
0 1
1
dx
x
x
37. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
x x x x
f x
x x
4 3 2
2
4 8 8 5
( )
2 2
44. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 44 www.toanhocdanang.com
38.
x
I dx
x x
4
2
4
sin
1
39 .
2
4 4
0
cos2 sin cosI x x x dx
40.
3
2
2
1
2
1
dx
A
x x
41.
2
0
2
6sin5sin
cos
dx
xx
x
I 42.
4
0
3
)2cos(sin
2cos
dx
xx
x
43.
0
I x(1 cosx)dx
44.
2
4 4
0
cos2 sin cosI x x x dx
45.
/2 2
/6
sin
sin3
x
B dx
x
46.
3 2
0
2 1
1
x x
I dx
x
47.
3
2
3
x sin x
I dx.
cos x
48.
2xln 3
x x
ln 2
e dx
I
e 1 e 2
49.
5
1
2
13
1
dx
xx
x
I 50.
2
3
0
sinxdx
sinx + 3 osxc
51.
6 64
x
4
sin x cos x
dx
6 1
52.
4
2 4
0
sin 4x
I dx
cos x. tan x 1
53.
4
0
sin
4
sin 2 2(sin cos ) 2
x dx
x x x
54. I =
12
1
2
1
( 1 )
x
x
x e dx
x
. 55. I
4
0
2
211
1
dx
x
x
56.
2ln3
0
23
)2( x
e
dx
I 57.
1
3
0
ln 1
2
x
dx
x
58.
2
4
2009
cos sinx sin
dx
x x
59.
0
3 2 2 2
1
. 1 4 4x x x x x dx
60.
2
2 2
0
sin
3sin 4
x
dx
x cos x
61.
1
1-
32
2
dx
)x-(4
x
62.
1
2
0
ln(1 )I x x dx 63.
1
3 33
0
dx
I
(1 x ). 1 x
64.
2
2 2
0
cos .cos 2 .I x x dx
65.
2
2
0
)]4ln()2([ dxxxxI 66.
1
0 2
2
)2(
dx
x
ex
I
x
67.
2
3
0
sin
1 cos2
x x
I dx
x
68.
3
2
0
sin .I x tgxdx
69.
2 2
3
1
1
.
x
I dx
x x
70.
2
1
2
2
4
dx
x
x
I 71.
4
2
0
2
1 tan
x
x e
e x dx
x
72.
3
2
2
1
2
1
dx
A
x x
73.
8
15 1
dx
x x
73.
1
2
1
3 33
11 xx
dx
74.
2
2 2
0
cos .cos 2 .I x x dx
45. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 45 www.toanhocdanang.com
75. 3
4
42
cos.sin
xx
dx
76.
2
2
0
)]4ln()2([ dxxxxI 77.
221
3
2
1
12
dx
x
xx
78.
4/
0
2
)cos(sin
cos3sin
dx
xx
xx
I 79.
2
3
0
sin
1 cos2
x x
I dx
x
80.
3
2
0
sin .I x tgxdx
81.
dx
x
x
12cos
12cos
82.
2 2
3
1
1
.
x
I dx
x x
83.
2
1
2
2
4
dx
x
x
I 84.
3
2 3sinx-cosx
dx
I
85.
ln5
ln 2 (17 1) 1x x
dx
I
e e
86.
4
0
2
211
1
dx
x
x
87.
ln 2 3 2
3 2
0
2 1
1
x x
x x x
e e
dx
e e e
88.
2
3
2
1
ln( 1)x
I dx
x
89.
1
2
1 1 1
dx
x x
90.
2ln3
0
23
)2( x
e
dx
I 91.
4
2 3x
4
dx
I
cos x 1 e
92.
3
1 4
2
0
( )
1
x x
x e dx
x
93. 24
0
( sin 2 )cos2x x xdx
94. dx
x
xxe
1
3 2
ln2ln
95. Tính diện tích của miền phẳng giới hạn bởi các đường
2
| 4 |y x x và 2y x .
96. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x.sin2x, y=2x, x=
2
.
97. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
e 1 , trục hoành và hai đường thẳng x = ln3,
x = ln8.
98. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
1
0, , x,
2
x x O và đường cong
4
1
x
y
x
.
99. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
x
2
xe
y 0, y ,x 1
x 1
.
100. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường : 2
: 4 3P y x x và hai tiếp tuyến của (P) tại hai điểm
0 ; 3 , 3 ; 0A B
101. Tính thể tích khối tròn xoay do miền phẳng : y = 0; y = 2x ; y = 8 x quay một vòng quanh Ox
102. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn đồ thị (C) của hàm sô y = x3
– 2x2
+ x + 4 và tiếp tuyến của (C) tại điểm có
hoành độ x0 = 0. Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh
trục Ox.
103. Cho parabol (P): y = x2
. Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2. Gọi (H) là hình giới hạn
bởi (P), (d) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) khi quay quanh trục Ox.