Bài tập trụ nón cầu truonghocso.com

http://www.vnmath.com Trụ-Nón-Cầu
Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu
Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông
OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b)Tính thể tích của khối nón
A HD: a) * Sxq = π Rl = π .OB.AB = 15 π
Tính: AB = 5 ( ∆ ∨ AOB tại O)
* Stp = Sxq + Sđáy = 15 π + 9 π = 24 π
4
1 2 1 1
b) V = πR h = π.OB2 .OA = π.32.4 = 12 π
B
3 3 3
O 3

Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
b) Tính thể tích của khối nón

HD: a) * Sxq = π Rl = π .OB.SB = 2 π a2
S
* Stp = Sxq + Sđáy = 2 π a2 + π a2 = 23 π a2

1 2 1 1 πa 3 3
b) V = πR h = π.OB2 .SO = π.a 2 .a 3 =
2a 3 3 3 3
2a 3
A B
Tính: SO = =a 3
2
(vì SO là đường cao của ∆ SAB đều cạnh 2a)

Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.

∧ ∧
S
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên A = B =
450
* Sxq = π Rl = π .OA.SA = π a2 2
Tính: SA = a 2 ; OA = a ( ∆ ∨ SOA tại O)
45
A B
* Stp = Sxq + Sđáy = π a2 2 + π a2 = (1 + 2 ) π a2
1 2 1 1 πa 3
b) V = πR h = π.OA 2 .SO = π.a 2 .a =
3 3 3 3

-1-

Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông.

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên
∧ ∧
S A = B = 450
l πl2
* Sxq = π Rl = π .OA.SA = π . .l =
2 2
l l
Tính: OA = ( ∆ ∨ SOA tại O)
2
45 πl2 πl2  1 1  2
A
O
B * Stp = Sxq + Sđáy = + = +  πl
2 2  2 2

1 2 1 1 l2 l πl3
b) V = πR h = π.OA 2 .SO = π. . =
3 3 3 2 2 6 2
l
Tính: SO = ( ∆ ∨ SOA tại O)
2

Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 120 0.
∧ ∧
S HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên A = B

120
= 300
∧ ∧
hay A SO = BSO = 600
a

* Sxq = π Rl = π .OA.SA = π . a 3 .2a = 2πa 2 3
A
O
B Tính: OA = a 3 ; SA = 2a ( ∆ ∨ SOA tại O)

(
* Stp = Sxq + Sđáy = 2πa 2 3 + 3 π a2 = 2 3 + 3 πa 2 )
1 2 1 1
b) V = πR h = π.OA 2 .SO = π.3a 2 .a = πa 3
3 3 3

Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng α .

-2-

∧ ∧
S HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là A = B = α
* Sxq = π Rl = π .OA.SA = π . lcos α .l = πl 2 cos α
Tính: OA = lcos α ( ∆ ∨ SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = πl2 cos α + π l2cos2 α = (1 + cos α πl)2 cos α
l

α 1 2 1
A B b) V = πR h = π.OA 2 .SO
O 3 3
1 2 2 πl3cos 2 α sin α
= π.l cos α .lsin α =
3 3
Tính: SO = lsin α ( ∆ ∨ SOA tại O)

Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2 π a2.
Tính thể tích của hình nón

S 2πa 2 2a 2
HD: * Sxq = π Rl ⇔ π Rl = 2 π a2 ⇒ R = = =a
πl 2a

2a
* Tính: SO = a 3 ( ∆ ∨ SOA tại O)

1 2 1 1 πa 3 3
*V= πR h = π.OA 2 .SO = π.a 2 .a 3 =
3 3 3 3
A
O

Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9 π .
Tính thể tích của hình nón

S
HD: * Thiết diện qua trục là tam giác SAB đều
* Sđáy = π R2 ⇔ 9 π = π R2 ⇔ R2 = 9 ⇔ R = 3
60

AB 3 2R 3
* SO = = =3 3
2 2
1 2 1 1
*V= πR h = π.OA 2 .SO = π.32.3 3 = 9π 3
A B 3 3 3
O

Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a.
b) Tính thể tích của khối nó
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60 0. Tính diện tích của thiết diện này

-3-

πa 2 πa 2  1 1 2
S * Stp = Sxq + Sđáy = + = +  πa
2 2  2 2

1 2 1 1 a2 a πa 3
b) V = πR h = π.OA 2 .SO = π. . =
3 3 3 2 2 6 2
a a
2
∧
45 c) * Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy 1 góc 60 0: SM O = 600
A O B
M 1 1 a 6 2a 3 a2 2
C * SSAC = SM.AC = . . =
2 2 3 3 3
HD: a 6
* Tính: SM = ( ∆ ∨ SMO tại O).
a) * Thiết diện qua trục là ∆ SAB 3
∧ ∧
vuông cân tại Snên A = B =450 2a 3 a
* Tính: AC = 2AM = Tính: OA = ( ∆ ∨ SOA tại O)
3 2

* Sxq = π Rl = π .OA.SA = * Tính: AM = OA 2 − OM 2 =
a 3
3
a πa 2
π. .a =
2 2 a 6
* Tính: OM = ( ∆ ∨ SMO tại O)
6

Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết
diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó
HD:

a) * Sxq = π Rl = π .OA.SA = π .25.SA = 25 π 1025 (cm2)
S
Tính: SA = 1025 ( ∆ ∨ SOA tại O)

Stp = Sxq + Sđáy = 25 π 1025 + 625 π
1 2 1 1
b) V = πR h = π.OA 2 .SO = π.252.20 2 (cm3)
3 3 3
l c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH = 12cm
h
1 1
H * SSAB = .AB.SI = .40.25 = 500(cm2)
O 2 2
A
OS.OI 20.OI
I * Tính: SI = = = 25(cm) ( ∆ ∨ SOI tại O)
B OH 12
1 1 1
* Tính: 2
= 2
- ⇒ OI = 15(cm) ( ∆ ∨ SOI tại O)
OI OH OS2
* Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm)

-4-

* Tính: AI = OA 2 − OI 2 = 20 (cm) ( ∆ ∨ AOI tại I)

Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mp đi qua trục ta được một ∆ vuông cân có cạnh huyền bằng a 2
c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa
đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC
HD:
∧ ∧
a) * Thiết diện qua trục là ∆ SAB vuông cân tại S nên A = B =
S
450

a 2 πa 2 2
* Sxq = π Rl = π .OA.SA = π . .a =
2 2
AB a 2
Tính: OA = = ; Tính: SA = a ( ∆ ∨ SOA tại O)
2 2
O
A B πa 2 2 πa 2 ( 2 + 1)πa 2
a2 * Stp = Sxq + Sđáy = + =
M 2 2 2
C
1 2 1 1 a 2 a 2 πa 3 2
b) V = πR h = π.OA 2 .SO = π. . =
3 3 3 2 2 12

a 2
2
∧ 1
c) * Kẻ OM ⊥ BC ⇒ S M O = 600 ; * SSBC = SM.BC =
2
1 a 2 2a a2 2
. . =
2 3 3 3

a 2 a
* Tính: SM = ( ∆ ∨ SOM tại O) * Tính: BM =
3 3
( ∆ ∨ SMB tại M)

Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
HD:

-5-

B
a) * Sxq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA = 2 π .R.2R = 4 π R
’ 2

O
* OA =R; AA’ = 2R
A
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 4 π R2 + π R2 = 5 π R2
b) * V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π.R 2 .2R = 2πR 3
h
l

B'
O'
A'

Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết
diện được tạo nên
HD:

O
B
a) * Sxq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA’ = 2 π .5.7 =
r I 70 π (cm2)
A
* OA = 5cm; AA’ = 7cm
l h
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 π + 50 π =
120 π (cm2)
O' B' b) * V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π .52.7 =
A' 175 π (cm3)
c) * Gọi I là trung điểm của AB ⇒ OI = 3cm
* SABB′A′ = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình
chữ nhật)
* AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8
* Tính: AI = 4(cm) ( ∆ ∨ OAI tại I)

Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và
trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ

HD:

-6-

a) * Sxq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA’ = 2 π .r. r 3 = 2 3 π r2

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 π r2 3 + 2 π r2 = 2 ( 3 + 1) π r2

b) * V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π.r 2 .r 3 = πr 3 3
A
r O ∧
c) * OO’//AA’ ⇒ B A A′ = 300
* Kẻ O’H ⊥ A’B ⇒ O’H là khoảng cách giữa đường thẳng
AB
r3
và trục OO’ của hình trụ
A'
r 3
O' * Tính: O’H = (vì ∆ BA’O’ đều cạnh r)
H 2
B * C/m: ∆ BA’O’ đều cạnh r * Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r
* Tính: A’B = r ( ∆ ∨ AA’B tại A’)

r2 r 3
Cách khác: * Tính O’H = O′A′2 − A′H 2 = r2 − =
4 2
( ∆ ∨ A’O’H tại H)

A′B r
* Tính: A’H = = * Tính: A’B = r
2 2
( ∆ ∨ AA’B tại A’)

Bài 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là R 2
HD:

A R O a) * Sxq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA’ = 2 π .R. R 2 = 2 2 π R2
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 2 π R2 + 2 π R2 = 2 ( 2 + 1) π R2

b) * V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π.R 2 .R 2 = πR 3 2
R2

A' O'

Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h = 50cm.
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng
cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ
ĐS: a) * Sxq = 2 π Rl = 5000 π (cm2) * Stp = Sxq + 2Sđáy = 5000 π + 5000 π = 10000 π (cm2)
b) * V = πR 2 h = 125000 π (cm3)

-7-

’
c) * O H = 25(cm)

MÆt cÇu
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC), ∆ ABC vuông tại B và
AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD:
a) * Gọi O là trung điểm của CD.
D
* Chứng minh: OA = OB = OC = OD;
1
* Chứng minh: ∆ DAC vuông tại A ⇒ OA = OC = OD = CD
O 2
(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)
1
A C * Chứng minh: ∆ DBC vuông tại B ⇒ OB = CD
2
1 CD
B
* OA = OB = OC = OD = CD ⇔ A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; )
2 2
CD 1 1
b) * Bán kính R = = AD 2 + AC 2 = AD 2 + AB2 + BC 2
2 2 2

1 5a 2
= 25a 2 + 9a 2 + 16a 2 =
2 2
2
 5a 2 
* S = 4π 
 2  = 50πa ;

2

 
3
4 4  5a 2  125 2πa 3
* V = π R3 = π   =
3 3  2 
  3

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
HD: a) Gọi O là tâm hình vuông (đáy). Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS

a 3π 2
; S = 2a2 π ; V =
a 2
b) R = OA =
2 3
Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a. SA = 2a và vuông góc với
mp(ABCD). a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S

-8-

S a) * Gọi O là trung điểm SC
* Chứng minh: Các ∆ SAC, ∆ SCD, ∆ SBC
lần lượt vuông tại A, D,
B
O
2a SC SC
* OA = OB = OC = OD = OS = ⇔ S(O; )
A 2 2
D
SC 1 a 6
b) * R = = SA 2 + AB2 + BC2 =
B 2 2 2
a C
2 3
a 6 4 a 6
* S = 4π 
 2  = 6πa ; * V = 3 π  2  = πa 6

2
 
3

   
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA,
SB, SC đôi một vuông góc. Tính d tích mặt cầu và th tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
HD:
* Gọi I là trung điểm AB. Kẻ ∆ vuông góc với mp(SAB) tại I

C * Dựng mp trung trực của SC cắt ∆ tại O ⇒ OC = OS (1)
* I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ SAB (vì ∆ SAB vuông tại S)
⇒ OA = OB = OS (2)

c * Từ (1) và (2) ⇒ OA = OB = OC = OS
Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)
O
a 2 + b2 + c2
2 2
 SC   AB 
S
b
B
* R = OA = OI 2 + AI 2 =   +  =
 2   2  4
a I
2
A
 a 2 + b2 + c2 
* S = 4π   = π (a 2+ b 2+ c 2 )
 4 
 
3
4  a 2 + b2 + c2  1
* V = π  = π (a 2+ b 2+ c 2 ) a 2+ b 2+ c 2
3 
 4 
 6

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Chứng minh trung điểm I của cạnh BC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài giải:

-9-

1
a) Áp dụng công thức V = Bh trong đó B = a2, h =
3
1
SA = a ⇒ V = a 3 ( đvtt)
3
b) Trong tam giác vuông SAC, có AI là trung tuyến
ứng với cạnh huyền SC nên AI = IS = IC.(1)
BC ⊥ AB và BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆ SBC vuông tại
B, IB là trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên IB = IS
= IC (2).
Tương tự ta cũng có ID = IS = IC(3). Từ (1), (2), (3) ta
có I cách đều tất cả các đỉnh hình chóp nên I là tâm mặt
cầu ngoại tiếp.

Bài tập2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = a 3 . Tam giác SAC
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Giải: Trong mp( SAC), dựng SH ⊥ AC tại H ⇒ SH ⊥ (ABC).
1
V = B.h , trong đó B là diện tích ∆ABC, h = SH.
3

1 a2 3
B= AB.BC = . Trong tam giác đều SAC có AC = 2a ⇒
2 2

2a 3
SH = =a 3.
2
a3
Vậy V = (đvtt)
2

Bài tập3. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45 o.
a) Tính thể tích khối chóp .
b) Tính diện tích xung quanh của mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Giải:
a) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ (ABCD).

1 2
V = B.h, B = a 2 ; h = SO = OA.tan 450 = a . ⇒
3 2

a3 2
V= (đvtt)
6
b) Áp dụng công thức Sxq = π.r.l trong đó r = OA, l =SA=

a.

- 10 -

a 2 a2 2
Thay vào công thức ta được: Sxq = π. a=π
2 2
(đvdt)

Bài tập4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
b) Tính diện tích của mặt trụ tròn xoay ngoại tiếp hình trụ
Giải:
a) Ta có V = B.h , trong đó B là diện tích đáy của lăng trụ, h là chiều cao lăng trụ .

a2 3
Vì tam giác ABC đều, có cạnh bằng a nên B = . h = AA’ = a ⇒
4

a3 3
V= (đvtt)
4
b) Diện tích xung quanh mặt trụ được tính theo công thức Sxq = 2π.r.l

2 a 3 a 3
r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇒ r = . = , l =AA’
3 2 3
=a nên diện tích cần tìm là

a 3 a2 3
Sxq = 2π. .a = 2π
3 3
Bài tập5: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và SA ⊥(ABC). Tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a 2
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
c) Gọi I và H lần lượt là trung điểm SC và SB. Tính thể tích khối chóp S.AIH
Giải:
1
V = B.h
3
a)
1 2a 3
B = S = .a 2.a 2 = a 2 , h = SA = 2a ⇒ V =
2 3
b) Gọi I là trung điểm SC
SA ⊥AC nên A thuộc mặt cầu đường kính SC
BC ⊥ SA và BC ⊥ Ab nên BC ⊥ SB ⇒ B thuộc mặt cầu đường kính
SC. Như vậy tâm mặt cầu là trung điểm I của SC còn bán kính mặt cầu

SC AC = 2a 2 + 2a 2 = 2a
là R = . Ta có
2 SC = SA 2 + AC 2 = 4a 2 + 4a 2 = 2a 2 ⇒ R = a 2
c) Áp dụng công thức

- 11 -

VS.AIH SI SH 1 1 a3
= . = ⇒ VS.AIH = .VS.ACB =
VS.ACB SC SB 4 4 6
Bài tập6:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Tính thể tích khối lập phương
b) Tính bán kính mặt cầu qua 8 đỉnh của lập phương
c) Chứng minh hai khối chóp B’.ABD’ và D.C’D’B có bằng nhau
Giải:
a) V = a3 (đvtt)
b) Gọi O là điểm đồng quy của 4 đường chéo AC’, DB’, A’C,
BD’ ⇒ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lập phương.

AC ' a 3
Bán kính mặt cầu là R = =
2 2
c) Hai khối chóp trên là ảnh của nhau qua phép đối xứng mặt
phẳng (ABC’D’) ⇒ đpcm

C BÀI TẬP TỰ GIẢI:
1) Cho hình chóp đều S.ABCD cậnh đáy bằng a, góc SAC bằng 60 0.
a) Tính thể tích khối chóp. b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
2) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA bằng a và SA vuông góc đáy.
a) Tính thể tích khối chóp. b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp.
c) Quay tam giác vuông SAC quanh đường thẳng chứa cạnh SA, tính diện tích xung quanh của khối
nón tạo ra
3) Cho hình nón có đường cao bằng 12cm, bán kính đáy bằng 16cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đó b) Tính thể tích của khối nón đó
4) Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy a, mặt bên hợp đáy một góc 600 .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC. b) Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
5) Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC =a và đôi một vuông góc nhau. Gọi H là trực tâm tam giác
ABC.
a) Chứng minh OH ⊥ (ABC)
1 1 1 1
b) Chứng minh 2
= + +
OH OA OB OC 2
2 2

- 12 -

Bài tập trụ nón cầu truonghocso.com

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Bài tập trụ nón cầu truonghocso.com

Similar to Bài tập trụ nón cầu truonghocso.com (20)

More from Thế Giới Tinh Hoa

More from Thế Giới Tinh Hoa (20)

Bài tập trụ nón cầu truonghocso.com