Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Cực trị của hàm số, ôn thi đại học môn toán

239,676 views

Published on

Cực trị của hàm số, ôn thi đại học môn toán 2015

Published in: Education
  • Sex in your area is here: ❤❤❤ http://bit.ly/2Qu6Caa ❤❤❤
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Follow the link, new dating source: ❤❤❤ http://bit.ly/2Qu6Caa ❤❤❤
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • DỊCH VỤ THIẾT KẾ THUYẾT TRÌNH (làm profile cho doanh nghiệp, slide bài giảng, slide bài phát biểu, slide bài tốt nghiệp, dạy học viên thiết kế thuyết trình…)-----(Giá từ 8.000 đ - 10.000 đ/1trang slide)------ Mọi chi tiết vui lòng liên hệ với chúng tôi: điện thoại 0973.764.894 hoặc zalo 0973.764.894 (Miss. Huyền) ----- • Thời gian hoàn thành: 1-2 ngày sau khi nhận đủ nội dung ----- Qui trình thực hiện: ----- 1. Bạn gửi nội dung cần thiết kế về địa chỉ email dvluanvan@gmail.com ----- 2. DỊCH VỤ THIẾT KẾ THUYẾT TRÌNH báo giá chi phí và thời gian thực hiện cho bạn ----- 3. Bạn chuyển tiền tạm ứng 50% chi phí để tiến hành thiết kế ----- 4. Gửi file slide demo cho bạn xem để thống nhất chỉnh sửa hoàn thành. ----- 5. Bạn chuyển tiền 50% còn lại. ----- 6. Bàn giao file gốc cho bạn.
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

Cực trị của hàm số, ôn thi đại học môn toán

  1. 1. Khảo sát hàm số KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: y = f(x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d A. Kiến thức cơ bản · Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt. · Hoành độ x1,x2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y¢ = 0. · Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm. – Phân tích y = f¢(x ).q (x ) + h(x ) . – Suy ra y1 = h(x1),y2 = h(x2) . Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y = h(x ) . · Gọi a là góc giữa hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2x + b2 thì k k k k 1 2 1 2 tan 1 - = + a B. Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d : y = px + q . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: k = p (hoặc k = - 1 ). p 2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y = px + q một góc a . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: k p kp tan 1 - = + a . (Đặc biệt nếu d º Ox, thì giải điều kiện: k = tana ) 3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy. – Giải điều kiện SDIAB = S . 4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện SDIAB = S . 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Gọi I là trung điểm của AB. – Giải điều kiện: d ìD ^ í Î î I d . 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. Trang 9 - ôn luy ện thi đại học online
  2. 2. Khảo sát hàm số – Giải điều kiện: d (A,d ) = d (B,d ) . 6. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất). – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị). – Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB. 7. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ thức cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et. 8. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K1 = (-¥;a ) hoặc K2 = (a;+¥) . y ' = f(x ) = 3ax 2 + 2bx + c . Đặt t = x -a . Khi đó: y ' = g (t) = 3at2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c Hàm số có cực trị thuộc K1 = (-¥;a ) Hàm số có cực trị thuộc K2 = (a;+¥) Hàm số có cực trị trên khoảng (-¥;a ) Û f(x ) = 0 có nghiệm trên (-¥;a ) . Û g (t) = 0 có nghiệm t < 0 0 ' 0 0 0 é P < êìD Û êï ³ êí S < êëîï P ³ Hàm số có cực trị trên khoảng (a;+¥) Û f(x ) = 0 có nghiệm trên (a;+¥) . Û g (t) = 0 có nghiệm t > 0 0 ' 0 0 0 é P < êìD Û êï ³ êí S > êëîï P ³ 9. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả: a) x1 <a < x2 b) x1 < x2 <a c) a < x1 < x2 y ' = f(x ) = 3ax 2 + 2bx + c . Đặt t = x -a . Khi đó: y ' = g (t) = 3at2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c a) Hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả x1 <a < x2 Û g (t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả t1 < 0 < t2 Û P< 0 b) Hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả x1 < x2 <a ìD > Ûï < íï î > Û g (t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả t1 < t2 < 0 S ' 0 0 0 P c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả a < x1 < x2 ìD > Ûï > íï î > Û g (t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả 0 < t1 < t2 S ' 0 0 0 P Câu 1. Cho hàm số y = -x 3 + 3mx 2 + 3(1- m2)x + m3 - m2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). · y ¢= -3x 2 + 6mx + 3(1- m2) . Trang 10
  3. 3. Khảo sát hàm số PT y ¢= 0 có D = 1> 0, "m Þ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị (x1; y1), (x2; y2) . Chia y cho y¢ ta được: y 1 x m y 2x m2 m æ ö ¢ = ç - ¸ + - + è ø 3 3 Khi đó: y x m2 m 1 = 2 1 - + ; y x m m 2 2 = 2 2 - + PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y = 2x - m2 + m . Câu 2. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m - 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. · PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: é = - ê = + + - = ë x 3 + 3x 2 + mx + m - 2 = 0 (1) Û x 1 g x x 2 x m ( ) 2 2 0 (2) (Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox ÛPT (1) có 3 nghiệm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û m ìíD ¢= - > î - = - ¹ 3 0 ( 1) 3 0 g m Û m < 3 Câu 3. Cho hàm số y = -x 3 + (2m +1)x 2 - (m2 - 3m + 2)x - 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. · y ¢= -3x 2 + 2(2m +1)x - (m2 - 3m + 2) . (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung Û PT y¢ = 0 có 2 nghiệm trái dấu Û 3(m2 - 3m + 2) < 0 Û 1< m < 2 . Câu 4. Cho hàm số y 1 x 3 mx 2 (2m 1)x 3 = - + - - (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. · TXĐ: D = R ; y ¢= x 2 - 2mx + 2m -1. Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung Û y ¢= 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu Û m m ìíD¢ = - + > î m - > 2 2 1 0 2 1 0 m m 1 1 2 ìï ¹ Ûí > ïî . Câu 5. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y = x -1. · Ta có: y ' = 3x 2 - 6x - m . Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 3x 2 - 6x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 ÛD ' = 9+ 3m > 0Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A( x1; y1) ;B( x2; y2 ) Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y x y m x m 1 1 ' 2 2 2 3 3 3 3 æ ö æ ö æ ö = ç - ¸ + ç - ¸ + ç + ¸ è ø è ø è ø 2 2 2 ; 2 2 2 3 3 3 Þ y1 y x1 ) m x1 m y2 y x2 ) m x2 m 3 ( æ ö ( æ ö ç - ¸ + + ç - ¸ + + è ø = è = ø = = Trang 11 - ôn luy ện thi đại học online
  4. 4. Khảo sát hàm số 2 2 2 3 3 æ ö = ç - ¸ + + è ø Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y m x m Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x -1Ûxảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y = x -1 2 m 2 1 9 3 m 2 Û - = Û = (không thỏa (*)) TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y = x -1 + 1 2 1 2 2 2 2 2 x m m x x x x ( ) ( ) I I Û = - Û = - Û m y m y y m x x 2 1 2 1 2 3 3 2 1 2 .2 2 1 2 2 0 0 3 3 2 æ ö æ ö ç - ¸ + + ç + ¸= + - è ø è ø æ ö + æ ö Ûç - ¸ + ç + ¸= Û = è ø è ø Vậy các giá trị cần tìm của m là: m = 0 . Câu 6. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. · Ta có: y¢ = 3x 2 - 6mx ; y x 0 02 ¢ = Û é = êë = x m . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0. uuur Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ AB= (2m;-4m3) Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3) A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x Û AB d ì ^ í î I Î d 2 4 0 2 Û m m m m 3 3 ìï - = í îï = Û m 2 2 = ± Câu 7. Cho hàm số y = -x 3 + 3mx 2 - 3m -1. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0. · y ¢= -3x 2 + 6mx ; y ¢= 0Û x = 0 Ú x = 2m . Hàm số có CĐ, CT Û PT y ¢= 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 0 . uuur Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0;-3m -1), B(2m;4m3 -3m -1) Þ AB(2m;4m3) Trung điểm I của AB có toạ độ: I(m;2m3 - 3m -1) r Đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0 có một VTCP u = (8;-1) . ì Î í ^ î A và B đối xứng với nhau qua d Û I d AB d 8(2 3 3 1) 74 0 . 0 Û m m m uuur r Û m = 2 ABu ìï + - - - = í îï = Câu hỏi tương tự: a) y x 3 3x 2 m2x m,d : y 1 x 5 = - + + = - . ĐS: m = 0 . 2 2 Câu 8. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + mx (1). ¢ D1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x - 2y - 5 = 0 . · Ta có y = x 3 - 3x 2 + mx Þ y ' = 3x 2 - 6x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt Û = 9 - 3 m > 0 Û m < 3 Trang 12
  5. 5. Khảo sát hàm số 1 1 2 2 1 3 3 3 3 æ ö ¢ æ ö = ç - ¸ + ç - ¸ + è ø è ø Ta có: y x y m x m 2 2 1 3 3 æ ö = ç - ¸ + è ø Þ đường thẳng D đi qua các điểm cực trị có phương trình y m x m 2 2 3 nên D có hệ số góc k1 m = - . 1 5 2 2 d: x - 2y - 5 = 0 y x Û = - Þ d có hệ số góc k2 1 2 = Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^ D 1 1 æ 2 2 ö 1 0 = - Û ç - ¸= - Û = Þ k1k2 m m 2 3 è ø Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I Î d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. Vậy: m = 0 Câu 9. Cho hàm số y = x 3 - 3(m +1)x 2 + 9x + m - 2 (1) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: y x 1 2 = . · y ' = 3x 2 - 6(m +1)x + 9 Hàm số có CĐ, CT Û D ' = 9(m +1)2 - 3.9 > 0 Ûm Î(-¥;-1- 3)È(-1+ 3;+¥) Ta có y x m y m2 m x m 1 1 2( 2 2) 4 1 æ ö = - + ç ¸ ¢ - + - + + è 3 3 ø Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A(x1; y1), B(x2; y2) , I là trung điểm của AB. Þ y 1 = -2( m2 + 2 m - 2) x 1 + 4 m +1; y 2 = -2( m 2 + 2 m - 2) x 2 + 4 m +1 và: x x m ì í 1 + 2 = + î x 1 x 2 = 2( 1) . 3 Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y = -2(m2 + 2m - 2)x + 4m +1 A, B đối xứng qua (d): y x 1 2 ì ^ í Î î = Û AB d I d Û m = 1. Câu 10. Cho hàm số y = x 3 - 3(m +1)x 2 + 9x - m , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1. 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1,x2 sao cho x1 - x2 £ 2 . · Ta có y ' = 3x 2 - 6(m +1)x + 9. + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 ÛPT y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Û PT x 2 - 2(m +1)x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2 . é > - + Û = + - > Û ê ' ( 1)2 3 0 1 3 m m m 1 3 D ë < - - (1) + Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = 2(m +1); x1x2 = 3. Khi đó: x x ( x x ) 2 2 x x ( m ) 1 - 2 £ 2Û 1 + 2 - 4 1 2 £ 4Û4 +1 -12 £ 4 m m Û( +1)2 £ 4Û-3£ £ 1 (2) + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là -3£ m < -1- 3 và -1+ 3 < m £ 1. Trang 13 - ôn luy ện thi đại học online
  6. 6. Khảo sát hàm số Câu 11. Cho hàm số y = x 3 + (1- 2m)x 2 + (2- m)x + m + 2 , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1. 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 x2 1 3 - > . · Ta có: y ' = 3x 2 + 2(1- 2m)x + (2- m) Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2 ) m m m m m m 2 2 5 ' (1 2 ) 3(2 ) 4 5 0 4 1 D é Û = - - - = - - > Û ê > ê < - ë (*) 2 (1 2 ) ; 2 3 + = - - = - Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1,x2 . Khi đó ta có: x1 x2 m x1x2 m 3 2 2 x x ( x x ) ( x x ) x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 4 1 9 - > Û - = + - > 4(1 2m)2 4(2 m) 1 16m2 12m 5 0 m 3 29 m 3 29 Û - - - > Û - - > Û > + Ú < - Kết hợp (*), ta suy ra m m 8 8 3 29 1 8 > + Ú < - Câu 12. Cho hàm số y 1 x 3 mx 2 mx 1 = - + - , với m là tham số thực. 3 mm 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1. 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 - x2 ³ 8. · Ta có: y ' = x 2 - 2mx + m . Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2 ) Û D¢ = m 2 - m > 0 Û 0 1 é < êë > (*). Khi đó: x1 + x2 = 2m, x1x2 = m . x1 - x2 ³ 8 Û x x 2 ( 1 - 2) ³ 64 Û m m 2 - -16 ³ 0 Û é - m £ ê + m êë êê ³ 1 65 2 1 65 2 (thoả (*)) Câu 13. Cho hàm số y 1 x 3 (m 1)x 2 3(m 2)x 1 = - - + - + , với m là tham số thực. 3 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 2 . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 + 2x2 = 1. · Ta có: y ¢= x 2 - 2(m -1)x + 3(m - 2) Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y ¢= 0có hai nghiệm phân biệt x1, x2 > Û - + > (luôn đúng với "m) Û 2 m 5m 7 0 0 D¢ 2( 1) 3( 2) ì + = - í = - î Khi đó ta có: x x m 1 2 1 2 x x m 3 2 1 2 3( 2) ì x 2 = - m îï x 2 - x 2 = m ïí - Û ( ) m2 m m 8 16 9 0 4 34 Û + - = Û = - ± . 4 Câu 14. Cho hàm số y = 4x 3 + mx 2 - 3x . Trang 14
  7. 7. Khảo sát hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa x1 = -4x2 . · y x mx 2 12 2 3 ¢= + - . Ta có: m m 2 36 0, D¢ = + > " Þ hàm số luôn có 2 cực trị x1, x2 . 4 ; ; 1 Khi đó: x1 x2 x1 x2 m x1x2 6 4 ì = - + = - = - íî m 9 2 Þ = ± Câu hỏi tương tự: a) y = x 3 + 3x 2 + mx +1; x1 + 2x2 = 3 ĐS: m = -1 05 . Câu 15. Cho hàm số y 1 x 3 ax 2 3ax 4 = - - + (1) (a là tham số). 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 1. 2) Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị tại x1, x2 phân biệt và thoả mãn điều kiện: 2 2 1 2 x ax a a 2 2 a x ax a 2 1 2 9 2 2 9 + + + = + + (2) · y¢ = x 2 - 2ax - 3a . Hàm số có CĐ, CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 a a 2 4 12 0 D Û = + > Û aa 3 0 é < - êë > (*). Khi đó x1 + x2 = 2a , x1x2 = -3a . Ta có: x 2 ax a a ( x x ) a a 2 a 1 + 2 2 + 9 = 2 1 + 2 +12 = 4 +12 > 0 Tương tự: x 2 ax a a 2 a 2 + 2 1 + 9 = 4 +12 > 0 2 2 2 2 4 + 12 + = 2 Do đó: (2) Û a a a 4 + 12 a a a 2 2 Û 4 +12 = 1 Û3a ( a + 4) = 0 Ûa = -4 a a a Câu 16. Cho hàm số y = 2x 3 + 9mx 2 +12m2x +1 (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1. 2) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x CÑ xCT 2 = . · Ta có: y¢ = 6x 2 +18mx +12m2 = 6(x 2 + 3mx + 2m2) Hàm số có CĐ và CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2Û D = m2 > 0 Û m ¹ 0 Khi đó: x1 ( m m ) x2 ( m m ) 1 3 , 1 3 2 2 = - - = - + . Dựa vào bảng xét dấu y¢, suy ra xCÑ= x1, xCT = x2 Do đó: x CÑ xCT 2 = Û m m m m 2 3 3 2 2 æ - - ö - + ç ¸ = è ø Û m = -2 . Câu 17. Cho hàm số y = (m + 2)x 3 + 3x 2 + mx - 5 , m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. · Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương ÛPT y ' = 3(m + 2)x 2 + 6x + m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt Trang 15 - ôn luy ện thi đại học online
  8. 8. Khảo sát hàm số ( 2) 0 ' 9 3 ( 2) 0 ' 2 3 0 3 1 ì a = m + ¹ ï D = - m m + > ì Ûï D = - m - m + > ì - < m < Û í P = m > + í m < Ûï í m < Û- < m < - ï m ï î m + < ïî m < - ï ï S = - > î + ïï m 2 0 0 0 3 2 3( 2) 2 0 2 3 0 2 Câu 18. Cho hàm số y 1 x 3 1mx 2 (m2 3)x = - + - (1), m là tham số. 3 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có các điểm cực trị x1,x2 với x1 > 0,x2 > 0 và x 2 x 2 1 2 5 2 + = . · y¢ = x 2 - mx + m2 - 3; y¢ = 0Û x 2 - mx + m2 - 3 = 0 (2) YCBT Û 0 0 0 P S x 2 x 2 1 2 5 2 ìD > ï > ï > íï + = ïî Û ì ï < m < í Û m = m 3 2 14 14 2 2 = ± ïî . Câu 19. Cho hàm số y = x 3 + (1- 2m)x 2 + (2- m)x + m + 2 (m là tham số) (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. · y ¢= 3x 2 + 2(1- 2m)x + 2- m = g (x ) YCBT Û phương trình y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 < x2 < 1. Û ìD¢ = - - > 4 2 5 0 m m (1) 5 7 0 2 1 1 2 3 g m S m ïï í = - + > ï = - < ïî 5 7 4 5 < < . Û m Câu 20. Cho hàm số y m x 3 (m 2)x 2 (m 1)x 2 = + - + - + (Cm). 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn x1 < x2 < 1. · Ta có: y¢ = mx 2 + 2(m - 2)x + m -1; y¢ = 0Û mx 2 + 2(m - 2)x + m -1= 0 (1) Hàm số có CĐ ,CT thỏa mãn x1 < x2 < 1 khi m > 0 và (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1 Đặt t = x -1 Þ x = t +1, thay vào (1) ta được: m(t +1)2 + 2(m - 2)(t +1) + m -1= 0 Ûmt2 + 4(m -1)t + 4m - 5 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1 Û (2) có 2 nghiệm âm phân biệt ì m > ïï Û ¢ > í ï P > îï S < 0 0 0 0 D 5 4 4 3 Û < < . m Câu 21. Cho hàm số y = x3 + (1- 2m)x2 + (2 -m)x + m+ 2 (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng (-2;0) . Trang 16
  9. 9. Khảo sát hàm số · Ta có: y¢ = 3x 2 + 2(1- 2m)x + 2- m ; y¢ = 0Û 3x 2 + 2(1- 2m)x + 2- m = 0 (*) Hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc (-2;0) Û(*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;0) 2 0 (1) 2 0 (2) é- < < < x x x x 1 2 1 2 Û ê- < < £ ê 2 0 (3) x 1 £ - < x 2 < êë Ta có: 2 1 2 ( ) ( ) 2 m m m m m x x m m m x x x x m 1 2 1 2 4 5 0 ' 4 5 0 2 1 2 0 2 0 3 10 (1) 2 (2 1) 2 1 2 2 0 4 0 7 3 3 0 0 3 4 2 D ì - - > ì = - - > ï - ï + ï- < < ïï- < < ïï Ûí Ûí - - Û- < < - ï + + > ï + + > ï > ï - îï ï > ïî ì ïî 4 m 2 ì 2 - m - 5 > 0 = m - m - > ï ï Ûï f ( ) m ³ = - m £ ï m - í ( ) ( ) Ûï í > - Û ³ ï x 1 + + x 2 + > m ï ï î ( x 1 + ) ( x + ) > ï - m ( m - ) 2 + + > ' 4 5 0 2 0 2 0 2 1 (2) 2 2 2 2 0 3 2 2 0 2 4 2 1 4 0 3 3 D ( ) 2 m m 2 m m m f m m m x x x x m 1 2 1 2 4 5 0 ' 4 5 0 3 5 0 (3) 2 10 6 0 2 1 5 1 0 0 3 3 0 2 0 3 D ì - - > ì = - - > ï + ³ ïï - = + £ ïï Ûí Ûí - < Û- £ < - ï + < ï îï > ï - > ïî 5; 1 2; 3 é ö é Îê- - ¸Èë +¥ ë ø Tóm lại các giá trị m cần tìm là: m ) Câu 22. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y = 3x - 2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. · Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). Xét biểu thức g (x,y) = 3x - y - 2 ta có: g (xA,yA) = 3xA- yA- 2 = -4 < 0; g (xB,yB) = 3xB- yB- 2 = 6 > 0 Þ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y = 3x - 2 . Do đó MA + MB nhỏ nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của d và AB. Phương trình đường thẳng AB: y = -2x + 2 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: y x x y 3 2 4; 2 2 2 5 5 ì = - ì í Ûí = = î y = - x + î Þ M 4; 2 5 5 æ ö ç ¸ è ø Câu 23. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 -1)x - m3 + m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. · Ta có y ¢= 3x 2 - 6mx + 3(m2 -1) . Hàm số (1) có cực trị Û PT y ¢= 0 có 2 nghiệm phân biệt Û x 2 - 2mx + m2 -1= 0 có 2 nhiệm phân biệt ÛD = 1> 0,"m Trang 17 - ôn luy ện thi đại học online
  10. 10. Khảo sát hàm số Khi đó: điểm cực đại A(m -1;2- 2m) và điểm cực tiểu B(m +1;-2- 2m) é Ta có OA = 2 OB Û m 2 + 6 m + 1 = 0 Û m = - 3 + 2 2 ê m 3 2 2 ë = - - . Câu 24. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = -4x + 3. · Ta có: y ' = 3x 2 - 6x - m . Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 ÛD ' = 9+ 3m > 0Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A( x1; y1) ;B( x2; y2 ) Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y x y m x m 1 1 ' 2 2 2 3 3 3 3 æ ö æ ö æ ö = ç - ¸ - ç + ¸ + ç - ¸ è ø è ø è ø 2 2 2 ; 2 2 2 3 3 3 3 æ ö æ ö æ ö æ ö Þ y1 y ( x1) m x1 m y2 y ( x2 ) m x2 m = = -ç + ¸ + ç - ¸ = = -ç + ¸ + ç - ¸ è ø è ø è ø è ø 2 2 2 3 3 æ ö æ ö Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y m x m = -ç + ¸ + ç - ¸ è ø è ø D // d: y = -4x + 3 ì æ ö ï-ç + ¸= - Ûï è ø Û = íæ ö ïç - ¸¹ îïè ø 2 m 2 4 3 m 3 2 m 3 3 (thỏa mãn (*)) Câu hỏi tương tự: a) y 1 x 3 mx 2 (5m 4)x 2 = - + - + , d : 8x + 3y + 9 = 0 ĐS: m = 0; m = 5 . 3 Câu 25. Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + 7x + 3 có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 5. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d: y = 3x - 7. · Ta có: y ' = 3x 2 + 2mx + 7. Hàm số có CĐ, CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 . ÛD ' = m2 - 21> 0Û m > 21 (*) Gọi hai điểm cực trị là A( x1; y1) ;B( x2; y2 ) Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y x y m2 x m 1 1 ' 2(21 ) 3 7 æ ö æ ö = ç + + - + 3 9 ¸ 9 ç - ¸ è ø è 9 ø ( ) 2(21 ) 3 7 æ ö Þ y y x m2 x m = = - + ç - ¸ 1 1 1 9 9 è ø ( ) 2(21 ) 3 7 æ ö ; y y x m2 x m = = - + ç - ¸ 2 2 2 9 9 è ø Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y = 2(21 - m2)x + 3 - 7m 9 9 D ^ d: y = -4x + 3Û m 21 2(21 m2 ).3 1 9 ì > ïí - = - ïî Û m 3 10 2 = ± . Câu 26. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. Trang 18
  11. 11. Khảo sát hàm số 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x + 4y - 5 = 0 một góc a = 450 . · Ta có: y ' = 3x 2 - 6x - m . Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 ÛD ' = 9+ 3m > 0Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A( x1; y1) ;B( x2; y2 ) Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y x y m x m 1 1 ' 2 2 2 3 3 3 3 æ ö æ ö æ ö = ç - ¸ - ç + ¸ + ç - ¸ è ø è ø è ø 2 2 2 ; 2 2 2 3 3 3 3 æ ö æ ö æ ö æ ö Þ y1 y ( x1) m x1 m y2 y ( x2 ) m x2 m = = -ç + ¸ + ç - ¸ = = -ç + ¸ + ç - ¸ è ø è ø è ø è ø 2 2 2 3 3 æ ö æ ö Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y m x m = -ç + ¸ + ç - ¸ è ø è ø 2 2 3 æ ö Đặt k m = -ç + ¸ è ø . Đường thẳng d: x + 4y - 5 = 0 có hệ số góc bằng 1 - . 4 Ta có: 1 1 1 1 3 39 + é é é ê + = - ê = ê = - k k k k m tan45 = 4 Û ê 4 4 5 10 1 1 1 1 1 Û ê 5 Û ê 1 - k ê êë k + = - + k ê k = - ê êë êë m = - 4 4 4 3 2 o Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m 1 2 = - . Câu hỏi tương tự: a) y = x 3 - 3(m -1)x 2 + (2m2 - 3m + 2)x - m(m -1) , d y x : 1 5 = - + , 0 a = 45 . ĐS: m 4 3 15 2 = ± Câu 27. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2) Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp xúc với đường tròn (S) có phương trình (x - m)2 + (y - m -1)2 = 5 . · Phương trình đường thẳng D đi qua hai điểm cực trị 2x + y - 2 = 0. (S) có tâm I(m,m +1) và bán kính R= 5 . 2m + m + 1 - 2 D tiếp xúc với (S) Û 5 5 2; 4 Û = = - . = Û 3m -1 = 5 m m 3 Câu 28. Cho hàm số y x mx Cm = 3 - 3 + 2 ( ) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của ( ) Cm cắt đường tròn tâm I(1;1) , bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích DIAB đạt giá trị lớn nhất . · Ta có y ' = 3x 2 - 3m . Hàm số có CĐ, CT Û PT y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt Ûm > 0 Vì y x y mx 1 . 2 2 3 = ¢ - + nên đường thẳng D đi qua các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có phương trình là: y = -2mx + 2 Ta có ( ) 2 m 1 , 1 d I R m2 4 1 D - = < = + (vì m > 0) Þ D luôn cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt. Trang 19 - ôn luy ện thi đại học online
  12. 12. Khảo sát hàm số Với m ¹ : D không đi qua I, ta có: S ABI 1 IA.IB.sinAIB 1R2 1 1 2 D 2 2 2 = £ = Nên SDIAB đạt GTLN bằng 1 2 khi sin·AIB= 1 hay DAIB vuông cân tại I IH R 1 Û = = 2 2 2 1 1 2 3 4 1 2 2 m - Û = Û = ± m m2 + (H là trung điểm của AB) Câu 29. Cho hàm số y = x 3 + 6mx 2 + 9x + 2m (1), với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng 4 5 . · Ta có: y¢ = 3x2 +12mx + 9 . Hàm số có 2 điểm cực trị Û PT y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt m2 m ' 4 3 0 3 ÛD = - > Û > hoặc m 2 3 2 < - (*) Khi đó ta có: y x 2m .y (6 8m2)x 4m æ ö ¢ = ç + ¸ + - - è ø 3 3 Þ đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có PT là: D : y = (6- 8m2)x - 4m ( , D ) = - 4 = 4 Û 64 - 101 + 37 = 0 d O m m m (6 8 ) 1 5 m 4 2 2 2 - + 1 37 ( ) 8 é = ± m m lo aïi Û êê = ± êë Û m = ±1. Câu 30. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + (m - 6)x + m - 2 (1), với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm A(1;-4) đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng 12 265 . · Ta có: y¢ = 3x 2 - 6x + m - 6. Hàm số có 2 điểm cực trị Û PT y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û D¢ = 32 - 3(m - 6) > 0Û m < 9 (*) Ta có: y x y m x m 1( 1). 2 6 4 4 3 3 3 ¢ æ ö = - + ç - ¸ + - è ø 2 6 4 4 3 3 æ ö = ç - ¸ + - è ø Þ PT đường thẳng qua 2 điểm cực trị D: y m x m Þ ( , D ) = 6 - 18 = 12 d A m 4 72 333 265 m2 m - + Û m m 1 1053 249 é = ê = êë (thoả (*)) Câu 31. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + mx +1 (1), với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm I 1;11 2 4 æ ö çè ø¸ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là lớn nhất. · Ta có: y¢ = 3x 2 - 6x + m . Hàm số có 2 điểm cực trị Û PT y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û D¢ > 0Ûm < 3 . Trang 20
  13. 13. Khảo sát hàm số 1 2 2 1 æ ö ¢ æ ö = ç - ¸ + ç - ¸ + + è ø è ø Ta có: y x y m x m 3 3 3 3 : 2 2 1 Þ PT đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y m x m 3 3 D æ ö = ç - ¸ + + è ø . Dễ dàng tìm được điểm cố định của D là A 1;2 2 æ ö ç- ¸ è ø . AI 1; 3 4 æ ö = ç ¸ è ø uur . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên D. Ta có d (I,D) = IH £ IA. Dấu "=" xảy ra Û IA^D Û m m 1 2 2 .3 0 1 æ ö + ç - ¸ = Û = è ø 3 4 . max( ( , )) 5 Vậy d I D = khi m = 1. 4 Câu 32. Cho hàm số y x m x m m x m m Cm = 3 + 3( +1) 2 + 3 ( + 2) + 3 + 3 2 ( ) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (Cm) luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là không đổi. · Ta có: y¢ = 3x 2 + 6(m +1)x + 6m(m + 2) ; y x m ¢ = 0Û é = -2- êë x = - m . Đồ thị (Cm) có điểm cực đại A(-2- m;4) và điểm cực tiểu B(-m;0) Þ AB= 2 5 . Câu 33. Cho hàm số y = 2x 2 - 3(m +1)x 2 + 6mx + m3 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB= 2 . · Ta có: y¢ = 6(x -1)(x - m) . Hàm số có CĐ, CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 1. Khi đó các điểm cực trị là A(1;m3 + 3m -1),B(m;3m2) . AB= 2 Û (m -1)2 + (3m2 - m3 - 3m +1) = 2Û m = 0; m = 2 (thoả điều kiện). Câu 34. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 -1)x - m3 + 4m -1 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho DOAB vuông tại O. · Ta có: y ¢= 3x 2 - 6mx + 3(m2 -1) ; y x m y m 0 1 3 1 1 ¢= Ûé = + Þ = - êë x = m - Þ y = m + uuur Þ A(m +1;m - 3) , B(m -1;m +1) Þ OA= (m +1;m - 3) uuur , OB= (m -1;m +1) . uuur uuur DOAB vuông tại O Û OA.OB= 0 2 2 2 4 0 1 2 - - = Û é = - êë = Û m m m m . Câu 35. Cho hàm số y = 2x 2 - 3(m +1)x 2 + 6mx + m3 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vuông tại C, với C(4;0) . · Ta có: y¢ = 6(x -1)(x - m) . Hàm số có CĐ, CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 1. Khi đó các điểm cực trị là A(1;m3 + 3m -1),B(m;3m2) . uuur uuur DABC vuông tại C Û AC.BC= 0 Û (m +1) éëm2(m2 - m +1) + 3m2 - 5m + 4ùû = 0 Û m = -1 Trang 21 - ôn luy ện thi đại học online
  14. 14. Khảo sát hàm số Câu 36. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -4 . 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho ·AOB= 1200 . · Ta có: y ¢= 3x 2 + 6x ; y x y m 0 2 4 0 ¢= Û é = - Þ = + êë x = Þ y = m Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4) uuur uuur OA= (0;m), OB= (-2;m + 4) cos 1 . Để ·AOB= 1200 thì AOB 2 = - ( 4) 1 4 ( 4) 2 ( 4) 4 0 4 ( 4) 2 3 24 44 0 Û m m + = - Û m ( ì- + m + ) = - < m < m m + Û í 2 2 î 2 + + + + = ( ) 2 2 m m m m 4 0 12 2 3 ì- < Ûï ïî m < - + í - ± Û m = m = 12 2 3 3 3 Câu 37. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + m2 - m +1 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7, với điểm C(–2; 4 ). · Ta có y ' = 3x 2 - 6x ; y ' = 0Û3x 2 - 6x = 0Û x = 0; x = 2 Þ Hàm số luôn có CĐ, CT. Các điểm CĐ, CT của đồ thị là: A(0;m2 - m +1) , B(2;m2 - m - 3) , AB= 22 + (-4)2 = 2 5 Phương trình đường thẳng AB: x y m m 0 2 1 - = - + - 2 - 4 Û 2x + y - m2 + m -1= 0 S d C AB AB m m m m ABC 2 1 ( , ). 1. 1 .2 5 2 1 7 2 2 5 D - + = = = - + = mm3 Û é = êë = - 2 . Câu hỏi tương tự: a) y = x 3 - 3mx + 2,C(1;1),S = 18 . ĐS: m = 2 . Câu 38. Cho hàm số y = x 3 - 3(m +1)x 2 +12mx - 3m + 4 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số m = 0. 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm C 1; 9 æ ö ç- - è 2 ¸ ø lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm. · Ta có y ' = 3x 2 - 3(m +1)x +12m . Hàm số có hai cực trị Û y¢ = 0 có hai nghiệm phân biệt Û D = (m -1)2 > 0Û m ¹ 1 (*). Khi đó hai cực trị là A(2;9m), B(2m;-4m3 +12m2 -3m + 4) . DABC nhận O làm trọng tâm Û 2 2 1 0 1 4 12 6 4 9 0 2 ìï + m - = í - m3 m2 Û = - + + m + - m ïî = 2 (thoả (*)). Câu 39. Cho hàm số y = f(x ) = 2x 3 + 3(m - 3)x 2 +11- 3m (Cm ). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2. 2) Tìm m để (Cm ) có hai điểm cực trị M1,M2 sao cho các điểmM1,M2 và B(0; –1) thẳng hàng. · y¢ = 6x2 + 6(m - 3) . y¢ = 0 Û xx m 0 3 é = êë = - . Hàm số có 2 cực trị Û m ¹ 3 (*). Trang 22
  15. 15. Khảo sát hàm số ( ) ( ) 1 3 ( 3)2 11 3 ¢ æ - ö = ç + ¸- - + - Chia f(x ) cho f¢(x ) ta được: f x f x x m m x m 3 6 è ø Þ phương trình đường thẳng M1M2 là: y = -(m - 3)2x +11- 3m M1,M2,B thẳng hàng Û BÎM1M2 Û m = 4 (thoả (*)). Câu 40. Cho hàm số y x mx m x Cm 1 3 2 ( 2 1) 1 ( ) = - + - + . 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 . 2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và yCÑ+ yCT > 2. · Ta có: y¢ = x 2 - 2mx + m2 -1. y x m 0 11 ¢ = Û é = + êë x = m - . 2 3 2 2 2 1 0 1 - + > Û é- < < êë > yCÑ+ yCT > 2 Û m m m m . Câu 41. Cho hàm số y 1 x 3 (m 1)x 2 4(m 1)3 = - + + + (1) (m là tham số thực). 3 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (1) nằm về 2 phía (phía trong và phía ngoài) của đường tròn có phương trình (C): x 2 + y2 - 4x + 3 = 0 . · y¢ = x 2 - 2(m +1)x . y x 0 02( 1) ¢ = Û é = êë x = m + . Hàm số có cực trị Û m ¹ -1 (1) Gọi hai điểm cực trị của đồ thị là: A 0; 4(m 1)3 æ ö ç + ¸ è ø 3 , B(2(m +1);0) . (C) có tâm I(2; 0), bán kính R = 1. IA 4 16(m 1)6 = + + , IB= 4m2 . 9 A, B nằm về hai phía của (C) Û (IA2 - R2)(IB2 - R2) < 0 Û 4m2 1 0 1 m 1 - < Û- < < (2) 2 2 1 1 2 2 Kết hợp (1), (2), ta suy ra: m - < < . Câu 42. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 -1)x - m3 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -2 . 2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định. · y ¢= 3x 2 - 6mx + 3(m2 -1) ; y x m 0 11 ¢= Û é = + êë x = m - 1 2 3 ì = - + í = - î Điểm cực đại M(m -1;2- 3m) chạy trên đường thẳng cố định: x t y t 1 2 3 ì = + í = - - î Điểm cực tiểu N(m +1;-2- m) chạy trên đường thẳng cố định: x t y t Câu 43. Cho hàm số y x mx x m Cm 1 3 2 1 ( ) = - - + + . 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là nhỏ nhất. Trang 23 - ôn luy ện thi đại học online
  16. 16. Khảo sát hàm số · Ta có: y¢ = x 2 - 2mx -1; y¢ = 0 có D¢ = m2 +1> 0,"m Þ hàm số luôn có hai điểm cực trị x1,x2 . Giả sử các điểm cực trị của (Cm) là A(x1; y1),B(x2; y2) . Ta có: y = 1(x - m).y ¢ - 2(m2 + 1)x + 2m + 1 3 3 3 2( 1) 2 1 3 3 Þ y m2 x m 2( 1) 2 1 3 3 = - + + + ; y m2 x m 1 1 = - + + + 2 2 ( ) ( ) (4 4) 1 4( 1) 4 1 4 é ù æ ö Do đó: AB2 x x 2 y y 2 m2 m2 2 = 2 - 1 + 2 - 1 = + ê + + ú ³ + ë û è ç ø ¸ 9 9 Þ AB 2 13 3 min 2 13 ³ . Dấu "=" xảy ra Û m = 0 . Vậy AB = khi m = 0 . 3 Câu 44. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 (1) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân. · y¢ = 3x 2 - 6x - m . Hàm số có 2 cực trị Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m > -3. Ta có: y x y m x m 1( 1). 2 2 2 3 3 3 ¢ æ ö = - + ç- - ¸ + - è ø Þ Đường thẳng D đi qua 2 điểm cực trị của đồ 2 2 2 3 3 æ ö = ç- - ¸ + - è ø thị có phương trình: y m x m . æ - ö ç + ¸ è ø D cắt Ox, Oy tại A m m 6 ;0 2( 3) 0; 6 æ - ö çè ø¸ , B m 3 (m ¹ 0). - = - + Û m m m Tam giác OAB cân Û OA = OB Û m m m 6 6 2( 3) 3 6; 9; 3 = = - = - . 2 2 Đối chiếu điều kiện ta có m 3 2 = - . Câu 45. Cho hàm số : y = 1 x 3 mx 2 (m2 m 1)x 1 3 - + - + + (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có cực trị trong khoảng (-¥;1) . · Tập xác định D = R. y¢ = x 2 - 2mx + m2 - m +1. Đặt t = x -1Þ x = t +1 ta được : y ' = g (t) = t2 + 2(1- m) t + m2 - 3m + 2 Hàm số(1) có cực trị trong khoảng(-¥;1) Û f(x ) = 0 có nghiệm trong khoảng (-¥;1) . Û g (t) = 0 có nghiệm t < 0 0 ' 0 0 0 é P < êìD Û êï ³ êí S < êëîï P ³ é m 2 - m + < êì Û êï m - ³ êí m - < êï ëî m 2 - m + ³ 3 2 0 1 0 2 2 0 3 2 0 Û1< m < 2 Vậy: Với 1< m < 2thì hàm số (1) có cực trị trong khoảng (-¥;1) Câu 46. Cho hàm số : y = 1 x 3 mx 2 (m2 m 1)x 1 3 - + - + + (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có cực trị trong khoảng (1;+¥) . · Tập xác định D = R. y¢ = x 2 - 2mx + m2 - m +1. Trang 24
  17. 17. Khảo sát hàm số Đặt t = x -1Þ x = t +1 ta được : y ' = g (t) = t2 + 2(1- m) t + m2 - 3m + 2 Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (1;+¥) Û f(x ) = 0 có nghiệm trong khoảng (1;+¥) . Û g (t) = 0 có nghiệm t > 0 0 ' 0 0 0 é P < êìD Û êï ³ êí S > êëîï P ³ é m 2 - m + < êì Û êï m - ³ êí m - > êï ëî m 2 - m + ³ 3 2 0 1 0 2 2 0 3 2 0 Û1< m Vậy: Với m > 1 thì hàm số (1) có cực trị trong khoảng (1;+¥) Câu 47. Cho hàm số : y = 1 x 3 mx 2 (m2 m 1)x 1 3 - + - + + (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả mãn x1 < 1< x2 . · Tập xác định D = R. y¢ = x 2 - 2mx + m2 - m +1. Đặt t = x -1Þ x = t +1 ta được: y ' = g (t) = t2 + 2(1- m)t + m2 - 3m + 2 (1) có hai cực trị x1,x2 thoả x1 < 1< x2 Û g (t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả t1 < 0 < t2 Û P< 0 Ûm2 - 3m + 2 < 0 Û1< m < 2 Vậy: Với 1< m < 2thì hàm số (1) có hai cực trị x1,x2 thoả mãn x1 < 1< x2 . Câu 48. Cho hàm số : y = 1 x 3 mx 2 (m2 m 1)x 1 3 - + - + + (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả mãn x1 < x2 < 1. · Tập xác định D = R. y¢ = x 2 - 2mx + m2 - m +1. Đặt t = x -1Þ x = t +1 ta được : y ' = g (t) = t2 + 2(1- m) t + m2 - 3m + 2 (1) có hai cực trị x1,x2 thoả x1 < x2 < 1 Û g (t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả t1 < t2 < 0 ' 0 0 0 Ûï ìD > S < î P íï > ì m - > Ûï m 2 - m + > íï Û m ÎÆ î m - < 1 0 3 2 0 2 2 0 . Vậy: Không có giá trị nào của m nào thoả YCBT. Câu 49. Cho hàm số : y = 1 x 3 mx 2 (m2 m 1)x 1 3 - + - + + (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả mãn 1< x1 < x2 . · Tập xác định D = R. y¢ = x 2 - 2mx + m2 - m +1. Đặt t = x -1Þ x = t +1 ta được : y ' = g (t) = t2 + 2(1- m) t + m2 - 3m + 2 (1) có hai cực trị x1,x2 thoả 1< x1 < x2 Û g (t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả 0 < t1 < t2 ' 0 0 0 Ûï ìD > S > î P íï > ì m - > Ûï m 2 - m + > íï Û m > î m - > 1 0 3 2 0 2 2 2 0 Vậy: Với m > 2 thì hàm số (1) có hai cực trị x1,x2 thoả mãn 1< x1 < x2 . Dạng 2: Cực trị của hàm số trùng phương: y = f(x ) = ax 4 + bx 2 + c Trang 25 - ôn luy ện thi đại học online
  18. 18. Khảo sát hàm số A. Kiến thức cơ bản · Hàm số luôn nhận x = 0 làm 1 điểm cực trị. · Hàm số có 1 cực trị Û phương trình y¢ = 0 có 1 nghiệm. · Hàm số có 3 cực trị Û phương trình y¢ = 0 có 3 nghiệm phân biệt. · Khi đồ thị có 3 điểm cực trị A(0;c),B(x1; y1),C(x2; y2) thì DABC cân tại A. B. Một số dạng câu hỏi thường gặp 1. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân hoặc tam giác đều. – Tìm điều kiện để phương trình y¢ = 0 có 3 nghiệm phân biệt. – Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra DABC cân tại A. uuur uuur – Giải điều kiện: DABC vuông tại A Û AB.AC= 0 DABC đều Û AB= BC 2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S cho trước. – Tìm điều kiện để phương trình y¢ = 0 có 3 nghiệm phân biệt. – Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra DABC cân tại A. – Kẻ đường cao AH. – Giải điều kiện: S SABC AH BC 1 . 2 = = . Câu 50. Cho hàm số y = x 4 - 2(m2 - m +1)x 2 + m -1. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2) Tìm m để đồ thị (C) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất. x 0 · y¢ = 4x 3 - 4(m2 - m +1)x ; y x m2 m 0 1 ¢ é = = Û ê = ± - + êë . æ ö Khoảng cách giữa các điểm cực tiểu: d = m m m 2 2 2 1 2 1 3 - + = ç - ¸ + è ø 2 4 Þ mind = 3 Û m = 1 2 . Câu 51. Cho hàm số y 1 x 4 mx 2 3 = - + (1) 2 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3. 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. · y ¢= 2x 3 - 2mx = 2x (x 2 - m) . x y 0 0 ¢ é = = Û ê = ë x 2 m Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại Û PT y ¢= 0 có 1 nghiệm Û m £ 0 Câu 52. Cho hàm số y = -x 4 + 2mx 2 - 4 (Cm ) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2 . 2) Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của (Cm ) đều nằm trên các trục toạ độ. · Ta có: y¢ = -4x 3 + 4mx ; x y 0 0 ¢ é = = Û ê = ë x 2 m . Trang 26
  19. 19. Khảo sát hàm số + Nếu m £ 0 thì đồ thị có 1 điểm cực trị duy nhất (0;-4)ÎOy . + Nếu m > 0 thì (Cm ) có 3 điểm cực trị A(0;-4),B(- m;m2 - 4),C( m;m2 - 4) . Để A, B, C nằm trên các trục toạ độ thì B, C Î Ox Û m m m2 0 2 4 0 ì > Û = í - = î . Vậy: m £ 0 hoặc m = 2 . Câu 53. Cho hàm số y = x 4 + (3m +1)x 2 - 3 (với m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng 2 3 lần độ dài cạnh bên. · Ta có: y ' = 4x 3 + 2(3m +1)x ; y ' 0 x 0,x 2 3m 1 = Û = = - + . 2 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị m 1 3 Û < - (*). Ba điểm cực trị là: A( æ - 3 - 1 2 ö ç ; - (3 + 1)- 3 ¸ è 2 4 ø 0;-3) ;B m m æ ç- - 3 - 1 2 ö ; - (3 + 1)- 3 ¸ è 2 4 ø ;C m m æ - - ö æ - - + ö = Û ç ¸= ç + ¸ è ø è ø DABC cân tại A;BC 2 AB m m m 3 3 1 3 1 (3 1)4 9.4 4 2 2 16 m 5 3 Û = - , thoả (*). Câu 54. Cho hàm số y = f(x ) = x 4 + 2(m - 2)x 2 + m2 - 5m + 5 (Cm ) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. · Ta có ( ) 4 4( 2) 0 x 0 ¢ é = = + - = Û ê = - ë f x x m x x m 3 2 2 Hàm số có CĐ, CT Û PT f ¢(x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û m < 2 (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A( 0;m2 - 5m + 5) , B( 2- m;1- m ) , C( - 2- m;1- m ) uuur ( ) uuur Þ AB= 2- m;-m2 + 4m - 4, AC = ( - 2- m;-m2 + 4m - 4) Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi DABC vuông tại A uuur uuur Û AB.AC= 0Û(m - 2)3 = -1Û m = 1 (thoả (*)) Câu 55. Cho hàm số ( ) y x m x m m Cm = 4 + 2( - 2) 2 + 2 - 5 + 5 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. · Ta có ( ) 4 4( 2) 0 x 0 ¢ é = = + - = Û ê = - ë f x x m x x m 3 2 2 Hàm số có CĐ, CT Û PT f ¢(x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û m < 2 (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A( 0;m2 - 5m + 5) , B( 2- m;1- m ) , C( - 2- m;1- m ) uuur ( ) uuur Þ AB= 2- m;-m2 + 4m - 4, AC = ( - 2- m;-m2 + 4m - 4) cos 1 Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi μA= 600 Û A 2 = Trang 27 - ôn luy ện thi đại học online
  20. 20. Khảo sát hàm số uuur uuur uuur uuur Û m = 2- 3 3 . . 1 . 2 Û ABAC AB AC = (Chú ý: Có thể dùng tính chất: DABC đều Û AB = BC = CA). Câu hỏi tương tự: a) y = x 4 - 2mx 2 + 2m + m4 . ĐS: m = 3 3 3 b) y = x 4 - 4(3 m -1)x 2 + 2m -1. ĐS: m 1 2 = + c) y = x 4 - 4(m -1)x 2 + 2m -1 Câu 56. Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2m + m4 có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích S = 4 . · Ta có x é = = - = Û ê = - = ë y x mx g x x m 3 2 ' 4 4 0 0 ( ) 0 Hàm số có 3 cực trịÛ y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệtÛDg = m > 0Ûm > 0 (*) Với điều kiện (*), phương trình y ¢= 0có 3 nghiệm x1 = - m; x2 = 0; x3 = m . Hàm số đạt cực trị tại x1; x2; x3 . Gọi A(0;2m + m4);B( m;m4 - m2 + 2m ) ;C( - m;m4 - m2 + 2m ) là 3 điểm cực trị của (Cm) . Ta có: AB2 = AC2 = m4 + m;BC2 = 4m ÞDABC cân đỉnh A Gọi M là trung điểm của BCÞM(0;m4 - m2 + 2m)Þ AM= m2 = m2 Vì DABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó: 5 1 . 1. 2. 4 4 2 4 5 16 516 D 2 2 = = = Û = Û = Û = . Vậy m = 516 . S ABC AMBC m m m m m Câu hỏi tương tự: a) y = x 4 - 2m2x 2 +1, S = 32. ĐS: m = ±2 b) y 1 x 4 2mx 2 m = - + , S = 32 2 . ĐS: m = 2 4 c) y = x 4 - 2m2x 2 + m4 + m , S = 32. ĐS: m = ±2 d) y = x 4 - 2mx 2 + 2m2 - 4, S = 1. ĐS: m = 1 Câu 57. Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m2 + m có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –2. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 1200 . x 0 · Ta có y¢ = 4x 3 + 4mx ; y x x 2 m x m 0 4 ( ) 0 é = ¢ = Û + = Û ê = ± - êë (m < 0) Khi đó các điểm cực trị là: A(0;m2 + m), B( -m;m) ,C( - -m;m ) uuur uuur AB= ( -m;-m2) ; AC= (- -m;-m2) . DABC cân tại A nên góc 120o chính là μA. cos 1 . 1 . 1 Û = - Û = - Û - - - + = - μA=120o A ABAC m m m 2 . 2 2 AB AC m m 4 4 - uuur uuur uuur uuur Trang 28
  21. 21. Khảo sát hàm số 1 0 ( ) 2 2 3 0 1 2 m m 4 m lo aïi m m 4 4 4 m m m 4 m m m m 3 3 é = Û + = - Þ + = - Û + = Û ê - ê = - êë 1 3 = - . . Vậy m 3 Câu 58. Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + m -1 có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. · Ta có x 4 4 4 ( ) 0 0 ¢ é = = - = - = Û ê = ë y x mx x x m x m 3 2 2 Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ÛPT y ¢= 0 có ba nghiệm phân biệt và y ¢ đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó Ûm > 0 . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là: A(0;m -1),B( - m;-m2 + m -1) ,C( m;-m2 + m -1) S ABC yB yA xC xB m m 1 . 2 V = - - = ; AB= AC= m4 + m ,BC= 2 m 2 . . ( )2 1 1 1 2 1 0 5 1 4 4 2 + é = = = Û = Û - + = Û ê - ê = êë ABACBC m m m m R m m S m m m ABC 4 3 2 V Câu hỏi tương tự: 1, 1 5 = = - + a) y = x 4 - 2mx 2 +1 ĐS: m m 2 Câu 59. Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2 (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm D 3; 9 5 5 æ ö çè ø¸ . 4 4 ; 0 0 ¢ ¢ é = = - = Û ê = ë · Ta có: x y x mx y x m 3 2 . Hàm số có 3 điểm cực trị Û m > 0 . Khi đó các điểm cực trị của (Cm) là: A(0;2),B(- m;-m2 + 2),C( m;-m2 + 2) . Gọi I(x; y ) là tâm của đường tròn (P) ngoại tiếp DABC. Ta có: ì = 2 2 2 2 2 2 IA ID IB IC IB IA ïí = ï = î Û 3 1 0 2 2 ( ) ( 2) ( 2) ì - + = ï = - íï î + + + - = + - x y x m x m x m 2 y m2 2 x 2 y 2 Û x ym 0 1 1 ìï == íï î = . Vậy m = 1. Câu 60. Cho hàm số y = x 4 - 2(1- m2)x 2 + m +1 (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 . 2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất. · y¢ = 4x 3 - 4(1- m2)x ; x y 0 0 ¢ é = = Û ê = - ë x 2 1 m2 . Hàm số có 3 cực trị Û -1< m < 1. Khi đó các điểm cực trị của (Cm) là: A(0;1+ m) , B( - 1- m2; 1- m2 ) , C( 1- m2; 1- m2 ) Ta có: SABC d ABC BC m1 ( , ). (1 2)2 1 = = - £ . Dấu "=" xảy ra Û m = 0 . 2 Trang 29 - ôn luy ện thi đại học online
  22. 22. Khảo sát hàm số Vậy maxSABC =1Ûm = 0. Câu 61. Cho hàm số y 1 x 4 (3m 1)x 2 2(m 1) = - + + + (Cm). 4 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 . 2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ O. · y¢ = x 3 - 2(3m +1)x ; x y 0 0 ¢ é = Û = ê ë x 2 = m + 2(3 1) . Hàm số có 3 cực trị Û m 1 3 > - (*) Khi đó toạ độ 3 điểm cực trị là: A(0;2m + 2),B(- 6m + 2;-9m2 - 4m +1),C( 6m + 2;-9m2 - 4m +1) DABC có trọng tâm O Û - 18m2 - 6m + 4 = 0 Û m = - 2;1 m = 3 3 Đối chiếu với điều kiện (*), suy ra m 1 3 = . Trang 30

×