1. Céng ho∙ x∙ héi chñ nghÜa viÖt nam
§éc lËp-tù do-h¹nh phóc
…………o0o…………
®Ò tµi
Ph©n lo¹i bµi to¸n
tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay
I. s¬ yÕu lÝ lÞch
• Hä vµ tªn: NguyÔn §«ng B¾c
• Sinh ngµy: 31/10/1980
• N¨m vµo nghµnh: 09/2007
• Ngµy vµo §oµn TNCS Hå ChÝ Minh: 22/12/1998
• Chøc vô vµ ®¬n vÞ c«ng t¸c: Gi¸o viªn tr−êng THPT V¹n Xu©n
• Tr×nh ®é: Cö nh©n To¸n
• HÖ ®µo t¹o: ChÝnh quy
• Bé m«n gi¶ng d¹y: To¸n
• Ngo¹i ng÷: Anh

2. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. Trang 2
II. Néi dung ®Ò tμi:
1. Tªn ®Ò tµi:
Ph©n lo¹i bµi to¸n
tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay
2. Lý do chän ®Ò tµi:
TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ nãi chung vµ thÓ tÝch khèi trßn xoay nãi riªng lµ mét øng
dông quan träng cña tÝch ph©n, d¹ng to¸n nµy th−êng xuyªn xuÊt hiÖn trong c¸c
®Ò thi tèt nghiÖp THPT vµ c¸c ®Ò thi vµo c¸c tr−êng cao ®¼ng vµ ®¹i häc. Thêi
l−îng cho phÇn nµy theo ph©n phèi ch−¬ng tr×nh lµ 2 tiÕt, víi thêi gian Ýt nh− vËy
céng víi h×nh d¹ng trõu t−îng cña khèi trßn xoay- mét ®èi t−îng cña h×nh häc
kh«ng gian, häc sinh th−êng bÞ lóng tóng, mÊt ®Þnh h−íng vµ thiÕu tù tin vµo b¶n
th©n khi lµm bµi tËp d¹ng nµy. ViÖc ph©n lo¹i bµi to¸n vµ ®−a ra ph−¬ng ph¸p
gi¶i phï hîp ®èi víi tõng tr−êng hîp sÏ gióp häc sinh ®Þnh h−íng trong qu¸ tr×nh
gi¶i bµi tËp, v× lÝ do ®ã t«i quyÕt ®Þnh thùc hiÖn ®Ò tµi.
3. Ph¹m vi vµ thêi gian thùc hiÖn ®Ò tµi:
§Ò tµi nµy ®−îc ¸p dông trong ph¹m vi c¸c líp 12C2-Tr−êng THPT V¹n Xu©n
víi ®èi t−îng lµ c¸c em häc sinh cã häc lùc trung b×nh. Thùc hiÖn trong n¨m häc
2008-2009, vµo c¸c giê luyÖn tËp vµ tù chän, sau khi c¸c em ®· häc xong bµi
“§3. øng dông cña tÝch ph©n trong h×nh häc” cña ch−¬ng III- Gi¶i tÝch 12 Ban
C¬ b¶n.
III. Qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ò tμi:
1. Kh¶o s¸t t×nh h×nh thùc tÕ:
ë ®Çu n¨m trong ch−¬ng tr×nh H×nh häc 12 c¸c c¸c em ®· ®−îc trang bÞ c¸c
kiÕn thøc t−¬ng ®èi ®Çy ®ñ vÒ mÆt trßn xoay, khèi trßn xoay vµ c¸ch t¹o ra
chóng, trong ch−¬ng tr×nh Gi¶i tÝch 12 ë häc k× II c¸c em ®· ®−îc trang bÞ c¸c
kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ tÝch ph©n, øng dông tÝch ph©n ®Ó tÝnh thÓ tÝch vËt thÓ. §ã lµ
c¬ së v÷ng ch¾c ®Ó tiÕn hµnh thùc hiÖn ®Ò tµi nµy.
2. Sè liÖu ®iÒu tra tr−íc khi thùc hiÖn ®Ò tµi:
Sau khi d¹y xong bµi “§3. øng dông cña tÝch ph©n trong h×nh häc” cña ch−¬ng
III- Gi¶i tÝch 12 Ban C¬ b¶n, tr−íc khi d¹y thö nghiÖm néi dung s¸ng kiÕn cho
häc sinh cña líp 12C2, t«i ®· ra bµi tËp vÒ nhµ cho c¸c em, cho c¸c em chuÈn bÞ
tr−íc trong thêi gian 1 tuÇn. Víi bµi tËp sau:
Bµi tËp:
TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o thµnh khi quay h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c
®−êng sau quanh trôc Ox.
a) y = e x ; y = 0 ; x = 0; x = 2 .
b) y = x 2 ; y = x
c) x 2 + y 2 = 8 ; y 2 = 2 x .
KÕt qu¶ thèng kª ®−îc nh− sau:
Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c.

3. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. Trang 3
KÕt qu¶
Sè HS kh«ng cã lêi
Sè HS gi¶i ®óng Sè HS gi¶i sai
gi¶i
C©u
C©u a) 20 (54%) 7 (19%) 10 (27%)
C©u b) 17 (46%) 9 (24,3%) 11 (29,7%)
C©u c) 2 (5,4%) 8 (29,6%) 26 (70%)
Tõ kÕt qu¶ thu ®−îc ta thÊy mÆc dï bµi to¸n t−¬ng ®èi dÔ nh−ng häc sinh vÉn
ch−a n¾m ®−îc kÜ n¨ng gi¶i. ViÖc thùc hiÖn ®Ò tµi lµ cÇn thiÕt.
3. C¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn:
A. Yªu cÇu ®èi víi häc sinh:
- N¾m v÷ng kh¸i niÖm mÆt trßn xoay, khèi trßn xoay vµ c¸c kh¸i niÖm liªn
quan.
- N¾m v÷ng c¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n.
- N¾m v÷ng bµi to¸n kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè, c¸c phÐp biÕn ®æi ®å thÞ,
vµ ®å thÞ cña c¸c hµm sè ®Æc biÖt.
B. Néi dung ®Ò tµi:
PhÇn I: Nh¾c l¹i c¸c kiÕn thøc ®· häc trong ch−¬ng tr×nh líp 12 vµ c¸c kiÕn thøc
liªn quan.
1. C¸ch tÝnh thÓ tÝch vËt thÓ bÊt k×:
B−íc 1: Chän trôc Ox däc theo chiÒu dµi vËt thÓ.
B−íc 2: X¸c ®Þnh chiÒu dµi vËt thÓ trªn trôc Ox ⇒ ta ®−îc ®o¹n [a; b].
B−íc 3: C¾t vËt thÓ bëi mÆt ph¼ng (P) vu«ng gãc víi trôc Ox t¹i vÞ trÝ
x ∈ [a; b] ⇒ t×m quy luËt biÕn ®æi cña diÖn tÝch thiÕt diÖn S(x).
b
B−íc 4: KÕt luËn c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch vËt thÓ lµ: V = ∫ S( x ).dx
a
2. C¸c phÐp biÕn ®æi ®å thÞ:
Cho hµm sè y = f ( x ) cã ®å thÞ (C).
- LÊy ®èi xøng ®å thÞ (C) qua trôc Ox ta ®−îc ®å thÞ (C1): y = − f ( x ) .
- LÊy ®èi xøng ®å thÞ (C) qua trôc Oy ta ®−îc ®å thÞ (C2): y = f (− x ) .
Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c.

4. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. Trang 4
3. §å thÞ cña mét sè hµm sè ®Æc biÖt:
§å thÞ hµm sè mò §å thÞ hµm logarit
§å thÞ hµm luü thõa §å thÞ hµm y = x n (n ∈ N )
PhÇn II: Ph©n lo¹i bµi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay.
B×nh luËn: §Ó t¹o ra khèi trßn xoay ta ph¶i quay mét h×nh ph¼ng quanh mét
trôc nµo ®ã, trong ch−¬ng tr×nh c¬ b¶n ta chØ xÐt khèi trßn xoay quay quanh trôc
Ox. Do vËy, ta sÏ ph©n lo¹i bµi to¸n theo ®Æc ®iÓm cña h×nh ph¼ng vµ vÞ trÝ cña
h×nh ph¼ng so víi trôc Ox.
1. Khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng n»m vÒ mét phÝa cña trôc Ox khi
quay quanh Ox.
D¹ng 1: Khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi mét ®−êng cong vµ
trôc Ox.
⎧y = f ( x)
⎪
S : ⎨Ox ( y = 0)
⎪
⎩ x = a; x = b
Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c.

5. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. Trang 5
N»m phÝa trªn trôc Ox N»m phÝa d−íi trôc Ox
b
Vox = π.∫ [ f ( x )] .dx
2
C«ng thøc tÝnh:
a
VÝ dô:
TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau khi
quay quanh Ox:
a) y = x ; Ox; x=1; x=4. b) y = x 2 − 2.x − 3; y=0. c) y = x.e x ; y=0; x=1.
Bµi gi¶i:
a)
NhËn xÐt: §©y lµ mét bµi to¸n ®óng d¹ng ®ang xÐt do vËy ta cã thÓ ¸p dông ngay
c«ng thøc mµ kh«ng ph¶i vÏ h×nh.
Lêi gi¶i:
C«ng thøc tÝnh diÖn tÝch lµ:
4
Vox = π ∫ ( x )2 .dx
1
⇒ ThÓ tÝch khèi trßn xoay lµ:
15
Vox = π (®vtt)
2
b)
Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c.

6. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. Trang 6
NhËn xÐt: Trôc Ox cã ph−¬ng tr×nh y=0, bµi to¸n nµy ®óng d¹ng nh−ng ch−a cho
c¸c cËn lÊy tÝch ph©n x=a; x=b, ta t×m nã b»ng c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh t−¬ng
giao.
Lêi gi¶i:
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña
y = x 2 − 2.x − 3 víi trôc Ox lµ
nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:
⎡ x = −1
x 2 − 2.x − 3 = 0 ⇔ ⎢
⎣x = 3
C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch:
3
Vox = π ∫ ( x 2 − 2 x − 3)2 .dx
−1
⇒ThÓ tÝch vËt thÓ lµ:
832
Vox = π (®vtt)
15
c)
NhËn xÐt: Trôc Ox cã ph−¬ng tr×nh y=0, bµi to¸n nµy ®óng d¹ng nh−ng ch−a ®ñ
cËn lÊy tÝch ph©n vµ ®å thÞ cña nã ta ch−a biÕt c¸ch vÏ, ta t×m cËn cßn l¹i b»ng
c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh t−¬ng giao.
Lêi gi¶i:
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña y = x.e x
víi trôc Ox lµ nghiÖm cña ph−¬ng
tr×nh:
x.e x = 0 ⇔ x = 0
C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch:
1 1
Vox = π ∫ ( x .e x )2 .dx = π ∫ x 2 .e2 x .dx
0 0
⇒Sö dông ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n
tõng phÇn ta cã thÓ tÝch vËt thÓ lµ:
e2 − 1
Vox = π (®vtt)
4
D¹ng 2: Khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi tõ hai ®−êng cong
trë lªn.
C¸ch gi¶i:
B−íc 1: VÏ h×nh vµ x¸c ®Þnh hoµnh ®é c¸c giao ®iÓm.
B−íc 2: Ph©n chia h×nh ph¼ng thµnh c¸c phÇn giíi h¹n bëi mét ®−êng cong vµ
trôc Ox.
B−íc 3: X¸c ®Þnh c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch vµ kÕt luËn.
VÝ dô:
Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c.

7. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. Trang 7
TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau khi
quay quanh Ox:
a) y = x 2 ; y=2-x, Ox. b) y = x 2 − 2.x − 3; y=0.
Bµi gi¶i:
a) Hoµnh ®é giao ®iÓm cña
( P) : y = x 2 vµ (d): y=2-x lµ nghiÖm
cña ph−¬ng tr×nh:
⎡ x=1
x 2 =2-x ⇔ ⎢ ⇔ x =1
⎣ x=-2 (lo¹i)
Ta cã: S=S1+S2 ⇒ V=V1+V2
⇒ C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch:
1 2
Vox = π ∫ ( x 2 )2 .dx + π ∫ (2 − x )2 .dx
0 1
ThÓ tÝch cña vËt thÓ lµ:
8
Vox = π (®vtt)
15
b) Hoµnh ®é giao ®iÓm cña
3
(H) : y = vµ (d): y=7-2x lµ
x
nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:
⎡ x=3
3
=7-2x ⇔ ⎢ 1
x ⎢ x=
⎢ 2
⎣
Ta cã: S=S1- S2 ⇒ V=V1- V2
⇒ C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch:
2
⎛3⎞
3 3
Vox = π∫ (7 − 2 x ) .dx − π∫ ⎜ ⎟ .dx
2
1 1⎝ x⎠
2 2
ThÓ tÝch cña vËt thÓ lµ:
185
Vox = π (®vtt)
2
2. Khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng n»m vÒ hai phÝa cña trôc Ox khi quay
quanh Ox.
VÝ dô 1: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng
sau khi quay quanh Ox: y = sin x; Ox; x=0; x=2π.
Bµi gi¶i:
Ta cã: S=S1+S2 ⇒ V=V1+V2 ⇒ C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch lµ:
π 2π
Vox = π∫ (sin x )2 .dx + π ∫ ( sin x ) .dx
2
0 π
2π
=π ∫ (sin x )2 .dx
0
Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c.

8. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. Trang 8
⇒ ThÓ tÝch cña vËt thÓ lµ: Vox = π2 (®vtt)
NhËn xÐt: ë bµi to¸n nµy h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 1 ®−êng cong vµ trôc Ox,
h×nh ph¼ng nµy cã mét phÇn n»m trªn vµ mét phÇn n»m phÝa d−íi trôc Ox, vµ ta
thÊy r»ng c«ng thøc thiÕt lËp ë phÇn I vÉn cßn ®óng.
VÝ dô 2: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng
sau khi quay quanh Ox: x 2 + y 2 = 8 ; y 2 = 2 x .
Bµi gi¶i:
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (C) : x 2 + y 2 = 8 vµ (P): y 2 =2x lµ nghiÖm cña ph−¬ng
tr×nh:
⎡x2 = 4 ⎡x = 2
x 2 + (2 x )2 = 8 ⇔ ⎢ 2 ⇔⎢ ⇔ x=2
⎣ x = −2 (lo¹i) ⎣ x = −2 (lo¹i)
Ta cã: do tÝnh ®èi xøng cña (C) vµ (P) khèi trßn xoay quay bëi S lµ khèi trßn
xoay quay bëi S1∪S2 ⇒ V=V1+V2
Mà OA : y= 8-x 2 vµ AB : y= 2x
Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c.

9. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. Trang 9
⇒ C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch lµ:
( ) .dx + π ∫ ( ) .dx
2 8 2
2
Vox = π∫ 2x 8 − x2
0 2
2 8
=π ∫ 2 x.dx + π ∫ ( 8 − x 2 ) .dx
0 2
16 8 − 28
⇒ ThÓ tÝch cña vËt thÓ lµ: Vox = π (®vtt)
3
NhËn xÐt: ë bµi to¸n nµy h×nh ph¼ng gåm 2 phÇn ®èi xøng nhau qua trôc Ox,
khèi trßn xoay t¹o thµnh cã ®−îc b»ng c¸ch quay mét phÇn quanh trôc Ox.
VÝ dô 3: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng
sau khi quay quanh Ox: y = 3 − x; y = −1; x = 1; x = 3 ; y 2 = 2 x .
Bµi gi¶i:
S gåm 2 phÇn S1 n»m phÝa trªn vµ S2 n»m phÝa d−íi Ox. §èi xøng cña ®−êng
y = −1 qua trôc Ox lµ ®−êng y = 1 vµ ®èi xøng cña S2 qua Ox lµ S '2 khèi trßn
xoay t¹o thµnh lµ khèi trßn xoay quay bëi S1 ∪ S '2 ⇒ V=V1+V2
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña y = 1 vµ y=3-x lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:
3− x =1⇔ x = 2
⇒ C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch lµ:
2 3
Vox = π ∫ (3 − x )2 .dx + π ∫ dx
1 2
10
⇒ ThÓ tÝch cña vËt thÓ lµ: Vox = π (®vtt)
3
NhËn xÐt: ë bµi to¸n nµy h×nh ph¼ng gåm 2 phÇn phÇn S1 n»m phÝa trªn vµ S2
n»m phÝa d−íi trôc Ox, ®Ó tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o thannhf ta tiÕn hµnh
Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c.

10. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. Trang 10
lÊy ®èi xøng S2 lªn phÝa trªn ®−îc S '2 vµ kÕt luËn khèi trßn xoay t¹o thµnh do
h×nh ph¼ng S1 ∪ S '2 quay quanh Ox vµ ®−a bµi to¸n vÒ d¹ng quen thuéc.
3. C¸c bµi tËp t−¬ng tù
Bµi 1. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng
sau khi quay quanh Ox:
a) y = sinx; y = 0; x = 0; x = π/2
b) y = cos2x; y = 0; x = 0; x = π/4
c) y = cos4x + sin4x ; y = 0; x = 0; x = π/2
d) y = cos6x + sin6x ; y = 0; x = π/4; x = π/2
e) y = xex; y = 0; x = 0; x = 1
f) y= x .lnx; y = 0; x =1; x = e
4
g) y = x ; y = 0; x = 1; x = 4 h) y = 2x, y = – x + 3, Ox
i) y = x2, y = 2 – x, Ox j) y = x2 ,y = 2 – x, Oy
3
k) y = x , y = – 2x + 7 l) y = 1 – x, y = 3 – 2x – x2
Bµi 2. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng
sau khi quay quanh Ox:
a) y = 3x – x2; y = 0 b) y = x2; y = 3x c) y = x3 + 1; y = 0; x = 0; x = 1
4
d) y = x ; y = – x + 5 e) y = 2x ; y = – x +3; y = 0
g) y = x2; y = 2 – x; y = 0 (phÇn n»m ngoài y = x2)
h) y = x2; y = 10 – 3x; y = 1 (phÇn n»m ngoài y = x2)
IV. KÕt qu¶ so s¸nh ®èi chøng:
Sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi, ®Ó kiÓm tra hiÖu qu¶ cña ®Ò tµi, t«i tiÕn hµnh cho
häc sinh lµm bµi tËp kiÓm tra víi ®Ò bµi t−¬ng tù kÕt qu¶ thu ®−îc nh− sau:
Sè HS gi¶i thµnh th¹o Sè HS kh«ng gi¶i thµnh th¹o
34 3
92% 8%
Qua b¶ng sè liÖu thu ®−îc ta thÊy ®Ò tµi ®· cã t¸c dông ®Þnh h−íng cho häc
sinh trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. C¸c em kh«ng cßn
lóng tóng khi ph¶i x¸c ®Þnh c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch mµ ®· cã nh×n nhËn bµi to¸n
®óng ®¾n h¬n, tæng qu¸t h¬n. §Ò tµi ®· cho kÕt qu¶ tèt ®èi víi häc sinh líp ®−îc
lùa chän.
V. C¸c kiÕn nghÞ sau khi thùc hiÖn ®Ò tμi:
Sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi nµy t«i thÊy ®Ò tµi cã xuÊt ph¸t ®iÓm lµ nh÷ng kiÕn
thøc t−¬ng ®èi ®¬n gi¶n, t− duy râ rµng, tù nhiªn, dÔ hiÓu cã thÓ ¸p dông cho c¸c
häc sinh tõ trung b×nh, hiÖu qu¶ cña ®Ò tµi t−¬ng ®èi tèt. T«i ®Ò nghÞ c¸c thÇy c«
d¹y khèi 12 cè g¾ng dµnh mét tiÕt tù chän ®Ó ®Ò cËp tíi chñ ®Ò nµy.
Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c.

11. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. Trang 11
C¸c tµi liÖu tham kh¶o chÝnh:
01. SGK H×nh häc 12
02. SGK Gi¶i tÝch 12
03. TuyÓn tËp c¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n- TrÇn Ph−¬ng.
Hoµi §øc, th¸ng 05 n¨m 2009
Ng−êi thùc hiÖn:
NguyÔn §«ng B¾c.
VI. ®¸nh gi¸ cña héi ®ång thÈm ®Þnh:
Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c.