Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Nhóm đồng phôi tôpô và không gian tích của nửa – Hình hộp, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
__________________
Nguyễn Văn Y
CÁC NHÓM ĐỒNG PHÔI TÔPÔ
VÀ
KHÔNG GIAN TÍCH CỦA NỬA – HÌNH HỘP
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
________________
Nguyễn Văn Y
CÁC NHÓM ĐỒNG PHÔI TÔPÔ
VÀ
KHÔNG GIAN TÍCH CỦA NỬA – HÌNH HỘP
Chuyên ngành : Hình học và tôpô
Mã số : 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

3. LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Nguyễn Trọng
Hòa và TS.Nguyễn Hà Thanh , người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi
về chuyên môn cũng như tinh thần cho tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, truyền
thụ cho học viên cao học khóa 21 chúng tôi những kiến thức cơ bản, những
công cụ, phương pháp nghiên cứu khoa học hiệu quả để chúng tôi có thể tự
tin cho việc học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa
học công nghệ – Sau đại học, ban chủ nhiệm và các Thầy Cô là giảng viên
khoa Toán – Tin của trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo
điều kiện tốt nhất cho chúng tôi hoàn thành khóa học.
Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn học viên cùng khóa đã luôn
chia sẽ buồn vui, hỗ trợ lẫn nhau, giúp đỡ nhau cùng vượt qua những lúc khó
khăn trong suốt quá trình học tập.
Bên cạnh đó, tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các bạn là học viên cao học
chuyên ngành hình học và tôpô các khóa trước đã nhiệt tình chia sẽ kinh
nghiệm nghiên cứu khoa học.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân
yêu trong gia đình tôi, những người luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ tôi về
mọi mặt.

4. MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Các kí hiệu liên quan
LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................1
Chương 1 KHÔNG GIAN TÔPÔ.................................................................5
1.1. Định nghĩa và các khái niệm ..................................................................5
1.2. Các tiên đề tách.......................................................................................9
1.3. Các Tôpô thông thường trên không gian hàm......................................12
Chương 2 CÁC NHÓM ĐỒNG PHÔI TÔPÔ ...........................................22
2.1. Các tính chất của ( )K YΗ .......................................................................22
2.2.Các tính chất của ( )f YΗ : ......................................................................26
2.3. Các tính chất của ( )f
+
Η  và ω
 .........................................................36
Chương 3 TÔPÔ TÍCH NỬA – HÌNH HỘP..............................................44
3.1. Định nghĩa.............................................................................................44
3.2. Các tính chất của ω
¬ và sự đồng phôi với nó ....................................49
KẾT LUẬN....................................................................................................65
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................69

5. CÁC KÍ HIỆU LIÊN QUAN
• F(X;Y) hay F : Tập hợp các ánh xạ từ X đến Y.
• C(X;Y) : Tập hợp các hàm số liên tục từ X đến Y.
• C(X) : Tập hợp các hàm số thực liên tục từ X đến  .
• C+ (X) : Tập hợp các hàm số thực xác định dương từ X đến  .
• H(Y) : Nhóm các tự đồng phôi trên không gian mêtric Y.
• H K (Y) : Nhóm các tự đồng phôi trên không gian mêtric Y theo tôpô
mở - compact.
• H f (Y) : Không gian các tự đồng phôi trên không gian mêtric Y theo
tôpô mịn.
• H f
+
(Y) : Không gian các tự đồng phôi đồng biến trên không gian mêtric
Y theo tôpô mịn.
• H ( )K  ; H ( )K I : Các tự đồng phôi trên  và trên I, với [ 1;1]I = −
• H ( )+
 ;H ( )+
 : Các đồng phôi đồng biến trên  và trên I.
• ω
 : Tích Decarter ω
 theo tôpô hình hộp .
• ω
¬ : Tích Decarter ω
 theo tôpô nửa – hình hộp .

6. 1
LỜI NÓI ĐẦU
Lý do chọn đề tài :
Như chúng ta đã biết. Cho X; Y là hai không gian tôpô, giả sử :f X Y→ là
một song ánh sao cho f và ánh xạ ngược 1
f −
của f đồng thời liên tục thì f
gọi là một phép đồng phôi .
Không gian tôpô X và không gian tôpô Y được gọi là đồng phôi với nhau nếu
có một phép đồng phôi từ không gian này vào không gian kia , và nói chung ,
tính chất tôpô nào có trong không gian tôpô này thì nó cũng có trong không
gian tôpô kia và về cơ bản hai không gian tôpô này theo quan điểm tôpô
chúng là một.
Hay nói cách khác , hai không gian tôpô X và Y được gọi là đồng phôi với
nhau nếu có các ánh xạ liên tục :f X Y→ và :g Y X→ sao cho thỏa mãn đồng
thời Yf g Id= và Xg f Id=
Ví dụ : Hình vành khuyên :
{ }2 2 2
( ; ) |1 4A x y x y= ∈ ≤ + ≤
đồng phôi với hình trụ
( ){ }3 2 2
; ; | 1;0 1B x y z x y z= ∈ + = ≤ ≤
Vì ta có thể chỉ ra các hàm liên tục sau :f A B→ và :g B A→ với
2 2
2 2 2 2
( ; ) ; ; 1
x y
f x y x y
x y x y
 
 = + −
 + + 
Và
( )( ; ; ) (1 ) ;(1 )g x y z z x z y=+ +
Thõa mãn : f g g f Id= =  và do đó ta nói ;f g là các phép đồng
phôi mà ta hay gọi vắn tắt là các đồng phôi.

7. 2
Ta gọi ( )fH Y là không gian các tự đồng phôi trên không gian mêtric Y theo
tôpô mịn thì như ta đã biết nó là một nhóm tôpô . Tức là , nó vừa thỏa mãn
các tiên đề của nhóm vừa thỏa tiên đề của một không gian tôpô và ánh xạ sau
là liên tục :
1
: ( ) ( ) ( )
(g, ) ( , )
f f fH Y H Y H Y
h g h g h
η
η −
× →
= 
( nghĩa là ,ánh xạ ngược và phép toán kết hợp của các hàm số là các
hàm liên tục )
Trường hợp riêng , gọi ( )fH +
 là không gian các tự đồng phôi đồng biến trên
không gian mêtric  theo tôpô mịn , thế thì như ta đã biết , nó có các tính chất
giống như tôpô tích các hình hộp ω
 , nhưng hai không gian này không
đồng phôi với nhau.
Do vậy dưới động cơ tìm kiếm một không gian tôpô tích mà nó đồng phôi với
( )fH +
 thì không gian tích nửa-hình hộp được xem xét , nó là không gian tôpô
mịn hơn không gian tôpô tích Tychonoff nhưng thô hơn tôpô tích của các
hình hộp . Do đó , đây là nội dung chính của đề tài này mà tác giả quan tâm .
Nội dung đề tài :
Nội dung đề tài gồm có 3 chương .
Chương 1 : Tác giả nêu ra vắn tắt các khái niệm , các định nghĩa mà
tác giả cho rằng đủ để chúng ta nhớ lại và để chúng ta thảo luận các vấn đề ở
phần sau trọng tâm hơn của đề tài . Tuy nhiên , không phải khái niệm hay
định nghĩa nào cũng được nhắc đến , mà tác giả đôi khi sẽ nêu ra ngay tại chổ
các vấn đề được quan tâm .
Cuối chương tác giả cố gắng nêu ra các nhận xét liên quan đến các khái niệm
,nó là các kết quả được biết trong các bài báo và các sách giáo khoa.
Chương 2 : Tác giả nêu ra các vấn đề đồng phôi trên các không gian hàm .

8. 3
Với không gian Hausdorff Y, Gọi ( )YΗ là nhóm ( tự ) đồng phôi trên Y.
Nếu ( )K YΗ là kí hiệu của nhóm này theo tôpô mở - compact thì dạng này là
một nhóm tôpô nếu như Y là compact hoặc là compact địa phương liên thông
địa phương [7].
Nhưng ( )K YΗ không là một nhóm tôpô nếu Y là không gian mêtric khả li
compact địa phương , vì phép toán lấy nghịch đảo có thể không liên tục .
Cũng trong chương 2 này, chúng ta thấy rằng nếu Y là một không gian mêtric
và ( )f YΗ là kí hiệu của ( )YΗ theo tôpô mịn, thì ( )f YΗ luôn là nhóm tôpô .
Điều này là trước tiên ta thấy rằng tôpô mịn trên ( )YΗ là bằng tôpô đồ thị của
chúng. Và chúng ta sẽ thấy một vài tính chất của ( )f YΗ qua việc nghiên cứu
các lớp tương đương của hai quan hệ tương đương trên không gian này.
Bây giờ sang không gian đặc biệt, là không gian các số thực, gọi Ι là
khoảng đóng [ ]1;1− , gọi ω là tập sắp thứ tự đầu tiên, và gọi  là tập số tự
nhiên { } 0ω . Gọi ( )+
Η  và ( )+
Η Ι tương ứng là các đồng phôi đồng biến
trong ( )Η  và ( )Η Ι . Hiển nhiên ( )KΗ  và ( )KΗ Ι đồng phôi với tôpô tổng của
hai lần ( )K
+
Η  và ( )K
+
Η Ι . Điều này cũng đúng với ( )fΗ  và ( )fΗ Ι . Vì thế
nghiên cứu tính chất của ( )Η  và ( )Η Ι , chúng ta chỉ cần xét ( )+
Η  và ( )+
Η Ι .
Ta có ( )K
+
Η Ι là đồng phôi với ω
 ( tích ω lần của  ) với tôpô tích Tychonoff
( xem [10] và [18] ). Không gian ( )K
+
Η  đồng phôi với ( )K
+
Η Ι , và do đó đồng
phôi với ω
 . Hơn nữa ( )f
+
Η Ι là bằng ( )K
+
Η Ι , vì vậy cũng đồng phôi với ω
 .
Tuy nhiên, ( )f
+
Η  có một tôpô mịn hơn ( )K
+
Η  . Vì thế câu hỏi đặt ra là xem
nhóm tôpô ( )f
+
Η  có đồng phôi với ω
 với tôpô mịn hơn tôpô tích
Tychonoff hay không – có thể tôpô tích của các hình hộp được không ?

9. 4
Chúng ta sẽ thấy các tính chất tôpô của ( )f
+
Η  tương tự những tính chất của
ω
 , ( không gian ω
 theo tôpô tích hình hộp ). Tuy nhiên , cuối cùng chúng
ta sẽ thấy ( )f
+
Η  không đồng phôi với ω
 .
Chương 3 : chương 3 này là phần trọng tâm của đề tài
Chúng tôi đưa ra khái niệm gọi là tôpô tích nửa - hình hộp , mà nó mịn hơn
tôpô tích Tychonoff và thô hơn tôpô tích hình hộp. Tôpô tích nửa - hình hộp
này trên ω
 cho một không gian, kí hiệu là ω
¬ , nó là một đối tượng tốt là
không gian đồng phôi với ( )f
+
Η  .
Cuối cùng , chúng ta nghiên cứu các tính chất của ω
¬ và một vài kết quả dự
đoán là ( )f
+
Η  là đồng phôi với ω
¬ . Cụ thể , chúng ta sẽ thấy ( )f
+
Η  được
nhúng sang ω
¬ và ngược lại . Hơn nửa ( )f
+
Η  đồng phôi với Q ω
׬  ở
đây Q là không gian con của ω
 .
Mặc dù, tác giả đã cố gắng thật nhiều, nhưng chắc sẽ còn nhiều thiếu sót,
sai lầm , tác giả chân thành cảm ơn sự đóng góp quí báo của thầy cô và
các bạn để tác giả còn có thể nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực này .

10. 5
Chương 1
KHÔNG GIAN TÔPÔ
Trong chương 1 này chúng ta nhắc lại các khái niệm , các định nghĩa của
một không gian tôpô.
Như ta đã biết trên nền tập hợp các hàm số , chúng ta có thể có rất nhiều
tôpô như là : Tôpô hội tụ từng điểm , tôpô hội tụ đều , tôpô hình hộp , tôpô
mở - mở , tôpô mở - compact , tôpô Krikorian, tôpô mịn ,tôpô đồ thị …Tuy
nhiên, chúng ta chỉ quan tâm đến một vài tôpô cần thiết về sau mà thôi .Như
là : tôpô hội tụ từng điểm , tôpô hội tụ đều , tôpô mở -compact , tôpô hình hộp
; tôpô mịn và tôpô đồ thị bằng việc chúng ta nêu định nghĩa về chúng và chỉ
ra một cơ sở của nó.
Đặc biệt ,chúng ta sẽ so sánh các không gian tôpô trên không gian hàm
số không gian nào mịn hơn , thô hơn.
1.1. Định nghĩa và các khái niệm
1.1.1. Định nghĩa không gian tôpô
Cho X là một tập hợp khác rỗng . Một họ τ các tập con của X được gọi
là một tôpô trên X nếu τ thỏa mãn các tiên đề sau :
( i ) . và Xτ τ∅∈ ∈ .
( ii ) . Nếu 1 2vàU Uτ τ∈ ∈ , thì 1 2U U τ∩ ∈ .
(iii).Nếu  τ∈ , thì ∪  τ∈ với  là họ các phần tử của τ .
Giả sử trên X đã được cho một tôpô . Khi đó cặp ( );X τ được gọi là một
không gian tôpô xác định trên nền tập hợp X . U X⊂ , U τ∈ gọi là một mở .
các phần tử x X∈ gọi là các điểm của không gian tôpô( );X τ .
Trên cùng một tập hợp X cho trước , ta có thể có nhiều cấu trúc tôpô
khác nhau . Khi đó ta nhận được các tôpô khác nhau có chung tập nền X . Nếu

11. 6
gọi 1τ và 2τ là hai tôpô như vậy , khi đó ta có hai không gian tôpô ( )1;X τ và
( )2;X τ . Nếu 1τ ⊂ 2τ thì ta nói 1τ thô hơn 2τ hay 2τ mịn hơn 1τ .
1.1.2. Lân cận của một điểm
Cho ( );X τ là một không gian tôpô và điểm 0x X∈ . Tập hợp A X⊂ gọi
là một lân cận của 0x nếu tồn tại một mở U τ∈ sao cho x U A∈ ⊂ , ta có
thể nói rằng U là một lân cận của 0x , nhưng ngược lại một lân cận của
0x chưa hẳn là một tập mở .
1.1.3. Tập mở
Một tập V X⊂ là tập mở nếu và chỉ nếu với mọi x V∈ có một lân cận
xU của x được chứa trong V
1.1.4. Cơ sở của không gian tôpô
Một họ  τ⊂ được gọi là một cơ sở của không gian tôpô ( );X τ nếu
mọi tập con mở khác rỗng của X được biểu thị bởi hợp của một họ con
của .
Ta thấy rằng một họ con  của những tập con của X là một cơ sở của
không gian tôpô ( );X τ nếu và chỉ nếu  τ⊂ và với mọi x X∈ và một
lân cận bất kì V của x có một U∈  sao cho x U∈ V⊂ .
Mỗi một không gian tôpô ( );X τ có nhiều cơ sở khác nhau.
1.1.5. Trọng số của một không gian tôpô
Tập hợp tất cả số phần tử có dạng | | , ở đây  là một cơ sở của không
gian tôpô ( );X τ . Số phần tử nhỏ nhất của | | được gọi là trọng số của
không gian tôpô ( );X τ .
Kí hiệu : ( )( ; )w X τ

12. 7
1.1.6. Cơ sở con của một không gian tôpô
Một họ ρ τ⊂ được gọi là một cơ sở con của một không gian tôpô
( );X τ nếu một họ tất cả các giao hữu hạn 1 2 ... kU U U∩ ∩ ∩ , ở đây iU ρ∈
với 1.......i k= là một cơ sở của không gian ( );X τ .
1.1.7. Cơ sở lân cận
Một họ ( x ) các lân cận của x gọi là cơ sở lân cận tại x nếu một lân
cận bất kì V của x tồn tại U ∈( x ) sao cho x U V∈ ⊂ .
Ta thấy rằng nếu  là một cơ sở của không gian tôpô ( );X τ , thế thì với
mọi x X∈ , một cơ sở ( x ) của ( );X τ tại điểm x ,ta có
 = x X∈∪ ( x ).
1.1.8. Đặc số tại một điểm của một không gian tôpô
Đặc số tại một điểm của một không gian tôpô ( );X τ là số phần tử nhỏ
nhất có dạng | ( x )| , ở đây ( x ) là cơ sở lân cận tại x .
Kí hiệu : ( );( ; )x Xχ τ
1.1.9. Đặc số của một không gian tôpô
Đặc số một không gian tôpô ( );X τ là cận trên đúng của tất cả các số
( );( ; )x Xχ τ với x X∈ .
Kí hiệu : ( )( ; )Xχ τ
Hay ( ) ( ){ } 0( ; ) sup ( ; ) |X X x Xχ τ χ τ= ∈ + 
1.1.10. Không gian tôpô( );X τ thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất
Nếu ( )( ; )Xχ τ ≤ 0 , Ở đây 0 ( đọc là aleph zero ) là tập hợp song ánh
với tập các số nguyên dương , thế thì không gian tôpô ( );X τ gọi là thỏa
mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Nói cách khác, tại mọi điểm x X∈ có một cơ sở lân cận đếm được.

13. 8
1.1.11. Không gian tôpô( );X τ thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai
Nếu ( )( ; )w X τ ≤0 , thế thì không gian tôpô ( );X τ được gọi là thỏa mãn
tiên đề đếm được thứ hai.
Nói cách khác, không gian ( );X τ có một cơ sở đếm được.
1.1.12. Ví dụ 1
Gọi  là tập các số thực và τ là họ tất cả các tập con U ⊂  với tính
chất là với mọi x U∈ , có một 0ε > sao cho ( );x x Uε ε− + ⊂ . Thế thì :
• ( );τ là một không gian tôpô
• Một họ tất cả các khoảng mở với các đầu mút là số hữu tỉ là một
cơ sở của ( );τ , đây là cơ sở có số phần tử nhỏ nhất , do vậy
( );τ thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai, hiển nhiên thỏa mãn
tiên đề đếm được thứ nhất.
• Tôpô này gọi là tôpô tự nhiên trên trường số thực .
1.1.13. Ví dụ 2
Gọi [ ]0;1I = gọi là khoảng đơn vị , và τ là họ tất cả các tập có dạng
I U∩ , ở đây U ⊂  là mở với tôpô tự nhiên trên  . Thế thì
• ( );I τ là một không gian tôpô
• Một họ tất cả các khoảng có dạng ( ; ),[0; ),( ;1]q r r q ở đây q , r là số
hữu tỉ thỏa 0 1q r< < < là một cơ sở của ( );I τ
• Tất cả các khoảng mở dạng [0; ),( ;1]r q là cơ sở con
• ( );I τ cũng thỏa cả tiên đề đếm được thứ nhất và thứ hai
• Tôpô τ gọi là tôpô tự nhiên trên khoảng I
1.1.14. Ví dụ 3
Cho X là tập bất kì và τ là họ tất cả các tập con của X, thế thì

14. 9
• ( );X τ là một không gian tôpô
• Mọi tập hợp A X⊂ là vừa đóng vừa mở
• Một tập bất kì chứa x là lân cận của x .
• Họ tất cả tập con 1 điểm của X là cơ sở của ( );X τ , nó là cơ
sở có số phần tử nhỏ nhất, nên ( )( ; )w X Xτ = .
• Với mọi x X∈ một họ gồm tập đơn độc { }x là một cơ sở
lân cận tại x , do đó ( );X τ thỏa mãn tiên đề đếm được thứ
nhất.
• Không gian ( );X τ gọi là không gian rời rạc, và tôpô τ gọi
là tôpô rời rạc trên X.
1.2. Các tiên đề tách
1.2.1. 0T - không gian
Không gian tôpô ( );X τ gọi là 0T - không gian nếu hai điểm phân biệt
bất kì ,x y của X đều có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận
của y không chứa x .
Kí hiệu : 0XT
1.2.2 . 1T - không gian
Một không gian tôpô ( );X τ được gọi là 1T - không gian nếu mọi cặp
điểm phân biệt bất kì ,x y X∈ có một lân cận của x không chứa y và một lân
cận của y không chứa x .
Kí hiệu : 1XT
Rõ ràng 1T - không gian là 0T - không gian .

15. 10
1.2.3. 2T - không gian
Một không gian tôpô ( );X τ được gọi là 2T - không gian ( Hay, không
gian Hausdorff ) nếu mọi cặp điểm bất kì ,x y X∈ có các lân cận 1 2,U U sao
cho 1x U∈ , 2y U∈ và 1 2U U∩ =∅
Kí hiệu : 2XT
Rõ ràng 2T - không gian là 1T - không gian .
1.2.4. 3T - không gian ( không gian chính qui )
Một không gian tôpô ( );X τ được gọi là 3T - không gian ( Hay, không
gian chính qui ) nếu X là 1T - không gian và với mọi x X∈ và với mọi tập
đóng A X⊂ sao cho x A∉ thì tồn tại các tập mở 1 2,U U sao cho 1 2,x U A U∈ ⊂
và 1 2U U∩ =∅.
Kí hiệu : 3XT
Rõ ràng không gian chính qui là không gian Hausdorff
1.2.5. 1
3
2
T - không gian ( không gian hoàn toàn chính qui )
Một không gian tôpô ( );X τ được gọi là 1
3
2
T - không gian ( Hay, không
gian hoàn toàn chính qui , Hay không gian Tychonoff) Nếu X là 1T - không
gian và với mọi x X∈ và với mọi tập đóng A X⊂ sao cho x A∉ thì tồn tại
một hàm liên tục :f X I→ sao cho ( ) 0f x = và ( ) 1,f y y A= ∀ ∈
Rõ ràng không gian Tychonoff là không gian chính qui.
1.2.6. 4T - không gian ( không gian chuẩn tắc )
Một không gian tôpô ( );X τ được gọi là 4T - không gian ( Hay, không
gian chuẩn tắc ) nếu X là 1T - không gian hai tập đóng bất kì không giao nhau
trong X, thì tồn tại các tập mở U và V sao cho ,A U B V⊂ ⊂ và U V∩ =∅ .
Rõ ràng 4T - không gian là 3T - không gian.

16. 11
1.2.7. Ví dụ 4:
Không gian tôpô X với tôpô Zariski ( tức là , X là tập vô hạn , τ gồm
có ∅ và các tập con G X⊂ sao cho X G đếm được ) là 1T - không gian nhưng
không là 2T - không gian .
1.2.8. Ví dụ 5 :
Các không gian tôpô ở ví dụ mục 1 là các không gian Hausdorff.
1.2.9. Ví dụ 6 :
Cho tôpô trên mặt phẳng Niemytzki, tức là :
Gọi L là tập con nữa mặt phẳng Oxy với điều kiện 0y ≥ , 1L là đường 0y = và
2 1L L L= . Với mọi 1x L∈ và 0r > , gọi ( ; )U x r là tập tất cả những điểm của L
bên trong đường tròn bán kính r tiếp xúc với 1L tại x và gọi
( )1( ) ; { }iU x U x x
i
= ∪ với 1,2,.......i = Với mọi 2x L∈ và 0r > gọi ( ; )U x r là tập
tất cả những điểm bên trong đường tròn bán kính r và tâm tại x và gọi
( )1( ) ;iU x U x
i
= với 1,2,.......i = , tôpô τ là tôpô sinh bởi hệ lân cận ( x ) x X∈ .Ở
đây ( x ) = { } 1
( )i i
U x
∞
=
Ta gọi ( )iU x một phần tử của cơ sở ( x ) tại điểm x L∈ . Với mọi
( ) { }iy U x x∈ kí hiệu /
y là điểm mà tia bắt đầu tại x qua y giao với đường
tròn ( )iU x , ta có ngay :
/
0 khi
( ) 1 khi ( )
khi ( ) { }
i
i
y x
f y y L U x
xy
y U x x
xy


=

= ∈

 ∈


Ở đây, ab kí hiện của độ dài đoạn nối các điểm vàa b

17. 12
Nó xác định một hàm số liên tục :f L I→ thỏa điều kiện của không gian
Tychonoff.
1.3. Các Tôpô thông thường trên không gian hàm
1.3.1 . Hội tụ từng điểm
Gọi X là một tập hợp , Y là một không gian tô pô , và gọi :nf X Y→ là
một dãy hàm. Ta nói nf hội tụ từng điểm đến hàm :f X Y→ nếu với mọi
x X∈ dãy số ( )nf x hội tụ đến số ( )f x .
Điều này có nghĩa là , dãy hàm nf hội tụ từng điểm tới f nếu :
lim ( ) ( ),n
n
f x f x x X
→∞
= ∀ ∈
Ví dụ 7: Cho dãy hàm :
( )( ) sinn
xf x n
n
=
Rõ ràng với mỗi [ ]0;2x π∈ ta có
( )( ) ( )sin
lim ( ) lim sin lim .n
n n n
x
nxf x n x x
n x
n
→∞ →∞ →∞
 
 = = =
  
 
Và ở đây hàm f là [ ]( ) , 0;2f x x x π= ∀ ∈
1.3.2. Tôpô tích
Gọi X là tập hợp , Y là một không gian tôpô . Cho trước bất kì một
x X∈ và một tập mở tùy ý U Y⊂ . Ta định nghĩa :
{ }( ; ) ( : ) | ( )S x U f F X Y f x U=∈ ∈
Thế thì những tập ( ; )S x U là cơ sở con của F(X;Y) . Tôpô sinh bởi họ các cơ sở
con này gọi là tôpô tích trên F(X;Y).
Với cơ sở của F(X;Y) được xác định bởi giao hữu hạn những tập con mở :
1 1 2 2 2 2( ; ) ( ; ) .... ( ; )S x U S x U S x U∩ ∩ ∩
Ngược lại ta có mệnh đề sau :

18. 13
Mệnh đề 8 : Gọi X là tập hợp , Y là một không gian tôpô và  là một cơ sở
của tôpô trên Y. Thì bộ :
{ ( ; ) | ,S x B x X B∈ ∈  }
Là một cơ sở con của tôpô tích trên F (viết gọn thay vì F(X;Y)).
Chứng minh :
Giả sử một phần tử ( ; )S x U là một cơ sở con của F . Thế thì U là mở
trong Y, Vì thế U được biểu diễn bởi hợp của { }i i I
B ∈
là những phần tử của  .
Do đó
( ; ) ( ; )i
i I
S x U S x B
∈
= ∪
Tức là ( ; )S x U nằm trong tôpô sinh bởi những tập ( ; )S x B 
Ví dụ 9 :
Xét không gian ω
 tích vô hạn lần của  .
Nếu ( ; )c d là khoảng mở trong  . Thế thì
(3;( ; )) ( ; ) ...S c d c d= × × × ×   là một tập mở cơ sở con trong ω
 .
Nếu ( ; )a b là một khoảng mở khác , thế thì
(1,( ; )) (3,( ; )) ( ; ) ( ; ) .....S a b S c d a b c d∩ = × × × ×   là một tập mở
cơ sở trong ω
 . Trong trường hợp tổng quát tập mở cơ sở của ω
 là một số
hữu hạn một bộ tọa độ.
Định lý 10 : Sự hội tụ trong tôpô tích.
Gọi X là một tập hợp , Y là một không gian tôpô , và gọi nf là một dãy
trong F . Gọi f F∈ . Thế thì nf f→ theo tôpô tích nếu và chỉ nếu nf hội tụ
từng điểm tới f .
Chứng minh : Giả sử nf f→ theo tôpô tích , và gọi x X∈ . Nếu U là một lân
cận của ( )f x trong Y , Thế thì ( , )S x U là một lân cận của f trong F , vì thế

19. 14
( ; )nf S x U∈ với tất cả n trừ một số hữu hạn n . Do đó , ( )nf x U∈ với tất cả n
trừ một số hữu hạn n .
Ngược lại , Giả sử rằng nf hội tụ từng điểm đến f và gọi ( ; )S x U là
một lân cận của f trong F. Thế thì , U là một lân cận của ( )f x trong Y . Vì
( ) ( ),nf x f x x X→ ∀ ∈ , cho nên ( )nf x U∈ với tất cả n trừ một số hữu hạn n . Thế
thì ( ) ( ; )nf x S x U∈ với mọi n trừ một số hữu hạn n . Hay nói cách khác nf f→
theo tôpô tích  .
Do vậy , tôpô tích còn gọi là tôpô hội tụ từng điểm trên F(X;Y) .
1.3.3. Tôpô tích Tychonoff
Cho ( )i i IX ∈ là họ các không gian tôpô , iτ là tôpô tương ứng của iX . Ta
gọi { }( ) :i i i I i i
i I
X X x x X∈
∈
= = ∈∏ . Và gọi ( )i i Ip ∈ là ánh xạ chiếu liên tục xác
định bởi :
:
( )
i i i
i I
i i I i
p X X
x x
∈
∈
→∏

Gọi : ( )1
1 j j
n
i i
j
G p G−
=
= ∩ với 1
( )j j j
j
i i i i
i i
p G G X−
≠
= ×∏ và ji iG τ∈ .
Ta gọi  là họ tất cả các tập G có dạng như trên . Khi ấy , tồn tại một tôpô 
trên X nhận  làm cơ sở gọi là tích Tychonoff của các không gian iX .
Như vậy , một tập hợp thuộc vào cơ sở của tôpô Tychonoff sẽ có dạng
1 2
1
1 , .....
( )j j
j n
nn
i i i i
j
i i j i i i i
V U X U X
=
≠ = ≠
 
=∩ × = ×  
 
∏ ∏ ∏ với jiU là tập mở trong jiX .
1.3.4. Tôpô hình hộp
1.3.4.1 . Định nghĩa : Gọi X là một tập hợp và Y là một không gian tôpô .
Cho trước một họ { }x x X
U ∈
là các tập mở trong Y. Xét tích :

20. 15
{ }| ( ) ;x x
x X
U f F f x U x X
∈
= ∈ ∈ ∀ ∈∏
được gọi là một hình hộp mở trong F . Một bộ tất cả các dạng hình hộp mở là
một cơ sở của một tôpô trên F. Gọi là TôPô Hình hộp.
1.3.4.2. Định lý 11: Cơ sở của tôpô hình Hộp
Gọi X là một tập hợp , Y là một không gian tôpô , và gọi  là một cơ sở
đối với tôpô trên Y . Thế thì bộ các tập hợp
{ |x xB B ∈∏ , với mỗi x X∈ }
là một cơ sở của tôpô hình hộp trên F
Chứng minh : Gọi xU U= ∏ là một hình hộp mở bất kì trong F, và gọi
f U⊂ . Thế thì , ( ) xf x U⊂ với mỗi x X∈ , vì thế có một xB ∈ sao cho xx B∈
và x xB U⊂ . Thế thì , xf B∈∏ và xB U⊂∏ 
1.3.4.3. Ví dụ 12: Xét trên không gian ω
 . Một dãy bất kì các khoảng mở
của  : 1 1 2 2 3 3( ; ),( ; ),( ; ),...,( ; )...n na b a b a b a b , thì tập hợp
1 1 2 2 3 3( ; ) ( ; ) ( ; ) ... ( ; ) ...n na b a b a b a b× × × × ×
là một tập mở cơ sở của tôpô hình hộp, ta sẽ gặp lại với kí hiệu ω

1.3.4.4. Ví dụ 13: Ta xét dãy sau trong ω

1
2
3
(1;1;1...........)
1 1 1
; ; ;.....
2 2 2
1 1 1
; ; ;.....
3 3 3
f
f
f
=
 
=  
 
 
=  
 

Dãy này hội tụ đến điểm (0;0;0...........)f = trong tôpô tích .
Tuy nhiên , dãy nf này không hội tụ đến f trong tôpô hình hộp . Trong
trường hợp cụ thể , hình hộp mở

21. 16
1 1 1 1
( 1;1) ; ; ....
2 2 3 3
   
− × − × − ×   
   
Chứa f nhưng không chứa nf với bất kì giá trị nào của n.
1.3.5. Tôpô hội tụ đều
1.3.5.1. Hội tụ đều : Gọi X là một tập hợp , Y là một không gian mêtric với
mêtric d và gọi dãy hàm :nf X Y→ . Ta nói nf hội tụ đều tới hàm :f X Y→ ,
nếu khoảng cách đều ( ; ) 0
n
nf fρ
→∞
→
Ở đây khoảng cách đều là hàm số xác định bởi
( ){ }( ; ) sup ( ); ( ) |f g d f x g x x Xρ= ∈
Nếu tập ( ){ }( ); ( ) |d f x g x x X∈ không bị chặn thì ( ; )f gρ không xác định.
1.3.5.2. Tôpô hội tụ đều : Gọi X là một tập hợp, Y là một không gian mêtric .
Với mỗi f F∈ và 0ε > . Đặt :
{ }( ; ) | ( ; )B f g F f gρ ε ρ ε=∈ <
thế thì , những tập ( ; )B fρ ε dạng một cơ sở đối với một tôpô trên F . Gọi là
Tôpô hội tụ đều.
1.3.5.3. Sự hội tụ trong tôpô hội tụ đều :
Gọi X là một tập hợp , Y là một không gian mêtric và gọi nf là một
dãy trong F , và gọi f F∈ . Thế thì , nf f→ theo tôpô hội tụ đều nếu và chỉ
nếu các hàm nf hội tụ đều tới f .
1.3.6. Tôpô mịn
1.3.6.1. Tôpô mịn : Gọi X là một không gian tôpô và Y là không gian mêtric
với mêtric d . Trên C(X;Y) ta cho ( ; )f C X Y∈ và cho một hàm số thực xác
định dương : Xδ +→  , ( ;(0;1))LSC Xδ ∈ .Ta đặt
{ }( ; ) ( ; ) | ( ( ); ( )) ( );B f g C X Y d f x g x x x Xδ δ= ∈ < ∀ ∈

22. 17
Những tập ( ; )B f δ xác định một cơ sở của một tôpô ta gọi là tôpô mịn trên
C(X;Y).
1.3.6.2. Tính chất tôpô mịn :
• Tôpô mịn ,mịn hơn tôpô hội tụ đều , chúng bằng nhau khi X là
compact.
• Nếu X rời rạc thì tôpô mịn bằng tôpô tích các hình hộp.
1.3.7 . Tôpô mở - compact
1.3.7.1. Tôpô mở - compact :Cho X ; Y là các không gian tôpô.Với mỗi tập
con K compact của X và mỗi tập con mở U của Y , Đặt ( ; )W K U là tập hợp các
hàm số chuyển K sang U . Nghĩa là :
{ }( ; ) ( ; ) | ( )W K U f C X Y f K U=∈ ⊂
Gọi là tôpô mở - compact
1.3.7.2. Cơ sở tôpô mở - compact :
Một họ gồm tất cả những tập có dạng ( ; )W K U là một cơ sở con của
tôpô mở - compact . Một họ giao hữu hạn những tập có dạng ( ; )W K U là cơ sở
của tôpô mở - compact , mỗi phần tử của cơ sở này có dạng
{ }( ; ) | 0,1,2,...,i iW K U i n= , với iK đóng trong X và iU mở trong Y.
1.3.7.3. Tính chất tôpô mở - compact:
• Tôpô mở - compact mịn hơn tôpô hội tụ từng điểm
• Tôpô mở - compact là Hausdorff nếu không gian Y là Haussdorff
• Tô pô mở - compact là chính qui nếu không gian Y chính qui và các
phần tử của F(X;Y) liên tục

23. 18
1.3.8. Tôpô đồ thị
1.3.8.1. Đinh nghĩa :
• Goi X và Y là các không gian tôpô và gọi F là tập hợp tất cả các hàm
số từ X đến Y . Với f F∈ , đồ thị của f là tập hợp
{ }( ) ( ; ( )) |G f x f x x X= ∈ . ( )G f rõ ràng là tập con của không gian tích
X Y× ; X Y× với tôpô tích thông thường.
Một tập UF được chọn như sau : { }| ( )UF f F G f U=∈ ⊂
ở đây U là tập con bất kì của X Y× .
• Ta định nghĩa một tôpô mà ta sẽ kí hiệu là Γ gọi là tôpô đồ thị đối
với F, đó là tôpô sinh bởi một cơ sở { |UF U là mở trong X Y× } với
U là tất cả các tập mở trong X Y× .
• Ta gọi C(X;Y) là tập các hàm số liên tục từ X đến Y thế thì C(X;Y) là
tập con của F . Nếu U là mở trong X Y× , thế thì
{ }( ; ) ( ; ) | ( ) ( ; )U UC X Y f C X Y G f U C X Y F= ∈ ⊂ = ∩ .
1.3.8.2. Chứng minh { }UF là một cơ sở của một tôpô trên F :
Bổ đề 14 : Nếu ;U V X Y⊂ × thì U V U VF F F∩= ∩
Chứng minh :
• Giả sử U VF ∩ = ∅.
Nếu U Vf F F∈ ∩ thì ( )G f U⊂ và ( )G f V⊂ suy ra ( )G f U V⊂ ∩ .
Do đó, U Vf F ∩∈ . Điều này mâu thuẩn với giả thiết U VF ∩ = ∅
Do vậy, Nếu U VF ∩ = ∅ thì U VF F∩ =∅
Vậy : U V U VF F F∩= ∩
• Giả sử U VF ∩ ≠ ∅ hoặc U VF F∩ ≠ ∅ .
+ Gọi U Vf F ∩∈ , thế thì ( )G f U V⊂ ∩ , tức là
vàU Vf F f F∈ ∈

24. 19
Do đó, U Vf F F∈ ∩ suy ra U V U VF F F∩ ⊂ ∩
+ Gọi U Vg F F∈ ∩ thì ( ) và G(g)G g U V∈ ∈ , tức là
( )G g U V∈ ∩
Do đó , U Vg F ∩∈ suy ra U V U VF F F ∩∩ ⊂
Từ đó trong mọi trường hợp ta có : U V U VF F F∩= ∩ 
Định lý 15 : Một bộ  = { |UF U là một tập mở trong X Y× } là một cơ sở của
một tôpô trên F.
Chứng minh :
Điều kiện đủ , với  là một cơ sở của một tôpô trên F thì với mọi hai
phần tử UF và VF của  và với mỗi điểm U Vf F F∈ ∩ có một wF ∈  sao cho
w U Vf F F F∈ ⊂ ∩ .
Gọi UF ∈ và VF ∈  Giả sử U Vf F F∈ ∩ . Thế thì theo định nghĩa
( )G f U⊂ và ( )G f V⊂ hay ( )G f U V⊂ ∩ . Vì U và V là mở trong X Y× , U V∩
là mở trong X Y× . Do đó , U VF ∩ ∈  . Nhưng ( )G f U V⊂ ∩ suy ra U Vf F ∩∈ .
Theo bổ đề 14 , ta đã chứng minh U V U VF F F∩= ∩ . Do đó , U V U Vf F F F∩∈ ⊂ ∩ là
đúng.
Gọi w U VF F F= ∩ ∈  rõ ràng  là cơ sở của một tôpô trên F 
1.3.9. Một vài nhận xét:
1.3.9.1. Nhận xét 16 : Gọi X là một tập hợp , Y là một không gian mêtric.
Thế thì :
Tôpô hội tụ từng điểm ⊂ Tôpô Hội tụ đều ⊂ Tôpô Hình hộp
Thật vậy .
Trước hết , ta chứng minh bao hàm thức đâu tiên . Gọi ( ; )S x U là
một tập mở cơ sở con bất kì trong tôpô hội tụ từng điểm , và gọi ( ; )f S x U∈

25. 20
thế thì U là mở trong Y và ( )f x U∈ , vì thế tồn tại một 0ε > sao cho
( ( ); )B f x Uε ⊂ . Thế thì , mọi phần tử của ( ; ) ( ; )B f S x Uρ ε ⊂
Tiếp theo , Gọi ( ; )B fρ ε là tập mở cơ sở bất kì trong tôpô hội tụ đều ,
và gọi ( ; )g B fρ ε∈ . Thế thì , có một /
0ε > để /
( ; ) ( ; )B f B fρ ρε ε⊂ . Thế thì ,
( )/
( ) ; ( )
2 2x X
g x g xε ε
∈
− +∏ là một tập mở trong tôpô tích chứa g và được chứa
trong /
( ; )B fρ ε và do đó chứa trong ( ; )B fρ ε  .
1.3.9.2. Nhận xét 17 : Nếu X 2T , Tôpô mở - compact ⊂ Tôpô đồ thị
Thật vậy ,
Gọi { }( ; ) | ( )W K U f f K U= ⊂ là tập mở cơ sở con bất kì của tôpô mở -
compact . Vì X 2T và K compact nên K đóng . Vì thế tập hợp
[ ]( ) ( V X U X K Y= × ∪ × là mở trong X Y×
Giả sử ( ; )f W K U∈ thế thì ( )f K U⊂ vì thế ( )G f V⊂ hay Vf F∈ . Vì thế
cho nên ( ; ) VW K U F⊂ .
Tương tư , nếu Vf F∈ thế thì ( )G f V⊂ hay ( ; )f W K U∈
Do đó : ( ; ) VW K U F= , đều này suy ra rằng ( ; )W K U mở trong ( ; )F Γ 
1.3.9.3. Nhận xét 18 :X 2T - compact, Y là không gian tôpô tùy ý , thế thì Tôpô
đồ thị trên C (X:Y) bằng tôpô mở - compact.
Thật vậy ,
Gọi ( ; )UC X Y là tập cơ sở mở trong ( )( ; );C X Y Γ với i i
i I
U U V
∈
=∪ × , ;i iU V
mở lần lượt trong X;Y
Gọi điểm f bất kì ( ; )Uf C X Y∈ . Ta chứng tỏ ( ; )UC X Y là mở trong
tôpô mở - compact.

26. 21
Vì ( ; )Uf C X Y∈ , ( )G f U∈ . Do đó với mỗi x X∈ , có một chỉ số xi I∈
sao cho ( ); ( ) x xi ix f x U V∈ × . Vì f liên tục nên có một tập mở xO X⊂ với xx O∈
và ( ) xx if O V⊂ với mỗi x X∈ .
Vì X 2T - compact , nên X chính qui , cho nên có một tập mở /
xiU sao cho
/ /
x x xi i x ix U U O U∈ ⊂ ⊂ ∩ với mỗi x X∈ . do đó,
/ /
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x xi i x i x if x f U f U f O U f O V∈ ⊂ ⊂ ∩ ⊂ ⊂
Vì X compact và vì { }/
|xiU x X∈ là một phủ mở của X , và có một phủ con hữu
hạn { }/
| 1,2,......,x j
iU j n= . Thế thì /
( )x xj j
i if U V⊂ . Nhưng X compact và /
x j
iU là đóng
trong X , nên suy ra /
x j
iU là compact . Cho nên /
1
( ; )x xj j
n
i i
j
f W U V
=
∈ ∩ , một cơ sở mở
trong tôpô mở - compact trên không gian C(X;Y)
Giả sử /
1
( ; )x xj j
n
i i
j
g W U V
=
∈ ∩ thế thì /
( )x xj j
i ig U V⊂ vì / /
x xj j
i iU U⊂ với mỗi 1,2,......,j n= .
Nhưng { }/
| 1,2,......,x j
iU j n= là phủ mở của X . Cho nên /
( ) x xj j
i iG g U V U⊂ ∪ × ⊂
hay ( ; )Ug C X Y∈ . Vì g là một điểm được lấy tùy ý của /
( ; )x xj j
i iW U V∩ nên ta suy
ra rằng /
( ; ) ( ; )x xj j
i i UW U V C X Y∩ ⊂ .
Do đó , /
1
( ; ) ( ; )x xj j
n
i i U
j
f W U V C X Y
=
∈ ∩ ⊂ . Nên ( ; )UC X Y là lân cận của chính mỗi
điểm trong tôpô mở - compact . Do đó , KΓ ⊂ và theo nhận xét 17 K ⊂ Γ trên
C(X;Y) vì ( ; )C X Y F⊂ và K ⊂ Γ trên F
Do vậy , K và Γ là tương đương tôpô trên ( ; )C X Y .
1.3.9.4. Nhận xét 19 : Nếu X là tập compact thì tôpô mịn, tôpô hội tụ đều và
tôpô mở - compact bằng nhau .
1.3.9.5. Nhận xét 20 : Người ta chứng minh được tôpô đồ thị cũng chứa tôpô
hội tụ đều và tôpô mịn.

27. 22
Chương 2
CÁC NHÓM ĐỒNG PHÔI TÔPÔ
Trong chương này ta nhắc lại các vấn đề sau :
Các tính chất nhóm đồng phôi tôpô gồm ( )KH Y các nhóm đồng phôi theo tôpô
mở - compact , ( )fH Y các nhóm đồng phôi theo tôpô mịn và cấu trúc nhóm
qua các quan hệ tương đương của nó.
Đặt biệt , ta xét các tính chất của ( )fH +
 các nhóm đồng phôi đồng biến trên
 theo tôpô mịn và tính chất của ω
 tôpô tích hình hộp , ta sẽ thấy hai không
gian này rất giống nhau , nhưng cuối chương ta sẽ thấy rằng chúng thật sự
không đồng phôi với nhau . Đây là vấn đề cốt lỗi nảy sinh khái niệm tôpô
nửa – hình hộp mà nó có thể đồng phôi .
2.1. Các tính chất của ( )K YΗ
Định lý chính liên quan với nhóm ( )K YΗ của các đồng phôi trên không gian
mêtric Y, ở đây tôpô không gian các hàm là tôpô mở - compact , là định lý sau
đây được đưa ra bởi Richard F.Arens trong [7].
2.1.1. Định lý 21 :Nếu Y compact hoặc compact địa phương liên thông địa
phương, thì ( )K YΗ là một nhóm tôpô.
Điều này được chứng minh bởi Jan.J.Dijkstra trong [12] ở đây cho thấy rằng
nếu Y là không gian Hausdorff sao cho mọi điểm có một lân cận là
continuum , thì ( )K YΗ là một nhóm tôpô.Trong [12] cũng chỉ ra ( )K YΗ không
phải là nhóm tôpô với Y là không gian mêtric khả li compact địa phương vì
phép lấy nghịch đảo có thể không liên tục.
Vì ( )K YΗ là không gian con của không gian ( )KC Y các hàm số thực liên tục
trên Y, theo tôpô mở-compact , ( )K YΗ kế thừa các tính chất tôpô của
( )KC Y . ( )KC Y đồng phôi với không gian tích ω
 theo tôpô tích Tychonoff.

28. 23
Bây giờ chúng ta xét các nhóm tôpô ( )K
+
Η Ι và ( )K
+
Η  , ở đây các đồng phôi là
hàm đồng biến . Như đã chỉ ra trong phần giới thiệu. Chúng ta có định lý
Anderson như sau.
2.1.2. Định lý 22 : Nhóm tôpô ( )K
+
Η Ι là đồng phôi với ω
 .
Chúng ta thấy rằng ( )K
+
Η  cũng đồng phôi với ω
 bởi vì đã biết có một đồng
phôi từ ( )K
+
Η Ι lên ( )K
+
Η  trong [9].Điều này đã rõ , nhưng chúng ta sẽ làm
cách khác bổ đề sau đây ,bởi vì nó được dùng trong chương 3. Trong bổ đề
này, ( )KC+
Ι là không gian các hàm số thực tăng ngặt trên Ι . Không gian hàm
này có một tôpô mở - compact mà không gian tổng quát ( )KC Y có một cơ sở
bao gồm những tập hợp có dạng
{ }( ; ; ) ( ) : ( ) ( ) ,KB f K g C Y f t g t t Kε ε= ∈ − < ∀ ∈ ,
ở đây, ( )Kf C Y∈ ,K là tập con compact của Y, và 0ε > .
2.1.3. Bổ đề 23 : Nếu D là một tập con trù mật của I, thì ( )KC+
Ι có một cơ sở
gồm những tập có dạng :
{ }( ; ; ) ( ) : ( ) ( ) ,KB f L g C f t g t t Lε ε+
= ∈ Ι − < ∀ ∈
ở đây ( )Kf C+
∈ Ι , L là tập con hữu hạn của D, và 0ε > . Cụ thể , tôpô mở -
compact là bằng tôpô hội tụ từng điểm trên ( )KC I+
.
Chứng minh :
Mỗi ( ; ; )B f L ε rõ ràng là mở trong ( )KC I+
,vì thế gọi ( )Kf C+
∈ Ι , và 0ε > . Ta
cần tìm một tập con hữu hạn L của D sao cho ( ; ; ) ( ; ; )
12
B f L B f Iε ε⊆ .
• Với mỗi t ∈Ι , gọi U(t) là một khoảng mở giao với I sao cho
( )( ( )) ( ) ; ( )
12 12
f U t f t f tε ε⊆ − +
Do sự compact của I, tồn tại 1 2 11 ....... 1m mt t t t−− = < < < < = trong I sao cho
1 2( ) ( )......... ( )mU t U t U tΙ= ∪

29. 24
Bằng cách chọn lại thứ tự tập con nếu cần. Chúng ta có thể giả sử rằng với
mỗi it không nằm trong ( )jU t với mọi j i≠ . Thế thì với mỗi 1,........,i m= , đặt :
{ }( ) ( ) : 1,......, vài i jU U t U t j m j i= ∪ = ≠
Với mỗi 1,.......,i m= , gọi i id U D∈  , và đặt { }1,..... mL d d=
• Để thấy ( ; ; ) ( ; ; )
12
B f L B f Iε ε⊆ , gọi ( ; ; )
12
g B f L ε∈ và gọi t ∈Ι . Thế thì
it U∈ với 1,.......,i m= . Chúng ta chỉ xét trường hợp 1 i m< < vì trường
hợp 1i = và i m= là tương tự.
Lập tức ta có : ( ) ( )
12i ig d f d ε− < , hơn nửa ( ) ( )
12i if d f t ε− < và
( ) ( )
12if t f t ε− < .Từ hai bất đẳng thức đầu tiên, ta có
( ) ( )
6i ig d f t ε− < .Từ đây và bất đẳng thức thứ 3, ta có ( ) ( )
4if d f t ε− <
Chú ý rằng : 1( ) ( )i iU t U t− ≠ ∅ thế thì
( ) ( )1 1( ) ; ( ) ( ) ; ( )
12 12 12 12i i i if t f t f t f tε ε ε ε− −− + − + ≠ ∅
Từ điều này ta được 1( ) ( )
12 12i if t f tε ε−− < + thế thì 1( ) ( )
6i if t f t ε−− < từ trên,
ta có 1 1( ) ( )
6i ig d f t ε− −− < , thế thì 1( ) ( )
3i ig d f t ε− − < .
Vậy chúng ta có 1( ) ( )
2i ig d g d ε− − <
Tương tự, chúng ta cũng có 1( ) ( )
2i ig d g d ε+ − < .
Do vậy ta có 1i id t d− < ≤ hoặc 1i id t d +≤ < vì vậy 1( ) ( ) ( )i ig d g t g d− < ≤ hoặc
1( ) ( ) ( )i ig d g t g d +≤ < . Do đó: ( ) ( )
2ig t g d ε− < .
Nhưng vì ( ) ( )
4ig d f t ε− < , ta có 3( ) ( )
4
g t f t ε ε− < < .Thế thì ( ; ; )g B f I ε∈ và
do đó : ( ; ; ) ( ; ; )
12
B f L B f Iε ε⊆ . 
2.1.4. Định lý 24 : Có một đẳng cấu nhóm tôpô từ ( )K I+
Η lên ( )K
+
Η  .
Chứng minh : Gọi :( 1;1)τ − →  là đồng phôi được xác định bởi

30. 25
( ) tan
2
t
t
π
τ
 
=  
 
với ( 1;1)t∀ ∈ −
Định nghĩa : ( ) ( )K Kη + +
Η Ι → Η  được xác định bởi
1
( )h hη τ τ −
= với ( )Kh +
∀ ∈Η Ι
Chú ý rằng 1
η−
được xác định bởi 1 1
( )g gη τ τ− −
= .Lập tức η rõ ràng là một
nhóm đẳng cấu, vì thế chúng ta cũng sẽ thấy rằng nó cũng là một đồng phôi ,
như sau:
• Gọi ( )Kh H I+
∈ và gọi ( ( ); ; )B h Kη ε là một cơ sở lân cận của ( )hη trong
( )K
+
Η  ở đây K là một tập con compact của  . Do tính liên tục của
1
τ −
, 1
( )Kτ −
là tập con compact trong ( 1;1)− . Do đó compact trong I , vì
tính liên tục của τ , tồn tại một số 0δ > sao cho với mỗi 1
, ( )r s Kτ −
∈ với
, ( ) ( )r s r sδ τ τ ε− < − < .Thế thì , nếu 1
( ; ( ); ) t Kf B h Kτ δ−
∈ ∀ ∈ ,
( ) ( )1 1
( ) ( ) ,f t h tτ τ δ− −
− <
Vì thế
( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 1
( ) ( ) ,f t h t f t h tη η τ τ τ τ ε− −
− = − <
Điều này cho thấy ( ) ( )1
( ; ( ); ) ( ); ;B h K B h Kη τ δ η ε−
⊆ và do đó η liên tục.
• Để chứng tỏ 1
η−
liên tục, gọi ( )Kh +
∈Η  và gọi ( )1
( ); ;B h Lη ε−
là một cơ
sở lân cận của 1
( )hη−
trong ( )K
+
Η Ι như đã cho theo bổ đề 23 , ở đây L là
một tập con hữu hạn của ( 1;1)− . Đặt :
{ }( ) :K t t Lτ= ∈
Thế thì ( ); ;B h K ε là một lân cận của h trong ( )K
+
Η  . Vì đạo hàm của 1
τ −
là
nhỏ hơn 1 tại mọi điểm trên  , ta có
1 1
, , ( ) ( )r s r s r sτ τ− −
∀ ∈ − ≤ − .Vì thế nếu ( ; ; ) tf B h K Lε∈ ∀ ∈
1 1 1 1
( )( ) ( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))f t h t f t h t f t h tη η τ τ τ τ τ τ ε− − − −
− = − ≤ − <

31. 26
Điều này cho thấy ( )1 1
( ) ( ); ;f B h Lη η ε− −
∈ và do đó
( )1 1
( ; ; ( ( ); ; )B h K B h Lη ε η ε− −
⊆
Vì thế 1
η−
là liên tục , và như vậy η là một đồng phôi 
 Vì vậy ( )K
+
Η  là đồng phôi với ( )K I+
Η theo định lý 24 , ta thấy ( )K
+
Η 
là đồng phôi với ω
 theo định lý 22 . Bây giờ I là compact, thế thì
( )f I+
Η với tôpô mịn là bằng ( )K I+
Η , và do đó ( )f I+
Η cũng đồng phôi với
ω
 . Nhưng tôpô mịn trên ( )f
+
Η  là mịn hơn tôpô mở - compact trên
( )K
+
Η  , và chúng ta cần quan tâm đến những điều trên không gian
( )f
+
Η  này . Trong phần tiếp theo chúng ta thấy rằng với không gian
mêtric tổng quát Y, thì không gian ( )f YΗ là một nhóm tôpô, và chúng
ta nghiên cứu một số tính chất tôpô của không gian này .
2.2.Các tính chất của ( )f YΗ :
Ta nhắc lại rằng.Gọi C(X;Y) là tập hợp các hàm số liên tục từ không gian tôpô
X sang không gian tôpô Y. Nếu Y là không gian mêtric với mêtric d, thì tôpô
mịn trên C(X;Y) ( ứng với d ) có một cơ sở gồm những tập có dạng :
( ){ }( ; ) ( ; ) : , ( ); ( ) ( )B f g C X Y x X d f x g x xε ε= ∈ ∀ ∈ <
ở đây, ( ; )f C X Y∈ và ( )C Xε +∈ tập hợp các hàm số thực dương trên X và
( ) ( ;(0;1))x LSC Xε ∈ .( hàm bán liên tục dưới )
Nếu X là không gian chuẩn tắc paracompact đếm được thì tôpô mịn trên
( ; )C X Y trở nên độc lập với mêtric d trên Y, bởi vì trong trường hợp này, tôpô
như thế là bằng tôpô đồ thị trên ( ; )C X Y có một cơ sở gồm những tập hợp có
dạng
{ }: ( ; ) : ( )WW F f C X Y G f W+
==∈ ⊆
ở đây, W là tập con mở của X Y× (xem [21], [22] ).

32. 27
2.2.1. Định lý 25 : Nếu X là một không gian chuẩn tắc paracompact đếm được
và Y là không gian mêtric thì tôpô mịn trên ( ; )C X Y là bằng tôpô đồ thị trên
( ; )C X Y .
Chứng minh : Gọi ( ; )f C X Y∈ và gọi ( )C Xε +∈ . Để thấy ( ; )B f ε là mở trong
tôpô đồ thị, ta đặt
{ }{ }( ( ); ( )) :W x B f x x x Xε=∪ × ∈
ở đây, ( ( ); ( ))B f x xε là quả cầu mở trong Y tâm tại ( )f x và có bán kính
( )xε .
• Ta cần thấy rõ rằng W là mở trong X Y× , vì thế gọi ( ; )x y W∈ , Thế thì
( ; ( )) ( )d y f x xε< , vì thế chúng ta có thể đặt một số dương
( ) ( ; ( ))x d y f xδ ε= − . Do tính liên tục của và ,f xε có một lân cận U sao
cho ( )( ) ( ); và (U)
3
f U B f x δ ε⊆ được chứa trong khoảng mở
( )( ) ; ( )
3 3
x xδ δε ε− + .
Để thấy ( );
3
U B y Wδ× ⊆ , gọi ( )/ /
và ;
3
x U y B y δ∈ ∈ .Thế thì
( ) ( ) ( )
( )
/ / / /
/
; ( ) ; ; ( ) ( ( ); ( ))
< ; ( )
3 3
= ( )
3 3
= ( )
3
< ( ).
d y f x d y y d y f x d f x f x
d y f x
x
x
x
δ δ
δ δε δ
δε
ε
≤ + +
+ +
+ − +
−
Do đó, { } ( )/ / / / /
( ; ) ( ), ( )x y x B f x x Wε∈ × ⊆ . Do đó, ( );
3
U B y δ× là một lân cận
của ( ; )x y chứa trong W. Điều này cho thấy W là mở trong X Y× , do đó
( );B f ε là mở trong tôpô đồ thị trên C(X;Y).

33. 28
• Bây giờ, giả sử rằng X là một không gian chuẩn tắc paracompact đếm
được và gọi W là một tập con mở của X Y× . Để thấy W +
là mở trong
tôpô mịn, gọi f W +
∈ . Ta cần tìm một số ( )( ) sao cho B ;C X f Wε ε +
+∈ ⊆ .
Với mỗi x X∈ , tồn tại một lân cận xU của x và một phần tử
1sao cho ( );x x
x
n U B f x W
n
 ∈ × ⊆ 
 
 . Bởi vì tính liên tục của f , ta lấy xU để
1( ) ( );
2x
x
f U B f x
n
 ⊆  
 
.
Với mỗi m∈ , gọi
{ }: vàm x xU U x X n m=∪ ∈ =.
Vì X là paracompact đếm được , phủ mở đếm được { }:mU m∈ của X có một
cái mịn hữu hạn địa phương u. Với mỗi U ∈ u, gọi Um ∈ sao cho UmU U⊆ .Ta
định nghĩa : (0; )Xδ → ∞ xác định bởi
1( ) min{ :
U
x U
m
δ= ∈ u và ,x U∈ x X∀ ∈ }.
Để thấy δ là bán liên tục dưới, gọi x X∈ . Lập tức x có một lân cận /
U mà
giao chỉ với một số hữu hạn phần tử của u, giả sử là 1,......., kU U . Ta giả sử rằng
1 ....... kx U U∈   , Bởi vì nếu ix U∉ , thì chúng ta có thể lấy /
iU U là một lân
cận của x . Thế thì chúng ta có / / /
( ) ( ),x x x Uδ δ≥ ∀ ∈ . Điều này cho thấy δ là
bán liên tục dưới. Vì X là chuẩn tắc paracompact và δ là dương, tồn tại
( ) sao cho <C Xε ε δ+∈ .
Để thấy ( );
2
B f Wε +
⊆ , gọi ( );
2
g B f ε∈ , x X∈ .Thế thì
( )( )( ) ( );
2
xg x B f x ε∈ , có một U ∈ u và x U∈ để 1( ) ( )
U
x x
m
ε δ< ≤ . Bây giờ
UmU U⊆ và 0U xm n= với 0x X∈ và với 0xx U∈ . Hơn nửa
0
0
0
1( );x
x
U B f x W
n
 
× ⊆ 
 
. Vì 0
0
0
1( ) ( );
2x
x
f U B f x
m
 
⊆  
 
,
Chúng ta có
( ) ( ) ( )
0
0
0 0( ); ( ) ( ), ( ) ( ); ( )
( ) 1<
2 2
1<
x
x
d g x f x d g x f x d f x f x
x
n
n
ε
≤ +
+

34. 29
Do đó, 0
0
0
1( ; ( )) ( );x
x
x g x U B f x W
n
 
∈ × ⊆ 
 
và ta có g W +
∈ . Điều này cho thấy
W +
là mở trong tôpô mịn trên C(X;Y), vì thế tôpô mịn và tôpô đồ thị là bằng
nhau. 
 Với một không gian mêtric Y, không gian ( )f YΗ các đồng phôi trên Y
là một không gian con của C(Y;Y) theo tôpô mịn. Trong trường hợp
này, định lý 25 này nói rằng tôpô trên ( )f YΗ cũng bằng với tôpô đồ thị.
2.2.2. Định lý 26 : Nếu Y là một không gian mêtric thì ( )f YΗ với tôpô mịn là
một nhóm tôpô.
Chứng minh :
• Chứng minh tính liên tục của sự nghịch đảo trong ( )f YΗ ta sử dụng
tôpô đồ thị. Gọi ( )ff Y∈Η và W là một tập con mở của Y Y× với
1
f W− +
∈ .Thế thì nếu { }1
( ; ) :( ; )W x y y x W−
= ∈ rõ ràng 1
W −
là mở trong
Y Y× và ( )1
f W
+−
∈ . Nhưng nếu ( )1
g W
+−
∈ thì 1
g W− +
∈ , điều này cho cho
thấy phép nghịch đảo trong ( )f YΗ là phép toán liên tục.
• Để chứng minh tính liên tục của phép kết hợp trong ( )f YΗ . Ta cần sử
dụng cấu trúc mêtric trên Y, tức là ta sử dụng tôpô mịn trên ( )f YΗ .
Gọi , ( )ff g Y∈Η và gọi ( )C Yε +∈ . Chú ý rằng 1
( )f C Yε −
+∈ . Bây giờ chúng ta
định nghĩa : (0; )Yδ → ∞ xác định bởi
( ) sup{ (0; )y rδ = ∈ ∞ :với (0; )s∈ ∞ ;
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
( ; ) ( ); ( ) , à ( ; ) ;2 ( ) },g B y r B g y f y s v f B y r s f y s y Yε ε ε− − −
⊆ − ⊆ − ∀ ∈
Để thấy δ là bán liên tục dưới, gọi y Y∈ và (0; )a∈ ∞ . Thế thì tồn tại
, (0; )r s∈ ∞ sao cho ( ) ( )1
( ) , ( ; ) ( ); ( )r y a g B y r B g y f y sδ ε −
> − ⊆ − và
( ) ( )1 1
( ; ) ;2 ( )f B y r s f y sε ε− −
⊆ − .
Gọi ( ( ) )
2
r y at δ− += . Cuối cùng đặt

35. 30
( ) ( )1 1 1 1
( ; ) ( ( ); ) ( ( ) ; ( )
3 3 3
s s sU B y t g B g y f f y f yε ε ε− − − −
= − +  là một lân
cận của y trong Y.
Ta cần chứng tỏ rằng ( )( ) ( ) ;U x aδ δ⊆ − ∞ . Vì thế gọi /
y U∈ , lấy /
r r t= − , để
mà /
( )y a r rδ − < < .Quan sát thấy rằng / /
( ; ) ( ; )B y r B y r⊆ bởi vì /
( ; )y B y t∈ và
/
r t r+ =. Vì thế ta có
( )/ / 1
( ( ; )) ( ); ( )g B y r B g y f y sε −
⊆ −
Và
( ) ( )1 / / 1
( , ) ;2 ( )f B y r s f y sε ε− −
⊆ −
Chúng ta cũng có ( )/
( ) ( );
3
sg y B g y∈ và
( )1 / 1 1
( ) ( ) ; ( )
3 3
s sf y f y f yε ε ε− − −
∈ − +
Bây giờ chúng ta cần chứng tỏ rằng
( ) ( )1 / 1 /
( ); ( ) ( ); ( )
3
sB g y f y s B g y f yε ε− −
− ⊆ −
Vì thế gọi ( )1
( ); ( )z B g y f y sε −
∈ − . Thế thì
( ) ( ) ( )
( )
/ /
1
1 /
1 /
; ( ) ; ( ) ( ); ( )
< ( )
3
< ( )
3 3
= ( )
3
d z g y d z g y d g y g y
sf y s
s sf y s
sf y
ε
ε
ε
−
−
−
≤ +
− +
+ − +
−
Do đó,
( ) ( )1 / 1 /
( ); ( ) ( ); ( )
3
sB g y f y s B g y f yε ε− −
− ⊆ −
Điều này cho thấy
( ) ( )/ / / 1 /
( ; ) ( ); ( )
3
sg B y r B g y f yε −
⊆ −
Với chứng minh như trên, ta cũng được
( ) ( )1 1 /
; ( ) ; ( )
3 3
s ss f y s f yε ε− −
− ⊆ −

36. 31
Điều này cho thấy rằng
( ) ( )1 / / 1 /
( ; ) ; ( )
3 3
s sf B y r f yε ε− −
⊆ −
ta kết luận rằng / /
( )r yδ≤ và do đó / /
( ) ( )y a r yδ δ− < ≤ . Điều này đúng với
mọi /
y U∈ , để ( )( ) ( ) ;U y aδ δ⊆ − ∞ , và do đó δ là bán liên tục dưới.
• Vì 0 δ< , có một ( )C Yσ +∈ sao cho σ δ< . Chú ý rằng ( )f C Yσ +∈ . Xét
lân cận ( ; )B f fσ và 1
( ; )B g fε −
của vàf g trong ( )f YΗ . Chúng ta muốn
thấy rằng nếu /
( ; )f B f fσ∈ và / 1
( ; )g B g fε −
∈ , thế thì / /
( ;3 )g f B gf ε∈ (
do sử dụng 3
ε trong
định nghĩa của δ và do lấy /
g từ
1
( ; )
3
fB g ε −
), Ta đạt được / /
( ; )g f B gf ε∈ .
Vì thế để thấy / /
( ;3 )g f B gf ε∈ , gọi y Y∈ . Thế thì
( )/
( ) ( ); ( )f y B f y f yσ∈
Lập tức ( ) ( ( ))f y f yσ δ< để mà.
( ) ( ) ( )1
( ( ); ( )) ( ( )); ( ( )) ( ); ( )g B f y f y B g f y f f y B gf y yσ ε ε−
⊆ =
Do đó, ( )/
( ) ( ); ( )gf y B gf y yε∈ . Hơn nữa, vì ( )/ 1
;g B g fε −
∈ , Chúng ta có
( )/ / / 1 /
( ) ( ); ( ( ))g f y B gf y f f yε −
∈ .
Nhưng ( ) ( )1
( ( ); ( )) 0;2 ( )f B f y f y yε σ ε−
⊆ vì thế ( )1 /
( ( )) 0;2 ( )f f y yε ε−
∈ ; có nghĩa
là 1 /
( ( )) 2 ( )f f y yε ε−
< , vì vậy ( )/ / /
( ) ( );2 ( )g f y B gf y yε∈ và do đó
( )/ /
( ) ( );3 ( )g f y B gf y yε∈ như đã cần. Vậy phép kết hợp trong ( )f YΗ là liên
tục. 
Bây giờ chúng ta tìm hiểu một số kết quả về cấu trúc của không gian ( )f YΗ
bằng việc xét các lớp tương đương của hai quan hệ tương đương xác định trên
( )YΗ . Ta xét với không gian tổng quát hơn C(X;Y).

37. 32
Trước hết , gọi ≈ là quan hệ tương đương trên C(X;Y) được xác định
bởi f g≈ với điều kiện tồn tại một tập con compact K của X sao cho
( ) ( ), f x g x x X K= ∀ ∈ . Với mỗi ( ; )f C X Y∈ , gọi ( )E f là lớp tương đương ≈
chứa f . Chú ý rằng nếu X là compact, thế thì mỗi ( )E f bằng ( ; )C X Y .
2.2.3. Mệnh đề 27 : Nếu X là một không gian compactσ − compact địa
phương và Y là một không gian mêtric thì ( )E f là không gian con đóng của
( ; )fC X Y , ( ; )f C X Y∀ ∈ .
Chứng minh : Vì điều này hiển nhiên đúng với X compact, ta giả sử rằng X
là không compact. Thế thì ta có thể viết { }:nX K n=∪ ∈ , ở đây mỗi nK là
compact và chứa trong phần trong 1nK + . Gọi ( ; )f C X Y∈ và ( ; ) ( )g C X Y E f∈ .
Thế thì với mỗi n∈ , tồn tại một n nx X K∈ sao cho ( ) ( );n ng x f x≠ gọi
( )( ); ( )n n nd g x f xε = . Lập tức { }:nx n∈ là tập con đóng rời rạc của X, để hàm số
từ { }:nx n∈ sang (0; )∞ chuyển mỗi nx đến nε có một sự mở rộng đối với
một ( )C Xε +∈ . Điều này hiển nhiên ( ; ) ( ; ) ( )fB g C X Y E fε ⊆ , và điều này cho
thấy ( )E f là đóng trong ( ; )fC X Y 
Hệ quả 28 : Nếu Y là một không gian mêtric khả li compact địa phương, thì
( )E h là không gian con đóng của ( )f YΗ với mọi ( )h Y∈Η .
Ta thấy theo mệnh đề 27,gọi e là kí hiệu ánh xạ đồng nhất trong ( )YΗ .Thì ta
có một nhóm con chuẩn tắc sau :
2.2.4. Mệnh đề 29 : Với mọi không gian Y, ( )E e là nhóm con chuẩn tắc của
( )YΗ .
Chứng minh : Gọi , ( )f g E e∈ . Thế thì có các tập con compact 1K và 2K của
Y sao cho 1( ) , f y y y Y K= ∀ ∈ và 2( ) , g y y y Y K= ∀ ∈ . Tập hợp 1
2( )f K−
là
compact trong Y, vì thế tập 1
1 2( )K K f K−
= ∪ là compact . Nếu y Y K∈ thì
2( ) f y Y K∈ thế thì ( )f y y= và ( ( )) ( )g f y f y y= = .Do đó, ( )gf E e∈

38. 33
Hơn nữa, 1( )f K là compact, và nếu 1 ( )y Y f K∈ thì 1
1( ) f y Y K−
∈ , thế thì
( )1 1
( ) ( )y f f y f y− −
= = vậy là 1
( )f E e−
∈ , vậy ( )E e là nhóm con của ( )YΗ .
Để thấy ( )E e là nhóm con chuẩn tắc của ( )YΗ , gọi ( )f E e∈ và ( )g Y∈Η .Thế
thì tồn tại tập con compact K của Y sao cho ( ) , f y y y Y K= ∀ ∈ .Gọi /
( )K g K=
là tập con compact của Y. Thế thì, nếu /
y Y K∈ , ta có 1
( ) g y Y K−
∈ , thế thì
( )1 1 1
( ) ( ( )) ( ( ))gfg y g f g y g g y y− − −
= = = . Do đó, 1
( )gfg E e−
∈ . Điều này cho
thấy ( )E e là nhóm con chuẩn tắc của ( )YΗ 
Hệ quả 30 : Nếu Y là không gian mêtric khả li compact địa phương, thì nhóm
thương ( ) / ( )f Y E eΗ là một nhóm tôpô với tôpô thương, điều này kéo theo
( )E h là đồng phôi với ( )E e với mọi ( )h Y∈Η
Ví dụ 31 : Với Y =  , nhóm con ( )E e của ( )f YΗ là không mở trong ( )f YΗ Để
thấy ( )E e là không mở, gọi 1( )D Y là tập hợp của ( )C Yδ ∈ có đạo
hàm /
( ) 1,y y Yδ < ∀ ∈ .Gọi ( )C Yε +∈ . Thế thì ta tìm một số 1( ) ( )C Y D Yδ +=  sao
cho δ ε< . Đặt f e δ= + , chúng ta có f tăng ngặt vì thế nó thuộc ( )YΗ . Hơn
nữa, ( ; )f B e ε∈ . Nhưng ( ) ,f y y y Y≠ ∀ ∈ và do đó, ( )f E e∉ .Vì ε là tùy ý, ta
thấy rằng ( )E e là không mở
Điều này cho thấy ( ) ( )fH Y E e không là nhóm rời rạc .
Với quan hệ tương đương thứ nhì trên C(X;Y), chúng ta lấy Y là không gian
mêtric với mêtric d. Gọi  là quan hệ tương đương trên C(X:Y) được xác định
bởi f g với điều kiện là với mọi 0ε > tồn tại tập con compact K của X sao
cho ( )( ); ( ) , d f x g x x X Kε< ∀ ∈ . Với mỗi ( ; )f C X Y∈ , gọi ( )F f là lớp tương
đương  chứa f . Điều này rõ ràng ( ) ( ), ( ; )E f F f f C X Y⊆ ∀ ∈ .
2.2.5. Mệnh đề 32 : Nếu X là một không gian bất kì và Y là không gian
mêtric, thì ( )F f là không gian con đóng của ( ; ), ( ; )fC X Y f C X Y∀ ∈ , Hơn nữa,

39. 34
nếu X là một không gian compactσ − compact địa phương, thì ( )F f là một
không gian con mở của ( ; ), ( ; )fC X Y f C X Y∀ ∈ , điều này kéo theo ( ; )fC X Y là
bằng tôpô tổng của một số phần tử phân biệt của { }( ) : ( ; )F f f C X Y∈
Chứng minh :
• Để thấy ( )F f là đóng trong ( ; )fC X Y , gọi ( ; ) ( )fg C X Y F f∈ . Thế
thì tồn tại một số 0δ > sao cho với mọi tập con compact K của X, có một
x X K∈ với ( )( ); ( )d g x f x δ≥ . Gọi ( )C Xε +∈ là hàm hằng trên X có giá trị
bằng 2
δ . Nếu ( ; )h B g ε∈ , thì với mỗi tập con compact K của X, tồn tại một
x X K∈ sao cho
( ) ( ) ( )
( )
( ); ( ) ( ); ( ) ( ); ( )
< ( ); ( )
2
d g x f x d g x h x d h x f x
d h x f x
δ
δ
≤ ≤ +
+
Và do đó, ( )( ); ( )
2
d h x f x δ> . Điều này cho thấy ( )h F f∉ , và do đó
( ); ( ; ) ( )fB g C X Y F fε ⊆ , vậy ( )F f là đóng.
Nếu X là một không gian compactσ − compact địa phương, chúng ta có
thể viết { }:nX K n=∪ ∈ ở đây nK là compact chứa trong phần trong của 1nK + .
• Để thấy ( )F f là mở trong ( ; )fC X Y , trước tiên chọn một số ( )C Xε +∈
sao cho với mọi n∈ và nx K∈ , 1( )x
n
ε < . Bây giờ ( )g F f∈ và gọi
( ; )h B g ε∈ .
Để thấy ( )h F f∈ , gọi 0δ > . Thế thì lấy một n∈ với 1
n
δ< và gọi
nx X K∈ . Vì thế ta có ( ) 1( ); ( ) ( )d h y g y x
n
ε δ< < < , cho thấy h g .Vì g f , ta
có h f , và do đó ( )h F f∈ . Vì vậy, ( , ) ( )B g F fε ⊆ và vì g tùy ý, ( )F f là mở
trong ( ; )fC X Y . 

40. 35
Hệ quả 33 : Nếu Y là không gian mêtric khả li compact địa phương, thì ( )F h
là không gian con mở và đóng của ( ), ( )f Y h YΗ ∀ ∈Η , điều này kéo theo ( )f YΗ
là bằng tôpô tổng của một số phần tử phân biệt của { }( ) : ( )F h h Y∈Η
Như vậy, ta tìm được không gian con vừa đóng vừa mở và từ đó ta sẽ có một
tôpô tổng.
Ví dụ 34 : Nếu Y ω
=  , thì ( )F e là nhóm con tầm thường { }e trong ( )YΗ , mà
nó là không mở trong ( )YΗ . Điều này cho thấy giả thiết compact địa phương
trong hệ quả 33 là không thể bỏ qua.
Để thấy { }( )F e e= , gọi { }( ) ff Y e∈Η , thế thì tồn tại 0y Y∈ sao cho
0 0( )f y y≠ . Đặt ( )0 0( );d f y yδ = thế thì 0y có một lân cận U trong Y sao cho
( )( ), ,
2
d f y y y Uδ≥ ∀ ∈ . Với mỗi tập con compact K của Y, tồn tại một
y U K∈ , và do đó ( )( ),
2
d f y y δ≥ . Điều này cho thấy ( )f F e∈ , và do đó,
{ }( ) ( )E e F e e= = .
2.2.6. Mệnh đề 35: Với mọi không gian Y, ( )F e là nhóm con của ( )YΗ .
Chứng minh : Điều này chứng minh tương tự như mệnh đề 29 , ngoại trừ
việc cần dùng 2
ε và tính chất bất đẳng thức trong tam giác của d để thấy ( )F e
là đóng với phép kết hợp. 
Hệ quả 36 : Nếu Y là không gian mêtric khả li compact địa phương, thì ( )F e
là một nhóm con mở và đóng của nhóm tôpô ( )f YΗ .
Ví dụ sau đây cho thấy việc tìm quan hệ tương đương  là cần thiết, không
thể bỏ qua quan hệ tương đương ≈.
Ví dụ 37 : Với Y =  nhóm con ( )F e của ( )f YΗ không là nhóm con chuẩn tắc
của ( )YΗ .
Để thấy ( )F e là không chuẩn tắc, gọi , ( )f g Y∈Η được xác định bởi

41. 36
3
2
1
( ) và ( )
1
f x x g x x
x
=+ =
+
Thế thì ta có thể thấy rõ ràng ( )f F e∈ và ( )g Y∈Η .Lập tức
( )
( ) ( )
1 1
1 3 3
2
3
2 1
3 3
2 2 32 23 3 3
1
( )
1
3 3 1
=
1 1 1
gfg x gf x g x
x
x x
x
x x x
−
 
= = + 
+ 
+ + +
+ + +
Vì
1
lim 1
32
3 1
x
x
=
→∞  
 +
 
 
Ta thấy 1
( )gfg F e−
∉ .
Phần còn lại ta nghiên cứu một số tính chất của ( )f
+
Η  .
2.3. Các tính chất của ( )f
+
Η  và ω

Trong phần này ta nghiên cứu một vài tính chất tôpô của ( )f
+
Η  và chúng ta
thấy chúng có những tính chất tương tự như tôpô tích hình hộp ω
 ( xem
[20], [23],[24] ).
2.3.1. Mệnh đề 38 : Không gian ( )f
+
Η  và ω
 là các đồng đều
Chứng minh : Không gian ( )f
+
Η  đồng đều vì nó là một nhóm tôpô theo
định lý 26 . Để thấy ω
 là đồng đều, gọi ,x y ω
∈ . Thế thì nếu
:h ω ω
→  được xác định bởi ( ) , vàn n n nh z z x y z nω
ω= − + ∀ ∈ ∈ , ta thấy
rằng h là một đồng phôi chuyển x đến y . 
Bây giờ, ta xét các tính chất về lượng bất biến của trọng số,tính trù mật và
tính phân ô (xem [14]).
• Trọng số của một không gian tôpô, w(X), là bản số nhỏ nhất của một cơ
sở đối với X.
• Tính trù mật của X, d(X), là bản số nhỏ nhất của một tập con trù mật
của X.

42. 37
• Tính phân ô (cellularity)của X, c(X), là bản số lớn nhất của một họ từng
cặp rời nhau của tập con mở khác rỗng của X.
• Với mọi không gian X, chúng ta có
( ) ( )c X d X≤ ≤ w(X)
Những tính chất này của ω
 đã biết theo [11], nhưng chúng ta chứng minh
vắn tắt các tính chất này minh họa tương ứng cho trong ( )f
+
Η  .
Chúng ta xác định quan hệ tương đương ≈ và  trên ω
 tương tự như cách
định nghĩa trên ( )f
+
Η  ( Vì thế cũng dùng cùng một kí hiệu ).
Gọi ≈ được xác định trên ω
 bởi x y≈ với điều kiện tồn tại một m ω∈ với
,n nx y n m= ∀ > . Cũng như vậy, gọi  được xác định trên ω
 bởi x y với
điều kiện với mọi 0ε > tồn tại một m ω∈ với ,n nx y n mε− < ∀ > . Với mỗi
x ω
∈ , gọi ( )E x và ( )F x là lớp các quan hệ tương đương tương ứng chứa x .
Nó có thể thấy như trong mệnh đề 27 và mệnh đề 32 nghĩa là với mỗi
x ω
∈ , ( )E x và ( )F x là các không gian con đóng của ω
 sao cho ( )F x là
mở còn ( )E x thì không. Trong việc này ω
 là bằng với tôpô tổng của một số
phần tử phân biệt của { }( ) :F x x ω
∈ .
Gọi c là bản số continuum của  , ta thấy có ít nhất c phần tử phân biệt của
{ }( ) :F x x ω
∈ bởi vì nếu ,x y ω
∈ sao cho nx a= và ny b= n ω∀ ∈ ở đây a b≠ ,
thế thì ( ) ( )F x F y≠ . Điều này có nghĩa là ( )c cω
≥ . Nhưng w( ω
 ) c≤ vì ω

có một cơ sở bản số là c gồm những tập hợp có dạng m mUω∈∏ ở đây mU là một
khoảng mở với các đầu mút hữu tỉ. Do đó, ta có điều sau đây đối với ω
 .
2.3.2. Mệnh đề 39 : Tích hình hộp ω
 có :
( ) ( )c dω ω
= =  w( ω
 ) = c
ta chứng minh tương tự mệnh đề này đối với ( )f
+
Η  . Trước tiên thấy rằng
( )f
+
Η  là một không gian con của ( )fC  , vì thế

43. 38
w( ( )f
+
Η  )≤w( ( )fC  ).
Trong [13] cho thấy với mọi không gian X
( ( )) ( ( ))f fc C X d C X= = w( ( )fC X )
Do đó, w( ( )f
+
Η  )≤ d ( ( )fC  ).
Bây giờ ta chứng minh điều này đối với ( )f
+
Η  như sau :
2.3.3. Mệnh đề 40 : Không gian ( )f
+
Η  có :
( ( )) ( ( ))f fc d+ +
Η =Η =  w( ( )f
+
Η  ) = c
Chứng minh : Vì w( ( )f
+
Η  )≤ d ( ( )fC  ), ta cần chứng tỏ d ( ( )fC  ) c≤ .
Nhưng có một đơn ánh từ ( )C  sang ω
 bởi vì hai hàm số trong ( )C  là
bằng nhau nếu và chỉ nếu chúng bằng nhau tại tất cả các số hữu tỉ , vì bản số
của ω
 là c, ta biết rằng bản số của ( )C  là c, do đó cho nên , d ( ( )fC  ) c≤
Để thấy ( ( ))fc c +
≤ Η  , Trước tiên nhắc lại từ hệ quả 33 là ( )f
+
Η  là bằng với
tôpô tổng của số phần tử phân biệt của { }( ) : ( )fF h h H +
∈  . Nếu , ( )ff g +
∈Η  sao
cho ( )f t at= và ( )g t bt= với 0a b≠ ≠ , thế thì ( ) ( )F f F g≠ . Điều này cho thấy
có ít nhất c phần tử phân biệt của { }( ) : ( )fF h h H +
∈  , và do đó, ( )( ) .fc c H +
≤ 

Bây giờ chúng ta xét tính chất địa phương của đặc tính ( ; )x Xχ của một không
gian X, khi x có giá trị trong X, bản số nhỏ nhất của một cơ sở địa phương tại
x . Thì ( )Xχ là cận trên lớn nhất của các số ( , )x Xχ Vì ( )f
+
Η  và ω
 là các
đồng đều theo mệnh đề 38 , ta chỉ cần xét cở sở địa phương tại e trong
( )f
+
Η  và tại 0 trong ω
 .
Một tập con D của ω
 được gọi là có ưu thế (Dominating ) với điều kiện nếu
với mỗi x ω
∈ , tồn tại một số d∈D sao cho n nx d≤ , n ω∀ ∈ . Số ưu thế, d, là
bản số nhỏ nhất của một tập con có ưu thế của ω
 ( xem [17] ). Bản số d này
nằm giữa hai số lượng 1N và 0
2N
c= và bao gồm với ZFC mà nó bằng những
số này hoặc không bằng tất cả ( xem 16 ).

44. 39
Do xét cơ sở địa phương của ω
 tại 0 và do lấy phần tử đối của các phần tử
dương của tập hợp con có ưu thế của ω
 ,
Chúng ta có mệnh đề sau :
2.3.4. Mệnh đề 41 : Tích hình hộp ω
 thỏa mãn ( ) dω
χ =
Chúng ta chứng minh tính chất này tương tự với ( )f
+
Η  .
2.3.5. Mệnh đề 42 : không gian ( )f
+
Η  thỏa ( )( )f dχ +
Η =
Chứng minh : Từ [13] chúng ta biết rằng ( )( )fC dχ = . Vì ( )f
+
Η  là không
gian con của ( )fC  , ta có ( )( )fH dχ +
≤
Chúng ta phát họa chứng minh ( )( )fH dχ +
≥ . Gọi 1( )D  được xác định
như trong ví dụ 31. Thế thì ( )Cε +∀ ∈  , 1 1( ) ( )C Dδ∃ ∈    sao cho δ ε< . Điều
này có nghĩa là họ các tập hợp 1( ; ), ( )B e Dδ δ∀ ∈  có dạng một cơ sở tại e trong
( )f
+
Η  . Hơn nữa, với mỗi 1( ), ( )fD eδ δ +
∈ + ∈Η 
Bây giờ gọi 1( )D∆ ⊆  sao cho { }( ; ) :B e δ δ ∈∆ là một cơ sở tại e trong
( )f
+
Η  với bản số của ∆ là bằng ( )( )fHχ +
 .
Đặt { }1 :D δδ= ∈∆ là một tập con của ( )C  . Để thấy D là một tập con có ưu
thế của ( )C  , gọi ( )f C∈  . Thế thì có một ( )Cε +∈  sao cho f ε≤ . Vì
( )1;B e
ε là một lân cận của e, tồn tại một số δ ∈∆ với 1( ; ) ( ; )B e B eδ ε⊆ .
Để thấy rằng 1δ ε≤ , giả sử ngược lại. Thế thì tồn tại một x∈ với
1( )
( )
x
x
δ ε> . Gọi 1
( ) ( )
k
x xδ ε= , nó thật sự nằm giữa 0 và 1. Lập tức
1( )k Dδ ∈  , thế thì ( )e k Hδ+ ∈  . Hơn nữa, ( ; )e k B eδ δ+ ∈ . Nhưng
1( )
( )
k x
x
δ ε= , vì thế ( )1;e k B eδ ε+ ∉ mâu thuẩn , ta có 1δ ε≤ và do đó

45. 40
1ε δ≤ . Thế thì D là một tập con có ưu thế trong ( )C  , và do đó,
( )( )fd D χ +
≤ ≤ ∆= Η  
• Từ mệnh đề 41 và mệnh đề 42 , Ta thấy rằng ( )f
+
Η  và ω
 không
thỏa tiên đề đếm được thứ nhất, và do đó không mêtric hóa được
Bây giờ chúng ta xét tính chất liên thông của ( )f
+
Η  và ω
 . Trước tiên thành
phần liên thông của tích hình hộp ω
 đã cho trong [11] như sau:
2.3.6. Mệnh đề 43 : Với mỗi x ω
∈ , thành phần liên thông ( thành phần liên
thông đường ) của ω
 chứa x là ( )E x .
Ta chứng minh tương tự cho kết quả ( )f
+
Η  .
2.3.7. Mệnh đề 44 : Với mỗi ( )fh +
∈Η  , thành phần liên thông ( thành phần
liên thông đường) của ( )f
+
Η  chứa h là ( )E h .
Chứng minh : Ta chứng minh điều này với h e= . Gọi ( ) ( )ff E e+
∈Η  .Giả sử
ngược lại rằng f ở trong thành phần liên thông của ( )fΗ  chứa e . Vì
( )f E e∉ , tồn tại một dãy tăng không bị chặn ( )ny trong  sao cho
( ) ,n nf y y n≠ ∀ ∈ . Với mỗi n, gọi
( )n n
n
f y y
n
δ
−
= và gọi ( )Cε +∈  sao cho
( ) ,n ny nε δ= ∀ ∈ . Thế thì phủ mở { }( ; ) : ( )fB g gε ∈Η  của ( )fΗ  có một dãy
đơn giản nối từ e tới f , giả sử dãy này là 1( ; ),......., ( ; )kB g B gε ε ở đây
1 , kg e g f= = và ( ; ) ( ; )i jB g B gε ε ≠ ∅ nếu và chỉ nếu 1i j− ≤ . Gọi 2n k= , và
với mỗi 1,...... 1i k= − , gọi
1
1
( ( ); ( )) ( ( ); ( ))
= ( ( ); ) ( ( ); )
i i n n i n n
i n n i n n
z B g y y B g y y
B g y B g y
ε ε
δ δ
+
+
∈ 

Thế thì ta có

46. 41
( )
1 1 1 2 2 2 2 3
1 1 1
2 , ( )
( ( ); ) ( ; ( )) ( ( ), ) ( ; ( ))
+.....+ ( ( ); ) ( ; ( ))
<2( 1) ,
n n n
n n n n
k n k k k n
n
k d y f y
d g y z d z g y d g y z d z g y
d g y z d z g y
k
δ
δ
− − −
=
≤ + + +
+
−
Mà điều này mâu thuẩn. do đó cho thấy rằng f không trong thành phần liên
thông của ( )fΗ  chứa e và do đó thành phần của h này được chứa trong ( )E e .
• Phần còn lại chứng tỏ ( )E e là liên thông, ta cần chứng tỏ rằng với mỗi
( )f E e∈ , { };e f được chứa trong một tập con liên thông của ( )E e . Vì
thế gọi ( )f E e∈ . Định nghĩa [ ] ( ): 0;1p C→  xác định bởi
( )( ) ( ) (1 ) , [0;1]p t y tf y t y t= + − ∀ ∈ và y ∈
Rõ ràng (0)p e= và (1)p f= .
Để chứng tỏ ( ) ( )fp t ∈Η  với mỗi [0;1]t ∈ , ta chỉ cần chỉ ra ( )p t là đồng biến.
Nhưng vì f là đồng biến, nên rõ ràng mỗi ( )p t là đồng biến. Vì thế p là hàm
số được định nghĩa tốt từ khoảng [0;1] sang ( )fΗ  .
Ta có khoảng [0;1] liên thông trong tôpô thông thường, vì thế chúng ta
cần biết p là liên tục ( tức là, p là một cung ). Bởi vì ( )f E e∈ , tồn tại một tập
con compact K của  sao cho ( ) , .f y y y K= ∀ ∈ Điều đó đủ để kết luận p là
một ánh xạ từ [0;1] sang ( )f KΗ . Nhưng tôpô mịn trên ( )H K là bằng tôpô mở -
compact trên ( )H K , và p là hàm liên tục từ [0;1] vào ( )kH K .
• Chúng ta chỉ ra rằng mệnh đề 44 cũng đúng trong trường hợp tổng
quát hơn ( )fC X bất kì X là một không gian compactσ − compact địa
phương, cơ bản công việc chứng minh cũng giống trong trường hợp đã
chứng minh .

47. 42
Những tính chất được cho ở trên đối với ( )f
+
Η  và ω
 như thế cũng tương
tự , ta xét xem những không gian này đồng phôi hay không. ( )f
+
Η  và ω

khác nhau quan trọng, chúng ta thấy từ hai mệnh đề sau :
2.3.8. Mệnh đề 45 : không gian ( )f
+
Η  chứa một không gian con đóng đồng
phôi với ω
 .
Chứng minh : Gọi  { }( ) : ( ) , ( ; 1] [1; )h h t t t+
= ∈Η = ∀ ∈ −∞ − ∪ ∞ . Ta dễ dàng
kiểm tra  là đóng trong ( )p
+
Η  theo tôpô, và do đó đóng trong ( )f
+
Η  . Hơn
nữa, hiển nhiên rằng  là không gian con của ( )f
+
Η  , nó đồng phôi với
( ) ( )f k
+ +
Η Ι =Η Ι .Nhưng ( )k
+
Η Ι là đồng phôi với ω
 theo định lý 22.
2.3.9. Mệnh đề 46 : Tích hình hộp ω
 không chứa một không gian con đóng
nào mà đồng phôi với ω
 .
Chứng minh : Giả sử rằng có một phép nhúng đóng : ω ω
φ →  . Vì ω
 là
đồng đều theo mệnh đề 38, chúng ta có thể giả sử rằng 0 là trong ( )ω
φ  .Từ
mệnh đề 43 chúng ta biết rằng (0)E là thành phần liên thông của ω
 chứa 0,
thế thì ( ) (0)Eω
φ ⊆ . Nhưng (0)E là compactσ − và φ là phép nhúng đóng trái
với ω
 không compactσ − . 
Hệ quả 47 : Không gian ( )f
+
Η  không thể nhúng được như là một không gian
con đóng của tích hình hộp ω
 .
 Như vậy , qua việc xem xét các tính chất của ( )fH +
 và ω
 từ mục 2.3
ta thấy chúng rất gần với nhau , nhưng ( )fH +
 có chứa một không gian
con đóng đồng phôi với ω
 theo tôpô tích Tychonoff , còn ω
 thì
không chứa một không gian con đóng nào đồng phôi với ω
 theo tôpô
tích Tychonoff.

48. 43
Vì thế hệ quả 47 cho chúng ta thấy ( )f
+
Η  không đồng phôi với ω
 .
Nhưng ( )Η  có các tính chất rất gần với tính chất ω
 mà chúng ta
muốn biết ( )f
+
Η  có đồng phôi hay không với ω
 theo tôpô tích nào
đó mà nó thật sự thô hơn tôpô tích hình hộp, nhưng mịn hơn tôpô tích
Tychonoff?
Trong phần tiếp theo chúng ta xác định một tôpô như thế .

49. 44
Chương 3
TÔPÔ TÍCH NỬA – HÌNH HỘP
Trong chương này chúng ta nêu ra định nghĩa tôpô tích nửa – hình hộp ω
¬ ,
xem xét các tính chất của nó , chúng ta cũng sẽ thấy nó có tính chất giống như
( )fH +
 và ω
 nhưng điều khác biệt là ω
¬ có thể nhúng được như là một
không gian con đóng của ( )fH +
 và ( )fH +
 cũng nhúng được sang ω
¬ .
Cuối cùng , chúng ta sẽ thấy những không gian đồng phôi với ω
¬ .
3.1. Định nghĩa
Với một không gian tôpô X, Chúng ta định nghĩa không gian tích nửa – hình
hộp X ω
¬ là tích X ω
với tôpô tích nửa – hình hộp mà chúng ta sẽ định nghĩa
như sau. Gọi Y là không gian mêtric khả li và không có điểm cô lập, và gọi A
là tập con thật sự của Y khác rỗng và compact. Gọi φ là song ánh từ tập sắp
thứ tự hữu hạn ω lên tập con trù mật của Y. Gọi 1 ( tương ứng 2 ) là tập
các tập con S của ω sao cho tập các điểm tụ của ( )Sφ chứa trong A ( tương
ứng bằng với A ); và gọi { }1,2i∈ . Vì i là một phủ của ω và kín với hợp hữu
hạn . Tôpô tích nửa- hình hộp trên X ω
có một cơ sở bao gồm những tập hợp
có dạng :
m m
m S m S
U X
ω∈ ∈
∏ × ∏
ở đây S ∈ i , mỗi mX là một bản sao của X, và mỗi mU là một tập con mở của
mX . Từ định nghĩa này cũng suy ra rằng nếu mX là khác nhau đối với m khác
nhau, trong trường hợp này ta kí hiệu không gian tích nửa - hình hộp là
m mXω∈¬ .
Định lý 48 : Đối với một không gian tôpô X, tôpô tích nửa – hình hộp trên
X ω
là độc lập với cách chọn của Y, A, φ và i trong định nghĩa trên.

50. 45
Để chứng minh định lý này ta cần ba bổ đề sau :
Bổ đề 49 : Tôpô tích nửa – hình hộp độc lập với cách chọn của i.
Chứng minh : Trước tiên, vì 2 ⊆ 1 tôpô tích nửa – hình hộp trên X ω
dùng
1 là mịn hơn hoặc bằng tôpô tích trên nửa – hình hộp trên X ω
dùng 2 .
Tiếp theo chúng ta thấy rằng 1 làm mịn 2 ; vì thế gọi S1∈1 . Ta cần
tìm một S2∈2 với 1 2S S⊆ . Với mỗi {0}m ω∈ , gọi m là một phủ mở hữu
hạn của A trong Y gồm những tập hợp có đường kính nhỏ hơn 1
m
. Ta xác
định bằng qui nạp họ { }:mT m ω∈ của những tập con hữu hạn của ω . Trước hết,
gọi 0 .T = ∅ Giả sử 0 ,........., mT T được xác định. Thế thì với mỗi V ∈  1m+ , gọi
( )/
1 0 ( ( ) ( ) ...... ( )mV V S T Tφ φ φ= ∪ ∪ ∪
Và gọi
 /
1m+ = { V ∈  1m+ : /
V ≠ ∅ }.
Với mỗi V ∈ /
1m+ , gọi Vm ω∈ sao cho /
( )Vm Vφ ∈ .
Thế thì lấy 1 { :m VT m V+= ∈ /
1m+ }.
Với họ { }:mT m ω∈ do đó đã xác định được bằng qui nạp. Bây giờ đặt
{ }( )2 1 :mS S T m ω= ∪ ∪ ∈
Chúng ta cần thấy rằng 2S ∈2 . Tập hợp các điểm tụ của 1( )Sφ được chứa
trong A. Nếu S là một dãy được chứa trong 2 1S S , thế thì bằng cách xây dựng
ở trên, ( )Sφ là dãy cauchy và phải hội tụ về một điểm của A. Vì thế tập các
điểm tụ của 2( )Sφ được chứa trong A. Cuối cùng, nếu a A∈ , chúng ta lập lại

51. 46
xây dựng ở trên có một dãy S trong 2S sao cho ( )Sφ hội tụ tới a. Do đó, tập tất
cả các điểm tụ của 2( )Sφ là bằng A, và do đó 2S ∈2 .Vậy 1 làm mịn 2 .
Ta có tập cơ sở mở điển hình sau :
1 1
m m
m S m S
U X
ω∈ ∈
×∏ ∏
Đối với X ω
¬ sử dụng 1 chúng ta có thể viết cơ sở này như sau :
2 2
m m
m S m S
U X
ω∈ ∈
×∏ ∏
ở đây 2S là một phần tử của 2 chứa 1S , và với mỗi 2 1m S S∈ , m mU X= . Điều
này cho thấy rằng tôpô tích nửa – hình hộp trên X ω
dùng 2 là mịn hơn hoặc
bằng tôpô tích nửa – hình hộp dùng 1 , và do đó hai tôpô này là bằng nhau.
Bây giờ chúng ta dùng kí hiệu  chung cho 1 hoặc 2 . Vì bổ đề 49 này cho
thấy không có vấn đề gì khi sử dụng 1 hay 2 .
Bổ đề 50 : Tôpô tích nửa – hình hộp độc lập với cách chọn của φ .
Chứng minh : Gọi φ và /
φ là các song ánh từ ω lên những tập trù mật của Y.
Gọi X ω
¬ là không gian tích nửa – hình hộp ứng với φ và gọi /
X ω
¬ là không
gian tích nửa – hình hộp ứng với /
φ . Gọi d là mêtric trên Y.
Chúng ta định nghĩa, bằng quy nạp, các dãy /
2 1 2 2 1( ),( ),( )n n nm m m− − và /
2( )nm trong
ω . Trước tiên, gọi 1 0m = và gọi /
1m là số nhỏ nhất của m ω∈ sao cho
( )/
1( ); ( ) 1d m mφ φ < . Tiếp theo, gọi /
2m là phần tử nhỏ nhất của { }1 mω và gọi
2m là phần tử nhỏ nhất { }1m mω∈ sao cho ( )/ /
2
1( ); ( )
2
d m mφ φ < . Bây giờ giả sử
rằng n∈ các số nguyên dương 1n > và rằng /
2 1 2 2 1, ,k k km m m− − và /
2km được xác

52. 47
định bởi 1,....., 1k n= − . Thế thì gọi 2 1nm − là phần tử nhỏ nhất của
{ }1 2 2 ,........., nm mω − và gọi /
2 1nm − là nhỏ nhất của { }/ /
1 2 2 ,........., nm m mω −∈ sao cho
( )/
2 1
1( ); ( )
2 1nd m m
n
φ φ− <
−
.
Cũng tương tự gọi /
2nm là phần tử nhỏ nhất của { }/ /
1 2 1 ,........., nm mω − và gọi 2nm
là nhỏ nhất của { }1 2 1 ,........., nm m mω −∈ sao cho ( )/ /
2
1( ); ( )
2nd m m
n
φ φ < . Vậy ta đã
định nghĩa qui nạp của dãy này.
Chú ý rằng với ,i j∀ ∈ với i j≠ , ta có i jm m≠ và / /
i jm m≠ , và rằng
( )/ / 1( ); ( )i id m m
i
φ φ < .Hơn nửa { } { }/
: :n nm n m n ω∈ = ∈ =  . Bây giờ xét song
ánh ψ từ ω vào chính nó bởi /
( ) ,n nm m nψ = ∀ ∈.
Với cách xây dựng trên bảo đảm, với mỗi tập con S của ω , mà ( )Sφ và
( )/
( )Sφ ψ có cùng tập các điểm tụ trong Y, và /
( )Sφ và ( )1
( )Sφ ψ −
có cùng tập
các điểm tụ trong Y.Cụ thể, nếu  được chọn ứng với φ và /
chọn ứng với
/
φ , ta có { ( ) :S Sψ ∈ } = /
và 1
{ ( ) :S Sψ −
∈/
} = �
Bây giờ chúng ta định nghĩa /
: X Xω ω
Ψ ¬ → ¬ xác định bởi
( )( )m mx xψψ = , vàx X mω
ω∀ ∈¬ ∀ ∈ . Thế thì Ψ là một song ánh bởi vì ψ là một
song ánh. Hơn nửa, Với S ∈ ,
( ) ( )
;m m m m
m S m S m S m S
U X U X
ω ψ ω ψ∈ ∈ ∈ ∈
 
Ψ × = × 
 
∏ ∏ ∏ ∏
Và với S ∈ /
,
1 1
1
( ) ( )
;m m m m
m S m S m S m S
U X U X
ω ψ ω ψ− −
−
∈ ∈ ∈ ∈
 
Ψ × = × 
 
∏ ∏ ∏ ∏
Điều này cho thấy Ψ là một đồng phôi từ X ω
¬ lên /
X ω
¬ 
Bổ đề 51 : Tôpô tích nửa – hình hộp độc lập với cách chọn của Y và A.

53. 48
Chứng minh : Gọi / /
và AY là cặp khác chấp nhận được; Gọi X ω
¬ là không
gian tích nửa – hình hộp ứng với Y, A, φ , và ; và gọi /
X ω
¬ là không gian
tích nửa – hình hộp ứng với / /
,Y A , /
φ , và /
Chúng ta có thể chọn dãy ( n ) và (  /
n ) là những phủ mở hữu hạn
của A trong Y và /
A trong /
Y . Ta có các tính chất sau :
Với mỗi n∈
n = { },1 ,,........, nn n kV V
Và
 /
n = { }/ /
,1 ,,........, nn n kV V
�ở đây với mỗi 1,........, nj k= , /
, ,vàn j n jV V là các quả cầu mở bán kính nε tâm
tại những điểm trong A và A/
( tâm không hẳn là phân biệt ). Hơn nửa, dãy
( nε ) là dãy giảm hội tụ về 0 .
/
1 1vàv v∪ ∪ là những tập con thật sự của
/
Y và Y , và với mỗi
/
1 1, vàn nn v v+ +∪ ∪ là những tập con thật sự của
/
vàn nv v  .
Gọi 1 / / 1 /
0 1 0 1( ) và ( )S Y v S Y vφ φ− −
= ∪ = ∪ . Chúng ta xác định bằng qui nạp,
dãy / /
2 1 2 1 2 2( ),( ),( ), và (S )n n n nS S S− − những tập con của ω như sau. Giả sử với
/ /
0 2 2 0 2 2, ,....., , và ,.....,n nn S S S S− −∈ được xác định. Để xác định 2 1nS − , gọi 1m là
phần tử đầu tiên của ( ) ( )1
,1 0 2 2 ......n nV S Sφ−
−∪ ∪ , gọi 2m là phần tử đầu tiên của
( ) ( )1
,2 0 2 2 1 ...... { }n nV S S mφ−
−∪ ∪ ∪ và tiếp tục như thế đến nkm . Thế thì gọi
{ }2 1 1,........ nn kS m m− = .
Bằng cách làm tương tự, xác định / /
1,........, nkm m trong ω ứng với
/ / / / /
0 2 2 ,1 ,,....., , và V ,........, nn n n kS S Vφ− ; và gọi { }/ / /
2 1 1,........, nn kS m m− = . Hơn nửa gọi

54. 49
( )1
2 1 0 2 1( ) ......n n n nS v v S Sφ−
+ −= ∪ ∪ ∪ ∪
và
( )/ / 1 / / /
2 1 0 2 1( ) ......n n n nS v v S Sφ −
+ −= ∪ ∪ ∪ ∪ .
Với mS và /
mS do đó được xác định với mọi m ω∈ . Chúng ta thấy rằng
{ } { }/
: và :m mS m S mω ω∈ ∈ mỗi dạng là một phân hoạch của ω . Hơn nửa
/
2 1 2 1, vàn nn S S− −∀ ∈ mỗi loại có nk phần tử, trong khi đó mỗi /
2 2 2 2vàn nS S− − là
vô hạn. Vì vậy ta định nghĩa một song ánh ψ từ ω vào chính nó bằng một
ánh xạ chuyển mỗi 2 1nS − sang /
2 1nS − và mỗi 2 2nS − sang /
2 2nS − .
Với cách xây dựng như trên, chúng ta thấy rằng { ( ) :S Sψ ∈ } = /
và
1
{ ( ) :S Sψ −
∈/
} = . Vì vậy theo chứng minh bổ đề 50 , chúng ta được một
đồng phôi từ X ω
¬ lên /
X ω
¬ .
Với mọi không gian X, tôpô tích nửa – hình hộp trên X ω
là mịn hơn
hoặc bằng tôpô tích Tychonoff trên X ω
và là thô hơn hoặc bằng tôpô tích hình
hộp trên X ω
. Trong phần tiếp theo chúng ta nghiên cứu các tính chất của
ω
¬ , cụ thể , chúng ta sẽ thấy rằng tô pô trên ω
¬ thật sự mịn hơn tôpô trên
ω
 và thật sự thô hơn trên ω
 .
3.2. Các tính chất của ω
¬ và sự đồng phôi với nó
Các tính chất tôpô của ω
¬ tương tự những tính chất của ω
 và ( )f
+
Η  đã
được nghiên cứu trong chương 2,mục 2.3. Trong suốt phần này,  được sử
dụng với ω
¬ như đã cho trong định nghĩa tôpô tích nửa – hình hộp .
Chúng ta xác định quan hệ tương đương và≈  trên ω
¬ một cách
tương tự như định nghĩa trên ω
 , ngoại trừ việc chúng ta quan tâm đến số
phần tử của . Với mỗi S ∈ , gọi S
≈ được xác định trên ω
¬ bởi S
x y≈ với
điều kiện tồn tại m S∈ sao cho , ,n nx y n S n m= ∀ ∈ > . Cũng như vậy với mỗi

55. 50
S ∈ , gọi S
 được xác định trên ω
¬ bởi S
x y với điều kiện với mỗi 0ε >
tồn tại m S∈ sao cho , ,n nx y n S n mε− < ∀ ∈ > . Với mỗi S ∈  và mỗi x ω
∈¬ ,
gọi ( )SE x và ( )SF x là lớp tương đương tương ứng của S
≈ và S
 chứa x .
Bây giờ định nghĩa x y≈ với điều kiện S
x y≈ với mọi S ∈ . Thế thì với mỗi
x ω
∈¬ , lớp tương đương của ≈ chứa x được cho bởi ( ) { ( ) :SE x E x S= ∈  }.
Ta định nghĩa  và ( )F x một cách làm tương tự.
Khi đó điều gì đúng trong ω
 , nó cũng đúng trong ω
¬ với mỗi S ∈ 
và với mỗi x ω
∈¬ , ( )SE x và ( )SF x là những tập đóng trong ω
¬ , và ( )SF x
cũng là mở nhưng ( )SE x thì không.
Sau đây chúng ta thấy ( )E x và ( )F x là các tập đóng trong ω
¬ ; Tuy
nhiên, ( )F x không mở trong ω
¬ .
Các tính chất của ω
¬ được tóm tắt bởi mệnh đề sau đây, và chúng ta
thấy rằng chúng về cơ bản là giống ω
 và ( )f
+
Η  .
3.2.1. Mệnh đề 52 : Tích nửa – hình hộp ω
¬ thỏa mãn các điều sau đây
(1). ω
¬ là đồng đều
(2). Với mọi S ∈, ω
¬ là bằng tôpô tổng của số phần tử phân
biệt của tập có dạng { }( ) :SF x x ω
∈¬
(3). Với mọi x ω
∈¬ , thành phần liên thông ( thành phần liên
thông đường ) của ω
¬ chứa x là ( )E x .
(4). ( ) ( )c dω ω
¬ = ¬ =  ( ω
¬ ) = c.
(5). ( ) dω
χ ¬ = .

56. 51
Chứng minh : Chứng minh (1) giống như đã làm với ω
 trong mệnh đề 38
, Hơn nửa chứng minh (2) là rõ ràng vì mỗi ( )SF x là mở và đóng trong ω
¬ .
Với chứng minh của (3), làm cũng giống như mệnh đề 44 nếu
( )y E xω
∈¬ thì y không thể trong thành phần liên thông của ω
¬ chứa x .
Ta còn chứng tỏ rằng ( )E x là liên thông. Theo định lý 48 , chúng ta giả sử
rằng trong định nghĩa của ω
¬ , Y = Ι và { 1;1}A = − . Thế thì với mỗi i∈ , gọi
( ){ }1 1 1: , [ 1 ,1 ]i n nC y y x n
i i
ω
ω φ−
= ∈¬ = ∀ ∈ − + −
Lập tức mỗi iC là đồng phôi với ω
 và do đó liên thông. Thế thì vì mỗi iC
chứa x , { }:iC i∩ ∈ phải liên thông. Nhưng { }: ( )iC i E x∩ ∈ = , thế thì ( )E x
liên thông.
Để chứng minh (4) là sử dụng (2) để thấy rằng ( )c cω
¬ ≥ . Nhưng hơn
nửa tôpô trên ω
¬ là thô hơn hoặc bằng tôpô trên ω
 . Vì vậy ( )w cω
¬ =
theo mệnh đề 39 , chúng ta có ( )w cω
¬ ≤ . Điều này cho thấy rằng
( ) ( )c dω ω
¬ = ¬ =  ( ω
¬ ) = c.
Cuối cùng, Với chứng minh (5), vì ( ) dω
χ = từ mệnh đề 41 , chúng
ta có ( ) dω
χ ¬ ≤ . Nhưng hơn nửa với mỗi S ∈ , không gian con đóng
{ }: 0, mx x m Sω
ω∈¬ = ∀ ∈
của ω
¬ là đồng phôi với ω
 . Điều này cho thấy ( ) dω
χ ¬ ≥ , và do đó
( ) dω
χ ¬ = 
Trong phần chứng minh trên, chú ý rằng không gian con đóng iC của ω
¬ đã
cho là đồng phôi với ω
 . Như đã thấy theo mệnh đề 46 , đây là sự khác biệt
lớn giữa hai không gian ω
¬ và ω
 , ω
 không có không gian con đóng
đồng phôi với ω
 .việc này, cùng với tính chất (2) đến (5) trong mệnh đề 52 ,
cho ta thấy điều phải chứng minh sau đây :

57. 52
3.2.2. Mệnh đề 53 : Tôpô trên ω
¬ là thật sự mịn hơn trên ω
 và thô hơn
trên ω
 .
3.2.3. Mệnh đề 54 : Tích nửa – hình hộp ω
¬ là đồng phôi với ω ω
׬  và
cả với ω ω
׬  .
Chứng minh : Chúng ta xét ánh xạ đầu tiên ω
¬ lên ω ω
׬  . Với ω
¬ là
miền xác định, chúng ta sử dụng { }, 1;1Y A=Ι =− và φ là song ánh bất kì từ ω
lên một tập con trù mật của Ι . Gọi ( )1 1;
2 2
J −= , gọi 1φ là một song ánh từ ω
lên ( ) Jφ ω  , và gọi 2φ là một song ánh từ ω lên ( ) Jφ ω . Với ω
¬ trong miền
giá trị , chúng ta dùng { } , 1;1Y J A=Ι =− , và 2φ .
Định nghĩa : ω ω ω
Γ ¬ → ׬   như sau, với mỗi x ω
∈¬ , gọi
( ) ( ; )x y z ω ω
Γ= ∈ ׬  ở đây vày z sao cho
1
1
1
2
( )
( )
,
à
,
m m
m m
y x m
v
z x m
φ φ
φ φ
ω
ω
−
−
= ∀ ∈
= ∀ ∈
Chúng ta thấy rằng Γ là một song ánh có nghịch đảo 1
: ω ω ω−
Γ ×¬ → ¬  
được xác định như sau , với mỗi ( ; )y z ω ω
∈ ׬  , gọi ( )1
( ; )y z x ω−
Γ = ∈¬ ở
đây x sao cho
( )
( )
1
1
1
2
1
( )
1
( )
, ( )
à
, ( )
m m
m m
x y m J
v
x z m J
φ φ
φ φ
φ φ ω
φ φ ω
−
−
−
−
= ∀ ∈
= ∀ ∈

Để chứng tỏ Γ liên tục, gọi x ω
∈¬ và gọi ( ; ) ( )y z x= Γ . Hơn nửa gọi ( ); ;B y F ε
là một cơ sở lân cận của y trong ω
 ở đây F là tập con hữu hạn của ω và
0ε > và gọi
m m
m T m T
V V
ω∈ ∈
= ×∏ ∏ 

58. 53
là một cơ sở lân cận của z trong ω
¬ ở đây T ω⊆ sao cho tập các điểm tụ của
2 ( )Tφ trong JΙ là A. Đặt 1 1
1 2( ) ( )S F Tφ φ φ φ− −
= ∪ , mà S có tính chất là tập các
điểm tụ của ( )Sφ trong Ι là A. Hơn nửa với mỗi m S∈ , gọi
( )1 1
1 1
1
2
1
1( ) ( )
1
2( )
; khi ( )
khi ( )
m m
m
m
y y m F
U
V m T
φ φ φ φ
φ φ
ε ε φ φ
φ φ
− −
−
−
−
 − + ∈
= 
∈
Bây giờ chúng ta đặt
m m
m S m S
U U
ω∈ ∈
= ×∏ ∏ 
Nó là một lân cận của x trong ω
¬ . Ta có ( ) ( ; ; )U B y F VεΓ ⊆ × , điều này cho
thấy Γ liên tục .
Để thấy 1−
Γ liên tục , gọi ( ; )y z ω ω
∈ ׬  , ( )1
( ; )x y z−
∈Γ và gọi
m m
m S m S
U U
ω∈ ∈
= ×∏ ∏  là một cơ sở lân cận của x ω
∈¬ .Đặt
( ) ( )1 1
1 2( ) và ( ) F S J T S Jφ φ φ φ− −
= = .
Vì tập các điểm tụ của ( )Sφ trong I là A. F phải là hữu hạn và tập các điểm tụ
của 2 ( )Tφ trong I J là A. Đặt { }1
1 ( )
min :m
m Fφ φ
ε ε −= ∈ , thế thì ( ); ;B y F ε là một
lân cận y ω
∈ , Hơn nửa đặt
m m
m T m T
V V
ω∈ ∈
= ×∏ ∏ 
ở đây 1
2 ( )
;m m
V U m Tφ φ−= ∀ ∈ là một lân cận của z ω
∈¬ . Ta thấy rằng
( )( )1
; ;B y F V Uε−
Γ × ⊆ , vậy 1−
Γ liên tục.
Với ánh xạ từ ω
¬ lên ω ω
׬  , ta cũng dùng ánh xạ Γ , nhưng ta gọi
J là một tập con bất kì của ( )φ ω mà tập này là tập các điểm tụ trong I là A.
Gọi 1φ là một song ánh từ ω lên J , và gọi 2φ là một song ánh từ ω lên

59. 54
( ) Jφ ω .Bây giờ sử dụng giống định nghĩa của Γ , ta chứng minh tương tự để
thấy Γ là một đồng phôi từ ω
¬ lên ω ω
׬  .
Bây giờ với mục tiêu tìm hiểu mối quan hệ ( )fH +
 đối với ω
¬ .Nhưng
sau đây ta đề cập đến không gian tổng quát hơn ( )fC+
 .
3.2.4. Bổ đề 55 : Gọi D tập con trù mật của  . Thế thì không gian ( )fC+
 có
một cơ sở gồm những tập hợp có dạng
{ }( ; ; ) ( ) : ( ) ( ) ( ),fB f T g C f t g t t t Tε ε+
= ∈ − < ∀ ∈
ở đây, ( )ff C+
∈  ,T là tập con đóng đếm được rời rạc của  chứa trong D, và
( )Cε +∈  , ( ,(0;1))LSCε ∈ 
Chứng minh : Để chứng tỏ ( ; ; )B f T ε là mở trong ( )fC+
 , gọi ( ; ; )g B f T ε∈ .
Với mỗi t T∈ , gọi ( ) ( ) ( ) ( )t t g t f tδ ε= − − . Vì T là đóng và rời rạc trong  , tồn
tại một ( )Cδ +∈  mà giá trị của mỗi t là ( ).tδ
Gọi ( ; )h B g δ∈ .Thế thì với mỗi t T∈ ,
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
h t f t h t g t g t f t
t t t
t
δ ε δ
ε
− ≤ − + −
≤ + −
≤
Do đó, ( ; ; )h B f T ε∈ , thế thì ( ; ) ( ; ; )B g B f Tδ ε⊆ . Điều này cho thấy rằng
( ; ; )B f T ε là mở trong ( )fC+
 .
Bây giờ gọi ( )ff C+
∈  và gọi 0ε > . Chúng ta cần tìm một T và ( )Cδ +∈  sao
cho ( ; ; ) ( ; )B f T B fδ ε⊆ . Gọi n∈ , và xét ([ 1; ])fC n n+
− bằng ([ 1; ])kC n n+
− .Theo
bổ đề 23 , tồn tại một tập con hữu hạn nF của [ ]1;n n D−  và một
[ ]( )1;n C n nδ +∈ − sao cho
( ) ( )[ 1; ] [ 1; ] [ 1; ]| ; ; | ; |n n n n n n n nB f F B fδ ε− − −⊆