Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Một vài tính chất định tính của hàm đa trị và ứng dụng, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Trần Quốc Toản
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Trần Quốc Toản
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY
Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

3. LLỜỜII CCẢẢMM ƠƠNN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc nhất đến các Thầy, Cô Khoa
Toán – Tin, lãnh đạo và các chuyên viên Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư
phạm thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn thành chương trình học và luận
văn này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Đình Huy,
thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong nghiên cứu khoa học nói chung và giúp tôi
hoàn thành luận văn này nói riêng.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình tôi, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn ủng
hộ, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và
thực hiện luận văn này.
Trần Quốc Toản

4. MMỤỤCC LLỤỤCC
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
BẢNG KÍ HIỆU
MỞ ĐẦU..................................................................................................................1
Chương 1: HÀM ĐA TRỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM ĐA TRỊ..................3
1.1. Giới hạn của dãy tập hợp...........................................................................3
1.2. Ánh xạ đa trị ..............................................................................................8
1.3. Tính liên tục của ánh xạ đa trị .................................................................10
Chương 2: KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF VÀ CÁI ĐỀU HAUSDORFF......15
2.1. Không gian các tập đóng của một không gian mêtric .............................15
2.2. Trường hợp của không gian đều, cái đều Hausdorff...............................20
2.3. Không gian các tập lồi đóng của không gian lồi địa phương..................22
2.4. Tính liên tục của hàm đa trị lồi................................................................27
Chương 3: TÍNH ĐO ĐƯỢC CỦA HÀM ĐA TRỊ...............................................32
Kiến thức chuẩn bị..............................................................................................32
3.1. Hàm đa trị đo được nhận giá trị là tập con compact của không gian khả li
metric hóa được ..................................................................................................34
3.2. Định lý hàm chọn. Hàm đa trị đo được với giá trị là tập con đầy đủ của
một không gian metric khả li..............................................................................36
3.3. Hàm đa trị đo được lồi compact ..............................................................41
3.4. Định lý chiếu. Định lý hàm chọn Von Neumann - Aumann...................42
3.5. Tính đo được trong không gian Suslin lồi địa phương............................49
3.6. Định lý hàm ẩn. Những tính chất ổn định của hàm đa trị đo được .........53
Chương 4: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM ĐA TRỊ.................................................57
4.1. Nguyên hàm của hàm đa trị.....................................................................57
4.2. Phép lấy đạo hàm của hàm đa trị có biến phân bị chặn...........................61
4.3. Định lý về tính compact của tập nghiệm phương trình vi phân đa trị.....64
4.4. Định lý sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân đa trị......................67
4.5. Sự tồn tại nghiệm của một lớp bao hàm thức vi phân có chậm...............80
KẾT LUẬN.........................................................................................................87

5. BBẢẢNNGG KKÍÍ HHIIỆỆUU
: 2X
TΓ → Hàm đa trị từ T vào X
domΓ Miền hữu hiệu của Γ
Gr( )Γ Đồ thị của Γ
rangeΓ Miền ảnh của Γ
( )U−
Γ Nghịch ảnh của tập U
( )U−Γ Nhân của tập U
1−
Γ Ánh xạ đa trị ngược của Γ
( , )d x y Khoảng cách giữa x và y
( , )d x A Khoảng cách từ x đến tập A
( , )e A B Độ dôi của tập A trên B
( , )h A B Khoảng cách Hausdorff của A và B
( )X Tập tất cả các tập con của X
( )f X Tập tất cả các tập con đóng của X
( )tb X Tập tất cả các tập con đóng hoàn toàn bị chặn của X
( )k X Tập tất cả các tập con compact của X
( , )XB x r Quả cầu tâm x bán kính r > 0
(0,1)XB B= Quả cầu tâm 0 bán kính bằng 1
( , )XB A ε ε -lân cận của tập không rỗng A
*
X Không gian đối ngẫu của không gian vector topo X
int A Phần trong của tập A
A Bao đóng của tập A
o
A Tập cực của tập A
coA Bao lồi của tập A
coA Bao lồi đóng của tập A
(. )Aδ Hàm cực của tập A

6. *
(. )Aδ Hàm tựa của tập A
n.l.t.t. Nửa liên tục trên
n.l.t.d. Nửa liên tục dưới
h.k.n. Hầu khắp nơi
( )X Nhóm Borel nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của không gian
topo X
⊗  Nhóm nhỏ nhất chứa tất cả các tập A B× ( ,A B∈ ∈  )
:Tpr T U T× → Ánh xạ chiếu lên T
s σ -trường trên T sinh bởi những tập con Suslin của T
µ µ -đầy đủ của  với µ là độ đo dương trên ( , )T 
 
µ=   với mọi độ đo dương bị chặn µ trên ( , )T 
(.)Aχ Hàm đặc trưng của tập A
([ ; ])XC a b Không gian các hàm liên tục từ [a;b] vào X
1
([ ; ])XL a b Không gian lớp các hàm khả tích từ [a;b] vào X

7. 1
MMỞỞ ĐĐẦẦUU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải tích đa trị là một hướng nghiên cứu tương đối mới trong Toán học,
được định hình trong khoảng nửa đầu của thế kỷ 20. Đối tượng của Giải tích
đa trị là các ánh xạ đa trị mà lý thuyết của nó được trình bày một cách tương
đối có hệ thống đầu tiên trong không gian topo của Claude Berge (1963). Vai
trò của Giải tích đa trị trong Toán học và các ứng dụng toán học ngày càng
được công nhận rộng rãi. Đặc biệt, Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lý
thuyết tối ưu và lý thuyết bao hàm thức vi phân.
Trong quá trình học tập tìm hiểu tri thức toán học của mình, tôi nhận thấy
Giải tích đa trị là một đề tài khá hấp dẫn. Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS.
Nguyễn Đình Huy, tôi chọn thực hiện đề tài: Một vài tính chất định tính của
hàm đa trị và ứng dụng.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát một số định nghĩa về khoảng cách
Hausdorff, tính liên tục và tính đo được của hàm đa trị và các ứng dụng của
chúng trong phương trình vi phân đa trị.
3. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là khoaûng caùch Hausdorff, một vài
tính chất định tính của hàm đa trị và một số ứng dụng của chúng.
Phạm vi nghiên cứu là giải tích hàm, lý thuyết độ đo.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu mang tính lí thuyết: tìm hiểu, phân tích các tài liệu tham khảo,
tổng hợp các nội dung có liên quan đến đề tài nghiên cứu và trình bày các kết
quả nghiên cứu được (với các chứng minh chi tiết) theo một mạch thống nhất.
Áp dụng các kết quả và phương pháp lập luận của Tôpô đại cương, Giải
tích hàm, Lý thuyết độ đo…

8. 2
5. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI
Luận văn được trình bày gồm 3 phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần
kết luận.
Phần mở đầu nêu rõ lý do chọn đề tài, xác định rõ đối tượng nghiên cứu
phạm vi nghiên cứu của đề tài, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của đề tài.
Phần nội dung gồm 3 chương.
Chương 1: Chương này giới thiệu các khái niệm và một số định lí cơ bản
về hàm đa trị và tính liên tục của hàm đa trị.
Chương 2: Chương này trình bày về khoảng cách Hausdorff và cái đều
Hausdorff.
Chương 3: Chương này trình bày về tính đo được của ánh xạ đa trị.
Chương 4: Trình bày về nguyên hàm của hàm đa trị và phương trình vi
phân đa trị.
Phần kết luận trình bày tóm gọn những kết quả đã nghiên cứu được, những
hạn chế còn tồn tại, đồng thời nêu ra những hướng nghiên cứu tiếp theo.

9. 3
Chương 1:
HÀM ĐA TRỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM ĐA TRỊ
1.1. Giới hạn của dãy tập hợp
Định nghĩa 1.1. Giả sử X là không gian metric và ( )nK là dãy các tập con của
X . Khi đó ta định nghĩa
a) Giới hạn trên của dãy ( )nK là tập
lim sup { / lim inf ( , ) 0}n n
nn
K x X d x K
→∞→∞
=∈ =
b) Giới hạn dưới của dãy ( )nK là tập
lim inf { / lim ( , ) 0}n n
n n
K x X d x K
→∞ →∞
=∈ =
c) Ta nói dãy ( )nK có giới hạn là K , kí hiệu: lim n
n
K K
→∞
= , nếu
lim sup lim infn n
nn
K K K
→∞→∞
= =
Định lý 1.2. Giả sử X là không gian metric, ( )nK là dãy các tập con của X . Khi
đó:
(((iii))) lim sup n
n
K
→∞
là tập tập hợp tất cả các điểm tụ của mọi dãy ( )nx , n nx K∈ ,
có thể lập và lim inf n
n
K
→∞
là tập hợp tất cả các giới hạn của những dãy đó.
(((iiiiii)))
0
lim sup ( , )n m m
n m n n m nn
K K B K
ε
ε
≥ > ≥→∞
= =    
(((iiiiiiiii)))
0
lim inf ( , )n m
n n m n
K B K
ε
ε
→∞ > ≥
=   
Chứng minh.
(i) Ta có
{ / lim , } { / lim ( , ) 0, }k kn n n n n n
k k
x X x x x K x X d x x x K
→∞ →∞
∈ = ∈ = ∈ = ∈
{ / lim inf ( , ) 0, }n n n
n
x X d x x x K
→∞
=∈ =∈
{ / lim inf ( , ) 0} lim supn n
n n
x X d x K K
→∞ →∞
=∈ ==.

10. 4
(ii) Nếu lim sup n
n
x K
→∞
∈ thì hiển nhiên m
n m n
x K
≥
∈  .
Giả sử m
n m n
x K
≥
∈  , ta xây dựng dãy trong X như sau
Cho trước 0ε >
Với 1n = , do
1
m
m
x K
≥
∈  nên tồn tại sao cho 1
1( , ) 2d x y ε−
<
Đặt 1 1min{ / }mn m y K= ∈ ∈ và 1 1nx y= .
Do
1 1
m
m n
x K
≥ +
∈  nên tồn tại
1
2
1
m
m n
y K
≥ +
∈  sao cho 2
2( , ) 2d x y ε−
<
Đặt 2 2 1min{ / , }mn m y K m n= ∈ ∈ > và 1 2nx y= .
Giả sử ta đã có knx , khi đó
do
1k
m
m n
x K
≥ +
∈  nên tồn tại 1
1k
k m
m n
y K+
≥ +
∈  sao cho 1( , ) 2 k
kd x y ε−
+ <
Đặt 1 1min{ / , }k k m kn m y K m n+ += ∈ ∈ > và 1 1kn kx y+ += .
Như vậy ta có thể xây dựng được dãy ( )knx , ở đó k kn nx K∈ , mà lim kn
k
x x
→∞
= .
Do đó lim sup n
n
x K
→∞
∈ (do (i)).
Bây giờ ta chứng minh
0
lim sup ( , )n m
n m nn
K B K
ε
ε
> ≥→∞
=    .
Ta có
lim sup { / lim , }kn n n n
kn
K x X x x x K
→∞→∞
=∈ = ∈
{ / 0, , , : ( , ) }mx X n m m n d x Kε ε= ∈ ∀ > ∀ ∈ ∃ ∈ ≥ < 
{ / 0, , , : ( , )}mx X n m m n x B Kε ε= ∈ ∀ > ∀ ∈ ∃ ∈ ≥ ∈ 
0
( , )m
n m n
B K
ε
ε
> ≥
=    .
(iii) Ta có
lim inf { / lim , }n n n n
n n
K x X x x x K
→∞ →∞
=∈ = ∈
{ / 0, : , ( , ) }mx X n m n d x Kε ε= ∈ ∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ <
{ / 0, : , ( , )}mx X n m n x B Kε ε= ∈ ∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ ∈

11. 5
0
( , )m
n m n
B K
ε
ε
> ≥
=    .
Chú ý. lim sup n
n
K
→∞
là tập hợp tất cả điểm tụ của các dãy “xấp xỉ”, tức là các
dãy { }nx thỏa mãn 0, , ,N n n Nε∀ > ∀ ∈ ∃ ∈ >  sao cho ( , )n nx B K ε∈ .
1) lim inf lim supn n
n n
K K
→∞ →∞
⊂ .
2) lim sup lim supn n
n n
K K
→∞ →∞
= và lim inf lim infn n
n n
K K
→∞ →∞
=
(bởi vì ( , ) ( , )n nd x K d x K= ).
3) lim sup n
n
K
→∞
và lim inf n
n
K
→∞
là những tập đóng.
Thật vậy, giả sử ( )mz là một dãy trong lim inf n
n
K
→∞
hội tụ đến z X∈ .
4) Nếu dãy ( )nK thỏa mãn 1 2 ... ...nK K K⊃ ⊃ ⊃ ⊃ thì
1
lim n n
n n
K K
∞
→∞ =
=  .
Bởi vì
lim sup n m n
n m n nn
K K K
≥→∞
= =   và
0
( , ) lim infn m n
nn n m n
K B K K
ε
ε
→∞> ≥
⊂ =    , vì mK chứa trong ( , )mB K ε , do đó
1
lim sup lim inf limn n n n
n n nn
K K K K
∞
→∞ →∞ =→∞
= = =  .
Giới hạn của dãy tập trong không gian topo.
Trong không gian topo tổng quát, không gian metric hóa được, lim sup Kλ
và lim inf Kλ được định nghĩa thông qua dãy suy rộng của các phần tử xλ một
cách tương tự như định nghĩa giới hạn của dãy tập trong không gian metric.
Giả sử X là không gian định chuẩn , *
X là không gian đối ngẫu của X ,
( )nK là dãy tập trong X và ( )nL là dãy tập trong *
X . Khi đó ta có các định
nghĩa sau:
Giới hạn trên và giới hạn dưới yếu của dãy ( )nK đối với topo yếu *
( , )X Xσ
- lim sup { / - lim , }kn n n n
kn
K x X x x x Kσ σ
→∞→∞
=∈ = ∈

12. 6
- lim inf { / - lim , }n n n n
n n
K x X x x x Kσ σ
→∞ →∞
=∈ = ∈
Giới hạn trên và giới hạn dưới yếu của dãy ( )nL đối với topo yếu *
( , )X Xσ
* * * * *
- lim sup { / - lim , }Kn n n n
kn
L x X x x x Lσ σ
→∞→∞
=∈ = ∈
* * * * *
- lim inf { / - lim , }n n n n
n n
L x X x x x Lσ σ
→∞ →∞
=∈ = ∈
Định lý 1.3. (định lý về tính compact). Mọi dãy tập ( )nK trong không gian
metric khả li X đều chứa dãy con có giới hạn (giới hạn này có thể bằng rỗng)
Chứng minh.
Vì X là không gian metric khả li nên tồn tại họ đếm được các tập mở ( )nU
sao cho: với mọi tập mở U trong X , với mọi x U∈ tồn tại mU sao cho
mx U U∈ ⊂ .
Giả sử ( )nK là một dãy các tập hợp con của X , ta xây dựng dãy con của nó.
Trước hết ta xây dựng dãy của các dãy ( )m
nK như sau.
Chọn chọn dãy 0
( )nK sao cho 0
,n nK K n= ∀ ∈ . Giả sử với 1m − đã lập được
các dãy ( )p
nK với 0 1p m≤ ≤ − . Ta lập dãy ( )m
nK như sau.
Với mU có hai trường hợp:
 Nếu 1
(lim sup )k
m
m n
k
U K −
→∞
≠ ∅ với mọi dãy con kn , thì ta lập ( )m
nK bởi
1m m
k kK K −
= .
 Nếu 1
(lim sup )k
m
m n
k
U K −
→∞
= ∅ với một dãy con kn nào đó, thì ta lập
( )m
nK bởi 1
k
m m
k nK K −
= .
Tiếp theo, ta chọn dãy ( )nL sao cho ,n
n nL K n= ∀ ∈ . Khi đó ( )nL là dãy con
của ( )m
nK và có giới hạn, thật vậy:
Giả sử ( )nL không có giới hạn, nghĩa là tồn tại ox X∈ sao cho
lim sup , lim info n o n
nn
x L x L
→∞→∞
∈ ∉ .

13. 7
Vì lim info n
n
x L
→∞
∉ nên tồn tại lân cận mở U của ox và dãy con ( )knL sao cho
knU L∩ =∅ với mọi k . Ta cố định một mU mà o mx U U∈ ⊂ . Khi đó
(lim sup )km n
k
U L
→∞
= ∅ .
Với kn m≥ thì 1k
k k k
n m
n n pL K K −
= = với kp nào đó. Do đó ( )knL là dãy con của
dãy 1m
mK −
(m cố định). Như vậy với m này ta rơi vào trường hợp thứ hai ở
trên. Do đó theo cách xây dựng dãy ( )m
nK thì có 1
k
m m
k pK K −
= .
Vì n
n m
n n pL K K= = với np nào đó, nên ( )n n mL ≥ là một dãy con của ( )m
kK . Vì
vậy
l im sup lim sup m
o n k m
n k
x L K X U
→∞ →∞
∈ ⊂ ⊂ .
Điều này mâu thuẫn với o mx U∈ . Do vậy ( )nL có giới hạn.
Sau đây là định lý đối ngẫu trong không gian Banch.
Nhắc lại. Cho X là không gian định chuẩn, K là tập con của X và L là tập
con của *
X . Khi đó
Nón liên hiệp âm (hay nón đối âm cực) của K là
* * *
{ / , 0 0, }K x X x x x K−
= ∈ 〈 〉 ≤ ≤ ∀ ∈
Nón liên hiệp âm của L là
* *
{ / , 0 0, }L x X x x x L−
= ∈ 〈 〉 ≤ ≤ ∀ ∈
Định lý 1.4. Giả sử X là không gian Banch, ( )nK là dãy các nón lồi đóng của
X . Khi đó
lim inf ( - lim sup )n n
n n
K Kσ − −
→∞ →∞
=
Chứng minh.
Giả sử lim inf n
n
x K
→∞
∈ , khi đó lim ,n n nx x x K n= ∈ ∀ ∈ .
Lấy *
- lim sup n
n
x Kσ −
→∞
∈ , ta chứng tỏ *
, 0x x〈 〉 ≤ . Vì *
- lim sup n
n
x Kσ −
→∞
∈ nên
* *
- lim knx xσ= , với *
n nx K−
∈ . Do đó *
, 0k kn nx x〈 〉 ≤ . Cho k → ∞ thì *
, 0x x〈 〉 ≤ .

14. 8
Ngược lại, giả sử ( - lim sup ) , lim infn n
nn
x K x Kσ − −
→∞→∞
∈ ∉ . Khi đó tồn tại 0ε > và
dãy con, vẫn kí hiệu là ( )nK , sao cho ( (0,1)) nx B K nε+ =∅ ∀ ( (0,1)B là
quả cầu đơn vị mở của X ). Cố định n bất kỳ, theo định lý tách tồn tại
* * *
, 1n nx X x∈ =, sao cho
* *
sup , inf , (0,1)
n
n n
y K
x y x x Bε
∈
〈 〉 ≤ 〈 + 〉
* * *
, ,n n nx x x x xε ε= 〈 〉 − = 〈 〉 − .
Tử đó suy ra *
n nx K−
∈ và *
sup , 0
n
n
y K
x y
∈
〈 〉 = (do nK là nón). Quả cầu đơn vị đóng
trong *
X là compact đối với topo yếu *
( , )X Xσ nên tồn tại dãy con *
( )knx hội
tụ theo topo *
( , )X Xσ đến *
x nào đó. Theo định nghĩa giới hạn trên thì
*
- lim sup n
n
x Kσ −
→∞
∈ . Mà ( - lim sup )n
n
x Kσ − −
→∞
∈ nên *
, 0x x〈 〉 ≤ .
Ta có
*
0 ,x x ε≤ 〈 〉 − .
Cho n → ∞ thì *
0 ,x x ε≤ 〈 〉 − , suy ra *
, 0x xε ≤ 〈 〉 ≤ (vô lý).
1.2. Ánh xạ đa trị
Cho hai tập hợp bất kỳ X và Y . Một ánh xạ Γ từ tập X vào tập hợp tất cả
các tập con của Y được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như vậy, với mỗi
x X∈ thì ( )xΓ là một tập con (có thể rỗng) của Y .
Định nghĩa 1.5. Giả sử Γ là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Khi đó ta có các định
nghĩa sau:
Đồ thị của Γ , kí hiệu Gr( )Γ , được xác định bởi
Gr( ) {( , ) / ( )}x y X Y y xΓ= ∈ × ∈Γ .
Miền hữu hiệu của Γ , kí hiệu domΓ , được xác định bởi
dom { / ( ) }x X xΓ= ∈ Γ ≠ ∅ .
Miền ảnh của Γ , kí hiệu rangeΓ, được xác định bởi

15. 9
range { / , ( )}y Y x X y xΓ= ∈ ∃ ∈ ∈Γ .
Ánh xạ ngược của ánh xạ Γ là ánh xạ đa trị 1−
Γ từ Y vào X xác định bởi
1
( ) { / ( )}y x X y x−
Γ = ∈ ∈Γ .
Nghịch ảnh (inverse image) của tập U trong Y
( ) { / ( ) }U x X x U−
Γ = ∈ Γ ≠ ∅ .
Nhân (core) của của tập U trong Y
( ) { / ( ) }U x X x U−Γ = ∈ Γ ⊂ .
Cứ mỗi phép toán ∗ trên các tập con của Y đều xác định được một phép toán
tương ứng đối với các hàm đa trị theo công thức sau
1 2 1 2( )( ) ( ) ( )x x xΓ ∗Γ = Γ ∗Γ .
Định nghĩa 1.6. Giả sử X , Y là các không gian topo, và Γ là ánh xạ đa trị từ
X vào Y .
a) Nếu đồ thị Gr( )Γ là tập đóng trong không gian topo tích X Y× , thì Γ
được gọi là ánh xạ đa trị đóng.
b) Nếu ( )xΓ là tập đóng với mọi x X∈ , thì Γ được gọi là ánh xạ có giá trị
đóng.
c) Nếu X , Y là các không gian vector topo, và ( )G Γ là tập lồi trong không
gian tích X Y× , thì Γ được gọi là ánh xạ đa trị lồi.
d) Nếu Y là không gian vector topo, và ( )xΓ là tập lồi trong Y , thì Γ được
gọi là ánh xạ có giá trị lồi.
Định nghĩa 1.7. Giả sử Γ là ánh xạ đa trị từ X vào Y , Ω là ánh xạ đa trị từ
Y vào Z . Ánh xạ đa trị Ω Γ từ X vào Z xác định bởi
( )
( )( ) ( ),
y x
x y x X
∈Γ
Ω Γ = Ω ∀ ∈ 
được gọi là ánh xạ tích (hợp) của Γ và Ω .
Ánh xạ đa trị Ω Γ từ X vào Z xác định bởi
( )
( )( ) ( ),
y y
x y x X
∈Γ
Ω Γ = Ω ∀ ∈ 
được gọi là ánh xạ tích vuông của Γ và Ω .

16. 10
1.3. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Cho Γ là ánh xạ đa trị từ không gian topo T vào không gian topo E .
Định nghĩa 1.8. Ánh xạ đa trị Γ được nói là nửa liên tục trên (n.l.t.t.) tại
domot ∈ Γ nếu mọi tập mở U trong E chứa ( )otΓ , tồn tại một lân cận mở V
của ot sao cho ( ) ,t U t VΓ ⊂ ∀ ∈ .
Nếu Γ n.l.t.t. tại mọi điểm thuộc domΓ , thì Γ được gọi là n.l.t.t. ở trong T .
Định nghĩa 1.9. Ánh xạ đa trị Γ được nói là nửa liên tục dưới (n.l.t.d.) tại
domot ∈ Γ nếu với mọi tập mở U trong E thỏa mãn ( )ot UΓ ∩ ≠ ∅, tồn tại
một lân cận mở V của ot sao cho ( ) ,t U t VΓ ∩ ≠ ∅ ∀ ∈ .
Nếu Γ n.l.t.d. tại mọi điểm thuộc domΓ , thì Γ được gọi là n.l.t.d. ở trong T .
Định nghĩa 1.10. Ánh xạ đa trị Γ được nói là liên tục tại domot ∈ Γ nếu nó
vừa liên tục trên vừa liên tục dưới tại ot . Nếu Γ liên tục tại mọi điểm thuộc
domΓ , thì Γ được gọi liên tục ở trên T .
Mệnh đề 1.11.
(i) Γ nửa liên tục trên tại ot khi và chỉ khi nhân của mỗi tập mở U chứa
( )otΓ là một lân cận của ot . Suy ra Γ nửa liên tục trên trên T khi và chỉ
khi nhân của mọi tập mở là một tập mở.
(ii) Γ nửa liên tục dưới tại ot khi và chỉ khi nghịch ảnh của mỗi tập mở U , mà
( )ot UΓ ∩ ≠ ∅, là một lân cận của ot . Suy ra Γ nửa liên tục dưới trên T
khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi tập mở là một tập mở.
(iii) Giả sử domΓ là tập đóng. Khi đó, Γ nửa liên tục trên trên T khi và chỉ
khi nghịch ảnh của mọi tập đóng là một tập đóng, và Γ nửa liên tục dưới
trên T khi và chỉ khi nhân của mọi tập đóng là một tập đóng.
Chứng minh.
(i) Giả sử U là tập mở chứa ( )otΓ thì ( )U−Γ là lân cận của ot . Khi đó tồn tại
tập mở V chứa ot sao cho ( )V U−⊂ Γ . Do đó ( ) ( ( ))V U U−Γ ⊂ Γ Γ ⊂ , điều
này có nghĩa Γ n.l.t.t. tại ot .

17. 11
Ngược lại, giả sử Γ n.l.t.t. tại ot . Khi đó, với mỗi tập mở U chứa ( )otΓ thì tồn
tại một lân cận mở V của ot sao cho ( ) ,t U t VΓ ⊂ ∀ ∈ , suy ra ( )V U−⊂ Γ .
(ii) Giả sử U là tập mở , ( )ot UΓ ∩ ≠ ∅, thì ( )U−
Γ là lân cận của ot . Khi đó
tồn tại tập mở V chứa ot sao cho ( )V U−
⊂ Γ . Với mọi t V∈ thì ( )t U−
∈Γ ,
nên ( )t UΓ ∩ ≠ ∅ . Vậy Γ n.l.t.d. tại ot .
Ngược lại, giả sử Γ nửa liên tục dưới tại ot . Khi đó, với mỗi tập mở U sao
cho ( )ot UΓ ∩ ≠ ∅ thì tồn tại một lân cận mở V của ot thỏa mãn
( ) ,t U t VΓ ∩ ≠ ∅ ∀ ∈ , suy ra ( )V U−
⊂ Γ .
(iii) Giả sử Γ n.l.t.t. và W là tập đóng trong E . Ta cần chứng tỏ ( )W−
Γ là
tập đóng trong T , nghĩa là ( )T W−
Γ mở. Lấy ( )t T W−
∈ Γ thì ( )t W−
∉Γ ,
do đó ( )t WΓ ∩ =∅ hay ( ) t E WΓ ⊂ _mở. Vì Γ n.l.t.t. nên tồn tại tập mở V
là lân cận của t sao cho ( ) ,s E W s VΓ ⊂ ∀ ∈ , suy ra ( ) ,s W s VΓ ∩ =∅ ∀ ∈ .
Điều đó có nghĩa là ( ),s W s V−
∉Γ ∀ ∈ hay ( )V T W−
⊂ Γ .
Ngược lại, giả sử nghịch ảnh của mỗi tập đóng là tập đóng, ta cần chứng minh
Γ n.l.t.t.. Với mỗi tập mở U trong E , ta có ( )E U−
Γ là tập đóng trong T .
Mà ( ) ( )T E U U−
−Γ =Γ nên ( )U−Γ là tập mở trong T . Do vậy Γ n.l.t.t..
Trường hợp n.l.t.d. chứng minh tương tự.
Sau đây ta xét mối liên hệ giữa giới hạn và tính liên tục. Ta bắt đầu với
khái niệm giới hạn của hàm đa trị trên không gian metric.
Định nghĩa 1.12. Giả sử ,X Y là hai không gian metric và Γ là ánh xạ đa trị
từ X vào Y .
Giới hạn trên của Γ tại ox là tập được định bởi
lim sup ( ) { / lim inf ( , ( )) 0}
o
o
x xx x
x y Y d y x
→→
Γ = ∈ Γ = .
Giới hạn dưới của Γ tại ox là tập được định bởi
lim inf ( ) { / lim ( , ( )) 0}
o ox x x x
x y Y d y x
→ →
Γ = ∈ Γ = .

18. 12
Chú ý. Giới hạn trên và giới hạn dưới của Γ tại ox đều là những tập đóng.
Đồng thời, lim inf ( ) ( ) lim sup ( )
o
o
o
x x x x
x x x
→ →
Γ ⊂ Γ ⊂ Γ , thật vậy:
Với mọi lim inf ( )
ox x
y x
→
∈ Γ . Theo định nghĩa, với domx∈ Γ sao cho ox x→ kéo
theo ( , ( ) 0d y xΓ → . Chọn ox x≡ thì ( , ( ) 0od y xΓ =, do đó ( )oy x∈Γ .
Nếu ( )oy x∈Γ , thì tồn tại dãy ( ) ( )n ox x= để lim ( , ( ) ( , ( )) 0n o
n
d y x d y x
→∞
Γ = Γ =
do đó lim sup ( )
ox x
y x
→
∈ Γ . Chú ý lim sup ( )
ox x
y x
→
∈ Γ đồng nghĩa với tồn tại ox x→
sao cho có dãy con n ox x→ để cho lim ( , ( )) 0n
n
d y x
→∞
Γ =.
Mệnh đề 1.13. Giả sử ,X Y là hai không gian metric và Γ là ánh xạ đa trị từ
X vào Y . Khi đó,
(i) ( , ) Gr( )o ox y ∈ Γ khi và chỉ khi lim sup ( )
o
o
x x
y x
→
∈ Γ .
(ii) Γ nửa liên tục dưới tại domox ∈ Γ khi và chỉ khi
( ) lim inf ( )
o
o
x x
x x
→
Γ ⊂ Γ . (4)
Chứng minh.
(i) Ta có lim sup ( )
o
o
x x
y x
→
∈ Γ nếu và chỉ nếu tồn tại dãy ( )nx sao cho n ox x→
kéo theo lim ( , ( )) 0o n
n
d y x
→∞
Γ =( do lim inf ( , ( )) 0
ox x
d y x
→
Γ =).
Mà lim ( , ( )) 0 ( ) : lim ( , ) 0o n n n o n
n n
d y x y x d y y
→∞ →∞
Γ = ⇔ ∃ ∈Γ =
sao cho ( , ) ( ), lim ( , ) 0n n n o n
n
y Y x y G d y y
→∞
⇔ ∃ ∈ ∈ Γ = .
Do vậy,
( , ) ( )o ox y G⇔ ∈ Γ .
(ii) Giả sử ( ) lim inf ( )
o
o
x x
x x
→
Γ ⊄ Γ . Vì lim inf ( )
ox x
x
→
Γ là tập đóng nên tồn tại
( )o oy x∈Γ và lân cận mở U của oy sao cho lim inf ( )
ox x
U x
→
∩ Γ =∅ . Điều này

19. 13
có nghĩa là tồn tại n ox x→ , mà với mọi ( )n ny x∈Γ ta đều có n oy y→/ . Do vậy
Γ không n.l.t.d. tại ox .
Chú ý. Từ mệnh đề 1.13 (i) ta thấy Gr( )Γ là đóng khi và chì khi , domx∀ ∈ Γ ,
( ) limsup ( )
z x
x z
→
Γ = Γ (5)
Nhớ lại rằng hàm đơn trị f là hàm n.l.t.d. khi và chỉ khi với mọi x trong miền
xác định ta có, tương tự (4), ( ) lim inf ( )
z x
f x f z
→
≤ . f n.l.t.t. khi và chỉ khi với
mọi ox trong miền xác định ta có, tương tự (5), ( ) limsup ( )
z x
f x f z
→
≥ . Vì vậy,
nhiều tác giả cũng định nghĩa hàm đa trị Γ là n.l.t.t. khi và chỉ khi Gr( )Γ
đóng. Γ là n.l.t.t. tại x nếu
( , ) Gr( ),( , ) ( , )n n n nx y x y x y∀ ∈ Γ → thì ( , ) Gr( )x y ∈ Γ .
Định nghĩa như vậy sẽ có liên hệ với (5), trực tiếp với limsup. Định nghĩa 8.
của ta không có quan hệ trực tiếp với limsup. Nhưng hai định nghĩa rất gấn
nhau theo mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.14.
(i) Giả sử Γ có ảnh đóng, tức là ( )xΓ đóng với mọi domx∈ Γ . Khi đó, nếu
Γ nửa liên tục trên thì Gr( )Γ đóng.
(ii) Ngược lại, giả sử Y là không gian compact. Khi đó, nếu Gr( )Γ đóng thì
Γ nửa liên tục trên.
Chứng minh.
(i) Giả sử Gr( )Γ không đóng, tức là có dãy ( , ) Gr( )n nx y ∈ Γ sao cho
( , ) ( , )n nx y x y→ mà ( )y x∉Γ . Do ( )xΓ đóng nên sẽ có lân cận U của ( )xΓ
để y U∉ . Do Γ n.l.t.t. nên tồn tại 0δ > sao cho ( , )B x UδΓ ⊂ . Khi đó, với n
đủ lớn thì ( , )nx B x δ∈ nên ( )nx UΓ ∈ . Mà ( )n ny x∈Γ thì mâu thuẫn với giả
thiết , ny U y y∉ → .
(ii) Giả sừ Γ không n.l.t.t. tại x. Khi đó, có lân cận U của ( )xΓ để
( , ) , 0B x Uδ δΓ ⊂ ∀ >/ . Vì vậy sẽ có dãy nx x→ và dãy ( )n ny x∈Γ sao cho

20. 14
,ny U n∉ ∀ . Do Y compact nên có dãy con ( )kny hội tụ đến y nào đó trong
Y . Vì Gr( )Γ đóng nên ( , ) Gr( )x y ∈ Γ mâu thuẫn với ,ny U n∉ ∀ (nên y U∉ ).

21. 15
Chương 2:
KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF
VÀ CÁI ĐỀU HAUSDORFF
2.1. Không gian các tập đóng của một không gian mêtric
Trong tất cả phần này X là không gian metric với metric d . Chúng không
được giả thiết là ( , )d x y < ∞ .
Định nghĩa 2.1. Cho ,A B là hai tập hợp con của X , độ dôi (excess) của A
trên B được xác định như sau:
( , ) sup{ ( , ) / }e A B d x B x A= ∈
(supremum nhận giá trị trong [0, ]∞ , và sup 0∅ = )
Khoảng cách Hausdorff của A và B là
( , ) max{ ( , ), ( , )}h A B e A B e B A= .
Những tính chất cơ bản.
iii)))... ( , )e A ∅ =∞ nếu A ≠ ∅.
( , ) 0e B∅ =
iiiiii)))... ( , ) 0e A B A B= ⇔ ⊂
( , ) 0h A B A B= ⇔ =
iiiiiiiii)))... ( , ) ( , ) ( , )e A C e A B e B C≤ +
( , ) ( , ) ( , )h A C h A B h B C≤ + .
Do đó ( )f X , tập tất cả các tập con đóng của X , với khoảng cách Hausdorff
trở thành một không gian metric.
Chú ý. Trong tập ( )f X , ∅ là điểm cô lập. Nếu d bị chặn, thì h cũng bị
chặn trên ( ) { }f X − ∅ .
Định lý 2.2. Nếu nA A→ trong không gian metric ( )f X , khi đó
0
( , ) ( )m m m
n m n n m n W n m n
A A B A W A
ε
ε
≥ > ≥ ∈ ≥
= = =       


22. 16
Trong đó ( , ) { / ( , ) }m mB A x E d x Aε ε=∈ ≤ , và  là tập tất cả các lân cận của
cấu trúc đều của E và ( ) { / sao cho ( , ) }m mW A y E x A x y W= ∈ ∃ ∈ ∈ .
Chứng minh.
1) Giả sử m
n m n
B A
≥
=   . Cho 0, ,n x Aε > ∈ ∈ thì tồn tại m n≥ sao cho:
( , )mh A A ε≤ , suy ra ( , )md x A ε≤ và tồn tại m mx A∈ sao cho ( , ) 2md x x ε≤ .
Bởi vậy m
m n
x A
≥
∈  với mỗi n∈ . Điều này chứng tỏ A B⊂ .
Giả sử x B∈ , ta chứng minh { }nA A x→ ∪ (điều này sẽ chứng tỏ B A⊂ ). Từ
nA A→ , suy ra ( , { }) 0ne A A x∪ → . Tiếp theo chúng ta sẽ kiểm tra
( { }, ) max{ ( , ), ( , )} 0n n ne A x A e A A d x A∪= → . Nó là đúng nếu chứng minh
được ( , ) 0nd x A → . Cho p∈ sao cho ,m n p≥ thì ( , )n mh A A ε≤ . Từ x B∈
suy ra tồn tại m p≥ sao cho ( , )md x A ε≤ , do vậy nếu n p≥ thì
( , ) ( , ) ( , ) 2n m m nd x A d x A h A A ε≤ + ≤ .
2) Cho
0
( , )m
n m n
B B A
ε
ε
> ≥
=    . Nếu x A∈ , và ( , ) 0pd x A → , dễ thấy x B∈ .
Đảo lại, nếu x B∈ , với 0, nε > ∃ ∈ sao cho m n∀ ≥ , ( , )md x A ε≤ , do vậy
( { }, ) 0ne A x A∪ → . Và dễ thấy ( , { }) 0ne A A x∪ → .
Vậy ( , { }) 0nh A A x∪ → và { }A A x= ∪ .
3) Đẳng thức thứ ba là hiển nhiên bởi vì một cơ sở lân cận là họ
2{( , ) / ( , ) }( 0),and ( ) ( , ) ( )m m mW x y d x y W A B A W Aε ε εε ε ε= ≤ > ⊂ ⊂ .
Định lý 2.3. Nếu X là không gian metric đầy đủ, thì ( )f X là không gian
metric đầy đủ.
Chứng minh.
Giả sử ( )nA là dãy Cauchy trong ( )f X .
1) Thứ nhất lưu ý rẳng có N sao cho ,n N m N≥ ≥ kéo theo ( , ) 1n mh A A ≤ .
Khi đó, hoặc nA n N= ∅ ∀ ≥ hoặc nA n N≠ ∅ ∀ ≥ . Trong trường hợp thứ
nhất dãy ( )nA hội tụ về ∅. Giả sử chúng ta có trường hợp thứ hai.

23. 17
2) Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng m
n m n
A
≥
≠ ∅  .
Cho 0ε > (điều này sẽ được sử dụng đầy đủ trong 3)). Chọn 1ε = là đủ.
Với mỗi k ∈ tồn tại kN sao cho , km n N≥ thì có ( , ) 2 k
n mh A A ε−
< . Giả sử
( )kn là dãy tăng nghiêm ngặt sao cho k kn N≥ . Cho oo nx A∈ , giả sử chúng ta
đã chọn được 1, ,...,o kx x x với tính chất 1, ( , ) 2i
i
i n i ix A d x x ε−
+∈ < . Khi đó 1kx +
được chọn trong 1knA +
thỏa 1( , ) 2 k
k kd x x ε−
+ < (điều này có thể thu được bởi vì
1 1
( , ) ( , ) 2k k k
k
k n n nd x A h A A ε+ +
−
≤ < ).
Dãy ( )nx là dãy cauchy trong không gian metric đầy đủ X , nó giới hạn đến
x. Khi đó m
n m n
x A
≥
∈  .
3) Điểm x thu được ở phần 2) thỏa mãn ( , ) 2od x x ε≤ . Do đó:
với mọi o on N≥ và oo nx A∈ tồn tại ( )m
n m n
x A A A
≥
∈ =  sao cho ( , ) 2od x x ε≤ .
Vì vậy ( ) 2 ,on o oe A A n Nε≤ ∀ ≥ .
4) Bây giờ chúng ta chứng minh ( , ) 0ne A A → . Khi đó theo phần 3) sẽ chứng
tỏ được ( , ) 0nh A A → .
Giả sử 0ε > và N sao cho ,n m N≥ thì có ( , )n mh A A ε< . Lấy x A∈ . Khi đó
m
m N
x A
≥
∈  . Tồn tại on N≥ và ony A∈ sao cho ( , )d x y ε≤ . Cho m N≥ thì có
( , ) ( , ) ( , ) 2o om n n md x A d x A h A A ε≤ + ≤ . Vì vậy ( , ) 2me A A ε≤ .
Định lý 2.4. Cho ( )tb X là tập hợp tất cả các tập đóng hoàn toàn bị chặn của
X . Khi đó ( )tb X là đóng trong ( )f X .
Chứng minh.
Giả sử ( )nA là dãy trong ( )tb X hội tụ đến ( )fA X∈  . Cho 0ε > tồn tại n
sao cho ( , )ne A A ε< và 1,..., px x sao cho họ các quả cầu tâm ix , bán kính ε

24. 18
phủ nA . Khi đó họ các quả cầu tâm ix , bán kính 2ε phủ A. Do đó
( )tbA X∈  .
Chú ý. Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng nếu X là hoàn toàn bị chặn, thì
( )f X hoàn toàn bị chặn. Thực vậy với 0ε > cho trước, giả sử 1,..., nx x thỏa
mãn họ các quả cầu mở tâm ix , bán kính ε phủ X . Giả sử ( )fA X∈  và
{ / ( , ) }iI i B x Aε= ∩ ≠ ∅ . Khi đó tập { / }iB x i I= ∈ có tính chất ( , )h A B ε≤ .
Tập các tập con của tập 1{ ,..., }nx x là hữu hạn. Điều đó chứng tỏ ( )f X hoàn
toàn bị chặn.
Do đó nếu X là compact thì ( )f X là compact.
Định lý 2.5. Nếu X là đầy đủ, ( )k X , tập tất cả các tập con compact của X ,
là đầy đủ.
Chứng minh. Điều này hiển nhiên theo định lý 2.3 và 2.4.
Chú ý. Định lý 2.5 vẫn đúng nếu X là không gian đều.
Định lý 2.6. Topo Hausdorff trên không gian tất cả các tập con compact của
X , ( )k X , là được sinh ra bởi tập { ( ) / }kK X K U∈ ⊂ (U mở) và
{ ( ) / }kK X K V∈ ∩ ≠ ∅ (V mở). Cơ sở lân cận của oK bao gồm các tập
1{ / , ,..., }nK K U K V K V⊂ ∩ ≠ ∅ ∩ ≠ ∅ (ở đó 1, ,..., nU V V là mở) chứa oK .
Chứng minh.
1) Chúng ta sẽ chứng minh { ( ) / }kK X K U=∈ ⊂  là mở. Giả sử oK ∈.
Bởi tính compact của oK , inf{ ( , ) / , } 0od x y x K y E Uε= ∈ ∈ − > . Khi đó
( , ) ( , )o oh K K e K K K Uε ε< ⇒ < ⇒ ⊂ , điều đó là K ∈.
Chúng ta chứng minh { ( ) / }kK X K V= ∈ ∩ ≠ ∅  là mở. Giả sử oK ∈ .
Tồn tại một quả cầu mở tâm o ox K V∈ ∩ , bán kính ε chứa trong V . Khi đó
nếu ( , )oh K K ε< , thì K gặp quả cầu. Do đó K V∩ ≠ ∅ và K ∈ .
2) Ngược lại chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu ( )o kK X∈ và 0ε > cho
trước, quả cầu tâm oK và bán kính ε chứa tập:

25. 19
1{ / } { / } ... { / }nK K U K K V K K V⊂ ∩ ≠ ∅ ∩ ≠ ∅   tập này chứa oK .
Thật vậy, chọn { / ( , ) }oU x d x K ε= < và 1,..., nV V là các quả cầu mở bán kính
1
2 ε−
phủ oK . Khi đó nếu K U⊂ thì ( , )oe K K ε≤ , nếu K gặp 1,..., nV V thì
( , )oe K K ε≤ .
Chú ý. Nếu T là không gian topo, Γ , là hàm đa trị từ T đến ( )k X , là liên
tục nếu và chỉ nếu n.l.t.d. và n.l.t.t (xem no
20, 21 cho định nghĩa của n.l.t.d.,
n.l.t.t).
Hệ quả 2.7. Nếu X là không gian metric, topo Hausdorff trên không gian tất
cả các tập con compact của X , ( )k X , chỉ phụ thuộc vào topo của X (không
phụ thuộc metric).
Định lý 2.8. Nếu X là không gian metric khả ly, thì ( )k X là không gian
metric khả ly.
Chứng minh.
Giả sử ( )nx là dãy trù mật trong X . Giả sử  là tập hợp tất cả các tập hữu
hạn 1
{ ,..., }ni ix x . Khi đó  là một phần đếm được của ( )k X , và dễ kiểm tra
rằng  là tập trù mật trong ( )k X .
Hệ quả 2.9. Nếu X là một không gian Polish, khi đó ( )k X với topo được
mô tả trong định lý 2.6 là Polish.
Định lý 2.10. Nếu X là không gian metric khả ly, thì Borel σ -trường trong
( )k X (với topo Hausdorff) được sinh bởi những tập { ( ) / }kK X K U∈ ⊂
(U mở) và cũng sinh bởi các tập { ( ) / }kK X K V∈ ∩ ≠ ∅ (V mở).
Chứng minh.
1) Xem xét tập { / }K K V∩ ≠ ∅ .
Chú ý rằng n
n
V F=  với
1
{ / ( , ) }nF x d x E V
n
= − ≥ .
Khi đó { / } { / }n
n
K K V K K F∩ ≠ ∅= ∩ ≠ ∅

26. 20
[ ( ) { / }]k n
n
X K K E F= − ⊂ −  .
Do vậy σ -trường sinh bởi tất cả các tập { / }K K V∩ ≠ ∅ là bao hàm σ -
trường sinh bởi tất cả các tập { / }K K U⊂ .
2) Xem xét tập { / }K K U⊂ .
Đặt 1
{ / ( , ) }nV x d x E U n−
= − < , khi đó n
n
E U V− = .
Chúng ta kiểm chứng ( ) , nK X U n K V∩ − ≠ ∅ ⇔ ∀ ∩ ≠ ∅ . Chiều thuận là
hiển nhiên. Đảo lại nếu nK V n∩ ≠ ∅ ∀ , giả sử n nx K V∈ ∩ . Khi đó điểm tụ
của dãy ( )nx thuộc vào K và X U− . Do đó
( ) { / } { / }k n
n
X K K U K K V− ⊂= ∩ ≠ ∅ .
Điều đó chứng tỏ rằng σ -trường sinh bởi tất cả các tập { / }K K U⊂ là bao
hàm σ -trường sinh bởi tất cả các tập { / }K K V∩ ≠ ∅ .
3) Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng mọi tập mở ( )k X⊂  thuộc về σ -
trường sinh bởi tất cả các tập { / }K K U⊂ và { / }K K V∩ ≠ ∅ . Thật vậy 
là hợp của một họ  của giao hữu hạn của các tập { / }K K U⊂ và
{ / }K K V∩ ≠ ∅ (định lý 2.6). Nhưng vì ( )k X khả li (định lý 2.8) nên 
cũng là hợp của một họ con đếm được của  .
2.2. Trường hợp của không gian đều, cái đều Hausdorff
Trong phần này X là không gian đều Hausdorff, cấu trúc đều được xác định
bởi họ lọc của các nửa khoảng cách ( )i i Id ∈ .
Khi đó hàm ie và hàm ih được xác định như sau
( , ) sup{ ( , ) }i ie A B d x B x A= ∈
và ( , ) max{ ( , ), ( , )}i i ih A B e A B e B A= có những tính chất:
( , )ie A ∅ =∞ nếu A ≠ ∅.
( , ) 0ie B∅ =
( , ) ( , ) ( , )i i ie A C e A B e B C≤ +

27. 21
( , ) ( , ) ( , )i i ih A C h A B h B C≤ +
, ( , ) 0ii e A B A B∀ = ⇔ ⊂
, ( , ) 0ii h A B A B∀ = ⇔ = .
Họ { }ih là lọc.
Chứng minh ba tính chất cuối.
1) Thứ nhất ⇐ là hiển nhiên. Ngược lại, nếu , ( , ) 0ii e A B∀ =và nếu a A∈ , ta
có , ( , ) 0ii d a B∀ =. Khi đó mọi id -quả cầu bán kính dương và tâm a có phần
chung với B. Do đó mọi lân cận của a có phần chung với B. Vì vậy a B∈ .
2) Tính chất cuối cùng được suy ra từ tương ứng d h là tăng.
Chúng ta xem xét một định nghĩa khác về cấu trúc đồng đều trong ( )f X .
Giả sử  là cơ sở lân cận của cấu trúc đồng đều của X . Nếu W ∈ ta định
nghĩa W bởi
 .2
{( , ) ( ) / ( ), ( )}fW A B X A W B B W A= ∈ ⊂ ∈
Nhắc lại: ( ) { / :( , ) }W B y E x B x y W= ∈ ∃ ∈ ∈
Định lý 2.12. Với những kí hiệu ở trên , tập  của tất cả W là cơ sở lân cận
trong ( )f X . Nó xác định cùng cấu trúc đồng đều như họ của các nửa khoảng
cách ( )ih .
Chứng minh.
Thứ nhất ánh xạ W W là tăng. Khi đó nếu o là một cơ sở lân cận khác
của X , mỗi  
o oW ∈ chứa một  W ∈ và ngược lại. Bây giờ ta xem xét o
tập của tất cả
2
, {( , ) / ( , ) }( 0, )i iU x y X d x y i Iε ε ε= ∈ < > ∈
Khi đó ,( , ) ( ) ( , ) 2i i ie A B A U B e A Bεε ε< ⇒ ⊂ ⇒ <
và , ,( , ) ( ) và ( ) ( , ) 2i i i ih A B A U B B U A h A Bε εε ε< ⇒ ⊂ ⊂ ⇒ < .
Điều đó chứng tỏ o
 là một cơ sở của cấu trúc đồng đều xác định bởi họ ( )ih .

28. 22
Chú ý.
1) Nếu X là một nhóm topo abel, giả sử  là một cơ sở lân cận của 0. Khi
đó các tập {( , ) / , } ( )A B A B V B A V V⊂ + ⊂ + ∈ tạo thành cơ sở lân cận của
cấu trúc đều của ( )f X .
Nếu X là không gian Fréchet thì ( )f X là metric hóa, nhưng nó có thể thích
hợp hơn để định nghĩa Haudroff đều bởi tập của các lân cận
{( , ) / , }A B A B V B A V⊂ + ⊂ + với V là lân cận đóng của 0(hoặc lân cận
mở).
2) Định lý 2.6 vẫn có giá trị:
Cho X là một không gian đều Hausdorff. Topo Hausdorff trong ( )f X thì
được sinh ra bởi những tập { ( ) / }fK X K U∈ ⊂ (U mở) và { / }K K V∩ ≠ ∅
(V mở).
Chứng minh vẫn có giá trị, sử dụng họ ( ),( ),( )i i id e h , ngoại trừ luận điểm thứ
nhất. Nó phải được thay thế bởi chứng minh { / }K K U= ⊂ là mở. Giả sử
oK ∈. Tồn tại một lân cận W sao cho ( )oW K U⊂ . Do đó có i I∈ và 0ε >
sao cho { / ( , ) }i ox d x K Uε< ⊂ .
Khi đó ( , ) ( , )i ih K Ko e K Ko K Uε ε< ⇒ < ⇒ ⊂ , nghĩa là K chứa trong .
2.3. Không gian các tập lồi đóng của không gian lồi địa phương
Cho E là không gian vector lồi địa phương Hausdorff. Giả sử ( )i i Ip ∈ là họ lọc
của nửa chuẩn xác định topo của E . Khi đó ( , ) ( )i id x y p x y= − là nửa
khoảng cách, và áp dụng mục 2.2 vào E với họ ( )i i Id ∈ .
Định lý 2.13. Giả sử { } AFα α∈ là dãy suy rộng những tập đóng của E . Giả sử
{ }Fα hội tụ đến F đối với topo được xác định ở mục 2.2. Khi đó nếu tất cả Fα
là lồi thì F là lồi, nếu tất cả Fα bị chặn thì F bị chặn.
Chứng minh.

29. 23
1) Giả sử Fα là lồi. Lấy , , [0;1]x y F λ∈ ∈ và (1 )z x yλ λ= + − . Với mỗi lân
cận lồi của 0, V , tồn tại α sao cho: cho β α≥ thì
vàF F V F F Vβ β⊂ + ⊂ + .
Do đó { } và ( { })F z F V F F z Vβ β∪ ⊂ + ⊂ ∪ + .
Cho nên { }F z∪ cũng là giới hạn của ( )Fα . Điều đó chứng tỏ rằng z F∈ .
2) Giả sử các Fα là bị chặn. Với mỗi lân cận lồi của 0, V , tồn tại α sao cho
F F Vα⊂ + . Mà Fα là bị chặn nên có 0λ > sao cho F Vα λ⊂ , do đó
( 1)F Vλ⊂ + , và F là bị chặn.
Chú ý. Nếu E là metric hóa được phần thứ nhất suy ra từ công thức cuối cùng
của định lý 2 : nếu {( , ) / ( ) }iW x y p x y ε= − ≤ thì ( )mW A là lồi, do đó
( )m
m n
W A
≥
 là lồi, và ( )m
n m n
W A
≥
  là lồi vì vậy nó là hợp của dãy suy rộng
những tập lồi.
Định lý 2.14. Nếu E là không gian vector Fréchet thì những không gian sau
đây với metric hóa được Hausdorff đều là đầy đủ:
- tập tất cả các tập lồi đóng
- tập tất cả các tập bị chặn đóng
- tập tất cả các tập bị chặn lồi đóng
- tập tất cả các tập lồi compact.
Chứng minh. Suy ra từ các định lý 2.3, 5 và 13.
Ta nhắc lại:
Định nghĩa. Giả sử E là không gian vector lồi địa phương Hausdorff và A là
một tập con của E . Hàm tựa của A là hàm xác định trên *
E bởi
* * * *
( ) sup ,
x A
x x A x xδ
∈
= 〈 〉 .
Định lý 2.16. Có một tương ứng 1-1 giữa các tập lồi đóng khác rỗng với các
hàm *
( , )E Eσ n.l.t.d. tuyến tính dưới trên *
E (với giá trị trong ( , ]−∞ +∞ ) .
Tương ứng 1-1 là ánh xạ *
(. )A Aδ .

30. 24
Chứng minh.
Hàm tựa *
(. )Aδ là tuyến tinh dưới, *
( , )E Eσ n.l.t.d., và > −∞ , khi A ≠ ∅ .
Hơn nữa A đóng và lồi, *
(. )Aδ mô tả đặc điểm của A, bởi định lý Hanh –
Banach. Cuối cùng mỗi hàm ϕ tuyến tính dưới *
( , )E Eσ n.l.t.d. là hàm tựa
của tập * * * *
{ / , , ( )}A x x E x x xϕ= ∀ ∈ 〈 〉 ≤ . Điều này là hệ quả của định lý I.4:
như ϕ là tuyến tính dưới
* * *
* *
*
2 ( ) sup{ 2 , 2 ( )}
sup{ 2 , (2 )}
( )
x x x x
x x x
x
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
= −
= −
=
Vì vậy với mọi x, *
( ) 0 hayxϕ= ∞. Tập *
{ / ( ) 0}A x xϕ= = có hàm tựa ϕ .
Định lý 2.17. Giả sử A và B là những tập lồi đóng khác rỗng, và viết
A B A B+ = + . Khi đó * * *
(. ) (. ) (. )A B A Bδ δ δ+ = + và nếu [0, )λ ∈ ∞ thì
* *
(. ) (. )A Aδ λ λδ= .
Nếu A, B và C là những tập đóng lồi bị chặn khác rỗng thì A C B C+ = + 
bao hàm A B= .
Chứng minh.
Thứ nhất ta có
* * * *
( ) sup{ , / } sup{ , / }x A B x z z A B x z z A Bδ + = 〈 〉 ∈ + ≥ 〈 〉 ∈ + 
* *
, , ,x x x y x A y B≥ 〈 〉 + 〈 〉 ∀ ∈ ∀ ∈ .
Khi đó với mỗi x A∈ thì
* * * *
( ) , ,x A B x x x y y Bδ + − 〈 〉 ≥ 〈 〉 ∀ ∈
Suy ra * * * * *
( ) , ( )x A B x x x Bδ δ+ − 〈 〉 ≥ .
Do đó * * * * *
( ) ( ) ,x A B x B x x x Aδ δ+ ≥ + 〈 〉 ∀ ∈ .
Hay * * * * * *
( ) ( ) ( )x A B x B x Aδ δ δ+ ≥ +
Mặt khác

31. 25
* * * * * * *
( ) ( ) , , , ,x A x B x x x y x x y x A y Bδ δ+ ≥ 〈 〉 + 〈 〉 = 〈 + 〉 ∀ ∈ ∀ ∈
Suy ra * * * * *
( ) ( ) sup{ , / }x A x B x z z A Bδ δ+ ≥ 〈 〉 ∈ +
Vì vậy * * * * * * *
( ) ( ) sup{ , / } ( )x A x B x z z A B x A Bδ δ δ+ ≥ 〈 〉 ∈ += +  .
Thứ hai ta có
* * * * 1 1
* 1 1
* *
( ) sup{ , / } sup{ , / }
sup{ , / }
( ).
x A x x x A x x x A
x x x A
x A
δ λ λ λ λ λ
λ λ λ
λδ
− −
− −
= 〈 〉 ∈ = 〈 〉 ∈
= 〈 〉 ∈
=
Sau cùng, giả sử A C B C+ = +  .
Khi đó ta có * *
(. ) (. )A C B Cδ δ+ = +  , * * *
(. ) (. ) (. )A C A Cδ δ δ+ = + và
* * *
(. ) (. ) (. )B C B Cδ δ δ+ = + . Do vậy * *
(. ) (. )A Bδ δ= , kéo theo A B= .
Định lý 2.18. Giả sử ( )cb E là không gian các tập bị chặn đóng lồi khác
rỗng của E . Giả sử p là nửa chuẩn liên tục trên E , và U là nửa quả cầu
đóng { / ( ) 1}U x p x= ≤ . Giả sử e là độ dôi (excass) và h là nửa khoảng cách
Hausdorff liên kết với p . Khi đó
* * * * *
( , ) sup{ ( ) ( ) / }o
e A B x A x B x Uδ δ= − ∈ và
* * * * *
( , ) sup{ ( ) ( ) / }o
h A B x A x B x Uδ δ= − ∈ .
Bởi vậy cấu trúc đều trong ( )cb E được xác định bởi họ nửa khoảng cách
* * * * *
sup{ ( ) ( ) / }x A x B x Kδ δ− ∈ ( K là tập liên tục đồng bậc).
Chứng minh.
Giả sử * * * * *
( , ) sup{ ( ) ( ) / }o
e A B x A x B x Uδ δ= − ∈ .
Khi đó, cho 0, ( , )e A Bε ε> ≤ tương đương với
* * * * * * * *
, ( ) ( ) ( )x E x A x B x Uδ δ εδ∀ ∈ − ≤ .
Thật vậy điều kiện đủ là hiển nhiên. Chú ý rằng nếu * *
( )x Uδ < ∞, thì
* *
( ) o
x x U Uδ∈ . Nhưng
* * * * * * * *
, ( ) ( ) ( )x E x A x B x Uδ δ εδ∀ ∈ ≤ + tương đương với A B Uε⊂ + .

32. 26
Cuối cùng inf{ 0 / } ( , )A B U e A Bε ε> ⊂ + = .
Thật vậy nếu A B Uε⊂ + thì ( , )e A B ε≤ . Và nếu ( , )e A Bε > thì
A B Uε⊂ + , vì vậy bất đẳng thức ≤ không đổi chiều.
Chú ý. Định lý cũng được chứng minh bằng cách sử dụng inf sup− :
*
*
( , ) supinf ( )
supinf sup ,
o
y Bx A
y Bx A x U
e A B p x y
x x y
∈∈
∈∈ ∈
= −
= 〈 − 〉
*
*
sup sup inf ,
o y Bx A x U
x x y
∈∈ ∈
= 〈 − 〉
*
* * *
sup sup{ , ( )}
ox A x U
x x x Bδ
∈ ∈
= 〈 〉 −
*
* * * *
sup{ ( ) ( )}
o
x U
x A x Bδ δ
∈
= − .
Bây giờ ta xem xét vấn đề của phép nhúng ( )cb E trong không gian vector
Định nghĩa. Giả sử là không gian tất cả hàm thực thuần nhất dương, sự thu
hẹp của trên tập đồng liên tục K của *
E là bị chặn và liên tục mạnh. Với
topo của hội tụ đều trên tập đồng liên tục, trở thành không gian vector lồi
địa phương Hausdorff.
Định lý 2.19. Không gian là đẩy đủ. Ánh xạ từ ( )cb E đến được xác
định bởi *
: (. )i A Aδ→ có tính chất
- Là đơn ánh
- ( ) ( ) ( )i A B i A i B+ = +
- ( ) ( ) [0, )i A i Aλ λ λ= ∀ ∈ ∞
- Là phép đồng phôi từ ( )cb E vào chính nó.
Chứng minh.
Ta chứng minh rằng ( )cbA E∈  kéo theo *
(. )Aδ ∈. Điều không hiển nhiên
là *
(. )Aδ bị chặn trong mỗi tập đồng liên tục. Nhưng đó là kết quả từ một tập
đồng liên tục thì bị chặn mạnh (Bourbaki E.V.T ch.III. prop 7 p.26). Cuối

33. 27
cùng, bởi định lý 16 i là đơn ánh, hai công thức là kết quả từ định lý 17, và
điều khẳng định cuối cùng suy từ định lý 18.
2.4. Tính liên tục của hàm đa trị lồi
Định lý 2.20. Giả sử T là không gian topo, E là không gian lồi địa phương
Hausdorff, và Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con khác rỗng của E . Giả
sử ( )otΓ compact yếu và lồi. Khi đó Γ là nửa liên tục trên (n.l.t.t.) yếu tại ot
nếu và chỉ nếu những hàm vô hướng * *
( (.))xδ Γ là n.l.t.t. tại ot .
Chú ý. Ta nói rằng Γ là n.l.t.t. tại ot nếu mọi tập mở U chứa ( )otΓ , tồn tại
một lân cận V của ot sao cho t V∈ kéo theo ( )t UΓ ⊂ .
Chứng minh.
1) Nếu Γ là n.l.t.t. tại ot và * *
( ( )) ( )ox tα δ α> Γ ∈ ,
đặt *
{ / , }U x E x x α= ∈ 〈 〉 < . Tồn tại một lân cận V của ot sao cho ( )t UΓ ∈
với mọi t V∈ . Do đó * *
( ( ))x tδ αΓ ≤ .
2) Giả sử tất cả * *
( (.))xδ Γ là n.t.t.t. Nếu ( )otΓ =∅ thì *
(0 ( ))otδ Γ = −∞ , và
chọn t sao cho *
(0 ( )) 0, ( )t tδ Γ < Γ =∅ . Do đó Γ là n.l.t.t. tại ot . Ta giả sử
( )otΓ ≠ ∅. Cho ( )o ox t∈Γ . Xét ( ) ( ) ot t x′Γ =Γ − . Ta có
* * * * *
( ( )) , ( ( ))ox t x x x tδ δ′Γ = −〈 〉 + Γ .
Ta có thể giả sử 0 ( )ot∈Γ . Cho U là tập mở yếu chứa ( )otΓ . Tồn tại lân cận
lồi đóng của 0, V , sao cho ( )ot V UΓ + ⊂ . Có thể giả sử V là cực của tập con
hữu hạn của *
E .
Bởi vì ( )otΓ là compact nên tồn tại 1 2, ,..., ( )n ox x x t∈Γ sao cho
1
2
ix V+ bao
phủ ( )otΓ . Cho 1 2co{ , ,..., }nA x x x V= + . Khi đó A là đóng và A U⊂ .
Ta có thể giả sử 1 20 co{ , ,..., }nx x x∈ (bởi vì 0 ( )ot∈Γ ), khi đó o
A là tập đa
diện hữu hạn chiều được chứa trong o
V :
* * *
1 2co{ , ,..., }o
kA x x x= .

34. 28
Từ 1 2
1
( ) co{ , ,..., }
2
o nt x x x V A UΓ ⊂ + ⊂ ⊂
suy ra * * * * * *1
2( ( )) sup ( ) ( ) 1j o j i j
i
x t x x V x Aδ δ δΓ ≤ + < ≤ .
Cho V là một lân cận của ot sao cho
* *
( ( )) 1 , 1,...,jx t t V j kδ Γ ≤ ∀ ∈ =
Khi đó ( )t A U t VΓ ⊂ ⊂ ∀ ∈ .
Định lý 2.21. Giả sử T là không gian topo, là E không gian lồi địa phương
Hausdorff, và Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con lồi hoàn toàn bị chặn
của E . Giả sử ( )
t T
t
∈
Γ hoàn toàn bị chặn. Khi đó Γ là n.l.t.d. tại ot nếu và chỉ
nếu những hàm vô hướng *
( (.))xδ Γ là n.l.t.d. tại ot .
Chú ý. Ta nói rằng Γ là n.l.t.d. tại ot nếu mọi tập mở U mà ( )oU t∩ Γ ≠ ∅,
tồn tại một lân cận V của ot sao cho ( )U t t V∩ Γ ≠ ∅ ∀ ∈ .
Chứng minh.
1) Giả sử Γ là n.l.t.d. tại ot . Nếu * *
( ( )) ( )ox tα δ α< Γ ∈ thì ( )ot UΓ ∩ ≠ ∅
với *
{ / , }U x x x α= 〈 〉 > . Khi đó nếu t nằm trong một lân cận của ot thì
( )t UΓ ∩ ≠ ∅ , và * *
( ( ))x tδ αΓ > . Nếu * *
( ( ))ox tδ Γ = −∞ (điều đó xảy ra nếu
( )otΓ =∅ ) thì * *
( (.))xδ Γ vẫn n.l.t.d. tại ot .
2) Bây giờ ta giả sử tất cả * *
( (.))xδ Γ là n.l.t.d. Ta có thể giả sử ( )otΓ ≠ ∅
(nếu ngược lại thì hiển nhiên Γ là n.l.t.d.). Cho tập mở U mà ( )oU t∩ Γ ≠ ∅.
Như trong định lý 2.20 ta có thể giả sử 0 ( )oU t∈ ∩ Γ . Ta cũng giả sử rằng U
là tập mở lồi.
Nếu định lý sai thì tồn tại một dãy suy rộng ( )tα hội tụ đến ot , sao cho
( )t UαΓ ∩ =∅. Bởi Hanh – Banach tồn tại * *
x Eα ∈ sao cho *
xα nhận giá trị
1≤ − trong ( )tαΓ và nhận giá trị 1≥ − trong U . Do đó * o
x Uα ∈ (đặc biệt nếu
ta định nghĩa o
U như là * *
{ / , , 1}x x U x x∀ ∈ 〈 〉 ≥ − ) và * *
( ( )) 1x tα αδ Γ ≤ − . Như

35. 29
vậy o
U là đồng liên tục nó là compact đối với topo hội tụ đều trong những tập
bị chặn hoàn toàn của E . Cho *
z là điểm tụ của *
( )xα đối với topo này. Từ
0 ( )ot∈Γ suy ra * *
( ( )) 0oz tδ Γ ≥ . Cho *
xβ đủ gần *
z , từ giả thiết ( )
t T
t
∈
Γ hoàn
toàn bị chặn ta có
* * * * 1
, ( ( )) ( ( ))
2
t z t x tβδ δ∀ Γ ≤ Γ + .
Nhưng với mỗi α tồn tại β α≥ sao cho *
xβ thuộc vào một lân cận được cho
trước của *
z .
Vì vậy * * * * 1 1
( ( )) ( ( ))
2 2
z t x tβ β βδ δΓ ≤ Γ + ≤ − .
Điều này là không thể bởi vì * *
( (.))zδ Γ là n.l.t.d. tại ot .
Hệ quả 2.22. Giả sử T là không gian topo, E là không gian lồi địa phương
Hausdorff, và Γ là ánh xạ từ T đến những tập con compact lồi khác trống của
E . Giả sử rằng mỗi ot T∈ có một lân cận V sao cho ( )
t V
t
∈
Γ chứa trong một
tập compact. Khi đó nếu những hàm tựa * *
( (.))xδ Γ là liên tục, thì Γ là liên
tục đối với topo Hausdorff.
Chứng minh. Gọi K là tập compact chứa ( )
t V
t
∈
Γ . Cho U là tập mở. Khi đó
U K∩ là tập mở yếu, và bởi định lý 2.20, { / ( ) }t V t U∈ Γ ⊂ là mở. Nếu Θ là
một tập mở, bởi định lý 2.21, thì { / ( ) }t V t∈ Γ ∩Θ là mở. Theo chú ý 2 của
định lý 2.12, Γ là liên tục trên V đối với topo Hausdorff.
Hệ quả 2.23. Giả sử T là không gian topo, và Γ là ánh xạ từ T đến những
tập con compact lồi khác trống của n
 . Khi đó nếu những hàm tựa
* *
( (.))xδ Γ là liên tục, thì Γ liên tục.

36. 30
Chứng minh. Cho * * *
1 2{ , ,..., }ne e e là cơ sở của *
( )n
 . Khi đó nếu ot T∈ thì tồn
tại một lân cận của ot , V , sao cho hàm * *
( (.))ieδ Γ và * *
( (.))ieδ − Γ là bị chặn
trên V . Do đó ( )
t V
t
∈
Γ là bị chặn. Vì vậy ta có thể áp dụng hệ quả 2.22.
Hệ quả 2.24. Giả sử không gian topo T là compact địa phương hoặc metric
hóa được, E là không gian lồi địa phương Hausdorff, và Γ là ánh xạ từ T
đến những tập con lồi compact yếu khác trống của E . Khi đó nếu những hàm
tựa * *
( (.))xδ Γ là liên tục, thì Γ là liên tục đối với topo Hausdorff tương ứng
với *
( , )E Eσ . Ngoài ra nếu E là Mantel, thì Γ là liên tục đối với topo
Hausdorff.
Chứng minh.
1) Do định lý 20, Γ là n.l.t.d. đối với topo yếu. Nếu T là compact địa phương
ta có thể giả sử T là compact. Nếu T là metric hóa được thì nó là đủ để chứng
minh những tính chất liên tục trên những tập như { , / }nt t n∈ trong đó
nt t→ (bởi vì Γ là n.l.t.d tại t (tương ứng n.l.t.t.)) ( )nt⇔ ∀ hội tụ đến t và
V mở U , nếu ( )t UΓ ∩ ≠ ∅ (tương ứng ( )t UΓ ⊂ ), thì với n đủ lớn
( )nt UΓ ∩ ≠ ∅ (tương ứng ( )nt UΓ ⊂ ). Do đó ta luôn có thể giả sử T
compact. Bởi một định lý của Berge (định lý 25 bên dưới) ( )
t V
t
∈
Γ là compact
yếu. Khi đó bởi định lý 2.21, Γ là n.l.t.d. Cuối cùng nếu E được trang bị cấu
trúc đều Hausdorff yếu, thì Γ là liên tục theo chú ý 2 của định lý 12.
2) Nếu E là không gian Montel, thì tập ( )
t V
t
∈
Γ trong phần thứ nhất là
compact đối với topo mạnh của E . Do đó Γ là n.l.t.d. đối với topo mạnh (bởi
vì nếu U mở thì ( ( ))U tΓ  cũng là mở yếu). Và Γ là n.l.t.d. đối với topo
mạnh bởi định lý 2.21.
Định lý 2.25. (Berge) _ Giả sử T là không gian compact, E là không gian
Haudorff, và Γ là hàm đa trị từ T đến những tập compact của E . Khi đó nếu
Γ là n.n.t.t. thì tập ( )
t T
t
∈
Γ là compact.

37. 31
Chứng minh. Cho ( )i i IU ∈ là họ những tập mở phủ ( )
t T
t
∈
Γ . Mỗi ( )tΓ là được
phủ bởi một tập mở, tV , với tV là hợp của một họ con hữu hạn của ( )iU . Tập
{ / ( ) }T t t Vθ θ= Γ ⊂ chứa θ và là mở. Do đó ( ) TTθ θ∈ phủ T . Nhưng T
compact, nên tồn tại 1 2, ,..., nθ θ θ sao cho 1
... n
T T Tθ θ=   .
Khi đó ( )
t T
t
∈
Γ được chứa trong 1
... n
V Vθ θ  . Điều đó kết thúc chứng minh.

38. 32
Chương 3:
TÍNH ĐO ĐƯỢC CỦA HÀM ĐA TRỊ
Kiến thức chuẩn bị
Một không gian đo được ( , )T  là một cặp ở đó T là một tập hợp và  là
nhóm (hay σ -trường) các tập con của T . Nhắc lại  là nhóm nếu
- ∅∈
- A T A∈ ⇒ − ∈ 
- , n nn A A∀ ∈ ∈ ⇒ ∈  
Phần tử của  được gọi là tập đo được.
Nếu U là không gian topo thì nhóm Borel ( )U là nhóm nhỏ nhất chứa
tất cả các tập mở. Nếu ( , )T  và ( , )U  là hai không gian đo được thì nhóm
tích ⊗  trên T U× là nhóm nhỏ nhất chứa tất cả các tập
A B× ( ,A B∈ ∈  ).
Nếu ( , )T  và ( , )U  là hai không gian độ đo thì hàm :f T U→ được gọi
là ( , )  -đo được nếu 1
, ( )B f B−
∀ ∈ ∈  . Tính chất này giúp ta có thể
mang độ đo dương hoặc bị chặn trên T vào trong một độ đo trên U . Nếu U
là không gian topo thì một hàm ( , ( ))U  -đo được được gọi là hàm Borel.
Khi cả hai T và U đều là không gian topo, một hàm liên tục từ T vào U là
Borel.
Nếu ( , )T  là không gian đo được và U là không gian metric, ta nói rằng
:f T U→ là đo được (mạnh) nếu một trong những tính chất tương đương
dưới đây xảy ra:
(i) f là ( , ( ))U  -đo được và ( )f T khả li,
(ii) f là giới hạn từng điểm của dãy những hàm đo được với giả thiết
chỉ nhận một số hữu hạn giá trị.

39. 33
(iii) f là giới hạn đều của dãy những hàm đo được với giả thiết chỉ nhận
một số đếm được giá trị.
Tính chất này bảo đảm rằng nếu U là không gian nhóm topo, và nếu f và g
là đo được thì f g+ là đo được.
Nếu là không gian metric, nếu ( )nf là một dãy ( , ( ))U  (tương ứng
mạnh) đo được từ T đến U , và nếu nf f→ từng điểm thì f là ( , ( ))U 
(tương ứng mạnh) đo được.
Nếu ( , )T  là không gian đo được, một độ đo bị chặn (t.ư. dương) trong
( , )T  là ánh xạ :µ →  (tu. : [0, ]µ → ∞ ) sao cho mọi họ đếm được
{ }nA rời nhau từng cặp trong  kéo theo ( ) ( )n nA Aµ µ= ∑ . Một độ đo
dương là σ -hữu hạn nếu T là hợp của dãy các tập đo được có độ đo hữu hạn.
Nếu µ là độ đo dương trong ( , )T  ta nói rằng tập con N của T là không
đáng kể nếu tồn tại A∈ sao cho N A⊂ và ( ) 0Aµ = . µ -đầy đủ của  là
nhóm được sinh ra bởi  và những tập không đáng kể; nó được kí hiệu µ và
độ đo µ nhận được sự mở rộng duy nhất đến µ . Nhóm  được nói là µ -đầy
đủ nếu µ= .
Nếu µ là độ đo dương trong ( , )T  , U là không gian metric, và
:f T U→ , ta nói f đo được (hay µ -đầy đủ) nếu với mọi A∈ có độ đo
hữu hạn, tồn tại tập không đáng kể N sao cho A N
f −
là đo được mạnh.
Cho T là không gian topo Hausdorff. Một độ đo Radon dương µ trên T là
một độ đo dương : ( ) [0, ]Tµ → ∞ sao cho
- t T∀ ∈ , tồn tại một lân cận mở của t có độ đo hữu hạn,
- ( ), ( ) sup{ ( ) / compact, }A T A K K K Aµ µ∀ ∈= ⊂ .
Cho T là không gian topo Hausdorff, µ là độ đo Radon dương trên T , U
là không gian topo, và :f T U→ . Ta nói f là µ -đo được Lusin nếu:

40. 34
compact, , 0, compact, sao cho ( )K K T L L K K Lε µ ε∀ ⊂ ∀ > ∃ ⊂ − < và L
f
liên tục.
Hơn nữa, nếu U là không gian metric thì
f là µ -đo được Lusin K⇔ ∀ compact, K
f là µ -đo được.
f là µ -đo được Lusin f⇔ là µ -đo được.
3.1. Hàm đa trị đo được nhận giá trị là tập con compact của không gian khả
li metric hóa được
Cho( , )T  là không gian đo được. Giả sử X là không gian khả li metric hóa
được.
Định nghĩa 3.1. Một hàm đa trị Γ từ T đến những tập con compact của X
được nói là đo được nếu nó là đo được như hàm từ T đến ( )k X (với topo
Hausdorff được định nghĩa trong ch.2).
Định lý 3.2. Với những giả thiết của định nghĩa 1, Γ đo được tương đương
với tất cả các tính chất sau đây.
a) U∀ mở trong X , ( ) { ( ) }U t T t U−
Γ = ∈ Γ ∩ ≠ ∅ ∈
b) F∀ đóng trong X , ( ) { ( ) }F t T t F−
Γ = ∈ Γ ∩ ≠ ∅ ∈
Chứng minh. Ta sẽ áp dụng định lý 2.10.
1) Chú ý 1
( ) ({ ( ) })kU K X K U− −
Γ = Γ ∈ ∩ ≠ ∅ .
Bởi định lý 2.10 { }K K U∩ ≠ ∅ là một tập borel (và là mở bởi định lý 2.6).
Do đó Γ đo được thì a) đúng. Đảo lại là đúng bởi định lý 2.10: tập
{ }K K U∩ ≠ ∅ sinh ra nhóm Borel của ( )k X .
2) Để chứng minh Γ đo được ⇔ b, ta chú ý rằng
1
({ })
( ) C
K K X F
TF
−
Γ ⊂ −−
Γ = và
áp dụng định lý 2.10.
Hệ quả 3.3. Nếu T là không gian topo, và Γ là hàm đa trị từ T đến ( )k X ,
nếu Γ n.l.t.t. (hoặc n.l.t.d.) thì Γ là đo được (đối với nhóm Borel ( )T ).
Chứng minh.

41. 35
Nếu Γ n.l.t.t. thì với mọi tập đóng F , { / ( ) }t t X FΓ ⊂ − là mở, do đó ( )F−
Γ
thuộc ( )T . Nếu Γ n.l.t.d. thì với mọi tập mở U , { / ( ) }t t UΓ ∩ ≠ ∅ là mở,
do đó nó thuộc ( )T .
Chú ý. Nếu T là không gian topo Hausdorff và µ là độ đo Radon dương trên
T , và nếu Γ thỏa định nghĩa 1, thì với mỗi tập khả tích oT T⊂ , và 0ε > , tồn
tại tập compact 1 oT T⊂ sao cho 1( )oT Tµ ε− < và Γ liên tục trên 1T . Đó là
tính chất Lusin.
Mệnh đề 3.4. Nếu 1Γ và 2Γ là hai hàm đa trị đo được nhận giá trị compact thì
hàm đa trị 1 2( ) ( )t t tΓ Γ  là đo được. Nếu ( )nΓ là dãy hàm đa trị đo được
có giá trị compact thì ( )nt tΓ  là đo được, và nếu ( )n tΓ compact thì
( )nt tΓ  là đo được.
Chứng minh.
1) Ta sẽ chứng minh ánh xạ 1 2 1 2( , )K K K K∩ từ 2
( ( ))k X đến ( )k X là
Borel. Cho U là tập mở trong X . Ta sẽ chứng minh 1 2 1 2{( , ) }K K K K U∩ ⊂
mở. Thật vậy nếu 1 2
o o
K K U∩ ⊂ thì 1
o
K U− và 2
o
K U− rời nhau. Khi đó tồn
tại hai tập mở 1U và 2U sao cho ( 1,2)o
i iK U U i− ⊂ = và 1 2U U∩ =∅ . Bởi
định lý 2.6 1 2 1 1 2 2{( , ) , }K K K U U K U U⊂ ∪ ⊂ ∪ là lân cận của 1 2( , )o o
K K .
Cho 1 2( , )K K ta có
1 2 1 2( ) ( )K K U U U U U∩ ⊂ ∪ ∩ ∪ =.
Vì vậy, do định lý 2.10, 1 2 1 2( , )K K K K∩ là Borel. Do đó 1 2( ) ( )t t tΓ Γ 
là đo được.
2) Áp dụng phần 1, ta có ...n o n
′Γ = Γ ∩ ∩ Γ là đo được. Nhưng ( )n t′Γ hội tụ
đến ( )n tΓ đối với khoảng cách Hausdorff (dễ thấy ( ( ), ( )) 0n ne t t′Γ Γ → ). Do
đó ( )nt tΓ  là đo được.
3) Cho U là tập mở trong X . Khi đó

42. 36
{ / ( ) }nt t UΓ ∩ ≠ ∅
{ / ( ) }nt t U= Γ ∩ ≠ ∅
{ / ( ) }n
n
t t U= Γ ∩ ≠ ∅ thuộc  .
Do đó, bởi định lý 2, (.)nΓ đo được.
3.2. Định lý hàm chọn. Hàm đa trị đo được với giá trị là tập con đầy đủ của
một không gian metric khả li
Định nghĩa. Cho : ( )T XΓ →  . Hàm :T Xσ → được gọi là hàm chọn của
Γ nếu ( ) ( )t t t Tσ ∈Γ ∀ ∈ .
Một vấn đề quan trọng là chứng tỏ sự tồn tại của hàm chọn đo được khi
Γ có giá trị là tập không rỗng và vài tính chất của tính đo được. Định lý cơ bản
là định lý 3.6, bên dưới, và vài hệ quả của nó, các định lý 3.7 và 8. Nhưng
định lý tổng quát và hữu ích hơn hết là định lý 3.22.
Định lý 3.6. Giả sử X là không gian metric khả li, ( , )T  là không gian đo
được, Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con khác rỗng đầy đủ của X . Nếu
với mỗi tập mở U trong X , ( )U−
Γ thuộc  thì Γ nhận được một hàm chọn
đo được.
Chứng minh.
Giả sử { }nx là tập đếm được trù mật trong X . Ta xác định một dãy những
hàm đo được với giả thiết chỉ nhận một số đếm được giá trị, ( )pσ bởi phép
truy toán, có những tính chất ( ( ), ( )) 2 p
pd t tσ −
Γ < , 1
1( ( ), ( )) 2 p
p pd t tσ σ − +
+ ≤ .
Thứ nhất đặt ( )o nt xσ = nếu n là số nhỏ nhất sao cho 0
( ) ( ,2 )nt B xΓ ∩ ≠ ∅ .
Vậy oσ đo được:
1 0 0
( ) ( ( ,2 )) ( ( ,2 ))o n n m
m n
x B x B xσ − − −
<
=Γ − Γ .
Giả sử đã có pσ . Cho 1
( )i p iT xσ −
= . Khi đó nếu it T∈ thì ( ) ( ,2 )p
it B x −
Γ ≠ ∅ .
Đặt, trong iT , 1( )p nt xσ + = nếu n là số nhỏ nhất sao cho:

43. 37
( 1)
( ) ( ,2 ) ( ,2 )p p
i nt B x B x− − +
Γ ≠ ∅  .
Do đó 1pσ + đo được và
( 1)
1( ( ), ( )) 2 p
pd t tσ − +
+ Γ < , ( 1) 1
1( ( ), ( )) 2 2 2p p p
p pd t tσ σ − − + − +
+ ≤ + ≤ .
Từ bất đẳng cuối, suy ra dãy ( ( ))p tσ là một dãy Cauchy. Nhưng ( )tΓ đầy đủ
và ( ( ), ( )) 0pd t tσ Γ → , do đó giới hạn của ( ( ))p tσ thuộc ( )tΓ . Giới hạn ( )tσ
này xác định một hàm chọn đo được của Γ .
Định lý 3.7. Với những giả thiết như trong định lý 6, tồn tại một dãy ( )nσ
những hàm chọn đo được của Γ sao cho , ( ) { ( ) / }nt t t nσ∀ Γ= ∈ .
Chứng minh.
Cho { }nx là tập trù mật trong X . Cho 2
( , )n i ∈
( ) ( , 2 ), khi ( ( , 2 ))
( )
( ) , khi ( ( , 2 ))
i i
n n
ni i
n
t B x t B x
t
t t B x
− − −
− −
Γ ∈Γ
Γ =
Γ ∉Γ

Hàm đa trị ( )nit tΓ có giá trị đầy đủ không rỗng. Với mọi tập mở U ,
( ( ,2 ) ( )
{ / ( ) } { / ( ) }
( ( ,2 ) ) [ ]C
i
n
ni ni
B x Ui
n T
t t U t t U
B x U
− − −
Γ Γ− −
Γ ∩ ≠ ∅= Γ ∩ ≠ ∅
=Γ ∈
  
Do đó, bởi định lý 6, niΓ có một hàm chọn đo được niσ .
Bây giờ ta chứng minh ( ) { ( )}nit tσΓ = . Cho ( ), 0x t ε∈Γ > . Chọn i sao cho
2
2
i ε−
≤ , và chọn n sao cho ( , ) 2 i
nd x x −
< . Suy ra ( ( , 2 ))i
nt B x− −
∈Γ và
( , 2 )i
ni nB xσ −
∈ .
Do đó ( ( ), ) ( ( ), ) ( , )ni ni n nd t x d t x d x xσ σ ε≤ + ≤ .
Định lý 3.8.
1) Cho ( , )T  là không gian đo được, X là không gian Polish, và Γ là ánh xạ
từ T đến những tập con đóng khác rỗng của X . Nếu với mọi tập mở U trong

44. 38
X , ( ) U−
Γ ∈ , thì Γ nhận được một dãy hàm chọn đo được ( )nσ sao cho
( ) { ( )}nt tσΓ = .
2) Cho ( , )T  là không gian đo được, X là không gian metric khả li, và Γ là
ánh xạ từ T đến những tập con compact khác rỗng của X . Nếu Γ đo được
(xem định nghĩa 1) thì Γ nhận được một dãy hàm chọn đo được ( )nσ sao cho
( ) { ( )}nt tσΓ = .
Chứng minh. Nó là một hệ quả của định lý 7.
Định lý 3.9. Giả sử ( , )T  là không gian đo được, X là không gian metric
khả li, và Γ là ánh xạ từ T đến những tập con đầy đủ khác rỗng của X . Khi
đó những tính chất sau đây là tương đương
a) ( ) U−
Γ ∈ với mọi tập mở U ,
b) ( , (.))d x Γ là đo được với mọi x X∈
c) Γ nhận được dãy hàm chọn đo được ( )nσ sao cho ( ) { ( )}nt tσΓ = .
Chứng minh.
a⇒c định lý 7.
c⇒b bởi vì ( , ( )) inf{ ( , ( )) / }nd x t d x t nσΓ= ∈ .
b⇒a Để ý rằng { / ( , ( )) } ( ( , ))t d x t r B x r−
Γ < =Γ . Nhưng mọi tập mở U là hợp
của dãy các quả cầu ( , )n nB x r . Do đó ( ) ( ( , ))n n
n
U B x r− −
Γ =Γ là đo được nếu
b đúng.
Chú ý. Dễ dàng chứng minh a⇒b và c⇒a:
a⇒b bởi vì công thức { / ( , ( )) } ( ( , ))t d x t r B x r−
Γ < =Γ
c⇒a bởi vì công thức 1
( ) ( )nU Uσ− −
Γ = .
Định nghĩa. Nếu ( , )T  là không gian đo được, X là không gian metric, và
Γ là ánh xạ từ T đến những tập con đầy đủ của X , thì Γ được nói là đo được
nếu { / ( ) }oT t t= Γ =∅ thuộc  và nếu trên oT T− thì Γ có những tính chất
của định lý 9.

45. 39
Chú ý. Do định lý 8.2) nên định nghĩa 1 và 10 tương đương.
Có hai tính chất khác của tính đo được mà người ta có thể dùng làm như định
nghĩa của tính đo được. Đó là: “ ( ) F−
Γ ∈ với mọi tập đóng F ” và
“đồ thị của Γ ( {( , ) / ( )}G t x T X x tΓ= ∈ × ∈Γ ) nằm trong ( )X⊗  ”.
Ta xem xét những tính chất đó trong ba mệnh đề dưới đây. Đối với một
σ -trường  , tất cả năm tính chất là tương đương (xem định lý 30 bên dưới).
Mệnh đề 3.11. Cho ( , )T  là không gian đo được, X là không gian metric,
và Γ là ánh xạ từ T đến ( ) X . Khi đó nếu ( ) F−
Γ ∈ với mọi tập đóng F ,
thì ( ) U−
Γ ∈ với mọi tập mở U .
Chứng minh.
Với mọi tập mở U : nó đủ để đặt 1
{ / ( , ) } ( 1)n nF x X d x X U n= ∈ − ≥ ≥ .
Khi đó nU F=  , và ( ) ( )nU F− −
Γ =Γ .
Mệnh đề 3.12.
4) Cho ( , )T  là không gian đo được, X là không gian Polish compact địa
phương, và Γ là ánh xạ từ T đến ( )f X . Nếu ( ) U−
Γ ∈ với mọi tập mở U ,
thì ( ) F−
Γ ∈ với mọi tập đóng F .
5) Cho ( , )T  là không gian đo được, X là không gian metric hóa được, và
Γ là ánh xạ từ T đến ( )k X . Nếu ( ) U−
Γ ∈ với mọi tập mở U , thì
( ) F−
Γ ∈ với mọi tập đóng F .
Chứng minh.
1) Nếu F đóng, thì F là hợp của một dãy các tập compact nK . Khi đó
( ) ( )nF K− −
Γ =Γ . Giả sử K compact và ta sẽ chứng minh ( ) K−
Γ ∈ .
Alexandroff compactified ˆX của X là metric hóa được (điều đó là tương
đương cho không gian compact địa phương để nói nó là Polish). Giả sử d là
metric trên ˆX . Khi đó với n đủ lớn ( )on n≥
1ˆ{ / ( , ) }n nK x X d x K=∈ ≤ chứa trong X , và compact.

46. 40
Cho ( )nσ là dãy hàm chọn của Γ như trong định lý 7.
Khi đó 1
( ) ( )
o
m n
n n m
K Kσ− −
≥
Γ =  . Thật vậy nếu ( )t K−
∈Γ thì ( )t KΓ ∩ ≠ ∅ kéo
theo với mọi on n≥ , ( )
o
nt KΓ ∩ ≠ ∅ và do đó tồn tại m sao cho ( )m nt Kσ ∈ .
Đảo lại, nếu 1
( )m n
n m
t Kσ −
∈  thì ( ) nt K nΓ ∩ ≠ ∅ ∀ . Giả sử ( )n nx t K∈Γ ∩ .
Dãy ( ) on n nx ≥ chứa trong onK . Cho x là điểm tụ của ( )nx . Khi đó nx K K∈ =
và ( )x t∈Γ .
2) Nếu F đóng, đặt 1
{ / ( , ) }n nU x d x F= < .
Khi đó ( ) ( )nF U− −
Γ =Γ bởi vì nếu ( )nt U−
∈ Γ thì tồn tại ( )n nx t U∈Γ ∩ .
Nhưng ( )tΓ compact do đó dãy ( )nx có một điểm tụ x , ( )x t F∈Γ ∩ . (Nó
tương tự như chứng minh phần 2 của định lý 2.10).
Mệnh đề 3.13. Nếu ( , )T  là không gian đo được, X là không gian metric
khả li, và nếu Γ từ T đến những tập con đầy đủ của X là đo được (xem đn.
10), thì đồ thị của Γ (đó là {( , ) / ( )}t x T X x t∈ × ∈Γ ) thuộc ( )X⊗  .
Chứng minh. Giả sử ( )tΓ khác rỗng với mọi t . Đồ thị của Γ là
{( , ) / ( )}G t x T X x t= ∈ × ∈Γ . Nhưng hàm ( , (.))d x Γ đo được (sử dụng tính
chất của tính đo được của Γ . Tính đầy đủ của Γ là không cần thiết !) , vì vậy,
bởi bổ đề dưới đây ( , ) ( , ( ))t x d x tΓ đo được, và ( )G X∈ ⊗  .
Bổ đề 3.14. Cho ( , )T  là không gian đo được, X là không gian metric hóa
được khả li, U là không gian metric hóa được và :T X Uϕ × → . Giả sử ϕ là
đo được (tương ứng ( , ( ))U  đo được) theo t và liên tục theo x. Khi đó ϕ
là đo được (tương ứng ( ( ), ( ))X U⊗   đo được).
Chứng minh. Cho { }nx là dãy trù mật trong X . Cho 1p ≥ đặt
( , ) ( , )p nt x t xϕ ϕ= với n là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho 1
( , )n px B x∈ . Dễ thấy
( , ) ( , )p t x t xϕ ϕ→ khi p → ∞ . Và pϕ đo được (tương ứng ( ( ), ( ))X U⊗  
đo được) bởi vì trên tập

47. 41
1 1
[ ( , ) ( , )]n mp p
m n
T B x B x
<
× −  ,
pϕ bằng hàm ( , ) ( , )nt x t xϕ .
3.3. Hàm đa trị đo được lồi compact
Định lý 3.15. Cho ( , )T  là không gian đo được, E là không gian vector khả
li metric hóa được lồi địa phương, và Γ là ánh xạ từ T đến ( )ck E (không
gian của các tập lồi compact của E ). Khi đó Γ đo được nếu và chỉ nếu những
hàm tựa * *
( (.))xδ Γ là đo được.
Chứng minh. Nếu Γ đo được thì { / ( ) }oT t t= Γ =∅ ∈ . Nếu * *
( (.))xδ Γ đo
được thì *
{ / (0 ( )) }oT t tδ= Γ = −∞ ∈ . Do đó ta có thể giả sử ( )tΓ khác rỗng.
Nếu Γ đo được thì, do định lý 7, tồn tại dãy hàm chọn đo được ( )nσ sao cho
( ) { ( )}nt tσΓ = . Vì vậy * * *
( ( )) sup , ( )nx t x tδ σΓ = là hàm đo được theo t .
Ngược lại, giả sử * *
( (.))xδ Γ đo được. Tồn tại dãy tăng các nửa chuẩn ( )np ,
np được xác định bởi topo của E . Giả sử nh là nửa khoảng cách Hausdorff
liên kết với np . Do định lý 2.12 khoảng cách trong ( )ck E ,
( , )
( , ) 2
1 ( , )
n n
n
h A B
H A B
h A B
−
=
+
∑ xác định cấu trúc đều của ( )ck E . Ta sẽ chứng
minh điều sau đây: Với mọi ( )ckA E∈ , ( , ( ))t H A tΓ đo được. Điều đó,
bởi bổ đề 16 bên dưới (áp dụng Γ trong vị trí của f và ( )ck E trong vị trí của
Z (xem đl.2.8)), đưa đến định lý. Ta chứng minh tính đo được của ( , (.))nh A Γ
là đủ. Nhưng do định lý 2.18, * * * * *
( , ) sup{ ( ) ( ) / }o
n nh A B x A x B x Vδ δ= − ∈
( { / ( ) 1})n nV x p x= ≤ . Tập o
nV là đồng liên tục, do đó compact đối với topo hội
tụ đều trong các tập con compact của E . Giả sử { }nx′ là tập đếm được trù mật
trong o
nV . Nhưng *
(. )Aδ và *
(. ( ))tδ Γ liên tục đối với topo ở trên, ta có
* * * *
( , ( )) sup ( ) ( ( ))n n n
n
h A t x A x tδ δΓ= − Γ .

48. 42
Vì vậy nó là đo được theo t .
Chú ý. Khi E là không gian định chuẩn, chỉ cần chứng tỏ rằng x E∀ ∈ ,
( , (.))d x Γ đo được (nhờ có đl.9)
Bổ đề 3.16. Cho ( , )T  là không gian đo được, Z không gian metric khả li và
:f T Z→ sao cho với mọi z Z∈ , ( , (.))d z f đo được. Khi đó f đo được.
Chứng minh.
Hàm đa trị { ( )}t f t có hàm chọn đo được bởi định lý 9.
3.4. Định lý chiếu. Định lý hàm chọn Von Neumann - Aumann
Định nghĩa. Không gian Suslin là một không gian topo Hausdorff sao cho có
một không gian Polish P và một ánh xạ liên tục từ P lên S .
Ta kí hiệu ánh xạ chiếu từ T U× lên T bởi Tpr .
Định lý 3.18. Cho T là không gian Suslin, X là không gian topo, và Γ là ánh
xạ từ T đến những tập con khác rỗng của X , đồ thị G của Γ là Suslin. Kí
hiệu s là σ -trường trên T sinh bởi những tập con Suslin của T . Khi đó tồn
tại một dãy ( )nσ những hàm chọn ( , ( ))s X  đo được của Γ , sao cho với mọi
t T∈ ,{ ( )}n tσ trù mật trong ( )tΓ . Hơn thế nữa, nếu P là không gian Polish và
:h P G→ là liên tục và lên thì có thể chọn được nσ sao cho n X npr h pσ =  
trong đó :np T P→ là s đo được. Vì vậy mỗi nσ là giới hạn của một dãy
những hàm s đo được với giả thiết chỉ nhận một số hữu hạn giá trị, và nếu
thêm µ là độ đo Radon trong T thì nσ là µ -đo được Lusin.
Chứng minh.
Giả sử P là Polish và :h P G→ liên tục và lên. Giả sử :G Tπ → là ánh xạ
( , )t x t . Hàm đa trị 1
( )hπ −
∑ =  có đồ thị H đóng trong T P× .
Vì vậy, nếu U là tập mở trong P thì ( ) ( )TU pr H T U−
∑ = ∩ × là Suslin. Do
định lý 8 dẫn đến tồn tại dãy ( )np các hàm chọn đo được của ∑, sao cho với
t , { ( )}np t trù mật trong ( )t∑ . Từ 1
( ) ( ) ( )np t h tπ −
∈  suy ra ( )nt h p tπ=   ,
do đó ( ) { } ( )nh p t t t∈ ×Γ . Đặt ( ) ( , ( ))n nh p t t tσ= . Khi đó nσ là hàm chọn

49. 43
của Γ và công thức n X npr h pσ =   chứng tỏ những tính chất của tính đo
được. Sau cùng, ánh xạ : ( ) { } ( )h t t t∑ → ×Γ là liên tục và lên, do đó ( )nh p t
trù mật trong { } ( )t t×Γ và ( )n tσ trù mật trong ( )tΓ .
Định lý 3.19. Giả sử 1 2vàS S là các không gian Suslin và 1 2: S Sϕ → là ánh
xạ liên tục lên 2S . Khi đó tồn tại ánh xạ 2 1: S Sσ → sao cho ( )s sϕ σ = với
mọi 2s S∈ , và σ đo được đối với σ -trường 2( )s S sinh bởi những tập con
Suslin của 2S và Borel σ -trường trong 1S . Hơn thế nữa, σ là giới hạn của
một dãy hàm 2( )s S đo được với giả thiết chỉ nhận một số hữu hạn giá trị, và
nếu thêm vào giả thiết µ là độ đo Radon trên 2S thì σ là µ -đo được Lusin.
Chứng minh.
Điều này suy ra từ định lý 18 với 2 1,T S X S= = và 1
ϕ−
Γ = . Thật vậy đồ thị
của 1
ϕ−
là đóng (bời vì ϕ liên tục) trong 1 2S S× , do đó Suslin.
Bổ đề 3.20. Cho X là không gian topo và Y X⊂ . Khi đó ( ) ( )Y X Y= ∩ 
(ở đây ta kí hiệu ( ) { / ( )}X Y B Y B X∩ = ∩ ∈  ).
Chứng minh. Ánh xạ nhúng :i Y X→ là liên tục, do đó Borel đo được, và
nếu ( )B X∈ thì 1
( ) ( )i B B Y Y−
= ∩ ∈ . Điều đó chứng tỏ
( ) ( )X Y Y∩ ⊂  . Ngược lại, ( )Y sinh bởi những tập mở của Y . Nhưng với
mọi tập mở U trong Y là giao của Y với một tập mở của X , suy ra
( )U X Y∈ ∩ .
Định nghĩa 3.21. Giả sử ( , )T  là không gian đo được. Nếu µ là một độ đo
dương trên ( , )T  , kí hiệu µ là µ -đầy đủ của  . Và kí hiệu 
µ=   với
tất cả các độ đo dương bị chặn µ .
Những tập thuộc  được gọi là đo được phổ dụng.
Chú ý rằng nếu µ là độ đo σ -hữu hạn thì tồn tại một độ đo bị chặn. Cũng
chú ý rằng nếu nếu µ là độ đo σ -hữu hạn trong ( , )T  thì 
µ µ=  .

50. 44
Định lý 3.22. Cho ( , )T  là không gian đo được và S là không gian Suslin.
Giả sử Γ là hàm đa trị từ T đến các tập con khác rỗng của S , đồ thị G của Γ
chứa trong ( )S⊗  . Khi đó tồn tại dãy ( )nσ những hàm chọn của Γ sao
cho { ( )}n tσ trù mật trong ( )tΓ với mọi t , và nσ đo được đối với ˆ và ( )S .
Hơn thế nữa, ta có thể chọn nσ sao cho: nσ là giới hạn của một dãy hàm ˆ
đo được với giả thiết chỉ nhận một số hữu hạn giá trị, và nếu thêm vào giả thiết
µ là độ đo Radon trong T (nếu T là không gian topo Hausdorff) thì nσ là µ -
đo được Lusin.
Ta sẽ chứng minh định lý 22 và 23 cùng một lúc và trong hai giai đoạn (và
ta sẽ có một chứng minh khác của định lý 23 trong mục 29 và chứng minh
khác của định lý 22 khi Γ nhận giá trị đóng).
Ứng dụng vào hàm (xem thêm định lí 36)
Giả sử ( , )T  là không gian đo được, S là không gian Suslin và :u T S→
là hàm. Xem xét những tính chất dưới đây:
i) đồ thị của u chứa trong ( )S⊗  ,
ii) u là ( , ( ))S  đo được,
iii) u là giới hạn của một dãy hàm  đo được với giả thiết chỉ nhận
một số hữu hạn giá trị,
iv) (chỉ được xem xét nếu T là không gian topo Hausdorff, và µ là
độ đo Radon trên T ) u là µ -đo được Lusin.
Khi đó i⇒ii, i⇒iii, i⇒iv và ii⇒i.
Hơn nữa nếu S là không gian hoàn toàn chính quy thì iii⇒i và iv⇒i.
Chứng minh. i⇒ii, i⇒iii, và i⇒iv suy ra từ định lý 22.
Kí hiệu ( )G u là đồ thị của u , S∆ là đưởng chéo của 2
S , 1S là ánh xạ đồng
nhất trên S , và 1Su × là ánh xạ ( , ) ( ( ), )t x u t x . Khi đó ii ⇒ 1Su × là
( )S⊗  , ( ) ( )S S⊗  đo được, và 2
( ) ( ) ( )S S S S∆ ∈ = ⊗   , và công
thức 1
( ) ( 1 ) ( )S SG u u −
=× ∆ chứng tỏ ii⇒i.

51. 45
Cuối cùng nếu S là hoàn toàn chính quy, do định lý 31 bên dưới tồn, thì tồn
tại một dãy ( )nf những hàm số thực liên tục trên S tách rời những điểm của
S . Công thức ( ) {( , ) / ( ) ( )}n n
n
G u t x T S f x f u t= ∈ × =  cố định. Nhưng một
của những giả thiết iii) và iv) kéo theo nf u là  đo được. Do đó iii⇒i và
iv⇒i.
Định lý 3.23. (Định lý chiếu)
Cho ( , )T  là không gian đo được và S là không gian Suslin. Nếu G thuộc
( )S⊗  thì hình chiếu ( )Tpr G của nó chứa trong  .
Định nghĩa. Một không gian đo được ( , )T  được gọi là tách nếu tồn tại một
dãy ( )nA trong  sinh ra  và nếu những hàm nAχ tách những điểm của T .
Bổ đề 3.24. Cho ( , )T  là không gian đo được. Nếu  sinh bởi họ ( )i i IA ∈ thì
với mọi t
{ / ( ) ( )}i iA A
i
T tθ χ θ χ∈ =
{ / ( ) ( )} { / , }.A A
A
T t A t A Aθ χ θ χ
∈
= ∈ = = ∈ ∈ 


Vì vậy, nếu  tách những điểm của T thì họ ( )i i IA ∈ tách những điểm của T .
Chứng minh. Bất đẳng thức cuối là hiển nhiên. Ta sẽ chứng minh đẳng thức
thứ nhất. Sự bao hàm ⊃ là rõ ràng. Chiều ngược lại, nếu ( ) ( )i iA A t iχ θ χ= ∀ ,
ta xét tập  , tập hợp những tập con B của T sao cho ( ) ( )B B tχ θ χ= . Khi đó
 là σ -trường { ( ) /{ , } { , } }B T t B t T Bθ θ= ∈ ⊂ ∨ ⊂ −  , và chứa tất cả iA .
Vì vậy  chứa  .
Mệnh đề 3.25. Nếu ( , )T  thỏa định nghĩa 24 thì ánh xạ : ( ( ))nA nh t tχ ∈ từ
T đến {0,1}
là một đẳng cấu của không gian đo được giữa T và ( )h T .
Chứng minh. Thứ nhất h là ánh xạ 1-1. Mà ( )nAt tχ là  -đo được, do đó
h là  -đo được. Cần chứng minh nếu A∈ thì ( )h A thuộc ( ( ))h T . Tập
{ ( ) / ( ) ( ( ))}A T h A h T∈ ∈  là một σ -trường. Nó chứa nA bởi vì

52. 46
( ) {( ) {0,1} / 1} ( )n i nh A h Tξ ξ=∈ =
 .
Bổ đề 3.26. 1 1( , )Ω  và 2 2( , )Ω  là các không gian đo được, và 1 2:ϕ Ω → Ω là
ánh xạ đo được. Khi đó nếu µ là độ đo dương bị chặn trên 1Ω , ϕ là
1 2 ( )( , )µ ϕ µ  đo được. Do đó ϕ là  
1 2( , )  đo được. nếu 2Ω là không gian
Suslin và  là σ -trường trên 2Ω sinh bởi những tập con Suslin , thì ϕ là

1( , )  đo được.
Chứng minh.
1) Giả sử 2 ( )B ϕ µ∈ . Khi đó oB B N= ∪ với 2oB ∈ và N là tập ( )ϕ µ không
đáng kể. Khi đó 1 1 1
( ) ( ) ( )oB B Nϕ ϕ ϕ− − −
=  . Nhưng 1
( )Nϕ−
chứa trong một
tập con µ -không đáng kể của 1 bởi vì N được chứa trong một tập con ( )ϕ µ -
không đáng kể của 2 . Vì vậy 1
1( )B µϕ−
∈ .
2) Với mọi µ , 1 1
2 2 ( ) 1( ) ( )ϕ µ µϕ ϕ− −
⊂ ⊂   . Do đó  1
2 1 1( ) µϕ−
⊂ =   .
3) Nếu 2Ω là không gian Suslin thì  chứa trong 
2 , bởi vì mọi độ đo dương
bị chặn ν trong 2Ω là Radon, và với mọi tập con Suslin là ν -đo được.
Chứng minh của định lý 22 và 23 khi ( , )T  là tách.
Bởi mệnh đề 25 ta có thể giả sử T là không gian con của {0,1}E = 
. Kí hiệu
:i T E→ là ánh xạ nhúng.
Nhờ bổ đề 20 ta dễ thấy
( ) ( ( ) ) ( )
[ ( ) ( )] [ ].
S E T S
E S T S
⊗ = ∩ ⊗
= ⊗ ×
   
  
Vì vậy [ ]G G T S′= ∩ × với ( ) ( )G E S′∈ ⊗  .
Mà E là không gian metric hóa được compact, nên G′ là tập con Suslin của
E S× .
1) Ta chứng minh định lý 23. Ta có
1
( ) ( )T E Epr G pr G T i pr G−
′ ′= ∩= .

53. 47
Kết quả được suy ra từ phần cuối của bổ đề 26, bởi vì Epr G′ là Suslin.
2) Ta chứng minh định lý 22. Tập G′ là đồ thị của hàm đa trị ′Γ từ Epr G′ đến
những tập con khác rỗng của S , sao cho ( ) ( )t t t′Γ =Γ ∀ . Định lý 18 áp dụng
vào ′Γ (với , ,ET pr G X S′ ′= = Γ = Γ ). Giả sử nσ′ là hàm chọn thu được. Kí
hiệu : Ej T pr G′→ là ánh xạ nhúng. Đặt n n jσ σ′=  . Do bổ đề 26 j là
( , )  đo được (ta kí hiệu  là σ -trường sinh bởi những tập con Suslin của
Epr G′). Cho nên nσ là ˆ( , ( ))S  đo được và là giới hạn của một dãy những
hàm  -đo được nhận một số hữu hạn giá trị. Ta sẽ chứng minh tính đo được
Lusin trong mục tiếp theo.
Chứng minh cho trường hợp tổng quát.
Thứ nhất tồn tại một σ -trường con đếm được sinh của  , o , sao cho
( )oG S∈ ⊗  (thật vậy, xét tập ℘ tất cả σ -trường con đếm được sinh của
 . Khi đó { ( ) / }S⊗ ∈℘    là σ -trường, do đó nó bằng ( )S⊗  ).
Xác định một quan hệ tương đương  trong T như sau:
, ( ) ( )o A At s A t sχ χ⇔ ∀ ∈ =  . Cho 1 /T T=  và 1:T Tϕ → là ánh xạ chính
tắc. Với mọi oA∈ là hội của các lớp tương đương, vì vậy nếu A B≠ thì
( ) ( )A Bϕ ϕ≠ và nếu A B∩ =∅ thì ( ) ( )A Bϕ ϕ = ∅ . Bởi vậy 1 ( )oϕ=  là
một nhóm trên 1T (bởi vì 1∅∈, hợp của một dãy các phần tử của 1là chứa
trong 1, và 1( ) ( )T A T Aϕ ϕ− = − do ( )T Aϕ − và ( )Aϕ là hai tập rời phủ 1T ).
Vì vậy 1( )oA Aϕ∈ → ∈ là ánh xạ đơn ánh và lên, 1là đếm được sinh. Và
1tách điểm của 1T : thật vậy nếu ( ) ( )t sϕ ϕ≠ thì tồn tại oA∈sao cho
,t A s A∈ ∉ , và khi đó ( ) ( )t Aϕ ϕ∈ và 1( ) ( ) ( )s T A T Aϕ ϕ ϕ∈ − = − . Vì vậy,
nhờ có bổ đề 24, 1 1( , )T là tách.
Bây giờ xét ( )oH S∈ ⊗  . Nó là đồ thị của một hàm đa trị ∑. Ta sẽ
chứng minh t s kéo theo ( ) ( )t s∑ =∑ . Thứ nhất nếu H A B= × thì điều cần
chứng minh đúng bởi vì t và s cùng nằm trong hoặc không cùng nằm trong

54. 48
A. Khi đó tập tất cả ( )H T S∈ × có tính chất ( ) ( )t s t s⇒ ∑ = ∑ là σ -
trường. Do đó nó chứa ( )S⊗ .
Ta sẽ xét hàm đa trị 1Γ từ 1T đến các tập con của S , xác định bởi
1( ( )) ( )t tϕΓ =Γ . Ta sẽ chứng tỏ rằng đồ thị 1G của 1Γ chứa trong 1 ( )S⊗  .
Mọi hàm chọn ψ của hàm đa trị 1
ϕ−
là 1( , )o  đo được, bởi vì nếu oA∈ thì
1
( ) ( )A Aψ ϕ−
= . Mà 1 1 1( ) ( ( ))t tψΓ =Γ ta có
1 1 1 1
1 1
{( , ) / ( )}
{( , ) / ( ( ), ) }
G t x x t
t x t x Gψ
= ∈Γ
= ∈
1
( 1 ) ( )S Gψ −
= × chứa trong 1 ( )S⊗  .
Chứng minh định lý 23.
Ta có 1
1
1( ) ( ( ))T Tpr G pr Gϕ−
= . Bởi mục 27 1 1( )Tpr G chứa trong 
1 .
Do đó ( )Tpr G ∈ do bổ đề 26.
Chứng minh định lý 22.
Áp dụng mục 27 cho 1Γ . Giả sử 1
nσ là hàm chọn đã thu được. Đặt 1
n nσ σ ϕ=  .
Khi đó nσ là hàm chọn của Γ , và với mọi t , { ( )}n tσ trù mật trong ( )tΓ . Và
theo bổ đề 26, nσ ( , ( ))S  đo được và là giới hạn của một dãy những hàm
 đo được nhận hữu hạn giá trị.
Phần còn lại phải chứng minh: nếu T là không gian topo Hausdorff và µ
là một độ đo Radon thì nσ đã chọn được là µ -đo được Lusin. Giả sử P là
không gian Polish và :h P S→ liên tục và lên. Kí hiệu 1 :T h T P T S× × → ×
định bởi ( , ) ( , ( ))t p t h p . Đặt 1
( ) ( ( ))t h t−
∑ = Γ . Khi đó ( )t∑ không rỗng, và
đồ thị của ∑ là 1
(1 ) ( )TH h G−
= × và chứa trong ( )P⊗ . Do đó, bởi những
kết quả trước đó, ∑ là dãy của những hàm chọn đo được nθ sao cho { ( )}n tθ
trù mật trong ( )t∑ . nθ (với giá trị trong P) là µ -đo được Lusin. Vì vậy
n nhσ θ=  cũng là µ -đo được Lusin.

55. 49
Định lý 3.30. Giả sử ( , , )T µ là không gian đo được với µ là độ đo dương
σ -hữu hạn  đẩy đủ, X là không gian metric khả li đầy đủ, và Γ là ánh xạ
từ T đến những tập con đóng khác rỗng của X . Khi đó những tính chất dưới
đây là tương đương
a. ( )U−
Γ ∈ với mọi tập mở U
b. ( , (.))d x Γ là đo được với mọi x X∈
c. Γ nhận một dãy những hàm chọn đo được ( )nσ sao cho
( ) { ( )}nt tσΓ =
d. Đồ thị của Γ , G , chứa trong ( )X⊗
e. ( )B−
Γ ∈ với mọi tập Borel B
f. ( )F−
Γ ∈ với mọi tập đóng F .
Chứng minh.
Do định lý 9 a ⇔ b⇔ c.
Do bổ đề 11 f⇒a, và do bổ đề 13 b⇒d. Mà e⇒f là hiển nhiên, nên ta cần
chứng minh d⇒e. Chú ý rằng µ tương đương với độ đo bị chặn nên áp dụng
định nghĩa 21 ta thu được 
µ⊂ ⊂ =    . Do đó =  . Nhưng
( ) ( [ ])TB pr G T B−
Γ = ∩ × và [ ]G T B∩ × chứa trong ( )X⊗ . Vì vậy
theo định lý 23 thì d⇒e.
3.5. Tính đo được trong không gian Suslin lồi địa phương
Bổ đề 3.31. Cho E là không gian topo Suslin và ( )i i If ∈ là họ những hàm thực
liên tục tách điểm của E (nl, nếu x y≠ thì tồn tại i sao cho ( ) ( )i if x f y≠ ).
Khi đó tồn tại một họ con đếm được ( )i i Df ∈ mà nó vẫn tách điểm của E .
Chứng minh. Họ ( )i i If ∈ tách điểm của E tương đương với
2 1 2
( ) ( )E i i
i I
E f f −
∈
− ∆= × − ∆ 
(trong đó i if f× kí hiệu cho ánh xạ ( , ) ( ( ), ( ))i ix y f x f y và A∆ là đường
chéo trong A A× ). Khi 2
E là Suslin thì tồn tại một không gian Polish P và

56. 50
một ánh xạ liên tục lên 2
:h P E→ . Giả sử 1 2
( ) ( )i i iU f f −
= × − ∆ . iU là tập
mở. Khi đó tồn tại một tập con đếm được của I , D , sao cho
1 1
( ) ( )i i
i D i I
h U h U− −
∈ ∈
=  .
Khi h là ánh xạ lên suy ra
i i
i D i I
U U
∈ ∈
=  .
Vì vậy họ con đếm được ( )i i Df ∈ tách điểm của E .
Bổ đề 3.32. Cho E là không gian lồi địa phương Hausdorff và *
( )ne là dãy
trong *
E tách điểm của E (một dãy như vậy tồn tại nếu E là Suslin). Khi đó
tập hợp gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính với hệ số hữu tỉ của *
ne là tập con đếm
được trù mật của *
E (được trang bị *
( , )E Eτ ).
Chứng minh.
Kí hiệu H là tập được miêu tả trong phát biểu. Cho bất kỳ topo của không
gian vector topo trên *
E , bao đóng của H là không gian vector. Vì vậy nếu
1H là không gian vector sinh bởi *
ne thì 1H H= . Nhưng khi 1H lồi thì bao
đóng của nó đối với *
( , )E Eτ giống như bao đóng của nó đối với *
( , )E Eσ .
Nhưng với *
( , )E Eσ thì *
H E= bởi vì không gian trực giao 1H ⊥
là {0}.
Bổ đề 3.33. Giả sử E là không gian lồi địa phương Hausdorff và *
E đối ngẫu
của nó được trang bị topo Mackey. Cho f là hàm thực sự lồi trên *
E , hữu hạn
và liên tục tại một điểm * *
ox E∈ . Giả sử D là tập con trù mật trong của *
E .
Khi đó * * * *
inf{ ( ) / } inf{ ( ) / }f y y E f x x D∈= ∈ .
Chứng minh.
Bổ đề 3.34. Giả sử E là không gian lồi địa phương Hausdorff, *
( )nx là dãy trù
mật trong *
E đối với topo *
( , )E Eτ , và K là tập con compact địa phương lồi
đóng yếu của E , K không chứa đường thẳng. Khi đó
* * *
{ / , ( )}n n
n
K x E x x x Kδ=∈ ≤

57. 51
Chứng minh.
Đặt *
(. )f Kδ= . Bởi I.15, bổ đề 33 áp dụng cho f với *
{ / }nD x n= ∈ .
Ta có:
* * * * *
* * *
* * *
( ) inf{ ( ) , / }
inf{ ( ) , / }
sup{ , ( ) / }.
n n
n n
x K x K x x x E
x K x x n
x x x K n
δ δ
δ
δ
=− − ∈
=− − ∈
= − ∈


Vì vậy, ( ) 0x K x Kδ∈ ⇔ ≤
* *
, , ( ) 0n nn x x x Kδ⇔ ∀ − ≤ .
Mệnh đề 3.35. Giả sử E là không gian Suslin lồi địa phương, ( , , )T µ là
không gian đo được, Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con compact địa
phương lồi đóng yếu không chứa đường thẳng. Ánh xạ ∑ từ T đến những tập
con đóng lồi của E . Nếu * * * * * *
, ( ( )) ( ( ))x E x t x tδ δ∀ ∈ ∑ ≤ Γ µ hầu khắp nơi
thì ( ) ( )t t∑ ⊂ Γ µ -hầu khắp nơi.
Chứng minh. Do bổ đề 32 tồn tại một dãy *
( )nx trù mật trong *
E được trang bị
*
( , )E Eτ . Với mọi n, ta có * * *
( ) { / , ( ( ))}n nt x E x x x tδ∑ ⊂ ∈ ≤ Γ µ -h.k.n.
Do đó theo bổ đề 34
( ) ( )t t∑ ⊂ Γ µ -h.k.n.
Định lý 3.36. Giả sử ( , )T  là không gian đo được, E là không gian lồi địa
phương Hausdorff, S là tập con Suslin của E và :T Sσ → . Khi đó những
tính chất sau đây là tương đương
a. Với mọi *
x , *
, (.)x σ là  -đo được.
b. σ là giới hạn của dãy hàm  -đo được nhận một số hữu hạn giá trị.
c. Đồ thị của σ chứa trong  ( )E⊗  .
d. σ là ( , ( ))E  -đo được.