VÍ DỤ ÁP DỤNG  Ôn thi Cao h c năm 2010   Môn Gi i tích cơ b n         PGS.TS Lê Hoàn HóaKhoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm...
VÍ DỤ ÁP DỤNGBài1: Giới hạn của dãy số      1. Định nghĩa      2.Định lý cơ bản      3.Các giới hạn cơ bản      4.Ví dụ   ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGBài1: Giới hạn của dãy số      1. Định nghĩa      2.Định lý cơ bản      3.Các giới hạn cơ bản      4.Ví dụ   ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGBài1: Giới hạn của dãy số      1. Định nghĩa      2.Định lý cơ bản      3.Các giới hạn cơ bản      4.Ví dụ   ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGBài1: Giới hạn của dãy số      1. Định nghĩa      2.Định lý cơ bản      3.Các giới hạn cơ bản      4.Ví dụ   ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGBài1: Giới hạn của dãy số      1. Định nghĩa      2.Định lý cơ bản      3.Các giới hạn cơ bản      4.Ví dụ   ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGBài1: Giới hạn của dãy số      1. Định nghĩa      2.Định lý cơ bản      3.Các giới hạn cơ bản      4.Ví dụ   ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG1. Các định nghĩa  Cho (xn )n là dãy số thực. Ta có      Dãy (xn )n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG1. Các định nghĩa  Cho (xn )n là dãy số thực. Ta có      Dãy (xn )n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG1. Các định nghĩa  Cho (xn )n là dãy số thực. Ta có      Dãy (xn )n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG1. Các định nghĩa  Cho (xn )n là dãy số thực. Ta có      Dãy (xn )n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG1. Các định nghĩa  Cho (xn )n là dãy số thực. Ta có      Dãy (xn )n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG2. Các định lý cơ bản    1   Nếu(xn )n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn } thì        lim xn = a. Nếu (...
VÍ DỤ ÁP DỤNG2. Các định lý cơ bản    1   Nếu(xn )n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn } thì        lim xn = a. Nếu (...
VÍ DỤ ÁP DỤNG2. Các định lý cơ bản    1   Nếu(xn )n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn } thì        lim xn = a. Nếu (...
VÍ DỤ ÁP DỤNG2. Các định lý cơ bản    1   Nếu(xn )n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn } thì        lim xn = a. Nếu (...
VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản    1                                 1                          lim       = 0, ∀  0   ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản    1                                 1                          lim       = 0, ∀  0   ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản    1                                 1                          lim       = 0, ∀  0   ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản    1                                 1                          lim       = 0, ∀  0   ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản    1                                 1                          lim       = 0, ∀  0   ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản    1                                 1                          lim       = 0, ∀  0   ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản    5                             np                    lim            = 0, ∀a  0, ∀p  ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản    5                             np                    lim            = 0, ∀a  0, ∀p  ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản    5                             np                    lim            = 0, ∀a  0, ∀p  ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản    5                             np                    lim            = 0, ∀a  0, ∀p  ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản    5                             np                    lim            = 0, ∀a  0, ∀p  ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản    8                                   1                            lim(1 − )n = e −1 ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản    8                                   1                            lim(1 − )n = e −1 ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản    8                                   1                            lim(1 − )n = e −1 ...
VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản    8                                   1                            lim(1 − )n = e −1 ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 1                           a                    a Với a0 cho (xn )n = (1 + n )n , (yn )n = (1 + n )n+1...
VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 1   Giải :  1. Trước tiên ta chứng minh: Với   ≥ −1, (1 + )n ≥ 1 + n, ∀n ∈ N  Bất đẳng thức đúng với n ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 1   Giải :  1. Trước tiên ta chứng minh: Với   ≥ −1, (1 + )n ≥ 1 + n, ∀n ∈ N  Bất đẳng thức đúng với n ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 1   Giải :  1. Trước tiên ta chứng minh: Với   ≥ −1, (1 + )n ≥ 1 + n, ∀n ∈ N  Bất đẳng thức đúng với n ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 1  Tuơng tự :                        a                    (1+ n )n+1           yn          yn+1   =    ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 1  Tuơng tự :                        a                    (1+ n )n+1           yn          yn+1   =    ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 2                                √           √  Cho (xn )n xác định bởi: x1 = 2, xn+1 = 2 + xn , ∀n ∈ N...
VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 2   Giải :  Ta có (xn )n ≥ 0, ∀n ∈ N và               √                  2+x −x 2  xn+1 − xn = 2 + xn −...
VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 2   Giải :  Ta có (xn )n ≥ 0, ∀n ∈ N và               √                  2+x −x 2  xn+1 − xn = 2 + xn −...
VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 2   Giải :  Ta có (xn )n ≥ 0, ∀n ∈ N và               √                  2+x −x 2  xn+1 − xn = 2 + xn −...
VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 2   Giải :  Ta có (xn )n ≥ 0, ∀n ∈ N và               √                  2+x −x 2  xn+1 − xn = 2 + xn −...
VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 3  Tính                                     3n+1 + 2n                               lim                ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 3  Tính                                     3n+1 + 2n                               lim                ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 4           √  Tính lim n an + bn + c n , a, b, c  0.   Giải :  Giả sử a = max{a, b, c}. Ta có :       ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 4           √  Tính lim n an + bn + c n , a, b, c  0.   Giải :  Giả sử a = max{a, b, c}. Ta có :       ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 5            √  Tính lim n n2 .2n + 3n   Giải :             2                                n2  Do lim...
VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 5            √  Tính lim n n2 .2n + 3n   Giải :             2                                n2  Do lim...
VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 6  Tính                                    √︀                             lim sin(     n2 + 1)   Giải :...
VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 6  Tính                                    √︀                             lim sin(     n2 + 1)   Giải :...
VÍ DỤ ÁP DỤNGBÀI TẬP  Tính các giới hạn sau:         √         √   1 lim   n2 + 5 − n2 + 3   2   lim n 2 +1           n   ...
VÍ DỤ ÁP DỤNGBÀI TẬP  Tính các giới hạn sau:                  √   1 Tính lim n( n e − 1)     HD : Dùng thí dụ (1) có bất đ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Thay hoa bài 1

6,259 views

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
6,259
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4,895
Actions
Shares
0
Downloads
45
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Thay hoa bài 1

  1. 1. VÍ DỤ ÁP DỤNG Ôn thi Cao h c năm 2010 Môn Gi i tích cơ b n PGS.TS Lê Hoàn HóaKhoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm TP HCM http://math.hcmup.edu.vn Ngày 16 tháng 12 năm 2009 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  2. 2. VÍ DỤ ÁP DỤNGBài1: Giới hạn của dãy số 1. Định nghĩa 2.Định lý cơ bản 3.Các giới hạn cơ bản 4.Ví dụ PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  3. 3. VÍ DỤ ÁP DỤNGBài1: Giới hạn của dãy số 1. Định nghĩa 2.Định lý cơ bản 3.Các giới hạn cơ bản 4.Ví dụ PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  4. 4. VÍ DỤ ÁP DỤNGBài1: Giới hạn của dãy số 1. Định nghĩa 2.Định lý cơ bản 3.Các giới hạn cơ bản 4.Ví dụ PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  5. 5. VÍ DỤ ÁP DỤNGBài1: Giới hạn của dãy số 1. Định nghĩa 2.Định lý cơ bản 3.Các giới hạn cơ bản 4.Ví dụ PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  6. 6. VÍ DỤ ÁP DỤNGBài1: Giới hạn của dãy số 1. Định nghĩa 2.Định lý cơ bản 3.Các giới hạn cơ bản 4.Ví dụ PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  7. 7. VÍ DỤ ÁP DỤNGBài1: Giới hạn của dãy số 1. Định nghĩa 2.Định lý cơ bản 3.Các giới hạn cơ bản 4.Ví dụ PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  8. 8. VÍ DỤ ÁP DỤNG1. Các định nghĩa Cho (xn )n là dãy số thực. Ta có Dãy (xn )n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệu lim xn = x hay lim xn = xnếu với mọi 0, tồn tại số tự n→∞ nhiên n0 ∈ N sao cho với n ≥ n0 thì |xn − x| . lim xn = x ⇐⇒ ∀ 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn −x| ⇐⇒ lim|xn − x| = 0 Dãy (xn )n tiến ra +∞ (theo thứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn A (theo thứ tự xn A). Dãy (xn )n phân kỳ không có lim xn hoặc lim xn = +∞ hoặc lim xn = −∞. Như vây với một dãy (xn )n chỉ có hai trường hợp : hoặc (xn )n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  9. 9. VÍ DỤ ÁP DỤNG1. Các định nghĩa Cho (xn )n là dãy số thực. Ta có Dãy (xn )n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệu lim xn = x hay lim xn = xnếu với mọi 0, tồn tại số tự n→∞ nhiên n0 ∈ N sao cho với n ≥ n0 thì |xn − x| . lim xn = x ⇐⇒ ∀ 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn −x| ⇐⇒ lim|xn − x| = 0 Dãy (xn )n tiến ra +∞ (theo thứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn A (theo thứ tự xn A). Dãy (xn )n phân kỳ không có lim xn hoặc lim xn = +∞ hoặc lim xn = −∞. Như vây với một dãy (xn )n chỉ có hai trường hợp : hoặc (xn )n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  10. 10. VÍ DỤ ÁP DỤNG1. Các định nghĩa Cho (xn )n là dãy số thực. Ta có Dãy (xn )n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệu lim xn = x hay lim xn = xnếu với mọi 0, tồn tại số tự n→∞ nhiên n0 ∈ N sao cho với n ≥ n0 thì |xn − x| . lim xn = x ⇐⇒ ∀ 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn −x| ⇐⇒ lim|xn − x| = 0 Dãy (xn )n tiến ra +∞ (theo thứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn A (theo thứ tự xn A). Dãy (xn )n phân kỳ không có lim xn hoặc lim xn = +∞ hoặc lim xn = −∞. Như vây với một dãy (xn )n chỉ có hai trường hợp : hoặc (xn )n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  11. 11. VÍ DỤ ÁP DỤNG1. Các định nghĩa Cho (xn )n là dãy số thực. Ta có Dãy (xn )n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệu lim xn = x hay lim xn = xnếu với mọi 0, tồn tại số tự n→∞ nhiên n0 ∈ N sao cho với n ≥ n0 thì |xn − x| . lim xn = x ⇐⇒ ∀ 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn −x| ⇐⇒ lim|xn − x| = 0 Dãy (xn )n tiến ra +∞ (theo thứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn A (theo thứ tự xn A). Dãy (xn )n phân kỳ không có lim xn hoặc lim xn = +∞ hoặc lim xn = −∞. Như vây với một dãy (xn )n chỉ có hai trường hợp : hoặc (xn )n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  12. 12. VÍ DỤ ÁP DỤNG1. Các định nghĩa Cho (xn )n là dãy số thực. Ta có Dãy (xn )n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệu lim xn = x hay lim xn = xnếu với mọi 0, tồn tại số tự n→∞ nhiên n0 ∈ N sao cho với n ≥ n0 thì |xn − x| . lim xn = x ⇐⇒ ∀ 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn −x| ⇐⇒ lim|xn − x| = 0 Dãy (xn )n tiến ra +∞ (theo thứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn A (theo thứ tự xn A). Dãy (xn )n phân kỳ không có lim xn hoặc lim xn = +∞ hoặc lim xn = −∞. Như vây với một dãy (xn )n chỉ có hai trường hợp : hoặc (xn )n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  13. 13. VÍ DỤ ÁP DỤNG2. Các định lý cơ bản 1 Nếu(xn )n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn } thì lim xn = a. Nếu (xn )n là dãy giảm bị chặn dưới và b = inf{xn } thì lim xn = b. 2 Giới hạn kẹp :Giả sử : an ≤ xn ≤ bn , ∀n ≥ n0 và lim an = lim bn = a. Khi đó lim xn = a. 3 Tiêu chuẩn Cauchy : (xn )n hội tụ ⇐⇒ ∀ 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N =⇒ |xn+p − xn | PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  14. 14. VÍ DỤ ÁP DỤNG2. Các định lý cơ bản 1 Nếu(xn )n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn } thì lim xn = a. Nếu (xn )n là dãy giảm bị chặn dưới và b = inf{xn } thì lim xn = b. 2 Giới hạn kẹp :Giả sử : an ≤ xn ≤ bn , ∀n ≥ n0 và lim an = lim bn = a. Khi đó lim xn = a. 3 Tiêu chuẩn Cauchy : (xn )n hội tụ ⇐⇒ ∀ 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N =⇒ |xn+p − xn | PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  15. 15. VÍ DỤ ÁP DỤNG2. Các định lý cơ bản 1 Nếu(xn )n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn } thì lim xn = a. Nếu (xn )n là dãy giảm bị chặn dưới và b = inf{xn } thì lim xn = b. 2 Giới hạn kẹp :Giả sử : an ≤ xn ≤ bn , ∀n ≥ n0 và lim an = lim bn = a. Khi đó lim xn = a. 3 Tiêu chuẩn Cauchy : (xn )n hội tụ ⇐⇒ ∀ 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N =⇒ |xn+p − xn | PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  16. 16. VÍ DỤ ÁP DỤNG2. Các định lý cơ bản 1 Nếu(xn )n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn } thì lim xn = a. Nếu (xn )n là dãy giảm bị chặn dưới và b = inf{xn } thì lim xn = b. 2 Giới hạn kẹp :Giả sử : an ≤ xn ≤ bn , ∀n ≥ n0 và lim an = lim bn = a. Khi đó lim xn = a. 3 Tiêu chuẩn Cauchy : (xn )n hội tụ ⇐⇒ ∀ 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N =⇒ |xn+p − xn | PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  17. 17. VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản 1 1 lim = 0, ∀ 0 n 2 lim q n = 0, ∀q, |q| 1 3 √ n lim a = 1, ∀a 0 4 √ n lim np = 1, ∀p ≥ 0 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  18. 18. VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản 1 1 lim = 0, ∀ 0 n 2 lim q n = 0, ∀q, |q| 1 3 √ n lim a = 1, ∀a 0 4 √ n lim np = 1, ∀p ≥ 0 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  19. 19. VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản 1 1 lim = 0, ∀ 0 n 2 lim q n = 0, ∀q, |q| 1 3 √ n lim a = 1, ∀a 0 4 √ n lim np = 1, ∀p ≥ 0 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  20. 20. VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản 1 1 lim = 0, ∀ 0 n 2 lim q n = 0, ∀q, |q| 1 3 √ n lim a = 1, ∀a 0 4 √ n lim np = 1, ∀p ≥ 0 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  21. 21. VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản 1 1 lim = 0, ∀ 0 n 2 lim q n = 0, ∀q, |q| 1 3 √ n lim a = 1, ∀a 0 4 √ n lim np = 1, ∀p ≥ 0 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  22. 22. VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản 1 1 lim = 0, ∀ 0 n 2 lim q n = 0, ∀q, |q| 1 3 √ n lim a = 1, ∀a 0 4 √ n lim np = 1, ∀p ≥ 0 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  23. 23. VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản 5 np lim = 0, ∀a 0, ∀p (1 + a)n 6 np lim = 0, ∀p en 7 1 lim(1 + )n = e n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  24. 24. VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản 5 np lim = 0, ∀a 0, ∀p (1 + a)n 6 np lim = 0, ∀p en 7 1 lim(1 + )n = e n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  25. 25. VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản 5 np lim = 0, ∀a 0, ∀p (1 + a)n 6 np lim = 0, ∀p en 7 1 lim(1 + )n = e n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  26. 26. VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản 5 np lim = 0, ∀a 0, ∀p (1 + a)n 6 np lim = 0, ∀p en 7 1 lim(1 + )n = e n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  27. 27. VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản 5 np lim = 0, ∀a 0, ∀p (1 + a)n 6 np lim = 0, ∀p en 7 1 lim(1 + )n = e n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  28. 28. VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản 8 1 lim(1 − )n = e −1 n 9 lnp n lim = 0, ∀ 0, ∀p n 10 n lim √ = e n n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  29. 29. VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản 8 1 lim(1 − )n = e −1 n 9 lnp n lim = 0, ∀ 0, ∀p n 10 n lim √ = e n n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  30. 30. VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản 8 1 lim(1 − )n = e −1 n 9 lnp n lim = 0, ∀ 0, ∀p n 10 n lim √ = e n n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  31. 31. VÍ DỤ ÁP DỤNG3. Các giới hạn cơ bản 8 1 lim(1 − )n = e −1 n 9 lnp n lim = 0, ∀ 0, ∀p n 10 n lim √ = e n n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  32. 32. VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 1 a a Với a0 cho (xn )n = (1 + n )n , (yn )n = (1 + n )n+1 n ∈ N 1 Chứng minh (xn )n là dãy tăng, (yn )n là dãy giảm 2 Chứng minh: (xn )n , (yn )n hội tụ và lim xn = lim yn . Đặt lim xn = lim yn =e a PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  33. 33. VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 1 Giải : 1. Trước tiên ta chứng minh: Với ≥ −1, (1 + )n ≥ 1 + n, ∀n ∈ N Bất đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử đúng đến n. Khi đó, do 1 + ≥ 0 : (1 + )n+1 = (1 + )n (1 + ) ≥ (1 + n)(1 + ) = 1 + (n + 1) + 2 ≥ 1 + (n + 1) Ta có , với mọi n ∈ N : a a xn+1 (1+ n+1 )n+1 a 1+ n+1 xn = a (1+ n )n = (1 + n+1 )( 1+ a )n n = (1 + n+1 )[1 − (n+1)(n+a) ]n a a 2 ≥ (1 + n+1 )[1 − (n+1)(n+a) ] = 1+ (n+1)a2 (n+a) a na 1 Vậy (xn )n là dãy tăng PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  34. 34. VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 1 Giải : 1. Trước tiên ta chứng minh: Với ≥ −1, (1 + )n ≥ 1 + n, ∀n ∈ N Bất đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử đúng đến n. Khi đó, do 1 + ≥ 0 : (1 + )n+1 = (1 + )n (1 + ) ≥ (1 + n)(1 + ) = 1 + (n + 1) + 2 ≥ 1 + (n + 1) Ta có , với mọi n ∈ N : a a xn+1 (1+ n+1 )n+1 a 1+ n+1 xn = a (1+ n )n = (1 + n+1 )( 1+ a )n n = (1 + n+1 )[1 − (n+1)(n+a) ]n a a 2 ≥ (1 + n+1 )[1 − (n+1)(n+a) ] = 1+ (n+1)a2 (n+a) a na 1 Vậy (xn )n là dãy tăng PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  35. 35. VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 1 Giải : 1. Trước tiên ta chứng minh: Với ≥ −1, (1 + )n ≥ 1 + n, ∀n ∈ N Bất đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử đúng đến n. Khi đó, do 1 + ≥ 0 : (1 + )n+1 = (1 + )n (1 + ) ≥ (1 + n)(1 + ) = 1 + (n + 1) + 2 ≥ 1 + (n + 1) Ta có , với mọi n ∈ N : a a xn+1 (1+ n+1 )n+1 a 1+ n+1 xn = a (1+ n )n = (1 + n+1 )( 1+ a )n n = (1 + n+1 )[1 − (n+1)(n+a) ]n a a 2 ≥ (1 + n+1 )[1 − (n+1)(n+a) ] = 1+ (n+1)a2 (n+a) a na 1 Vậy (xn )n là dãy tăng PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  36. 36. VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 1 Tuơng tự : a (1+ n )n+1 yn yn+1 = a (1+ n+4 )n+2 = (1 + n+1 )−1 [1 + (1+a+n)n ]n+1 a a a (n+1)a (n+1)a ≥ (1 − a+n+1 )[1 + n(n+a+1) ] ≥ 1 + n(n+1+a)2 1 Vậy (yn )n là dãy giảm. 2. Ta có : (1 + a) = x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ yn ≤ ... ≤ y1 = (1 + a)2 Vậy (xn )n là dãy tăng và bị chăn trên ; (yn )n là dãy giảm và bị a chặn dưới, chúng hội tụ.Đặt lim xn = lim yn = lim(1 + n )n = e a PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  37. 37. VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 1 Tuơng tự : a (1+ n )n+1 yn yn+1 = a (1+ n+4 )n+2 = (1 + n+1 )−1 [1 + (1+a+n)n ]n+1 a a a (n+1)a (n+1)a ≥ (1 − a+n+1 )[1 + n(n+a+1) ] ≥ 1 + n(n+1+a)2 1 Vậy (yn )n là dãy giảm. 2. Ta có : (1 + a) = x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ yn ≤ ... ≤ y1 = (1 + a)2 Vậy (xn )n là dãy tăng và bị chăn trên ; (yn )n là dãy giảm và bị a chặn dưới, chúng hội tụ.Đặt lim xn = lim yn = lim(1 + n )n = e a PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  38. 38. VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 2 √ √ Cho (xn )n xác định bởi: x1 = 2, xn+1 = 2 + xn , ∀n ∈ N. Chứng minh (xn )n là dãy tăng, bị chặn trên. Tính lim xn PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  39. 39. VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 2 Giải : Ta có (xn )n ≥ 0, ∀n ∈ N và √ 2+x −x 2 xn+1 − xn = 2 + xn − xn = √ n n 2+xn +xn 2 2 + xn − xn ≥ 0 ⇔ −2 ≤ xn √ 2, ∀n ∈ N ≤ Bằng quy nạp, ta có (xn ) = 2 2. Giả sử xn ≤ 2. Khi đó √ xn+1 = 2 + xn ≤ 2 Vậy(xn )n là dãy tăng , bị chặn trên nên (xn )n hội tụ. Đặt x = lim xn . √ Từ đẳng thức x( n + 1) = 2 + xn , ∀n ∈ N , cho n → ∞ta √ có:x = 2 + x hay x 2 − x − 2 = 0. Vậy x=2 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  40. 40. VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 2 Giải : Ta có (xn )n ≥ 0, ∀n ∈ N và √ 2+x −x 2 xn+1 − xn = 2 + xn − xn = √ n n 2+xn +xn 2 2 + xn − xn ≥ 0 ⇔ −2 ≤ xn √ 2, ∀n ∈ N ≤ Bằng quy nạp, ta có (xn ) = 2 2. Giả sử xn ≤ 2. Khi đó √ xn+1 = 2 + xn ≤ 2 Vậy(xn )n là dãy tăng , bị chặn trên nên (xn )n hội tụ. Đặt x = lim xn . √ Từ đẳng thức x( n + 1) = 2 + xn , ∀n ∈ N , cho n → ∞ta √ có:x = 2 + x hay x 2 − x − 2 = 0. Vậy x=2 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  41. 41. VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 2 Giải : Ta có (xn )n ≥ 0, ∀n ∈ N và √ 2+x −x 2 xn+1 − xn = 2 + xn − xn = √ n n 2+xn +xn 2 2 + xn − xn ≥ 0 ⇔ −2 ≤ xn √ 2, ∀n ∈ N ≤ Bằng quy nạp, ta có (xn ) = 2 2. Giả sử xn ≤ 2. Khi đó √ xn+1 = 2 + xn ≤ 2 Vậy(xn )n là dãy tăng , bị chặn trên nên (xn )n hội tụ. Đặt x = lim xn . √ Từ đẳng thức x( n + 1) = 2 + xn , ∀n ∈ N , cho n → ∞ta √ có:x = 2 + x hay x 2 − x − 2 = 0. Vậy x=2 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  42. 42. VÍ DỤ ÁP DỤNGVí dụ 2 Giải : Ta có (xn )n ≥ 0, ∀n ∈ N và √ 2+x −x 2 xn+1 − xn = 2 + xn − xn = √ n n 2+xn +xn 2 2 + xn − xn ≥ 0 ⇔ −2 ≤ xn √ 2, ∀n ∈ N ≤ Bằng quy nạp, ta có (xn ) = 2 2. Giả sử xn ≤ 2. Khi đó √ xn+1 = 2 + xn ≤ 2 Vậy(xn )n là dãy tăng , bị chặn trên nên (xn )n hội tụ. Đặt x = lim xn . √ Từ đẳng thức x( n + 1) = 2 + xn , ∀n ∈ N , cho n → ∞ta √ có:x = 2 + x hay x 2 − x − 2 = 0. Vậy x=2 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  43. 43. VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 3 Tính 3n+1 + 2n lim 3n + 2n Giải : 2 3n+1 + 2n 3n+1 [1 + ( 3 )n+1 ] lim = lim =3 3n + 2n 3n [1 + ( 2 )n ] 3 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  44. 44. VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 3 Tính 3n+1 + 2n lim 3n + 2n Giải : 2 3n+1 + 2n 3n+1 [1 + ( 3 )n+1 ] lim = lim =3 3n + 2n 3n [1 + ( 2 )n ] 3 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  45. 45. VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 4 √ Tính lim n an + bn + c n , a, b, c 0. Giải : Giả sử a = max{a, b, c}. Ta có : √︂ √ n b c √ a ≤ a + bn + c n = a 1 + ( )n + ( )n ≤ a 3 n n n a a √ Vậy lim n an + bn + c n = max{a, b, c} PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  46. 46. VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 4 √ Tính lim n an + bn + c n , a, b, c 0. Giải : Giả sử a = max{a, b, c}. Ta có : √︂ √ n b c √ a ≤ a + bn + c n = a 1 + ( )n + ( )n ≤ a 3 n n n a a √ Vậy lim n an + bn + c n = max{a, b, c} PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  47. 47. VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 5 √ Tính lim n n2 .2n + 3n Giải : 2 n2 Do lim ( n )n = 0 nên có n0 sao cho 3 ( 3 )n 1, ∀n ≥ n0 2 2 Với n ≥ n0 , ta có √︃ √︀ n n2 √ n 3 ≤ n2 2n + 3n = 3 n 1 + 3 n ≤ 3 2 (2) Do √ lý giới hạn kẹp định lim n n2 .2n + 3n = 3 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  48. 48. VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 5 √ Tính lim n n2 .2n + 3n Giải : 2 n2 Do lim ( n )n = 0 nên có n0 sao cho 3 ( 3 )n 1, ∀n ≥ n0 2 2 Với n ≥ n0 , ta có √︃ √︀ n n2 √ n 3 ≤ n2 2n + 3n = 3 n 1 + 3 n ≤ 3 2 (2) Do √ lý giới hạn kẹp định lim n n2 .2n + 3n = 3 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  49. 49. VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 6 Tính √︀ lim sin( n2 + 1) Giải : Ta có √ √ 0 ≤ | sin( n2 + 1)| = | sin ( n2 + 1 − n)| = | sin( √n2 +1+n )| ≤ √n2 +1+n √ Vậy lim sin( n2 + 1) = 0 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  50. 50. VÍ DỤ ÁP DỤNGví dụ 6 Tính √︀ lim sin( n2 + 1) Giải : Ta có √ √ 0 ≤ | sin( n2 + 1)| = | sin ( n2 + 1 − n)| = | sin( √n2 +1+n )| ≤ √n2 +1+n √ Vậy lim sin( n2 + 1) = 0 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  51. 51. VÍ DỤ ÁP DỤNGBÀI TẬP Tính các giới hạn sau: √ √ 1 lim n2 + 5 − n2 + 3 2 lim n 2 +1 n sin n n n 3 lim an −bn , ∀a, b 0 a +b 4 lim nq n , |q| 1 2n 2.2...2.2 4 5 lim frac2n n!( HD: n! = 1.2....(n−1).n ≤ n) 2 6 lim n n! n(n+1)(2n+1) 7 Chứng minh : 12 + 22 + ... + n2 = 6 2 2 +...+n2 Tính 1 +2 n3 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học
  52. 52. VÍ DỤ ÁP DỤNGBÀI TẬP Tính các giới hạn sau: √ 1 Tính lim n( n e − 1) HD : Dùng thí dụ (1) có bất đẳng thức : 1 1 (1 + n )n e (1 − n−1 )n , ∀n √ √ 2 Cho (x ) định bởi : x = n n 1 a, xn+1 = a + xn , ∀n(a 0) Xét tính đơn điệu của (xn )n và tính lim xn .(nếu có) √ 3 Tính lim fracn2 n HD: n √ √ = exp[− 2 n n ln 2(1 − √lnln 2 )] n n lnn √ Do lim √n ln 2 = 0 nên lim ln n − n ln 2 = −∞. Suy ra với n mọi A 0, có n0 ∈ N sao cho với n ≥ n0 thì 2 √ n ≤ e −A . Vậy n lim 2√n = 0 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

×