Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Các bổ đề, định lý quan trọng và một số ứng dụng của định lý minimax, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic, cho các bạn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán ứng dụng với đề tài: Điều kiện cực trị và tính chính quy của các nhân tử Lagrange cho bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic, cho các bạn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán ứng dụng với đề tài: Điều kiện cực trị và tính chính quy của các nhân tử Lagrange cho bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Liên hệ page để tải tài liệu
https://www.facebook.com/garmentspace
My Blog: http://congnghemayblog.blogspot.com/
http://congnghemay123.blogspot.com/
Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY –TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ - QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI
Download luận văn thạc sĩ ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài: Giải một lớp các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài: Ứng dụng của phương trình sai phân trong các bài toán phổ thông, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Liên hệ page để tải tài liệu
https://www.facebook.com/garmentspace
My Blog: http://congnghemayblog.blogspot.com/
http://congnghemay123.blogspot.com/
Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY –TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ - QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Một số phương pháp nghiên cứu sự phân nhánh, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số mô hình xác suất trong khoa học máy tính, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Tính giải được của một lớp bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính với pantograph, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Nhóm đồng phôi tôpô và không gian tích của nửa – Hình hộp, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số tiêu chuẩn lựa chọn mô hình, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Một vài tính chất định tính của hàm đa trị và ứng dụng, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Giá 10k/, tài liệu này đang ở dạng xem trước, vui lòng nạp thẻ cào để được xem full tài liệu www.facebook.com/garmentspace www.facebook.com/garmentspace www.facebook.com/garmentspace
Liên hệ page để tải tài liệu
https://www.facebook.com/garmentspace
My Blog: http://congnghemayblog.blogspot.com/
http://congnghemay123.blogspot.com/
Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY –TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ - QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI
Download luận văn thạc sĩ ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài: Giải một lớp các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài: Ứng dụng của phương trình sai phân trong các bài toán phổ thông, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Liên hệ page để tải tài liệu
https://www.facebook.com/garmentspace
My Blog: http://congnghemayblog.blogspot.com/
http://congnghemay123.blogspot.com/
Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY –TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ - QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Một số phương pháp nghiên cứu sự phân nhánh, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số mô hình xác suất trong khoa học máy tính, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Tính giải được của một lớp bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính với pantograph, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Nhóm đồng phôi tôpô và không gian tích của nửa – Hình hộp, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số tiêu chuẩn lựa chọn mô hình, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Một vài tính chất định tính của hàm đa trị và ứng dụng, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Giá 10k/, tài liệu này đang ở dạng xem trước, vui lòng nạp thẻ cào để được xem full tài liệu www.facebook.com/garmentspace www.facebook.com/garmentspace www.facebook.com/garmentspace
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Quy hoạch toàn phương, cho các bạn có thể làm luận văn tham khảo
Download luận án tiến sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn trong không gian hilbert, cho các bạn làm luận án tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành xác xuất và thống kê toán với đề tài: Thuật toán mô phỏng mcmc thích nghi và ứng dụng, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Liên hệ page để tải tài liệu
https://www.facebook.com/garmentspace
My Blog: http://congnghemayblog.blogspot.com/
http://congnghemay123.blogspot.com/
Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY –TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ - QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI – GIÁC SƠ ĐỒ MÃ HÀNG - Công nghệ may,kỹ thuật may dây kéo đồ án công nghệ may, công nghệ may trang phục, thiết kế trang phục, anh văn chuyên ngành may, thiết bị may công
Download luận văn thạc sĩ ngành xác suất và thống kê toán với đề tài: Một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành thống kê toán học với đề tài: Sự hội tụ của các độ đo xác suất và ứng dụng, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Một số vấn đề về thác triển chỉnh hình của hàm nhiều biến phức, cho các bạn làm luận văn tham khảo
200 đề tài khóa luận tốt nghiệp ngành tâm lý học. Cho các bạn có thể tham khảo một số đề tài khóa luận hay. NHẬN VIẾT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP. ZALO/TELEGRAM 0917 193 864
Danh sách 200 đề tài luận văn tốt nghiệp ngành khách sạn,10 điểm. Những đề tài luận văn điểm cao. DỊCH VỤ VIẾT THUÊ LUẬN VĂN THẠC SĨ. ZALO/TELEGRAM 0917 193 864
Danh sách 200 đề tài luận văn thạc sĩ ngữ văn, hay nhất. Các bạn lựa chọn đề tài luận văn thạc sĩ hay nhất nhé. VIẾT THUÊ LUẬN VĂN THẠC SĨ. ZALO/TELEGRAM 0917 193 864
Danh sách 200 đề tài luận văn thạc sĩ quản lý giáo dục mầm non, mới nhất. Những đề tài luận văn thạc sĩ ngành, điểm cao. HỖ TRỢ VIẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ, ZALO/TELEGRAM 0917 193 864
Danh sách 200 đề tài luận văn thạc sĩ quản trị rủi ro, hay nhất. Những đề tài luận văn thạc sĩ điểm cao. NHẬN VIẾT THUÊ LUẬN VĂN THẠC SĨ, ZALO/TELEGRAM 0917 193 864
Danh sách 200 đề tài luận văn thạc sĩ tiêm chủng mở rộng, 10 điểm. Những đề tài luận văn thạc sĩ điểm cao. VIẾT THUÊ LUẬN VĂN THẠC SĨ, ZALO/TELEGRAM 0917 193 864
Kho 200 Đề Tài Luận Văn Ngành Thủy Sản, từ các trường đại học. Chọn lọc những đề tài luận văn tốt nghiệp. VIẾT THUÊ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP. ZALO/TELEGRAM 0917 193 864
Kho 200 đề tài luận văn ngành thương mại điện tử, từ các trường đại học. Chọn các đề tài luận văn tốt nghiệp. DỊCH VỤ VIẾT THUÊ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP, ZALO/TELEGRAM 0917 193 864
Kho 200 đề tài luận văn tốt nghiệp ngành điện tử viễn thông, 9 điểm. Chọn lọc đề tài luận văn điểm cao. VIẾT THUÊ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP, ZALO/TELEGRAM 0917 193 864
Kho 200 Đề Tài Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Giáo Dục Tiểu Học. Những đề tài luận văn tốt nghiệp điểm cao. NHẬN VIẾT LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP, ZALO/TELEGRAM 0917 193 864
Kho 200 Đề Tài Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Xuất Nhập Khẩu. Một số đề tài luận văn tốt nghiệp điểm cao. DỊCH VỤ VIẾT THUÊ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP, ZALO/TELEGRAM 0917 193 864
More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864 (20)
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
:
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
GIÁO TRÌNH 2-TÀI LIỆU SỬA CHỮA BOARD MONO TỦ LẠNH MÁY GIẶT ĐIỀU HÒA.pdf
https://dienlanhbachkhoa.net.vn
Hotline/Zalo: 0338580000
Địa chỉ: Số 108 Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội
GIAO TRINH TRIET HOC MAC - LENIN (Quoc gia).pdfLngHu10
Chương 1
KHÁI LUẬN VỀ TRIẾT HỌC VÀ TRIẾT HỌC MÁC - LÊNIN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức: Trang bị cho sinh viên những tri thức cơ bản về triết học nói chung,
những điều kiện ra đời của triết học Mác - Lênin. Đồng thời, giúp sinh viên nhận thức được
thực chất cuộc cách mạng trong triết học do
C. Mác và Ph. Ăngghen thực hiện và các giai đoạn hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin;
vai trò của triết học Mác - Lênin trong đời sống xã hội và trong thời đại ngày nay.
2. Về kỹ năng: Giúp sinh viên biết vận dụng tri thức đã học làm cơ sở cho việc nhận
thức những nguyên lý cơ bản của triết học Mác - Lênin; biết đấu tranh chống lại những luận
điểm sai trái phủ nhận sự hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin.
3. Về tư tưởng: Giúp sinh viên củng cố niềm tin vào bản chất khoa học và cách mạng
của chủ nghĩa Mác - Lênin nói chung và triết học Mác - Lênin nói riêng.
B. NỘI DUNG
I- TRIẾT HỌC VÀ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TRIẾT HỌC
1. Khái lược về triết học
a) Nguồn gốc của triết học
Là một loại hình nhận thức đặc thù của con người, triết học ra đời ở cả phương Đông và
phương Tây gần như cùng một thời gian (khoảng từ thế kỷ VIII đến thế kỷ VI trước Công
nguyên) tại các trung tâm văn minh lớn của nhân loại thời cổ đại. Ý thức triết học xuất hiện
không ngẫu nhiên, mà có nguồn gốc thực tế từ tồn tại xã hội với một trình độ nhất định của
sự phát triển văn minh, văn hóa và khoa học. Con người, với kỳ vọng được đáp ứng nhu
cầu về nhận thức và hoạt động thực tiễn của mình đã sáng tạo ra những luận thuyết chung
nhất, có tính hệ thống, phản ánh thế giới xung quanh và thế giới của chính con người. Triết
học là dạng tri thức lý luận xuất hiện sớm nhất trong lịch sử các loại hình lý luận của nhân
loại.
Với tư cách là một hình thái ý thức xã hội, triết học có nguồn gốc nhận thức và nguồn
gốc xã hội.
* Nguồn gốc nhận thức
Nhận thức thế giới là một nhu cầu tự nhiên, khách quan của con người. Về mặt lịch
sử, tư duy huyền thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là loại hình triết lý đầu tiên mà con
người dùng để giải thích thế giới bí ẩn xung quanh. Người nguyên thủy kết nối những hiểu
biết rời rạc, mơ hồ, phi lôgích... của mình trong các quan niệm đầy xúc cảm và hoang
tưởng thành những huyền thoại để giải thích mọi hiện tượng. Đỉnh cao của tư duy huyền
thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là kho tàng những câu chuyện thần thoại và những tôn
9
giáo sơ khai như Tô tem giáo, Bái vật giáo, Saman giáo. Thời kỳ triết học ra đời cũng là
thời kỳ suy giảm và thu hẹp phạm vi của các loại hình tư duy huyền thoại và tôn giáo
nguyên thủy. Triết học chính là hình thức tư duy lý luận đầu tiên trong lịch sử tư tưởng
nhân loại thay thế được cho tư duy huyền thoại và tôn giáo.
Trong quá trình sống và cải biến thế giới, từng bước con người có kinh nghiệm và có
tri thức về thế giới. Ban đầu là những tri thức cụ thể, riêng lẻ, cảm tính. Cùng với sự tiến
bộ của sản xuất và đời sống, nhận thức của con người dần dần đạt đến trình độ cao hơn
trong việc giải thích thế giới một cách hệ thống
CÁC BIỆN PHÁP KỸ THUẬT AN TOÀN KHI XÃY RA HỎA HOẠN TRONG.pptxCNGTRC3
Cháy, nổ trong công nghiệp không chỉ gây ra thiệt hại về kinh tế, con người mà còn gây ra bất ổn, mất an ninh quốc gia và trật tự xã hội. Vì vậy phòng chông cháy nổ không chỉ là nhiệm vụ mà còn là trách nhiệm của cơ sở sản xuất, của mổi công dân và của toàn thể xã hội. Để hạn chế các vụ tai nạn do cháy, nổ xảy ra thì chúng ta cần phải đi tìm hiểu nguyên nhân gây ra các vụ cháy nố là như thế nào cũng như phải hiểu rõ các kiến thức cơ bản về nó từ đó chúng ta mới đi tìm ra được các biện pháp hữu hiệu nhất để phòng chống và sử lý sự cố cháy nổ.
Mục tiêu:
- Nêu rõ các nguy cơ xảy ra cháy, nổ trong công nghiệp và đời sống; nguyên nhân và các biện pháp đề phòng phòng;
- Sử dụng được vật liệu và phương tiện vào việc phòng cháy, chữa cháy;
- Thực hiện được việc cấp cứa khẩn cấp khi tai nạn xảy ra;
- Rèn luyện tính kỷ luật, kiên trì, cẩn thận, nghiêm túc, chủ động và tích cực sáng tạo trong học tập.
1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-------------------------
Nguyễn Thị Tuyết Mai
ĐỊNH LÝ MINIMAX VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN BIÊN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-------------------------
Nguyễn Thị Tuyết Mai
ĐỊNH LÝ MINIMAX VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN BIÊN
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS LÊ HOÀN HÓA
Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012
3. LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê
Hoàn Hóa - giảng viên khoa Toán -Tin - Đại học Sư phạm TP HCM. Tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với thầy vì thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo, giúp
đỡ tận tình trong suốt quá trình làm luận văn.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin -Trường Đại học Sư
phạm TPHCM, những người đã cung cấp kiến thức cần thiết trong quá trình
học tập.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong phòng Sau đại học - Đại học Sư phạm
TP HCM đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa
học này.
Cuối cùng, Luận văn sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự ủng hộ,
động viên rất lớn của gia đình và bạn bè. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình
và các bạn Trần Văn Ly, Nguyễn Ngọc Tú,…đã luôn quan tâm, góp ý, giúp
đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2012.
Học viên
Nguyễn Thị Tuyết Mai
4. MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ..................................................Error! Bookmark not defined.
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................3
MỤC LỤC.........................................................................................................4
CÁC KÝ HIỆU .................................................................................................5
MỞ ĐẦU...........................................................................................................6
CHƯƠNG 0 : CÁC ĐỊNH NGHĨA. ................................................................8
0.1 TÔPÔ YẾU.............................................................................................8
0.2 ÁNH XẠ LIPSCHITZ ............................................................................9
0.3 BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER...............................................................9
0.4 ĐIỀU KIỆN PALAIS-SMALE ..............................................................9
0.5 SỰ KHẢ VI CỦA PHIẾM HÀM.........................................................11
0.6 KHÔNG GIAN HÀM...........................................................................13
CHƯƠNG 1 : ĐỊNH LÝ MINIMAX. ...........................................................20
1.1 ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG ĐÈO .....................................................................20
1.2 NGUYÊN LÝ MINIMAX TỔNG QUÁT............................................24
CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG............................................................31
2.1 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH ..................................32
2.2 TỚI HẠN PHI TUYẾN ........................................................................35
2.3 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH ..................................41
KẾT LUẬN.....................................................................................................48
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................49
5. CÁC KÝ HIỆU
Ω: miền của ,N
( ) ( ) {, :p p
L L fµΩ= Ω = Ω → đo được, }, 1
p
f d pµ
Ω
< ∞ ≤ < ∞∫
( )( )
1/
: ,
pp
p
u u x dx
Ω
= ∫
( ) ( ){: :D u C∞
Ω = ∈ Ω suppu là tập compắc của }Ω .
( ) ( ) ( ) ( )1 1,2 1 1,2
0 0, , ,N N N N
H D H D : không gian Sobolev.
*
2 : , 1,2,N=∞ =
( ): 2 / 2 , 3.N N N= − ≥
o
A: tập mở của A.
A: tập đóng của A.
( ),B x r : quả cầu mở với tâm x và bán kính r .
[ ],B x r : quả cầu đóng với tâm x và bán kính r .
Ta định nghĩa: → là hội tụ mạnh; ⇀ là hội tụ yếu.
Cho hàm : Xϕ → và S là tập con của X ta có:
( ){ }
( ){ }
( ) { }
: : ,
: : , ,
, inf , .
d
u X u d
S u X dist u S
dist u S u v v S
δ
ϕ ϕ
δ
=∈ ≤
=∈ ≤
= − ∈
6. MỞ ĐẦU
Toán học là một trong những ngành khoa học cơ bản cổ xưa nhất của nhân
loại. Nó có sức cuốn hút mãnh liệt, đã và đang là niềm đam mê của rất nhiều
thế hệ các nhà khoa học, chứa đựng trong nó là cả một kho tàng vô tận những
bí ẩn cũng như khả năng ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của
cuộc sống. Toán học sử dụng những học thuyết toán, kỹ thuật tính toán, thuật
toán, với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin để giải quyết mọi vấn đề từ kinh
tế, khoa học, kỹ thuật, vật lý đến những vấn đề thuộc về khoa học xã hội và
nhân văn.
Phương trình vi phân phi tuyến cũng góp phần tạo nên những bí ẩn và ứng
dụng đó. Vậy tại sao chúng ta không thử tìm hiểu để thấy được vẻ đẹp của
nó?
Có thể có người nghĩ giải bài toán tuyến tính thì dễ hơn bài toán phi tuyến.
Nhưng dễ hay khó không là vấn đề nếu ta nắm được chìa khóa của bài toán.
Nhiều bài toán phi tuyến trong vật lý và khoa học xã hội đều có thể quy về
tìm những điểm tới hạn của những hàm số (những hàm số thực trên những
không gian khác nhau). Có nhiều điểm mà tại đó một người đi bộ đi xuyên
qua những dãy núi sẽ nhìn về chiều ngang, không thể trèo lên mà cũng không
tụt xuống. Những điểm tới hạn đầu tiên được học là điểm cực đại và điểm cực
tiểu và nhiều hoạt động trong giải tích được dành để tìm những điểm này.
Một bài toán khó hơn là tìm những điểm mà chúng không phải là điểm cực
đại hay cực tiểu. Cho nên từ khi định lý minimax ra đời, nó đã là một công cụ
quan trọng cho những bài toán như vậy và những ứng dụng của nó bao trùm
nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý học, hình học vi phân, kỹ thuật xây dựng, lý
thuyết điều khiển, sinh vật học và kinh tế học.
7. Mục đích của luận văn là trình bày các bổ đề, định lý quan trọng và một số
ứng dụng của định lý minimax trong sự nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài
toán biên ( tham khảo trong [8] ).
Luận văn gồm 3 chương
Chương 0 gồm các khái niệm cơ bản như tôpô yếu, điều kiện Palais-
Smale, đạo hàm Gateaux, đạo hàm Fréchet, không gian hàm, định lý nhúng
Sobolev, định lý nhúng Rellich, bất đẳng thức Poincaré.
Chương 1 gồm định lý đường đèo cho không gian Hilbert, nguyên lý
minimax tổng quát, định lý đường đèo cho không gian Banach, định lý điểm
yên ngựa và định lý liên kết.
Chương 2 gồm ứng dụng định lý đường đèo và định lý liên kết để chứng
minh sự tồn tại nghiệm của 3 bài toán.
8. CHƯƠNG 0 : CÁC ĐỊNH NGHĨA.
0.1 TÔPÔ YẾU
Giả sử X là không gian tuyến tính, X′ là không gian liên hợp đại số của ,X
F là không gian con tuyến tính của X .
Tôpô đầu xác định bởi họ ánh xạ F được kí hiệu là ( ),X Fσ . Đó là tôpô yếu
nhất trên X sao cho các phiếm hàm f F∈ liên tục.
Giả sử X là không gian định chuẩn, *
X là không gian liên hợp của .X Tôpô
( )*
,X Xσ gọi là tôpô yếu trên .X
Họ các tập hợp có dạng
( ) ( ) ( ){ }0 1 0
1
; ,..., , : ,
n
n k k
k
U x f f x X f x f xε ε
=
= ∈ − <
(trong đó { }0 1, ,..., nx X f f∈ là một họ hữu hạn những phần tử của *
,X ε là
một số dương) là một cơ sở của tôpô yếu trên .X
Tôpô yếu trên không gian định chuẩn yếu hơn tôpô xác định bởi chuẩn (được
gọi là tôpô mạnh).
Các khái niệm: tập hợp đóng yếu, compắc yếu,…được hiểu là tập hợp đóng,
compắc,…đối với tôpô yếu. Các khái niệm: tập hợp đóng mạnh, compắc
mạnh,…được hiểu là tập hợp đóng, compắc,…đối với tôpô mạnh.
Dãy phần tử { }nx của X gọi là hội tụ yếu đến phần tử 0x X∈ nếu { }nx hội
tụ đến 0x đối với tôpô yếu ( )*
,X Xσ . Khi đó, ta viết nx ⇀ 0x .
Dãy phần tử { }nx của X gọi là hội tụ mạnh đến 0x X∈ nếu { }nx hội tụ đến
0x đối với tôpô mạnh. Khi đó, ta viết nx ⟶ 0x hoặc 0lim 0n
n
x x
→∞
− =.
Định lý 0.1
9. Giả sử { }nx là dãy phần tử của không gian định chuẩn ,X 0x X∈ . Khi đó:
1) nx ⇀ 0x ⇔ ( ) ( )0lim n
n
f x f x
→∞
= với mọi *
f X∈ .
2) nx ⇀ 0x ⇒ { }nx bị chặn và 0 lim nx x≤ .
Định lý 0.2
Cho các không gian Banach ,X Y và ánh xạ tuyến tính : .A X Y→ Khi đó:
A liên tục ⇔ A liên tục đối với ( ) ( )* *
, , ,X X Y Yσ σ .
0.2 ÁNH XẠ LIPSCHITZ
Cho ( ) ( ), , ,X YX d Y d là hai không gian mêtric. Ánh xạ :A X Y→ được gọi
là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hằng số thực 0k ≥ sao cho với mọi 1 2,x x X∈
thì ( ) ( )1 2 1 2, . ,Y Xd Ax Ax k d x x< . (*)
- Số ( )k A bé nhất thỏa (*) được gọi là hệ số Lipschitz của A.
- Nếu ( ) 1k A < ta nói A là ánh xạ co hệ số ( )k k A= hay A là k -co.
Ánh xạ :A X Y→ được gọi là ánh xạ Lipschitz địa phương nếu với mỗi x
trong X tồn tại một lân cận U của x sao cho A bị thu hẹp đến U là ánh xạ
Lipschitz.
0.3 BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER
Cho
1 1
, , 1p q
f L g L
p q
∈ ∈ + =thì 1
fg L∈ , ta có
.p q
fg d f gµ
Ω
≤∫ với 1 p≤ < ∞.
0.4 ĐIỀU KIỆN PALAIS-SMALE
10. Nhiều bài toán biên tương đương với phương trình
0Au = (1)
trong đó :A X Y→ là ánh xạ giữa hai không gian Banach.
Trong bài toán biến phân, tồn tại hàm số : Xϕ → sao cho A ϕ′= (đạo hàm
Gateaux của ϕ ), nghĩa là
( ) ( )
0
, lim
t
u tv u
Au v
t
ϕ ϕ
→
+ −
= .
Không gian Y tương ứng chính là không gian đối ngẫu X′ của X và phương
trình (1) tương đương với ( ) 0uϕ′ = , nghĩa là
( ), 0u vϕ′ = , v X∀ ∈ . (2)
Một điểm tới hạn của ϕ là một nghiệm u của (2) và giá trị của ϕ tại u là
một giá trị tới hạn của ϕ . Làm thế nào để tìm những giá trị tới hạn?
Khi ϕ bị chặn dưới, cận dưới đúng
: inf
X
c ϕ=
là một ứng cử tự nhiên. Nguyên lý biến phân Ekeland [4] dẫn đến sự tồn tại
của một dãy ( )nu sao cho
( )nu cϕ → , ( ) 0nuϕ′ → .
Một dãy như vậy được gọi là một dãy Palais-Smale tại mức .c Phiếm hàm ϕ
được gọi là thỏa điều kiện ( )c
PS nếu mọi dãy Palais-Smale tại mức c chứa
một dãy con hội tụ. Nếu ϕ bị chặn dưới và thỏa điều kiện ( )c
PS tại mức
: inf
X
c ϕ= thì c là một giá trị tới hạn của ϕ .
Theo Ambrosetti và Rabinowitz, ta xét trường hợp khi ϕ có cực tiểu địa
phương tại 0 nhưng không là cực tiểu toàn cục. Khi đó tồn tại 0r > và e X∈
sao cho e r> và
11. ( ) ( ) ( )inf 0
u r
u eϕ ϕ ϕ
=
> ≥ .
Điểm ( )( )0, 0ϕ tách biệt ( )( ),e eϕ bởi một “vòng núi”. Nếu ta xét tập hợp Γ
các đường nối 0 và e thì
[ ]
( )( )0,1
: inf max
t
c t
γ
ϕ γ
∈Γ ∈
=
cũng là một ứng cử tự nhiên. Lần nữa nguyên lý biến phân Ekeland dẫn đến
sự tồn tại của một dãy ( )nu sao cho
( )nu cϕ → , ( ) 0nuϕ′ → ,
Nhưng c tổng quát không là một giá trị tới hạn của ϕ .
0.5 SỰ KHẢ VI CỦA PHIẾM HÀM
Định nghĩa 0.1
Cho U là một tập con mở trong không gian Banach .X Phiếm hàm
: Xϕ → có đạo hàm Gateaux f X′∈ tại u U∈ nếu với mọi ,h X∈
( ) ( )0
1
lim , 0
t
u th u f th
t
ϕ ϕ
→
+ − − = .
Ký hiệu: ( ),f th f th=
Đạo hàm Gateaux của ϕ tại u ghi là ( ).uϕ′
Phiếm hàm ϕ có đạo hàm Fréchet f X′∈ tại u U∈ nếu
( ) ( )0
1
lim , 0
h
u h u f h
h
ϕ ϕ
→
+ − − = .
Phiếm hàm ϕ thuộc ( )1
,C U nếu đạo hàm Fréchet của ϕ tồn tại và liên tục
trên .U
Nếu X là không gian Hilbert và phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux tại
,u U∈ gradient của ϕ tại u được định bởi
12. ( )( ) ( ), : ,u h u hϕ ϕ′∇ =
Ghi chú 0.1
a) Đạo hàm Gateaux được cho bởi
( ) ( ) ( )0
1
, : lim
t
u h u th u
t
ϕ ϕ ϕ
→
′ = + −
b) Đạo hàm Frechet là đạo hàm Gateaux.
c) Nếu phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux liên tục thì ( )1
,C Uϕ ∈ .
Định nghĩa 0.2
Cho ( )1
, .C Uϕ ∈ Phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux bậc hai ( ),L X X′∈
tại u U∈ nếu với mọi , ,h v X∈
( ) ( )0
1
lim , 0
t
u th u Lth v
t
ϕ ϕ
→
′ ′+ − − =.
Đạo hàm Gateaux bậc hai tại u ghi là ( ).uϕ′′
Phiếm hàm ϕ có đạo hàm Fréchet bậc hai ( ),L X X′∈ tại u U∈ nếu
( ) ( )0
1
lim 0
h
u h u Lh
h
ϕ ϕ
→
′ ′+ − − = .
Phiếm hàm ϕ thuộc ( )2
,C U nếu đạo hàm Fréchet bậc hai của ϕ tồn tại và
liên tục trên U .
Ghi chú 0.2
a) Đạo hàm Gateaux bậc hai được cho bởi
( ) ( ) ( )0
1
, : lim ,
t
u h v u th u v
t
ϕ ϕ ϕ
→
′′ ′ ′= + −
b) Đạo hàm Fréchet bậc hai cũng là đạo hàm Gateaux bậc hai.
c) Nếu phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux bậc hai liên tục thì
( )2
,C Uϕ ∈ .
13. 0.6 KHÔNG GIAN HÀM
Định nghĩa 0.3
Không gian ( ) ( ) ( ){ }1 2 2
: :N N N
H u L u L= ∈ ∇ ∈ .
Với tích vô hướng
( ) [ ]1
, : .
N
u v u v uv= ∇ ∇ +∫
và chuẩn tương ứng
1
2
2 2
1
N
u u u
= ∇ +
∫
là một không gian Hilbert.
Cho Ω là tập mở trong .N
Không gian ( )1
0H Ω là bao đóng của ( )D Ω trong
( )1
.N
H
Cho 3N ≥ và ( )*
2 : 2 / 2N N= − .
Không gian ( ) ( ) ( ){ }*
1,2 2 2
: : .N N N
D u L u L= ∈ ∇ ∈
Với tích vô hướng
( )2
, : .
N
u v u v= ∇ ∇∫
và chuẩn tương ứng
1
2
2
2
N
u u
= ∇
∫
là một không gian Hilbert. Không gian ( )1,2
0D Ω là bao đóng của ( )D Ω trong
( )1,2
.N
D
Ta có kết quả sau
14. Định lý 0.3 (Định lý nhúng Sobolev)
Các phép nhúng sau đây liên tục:
( ) ( )1 N p N
H L⊂ , 2 , 1,2p N≤ < ∞ = ,
( ) ( )1 N p N
H L⊂ , *
2 2 , 3p N≤ ≤ ≥ ,
( ) ( )
*
1,2 2N N
D L⊂ , 3N ≥ .
Đặc biệt, bất đẳng thức Sobolev thỏa mãn
( )1,2
*2
2
2
1
: inf 0N
u D
u
S u
∈
=
= ∇ >
.
Định lý 0.4 (Định lý nhúng Rellich)
Nếu Ω bị chặn, phép nhúng sau compắc
( ) ( )1
0
p
H LΩ ⊂ Ω , *
1 2p≤ < .
Hệ quả 0.1 (Bất đẳng thức Poincaré)
Nếu Ω bị chặn thì bất đẳng thức sau thỏa mãn
( ) ( )1
0
2
2
1 2
1
: inf 0
u H
u
uλ
∈ Ω
=
Ω= ∇ > .
Bổ đề
Giả sử Ω bị chặn, 1 , ,p r≤ < ∞ ( )f C∈ Ω× và ( ) ( )/
, 1
p r
f x u c u≤ + .
Khi đó, với mọi ( )p
u L∈ Ω thì ( ) ( )., r
f u L∈ Ω và toán tử
( ) ( ) ( ): : ,p r
A L L u f x uΩ → Ω liên tục.
Chứng minh bổ đề
1) Giả sử ( )p
u L∈ Ω .
Do ( ) ( ) ( )
/ 1
, 1
rr p rr
f x u c u L≤ + ∈ Ω nên suy ra ( ) ( )., r
f u L∈ Ω .
15. 2) Giả sử nu u→ trong ( )P
L Ω . Xét dãy con ( )nv của ( )nu . Khi đó, giả sử
( ) ( )nv x u x→ hầu khắp nơi trên Ω . Tồn tại dãy con ( )nω của ( )nv sao cho:
1
1
, 1
2
j j jp
jω ω+ − ≤ ∀ ≥ .
Xác định ( ) ( ) ( ) ( )1 1
1
: j j
j
g x x x xω ω ω
∞
+
=
= + −∑ .
Khi đó, g hầu khắp nơi trên Ω, ( ) ( )n x g xω ≤ và như vậy ( ) ( )u x g x≤ .
Do ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , ,
rr
n nf x f x u f x f x uω ω− ≤ +
( ) ( ) ( ) ( )
/ / / 1
1 1 2 1 .
r rp r p r p rr r
nc c u c g Lω ≤ + + + ≤ + ∈ Ω
Từ định lý hội tụ bị chặn Lebesgue suy ra: nA Auω → trong ( )r
L Ω .
Vậy nAu Au→ trong ( )r
L Ω .
Bổ đề được chứng minh.
Mệnh đề
Cho Ω là tập mở trong N
và 2 p< < ∞ .
Phiếm hàm
( ):
p
u uψ
Ω
= ∫ , ( ):
p
u uχ +
Ω
= ∫ thuộc lớp ( )( )2
,p
C L Ω và
( )
2
,
p
u h p u uhψ
−
Ω
′ = ∫ , ( ) ( )
1
,
p
u h p u hχ
−
+
Ω
′ = ∫ .
Chứng minh
Xác định ( )
2
:
p
f u p u u
−
= . Giả sử nu u→ trong p
L . Theo bổ đề trên suy ra
( ) ( )nf u f u→ trong ( )q
L Ω với ( ): / 1q p p= − .
* Tồn tại đạo hàm Gateaux
Ta chỉ xét hàm ψ , hàm χ được chứng minh tương tự.
16. Cho , p
u h L∈ . Với x∈Ω và 0 1t< < . Do định lý giá trị trung bình trong
tích phân cho hàm số ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 : . .
p
g s p u x s h x h x
−
= + liên tục trên [ ]0,t , tồn
tại ( )0,1λ ∈ sao cho
( ) ( )1 1
0
.
t
g s ds t g λ=∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
. .
p p p
u x t h x u x tp u x h x h xλ
−
⇒ + − = +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1.
.
p p
pu x t h x u x
p u x h x h x
t
λ
−+ −
⇒ =+
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
.
.
p p
p
u x t h x u x
p u x h x h x
t
λ
−
+ −
⇒ =+
( ) ( ) ( )
1p
p u x h x h x
−
≤ +
Bất đẳng thức Holder suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
p
u x h x h x L
−
+ ∈ Ω
Từ định lý Lebesgue suy ra
( )
2
,
p
u h p u uhψ
−
Ω
′ = ∫ .
* Tính liên tục của đạo hàm Gateaux
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ), , ,n nu u h u h u hψ ψ ψ ψ′ ′ ′ ′− = −
2 2p p
n np u u h p u uh
− −
Ω Ω
= −∫ ∫
( )2 2p p
n np u u p u u h
− −
Ω
= −∫
( ) ( )nf u f u h
Ω
= − ∫
Do đó ta có:
17. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),n n nu u h f u f u h f u f u hψ ψ
Ω Ω
′ ′ − ≤ − ≤ − ∫ ∫
Áp dụng bất đẳng thức Holder với ( ), / 1p q p p= − ta được:
( ) ( ) ( ) ( ), .n n pq
u u h f u f u hψ ψ′ ′− ≤ −
Và như vậy:
( ) ( ) ( ) ( ) 0, .n n q
u u f u f u nψ ψ′ ′− ≤ − → → ∞
* Tồn tại đạo hàm Gateaux bậc hai
Cho ( ), , p
u h v L∈ Ω . Với x∈Ω và 0 1t< < .
Ta có:
( ) ( ) ( )0
1
, lim ,
t
u h v u th u v
t
ϕ ϕ ϕ
→
′′ ′ ′= + −
Xét ( ) ( ) ( ) ( ), , ,u th u v u th v u vϕ ϕ ϕ ϕ′ ′ ′ ′+ − = + −
( )
2 2p p
p u th u th v p u uv
− −
Ω Ω
= + + −∫ ∫
( )
2 2p p
p u th u th p u u v
− −
Ω
= + + −
∫
( ) ( )f u th f u v
Ω
= + − ∫
Do định lý giá trị trung bình trong tích phân cho hàm số
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 : 1 . .
p
g s p p u x s h x v x
−
= − + liên tục trên [ ]0,t , tồn tại ( )0,1λ ∈
sao cho
Do đó
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
pf u x th x f u x v x
p p u x h x v x
t
λ
−
+ −
= − +
( ) ( )2 2
0
. .
t
g s ds t g λ=∫
18. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
p
p p u x h x h x v x
−
≤ − +
Bất đẳng thức Holder suy ra
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
p
u x h x h x v x L
−
+ ∈ Ω .
Từ định lý Lebesgue suy ra
( ) ( )
2
, 1
p
u h v p p u hvψ
−
Ω
′′ = − ∫ .
* Tính liên tục của đạo hàm Gateaux bậc hai
Xác định ( ) ( )
2
: 1
p
g u p p u
−
= − .
Giả sử nu u→ trong p
L . Từ bổ đề trên ta có: ( ) ( )ng u g u→ trong r
L với
( ): / 2r p p= − .
Ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( ), , ,n nu u h v u h v u h vψ ψ ψ ψ′′ ′′ ′′ ′′− = −
( ) ( )
2 2
1 1
p p
np p u hv p p u hv
− −
Ω Ω
= − − −∫ ∫
( ) ( )( )2 2
1 1
p p
np p u p p u hv
− −
Ω
= − − −∫
( ) ( )ng u g u hv
Ω
= − ∫
Do đó ta có
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ),n n nu u h v g u g u hv g u g u hvψ ψ
Ω Ω
′′ ′′ − = − ≤ − ∫ ∫
Áp dụng bất đẳng thức Holder với ( ), / 2p r p p= − ta được:
( ) ( )( ) ( ) ( ),n n p pr
u u h v g u g u h vψ ψ′′ ′′− ≤ − ,
Và như vậy
( ) ( ) ( ) ( ) 0, .n n r
u u g u g u nψ ψ′′ ′′− ≤ − → → ∞
Mệnh đề được chứng minh.
19. Hệ quả 0.2
a) Cho 2 p< < ∞ nếu 1,2N = và *
2 2p< ≤ nếu 3N ≥ . Phiếm hàm ψ và
χ thuộc lớp ( )( )2 1
0 ,C H Ω .
b) Cho 3N ≥ và *
2p = . Phiếm hàm ψ và χ thuộc lớp ( )( )2 1,2
0 ,C D Ω .
Chứng minh
Kết quả suy trực tiếp từ định lý Sobolev.
20. CHƯƠNG 1 : ĐỊNH LÝ MINIMAX.
1.1 ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG ĐÈO
1.1.1 Bổ đề biến đổi số lượng
Ta sẽ chứng minh trường hợp đơn giản của bổ đề biến đổi số lượng. Trường
hợp tổng quát sẽ chứng minh sau.
Ta định nghĩa: ](( )1
,d
dϕ ϕ−
= −∞ .
Bổ đề 1.1
Cho X là không gian Hilbert, ( )2
, , , 0C X cϕ ε∈ ∈ > . Giả sử
[ ]( )( ) ( )1
2 , 2 : 2 .u c c uϕ ε ε ϕ ε−
′∀ ∈ − + ≥
Khi đó, tồn tại ( ),C X Xη ∈ sao cho
(i) ( ) [ ]( )1
, 2 , 2u u u c cη ϕ ε ε−
= ∀ ∉ − + ,
(ii) ( )c cε ε
η ϕ ϕ+ −
⊂ .
Chứng minh
Ta định nghĩa:
[ ]( )1
: 2 , 2A c cϕ ε ε−
= − + ,
[ ]( )1
: ,B c cϕ ε ε−
= − + ,
( ) ( ) ( ) ( )( )
1
: , , ,u dist u X A dist u X A dist u Bψ
−
= + .
Như vậy ψ liên tục Lipschitz địa phương, 1ψ = trên B và 0ψ = trên X A.
Ta định nghĩa trường vectơ liên tục Lipschitz địa phương
( ) ( ) ( ) ( )
2
:f u u u uψ ϕ ϕ
−
=− ∇ ∇ , u A∈ ,
: 0= , u X A∈ ,
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2f u u u uψ ϕ ϕ ε
− − −
= ∇ ≤ ∇ ≤ trên X .
21. Với mỗi u X∈ , bài toán Cauchy
( ) ( )( )
( )
, ,
0,
d
t u f t u
dt
u u
σ σ
σ
=
=
có duy nhất nghiệm ( ).,uσ xác định trên . Hơn nữa, σ liên tục trên .X×
Ánh xạ η xác định trên X bởi ( ) ( ): 2 ,u uη σ ε= thỏa (i) vì
( )( ) ( )( ) ( ), , , ,
d d
t u t u t u
dt dt
ϕ σ ϕ σ σ
= ∇
(3)
( )( ) ( )( )( ), , ,t u f t uϕ σ σ= ∇
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )2
, , , , ,t u t u t u t uϕ σ ψ σ ϕ σ ϕ σ
−
=∇ − ∇ ∇
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
2
, , , , ,t u t u t u t uψ σ ϕ σ ϕ σ ϕ σ
−
=− ∇ ∇ ∇
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2
, , . ,t u t u t uψ σ ϕ σ ϕ σ
−
=− ∇ ∇
( )( ),t uψ σ= −
( )( ).,uϕ σ không giảm. Lấy c
u ε
ϕ +
∈ . Nếu tồn tại [ ]0,2t ε∈ sao cho
( )( ),t u cϕ σ ε< − thì ( )( )2 ,u cϕ σ ε ε< − và (ii) được thỏa mãn. Nếu
( ) [ ]( ) [ ]1
, , , 0,2t u c c tσ ϕ ε ε ε−
∈ − + ∀ ∈ ,
Từ (3) ta được
( )( ) ( ) ( )( )
2
0
2 , ,
d
u u t u dt
dt
ε
ϕ σ ε ϕ ϕ σ= + ∫
( ) ( )( )
2
0
,u t u dt
ε
ϕ ψ σ= − ∫
2c cε ε ε≤ + − = −
Bổ đề được chứng minh.
22. 1.1.2 Định lý đường đèo
Định lý đường đèo là định lý đơn giản nhất và thường dùng nhất trong định lý
minimax.
Định lý 1.1
Cho X là không gian Hilbert, ( )2
, ,C X e Xϕ ∈ ∈ và 0r > sao cho e r>
và
( ) ( ) ( ): inf 0
u r
b u eϕ ϕ ϕ
=
= > ≥ . (4)
Khi đó, với mỗi 0ε > , tồn tại u X∈ sao cho
a) ( )2 2c u cε ϕ ε− ≤ ≤ + ,
b) ( ) 2uϕ ε′ < ,
trong đó
[ ]
( )( )0,1
: inf max
t
c t
γ
ϕ γ
∈Γ ∈
= và [ ]( ) ( ) ( ){ }: 0,1 , : 0 0, 1C X eγ γ γΓ= ∈ = = .
Chứng minh
Từ giả thiết (4) suy ra
[ ]
( )( )0,1
max
t
b tϕ γ
∈
≤ .
Và như vậy
[ ]
( )0,1
max
t
b c teϕ
∈
≤ ≤ .
Giả sử với 0ε > , kết luận của định lý không thỏa mãn là ( ) 2 .uϕ ε′ ≥ Ta có
thể giả sử:
( ) ( )2 0c eε ϕ ϕ− > ≥ (5)
Từ định nghĩa của c , tồn tại γ ∈Γ sao cho
[ ]
( )( )0,1
max
t
t cϕ γ ε
∈
≤ + .(6)
Xét : ,β η γ= trong đó η cho bởi bổ đề 1.1.
Dùng (i) trong bổ đề 1.1 và (5), ta có:
23. ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0β η γ η= = = .
Và tương tự ( ) ( )( ) ( )1 1 e eβ η γ η= = = , như vậy β ∈Γ .
Dùng (ii) trong bổ đề 1.1 và (6), ta có:
[ ]
( )( )0,1
max
t
c t cϕ β ε
∈
≤ ≤ − .
Mâu thuẫn.
Định lý được chứng minh.
Để chứng minh c là giá trị tới hạn của ,ϕ ta cần điều kiện compắc sau
Định nghĩa 1.1 (Brezis-Coron-Nirenberg, 1980)
Cho X là không gian Banach, ( )1
,C Xϕ ∈ và c∈ . Hàm số ϕ thỏa mãn
điều kiện ( )c
PS nếu với mọi dãy ( )nu X⊂ sao cho
( ) ( ), 0n nu c uϕ ϕ′→ → (7)
có một dãy con hội tụ.
Định lý 1.2 (Ambrosetti-Rabinowitz, 1973)
Với các giả thiết trong Định lý 1.1, nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( )c
PS thì c là
giá trị tới hạn của ϕ .
Chứng minh
Từ Định lý 1.1 suy ra tồn tại dãy ( )nu X⊂ sao cho
( ) ( ), 0n nu c uϕ ϕ′→ →
Từ điều kiện ( )c
PS , ( )nu có một dãy con hội tụ về u X∈ .
Khi đó, ( )u cϕ = và ( ) 0uϕ′ = .
Vậy c là giá trị tới hạn của ϕ .
Thí dụ (Brezis-Nirenberg, 1991)
Với các giả thiết trong Định lý 1.1 tổng quát, c không là giá trị tới hạn của ϕ .
Ta định nghĩa ( )2
,Cϕ ∞
∈ bởi
24. ( ) ( )
32 2
, : 1x y x x yϕ = + −
Khi đó, ϕ thỏa mãn các giả thiết trong Định lý 1.1. Nhưng chỉ có 0 là giá trị
tới hạn của ϕ .
1.2 NGUYÊN LÝ MINIMAX TỔNG QUÁT
Phần này ta chỉ chứng minh nguyên lý Minimax tổng quát.
1.2.1 Bổ đề biến đổi số lượng
Định nghĩa 1.2
Cho M là không gian Mêtric, X là không gian định chuẩn và
{ }: 0h M X′→ là ánh xạ liên tục. Một trường vectơ giả gradient
(pseudogradient) của h trên M là một trường vectơ liên tục Lipschitz địa
phương :g M X→ sao cho với mọi u M∈ ,
( ) ( )2g u h u≤ , ( ) ( ) ( )
2
,h u g u h u≥ .
Bổ đề 1.2
Với các giả thiết của định nghĩa trên, tồn tại một trường vectơ giả gradient
của h trên M .
Chứng minh
Với mỗi v M∈ , tồn tại x X∈ sao cho 1x = và ( ) ( )
2
,
3
h v x h v> .
Xác định ( )
3
:
2
y h v x= do đó
( ) ( ) ( )
3 3
. 2
2 2
y h v x h v h v= = < và
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
23 3 3 2
, , , .
2 2 2 3
h v y h v h v x h v h v x h v h v h v= = > =
Vì h liên tục nên tồn tại lân cận mở vN của v sao cho
( )2y h u≤ , ( ) ( )
2
,h u y h u≥ , (8)
25. với mọi vu N∈ . Họ 𝒩 { }: :vN v X= ∈ là một phủ mở của M . Vì M là không
gian Mêtric, do đó paracompắc, tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương ℳ
{ }: :iM i I= ∈ của M mịn hơn 𝒩. Với mỗi i I∈ , tồn tại v M∈ sao cho
i vM N⊂ . Do đó tồn tại iy y= sao cho (8) thỏa mãn với mọi iu M∈ . Định
nghĩa trên ,M
( ) ( )
( )
( )
( )
: ,
:
i i
i
i
i I j
j I
u dist u X M
u
g u y
u
ρ
ρ
ρ∈
∈
=
= ∑
∑
Khi đó, kiểm tra được g là trường vectơ giả gradient của h trên .M
Vì ( )
( )
( )
( )
( )
( )2i i
i i i
i I i Ij j
j I j I
u u
g u y y y h u
u u
ρ ρ
ρ ρ∈ ∈
∈ ∈
= = ≤ ≤∑ ∑
∑ ∑
và
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
, , ,i i
i i
i I i Ij j
j I j I
u u
h u g u h u y h u y h u
u u
ρ ρ
ρ ρ∈ ∈
∈ ∈
= = ≥∑ ∑
∑ ∑
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.3
Cho X là không gian Banach, ( )1
, , , , , 0C X S X cϕ ε δ∈ ⊂ ∈ > sao
cho
[ ]( )( ) ( )1
2
8
2 , 2 :u c c S uδ
ε
ϕ ε ε ϕ
δ
−
′∀ ∈ − + ∩ ≥ . (9)
Khi đó, tồn tại [ ]( )0,1 ,C X Xη ∈ × sao cho
(i) ( ),t u uη = nếu 0t = hoặc nếu [ ]( )1
22 , 2u c c S δϕ ε ε−
∉ − + ∩ ,
(ii) ( )1, c c
Sε ε
η ϕ ϕ+ −
∩ ⊂ ,
(iii) ( ),.tη là đồng phôi của X , [ ]0,1t∀ ∈ ,
26. (iv) ( ) [ ], , , 0,1t u u u X tη δ− ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ ,
(v) ( )( ).,uϕ η không giãn, u X∀ ∈ ,
(vi) ( )( ) [ ], , , 0,1c
t u c u S tδϕ η ϕ< ∀ ∈ ∩ ∀ ∈ .
trong đó ( ){ } ](1
: , , ,r
S x X dist x S rδ δ ϕ ϕ−
= ∈ < = −∞ .
Chứng minh
Do bổ đề 1.2, tồn tại một trường vectơ giả gradient g của ϕ′ trên
( ){ }: : 0M u X uϕ′=∈ ≠ .
Ta định nghĩa
[ ]( )1
2: 2 , 2A c c S δϕ ε ε−
= − + ∩ ,
[ ]( )1
: ,B c c Sδϕ ε ε−
= − + ∩ ,
( ) ( ) ( ) ( )( )
1
: , , ,u dist u X A dist u X A dist u Bψ
−
= +
Như vậy ψ là hàm liên tục Lipschitz địa phương, 1ψ = trên B và 0ψ = trên
X A.
Ta định nghĩa trường vectơ liên tục Lipschitz địa phương
( ) ( ) ( ) ( )
2
:f u u g u g uψ
−
= − , u A∈ ,
: 0= , u X A∈ ,
Theo định nghĩa và giả thiết (9), ( ) / 8f u δ ε≤ trên X .
Với mỗi ,u X∈ bài toán Cauchy
( ) ( )( )
( )
, ,
0,
d
t u f t u
dt
u u
σ σ
σ
=
=
có duy nhất nghiệm ( ).,uσ xác định trên . Hơn nữa, σ liên tục trên X× .
Ánh xạ η xác định trên [ ]0,1 X× bởi ( ) ( ), : 8 , .t u t uη σ ε=
27. Suy từ định nghĩa và giả thiết (9), 0t ≥ ,
( ) ( )( ) ( )( )
0 0
, , ,
8
t t
t
t u u f u d f u d
δ
σ σ τ τ σ τ τ
ε
−= ≤ ≤∫ ∫ (10)
( )( ) ( )( ) ( ), , , ,
d d
t u t u t u
dt dt
ϕ σ ϕ σ σ′= (11)
( )( ) ( )( ), , ,t u f t uϕ σ σ′=
( )( ),
4
t uψ σ
≤ −
Vậy ta kiểm tra được (i), (iii), (v) và (vi).
Cho c
u Sε
ϕ +
∈ ∩ . Nếu tồn tại [ ]0,8t ε∈ sao cho ( )( ),t u cϕ σ ε< − thì
( )( )8 ,u cϕ σ ε ε< − và (ii) được thỏa mãn. Nếu
( ) [ ]( ) [ ]1
, , , 0,8t u c c tσ ϕ ε ε ε−
∈ − + ∀ ∈ ,
Từ (10) và (11) ta được
( )( ) ( ) ( )( )
8
0
8 , ,
d
u u t u dt
dt
ε
ϕ σ ε ϕ ϕ σ= + ∫
( ) ( )( )
8
0
1
,
4
u t u dt
ε
ϕ ψ σ= − ∫
2c cε ε ε≤ + − = −
và (ii) cũng được thỏa mãn.
Bổ đề được chứng minh.
1.2.2 Nguyên lý minimax tổng quát
Định lý 1.3
Cho X là không gian Banach. Cho 0M là không gian con đóng của không gian
Mêtric M và ( )0 0,C M XΓ ⊂ . Định nghĩa
( ){ }0
0: , : M
C M Xγ γΓ= ∈ ∈Γ .
28. Nếu ( )1
,C Xϕ ∈ thỏa mãn
( )( ) ( )( )
0 0 0
0: inf sup : sup sup
u M u M
c u a u
γ γ
ϕ γ ϕ γ
∈Γ ∈ ∈Γ ∈
∞ >= >= (12)
Khi đó, với mỗi ( )( )0, / 2 , 0c aε δ∈ − > và γ ∈Γ sao cho
sup
M
cϕ γ ε≤ + , (13)
tồn tại u X∈ sao cho
a) ( )2 2c u cε ϕ ε− ≤ ≤ + ,
b) ( )( ), 2dist u Mγ δ≤ ,
c) ( )
8
u
ε
ϕ
δ
′ ≤ .
Chứng minh
Giả sử giả thiết sai. Tức là ( )
8
.u
ε
ϕ
δ
′ > Áp dụng bổ đề 1.3 với ( ):S Mγ=
Ta thừa nhận:
2c aε− > (14)
Xác định ( ) ( )( ): 1,u uβ η γ= . Với mỗi 0u M∈ , từ (14) ta được :
( ) ( )( ) ( )0 01,u u uβ η γ γ= = .
Do đó: β ∈Γ .
Theo đó từ (13) ta có:
( )( ) ( )( )( )sup sup 1,
u M u M
u u cϕ β ϕ η γ ε
∈ ∈
= ≤ − ,
Mâu thuẫn với định nghĩa của c .
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.4
Với điều kiện (12) trong định lý 1.3, thì tồn tại một dãy con ( )nu X⊂ thỏa
mãn
29. ( ) ( ), 0n nu c uϕ ϕ′→ → .
Đặc biệt, nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( )c
PS thì c là giá trị tới hạn của ϕ .
Ta cho 3 thí dụ trong đó điều kiện (12) được thỏa mãn.
Định lý đường đèo (Mountain pass Theorem, Ambrosetti-Rabinowitz,
1973)
Cho X là không gian Banach, ( )1
, ,C X e Xϕ ∈ ∈ và 0r > sao cho e r>
và
( ) ( ) ( ): inf 0
u r
b u eϕ ϕ ϕ
=
= > ≥ .
Nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( )c
PS với
[ ]
( )( )0,1
: inf max ,
t
c t
γ
ϕ γ
∈Γ ∈
=
[ ]( ) ( ) ( ){ }: 0,1 , : 0 0, 1C X eγ γ γΓ= ∈ = = ,
thì c là giá trị tới hạn của ϕ .
Chứng minh
Áp dụng định lý 1.3 với [ ] { } { } ( )0 0 0 00,1 , 0,1 , , 0 0M M γ γ= = Γ= = và
( )0 1 eγ = .
Định lý điểm yên ngựa (hay điểm đèo) (Saddle-point Theorem,
Rabinowitz, 1978)
Cho X Y Z= ⊕ là không gian Banach với dimY < ∞.
Với 0ρ > , định nghĩa
{ } { }0: : , : :M u Y u M u Y uρ ρ=∈ ≤ =∈ =.
Cho ( )1
,C Xϕ ∈ sao cho
0
: inf : max
Z M
b aϕ ϕ= > = .
Nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( )c
PS với
30. ( )( ): inf max ,
u M
c u
γ
ϕ γ
∈Γ ∈
=
( ){ }0
: , : ,M
C M X idγ γΓ= ∈ =
thì c là giá trị tới hạn củaϕ .
Chứng minh
Để áp dụng định lý 1.4, ta chỉ cần kiểm tra c b≥ . Ta khẳng định rằng, với
mỗi ( ), M Zγ γ φ∈Γ ∩ ≠ . Thật vậy, đặt P là phép chiếu trên Y sao cho
{ }0PZ = . Nếu ( )M Zγ φ∩ =thì ánh xạ biến
( )
( )
P u
u
P u
ρ γ
γ
là phép co rút từ quả cầu M trên biên 0M . Điều này không thể vì dimY < ∞
(do tính bất biến qua đồng luân của bậc tôpô trên không gian hữu hạn chiều).
Như vậy, với mọi ,γ ∈Γ ta được :
max inf
ZM
bϕ γ ϕ≥ = .
Suy ra: c b≥ .
Định lý được chứng minh.
Định lý liên kết ( Linking Theorem, Rabinowitz, 1978)
Cho X Y Z= ⊕ là không gian Banach với dimY < ∞. Cho 0rρ > > và cho
z Z∈ sao cho z r= . Định nghĩa:
{ }: : , 0, ,M u y z u y Yλ ρ λ= =+ ≤ ≥ ∈
{0 : : ,M u y z y Y uλ ρ==+ ∈ =và 0λ ≥ hoặc u ρ≤ và }0λ = .
{ }: :N u Z u r=∈ =.
Cho ( )1
,C Xϕ ∈ sao cho
0
: inf : max
N M
b aϕ ϕ= > = .
31. Nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( )c
PS với
( )( ): inf max ,
u M
c u
γ
ϕ γ
∈Γ ∈
=
( ){ }0
: , : ,M
C M X idγ γΓ= ∈ =
thì c là giá trị tới hạn của ϕ .
Chứng minh
Để áp dụng định lý 1.4, ta chỉ cần kiểm tra c b≥ . Ta khẳng định rằng, với
mỗi ( ), M Nγ γ φ∈Γ ∩ ≠ . Thật vậy, đặt P là phép chiếu trên Y sao cho
{ }0PZ = và R là phép co rút từ { }Y z z⊕ trên 0M . Nếu ( )M Nγ φ∩ =
thì ánh xạ biến
( ) ( ) ( )( )1
1u R P u P u r zγ γ −
+ −
là phép co rút từ quả cầu M vào 0M . Điều này không thể do M đồng phôi
với quả cầu mở trong không gian hữu hạn chiều.
Như vậy, với mọi ,γ ∈Γ ta được:
max inf
NM
bϕ γ ϕ≥ = .
Suy ra : c b≥ .
Định lý được chứng minh.
CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG.
Ta áp dụng một số định lý minimax cơ bản với bài toán mẫu
( )
( )
2
1
0
p
u u u u
P
u H
λ
−
−∆ + =
∈ Ω
hoặc với một số biến thể.
32. Cho ( )1
0: Hϕ Ω → xác định bởi
( )
2 2
:
2 2
p
u uu
u dx
p
λ
ϕ
Ω
∇
= + −
∫ .
Vì ( ), .
p
u v u v uv u uv dxϕ λ
Ω
′ = ∇ ∇ + −
∫ nên điểm tới hạn của ϕ là nghiệm
yếu của ( )P .
2.1 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH
Ta khảo sát lớp bài toán
( )
( )
2
1 1
00,
p
u u u u
P
u u H
λ
−
−∆ + =
≥ ∈ Ω
trong đó Ω là một miền của N
.
Kết quả như sau:
Định lý 2.1
Giả sử Ω bị chặn và *
2 2p< < . Khi đó bài toán ( )1P có một nghiệm không
tầm thường nếu và chỉ nếu ( )1λ λ> − Ω (trong đó ( )1 0λ Ω > là giá trị riêng bé
nhất của −∆ trong ( )1
0H Ω ).
Chứng minh
* Điều kiện cần:
Giả sử u là một nghiệm không tầm thường của ( )1P . Đặt 1
1 0e H∈ là một vectơ
riêng của −∆ ứng với ( )1 1λ λ= Ω với 1 0e > trên Ω. Ta có:
( )1
1 1 1 1 1
p
ue u u e ue ueλ λ−
Ω Ω Ω Ω
= + ∆ > ∆ = −∫ ∫ ∫ ∫ .
Như vậy : 1.λ λ> −
* Điều kiện đủ:
33. Giả sử 1λ λ> − . Như vậy { }1 1: 1 min 0, / 0c λ λ=+ > . Trên 1
0H , do bất đẳng
thức Poincaré, ta có
2 2 2
12 2 2
u u c uλ∇ + ≥ ∇
Trên 1
0H ta chọn chuẩn
2 2
2 2
u u uλ= ∇ + .
Định nghĩa: ( ) ( )
1
:
p
f u u
−+
= và ( )
( ):
p
u
F u
p
+
= .
Do hệ quả, ta có phiếm hàm
( ) ( )
2 2
:
2 2
u u
u F uϕ λ
Ω
∇
= + −
∫
thuộc lớp ( )2 1
0,C H . Ta sẽ kiểm tra các giả thiết của định lý đường đèo.
Điều kiện ( )c
PS suy ra từ bổ đề sau:
Bổ đề 2.1
Với giả thiết *
2 2p< < như trong định lý 2.1, nếu 1λ λ> − , mọi dãy
( ) 1
0nu H⊂ sao cho
( ) ( ): sup , 0,n n
n
d u uϕ ϕ′= < ∞ →
thì dãy ( )nu chứa một dãy con hội tụ.
Chứng minh
1) Với n đủ lớn, ta có:
( ) ( )
1
1 ,n n n nd u u u u
p
ϕ ϕ′+ + ≥ −
( )2 2 2
2 2
1 1 1 1
2 2
n n nu u u
p p
λ
= − ∇ + = −
34. Suy ra ( )nu bị chặn.
2) Nếu cần ta sẽ dùng dãy con, ta có thể giả sử nu ⇀u trong 1
0H . Do định lý
Rellich, nu u→ trong p
L . Từ bổ đề (chương 0) suy ra: ( ) ( )nf u f u→ trong
q
L với ( ): / 1q p p= − . Nhận xét rằng
( ) ( )( )2 2
,
p
u u u u uϕ λ +
Ω
′ = ∇ + −∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
,n n n n nu u u u u u f u f u u uϕ ϕ
Ω
′ ′ −= − − + − − ∫
Rõ ràng
( ) ( ), 0,n nu u u u nϕ ϕ′ ′− − → → ∞.
Từ bất đẳng thức Holder suy ra
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 0,n n n n pq
f u f u u u f u f u u u n
Ω
− − ≤ − − → → ∞ ∫ .
Như vậy, ta chứng minh được: 0,nu u n− → → ∞ .
Chứng minh điều kiện đủ:
Do định Sobolev, tồn tại 2 0c > sao cho, trên 1
0H ,
2p
u c u≤ .
Như vậy ta được
( )
2 2 21 1 1
2 2
p
p p
p
c
u u u u u
p p
ϕ ≥ − ≥ − .
Và tồn tại 0r > sao cho
( ) ( ): inf 0 0
u r
b uϕ ϕ
=
= >= .
Cho 1
0u H∈ với 0u > trên Ω. Với 0t ≥ , ta có:
( ) ( )
2
2 2
2 2
2
p
p
p
t t
tu u u u
p
ϕ λ= ∇ + − ,
35. Do 2p > , tồn tại :e tu= sao cho e r> và ( ) 0eϕ ≤ .
Do định lý đường đèo nên ϕ có một giá trị tới hạn dương và bài toán:
( )
( )1
0
u u f u
u H
λ−∆ + =
∈ Ω
có một nghiệm không tầm thường u . Nhân phương trình với u−
và tích phân
trên Ω ta được:
2 2 2
2 2
0 u u uλ− − −
=∇ + = .
Như vậy, 0u−
= và u là một nghiệm của bài toán ( )1P .
Định lý được chứng minh.
2.2 TỚI HẠN PHI TUYẾN
Lần này đề cập đến bài toán:
( )
( )
*
2 2
2
1
00,
u u u u
P
u u H
λ
−−∆ + =
≥ ∈ Ω
trong đó Ω là một miền bị chặn của N
, 3N ≥ và ( ) ( )1 1( 0λ λ λ≥ − Ω Ω > là
giá trị riêng bé nhất của −∆ trong ( )1
0H Ω ).
Định nghĩa: ( ) ( )
*
2 1
:f u u
−+
= và ( )
( )
*
2
*
:
2
u
F u
+
= .
Do hệ quả, ta có phiếm hàm :
( ) ( )
2 2
:
2 2
u u
u F u dxϕ λ
Ω
∇
= + −
∫
thuộc lớp ( )( )2 1
0 ,C H Ω .
Trên ( )1
0 ,H Ω ta chọn chuẩn
36. 2 2
2 2
:u u uλ= ∇ + .
Bổ đề 2.2 (Brézis-Lieb, 1983)
Cho Ω là tập mở của N
và ( ) ( ), 1p
nu L p⊂ Ω ≤ < ∞. Giả sử :
a) ( )nu bị chặn trong ( )p
L Ω ,
b) nu u→ hầu khắp nơi trênΩ,
Khi đó: ( )lim
p p p
n n pp pn
u u u u
→∞
− − = .
Chứng minh
Bổ đề Fatou’s đưa đến:
lim np p
u u≤ < ∞.
Cố định 0ε > . Tồn tại ( )c ε sao cho, với mọi ,a b∈có:
( )
p p p p
a b a a c bε ε+ − ≤ + .
Như vậy ta được:
( ) ( )( ): 1
p p pp p
n n n nf u u u u u u c uε
ε ε
+
= − − − − − ≤ + .
Do định lý Lebesgue,
0,nf nε
Ω
→ → ∞∫ .
Do
p p pp
n n n nu u u u f u uε
ε− − − ≤ + − nên ta được:
lim
p p p
n n
n
u u u u cε
Ω→∞
− − − ≤∫
trong đó : sup
p
n p
n
c u u= − < ∞ .
Cho 0ε → .
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.3
37. Cho dãy ( ) ( )1
0nu H⊂ Ω sao cho
( ) ( )
/2
*
: sup : , 0,
N
n n
n
S
d u c u
N
ϕ ϕ′= <= →
trong đó do bất đẳng thức Sobolev có
( )1,2
*2
2
2
1
: inf N
u D
u
S u
∈
=
= ∇
.
Khi đó, dãy ( )nu chứa dãy con hội tụ.
Chứng minh
Như trong chứng minh bổ đề 2.1, dãy ( )nu bị chặn. Để thiết lập dãy con hội
tụ, ta giả sử
nu ⇀u trong ( )1
0H Ω ,
nu u→ trong ( )2
L Ω ,
nu u→ hầu khắp nơi trên Ω .
Do ( )nu bị chặn trong ( )
*
2
,L Ω ( )( )nf u bị chặn trong ( )
( )2 / 2N N
L
+
Ω và như
vậy
( )nf u ⇀ ( )f u trong ( )
( )2 / 2N N
L
+
Ω .
Suy ra: ( )u u f uλ−∆ + = và
( ) ( )
*
*
2
2
* 2
1 1
0.
2 2 2
u
u F u uϕ +
Ω
=− =− ≥
∫ (15)
Đặt :n nv u u= − . Bổ đề Brezis-Lieb dẫn đến:
( ) ( ) ( ) ( )1n nF u F u F v o
Ω Ω Ω
= + +∫ ∫ ∫ .
Giả sử ( )nu c dϕ → ≤ , ta được:
( ) ( )
2
2
n
n
v
u F v cϕ
Ω
+ − →∫ . (16)
Do ( ), 0n nu uϕ′ → , ta nhận được:
38. ( ) ( ) ( )
2 2* *
2 2 , 0n nv F v F u u u uϕ
Ω Ω
′− → − =− =∫ ∫ .
Hơn nữa, ta có thể giả sử:
( )
2 *
, 2n nv b F v b
Ω
→ →∫ ,
Do 0nv → trong ( )2
L Ω suy ra:
2
2nv b∇ → . Do bất đẳng thức Sobolev ta có:
*
22
2 2n nv S v+
∇ ≥ .
Và như vậy
*
2/2
b Sb≥ .
Suy ra: 0b = hoặc /2N
b S≥ .
Nếu 0b = phần chứng minh hoàn tất.
Giả sử /2N
b S≥ , từ (15) và (16) suy ra:
* /2 *
* *
1 1 1 1
2 2 2 2
N
c S b c d c
= − ≤ − ≤ ≤ <
.
Mâu thuẫn.
Bổ đề được chứng minh.
Định lý 2.2 (Brézis-Nirenberg, 1983)
Cho Ω là miền bị chặn của , 4N
N ≥ . Nếu ( )1 0λ λ− Ω < < thì bài toán ( )2P
có một nghiệm không tầm thường.
Chứng minh
1)Áp dụng định lý đường đèo với một giá trị *
c c< .
Theo bổ đề tiếp sau, tồn tại hàm không âm { }1
0 0v H∈ sao cho
*
2
2
2
v
S
v
< .
Ta được: ( )
( )*
**
/22 2
2 2 /2
2 22 *
*0 0
/
0 max max
2 2
N
N
t t
v vt t S
tv v v c
N N
ϕ
≥ ≥
< = − = <=
∫
39. 2) Do ( )
* *
* *
2 2
2 2
* 2 2* 2 /2
1 1
2 2 2 2
u u
u u u
S
ϕ ≥ − ≥ − ∇ ,
Tồn tại 0r > sao cho
( ) ( )inf 0 0
u r
b uϕ ϕ
=
= >= .
Tồn tại 0 0t > sao cho 0t v r> và ( )0 0t vϕ < . Từ bước 1 suy ra
[ ]
( ) *
0
0,1
max .
t
tt v cϕ
∈
<
Theo bổ đề 2.3 và định lý đường đèo, ϕ có một giá trị tới hạn ( )*
,c b c∈ và
bài toán
( )
( )1
0
u u f u
u H
λ−∆ + =
∈ Ω
có một nghiệm không tầm thường u . Nhân phương trình với u−
và tích phân
trên Ω ta được
2 2 2
2 2
0 u u uλ− − −
=∇ + = .
Như vậy, 0u−
= và u là một nghiệm của bài toán ( )2P .
Định lý được chứng minh.
Bổ đề 2.4
Với các điều kiện của định lý 2.2, tồn tại một hàm không âm { }1
0 0v H∈ sao
cho
*
2
2
2
v
S
v
< .
Chứng minh
Ta có thể giả sử 0∈Ω. Lấy ( )Dψ ∈ Ω là một hàm không âm sao cho 1ψ ≡
trên ( )0, , 0B ρ ρ > và 0ε > , định nghĩa
40. ( ) ( )
( )2 /2
: / ,
N
U x U xε ε ε−
=
( ) ( ) ( ):u x x U xε εψ= .
Định lý Aubin-Talenti khẳng định:
( )
( )
( )
( )
2 /4
2 /22
2
:
1
N
N
N N
U x
x
−
−
− =
+
là đánh giá tốt nhất choS .
Suy ra:
*
*
2 2 /2
2 2
N
U U Sε ε∇ = = .
Cho 0 ,ε +
→ ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
* *
2 2 2 /2 2
2 2 /2
2 2 2
0,
,
,
N
N
N N N
N N N
N
B
u U O S O
u U O S O
u U O
ε ε
ε ε
ε ε
ρ
ε ε
ε ε
ε
− −
Ω
Ω
−
Ω
∇ = ∇ + = +
= + = +
= +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 22 2
2
2 22 2
0,
2 2
2 2
2 2
2 2
ln , 4
, 5
N N
N
N N
B x
N
N N N N
O
x
d O N
d O N
ε ε ρ
ε ε
ε
ε
ε ε ε
ε ε
− −
−
− −
< <
−
− − ≥ + +
+ =
=
+ ≥
∫ ∫
trong đó d là hằng số dương. Nếu 4N = , ta được
( )
( )
( )
*
2 2 2 2
2 1 2
2 1/2
2 4
2
ln
ln ,
S d Ou
S d S O S
u S O
ε
λ ε ε ε
λ ε ε ε
ε
−
+ +
≤ =+ + <
+
với 0ε > đủ nhỏ.
Tương tự, nếu 5N ≥ , ta được
( )
( )
( )
( )*
*
2 /2 2 2
2 /22 2
2 2/2
/2
2
,
N N
N N
N N
S d Ou
S d S O S
u S O
ε
ε
λ ε ε
λ ε ε
ε
−
− −
+ +
≤ =+ + <
+
41. với 0ε > đủ nhỏ.
Cho 0ε → , bổ đề được chứng minh.
2.3 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH
Định lý liên kết được áp dụng cho bài toán:
( )
( ) ( )
( )
3 1
0
,u a x u f x u
P
u H
−∆ + =
∈ Ω
trong đó Ω là một miền của N
và ( )/2N
a L∈ Ω nếu 3N ≥ .
Bổ đề 2.5
Nếu 3N ≥ và ( )/2N
a L∈ Ω , phiếm hàm
( ) ( )1,2 2
0: :D u a x u dxχ
Ω
Ω → → ∫ liên tục yếu.
Chứng minh
Phiếm hàm χ được xác định bởi bất đẳng thức Sobolev và Holder.
Giả sử nu ⇀u trong 1,2
0D và xét dãy con bất kỳ ( )nv của ( )nu .
Do nv u→ trong 2
locL . Ta có thể giả sử nv u→ hầu khắp nơi trên Ω.
Do ( )nv bị chặn trong
*
2
,L ( )2
n
v bị chặn trong ( )/ 2N N
L
−
.
Như vậy 2
n
v ⇀ 2
u trong ( )/ 2N N
L
−
và như vậy :
( ) ( )2 2
na x v dx a x u dx
Ω Ω
→∫ ∫ .
Như vậy χ liên tục yếu.
Bổ đề 2.6
Nếu Ω bị chặn, 3N ≥ và ( )/2N
a L∈ Ω thì
( )
( )( )1
0
2
2 2
1
1
: inf
u H
u
u a x u dxλ
∈ Ω
Ω=
= ∇ + > −∞∫ .
42. Chứng minh
Xét dãy cực tiểu ( ) 1
0nu H⊂ thỏa mãn
( )
122
2
1
1, n
n
n
u
u
u
χ
λ
+
∇= → .
Ta có thể giả sử nu ⇀u trong 1
0H . Từ định lý Rellich và bổ đề 2.5 suy ra
( ) ( )
2 2
22
,n nu u u uχ χ→ → .
Do 1 , 0uλ < +∞ ≠ . Ta được:
( )
2
2
1 2
2
u u
u
χ
λ
∇ +
≥ .
Vậy 1λ > −∞.
Bổ đề được chứng minh.
Cho 1 2 1.... 0 ...n nλ λ λ λ +< ≤ ≤ ≤ < ≤ là dãy các giá trị riêng của
( )
( )1
0
u a x u u
u H
λ−∆ + =
∈ Ω
trong đó mỗi giá trị riêng được lập lại ứng với số bội của nó.
Cho 1 2 3, , ,...e e e là những vectơ riêng trực chuẩn tương ứng trong ( )2
L Ω .
Bổ đề 2.7
Dưới các giả thiết của bổ đề 2.6, nếu:
( )
( ){ }
1
1
0
: ,..., ,
: : 0, ,
nY span e e
Z u H uv v Y
Ω
=
= ∈ Ω = ∈∫
thì ( )( )
2
2 2
1
: inf 0
u Z
u
u a x u dxδ
∈
Ω∇ =
= ∇ + >∫ .
Chứng minh
43. Từ định nghĩa, trên Z , ta có:
( )2 2 2
1nu au uλ +∇ + ≥∫ ∫ .
Xem dãy làm cực tiểu ( )nu Z⊂ sao cho
2
1nu∇ =, ( )1 nuχ δ+ → .
Ta có thể giả sử nu ⇀u trong 1
0H . Theo bổ đề 2.5 suy ra
( ) ( )
2
2
11 nu u u uδ χ χ λ +=+ ≥ ∇ + ≥∫ ∫ .
Nếu 0, 1u δ= = và nếu 2
10, 0nu uδ λ +
Ω
≠ ≥ >∫ .
Bổ đề được chứng minh.
Bây giờ xét phiếm hàm
( ) ( ): ,u F x u dxψ
Ω
= ∫ ,
trong đó ( ) ( )
0
, : ,
u
F x u f x s ds= ∫ .
Bổ đề 2.8
Giả sử Ω bị chặn, ( )f C∈ Ω× và ( ) ( )1
, 1
p
f x u c u
−
≤ + với 1 p< < ∞ nếu
1,2N = và *
1 2p< ≤ nếu 3N ≥ . Khi đó phiếm hàm ψ thuộc lớp
( )( )1 1
0 ,C H Ω và ( ) ( ), ,u h f x u hdxψ
Ω
′ = ∫ .
Chứng minh
* Tồn tại đạo hàm Gateaux
Cho 1
0,u h H∈ . Với x∈Ω và 0 1t< < . Do định lý giá trị trung bình trong
tích phân, tồn tại ( )0,1λ ∈ sao cho
44. ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
, ,
,
F x u x th x F x u x
f x u x h x h x
t
λ
+ −
= +
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
1 1 11
1 1 2
p p pp
c u x h x h x c u x h x h x
− − −−
≤ + + ≤ + +
Bất đẳng thức Holder suy ra
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
1 11 1
1 2
p pp
u x h x h x L
− −−
+ + ∈ Ω .
Từ định lý Lebesgue suy ra
( ) ( ), ,u h f x u hdxψ
Ω
′ = ∫ .
* Tính liên tục của đạo hàm Gateaux
Giả sử nu u→ trong 1
0H . Do định lý nhúng Sobolev, nu u→ trong p
L .
Từ bổ đề suy ra: ( ) ( ), ,nf x u f x u→ trong q
L với ( ): / 1q p p= − .
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ), , ,n nu u h u h u hψ ψ ψ ψ′ ′ ′ ′− = −
( ) ( ), ,nf x u hdx f x u hdx
Ω Ω
= −∫ ∫
( ) ( )( ), ,nf x u f x u hdx
Ω
= −∫
Do đó ta có
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ), , , , ,n n nu u h f x u f x u hdx f x u f x u hdxψ ψ
Ω Ω
′ ′− = − ≤ −∫ ∫
Áp dụng bất đẳng thức Holder với ( ), / 1p q p p= − ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
, , , . , ,n n p npq q
u u h f x u f x u h c f x u f x u hψ ψ′ ′− ≤ − ≤ −
Và như vậy: ( ) ( ) ( ) ( ), , 0, .n p n q
u u c f x u f x u nψ ψ′ ′− ≤ − → → ∞
Bổ đề được chứng minh.
Ta sẽ chứng minh dưới điều kiện hạn chế hơn, phiếm hàm
45. ( )
( )
( )
2 2
: ,
2 2
u a x u
u F x u dxϕ
Ω
∇
= + −
∫
thỏa mãn điều kiện ( )c
PS với mọi c∈.
Bổ đề 2.9
Giả sử Ω bị chặn và
( )1f ( )/2N
a L∈ Ω nếu ( )3, , 1q
N a L q≥ ∈ Ω > nếu 2N = và ( )1
a L∈ Ω nếu
1N = , ( )f C∈ Ω× và với ( ) ( )1*
1 2 , 0, , 1
p
p c f x u c u
−
< < > ≤ + .
( )2f tồn tại 2α > và 0R > sao cho ( ) ( )0 , ,u R F x u uf x uα≥ ⇒ < ≤ .
Khi đó, mọi dãy ( ) ( )1
0nu H⊂ Ω sao cho ( ) ( ): sup , 0n n
n
d u uϕ ϕ′= < ∞ → đều
chứa một dãy con hội tụ.
Chứng minh
1) Xét trường hợp 3N ≥ . Trên 1
0H , chọn chuẩn 2
:u u= ∇ .
Sau khi lấy tích phân, từ ( )2f tồn tại 1 0c > sao cho
( ) ( )1 1 ,c u F x u
α
− ≤ . (17)
Cho
1 1
,
2
β
α
∈
. Với n đủ lớn và 2 3, 0c c > ta có:
( ) ( )1 ,n n n nd u u u uϕ β ϕ′+ + ≥ −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 22
2 2 2
1 1 32 2
1
, ,
2
1
1 ,
2
1
1
2
n n n n n
n n n
n n n
u au f x u u F x u dx
z y F x u dx c
z y c u c
β β
β δ λ αβ
β δ λ αβ
= − ∇ + + −
≥ − + + − −
≥ − + + − −
∫
∫
trong đó, kết hợp bổ đề 2.7, , ,n n n n nu y z y Y z Z= + ∈ ∈ .
46. Khi đó kiểm tra được ( )nu bị chặn trong 1
0H bằng cách dùng sự kiện dimY
hữu hạn.
2) Ta có thể giả sử nu ⇀u trong 1
0H . Do định lý Rellich, nu u→ trong p
L .
Từ bổ đề (chương 0) suy ra: ( ) ( ), ,nf x u f x u→ trong q
L với ( ): / 1q p p= − .
Nhận xét rằng
( ) ( ) ( )
2 2
, ,u u u a x u f x u u dxϕ ′ = ∇ + −
∫
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
22
, , ,n n n n n nu u u u u u f x u f x u u u a u u dxϕ ϕ ′ ′−= − − + − − − −
∫
Rõ ràng rằng
( ) ( ), 0n nu u u uϕ ϕ′ ′− − → .
Theo bổ đề 2.5 ta có
( )
2
0na u u dx
Ω
− →∫ .
Áp dụng bất đẳng thức Holder với ( ), / 1p q p p= − ta được
( ) ( )( )( ) ( ) ( ), , , , . 0, .n n n n pq
f x u f x u u u dx f x u f x u u u n− − ≤ − − → → ∞∫
Ta chứng minh được: 0,nu u n− → → ∞ .
Bổ đề được chứng minh.
Định lý 2. 3
Giả sử Ω bị chặn, ( )1f , ( )2f và
( )3f ( ) ( ), , 0f x u o u u= → đều trên Ω,
( )4f ( )
2
,
2
n
u
F x uλ ≤ ,
Khi đó, bài toán ( )3P có một nghiệm không tầm thường.
Chứng minh
47. 1) Xét trường hợp 3N ≥ .
Ta kiểm tra các giả thiết của định lý liên kết.
Điều kiện ( )c
PS được suy ra từ bổ đề 2.9. Như trước đây, chọn 2
:u u= ∇
2) Dùng ( )1f và ( )3f , ta được:
( )( ) ( )
2
0 0 : ,
p
c F x u u c uε εε ε∀ > ∃ > ≤ + .
Từ bổ đề 2.7 suy ra, trênZ
( ) ( )2 2 2 2
2
2 2
p p
p
u u u c u u u c uε ε
δ δ
ϕ ε ε≥ − + = − −∫ .
Do định lý nhúng Sobolev, tồn tại 0r > sao cho:
( ): inf 0
u r
u Z
b uϕ
=
∈
= > .
3) Do giả thiết ( )4f , trên ,Y ta có: ( ) ( )
2
, 0
2
n
u
u F x u dxϕ λ
≤ − ≤
∫ .
Định nghĩa 1
1
: n
n
re
z
e
+
+
= . Từ (17) suy ra:
( )
*
22
2
1 1/2
2 2N
uu
u a c u c
α
α
ϕ ≤ + − + Ω . ( Ω là thể tích của Ω)
Do trên không gian hữu hạn chiều Y z⊕ , mọi chuẩn đều tương đương, ta
có:
( ) , ,u u u Y zϕ → −∞ → ∞ ∈ ⊕ .
Như vậy tồn tại rρ > sao cho:
0
0 max
M
ϕ= , trong đó
{0 : : ,M u y z y Y uλ ρ==+ ∈ =và 0λ ≥ hoặc u ρ≤ và }0λ = .
4) Nếu 1 0λ > , ta dùng định lý đường đèo thay vì định lý liên kết.
Định lý được chứng minh.
Hệ quả
48. Giả sử Ω bị chặn và *
2 2p< < . Khi đó, với mọi λ ∈ bài toán
( )
( )
2
1
0
*
p
u u u u
u H
λ
−
−∆ + =
∈ Ω
có một nghiệm không tầm thường.
Chứng minh
Ta áp dụng định lý 2.3 cho bài toán ( )* với ( )a x λ= và ( )
2
, .
p
f x u u u
−
=
Kiểm tra bài toán (*) thỏa các điều kiện ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4, , ,f f f f .
Vậy (*) có một nghiệm không tầm thường.
KẾT LUẬN
Nội dung của Luận văn trình bày một số kết quả về phép tính vi phân trên
không gian Banach, định lý Minimax và một số ứng dụng để chứng minh sự
tồn tại nghiệm của các phương trình vật lý.
Luận văn gồm 3 chương
- Chương 0 trình bày một số định nghĩa cơ bản về hội tụ yếu, điều kiện
Palais-Smale, đạo hàm Gateaux, không gian hàm và kết quả định lý nhúng
Sobolev, định lý nhúng Rellich.
- Chương 1 trình bày các định lý quan trọng: định lý đường đèo cho
không gian Hilbert, định lý minimax, định lý đường đèo cho không gian
Banach, định lý điểm yên ngựa và định lý liên kết.
- Chương 2 trình bày ứng dụng của định lý đường đèo, định lý liên kết để
chứng minh sự tồn tại nghiệm của 3 bài toán.
49. Cuối cùng, vì thời gian thực hiện luận văn có hạn nên không tránh khỏi
thiếu sót. Do đó, tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của Quý thầy cô và
các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Lê Hoàn Hóa (2012), Phép tính vi phân trên không gian Banach, Đề tài
nghiên cứu khoa học cấp cơ sở.
[2] Lê Hoàn Hóa, Giải tích phi tuyến 1.
[3] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, Nhà xuất bản giáo dục.
Tiếng Anh
[4] Ekeland I. (1990), Convexity methods in Hamiltonian mechanics,
Springer, Berlin.
[5] Rabinowitz P.H (1978), Some critical point theorems and applications to
seminlinear elliptic partial differential equations, Ann. Scuola Normale
Sup.Pisa, Classe Scienza 4, page 215-223.
[6] Schwartz L. ( 1991-1994), Cours d’analyse, Hermann, Paris.
[7] Willem M. (1995), Analyse harmonique réelle, Hermann, Paris.