Download luận văn thạc sĩ ngành xác suất và thống kê toán với đề tài: Một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------
NGUYỄN THỊ HUỆ
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG
ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội, Năm 2014

2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------
NGUYỄN THỊ HUỆ
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG
ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán
Mã số: 60.46.01.06
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. PHAN VIẾT THƯ
Hà Nội, Năm 2014

3. Mục lục
Mở đầu 3
Lời cảm ơn 6
Bảng kí hiệu 7
1 Kiến thức chuẩn bị 8
1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Nới rộng độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Độ đo Hausdorff trong không gian Metric . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Các khái niệm của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Định lý Stone –Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Các lớp đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Tích phân theo quan điểm của lý thuyết độ đo 21
2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 Một số tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm 34
3.1 Tích phân sơ cấp và trung bình Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1 Tích phân trên Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1

4. 3.1.2 Trung bình Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Mở rộng tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Tính đo được Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.1 Tính đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.2 Tính đo được trên không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Sự tương đương giữa khả tích Daniell và khả tích Lebesgue-Caratheodory 53
3.5 Tính chất Maximality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Tài liệu tham khảo 63
2

5. Mở đầu
Lý thuyết độ đo và tích phân là nền tảng xây dựng cho nhiều môn khoa học
chuyên ngành như: Lý thuyết xác suất, giải tích hàm . . . . Ở chương trình đào
tạo đại học, cao học đã bước đầu nghiên cứu về lý thuyết độ đo, tích phân.
Trong luận văn này sẽ sử dụng các kết quả cơ bản về độ đo và tích phân ở bậc
Đại học và Cao học để nghiên cứu sâu hơn về Tích phân theo quan điểm độ đo.
Ngoài ra, luận văn tập trung nghiên cứu về cách tiếp cận tích phân theo quan
điểm của giải tích hàm.
Ta đã biết rằng lớp hàm khả tích Riemann rất hẹp bao gồm các hàm số mà
tập các điểm gián đoạn có thể bỏ qua đựơc. Còn các hàm số đo được tổng quát
thì nói chung có thể không khả tích Riemann (ví dụ như hàm số Dirichlet). Để
vượt qua được sự hạn chế ấy, Lebesgue đã chia miền lấy tích phân thành các
tập nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm ứng với giá trị gần nhau của f(x), theo
quan điểm cơ bản đó Lebesgue đã xây dụng một khái niệm tích phân tổng quát
hơn, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bị chặn. Ngoài ra, khi chuyển
giới hạn dưới dấu tích phân của tích phân Lebesgue không cần đòi hỏi khắt khe
về điều kiện hội tụ đều như tích phân Riemann, từ đó đưa ra được nhiều kết
quả quan trọng như tính hội tụ đơn điệu, hội tụ bị làm trội. . . .
Tuy nhiên, nếu muốn mở rộng định nghĩa tích phân vào những lĩnh vực phức
tạp hơn như xét tính tuyến tính, tích phân trên không gian Banach. . . thì tích
phân Lebesgue gặp khó khăn. Do đó, luận văn tập trung nghiên cứu phương
pháp tiếp cận tích phân bằng giải tích hàm, sử dụng tính tuyến tính và cấu trúc
3

6. liên tục của tích phân sơ cấp để xây dựng tích phân trên Daniell
I∗
(f) = inf I∗
(h) : h ∈ E↑
, f ≤ h
Khi đó I∗ có được các tính chất như: I∗ là hàm không giảm; I∗ là tuyến tính;
I∗ là hàm σ - cộng tính dưới. Ngoài ra, tương ứng với tích phân trên I∗ là trung
bình Daniell
. ∗
: R
Ω
→ [0, ∞] cho bởi f → I∗ (|f|)
với các tính chất cơ bản như tính thuần nhất tuyệt đối, tính cộng tính dưới đếm
được. Các đinh lý hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội theo trung bình ... cũng dễ dàng
được chứng minh.
Điều đặc biệt của tích phân Daniell là xây dựng tích phân trước rồi mới định
nghĩa khái niệm độ đo. Khi đó, độ đo Lebesgue đạt được như là tích phân của
hàm chỉ tiêu. Các tính chất cơ bản như σ – cộng tính, tính đo được của tập
Borel là hệ quả của tích phân. Tính đo được Daniell mô tả cấu trúc địa phương
của quá trình khả tích Daniell và sử dụng tích phân Daniell dễ dàng chứng minh
được định lý biểu diễn Riesz cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không gian
C(X) của các hàm liên tục trên không gian tôpô compact X.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm
ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày những kiến thức
cơ bản về độ đo, mở rộng độ đo và các kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ
sở để xây dựng nội dung các chương tiếp theo.
Chương 2: Tích phân theo quan điểm độ đo. Chương này trình bày
cách xây dựng tích phân của hàm đo được - tích phân Lesbegue, các định lý về
chuyển giới hạn dưới dấu tích phân, tích phân Riemann và tích phân Lebesgue
trên R và một số tính chất của tích phân.
Chương 3: Tích phân: Tiếp cận bằng giải tích hàm. Chương này là
phần chính của luận văn, trình bày cách xây dựng tích phân trên Daniell, trung
4

7. bình Daniell và các tính chất, khái niệm đo được Daniell, sự tương đương giữa
khả tích Lebesgue và khả tích Daniell, tính chất maximality của trung bình
Daniell.
5

8. Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới PGS.TS. Phan Viết Thư người đã tận tình hướng dẫn tác giả.
Cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, thầy cô trong
tổ bộ môn "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học" trường Đại học Khoa học
Tự Nhiên đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.
Đồng thời tác giả cũng gửi lời cảm ơn tới các đồng nghiệp trong Khoa Khoa
học Cơ bản, ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ đã giúp đỡ và tạo điều kiện
tốt nhất để tác giả hoàn thành khóa học.
Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên tôi cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả. Cảm ơn các bạn trong
lớp đã góp ý giúp đỡ tác giả trong luận văn này.
Do lần đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế
về ngoại ngữ, thời gian nên khi làm luận văn không tránh khỏi những sai sót.
Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quí thầy cô
và bạn đọc.
Hà nội, tháng 08 năm 2014
Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Huệ
6

9. Bảng kí hiệu
Mµ: Tập tất cả các tập µ - đo được.
M([a, b]): σ - đại số Lebesgue sinh bởi [a, b].
MR: Lớp các hàm thực đo được.
M: Lớp các tập con đo được của Ω.
M( . ): Tập hợp tất cả các trung bình trên E trùng với . trên E+.
L1(Ω, F, µ): Tập hợp các hàm khả tích Lebesgue trên Ω.
L1( . ): Tập hợp các hàm khả tích đối với trung bình . .
Cho E là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc là dàn vành khi đó:
E: Bao đóng của E.
E
u
: Bao đóng đều của E.
E↑ := h ∈ R : ∃ {φn} ⊂ E thỏa mãn h = supn φn .
EΣ: Giao của tất cả các dàn đóng chứa E và là dàn đóng bé nhất chứa E.
F: σ - đại số các tập con của Ω.
F := f ∈ R
Ω
: f < ∞ là dàn véctơ đóng với phép chặt cụt.
1A (x) :=
1 nếu x ∈ A
0 nếu x /∈ A
là hàm chỉ tiêu của tập A.
7

10. Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này sẽ hệ thống lại kiến thức về độ đo, phương pháp nới rộng độ đo,
hàm đo được, định lý Stone –Weierstrass, định lý về lớp hàm thực.... Các kiến
thức này sẽ được sử dụng nhiều ở các chương sau.
Các nội dung của phần này tác giả tham khảo chủ yếu trong các tài liệu [1],
[3], [4], [6], [8]....
1.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1. Một tập hợp các F của Ω là một đại số nếu
(i) ∅ ∈ F.
(ii) Nếu A ∈ F thì Ac = ΩA ∈ F.
(iii) Nếu A, B ∈ F thì A ∪ B ∈ F.
F gọi là một σ - đại số nếu thỏa mãn (i), (ii) và điều kiện
(iii)’ Nếu Ai ∈ F thì
∞
i=1
Ai ∈ F.
Nếu F là σ - đại số thì cặp (Ω, F) gọi là không gian đo được.
Định nghĩa 1.2. Tập hợp S các tập con của Ω được gọi là nửa vành nếu:
(i) ∅ ∈ S.
8

11. (ii) Nếu A ∈ S và B ∈ S thì A ∩ B ∈ S.
(iii) Nếu A ∈ S và B ∈ S thì tồn tại hữu hạn các tập con rời nhau Ci ∈ S,
i = 1, n thỏa mãn AB =
n
i=1
Ci.
Định nghĩa 1.3. Tập hợp R các tập con của Ω được gọi là vành nếu:
(ii) Nếu A ∈ R và B ∈ R thì A ∩ B ∈ R.
(ii) Nếu A ∈ R và B ∈ R thì A ∪ B ∈ R.
Định nghĩa 1.4. Một hàm tập cộng tính trên vành S là một ánh xạ µ từ S vào
một tập F có trang bị phép toán cộng. Ánh xạ này thỏa mãn tiên đề
µ (A ∪ B) = µ (A) + µ (B) nếu A ∩ B = ∅.
Hàm tập µ được gọi là cộng tính đếm được hay σ - cộng tính, nếu:
µ(
∞
k=1
Ak) =
∞
k=1
µ (Ak)
với mọi dãy {Ak} ⊂ S sao cho AkAj = ∅ với k = j và
∞
k=1
Ak ⊂ S.
Trong các phần tiếp theo ta giả thiết họ các biến cố F là một σ - đại số.
Định nghĩa 1.5. Một hàm cộng tính đếm được µ : F → [0, ∞) được gọi là độ
đo trên F, tức là nếu với mọi dãy {An} ⊂ F từng đôi không giao nhau thì
µ(
∞
k=1
Ak) =
∞
k=1
µ (Ak)
Bộ ba (Ω, F, µ) được gọi là không gian có độ đo.
Nếu µ(Ω) = 1 thì µ được gọi là độ đo xác suất và (Ω, F, µ) gọi là không gian
xác suất.
Các tính chất cơ bản của độ đo
(1) µ (∅) = 0.
(2) A, B ∈ F , A ⊂ B, µ (B) < ∞ ⇒ µ (AB) = µ (A) − µ (B).
9

12. (3) Tính đơn điệu: A, B ∈ F , A ⊂ B ⇒ µ (A) ≤ µ (B).
(4) Tính nửa σ – cộng tính dưới:
An ∈ F, A ∈ F, A ⊂
∞
n=1
An ⇒ µ (A) ≤
∞
n=1
µ (An).
Định lý 1.1. Giả sử F là σ – đại số, µ là hàm tập không âm, cộng tính hữu
hạn trên F . Khi đó các điều kiện sau tương đương:
(1) µ là độ đo;
(2) µ là nửa σ – cộng tính dưới;
(3) µ liên tục dưới, tức là nếu An ↑ A thì µ (An) ↑ µ (A).
Nếu thêm điều kiện µ là hữu hạn thì các điều kiện trên tương đương với
một trong các điều kiện sau:
(4) µ liên tục trên, tức là nếu An ↓ A thì µ (An) ↓ µ (A).
(5) µ liên tục tại ∅, tức là nếu An ↓ ∅ thì µ (An) ↓ 0.
Định nghĩa 1.6. Cho µ là độ đo trên σ – vành S, µ được gọi là độ đo đủ khi
và chỉ khi ∀A ∈ S, µ (A) = 0 và (B ⊂ A) suy ra B ∈ S. Ta cũng nói rằng S là
đủ đối với độ đo µ hoặc µ - đủ.
Định nghĩa 1.7. Một hàm tập cộng tính trên vành S của không gian tôpô X
nhận giá trị trong R+ được gọi là độ đo chính quy nếu thỏa mãn các tính chất:
∀ε > 0, ∀A ∈ S, ∃K ∈ S,∃F ∈ S với K là tập compact tương đối sao cho:
K ⊂ A ⊂
◦
F, µ (AK) < ε, µ (FA) < ε
1.2 Nới rộng độ đo
Cho trước một độ đo dương µ trên một vành C. Khi đó, ta có thể nới rộng độ
đo này lên σ – vành sinh bởi C bằng cách dùng độ đo ngoài của Caratheodory.
10

13. 1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue
Định nghĩa 1.8. Không Ω là một không gian mẫu. Một độ đo ngoài trên Ω là
một hàm µ∗ : P(Ω) → [0, ∞) thỏa mãn:
(i) µ∗ (∅) = 0.
(ii) Nếu A ⊂ B ∈ Ω thì µ∗ (A) ≤ µ∗ (B) (Tính đơn điệu tăng).
(iii) µ∗(
∞
n=1
An) ≤
∞
n=1
µ∗ (An) (Tính chất nửa σ - cộng tính dưới).
Định lý 1.2. Cho Ω là một tập không rỗng. Cho một họ khác rỗng E ⊂ P(Ω),
∅ ∈ E, và một hàm h : E → R+ với h (∅) = 0 định nghĩa
µ∗
(A) = inf{
n
h(An) : A ⊂
n
An, An ∈ E} (1.1)
thì µ∗ là một độ đo ngoài.
Định nghĩa 1.9. Cho µ∗ một độ đo ngoài trên Ω. Một tập E ⊂ Ω thỏa mãn
µ∗
(A) = µ∗
(A ∩ E) + µ∗
(A ∩ Ec
) , ∀A ∈ Ω (1.2)
được gọi là µ∗ - đo được. Nếu µ∗ (E) = 0 thì E được gọi là µ∗ - bỏ qua được.
Định lý 1.3. Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên Ω. Tập hợp Mµ∗ tất cả các tập
µ∗ - đo được là một σ - đại số và chứa tất cả các tập µ∗ - bỏ qua được. Ngoài ra
(Ω, Mµ∗, µ∗) là một không gian có độ đo đủ.
Định lý 1.4. (Mở rộng của Caratheodory) Giả sử rằng µ là hàm tập cộng tính
và cộng tính dưới đếm được trên nửa vành E thỏa mãn µ (∅) = 0. Thì µ được mở
rộng thành một độ đo đủ trên σ - đại số Mµ chứa σ(E).
Chứng minh. Ta có, các hàm µ∗ cho bởi (1.1) với h = µ là một độ đo ngoài.
Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng: (i) µ∗ và µ là trùng nhau và (ii) Tập tất cả các tập
µ∗ - đo được là σ - đại số và nó chứa E.
Thật vậy
11

14. (i) Giả sử I ∈ E và I1, I2... là dãy các tập con của I bao phủ I. Từ định nghĩa
của µ∗, tính σ - cộng tính dưới và tính cộng tính hữu hạn của µ chứng tỏ rằng
µ∗
(I) ≤ µ (I) ≤
k
µ (I ∩ Ik) ≤
k
µ (Ik)
Vậy, µ∗ (I) = µ (I).
(ii) Cho I ∈ E và giả sử rằng A ⊂ Ω bị bao phủ bởi I1, I2... với Ik ∈ E với mọi
k và thỏa mãn
k
µ (Ik) ≤ µ∗
(A) + ε.
Từ Ik = (Ik ∩ I) ∪ (Ik ∩ Ic) và Ik ∩ Ic là hợp hữu hạn của các tập rời nhau trong
E, nó chứng tỏ rằng µ (Ik) ≥ µ (Ik ∩ I) + µ∗ (Ik ∩ Ic). Do đó,
µ∗
(A) + ε ≥
k
µ (Ik) =
k
µ (Ik ∩ I) +
k
µ (Ik ∩ Ic
)
=
k
µ∗
(Ik ∩ I) +
k
µ∗
(Ik ∩ Ic
)
≥ µ∗
(A ∩ I) + µ∗
(A ∩ Ic
)
Cho ε → 0 ta có được rằng µ∗ (A) ≥ µ∗ (A ∩ I) + µ∗ (A ∩ Ic). Tính cộng tính dưới
của độ đo ngoài µ∗ suy ra I là tập µ∗ - đo được.
Hệ quả 1.1. Cho (Ω, σ (E) , µ) là mở rộng Caratheodory của µ trên nửa vành E,
µ∗ là độ đo ngoài cho bởi (1.1) và E↑ là họ của các hợp đếm được các tập trong
E. Thì, với mọi E ⊂ Ω, tồn tại B ∈ σ(E) sao cho E ⊂ B và
µ∗
(E) = inf µ (C) : E ⊂ C ∈ E↑
= µ (B) (1.3)
Nếu η là một mở rộng khác của µ trên (Ω, σ (E)) thì η ≤ µ. Thêm nữa, nếu E
là một vành thì η (E) = µ (E) , ∀E ∈ σ (E) với µ (E) < ∞.
Định lý 1.5. Giả sử E là nửa vành trên Ω và µ là hàm cộng tính dưới đếm được.
Nếu mở rộng Caratheodory là σ - hữu hạn trên σ(E) thì Mµ = σ (E) và mở rộng
đó là duy nhất.
12

15. 1.2.2 Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes
Trong phần này ta sẽ trình bày độ đo trên không gian Borel (Rd, B(Rd)). Ta
kí hiệu E là tập hợp tất cả các khoảng d - chiều d
k=1 (ak, bk] = (a, b] , với ak ≤ bk.
Khi đó, E là nửa vành.
Cho F : Rd → R là hàm liên tục phải tức là lim
x→a+
F (x) = F (a). Với a ≤ b và
1 < j < d, kí hiệu:
∆j (a, b) F (s) = F (s1, s2, ...sj−1, b, sj+1, ..., sd) − F (s1, s2, ...sj−1, a, sj+1, ..., sd)
Định lý 1.6. Giả sử rằng F là liên tục phải và có số gia không âm tức là
µ ((a, b]) =
d
j=1
∆j (aj, bj)F ≥ 0 với mọi khoảng d-chiều (a,b] bất kỳ. Thì µ nhận
một mở rộng thành độ đo trên σ - đại số B(Rd)⊂ Mµ.
Chứng minh. Rõ ràng µ (∅) = 0 và µ là cộng tính hữu hạn trên E.
Bây giờ ta chứng minh µ là σ - cộng tính dưới trên E. Nếu (a, b] =
∞
m=1
(a(m), b(m)],
tính liên tục phải và có gia số không âm của F suy ra là với mọi ε > 0, có aε và
bε (j) thỏa mãn
µ ((a, b]) < µ ((aε, b]) +
ε
2
; µ ((a (m) , bε (m)]) < µ ((a (m) , b (m)]) +
ε
2m+1
Từ một hộp đóng [aε, b] là tập compăct và
[aε, b] ⊂ (a, b] ⊂
∞
m=1
(a (m) , b (m)] ⊂
∞
m=1
(a (m) , bε (m))
Có N0 ∈ N sao cho (aε, b] ⊂ [a, b] ⊂
N0
m=1
(a (m) , bε (m)). Cộng tính hữu hạn có
nghĩa là cộng tính dưới hữu hạn trên nửa vành E, do đó
µ ((a, b]) < µ ((aε, b]) +
ε
2
≤
N0
m=1
µ ((a (m) , bε (m)]) +
ε
2
≤
∞
m=1
µ ((a (m) , b (m)]) + ε
Tính cộng tính dưới đếm được của µ trên E có được khi cho ε 0. Kết luận
có được từ định lý mở rộng của Caratheodory.
13

16. Định nghĩa 1.10. Với mỗi F ∈ F tồn tại duy nhất một độ đo σ - hữu hạn trên
σ - đại số B(Rd) xác định bởi
µ([a, b)) = F(b) − F(a)
Khi đó, độ đo µ được gọi là độ đo Lebesgue - Stieltjes.
Độ đo Lebesgue λ là độ đo tương ứng với trường hợp đặc biệt khi F (s) =
d
j=1
sj,
trong trường hợp này λ ((a, b]) =
d
j=1
(bj − aj) và Mλ là σ - đại số Lebesgue.
Định lý 1.7. Cho Rd, B Rd , µ là không gian có độ đo Borel hữu hạn và xác
định hàm phân bố của µ bởi F (x) := µ {y : y ≤ x}. Thì
i. F là hàm tăng không âm.
ii. F là chính xác nghĩa là lim
mink xk ∞
F (x) = µ Rd , lim
mink xk −∞
F (x) = 0.
iii. F là liên tục phải.
Ngược lại, nếu F thỏa mãn (i)-(iii) thì có độ đo µ trên Rd, B Rd với phân
bố F.
1.2.3 Độ đo Hausdorff trong không gian Metric
Giả sử (X, d) là một không gian metric và giả sử rằng g : R + → R + là hàm
không giảm với g(0) = 0 . Định nghĩa h : P(X) → R + là hàm A → g(diam(A))
với diam(∅) = 0 và diam(A) = sup {d(x, y), x; y ∈ A} nếu A = ∅.
Với mỗi δ > 0 đặt Eδ là tập hợp các tập có đường kính tối đa là δ thì hàm
tập Hg
δ định nghĩa bởi:
Hg
δ (A) = inf{
n∈N
g(diam(An): A ⊂
n
An, An ∈ Eδ}
là độ đo ngoài.
Từ Eδ ⊂ Eδ , ∀δ < δ nên A → Hg (A) := supδ>0 Hg
δ (A) cũng là một độ đo ngoài.
Định nghĩa 1.11. Một độ đo ngoài µ∗ trên không gian metric thỏa mãn
µ∗ (A ∪ B) = µ∗ (A) + µ∗ (B) nếu d (A, B) > 0.
14

17. được gọi là độ đo metric ngoài.
Chú ý: Nếu A, B ⊂ X và d(A, B) = inf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} > 0 thì
Hg
δ (A ∪ B) = Hg
δ (A) + Hg
δ (B)
Định lý 1.8. (Caratheodory) Nếu µ∗ là độ đo metric ngoài thì mọi tập Borel là
µ∗ - đo được.
Điều kiện Lipschitz: Một hàm f giữa không gian metric (X, d) và (Y, ρ) là
Lipschitz bậc α > 0 nếu tồn tại hằng số L ≥ 0 thỏa mãn:
ρ (f (x1) , f (x2)) ≤ Ld (x1, x2) với mọi x1, x2 ∈ X.
Định lý 1.9. (Thuộc tính Lipschitz) Cho f là một hàm Lipschitz giữa không
gian metric (X, d) và (Y, ρ) bậc α > 0. Với mọi s ≥ 0,
Hs/α
(f (A)) ≤ Ls/α
Hs
(A)
Chứng minh. Chú ý rằng diam(f(A)) ≤ L(diam(A))α. Cho δ > 0 đặt δ∗ = Lδα.
Nếu {An ⊂ Eδ là phủ đếm được của A, thì {f(An)} ⊂ Eδ là phủ mở của f(A). Khi
đó:
H
s/α
δ (f (A)) ≤
n
diam (f (An))s/α
≤ Ls/α
n
(diam (An))s
hệ quả là Hs/α (f (A)) ≤ Ls/αHs (A) với mọi A ⊂ X.
1.3 Hàm đo được
Định nghĩa 1.12. (i) Cho các không gian đo được (X, S) và (Y , R). Ánh xạ
f : X → Y gọi là ánh xạ đo được nếu với mọi A ∈ R ta có
f−1 (A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A} ∈ S
(ii) Cho không gian có độ đo (X, S, µ). Hàm số f : X → [−∞, +∞] được gọi
là µ - đo được nếu với mọi tập Borel B ⊂ R ta có
f−1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} ∈ S(µ)
15

18. Định lý 1.10. Các khẳng định sau là tương đương
1. Hàm số f : X → [−∞, +∞] là đo được.
2. Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) > r} đo được.
3. Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) ≥ r} đo được.
4. Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) < r} đo được.
5. Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) ≤ r} đo được.
Định lý 1.11. 1. Giả sử f, glà các hàm đo được. Khi đó, các tập {f < g} , {f ≤ g} ,
{f = g} là đo được.
2. Giả sử f, g các là hàm đo được. Khi đó, f ∨ g = max {f, g} ; f ∧ g =
min {f, g} ; f + g; f
g (g = 0) ; |f| α (α ∈ R+) là đo được.
3. Nếu f đo được và g(x) = f(x) µ - hầu khắp nơi thì g cũng đo được.
4. Cho (fn) là dãy hàm đo được. khi đó các hàm
sup fn; inffn; lim sup fn; lim inffn
là đo được.
Định lý 1.12. (Egorov) Cho (fn) , f là các hàm đo được sao cho fn → f µ - hầu
khắp nơi. Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại tập A với µ(Ac) < ε sao cho fn hội tụ đều
tới f trên A.
Định nghĩa 1.13. Cho hai không gian đo được (Ω, A) và (Ω, B) và f là ánh
xạ từ Ω vào X. Ánh xạ f được gọi là ((A - B)) – đo được hay gọi tắt là đo được
nếu ∀B ∈ B, f−1 (B) ∈ A, tức là nghịch ảnh của một tập đo được là một tập đo
được:
f−1 (B) ∈ A
Định lý 1.13. Giả sử (Ω, A) và (Ω, B) là hai không gian đo được và B = σ(C)
là một σ - đại số các tập con của Ω. Khi đó, f là (A - B) – đo được nếu và chỉ
nếu f−1 (C) ⊂ A.
16

19. Bổ đề 1.1. Cho (Ω, F) là không gian đo được. Một hàm f trên Ω với giá trị trên
không gian metric (S, d) là đo được nếu và chỉ nếu g ◦ f : Ω → R là đo được với
mọi hàm giá trị thực g trên S.
Định lý 1.14. Cho (Ω, F) là không gian đo được và (S, d) là không gian metric.
Nếu {fn} ⊂ SΩ dãy hội tụ các hàm đo được thì f = lim
n
fn là hàm đo được.
1.4 Các khái niệm của giải tích hàm
Trong mục này trình bày kết quả trong Giải tích cổ điển: Định lý Stone-
Weierstrass dạng cổ điển, các lớp hàm liên tục, hàm liên tục trong tập compact
có thể xấp xỉ đều bởi đa thức.... Kết qủa này sẽ được sử dụng nhiều khi ta xây
dựng lý thuyết tích phân theo quan điểm giải tích hàm.
1.4.1 Định lý Stone –Weierstrass
Định nghĩa 1.14. Cho E và V là họ các hàm thực hoặc phức xác định trên Ω.
(i) E gọi là vành thực hoặc phức nếu nó là không gian véctơ thực hoặc phức
đối với cộng từng điểm và phép nhân vô hướng và nó là đóng dưới với phép
nhân từng điểm.
(ii) V là dàn véctơ thực hoặc phức nếu nó là không gian véctơ đối với phép
cộng theo từng điểm và phép nhân vô hướng, và f ∧ g := min {f, g} ∈ V;
f ∨ g := max {f, g} ∈ V với mọi hàm thực f, g ∈ V.
(iii) Một họ các hàm V gọi là đóng với phép chặt cụt nếu f ∧ 1 ∈ V với mọi
hàm thực f ∈ V.
Bổ đề 1.2. (Định lý Dini) Cho S là tập compact và cho {φn}n là một dãy các
hàm liên điểm tăng hội tụ điểm đến hàm liên tục φ. Thì φn hội tụ đều đến φ.
17

20. Định lý 1.15. Cho E là tập hợp các hàm bị chặn trên một tập nào đó. Nếu E
là một vành hoặc một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt thì bao đóng đều E của
E cũng là vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt.
Định lý 1.16. (Định lý Stone Weierstrass) Giả sử S là một không gian Hausdorff
compact và E ⊂ C(S) là một vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt. Giả
thiết rằng E tách các điểm tức là với mọi cặp điểm s = t trong S thì tồn tại φ ∈
E thỏa mãn φ (s) = φ (t) thì ta có:
(i) Nếu E không có không điểm chung z ∈ S thì hợp bao đóng đều E = C(S).
(ii) Nếu E có không điểm chung duy nhất z ∈ S thì E = {φ ∈ C(S): φ (z) = 0 }.
Chứng minh. Kí hiệu V là không gian tất cả các hàm liên tục trên S nếu (i)
thỏa mãn, hoặc là không gian tất cả các hàm liên tục trên S triệt tiêu tại x
nếu trường hợp (ii) thỏa mãn. Khi đó E là một vành đóng với phép chặt cụt và
E = E. Vậy nó là đầy đủ với giả thiết E là dàn vành đóng với phép chặt cụt.
Cho f ∈ V. Với mọi s = t trong S, chọn ψst ∈ E sao cho ψst (s) = ψst (t). Vậy,
với mỗi t ∈ S trong trường hợp (i) hoặc t ∈ S {z} trong trường hợp (ii), chọn
ψt ∈ E sao cho ψt (t) = 1 và cho ψt ≡ 0 trong trường hợp (ii) và t = z. Với mỗi
cặp s = t ∈ S xác định
φst (x) = f (s) ψs (x) +
f (t) ψt (x) − f (s) ψs (x)
ψst (t) − ψst (s)
(ψst (x) − ψst (s))
Chú ý rằng φst ∈ E và φst (t) = f (t), φst (s) = f (s). Cố định t ∈ S và với mỗi
ε > 0 và s = t xét tập mở Ut = {φst > f − ε}. Từ t ∈ Ut
ε và s ∈ Ut
ε với mọi s = t,
Ut
s : s = t là một phủ mở của S. Do tính compact nên tồn tại phủ con hữu hạn
Ut
sk : k = 1, 2...n . Từ ft =
n
k=1 φskt ∈ E, f (x) − ε < ft (x) và ft (t) = f (t), các
tập Vt = {ft < f + ε} có dạng là phủ mở của S. Theo tính compact sẽ có phủ con
hữu hạn Vtj : j = 1, 2...m . Chú ý rằng fε =
m
j=1 ftj ∈ E và |f (t) − fε (t)| < ε
với mọi x ∈ S. Vậy f ∈ E.
18

21. Hệ quả 1.2. Cho E là một vành của các hàm bị chặn trên một tập nào đó. Thì
E là một vành và dàn véctơ đóng với phép chặt cụt. Ngoài ra, với f ∈ C(R) với
mọi f(0) = 0 và φ ∈ E thì f ◦ φ ∈ E.
Hệ quả 1.3. Cho E là vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt trên tập S
nào đó và đặt S0 ⊂ S. Một hàm thực f trên S0 có thể được xấp xỉ đều trên S0
bởi hàm trên E nếu và chỉ nếu f là hạn chế trên S0 của một hàm f ∈ E nào đó.
Định nghĩa 1.15. Cho E là tập hợp các hàm bị chặn trên tập S. Tính E - đều
của S là tập hợp giả metric dφ : φ ∈ E định nghĩa bởi
dφ (x, y) = |φ (x) − φ (y)|
Một hàm f : S → E, với (E, d) là không gian metric là E - liên tục đều nếu
với mọi ε > 0 có δ < 0 và {φ1, φ2...φn} ⊂ E thỏa mãn
1≤k≤n
dφk
(x, y) < 0 suy ra d (f (x) , f (y)) < ε.
Định lý 1.17. (Định lý Stone Weierstrass tổng quát) Cho E là một vành hoặc
một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt của các hàm thực bị chặn trên S. Một hàm
thực f là E- liên tục đều nếu và chỉ nếu f là tổng của một hằng số và một hàm
trên E
u
.
1.4.2 Các lớp đơn điệu của hàm số
Định nghĩa 1.16. Cho Ω là tập không rỗng bất kỳ
(i) Một tập V ⊂ RΩ là một lớp đơn điệu (Tương ứng: Lớp đơn điệu bị chặn)
nếu nó đóng dưới giới hạn từng điểm của dãy hội tụ đơn điệu (đơn điệu bị
chặn).
(ii) Một tập V của các hàm phức hoặc thực bị chặn là lớp bị chặn nếu nó đóng
dưới giới hạn theo từng điểm của dãy hội tụ bị chặn; Khi đó, với {fn} ⊂ V
thỏa mãn sup fn u < ∞ và f (x) = limn fn (x) với mọi x thì f ∈ V.
19

22. (iii) Tập hợp M ⊂ RΩ là lớp nhân tính thực nếu nó đóng dưới hữu hạn phép
nhân.
(iv) Một tập M ⊂ CΩ hàm phức là lớp nhân phức nếu nó đóng dưới hữu hạn
phép nhân và đóng dưới phép lấy số phức liên hợp.
Định lý 1.18. (Lớp hàm thực đơn điệu). Cho V là không gian véctơ thực của các
hàm (Tương ứng: Hàm bị chặn) chứa hàm hằng và nó là lớp đơn điệu (Tương
ứng: Đơn điệu bị chặn). Nếu M ⊂ V là lớp nhân của các hàm bị chặn thì V chứa
tất cả hàm đo được giá trị thực σ(M).
Định nghĩa 1.17. Họ V ⊂ RΩ là đóng theo dãy nếu giới hạn của một dãy hội
tụ trong V cũng thuộc V.
Cho họ E ⊂ RΩ, giao của tất cả các tập đóng theo dãy chứa E là tập đóng
theo dãy bé nhất chứa E và được gọi là bao đóng theo dãy của E, kí hiệu là EΣ.
Bổ đề 1.3. Giả sử E là một vành hoặc một dàn đóng với phép chặt cụt. khi đó:
(i) EΣ cũng là một vành hoặc một dàn đóng với phép chặt cụt.
(ii) Nếu E ∈ RΩ đóng kín đối với các phép toán +, −, ., ∨, ∧, ∧1 hoặc |.| thì EΣ
cũng vậy.
(iii) Tập hợp R(E) các tập con trong EΣ trùng với σ vành Rσ(E) sinh bởi
φ−1
((r, ∞)) : φ ∈ E, r > 0 .
(iv) f ∈ EΣ nếu và chỉ nếu f−1 (I) ∈ R (E) với mọi khoảng mở I trong R {0}.
Đặt MR(E) là tập hợp các hàm thực đo được của σ(E).
Định lý 1.19. Giả sử E là một vành hoặc một dàn véctơ của các hàm bị chặn
đóng với phép chặt cụt thì EΣ là đại số khi và chỉ khi có dãy {φn} ⊂ E thỏa mãn
supn φn > 0 trên Ω. Trong trường hợp đó R(E) = σ(E) và EΣ = MR(E).
Một ứng dụng quan trọng của định lý lớp đơn điệu của hàm số là để xác
định xem liệu hai độ đo hữu hạn trên B(Rd) có trùng nhau không.
20

23. Chương 2
Tích phân theo quan điểm của lý
thuyết độ đo
Trong giải tích cổ điển, ta đã nghiên cứu tích phân Riemann và các ứng dụng
của nó. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp có những hàm đo được đơn giản
nhưng không khả tích Riemann. Do đó, Lebesgue đã đưa ra phương pháp mới
là chia miền lấy tích phân thành các tập hợp nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm
ứng với những giá trị gần nhau của f(x). Khi đó, ta có thể dùng những hàm bậc
thang để xấp xỉ f(x).
2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng
Cho (Ω,F) là không gian đo được. Với mỗi A ⊂ Ω, hàm giá trị thực được
xác định bởi 1A (ω) = 1 khi ω ∈ A và 1A (ω) = 0 khi ω /∈ A được gọi là hàm chỉ
tiêu của A. Chú ý rằng 1A là đo được khi và chỉ khi A ∈ F. Một hàm đo được
s : Ω → R gọi là đơn giản nếu nó nhận hữu hạn các giá trị.
Định nghĩa 2.1. Giả sử rằng s là một hàm đơn giản, đo được không âm,
{a1, a2, ...an} là tập hợp tất cả các giá trị khác nhau của s. Khi đó s =
n
k=1
ak1{s=ak}.
Với mỗi E ∈ F, tích phân của s trên E đối với độ đo µ xác định bởi
E
sdµ :=
n
k=1
akµ (E ∩ Ak) (2.1)
21

24. Bổ đề 2.1. Cho s và t là hai hàm đơn giản không âm. Cho ν : F → [0, ∞] xác
định bởi
ν (E) =
E
sdµ
thì ν là một độ đo trên (Ω, F). Ngoài ra
Ω
(s + t)dµ =
Ω
sdµ +
Ω
tdµ
Chứng minh. Giả sử rằng {a1, a2, ...an} là tất cả các giá trị xác định bởi s và đặt
Ak = s−1 ({ak}). Từ (2.1) dễ dàng có được ν (∅) = 0. Nếu Ei là một dãy các tập
đo được rời nhau và E = i Ei thì
ν (E) =
n
k=1
akµ (Ak ∩ E) =
n
k=1
ak
n
i=1
µ (Ak ∩ Ei)
=
∞
i=1
n
k=1
akµ (Ak ∩ Ei) =
∞
i=1 Ei
sdµ =
∞
i=1
ν (Ei)
nó chứng tỏ rằng ν là một độ đo.
Cho {b1, ..., bn} là tập tất cả các giá trị khác nhau mà t nhận và Bj = t−1 ({bj})
và Ekj = Ak ∩ Bj thì
Ekj
(s + t)dµ = (ak + bj) µ Ekj = (ak + bj) µ (Ak ∩ Bj) . (2.2)
Phần thứ nhất được chứng minh và đẳng thức (2.2) có nghĩa là
Ω
(s + t)dµ =
kj Ekj
(s + t)dµ =
n
k=1
m
j=1
(ak + bj) µ Ekj
=
n
k=1
m
j=1
akµ (Ak ∩ Bj) +
n
k=1
m
j=1
bjµ (Ak ∩ Bj)
=
n
k=1
akµ (Ak) +
m
j=1
bjµ (Bj) =
Ω
sdµ +
Ω
tdµ.
Từ bổ đề 2.1 ta có:
22

25. (i)
E
sdµ =
Ω
1E.sdµ.
(ii)
Ω
sdµ =
Ω
tdµ
với E ∈ F và 0 ≤ s ≤ t là các hàm đơn giản.
Bổ đề 2.2. Cho f : (Ω, F) → [0, ∞) hàm đo được Borel. Thì
(i) Có một dãy các hàm đơn giản không âm thỏa mãn 0 ≤ sn ≤ sn+1 < ∞ với
mỗi n ∈ Z+ và lim
n→∞
sn (ω) = f (ω) , ∀n ∈ Z+, ω ∈ Ω.
(ii) Có một dãy các tập An ∈ F và dãy các hằng số αn ≥ 0 sao cho f =
∞
n=1
αn1An
.
Định nghĩa 2.2. Với mọi hàm đo được f : Ω → [0, ∞] thì tích phân của f trên
E được cho bởi
E
fdµ = sup{
E
sdµ : 0 ≤ s ≤ f với s là hàm đơn giản} (2.3)
Từ định nghĩa suy ra:
1.
E
fdµ =
Ω
1Efdµ với E ∈ F.
2.
Ω
fdµ ≤
Ω
gdµ với mọi hàm đo được 0 ≤ f ≤ g ≤ ∞.
Hàm f : Ω → R thể phân tích thành tổng hai hàm không âm f (ω) = f+ (ω) −
f− (ω) với f+ (ω) := f (ω) ∨ 0; f− (ω) := f (ω) ∧ 0. Rõ ràng f là đo được khi và chỉ
khi f+, f− là các hàm đo được. Tương tự, một hàm giá trị phức g là đo được khi
và chỉ khi u = Re(g) và v = Im(g) là các hàm đo được.
Định nghĩa 2.3. Một hàm giá trị phức hoặc giá trị thực mở rộng đo được f
trên Ω là khả tích nếu
Ω
|f|dµ < ∞.
Tập tất cả hàm khả tích trên Ω kí hiệu là L1 (Ω, F, µ).
Giả sử rằng
Ω
f+dµ hoặc Ω
f−dµ hữu hạn. Thì
Ω
fdµ được định nghĩa bởi
Ω
fdµ =
Ω
f+dµ −
Ω
f−dµ (2.4)
23

26. Nếu g là hàm phức, u = Re(g) ∈ L1 và v = Im(g) ∈ L1 thì
Ω
gdµ định nghĩa
bởi
Ω
gdµ =
Ω
u+dµ −
Ω
u−dµ + i(
Ω
v+dµ −
Ω
v−dµ) (2.5)
Định lý 2.1. (Chebyshev Markov) Cho f : Ω → [0, ∞] là hàm đo được. Thì
tµ ({ω : f (ω) > t}) ≤
{ω:f(ω)>t}
fdµ ≤
Ω
fdµ với mọi t ≥ 0.
Hệ quả 2.1. Cho f : Ω → [0, ∞] là hàm đo được và giả sử rằng µf :=
Ω
fdµ < ∞
thì
(i) µ ({ω ∈ Ω : f (ω) = ∞}) = 0.
(ii) Nếu µf = 0 thì µ ({ω ∈ Ω : f (ω) > 0}) = 0.
Định nghĩa 2.4. Một tính chất P về Ω xuất hiện hầu chắc chắn nếu
µ ({ω ∈ Ω : P (ω) sai}) = 0
Kí hiệu: P xuất hiên µ - hầu chắc chắn hoặc µ - h.c.c.
2.2 Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue
Trong giải tích và xác suất ta thường phải chuyển giới hạn dưới dấu tích phân.
Đối với tích phân Riemann việc chuyển qua giới hạn như thế đòi hỏi nhiều điều
kiện khắt khe như điều kiện hội tụ đều. Đối với tích phân Lebesgue vấn đề này
sẽ được giải quyết đơn giản hơn.
Định lý 2.2. (Hội tụ đơn điệu) Cho {fn}n là dãy các hàm đo được thỏa mãn
(i) 0 ≤ ... ≤ fn (ω) ≤ fn+1 (ω) ≤ ... ≤ ∞, ∀ω ∈ Ω.
(ii) lim
n→∞
fn (ω) = f (ω) , ∀ω ∈ Ω.
24

27. Thì f là đo được và
lim
n→∞
Ω
fndµ =
Ω
fdµ (2.6)
Chứng minh. Tính đơn điệu của fn có nghĩa là
Ω
fndµ ≤
Ω
fn+1dµ, ∀n. Vậy, có
α ∈ [0, ∞] mà α = lim
n
fndµ. Từ fn ≤ sup {fn} = f chứng tỏ rằng
α ≤
Ω
fdµ (2.7)
Cho s là hàm đơn giản với 0 ≤ s ≤ t và 0 < c < 1. Xét các tập En =
{ω ∈ Ω : c.s (ω) ≤ fn (ω)}. Chú ý rằng En ⊂ En+1, ∀n và Ω =
n
En. Do đó nếu
f (ω) = 0 thì ω ∈ E1; Ngược lại nếu f (ω) > 0 thì c.s (ω) < f (ω), và từ 0 < c < 1
thì ω ∈ En, ∀n. Nó chứng tỏ rằng
Ω
fndµ ≥
En
fndµ ≥ c
En
sdµ,
và cho n → ∞, ta có được α ≥ c
Ω
sdµ. Cho c 1 ta có
α ≥
Ω
sdµ (2.8)
Từ (2.8) thỏa mãn với mọi hàm đơn giản 0 ≤ s ≤ f ta có
α ≥
Ω
fdµ (2.9)
Vậy f là đo được và lim
n→∞
Ω
fndµ =
Ω
fdµ.
Hệ quả 2.2. (Beppo Levi) Cho fn : Ω → [0, ∞] là dãy các hàm đo được, thì
Ω
∞
n=1
fndµ =
∞
n=1 Ω
fndµ (2.10)
Hệ quả 2.3. Giả sử f : Ω → [0, ∞] là hàm đo được và đặt
ηf (E) =
E
fdµ, E ∈ F (2.11)
25

28. thì ηf là một độ đo trên F và với mọi hàm đo được g : Ω → [0, ∞] ta có
Ω
gdηf =
Ω
gfdµ (2.12)
Định lý 2.3. (Bổ đề Fatou) Nếu fn : Ω → [0, ∞] là dãy các hàm đo được, thì
Ω
lim
n
inf
n
fndµ ≤ lim
n
inf
n
Ω
fndµ (2.13)
Định lý 2.4. Nếu f ∈ L1(Ω, F, µ) thì
Ω
fdµ ≤
Ω
|f| dµ (2.14)
Đẳng thức trong (2.14) đúng nếu và chỉ nếu có một hằng số α ∈ C với α = 1
thỏa mãn αf = |f|, µ - hầu chắc chắn.
Chứng minh. Từ hàm thực mở rộng f ta có kết quả − |f| ≤ f ≤ |f|, từ hàm
phức chứa hàm thực, kí hiệu z =
Ω
fdµ ∈ C và α ∈ S1 thỏa mãn αz = |z|. Khi
đó:
Ω
fdµ = α
Ω
fdµ =
Ω
αfdµ =
Ω
Re (αf)dµ ≤
Ω
|f|dµ (2.15)
Khi liên hệ hai hệ thức trong công thức (2.15) chứng tỏ rằng |
Ω
fdµ| ≥ 0 và
Re (αf) ≤ |αf| = |f|.
Nếu có đẳng thức trong (2.14) thì từ |f| − Re (αf) ≥ 0 và hệ quả 2.3 ta kết
luận được rằng |αf| = Re (αf) - hầu chắc chắn; αf = Re (αf) = |f| - hầu chắc
chắn.
Bổ đề 2.3. Giả sử f ∈ L1 thì với mỗi ε > 0 có δ > 0 mà với mỗi A ∈ F, nếu
µ (A) < δ thì |
A
fdµ| ≤ ε.
Định lý 2.5. (Hội tụ bị làm trội của Lebesgue) Cho {fn}n và {gn}n là dãy các
hàm đo được (thực hoặc phức) hội tụ theo từng điểm µ - h.c.c thỏa mãn f = lim
n
fn
µ - h.c.c, g = lim
n
gn µ - h.c.c và
|fn| ≤ gn µ- h.c.c. (2.16)
26

29. Giả sử rằng
lim
n
gndµ = gdµ < ∞ (2.17)
thì f ∈ L1 và
lim
n→∞
Ω
|fn − f| dµ = 0; lim
n→∞
Ω
fndµ =
Ω
fdµ < ∞ (2.18)
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng hội tụ theo
từng điểm và (2.16) đúng hầu khắp nơi.
Rõ ràng |f| ≤ g vậy f ∈ L1 . Từ gn + g − |fn − f| ≥ 0, bổ đề Fatou và (2.17)
có nghĩa là
Ω
2gdµ ≤ lim infn
Ω
(gn + g − |fn − f|) dµ
= 2
Ω
gdµ + lim inf
n
(−
Ω
|fn − f| dµ)
= 2
Ω
gdµ − lim sup
n
Ω
|fn − f| dµ
Từ |fn − f| ≥ 0 nó chứng tỏ rằng lim sup
n Ω
|fn − f|dµ = 0. Đưa đến kết luận, chú
ý rằng |
Ω
(fn − f)dµ| ≤
Ω
|fn − f|dµ.
Định lý sau đây mở rộng định lý hội tụ bị làm trội.
Định lý 2.6. Cho dãy (fn) ⊂ L1 (X, µ) hội tụ tới f µ - hầu khắp nơi. Giả sử dãy
(fn) là khả tích đều theo nghĩa sau đây
1. sup
n
|fn| dµ < +∞.
2. Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 (chỉ phụ thuộc ε) sao cho nếu µ (A) < δ thì
A
|fn| dµ < ε với ∀n.
Khi đó:
lim
n
fndµ = fdµ
27

30. Chứng minh. Ta có sup
n
|fn| dµ < +∞. Bổ đề Fatou cho ta
|f| dµ ≤ lim inf |fn| dµ ≤ sup
n
|fn| dµ < ∞.
Đặt fc = f1{|f|<c}, fc = f1{|f|>c}. Ta có f = fc + fc và
|fn − f| = |fc
n − fc
+ fnc − fc|
→ |fn − f|dµ ≤ |fc
n − fc
|dµ + |fnc|dµ + |fc|dµ.
Cho ε > 0. Chọn c đủ lớn để
|fc|dµ =
{|f|>c}
|f| dµ < ε, |fnc|dµ =
{|fn|>c}
|fn| dµ < ε.
Vì fc
n−fc → 0, fc
n − fc → 2c nên theo định lý hội tụ bị làm trội fc
n − fc dµ →
0. Vậy tồn tại m sao cho nếu n > m thì fc
n − fc dµ → 0. Vậy với n > m ta có
fn − f dµ < 3ε.
Định lý 2.7. Cho dãy (fn) ⊂ L1 (X, µ) hội tụ đến f, µ - hầu khắp nơi. Nếu
fn 0 thì lim
n
fndµ = fdµ khi và chỉ khi (fn) khả tích đều.
Chứng minh. Nếu (fn) khả tích đều thì fn 0 thì lim
n
fndµ = fdµ theo định
lý trên.
Ngược lại, ta sẽ chứng minh nếu fn ≥ 0, fn → f - hkn và
lim
n
fndµ = fdµ
thì |fn − f|dµ → 0.
Ta có: f + fn = max (f, fn) + min (f, fn) và 0 ≤ min (f, fn) ≤ f, min (f, fn) → f. Do
đó, theo định lý hội tụ bị chặn ta có
lim
n
min (f, fn) dµ = fdµ
28

31. Lại có lim
n
(f + fn) dµ = 2 fdµ. Suy ra
lim
n
max (f, fn) dµ = lim
n
(f + fn) dµ − lim
n
min (f, fn) dµ = fdµ
Từ |fn − f| = max (f, fn) − min (f, fn) nên
lim
n
|fn − f| dµ = lim
n
( max (f, fn) dµ − min (f, fn) dµ) = 0
Từ bất đẳng thức fndµ − fdµ ≤ |fn − f| dµ ta suy ra điều phải chứng
minh.
2.3 Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R
Xét không gian đo được ([a, b], B([a, b]), λ). Một phân hoạch hữu hạn của
[a,b] là tập P = {a = t0, t1, ..., tn = b}. Định nghĩa mk = inf {f (t) , t ∈ [tk−1, tk]} và
Mk = sup {f (t) , t ∈ [tk−1, tk]}. Tổng Darboux –Riemann dưới và trên được định
nghĩa bởi
L (f, P) =
n
k=1
mk (tk − tk−1); U (f, P) =
n
k=1
Mk (tk − tk−1)
Đặt P là tập hợp tất cả các phân hoạch của [a, b].
Định nghĩa 2.5. Một hàm f : [a, b] → R là khả tích Riemann nếu
sup
P∈P
L (f, P) = inf
P∈P
U (f, P) (2.19)
Giá trị duy nhất A(f) trong (1.19) gọi là tích phân Riemann của f trên [a, b].
Dễ thấy rằng với mọi phân hoạch P1, P2 của [a, b]
L (f, P1) ≤ L (f, P1 ∪ P2) ≤ U (f, P1 ∪ P2) ≤ U (f, P1)
Nó chứng tỏ rằng f khả tích Riemann trên [a, b] khi và chỉ khi f là bị chặn
và với mọi ε> 0 có phân hoạch Pε thỏa mãn
U (f, Pε) − L (f, Pε) < ε (2.20)
29

32. Định lý 2.8. Giả sử rằng f là khả tích Riemann trên [a, b] và đặt M([a, b]) là
σ - đại số Lebesgue. Thì f ∈ L1([a, b], M([a, b]), λ) và f là liên tục λ - hầu chắc
chắn. Hơn nữa, A(f) =
[a,b]
fdλ.
Chứng minh. Chọn phân hoạch Pn ⊂ Pn+1 mà U(f, Pn) − L(f, Pn) < 1
n. Với mỗi
phân hoạch Pn đặt:
mn,k := inf f (t : t ∈ tn,k−1, tn,k và Mn,k := sup f (t) : t ∈ tn,k−1, tn,k .
Đặt gn và hn xác định bởi gn (a) = hn (a); gn (t) = mn,k; hn (t) = Mn,k với
t ∈ tn,k−1, tn,k . Rõ ràng gn ≤ gn+1 ≤ f ≤ hn+1 ≤ hn trên [a, b]Pn và
b
a
gn = L (f, P) < U (f, P) =
b
a
hn.
Hội tụ bị chặn có nghĩa
[a,b]
g (x) dx =
[a,b]
h (x) dx = A (f). Vậy, từ g = lim
n
gn ≤
f ≤ lim
n
hn = h thì g = f = h- hcc. Đặt D = {t ∈ [a, b] : g (t) < f (t)} thì f liên tục
với mọi điểm x /∈
n
Pn ∪ D.
Với mọi T ⊂ [a, b] môdun liên tục của f trên T được cho bởi
Ωf (T) := sup {f (x) − f (y) : x, y ∈ T}
Với x ∈ [a, b] môdun liên tục của f tại x cho bởi
ωf (x) = lim
h 0
Ω (B (x; h) ∩ [a, b]) = inf
h>0
Ω (B (x; h) ∩ [a, b]) .
Định lý 2.9. (Lebesgue) Một hàm f là khả tích Riemann trên [a, b] nếu và chỉ
nếu f là hàm bị chặn, liên tục λ - hầu chắc chắn trên [a, b]. Khi đó nó khả tích
theo nghĩa Lebesgue và hai tích phân bằng nhau.
Chứng minh. Với mỗi r > 0, xác định Jr = x ∈ [a, b] : ωf (x) > r . Mỗi Jr là tập
con đóng trong [a, b] và tập hợp các điểm gián đoạn của f là J = ∪
k∈N
J1/k. Thì
mỗi J1/k là tập compăct có đô đo zero. Vậy, với mỗi k, có hữu hạn tập mở Ak
30

33. phủ Jk có độ dài nhỏ hơn 1/k. Phần bù của hợp các khoảng Ak là tập hữu hạn
của các khoảng đóng Bk . Từ bổ đề 1.5 có δk > 0 mà nếu T ⊂ [a, b]
k
Ak và
diam(T) < k thì Ωf (T) < 1
k . Cho Pr là phân hoạch chuẩn bởi điểm cuối của Ak
và khoảng con chứa trong Bk độ dài nhỏ hơn δk. Thì
U (f, Pk) − L (f, Pk) = S1 + S1
ở đây S1 là chuẩn bởi khoảng con Ak và S2 khoảng con chứa Bk. Thì S1 ≤
(M − n) /k; S2 ≤ (b − a) /k. Cho k đủ lớn ta có
U (f, Pk) − L (f, Pk) < ε.
2.3.1 Một số tính chất của tích phân
Cho f là hàm từ E × [a, b] → R. Ta giả thiết rằng hàm x → ft (x) = f (x, t)
đo được với mỗi t ∈ [a, b], ft ∈ (ME, B; R, BR) và ta quan tâm đến tính chất của
hàm
t →
E
f (x, t) dµ (x)
với µ là một đo đo dương trên B.
Định lý 2.10. (Tính liên tục) Giả sử lim
t→t0
f (x, t) = l (x) với mọi x ∈ E, t0 ∈ [a, b],
|f (x, t)| ≤ g (x), g µ – khả tích với mọi t ∈ [a, b]. Khi đó
lim
t→t0
E
f (x, t) dµ (x) =
E
l (x) dµ (x).
Chứng minh. Giả sử {tn} ⊂ [a, b] và tn → t0 khi n → ∞. Ta xét dãy {fn}:
fn : x → fn (x) = f (x, tn)
Và áp dụng định lý hội tụ bị làm trội ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.11. (Tính khả vi) Với các điều kiện sau đây:
31

34. (i) Tồn tại t0 ∈ [a, b] sao cho x → f (x, t0) là µ – khả tích trên E.
(ii) ∂f
∂t tồn tại trên E × [a, b].
(iii) Tồn tại hàm g µ – khả tích trên E sao cho: ∂f
∂t (x, t) ≤ g (x) với mọi
t ∈ [a, b].
Khi đó, hàm số t → F (t) =
E
f (x, t) dµ (x) khả vi trên [a, b] và ta có:
dF (t)
dt
=
d
dt
E
f (x, t) dµ (x) =
E
df
dt
(x, t) dµ (x)
Chứng minh. Ta có ∂f
∂t (x, t) = lim
tn→t
f(x,tn)−f(x,t)
tn−t , x ∈ E. Nhưng ϕn (x) =
f(x,tn)−f(x,t)
tn−t
là hàm đo được theo x. Suy ra ∂f
∂t (x, t) là đo được với mọi t ∈ [a, b]. Áp dụng
định lý về số gia hữu hạn
f (x, t) − f (x, t0) = (t − t0)
∂f
∂t
(x, θ)
Ta có:
|f (x, t)| ≤ |f (x, t0)| + (t − t0) g (x)
Suy ra x → f (x, t) là µ - khả tích (giả thiết (ii) và (iii)) và đúng với mọi t ∈ [a, b].
Mà
F (tn) − F (t)
tn − t
=
E
f (tn) − f (t)
tn − t
dµ (x)
Theo (iii), ta có thể áp dụng định lý hội tụ bị làm trội vì
f (tn) − f (t)
tn − t
≤ g (x)
Suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 2.12. (Tính khả tích Riemann) Với các điều kiện sau:
(i) t → f (x, t) liên tục trên [a, b] với mọi x ∈ E.
(ii)Tồn tại g µ – khả tích trên E sao cho: |f (x, t)| ≤ g (x).
32

35. Khi đó, hàm số t → F (t) =
b
a
[
E
f (x, t) dµ (x)]dt =
E
[
b
a
f (x, t) dt]dµ (x).
Chứng minh. Các tích phân theo t là tích phân Riemann. Đặt h là hàm định
nghĩa trên E × [a, b] bởi:
(x, t) → h (x, t) =
t
a
f (x, s) ds
Khi đó ∂h
∂t = f (x, t) (vì f : t → f (x, t) liên tục). Do tích phân Riemann tồn tại,
nó là giới hạn của dãy tổng Riemann. Suy ra ánh xạ x → h (x, t) là đo được với mọi
t ∈ [a, b]. Mặt khác |f (x, t)| ≤ g (x), suy ra |h (x, t)| ≤ (b − a) g (x) nên x → h (x, t)
là µ – khả tích trên với mọi t ∈ [a, b]. Đặt H : t → H (t) =
E
h (x, t) dµ (x), áp
dụng H với định lý trước:
dH (t)
dt
=
E
∂h
∂t
(x, t) dµ (x) =
E
f (x, t) dµ (x) = F (t)
Từ đó, ta nhận được:
b
a
F (t) dt = H (b) − H (a) =
E
(h (x, b) − h (x, a)) dµ (x)
và
b
a
F (t) dt =
E
[
b
a
f (x, t) dt]dµ (x).
33

36. Chương 3
Tích phân: Cách tiếp cận theo giải
tích hàm
Cách tiếp cận tích phân trực tiếp của Daniell sử dụng sự tuyến tính và cấu
trúc liên tục của tích phân sơ cấp. Phương pháp của Daniell mở rộng tích phân
sơ cấp tới tập lớn nhất có thể của các hàm mà tính tuyến tính và hội tụ bị
trội được thỏa mãn. Ngược lại, tính đo được sẽ được định nghĩa từ tính chất
địa phương của tích phân. Điều kiện cắt của Caratheodory về sự đo được nhận
được như hệ quả của mở rộng tích phân và biểu diễn lý thuyết độ đo được suy
ra hầu như dễ dàng.
3.1 Tích phân sơ cấp và trung bình Daniell
Cho Ω là một tập hợp, E là tập không rỗng các hàm thực bị chặn trên Ω và
là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc là một vành.
Định nghĩa 3.1. (i) Một tích phân sơ cấp I trên E là một phiếm hàm tuyến
tính giá trị thực trên E.
(ii) Tích phân sơ cấp I là dương nếu I (f) ≥ 0 khi 0 ≤ f ∈ E.
(iii) Tích phân sơ cấp I là δ - liên tục nếu I (fn) 0 khi E fn 0.
34

37. Tính chất: Tính chất δ - liên tục là tương đương với
(i) (σ - liên tục) Nếu φn ≤ φn+1 ∈ E và φ = supn φn ∈ E thì I (φn) I (φ).
(ii) (σ - cộng tính) Nếu 0 ≤ ϕn ∈ E và
n
ϕn ∈ E thì I(
n
φn) =
n
I (φn).
Ví dụ 3.1. Các ví dụ sau đều là tích phân sơ cấp, liên tục, dương theo định
nghĩa 3.1.
(1) Giả sử rằng R là một vành các tập con của Ω và µ : R → [0, ∞) là hàm σ
- hữu hạn trên R. Cho E là tập hợp tất cả các hàm thực đơn giản. Khi đó, phiếm
hàm I : φ =
n
k=1
ak1{φ=ak} →
n
k=1
akµ {φ = ak} là một tích phân sơ cấp dương δ -
liên tục.
(2) Xét Ω=[a,b] và E là tập hợp các hàm bậc thang và I là tích phân Riemann
I : f →
b
a
f.
3.1.1 Tích phân trên Daniell
Giả thiết rằng không gian bao (E,I) là một tích phân sơ cấp cố định trên tập
Ω theo định nghĩa 3.1. Kí hiệu E↑ là tập hợp tất cả các hàm giá trị thực suy
rộng h sao cho tồn tại dãy {φn} ⊂ E thỏa mãn h = sup
n
φn. Nếu E là một dàn, ta
có thể thay thế φn bởi dãy tăng
n
k=1
φk.
Bổ đề 3.1. Giả sử rằng E là một dàn véctơ. Khi đó, không gian E↑ là đóng đối
với:
(i) Phép cộng.
(ii) Nhân với vô hướng không âm.
(iii) inf hữu hạn.
(iv) sup đếm được.
35

38. Định nghĩa 3.2. Tích phân trên của hàm h ∈ E↑ được định nghĩa bởi
I∗
(h) = sup {I (φ) : φ ∈ E, φ ≤ h} (3.1)
Tích phân trên của hàm giá trị thực mở rộng f bất kỳ trên Ω được định nghĩa
bởi
I∗
(f) = inf I∗
(h) : h ∈ E↑
, f ≤ h (3.2)
Rõ ràng I∗ (φ) = I (φ) nếu φ ∈ E. Sự biểu diễn (3.1) và (3.2) là trùng nhau
trên E↑.
Tiếp theo là các đặc tính của I∗.
Định lý 3.1. Giả sử rằng E là một dàn véctơ. Thì tích phân trên Daniell I∗ có
các tính chất sau:
(i) I∗ không giảm và thuần nhất dương.
(ii) Nếu {hn} ⊂ E↑ là dãy không giảm thì I∗ (hn) I∗(sup
n
hn).
(iii) I∗ là tuyến tính trên E↑.
(iv) I∗ là σ - cộng tính dưới tức là, nếu fn ≥ 0 thì I∗(
n
fn) ≤
n
I∗ (fn).
Chứng minh. (i) Tính đơn điệu tăng được chứng tỏ trực tiếp từ 3.1 và 3.2. Tính
thuần nhất dương là hệ quả của bổ đề 3.1 (ii) và sự tuyến tính của I trên E.
(ii) Giả sử rằng hn h ∈ E↑ thì sup
n
I∗ (hn) ≤ I∗ (h) theo tính đơn điệu tăng của
I∗. Với mỗi n, cho {φm,n} ⊂ E với φm,n hn và đặt ψk = max {φm,n : 0 ≤ n, m ≤ k}.
Nếu a < I∗ (h), cho φ ≤ h ∈ E sao cho a < I (φ) thì E ϕk = ψk ∧ φ ≤ hk và
ϕk φ. Từ (E, I) là σ - hữu hạn ta có
a < I (φ) = lim
k
I (ϕk) ≤ lim
k
I∗
(hk)
Do đó I∗ (h) ≤ lim
k
I∗ (hk). Ta kết luận rằng I∗ (h) = lim
k
I∗ (hk).
36

39. (iii) Giả sử rằng hi ∈ E↑, i = 1, 2 nếu {φn,i} ⊂ E và φn,j hi thì E φn,1+φn,2
h1 + h2. Từ E ⊂ E↑ và I∗ = I trên E, nó chứng tỏ từ (ii) rằng
I (h1 + h2) = lim
n
I (φn,1 + φn,2) = lim
n
(I (φn,1) + I (φn,2)) = I∗
(h1) + I∗
(h2)
(iv) Giả thiết rằng S =
n
I∗ (fn) < ∞. Với ε > 0 và mỗi n cho E↑ hn ≤ fn
thỏa mãn I∗ (hn) < I∗ (fn) + 2−nε. Phần (ii), (iii) và bổ đề 3.1 cho
I∗
(
n
fn) ≤ I∗
(
n
hn) = lim
n
I∗
(
n
k=1
hk)
= lim
n
(
n
k=1
I∗
(hk)) =
n
I∗
(hn) ≤
n
k=1
I∗
(fk) + ε
Cho ε 0, tính cộng tính dưới được chứng minh.
3.1.2 Trung bình Daniell
Định nghĩa 3.3. Giả sử E là một dàn véctơ. Trung bình Daniell của tích phân
sơ cấp (E,I) là ánh xạ . ∗
: R
Ω
→ [0, ∞] cho bởi f → I∗ (|f|).
Định lý 3.2. Trung bình Daniel . ∗
là hữu hạn trên E. Ngoài ra,
(i) Tính thuần nhất tuyệt đối: Với mọi a ∈ R và f ∈ R
Ω
, af ∗
= |a| f ∗
.
(ii) Tính vững: Nếu |f| ≤ |g| thì f ∗
≤ g ∗
.
(iii) Cộng tính dưới đếm được: Nếu {fn} là dãy các hàm giá trị thực mở rộng
không âm thì
n
fn
∗ ≤
n
fn
∗
.
(iv) Nếu 0 ≤ φn ∈ E và sup
n
n
k=1
φk
∗ < ∞ thì lim
n
φn
∗
= 0.
(v) Với mọi φ ∈ E, |I (φ)| ≤ φ ∗
.
Chứng minh. Ý (i) và (iii) là hệ quả trực tiếp của định lý 3.1.
Từ
n
k=1
φn
∗
=
n
k=1
I (φk) và 0 ≤ φn ∈ E suy ra (iv) được chứng minh.
Do φ ∈ E suy ra |φ| ∈ E và − |φ| ≤ φ ≤ |φ| suy ra chứng minh được (v).
37

40. Định nghĩa 3.4. Cho E ⊂ RΩ là không gian véc tơ các hàm bị chặn. Một phiếm
hàm . trên R
Ω
là hữu hạn trên E và thỏa mãn (i)-(iv) trong định lý 3.2 được
gọi là trung bình đối với E.
Bất đẳng thức Chebyshev của một trung bình trên dàn véc tơ E.
Định lý 3.3. (Bất đẳng thức Chebyshev) Nếu . là một trung bình đối với E
thì với mọi f ∈ R
Ω
{f > λ} ≤ {|f| > λ} ≤
1
λ
f , λ > 0 (3.3)
Chứng minh. 3.3 là hệ quả theo tính đồng nhất tuyệt đối, tính vững của trung
bình . và bất đẳng thức
λ1{f>λ} ≤ λ1{f>λ} ≤ |f| .
Định nghĩa 3.5. Một hàm f ∈ R
Ω
được gọi là . - bỏ qua được nếu f = 0.
Một tập A ⊂ Ω được gọi là . - bỏ qua được nếu 1A là . - bỏ qua được; Một tính
chất P trên Ω được nói là đúng . - hầu chắc chắn nếu tập {ω ∈ Ω : P (ω) sai}
là . - bỏ qua được.
Bổ đề 3.2. Giả sử . là một trung bình đối với E.
(i) Tổng đếm được các hàm . - bỏ qua được là hàm . - bỏ qua được. Hợp
đếm được các tập . - bỏ qua được là tập . - bỏ qua được.
(ii) f là . - bỏ qua được nếu và chỉ nếu {f = 0} là . - bỏ qua được.
(iii) Nếu f < ∞ thì f là hữu hạn . - hầu khắp nơi.
(iv) Nếu f = f . - hầu khắp nơi thì f = f .
Chứng minh. (i): Từ maxn |fn| ≤
n
|fn|, tính vững và tính cộng tính dưới đếm
được của trung bình chứng tỏ rằng max
n
fn ≤
n
|fn| ≤
n
fn thì (i) được
chứng tỏ.
38

41. (ii): Từ 1{f=0} ≤
n
|f| và |f| ≤
n
1{f=0} thì từ (i) suy ra (ii).
(iii): Từ n1{|f|=∞} ≤ |f| ta có được {|f| = ∞} ≤ 1
n f → 0.
(iv): Nếu f = f hầu chắc chắn thì f − f = 0 hầu chắc chắn. Theo (ii) và
bất đẳng thức tam giác suy ra
| f − f | ≤ f − f = 0.
Một hàm f được gọi là xác định hầu khắp nơi nếu Ωdom(f) là bỏ qua được
đối với trung bình . . Bổ đề 3.2 suy ra là khi g, g ∈ R
Ω
trùng với f trên dom(f)
thì g − g = 0 và g = g . Ngoài ra, không mất tính tổng quát ta có thể xác
định f := g .
Định lý 3.4. Cho E là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc một vành.
Nếu . là một trung bình đối với E thì
(i) F = {f ∈ R
Ω
: f < ∞} là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt.
(ii) (F, . ) là không gian đủ có nửa chuẩn.
(iii) Nếu {fn} ⊂ F và lim
n
f − fn = 0 thì có một dãy con {fnk } hội tụ theo
từng điểm tới f - hầu chắc chắn.
(iv) Bao đóng của E trong (F, . ) kí hiệu bởi L1( . ) là dàn véctơ đóng với phép
chặt cụt.
Chứng minh. (i) Mệnh đề đầu tiên được chứng tỏ từ tính vững, thuần nhất tuyệt
đối và cộng tính dưới đếm được từ đó
|af + g| ≤ |a| |f| + |g|; |f ∨ g| ≤ |f| + |g|;
|f ∧ g| ≤ |f| + |g| và |f ∧ 1| ≤ |f|.
(ii) Giả sử rằng {fn} ⊂ F là dãy Cauchy. Theo bổ đề 3.2, không mất tính
tổng quát ta có thể giả thiết rằng |fn (ω)| < ∞ với ∀n và ∀ω ∈ Ω. Chọn dãy
39

42. con {fnk } thỏa mãn sup
n≥nk
fn − fnk < 2−k−1 và fnk+1 − fnk < 2−k. Do đó g =
k
fnk+1 − fnk ∈ F và B = {g = ∞} là bỏ qua được. Ta kết luận rằng
f (x) = fn1 (x) +
∞
k=1
fnk+1 (x) − fnk (x) = lim
k
fnk (x)
là hội tụ tuyệt đối hầu chắc chắn. Ngoài ra, f ∈ F vì f < fn1 + 1 và
f − fnk = 1Bc (f − fnk ) = 1Bc
m≥k
(fnm+1 − fnm ) ≤ 2−k+1
→ 0
ta kết luận rằng tất cả các dãy con {fn} hội tụ đến f theo trung bình và hầu
chắc chắn.
(iii) Nếu {fn} hội tụ đến f theo trung bình thì nó là dãy Cauchy theo trung
bình; Theo phần (i) có dãy con {fnk } và f ∈ F thỏa mãn fnk hội tụ đến f theo
trung bình và hầu chắc chắn. Nó chứng tỏ ngay rằng f = f hầu chắc chắn.
(iv) Giả sử f, g ∈ L1 và {φn} ; {ψn} là các dãy trong E thỏa mãn lim φn − f =
lim ψn − g = 0. Giả sử rằng E là dàn véctơ đóng với phép chặt cụt. Thì từ
|af + bg − (aφn − bψn)| ≤ |a| |f − φn| + |b| |g − ψn| (3.4)
||f| − |φn|| ≤ |f − φn| (3.5)
|f ∧ 1 − φn ∧ 1| ≤ |f − φn| (3.6)
Ta kết luận nó là L1.
Giả sử rằng E chỉ là một vành các hàm bị chặn. Đầu tiên, ta chứng tỏ được
rằng |φ| ∈ L1 với mọi φ ∈ E. Khi đó tồn tại một dãy {ψn} là dãy Cauchy trong
F, nếu không thì tồn tại và một dãy con ε > 0 thỏa mãn sup
k
ψnk+1 − ψnk > ε.
Từ sup
K
K
k=1
ψnk+1 − ψnk ≤ φ thì lim
k
ψnk+1 − ψnk = 0 điều đó là mâu thuẫn.
Từ phần (ii) ta kết luận được rằng {ψn} hội tụ đến |φ| theo trung bình.
Ta còn phải chứng minh L1 là đóng với phép chặt cụt. Ta chỉ cần chứng minh
được rằng φ ∧ 1 ∈ L1,∀φ ∈ E. Ngoài ra, từ φ ∧ 1 = φ+ ∧ 1 − φ− , nó là đủ nếu
xét đến φ ≥ 0. Đặt {τn} ⊂ E+ thỏa mãn τn φ ∧ 1 đều. Phần (i) chứng tỏ rằng
40

43. φ ∧ 1 ≤ φ ; Bằng lập luận tương tự như trên với giá trị tuyệt đối ta có {πn}
là dãy Cauchy theo trung bình. Vì vậy, từ phần (ii), φ ∧ 1 ∈ L1.
Các hàm số trong L1( . ) được gọi là khả tích đối với trung bình . .
Tính chất:(i) Giả sử rằng E là một vành và 0 ≤ f ∈ L1. Khi đó, tồn tại dãy
0 ≤ φn ∈ E thỏa mãn f − φn → 0.
(ii) Giả sử rằng E là một vành và . là một trung bình của E và cho f ∈ L1.
Khi đó nếu g ∈ L1 là bị chặn hoặc g ∈ E
u
thì f.g ∈ L1.
3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình
Kết quả tiếp theo được trình bày tương tự hội tụ đơn điệu và hội tụ bị chặn
trong L1( . ).
Định lý 3.5. (Định lý hội tụ đơn điệu) Giả sử rằng {fn} ⊂ L1 là dãy tăng hoặc
dãy giảm thỏa mãn sup
n
fn < ∞. Nếu fn hội tụ theo từng điểm tới f thì f ∈ L1
và lim
n
f − fn = 0.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng tỏ rằng {fn} ⊂ L1
+ và sup
n
n
k=1
fk < ∞ thì
lim
n
fn = 0. Với mỗi n ta có thể chọn φn ∈ E+ thỏa mãn φn − fn < 2−n thì
sup
n
n
k=1
φn ≤ sup
n
n
k=1
fn + 1
Vậy
fn ≤ fn − φn + φn → 0.
Không mất tính tổng quát ta giả thiết rằng fn < ∞ trên Ω với mọi n. Chú
ý rằng fn f khắp nơi. {fn} phải là dãy Cauchy trong L1. Nói cách khác, với
mọi ε > 0 có dãy con {fnk } thỏa mãn sup
n
fnk − fnk−1 > ε. Nhưng từ
sup
k
K
k=1
fnk − fnk−1 ≤ sup
n
fn + fn1 < ∞
nó chứng tỏ rằng lim
k
fnk − fnk−1 = 0, điều này mâu thuẫn với cách chọn của
fnk . Vì vậy theo định lý 3.4 thì f ∈ L1 và fn − f → 0.
41

44. Hệ quả 3.1. Nếu E là một dàn véctơ thì E↑⊂ F ⊂ L1.
Chứng minh. Đặt h ∈ E↑ ∩ F và chọn một dãy không giảm {φn} ⊂ E hội tụ tới h
thì ψn = φn − φ1 ∈ E+ và ψn h − φ1. Do đó sup
n
ψn ≤ h + φ1 và theo định
lý hội tụ đơn điệu ta kết luận được rằng φn − h → 0.
Bổ đề 3.3. (Bổ đề Fatou) Giả sử 0 ≤ fn ∈ L1. Khi đó:
lim inf
n
fn ≤ lim inf
n
fn
Định lý 3.6. (Hội tụ bị làm trội Daniell Lebesgue) Giả sử {fn} ⊂ L1 hội tụ hầu
chắc chắn đến f. Giả sử có g ∈ F thỏa mãn |fn| ≤ g hầu chắc chắn với mọi n.
Thì f ∈ L1 và lim
n
fn − f = 0.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng các điều kiện xảy
ra khắp nơi. Theo định lý 3.4 (iv) có một dãy hội tụ đơn điệu
gn = sup {|fk − fm| , k, m ≥ n} ∈ L1
với mọi n.
Từ đó, gn 0 và 0 ≤ gn ≤ 2g với mọi n. Sự hội tụ đơn điệu suy ra là gn → 0.
Từ đó, fk − fm ≤ gn với mọi k, m ≥ n, nó chứng tỏ rằng {fn} là dãy Cauchy
trong L1. Ta kết luận từ định lý 3.4 rằng {fn} hội tụ theo trung bình đến f.
Kết quả tiếp theo phát biểu rằng với mục đích của lý thuyết tích phân chỉ
cần xét các hàm lấy tích phân sơ cấp E là vành - dàn là đủ.
Bổ đề 3.4. Giả sử rằng E là dàn véc tơ đóng với phép chặt cụt. Nếu f, g ∈ L1
và g bị chặn thì f.g ∈ L1.
Chứng minh. Nếu φ ∈ E thì theo định lý Stone - Weierstrass có dãy φn ∈ E+ với
0 ≤ φn ≤ φ2 thỏa mãn φ2 − φu u
→ 0. Từ đó φ2 ≤ φ u |φ| ∈ F, ta kết luận từ
định lý hội tụ bị làm trội rằng φn hội tụ theo trung bình tới φ2. Vì vậy, φ.ψ ∈
L1 khi φ, ψ ∈ E. Nó chứng tỏ rằng φ.g ∈ L1 với mọi φ ∈ E và ta kết luận rằng
f.g ∈ L1.
42

45. Bổ đề 3.5. Giả sử f ∈ L1 và a ∈ (0, ∞) thì 1{f>a}, 1{f<−a}, 1{f≤−a}, 1{f≥a} là
khả tích.
Chứng minh. Nếu hn = 1∧ (n (f − f ∧ 1)) ∈ L1 thì 0 ≤ hn ≤ |f|. Chú ý hn →
1{f>1}. Theo định lý hội tụ bị làm trội ta kết luận rằng 1{f>1} ∈ L1. Từ {f > a} =
{f/a > 1} nó chứng tỏ rằng 1{f>a} ∈ L1. Sử dụng −f thay thế f cho ta 1{f<−a} ∈
L1. Đặt {an} ⊂ (0, ∞) thỏa mãn an a. Thì 1{f≥an} 1{f≥a}, lại theo tính hội
tụ bị làm trội thì 1{f≥a} và 1{f≤−a} nằm trong L1.
Định lý 3.7. Cho (E, I) là một tích phân sơ cấp và . ∗
là trung bình của Daniell
thì
A ∗
= inf B ∗
: A ⊂ B ∈ E↑ = inf B ∗
: A ⊂ B ∈ L1}
với mọi A ∈ F. Ngoài ra, nếu A ∈ F thì có tập B ∈ E↑↓∩ L1 thỏa mãn A ⊂ B và
A ∗
= B ∗
.
Chứng minh. Nếu A ∗
< ∞ thì có dãy E↑ hn ≥ 1A thỏa mãn lim
n
hn
∗
= A ∗
.
Từ E↑ là đóng dưới inf hữu hạn. Ta có thể giả sử rằng {hn} giảm. Đặt h = inf
n
hn
thì 1A ≤ h ∈ E↑↓∩ L1 mệnh đề này được chứng tỏ bởi định lý hội tụ đơn
điệu. Rõ ràng 1A ≤ 1{h≥1} ≤ 1{hn+1>1−ε} ≤ 1{hn>1−ε} ≤ hn
1−ε và theo bổ đề 3.5
{hn > 1 − ε} ∈ E↑∩ L1 thì, với N đủ lớn ta có
A ∗
≤ {h ≥ 1} ∗
≤ {hN > 1 − ε} ∗
≤
1 + ε
1 − ε
A ∗
.
Vậy
inf B ∗
: A ⊂ B ∈ E↑ ∨ inf B ∗
: A ⊂ B ∈ L1} ≤ 1+ε
1−ε A ∗
Ta có được đẳng thức cần chứng minh bằng cách cho ε 0. Mệnh đề trên được
chứng tỏ bằng cách chọn dãy giảm A ⊂ Bn ∈ E↑ thỏa mãn A ∗
= inf
n
Bn
∗
thì
tập B =
n
Bn có các tính chất đã nêu.
Ví dụ 3.2. (Tính chính quy ngoài của trung bình Daniell trên không gian Haus-
dorff compact địa phương) Giả sử X là không gian Hausdorff compact địa phương,
43

46. E = C00 (X), I là một phiếm hàm tuyến tính dương tạo ra (E, I) một tích phân
cơ bản và đặt . ∗
là trung bình Daniell. Kí hiệu G là tập hợp tất cả các tập mở
của X. Thì {h > r} ∈ G với mọi h ∈ E↑ và r > 0. Do đó:
A ∗
= inf G ∗
: A ⊂ G ∈ G (3.7)
Một hàm đơn giản khả tích là tổ hợp tuyến tính hữu hạn của hàm 1A ∈ L1.
Kết quả tiếp theo sẽ chứng tỏ rằng hàm các đơn giản là trù mật trong L1.
Định lý 3.8. Với mọi f ∈ L1 có dãy sn các hàm đơn giản thỏa mãn |sn| ≤ |f|
hầu chắc chắn và f − sn → 0.
Chứng minh. Biểu diễn f = f+ − f− và đặt s+
n = 2−n [2nf+] 1{f+≤2n}, s−
n =
2−n [2nf−] 1{f−≤2n} thì sn = s+
n − s−
n là dãy của các hàm đơn giản khả tích hội tụ
đến f trên {|f = ∞|} và thỏa mãn |sn| ≤ |f|. Theo định lý hội tụ bị làm trội ta
kết luận rằng sn − f → 0.
3.2 Mở rộng tích phân
Giả sử rằng (E,I) là tích phân sơ cấp và đặt . là trung bình trội của tích
phân sơ cấp tức là |I (φ)| ≤ φ , ∀φ ∈ E.
Giả sử f ∈ L1 và cho {φn} ⊂ E thỏa mãn f − φn → 0 thì {φn} là một dãy
Cauchy đối với trung bình và từ
|I (φn) − I (φm)| = |I (φn − φm)| ≤ φn − φm
ta kết luận rằng {I (φn)} là dãy số Cauchy. Vậy nó hội tụ. Giả sử rằng {ϕn} ⊂ E
là một dãy khác hội tụ theo trung bình tới f thì
|I (φn) − I (ϕn)| = |I (φn − ϕn)| ≤ φn − ϕn ≤ f − φn + f − ϕn → 0
Vì vậy, I nhận được một mở rộng tới (L1 , . ) bằng cách cho
I (f) = lim
n
I (φn) (3.8)
với mọi {φn} ⊂ E thỏa mãn f − φn → 0.
44

47. Nhận xét 3.1. Chú ý rằng nếu I là một tích phân sơ cấp trên dàn véctơ E và
. ∗
là trung bình của Daniell thì |φ| ∗
= I (|φ|) ≤ |φ| = φ với mọi φ ∈ E.
Vì vậy, nếu {φn} ⊂ E là dãy Cauchy theo trung bình Daniell thì nó cũng là dãy
Cauchy đối với trung bình . . Do đó, (L1( . ), I) ⊂ (L1( . ∗
), I).
Định lý 3.9. Giả sử . là trung bình trội trên tích phân cơ bản (E,I).
(i) Mở rộng của I lên (L1, . ) là tuyến tính, dương và bị làm trội bởi trung bình
tức là,
I (af + g) = aI (f) + I (g) , a ∈ R; f, g ∈ L1 (3.9)
I (f) ≥ 0 nếu f ∈ L+
1 (3.10)
|I (f)| ≤ I (|f|) ≤ f (3.11)
(ii) Mở rộng I thỏa mãn định lý hội tụ đơn điệu: Nếu 0 ≤ fn ∈ L1 và sup
n
I (fn) < ∞
thì lim
n
I(|fn − sup
n
f|) = 0.
(iii) Nếu E là dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc dàn vành, . ∗
là trung
bình Daniell thì I (f) = I∗ (f) với mọi f ∈ L1
+( . ∗
). Ngoài ra I (h) = I∗ (h)
với mọi h ∈ E↑.
Chứng minh. Giả sử f, g ∈ L1, a ∈ R và cho {φn} , {ψn} là các dãy cơ bản hội tụ
tới f và g tương ứng. Từ
af + g − (aφn + ψn) ≤ |a| f − φn + g − ψn
tính tuyến tính của mở rộng được chứng tỏ.
Giả sử rằng f ∈ L1
+. Nếu E là dàn véctơ, từ |f − |φ|| ≤ |f − φn|. Nó chứng tỏ
rằng f − |φn| → 0; Tính dương được chứng tỏ từ I (|φn|) ≥ 0.
Nếu E chỉ là vành thì trong chứng minh của định lý 3.4 (iii), định lý Stone
Weierstrass cung cấp ψn ∈ E+ thỏa mãn |ψn − |φn|| < 2−n. Do đó f − ψn → 0
và tính dương được suy ra từ I (ψn) ≥ 0.
45

48. Tính dương và tính tuyến tính chứng tỏ rằng |I (f)| ≤ I (|f|) từ − |f| ≤ f ≤ |f|.
Cho ψn ∈ E+ thỏa mãn ψn − |f| → 0 thì
|I (f)| ≤ I (|f|) = lim
n
I (ψn) ≤ lim
n
ψn = |f| = f
Nếu thêm điều kiện E là dàn véctơ và f ∈ L1
+( . ) thì f − ψn
∗
→ 0. Do đó
|I (f)| = I (f) = I (|f|) = lim
n
I (ψn) = lim
n
ψn
∗
= f ∗
= I∗
(f)
Mệnh đề trên được suy ra từ định lý 3.1 (ii) và định lý 3.5.
Hàm nhận giá trị trên đường thẳng thực đóng vai trò chính trong định nghĩa
tích phân cơ bản và mở rộng của nó. Tuy nhiên, mở rộng tích phân bao gồm
hàm giá trị phức.
Giả sử rằng (E,I) là một tích phân cơ bản và . ∗
là một trung bình trên E
trội hơn tích phân. Với mọi f ∈ CΩ, ta định nghĩa khái niệm nửa chuẩn f ∗
là
f ∗
C = |f| ∗
.
Định nghĩa 3.6. Giả sử rằng . ∗
xác định nửa chuẩn phức trên không gian
F∗
C các hàm giá trị phức với chuẩn . ∗
C hữu hạn. Đặt E ⊗ C =φ + iψ : φ,ψ ∈
E là không gian tuyến tính phức của E. Khi đó: Không gian các hàm phức khả
tích được xác định là bao đóng của E ⊗ C trong (F∗
C, . ∗
).
Định lý 3.10. Cho CΩ f = u + vi với u, v ∈ RC. Khi đó:
(i) f ∈ L1(C) khi và chỉ khi u, v ∈ L1.
(ii) Nếu f ∈ L1(C) thì |f| ∈ L1.
(iii) Nếu . ∗
là trung bình Daniell thì f ∈ L1(C) khi và chỉ khi f là đo được
và |f| ∈ L1.
(iv) Sự hội tụ đơn điệu: Nếu {fn} ∈ L1(C), fn → f hầu chắc chắn và sup {fn} ≤ g
khi g ∈ F thì f ∈ L1(C) và fn − f ∗
C → 0.
46

49. 3.3 Tính đo được Daniell
Trong sự mở rộng của tích phân Riemann trên đường thẳng thực (Tích phân
Lebesgue). Ta nhận thấy rằng, hàm khả tích gần như là hàm gần sơ cấp (liên
tục); Tập khả tích là tập gần như sơ cấp (hợp các khoảng mở bị chặn); Tập đo
được là tập gần như sơ cấp địa phương.
Trong suốt mục này ta sẽ giả sử rằng (E,I) là tích phân sơ cấp, E là một dàn
vành và . là trung bình trội trên tích phân, tức là |I (φ)| ≤ φ với mọi φ ∈ E.
Kết quả trình bày tiếp theo là bước ngoặt, khái niệm về tính đo được sẽ được
phát triển.
Định lý 3.11. Cho f ∈ L1 và ε > 0. Tồn tại một tập U ∈ E↑ với U < ε và một
hàm g ∈ E
u
(bao đóng đều của E) thỏa mãn f = g, . - hầu chắc chắn trên Uc.
Chứng minh. Trong chứng minh của định lý 3.4, ta có dãy {φn} ⊂ E thỏa
mãn f − φn → 0. Chuyển qua dãy con nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng
φn − φn−1 ≤ 2−n−1 với mọi n ≥ 1. Đặt ψ0 = φ0 và ψn = φn − φn−1 để cho
f =
∞
n=1
ψn theo trung bình và hầu chắc chắn. Xác định f =
∞
n=0
ψn khi dãy số
xác định và bằng không nếu ngược lại. Xét hàm
gn =
n
k=1
k |ψn|, g =
∞
k=1
k |ψk|
Rõ ràng g ∈ L1 và gn − g → 0. Với mọi M và K ta có
{g > M} ≤
1
M
g ≤
1
M
K
k=1
kψk +
k>K
k
2k
Do đó chọn K đủ lớn và lấy M đủ lớn ta có {g > M} < ε. Từ 1{g>M} =
sup
k,n
1 ∧ (k (gn − gn ∧ M)), ta kết luận rằng U = {g > M} ∈ (E↑)↑ = E↑. Trên Uc ta
có {g ≤ M} vì
∞
n=1
ψn hội tụ tuyệt đối. Ngoài ra,
|f −
n
k=0
ψk| ≤
k>n
|ψk| ≤
1
n
k>n
k |ψk| ≤
g
n
≤
M
n
47

50. Điều này chứng tỏ rằng
∞
n=1
φn hội tụ đều đến f trên Uc ∩ {f = g }. Weierstrass
mở rộng định lý 2.1.8 cho g ∈ E
u
thỏa mãn g = g trên Ω.
Định lý 3.12. Cho {fn} ∈ L1 và giả sử rằng {fn} hội tụ đến f hầu chắc chắn
trên một tập con A ∈ L1. Thì với mọi ε > 0 có L1 A0 ⊂ A thỏa mãn AA0 < ε
và fn hội tụ đều đến f trên A0.
Chứng minh. Với mỗi n, k ≥ 1 xác định S (n, k) = A ∩ i,j≥n |fi − fj| < 1
k thì
với k cố định S (n, k) A hầu chắc chắn. Theo định lý hội tụ đơn điệu cho
một dãy nk < nk+1 thỏa mãn AS (nk, k) < ε2−k. Theo định lý hội tụ đơn điệu
A0 =
k
S (nk, k) ∈ L1. Ngoài ra, AA0 < ε và rõ ràng fn hội tụ đều đến f trên
A0.
3.3.1 Tính đo được
Tính đo được mô tả cấu trúc địa phương của quá trình khả tích. Lusin đã
quan sát được các hàm khả tích Lebesgue hàm trên đường thẳng thực là liên tục
đều trên tập hợp lớn một cách tuỳ ý. Tính chất này được dùng để định nghĩa
tính đo được.
Định nghĩa 3.7. Một hàm f ∈ RΩ là đo được đối với trung bình . nếu với
mọi A ∈ L1 và ε > 0 có L1 A0 ⊂ A và g ∈ E
u
thỏa mãn AA0 < ε và f = g
trên A0. Tập B ⊂ Ω là đo được nếu 1B là đo được.
Hệ quả 3.2. Giả sử D là tập trù mật trong L1. Một hàm giá trị thực f là đo
được nếu và chỉ nếu với mọi tập A ∈ L1 và ε > 0 có L1 A0 ⊂ A với AA0 < ε
thỏa mãn f là giới hạn đều của một dãy trong D.
Chứng minh. Giả sử f là đo được. Thì có L1 A’0 ⊂ A và g ∈ E
u
thỏa mãn
AA0
< ε
2 và f = g trên A0. Từ g1A0
∈ L1 thì có dãy {dn} ⊂ D hội tụ theo
chuẩn và hội tụ hầu chắc chắn tới g1A0
. Do đó theo định lý 3.1 có L1 A0 ⊂ A
với A0A0
< ε
2 thỏa mãn dn hội tụ đều trên A0, f là giới hạn đều của một dãy
trong D trên A0. Rõ ràng AA0 < ε.
48

51. Ngược lại, giả sử rằng f là giới hạn đều của một dãy {dn} ⊂ D trên một tập L1
A0 ⊂ A với L1 A0 ⊂ A . Với N đủ lớn ta có dn − f A0,u < ε khi n ≥ N; Do đó,
dãy {dn1A0
: n ≥ N} là bị làm trội, như đã thấy từ |dn1A0
| ≤ ε1A0+|d|. Theo hội
tụ bị làm trội ta kết luận rằng f1A0
∈ L1 là giới hạn theo trung bình và giới hạn
hầu chắc chắn của dãy {φn} ⊂ L1. Định lý 3.13 chứng tỏ rằng có L1 A0 ⊂ A0
và g ∈ E
u
thỏa mãn A0A0 < ε
2 và f1A0
= g trên A0 thì AA0 < ε và f là giới
hạn đều của một dãy cơ bản.
Bổ đề 3.6. Giả sử rằng {fn} ⊂ RΩ là dãy các hàm đo được. Thì với A ∈ L1 và
ε > 0 tồn tại L1 B ⊂ A và một dãy {gn} ⊂ E
u
thỏa mãn AB < ε và fn = gn
trên B.
Chứng minh. Đặt A−1 := A; Cho L1 A0 ⊂ A và g0 ∈ E
u
thỏa mãn A−1A0 < ε
2
và f0 = g0 trên A0. Giả sử rằng Ak ⊂ Ak−1 ∈ L1, k = 0, 1, ...n và g1, g2, ..., gn ∈ E
u
được chọn để Ak−1Ak < ε2−k−2 và fk = gk trên Ak. Đặt B =
n
An sự hội tụ
đơn điệu có nghĩa B ∈L1. Ngoài ra:
AB =
n
(An−1An) ≤
n
1An−1
− 1An
≤
n
ε2−n−2
= ε
bởi tính cộng tính dưới của trung bình. Rõ ràng, fn = gn trên B với mọi n.
Định lý 3.13. (Định lý Egorov) Cho {fn} ⊂ RΩ là dãy các hàm đo được hội tụ
đến f hầu chắc chắn. Thì f là đo được;
Ngoài ra, với mọi A ∈ L1 và ε > 0 thì có L1 B ⊂ A với AB < ε thỏa mãn
fn hội tụ đều đến f trên B.
Chứng minh. Cho L1 B0 ⊂ A và {gn} ∈ E
u
thỏa mãn AB0 < ε/2 và fn = gn.
Mỗi fn1B0
∈ L1 từ đó nó tạo ra hàm khả tích và một hàm trong E
u
. Vì vậy,
fn1B0
hội tụ đến f1B0
- hầu chắc chắn. Theo định lý 3.12 có L1 B ⊂ B0 thỏa
mãn
B0B < ε/2 và fn − f B,u = gn − f B,u → 0
49

52. Ta kết luận rằng f là hàm hạn chế của hàm g ∈ E
u
trên B. Vì vậy, f là hàm đo
được.
Định lý 3.14. (i) Lớp MR các hàm thực đo được là một dàn đại số đóng với
phép chặt cụt và chứa EΣ.
(ii) Nếu f ∈ MR và ϕ : R −→ R là liên tục thì ϕ ◦ f ∈ MR.
(iii) Lớp M các tập con đo được của Ω là một σ - đại số.
Chứng minh. (i) Cho f, f là các hàm đo được và r ∈ R. Cho A ∈ L1 và ε > 0, có
L1 A0 ⊂ A và hàm ϕ, ϕ ∈ Eu thỏa mãn AA0 < ε và |f − ϕ| = 0 = |f − ϕ |
trên A0. Thì |f| = |ϕ|, rf + f = rϕ + ϕ , f ◦ f = ϕ ◦ ϕ và |f| ∧ 1 = |ϕ| ∧ 1 trên A0.
Từ E
u
là một dàn vành đóng với phép chặt cụt. Ta kết luận rằng nó là MR. Bây
giờ ta chứng tỏ rằng 1Ω ∈ MR. Đặt A ∈ L1, theo định lý 3.11 thì có tập U ∈ L1
và g ∈ E
u
thỏa mãn U < ε và 1A = g trên Uc. Nếu A0 = AU thì AA0 < ε
và g = 1Ω trên A0. Từ đó E ⊂ MR và theo định lý Egorov, tính liên tục đóng ta
kết luận rằng E ⊂ MR
(ii) Theo định lý Stone Weierstrass có dãy {pn} các đa thức trong R thỏa
mãn pn hội tụ theo từng điểm đến ϕ . Do đó, pn ◦f ∈ MR và theo định lý Egorov
ϕ ◦ f ∈ MR.
(iii) Từ 1ΩA = 1 − 1A, ta kết luận rằng M là đóng với phép lấy phần bù. Từ
1
n
An
= lim
n
max {1Ak
: 1 ≤ k ≤ n} ta kết luận từ phần (i) và định lý Egorov rằng
M là đóng với hợp dưới đếm được.
Kết quả tiếp theo phân loại đầy đủ không gian L1 theo tính đo được hữu hạn
của trung bình.
Bổ đề 3.7. Một tập A ∈ M nếu và chỉ nếu A ∩ B ∈ L1 với mọi B ∈ L1.
Chứng minh. Nếu A ∈ L1 thì với mọi B ∈ L1 và ε > 0 có các tập L1 Bk ⊂ B và
hàm gk ∈ E
u
thỏa mãn BBk < 2−k và 1A = gk trên Bk . Mỗi hàm fk = gk1Bk
thuộc vào L1. Ngoài ra, fk hội tụ tới 1A trên B =
k m≥k
Bm.
50

53. Từ BB ≤
m≥k
BBm ≤ 2−k+1 → 0, ta kết luận rằng fk hội tụ hầu chắc chắn
tới 1A∩B. Dãy fk bị trội bởi 1B thì 1A∩B ∈ L1 theo sự hội tụ bị làm trội.
Giả sử rằng A ∩ B ∈L1 với B ∈ L1 và cho ε > 0. Theo định lý 3.11, có tập
U ∈ L1 và hàm φ ∈ E
u
thỏa mãn Uc < ε và 1A∩B = φ trên U. Vậy, 1A = φ trên
B0 = B ∩ U và BB0 ≤ U < ε.
Định lý 3.15. Một hàm f ∈ R
Ω
là khả tích nếu và chỉ nếu có f ∈ F ∩ MR
với f − f = 0 và {f = 0} là σ - hữu hạn. Do đó, EΣ ∩ F ∈ L1. Ngoài ra,
nếu (E, I) là một tích phân sơ cấp và . ∗
là trung bình của Daniel thì ta có
L1( . ∗
) = F ∩ MR.
Chứng minh. Nếu f ∈ L1 thì f ∈ F và {|f| = ∞} = 0. Với mọi L1 A ⊂ Ω ta
có rằng f1A ∈ L1; Vậy f là đo được. Bổ đề 3.5 chứng tỏ rằng An = {|f| > 1/n} ∈
L1; Vậy {f = 0} =
n
An là σ - hữu hạn. Nếu f ∈ EΣ thì với mọi {φn} ⊂ E,
{f = 0} ⊂
n
{φn = 0}. Vậy, {f = 0} là σ - hữu hạn theo bổ đề 3.5.
Ngược lại, giả sử f ∈ E ∩ MR. Đầu tiên ta sẽ chứng tỏ rằng với mọi A ∈ L1,
hàm f1A ∈ L1. Có các tập khả tích Ak ⊂ A hàm gk ∈ E
u
thỏa mãn AAk < 2−k
và f = gk trên Ak. Thì hàm fk := f1Ak
là hàm khả tích. Chú ý rằng trên
A =
k m≥k
Am dãy fn hội tụ theo từng điểm tới f. Từ
AA ≤
m≥k
AAm ≤
m≥k
2−m
= 2−k+1
→ 0
ta kết luận rằng fn hội tụ tới f1A hầu chắc chắn. Từ {fk} bị trội bởi |f| ∈ F,
hội tụ bị trội có nghĩa rằng f.1A∈ L1.
Tổng quát, giả sử rằng {An} là dãy tăng các tập khả tích thỏa mãn 1Ak
1{f=0} thì mỗi fn := f1An
là khả tích và bị trội bởi |f|. Từ đó fn → f - hầu chắc
chắn, theo tính hội tụ bị trội ta kết luận f ∈ L1.
Trong trường hợp trung bình của Daniell trên tích phân sơ cấp (E, I), nếu
f ∈ M thì An = |f| > 1
n ∈ M. Nếu f ∗
< ∞, bất đẳng thức Chebyshev chứng
tỏ rằng An
∗
≤ n f ∗
< ∞. Định lý 3.7 có nghĩa rằng với mọi n, có L1
51

54. Bn ⊃ An thỏa mãn An
∗
= Bn
∗
; Do đó, theo bổ đề 3.7, An = An ∩ Bn ∈ L1.
Vậy {f = 0} =
n
An là σ - hữu hạn.
Bổ đề 3.8. Giả sử f ∈ L1 và |γ ◦ f| ≤ h với một hàm liên tục γ nào đó, với
γ (0) = 0 và h ∈ F thì γ ◦ h ∈ L1.
Định lý 3.16. Giả sử rằng D ⊂ R là trù mật. Khi đó, f ∈ MR nếu và chỉ nếu
{f > d} ∈ M với mọi d ∈ D.
Chứng minh. Nếu f ∈ MR thì fn = 1∧ (n (f − f∧ 1) ∈ MR. Do đó, lim
n
fn =
1{f>1} ∈ MR. Do đó, với d > 0, {f > d} = {fd > 1} ∈ M và {f > 0} =
n
{f > 1/n} ∈ M. Cho 0 ≤ dn d thì {f ≥ d} =
n
{f > dn} ∈ M. Sử dụng
−f thay thế cho f cho {f < −d} , {f ≤ −d} , {f < 0} ∈ M. Từ đó MR, ta có
1{f>−d} = 1−1{−f≥d} ∈ MR. Tương tự 1{f≥−d} = 1−1{−f>d} ∈ MR. Giả sử rằng
{f > d} ∈ M với mọi d ∈ D, thì {f > r} , {f ≥ r} , {f < r} , {f ≤ r} ∈ M với mọi
r ∈ R. Vì vậy
fn = 2−n [2nf] 1{|f|≤n} =
n2n
k=−n2n
k
2n 1{k≤2nf<k+1} ∈ MR
và cho fn → f theo từng điểm, ta kết luận rằng f ∈ MR.
3.3.2 Tính đo được trên không gian mêtric
Định lý Stone Weierstrass tổng quát giúp chúng ta mở rộng khái niệm đo
được cho hàm nhận giá trị trên không gian metric.
Định nghĩa 3.8. Cho (E, I) là tích phân sơ cấp và . là trung bình trội hơn
I. Giả sử rằng E là một không gian metric. Một hàm f ∈ EΩ là đo được nếu với
mọi A ∈ L1 và ε > 0 có A0 ∈ L1 với AA0 < ε mà trên đó f là E - liên tục đều.
Ta ký hiệu bởi ME là không gian các hàm đo được nhận giá trị trên E.
Định lý Egorov nhận được một mở rộng trong trường hợp tổng quát.
52

55. Định lý 3.17. Giả sử {fn} là một dãy các hàm đo được nhận giá trị trên E hội
tụ hầu chắc chắn đến f. Thì f là hàm đo được. Ngoài ra, với mọi A ∈ L1 và
ε > 0 có L1 A0 ⊂ A với AA0 < ε sao cho sự hội tụ là đều trên A0.
Chứng minh. Chứng minh của bổ đề 3.6 chứng tỏ rằng mở rộng của L1 A0 ⊂ A
với AA0 < ε
2 thỏa mãn rằng mỗifn là E - liên tục đều trên A’0.
Chú ý rằng nếu f, g là E - liên tục đều thì hàm φ : ω → d (f (ω) , g (ω)) cũng
liên tục đều. Từ đó
|φ (x) − φ (y)| ≤ d (f (x) , f (y)) + d (g (x) , g (y))
Do đó mỗi φm,n = d (fn, fm) là E - liên tục đều trên A0
và theo định lý Stone
Weierstrass tổng quát, ta kết luận rằng 1A0
φm,n ∈ L1. Lặp lại các bước chứng
minh của định lý 3.12 và áp dụng định lý hội tụ đơn điệu ta có
L1 S (n, k) = A0 ∩
i,j≥n
φi,j < 1
k A0
với mọi k cố định. Cho S (nk, k) là một dãy với A0S (nk, k) < ε2−k−1 và đặt
A0 = k S (nk, k), nó là khả tích theo định lý hội tụ đơn điệu. Rõ ràng AA0 < ε.
Và fn hội tụ đều đến f trên A0. Vậy f là E - liên tục đều trên A0.
3.4 Sự tương đương giữa khả tích Daniell và khả
tích Lebesgue-Caratheodory
Trung bình của Daniell . ∗
xác định hàm cộng tính đếm được I trên vành
R=R(E) tạo bởi hàm sơ cấp E. Phương pháp Lebesgue-Caratheodory mở rộng
tích phân I thành độ đo đủ µ trên σ - đại số Mµ ⊃ σ(E) thông qua độ đo ngoài
µ∗
(E) = inf{
n
I (Rn) : E ⊂
n
Rn , Rn ∈ R} (3.12)
Trong phần tiếp theo, ta sẽ thấy rằng cả hai phương pháp đưa ra các hàm khả
tích và hàm đo được là như nhau.
53

56. Định lý 3.18. Giả sử rằng (E,I) là một tích phân sơ cấp và . ∗
là trung bình
Daniell, A ∈ M nếu và chỉ nếu
E ∗
= E ∩ A ∗
+ EA ∗
(3.13)
với mọi E ⊂ Ω.
Chứng minh. Đặt M∗ là tập hợp tất cả các tập thỏa mãn (3.13), ta sẽ chứng tỏ
rằng M∗ trùng với họ tất cả các tập đo được M.
Điều kiện cần: Giả sử A ∈ M và cho E ⊂ Ω. Nếu E ∗
= ∞, (3.13) thỏa mãn
theo tính cộng tính dưới. Nếu E ∗
< ∞ thì theo định lý 3.7 có L1 B ⊂ E thỏa
mãn E ∗
= B ∗
. Bổ đề 3.7 chứng tỏ rằng cả B ∩ A và BA là khả tích. Theo
tính cộng tính dưới của trung bình và định lý 3.9
1E
∗
= 1E∩A
∗
+ 1EA
∗
≤ 1B∩A
∗
+ = 1BA
∗
= I (1B∩A) + I 1BA = I (1B) = 1E
∗
Vì vậy A ∈ M∗.
Điều kiện đủ: Thực hiện lại các bước chứng minh của định lý 1.7 ta sẽ chứng
tỏ được rằng M∗ là σ - đại số. Theo định nghĩa , rõ ràng A ∈ M∗ nếu và chỉ
nếu Ac ∈ M∗. Ta chứng tỏ rằng M∗ là hợp đếm được, nó đủ xét dãy các tập
{An}n∈N ⊂ M∗ đôi một không giao nhau. Ta chứng tỏ bằng quy nạp rằng
E ∗
=
n
k=1
E ∩ Ak
∗
+ E ∩ (
n
k=1
Ak)c ∗
(3.14)
Với mọi E ⊂ Ω. Với n = 1, nó là đúng theo định nghĩa. Giả thiết mệnh đề thỏa
mãn với n ≥ 1. Từ An+1 ∈ M∗
E ∩ (
n
k=1
Ac
k) = E ∩ (
n
k=1
Ac
k) ∩ An+1
∗
+ E ∩ (
n
k=1
Ac
k) ∩ Ac
n+1
∗
= E ∩ An+1
∗
+ E ∩ (
n+1
k=1
Ac
k) ∗
Theo tính vững chắc E ∩ (
n
k=1
Ak)c ∗ ≥ E ∩ (
∞
k=1
Ac
k)c ∗. Do đó theo (3.14)
54

57. và tính cộng tính dưới đếm được của trung bình . ∗
,
E ∗
= lim
n→∞
(
n
k=1
E ∩ Ak
∗
+ E ∩ (
∞
k=1
Ak)c ∗
)
≥
∞
k=1
E ∩ Ak
∗
+ E ∩ (
∞
k=1
Ak)c ∗
≥ E ∩
∞
k=1
Ak
∗
+ E ∩ (
∞
k=1
Ak)c ∗
≥ E ∗
Do đó
∞
∪
k=1
Ak ∈ M∗, và ta kết luận rằng M∗ là σ - đại số.
Giả sử A ∈ M∗ và cho E ∈ L1. Chứng minh điều kiện cần chứng tỏ rằng M∗
là chứa tập khả tích. Do đó E ∩A ∈ M∗. Theo định lý 3.7 thì có L1 ⊃ A∩E thỏa
mãn E ∩ A ∗
= B ∗
. Từ
B ∗
= B ∩ (E ∩ A) ∗
+ B (E ∩ A) ∗
= B ∗
+ B (E ∩ A) ∗
nó chứng tỏ rằng B (E ∩ A) ∗
= 0. Vì vậy, E ∩ A ∈ L1. Bổ đề 3.7 suy ra là
A ∈ M.
Bổ đề 3.9. Cho µ∗ như trong (3.12) và cho . ∗
là trung bình Daniell. Thì
. ∗
= µ∗.
Chứng minh. Theo định nghĩa, µ∗ = . ∗
trên R. Giả sử µ∗ (A) < ∞ thì có dãy
{An} ⊂ R thỏa mãn A ⊂
n
An và
n
I (An) < µ (A) + ε. Nó chứng tỏ từ sự hội tụ
bị trội của Daniell rằng B ⊂
n
An ∈ R ∩ L1. Cùng với định lý 3.7 có nghĩa rằng
µ∗ (A) = inf {I (B) :A ⊂ B ∈ R} = A ∗
.
Định lý sau sẽ tóm lược kết quả của mục này.
Định lý 3.19. (Daniell Stone) Cho (E, I) là một tích phân sơ cấp và . ∗
là trung
bình Daniell của nó và M là tập các hàm đo được đối với . ∗
. Thì σ (E) ⊂ M
và µ = . ∗
xác định một độ đo trên không gian đo được (Ω, M) thỏa mãn
55

58. µ (E) = I (E) = E ∗
, E ∈ M và I (f) = fdµ với f ∈ L1 ⊃ E
Ở đây I là mở rộng Daniell của (E, I). Ngoài ra, µ xác định duy nhất trên
σ vành Rσ (E) vành tạo bởi f−1 (B) : f ∈ E, B ∈ B (R {0}) . Nếu có một hàm
dương thực sự f ∈ L1(Ω, σ (E) , µ) thì Rσ (E) = σ (E) .
Giả sử X là một không gian Hausdorf compắc địa phương và I là một phiếm
hàm tuyến tính dương trên C00(X). Kết quả được trình bày sau đây chứng tỏ
rằng (E,I) là tích phân sơ cấp.
Bổ đề 3.10. Giả sử I là một phiếm hàm tuyến tính dương trên E = C00(X).
Nếu dãy {fn} ⊂ C+
00 và fn 0 theo từng điểm thì Ifn 0.
Chứng minh. Định lý Dini suy ra rằng fn 0 đều. Do K = supp (f1) là compact.
Có g ∈ C00(X) thỏa mãn K g ≤ 1. Khi đó, cho ε > 0 có N thỏa mãn n ≥N có
suy ra
0 ≤ fn(x) <
ε
1 + I(g)
g(x), ∀x ∈ X
Vì vậy
0 ≤ I(fn) <
εI(g)
1 + I(g)
< ε, n > N.
Cho G, F và K tương ứng là tập hợp các tập mở, đóng trong X.
Định lý 3.20. Cho . ∗
là trung bình Daniell trên (E,I) khi đó
(i) K ∗
< ∞, ∀K ∈ K.
(ii) Với mọi G ∈ G
G ∗
= sup {I (φ) : 0 ≤ φ G} = sup K ∗
: K K ⊂ G (3.15)
(iii) Trung bình Daniell là cộng tính trên G.
(iv) F ⊂ M tức là tập đóng là đo được.
56

59. Chứng minh. (i) Đặt G G ⊃ K với G ∈ K. Theo định lý Urysohn, có φ ∈ E với
K φ G. Do đó K ∗
≤ φ ∗
= I (φ) < ∞.
(ii) Đầu tiên ta chứng minh đẳng thức bên phải. Đặt E+ φ ≤1G. Với mỗi
n ∈ N ta có rằng Kn = φ ≥ 1
n ⊂ φ > 1
n+1 = Gn. Theo định lý Urysohn có
fn ∈ E thỏa mãn Kn fn Gn. Rõ ràng 0 ≤ φn ≤ fnφ G và φn = fnφ φ.
Cho ε > 0 thì có N đủ lớn thỏa mãn
I (φ) < I (φN ) + ε ≤ sup {I (ψ) : 0 ≤ ψ G} + ε
Biểu thức bên trái của (3.15) được chứng minh. Nếu 0 ≤ φ G thì K K =
supp (φ) ⊂ G và φ ∗
= I (φ) ≤ K ∗
≤ G ∗
suy ra biểu thức ở vế phải được
chứng minh.
(iii) Cho G, G ∈ G rời nhau. Theo tính cộng tính dưới đếm được G ∪ G
∗
≤
G ∗
+ G
∗
. Mặt khác nếu 0 ≤ φ G và 0 ≤ φ G thì 0 ≤ φ + φ G ∪ G . Do
đó
I φ + φ = I (φ) + I φ ≤ G ∪ G
∗
Vì vậy G ∗
+ G
∗
≤ G ∪ G
∗
.
(iv) Ta sẽ chứng minh rằng mọi F ∈ F thỏa mãn điều kiện đo được Caratheodory-
Daniell (3.13). Với E ⊂ X bất kỳ, đặt E ⊂ G ∈ G. Từ đó GF là tập mở, từ (3.15)
và định lý D.0.15 có dãy {Vn} ⊂ G với {Vn} ⊂ K thỏa mãn Vn ⊂ Vn ⊂ Vn+1 ⊂ GF
và Vn
∗
GF ∗
. Phần (iii) chứng tỏ rằng
G ∗
≥ G∂Vn
∗
= GVn
∗
+ Vn
∗
≥ G ∩ F ∗
+ Vn
∗
Khi n ∞ thì G ∗
≥ G ∩ F ∗
+ GF ∗
≥ E ∩ F ∗
+ EF ∗
. Do đó theo
(3.7) ta kết luận rằng
E ∗
= inf G ∗
: E ⊂ G ∈G ≥ E ∩ F ∗
+ EF ∗
≥ E ∗
Nó chứng tỏ rằng tập đóng là đo được, do đó σ(F) =B(X).
Một trung bình trên RX hoặc một độ đo ngoài trên P(X) được gọi là chính
quy nếu tính chính quy ngoài (3.7) và chính quy trong (3.15) được thỏa mãn.
57

60. Định lý 3.21. (Định lý biểu diễn Riesz) Giả sử I là một phiếm hàm tuyến tính
dương trên C00 (X). Khi đó tồn tại duy nhất độ đo Radon µI chính quy đủ xác
định trên một σ - đại số MI ⊃ B(X) thỏa mãn
I (f) =
X
fdµI, f ∈ C00 (X)
Nếu thêm điều kiện I là liên tục thì µI là hữu hạn với I = µI (X) = X ∗
.
Chứng minh. Theo bổ đề 3.10 thì (E, I) là tích phân sơ cấp. Theo định lý 3.19
thì µ là chính quy trên M ⊃ B(X). Từ định lý Daniell Stone suy ra điều phải
chứng minh.
Nếu I liên tục, tức là nếu |I (f)| ≤ I f u với f ∈ E thì từ tính chính quy
suy ra µI (X) ≤ I (X) ∗
.
Ngược lại, |I (f)| = X
fdµI ≤ f u µI (X), tức là I ≤ µI (X).
Định lý 3.22. (Định lý Lusin): Cho f là một hàm phức đo được. Nếu A ∈ M,
µ (A) < ∞ và {f = 0} ⊃ Ac thì với mọi ε > 0 có g ∈ C00 (X) thỏa mãn
µ ({f = g}) < ε (3.16)
Ngoài ra nếu f là bị chặn có thể chọn g để g u ≤ f u.
Chứng minh. Phần đầu là có ngay từ định nghĩa đo được Daniell của hàm phức.
Chứng minh mệnh đề trên, giả sử: R = f u < ∞, xét ánh xạ ϕ trên C cho
bởi
ϕ (z) = z1{|z|≤R} (z) + R
z
|z|
Nếu g ⊂ C00 (X) thỏa mãn µ ({f = g}) < ε xác định g = ϕ (g) thì g u ≤ f u và
từ {f = g} ⊂ {f = g }, (3.16) được thỏa mãn.
Hệ quả 3.3. Cho f và A như trong định lý Lusin. Có một dãy {gn} ⊂ C00 (X)
thỏa mãn gn u ≤ f u và gn → f µ - hầu chắc chắn.
58

61. Định lý 3.23. (Vitali - Caratheodory) Giả sử f ∈ L1 (µ) ∩ RΩ. Với mọi ε > 0
tồn tại các hàm u ≤ f ≤ v thỏa mãn u và v tương ứng là các hàm nửa liên tục
trên và nửa liên tục dưới và (v − u) dµ < ε.
3.5 Tính chất Maximality
Nếu . và . là hai trung bình trên dàn véctơ E đóng với phép chặt cụt,
và f ≤ f với mọi f ∈ R
Ω
, thì nó chứng tỏ rằng L1( . ) ⊂ L1( . ).
Khi . = . ∗
là trung bình Daniel của tích phân sơ cấp (E, I), một câu hỏi
tự nhiên được đặt ra là có các trung bình khác bị trội bởi . ∗
, mà trung bình
đó tạo ra họ lớn hơn các hàm khả tích khi sự hội tụ bị chặn được thỏa mãn.
Ta sẽ thấy rằng trung bình Daniel là trung bình maximal trên (E, I) thỏa mãn
φ ∗
= I (|φ|) với mọi φ ∈ E. Nó có nghĩa rằng trung bình Daniel cung cấp mở
rộng nhỏ nhất của tích phân sơ cấp mà dãy Cauchy hội tụ và sự hội tụ bị trội
được thỏa mãn.
Bổ đề 3.11. Giả sử rằng E là tập hợp các hàm bị chặn và là một dàn véctơ
đóng với phép chặt cụt hoặc là vành. Nếu . và . là các trung bình thỏa mãn
φ ≤ φ với mọi φ ∈ E, thì f ≤ f với mọi f ∈ EΣ.
Chứng minh. Cho f ∈ L1( . ), và giả sử {φn} ⊂ E hội tụ đến f theo trung bình
. . Thì nó cũng hội tụ theo trung bình . . Vì vậy,
. = lim
n
φn ≥ lim
n
φ = f .
Cho h ∈ E +
thì {h = 0} ⊂
n
{φn = 0} với mọi {φn} ⊂ E. Nó chứng tỏ rằng
E ∩ L1 ( . ) hn = (h ∧ n) .
n
k=1
1{|φk|>1/n} h
Theo định lý hội tụ đơn điệu h = sup
n
hn ≤ sup
n
hn = h . Với tùy ý
h ∈ EΣ,
h = |h| ≤ |h| = h .
59

62. Bổ đề 3.12. Với mọi trung bình . của E tồn tại trung bình maximal . trùng
với . trên E+.
Chứng minh. Cho M( . ) là tập hợp tất cả các trung bình trên E trùng với .
trên E+. Xác định
f = sup{ f b
: . b
∈ M ( . )}. (3.17)
Rõ ràng . trùng với . trên E. Tính thuần nhất tuyệt đối, tính vững dễ
dàng được chứng minh. Nó còn chứng tỏ rằng . là cộng tính dưới đếm được.
Cho {fn} là một dãy của các hàm không âm. Thì, với mọi . b
∈ M( . ) nó
chứng tỏ rằng
n
fn
b
≤
n
fn
b
≤
n
fn .
Bằng cách lấy supremum vượt qua . b
∈ M ( . ), chúng ta có được
n
fn ≤
n
fn .
Một trung bình . trên E là maximal nếu nó trùng với (3.17). Kết quả tiếp
theo là đặc trưng cho mọi trung bình maximal của E.
Định lý 3.24. Giả sử . là trung bình maximal của E. Thì
f = inf{ h : |f| ≤ h ∈ EΣ
} (3.18)
Chứng minh. Kí hiệu bởi . ♦
biểu thức vế phải của (3.18). Rõ ràng, . ♦
hội
tụ đến . và đồng ý với . ♦
trên EΣ. Vì vậy, dễ dàng kiểm tra được rằng . ♦
là đồng nhất tuyệt đối, thỏa mãn tính vững. Nếu ta chứng tỏ được rằng . ♦
là cộng tính dưới đếm được, thì (3.18) sẽ được chứng tỏ ngay lập tức. Giả sử
n
fn
♦
< r < ∞ thì tồn tại hàm hn ∈ EΣ thỏa mãn |fn| ≤ hn và
n
fn < r.
60

63. Từ đó, |
n
fn| ≤
n
|fn| ≤
n
hn và
n
hn ∈ EΣ, tính cộng tính dưới của .
chứng tỏ rằng
n
fn
♦
≤
n
hn ≤
n
hn < r
Vậy
n
fn
♦ =
n
hn
♦
.
Bổ đề 3.13. Giả sử . là trung bình maximal của E. Thì với mọi f ∈ F( . )+,
tồn tại h ∈ EΣ, f ≤ h thỏa mãn f = h .
Định lý 3.25. Cho E là tập hợp các hàm bị chặn và là dàn véctơ đóng với phép
chặt cụt hoặc là vành.
(i) Nếu (E, I) là tích phân sơ cấp và . ∗
là trung bình Daniell, thì . ∗
là trung
bình maximal trùng với I trên E+.
(ii) Mọi trung bình maximal . của E thỏa mãn
sup
n
fn = sup
n
fn (3.19)
Với mọi dãy không giảm {fn} ⊂ R
Ω
+.
Chứng minh. (i) Từ E↑ ⊂ EΣ, ta có được
f ∗
= sup{ h : |f| ≤ h ∈ E↑
≥ sup{ f : |f| ≤ h ∈ EΣ
} = f
Tính maximal của trung bình Daniell được chứng tỏ từ (3.18).
(ii) Nếu sup
n
fn = ∞ thì không có gì cần chứng minh. Giả sử sup
n
fn < ∞,
từ bổ đề 3.13 có dãy {hn} ⊂ EΣ∩ L1( . ) với fn ≤ hn thỏa mãn fn = hn .
Dãy fn = infk≥nhk ∈ L1 là không giảm với fn ≤ fn ≤ hn; Do đó,
fn = fn = hn
Sự hội tụ đơn điệu chứng tỏ rằng fn hội tụ theo trung bình đến sup
n
fn. Vì vậy
sup
n
fn = sup
n
fn = lim
n
fn = sup
n
fn ≥ sup
n
fn .
Bất đẳng thức ngược lại sup
n
fn ≤ sup
n
fn , chứng tỏ tính vững từ fn ≥ 0.
61

64. Kết luận chung
Luận văn đã trình bày được một số nội dung cơ bản như:
Thứ nhất: Xây dựng tích phân của hàm đo được theo phương pháp tích phân
Lebesgue. Xét được các điều kiện chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue,
đưa ra định lý về sự hội tụ đơn điệu, hội tụ bị làm trội.... Sự tương đương của
tích phân Lebesgue và tích phân Riemann trên R.
Thứ hai: Xây dựng tích phân trên Daniell từ tích phân cơ bản (E, I). Xét
tính đo được Daniel như là tính chất địa phương của tính khả tích. Xét được
các tính chất cơ bản của tích phân Daniell và trung bình Daniell tương ứng của
tích phân. So sánh được sự tương đương giữa tính khả tích Daniell và khả tích
Lebesgue. Chỉ ra được tính chất maximality của trung bình Daniell.
Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu
sót. Tác giả mong nhận được sự quan tâm, đóng góp ý kiến của các thầy cô và
các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
62