SlideShare a Scribd company logo

Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng

•
•
https://www.facebook.com/garmentspace
https://www.facebook.com/garmentspace

Liên hệ page để tải tài liệu https://www.facebook.com/garmentspace My Blog: http://congnghemayblog.blogspot.com/ http://congnghemay123.blogspot.com/ Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY –TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ - QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI

Education
1 of 115
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN ĐỨC THÀNH ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN ĐỨC THÀNH ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. PGS. TS. TRẦN VĂN ÂN 2. TS. KIỀU PHƯƠNG CHI NGHỆ AN - 2015
iii LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi. Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và luận án không trùng lặp với bất kỳ tài liệu nào khác. Tác giả
iv LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi. Trước hết, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với những người Thầy - PGS. TS. Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi của mình, những người đã đặt bài toán và hướng nghiên cứu cho tác giả. Tác giả đã học được rất nhiều kiến thức khoa học, nhận được sự chia sẻ, yêu thương của các Thầy trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Thầy luôn tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, để tác giả học tập và hoàn thành luận án. Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm Toán học, Tổ Giải tích và các đồng nghiệp trong khoa Sư phạm Toán - Trường Đại học Vinh đã quan tâm động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học và các phòng ban khác của Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của nghiên cứu sinh. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS Erdal Karapinar, Department of Mathe- matics, Atilim University, 06836 Incek, Ankara, Turkey và GS Ljubomir Ciric, Faculty of Mechanical Engineering, University of Belgrade, 12-35 Aleksinackih Rudara, Belgrade, Serbia and Montenegro vì những giúp đỡ to lớn trong việc trao đổi tài liệu và thảo luận các bài toán liên quan. Xin cảm ơn các thầy cô giáo, các anh chị em nghiên cứu sinh của Trường Đại học Vinh và tất cả bạn bè của tác giả về những chia sẻ, động viên trong quá trình học tập và nghiên cứu.
v Cuối cùng, tác giả vô cùng biết ơn mọi thành viên trong gia đình của mình, đã luôn tạo mọi điều kiện và dành tất cả sự quan tâm, chia sẻ mọi khó khăn cùng tác giả suốt những năm tháng qua để tác giả có thể hoàn thành luận án này. Nghệ An, năm 2015 Tác giả
1 MỤC LỤC Mục lục 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Điểm bất động của một số ánh xạ T-co suy rộng trong không gian mêtric 12 1.1. Điểm bất động của ánh xạ T-co kiểu Meir-Keeler . . . . . . . 12 1.2. Điểm bất động của ánh xạ T-co kiểu tựa co Ciric . . . . . . . 20 1.3. Điểm bất động chung của các ánh xạ T-co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu . 29 2 Điểm bất động của một số lớp ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng 39 2.1. Không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2. Điểm bất động của ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3. Điểm bất động chung của các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3 Điểm bất động bộ đôi của một số ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và ứng dụng 82 3.1. Điểm bất động bộ đôi của một số ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2. ´Ưng dụng vào một lớp phương trình tích phân phi tuyến . . . 92
2 3.3. ´Ưng dụng vào bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án . . . 105 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn của toán học hiện đại. Đây là lĩnh vực đã và đang thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Lý thuyết điểm bất động là một công cụ quan trọng để nghiên cứu các hiện tượng phi tuyến. Nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi, tích phân, hệ phương trình tuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng của hệ động lực... Hơn nữa, nó còn có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như khoa học máy tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, vật lý toán, sinh học, kinh tế... Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có thể nói bắt nguồn từ những ứng dụng rộng rãi của nó. 1.2. Xuất phát từ ba định lý điểm bất động nổi tiếng: Định lý điểm bất động Brouwer (1911, [22]), định lý điểm bất động Banach (1922, [9]), định lý điểm bất động Tarski (1955, [60]), lý thuyết điểm bất động có thể được chia thành ba hướng nghiên cứu chính: Lý thuyết điểm bất động tôpô, lý thuyết điểm bất động mêtric và lý thuyết điểm bất động rời rạc. Cùng với việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân thường, nguyên lý ánh xạ co Banach là trung tâm của lý thuyết điểm bất động trên các không gian mêtric: "Mỗi ánh xạ co từ một không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào chính nó luôn có duy nhất điểm bất động". Sự ra đời của nguyên lý ánh xạ co Banach cùng với ứng dụng của nó đã mở ra sự phát triển mới của lý thuyết điểm bất động mêtric.
4 1.3. Hướng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động mêtric phát triển chủ yếu theo 3 vấn đề sau: Mở rộng các điều kiện co cho các ánh xạ; mở rộng các định lý điểm bất động đã biết lên các không gian có cấu trúc tương tự không gian mêtric; và tìm các ứng dụng của chúng. Đối với vấn đề mở rộng điều kiện co của ánh xạ, chúng ta đã biết được những lớp ánh xạ co tiêu biểu được kể đến như của Kannan ([39]), Boyd-Wong ([21]), Meir-Keeler ([42]), Reich ([54]), Ciric ([29]), Zamfirescu ([62]), Hardy - Rogers ([36]), Ciric ([27]), Berinde ([14])... Ngoài ra, người ta còn đề xuất thêm những loại ánh xạ co suy rộng như: Φ-co, co yếu, tựa co, hầu co... Đối với vấn đề mở rộng không gian, người ta đã đề xuất các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trên những lớp không gian có cấu trúc tương tự không gian mêtric như: Không gian mêtric suy rộng, không gian mêtric nón, không gian 2-mêtric, không gian b-mêtric... Đặc biệt, năm 1992, trong dự án nghiên cứu về sự hiển thị ngôn ngữ và lưu thông mạng máy tính, S. G. Matthew ([45]) đã đề xuất và xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng. Sau đó, các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trên lớp không gian này cũng được thiết lập. Và gần đây, người ta rất quan tâm tới việc thiết lập các định lý điểm bất động của ánh xạ co suy rộng trên lớp không gian này, xuất phát từ một số ý nghĩa và ứng dụng của chúng. Theo mạch vấn đề về ứng dụng của các định lý điểm bất động mêtric, ngoài những ứng dụng truyền thống đã biết, gần đây, người ta đã tìm được những ứng dụng sâu sắc hơn của các định lý điểm bất động cho các ánh xạ co suy rộng trên các không gian có cấu trúc kiểu không gian mêtric vào những lĩnh vực khác nhau của toán học, kinh tế và kỹ thuật. Có thể nói, cả 3 mạch vấn đề trên không phát triển tách rời nhau mà luôn luôn đồng hành, gắn bó mật thiết với nhau. Những vấn đề trên đang thu hút khá đông những người làm việc trong lĩnh vực toán giải tích trong và ngoài nước. Đặc biệt, cả 3 mạch vấn đề trên vẫn còn những bài toán thời sự đang được đặt ra nghiên cứu và giải quyết.
5 Với các lý do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: "Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng". 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là mở rộng một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ trên các lớp không gian như: không gian mêtric, không gian mêtric riêng, không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và tìm hiểu ứng dụng của chúng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các không gian mêtric, không gian mêtric riêng, các ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric, không gian mêtric riêng, điểm bất động, điểm bất động bộ đôi của một số lớp ánh xạ trong không gian mêtric, không gian mêtric riêng, một số lớp phương trình tích phân. 4. Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ trong không gian mêtric, không gian mêtric riêng và ứng dụng vào bài toán sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi. 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của Giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân và lý thuyết điểm bất động trong quá trình thực hiện đề tài. 6. ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án đã mở rộng được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtric, không gian mêtric riêng. Đồng thời, áp dụng các kết quả thu được vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số
6 lớp phương trình tích phân và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi. Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán giải tích nói chung, lý thuyết điểm bất động trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng nói riêng. 7. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1. Tổng quan luận án Năm 2010, S. Moradi và M. Omid ([47]) đã đề xuất lớp ánh xạ T-co và thu được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của chúng. Cho (X, d) là không gian mêtric và các ánh xạ T, S : X → X. Ánh xạ S được gọi là T-co nếu tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho d(TSx, TSy) kd(Tx, Ty), với mọi x, y ∈ X. Khi Tx = x với x ∈ X thì ánh xạ T-co trở thành ánh xạ co thông thường. Sự xuất hiện của lớp ánh xạ T-co đã thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu lý thuyết điểm bất động mêtric. Với mục đích nghiên cứu các định lý điểm bất động của các ánh xạ dưới điều kiện T-co suy rộng, trong Chương 1, chúng tôi thu được một số định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ kiểu T-co. Trong Mục 1.1, chúng tôi thu được các kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các lớp ánh xạ T-co kiểu Meir-Keeler. Cụ thể, chúng tôi chứng minh Định lý 1.1.5 và Định lý 1.1.8 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động của lớp ánh xạ T-co kiểu Meir-Keeler trong không gian mêtric đầy đủ. Trong Mục 1.2, chúng tôi thu được các kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các lớp ánh xạ T-co kiểu tựa co Ciric. Cụ thể, chúng tôi thiết lập Định lý 1.2.2, Hệ quả 1.2.5, Hệ quả 1.2.6 và Hệ quả 1.2.7 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động của lớp ánh xạ T-co kiểu tựa co Ciric trong không gian mêtric đầy đủ. Trong Mục 1.3, chúng tôi thu được các kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của lớp các ánh xạ T-co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu. Cụ thể, chúng tôi thiết lập Định lý 1.3.2
7 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động chung của lớp các ánh xạ T-co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong không gian mêtric. Chúng tôi cũng đưa ra Ví dụ 1.1.7, Ví dụ 1.2.4 và Ví dụ 1.3.5 nhằm minh họa cho các định lý, cũng như để chỉ ra rằng các kết quả của chúng tôi là thực sự mở rộng so với các kết quả đã biết. Nếu chúng ta thực sự để ý thì sẽ thấy rằng không phải mọi tính chất, tiên đề của không gian mêtric đều được sử dụng trong các phép chứng minh sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trên không gian mêtric. Câu hỏi đặt ra là: Với những không gian nào là không gian suy rộng hay tương tự không gian mêtric thì sẽ tồn tại điểm bất động của các loại ánh xạ co? Câu trả lời khẳng định đã có, đặc biệt gần đây là lớp không gian mêtric riêng. Khái niệm không gian mêtric riêng nhận được bằng cách thay thế đẳng thức d(x, x) = 0 trong định nghĩa của mêtric bởi bất đẳng thức d(x, x) d(x, y) với mọi x, y. Rõ ràng, với không gian mêtric riêng (X, p) thì có thể xảy ra trường hợp p(x, x) > 0 với x ∈ X. Do vậy, bài toán nghiên cứu điểm bất động và các ứng dụng của chúng trên không gian mêtric riêng sẽ có nhiều ý nghĩa vì chúng ta không thể áp dụng mọi kỹ thuật chứng minh của các lớp ánh xạ co trong không gian mêtric vào các lớp ánh xạ co trong lớp không gian mêtric riêng. Với mục đích nghiên cứu không gian mêtric riêng và các định lý điểm bất động cho một số lớp ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric riêng, trong Chương 2, chúng tôi đề xuất một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các lớp ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng. Đầu tiên, trong Mục 2.1, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản và đặc trưng của không gian mêtric riêng cần dùng về sau. Tiếp theo, trong Mục 2.2, chúng tôi thiết lập Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.9, Hệ quả 2.2.10, Hệ quả 2.2.11, Hệ quả 2.2.12 và Hệ quả 2.2.13 về sự tồn tại điểm bất động đối với các ánh xạ co suy rộng trong các không gian mêtric riêng. Các kết quả của mục này là sự mở rộng thật sự các kết quả gần đây của D. Ilic, V. Pavlovic
8 và V. Rakocevic ([37]), ([38]) I. Altun, F. Sola và H. Simsek ([8]). Trong Mục 2.3, chúng tôi thiết lập Định lý 2.3.3, Hệ quả 2.3.7 và Hệ quả 2.3.8 về sự tồn tại điểm bất động chung của hai ánh xạ cho ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong các không gian mêtric riêng. Đây là sự mở rộng kết quả của T. Abdeljawad, E. Karapinar và K. Tas ([2]). Ngoài ra, chúng tôi xây dựng Ví dụ 2.2.14, Ví dụ 2.2.15 và Ví dụ 2.3.6 nhằm minh họa cho các kết quả và sự mở rộng. Năm 2006, theo hướng mở rộng các định lý điểm bất động trong không gian mêtric đầy đủ (X, d) và ứng dụng của chúng vào bài toán giá trị biên tuần hoàn , T. G. Bhaskar, V. Lakshmikantham ([10]) đã đưa ra khái niệm điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ F : X × X → X có tính chất đơn điệu trộn và thu được một số kết quả cho lớp ánh xạ đó trên không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận. Tiếp nối kết quả này, nhiều tác giả khác như V. Lakshmikantham và L. Ciric ([43]), N. V. Luong và N. X. Thuan ([44]), V. Berinde ([12, 13])... đã mở rộng và chứng minh nhiều kết quả đa dạng cho loại ánh xạ này. Các kết quả thu được đã được các tác giả áp dụng vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân phi tuyến. Năm 2012, khi mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian mêtric, D. Wardowski ([61]) đã đề xuất khái niệm ánh xạ F-co và chứng minh một số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu F-co. Cho (X, d) là không gian mêtric. Ánh xạ T : X × X → X được gọi là F − co nếu tồn tại F ∈ F và τ ∈ R+ thỏa mãn τ + F(d(Tx, Ty)) F(d(x, y)) với mọi x, y ∈ X. Trong đó, F là họ các hàm F : R+ → R thỏa mãn các điều kiện (F1) và (F2) (F1) F tăng ngặt và liên tục. (F2) Với mỗi dãy {an} ⊂ R+, ta có lim n→∞ an = 0 nếu và chỉ nếu
9 lim n→∞ F(an) = −∞. Tiếp nối các kết quả của D. Wardowski, năm 2013, M. Sgroi và C. Vetro ([59]) đã mở rộng các kết quả đó cho các ánh xạ đa trị, ánh xạ đa trị đóng F- co kiểu Hardy-Rogers trên các không gian mêtric và không gian mêtric có thứ tự bộ phận. D. Paesano và C. Vetro ([51]) đã thiết lập các định lý điểm bất động cho các ánh xạ đa trị trên các không gian mêtric riêng. Câu hỏi đặt ra ở đây là: Có thể xây dựng được ánh xạ kiểu F-co cho các định lý điểm bất động bộ đôi trong lớp không gian mêtric riêng và tìm các ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực khác nhau được không? Để trả lời câu hỏi trên, trong Chương 3, Mục 3.1, chúng tôi phát biểu và chứng minh Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.5, Định lý 3.1.7 và Hệ quả 3.1.6 về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi cho các ánh xạ kiểu F-co trên các không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận. Sau đó, ở Mục 3.2, bằng cách đưa thêm khái niệm nghiệm bộ đôi trên và dưới, áp dụng các định lý điểm bất động ở mục trên, chúng tôi chứng tỏ được sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm. Cuối cùng, trong Mục 3.3, tiếp tục áp dụng kết quả thu được ở Mục 3.1, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại điểm bất động bộ đôi kéo theo sự tồn tại điểm cân bằng không cộng tác trong trò chơi với hai người chơi. 7.2 Cấu trúc luận án Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra, luận án còn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận và Kiến nghị, Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan trực tiếp đến luận án và Tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày mở rộng các định lý điểm bất động của một số lớp ánh xạ trên không gian mêtric cho các ánh xạ kiểu T-co. Trong Mục 1.1, chúng tôi nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ T-co cho các ánh xạ co Meir-Keeler. Trong Mục 1.2, chúng tôi nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ T-co cho các ánh xạ tựa co Ciric. Trong Mục 1.3, chúng tôi
10 nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ T-co cho các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu. Các kết quả của chương này đã được đăng trên các tạp chí Arab Journal of Mathematical Sciences, Abstract and Applied Analysis và International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. Chương 2 nhằm trình bày một số mở rộng các kết quả về điểm bất động cho lớp các ánh xạ co suy rộng, ánh xạ kiểu hầu co suy rộng, ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong các không gian mêtric riêng. Mục 2.1 dành để trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của không gian mêtric riêng. Trong Mục 2.2, chúng tôi đưa ra các định lý điểm bất động cho các ánh xạ co suy rộng trong các không gian mêtric riêng. Trong Mục 2.3, chúng tôi đưa ra các định lý điểm bất động chung cho các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong các không gian mêtric riêng. Các kết quả của chương này đã được đăng và nhận đăng trên các tạp chí Mathematical and Computer Modelling, Journal of Nonlinear Science and Applications, Bulletin of the Iranian Mathematical Society. Chương 3 dành cho việc nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của ánh xạ trong các không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và các ứng dụng của nó. Mục 3.1 dành cho việc trình bày và chứng minh định lý điểm bất động bộ đôi của một lớp ánh xạ kiểu F-co trong không gian mêtric riêng. Trong Mục 3.2, chúng tôi đã ứng dụng kết quả tìm được để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm. Cuối cùng, trong Mục 3.3, chúng tôi áp dụng kết quả tìm được của điểm bất động bộ đôi vào bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi. Các kết quả của chương này đã được đăng trên tạp chí Journal of Inequalities and Applications. Các kết quả chính của luận án đã được viết thành 07 bài báo, trong đó có 04 bài đã công bố trong các tạp chí thuộc danh mục ISI và 01 bài báo đã được nhận đăng trên tạp chí thuộc danh mục ISI. Các kết quả trong
11 nội dung của luận án cũng đã được báo cáo tại: • Seminar của Tổ Giải tích thuộc Khoa Sư phạm Toán, Trường Đại học Vinh. • Các Hội nghị NCS của Trường Đại học Vinh (2011 - 2015). • Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp tại Huế 20-24/8/2012. • Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8 tại Nha Trang 10-14/8/2013.
12 CHƯƠNG 1 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ ÁNH XẠ T-CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC Chương này dành để trình bày khái niệm ánh xạ T-co. Đồng thời, chúng tôi phát biểu và chứng minh một số định lý điểm bất động của ánh xạ T-co cho một số ánh xạ co Meir-Keeler ([42]), tựa co Ciric ([27]) và (ψ, ϕ)-co yếu ([32]) trong lớp các không gian mêtric. 1.1. Điểm bất động của ánh xạ T-co kiểu Meir-Keeler Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm ánh xạ T-co, đồng thời phát biểu và chứng minh một số mở rộng của ánh xạ T-co cho ánh xạ co Meir-Keeler ([42]). Trước hết chúng ta đến với định nghĩa sau. 1.1.1 Định nghĩa. ([47]) Cho (X, d) là không gian mêtric và các ánh xạ T, S : X → X. Ánh xạ S được gọi là T-co nếu tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho d(TSx, TSy) kd(Tx, Ty), với mọi x, y ∈ X. (1.1) Rõ ràng, nếu ta chọn Tx = x với mọi x ∈ X thì ánh xạ T-co là ánh xạ co Banach. 1.1.2 Ví dụ. Lấy X = [1, ∞) với mêtric thông thường d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ X. Xét các ánh xạ Tx = 2 − 1 x và Sx = 6x trên X. Rõ
13 ràng, S không là ánh xạ co. Mặt khác, với mọi x, y ∈ X ta có d(TSx, TSy) = 2 − 1 6x − 2 + 1 6y = 1 6 1 y − 1 x = 1 6 (2 − 1 x ) − (2 − 1 y ) = 1 6 d(Tx, Ty). Điều này chứng tỏ S là ánh xạ T-co. 1.1.3 Định nghĩa. ([47]) Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ T : X → X được gọi là hội tụ dãy (sequentially convergent) nếu với bất kỳ dãy {yn} ⊂ X mà dãy {Tyn} hội tụ thì dãy {yn} hội tụ. 1.1.4 Định nghĩa. ([42]) Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ S : X → X được gọi là co Meir-Keeler nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho ε d(x, y) < ε + δ kéo theo d(Sx, Sy) < ε với mọi x, y ∈ X. Định lý sau là mở rộng kết quả của Meir-Keeler ([42]). 1.1.5 Định lý. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ. Giả sử ánh xạ T : X → X đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy và nếu ánh xạ S : X → X thỏa mãn điều kiện: với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho ε d(Tx, Ty) < ε + δ kéo theo d(TSx, TSy) < ε, (1.2) với mọi x, y ∈ X thì S có điểm bất động duy nhất z ∈ X và lim n→∞ Tnx = z với mọi x ∈ X. Chứng minh. Lấy x0 ∈ X tùy ý, ta xây dựng hai dãy lặp {xn} và {yn} như sau: xn+1 = Sxn và yn = Txn với n = 0, 1, 2, ... (1.3) Để ý rằng, nếu yn0+1 = yn0 với số tự nhiên nào đó n0 ∈ N thì Txn0+1 = Txn0 . Vì T là đơn ánh nên xn0+1 = xn0 . Điều này kéo theo Sxn0 = xn0 . Vì thế xn0 là điểm bất động của S. Do đó, ta có thể giả sử yn+1 = yn với mọi n ∈ N. (1.4)
14 Từ (1.4) ta có d(yn, yn+1) > 0 với mọi n ∈ N. Hơn nữa, từ giả thiết (1.2) ta suy ra Kn = {d(yn, yn+1)} = {d(Txn, Txn+1)} là dãy giảm các số thực không âm. Do đó, tồn tại ε0 0 sao cho lim n→∞ d(yn, yn+1) = ε0. Ta chứng minh ε0 = 0. Thật vậy, giả sử ngược lại ε0 > 0, khi đó tồn tại δ0 = δ(ε0) và m ∈ N sao cho ε0 < d(ym, ym+1) = d(Txm, Txm+1) < ε0 + δ0. Từ (1.2) ta có d(TSxm, TSxm+1) = d(Txm+1, Txm+2) = d(ym+1, ym+2) < ε0. Điều này mâu thuẫn với dãy {d(yn, yn+1)} là dãy giảm hội tụ đến ε0. Do đó, ta có lim n→∞ d(yn, yn+1) = lim n→∞ d(Txn, Txn+1) = 0. (1.5) Bây giờ, ta chứng minh {yn} là dãy Cauchy. Lấy ε > 0 tùy ý và chọn δ = δ(ε) thỏa mãn δ ε. Từ (1.5), ta suy ra tồn tại số nguyên dương M sao cho d(yn−1, yn) = d(Txn−1, Txn) < δ với mọi n > M. (1.6) Cố định số tự nhiên M, để chứng minh {yn} với n > M là dãy Cauchy, ta chỉ cần chứng tỏ d(yn, yn+p) = d(Txn, Txn+p) ε với p = 1, 2, · · · . (1.7) Thật vậy, vì δ ε, kết hợp với (1.6) và (1.2) nên bất đẳng thức (1.7) đúng cho trường hợp p = 1. Bây giờ, giả sử bất đẳng thức (1.7) đúng với số tự nhiên p ∈ N. Từ (1.6) và giả thiết quy nạp ta có d(Txn−1, Txn+p) = d(yn−1, yn+p) d(yn−1, yn) + d(yn, yn+p) < δ + ε. Do đó, từ (1.2) ta suy ra d(TSxn−1, TSxn+p) = d(Txn, Txn+p+1) = d(yn, yn+p+1) < ε. (1.8)
15 Điều này chứng tỏ bất đẳng thức (1.7) đúng với mọi p ∈ N. Do đó, {yn} là dãy Cauchy. Hơn nữa, vì X là không gian đầy đủ nên tồn tại w ∈ X sao cho lim n→∞ yn = lim n→∞ Txn = lim n→∞ TSn x0 = w. (1.9) Vì T là hội tụ dãy nên {xn} = {Snx0} hội tụ tới z ∈ X. Lại do T liên tục nên ta có Tz = w. Mặt khác, nhờ điều kiện (1.2) kết hợp với giả thiết T liên tục nên ta suy ra TS liên tục. Do đó, ta có w = lim n→∞ yn+1 = lim n→∞ TSxn = TSz. Điều này kéo theo TSz = Tz. Hơn nữa, vì T là đơn ánh nên ta có Sz = z. Cuối cùng, ta sẽ chứng minh z là điểm bất động duy nhất của S. Giả sử ngược lại, tồn tại w ∈ X sao cho w = z và Sw = w. Khi đó, ta có d(z, w) > 0. Vì T đơn ánh nên d(Tz, Tw) > 0. Với ε = d(Tz, Tw) > 0 này, theo giả thiết tồn tại δ = δ(ε) sao cho ε d(Tz, Tw) < ε + δ. Từ (1.2) ta suy ra d(TSz, TSw) = d(Tz, Tw) < ε. Ta gặp mâu thuẫn. Vậy, định lý được chứng minh. Nếu ta cho Tx = x với mọi x ∈ X trong Định lý 1.1.5 thì ta nhận được định lý sau. 1.1.6 Định lý. ([42]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và ánh xạ S : X → X. Nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho ε d(x, y) < ε+δ kéo theo d(Sx, Sy) < ε với mọi x, y ∈ X thì S có điểm bất động duy nhất. Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày một ví dụ để chứng tỏ Định lý 1.1.5 là mở rộng thực sự của Định lý 1.1.6. 1.1.7 Ví dụ. Lấy X = [1, 8] với mêtric thông thường trên R: d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ X. Khi đó, (X, d) là không gian mêtric đầy đủ. Xét ánh xạ Sx = 8 √ x với x ∈ X. Dễ thấy, x = 4 là điểm bất động duy
16 nhất của S. Đầu tiên, ta chứng minh S không thỏa mãn điều kiện co Meir-Keeler. Thật vậy, theo điều kiện co Meir-Keeler với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 để với mọi x, y ∈ X sao cho ε d(x, y) = |x − y| < ε + δ ta có d(Sx, Sy) = 8 √ x − 8 √ y = 8 |x − y| √ xy( √ x + √ y) < ε Tuy nhiên, tồn tại ε0 = 3 để với mọi δ > 0 ta có d(Sx, Sy) 8 nếu √ xy( √ x + √ y) 8 (chẳng hạn x = 1, y = 4). Do đó, điều kiện co Meir-Keeler không thỏa mãn với mọi δ > 0. Bây giờ, ta sẽ chứng minh S thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 1.1.5. Thật vậy, xét ánh xạ T : [1, +∞) → [1, +∞) xác định bởi Tx = ln x + 1, ∀x ∈ X. Rõ ràng, T đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy. Với mỗi ε > 0, nếu ta chọn δ = ε 3 thì với mọi x, y ∈ X mà ε d(Tx, Ty) = | ln x − ln y| < ε + δ = 4 3 ε ta có d(TSx, TSy) = ln 8 √ x − ln 8 √ y = 1 2 | ln x − ln y| < 2 3 ε < ε. Điều này chứng tỏ S thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 1.1.5. Tiếp theo, chúng tôi trình bày một mở rộng khác của Định lý 1.1.6. 1.1.8 Định lý. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và F : X → X là ánh xạ liên tục. Giả sử ánh xạ T : X → X là đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy và với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có ε MT (x, y) < ε + δ kéo theo d(TFx, TFy) < ε, (1.10)
17 trong đó MT (x, y) = max d(Tx, Ty), d(Tx, TFx), d(Ty, TFy), 1 2 [d(Tx, TFy) + d(Ty, TFx)] . Khi đó, F có điểm bất động duy nhất x ∈ X. Chứng minh. Lấy x0 ∈ X tùy ý, ta xây dựng hai dãy lặp {xn} và {yn} như sau: xn+1 = Fxn và yn = Txn với n = 0, 1, 2, ... (1.11) Để ý rằng, nếu yn0+1 = yn0 với số tự nhiên nào đó n0 ∈ N thì Txn0+1 = Txn0 . Vì T là đơn ánh nên xn0+1 = xn0 , điều này kéo theo Fxn0 = xn0 . Do đó, xn0 là điểm bất động của F. Vì vậy, ta có thể giả sử yn+1 = yn với mọi n ∈ N. (1.12) Do đó, δn := d(yn+1, yn) > 0 với mọi n ∈ N. Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng {yn} là dãy Cauchy. Thật vậy, nếu tồn tại số tự nhiên n ∈ N sao cho δn−1 < δn thì ta có MT (xn−1, xn) = max{d(Txn−1, Txn), d(Txn−1, TFxn−1), d(Txn, TFxn), 1 2 [d(Txn−1, TFxn) + d(Txn, TFxn−1)]} = max{d(yn, yn+1), d(yn−1, yn), d(yn, yn+1), 1 2 d(yn−1, yn+1)} max{d(yn, yn+1), d(yn−1, yn), 1 2 d(yn−1, yn) + d(yn, yn+1)} < d(yn, yn+1) + d(yn−1, yn) = δn + δn−1 (1.13) và MT (xn−1, xn) d(yn−1, yn) = δn−1. Từ (1.10), ta có d(TFxn−1, TFxn) < δn−1, suy ra δn < δn−1. Ta gặp mâu thuẫn. Do đó, δn δn−1 với mọi số tự nhiên n ∈ N. Điều này chứng tỏ {δn} là dãy giảm các số thực dương. Do đó, tồn tại số thực r 0 sao cho lim n→∞ δn = inf n δn = r. Ta chứng minh
18 r = 0. Thật vậy, nếu r > 0 thì tồn tại δ > 0 sao cho r MT (x, y) < r + δ kéo theo d(TFx, TFy) < r. Vì lim n→∞ δn = inf n δn = r nên tồn tại số tự nhiên N sao cho r δn < r + δ với mọi n N. Vì d(yn, yn+1) d(yn−1, yn) và bất đẳng thức (1.13) nên ta có MT (xn−1, xn) = d(yn−1, yn) = δn−1. Do đó, nếu n N + 1 thì r MT (xn−1, n) < r + δ, điều này kéo theo d(TFxn−1, TFxn) = d(yn, yn+1) < r. Ta gặp mâu thuẫn. Do vậy, lim n→∞ δn = inf n δn = 0. Tiếp theo, ta chứng minh {yn} là dãy Cauchy. Giả sử ngược lại, {yn} không là dãy Cauchy, khi đó tồn tại ε > 0 và dãy con {yn(k)} của {yn} sao cho d(yn(k), yn(k+1)) > 2ε. Với ε này, theo giả thiết tồn tại δ > 0 sao cho ε MT (x, y) < ε + δ kéo theo d(TFx, TFy) < ε. Đặt δ0 = min{ε, δ}. Vì lim n→∞ δn = inf n δn = 0 nên tồn tại N ∈ N sao cho δm < δ0 4 với m N. Với n(k) N, nếu d(yn(k), yn(k+1)−1) ε + δ0 2 thì d(yn(k), yn(k+1)) d(yn(k), yn(k+1)−1) + d(yn(k+1)−1, yn(k+1)) ε + δ0 2 + δ0 4 < 2ε. Ta gặp mâu thuẫn với d(yn(k), yn(k+1)) > 2ε. Do đó, tồn tại số tự nhiên l mà n(k) l n(k + 1) sao cho d(yn(k), yl) > ε + δ0 2 .
19 Gọi l là số tự nhiên bé nhất sao cho l n(k) thỏa mãn d(yn(k), yl) ε + δ0 2 . Khi đó, ta nhận được d(yn(k), yl−1) < ε + δ0 2 . Mặt khác d(yn(k), yl) d(yn(k), yl−1) + d(yl−1, yl) < ε + δ0 2 + δ0 4 = ε + 3δ0 4 . Do đó, tồn tại số tự nhiên l mà n(k) l n(k + 1) thỏa mãn ε + δ0 2 d(yn(k), yl) < ε + 3δ0 4 . Bởi vì d(yn(k), yl) < ε + 3δ0 4 < ε + δ0 d(yn(k), yn(k)+1) = δn(k) < δ0 4 < ε + δ0 d(yl, yl+1) δl < δ0 4 < ε + δ0 và 1 2 [d(yn(k), yl+1) + d(yn(k)+1, yl)] 1 2 [d(yn(k), yl) + d(yl, yl+1) + d(yn(k)+1, yn(k)) + d(yn(k), yl)] = d(yn(k), yl) + 1 2 [+d(yl, yl+1) + d(yn(k)+1, yn(k))] < ε + 3δ0 4 + δ0 4 = ε + δ0 nên ta có MT (xn(k), xl) < ε + δ0 ε + δ. Điều này kéo theo d(yn(k)+1, yl+1) = d(TFxn(k), TFxl) < ε.
20 Mặt khác d(yn(k)+1, yl+1) d(yn(k), yl) − d(yn(k), yn(k)+1) − d(yl, yl+1) > ε + δ0 2 − δ0 4 − δ0 4 = ε. Ta gặp mâu thuẫn. Vậy, {yn} là dãy Cauchy. Vì (X, d) là không gian mêtric đầy đủ nên tồn tại y ∈ X sao cho lim n→∞ yn = lim n→∞ Txn = y. Hơn nữa vì T hội tụ dãy nên ta suy ra tồn tại x ∈ X sao cho {xn} hội tụ tới x. Từ tính liên tục của F ta có x = lim n→∞ xn+1 = lim n→∞ Fxn = Fx. Cuối cùng, ta sẽ chứng minh tính duy nhất của điểm bất động. Nếu tồn tại y ∈ X mà y = Fy và y = x thì MT (x, y) = d(Tx, Ty) > 0. Từ điều kiện (1.10) ta có ε d(Tx, Ty) < ε + δ kéo theo d(Tx, Ty) < ε. Ta gặp mâu thuẫn. Vậy, định lý được chứng minh. 1.2. Điểm bất động của ánh xạ T-co kiểu tựa co Ciric Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm ánh xạ tựa co Ciric, đồng thời phát biểu và chứng minh một số mở rộng của ánh xạ T-co cho ánh xạ tựa co Ciric ([27]). 1.2.1 Định nghĩa. ([27]) Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ S : X → X được gọi là tựa co nếu tồn tại 0 q < 1 sao cho d(Sx, Sy) q max d(x, y), d(x, Sx), d(y, Sy), d(x, Sy), d(y, Sx) , (1.14) với mọi x, y ∈ X.
21 Cho ánh xạ T : X → X, với tập con Y ⊂ X và với mỗi x ∈ X đặt: 1. δ(Y ) = sup{d(x, y) : x, y ∈ Y }. 2. O(x, n) = {x, Tx, T2x, · · · , Tnx} với n ∈ N. 3. O(x, ∞) = {x, Tx, T2x, · · · }. Định lý sau là một mở rộng định lý ánh xạ tựa co Ciric. 1.2.2 Định lý. Cho (X, d) là không gian mêtric, T : X → X là ánh xạ đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy và ánh xạ S : X → X. Giả sử tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho d(TSx, TSy) q max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy), d(Ty, TSx)} (1.15) với mọi x, y ∈ X và mọi dãy Cauchy có dạng {TSnx} đều hội tụ trong X. Khi đó, ta có (i) d(TSi, TSj) qδ O(Tx, n) , với mọi i, j ∈ {1, 2, ..., n}, mọi x ∈ X và n ∈ N, (ii) δ O(Tx, ∞) 1 1−qd(Tx, TSx), với mọi x ∈ X, (iii) S có điểm bất động duy nhất b ∈ X, (iv) lim n→∞ TSnx = Tb với mọi x ∈ X. Chứng minh. Với x ∈ X tùy ý, số tự nhiên n 1 và i, j ∈ {1, 2, ..., n}, ta có TSi−1 x, TSi x, TSj−1 x, TSj x ∈ O(Tx, n). Ta quy ước S0x = x với mọi x ∈ X. Từ (1.15) ta có d(TSi x, TSj x) = d TS(Si−1 x), TS(Sj−1 x) q max d(TSi−1 x, TSj−1 x); d(TSi−1 x, TSi x), d(TSj−1 x, TSj x), d(TSi−1 x, TSj x), d(TSi x, TSj−1 x) qδ O(Tx, n) .
22 Do đó, khẳng định (i) được chứng minh. Bây giờ ta chứng minh khẳng định (ii). Ta có δ O(Tx, 1) δ O(Tx, 2) · · · δ O(Tx, n) δ O(Tx, n+1) · · · , điều này kéo theo δ O(Tx, ∞) = sup δ O(Tx, n) : n ∈ N . Vì vậy, ta chỉ cần chứng tỏ rằng δ O(Tx, n) 1 1 − q d(Tx, TSx) với mọi n ∈ N. Thật vậy, vì O(Tx, n) = {Tx, TSx, ..., TSnx} là tập hữu hạn với mỗi số tự nhiên n và d(TSi x, TSj y) qδ O(Tx, n) , ∀i, j ∈ {1, 2, ..., n} với 0 q < 1, ta suy ra tồn tại k ∈ {1, 2, ..., n} sao cho d(Tx, TSk x) = δ O(Tx, n) . Sử dụng bất đẳng thức tam giác và khẳng định (i) ta nhận được d(Tx, TSk x) d(Tx, TSx) + d(TSx, TSk x) d(Tx, TSx) + qδ O(Tx, n) = d(Tx, TSx) + qd(Tx, TSk x). Do đó, δ O(Tx, n) = d(Tx, TSkx) 1 1 − q d(Tx, TSx). Vậy, khẳng định (ii) được chứng minh. Để chứng minh khẳng định (iii) ta lấy x0 ∈ X tùy ý và xây dựng các dãy lặp {xn} và {yn} như sau: xn+1 = Sxn và yn = Txn = TSn x0 n = 0, 1, 2, ... Ta chứng minh rằng {yn} là dãy Cauchy. Thật vậy, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử n < m, trong đó n, m ∈ N. Từ (i) ta nhận được d(yn, ym) = d(TSn x0, TSm x0) = d(TSSn−1 x0, TSm−n+1 Sn−1 x0) qδ O(TSn−1 x0, m − n + 1) .
23 Từ giả thiết n < m ta suy ra tồn tại l ∈ {1, m − n + 1} sao cho δ O(TSn−1 x0, m − n + 1) = d(TSn−1 x0, TSl Sn−1 x0), và d(TSn−1 x0, TSl Sn−1 x0) = d(TSSn−2 x0, TSl+1 Sn−2 x0) qδ O(TSn−2 x0, l + 1) . Do đó, ta có d(yn, ym) = d(TSn x0, TSm x0) qδ O(TSn−1 x0, m − n + 1) q2 δ O(TSn−2 x0, m − n + 2) . Lập luận tương tự ta nhận được d(yn, ym) = d(TSn x0, TSm x0) ... qn δ O(TSx0, m) . Vì δ O(TSx0, m) δ O(TSx0, ∞) 1 1 − q d(Tx0, TSx0) nên ta có d(yn, ym) = d(TSn x0, TSm x0) qn 1 − q d(Tx0, TSx0). Điều này chứng tỏ {yn} = {TSnx0} là dãy Cauchy. Theo giả thiết, mỗi dãy Cauchy có dạng {TSnx0} hội tụ trong X ta suy ra lim n→∞ TSn x0 = a ∈ X. Vì T là hội tụ dãy nên ta có lim n→∞ Snx0 = b ∈ X. Hơn nữa, vì T liên tục nên ta nhận được lim n→∞ TSn x0 = Tb. (1.16) Do vậy, ta có Tb = a. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh Sb = b. Thật vậy, ta
24 có d(TSb, Tb) d(Tb, TSn+1 x0) + d(TSn+1 x0, TSb) d(Tb, TSn+1 x0) + q max d(Tb, TSn x0), d(Tb, TSb), d(TSn x0, TSn+1 x0), d(Tb, TSn+1 x0), d(TSn x0, TSb) d(Tb, TSn+1 x0) + q max d(Tb, TSn x0), d(Tb, TSb), d(TSn x0, TSn+1 x0), d(Tb, TSn+1 x0), d(TSn x0, Tb) + d(Tb, TSb) d(Tb, TSn+1 x0) + q d(Tb, TSn+1 x0) + d(TSn x0, TSn+1 x0) + d(TSn x0, Tb) + d(Tb, TSb) . Từ các bất đẳng thức trên ta suy ra d(Tb, TSb) 1 1 − q (1 + q)d(Tb, TSn+1 x0) + qd(Tb, TSn x0) + qd(TSn x0, TSn+1 x0) . Cho n → ∞ và kết hợp với đẳng thức lim n→∞ TSnx0 = Tb, ta nhận được d(TSb, Tb) = 0, có nghĩa là TSb = Tb. Hơn nữa, vì T là đơn ánh nên Sb = b. Cuối cùng, ta chứng tỏ b là điểm bất động duy nhất của S. Thật vậy, giả sử b và b là các điểm bất động của S. Khi đó, ta có Sb = b và Sb = b . Từ (1.15) ta suy ra d(Tb, Tb ) = d(TSb, TSb ) q max{d(Tb, TSb), d(Tb , TSb ), d(Tb, TSb ), d(Tb , TSb), d(Tb, Tb )} = qd(Tb, Tb ). Hơn nữa, vì 0 q < 1 nên ta có d(Tb, Tb ) = 0. Vậy, Tb = Tb . Mặt khác, vì T đơn ánh nên b = b . Vậy, khẳng định (iii) được chứng minh. Khẳng định (iv) được suy trực tiếp từ (1.16). Định lý được chứng minh.
25 Nếu ta cho Tx = x với mọi x ∈ X trong Định lý 1.2.2 thì ta nhận được định lý ánh xạ tựa co Ciric ([27]). 1.2.3 Hệ quả. ([27]) Cho (X, d) là không gian mêtric và ánh xạ S : X → X. Nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho d(Sx, Sy) q max d(x, y), d(x, Sx), d(y, Sy), d(x, Sy), d(y, Sx) , (1.17) với mọi x, y ∈ X và mọi dãy Cauchy có dạng {Snx} hội tụ trong X thì S có duy nhất điểm bất động. Ví dụ sau chứng tỏ rằng Định lý 1.2.2 là mở rộng thực sự của Định lý ánh xạ tựa co Ciric 1.2.3. 1.2.4 Ví dụ. Lấy X = R+ với mêtric thông thường: d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ X. Rõ ràng (X, d) là không gian mêtric đầy đủ. Xét ánh xạ Sx = x2 x + 1 với mọi x ∈ X. Ta có d(Sx, S2x) = 4x2 2x + 1 − x2 x + 1 = x2(2x + 3) (2x + 1)(x + 1) ; d(x, Sx) = x − x2 x + 1 = x x + 1 ; d(2x, S2x) = 2x − 4x2 2x + 1 = 2x 2x + 1 ; d(x, S2x) = 4x2 2x + 1 − x = 2x2 − x 2x + 1 ; d(2x, Sx) = 2x − x2 x + 1 = x2 + 2x x + 1 ; d(x, 2x) = x. Do đó, với x đủ lớn ta có max d(x, 2x), d(x, Sx), d(2x, S2x), d(x, S2x), d(2x, Sx) = x2 + 2x x + 1 . Cho x = x và y = 2x trong bất đẳng thức (1.17) ta nhận được d(Sx, S2x) q max d(x, 2x), d(x, Sx), d(2x, S2x), d(x, S2x), d(2x, Sx) .
26 Từ các phép tính toán ở trên ta suy ra x(2x + 3) (2x + 1)(x + 2) q. Cho x → ∞ ta nhận được q 1, điều này mâu thuẫn với giả thiết q ∈ [0, 1). Do đó, ánh xạ S không thỏa mãn điều kiện (1.17). Tuy nhiên, dễ thấy 0 là điểm bất động duy nhất của S. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng S thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 1.2.2 với Tx = ex − 1 và q = 1 2 . Thật vậy, dễ kiểm tra được T đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy trên R+. Hơn nữa, ta có d(TSx, TSy) = e x2 x+1 − e y2 y+1 và d(Tx, Ty) = |ex − ey |. Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng ánh xạ S thỏa mãn điều kiện co (1.15) với ánh xạ T được xác định ở trên. Muốn vậy, ta chứng minh S thỏa mãn d(TSx, TSy) 1 2 d(Tx, Ty) với mọi x, y ∈ X. (1.18) Thật vậy, lấy bất kỳ x, y ∈ X mà x = y thì bất đẳng thức trên thỏa mãn. Vì vậy, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x > y. Khi đó, bất đẳng thức (1.18) trở thành |e x2 x+1 − e y2 y+1 | 1 2 |ex − ey |, với mọi x > y. (1.19) Bởi vì φ(t) = e t2 t+1 và ψ(t) = et là các hàm tăng trên R+ nên từ bất đẳng thức (1.19) ta suy ra e x2 x+1 − ex 2 e y2 y+1 − ey 2 , với mọi x > y. (1.20) Xét hàm ϕ(t) = e t2 t+1 − et 2 với t ∈ R+. Dễ kiểm tra được ϕ là hàm giảm
27 trên R+. Do vậy, bất đẳng thức (1.18) thỏa mãn và ta có d(TSx, TSy) 1 2 d(Tx, Ty) 1 2 max d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy), d(Ty, TSx) vói mọi x, y ∈ X. Điều này chứng tỏ ánh xạ S thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.2.2. Từ Định lý 1.2.2 ta nhận được hệ quả sau. 1.2.5 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian mêtric, T : X → X là ánh xạ đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy và ánh xạ S : X → X. Giả sử tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho d(TSx, TSy) q max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy) + d(Ty, TSx) 2 } (1.21) với mọi x, y ∈ X và mọi dãy Cauchy dạng {TSnx} hội tụ trong X. Khi đó a) S có điểm bất động duy nhất b ∈ X. b) lim n→∞ TSnx = Tb với x ∈ X. Chứng minh. Ta có q max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy) + d(Ty, TSx) 2 } q max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy), d(Ty, TSx)} Do đó, từ các bất đẳng thức (1.15) và (1.21), hệ quả được chứng minh. Từ Định lý 1.2.2 ta thu được hệ quả sau.
28 1.2.6 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian mêtric, T : X → X là ánh xạ đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy và ánh xạ S : X → X. Giả sử tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho d(TSk x, TSk y) q max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSk x), d(Ty, TSk y), d(Tx, TSk y), d(Ty, TSk x)} (1.22) với mọi x, y ∈ X, mọi số tự nhiên k và mọi dãy Cauchy dạng {TSnx} hội tụ trong X. Khi đó S có điểm bất động duy nhất b ∈ X. Chứng minh. Thay S bởi ánh xạ Sk trong Định lý 1.2.2 ta suy ra Sk có điểm bất động duy nhất b ∈ X. Do đó ta có Skb = b và Sk(Sb) = Sk+1b = S(Skb) = Sb. Điều này chứng tỏ Sb là điểm bất động của Sk. Vì Sk có điểm bất động duy nhất nên ta có Sb = b, điều đó chứng tỏ b là điểm bất động của S. Cuối cùng, nếu a là điểm bất động khác của S thì Ska = Sk−1a = ... = Sa = a. Do đó, a là điểm bất động của Sk, chứng tỏ a = b. Vậy, hệ quả được chứng minh. Từ Định lý 1.2.2 ta cũng thu được hệ quả sau. 1.2.7 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian mêtric, T : X → X là ánh xạ đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy và ánh xạ S : X → X. Nếu tồn tại các ai 0, i = 1, 2, ..., 5 sao cho 5 i=1 ai < 1 thỏa mãn d(TSx, TSy) a1d(Tx, Ty) + a2d(Tx, TSx) + a3d(Ty, TSy) + a4d(Tx, TSy) + a5d(Ty, TSx) (1.23) với mọi x, y ∈ X và mọi dãy Cauchy dạng {TSnx} hội tụ trong X thì (a) S có điểm bất động duy nhất b ∈ X. (b) lim n→∞ TSnx = Tb.
29 Chứng minh. Ta có d(TSx, TSy) a1d(Tx, Ty) + a2d(Tx, TSx) + a3d(Ty, TSy) + a4d(Tx, TSy) + a5d(Ty, TSx) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5) max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy), d(Ty, TSx)} = q max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy), d(Ty, TSx)}, trong đó q = 5 i=1 ai < 1. Vậy, từ điều kiện (1.23) và điều kiện (1.15) ta suy ra hệ quả được chứng minh. 1.3. Điểm bất động chung của các ánh xạ T-co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu Trong mục này, chúng tôi phát biểu và chứng minh kết quả về điểm bất động chung của các ánh xạ T-co cho ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu. Ký hiệu Ψ:={ψ : R+ → R+} là họ các hàm thỏa mãn các điều kiện (i) ψ liên tục, không giảm; (ii) ψ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0 và Φ :={ϕ : R+ → R+} là họ các hàm thỏa mãn các điều kiện (iii) ϕ nửa liên tục dưới; (iv) ϕ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0. Dễ thấy, với mọi t ∈ R+ thì ψ1(t) = t, ψ2(t) = t t + 1 , và ψ3(t) = t2 ∈ Ψ còn ϕ1(t) = min{t, 1}, ϕ2(t) = ln(1 + t) ∈ Φ. Năm 2009, theo hướng mở rộng các kết quả về điểm bất động cho các ánh xạ kiểu co yếu, D. Doric ([32]) đã đề xuất và chứng minh kết quả về điểm bất động chung của hai ánh xạ. 1.3.1 Định lý. ([32]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và các
30 ánh xạ f, g : X → X. Nếu tồn tại các hàm ψ ∈ Ψ và ϕ ∈ Φ sao cho ψ d(fx, gy) ψ M(x, y) − ϕ M(x, y) , (1.24) với mọi x, y ∈ X, trong đó M(x, y) = max d(x, y), d(x, fx), d(y, gy), d(x, gy) + d(y, fx) 2 , thì f và g có điểm bất động chung duy nhất. Mở rộng Định lý 1.3.1 cho ánh xạ T-co, chúng tôi thu được kết quả sau. 1.3.2 Định lý. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X là đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy. Cho các ánh xạ f, g : X → X. Nếu tồn tại các hàm ψ ∈ Ψ và ϕ ∈ Φ sao cho ψ d(Tfx, Tgy) ψ M(Tx, Ty) − ϕ M(Tx, Ty)) , (1.25) với mọi x, y ∈ X, trong đó M(Tx, Ty) = max d(Tx, Ty), d(Tx, Tfx), d(Ty, Tgy), d(Tx, Tgy) + d(Ty, Tfx) 2 thì f và g có điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Vì T đơn ánh nên M(Tx, Ty) = 0 nếu và chỉ nếu x = y. Do đó, nếu f và g có điểm bất động chung thì điểm bất động chung là duy nhất. Lấy x0 ∈ X tùy ý, ta xây dựng hai dãy lặp {xn} và {yn} như sau: x2n+2 = fx2n+1, x2n+1 = gx2n và yn = Txn, với mọi n = 0, 1, 2, ... Ta chứng minh {yn} là dãy Cauchy. Muốn vậy, đầu tiên, ta chứng minh
31 lim n→∞ d(yn+1, yn) = 0. Thật vậy, nếu n lẻ thì từ giả thiết của hàm ϕ ta có ψ(d(yn+1, yn)) = ψ d(Txn+1, Txn) = ψ d(Tfxn, Tgxn−1) ψ M(Txn, Txn−1) − ϕ M(Txn, Txn−1) ψ M(Txn, Txn−1) = ψ max d(Txn, Txn−1), d(Tfxn, Txn), d(Tgxn−1, Txn−1), d(Tgxn, Txn−1) + d(Tfxn−1, Txn) 2 = ψ max d(yn, yn−1), d(yn+1, yn), d(yn, yn−1), d(yn−1, yn+1) 2 ψ max d(yn, yn−1), d(yn+1, yn), d(yn−1, yn) + d(yn, yn+1) 2 . (1.26) Nếu d(yn, yn+1) > d(yn−1, yn) 0 thì M(Txn, Txn−1) = d(yn, yn+1). Do đó, ta có ψ d(yn, yn+1) ψ d(yn, yn+1) − ϕ d(yn, yn+1) . Theo giả thiết ϕ(t) > 0 với mọi t > 0 nên ta gặp mâu thuẫn với giả sử d(yn, yn+1) > 0. Do đó, từ (1.26) ta có d(yn+1, yn) M(Txn, Txn−1) d(yn, yn−1). Lập luận tương tự cho trường hợp n chẵn ta cũng nhận được d(yn+1, yn) M(Txn, Txn−1) d(yn, yn−1). Vì vậy, ta có d(yn+1, yn) M(Txn, Txn−1) d(yn, yn−1) (1.27) với mọi n và {d(yn, yn+1)} là dãy không tăng các số thực không âm. Do đó, tồn tại số thực r 0 sao cho lim n→∞ d(yn, yn+1) = lim n→∞ M(Txn−1, Txn) = r.
32 Vì hàm ϕ nửa liên tục dưới nên ta có ϕ(r) lim n→∞ inf ϕ(M(Txn, Txn−1)). Cho n → ∞ trong bất đẳng thức sau ψ(d(yn, yn+1)) ψ(M(Txn, Txn−1)) − ϕ M(Txn, Txn−1) , ta nhận được ψ(r) ψ(r) − lim n→∞ inf ϕ(M(Txn, Txn−1)) ψ(r) − ϕ(r), điều này kéo theo ϕ(r) 0. Theo giả thiết của hàm ϕ ta suy ra ϕ(r) = 0. Vậy, r = 0 và lim n→∞ d(yn, yn+1) = 0. (1.28) Từ bất đẳng thức (1.27) ta có lim n→∞ M(Txn, Txn−1) = 0. Vì lim n→∞ d(yn, yn+1) = 0 nên để chứng minh {yn} là dãy Cauchy ta chỉ cần chứng minh {y2n} là dãy Cauchy. Giả sử ngược lại, {y2n} không là dãy Cauchy. Khi đó, tồn tại ε > 0 sao cho ta có thể tìm được hai dãy con {y2n(k)} và {y2m(k)} của {y2n} sao cho với n(k) là số tự nhiên bé nhất thỏa mãn n(k) > m(k) > k, d(y2m(k), y2n(k)) > ε. Do đó d(y2m(k), y2m(k)−2) < ε. (1.29) Từ (1.29) ta có ε d(y2m(k), y2n(k)) d(y2m(k), y2n(k)−2) + d(y2n(k)−2, y2n(k)−1) + d(y2n(k)−1, y2n(k)) < ε + d(y2n(k)−2, y2n(k)−1) + d(y2n(k)−1, y2n(k)).
33 Cho k → ∞ và sử dụng bất đẳng thức (1.28) ta nhận được lim k→∞ d(y2m(k), y2n(k)) = ε. (1.30) Mặt khác, ta có |d(y2m(k), y2n(k)+1) − d(y2m(k), y2n(k))| d(y2n(k), y2n(k)+1); |d(y2m(k)−1, y2n(k)) − d(y2m(k), y2n(k))| d(y2m(k)−1, y2m(k)). Từ các bất đẳng thức (1.28) và (1.30) ta nhận được lim k→∞ d(y2m(k)−1, y2n(k)) = lim k→∞ d(y2m(k), y2n(k)+1) = ε. (1.31) Hơn nữa, ta có |d(y2m(k)−1, y2n(k)+1) − d(y2m(k)−1, y2n(k))| d(y2n(k), y2n(k)+1). Kết hợp với các bất đẳng thức (1.28) và (1.31) ta thu được lim k→∞ d(y2m(k)−1, y2n(k)+1) = ε. (1.32) Từ cách xác định M(Tx, Ty) và từ các đẳng thức (1.28), (1.30), (1.31) và (1.32) ta suy ra lim k→∞ M(Tx2m(k)−1, Tx2n(k)) = ε. Từ điều kiện co (1.25) ta có ψ(d(y2m(k), y2n(k)+1)) = ψ(d(Tx2m(k)), Tx2n(k)+1)) = ψ(d(Tfx2m(k)−1), Tgx2n(k))) ψ M(Tx2m(k)−1, Tx2n(k)) − ϕ M(Tx2m(k)−1, Tx2n(k)) . Cho k → ∞ và sử dụng các bất đẳng thức (1.31) và (1.32) ta nhận được ψ(ε) ψ(ε) − ϕ(ε). Điều này mâu thuẫn với giả thiết ϕ(t) > 0 với mọi t > 0. Vậy, {yn} là dãy Cauchy. Vì X là không gian mêtric đầy đủ nên tồn tại u ∈ X sao cho
34 lim n→∞ yn = lim n→∞ Txn = u. Vì T hội tụ dãy nên ta suy ra dãy {xn} hội tụ tới v ∈ X. Lại vì T liên tục nên ta có u = lim n→∞ yn = lim n→∞ Txn = Tv. Bây giờ, ta chứng minh v = fv = gv. Thật vậy, giả sử v = fv, vì T đơn ánh nên ta có u = Tv = Tfv. Do đó d(Tv, Tfv) > 0. Hơn nữa, vì lim n→∞ y2n+1 = lim n→∞ y2n = u và lim n→∞ d(y2n, y2n+1) = 0 nên ta tìm được số tự nhiên N0 ∈ N sao cho với mỗi số tự nhiên n N0 ta có d(y2n+1, u) < d(Tv, Tfv) 4 , d(y2n, u) < d(Tv, Tfv) 4 , và d(y2n, y2n+1) < d(Tv, Tfv) 4 . Do đó, ta có d(Tv, Tfv) M(Tv, Tx2n) = max d(Tv, Tx2n), d(Tv, Tfv), d(Tx2n, Tgx2n), d(Tv, Tgx2n) + d(Tx2n, Tfv) 2 = max d(u, y2n), d(Tv, Tfv), d(y2n, y2n+1), d(u, y2n+1) + d(y2n, Tfv) 2 max d(u, y2n), d(Tv, Tfv), d(y2n, y2n+1), d(u, y2n+1) + d(y2n, Tv) + d(Tv, Tfv) 2 max d(Tv, Tfv) 4 , d(Tv, Tfv), d(Tv, Tfv) 4 , d(Tv, Tfv) 4 + d(Tv, Tfv) 4 + d(Tv, Tfv) 2 max{d(Tv, Tfv), 3 4 d(Tv, Tfv)} = d(Tv, Tfv).
35 Vì vậy, M(Tv, Tx2n) = d(Tv, Tfv) với mọi số tự nhiên n N0. Từ ψ d(Tfv, y2n+1) = ψ d(Tfv, Tx2n+1) = ψ d(Tfv, Tgx2n) ψ M(Tv, Tx2n) − ϕ M(Tv, Tx2n) = ψ d(Tv, Tfv) − ϕ d(Tv, Tfv) , cho n → ∞ ta nhận được ψ d(Tfv, Tv) ψ d(Tv, Tfv) − ϕ d(Tv, Tfv) . Theo giả thiết của hàm ϕ, ta gặp mâu thuẫn. Do đó, v = fv. Lập luận tương tự ta cũng có v = gv. Để chứng minh tính duy nhất của điểm bất động chung ta giả sử tồn tại w ∈ X sao cho w = fw = gw. Khi đó, ta có M(Tv, Tw) = max d(Tv, Tw), d(Tv, Tfv), d(Tw, Tgw), d(Tv, Tgw) + d(Tfv, Tw) 2 = max d(Tv, Tw), d(Tv, Tw) + d(Tv, Tw) 2 = d(Tw, Tv). Do đó ψ d(Tv, Tw) = ψ d(Tfv, Tgw) ψ M(Tv, Tw) − ϕ M(Tv, Tw) = ψ d(Tv, Tw) − ϕ d(Tv, Tw) . Điều này kéo theo d(Tv, Tw) = 0. Vậy, Tv = Tw. Vì T đơn ánh nên ta suy ra w = v. Định lý được chứng minh. 1.3.3 Nhận xét. 1) Trong Định lý 1.3.2, nếu ta chọn Tx = x với mọi x ∈ X thì ta nhận được Định lý 1.3.1. 2) Trong Định lý 1.3.2, nếu ta chọn ψ(t) = t với mọi t ∈ R+ thì ta nhận được dạng T-co suy rộng cho kết quả sau đây.
36 1.3.4 Định lý. ([63]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và các ánh xạ f, g : X → X. Nếu tồn tại hàm ϕ ∈ Φ sao cho d(fx, gy) M(x, y) − ϕ M(x, y) , với mọi x, y ∈ X, trong đó M(x, y) = max d(x, y), d(x, fx), d(y, gy), d(x, fy) + d(y, gx) 2 thì f và g có điểm bất động chung duy nhất. Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 1.3.2 là mở rộng thực sự của Định lý 1.3.1. 1.3.5 Ví dụ. Lấy X = [1, +∞) và d là mêtric thông thường: d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ X. Xét các ánh xạ f(x) = g(x) = 4 √ x với mọi x ∈ X. Dễ thấy 16 là điểm bất động chung duy nhất của f và g. Ta chứng minh rằng f và g không thỏa mãn điều kiện co (1.24) trong Định lý 1.3.1. Thật vậy, giả sử tồn tại các hàm ψ ∈ Ψ và ϕ ∈ Φ sao cho bất đẳng thức (1.24) thỏa mãn. Khi đó, ta có ψ(d(fx, gy)) ψ(M(x, y)) − ϕ(M(x, y)), với mọi x, y ∈ X. (1.33) hay ψ(4| √ x − √ y|) ψ(M(x, y)) − ϕ(M(x, y)), với mọi x, y ∈ X, (1.34) trong đó M(x, y) = max{d(x, y), d(fx, x), d(gy, y), 1 2 [d(gx, y)+d(fy, x)]}. Với x = 4 và y = 1, ta có M(x, y) = max{3, 4, 3, 7 2 } = 4. Do đó, bất đẳng thức (1.34) trở thành ψ(4) ψ(4) − ϕ(4). Suy ra ϕ(4) 0. Ta gặp mâu thuẫn với giả thiết ϕ(t) > 0 với mọi t ∈ (0, ∞). Vậy f và g không thỏa mãn Định lý 1.3.1.
37 Tiếp theo, ta chứng minh rằng f và g thỏa mãn mọi điều kiện trong Định lý 1.3.2. Thật vậy, xét ánh xạ Tx = ln x + 1 với mọi x ∈ X. Dễ thấy T đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy. Cho ψ(t) = t và ϕ(t) = t 3 với mọi t ∈ R+. Để chứng minh f và g thỏa mãn điều kiện co (1.25) trong Định lý 1.3.2 ta cần kiểm tra bất đẳng thức sau | ln 4 √ x − ln 4 √ y| 2 3 M(x, y), với mọi x, y ∈ [1, +∞). Bất đẳng thức trên tương đương với 1 2 ln x y 2 3 M(Tx, Ty), với mọi x, y ∈ [1, +∞). (1.35) Mặt khác, ta có M(Tx, Ty) = max | ln x − ln y|, | ln 4 √ x − ln x|, | ln 4 √ y − ln y|, | ln 4 √ y − ln x| + | ln 4 √ x − ln y| 2 | ln x − ln y| = ln x y . Chứng tỏ bất đẳng thức (1.35) thỏa mãn. Vậy, f và g thỏa mãn mọi điều kiện trong Định lý 1.3.2. Kết luận chương 1 Chương 1 của luận án đạt được các kết quả sau: • Đưa ra Định lý 1.1.5 và Định lý 1.1.8 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ T-co kiểu Meir-Keeler trong không gian mêtric đầy đủ. Đưa ra Ví dụ 1.1.7 minh họa cho Định lý 1.1.5 cũng như để chỉ ra rằng kết quả của chúng tôi là mở rộng thực sự so với kết quả của Meir-Keeler ([42]). Các kết quả này đã được công bố trong bài báo: Kieu Phuong Chi, Erdal Karapinar and Tran Duc Thanh (2012), A generalization of the
38 Meir-Keeler type contraction, Arab Journal of Mathematical Sciences, 18, 141-148. • Đưa ra các Định lý 1.2.2, Hệ quả 1.2.5, Hệ quả 1.2.6 và Hệ quả 1.2.7 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động cho ánh xạ T-co kiểu tựa co Ciric trong không gian mêtric đầy đủ. Đưa ra Ví dụ 1.2.4 minh họa cho Định lý 1.2.2 cũng như để chỉ ra rằng kết quả của chúng tôi là mở rộng thực sự so với kết quả của Ciric ([27]). Các kết quả này đã được công bố trong bài báo: Erdal Karapinar, Kieu Phuong Chi and Tran Duc Thanh (2012), A generalization of Ciric quasi-contraction, Abstract and Applied Analysis, Article ID 518734, 9 pages, doi:10.1155/2012/518734. • Đưa ra Định lý 1.3.2 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động chung của ánh xạ T-co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong không gian mêtric đầy đủ. Đưa ra Ví dụ 1.3.5 minh họa cho Định lý 1.3.2 cũng như để chỉ ra rằng kết quả của chúng tôi là mở rộng thực sự so với kết quả D. Doric ([32]). Các kết quả này đã được công bố trong bài báo: T. V. An, K. P. Chi, E. Karapinar and T. D. Thanh (2012), An extension of generalized (ψ, ϕ)- weak contractions, International Journal of Mathematics and Mathe- matical Sciences, Vol 2012, Article ID 431872, 11pages doi:10.1155/2012/431872.
39 CHƯƠNG 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG Chương này dành để nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ co suy rộng trong các không gian mêtric riêng. Trong mục thứ nhất, chúng tôi trình bày khái niệm không gian mêtric riêng, một số tính chất tôpô, sự hội tụ của dãy trong không gian mêtric riêng và mối quan hệ giữa không gian mêtric riêng với không gian mêtric. Mục thứ hai dành để trình bày một số định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng. Chú ý rằng, các kỹ thuật chứng minh trong các định lý ở mục trên hoàn toàn khác với các kỹ thuật chứng minh đã có trong các không gian mêtric. Trong mục cuối cùng của chương, chúng tôi thiết lập các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co yếu thông qua một số định lý điểm bất động chung cho các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu. 2.1. Không gian mêtric riêng Năm 1992, trong dự án nghiên cứu về sự hiển thị ngôn ngữ và lưu thông mạng máy tính, S. G. Matthew ([45]) đã đề xuất và xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng. Các khái niệm, tính chất tôpô, sự hội tụ của dãy, mối quan hệ giữa không gian mêtric riêng và không gian mêtric, nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian gian mêtric riêng đã được S. G. Matthew trình bày tại hội nghị quốc tế về Tôpô và ứng dụng lần thứ 8 ([46]). Khái niệm không gian mêtric riêng nhận được bằng cách thay thế
40 đẳng thức d(x, x) = 0 trong định nghĩa của mêtric bởi bất đẳng thức d(x, x) d(x, y) với mọi x, y. Trước hết, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng về sau. 2.1.1 Định nghĩa. ([45, 46]) Cho X là tập hợp khác rỗng, ánh xạ p : X × X → R+ được gọi là một mêtric riêng (partial metric) trên X nếu với bất kỳ x, y, z ∈ X các điều kiện sau được thỏa mãn (P1) x = y nếu và chỉ nếu p(x, x) = p(y, y) = p(x, y). (P2) p(x, x) p(x, y). (P3) p(x, y) = p(y, x). (P4) p(x, z) p(x, y) + p(y, z) − p(y, y). Tập X cùng với một mêtric riêng p trên nó được gọi là không gian mêtric riêng (partial metric space) và ký hiệu là (X, p). 2.1.2 Ví dụ. ([45, 46]) 1) Cho X = R+ và ánh xạ p : X × X → R+ được xác định bởi p(x, y) = max{x, y} với mọi x, y ∈ X. Khi đó, (X, p) là không gian mêtric riêng. Hơn nữa, (X, p) không là không gian mêtric vì p(x, x) = x > 0 với mọi x > 0. 2) Cho X = {[a, b] : a, b ∈ R, a b} và ánh xạ p : X × X → R+ được xác định bởi p([a, b], [c, d]) = max{b, d} − min{a, c}, với mọi [a, b], [c, d] ∈ X. Khi đó, (X, p) là không gian mêtric riêng. 3) Cho X = [0, 1] ∪ [2, 3] và ánh xạ p : X × X → R+ được xác định bởi p(x, y) = |x − y| nếu {x, y} ⊂ [0, 1] max{x, y} nếu {x, y} ∩ [2, 3] = ∅, với mọi x, y ∈ X. Khi đó, (X, p) là không gian mêtric riêng. 2.1.3 Mệnh đề. ([45, 46]) Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng. Khi đó, các ánh xạ ps, pm : X × X → R+ cho bởi ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y)
41 và pm (x, y) = max{p(x, y) − p(x, x), p(x, y) − p(y, y)} xác định các mêtric tương đương trên X. 2.1.4 Định nghĩa. ([45, 46]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng, > 0 và x ∈ X. Khi đó, tập Bp(x, ) := {y ∈ X : p(x, y) < p(x, x) + } được gọi là hình cầu mở tâm x bán kính . 2.1.5 Định lý. ([45, 46]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng. Khi đó, tập các hình cầu mở trong X là cơ sở của một tôpô τp trên X. Hơn nữa, không gian (X, τp) là T0 - không gian. 2.1.6 Định nghĩa. ([45, 46]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng. 1) Dãy {xn} trong X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu và chỉ nếu p(x, x) = lim n→∞ p(xn, x). 2) Dãy {xn} trong X được gọi là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu lim n,m→∞ p(xn, xm) tồn tại hữu hạn. 3) Không gian (X, p) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy {xn} trong X hội tụ tới x ∈ X theo tôpô τp. 4) Hàm f : X → X được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f(B(x0, δ)) ⊂ B(f(x0), ε). 2.1.7 Định nghĩa. ([58]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng. 1) Dãy {xn} trong X được gọi là 0-Cauchy nếu lim n,m→∞ p(xn, xm) = 0. 2) Không gian (X, p) được gọi là 0-đầy đủ nếu mọi dãy 0-Cauchy trong X hội tụ theo tôpô τp tới x ∈ X sao cho p(x, x) = 0. 2.1.8 Nhận xét. ([58]) 1) Như ta biết, trong không gian mêtric, mỗi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy và giới hạn của dãy hội tụ là duy nhất. Tuy nhiên, dãy hội tụ {xn} trong không gian mêtric riêng (X, p) có thể không
42 là dãy Cauchy và giới hạn của dãy hội tụ cũng có thể không duy nhất. Thật vậy, lấy X = R+, p(x, y) = max{x, y} với mọi x, y ∈ X và dãy {xn} được xác định bởi xn = 0 nếu n = 2k 1 nếu n = 2k + 1. Rõ ràng, {xn} là dãy hội tụ trong không gian mêtric riêng (X, p) và với mỗi x 1 ta có lim n→∞ p(xn, x) = p(x, x). Đặt L(xn) = {x ∈ X| lim n→∞ p(xn, x) = p(x, x)}. Khi đó L(xn) = [1, ∞). Hơn nữa, lim n,m→∞ p(xn, xm) không tồn tại. 2) Nếu (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ thì (X, p) là không gian mêtric riêng 0-đầy đủ. Điều ngược lại không đúng. Thật vậy, không gian mêtric riêng (Q+, p) cùng với mêtric riêng p(x, y) = max{x, y} là 0-đầy đủ nhưng không đầy đủ. 2.1.9 Mệnh đề. ([45, 46]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng. Khi đó, ta có các khẳng định sau (1) Nếu {xn} là dãy hội tụ trong không gian mêtric (X, ps) thì nó là dãy hội tụ trong không gian mêtric riêng (X, p). (2) Dãy {xn} là dãy Cauchy trong (X, p) nếu và chỉ nếu {xn} là dãy Cauchy trong (X, ps). (3) Không gian (X, p) đầy đủ nếu và chỉ nếu không gian (X, ps) đầy đủ. Hơn nữa, lim n→∞ ps (xn, x) = 0 ⇔ lim n→∞ p(x, x) = lim n→∞ p(xn, x) = lim n,m→∞ p(xm, xn). 2.1.10 Bổ đề. ([45, 46]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng và dãy {xn} ⊂ X. (1) Nếu xn → z khi n → ∞ thì lim n→∞ p(xn, y) p(z, y) với mọi y ∈ X.
43 (2) Nếu xn → z khi n → ∞ sao cho p(z, z) = 0 thì lim n→∞ p(xn, y) = p(z, y) với mọi y ∈ X. 2.1.11 Bổ đề. ([45, 46]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng. Khi đó, ta có (1) Nếu p(x, y) = 0 thì x = y. (2) Nếu x = y thì p(x, y) > 0. 2.1.12 Bổ đề. ([45, 46]) Cho {xn} là dãy hội tụ trong không gian mêtric riêng (X, p) sao cho xn → x và xn → y khi n → ∞. Nếu lim n→∞ p(xn, xn) = p(x, x) = p(y, y) thì x = y. 2.1.13 Bổ đề. ([45, 46]) Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng. Khi đó, p là hàm liên tục theo nghĩa sau: Nếu xn → x và yn → y khi n → ∞ với mọi xn, yn, x, y ∈ X thì p(xn, yn) → p(x, y) khi n → ∞. 2.2. Điểm bất động của ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng Năm 2010, I. Altun, F. Sola và H. Simsek ([8]) đã đưa ra kết quả về sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co kiểu Hardy - Rogers cho trường hợp X là không gian mêtric riêng bởi định lý sau. 2.2.1 Định lý. ([8]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ thỏa mãn p(Tx, Ty) ap(x, y) + bp(Tx, x) + cp(y, Ty) + d p(Tx, y) + p(x, Ty) , (2.1) với mọi x, y ∈ X, trong đó a + b + c + 2d < 1 và a, b, c, d 0. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động.
44 Năm 2011, khi mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian mêtric riêng, D. Ilic, V. Pavlovic và V. Rakocevic ([37]) đã đề xuất và chứng minh kết quả sau. 2.2.2 Định lý. ([37]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ thỏa mãn p(Tx, Ty) max{ap(x, y), p(x, x), p(y, y)}, (2.2) với mọi x, y ∈ X, trong đó a ∈ [0, 1). Khi đó, ta có 1) Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} là tập khác rỗng. 2) Tồn tại duy nhất u ∈ Xp sao cho Tu = u. Mở rộng các điều kiện co ở trên với ánh xạ trong không gian mêtric riêng, chúng tôi thu được các kết quả sau đây. 2.2.3 Định lý. Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ thỏa mãn p(Tx, Ty) max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x), p(y, y) , (2.3) với mọi x, y ∈ X, trong đó a, b, c ∈ [0, 1) và d ∈ [0, 1 2 ). Khi đó, ta có 1) Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} là tập khác rỗng. 2) Tồn tại duy nhất u ∈ Xp sao cho Tu = u. Để chứng minh định lý ta cần một số kết quả bổ trợ. Đặt L = max{a, b, c, 2d} và với mỗi x ∈ X, ta xây dựng dãy lặp {xn} bởi x0 = x, xn = Txn−1, với mọi n = 1, 2, ... 2.2.4 Bổ đề. Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ, T : X → X là ánh xạ thỏa mãn Định lý 2.2.3 và m, n, k là các số tự nhiên
45 thỏa mãn m n k 1. Khi đó, nếu p(xn, xm) > p(xi, xi) với mọi i ∈ {n − k, ..., n − 1} ∪ {m − k, ..., m − 1} thì p(xm, xn) Lk p(xi0 , xj0 ) với i0, j0 nào đó thuộc {n − k, ..., m}. Chứng minh. Ta chứng minh khẳng định trên bằng quy nạp. Với k = 1 thì từ giả thiết ta có p(xm, xn) > max{p(xm−1, xm−1), p(xn−1, xn−1)}. Vì vậy, áp dụng điều kiện co (2.3) ta có p(xm, xn) = p(Txm−1, Txn−1) max ap(xm−1, xn−1), bp(xm−1, Txm−1), cp(xn−1, Txn−1), d[p(xm−1, Txn−1) + p(xn−1, Txm−1)], p(xm−1, xm−1), p(xn−1, xn−1) max Lp(xm−1, xn−1), Lp(xm−1, xm), Lp(xn−1, xn), L 2 [p(xm−1, xn) + p(xn−1, xm)], p(xm−1, xm−1), p(xn−1, xn−1) L max p(xm−1, xn−1), p(xm−1, xm), p(xn−1, xn), p(xm−1, xn), p(xn−1, xm) = Lp(xi0 , xj0 ) (2.4) với i0, j0 nào đó thuộc {n − 1, ..., m}. Giả sử khẳng định đúng với k > 1 và m n k. Lấy m n k + 1 sao cho p(xm, xn) > p(xi, xi) (2.5) với mọi i ∈ {n − (k + 1), ..., n − 1} ∪ {m − (k + 1), ..., m − 1}. Khi đó, từ p(xm, xn) > max{p(xm−1, xm−1), p(xn−1, xn−1)} và (2.3) ta có p(xm, xn) Lp(xm1 , xn1 ), (2.6) trong đó (m1, n1) ∈ (m−1, n−1), (m−1, m), (n−1, n), (m−1, n), (n− 1, m), (m, n−1), (n, m−1) nếu m > n và (m1, n1) ∈ (n−1, n−1), (n−
46 1, n) nếu n = m. Vì vậy m1 n1 n − 1 k. Khi đó với bộ ba m1 n1 k, từ chứng minh trên ta suy ra p(xm1 , xn1 ) > p(xi, xi) với mọi i ∈ {m1 − k, ..., m1 − 1} ∪ {n1 − k, ..., n1 − 1}. Vì nếu ngược lại tồn tại i ∈{m1 − k, ..., m1 − 1} ∪ {n1 − k, ..., n1 − 1} ⊂ {m − (k + 1), ..., m − 1} ∪ {n − (k + 1), ..., n − 1} sao cho p(xm1 , xn1 ) p(xi, xi), thì nhờ (2.6) và lập luận trên suy ra tồn tại i ∈{m1 − k, ..., m1 − 1} ∪ {n1 − k, ..., n1 − 1} ⊂ {m − (k + 1), ..., m − 1} ∪ {n − (k + 1), ..., n − 1} sao cho p(xm, xn) Lp(xm1 , xn1 ) < p(xm1 , xn1 ) p(xi, xi). Điều này mâu thuẫn. Do đó, theo giả thiết quy nạp áp dụng cho bộ ba m1 n1 k ta có p(xm1 , xn1 ) Lk p(xi0 , xj0 ) với i0, j0 nào đó thuộc {n1 − k, ..., m1} ⊂ {n − (k + 1), ..., m}. Khi đó, ta có p(xm, xn) Lp(xm1 , xn1 ) Lk+1 p(xi0 , xj0 ). 2.2.5 Bổ đề. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ, T : X → X là ánh xạ thỏa mãn Định lý 2.2.3 và Rx = 1 1 − L p(x, Tx) + p(x, x) với mỗi x ∈ X. Với mỗi x ∈ X, xét dãy {xn} xác định bởi x0 = x, xn = Txn−1, với mọi n = 1, 2, ... Khi đó,
47 1) Với mọi i, j 0 ta có p(xi, xj) Rx. (2.7) 2) lim n→∞ p(xn+1, xn) = lim sup n→∞ p(xn, xn) và tồn tại i 0 sao cho p(xi, xi) = sup n 0 p(xn, xn). Chứng minh. 1) Với mỗi m 1 đặt dm = max{p(xi, xj) : 0 i, j m}. Để chứng minh khẳng định 1) ta chỉ cần chứng minh rằng: dm Rx. Trước hết ta thấy rằng tồn tại i ∈ {0, 1, ..., m} sao cho dm = p(x0, xi). Thật vậy, lấy i, j ∈ {0, 1, ..., m} sao cho dm = p(xi, xj). Nếu i, j = 0 thì ta thu được ngay khẳng định. Giả sử i, j 1. Khi đó, ta có dm = p(xi, xj) = p(Txi−1, Txj−1) max Lp(xi−1, xj−1), Lp(xi−1, xi), Lp(xj−1, xj), L 2 [p(xj−1, xi) + p(xi−1, xj)], p(xi−1, xi−1), p(xj−1, xj−1) max L max p(xi−1, xj−1), p(xj−1, xj), p(xi−1, xi), p(xj−1, xi), p(xi−1, xj) , p(xi−1, xi−1), p(xj−1, xj−1) = max{Lp(xi1 , xj1 ), p(xi−1, xi−1), p(xj−1, xj−1)}, (2.8) trong đó i1, j1 ∈ {0, 1, ..., m}. - Nếu max{Lp(xi1 , xj1 ), p(xi−1, xi−1), p(xj−1, xj−1)} = Lp(xi1 , xj1 ), thì ta thu được dm Lp(xi1 , xj1 ) Ldm vì L ∈ (0, 1) nên dm = 0. Do đó, từ định nghĩa của dm ta có dm = p(x0, xk) = 0 với mọi 0 k m. - Nếu max{Lp(xi1 , xj1 ), p(xi−1, xi−1), p(xj−1, xj−1)} = p(xi−1, xi−1), thì dm = p(xi, xj) p(xi−1, xi−1) dm.
48 Suy ra dm = p(xi−1, xi−1). - Nếu max{Lp(xi1 , xj1 ), p(xi−1, xi−1), p(xj−1, xj−1)} = p(xj−1, xj−1), thì tương tự trường hợp trên ta có dm = p(xj−1, xj−1). Từ việc xét 3 trường hợp trên ta thấy rằng hoặc dm = p(x0, xk) = 0 với mọi 0 k m, hoặc tiếp tục quá trình trên sau hữu hạn bước ta nhận được dm = p(x0, x0). Khẳng định được chứng minh. Bây giờ, lấy i0 ∈ {0, 1..., m} để dm = p(x0, xi0 ). Nếu i0 = 0 thì dm Rx. Nếu i0 1 thì ta có dm = p(x0, xi0 ) p(x0, Tx0) + p(Tx0, xi0 ) = p(x0, Tx0) + p(Tx0, Txi0−1) p(x0, Tx0) + max{Lp(xi1 , xi2 ), p(x0, x0), p(xi0−1, xi0−1)} với i1, i2 nào đó thuộc {0, 1, ..., m}. Suy ra dm p(x0, Tx0) + max{Ldm, p(xl, xl)}, trong đó l là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho p(xl, xl) = max{p(xi, xi) : i = 1, 2, ..., m}. Vì vậy ta thu được dm p(x0, Tx0) 1 − L Rx (2.9) hoặc dm p(x0, Tx0) + p(xl, xl). (2.10) - Nếu trường hợp (2.9) xẩy ra, thì ta suy ra dm Rx với mọi m và suy ra ngay điều cần chứng minh. - Nếu trường hợp (2.10), thì ta suy ra rằng l = 0. Vì nếu l 1, thì từ tính chất của l ta có p(xl, xl) > p(xl−1, xl−1). Do đó nhờ Bổ đề 2.2.4 áp dụng với k = 1, m = n = l ta tìm được j1, j2 ∈ {l − 1, l} sao cho dm p(x0, Tx0) + Lp(xj1 , xj2 ) p(x0, x1) + Ldm.
49 Từ bất đẳng thức cuối này ta suy ra dm Rx với mọi m. Ta thu được điều cần chứng minh. 2) Trước tiên, chúng ta chứng minh lim n→∞ p(xn+1, xn) = lim sup n→∞ p(xn, xn) = r 0. Thật vậy, với mỗi n = 1, 2, ..., từ bất đẳng thức (2.3) và điều kiện (P4) trong Định nghĩa 2.1.1 ta có p(xn+1, xn) = p(Txn, Txn−1) max{ap(xn−1, xn), bp(xn, Txn), c(xn−1, Txn−1), d[p(xn, Txn−1) + p(Txn, xn−1)]}, p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} = max{ap(xn, xn−1), bp(xn, xn+1), cp(xn, xn−1), d[p(xn, xn) + p(xn−1, xn+1)], p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} max{ap(xn, xn−1), bp(xn, xn+1), cp(xn, xn−1), d[p(xn−1, xn) + p(xn, xn+1)], p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} max{ap(xn, xn−1), bp(xn, xn+1), cp(xn, xn−1), 2dp(xn−1, xn), 2dp(xn, xn+1), p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} max{Lp(xn, xn−1), Lp(xn, xn+1), p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)}. (2.11) - Nếu tồn tại số tự nhiên n0 sao cho max{Lp(xn0 , xn0−1), Lp(xn0 , xn0+1), p(xn0 , xn0 ), p(xn0−1, xn0−1)} = Lp(xn0 , xn0+1) thì nhờ (2.11) ta thu được p(xn0 , xn0+1) Lp(xn0 , xn0+1). Vì L ∈ [0, 1) nên p(xn0 , xn0+1) = 0. Theo Bổ đề 2.1.11, suy ra xn0+1 = xn0 , hay xn0+1 = Txn0 = xn0 và xn0 là điểm bất động của T. Điều này kéo theo xn = xn0 với mọi n ≥ n0 và lim n→∞ p(xn+1, xn) = lim sup n→∞ p(xn, xn) = p(xn0 , xn0 ) 0.
50 Hơn nữa, vì p(xn0 , xn0 ) p(xn0 , Txn0 ) nên ta có p(xn0 , xn0 ) = 0 và Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} (2.12) là tập khác rỗng. - Nếu max{Lp(xn, xn−1), Lp(xn, xn+1), p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} = Lp(xn, xn+1) với mọi n ∈ N thì từ bất đẳng thức (2.11) ta nhận được p(xn+1, xn) max{Lp(xn, xn−1), p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} p(xn, xn−1). (2.13) Điều đó chứng tỏ {p(xn+1, xn)} là dãy giảm các số thực không âm. Do đó, tồn tại số thực r 0 sao cho lim n→∞ p(xn+1, xn) = r. Nếu r = 0 thì từ bất đẳng thức p(xn, xn) p(xn, xn+1) với mọi n suy ra lim n→∞ p(xn+1, xn) = lim n→∞ p(xn, xn) = 0. Nếu r > 0 thì với mỗi n = 1, 2, ... ta đặt rn = max{Lp(xn, xn−1), p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)}. Từ bất đẳng thức (2.13) và lim n→∞ p(xn+1, xn) = r ta có lim n→∞ rn = r. Bây giờ, ta sẽ chứng minh rn = Lp(xn, xn−1) với hữu hạn số tự nhiên n. Vì nếu rn = Lp(xn, xn−1) với vô hạn n thì tồn tại dãy các số nguyên dương {nk} sao cho rnk = Lp(xnk , xnk−1). Cho nk → ∞, ta suy ra r = Lr. Điều này mâu thuẫn với giả thiết L ∈ [0, 1) và r > 0. Do đó, rn = Lp(xn, xn−1) với hữu hạn số tự nhiên n. Kết hợp với cách xác định của rn ta có lim sup n→∞ p(xn, xn) = r. Vì thế ta có lim n→∞ p(xn+1, xn) = lim sup n→∞ p(xn, xn) = r.
51 Hơn nữa, ta thấy rằng p(xn, xn+1) rn p(xn, xn−1) với mọi n, trong đó rn = max{Lp(xn, xn−1), p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} và đồng thời rn chỉ bằng Lp(xn, xn−1) tại hữu hạn n nên tồn tại i 0 sao cho p(xi, xi) = sup n 0 p(xn, xn). Điều này kéo theo Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} (2.14) là tập khác rỗng. 2.2.6 Nhận xét. 1) Từ chứng minh của Bổ đề 2.2.5 ta có rn = Lp(xn, xn−1) với hữu hạn số tự nhiên n suy ra p(xn+1, xn) max{p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} p(xn, xn−1) với mọi n n0 với n0 nào đó. Vì vậy, từ các bất đẳng thức p(xn, xn) p(xn, xn+1) và p(xn−1, xn−1) p(xn, xn−1) suy ra dãy {(p(xn, xn)} cũng là dãy giảm kể từ n0. Do đó, sử dụng p(xi, xi) = supn 0 p(xn, xn) nếu ta xét dãy (xn) xác định bởi x0 = xi và xn = Txn−1 thì ta luôn có thể giả thiết p(x0, x0) r. 2) Từ (2.12) và (2.14) trong chứng minh của Bổ đề 2.2.5 ta suy ra khẳng định 1) của Định lý 2.2.3 được chứng minh. 2.2.7 Bổ đề. Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ, T : X → X là ánh xạ thỏa mãn Định lý 2.2.3. Khi đó, với mỗi x ∈ X và dãy {xn} xác định bởi x0 = x, xn = Txn−1, với mọi n = 1, 2, ... ta có
52 r := lim sup n→∞ p(xn, xn) = lim m,n→∞ p(xm, xn). Chứng minh. Từ chứng minh của Bổ đề 2.2.5 2) ta có r p(xn, xn) với n đủ lớn. Vì vậy, r p(xn, xn) p(xm, xn) với mọi m, n đủ lớn. Lấy ε > 0 tùy ý. Khi đó, từ r := lim sup n→∞ p(xn, xn) < r + ε và L < 1 tồn tại k0 sao cho Lk0 Rx < r + ε và p(xi, xi) < r + ε với mọi i k0. Giả sử m n 2k0. Khi đó, nếu p(xm, xn) p(xi, xi) với i k0 nào đó thì p(xm, xn) r + ε. Ngược lại, nếu p(xm, xn) > p(xi, xi) với mọi i k0 thì từ n − k0 k0 và nhờ Bổ đề 2.2.4 ta tìm được i0, j0 n − k0 sao cho p(xm, xn) Lk0 p(xi0 , xj0 ) Lk0 Rx < r + ε. Do đó, ta có r p(xm, xn) < r + ε với mọi m, n > k0. Ta nhận được lim m,n→∞ p(xm, xn) = r. Chứng minh Định lý 2.2.3. Nhờ Nhận xét 2.2.6 2) ta chỉ cần chứng minh khẳng định 2). Thật vậy, với mỗi x ∈ X, ta xây dựng dãy lặp {xn} bởi x0 = x, xn = Txn−1, với mọi n = 1, 2, ... Khi đó, bởi Bổ đề 2.2.7 ta có {xn} là dãy Cauchy trong (X, p). Vì (X, p) đầy đủ nên tồn tại u ∈ X sao cho dãy {xn} hội tụ tới u khi n → ∞, có nghĩa là, r = p(u, u) = lim n→∞ p(xn, u) = lim m,n→∞ p(xn, xm) = lim n→∞ p(xn, xn).
53 Ta sẽ chứng minh p(u, u) = p(u, Tu). Thật vậy, với mỗi n = 1, 2, ..., ta có p(u, u) p(u, Tu) p(u, xn) + p(Tu, xn) − p(xn, xn). (2.15) Từ bất đẳng thức (2.3) ta có p(Tu, Txn−1) max{ap(u, xn−1), bp(u, Tu), cp(xn−1, Txn−1), d[p(u, Txn−1) + p(xn−1, Tu)], p(u, u), p(xn−1, xn−1)} max{ap(u, xn−1), bp(u, Tu), cp(xn−1, xn), d[p(u, xn) + p(xn−1, Tu)], p(u, u), p(xn−1, xn−1)}. (2.16) Dễ thấy {p(Tu, Txn−1)} = {p(Tu, xn)} là dãy bị chặn. Do đó, nó có dãy con hội tụ {p(Tu, xnk )}. Cho nk → ∞ trong bất đẳng thức (2.16) và sử dụng Bổ đề 2.1.10 ta nhận được p(Tu, xnk ) max{p(u, u), Lp(u, Tu)}. Lại cho nk → ∞ trong bất đẳng thức (2.15) và kết hợp với các bất đẳng thức trên ta suy ra p(u, u) = p(u, Tu). Tiếp theo, ta sẽ chứng minh Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} là tập khác rỗng. Đặt ρp = inf{p(y, y) : y ∈ X}. Với mỗi k = 1, 2, ..., ta có thể cố định xk ∈ X sao cho p(xk, xk) ρp + 1 k . Với mỗi k = 1, 2, ..., xuất phát từ xk và từ chứng minh ở trên ta có thể tìm được uk sao cho Tnxk → uk khi n → ∞ và ruk := p(uk, uk) = p(Tuk, uk). Hơn nữa, nhờ Nhận xét 2.2.6 ta có thể giả thiết ruk p(uk, uk) = p(Tuk, uk).
54 Ta sẽ chứng tỏ rằng lim m,n→∞ p(um, un) = ρp. Thật vậy, với ε > 0 cho trước, đặt n0 := 3 ε(1 − L) + 1. Khi đó với k n0, từ bất đẳng thức (2.3) ta nhận được ρp p(Tuk, Tuk) max{ap(uk, uk), bp(uk, Tuk), cp(uk, Tuk), 2dp(uk, Tuk), p(uk, uk)} max{Lp(uk, uk), p(uk, uk)} = p(uk, uk) = ruk p(xk, xk) ρp + 1 k ρp + 1 n0 < ρp + (1 − L)ε 3 . Điều này kéo theo Uk := p(xk, xk) − p(Txk, Txk) < (1 − L)ε 3 . Bây giờ, với mỗi cặp số tự nhiên m, n n0, vì p(uk, Tuk) = p(uk, uk) với mọi k = 1, 2, ... nên p(um, un) p(um, Tum) + p(Tun, un) + p(Tum, Tun) − p(Tum, Tum) − p(Tun, Tun) = Um + Un + p(Tum, Tun) 2 (1 − L)ε 3 + p(Tum, Tun). (2.17) Mặt khác, ta cũng có p(Tum, Tun) max{ap(um, un), bp(Tum, um), cp(Tun, un), d[p(Tun, um) + p(un, Tum)], p(um, um), p(un, un)} = max{ap(um, un), d[p(Tun, um) + p(un, Tum)], p(um, um), p(un, un)}. (2.18)
55 Hơn nữa, vì p(Tun, um) p(Tun, un) + p(um, un) − p(un, un) = p(um, un) và p(un, Tum) p(Tum, um) + p(um, un) − p(um, um) = p(um, un) nên p(Tum, un) + p(um, Tun) 2p(um, un). Do đó, ta có max{ap(um, un), d(p(Tun, um) + p(un, Tum)), p(um, um), p(un, un)} max{ap(um, un), 2dp(um, un), p(um, um), p(un, un)} max{Lp(um, un), p(um, um), p(un, un)}. (2.19) Từ các bất đẳng thức (2.18) và (2.19), ta thu được p(Tum, Tun) max{Lp(um, un), p(um, um), p(un, un)}. Kết hợp bất đẳng thức trên với bất đẳng thức (2.17), ta nhận được p(um, un) 2 (1 − L)ε 3 + max{Lp(um, un), p(um, um), p(un, un)}. Điều này kéo theo p(um, un) max Lp(um, un) + 2(1 − L)ε 3 , p(um, um) + 2(1 − L)ε 3 , p(un, un) + 2(1 − L)ε 3 . Do đó, ta có ρp = p(um, un) max{ 2ε 3 , p(um, um) + 2(1 − L)ε 3 , p(un, un) + 2(1 − L)ε 3 } max{ 2ε 3 , ρp + (1 − L)ε} max{ 2ε 3 , ρp + ε} = ρp + ε.
56 Suy ra lim n→∞ p(um, un) = ρp, có nghĩa là {un} là dãy Cauchy. Theo giả thiết, (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ. Do đó, tồn tại y ∈ X sao cho un → y khi n → ∞, tức là p(y, y) = lim n→∞ p(un, y) = lim m,n→∞ p(un, um) = ρp. Điều này chứng tỏ y ∈ Xp, hay Xp = ∅. Rõ ràng, nếu y ∈ Xp thì tồn tại u ∈ X sao cho ry := p(u, u) = p(Tu, u), trong đó u = lim n→∞ Tny. Ta có ρp p(Tu, Tu) p(Tu, u) = p(u, u) = ry p(y, y) = ρp. Điều này kéo theo p(u, u) = p(Tu, u) = p(Tu, Tu). Vậy Tu = u. Cuối cùng, ta sẽ chứng tỏ rằng nếu u, v ∈ Xp là hai điểm bất động của T thì u = v. Thật vậy, vì Tu = u, Tv = v và p(u, u) = p(v, v) = ρp nên p(u, v) = p(Tu, Tv) max{ap(u, v), bp(u, Tu), cp(v, Tv), d(p(u, Tv) + p(v, Tu)), p(u, u), p(v, v)} max{Lp(u, v), p(u, u), p(v, v)}. Từ đó suy ra (1 − L)p(u, v) 0 hoặc p(u, v) p(u, u) = p(v, v) = ρp. Nếu (1 − L)p(u, v) 0 thì p(u, v) = 0, tức là u = v, còn nếu p(u, v) p(u, u) = p(v, v) = ρp thì ta có p(u, v) = p(u, u) = p(v, v), tức là u = v. Định lý được chứng minh. 2.2.8 Nhận xét. (1) Từ max{ap(x, y), p(x, x), p(y, y)} max{ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x), p(y, y)}. và các bất đẳng thức (2.2), (2.3) suy ra Định lý 2.2.2 là hệ quả của Định lý 2.2.3.
57 (2) Từ Định lý 2.2.3, chúng ta chưa khẳng định được ánh xạ T có duy nhất điểm bất động thuộc X. Tuy nhiên, bằng cách bổ sung các điều kiện, trong các định lý và hệ quả sau đây, ánh xạ T sẽ có điểm bất động duy nhất thuộc X. 2.2.9 Định lý. Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và ánh xạ T : X → X thỏa mãn p(Tx, Ty) M(x, y), (2.20) với mọi x, y ∈ X, trong đó M(x, y) = max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], ep(x, x), fp(y, y) và a, b, c, 2d, e, f ∈ [0, 1). Khi đó, tồn tại duy nhất z ∈ X sao cho Tz = z. Chứng minh. Lấy x0 ∈ X, ta xây dựng dãy lặp {xn} như sau: xn = Txn−1 với mọi n = 1, 2, ... Nếu xn0 = xn0+1 với số tự nhiên n0 0 nào đó thì từ cách xác định của dãy {xn}, ánh xạ T có điểm bất động. Giả sử xn = xn+1 với bất kỳ số tự nhiên n 0, khi đó theo Bổ đề 2.1.11, p(xn, xn+1) > 0 với mọi số tự nhiên n 0. Từ bất đẳng thức (2.20) ta có p(Txn, Txn+1) M(xn, xn+1), (2.21) trong đó M(xn, xn+1) = max{ap(xn, xn+1), bp(xn, Txn), cp(xn+1, Txn+1), d[p(xn, Txn+1) + p(xn+1, Txn)], ep(xn, xn), fp(xn+1, xn+1)} . Ta xét các trường hợp đối với M(x, y) . Trường hợp 1: Nếu M(xn, xn+1) = cp(xn+1, Txn+1) = cp(xn+1, xn+2) thì từ bất đẳng thức (2.21) ta có p(xn+1, xn+2) = p(Txn, Txn+1) cp(xn+1, xn+2).
58 Điều này mâu thuẫn với giả thiết c ∈ (0, 1), chứng tỏ M(xn, xn+1) = cp(xn+1, Txn+1) Trường hợp 2: Nếu M(xn, xn+1) = d[p(xn, Txn+1) + p(xn+1, Txn)] thì từ bất đẳng thức (2.21) ta có p(xn+1, xn+2) d[p(xn, Txn+1) + p(xn+1, Txn)] = d[p(xn, xn+2) + p(xn+1, xn+1)] d[p(xn, xn+1) + p(xn+1, xn+2)]. . Do đó p(xn+1, xn+2) d 1 − d p(xn, xn+1). Từ tiên đề (P2) trong Định nghĩa 2.1.1 ta có max{ap(xn, xn+1), bp(xn, Txn), ep(xn, xn), fp(xn+1, xn+1)} rp(xn, xn+1), trong đó r = max{a, b, e, f}. Do đó, từ mọi trường hợp đã xét ở trên, bất đẳng thức (2.21) trở thành p(xn+1, xn+2) kp(xn, xn+1), (2.22) trong đó k ∈ {r, d 1−d}. Rõ ràng 0 < k < 1. Do đó p(xn+1, xn+2) kp(xn, xn+1) k2 p(xn−1, xn) · · · kn+1 p(x0, x1). (2.23) Ta chứng minh {xn} là dãy Cauchy. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử n > m. Khi đó, từ bất đẳng thức (2.23) và (P2) trong Định nghĩa 2.1.1 ta có 0 p(xn, xm) p(xn, xn−1) + p(xn−1, xn−2) + · · · + p(xm+1, xm) − [p(xn−1, xn−1) + p(xn−2, xn−2) + · · · p(xm+1, xm+1)] p(xn, xn−1) + p(xn−1, xn−2) + · · · + p(xm+1, xm) [kn−1 + kn−2 + · · · km ]p(x0, x1) = km 1 − kn−m 1 − k p(x0, x1).
59 Do đó, lim n,m→∞ p(xn, xm) = 0. Điều đó chứng tỏ {xn} là dãy Cauchy trong (X, p). Theo Mệnh đề 2.1.9 thì {xn} cũng là dãy Cauchy trong (X, ps). Hơn nữa, vì (X, p) đầy đủ nên (X, ps) cũng đầy đủ. Vậy tồn tại z ∈ X sao cho xn → z trong (X, ps), tức là lim n→∞ ps (z, xn) = 0. (2.24) Cũng theo Mệnh đề 2.1.9 ta có p(z, z) = lim n→∞ p(z, xn) = lim n,m→∞ p(xn, xm) = 0, (2.25) Bây giờ ta chứng minh z là điểm bất động của T. Chú ý rằng từ đẳng thức (2.25), ta có p(z, z) = 0. Bằng cách thay x = xn và y = z vào bất đẳng thức (2.20) ta nhận được p(xn+1, Tz) = p(Txn, Tz) M(xn, z), (2.26) trong đó M(xn, z) = max{ap(xn, z), bp(xn, Txn), cp(z, Tz), d[p(xn, Tz) + p(z, Txn)], ep(xn, xn), fp(z, z)}. Sử dụng đẳng thức (2.25) và Bổ đề 2.1.10, cho n → ∞ ở bất đẳng thức trên ta nhận được p(z, Tz) M(z, z), (2.27) trong đó M(z, z) = max{ap(z, z), bp(z, z), cp(z, Tz), d[p(z, Tz) + p(z, z)], ep(z, z), fp(z, z)}. Theo đẳng thức (2.25), ta có M(z, z) = cp(z, Tz) hoặc M(z, z) = dp(z, Tz). Trong cả hai trường hợp này ta luôn có p(Tz, z) = 0. Theo Bổ đề 2.1.11, ta suy ra Tz = z. Cuối cùng, ta chứng minh z là điểm bất động duy nhất của T. Giả sử ngược lại, tồn tại w ∈ X sao cho Tw = w. Khi đó ta có p(z, w) = p(Tz, Tw) M(z, w), (2.28)
60 trong đó M(z, w) = max ap(z, w), bp(z, Tz), cp(w, Tw), d[p(z, Tw) + p(w, Tz)], ep(z, z), fp(w, w) = max ap(z, w), bp(z, z), cp(w, w), d[p(z, w) + p(w, z)], ep(z, z), fp(w, w) . Vì a, b, c, 2d, e, f ∈ (0, 1) và tiên đề (P2) trong Định nghĩa 2.1.1 nên bất đẳng thức (2.28) kéo theo p(z, w) = 0. Theo Bổ đề 2.1.11 ta có z = w. Vậy, định lý được chứng minh. Từ các định lý trên chúng ta thu được hệ quả sau 2.2.10 Hệ quả. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và ánh xạ T : X → X thỏa mãn p(Tx, Ty) max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x) + p(y, y) 2 , (2.29) với mọi x, y ∈ X, trong đó a, b, c ∈ [0, 1) và d ∈ [0, 1 2 ). Khi đó, Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} là tập khác rỗng và T có duy nhất điểm bất động. Chứng minh. Rõ ràng max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x) + p(y, y) 2 max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x), p(y, y) . Do đó, từ Định lý 2.2.3 ta suy ra T có điểm bất động duy nhất thuộc Xp. Bây giờ, ta chứng tỏ T có điểm bất động duy nhất thuộc X. Thật vậy,
61 nếu u, v là hai điểm bất động của T thì từ bất đẳng thức (2.29) ta có p(u, v) = p(Tu, Tv) max ap(u, v), bp(u, Tu), cp(v, Tv), d p(u, Tv) + p(Tu, v) , p(u, u) + p(v, v) 2 max Kp(u, v), p(u, u) + p(v, v) 2 . Điều này kéo theo p(u, v) Kp(u, v) hoặc p(u, v) p(u, u) + p(v, v) 2 . Nếu p(u, v) Kp(u, v) thì p(u, v) = 0 hay u = v. Còn nếu p(u, v) p(u, u) + p(v, v) 2 thì ps(u, v) = 2p(u, v) − p(u, u) − p(v, v) = 0, nghĩa là u = v. Vậy, hệ quả được chứng minh. Lập luận tương tự Nhận xét 2.2.8 và Hệ quả 2.2.10 ta suy ra Định lý 2.2.1 là hệ quả của Định lý 2.2.3. Hơn nữa, từ Định lý 2.2.3 chúng ta cũng thu được các hệ quả sau. 2.2.11 Hệ quả. ([38]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ thỏa mãn p(Tx, Ty) max λp(x, y), α[p(x, Tx) + p(y, Ty)], γ[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x) + p(y, y) 2 , (2.30) với mọi x, y ∈ X, trong đó λ ∈ [0, 1) và α, γ ∈ [0, 1 2 ). Khi đó ta có 1) Tồn tại duy nhất u ∈ Xp sao cho Tu = u. 2) p(u, u) = inf{p(y, y) : y ∈ X}. 2.2.12 Hệ quả. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ thỏa mãn p(Tx, Ty) max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)] , (2.31)
62 với mọi x, y ∈ X, trong đó a, b, c ∈ [0, 1) và d ∈ [0, 1 2 ). Khi đó, Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} là tập khác rỗng và T có duy nhất điểm bất động. 2.2.13 Hệ quả. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ thỏa mãn p(Tx, Ty) ap(x, y) + bp(Tx, x) + cp(y, Ty) + d[p(Tx, y) + p(x, Ty)] + ep(x, x) + fp(y, y) (2.32) với mọi x, y ∈ X, trong đó a+b+c+2d+e+f < 1, và a, b, c, d, e, f 0. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động. Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 2.2.3 là mở rộng thực sự của Định lý 2.2.2. 2.2.14 Ví dụ. Lấy X = [0, 1] ∪ [2, 3] và xét ánh xạ p : X × X → R được xác định bởi p(x, y) = |x − y| nếu {x, y} ⊂ [0, 1] max{x, y} nếu {x, y} ∩ [2, 3] = ∅. Rõ ràng (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ. Hàm T : X → X được xác định bởi Tx =    1 2 nếu 0 x < 1 1 4 nếu x = 1 hoặc 2 x 3. Dễ thấy 1 2 là điểm bất động duy nhất của T. Ta chứng minh rằng T không thỏa mãn các điều kiện kiện co trong Định lý 2.2.2. Thật vậy, với bất kỳ 3 4 x < 1, ta có p(Tx, T1) = 1 2 − 1 4 = 1 4 và max{ap(x, 1), p(x, x), p(1, 1)} = max{a|x−1|, |x−x|, |1−1|} = a|x−1| < 1 4
63 với mọi a ∈ [0, 1). Điều này kéo theo max{ap(x, 1), p(x, x), p(1, 1)} > p(Tx, T1), chứng tỏ bất đẳng thức (2.2) không thỏa mãn. Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh T thỏa mãn điều kiện co (2.3) trong Định lý 2.2.3 với 1 3 < a, b, c, 2d < 1. Nếu x, y ∈ [0, 1) thì p(Tx, Ty) = 0 max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d(p(x, Ty) + p(y, Tx), p(x, x), p(y, y) . Nếu x = y = 1 thì điều kiện (2.3) là hiển nhiên. Nếu y = 1 và x ∈ [0, 1) thì p(Tx, T1) = 1 2 − 1 4 = 1 4 và max ap(x, 1), bp(x, Tx), cp(1, T1), d[p(x, T1) + p(1, Tx)], p(x, x), p(1, 1) = max a|x − 1|, b x − 1 2 , c 1 − 1 4 , d( x − 1 4 ) + 1 − 1 2 ) > 3 4 c > 1 4 , nghĩa là max ap(x, 1), bp(x, Tx), cp(1, T1), d]p(x, T1) + p(1, Tx)], p(x, x), p(1, 1) > p(Tx, T1). Trường hợp x = 1 và y ∈ [0, 1) được chứng minh tương tự. Nếu {x, y} ∩ [2, 3] = ∅ thì max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x), p(y, y) max{p(x, x), p(y, y)} 2, và p(Tx, Ty) 1. Do đó, với mọi trường hợp đã xét ở trên, điều kiện co (2.3) được thỏa mãn. Từ đó ta có thể áp dụng Định lý 2.2.3 cho ánh xạ T.
64 Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 2.2.3 là một mở rộng thực sự của Hệ quả 2.2.11. 2.2.15 Ví dụ. Lấy X := R+ và xét ánh xạ p : X × X → R+ được cho bởi p(x, y) = max{x, y} với mọi x, y ∈ X. Dễ thấy (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ. Hàm số T : X → X được xác định bởi Tx = ln(1 + x) với mọi x ∈ X. Rõ ràng 0 là điểm bất động duy nhất của T. Đầu tiên, ta khẳng định rằng T không thỏa mãn các điều kiện của Hệ quả 2.2.11 bởi vì điều kiện (2.30) không thỏa mãn. Thật vậy, giả sử tồn tại λ ∈ [0, 1), và α, γ ∈ [0, 1 2 ) sao cho p(Tx, Ty) max λp(x, y), α[p(x, Tx) + p(y, Ty)], γ[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x) + p(y, y) 2 , (2.33) với mọi x, y ∈ X. Khi đó, với y = 0 và mọi x ∈ X, ta có ln(1 + x) max λx, αx, γ x + ln(1 + x) , x 2 . Cho x → 0, từ bất đẳng thức trên ta nhận được λ 1, hoặc α 1, hoặc γ 1 2, điều này mâu thuẫn với giả thiết của α, λ, γ. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh T thỏa mãn các điều kiện co của Định lý 2.2.3. Tức là, ta cần kiểm tra điều kiện (2.3). Nếu x, y ∈ R+ thì không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng y x. Khi đó ta có p(Tx, Ty) = ln(1 + x) và max max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d p(x, Ty) + p(y, Tx) 2 , p(x, x), p(y, y) = x. (2.34)
65 Rõ ràng ln(1 + x) x với mọi x 0, do đó điều kiện (2.3) thỏa mãn. Vì vậy, ta có thể áp dụng Định lý 2.2.3 cho T. 2.3. Điểm bất động chung của các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong không gian mêtric riêng Năm 1969, khi mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach, D. W. Boyd và S. W. Wong ([21]) đã giới thiệu khái niệm ánh xạ Φ-co. Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ T : X → X được gọi là Φ-co nếu tồn tại hàm nửa liên tục trên Φ : R+ → R+ sao cho d(Tx, Ty) Φ(d(x, y)), với mọi x, y ∈ X. Năm 1997, tổng quát hóa khái niệm Φ-co, Y. I. Alber và S. Guerre- Delabriere ([5]) đã phát biểu khái niệm ánh xạ ϕ-co yếu trong trường hợp X là không gian Hilbert và thu được một số kết quả về điểm bất động. Ánh xạ T : X → X được gọi là ϕ-co yếu nếu tồn tại hàm ϕ : R+ → R+ sao cho d(Tx, Ty) d(x, y) − ϕ(d(x, y)), với mọi x, y ∈ X, ở đây ϕ(t) = 0 khi và chỉ khi t = 0. Năm 2001, B. E. Rhoades ([57]) đã chứng minh kết quả của Y. I. Alber và S. Guerre-Delabriere vẫn còn đúng trong trường hợp X là không gian mêtric bằng cách phát biểu và chứng minh định lý sau. 2.3.1 Định lý. ([57]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và hàm ϕ : R+ → R+ liên tục, không giảm thỏa mãn ϕ(t) = 0 khi và chỉ khi t = 0. Nếu T : X → X là ϕ-co yếu thì T có duy nhất điểm bất động. Tiếp tục theo hướng giảm nhẹ điều kiện co, năm 2008, P. N. Dutta và B. S. Choudhury ([33]) đã đưa ra điều kiện co dạng ψ d(Tx, Ty) ≤ ψ d(x, y) − ϕ d(x, y) ,
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng

Recommended

Gt khong gian_metric Nguyen Hoang
Gt khong gian_metric Nguyen HoangGt khong gian_metric Nguyen Hoang
Gt khong gian_metric Nguyen HoangBui Loi
 
Chuong 2 dai so tuyen tinh 2
Chuong 2 dai so tuyen tinh 2Chuong 2 dai so tuyen tinh 2
Chuong 2 dai so tuyen tinh 2Trương Huỳnh
 
Giaitichcoso(PGS.TS.NguyenBichHuy).pdf
Giaitichcoso(PGS.TS.NguyenBichHuy).pdfGiaitichcoso(PGS.TS.NguyenBichHuy).pdf
Giaitichcoso(PGS.TS.NguyenBichHuy).pdfBui Loi
 
Một số tính chất của vành giao hoán artin
Một số tính chất của vành giao hoán artinMột số tính chất của vành giao hoán artin
Một số tính chất của vành giao hoán artinNOT
 
Bt dai so hoang
Bt dai so hoangBt dai so hoang
Bt dai so hoangHoanghl Lê
 
Topo daicuong1[1]
Topo daicuong1[1]Topo daicuong1[1]
Topo daicuong1[1]Bui Loi
 
Hinh hoc-affine
Hinh hoc-affineHinh hoc-affine
Hinh hoc-affineDương Trong
 
kỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmljmonking
 

Recommended

Gt khong gian_metric Nguyen Hoang
Gt khong gian_metric Nguyen HoangGt khong gian_metric Nguyen Hoang
Gt khong gian_metric Nguyen HoangBui Loi
 
Chuong 2 dai so tuyen tinh 2
Chuong 2 dai so tuyen tinh 2Chuong 2 dai so tuyen tinh 2
Chuong 2 dai so tuyen tinh 2Trương Huỳnh
 
Giaitichcoso(PGS.TS.NguyenBichHuy).pdf
Giaitichcoso(PGS.TS.NguyenBichHuy).pdfGiaitichcoso(PGS.TS.NguyenBichHuy).pdf
Giaitichcoso(PGS.TS.NguyenBichHuy).pdfBui Loi
 
Một số tính chất của vành giao hoán artin
Một số tính chất của vành giao hoán artinMột số tính chất của vành giao hoán artin
Một số tính chất của vành giao hoán artinNOT
 
Bt dai so hoang
Bt dai so hoangBt dai so hoang
Bt dai so hoangHoanghl Lê
 
Topo daicuong1[1]
Topo daicuong1[1]Topo daicuong1[1]
Topo daicuong1[1]Bui Loi
 
Hinh hoc-affine
Hinh hoc-affineHinh hoc-affine
Hinh hoc-affineDương Trong
 
kỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmljmonking
 
Luận văn: Ứng dụng của phương trình sai phân, HAY, 9đ
Luận văn: Ứng dụng của phương trình sai phân, HAY, 9đLuận văn: Ứng dụng của phương trình sai phân, HAY, 9đ
Luận văn: Ứng dụng của phương trình sai phân, HAY, 9đDịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864
 
Một số vấn đề về không gian Sobolev
Một số vấn đề về không gian SobolevMột số vấn đề về không gian Sobolev
Một số vấn đề về không gian Sobolevnataliej4
 
Luận văn: Thác triển chỉnh hình của hàm nhiều biến phức, HAY
Luận văn: Thác triển chỉnh hình của hàm nhiều biến phức, HAYLuận văn: Thác triển chỉnh hình của hàm nhiều biến phức, HAY
Luận văn: Thác triển chỉnh hình của hàm nhiều biến phức, HAYDịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864
 
Luận văn: Giải số phương trình vi phân đại số bằng đa bước, 9đ
Luận văn: Giải số phương trình vi phân đại số bằng đa bước, 9đLuận văn: Giải số phương trình vi phân đại số bằng đa bước, 9đ
Luận văn: Giải số phương trình vi phân đại số bằng đa bước, 9đDịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864
 
Luận văn: Bài toán Neumann đối với hàm điều hòa, HAY, 9đ
Luận văn: Bài toán Neumann đối với hàm điều hòa, HAY, 9đLuận văn: Bài toán Neumann đối với hàm điều hòa, HAY, 9đ
Luận văn: Bài toán Neumann đối với hàm điều hòa, HAY, 9đDịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Luận văn: Hàm chỉnh hình nhiều biến và ứng dụng, HAY, 9đ
Luận văn: Hàm chỉnh hình nhiều biến và ứng dụng, HAY, 9đLuận văn: Hàm chỉnh hình nhiều biến và ứng dụng, HAY, 9đ
Luận văn: Hàm chỉnh hình nhiều biến và ứng dụng, HAY, 9đDịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
Tính toán khoa học - Chương 7: Các phương pháp cực tiểu hóa không ràng buộc
Tính toán khoa học - Chương 7: Các phương pháp cực tiểu hóa không ràng buộcTính toán khoa học - Chương 7: Các phương pháp cực tiểu hóa không ràng buộc
Tính toán khoa học - Chương 7: Các phương pháp cực tiểu hóa không ràng buộcChien Dang
 
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )Bui Loi
 
Luận văn: Tính artin của các môđun đối đồng điều địa phương, HAY
Luận văn: Tính artin của các môđun đối đồng điều địa phương, HAYLuận văn: Tính artin của các môđun đối đồng điều địa phương, HAY
Luận văn: Tính artin của các môđun đối đồng điều địa phương, HAYDịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864
 
Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo
Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian TopoAnh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo
Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topoipaper
 
Bài tập hàm biến phức
Bài tập hàm biến phứcBài tập hàm biến phức
Bài tập hàm biến phứcThế Giới Tinh Hoa
 
Phương trình hàm đa thức
Phương trình hàm đa thứcPhương trình hàm đa thức
Phương trình hàm đa thứcThế Giới Tinh Hoa
 
Dãy số và giới hạn
Dãy số và giới hạnDãy số và giới hạn
Dãy số và giới hạnChàng Trai Cô Đơn
 
Các phương pháp giải mũ. logarit
Các phương pháp giải mũ. logaritCác phương pháp giải mũ. logarit
Các phương pháp giải mũ. logaritThế Giới Tinh Hoa
 
chuong 3. quan he
chuong 3. quan hechuong 3. quan he
chuong 3. quan hekikihoho
 
Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy số
Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy sốỨng dụng tích phân tính giới hạn của dãy số
Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy sốSirô Tiny
 
CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG
CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNGCHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG
CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNGĐinh Công Thiện Taydo University
 
Đề tài: Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic, HAY
Đề tài: Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic, HAYĐề tài: Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic, HAY
Đề tài: Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic, HAYDịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864
 
Chương 1 dai so truu tuong
Chương 1 dai so truu tuongChương 1 dai so truu tuong
Chương 1 dai so truu tuongvpmity
 
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và KhóAnh Thư
 
Luận án tiến sĩ toán học những khía cạnh số học của lí thuyết phân bố giá trị
Luận án tiến sĩ toán học những khía cạnh số học của lí thuyết phân bố giá trịLuận án tiến sĩ toán học những khía cạnh số học của lí thuyết phân bố giá trị
Luận án tiến sĩ toán học những khía cạnh số học của lí thuyết phân bố giá trịhttps://www.facebook.com/garmentspace
 
Luận án tiến sĩ toán học ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều h...
Luận án tiến sĩ toán học ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều h...Luận án tiến sĩ toán học ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều h...
Luận án tiến sĩ toán học ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều h...https://www.facebook.com/garmentspace
 

More Related Content

What's hot

Một số vấn đề về không gian Sobolev
Một số vấn đề về không gian SobolevMột số vấn đề về không gian Sobolev
Một số vấn đề về không gian Sobolevnataliej4
 
Tính toán khoa học - Chương 7: Các phương pháp cực tiểu hóa không ràng buộc
Tính toán khoa học - Chương 7: Các phương pháp cực tiểu hóa không ràng buộcTính toán khoa học - Chương 7: Các phương pháp cực tiểu hóa không ràng buộc
Tính toán khoa học - Chương 7: Các phương pháp cực tiểu hóa không ràng buộcChien Dang
 
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )Bui Loi
 
Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo
Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian TopoAnh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo
Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topoipaper
 
Các phương pháp giải mũ. logarit
Các phương pháp giải mũ. logaritCác phương pháp giải mũ. logarit
Các phương pháp giải mũ. logaritThế Giới Tinh Hoa
 
chuong 3. quan he
chuong 3. quan hechuong 3. quan he
chuong 3. quan hekikihoho
 
Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy số
Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy sốỨng dụng tích phân tính giới hạn của dãy số
Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy sốSirô Tiny
 
CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG
CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNGCHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG
CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNGĐinh Công Thiện Taydo University
 
Chương 1 dai so truu tuong
Chương 1 dai so truu tuongChương 1 dai so truu tuong
Chương 1 dai so truu tuongvpmity
 
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và KhóAnh Thư
 

What's hot (20)

Luận văn: Ứng dụng của phương trình sai phân, HAY, 9đ
Luận văn: Ứng dụng của phương trình sai phân, HAY, 9đLuận văn: Ứng dụng của phương trình sai phân, HAY, 9đ
Luận văn: Ứng dụng của phương trình sai phân, HAY, 9đ
 
Một số vấn đề về không gian Sobolev
Một số vấn đề về không gian SobolevMột số vấn đề về không gian Sobolev
Một số vấn đề về không gian Sobolev
 
Luận văn: Thác triển chỉnh hình của hàm nhiều biến phức, HAY
Luận văn: Thác triển chỉnh hình của hàm nhiều biến phức, HAYLuận văn: Thác triển chỉnh hình của hàm nhiều biến phức, HAY
Luận văn: Thác triển chỉnh hình của hàm nhiều biến phức, HAY
 
Luận văn: Giải số phương trình vi phân đại số bằng đa bước, 9đ
Luận văn: Giải số phương trình vi phân đại số bằng đa bước, 9đLuận văn: Giải số phương trình vi phân đại số bằng đa bước, 9đ
Luận văn: Giải số phương trình vi phân đại số bằng đa bước, 9đ
 
Luận văn: Bài toán Neumann đối với hàm điều hòa, HAY, 9đ
Luận văn: Bài toán Neumann đối với hàm điều hòa, HAY, 9đLuận văn: Bài toán Neumann đối với hàm điều hòa, HAY, 9đ
Luận văn: Bài toán Neumann đối với hàm điều hòa, HAY, 9đ
 
Luận văn: Hàm chỉnh hình nhiều biến và ứng dụng, HAY, 9đ
Luận văn: Hàm chỉnh hình nhiều biến và ứng dụng, HAY, 9đLuận văn: Hàm chỉnh hình nhiều biến và ứng dụng, HAY, 9đ
Luận văn: Hàm chỉnh hình nhiều biến và ứng dụng, HAY, 9đ
 
Tính toán khoa học - Chương 7: Các phương pháp cực tiểu hóa không ràng buộc
Tính toán khoa học - Chương 7: Các phương pháp cực tiểu hóa không ràng buộcTính toán khoa học - Chương 7: Các phương pháp cực tiểu hóa không ràng buộc
Tính toán khoa học - Chương 7: Các phương pháp cực tiểu hóa không ràng buộc
 
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
 
Luận văn: Tính artin của các môđun đối đồng điều địa phương, HAY
Luận văn: Tính artin của các môđun đối đồng điều địa phương, HAYLuận văn: Tính artin của các môđun đối đồng điều địa phương, HAY
Luận văn: Tính artin của các môđun đối đồng điều địa phương, HAY
 
Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo
Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian TopoAnh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo
Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo
 
Bài tập hàm biến phức
Bài tập hàm biến phứcBài tập hàm biến phức
Bài tập hàm biến phức
 
Phương trình hàm đa thức
Phương trình hàm đa thứcPhương trình hàm đa thức
Phương trình hàm đa thức
 
Dãy số và giới hạn
Dãy số và giới hạnDãy số và giới hạn
Dãy số và giới hạn
 
Các phương pháp giải mũ. logarit
Các phương pháp giải mũ. logaritCác phương pháp giải mũ. logarit
Các phương pháp giải mũ. logarit
 
chuong 3. quan he
chuong 3. quan hechuong 3. quan he
chuong 3. quan he
 
Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy số
Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy sốỨng dụng tích phân tính giới hạn của dãy số
Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy số
 
CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG
CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNGCHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG
CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG
 
Đề tài: Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic, HAY
Đề tài: Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic, HAYĐề tài: Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic, HAY
Đề tài: Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic, HAY
 
Chương 1 dai so truu tuong
Chương 1 dai so truu tuongChương 1 dai so truu tuong
Chương 1 dai so truu tuong
 
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
 

Similar to Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng

Luận án tiến sĩ toán học những khía cạnh số học của lí thuyết phân bố giá trị
Luận án tiến sĩ toán học những khía cạnh số học của lí thuyết phân bố giá trịLuận án tiến sĩ toán học những khía cạnh số học của lí thuyết phân bố giá trị
Luận án tiến sĩ toán học những khía cạnh số học của lí thuyết phân bố giá trịhttps://www.facebook.com/garmentspace
 
Luận án tiến sĩ toán học ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều h...
Luận án tiến sĩ toán học ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều h...Luận án tiến sĩ toán học ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều h...
Luận án tiến sĩ toán học ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều h...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Luận án tiến sĩ toán học tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các cr t...
Luận án tiến sĩ toán học tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các cr t...Luận án tiến sĩ toán học tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các cr t...
Luận án tiến sĩ toán học tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các cr t...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Tinh chuan tac_va_tinh_khai_trien_cua_khong_gian_topo_tich_8291
Tinh chuan tac_va_tinh_khai_trien_cua_khong_gian_topo_tich_8291Tinh chuan tac_va_tinh_khai_trien_cua_khong_gian_topo_tich_8291
Tinh chuan tac_va_tinh_khai_trien_cua_khong_gian_topo_tich_8291Garment Space Blog0
 
Một số lớp bài toán tối ưu không lồi, Thuật toán và ứng dụng.pdf
Một số lớp bài toán tối ưu không lồi, Thuật toán và ứng dụng.pdfMột số lớp bài toán tối ưu không lồi, Thuật toán và ứng dụng.pdf
Một số lớp bài toán tối ưu không lồi, Thuật toán và ứng dụng.pdfMan_Ebook
 
Luận văn: Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Vol...
Luận văn: Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Vol...Luận văn: Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Vol...
Luận văn: Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Vol...Viết thuê trọn gói ZALO 0934573149
 
Dùng cây đồ thị trong dạy học toán tiểu học
Dùng cây đồ thị trong dạy học toán tiểu học Dùng cây đồ thị trong dạy học toán tiểu học
Dùng cây đồ thị trong dạy học toán tiểu học nataliej4
 
Một số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quang
Một số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quangMột số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quang
Một số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quangThế Giới Tinh Hoa
 
Một số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quang
Một số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quangMột số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quang
Một số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quangThế Giới Tinh Hoa
 

Similar to Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng (20)

Luận án tiến sĩ toán học những khía cạnh số học của lí thuyết phân bố giá trị
Luận án tiến sĩ toán học những khía cạnh số học của lí thuyết phân bố giá trịLuận án tiến sĩ toán học những khía cạnh số học của lí thuyết phân bố giá trị
Luận án tiến sĩ toán học những khía cạnh số học của lí thuyết phân bố giá trị
 
Luận án tiến sĩ toán học ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều h...
Luận án tiến sĩ toán học ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều h...Luận án tiến sĩ toán học ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều h...
Luận án tiến sĩ toán học ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều h...
 
Luận án: Giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động, HAY
Luận án: Giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động, HAYLuận án: Giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động, HAY
Luận án: Giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động, HAY
 
Đề tài: Phương pháp giải một số lớp mô hình cân bằng, HAY
Đề tài: Phương pháp giải một số lớp mô hình cân bằng, HAYĐề tài: Phương pháp giải một số lớp mô hình cân bằng, HAY
Đề tài: Phương pháp giải một số lớp mô hình cân bằng, HAY
 
Luận án tiến sĩ toán học tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các cr t...
Luận án tiến sĩ toán học tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các cr t...Luận án tiến sĩ toán học tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các cr t...
Luận án tiến sĩ toán học tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các cr t...
 
Đề tài: Phương pháp giải bài toán cân bằng có tính lồi suy rộng
Đề tài: Phương pháp giải bài toán cân bằng có tính lồi suy rộngĐề tài: Phương pháp giải bài toán cân bằng có tính lồi suy rộng
Đề tài: Phương pháp giải bài toán cân bằng có tính lồi suy rộng
 
Tinh chuan tac_va_tinh_khai_trien_cua_khong_gian_topo_tich_8291
Tinh chuan tac_va_tinh_khai_trien_cua_khong_gian_topo_tich_8291Tinh chuan tac_va_tinh_khai_trien_cua_khong_gian_topo_tich_8291
Tinh chuan tac_va_tinh_khai_trien_cua_khong_gian_topo_tich_8291
 
Luận văn: Giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, 9đ
Luận văn: Giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, 9đLuận văn: Giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, 9đ
Luận văn: Giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, 9đ
 
Luận văn: Phương pháp mô phỏng Monte carlo, HAY, 9đ
Luận văn: Phương pháp mô phỏng Monte carlo, HAY, 9đLuận văn: Phương pháp mô phỏng Monte carlo, HAY, 9đ
Luận văn: Phương pháp mô phỏng Monte carlo, HAY, 9đ
 
Ứng dụng hình học để xác định một miền chứa điểm cho trước
Ứng dụng hình học để xác định một miền chứa điểm cho trướcỨng dụng hình học để xác định một miền chứa điểm cho trước
Ứng dụng hình học để xác định một miền chứa điểm cho trước
 
Phương pháp xử lý tri thức không nhất quán trong Ontology, HAY
Phương pháp xử lý tri thức không nhất quán trong Ontology, HAYPhương pháp xử lý tri thức không nhất quán trong Ontology, HAY
Phương pháp xử lý tri thức không nhất quán trong Ontology, HAY
 
Luận án: Xử lý tri thức không nhất quán trong Ontology, HAY
Luận án: Xử lý tri thức không nhất quán trong Ontology, HAYLuận án: Xử lý tri thức không nhất quán trong Ontology, HAY
Luận án: Xử lý tri thức không nhất quán trong Ontology, HAY
 
Luận văn: Hồi quy bội tuyến tính và Hồi quy phi tuyến, HOT, 9đ
Luận văn: Hồi quy bội tuyến tính và Hồi quy phi tuyến, HOT, 9đLuận văn: Hồi quy bội tuyến tính và Hồi quy phi tuyến, HOT, 9đ
Luận văn: Hồi quy bội tuyến tính và Hồi quy phi tuyến, HOT, 9đ
 
Luận án: Giải bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn
Luận án: Giải bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốnLuận án: Giải bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn
Luận án: Giải bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn
 
Luận án: Mở rộng của lớp Môđun giả nội xạ và vành liên quan, HAY
Luận án: Mở rộng của lớp Môđun giả nội xạ và vành liên quan, HAYLuận án: Mở rộng của lớp Môđun giả nội xạ và vành liên quan, HAY
Luận án: Mở rộng của lớp Môđun giả nội xạ và vành liên quan, HAY
 
Một số lớp bài toán tối ưu không lồi, Thuật toán và ứng dụng.pdf
Một số lớp bài toán tối ưu không lồi, Thuật toán và ứng dụng.pdfMột số lớp bài toán tối ưu không lồi, Thuật toán và ứng dụng.pdf
Một số lớp bài toán tối ưu không lồi, Thuật toán và ứng dụng.pdf
 
Luận văn: Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Vol...
Luận văn: Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Vol...Luận văn: Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Vol...
Luận văn: Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Vol...
 
Dùng cây đồ thị trong dạy học toán tiểu học
Dùng cây đồ thị trong dạy học toán tiểu học Dùng cây đồ thị trong dạy học toán tiểu học
Dùng cây đồ thị trong dạy học toán tiểu học
 
Một số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quang
Một số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quangMột số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quang
Một số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quang
 
Một số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quang
Một số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quangMột số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quang
Một số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quang
 

More from https://www.facebook.com/garmentspace

Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Bảo hộ quyền sở hữu trí tuệ đối với nhãn hiệu...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Bảo hộ quyền sở hữu trí tuệ đối với nhãn hiệu...Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Bảo hộ quyền sở hữu trí tuệ đối với nhãn hiệu...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Bảo hộ quyền sở hữu trí tuệ đối với nhãn hiệu...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao hiệu quả kinh doanh của Công ty cổ phần...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao hiệu quả kinh doanh của Công ty cổ phần...Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao hiệu quả kinh doanh của Công ty cổ phần...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao hiệu quả kinh doanh của Công ty cổ phần...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp Xây dựng hệ thống hỗ trợ tương tác trong quá trình điều ...
Khóa luận tốt nghiệp Xây dựng hệ thống hỗ trợ tương tác trong quá trình điều ...Khóa luận tốt nghiệp Xây dựng hệ thống hỗ trợ tương tác trong quá trình điều ...
Khóa luận tốt nghiệp Xây dựng hệ thống hỗ trợ tương tác trong quá trình điều ...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng cung ứng dịch vụ thi ...
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng cung ứng dịch vụ thi ...Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng cung ứng dịch vụ thi ...
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng cung ứng dịch vụ thi ...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp Quản trị kinh doanh Hoàn thiện cơ cấu tổ chức và phân qu...
Khóa luận tốt nghiệp Quản trị kinh doanh Hoàn thiện cơ cấu tổ chức và phân qu...Khóa luận tốt nghiệp Quản trị kinh doanh Hoàn thiện cơ cấu tổ chức và phân qu...
Khóa luận tốt nghiệp Quản trị kinh doanh Hoàn thiện cơ cấu tổ chức và phân qu...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Thu hút vốn đầu tư trực tiếp nước ngoài vào các ...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Thu hút vốn đầu tư trực tiếp nước ngoài vào các ...Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Thu hút vốn đầu tư trực tiếp nước ngoài vào các ...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Thu hút vốn đầu tư trực tiếp nước ngoài vào các ...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích, thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự t...
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích, thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự t...Khóa luận tốt nghiệp Phân tích, thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự t...
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích, thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự t...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cung ứng dịch vụ vận tải hàng ...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cung ứng dịch vụ vận tải hàng ...Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cung ứng dịch vụ vận tải hàng ...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cung ứng dịch vụ vận tải hàng ...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp Tuyển dụng nhân lực tại Công ty Cổ phần Miken Việt Nam.pdf
Khóa luận tốt nghiệp Tuyển dụng nhân lực tại Công ty Cổ phần Miken Việt Nam.pdfKhóa luận tốt nghiệp Tuyển dụng nhân lực tại Công ty Cổ phần Miken Việt Nam.pdf
Khóa luận tốt nghiệp Tuyển dụng nhân lực tại Công ty Cổ phần Miken Việt Nam.pdfhttps://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Nâng cao hiệu quả áp dụng chính sách tiền lươ...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Nâng cao hiệu quả áp dụng chính sách tiền lươ...Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Nâng cao hiệu quả áp dụng chính sách tiền lươ...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Nâng cao hiệu quả áp dụng chính sách tiền lươ...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về an toàn lao động và vệ sinh lao ...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về an toàn lao động và vệ sinh lao ...Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về an toàn lao động và vệ sinh lao ...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về an toàn lao động và vệ sinh lao ...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp Giải pháp phát triển hoạt động marketing điện tử cho Côn...
Khóa luận tốt nghiệp Giải pháp phát triển hoạt động marketing điện tử cho Côn...Khóa luận tốt nghiệp Giải pháp phát triển hoạt động marketing điện tử cho Côn...
Khóa luận tốt nghiệp Giải pháp phát triển hoạt động marketing điện tử cho Côn...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng mua bán hàng hóa - Th...
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng mua bán hàng hóa - Th...Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng mua bán hàng hóa - Th...
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng mua bán hàng hóa - Th...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về giao kết và thực hiện hợp đồng...
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về giao kết và thực hiện hợp đồng...Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về giao kết và thực hiện hợp đồng...
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về giao kết và thực hiện hợp đồng...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cạnh tranh xuất khẩu mặt hàng ...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cạnh tranh xuất khẩu mặt hàng ...Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cạnh tranh xuất khẩu mặt hàng ...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cạnh tranh xuất khẩu mặt hàng ...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp Hoàn thiện công tác hoạch định của Công ty Cổ phần Đầu t...
Khóa luận tốt nghiệp Hoàn thiện công tác hoạch định của Công ty Cổ phần Đầu t...Khóa luận tốt nghiệp Hoàn thiện công tác hoạch định của Công ty Cổ phần Đầu t...
Khóa luận tốt nghiệp Hoàn thiện công tác hoạch định của Công ty Cổ phần Đầu t...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về đăng ký kinh doanh và thực tiễn ...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về đăng ký kinh doanh và thực tiễn ...Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về đăng ký kinh doanh và thực tiễn ...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về đăng ký kinh doanh và thực tiễn ...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Đề tài Tác động của đầu tư đến sự chuyển dịch cơ cấu kinh tế.doc
Đề tài Tác động của đầu tư đến sự chuyển dịch cơ cấu kinh tế.docĐề tài Tác động của đầu tư đến sự chuyển dịch cơ cấu kinh tế.doc
Đề tài Tác động của đầu tư đến sự chuyển dịch cơ cấu kinh tế.dochttps://www.facebook.com/garmentspace
 
Luận văn đề tài Nâng cao sự hài lòng về chất lượng dịch vụ tại công ty TNHH D...
Luận văn đề tài Nâng cao sự hài lòng về chất lượng dịch vụ tại công ty TNHH D...Luận văn đề tài Nâng cao sự hài lòng về chất lượng dịch vụ tại công ty TNHH D...
Luận văn đề tài Nâng cao sự hài lòng về chất lượng dịch vụ tại công ty TNHH D...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích và thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự...
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích và thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự...Khóa luận tốt nghiệp Phân tích và thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự...
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích và thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự...https://www.facebook.com/garmentspace
 

More from https://www.facebook.com/garmentspace (20)

Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Bảo hộ quyền sở hữu trí tuệ đối với nhãn hiệu...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Bảo hộ quyền sở hữu trí tuệ đối với nhãn hiệu...Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Bảo hộ quyền sở hữu trí tuệ đối với nhãn hiệu...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Bảo hộ quyền sở hữu trí tuệ đối với nhãn hiệu...
 
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao hiệu quả kinh doanh của Công ty cổ phần...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao hiệu quả kinh doanh của Công ty cổ phần...Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao hiệu quả kinh doanh của Công ty cổ phần...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao hiệu quả kinh doanh của Công ty cổ phần...
 
Khóa luận tốt nghiệp Xây dựng hệ thống hỗ trợ tương tác trong quá trình điều ...
Khóa luận tốt nghiệp Xây dựng hệ thống hỗ trợ tương tác trong quá trình điều ...Khóa luận tốt nghiệp Xây dựng hệ thống hỗ trợ tương tác trong quá trình điều ...
Khóa luận tốt nghiệp Xây dựng hệ thống hỗ trợ tương tác trong quá trình điều ...
 
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng cung ứng dịch vụ thi ...
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng cung ứng dịch vụ thi ...Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng cung ứng dịch vụ thi ...
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng cung ứng dịch vụ thi ...
 
Khóa luận tốt nghiệp Quản trị kinh doanh Hoàn thiện cơ cấu tổ chức và phân qu...
Khóa luận tốt nghiệp Quản trị kinh doanh Hoàn thiện cơ cấu tổ chức và phân qu...Khóa luận tốt nghiệp Quản trị kinh doanh Hoàn thiện cơ cấu tổ chức và phân qu...
Khóa luận tốt nghiệp Quản trị kinh doanh Hoàn thiện cơ cấu tổ chức và phân qu...
 
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Thu hút vốn đầu tư trực tiếp nước ngoài vào các ...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Thu hút vốn đầu tư trực tiếp nước ngoài vào các ...Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Thu hút vốn đầu tư trực tiếp nước ngoài vào các ...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Thu hút vốn đầu tư trực tiếp nước ngoài vào các ...
 
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích, thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự t...
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích, thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự t...Khóa luận tốt nghiệp Phân tích, thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự t...
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích, thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự t...
 
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cung ứng dịch vụ vận tải hàng ...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cung ứng dịch vụ vận tải hàng ...Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cung ứng dịch vụ vận tải hàng ...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cung ứng dịch vụ vận tải hàng ...
 
Khóa luận tốt nghiệp Tuyển dụng nhân lực tại Công ty Cổ phần Miken Việt Nam.pdf
Khóa luận tốt nghiệp Tuyển dụng nhân lực tại Công ty Cổ phần Miken Việt Nam.pdfKhóa luận tốt nghiệp Tuyển dụng nhân lực tại Công ty Cổ phần Miken Việt Nam.pdf
Khóa luận tốt nghiệp Tuyển dụng nhân lực tại Công ty Cổ phần Miken Việt Nam.pdf
 
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Nâng cao hiệu quả áp dụng chính sách tiền lươ...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Nâng cao hiệu quả áp dụng chính sách tiền lươ...Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Nâng cao hiệu quả áp dụng chính sách tiền lươ...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Nâng cao hiệu quả áp dụng chính sách tiền lươ...
 
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về an toàn lao động và vệ sinh lao ...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về an toàn lao động và vệ sinh lao ...Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về an toàn lao động và vệ sinh lao ...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về an toàn lao động và vệ sinh lao ...
 
Khóa luận tốt nghiệp Giải pháp phát triển hoạt động marketing điện tử cho Côn...
Khóa luận tốt nghiệp Giải pháp phát triển hoạt động marketing điện tử cho Côn...Khóa luận tốt nghiệp Giải pháp phát triển hoạt động marketing điện tử cho Côn...
Khóa luận tốt nghiệp Giải pháp phát triển hoạt động marketing điện tử cho Côn...
 
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng mua bán hàng hóa - Th...
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng mua bán hàng hóa - Th...Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng mua bán hàng hóa - Th...
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về hợp đồng mua bán hàng hóa - Th...
 
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về giao kết và thực hiện hợp đồng...
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về giao kết và thực hiện hợp đồng...Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về giao kết và thực hiện hợp đồng...
Khóa luận tốt nghiệp Luật kinh tế Pháp luật về giao kết và thực hiện hợp đồng...
 
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cạnh tranh xuất khẩu mặt hàng ...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cạnh tranh xuất khẩu mặt hàng ...Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cạnh tranh xuất khẩu mặt hàng ...
Khóa luận tốt nghiệp Kinh tế Nâng cao năng lực cạnh tranh xuất khẩu mặt hàng ...
 
Khóa luận tốt nghiệp Hoàn thiện công tác hoạch định của Công ty Cổ phần Đầu t...
Khóa luận tốt nghiệp Hoàn thiện công tác hoạch định của Công ty Cổ phần Đầu t...Khóa luận tốt nghiệp Hoàn thiện công tác hoạch định của Công ty Cổ phần Đầu t...
Khóa luận tốt nghiệp Hoàn thiện công tác hoạch định của Công ty Cổ phần Đầu t...
 
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về đăng ký kinh doanh và thực tiễn ...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về đăng ký kinh doanh và thực tiễn ...Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về đăng ký kinh doanh và thực tiễn ...
Khóa luận tốt nghiệp ngành Luật Pháp luật về đăng ký kinh doanh và thực tiễn ...
 
Đề tài Tác động của đầu tư đến sự chuyển dịch cơ cấu kinh tế.doc
Đề tài Tác động của đầu tư đến sự chuyển dịch cơ cấu kinh tế.docĐề tài Tác động của đầu tư đến sự chuyển dịch cơ cấu kinh tế.doc
Đề tài Tác động của đầu tư đến sự chuyển dịch cơ cấu kinh tế.doc
 
Luận văn đề tài Nâng cao sự hài lòng về chất lượng dịch vụ tại công ty TNHH D...
Luận văn đề tài Nâng cao sự hài lòng về chất lượng dịch vụ tại công ty TNHH D...Luận văn đề tài Nâng cao sự hài lòng về chất lượng dịch vụ tại công ty TNHH D...
Luận văn đề tài Nâng cao sự hài lòng về chất lượng dịch vụ tại công ty TNHH D...
 
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích và thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự...
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích và thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự...Khóa luận tốt nghiệp Phân tích và thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự...
Khóa luận tốt nghiệp Phân tích và thiết kế hệ thống thông tin quản lý nhân sự...
 

Recently uploaded

sách sinh học đại cương - Textbook.pdf
sách sinh học đại cương - Textbook.pdfsách sinh học đại cương - Textbook.pdf
sách sinh học đại cương - Textbook.pdfTrnHoa46
 
BỘ LUYỆN NGHE VÀO 10 TIẾNG ANH DẠNG TRẮC NGHIỆM 4 CÂU TRẢ LỜI - CÓ FILE NGHE.pdf
BỘ LUYỆN NGHE VÀO 10 TIẾNG ANH DẠNG TRẮC NGHIỆM 4 CÂU TRẢ LỜI - CÓ FILE NGHE.pdfBỘ LUYỆN NGHE VÀO 10 TIẾNG ANH DẠNG TRẮC NGHIỆM 4 CÂU TRẢ LỜI - CÓ FILE NGHE.pdf
BỘ LUYỆN NGHE VÀO 10 TIẾNG ANH DẠNG TRẮC NGHIỆM 4 CÂU TRẢ LỜI - CÓ FILE NGHE.pdfNguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI DẠY BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘ...
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI DẠY BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘ...GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI DẠY BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘ...
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI DẠY BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
kinh tế chính trị mác lênin chương hai và hàng hoá và sxxhh
kinh tế chính trị mác lênin chương hai và hàng hoá và sxxhhkinh tế chính trị mác lênin chương hai và hàng hoá và sxxhh
kinh tế chính trị mác lênin chương hai và hàng hoá và sxxhhdtlnnm
 
ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CÁC TỈNH THÀNH NĂM HỌC 2020 –...
ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CÁC TỈNH THÀNH NĂM HỌC 2020 –...ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CÁC TỈNH THÀNH NĂM HỌC 2020 –...
ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CÁC TỈNH THÀNH NĂM HỌC 2020 –...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Giới thiệu Dự án Sản Phụ Khoa - Y Học Cộng Đồng
Giới thiệu Dự án Sản Phụ Khoa - Y Học Cộng ĐồngGiới thiệu Dự án Sản Phụ Khoa - Y Học Cộng Đồng
Giới thiệu Dự án Sản Phụ Khoa - Y Học Cộng ĐồngYhoccongdong.com
 
1.DOANNGOCPHUONGTHAO-APDUNGSTEMTHIETKEBTHHHGIUPHSHOCHIEUQUA (1).docx
1.DOANNGOCPHUONGTHAO-APDUNGSTEMTHIETKEBTHHHGIUPHSHOCHIEUQUA (1).docx1.DOANNGOCPHUONGTHAO-APDUNGSTEMTHIETKEBTHHHGIUPHSHOCHIEUQUA (1).docx
1.DOANNGOCPHUONGTHAO-APDUNGSTEMTHIETKEBTHHHGIUPHSHOCHIEUQUA (1).docxTHAO316680
 
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KỸ NĂNG VIẾT ĐOẠN VĂN NGHỊ LUẬN XÃ HỘI 200 C...
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KỸ NĂNG VIẾT ĐOẠN VĂN NGHỊ LUẬN XÃ HỘI 200 C...TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KỸ NĂNG VIẾT ĐOẠN VĂN NGHỊ LUẬN XÃ HỘI 200 C...
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KỸ NĂNG VIẾT ĐOẠN VĂN NGHỊ LUẬN XÃ HỘI 200 C...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Campbell _2011_ - Sinh học - Tế bào - Ref.pdf
Campbell _2011_ - Sinh học - Tế bào - Ref.pdfCampbell _2011_ - Sinh học - Tế bào - Ref.pdf
Campbell _2011_ - Sinh học - Tế bào - Ref.pdfTrnHoa46
 
SLIDE - Tu van, huong dan cong tac tuyen sinh-2024 (đầy đủ chi tiết).pdf
SLIDE - Tu van, huong dan cong tac tuyen sinh-2024 (đầy đủ chi tiết).pdfSLIDE - Tu van, huong dan cong tac tuyen sinh-2024 (đầy đủ chi tiết).pdf
SLIDE - Tu van, huong dan cong tac tuyen sinh-2024 (đầy đủ chi tiết).pdfhoangtuansinh1
 
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LÝ LUẬN VĂN HỌC NĂM HỌC 2023-2024 - MÔN NGỮ ...
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LÝ LUẬN VĂN HỌC NĂM HỌC 2023-2024 - MÔN NGỮ ...TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LÝ LUẬN VĂN HỌC NĂM HỌC 2023-2024 - MÔN NGỮ ...
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LÝ LUẬN VĂN HỌC NĂM HỌC 2023-2024 - MÔN NGỮ ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Kiểm tra cuối học kì 1 sinh học 12 đề tham khảo
Kiểm tra cuối học kì 1 sinh học 12 đề tham khảoKiểm tra cuối học kì 1 sinh học 12 đề tham khảo
Kiểm tra cuối học kì 1 sinh học 12 đề tham khảohoanhv296
 
powerpoint mẫu họp phụ huynh cuối kì 2 học sinh lớp 7 bgs
powerpoint mẫu họp phụ huynh cuối kì 2 học sinh lớp 7 bgspowerpoint mẫu họp phụ huynh cuối kì 2 học sinh lớp 7 bgs
powerpoint mẫu họp phụ huynh cuối kì 2 học sinh lớp 7 bgsNmmeomeo
 
Danh sách sinh viên tốt nghiệp Đại học - Cao đẳng Trường Đại học Phú Yên năm ...
Danh sách sinh viên tốt nghiệp Đại học - Cao đẳng Trường Đại học Phú Yên năm ...Danh sách sinh viên tốt nghiệp Đại học - Cao đẳng Trường Đại học Phú Yên năm ...
Danh sách sinh viên tốt nghiệp Đại học - Cao đẳng Trường Đại học Phú Yên năm ...hoangtuansinh1
 
GNHH và KBHQ - giao nhận hàng hoá và khai báo hải quan
GNHH và KBHQ - giao nhận hàng hoá và khai báo hải quanGNHH và KBHQ - giao nhận hàng hoá và khai báo hải quan
GNHH và KBHQ - giao nhận hàng hoá và khai báo hải quanmyvh40253
 
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Các điều kiện bảo hiểm trong bảo hiểm hàng hoá
Các điều kiện bảo hiểm trong bảo hiểm hàng hoáCác điều kiện bảo hiểm trong bảo hiểm hàng hoá
Các điều kiện bảo hiểm trong bảo hiểm hàng hoámyvh40253
 
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...Nguyen Thanh Tu Collection
 
SÁNG KIẾN ÁP DỤNG CLT (COMMUNICATIVE LANGUAGE TEACHING) VÀO QUÁ TRÌNH DẠY - H...
SÁNG KIẾN ÁP DỤNG CLT (COMMUNICATIVE LANGUAGE TEACHING) VÀO QUÁ TRÌNH DẠY - H...SÁNG KIẾN ÁP DỤNG CLT (COMMUNICATIVE LANGUAGE TEACHING) VÀO QUÁ TRÌNH DẠY - H...
SÁNG KIẾN ÁP DỤNG CLT (COMMUNICATIVE LANGUAGE TEACHING) VÀO QUÁ TRÌNH DẠY - H...Nguyen Thanh Tu Collection
 
3-BẢNG MÃ LỖI CỦA CÁC HÃNG ĐIỀU HÒA .pdf - ĐIỆN LẠNH BÁCH KHOA HÀ NỘI
3-BẢNG MÃ LỖI CỦA CÁC HÃNG ĐIỀU HÒA .pdf - ĐIỆN LẠNH BÁCH KHOA HÀ NỘI3-BẢNG MÃ LỖI CỦA CÁC HÃNG ĐIỀU HÒA .pdf - ĐIỆN LẠNH BÁCH KHOA HÀ NỘI
3-BẢNG MÃ LỖI CỦA CÁC HÃNG ĐIỀU HÒA .pdf - ĐIỆN LẠNH BÁCH KHOA HÀ NỘIĐiện Lạnh Bách Khoa Hà Nội
 

Recently uploaded (20)

sách sinh học đại cương - Textbook.pdf
sách sinh học đại cương - Textbook.pdfsách sinh học đại cương - Textbook.pdf
sách sinh học đại cương - Textbook.pdf
 
BỘ LUYỆN NGHE VÀO 10 TIẾNG ANH DẠNG TRẮC NGHIỆM 4 CÂU TRẢ LỜI - CÓ FILE NGHE.pdf
BỘ LUYỆN NGHE VÀO 10 TIẾNG ANH DẠNG TRẮC NGHIỆM 4 CÂU TRẢ LỜI - CÓ FILE NGHE.pdfBỘ LUYỆN NGHE VÀO 10 TIẾNG ANH DẠNG TRẮC NGHIỆM 4 CÂU TRẢ LỜI - CÓ FILE NGHE.pdf
BỘ LUYỆN NGHE VÀO 10 TIẾNG ANH DẠNG TRẮC NGHIỆM 4 CÂU TRẢ LỜI - CÓ FILE NGHE.pdf
 
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI DẠY BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘ...
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI DẠY BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘ...GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI DẠY BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘ...
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI DẠY BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘ...
 
kinh tế chính trị mác lênin chương hai và hàng hoá và sxxhh
kinh tế chính trị mác lênin chương hai và hàng hoá và sxxhhkinh tế chính trị mác lênin chương hai và hàng hoá và sxxhh
kinh tế chính trị mác lênin chương hai và hàng hoá và sxxhh
 
ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CÁC TỈNH THÀNH NĂM HỌC 2020 –...
ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CÁC TỈNH THÀNH NĂM HỌC 2020 –...ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CÁC TỈNH THÀNH NĂM HỌC 2020 –...
ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CÁC TỈNH THÀNH NĂM HỌC 2020 –...
 
Giới thiệu Dự án Sản Phụ Khoa - Y Học Cộng Đồng
Giới thiệu Dự án Sản Phụ Khoa - Y Học Cộng ĐồngGiới thiệu Dự án Sản Phụ Khoa - Y Học Cộng Đồng
Giới thiệu Dự án Sản Phụ Khoa - Y Học Cộng Đồng
 
1.DOANNGOCPHUONGTHAO-APDUNGSTEMTHIETKEBTHHHGIUPHSHOCHIEUQUA (1).docx
1.DOANNGOCPHUONGTHAO-APDUNGSTEMTHIETKEBTHHHGIUPHSHOCHIEUQUA (1).docx1.DOANNGOCPHUONGTHAO-APDUNGSTEMTHIETKEBTHHHGIUPHSHOCHIEUQUA (1).docx
1.DOANNGOCPHUONGTHAO-APDUNGSTEMTHIETKEBTHHHGIUPHSHOCHIEUQUA (1).docx
 
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KỸ NĂNG VIẾT ĐOẠN VĂN NGHỊ LUẬN XÃ HỘI 200 C...
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KỸ NĂNG VIẾT ĐOẠN VĂN NGHỊ LUẬN XÃ HỘI 200 C...TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KỸ NĂNG VIẾT ĐOẠN VĂN NGHỊ LUẬN XÃ HỘI 200 C...
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KỸ NĂNG VIẾT ĐOẠN VĂN NGHỊ LUẬN XÃ HỘI 200 C...
 
Campbell _2011_ - Sinh học - Tế bào - Ref.pdf
Campbell _2011_ - Sinh học - Tế bào - Ref.pdfCampbell _2011_ - Sinh học - Tế bào - Ref.pdf
Campbell _2011_ - Sinh học - Tế bào - Ref.pdf
 
SLIDE - Tu van, huong dan cong tac tuyen sinh-2024 (đầy đủ chi tiết).pdf
SLIDE - Tu van, huong dan cong tac tuyen sinh-2024 (đầy đủ chi tiết).pdfSLIDE - Tu van, huong dan cong tac tuyen sinh-2024 (đầy đủ chi tiết).pdf
SLIDE - Tu van, huong dan cong tac tuyen sinh-2024 (đầy đủ chi tiết).pdf
 
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LÝ LUẬN VĂN HỌC NĂM HỌC 2023-2024 - MÔN NGỮ ...
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LÝ LUẬN VĂN HỌC NĂM HỌC 2023-2024 - MÔN NGỮ ...TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LÝ LUẬN VĂN HỌC NĂM HỌC 2023-2024 - MÔN NGỮ ...
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LÝ LUẬN VĂN HỌC NĂM HỌC 2023-2024 - MÔN NGỮ ...
 
Kiểm tra cuối học kì 1 sinh học 12 đề tham khảo
Kiểm tra cuối học kì 1 sinh học 12 đề tham khảoKiểm tra cuối học kì 1 sinh học 12 đề tham khảo
Kiểm tra cuối học kì 1 sinh học 12 đề tham khảo
 
powerpoint mẫu họp phụ huynh cuối kì 2 học sinh lớp 7 bgs
powerpoint mẫu họp phụ huynh cuối kì 2 học sinh lớp 7 bgspowerpoint mẫu họp phụ huynh cuối kì 2 học sinh lớp 7 bgs
powerpoint mẫu họp phụ huynh cuối kì 2 học sinh lớp 7 bgs
 
Danh sách sinh viên tốt nghiệp Đại học - Cao đẳng Trường Đại học Phú Yên năm ...
Danh sách sinh viên tốt nghiệp Đại học - Cao đẳng Trường Đại học Phú Yên năm ...Danh sách sinh viên tốt nghiệp Đại học - Cao đẳng Trường Đại học Phú Yên năm ...
Danh sách sinh viên tốt nghiệp Đại học - Cao đẳng Trường Đại học Phú Yên năm ...
 
GNHH và KBHQ - giao nhận hàng hoá và khai báo hải quan
GNHH và KBHQ - giao nhận hàng hoá và khai báo hải quanGNHH và KBHQ - giao nhận hàng hoá và khai báo hải quan
GNHH và KBHQ - giao nhận hàng hoá và khai báo hải quan
 
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
 
Các điều kiện bảo hiểm trong bảo hiểm hàng hoá
Các điều kiện bảo hiểm trong bảo hiểm hàng hoáCác điều kiện bảo hiểm trong bảo hiểm hàng hoá
Các điều kiện bảo hiểm trong bảo hiểm hàng hoá
 
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
 
SÁNG KIẾN ÁP DỤNG CLT (COMMUNICATIVE LANGUAGE TEACHING) VÀO QUÁ TRÌNH DẠY - H...
SÁNG KIẾN ÁP DỤNG CLT (COMMUNICATIVE LANGUAGE TEACHING) VÀO QUÁ TRÌNH DẠY - H...SÁNG KIẾN ÁP DỤNG CLT (COMMUNICATIVE LANGUAGE TEACHING) VÀO QUÁ TRÌNH DẠY - H...
SÁNG KIẾN ÁP DỤNG CLT (COMMUNICATIVE LANGUAGE TEACHING) VÀO QUÁ TRÌNH DẠY - H...
 
3-BẢNG MÃ LỖI CỦA CÁC HÃNG ĐIỀU HÒA .pdf - ĐIỆN LẠNH BÁCH KHOA HÀ NỘI
3-BẢNG MÃ LỖI CỦA CÁC HÃNG ĐIỀU HÒA .pdf - ĐIỆN LẠNH BÁCH KHOA HÀ NỘI3-BẢNG MÃ LỖI CỦA CÁC HÃNG ĐIỀU HÒA .pdf - ĐIỆN LẠNH BÁCH KHOA HÀ NỘI
3-BẢNG MÃ LỖI CỦA CÁC HÃNG ĐIỀU HÒA .pdf - ĐIỆN LẠNH BÁCH KHOA HÀ NỘI
 

Luận án tiến sĩ toán học định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng

  • 1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN ĐỨC THÀNH ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015
  • 2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN ĐỨC THÀNH ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. PGS. TS. TRẦN VĂN ÂN 2. TS. KIỀU PHƯƠNG CHI NGHỆ AN - 2015
  • 3. iii LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi. Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và luận án không trùng lặp với bất kỳ tài liệu nào khác. Tác giả
  • 4. iv LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi. Trước hết, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với những người Thầy - PGS. TS. Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi của mình, những người đã đặt bài toán và hướng nghiên cứu cho tác giả. Tác giả đã học được rất nhiều kiến thức khoa học, nhận được sự chia sẻ, yêu thương của các Thầy trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Thầy luôn tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, để tác giả học tập và hoàn thành luận án. Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm Toán học, Tổ Giải tích và các đồng nghiệp trong khoa Sư phạm Toán - Trường Đại học Vinh đã quan tâm động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học và các phòng ban khác của Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của nghiên cứu sinh. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS Erdal Karapinar, Department of Mathe- matics, Atilim University, 06836 Incek, Ankara, Turkey và GS Ljubomir Ciric, Faculty of Mechanical Engineering, University of Belgrade, 12-35 Aleksinackih Rudara, Belgrade, Serbia and Montenegro vì những giúp đỡ to lớn trong việc trao đổi tài liệu và thảo luận các bài toán liên quan. Xin cảm ơn các thầy cô giáo, các anh chị em nghiên cứu sinh của Trường Đại học Vinh và tất cả bạn bè của tác giả về những chia sẻ, động viên trong quá trình học tập và nghiên cứu.
  • 5. v Cuối cùng, tác giả vô cùng biết ơn mọi thành viên trong gia đình của mình, đã luôn tạo mọi điều kiện và dành tất cả sự quan tâm, chia sẻ mọi khó khăn cùng tác giả suốt những năm tháng qua để tác giả có thể hoàn thành luận án này. Nghệ An, năm 2015 Tác giả
  • 6. 1 MỤC LỤC Mục lục 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Điểm bất động của một số ánh xạ T-co suy rộng trong không gian mêtric 12 1.1. Điểm bất động của ánh xạ T-co kiểu Meir-Keeler . . . . . . . 12 1.2. Điểm bất động của ánh xạ T-co kiểu tựa co Ciric . . . . . . . 20 1.3. Điểm bất động chung của các ánh xạ T-co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu . 29 2 Điểm bất động của một số lớp ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng 39 2.1. Không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2. Điểm bất động của ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3. Điểm bất động chung của các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3 Điểm bất động bộ đôi của một số ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và ứng dụng 82 3.1. Điểm bất động bộ đôi của một số ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2. ´Ưng dụng vào một lớp phương trình tích phân phi tuyến . . . 92
  • 7. 2 3.3. ´Ưng dụng vào bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án . . . 105 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
  • 8. 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn của toán học hiện đại. Đây là lĩnh vực đã và đang thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Lý thuyết điểm bất động là một công cụ quan trọng để nghiên cứu các hiện tượng phi tuyến. Nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi, tích phân, hệ phương trình tuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng của hệ động lực... Hơn nữa, nó còn có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như khoa học máy tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, vật lý toán, sinh học, kinh tế... Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có thể nói bắt nguồn từ những ứng dụng rộng rãi của nó. 1.2. Xuất phát từ ba định lý điểm bất động nổi tiếng: Định lý điểm bất động Brouwer (1911, [22]), định lý điểm bất động Banach (1922, [9]), định lý điểm bất động Tarski (1955, [60]), lý thuyết điểm bất động có thể được chia thành ba hướng nghiên cứu chính: Lý thuyết điểm bất động tôpô, lý thuyết điểm bất động mêtric và lý thuyết điểm bất động rời rạc. Cùng với việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân thường, nguyên lý ánh xạ co Banach là trung tâm của lý thuyết điểm bất động trên các không gian mêtric: "Mỗi ánh xạ co từ một không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào chính nó luôn có duy nhất điểm bất động". Sự ra đời của nguyên lý ánh xạ co Banach cùng với ứng dụng của nó đã mở ra sự phát triển mới của lý thuyết điểm bất động mêtric.
  • 9. 4 1.3. Hướng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động mêtric phát triển chủ yếu theo 3 vấn đề sau: Mở rộng các điều kiện co cho các ánh xạ; mở rộng các định lý điểm bất động đã biết lên các không gian có cấu trúc tương tự không gian mêtric; và tìm các ứng dụng của chúng. Đối với vấn đề mở rộng điều kiện co của ánh xạ, chúng ta đã biết được những lớp ánh xạ co tiêu biểu được kể đến như của Kannan ([39]), Boyd-Wong ([21]), Meir-Keeler ([42]), Reich ([54]), Ciric ([29]), Zamfirescu ([62]), Hardy - Rogers ([36]), Ciric ([27]), Berinde ([14])... Ngoài ra, người ta còn đề xuất thêm những loại ánh xạ co suy rộng như: Φ-co, co yếu, tựa co, hầu co... Đối với vấn đề mở rộng không gian, người ta đã đề xuất các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trên những lớp không gian có cấu trúc tương tự không gian mêtric như: Không gian mêtric suy rộng, không gian mêtric nón, không gian 2-mêtric, không gian b-mêtric... Đặc biệt, năm 1992, trong dự án nghiên cứu về sự hiển thị ngôn ngữ và lưu thông mạng máy tính, S. G. Matthew ([45]) đã đề xuất và xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng. Sau đó, các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trên lớp không gian này cũng được thiết lập. Và gần đây, người ta rất quan tâm tới việc thiết lập các định lý điểm bất động của ánh xạ co suy rộng trên lớp không gian này, xuất phát từ một số ý nghĩa và ứng dụng của chúng. Theo mạch vấn đề về ứng dụng của các định lý điểm bất động mêtric, ngoài những ứng dụng truyền thống đã biết, gần đây, người ta đã tìm được những ứng dụng sâu sắc hơn của các định lý điểm bất động cho các ánh xạ co suy rộng trên các không gian có cấu trúc kiểu không gian mêtric vào những lĩnh vực khác nhau của toán học, kinh tế và kỹ thuật. Có thể nói, cả 3 mạch vấn đề trên không phát triển tách rời nhau mà luôn luôn đồng hành, gắn bó mật thiết với nhau. Những vấn đề trên đang thu hút khá đông những người làm việc trong lĩnh vực toán giải tích trong và ngoài nước. Đặc biệt, cả 3 mạch vấn đề trên vẫn còn những bài toán thời sự đang được đặt ra nghiên cứu và giải quyết.
  • 10. 5 Với các lý do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: "Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng". 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là mở rộng một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ trên các lớp không gian như: không gian mêtric, không gian mêtric riêng, không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và tìm hiểu ứng dụng của chúng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các không gian mêtric, không gian mêtric riêng, các ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric, không gian mêtric riêng, điểm bất động, điểm bất động bộ đôi của một số lớp ánh xạ trong không gian mêtric, không gian mêtric riêng, một số lớp phương trình tích phân. 4. Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ trong không gian mêtric, không gian mêtric riêng và ứng dụng vào bài toán sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi. 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của Giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân và lý thuyết điểm bất động trong quá trình thực hiện đề tài. 6. ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án đã mở rộng được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtric, không gian mêtric riêng. Đồng thời, áp dụng các kết quả thu được vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số
  • 11. 6 lớp phương trình tích phân và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi. Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán giải tích nói chung, lý thuyết điểm bất động trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng nói riêng. 7. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1. Tổng quan luận án Năm 2010, S. Moradi và M. Omid ([47]) đã đề xuất lớp ánh xạ T-co và thu được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của chúng. Cho (X, d) là không gian mêtric và các ánh xạ T, S : X → X. Ánh xạ S được gọi là T-co nếu tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho d(TSx, TSy) kd(Tx, Ty), với mọi x, y ∈ X. Khi Tx = x với x ∈ X thì ánh xạ T-co trở thành ánh xạ co thông thường. Sự xuất hiện của lớp ánh xạ T-co đã thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu lý thuyết điểm bất động mêtric. Với mục đích nghiên cứu các định lý điểm bất động của các ánh xạ dưới điều kiện T-co suy rộng, trong Chương 1, chúng tôi thu được một số định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ kiểu T-co. Trong Mục 1.1, chúng tôi thu được các kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các lớp ánh xạ T-co kiểu Meir-Keeler. Cụ thể, chúng tôi chứng minh Định lý 1.1.5 và Định lý 1.1.8 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động của lớp ánh xạ T-co kiểu Meir-Keeler trong không gian mêtric đầy đủ. Trong Mục 1.2, chúng tôi thu được các kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các lớp ánh xạ T-co kiểu tựa co Ciric. Cụ thể, chúng tôi thiết lập Định lý 1.2.2, Hệ quả 1.2.5, Hệ quả 1.2.6 và Hệ quả 1.2.7 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động của lớp ánh xạ T-co kiểu tựa co Ciric trong không gian mêtric đầy đủ. Trong Mục 1.3, chúng tôi thu được các kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của lớp các ánh xạ T-co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu. Cụ thể, chúng tôi thiết lập Định lý 1.3.2
  • 12. 7 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động chung của lớp các ánh xạ T-co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong không gian mêtric. Chúng tôi cũng đưa ra Ví dụ 1.1.7, Ví dụ 1.2.4 và Ví dụ 1.3.5 nhằm minh họa cho các định lý, cũng như để chỉ ra rằng các kết quả của chúng tôi là thực sự mở rộng so với các kết quả đã biết. Nếu chúng ta thực sự để ý thì sẽ thấy rằng không phải mọi tính chất, tiên đề của không gian mêtric đều được sử dụng trong các phép chứng minh sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trên không gian mêtric. Câu hỏi đặt ra là: Với những không gian nào là không gian suy rộng hay tương tự không gian mêtric thì sẽ tồn tại điểm bất động của các loại ánh xạ co? Câu trả lời khẳng định đã có, đặc biệt gần đây là lớp không gian mêtric riêng. Khái niệm không gian mêtric riêng nhận được bằng cách thay thế đẳng thức d(x, x) = 0 trong định nghĩa của mêtric bởi bất đẳng thức d(x, x) d(x, y) với mọi x, y. Rõ ràng, với không gian mêtric riêng (X, p) thì có thể xảy ra trường hợp p(x, x) > 0 với x ∈ X. Do vậy, bài toán nghiên cứu điểm bất động và các ứng dụng của chúng trên không gian mêtric riêng sẽ có nhiều ý nghĩa vì chúng ta không thể áp dụng mọi kỹ thuật chứng minh của các lớp ánh xạ co trong không gian mêtric vào các lớp ánh xạ co trong lớp không gian mêtric riêng. Với mục đích nghiên cứu không gian mêtric riêng và các định lý điểm bất động cho một số lớp ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric riêng, trong Chương 2, chúng tôi đề xuất một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các lớp ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng. Đầu tiên, trong Mục 2.1, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản và đặc trưng của không gian mêtric riêng cần dùng về sau. Tiếp theo, trong Mục 2.2, chúng tôi thiết lập Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.9, Hệ quả 2.2.10, Hệ quả 2.2.11, Hệ quả 2.2.12 và Hệ quả 2.2.13 về sự tồn tại điểm bất động đối với các ánh xạ co suy rộng trong các không gian mêtric riêng. Các kết quả của mục này là sự mở rộng thật sự các kết quả gần đây của D. Ilic, V. Pavlovic
  • 13. 8 và V. Rakocevic ([37]), ([38]) I. Altun, F. Sola và H. Simsek ([8]). Trong Mục 2.3, chúng tôi thiết lập Định lý 2.3.3, Hệ quả 2.3.7 và Hệ quả 2.3.8 về sự tồn tại điểm bất động chung của hai ánh xạ cho ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong các không gian mêtric riêng. Đây là sự mở rộng kết quả của T. Abdeljawad, E. Karapinar và K. Tas ([2]). Ngoài ra, chúng tôi xây dựng Ví dụ 2.2.14, Ví dụ 2.2.15 và Ví dụ 2.3.6 nhằm minh họa cho các kết quả và sự mở rộng. Năm 2006, theo hướng mở rộng các định lý điểm bất động trong không gian mêtric đầy đủ (X, d) và ứng dụng của chúng vào bài toán giá trị biên tuần hoàn , T. G. Bhaskar, V. Lakshmikantham ([10]) đã đưa ra khái niệm điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ F : X × X → X có tính chất đơn điệu trộn và thu được một số kết quả cho lớp ánh xạ đó trên không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận. Tiếp nối kết quả này, nhiều tác giả khác như V. Lakshmikantham và L. Ciric ([43]), N. V. Luong và N. X. Thuan ([44]), V. Berinde ([12, 13])... đã mở rộng và chứng minh nhiều kết quả đa dạng cho loại ánh xạ này. Các kết quả thu được đã được các tác giả áp dụng vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân phi tuyến. Năm 2012, khi mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian mêtric, D. Wardowski ([61]) đã đề xuất khái niệm ánh xạ F-co và chứng minh một số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu F-co. Cho (X, d) là không gian mêtric. Ánh xạ T : X × X → X được gọi là F − co nếu tồn tại F ∈ F và τ ∈ R+ thỏa mãn τ + F(d(Tx, Ty)) F(d(x, y)) với mọi x, y ∈ X. Trong đó, F là họ các hàm F : R+ → R thỏa mãn các điều kiện (F1) và (F2) (F1) F tăng ngặt và liên tục. (F2) Với mỗi dãy {an} ⊂ R+, ta có lim n→∞ an = 0 nếu và chỉ nếu
  • 14. 9 lim n→∞ F(an) = −∞. Tiếp nối các kết quả của D. Wardowski, năm 2013, M. Sgroi và C. Vetro ([59]) đã mở rộng các kết quả đó cho các ánh xạ đa trị, ánh xạ đa trị đóng F- co kiểu Hardy-Rogers trên các không gian mêtric và không gian mêtric có thứ tự bộ phận. D. Paesano và C. Vetro ([51]) đã thiết lập các định lý điểm bất động cho các ánh xạ đa trị trên các không gian mêtric riêng. Câu hỏi đặt ra ở đây là: Có thể xây dựng được ánh xạ kiểu F-co cho các định lý điểm bất động bộ đôi trong lớp không gian mêtric riêng và tìm các ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực khác nhau được không? Để trả lời câu hỏi trên, trong Chương 3, Mục 3.1, chúng tôi phát biểu và chứng minh Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.5, Định lý 3.1.7 và Hệ quả 3.1.6 về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi cho các ánh xạ kiểu F-co trên các không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận. Sau đó, ở Mục 3.2, bằng cách đưa thêm khái niệm nghiệm bộ đôi trên và dưới, áp dụng các định lý điểm bất động ở mục trên, chúng tôi chứng tỏ được sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm. Cuối cùng, trong Mục 3.3, tiếp tục áp dụng kết quả thu được ở Mục 3.1, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại điểm bất động bộ đôi kéo theo sự tồn tại điểm cân bằng không cộng tác trong trò chơi với hai người chơi. 7.2 Cấu trúc luận án Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra, luận án còn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận và Kiến nghị, Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan trực tiếp đến luận án và Tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày mở rộng các định lý điểm bất động của một số lớp ánh xạ trên không gian mêtric cho các ánh xạ kiểu T-co. Trong Mục 1.1, chúng tôi nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ T-co cho các ánh xạ co Meir-Keeler. Trong Mục 1.2, chúng tôi nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ T-co cho các ánh xạ tựa co Ciric. Trong Mục 1.3, chúng tôi
  • 15. 10 nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ T-co cho các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu. Các kết quả của chương này đã được đăng trên các tạp chí Arab Journal of Mathematical Sciences, Abstract and Applied Analysis và International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. Chương 2 nhằm trình bày một số mở rộng các kết quả về điểm bất động cho lớp các ánh xạ co suy rộng, ánh xạ kiểu hầu co suy rộng, ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong các không gian mêtric riêng. Mục 2.1 dành để trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của không gian mêtric riêng. Trong Mục 2.2, chúng tôi đưa ra các định lý điểm bất động cho các ánh xạ co suy rộng trong các không gian mêtric riêng. Trong Mục 2.3, chúng tôi đưa ra các định lý điểm bất động chung cho các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong các không gian mêtric riêng. Các kết quả của chương này đã được đăng và nhận đăng trên các tạp chí Mathematical and Computer Modelling, Journal of Nonlinear Science and Applications, Bulletin of the Iranian Mathematical Society. Chương 3 dành cho việc nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của ánh xạ trong các không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và các ứng dụng của nó. Mục 3.1 dành cho việc trình bày và chứng minh định lý điểm bất động bộ đôi của một lớp ánh xạ kiểu F-co trong không gian mêtric riêng. Trong Mục 3.2, chúng tôi đã ứng dụng kết quả tìm được để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm. Cuối cùng, trong Mục 3.3, chúng tôi áp dụng kết quả tìm được của điểm bất động bộ đôi vào bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi. Các kết quả của chương này đã được đăng trên tạp chí Journal of Inequalities and Applications. Các kết quả chính của luận án đã được viết thành 07 bài báo, trong đó có 04 bài đã công bố trong các tạp chí thuộc danh mục ISI và 01 bài báo đã được nhận đăng trên tạp chí thuộc danh mục ISI. Các kết quả trong
  • 16. 11 nội dung của luận án cũng đã được báo cáo tại: • Seminar của Tổ Giải tích thuộc Khoa Sư phạm Toán, Trường Đại học Vinh. • Các Hội nghị NCS của Trường Đại học Vinh (2011 - 2015). • Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp tại Huế 20-24/8/2012. • Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8 tại Nha Trang 10-14/8/2013.
  • 17. 12 CHƯƠNG 1 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ ÁNH XẠ T-CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC Chương này dành để trình bày khái niệm ánh xạ T-co. Đồng thời, chúng tôi phát biểu và chứng minh một số định lý điểm bất động của ánh xạ T-co cho một số ánh xạ co Meir-Keeler ([42]), tựa co Ciric ([27]) và (ψ, ϕ)-co yếu ([32]) trong lớp các không gian mêtric. 1.1. Điểm bất động của ánh xạ T-co kiểu Meir-Keeler Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm ánh xạ T-co, đồng thời phát biểu và chứng minh một số mở rộng của ánh xạ T-co cho ánh xạ co Meir-Keeler ([42]). Trước hết chúng ta đến với định nghĩa sau. 1.1.1 Định nghĩa. ([47]) Cho (X, d) là không gian mêtric và các ánh xạ T, S : X → X. Ánh xạ S được gọi là T-co nếu tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho d(TSx, TSy) kd(Tx, Ty), với mọi x, y ∈ X. (1.1) Rõ ràng, nếu ta chọn Tx = x với mọi x ∈ X thì ánh xạ T-co là ánh xạ co Banach. 1.1.2 Ví dụ. Lấy X = [1, ∞) với mêtric thông thường d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ X. Xét các ánh xạ Tx = 2 − 1 x và Sx = 6x trên X. Rõ
  • 18. 13 ràng, S không là ánh xạ co. Mặt khác, với mọi x, y ∈ X ta có d(TSx, TSy) = 2 − 1 6x − 2 + 1 6y = 1 6 1 y − 1 x = 1 6 (2 − 1 x ) − (2 − 1 y ) = 1 6 d(Tx, Ty). Điều này chứng tỏ S là ánh xạ T-co. 1.1.3 Định nghĩa. ([47]) Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ T : X → X được gọi là hội tụ dãy (sequentially convergent) nếu với bất kỳ dãy {yn} ⊂ X mà dãy {Tyn} hội tụ thì dãy {yn} hội tụ. 1.1.4 Định nghĩa. ([42]) Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ S : X → X được gọi là co Meir-Keeler nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho ε d(x, y) < ε + δ kéo theo d(Sx, Sy) < ε với mọi x, y ∈ X. Định lý sau là mở rộng kết quả của Meir-Keeler ([42]). 1.1.5 Định lý. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ. Giả sử ánh xạ T : X → X đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy và nếu ánh xạ S : X → X thỏa mãn điều kiện: với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho ε d(Tx, Ty) < ε + δ kéo theo d(TSx, TSy) < ε, (1.2) với mọi x, y ∈ X thì S có điểm bất động duy nhất z ∈ X và lim n→∞ Tnx = z với mọi x ∈ X. Chứng minh. Lấy x0 ∈ X tùy ý, ta xây dựng hai dãy lặp {xn} và {yn} như sau: xn+1 = Sxn và yn = Txn với n = 0, 1, 2, ... (1.3) Để ý rằng, nếu yn0+1 = yn0 với số tự nhiên nào đó n0 ∈ N thì Txn0+1 = Txn0 . Vì T là đơn ánh nên xn0+1 = xn0 . Điều này kéo theo Sxn0 = xn0 . Vì thế xn0 là điểm bất động của S. Do đó, ta có thể giả sử yn+1 = yn với mọi n ∈ N. (1.4)
  • 19. 14 Từ (1.4) ta có d(yn, yn+1) > 0 với mọi n ∈ N. Hơn nữa, từ giả thiết (1.2) ta suy ra Kn = {d(yn, yn+1)} = {d(Txn, Txn+1)} là dãy giảm các số thực không âm. Do đó, tồn tại ε0 0 sao cho lim n→∞ d(yn, yn+1) = ε0. Ta chứng minh ε0 = 0. Thật vậy, giả sử ngược lại ε0 > 0, khi đó tồn tại δ0 = δ(ε0) và m ∈ N sao cho ε0 < d(ym, ym+1) = d(Txm, Txm+1) < ε0 + δ0. Từ (1.2) ta có d(TSxm, TSxm+1) = d(Txm+1, Txm+2) = d(ym+1, ym+2) < ε0. Điều này mâu thuẫn với dãy {d(yn, yn+1)} là dãy giảm hội tụ đến ε0. Do đó, ta có lim n→∞ d(yn, yn+1) = lim n→∞ d(Txn, Txn+1) = 0. (1.5) Bây giờ, ta chứng minh {yn} là dãy Cauchy. Lấy ε > 0 tùy ý và chọn δ = δ(ε) thỏa mãn δ ε. Từ (1.5), ta suy ra tồn tại số nguyên dương M sao cho d(yn−1, yn) = d(Txn−1, Txn) < δ với mọi n > M. (1.6) Cố định số tự nhiên M, để chứng minh {yn} với n > M là dãy Cauchy, ta chỉ cần chứng tỏ d(yn, yn+p) = d(Txn, Txn+p) ε với p = 1, 2, · · · . (1.7) Thật vậy, vì δ ε, kết hợp với (1.6) và (1.2) nên bất đẳng thức (1.7) đúng cho trường hợp p = 1. Bây giờ, giả sử bất đẳng thức (1.7) đúng với số tự nhiên p ∈ N. Từ (1.6) và giả thiết quy nạp ta có d(Txn−1, Txn+p) = d(yn−1, yn+p) d(yn−1, yn) + d(yn, yn+p) < δ + ε. Do đó, từ (1.2) ta suy ra d(TSxn−1, TSxn+p) = d(Txn, Txn+p+1) = d(yn, yn+p+1) < ε. (1.8)
  • 20. 15 Điều này chứng tỏ bất đẳng thức (1.7) đúng với mọi p ∈ N. Do đó, {yn} là dãy Cauchy. Hơn nữa, vì X là không gian đầy đủ nên tồn tại w ∈ X sao cho lim n→∞ yn = lim n→∞ Txn = lim n→∞ TSn x0 = w. (1.9) Vì T là hội tụ dãy nên {xn} = {Snx0} hội tụ tới z ∈ X. Lại do T liên tục nên ta có Tz = w. Mặt khác, nhờ điều kiện (1.2) kết hợp với giả thiết T liên tục nên ta suy ra TS liên tục. Do đó, ta có w = lim n→∞ yn+1 = lim n→∞ TSxn = TSz. Điều này kéo theo TSz = Tz. Hơn nữa, vì T là đơn ánh nên ta có Sz = z. Cuối cùng, ta sẽ chứng minh z là điểm bất động duy nhất của S. Giả sử ngược lại, tồn tại w ∈ X sao cho w = z và Sw = w. Khi đó, ta có d(z, w) > 0. Vì T đơn ánh nên d(Tz, Tw) > 0. Với ε = d(Tz, Tw) > 0 này, theo giả thiết tồn tại δ = δ(ε) sao cho ε d(Tz, Tw) < ε + δ. Từ (1.2) ta suy ra d(TSz, TSw) = d(Tz, Tw) < ε. Ta gặp mâu thuẫn. Vậy, định lý được chứng minh. Nếu ta cho Tx = x với mọi x ∈ X trong Định lý 1.1.5 thì ta nhận được định lý sau. 1.1.6 Định lý. ([42]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và ánh xạ S : X → X. Nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho ε d(x, y) < ε+δ kéo theo d(Sx, Sy) < ε với mọi x, y ∈ X thì S có điểm bất động duy nhất. Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày một ví dụ để chứng tỏ Định lý 1.1.5 là mở rộng thực sự của Định lý 1.1.6. 1.1.7 Ví dụ. Lấy X = [1, 8] với mêtric thông thường trên R: d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ X. Khi đó, (X, d) là không gian mêtric đầy đủ. Xét ánh xạ Sx = 8 √ x với x ∈ X. Dễ thấy, x = 4 là điểm bất động duy
  • 21. 16 nhất của S. Đầu tiên, ta chứng minh S không thỏa mãn điều kiện co Meir-Keeler. Thật vậy, theo điều kiện co Meir-Keeler với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 để với mọi x, y ∈ X sao cho ε d(x, y) = |x − y| < ε + δ ta có d(Sx, Sy) = 8 √ x − 8 √ y = 8 |x − y| √ xy( √ x + √ y) < ε Tuy nhiên, tồn tại ε0 = 3 để với mọi δ > 0 ta có d(Sx, Sy) 8 nếu √ xy( √ x + √ y) 8 (chẳng hạn x = 1, y = 4). Do đó, điều kiện co Meir-Keeler không thỏa mãn với mọi δ > 0. Bây giờ, ta sẽ chứng minh S thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 1.1.5. Thật vậy, xét ánh xạ T : [1, +∞) → [1, +∞) xác định bởi Tx = ln x + 1, ∀x ∈ X. Rõ ràng, T đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy. Với mỗi ε > 0, nếu ta chọn δ = ε 3 thì với mọi x, y ∈ X mà ε d(Tx, Ty) = | ln x − ln y| < ε + δ = 4 3 ε ta có d(TSx, TSy) = ln 8 √ x − ln 8 √ y = 1 2 | ln x − ln y| < 2 3 ε < ε. Điều này chứng tỏ S thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 1.1.5. Tiếp theo, chúng tôi trình bày một mở rộng khác của Định lý 1.1.6. 1.1.8 Định lý. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và F : X → X là ánh xạ liên tục. Giả sử ánh xạ T : X → X là đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy và với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có ε MT (x, y) < ε + δ kéo theo d(TFx, TFy) < ε, (1.10)
  • 22. 17 trong đó MT (x, y) = max d(Tx, Ty), d(Tx, TFx), d(Ty, TFy), 1 2 [d(Tx, TFy) + d(Ty, TFx)] . Khi đó, F có điểm bất động duy nhất x ∈ X. Chứng minh. Lấy x0 ∈ X tùy ý, ta xây dựng hai dãy lặp {xn} và {yn} như sau: xn+1 = Fxn và yn = Txn với n = 0, 1, 2, ... (1.11) Để ý rằng, nếu yn0+1 = yn0 với số tự nhiên nào đó n0 ∈ N thì Txn0+1 = Txn0 . Vì T là đơn ánh nên xn0+1 = xn0 , điều này kéo theo Fxn0 = xn0 . Do đó, xn0 là điểm bất động của F. Vì vậy, ta có thể giả sử yn+1 = yn với mọi n ∈ N. (1.12) Do đó, δn := d(yn+1, yn) > 0 với mọi n ∈ N. Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng {yn} là dãy Cauchy. Thật vậy, nếu tồn tại số tự nhiên n ∈ N sao cho δn−1 < δn thì ta có MT (xn−1, xn) = max{d(Txn−1, Txn), d(Txn−1, TFxn−1), d(Txn, TFxn), 1 2 [d(Txn−1, TFxn) + d(Txn, TFxn−1)]} = max{d(yn, yn+1), d(yn−1, yn), d(yn, yn+1), 1 2 d(yn−1, yn+1)} max{d(yn, yn+1), d(yn−1, yn), 1 2 d(yn−1, yn) + d(yn, yn+1)} < d(yn, yn+1) + d(yn−1, yn) = δn + δn−1 (1.13) và MT (xn−1, xn) d(yn−1, yn) = δn−1. Từ (1.10), ta có d(TFxn−1, TFxn) < δn−1, suy ra δn < δn−1. Ta gặp mâu thuẫn. Do đó, δn δn−1 với mọi số tự nhiên n ∈ N. Điều này chứng tỏ {δn} là dãy giảm các số thực dương. Do đó, tồn tại số thực r 0 sao cho lim n→∞ δn = inf n δn = r. Ta chứng minh
  • 23. 18 r = 0. Thật vậy, nếu r > 0 thì tồn tại δ > 0 sao cho r MT (x, y) < r + δ kéo theo d(TFx, TFy) < r. Vì lim n→∞ δn = inf n δn = r nên tồn tại số tự nhiên N sao cho r δn < r + δ với mọi n N. Vì d(yn, yn+1) d(yn−1, yn) và bất đẳng thức (1.13) nên ta có MT (xn−1, xn) = d(yn−1, yn) = δn−1. Do đó, nếu n N + 1 thì r MT (xn−1, n) < r + δ, điều này kéo theo d(TFxn−1, TFxn) = d(yn, yn+1) < r. Ta gặp mâu thuẫn. Do vậy, lim n→∞ δn = inf n δn = 0. Tiếp theo, ta chứng minh {yn} là dãy Cauchy. Giả sử ngược lại, {yn} không là dãy Cauchy, khi đó tồn tại ε > 0 và dãy con {yn(k)} của {yn} sao cho d(yn(k), yn(k+1)) > 2ε. Với ε này, theo giả thiết tồn tại δ > 0 sao cho ε MT (x, y) < ε + δ kéo theo d(TFx, TFy) < ε. Đặt δ0 = min{ε, δ}. Vì lim n→∞ δn = inf n δn = 0 nên tồn tại N ∈ N sao cho δm < δ0 4 với m N. Với n(k) N, nếu d(yn(k), yn(k+1)−1) ε + δ0 2 thì d(yn(k), yn(k+1)) d(yn(k), yn(k+1)−1) + d(yn(k+1)−1, yn(k+1)) ε + δ0 2 + δ0 4 < 2ε. Ta gặp mâu thuẫn với d(yn(k), yn(k+1)) > 2ε. Do đó, tồn tại số tự nhiên l mà n(k) l n(k + 1) sao cho d(yn(k), yl) > ε + δ0 2 .
  • 24. 19 Gọi l là số tự nhiên bé nhất sao cho l n(k) thỏa mãn d(yn(k), yl) ε + δ0 2 . Khi đó, ta nhận được d(yn(k), yl−1) < ε + δ0 2 . Mặt khác d(yn(k), yl) d(yn(k), yl−1) + d(yl−1, yl) < ε + δ0 2 + δ0 4 = ε + 3δ0 4 . Do đó, tồn tại số tự nhiên l mà n(k) l n(k + 1) thỏa mãn ε + δ0 2 d(yn(k), yl) < ε + 3δ0 4 . Bởi vì d(yn(k), yl) < ε + 3δ0 4 < ε + δ0 d(yn(k), yn(k)+1) = δn(k) < δ0 4 < ε + δ0 d(yl, yl+1) δl < δ0 4 < ε + δ0 và 1 2 [d(yn(k), yl+1) + d(yn(k)+1, yl)] 1 2 [d(yn(k), yl) + d(yl, yl+1) + d(yn(k)+1, yn(k)) + d(yn(k), yl)] = d(yn(k), yl) + 1 2 [+d(yl, yl+1) + d(yn(k)+1, yn(k))] < ε + 3δ0 4 + δ0 4 = ε + δ0 nên ta có MT (xn(k), xl) < ε + δ0 ε + δ. Điều này kéo theo d(yn(k)+1, yl+1) = d(TFxn(k), TFxl) < ε.
  • 25. 20 Mặt khác d(yn(k)+1, yl+1) d(yn(k), yl) − d(yn(k), yn(k)+1) − d(yl, yl+1) > ε + δ0 2 − δ0 4 − δ0 4 = ε. Ta gặp mâu thuẫn. Vậy, {yn} là dãy Cauchy. Vì (X, d) là không gian mêtric đầy đủ nên tồn tại y ∈ X sao cho lim n→∞ yn = lim n→∞ Txn = y. Hơn nữa vì T hội tụ dãy nên ta suy ra tồn tại x ∈ X sao cho {xn} hội tụ tới x. Từ tính liên tục của F ta có x = lim n→∞ xn+1 = lim n→∞ Fxn = Fx. Cuối cùng, ta sẽ chứng minh tính duy nhất của điểm bất động. Nếu tồn tại y ∈ X mà y = Fy và y = x thì MT (x, y) = d(Tx, Ty) > 0. Từ điều kiện (1.10) ta có ε d(Tx, Ty) < ε + δ kéo theo d(Tx, Ty) < ε. Ta gặp mâu thuẫn. Vậy, định lý được chứng minh. 1.2. Điểm bất động của ánh xạ T-co kiểu tựa co Ciric Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm ánh xạ tựa co Ciric, đồng thời phát biểu và chứng minh một số mở rộng của ánh xạ T-co cho ánh xạ tựa co Ciric ([27]). 1.2.1 Định nghĩa. ([27]) Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ S : X → X được gọi là tựa co nếu tồn tại 0 q < 1 sao cho d(Sx, Sy) q max d(x, y), d(x, Sx), d(y, Sy), d(x, Sy), d(y, Sx) , (1.14) với mọi x, y ∈ X.
  • 26. 21 Cho ánh xạ T : X → X, với tập con Y ⊂ X và với mỗi x ∈ X đặt: 1. δ(Y ) = sup{d(x, y) : x, y ∈ Y }. 2. O(x, n) = {x, Tx, T2x, · · · , Tnx} với n ∈ N. 3. O(x, ∞) = {x, Tx, T2x, · · · }. Định lý sau là một mở rộng định lý ánh xạ tựa co Ciric. 1.2.2 Định lý. Cho (X, d) là không gian mêtric, T : X → X là ánh xạ đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy và ánh xạ S : X → X. Giả sử tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho d(TSx, TSy) q max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy), d(Ty, TSx)} (1.15) với mọi x, y ∈ X và mọi dãy Cauchy có dạng {TSnx} đều hội tụ trong X. Khi đó, ta có (i) d(TSi, TSj) qδ O(Tx, n) , với mọi i, j ∈ {1, 2, ..., n}, mọi x ∈ X và n ∈ N, (ii) δ O(Tx, ∞) 1 1−qd(Tx, TSx), với mọi x ∈ X, (iii) S có điểm bất động duy nhất b ∈ X, (iv) lim n→∞ TSnx = Tb với mọi x ∈ X. Chứng minh. Với x ∈ X tùy ý, số tự nhiên n 1 và i, j ∈ {1, 2, ..., n}, ta có TSi−1 x, TSi x, TSj−1 x, TSj x ∈ O(Tx, n). Ta quy ước S0x = x với mọi x ∈ X. Từ (1.15) ta có d(TSi x, TSj x) = d TS(Si−1 x), TS(Sj−1 x) q max d(TSi−1 x, TSj−1 x); d(TSi−1 x, TSi x), d(TSj−1 x, TSj x), d(TSi−1 x, TSj x), d(TSi x, TSj−1 x) qδ O(Tx, n) .
  • 27. 22 Do đó, khẳng định (i) được chứng minh. Bây giờ ta chứng minh khẳng định (ii). Ta có δ O(Tx, 1) δ O(Tx, 2) · · · δ O(Tx, n) δ O(Tx, n+1) · · · , điều này kéo theo δ O(Tx, ∞) = sup δ O(Tx, n) : n ∈ N . Vì vậy, ta chỉ cần chứng tỏ rằng δ O(Tx, n) 1 1 − q d(Tx, TSx) với mọi n ∈ N. Thật vậy, vì O(Tx, n) = {Tx, TSx, ..., TSnx} là tập hữu hạn với mỗi số tự nhiên n và d(TSi x, TSj y) qδ O(Tx, n) , ∀i, j ∈ {1, 2, ..., n} với 0 q < 1, ta suy ra tồn tại k ∈ {1, 2, ..., n} sao cho d(Tx, TSk x) = δ O(Tx, n) . Sử dụng bất đẳng thức tam giác và khẳng định (i) ta nhận được d(Tx, TSk x) d(Tx, TSx) + d(TSx, TSk x) d(Tx, TSx) + qδ O(Tx, n) = d(Tx, TSx) + qd(Tx, TSk x). Do đó, δ O(Tx, n) = d(Tx, TSkx) 1 1 − q d(Tx, TSx). Vậy, khẳng định (ii) được chứng minh. Để chứng minh khẳng định (iii) ta lấy x0 ∈ X tùy ý và xây dựng các dãy lặp {xn} và {yn} như sau: xn+1 = Sxn và yn = Txn = TSn x0 n = 0, 1, 2, ... Ta chứng minh rằng {yn} là dãy Cauchy. Thật vậy, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử n < m, trong đó n, m ∈ N. Từ (i) ta nhận được d(yn, ym) = d(TSn x0, TSm x0) = d(TSSn−1 x0, TSm−n+1 Sn−1 x0) qδ O(TSn−1 x0, m − n + 1) .
  • 28. 23 Từ giả thiết n < m ta suy ra tồn tại l ∈ {1, m − n + 1} sao cho δ O(TSn−1 x0, m − n + 1) = d(TSn−1 x0, TSl Sn−1 x0), và d(TSn−1 x0, TSl Sn−1 x0) = d(TSSn−2 x0, TSl+1 Sn−2 x0) qδ O(TSn−2 x0, l + 1) . Do đó, ta có d(yn, ym) = d(TSn x0, TSm x0) qδ O(TSn−1 x0, m − n + 1) q2 δ O(TSn−2 x0, m − n + 2) . Lập luận tương tự ta nhận được d(yn, ym) = d(TSn x0, TSm x0) ... qn δ O(TSx0, m) . Vì δ O(TSx0, m) δ O(TSx0, ∞) 1 1 − q d(Tx0, TSx0) nên ta có d(yn, ym) = d(TSn x0, TSm x0) qn 1 − q d(Tx0, TSx0). Điều này chứng tỏ {yn} = {TSnx0} là dãy Cauchy. Theo giả thiết, mỗi dãy Cauchy có dạng {TSnx0} hội tụ trong X ta suy ra lim n→∞ TSn x0 = a ∈ X. Vì T là hội tụ dãy nên ta có lim n→∞ Snx0 = b ∈ X. Hơn nữa, vì T liên tục nên ta nhận được lim n→∞ TSn x0 = Tb. (1.16) Do vậy, ta có Tb = a. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh Sb = b. Thật vậy, ta
  • 29. 24 có d(TSb, Tb) d(Tb, TSn+1 x0) + d(TSn+1 x0, TSb) d(Tb, TSn+1 x0) + q max d(Tb, TSn x0), d(Tb, TSb), d(TSn x0, TSn+1 x0), d(Tb, TSn+1 x0), d(TSn x0, TSb) d(Tb, TSn+1 x0) + q max d(Tb, TSn x0), d(Tb, TSb), d(TSn x0, TSn+1 x0), d(Tb, TSn+1 x0), d(TSn x0, Tb) + d(Tb, TSb) d(Tb, TSn+1 x0) + q d(Tb, TSn+1 x0) + d(TSn x0, TSn+1 x0) + d(TSn x0, Tb) + d(Tb, TSb) . Từ các bất đẳng thức trên ta suy ra d(Tb, TSb) 1 1 − q (1 + q)d(Tb, TSn+1 x0) + qd(Tb, TSn x0) + qd(TSn x0, TSn+1 x0) . Cho n → ∞ và kết hợp với đẳng thức lim n→∞ TSnx0 = Tb, ta nhận được d(TSb, Tb) = 0, có nghĩa là TSb = Tb. Hơn nữa, vì T là đơn ánh nên Sb = b. Cuối cùng, ta chứng tỏ b là điểm bất động duy nhất của S. Thật vậy, giả sử b và b là các điểm bất động của S. Khi đó, ta có Sb = b và Sb = b . Từ (1.15) ta suy ra d(Tb, Tb ) = d(TSb, TSb ) q max{d(Tb, TSb), d(Tb , TSb ), d(Tb, TSb ), d(Tb , TSb), d(Tb, Tb )} = qd(Tb, Tb ). Hơn nữa, vì 0 q < 1 nên ta có d(Tb, Tb ) = 0. Vậy, Tb = Tb . Mặt khác, vì T đơn ánh nên b = b . Vậy, khẳng định (iii) được chứng minh. Khẳng định (iv) được suy trực tiếp từ (1.16). Định lý được chứng minh.
  • 30. 25 Nếu ta cho Tx = x với mọi x ∈ X trong Định lý 1.2.2 thì ta nhận được định lý ánh xạ tựa co Ciric ([27]). 1.2.3 Hệ quả. ([27]) Cho (X, d) là không gian mêtric và ánh xạ S : X → X. Nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho d(Sx, Sy) q max d(x, y), d(x, Sx), d(y, Sy), d(x, Sy), d(y, Sx) , (1.17) với mọi x, y ∈ X và mọi dãy Cauchy có dạng {Snx} hội tụ trong X thì S có duy nhất điểm bất động. Ví dụ sau chứng tỏ rằng Định lý 1.2.2 là mở rộng thực sự của Định lý ánh xạ tựa co Ciric 1.2.3. 1.2.4 Ví dụ. Lấy X = R+ với mêtric thông thường: d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ X. Rõ ràng (X, d) là không gian mêtric đầy đủ. Xét ánh xạ Sx = x2 x + 1 với mọi x ∈ X. Ta có d(Sx, S2x) = 4x2 2x + 1 − x2 x + 1 = x2(2x + 3) (2x + 1)(x + 1) ; d(x, Sx) = x − x2 x + 1 = x x + 1 ; d(2x, S2x) = 2x − 4x2 2x + 1 = 2x 2x + 1 ; d(x, S2x) = 4x2 2x + 1 − x = 2x2 − x 2x + 1 ; d(2x, Sx) = 2x − x2 x + 1 = x2 + 2x x + 1 ; d(x, 2x) = x. Do đó, với x đủ lớn ta có max d(x, 2x), d(x, Sx), d(2x, S2x), d(x, S2x), d(2x, Sx) = x2 + 2x x + 1 . Cho x = x và y = 2x trong bất đẳng thức (1.17) ta nhận được d(Sx, S2x) q max d(x, 2x), d(x, Sx), d(2x, S2x), d(x, S2x), d(2x, Sx) .
  • 31. 26 Từ các phép tính toán ở trên ta suy ra x(2x + 3) (2x + 1)(x + 2) q. Cho x → ∞ ta nhận được q 1, điều này mâu thuẫn với giả thiết q ∈ [0, 1). Do đó, ánh xạ S không thỏa mãn điều kiện (1.17). Tuy nhiên, dễ thấy 0 là điểm bất động duy nhất của S. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng S thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 1.2.2 với Tx = ex − 1 và q = 1 2 . Thật vậy, dễ kiểm tra được T đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy trên R+. Hơn nữa, ta có d(TSx, TSy) = e x2 x+1 − e y2 y+1 và d(Tx, Ty) = |ex − ey |. Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng ánh xạ S thỏa mãn điều kiện co (1.15) với ánh xạ T được xác định ở trên. Muốn vậy, ta chứng minh S thỏa mãn d(TSx, TSy) 1 2 d(Tx, Ty) với mọi x, y ∈ X. (1.18) Thật vậy, lấy bất kỳ x, y ∈ X mà x = y thì bất đẳng thức trên thỏa mãn. Vì vậy, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x > y. Khi đó, bất đẳng thức (1.18) trở thành |e x2 x+1 − e y2 y+1 | 1 2 |ex − ey |, với mọi x > y. (1.19) Bởi vì φ(t) = e t2 t+1 và ψ(t) = et là các hàm tăng trên R+ nên từ bất đẳng thức (1.19) ta suy ra e x2 x+1 − ex 2 e y2 y+1 − ey 2 , với mọi x > y. (1.20) Xét hàm ϕ(t) = e t2 t+1 − et 2 với t ∈ R+. Dễ kiểm tra được ϕ là hàm giảm
  • 32. 27 trên R+. Do vậy, bất đẳng thức (1.18) thỏa mãn và ta có d(TSx, TSy) 1 2 d(Tx, Ty) 1 2 max d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy), d(Ty, TSx) vói mọi x, y ∈ X. Điều này chứng tỏ ánh xạ S thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.2.2. Từ Định lý 1.2.2 ta nhận được hệ quả sau. 1.2.5 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian mêtric, T : X → X là ánh xạ đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy và ánh xạ S : X → X. Giả sử tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho d(TSx, TSy) q max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy) + d(Ty, TSx) 2 } (1.21) với mọi x, y ∈ X và mọi dãy Cauchy dạng {TSnx} hội tụ trong X. Khi đó a) S có điểm bất động duy nhất b ∈ X. b) lim n→∞ TSnx = Tb với x ∈ X. Chứng minh. Ta có q max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy) + d(Ty, TSx) 2 } q max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy), d(Ty, TSx)} Do đó, từ các bất đẳng thức (1.15) và (1.21), hệ quả được chứng minh. Từ Định lý 1.2.2 ta thu được hệ quả sau.
  • 33. 28 1.2.6 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian mêtric, T : X → X là ánh xạ đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy và ánh xạ S : X → X. Giả sử tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho d(TSk x, TSk y) q max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSk x), d(Ty, TSk y), d(Tx, TSk y), d(Ty, TSk x)} (1.22) với mọi x, y ∈ X, mọi số tự nhiên k và mọi dãy Cauchy dạng {TSnx} hội tụ trong X. Khi đó S có điểm bất động duy nhất b ∈ X. Chứng minh. Thay S bởi ánh xạ Sk trong Định lý 1.2.2 ta suy ra Sk có điểm bất động duy nhất b ∈ X. Do đó ta có Skb = b và Sk(Sb) = Sk+1b = S(Skb) = Sb. Điều này chứng tỏ Sb là điểm bất động của Sk. Vì Sk có điểm bất động duy nhất nên ta có Sb = b, điều đó chứng tỏ b là điểm bất động của S. Cuối cùng, nếu a là điểm bất động khác của S thì Ska = Sk−1a = ... = Sa = a. Do đó, a là điểm bất động của Sk, chứng tỏ a = b. Vậy, hệ quả được chứng minh. Từ Định lý 1.2.2 ta cũng thu được hệ quả sau. 1.2.7 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian mêtric, T : X → X là ánh xạ đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy và ánh xạ S : X → X. Nếu tồn tại các ai 0, i = 1, 2, ..., 5 sao cho 5 i=1 ai < 1 thỏa mãn d(TSx, TSy) a1d(Tx, Ty) + a2d(Tx, TSx) + a3d(Ty, TSy) + a4d(Tx, TSy) + a5d(Ty, TSx) (1.23) với mọi x, y ∈ X và mọi dãy Cauchy dạng {TSnx} hội tụ trong X thì (a) S có điểm bất động duy nhất b ∈ X. (b) lim n→∞ TSnx = Tb.
  • 34. 29 Chứng minh. Ta có d(TSx, TSy) a1d(Tx, Ty) + a2d(Tx, TSx) + a3d(Ty, TSy) + a4d(Tx, TSy) + a5d(Ty, TSx) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5) max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy), d(Ty, TSx)} = q max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy), d(Ty, TSx)}, trong đó q = 5 i=1 ai < 1. Vậy, từ điều kiện (1.23) và điều kiện (1.15) ta suy ra hệ quả được chứng minh. 1.3. Điểm bất động chung của các ánh xạ T-co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu Trong mục này, chúng tôi phát biểu và chứng minh kết quả về điểm bất động chung của các ánh xạ T-co cho ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu. Ký hiệu Ψ:={ψ : R+ → R+} là họ các hàm thỏa mãn các điều kiện (i) ψ liên tục, không giảm; (ii) ψ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0 và Φ :={ϕ : R+ → R+} là họ các hàm thỏa mãn các điều kiện (iii) ϕ nửa liên tục dưới; (iv) ϕ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0. Dễ thấy, với mọi t ∈ R+ thì ψ1(t) = t, ψ2(t) = t t + 1 , và ψ3(t) = t2 ∈ Ψ còn ϕ1(t) = min{t, 1}, ϕ2(t) = ln(1 + t) ∈ Φ. Năm 2009, theo hướng mở rộng các kết quả về điểm bất động cho các ánh xạ kiểu co yếu, D. Doric ([32]) đã đề xuất và chứng minh kết quả về điểm bất động chung của hai ánh xạ. 1.3.1 Định lý. ([32]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và các
  • 35. 30 ánh xạ f, g : X → X. Nếu tồn tại các hàm ψ ∈ Ψ và ϕ ∈ Φ sao cho ψ d(fx, gy) ψ M(x, y) − ϕ M(x, y) , (1.24) với mọi x, y ∈ X, trong đó M(x, y) = max d(x, y), d(x, fx), d(y, gy), d(x, gy) + d(y, fx) 2 , thì f và g có điểm bất động chung duy nhất. Mở rộng Định lý 1.3.1 cho ánh xạ T-co, chúng tôi thu được kết quả sau. 1.3.2 Định lý. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X là đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy. Cho các ánh xạ f, g : X → X. Nếu tồn tại các hàm ψ ∈ Ψ và ϕ ∈ Φ sao cho ψ d(Tfx, Tgy) ψ M(Tx, Ty) − ϕ M(Tx, Ty)) , (1.25) với mọi x, y ∈ X, trong đó M(Tx, Ty) = max d(Tx, Ty), d(Tx, Tfx), d(Ty, Tgy), d(Tx, Tgy) + d(Ty, Tfx) 2 thì f và g có điểm bất động chung duy nhất. Chứng minh. Vì T đơn ánh nên M(Tx, Ty) = 0 nếu và chỉ nếu x = y. Do đó, nếu f và g có điểm bất động chung thì điểm bất động chung là duy nhất. Lấy x0 ∈ X tùy ý, ta xây dựng hai dãy lặp {xn} và {yn} như sau: x2n+2 = fx2n+1, x2n+1 = gx2n và yn = Txn, với mọi n = 0, 1, 2, ... Ta chứng minh {yn} là dãy Cauchy. Muốn vậy, đầu tiên, ta chứng minh
  • 36. 31 lim n→∞ d(yn+1, yn) = 0. Thật vậy, nếu n lẻ thì từ giả thiết của hàm ϕ ta có ψ(d(yn+1, yn)) = ψ d(Txn+1, Txn) = ψ d(Tfxn, Tgxn−1) ψ M(Txn, Txn−1) − ϕ M(Txn, Txn−1) ψ M(Txn, Txn−1) = ψ max d(Txn, Txn−1), d(Tfxn, Txn), d(Tgxn−1, Txn−1), d(Tgxn, Txn−1) + d(Tfxn−1, Txn) 2 = ψ max d(yn, yn−1), d(yn+1, yn), d(yn, yn−1), d(yn−1, yn+1) 2 ψ max d(yn, yn−1), d(yn+1, yn), d(yn−1, yn) + d(yn, yn+1) 2 . (1.26) Nếu d(yn, yn+1) > d(yn−1, yn) 0 thì M(Txn, Txn−1) = d(yn, yn+1). Do đó, ta có ψ d(yn, yn+1) ψ d(yn, yn+1) − ϕ d(yn, yn+1) . Theo giả thiết ϕ(t) > 0 với mọi t > 0 nên ta gặp mâu thuẫn với giả sử d(yn, yn+1) > 0. Do đó, từ (1.26) ta có d(yn+1, yn) M(Txn, Txn−1) d(yn, yn−1). Lập luận tương tự cho trường hợp n chẵn ta cũng nhận được d(yn+1, yn) M(Txn, Txn−1) d(yn, yn−1). Vì vậy, ta có d(yn+1, yn) M(Txn, Txn−1) d(yn, yn−1) (1.27) với mọi n và {d(yn, yn+1)} là dãy không tăng các số thực không âm. Do đó, tồn tại số thực r 0 sao cho lim n→∞ d(yn, yn+1) = lim n→∞ M(Txn−1, Txn) = r.
  • 37. 32 Vì hàm ϕ nửa liên tục dưới nên ta có ϕ(r) lim n→∞ inf ϕ(M(Txn, Txn−1)). Cho n → ∞ trong bất đẳng thức sau ψ(d(yn, yn+1)) ψ(M(Txn, Txn−1)) − ϕ M(Txn, Txn−1) , ta nhận được ψ(r) ψ(r) − lim n→∞ inf ϕ(M(Txn, Txn−1)) ψ(r) − ϕ(r), điều này kéo theo ϕ(r) 0. Theo giả thiết của hàm ϕ ta suy ra ϕ(r) = 0. Vậy, r = 0 và lim n→∞ d(yn, yn+1) = 0. (1.28) Từ bất đẳng thức (1.27) ta có lim n→∞ M(Txn, Txn−1) = 0. Vì lim n→∞ d(yn, yn+1) = 0 nên để chứng minh {yn} là dãy Cauchy ta chỉ cần chứng minh {y2n} là dãy Cauchy. Giả sử ngược lại, {y2n} không là dãy Cauchy. Khi đó, tồn tại ε > 0 sao cho ta có thể tìm được hai dãy con {y2n(k)} và {y2m(k)} của {y2n} sao cho với n(k) là số tự nhiên bé nhất thỏa mãn n(k) > m(k) > k, d(y2m(k), y2n(k)) > ε. Do đó d(y2m(k), y2m(k)−2) < ε. (1.29) Từ (1.29) ta có ε d(y2m(k), y2n(k)) d(y2m(k), y2n(k)−2) + d(y2n(k)−2, y2n(k)−1) + d(y2n(k)−1, y2n(k)) < ε + d(y2n(k)−2, y2n(k)−1) + d(y2n(k)−1, y2n(k)).
  • 38. 33 Cho k → ∞ và sử dụng bất đẳng thức (1.28) ta nhận được lim k→∞ d(y2m(k), y2n(k)) = ε. (1.30) Mặt khác, ta có |d(y2m(k), y2n(k)+1) − d(y2m(k), y2n(k))| d(y2n(k), y2n(k)+1); |d(y2m(k)−1, y2n(k)) − d(y2m(k), y2n(k))| d(y2m(k)−1, y2m(k)). Từ các bất đẳng thức (1.28) và (1.30) ta nhận được lim k→∞ d(y2m(k)−1, y2n(k)) = lim k→∞ d(y2m(k), y2n(k)+1) = ε. (1.31) Hơn nữa, ta có |d(y2m(k)−1, y2n(k)+1) − d(y2m(k)−1, y2n(k))| d(y2n(k), y2n(k)+1). Kết hợp với các bất đẳng thức (1.28) và (1.31) ta thu được lim k→∞ d(y2m(k)−1, y2n(k)+1) = ε. (1.32) Từ cách xác định M(Tx, Ty) và từ các đẳng thức (1.28), (1.30), (1.31) và (1.32) ta suy ra lim k→∞ M(Tx2m(k)−1, Tx2n(k)) = ε. Từ điều kiện co (1.25) ta có ψ(d(y2m(k), y2n(k)+1)) = ψ(d(Tx2m(k)), Tx2n(k)+1)) = ψ(d(Tfx2m(k)−1), Tgx2n(k))) ψ M(Tx2m(k)−1, Tx2n(k)) − ϕ M(Tx2m(k)−1, Tx2n(k)) . Cho k → ∞ và sử dụng các bất đẳng thức (1.31) và (1.32) ta nhận được ψ(ε) ψ(ε) − ϕ(ε). Điều này mâu thuẫn với giả thiết ϕ(t) > 0 với mọi t > 0. Vậy, {yn} là dãy Cauchy. Vì X là không gian mêtric đầy đủ nên tồn tại u ∈ X sao cho
  • 39. 34 lim n→∞ yn = lim n→∞ Txn = u. Vì T hội tụ dãy nên ta suy ra dãy {xn} hội tụ tới v ∈ X. Lại vì T liên tục nên ta có u = lim n→∞ yn = lim n→∞ Txn = Tv. Bây giờ, ta chứng minh v = fv = gv. Thật vậy, giả sử v = fv, vì T đơn ánh nên ta có u = Tv = Tfv. Do đó d(Tv, Tfv) > 0. Hơn nữa, vì lim n→∞ y2n+1 = lim n→∞ y2n = u và lim n→∞ d(y2n, y2n+1) = 0 nên ta tìm được số tự nhiên N0 ∈ N sao cho với mỗi số tự nhiên n N0 ta có d(y2n+1, u) < d(Tv, Tfv) 4 , d(y2n, u) < d(Tv, Tfv) 4 , và d(y2n, y2n+1) < d(Tv, Tfv) 4 . Do đó, ta có d(Tv, Tfv) M(Tv, Tx2n) = max d(Tv, Tx2n), d(Tv, Tfv), d(Tx2n, Tgx2n), d(Tv, Tgx2n) + d(Tx2n, Tfv) 2 = max d(u, y2n), d(Tv, Tfv), d(y2n, y2n+1), d(u, y2n+1) + d(y2n, Tfv) 2 max d(u, y2n), d(Tv, Tfv), d(y2n, y2n+1), d(u, y2n+1) + d(y2n, Tv) + d(Tv, Tfv) 2 max d(Tv, Tfv) 4 , d(Tv, Tfv), d(Tv, Tfv) 4 , d(Tv, Tfv) 4 + d(Tv, Tfv) 4 + d(Tv, Tfv) 2 max{d(Tv, Tfv), 3 4 d(Tv, Tfv)} = d(Tv, Tfv).
  • 40. 35 Vì vậy, M(Tv, Tx2n) = d(Tv, Tfv) với mọi số tự nhiên n N0. Từ ψ d(Tfv, y2n+1) = ψ d(Tfv, Tx2n+1) = ψ d(Tfv, Tgx2n) ψ M(Tv, Tx2n) − ϕ M(Tv, Tx2n) = ψ d(Tv, Tfv) − ϕ d(Tv, Tfv) , cho n → ∞ ta nhận được ψ d(Tfv, Tv) ψ d(Tv, Tfv) − ϕ d(Tv, Tfv) . Theo giả thiết của hàm ϕ, ta gặp mâu thuẫn. Do đó, v = fv. Lập luận tương tự ta cũng có v = gv. Để chứng minh tính duy nhất của điểm bất động chung ta giả sử tồn tại w ∈ X sao cho w = fw = gw. Khi đó, ta có M(Tv, Tw) = max d(Tv, Tw), d(Tv, Tfv), d(Tw, Tgw), d(Tv, Tgw) + d(Tfv, Tw) 2 = max d(Tv, Tw), d(Tv, Tw) + d(Tv, Tw) 2 = d(Tw, Tv). Do đó ψ d(Tv, Tw) = ψ d(Tfv, Tgw) ψ M(Tv, Tw) − ϕ M(Tv, Tw) = ψ d(Tv, Tw) − ϕ d(Tv, Tw) . Điều này kéo theo d(Tv, Tw) = 0. Vậy, Tv = Tw. Vì T đơn ánh nên ta suy ra w = v. Định lý được chứng minh. 1.3.3 Nhận xét. 1) Trong Định lý 1.3.2, nếu ta chọn Tx = x với mọi x ∈ X thì ta nhận được Định lý 1.3.1. 2) Trong Định lý 1.3.2, nếu ta chọn ψ(t) = t với mọi t ∈ R+ thì ta nhận được dạng T-co suy rộng cho kết quả sau đây.
  • 41. 36 1.3.4 Định lý. ([63]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và các ánh xạ f, g : X → X. Nếu tồn tại hàm ϕ ∈ Φ sao cho d(fx, gy) M(x, y) − ϕ M(x, y) , với mọi x, y ∈ X, trong đó M(x, y) = max d(x, y), d(x, fx), d(y, gy), d(x, fy) + d(y, gx) 2 thì f và g có điểm bất động chung duy nhất. Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 1.3.2 là mở rộng thực sự của Định lý 1.3.1. 1.3.5 Ví dụ. Lấy X = [1, +∞) và d là mêtric thông thường: d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ X. Xét các ánh xạ f(x) = g(x) = 4 √ x với mọi x ∈ X. Dễ thấy 16 là điểm bất động chung duy nhất của f và g. Ta chứng minh rằng f và g không thỏa mãn điều kiện co (1.24) trong Định lý 1.3.1. Thật vậy, giả sử tồn tại các hàm ψ ∈ Ψ và ϕ ∈ Φ sao cho bất đẳng thức (1.24) thỏa mãn. Khi đó, ta có ψ(d(fx, gy)) ψ(M(x, y)) − ϕ(M(x, y)), với mọi x, y ∈ X. (1.33) hay ψ(4| √ x − √ y|) ψ(M(x, y)) − ϕ(M(x, y)), với mọi x, y ∈ X, (1.34) trong đó M(x, y) = max{d(x, y), d(fx, x), d(gy, y), 1 2 [d(gx, y)+d(fy, x)]}. Với x = 4 và y = 1, ta có M(x, y) = max{3, 4, 3, 7 2 } = 4. Do đó, bất đẳng thức (1.34) trở thành ψ(4) ψ(4) − ϕ(4). Suy ra ϕ(4) 0. Ta gặp mâu thuẫn với giả thiết ϕ(t) > 0 với mọi t ∈ (0, ∞). Vậy f và g không thỏa mãn Định lý 1.3.1.
  • 42. 37 Tiếp theo, ta chứng minh rằng f và g thỏa mãn mọi điều kiện trong Định lý 1.3.2. Thật vậy, xét ánh xạ Tx = ln x + 1 với mọi x ∈ X. Dễ thấy T đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy. Cho ψ(t) = t và ϕ(t) = t 3 với mọi t ∈ R+. Để chứng minh f và g thỏa mãn điều kiện co (1.25) trong Định lý 1.3.2 ta cần kiểm tra bất đẳng thức sau | ln 4 √ x − ln 4 √ y| 2 3 M(x, y), với mọi x, y ∈ [1, +∞). Bất đẳng thức trên tương đương với 1 2 ln x y 2 3 M(Tx, Ty), với mọi x, y ∈ [1, +∞). (1.35) Mặt khác, ta có M(Tx, Ty) = max | ln x − ln y|, | ln 4 √ x − ln x|, | ln 4 √ y − ln y|, | ln 4 √ y − ln x| + | ln 4 √ x − ln y| 2 | ln x − ln y| = ln x y . Chứng tỏ bất đẳng thức (1.35) thỏa mãn. Vậy, f và g thỏa mãn mọi điều kiện trong Định lý 1.3.2. Kết luận chương 1 Chương 1 của luận án đạt được các kết quả sau: • Đưa ra Định lý 1.1.5 và Định lý 1.1.8 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ T-co kiểu Meir-Keeler trong không gian mêtric đầy đủ. Đưa ra Ví dụ 1.1.7 minh họa cho Định lý 1.1.5 cũng như để chỉ ra rằng kết quả của chúng tôi là mở rộng thực sự so với kết quả của Meir-Keeler ([42]). Các kết quả này đã được công bố trong bài báo: Kieu Phuong Chi, Erdal Karapinar and Tran Duc Thanh (2012), A generalization of the
  • 43. 38 Meir-Keeler type contraction, Arab Journal of Mathematical Sciences, 18, 141-148. • Đưa ra các Định lý 1.2.2, Hệ quả 1.2.5, Hệ quả 1.2.6 và Hệ quả 1.2.7 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động cho ánh xạ T-co kiểu tựa co Ciric trong không gian mêtric đầy đủ. Đưa ra Ví dụ 1.2.4 minh họa cho Định lý 1.2.2 cũng như để chỉ ra rằng kết quả của chúng tôi là mở rộng thực sự so với kết quả của Ciric ([27]). Các kết quả này đã được công bố trong bài báo: Erdal Karapinar, Kieu Phuong Chi and Tran Duc Thanh (2012), A generalization of Ciric quasi-contraction, Abstract and Applied Analysis, Article ID 518734, 9 pages, doi:10.1155/2012/518734. • Đưa ra Định lý 1.3.2 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động chung của ánh xạ T-co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong không gian mêtric đầy đủ. Đưa ra Ví dụ 1.3.5 minh họa cho Định lý 1.3.2 cũng như để chỉ ra rằng kết quả của chúng tôi là mở rộng thực sự so với kết quả D. Doric ([32]). Các kết quả này đã được công bố trong bài báo: T. V. An, K. P. Chi, E. Karapinar and T. D. Thanh (2012), An extension of generalized (ψ, ϕ)- weak contractions, International Journal of Mathematics and Mathe- matical Sciences, Vol 2012, Article ID 431872, 11pages doi:10.1155/2012/431872.
  • 44. 39 CHƯƠNG 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG Chương này dành để nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ co suy rộng trong các không gian mêtric riêng. Trong mục thứ nhất, chúng tôi trình bày khái niệm không gian mêtric riêng, một số tính chất tôpô, sự hội tụ của dãy trong không gian mêtric riêng và mối quan hệ giữa không gian mêtric riêng với không gian mêtric. Mục thứ hai dành để trình bày một số định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng. Chú ý rằng, các kỹ thuật chứng minh trong các định lý ở mục trên hoàn toàn khác với các kỹ thuật chứng minh đã có trong các không gian mêtric. Trong mục cuối cùng của chương, chúng tôi thiết lập các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co yếu thông qua một số định lý điểm bất động chung cho các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu. 2.1. Không gian mêtric riêng Năm 1992, trong dự án nghiên cứu về sự hiển thị ngôn ngữ và lưu thông mạng máy tính, S. G. Matthew ([45]) đã đề xuất và xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng. Các khái niệm, tính chất tôpô, sự hội tụ của dãy, mối quan hệ giữa không gian mêtric riêng và không gian mêtric, nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian gian mêtric riêng đã được S. G. Matthew trình bày tại hội nghị quốc tế về Tôpô và ứng dụng lần thứ 8 ([46]). Khái niệm không gian mêtric riêng nhận được bằng cách thay thế
  • 45. 40 đẳng thức d(x, x) = 0 trong định nghĩa của mêtric bởi bất đẳng thức d(x, x) d(x, y) với mọi x, y. Trước hết, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng về sau. 2.1.1 Định nghĩa. ([45, 46]) Cho X là tập hợp khác rỗng, ánh xạ p : X × X → R+ được gọi là một mêtric riêng (partial metric) trên X nếu với bất kỳ x, y, z ∈ X các điều kiện sau được thỏa mãn (P1) x = y nếu và chỉ nếu p(x, x) = p(y, y) = p(x, y). (P2) p(x, x) p(x, y). (P3) p(x, y) = p(y, x). (P4) p(x, z) p(x, y) + p(y, z) − p(y, y). Tập X cùng với một mêtric riêng p trên nó được gọi là không gian mêtric riêng (partial metric space) và ký hiệu là (X, p). 2.1.2 Ví dụ. ([45, 46]) 1) Cho X = R+ và ánh xạ p : X × X → R+ được xác định bởi p(x, y) = max{x, y} với mọi x, y ∈ X. Khi đó, (X, p) là không gian mêtric riêng. Hơn nữa, (X, p) không là không gian mêtric vì p(x, x) = x > 0 với mọi x > 0. 2) Cho X = {[a, b] : a, b ∈ R, a b} và ánh xạ p : X × X → R+ được xác định bởi p([a, b], [c, d]) = max{b, d} − min{a, c}, với mọi [a, b], [c, d] ∈ X. Khi đó, (X, p) là không gian mêtric riêng. 3) Cho X = [0, 1] ∪ [2, 3] và ánh xạ p : X × X → R+ được xác định bởi p(x, y) = |x − y| nếu {x, y} ⊂ [0, 1] max{x, y} nếu {x, y} ∩ [2, 3] = ∅, với mọi x, y ∈ X. Khi đó, (X, p) là không gian mêtric riêng. 2.1.3 Mệnh đề. ([45, 46]) Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng. Khi đó, các ánh xạ ps, pm : X × X → R+ cho bởi ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y)
  • 46. 41 và pm (x, y) = max{p(x, y) − p(x, x), p(x, y) − p(y, y)} xác định các mêtric tương đương trên X. 2.1.4 Định nghĩa. ([45, 46]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng, > 0 và x ∈ X. Khi đó, tập Bp(x, ) := {y ∈ X : p(x, y) < p(x, x) + } được gọi là hình cầu mở tâm x bán kính . 2.1.5 Định lý. ([45, 46]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng. Khi đó, tập các hình cầu mở trong X là cơ sở của một tôpô τp trên X. Hơn nữa, không gian (X, τp) là T0 - không gian. 2.1.6 Định nghĩa. ([45, 46]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng. 1) Dãy {xn} trong X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu và chỉ nếu p(x, x) = lim n→∞ p(xn, x). 2) Dãy {xn} trong X được gọi là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu lim n,m→∞ p(xn, xm) tồn tại hữu hạn. 3) Không gian (X, p) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy {xn} trong X hội tụ tới x ∈ X theo tôpô τp. 4) Hàm f : X → X được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f(B(x0, δ)) ⊂ B(f(x0), ε). 2.1.7 Định nghĩa. ([58]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng. 1) Dãy {xn} trong X được gọi là 0-Cauchy nếu lim n,m→∞ p(xn, xm) = 0. 2) Không gian (X, p) được gọi là 0-đầy đủ nếu mọi dãy 0-Cauchy trong X hội tụ theo tôpô τp tới x ∈ X sao cho p(x, x) = 0. 2.1.8 Nhận xét. ([58]) 1) Như ta biết, trong không gian mêtric, mỗi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy và giới hạn của dãy hội tụ là duy nhất. Tuy nhiên, dãy hội tụ {xn} trong không gian mêtric riêng (X, p) có thể không
  • 47. 42 là dãy Cauchy và giới hạn của dãy hội tụ cũng có thể không duy nhất. Thật vậy, lấy X = R+, p(x, y) = max{x, y} với mọi x, y ∈ X và dãy {xn} được xác định bởi xn = 0 nếu n = 2k 1 nếu n = 2k + 1. Rõ ràng, {xn} là dãy hội tụ trong không gian mêtric riêng (X, p) và với mỗi x 1 ta có lim n→∞ p(xn, x) = p(x, x). Đặt L(xn) = {x ∈ X| lim n→∞ p(xn, x) = p(x, x)}. Khi đó L(xn) = [1, ∞). Hơn nữa, lim n,m→∞ p(xn, xm) không tồn tại. 2) Nếu (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ thì (X, p) là không gian mêtric riêng 0-đầy đủ. Điều ngược lại không đúng. Thật vậy, không gian mêtric riêng (Q+, p) cùng với mêtric riêng p(x, y) = max{x, y} là 0-đầy đủ nhưng không đầy đủ. 2.1.9 Mệnh đề. ([45, 46]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng. Khi đó, ta có các khẳng định sau (1) Nếu {xn} là dãy hội tụ trong không gian mêtric (X, ps) thì nó là dãy hội tụ trong không gian mêtric riêng (X, p). (2) Dãy {xn} là dãy Cauchy trong (X, p) nếu và chỉ nếu {xn} là dãy Cauchy trong (X, ps). (3) Không gian (X, p) đầy đủ nếu và chỉ nếu không gian (X, ps) đầy đủ. Hơn nữa, lim n→∞ ps (xn, x) = 0 ⇔ lim n→∞ p(x, x) = lim n→∞ p(xn, x) = lim n,m→∞ p(xm, xn). 2.1.10 Bổ đề. ([45, 46]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng và dãy {xn} ⊂ X. (1) Nếu xn → z khi n → ∞ thì lim n→∞ p(xn, y) p(z, y) với mọi y ∈ X.
  • 48. 43 (2) Nếu xn → z khi n → ∞ sao cho p(z, z) = 0 thì lim n→∞ p(xn, y) = p(z, y) với mọi y ∈ X. 2.1.11 Bổ đề. ([45, 46]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng. Khi đó, ta có (1) Nếu p(x, y) = 0 thì x = y. (2) Nếu x = y thì p(x, y) > 0. 2.1.12 Bổ đề. ([45, 46]) Cho {xn} là dãy hội tụ trong không gian mêtric riêng (X, p) sao cho xn → x và xn → y khi n → ∞. Nếu lim n→∞ p(xn, xn) = p(x, x) = p(y, y) thì x = y. 2.1.13 Bổ đề. ([45, 46]) Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng. Khi đó, p là hàm liên tục theo nghĩa sau: Nếu xn → x và yn → y khi n → ∞ với mọi xn, yn, x, y ∈ X thì p(xn, yn) → p(x, y) khi n → ∞. 2.2. Điểm bất động của ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng Năm 2010, I. Altun, F. Sola và H. Simsek ([8]) đã đưa ra kết quả về sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co kiểu Hardy - Rogers cho trường hợp X là không gian mêtric riêng bởi định lý sau. 2.2.1 Định lý. ([8]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ thỏa mãn p(Tx, Ty) ap(x, y) + bp(Tx, x) + cp(y, Ty) + d p(Tx, y) + p(x, Ty) , (2.1) với mọi x, y ∈ X, trong đó a + b + c + 2d < 1 và a, b, c, d 0. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động.
  • 49. 44 Năm 2011, khi mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian mêtric riêng, D. Ilic, V. Pavlovic và V. Rakocevic ([37]) đã đề xuất và chứng minh kết quả sau. 2.2.2 Định lý. ([37]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ thỏa mãn p(Tx, Ty) max{ap(x, y), p(x, x), p(y, y)}, (2.2) với mọi x, y ∈ X, trong đó a ∈ [0, 1). Khi đó, ta có 1) Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} là tập khác rỗng. 2) Tồn tại duy nhất u ∈ Xp sao cho Tu = u. Mở rộng các điều kiện co ở trên với ánh xạ trong không gian mêtric riêng, chúng tôi thu được các kết quả sau đây. 2.2.3 Định lý. Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ thỏa mãn p(Tx, Ty) max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x), p(y, y) , (2.3) với mọi x, y ∈ X, trong đó a, b, c ∈ [0, 1) và d ∈ [0, 1 2 ). Khi đó, ta có 1) Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} là tập khác rỗng. 2) Tồn tại duy nhất u ∈ Xp sao cho Tu = u. Để chứng minh định lý ta cần một số kết quả bổ trợ. Đặt L = max{a, b, c, 2d} và với mỗi x ∈ X, ta xây dựng dãy lặp {xn} bởi x0 = x, xn = Txn−1, với mọi n = 1, 2, ... 2.2.4 Bổ đề. Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ, T : X → X là ánh xạ thỏa mãn Định lý 2.2.3 và m, n, k là các số tự nhiên
  • 50. 45 thỏa mãn m n k 1. Khi đó, nếu p(xn, xm) > p(xi, xi) với mọi i ∈ {n − k, ..., n − 1} ∪ {m − k, ..., m − 1} thì p(xm, xn) Lk p(xi0 , xj0 ) với i0, j0 nào đó thuộc {n − k, ..., m}. Chứng minh. Ta chứng minh khẳng định trên bằng quy nạp. Với k = 1 thì từ giả thiết ta có p(xm, xn) > max{p(xm−1, xm−1), p(xn−1, xn−1)}. Vì vậy, áp dụng điều kiện co (2.3) ta có p(xm, xn) = p(Txm−1, Txn−1) max ap(xm−1, xn−1), bp(xm−1, Txm−1), cp(xn−1, Txn−1), d[p(xm−1, Txn−1) + p(xn−1, Txm−1)], p(xm−1, xm−1), p(xn−1, xn−1) max Lp(xm−1, xn−1), Lp(xm−1, xm), Lp(xn−1, xn), L 2 [p(xm−1, xn) + p(xn−1, xm)], p(xm−1, xm−1), p(xn−1, xn−1) L max p(xm−1, xn−1), p(xm−1, xm), p(xn−1, xn), p(xm−1, xn), p(xn−1, xm) = Lp(xi0 , xj0 ) (2.4) với i0, j0 nào đó thuộc {n − 1, ..., m}. Giả sử khẳng định đúng với k > 1 và m n k. Lấy m n k + 1 sao cho p(xm, xn) > p(xi, xi) (2.5) với mọi i ∈ {n − (k + 1), ..., n − 1} ∪ {m − (k + 1), ..., m − 1}. Khi đó, từ p(xm, xn) > max{p(xm−1, xm−1), p(xn−1, xn−1)} và (2.3) ta có p(xm, xn) Lp(xm1 , xn1 ), (2.6) trong đó (m1, n1) ∈ (m−1, n−1), (m−1, m), (n−1, n), (m−1, n), (n− 1, m), (m, n−1), (n, m−1) nếu m > n và (m1, n1) ∈ (n−1, n−1), (n−
  • 51. 46 1, n) nếu n = m. Vì vậy m1 n1 n − 1 k. Khi đó với bộ ba m1 n1 k, từ chứng minh trên ta suy ra p(xm1 , xn1 ) > p(xi, xi) với mọi i ∈ {m1 − k, ..., m1 − 1} ∪ {n1 − k, ..., n1 − 1}. Vì nếu ngược lại tồn tại i ∈{m1 − k, ..., m1 − 1} ∪ {n1 − k, ..., n1 − 1} ⊂ {m − (k + 1), ..., m − 1} ∪ {n − (k + 1), ..., n − 1} sao cho p(xm1 , xn1 ) p(xi, xi), thì nhờ (2.6) và lập luận trên suy ra tồn tại i ∈{m1 − k, ..., m1 − 1} ∪ {n1 − k, ..., n1 − 1} ⊂ {m − (k + 1), ..., m − 1} ∪ {n − (k + 1), ..., n − 1} sao cho p(xm, xn) Lp(xm1 , xn1 ) < p(xm1 , xn1 ) p(xi, xi). Điều này mâu thuẫn. Do đó, theo giả thiết quy nạp áp dụng cho bộ ba m1 n1 k ta có p(xm1 , xn1 ) Lk p(xi0 , xj0 ) với i0, j0 nào đó thuộc {n1 − k, ..., m1} ⊂ {n − (k + 1), ..., m}. Khi đó, ta có p(xm, xn) Lp(xm1 , xn1 ) Lk+1 p(xi0 , xj0 ). 2.2.5 Bổ đề. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ, T : X → X là ánh xạ thỏa mãn Định lý 2.2.3 và Rx = 1 1 − L p(x, Tx) + p(x, x) với mỗi x ∈ X. Với mỗi x ∈ X, xét dãy {xn} xác định bởi x0 = x, xn = Txn−1, với mọi n = 1, 2, ... Khi đó,
  • 52. 47 1) Với mọi i, j 0 ta có p(xi, xj) Rx. (2.7) 2) lim n→∞ p(xn+1, xn) = lim sup n→∞ p(xn, xn) và tồn tại i 0 sao cho p(xi, xi) = sup n 0 p(xn, xn). Chứng minh. 1) Với mỗi m 1 đặt dm = max{p(xi, xj) : 0 i, j m}. Để chứng minh khẳng định 1) ta chỉ cần chứng minh rằng: dm Rx. Trước hết ta thấy rằng tồn tại i ∈ {0, 1, ..., m} sao cho dm = p(x0, xi). Thật vậy, lấy i, j ∈ {0, 1, ..., m} sao cho dm = p(xi, xj). Nếu i, j = 0 thì ta thu được ngay khẳng định. Giả sử i, j 1. Khi đó, ta có dm = p(xi, xj) = p(Txi−1, Txj−1) max Lp(xi−1, xj−1), Lp(xi−1, xi), Lp(xj−1, xj), L 2 [p(xj−1, xi) + p(xi−1, xj)], p(xi−1, xi−1), p(xj−1, xj−1) max L max p(xi−1, xj−1), p(xj−1, xj), p(xi−1, xi), p(xj−1, xi), p(xi−1, xj) , p(xi−1, xi−1), p(xj−1, xj−1) = max{Lp(xi1 , xj1 ), p(xi−1, xi−1), p(xj−1, xj−1)}, (2.8) trong đó i1, j1 ∈ {0, 1, ..., m}. - Nếu max{Lp(xi1 , xj1 ), p(xi−1, xi−1), p(xj−1, xj−1)} = Lp(xi1 , xj1 ), thì ta thu được dm Lp(xi1 , xj1 ) Ldm vì L ∈ (0, 1) nên dm = 0. Do đó, từ định nghĩa của dm ta có dm = p(x0, xk) = 0 với mọi 0 k m. - Nếu max{Lp(xi1 , xj1 ), p(xi−1, xi−1), p(xj−1, xj−1)} = p(xi−1, xi−1), thì dm = p(xi, xj) p(xi−1, xi−1) dm.
  • 53. 48 Suy ra dm = p(xi−1, xi−1). - Nếu max{Lp(xi1 , xj1 ), p(xi−1, xi−1), p(xj−1, xj−1)} = p(xj−1, xj−1), thì tương tự trường hợp trên ta có dm = p(xj−1, xj−1). Từ việc xét 3 trường hợp trên ta thấy rằng hoặc dm = p(x0, xk) = 0 với mọi 0 k m, hoặc tiếp tục quá trình trên sau hữu hạn bước ta nhận được dm = p(x0, x0). Khẳng định được chứng minh. Bây giờ, lấy i0 ∈ {0, 1..., m} để dm = p(x0, xi0 ). Nếu i0 = 0 thì dm Rx. Nếu i0 1 thì ta có dm = p(x0, xi0 ) p(x0, Tx0) + p(Tx0, xi0 ) = p(x0, Tx0) + p(Tx0, Txi0−1) p(x0, Tx0) + max{Lp(xi1 , xi2 ), p(x0, x0), p(xi0−1, xi0−1)} với i1, i2 nào đó thuộc {0, 1, ..., m}. Suy ra dm p(x0, Tx0) + max{Ldm, p(xl, xl)}, trong đó l là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho p(xl, xl) = max{p(xi, xi) : i = 1, 2, ..., m}. Vì vậy ta thu được dm p(x0, Tx0) 1 − L Rx (2.9) hoặc dm p(x0, Tx0) + p(xl, xl). (2.10) - Nếu trường hợp (2.9) xẩy ra, thì ta suy ra dm Rx với mọi m và suy ra ngay điều cần chứng minh. - Nếu trường hợp (2.10), thì ta suy ra rằng l = 0. Vì nếu l 1, thì từ tính chất của l ta có p(xl, xl) > p(xl−1, xl−1). Do đó nhờ Bổ đề 2.2.4 áp dụng với k = 1, m = n = l ta tìm được j1, j2 ∈ {l − 1, l} sao cho dm p(x0, Tx0) + Lp(xj1 , xj2 ) p(x0, x1) + Ldm.
  • 54. 49 Từ bất đẳng thức cuối này ta suy ra dm Rx với mọi m. Ta thu được điều cần chứng minh. 2) Trước tiên, chúng ta chứng minh lim n→∞ p(xn+1, xn) = lim sup n→∞ p(xn, xn) = r 0. Thật vậy, với mỗi n = 1, 2, ..., từ bất đẳng thức (2.3) và điều kiện (P4) trong Định nghĩa 2.1.1 ta có p(xn+1, xn) = p(Txn, Txn−1) max{ap(xn−1, xn), bp(xn, Txn), c(xn−1, Txn−1), d[p(xn, Txn−1) + p(Txn, xn−1)]}, p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} = max{ap(xn, xn−1), bp(xn, xn+1), cp(xn, xn−1), d[p(xn, xn) + p(xn−1, xn+1)], p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} max{ap(xn, xn−1), bp(xn, xn+1), cp(xn, xn−1), d[p(xn−1, xn) + p(xn, xn+1)], p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} max{ap(xn, xn−1), bp(xn, xn+1), cp(xn, xn−1), 2dp(xn−1, xn), 2dp(xn, xn+1), p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} max{Lp(xn, xn−1), Lp(xn, xn+1), p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)}. (2.11) - Nếu tồn tại số tự nhiên n0 sao cho max{Lp(xn0 , xn0−1), Lp(xn0 , xn0+1), p(xn0 , xn0 ), p(xn0−1, xn0−1)} = Lp(xn0 , xn0+1) thì nhờ (2.11) ta thu được p(xn0 , xn0+1) Lp(xn0 , xn0+1). Vì L ∈ [0, 1) nên p(xn0 , xn0+1) = 0. Theo Bổ đề 2.1.11, suy ra xn0+1 = xn0 , hay xn0+1 = Txn0 = xn0 và xn0 là điểm bất động của T. Điều này kéo theo xn = xn0 với mọi n ≥ n0 và lim n→∞ p(xn+1, xn) = lim sup n→∞ p(xn, xn) = p(xn0 , xn0 ) 0.
  • 55. 50 Hơn nữa, vì p(xn0 , xn0 ) p(xn0 , Txn0 ) nên ta có p(xn0 , xn0 ) = 0 và Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} (2.12) là tập khác rỗng. - Nếu max{Lp(xn, xn−1), Lp(xn, xn+1), p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} = Lp(xn, xn+1) với mọi n ∈ N thì từ bất đẳng thức (2.11) ta nhận được p(xn+1, xn) max{Lp(xn, xn−1), p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} p(xn, xn−1). (2.13) Điều đó chứng tỏ {p(xn+1, xn)} là dãy giảm các số thực không âm. Do đó, tồn tại số thực r 0 sao cho lim n→∞ p(xn+1, xn) = r. Nếu r = 0 thì từ bất đẳng thức p(xn, xn) p(xn, xn+1) với mọi n suy ra lim n→∞ p(xn+1, xn) = lim n→∞ p(xn, xn) = 0. Nếu r > 0 thì với mỗi n = 1, 2, ... ta đặt rn = max{Lp(xn, xn−1), p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)}. Từ bất đẳng thức (2.13) và lim n→∞ p(xn+1, xn) = r ta có lim n→∞ rn = r. Bây giờ, ta sẽ chứng minh rn = Lp(xn, xn−1) với hữu hạn số tự nhiên n. Vì nếu rn = Lp(xn, xn−1) với vô hạn n thì tồn tại dãy các số nguyên dương {nk} sao cho rnk = Lp(xnk , xnk−1). Cho nk → ∞, ta suy ra r = Lr. Điều này mâu thuẫn với giả thiết L ∈ [0, 1) và r > 0. Do đó, rn = Lp(xn, xn−1) với hữu hạn số tự nhiên n. Kết hợp với cách xác định của rn ta có lim sup n→∞ p(xn, xn) = r. Vì thế ta có lim n→∞ p(xn+1, xn) = lim sup n→∞ p(xn, xn) = r.
  • 56. 51 Hơn nữa, ta thấy rằng p(xn, xn+1) rn p(xn, xn−1) với mọi n, trong đó rn = max{Lp(xn, xn−1), p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} và đồng thời rn chỉ bằng Lp(xn, xn−1) tại hữu hạn n nên tồn tại i 0 sao cho p(xi, xi) = sup n 0 p(xn, xn). Điều này kéo theo Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} (2.14) là tập khác rỗng. 2.2.6 Nhận xét. 1) Từ chứng minh của Bổ đề 2.2.5 ta có rn = Lp(xn, xn−1) với hữu hạn số tự nhiên n suy ra p(xn+1, xn) max{p(xn, xn), p(xn−1, xn−1)} p(xn, xn−1) với mọi n n0 với n0 nào đó. Vì vậy, từ các bất đẳng thức p(xn, xn) p(xn, xn+1) và p(xn−1, xn−1) p(xn, xn−1) suy ra dãy {(p(xn, xn)} cũng là dãy giảm kể từ n0. Do đó, sử dụng p(xi, xi) = supn 0 p(xn, xn) nếu ta xét dãy (xn) xác định bởi x0 = xi và xn = Txn−1 thì ta luôn có thể giả thiết p(x0, x0) r. 2) Từ (2.12) và (2.14) trong chứng minh của Bổ đề 2.2.5 ta suy ra khẳng định 1) của Định lý 2.2.3 được chứng minh. 2.2.7 Bổ đề. Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ, T : X → X là ánh xạ thỏa mãn Định lý 2.2.3. Khi đó, với mỗi x ∈ X và dãy {xn} xác định bởi x0 = x, xn = Txn−1, với mọi n = 1, 2, ... ta có
  • 57. 52 r := lim sup n→∞ p(xn, xn) = lim m,n→∞ p(xm, xn). Chứng minh. Từ chứng minh của Bổ đề 2.2.5 2) ta có r p(xn, xn) với n đủ lớn. Vì vậy, r p(xn, xn) p(xm, xn) với mọi m, n đủ lớn. Lấy ε > 0 tùy ý. Khi đó, từ r := lim sup n→∞ p(xn, xn) < r + ε và L < 1 tồn tại k0 sao cho Lk0 Rx < r + ε và p(xi, xi) < r + ε với mọi i k0. Giả sử m n 2k0. Khi đó, nếu p(xm, xn) p(xi, xi) với i k0 nào đó thì p(xm, xn) r + ε. Ngược lại, nếu p(xm, xn) > p(xi, xi) với mọi i k0 thì từ n − k0 k0 và nhờ Bổ đề 2.2.4 ta tìm được i0, j0 n − k0 sao cho p(xm, xn) Lk0 p(xi0 , xj0 ) Lk0 Rx < r + ε. Do đó, ta có r p(xm, xn) < r + ε với mọi m, n > k0. Ta nhận được lim m,n→∞ p(xm, xn) = r. Chứng minh Định lý 2.2.3. Nhờ Nhận xét 2.2.6 2) ta chỉ cần chứng minh khẳng định 2). Thật vậy, với mỗi x ∈ X, ta xây dựng dãy lặp {xn} bởi x0 = x, xn = Txn−1, với mọi n = 1, 2, ... Khi đó, bởi Bổ đề 2.2.7 ta có {xn} là dãy Cauchy trong (X, p). Vì (X, p) đầy đủ nên tồn tại u ∈ X sao cho dãy {xn} hội tụ tới u khi n → ∞, có nghĩa là, r = p(u, u) = lim n→∞ p(xn, u) = lim m,n→∞ p(xn, xm) = lim n→∞ p(xn, xn).
  • 58. 53 Ta sẽ chứng minh p(u, u) = p(u, Tu). Thật vậy, với mỗi n = 1, 2, ..., ta có p(u, u) p(u, Tu) p(u, xn) + p(Tu, xn) − p(xn, xn). (2.15) Từ bất đẳng thức (2.3) ta có p(Tu, Txn−1) max{ap(u, xn−1), bp(u, Tu), cp(xn−1, Txn−1), d[p(u, Txn−1) + p(xn−1, Tu)], p(u, u), p(xn−1, xn−1)} max{ap(u, xn−1), bp(u, Tu), cp(xn−1, xn), d[p(u, xn) + p(xn−1, Tu)], p(u, u), p(xn−1, xn−1)}. (2.16) Dễ thấy {p(Tu, Txn−1)} = {p(Tu, xn)} là dãy bị chặn. Do đó, nó có dãy con hội tụ {p(Tu, xnk )}. Cho nk → ∞ trong bất đẳng thức (2.16) và sử dụng Bổ đề 2.1.10 ta nhận được p(Tu, xnk ) max{p(u, u), Lp(u, Tu)}. Lại cho nk → ∞ trong bất đẳng thức (2.15) và kết hợp với các bất đẳng thức trên ta suy ra p(u, u) = p(u, Tu). Tiếp theo, ta sẽ chứng minh Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} là tập khác rỗng. Đặt ρp = inf{p(y, y) : y ∈ X}. Với mỗi k = 1, 2, ..., ta có thể cố định xk ∈ X sao cho p(xk, xk) ρp + 1 k . Với mỗi k = 1, 2, ..., xuất phát từ xk và từ chứng minh ở trên ta có thể tìm được uk sao cho Tnxk → uk khi n → ∞ và ruk := p(uk, uk) = p(Tuk, uk). Hơn nữa, nhờ Nhận xét 2.2.6 ta có thể giả thiết ruk p(uk, uk) = p(Tuk, uk).
  • 59. 54 Ta sẽ chứng tỏ rằng lim m,n→∞ p(um, un) = ρp. Thật vậy, với ε > 0 cho trước, đặt n0 := 3 ε(1 − L) + 1. Khi đó với k n0, từ bất đẳng thức (2.3) ta nhận được ρp p(Tuk, Tuk) max{ap(uk, uk), bp(uk, Tuk), cp(uk, Tuk), 2dp(uk, Tuk), p(uk, uk)} max{Lp(uk, uk), p(uk, uk)} = p(uk, uk) = ruk p(xk, xk) ρp + 1 k ρp + 1 n0 < ρp + (1 − L)ε 3 . Điều này kéo theo Uk := p(xk, xk) − p(Txk, Txk) < (1 − L)ε 3 . Bây giờ, với mỗi cặp số tự nhiên m, n n0, vì p(uk, Tuk) = p(uk, uk) với mọi k = 1, 2, ... nên p(um, un) p(um, Tum) + p(Tun, un) + p(Tum, Tun) − p(Tum, Tum) − p(Tun, Tun) = Um + Un + p(Tum, Tun) 2 (1 − L)ε 3 + p(Tum, Tun). (2.17) Mặt khác, ta cũng có p(Tum, Tun) max{ap(um, un), bp(Tum, um), cp(Tun, un), d[p(Tun, um) + p(un, Tum)], p(um, um), p(un, un)} = max{ap(um, un), d[p(Tun, um) + p(un, Tum)], p(um, um), p(un, un)}. (2.18)
  • 60. 55 Hơn nữa, vì p(Tun, um) p(Tun, un) + p(um, un) − p(un, un) = p(um, un) và p(un, Tum) p(Tum, um) + p(um, un) − p(um, um) = p(um, un) nên p(Tum, un) + p(um, Tun) 2p(um, un). Do đó, ta có max{ap(um, un), d(p(Tun, um) + p(un, Tum)), p(um, um), p(un, un)} max{ap(um, un), 2dp(um, un), p(um, um), p(un, un)} max{Lp(um, un), p(um, um), p(un, un)}. (2.19) Từ các bất đẳng thức (2.18) và (2.19), ta thu được p(Tum, Tun) max{Lp(um, un), p(um, um), p(un, un)}. Kết hợp bất đẳng thức trên với bất đẳng thức (2.17), ta nhận được p(um, un) 2 (1 − L)ε 3 + max{Lp(um, un), p(um, um), p(un, un)}. Điều này kéo theo p(um, un) max Lp(um, un) + 2(1 − L)ε 3 , p(um, um) + 2(1 − L)ε 3 , p(un, un) + 2(1 − L)ε 3 . Do đó, ta có ρp = p(um, un) max{ 2ε 3 , p(um, um) + 2(1 − L)ε 3 , p(un, un) + 2(1 − L)ε 3 } max{ 2ε 3 , ρp + (1 − L)ε} max{ 2ε 3 , ρp + ε} = ρp + ε.
  • 61. 56 Suy ra lim n→∞ p(um, un) = ρp, có nghĩa là {un} là dãy Cauchy. Theo giả thiết, (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ. Do đó, tồn tại y ∈ X sao cho un → y khi n → ∞, tức là p(y, y) = lim n→∞ p(un, y) = lim m,n→∞ p(un, um) = ρp. Điều này chứng tỏ y ∈ Xp, hay Xp = ∅. Rõ ràng, nếu y ∈ Xp thì tồn tại u ∈ X sao cho ry := p(u, u) = p(Tu, u), trong đó u = lim n→∞ Tny. Ta có ρp p(Tu, Tu) p(Tu, u) = p(u, u) = ry p(y, y) = ρp. Điều này kéo theo p(u, u) = p(Tu, u) = p(Tu, Tu). Vậy Tu = u. Cuối cùng, ta sẽ chứng tỏ rằng nếu u, v ∈ Xp là hai điểm bất động của T thì u = v. Thật vậy, vì Tu = u, Tv = v và p(u, u) = p(v, v) = ρp nên p(u, v) = p(Tu, Tv) max{ap(u, v), bp(u, Tu), cp(v, Tv), d(p(u, Tv) + p(v, Tu)), p(u, u), p(v, v)} max{Lp(u, v), p(u, u), p(v, v)}. Từ đó suy ra (1 − L)p(u, v) 0 hoặc p(u, v) p(u, u) = p(v, v) = ρp. Nếu (1 − L)p(u, v) 0 thì p(u, v) = 0, tức là u = v, còn nếu p(u, v) p(u, u) = p(v, v) = ρp thì ta có p(u, v) = p(u, u) = p(v, v), tức là u = v. Định lý được chứng minh. 2.2.8 Nhận xét. (1) Từ max{ap(x, y), p(x, x), p(y, y)} max{ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x), p(y, y)}. và các bất đẳng thức (2.2), (2.3) suy ra Định lý 2.2.2 là hệ quả của Định lý 2.2.3.
  • 62. 57 (2) Từ Định lý 2.2.3, chúng ta chưa khẳng định được ánh xạ T có duy nhất điểm bất động thuộc X. Tuy nhiên, bằng cách bổ sung các điều kiện, trong các định lý và hệ quả sau đây, ánh xạ T sẽ có điểm bất động duy nhất thuộc X. 2.2.9 Định lý. Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và ánh xạ T : X → X thỏa mãn p(Tx, Ty) M(x, y), (2.20) với mọi x, y ∈ X, trong đó M(x, y) = max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], ep(x, x), fp(y, y) và a, b, c, 2d, e, f ∈ [0, 1). Khi đó, tồn tại duy nhất z ∈ X sao cho Tz = z. Chứng minh. Lấy x0 ∈ X, ta xây dựng dãy lặp {xn} như sau: xn = Txn−1 với mọi n = 1, 2, ... Nếu xn0 = xn0+1 với số tự nhiên n0 0 nào đó thì từ cách xác định của dãy {xn}, ánh xạ T có điểm bất động. Giả sử xn = xn+1 với bất kỳ số tự nhiên n 0, khi đó theo Bổ đề 2.1.11, p(xn, xn+1) > 0 với mọi số tự nhiên n 0. Từ bất đẳng thức (2.20) ta có p(Txn, Txn+1) M(xn, xn+1), (2.21) trong đó M(xn, xn+1) = max{ap(xn, xn+1), bp(xn, Txn), cp(xn+1, Txn+1), d[p(xn, Txn+1) + p(xn+1, Txn)], ep(xn, xn), fp(xn+1, xn+1)} . Ta xét các trường hợp đối với M(x, y) . Trường hợp 1: Nếu M(xn, xn+1) = cp(xn+1, Txn+1) = cp(xn+1, xn+2) thì từ bất đẳng thức (2.21) ta có p(xn+1, xn+2) = p(Txn, Txn+1) cp(xn+1, xn+2).
  • 63. 58 Điều này mâu thuẫn với giả thiết c ∈ (0, 1), chứng tỏ M(xn, xn+1) = cp(xn+1, Txn+1) Trường hợp 2: Nếu M(xn, xn+1) = d[p(xn, Txn+1) + p(xn+1, Txn)] thì từ bất đẳng thức (2.21) ta có p(xn+1, xn+2) d[p(xn, Txn+1) + p(xn+1, Txn)] = d[p(xn, xn+2) + p(xn+1, xn+1)] d[p(xn, xn+1) + p(xn+1, xn+2)]. . Do đó p(xn+1, xn+2) d 1 − d p(xn, xn+1). Từ tiên đề (P2) trong Định nghĩa 2.1.1 ta có max{ap(xn, xn+1), bp(xn, Txn), ep(xn, xn), fp(xn+1, xn+1)} rp(xn, xn+1), trong đó r = max{a, b, e, f}. Do đó, từ mọi trường hợp đã xét ở trên, bất đẳng thức (2.21) trở thành p(xn+1, xn+2) kp(xn, xn+1), (2.22) trong đó k ∈ {r, d 1−d}. Rõ ràng 0 < k < 1. Do đó p(xn+1, xn+2) kp(xn, xn+1) k2 p(xn−1, xn) · · · kn+1 p(x0, x1). (2.23) Ta chứng minh {xn} là dãy Cauchy. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử n > m. Khi đó, từ bất đẳng thức (2.23) và (P2) trong Định nghĩa 2.1.1 ta có 0 p(xn, xm) p(xn, xn−1) + p(xn−1, xn−2) + · · · + p(xm+1, xm) − [p(xn−1, xn−1) + p(xn−2, xn−2) + · · · p(xm+1, xm+1)] p(xn, xn−1) + p(xn−1, xn−2) + · · · + p(xm+1, xm) [kn−1 + kn−2 + · · · km ]p(x0, x1) = km 1 − kn−m 1 − k p(x0, x1).
  • 64. 59 Do đó, lim n,m→∞ p(xn, xm) = 0. Điều đó chứng tỏ {xn} là dãy Cauchy trong (X, p). Theo Mệnh đề 2.1.9 thì {xn} cũng là dãy Cauchy trong (X, ps). Hơn nữa, vì (X, p) đầy đủ nên (X, ps) cũng đầy đủ. Vậy tồn tại z ∈ X sao cho xn → z trong (X, ps), tức là lim n→∞ ps (z, xn) = 0. (2.24) Cũng theo Mệnh đề 2.1.9 ta có p(z, z) = lim n→∞ p(z, xn) = lim n,m→∞ p(xn, xm) = 0, (2.25) Bây giờ ta chứng minh z là điểm bất động của T. Chú ý rằng từ đẳng thức (2.25), ta có p(z, z) = 0. Bằng cách thay x = xn và y = z vào bất đẳng thức (2.20) ta nhận được p(xn+1, Tz) = p(Txn, Tz) M(xn, z), (2.26) trong đó M(xn, z) = max{ap(xn, z), bp(xn, Txn), cp(z, Tz), d[p(xn, Tz) + p(z, Txn)], ep(xn, xn), fp(z, z)}. Sử dụng đẳng thức (2.25) và Bổ đề 2.1.10, cho n → ∞ ở bất đẳng thức trên ta nhận được p(z, Tz) M(z, z), (2.27) trong đó M(z, z) = max{ap(z, z), bp(z, z), cp(z, Tz), d[p(z, Tz) + p(z, z)], ep(z, z), fp(z, z)}. Theo đẳng thức (2.25), ta có M(z, z) = cp(z, Tz) hoặc M(z, z) = dp(z, Tz). Trong cả hai trường hợp này ta luôn có p(Tz, z) = 0. Theo Bổ đề 2.1.11, ta suy ra Tz = z. Cuối cùng, ta chứng minh z là điểm bất động duy nhất của T. Giả sử ngược lại, tồn tại w ∈ X sao cho Tw = w. Khi đó ta có p(z, w) = p(Tz, Tw) M(z, w), (2.28)
  • 65. 60 trong đó M(z, w) = max ap(z, w), bp(z, Tz), cp(w, Tw), d[p(z, Tw) + p(w, Tz)], ep(z, z), fp(w, w) = max ap(z, w), bp(z, z), cp(w, w), d[p(z, w) + p(w, z)], ep(z, z), fp(w, w) . Vì a, b, c, 2d, e, f ∈ (0, 1) và tiên đề (P2) trong Định nghĩa 2.1.1 nên bất đẳng thức (2.28) kéo theo p(z, w) = 0. Theo Bổ đề 2.1.11 ta có z = w. Vậy, định lý được chứng minh. Từ các định lý trên chúng ta thu được hệ quả sau 2.2.10 Hệ quả. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và ánh xạ T : X → X thỏa mãn p(Tx, Ty) max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x) + p(y, y) 2 , (2.29) với mọi x, y ∈ X, trong đó a, b, c ∈ [0, 1) và d ∈ [0, 1 2 ). Khi đó, Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} là tập khác rỗng và T có duy nhất điểm bất động. Chứng minh. Rõ ràng max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x) + p(y, y) 2 max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x), p(y, y) . Do đó, từ Định lý 2.2.3 ta suy ra T có điểm bất động duy nhất thuộc Xp. Bây giờ, ta chứng tỏ T có điểm bất động duy nhất thuộc X. Thật vậy,
  • 66. 61 nếu u, v là hai điểm bất động của T thì từ bất đẳng thức (2.29) ta có p(u, v) = p(Tu, Tv) max ap(u, v), bp(u, Tu), cp(v, Tv), d p(u, Tv) + p(Tu, v) , p(u, u) + p(v, v) 2 max Kp(u, v), p(u, u) + p(v, v) 2 . Điều này kéo theo p(u, v) Kp(u, v) hoặc p(u, v) p(u, u) + p(v, v) 2 . Nếu p(u, v) Kp(u, v) thì p(u, v) = 0 hay u = v. Còn nếu p(u, v) p(u, u) + p(v, v) 2 thì ps(u, v) = 2p(u, v) − p(u, u) − p(v, v) = 0, nghĩa là u = v. Vậy, hệ quả được chứng minh. Lập luận tương tự Nhận xét 2.2.8 và Hệ quả 2.2.10 ta suy ra Định lý 2.2.1 là hệ quả của Định lý 2.2.3. Hơn nữa, từ Định lý 2.2.3 chúng ta cũng thu được các hệ quả sau. 2.2.11 Hệ quả. ([38]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ thỏa mãn p(Tx, Ty) max λp(x, y), α[p(x, Tx) + p(y, Ty)], γ[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x) + p(y, y) 2 , (2.30) với mọi x, y ∈ X, trong đó λ ∈ [0, 1) và α, γ ∈ [0, 1 2 ). Khi đó ta có 1) Tồn tại duy nhất u ∈ Xp sao cho Tu = u. 2) p(u, u) = inf{p(y, y) : y ∈ X}. 2.2.12 Hệ quả. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ thỏa mãn p(Tx, Ty) max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)] , (2.31)
  • 67. 62 với mọi x, y ∈ X, trong đó a, b, c ∈ [0, 1) và d ∈ [0, 1 2 ). Khi đó, Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} là tập khác rỗng và T có duy nhất điểm bất động. 2.2.13 Hệ quả. Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ thỏa mãn p(Tx, Ty) ap(x, y) + bp(Tx, x) + cp(y, Ty) + d[p(Tx, y) + p(x, Ty)] + ep(x, x) + fp(y, y) (2.32) với mọi x, y ∈ X, trong đó a+b+c+2d+e+f < 1, và a, b, c, d, e, f 0. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động. Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 2.2.3 là mở rộng thực sự của Định lý 2.2.2. 2.2.14 Ví dụ. Lấy X = [0, 1] ∪ [2, 3] và xét ánh xạ p : X × X → R được xác định bởi p(x, y) = |x − y| nếu {x, y} ⊂ [0, 1] max{x, y} nếu {x, y} ∩ [2, 3] = ∅. Rõ ràng (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ. Hàm T : X → X được xác định bởi Tx =    1 2 nếu 0 x < 1 1 4 nếu x = 1 hoặc 2 x 3. Dễ thấy 1 2 là điểm bất động duy nhất của T. Ta chứng minh rằng T không thỏa mãn các điều kiện kiện co trong Định lý 2.2.2. Thật vậy, với bất kỳ 3 4 x < 1, ta có p(Tx, T1) = 1 2 − 1 4 = 1 4 và max{ap(x, 1), p(x, x), p(1, 1)} = max{a|x−1|, |x−x|, |1−1|} = a|x−1| < 1 4
  • 68. 63 với mọi a ∈ [0, 1). Điều này kéo theo max{ap(x, 1), p(x, x), p(1, 1)} > p(Tx, T1), chứng tỏ bất đẳng thức (2.2) không thỏa mãn. Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh T thỏa mãn điều kiện co (2.3) trong Định lý 2.2.3 với 1 3 < a, b, c, 2d < 1. Nếu x, y ∈ [0, 1) thì p(Tx, Ty) = 0 max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d(p(x, Ty) + p(y, Tx), p(x, x), p(y, y) . Nếu x = y = 1 thì điều kiện (2.3) là hiển nhiên. Nếu y = 1 và x ∈ [0, 1) thì p(Tx, T1) = 1 2 − 1 4 = 1 4 và max ap(x, 1), bp(x, Tx), cp(1, T1), d[p(x, T1) + p(1, Tx)], p(x, x), p(1, 1) = max a|x − 1|, b x − 1 2 , c 1 − 1 4 , d( x − 1 4 ) + 1 − 1 2 ) > 3 4 c > 1 4 , nghĩa là max ap(x, 1), bp(x, Tx), cp(1, T1), d]p(x, T1) + p(1, Tx)], p(x, x), p(1, 1) > p(Tx, T1). Trường hợp x = 1 và y ∈ [0, 1) được chứng minh tương tự. Nếu {x, y} ∩ [2, 3] = ∅ thì max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x), p(y, y) max{p(x, x), p(y, y)} 2, và p(Tx, Ty) 1. Do đó, với mọi trường hợp đã xét ở trên, điều kiện co (2.3) được thỏa mãn. Từ đó ta có thể áp dụng Định lý 2.2.3 cho ánh xạ T.
  • 69. 64 Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 2.2.3 là một mở rộng thực sự của Hệ quả 2.2.11. 2.2.15 Ví dụ. Lấy X := R+ và xét ánh xạ p : X × X → R+ được cho bởi p(x, y) = max{x, y} với mọi x, y ∈ X. Dễ thấy (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ. Hàm số T : X → X được xác định bởi Tx = ln(1 + x) với mọi x ∈ X. Rõ ràng 0 là điểm bất động duy nhất của T. Đầu tiên, ta khẳng định rằng T không thỏa mãn các điều kiện của Hệ quả 2.2.11 bởi vì điều kiện (2.30) không thỏa mãn. Thật vậy, giả sử tồn tại λ ∈ [0, 1), và α, γ ∈ [0, 1 2 ) sao cho p(Tx, Ty) max λp(x, y), α[p(x, Tx) + p(y, Ty)], γ[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x) + p(y, y) 2 , (2.33) với mọi x, y ∈ X. Khi đó, với y = 0 và mọi x ∈ X, ta có ln(1 + x) max λx, αx, γ x + ln(1 + x) , x 2 . Cho x → 0, từ bất đẳng thức trên ta nhận được λ 1, hoặc α 1, hoặc γ 1 2, điều này mâu thuẫn với giả thiết của α, λ, γ. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh T thỏa mãn các điều kiện co của Định lý 2.2.3. Tức là, ta cần kiểm tra điều kiện (2.3). Nếu x, y ∈ R+ thì không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng y x. Khi đó ta có p(Tx, Ty) = ln(1 + x) và max max ap(x, y), bp(x, Tx), cp(y, Ty), d p(x, Ty) + p(y, Tx) 2 , p(x, x), p(y, y) = x. (2.34)
  • 70. 65 Rõ ràng ln(1 + x) x với mọi x 0, do đó điều kiện (2.3) thỏa mãn. Vì vậy, ta có thể áp dụng Định lý 2.2.3 cho T. 2.3. Điểm bất động chung của các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong không gian mêtric riêng Năm 1969, khi mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach, D. W. Boyd và S. W. Wong ([21]) đã giới thiệu khái niệm ánh xạ Φ-co. Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ T : X → X được gọi là Φ-co nếu tồn tại hàm nửa liên tục trên Φ : R+ → R+ sao cho d(Tx, Ty) Φ(d(x, y)), với mọi x, y ∈ X. Năm 1997, tổng quát hóa khái niệm Φ-co, Y. I. Alber và S. Guerre- Delabriere ([5]) đã phát biểu khái niệm ánh xạ ϕ-co yếu trong trường hợp X là không gian Hilbert và thu được một số kết quả về điểm bất động. Ánh xạ T : X → X được gọi là ϕ-co yếu nếu tồn tại hàm ϕ : R+ → R+ sao cho d(Tx, Ty) d(x, y) − ϕ(d(x, y)), với mọi x, y ∈ X, ở đây ϕ(t) = 0 khi và chỉ khi t = 0. Năm 2001, B. E. Rhoades ([57]) đã chứng minh kết quả của Y. I. Alber và S. Guerre-Delabriere vẫn còn đúng trong trường hợp X là không gian mêtric bằng cách phát biểu và chứng minh định lý sau. 2.3.1 Định lý. ([57]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và hàm ϕ : R+ → R+ liên tục, không giảm thỏa mãn ϕ(t) = 0 khi và chỉ khi t = 0. Nếu T : X → X là ϕ-co yếu thì T có duy nhất điểm bất động. Tiếp tục theo hướng giảm nhẹ điều kiện co, năm 2008, P. N. Dutta và B. S. Choudhury ([33]) đã đưa ra điều kiện co dạng ψ d(Tx, Ty) ≤ ψ d(x, y) − ϕ d(x, y) ,