Download báo cáo nghiên cứu khoa học với đề tài: Về môđun giả BUCHSBAUM, cho các bạn có thể tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
CẤP CƠ SỞ
VỀ MÔĐUN GIẢ BUCHSBAUM
Mã số:
Chủ nhiệm đề tài: ThS. Ngô Tấn Phúc
ĐỒNG THÁP, 06/2012

2. i
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
CẤP CƠ SỞ
VỀ MÔĐUN GIẢ BUCHSBAUM
Mã số:
Xác nhận Chủ nhiệm đề tài
của Chủ tịch Hội đồng nghiệm thu
ĐỒNG THÁP, 06/2012

3. 1
Mục lục
Mục lục 1
Phần I: Mở đầu 3
0.1. Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2. Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.4. Thời gian nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.5. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.6. ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.7. Cấu trúc đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Phần II: Nội dung 7
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 7
1.1. Phổ và giá của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Sự phân tích nguyên sơ của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Chiều Krull của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6. Độ dài của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7. Hệ tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8. Số bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9. Dãy chính qui và độ sâu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.10. Dãy chính qui lọc (f-dãy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.11. f-dãy chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2: Môđun giả Buchsbaum 15
2.1. Khái niệm môđun giả Buchsbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Đặc trưng môđun giả Buchsbaum thông qua phân tích nguyên sơ 17
2.3. Đặc trưng môđun giả Buchsbaum thông qua hệ tham số thu gọn . 22
Phần III: Kết luận 26
Tài liệu tham khảo 27

4. 2
Bảng danh mục kí hiệu

5. 3
Phần I:
Mở đầu
0.1. Lí do chọn đề tài
Cho (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Nơte với iđêan tối đại duy nhất m;
M là một R-môđun hữu hạn sinh với số chiều Krull dimM= d > 0; x = (x1, ..., xd)
là một hệ tham số của M.
Ta đặt hiệu giữa số bội và độ dài
JM (x) = e(x; M) − l(M/QM (x)),
trong đó
QM (x) =
t>0
(xt+1
1 , ..., xt+1
d )M : xt
1...xt
d
là môđun con của M. JM (x) cho ta nhiều thông tin về cấu trúc của M. Chẳng
hạn, nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì JM (x) = 0 với mọi hệ tham số x
của M ([3]). Từ [14] ta đã biết nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì
JM (x) là hữu hạn với mọi hệ tham số x của M. Thêm nữa, lớp nếu M là môđun
Buchsbaum thì JM (x) là hằng số với mọi hệ tham số x của M [7]. N.T.Cường và
L.T.Nhàn trong [11] đã chỉ ra rằng điều ngược lại nói chung không đúng. Và họ
gọi lớp môđun M thỏa mãn JM (x) = 0 với mọi hệ tham số x của M là môđun
giả Cohen-Macaulay; lớp môđun M thỏa mãn JM (x) < ∞ với mọi hệ tham số x
của M được gọi là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng.
Một câu hỏi nảy sinh tự nhiên là: cấu trúc của M sẽ như thế nào nếu môđun
M thỏa mãn JM (x) là hằng số với mọi hệ tham số x của M. Trong [8] N.T.Cường
và N.T.H.Loan đã trả lời cho câu hỏi trên rằng: lớp môđun M thỏa mãn JM (x)
là hằng số với mọi hệ tham số x của M là một mở rộng thực sự của lớp môđun
Buchsbaum và họ gọi là môđun giả Buchsbaum. Cũng trong [8], các tác giả đã chỉ
ra một đặc trưng của môđun giả Buchsbaum thông qua phân tích nguyên sơ.
Các lớp môđun nói trên là những cột trụ trong Đại số giao hoán và Hình học
đại số. Việc tìm hiểu cấu trúc và những tính chất của các lớp môđun này đang

6. 4
là vấn đề mở chứa đựng nhiều điều thú vị.
Hơn nữa, tôi nhận thấy rằng các kết quả từ Luận văn [4] có thể áp dụng vào
lớp môđun giả Buchsbaum để tìm ra một đặc trưng mới cho lớp môđun này.
Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài "Về môđun giả Buchsbaum" để nghiên
cứu.
0.2. Mục tiêu nghiên cứu
o Đặc trưng cho môđun giả Buchsbaum thông qua hệ tham số thu gọn.
o Tìm và làm sáng tỏ một số ví dụ về lớp môđun này.
0.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
o Phạm vi nghiên cứu: Đại số giao hoán.
o Đối tượng nghiên cứu: Lớp môđun giả Buchsbaum.
0.4. Thời gian nghiên cứu
Từ tháng 01 năm 2011 đến tháng 05 năm 2012.
0.5. Phương pháp nghiên cứu
• Phương pháp đọc, khai thác tài liệu.
• Phương pháp phân tích, xử lí tài liệu và trao đổi thông tin với các tác giả.
Mô tả phương pháp
• Sưu tầm tài liệu liên quan.
• Đọc hiểu, phân tích, xử lí tài liệu và trao đổi, thu thập thông tin từ các tác
giả để khai thác, mở rộng vấn đề cần nghiên cứu.

7. 5
0.6. ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài khi hoàn thành sẽ là một tài liệu bổ ích về lớp môđun mới được đề xuất
nghiên cứu trong Đại số giao hoán. Ngoài ra, đề tài cũng đưa ra một đặc trưng
của lớp môđun này thông qua hệ tham số thu gọn. Đây là điều đáng được quan
tâm bởi những người muốn tìm hiểu về Đại số giao hoán và Hình học đại số.
0.7. Cấu trúc đề tài
Cấu trúc của đề tài gồm 3 phần:
Phần I: Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
2. Ý nghĩa của việc nghiên cứu
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4. Thời gian nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
6. Mục tiêu nghiên cứu
7. Cấu trúc đề tài
Phần II: Nội dung
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1.1. Phổ và giá của môđun
1.2. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun
1.3. Sự phân tích nguyên sơ của môđun
1.4. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic
1.5. Chiều Krull của môđun
1.6. Độ dài của môđun
1.7. Hệ tham số
1.8. Số bội
1.9. Dãy chính qui và độ sâu
1.10. Dãy chính qui lọc (f-dãy)

8. 6
1.11. f-dãy chặt
Chương 2: Môđun giả Buchsbaum
2.2. Khái niệm môđun giả Buchsbaum
2.3. Đặc trưng môđun giả Buchsbaum thông qua phân tích nguyên sơ
2.4. Đặc trưng môđun giả Buchsbaum thông qua hệ tham số thu gọn
Phần III: Kết luận

9. 7
Phần II:
Nội dung
Trong đề tài này nếu không nói gì thêm thì ta hiểu rằng vành (R, m) được xét ở đây là vành
giao hoán, địa phương, Nơte với iđêan tối đại duy nhất m; M là một R-môđun hữu hạn sinh với
số chiều Krull dimM= d > 0; x = (x1, ..., xd) là một hệ tham số của M.
Chương 1:
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở của Đại số giao
hoán liên quan đến các chứng minh của chương tiếp theo. Để văn bản không quá
rời rạc, các kết quả trong chương này chỉ được nêu ra dưới hình thức tổng hợp.
1.1. Phổ và giá của môđun
Phổ của vành
Iđêan P của R được gọi là iđêan nguyên tố nếu P = R và với mọi a, b ∈ R, ab ∈ P
thì a ∈ P hoặc b ∈ P. Kí hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành
R. Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R.
Với mỗi iđêan I của R, kí hiệu V (I) = {P ∈ SpecR | P ⊇ I}.
Giá của môđun
Tập con
SuppM = {P ∈ SpecR | MP = 0}
của SpecR được gọi là giá của môđun M.
Với mỗi x ∈ M ta kí hiệu
Ann(x) = {a ∈ R | ax = 0};
AnnM = {a ∈ R | aM = 0} = {a ∈ R | ax = 0, ∀x ∈ M}.

10. 8
Ta có Ann(x), AnnM là những iđêan của M; AnnM được gọi là linh hóa tử của
môđun M. Hơn nữa nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì
SuppM = V (AnnM).
Bổ đề Nakayama: Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, I là iđêan của R
thỏa mãn I ⊆ J(R), trong đó J(R) là căn Jacobson của R. Khi đó nếu IM = M
thì M = 0.
1.2. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun
Cho M là một R-môđun ta gọi iđêan nguyên tố P của R là một iđêan nguyên
tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tương đương sau được thỏa mãn:
(i) Tồn tại phần tử x ∈ M sao cho Ann(x) = P;
(ii) M chứa môđun con đẳng cấu với R/P.
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssM. Ta có các kết quả
sau:
a) AssM ⊆ SuppM và mọi phần tử tối tiểu của SuppM đều thuộc AssM.
b) Nếu M là R-môđun Nơte thì AssM là tập hữu hạn.
1.3. Sự phân tích nguyên sơ của môđun
Cho N là môđun con của M. N được gọi là môđun con nguyên sơ nếu Ass(M/N)
chỉ gồm một phần tử. Tức là tồn tại một iđêan nguyên tố p sao cho Ass(M/N) =
{p}. Khi đó ta nói N là môđun con p-nguyên sơ.
Cho Cho N là môđun con của M. N được gọi là có phân tích nguyên sơ nếu
tồn tại hữu hạn môđun con nguyên sơ Q1, ..., Qn của M sao cho N = Q1 ∩...∩Qn.
Giả sử Qi là pi nguyên sơ. Khi đó phân tích trên được gọi là phân tích nguyên
sơ thu gọn nếu các pi là đôi một khác nhau và không có Qi nào có thể bỏ đi được.

11. 9
1.4. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic
Ta xét R như là vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt
, t =
0, 1, 2, .... Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tùy ý r ∈ R gồm các lớp
ghép r + t
, t = 0, 1, 2, .... Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R kí hiệu là
R được định nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy như sau: R là
tập các dãy Cauchy (rn) ∈ R cùng với hai phép toán (rn) + (sn) = (rn + sn) và
(rn).(sn) = (rn.sn) với mọi (rn), (sn) ∈ R.
Định nghĩa tương tự cho môđun đầy đủ theo tôpô m-adic của M, kí hiệu M.
1.5. Chiều Krull của môđun
Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R:
P0 ⊃ P1 ⊃ ... ⊃ Pn
được gọi là một xích nguyên tố có độ dài bằng n. Cho P ∈ SpecR, cận trên của
tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với P0 = P được gọi là độ cao của P, kí
hiệu là ht(P).
Cho I là một iđêan của R khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa như sau:
ht(I) = inf{ht(P) | P ∈ SpecR, P ⊇ I}.
Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều
Krull của vành R, kí hiệu dim R.
Cho M là một R-môđun. Khi đó dim(R/AnnM) được gọi là chiều Krull của
môđun M, kí hiệu dim M.
1.6. Độ dài của môđun
Môđun M = 0 được gọi là môđun đơn nếu M chỉ có hai môđun con là 0 và
chính nó.
Môđun M được gọi là một môđun có dãy hợp thành nếu có một dãy giảm gồm

12. 10
một số hữu hạn các môđun con
M = M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mn = 0
sao cho Mi−1/Mi là môđun đơn, i = 1, ..., n. Khi đó số n được gọi là độ dài của
dãy hợp thành. Ta đã biết M có thể có rất nhiều dãy hợp thành nhưng tất cả các
dãy hợp thành đó đều có cùng một độ dài n và được gọi là độ dài của môđun M,
kí hiệu l(M). Nếu M không có dãy hợp thành thì ta qui ước độ dài l(M) = ∞
và gọi nó là môđun có độ dài vô hạn. Ta có một số tính chất quan trọng sau về
độ dài:
a) Môđun M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M vừa là môđun Nơte vừa là
môđun Artin.
b) Tính cộng tính của độ dài: Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
0 −→ M −→ M −→ M −→ 0.
Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M’ và M” có độ dài hữu hạn. Hơn
nữa l(M) = l(M ) + l(M ).
c) Nếu N là môđun con của M thì l(M) = l(N) + l(M/N).
d) Nếu R là vành Nơte và M là R-môđun có độ dài hữu hạn thì AssM = SuppM.
1.7. Hệ tham số
Cho M là một môđun hữu hạn sinh với dim M = d trên vành (R, m). Một hệ
gồm d phần tử x = (x1, ..., xd) của m sao cho l(M/(x1, ..., xd)M) < +∞ được gọi
là một hệ tham số của M. Nếu x = (x1, ..., xd) là một hệ tham số của M thì
hệ các phần tử (x1, ..., xi) được gọi là một phần hệ tham số với mọi i = 1, ..., d.
Iđêan q = (x1, ..., xd)R được gọi là iđêan tham số của M. Ta có một số tính chất
sau của hệ tham số:
a) dim(M/(x1, ..., xi)M) = d − i với mọi i = 1, ..., d.
b) xi+1 /∈ P với P ∈ Ass(M/(x1, ..., xi)M) thỏa mãn dim R/P = d − i, i =
1, ..., d − 1.

13. 11
c) Nếu x = (x1, ..., xd) là một hệ tham số của M và n = (n1, ..., nd) là một bộ
gồm d số nguyên dương thì x(n) = (xn1
1 , ..., xnd
d ) cũng là một hệ tham số của
M.
d) Nếu x = (x1, ..., xd) là một hệ tham số của M thì x cũng là một hệ tham số
của M, trong đó M là bao đầy đủ m − adic của M.
1.8. Số bội
Một hệ các phần tử x = (x1, ..., xt) của m sao cho l(M/(x1, ..., xt)M) < ∞ được
gọi là một hệ bội của M; ở đây nếu t = 0 thì ta hiểu điều kiện này có nghĩa là
l(M) < ∞. Chú ý rằng mỗi hệ tham số cũng là một hệ bội nhưng điều ngược lại
nói chung không đúng (ta luôn có t ≥ d). Khi đó kí hiệu bội e(x; M) của môđun
M đối với hệ bội x được định nghĩa qui nạp theo t như sau:
Giả sử t = 0 tức là l(M) < ∞. Khi đó đặt e(∅; M) = l(M).
Với t > 0, đặt 0 : x1 = {m ∈ M | mx1 = 0}. Khi đó 0 : x1 là một môđun
con của M. Vì l(M/(x1, ..., xt)M) < ∞ ta dễ dàng suy ra l((0 : x1)/(x2, ..., xt)(0 :
x1)) < ∞, tức (x2, ..., xt) là hệ bội của môđun con 0 : x1. Vậy theo giả thiết qui
nạp thì e(x2, ..., xt; M/x1M) và e(x2, ..., xt; 0 : x1) đã được xác định. Khi đó ta
định nghĩa:
e(x1, ..., xt; M) = e(x2, ..., xt; M/x1M) − e(x2, ..., xt; 0 : x1).
Sau đây là một số tính chất cơ bản của số bội e(x; M).
a) 0 ≤ e(x1, ..., xt; M) ≤ l(M/(x1, ..., xt)M). Đặc biệt, nếu tồn tại i sao cho
xn
i M = 0 với n là một số tự nhiên nào đó thì e(x1, ..., xt; M) = 0.
b) e(x1, ..., xt; M) = 0 khi và chỉ khi t > d.
c) e(xn1
1 , ..., xnt
t ; M) = n1...nte(x1, ..., xt; M).
d) Tính cộng tính của số bội: Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
0 −→ M −→ M −→ M −→ 0.

14. 12
Ta có x là hệ bội của M khi và chỉ khi x là hệ bội của M và M . Hơn nữa
e(x; M) = e(x; M ) + e(x; M ).
1.9. Dãy chính qui và độ sâu
Một phần tử x ∈ R được gọi là phần tử chính qui của M hay M-chính qui nếu
xm = 0 với mọi m ∈ M, m = 0. Dãy các phần tử (x1, ..., xn) của R được gọi là
dãy chính qui của R-môđun M hay còn gọi là M-dãy chính qui nếu thỏa mãn các
điều kiện:
(i) M/(x1, ..., xn)M = 0;
(ii) xi là M/(x1, ..., xi−1)M-chính qui với mọi i = 1, ..., n.
Chú ý rằng x ∈ R là phần tử chính qui của M khi và chỉ khi x /∈ P, ∀P ∈ AssM.
Do đó (x1, ..., xn) là dãy chính quy của M khi và chỉ khi
M/(x1, ..., xn)M = 0
và xi /∈ P, ∀P ∈ AssM/(x1, ..., xi−1)M, (i = 1, ..., n).
Cho I là một iđêan của R, (x1, ..., xr) là một M-dãy chính quy trong I. Khi
đó (x1, ..., xr) được gọi là một dãy chính qui cực đại trong I nếu không tồn tại
y ∈ I sao cho (x1, ..., xr, y) là dãy chính qui của M. Ta biết rằng mọi dãy chính
qui cực đại trong cùng một iđêan I có cùng độ dài và được gọi là độ sâu của M
đối với iđêan I, kí hiệu là depthI(M). Nếu I = m, ta kí hiệu depthm(M) đơn giản
hơn bởi depthM và được gọi là độ sâu của M.
Nếu (x1, ..., xr) là một dãy chính qui của M thì nó cũng là một phần hệ tham
số của M, do đó depthM ≤ dim M.
1.10. Dãy chính qui lọc (f-dãy)
Một dãy các phần tử (x1, ..., xr) của m được gọi là một dãy chính qui lọc (hay
ngắn gọn là f-dãy) của M nếu với mọi i = 1, ..., r ta có
(x1, ..., xr−1)M :M xi ⊆ (x1, ..., xi−1)M :M m

15. 13
trong đó
(x1, ..., xi−1)M :M m = {a ∈ M|mn
.a ⊆ (x1, ..., xi−1)M, n ∈}.
Các điều kiện sau đây là tương đương:
(i) Mỗi hệ tham số (x1, ..., xd) của M là một dãy chính qui lọc của M.
(ii) Mỗi phần của hệ tham số (x1, ..., xr) là không trộn lẫn đến thành phần m-
nguyên sơ, nghĩa là ∀P ∈ AssM/(x1, ..., xr)M{m} ta có dim R/P = d − r.
1.11. f-dãy chặt
Đối đồng điều địa phương. Cho I là một iđêan của R. Khi đó hàm tử I-xoắn
ΓI(−) từ phạm trù các R-môđun vào phạm trù các R-môđun được xác định bởi
ΓI(M) =
∞
n=1
(0 :M In
)
là hàm tử cộng tính, khớp trái, hiệp biến trong phạm trù các R-môđun với hàm
tử dẫn xuất phải thứ i là Ri
ΓI(−), i = 1, 2, .... Môđun đối đồng điều thứ i của
M, kí hiệu Hi
I(M), được định nghĩa bởi
Hi
I(M) = Ri
ΓI(M).
Khi I = m là iđêan cực đại của R thì Hi
m(M) là R-môđun Artin, hơn nữa
Hi
m(M) = 0, ∀i > d.
Tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun. Một R-môđun X được gọi
là môđun thứ cấp nếu với mọi r ∈ R phép nhân bởi r trên X là toàn cấu hoặc
lũy linh. Trong trường hợp này
√
AnnRX là một iđêan nguyên tố chẳng hạn
là P và ta gọi X là P-thứ cấp. Một biểu diễn thứ cấp của X là một phân tích
X = X1 + ... + Xn, trong đó Xi là môđun con Pi-thứ cấp với mọi i = 1, ..., n.
Biểu diễn trên được gọi là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của X nếu các Pi đôi một
khác nhau và không có Xi nào là thừa. Khi đó tập {P1, ..., Pn} xác định như
trên được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun X và kí hiệu bởi
AttRX (hoặc AttX nếu R đã được chỉ rõ).

16. 14
f-dãy chặt.
Một dãy các phần tử (x1, ..., xk) của m được gọi là một f-dãy chặt của M nếu
xj+1 /∈ P, ∀P ∈
d−j
i=1
Att(Hi
m(M/(x1, ..., xk)M){m}, j = 0, ..., k − 1.
Mỗi f-dãy chặt d phần tử là một hệ tham số của M. Với mỗi số nguyên dương
k thì f-dãy chặt k phần tử là tồn tại và nếu (x1, ..., xk) là f-dãy chặt của M thì
(xn1
1 , ..., xnk
k ) cũng là f-dãy chặt của M. M được gọi là hoán vị được nếu mọi hoán
vị của nó đều là f-dãy chặt của M.

17. 15
Chương 2:
Môđun giả Buchsbaum
Trong chương này, ta sẽ tìm hiểu và làm sáng tỏ một số vấn đề về môđun
giả Buchsbaum, lớp môđun được đề xuất nghiên cứu gần đây bởi N.T.Cường và
N.T.H.Loan trong [8]. Chương này được chia thành 3 tiết. Tiết 1 trình bày một số
tính chất về hàm JM , định nghĩa và một số tính chất của môđun giả Buchsbaum.
Đặc trưng của môđun giả Buchsbaum thông qua phân tích nguyên sơ được giới
thiệu trong tiết 2 dựa vào [8]. Trong tiết cuối cùng, chúng tôi đề xuất và chứng
minh một đặc trưng của môđun giả Buchsbaum thông qua hệ tham số thu gọn.
2.1. Khái niệm môđun giả Buchsbaum
Cho x = (x1, ..., xd) là một hệ tham số của M và n = (n1, ..., nd) là bộ d số
nguyên dương. Đặt x(n) = (xn1
1 , ..., xnd
d ) và gọi hiệu giữa số bội và độ dài
JM (x(n)) = n1...nde(x; M) − l(M/QM (x(n))),
trong đó
QM (x) =
t>0
(xt+1
1 , ..., xt+1
d )M : xt
1...xt
d
là môđun con của M. Ta có JM (x(n)) là một hàm theo n. Đây là hàm không
âm và đồng biến ([9]). Một câu hỏi mở của Sharp trong [13] là: hàm JM (x(n)) có
phải là đa thức theo n khi n đủ lớn (kí hiệu n 0)?. Câu trả lời nói chung là
không ([10]). Nhưng một điều thú vị là: bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức theo
n chặn trên JM (x(n)) là một bất biến. Bất biến đó được gọi là kiểu đa thức của
M, kí hiệu pf(M). Cụ thể, ta có định lí sau.
Định lí 2.1 (9, Theorem 3.2). Bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức theo n
chặn trên JM (x(n)) không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x.
Ta nhắc lại một số kết quả không chứng minh sau đây.

18. 16
Cho x = (x1, ..., xd) và y = (y1, ..., yd) là hai hệ tham số của M sao cho
(x)R ⊆ (y)R. Khi đó tồn tại ma trận B = (bij), bij ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ d sao cho
yi = d
j=1 bijxj. Đặt δ = detB. Ta có δQM (x) ⊆ QM (x). Khi đó tương ứng
δ : M/QM (x) → M/QM (y)
không phụ thuộc vào cách chọn ma trận B và được gọi là ánh xạ định thức. Ta
có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2. ([7], Lema 3.1) Cho x = (x1, ..., xd) và y = (y1, ..., yd) là hai hệ
tham số của M sao cho (x)R ⊆ (y)R. Khi đó ánh xạ
δ : M/QM (x) → M/QM (y)
là đơn ánh.
Mệnh đề 2.3. Các khẳng định sau là đúng.
(i) ([7], Lema 4.1) JM (x) = JM (x) = JM/H0
m(M)(x), với mọi hệ tham số x của
M.
(ii) ([7], Lema 4.2) Cho x = (x1, ..., xd) và y = (y1, ..., yd) là hai hệ tham số của
M sao cho (x)R ⊆ (y)R. Khi đó JM (x) ≤ JM (y).
Định nghĩa 2.4. ([8], Definition 3.1) R-môđun M được gọi là môđun giả Buchs-
baum nếu tồn tại hằng số K sao cho JM (x) = K với mọi hệ tham số x = (x1, ..., xd)
của M. Vành R được gọi là vành giả Buchsbaum nếu R là môđun giả Buchsbaum
trên chính nó.
Định lí 2.5. ([8], Lemma 3.3) Các khẳng định sau là đúng:
(i) M là môđun giả Buchsbaum nếu và chỉ nếu M/H0
m(M) cũng là môđun giả
Buchsbaum.
(ii) Cho M là môđun giả Buchsbaum và x = (x1, ..., xd) là hệ tham số thu gọn
của M. Khi đó M/(x1, ..., xi)M là môđun giả Buchsbaum với mọi i = 1, ...d.
Chứng minh. (i). Vì JM (x) = JM/H0
m(M)(x) nên theo Mệnh đề 2.3 ta có điều phải
chứng minh.

19. 17
(ii). Bằng qui nạp theo i. Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp i = 1. Khi
x1 là phần tử tham số thu gọn , dim(0 :M x1) < d − 1. Khi đó Khi đó M/x1M là
môđun giả Buchsbaum theo Mệnh đề 2.2
Ta có kết quả quan trọng sau đây về môđun giả Buchsbaum khi chuyển qua
đầy đủ theo tôpô m-adic.
Định lí 2.6. ([8], Proposition 3.4) M là môđun giả Buchsbaum nếu và chỉ nếu
phủ đầy đủ m-adic M của M là môđun giả Buchsbaum trên R.
Chứng minh. Cho M là môđun giả Buchsbaum. Đặt y = (y1, ..., yd) là một hệ
tham số của M và q = yR ∩ R. Khi đó tồn tại iđêan b = (x1, ..., xd)R của q
với x = (x1, ..., xd) là hệ tham số của M, sao cho e(x; M) = e(q; M). Do đó
e(x; M) = e(y; M). Khi (x)R ⊆ (y)R thì theo Mệnh đề 2.2 ta có l(M/QM (x)) ≥
l(M/QM (y)). Do đó JM (x) ≤ JM (y). Khi M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng
thì M cũng vậy, và ta có JM (y) ≤ J(M). Trường hợp còn lại, nếu M là môđun
giả Buchsbaum thì JM (x) = J(M). Do đó JM (x) = J(M) theo Mệnh đề 2.3. Vậy
JM (y) = J(M) và M là môđun giả Buchsbaum.
Vì mọi hệ tham số của M cũng là hệ tham số của M nên chiều đảo của định
lí được suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.3.
2.2. Đặc trưng môđun giả Buchsbaum thông qua phân
tích nguyên sơ
Mở đầu tiết này là định lí chỉ ra đặc trưng của môđun giả Buchsbaum. Tiếp
theo đó là các bổ đề cần thiết cho việc chứng minh định lí kèm theo một vài hệ
quả và ví dụ.
Định lí 2.7. ([8], Theorem 1.1) M là môđun giả Buchsbaum khi và chỉ khi M =
M/UM (0) là môđun Buchsbaum trên vành R. Trong trường hợp này ta có
JM (x) = J(M)
với mọi hệ tham số x = (x1, ..., xd) của M.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết R = R (xem Định
lí 2.6). Khi R chứa phức đối ngẫu thì Định lí 2.7 là hệ quả trực tiếp từ Bổ đề 2.12

20. 18
mà ta sẽ từng bước giới thiệu sau đây.
Nhắc lại rằng M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu kiểu đa thức p(M)
của nó là một số không dương. Ta có kết quả sau.
Bổ đề 2.8. ([8], Lemma 4.1) Cho M là môđun giả Buchsbaum. Giả sử rằng M là
môđun Cohen-Maacaulay suy rộng. Khi đó mHi
m(M) = 0 với mọi i = 1, ..., d − 1.
Chứng minh. Khi Hi
m(M/H0
m(M)) ∼= Hi
m(M) với mọi i > 0, từ Định lí 2.5 ta có
thể giả thiết rằng depthM > 0. Ta chứng minh bổ đề bằng qui nạp theo d. Trường
hợp d = 1 là hiển nhiên. Trường hợp d = 2. Lấy x ∈ R là một phần tử tham số
bất kì của M. Khi đó, theo [14, Proposition 1.9] tồn tại hệ tham số y1, ..., yt ∈ m
của M/xM. Khi M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng ta có dãy sau là khớp:
0 → H1
m(M)/yiH1
m(M) → Mi/QMi ((xn
)) → M/QM ((yi, xn
)) → 0
với n đủ lớn và Mi = M/yiM. Khi đó ta có
JM ((yi, xn
)) = JMi ((xn
)) + l(H1
m(M)/yiH1
m(M)).
Khi đó dimMi = 1, JMi ((xn
)) = 0. Vì vậy,
JM ((yi, xn
)) = l(H1
m(M)/yiH1
m(M)).
Trường hợp còn lại, JM ((yn
i , xn
)) = l(H1
m(M)). Khi đó
l(H1
m(M)/yiH1
m(M)
vì M là môđun giả Buchsbaum. Suy ra yiH1
m(M) = 0 với mọi i = 1, ..., t. Hay
mHi
m(M) = 0.
Với d ≥ 3. Vì M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng và depthM > 0 nên tồn
tại phần tử x ∈ m không là ước của 0 sao cho xHi
m(M) = 0, i = 1, ..., d − 1. Từ
dãy khớp
0 → M →M
→ M/xM → 0
ta có dãy khớp các môđun đối đồng điều địa phương
0 → Hi
m(M) → Hi
m(M/xM) → Hi+1
m (M) → 0,

21. DOWNLOAD ĐỂ XEM ĐẦY ĐỦ NỘI DUNG
MÃ TÀI LIỆU: 53519
DOWNLOAD: + Link tải: tailieumau.vn
Hoặc : + ZALO: 0932091562