Luận văn thạc sĩ của Lê Thị Thanh Tuyết nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert bằng phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất. Tài liệu trình bày các khái niệm cơ bản về không gian Banach, không gian Hilbert, và các định lý quan trọng liên quan đến ổn định theo Lyapunov. Luận văn cũng áp dụng lý thuyết vào một số mô hình cụ thể, như mô hình dân số phụ thuộc tuổi.

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ THỊ THANH TUYẾT
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV
VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ
NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2011

2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ THỊ THANH TUYẾT
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV
VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ
NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU
Hà Nội - Năm 2011

3. Mục lục
Lời nói đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Phổ của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và toán tử sinh 10
1.4.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach . . . . 10
1.4.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . 13
2 Sự ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert 15
2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . 15
2.2 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi phân trong không
gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Các định lý về ổn định theo Lyapunov . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Sự ổn định theo Lyapunov của một số phương trình vi phân có
dạng đặc biệt trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Các khái niệm về J-ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Các định lý về J-ổn định theo Lyapunov . . . . . . . . . . . 29
1

4. 2.4 Phương pháp xây dựng hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Toán tử tiến hóa của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháp xấp xỉ
thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh và bài toán ứng dụng 49
3.1 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Mô hình chung của bài toán dân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Mô hình cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Kết luận 58
2

5. Lời nói đầu
Lý thuyết ổn định là một trong những bộ phận quan trọng trong lý
thuyết định tính của phương trình vi phân (LTDTCPTVP). Một trong những
hướng nghiên cứu quan trọng được nhiều người quan tâm của LTDTCPTVP
là lý thuyết ổn định theo Lyapunov (1857-1918). Dù đã trải qua thời gian dài
nhưng lý thuyết ổn định vẫn là một trong những lĩnh vực được nhiều nhà toán
học quan tâm nghiên cứu và đã thu được nhiều thành tựu quan trọng. Đồng
thời lý thuyết ổn định cũng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: Vật
lý, Khoa học kỹ thuật công nghệ, Sinh thái học, ...
Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân trong không gian
Hilbert chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, tuy nhiên trong
khuôn khổ của một luận văn thạc sỹ toán học, trong bản luận văn này chúng tôi
sẽ sử dụng hai phương pháp cơ bản là phương pháp Lyapunov và phương pháp
nửa nhóm.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành
ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày một số kiến thức cơ bản của giải
tích hàm và nửa nhóm toán tử tuyến tính trong không gian Banach sẽ sử dụng
trong các chương sau.
Chương 2: Trình bày các khái nệm về sự ổn định của phương trình vi phân
trong không gian Hilbert theo phương pháp hàm Lyapunov và xấp xỉ thứ nhất.
Đồng thời thông qua việc xét lớp các hệ phương trình vi phân có dạng đặc biệt
(dạng "tựa tam giác") chúng tôi đưa ra khái niệm ổn định từng phần (J ổn
3

6. định) cho hệ vô hạn các phương trình vi phân và xác lập mối quan hệ giữa tính
ổn định theo Lyapunov và J-ổn định. Ngoài ra, trong chương này chúng tôi cũng
trình bày phương pháp xây dựng hàm Lyapunov cho một số hệ phương trình vi
phân tuyến tính dạng đơn giản.
Chương 3: Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về
phương trình tiến hóa đặt chỉnh và sử dụng phương pháp nửa nhóm các toán tử
tuyến tính liên tục mạnh trong không gian Banach để nghiên cứu bài toán ứng
dụng trong mô hình dân số phụ thuộc tuổi.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới PGS. TS. Đặng Đình Châu, người thầy
đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn
này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, Khoa
Toán - Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia
Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại
trường.
Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Tác giả rất mong
nhận được sự góp ý của quý bạn đọc.
4

7. Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert
1.1.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. X là không gian định chuẩn trên trường K, tức là đối với
mỗi x ∈ X có xác định một số không âm ||x||, gọi là chuẩn của x, thỏa mãn các
điều kiện sau:
• ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X; ||x|| = 0 ⇔ x = 0;
• ||λx|| = |λ|||x||, ∀λ ∈ K, x ∈ X;
• ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.1.2. Không gian X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy
trong X đều là dãy hội tụ (tức là, nếu {xn}∞
n=1 là dãy Cauchy trong X thì tồn
tại x0 ∈ X mà xn → x0(n → ∞)).
Định nghĩa 1.1.3. Nếu không gian tuyến tính định chuẩn (X, ||.||) là không gian
đầy đủ thì (X, ||.||) được gọi là không gian Banach.
Định lý 1.1.1. (Định lý Banach-Steinhaus) Một họ bị chặn từng điểm của các
phép toán liên tục tuyến tính từ không gian Banach X vào không gian định chuẩn
thì bị chặn đều.
Định lý này còn được gọi là nguyên lý bị chặn đều.
5

8. 1.1.2 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.4. (Không gian tiền Hilbert)
Không gian tuyến tính X xác định trên trường số thực được gọi là không gian
tiền Hilbert nếu mọi x, y ∈ X, xác định một số (x, y) gọi là tích vô hướng của x
và y thỏa mãn các tiên đề
• Xác định dương: (x, x) ≥ 0 với ∀x ∈ X. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = 0.
• Đối xứng: (x, y) = (y, x) với ∀x, y ∈ X.
• Song tuyến tính:
(αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) với ∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈ X.
Định nghĩa 1.1.5. (Không gian Hilbert)
Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đầy đủ.
1.2 Toán tử tuyến tính
Định nghĩa 1.2.1. (Toán tử tuyến tính)
Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn, toán tử A tác dụng từ
không gian X vào không gian Y là được gọi là tuyến tính nếu:
∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ K thì A(αx + βy) = αAx + βAy.
(trong đó K là trường số).
Một số tính chất của toán tử
1. A0 = 0.
2. A(−x) = −Ax.
3. A(tx) = tAx ∀t ∈ R.
6

9. Định nghĩa 1.2.2. Toán tử tuyến tính A được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu
với mọi dãy xn hội tụ đến x0, ta đều có Axn → Ax0 (n → ∞).
Định lý 1.2.1. Nếu toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x0 ∈ X thì A liên
tục tại mọi điểm x ∈ X.
Như vậy để kiểm tra tính liên tục của toán tử tuyến tính A (trong toàn không
gian) ta chỉ cần kiểm ra tính liên tục tại x = 0.
Định nghĩa 1.2.3. (Toán tử tuyến tính giới nội)
Giả sử X, Y là các không gian Banach. Toán tử A : X → Y được gọi là toán tử
tuyến tính giới nội (bị chặn) nếu A là toán tử tuyến tính và đưa mọi tập giới
nội vào tập giới nội.
Xuyên suốt khoá luận này ta sẽ kí hiệu L(X) là không gian các toán tử tuyến
tính giới nội trên X.
Định lý 1.2.2. Toán tử tuyến tính A liên tục khi và chỉ khi nó giới nội.
Định lý 1.2.3. Giả sử X, Y là các không gian Banach và A : X → Y là toán tử
tuyến tính. Điều kiện cần và đủ để toán tử A giới nội là tồn tại một số c > 0 sao
cho:
Ax c x ∀x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử X, Y là các không gian Banach. Chuẩn A của toán
tử tuyến tính liên tục A : X → Y là đại lượng:
A = sup
x 1
Ax = sup
x=0
Ax
x
.
1.3 Phổ của toán tử tuyến tính
Giả sử X là không gian Banach.
7

10. Định nghĩa 1.3.1. Xét toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X với tập xác định
D(A), trong đó D(A) là không gian vector con của X.
- Điểm λ ∈ C được gọi là giá trị chính quy của A nếu (λI − A) là song ánh giữa
D(A) và X đồng thời (λI − A)−1 ∈ L(X).
- Tập các giá trị chính quy, ký hiệu ρ(A) được gọi là tập giải của toán tử A.
- Tập hợp các điểm không phải là giá trị chính quy của A gọi là phổ của toán tử
A (kí hiệu là σ(A)). Ta có σ(A) = C ρ(A).
- Toán tử R(λ, A) = (λI −A)−1được gọi là toán tử giải hoặc giải thức đối với toán
tử A.
Nếu A là toán tử đóng thì (λI − A) cũng là toán tử đóng (do λI liên tục). Do
đó nếu (λI − A)−1 tồn tại thì cũng là toán tử đóng. Suy ra nếu (λI − A) là song
ánh giữa D(A) và X, A là toán tử đóng thì theo định lý đồ thị đóng (λI − A)−1
là liên tục. Vậy đối với toán tử đóng định nghĩa phổ có thể phát biểu lại là:
ρ(A) = λ ∈ C : λI − A là song ánh giữa D(A) và X .
σ(A) = Cρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) : D(A) → X không là song ánh}.
Một số tính chất của phổ
Định lý 1.3.1. Nếu toán tử A không có phổ là toàn mặt phẳng phức C thì A là
toán tử đóng.
Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại λ /∈ σ(A). Khi đó B = (λI − A)−1 ∈ L(X);
B : X → D(A).
Giả sử {xn}n ⊂ D(A): xn → x, Axn → y.
Đặt hn = (λI − A)xn. Suy ra lim
n↓∞
hn = λx − y.
Vì B liên tục nên B(λx − y) = lim
n↓∞
Bhn = lim
n↓∞
xn = x. Suy ra x ∈ D(A).
Ta có: (λI − A)x = (λI − A)B(λx − y) = λx − y. Suy ra Ax = y.
Vậy A là toán tử đóng.
8

11. Mệnh đề 1.3.1. giả sử A : D(A) ⊂ X → X và B : D(B) ⊂ X → X là các
toán tử tuyến tính sao cho R(λ0, A) = R(λ0, B) với λ0 nào đó thuộc C, khi đó
D(A) = D(B) và A = B.
Chứng minh. Thật vậy, D(A) = RangeR(λ0, A) = RangeR(λ0, B) = D(B),và với
mọi x ∈ D(A) = D(B) ta có
R(λ0, A)(λ0x − Ax) = R(λ0, B)(λ0x − Ax) = R(λ0, B)(λ0x − Bx)
do đó λ0x − Ax = λ0x − Bx, suy ra Ax = Bx.
Tiếp theo ta có phương trình giải thức sau
R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A), ∀λ, µ ∈ ρ(A)
Mệnh đề 1.3.2. Cho Ω ⊂ C là tập mở, {F(λ) : λ ∈ Ω} ⊂ L(X) là họ các toán
tử tuyến tính thỏa mãn
F(λ) − F(µ) = (µ − λ)F(λ)F(µ) ∀λ, µ ∈ Ω.
Giả sử với λ0 nào đó, λ0 ∈ Ω, toán tử F(λ0) khả nghịch. Khi đó tồn tại toán tử
tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X sao cho ρ(A) ⊃ Ω và R(λ, A) = F(λ) với λ ∈ Ω.
Chứng minh Với mỗi λ0 ∈ Ω, đặt
D(A) = RangeF(λ0), Ax = λ0x − F(λ0)−1
x, ∀x ∈ D(A).
Với λ ∈ Ω và y ∈ X, phương trình giải thức λx − Ax = y tương đương với
(λ − λ0)x + F(λ0)−1x = y. Suy ra (λ − λ0)F(λ)x + F(λ)F(λ0)−1x = F(λ)y. Do đó
F(λ)F(λ0)−1 = (λ0 − λ)F(λ) + I. Suy ra, phương trình giải thức có nghiệm duy
nhất x = F(λ)y. Vậy λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = F(λ).
9

12. 1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Ba-
nach và toán tử sinh
1.4.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach
Định nghĩa 1.4.1. Một họ (T(t))t≥0 của toán tử tuyến tính liên tục trên không
gian Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0− nửa nhóm) nếu
nó thỏa mãn phương trình hàm
(FE)
T(t + s) = T(t)T(s) ∀t, s ≥ 0,
T(0) = I
và
lim
t→t0
T(t)x = T(t0)x, với ∀x ∈ X
Chú ý. i) Nếu (T(t))t∈R ⊂ L(X) thỏa mãn các điều kiện trên với mỗi t, s ∈ R thì
ta có một nhóm liên tục mạnh các toán tử tuyến tính liên tục.
ii) Trong trường hợp nửa nhóm tại t0 = 0 ta lấy giới hạn bên phải.
Tiếp theo chúng ra sẽ đi tìm các điều kiện tương đương với tính liên tục mạnh.
Mệnh đề 1.4.1. (xem [4], tr.38) Cho một nửa nhóm (T(t))t≥0 trên một không
gian Banach X. Khi đó các tính chất sau là tương đương
(i) (T(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh.
(ii) lim
t↓0
T(t)x = x, ∀x ∈ X.
(iii) Có một số δ > 0, M ≥ 1, và một tập con trù mật D ⊂ X thỏa mãn
(a) ||T(t)|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ],
(b) lim
t↓0
T(t)x = x, ∀x ∈ D.
Mệnh đề 1.4.2. (xem [4], tr.39) Cho một nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t≥0.
Khi đó tồn tại hằng số w ∈ R và M ≥ 1 thỏa mãn
||T(t)|| ≤ Mewt
, ∀t ≥ 0. (1.1)
10

13. Ví dụ 1.4.1. Cho A ∈ Mn(C) và t ≥ 0, chuỗi
etA
=
∞
k=0
tk.Ak
k!
(1.2)
hội tụ tuyệt đối.
Hơn nữa ánh xạ
R+ t → etA
∈ Mn(C)
là liên tục và thỏa mãn
(FE)
e(t+s)A = etAesA ∀t, s ≥ 0,
e0A = I.
hay (T(t))t≥0 = etA là nửa nhóm liên tục mạnh.
Chứng minh.
Do ||etA|| = ||
∞
k=0
tkAk
k!
|| ≤
∞
k=0
|t|k||A||k
k!
= e|t|||A|| < ∞,
nên chuỗi etA hội tụ tuyệt đối. Khi đó sử dụng quy tắc Cauchy về nhân chuỗi
lũy thừa, ta có
∞
k=0
tkAk
k!
.
∞
k=0
skAk
k!
=
∞
n=0
n
k=0
tn−k.An−k
(n − k)!
.
skAk
k!
=
∞
n=0
(t + s)n.An
n!
.
Suy ra (FE) được chứng minh.
Ta chỉ ra t → etA liên tục.
Từ tính chất (FE) ta có e(t+h)A − etA = etA(ehA − I) ∀t, h ≥ 0.
Do
||ehA
− I|| = ||
∞
k=1
hk.Ak
k!
|| ≤
∞
k=1
|h|k.||A||k
k!
= e|h|||A||
− 1,
nên lim
h→0
ehA = I, suy ra lim
h→0
(e(t+h)A − etA) = 0.
Suy ra t → etA liên tục.
Vậy (T(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh.
Định nghĩa 1.4.2. Cho một nửa nhóm liên tục mạnh T = (T(t))t≥0, chúng ta
gọi ω0 là cận tăng trưởng nếu
ω0 = ω0(T) = inf{w ∈ R : tồn tại Mw ≥ 1 thỏa mãn ||T(t)|| ≤ Mwewt
∀t ≥ 0}.
11

14. Xét trong trường hợp đặc biệt:
- Nếu w = 0, nửa nhóm (T(t))t≥0 được gọi là nửa nhóm bị chặn.
- Nếu w = 0 và M = 1, (T(t))t≥0 được gọi là là nửa nhóm co.
- Nếu ||T(t)x|| = ||x|| ∀t ≥ 0 và x ∈ X, nửa nhóm (T(t))t≥0 được gọi là đẳng cự.
Định nghĩa 1.4.3. Nửa nhóm điều chỉnh (Rescaled)
∀µ ∈ C và α > 0 chúng ta định nghĩa nửa nhóm điều chỉnh (S(t))t≥0 bởi
S(t) = eµt
T(αt).
Định nghĩa 1.4.4. Nửa nhóm (T(t))t≥0 được gọi là nửa nhóm ổn định mũ đều
nếu tồn tại các hằng số ω > 0, M ≥ 1 sao cho
||T(t)|| ≤ Me−ωt
, t ≥ 0
Định nghĩa 1.4.5. Nửa nhóm (T(t))t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục đều trong
L(X) nếu R+ t → T(t) liên tục đối với Tôpô chuẩn (Tôpô đều) trong L(X),
tức là
lim
h→0
||T(t + h) − T(t)|| = 0, ∀t ≥ 0
Mệnh đề 1.4.3. (xem [4]) Giả sử toán tử A ∈ L(X), chúng ta định nghĩa
(etA)t≥0 như sau:
etA
=
∞
n=0
tnAn
n!
, ∀t ≥ 0.
Khi đó các tính chất sau là đúng.
(i) (etA)t≥0 là nửa nhóm trên X thỏa mãn
R+ t → etA
∈ (L(X), ||.||)
là liên tục.
(ii) Ánh xạ R+ t → etA ∈ (L(X), ||.||) là khả vi và thỏa mãn phương trình vi
phân
12

15. (DE)
d
dtT(t) = AT(t), ∀t ≥ 0,
T(0) = I.
Ngược lại, mọi hàm khả vi T(.) : R+ → (L(X), ||.||) thỏa mãn (DE) có dạng
T(t) = etA
với A = ˙T(0) ∈ L(X).
1.4.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
Để xây dựng khái niệm toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết
ta chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 1.4.1. (xem [4], tr.48) Cho một nửa nhóm (T(t))t≥0 liên tục mạnh và
một phần tử x ∈ X. Đối với ánh xạ quỹ đạo ξx : t → T(t)x, các tính chất sau là
tương đương.
(i) ξx(.) là khả vi trên R+.
(ii) ξx(.) khả vi bên phải tại t = 0.
Định nghĩa 1.4.6. Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X của nửa nhóm liên tục
mạnh (T(t))t≥0 trên không gian Banach X là toán tử
Ax = ˙ξx(0) = lim
h↓0
1
h
(T(h)x − x)
xác định với mọi x trong miền xác định của nó
D(A) = {x ∈ X : ξx là khả vi trên R+}.
Theo bổ đề 1.4.1, ta thấy miền xác định D(A) là tập tất cả các phần tử x ∈ X
mà ξx(.) là khả vi bên phải tại t = 0. Do đó
D(A) = {x ∈ X : lim
h↓0
1
h
(T(h)x − x) tồn tại}. (1.3)
Miền D(A) là một không gian vector, và chúng ta ký hiệu toán tử sinh của nó
là (A, D(A)). Chúng ta thường chỉ viết A, và coi miền xác định của nó là cho bởi
(1.3).
Sau đây là một vài tính chất của toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh.
13

16. Mệnh đề 1.4.4. (xem [4], tr.50) Cho toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm liên
tục mạnh (T(t))t≥0, các tính chất sau là đúng.
(i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính.
(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T(t)x ∈ D(A) và
d
dt
T(t)x = T(t)Ax = AT(t)x ∀t ≥ 0. (1.4)
(iii) ∀t ≥ 0 và x ∈ X, ta có
t
0
T(s)xds ∈ D(A).
(iv) ∀t ≥ 0, ta có
T(t)x − x = A
t
0
T(s)xds nếu x ∈ X, (1.5)
=
t
0
T(s)Axds nếu x ∈ D(A). (1.6)
Định lý 1.4.1. (xem [4], tr.73) Định lý toán tử sinh của nửa nhóm (Hille,Yosida)
Cho (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X. Khi đó
các tính chất sau là tương đương.
(a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm co liên tục mạnh.
(b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với mỗi λ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) và
||λR(λ, A)|| ≤ 1. (1.7)
(c) (A, D(A)) là đóng, xác định trù mật, với mỗi ∀λ ∈ C mà Reλ > 0, ta có
λ ∈ ρ(A) và
||R(λ, A)|| ≤
1
Reλ
. (1.8)
14

17. Chương 2
Sự ổn định của phương trình vi
phân trong không gian Hilbert
2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert
Cho H là không gian Hilbert. Trong H ta xét phương trình vi phân:
dx(t)
dt
= f(t, x(t)), (2.1)
trong đó
f : R+
× H −→ H.
(t ≥ 0; x(.) ∈ H)
Bài toán Cauchy. Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (2.1) thỏa mãn điều
kiện ban đầu x(t0) = x0 với (t0, x0) ∈ I × H cho trước.
Tương ứng với bài toán Cauchy của phương trình (2.1), người ta thường xét
phương trình dạng tích phân:
x(t) = x0
+
t
t0
f(τ, x(τ))dτ. (2.2)
Nhận xét. Nếu f liên tục theo chuẩn trong H thì ta có thể chỉ ra rằng nghiệm
của (2.2) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại.
15

18. Định lý 2.1.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử tồn tại lân cận đóng (t0, x0) sao cho trong lân cận đó hàm f(t, x) liên
tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz
||f(t, x2) − f(t, x1)|| ≤ M||x2 − x1|| (2.3)
(M là hằng số dương hữu hạn).
Khi đó tồn tại lân cận của (x0, t0) mà trong lân cận đó (2.1) có duy nhất nghiệm
x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0.
Chứng minh. xem [2]
Chú ý. Nghiệm x(t) chỉ tồn tại duy nhất trên ||t − t0|| ≤ ε , ||x − x0|| ≤ η với
ε, η đủ nhỏ. Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại nghiệm trên toàn bộ [a, b].
Định lý 2.1.2. (Tính duy nhất nghiệm toàn cục)
Giả sử tồn tại miền [a, b] × H mà trên miền đó hàm f(t,x) liên tục theo t vào
thỏa mãn điều kiện Lipschitz (2.3). Khi đó với mọi (t0, x0) ∈ [a, b] × H, bài toán
Cauchy có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên [a, b] .
Chứng minh. xem [2]
Định lý 2.1.3. (Sự kéo dài nghiệm trong không gian Hilbert)
Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0, hàm f(t, x) thỏa mãn điều kiện
||f(t, x(t))|| ≤ L(||x||),
trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất
r
r0
dr
L(r)
→ ∞ khi r → ∞
Khi đó mọi nghiệm của phương trình (2.2) có thể kéo dài trên khoảng thời gian
vô hạn t0 ≤ t < ∞.
Chứng minh. xem [2]
16

19. 2.2 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi
phân trong không gian Hilbert
2.2.1 Các khái niệm về ổn định
Giả sử H là không gian Hilbert tách được;
D = R+
× H.
Xét phương trình vi phân
dx
dt
= f(t, x), (2.4)
trong đó t ∈ R+; x ∈ H, f : D −→ H là một hàm liên tục thỏa mãn f(t, 0) = 0 và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là tồn tại hằng số L > 0 sao cho:
Với mọi (t, x1), (t, x2) ∈ D thì ||f(t, x1) − f(t, x2)|| ≤ L||x1 − x2||.
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày lại một số định lý cơ bản về tính ổn định
của nghiệm tầm thường của phương trình vi phân trong không gian Hilbert theo
phương pháp thứ hai Lyapunov. Trước hết chúng ta nhắc lại một số định nghĩa
về sự ổn định của nghiệm tầm thường.
Ký hiệu:
G = {x : x ∈ H, ||x|| ≤ r < +∞};
x(t) = x(t, t0, x0) là nghiệm của (2.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu
x(t0) = x0 (x0 ∈ G).
Định nghĩa 2.2.1. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.4)
được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu
∀ε > 0, t0 ∈ R+
; ∃δ = δ(t0, ε) > 0 : ∀x0 ∈ G; ||x0|| < δ ⇒ ||x(t, t0, x0)|| < ε; ∀t ≥ t0.
Định nghĩa 2.2.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (
2.4) được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (2.2.1) có
thể chọn không phụ thuộc vào t0.
17

20. Định nghĩa 2.2.3. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.4)
được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu
(i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định.
(ii) Tồn tại = (t0) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ G và ||x0|| < thì
lim
t→+∞
||x(t, t0, x0)|| = 0.
Định nghĩa 2.2.4. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.4)
được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu:
(i) Nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều.
(ii) Tồn tại > 0 (không phụ thuộc vào t0) sao cho với mọi x0 ∈ G thỏa mãn
||x0|| < thì
lim
t→+∞
||x(t, t0, x0)|| = 0.
Định nghĩa 2.2.5. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (
2.4) được gọi là ổn định mũ khi t → ∞ nếu mọi nghiệm x = x(t, t0, x0) của (2.4)
thỏa mãn
||x(t, t0, x0)|| ≤ B||x0||e−α(t−t0)
,
trong đó B, α là các hằng số dương nào đó không phụ thuộc vào (t0, x0).
Định nghĩa 2.2.6. (Phiếm hàm Lyapunov) Ta nói phiếm hàm V : R+ ×H → R
là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo
biến thứ hai.
Đạo hàm phải của V dọc theo nghiệm của (2.4), kí hiệu là
.
V (t, x) được xác định
bởi
.
V (t, x) = lim
h→+∞
1
h
{V [t + h, x + hf(t, x)] − V (t, x)}.
2.2.2 Các định lý về ổn định theo Lyapunov
Ký hiệu CPI: Họ các hàm tăng, liên tục, xác định dương. Chúng ta có các
định lý ổn định của nghiệm tầm thường như sau:
18

21. Định lý 2.2.1. (Định lý ổn định)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × H → R+ và hàm
a(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện:
(i) V (t, 0) = 0;
(ii) a(||x||) ≤ V (t, x);
(iii)
.
V (t, x) ≤ 0.
Khi đó, nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.4) là ổn định.
Chứng minh. Giả sử có hàm V (t, x) thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii), ta sẽ
chứng minh nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.4) là ổn định.
Cho ε > 0 đủ bé, ta xác định mặt cầu
Sε = {x : x ∈ H, ||x|| = ε}.
Từ (ii) ta suy ra
0 < a(ε) ≤ V (t, x), t ∈ R+
, x ∈ Sε.
Vì V (t, 0) = 0, V (t, x) là hàm liên tục nên với t0 cố định và a(ε) > 0 tồn tại số
δ(t0, ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ(t0, ε) thì V (t0, x) < a(ε).
Lấy x(t, t0, x0) là nghiệm của (2.4) sao cho ||x0|| < δ, ta sẽ chứng minh
||x(t, t0, x0)|| < ε, ∀t ≥ t0.
Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại t1 > t0 sao cho nghiệm x(t, t0, x0) với ||x0|| < δ
thỏa mãn
||x(t1)|| = ε.
Từ điều kiện (iii) ta suy ra
V (t1, x(t1)) ≤ V (t0, x(t0)),
từ đó ta suy ra
a(ε) ≤ V (t1, x(t1)) ≤ V (t0, x(t0)) < a(ε).
19

22. Mâu thuẫn trên chứng tỏ điều giả sử là sai. Như vậy nếu ||x0|| < δ thì
||x(t, t0, x0)|| < ε, ∀t ≥ t0,
tức là nghiệm tầm thường x ≡ 0 ổn định.
Định lý 2.2.2. (Định lý ổn định đều)
Giả sử tồn tại phiếm hàm Lyapunov V : R+ × H → R+ và các hàm a(.), b(.) ∈
CIP thỏa mãn điều kiện:
(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||).
(ii)
.
V (t, x) ≤ 0.
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.4) ổn định đều.
Chứng minh. Xét mặt cầu
Sε = {x : x ∈ H, ||x|| = ε}.
Từ điều kiện (i) ta có a(||x||) ≤ V (t, x) suy ra a(ε) ≤ V (t, x), với mọi x ∈ Sε.
Đồng thời, do
V (t, x) ≤ b(||x||) và b(||x||) ∈ CIP
nên với a(ε) > 0 ta chọn được số δ = δ(ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ(ε) thì
b(||x||) < a(ε), do đó b(δ) < a(ε).
Lấy một nghiệm x(t0, x0) tùy ý của (2.4) với ||x0|| < δ(ε) thì với t0 cố định bất
kỳ từ giả thiết
.
V (t, x) ≤ 0, ta có
a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ V (t0, x0) ≤ b(||x0(t)||) ≤ b(δ) < a(ε).
Như vậy với ||x0|| < δ(ε) thì
||x(t, t0, x0)|| < ε, ∀t ≥ t0.
Do đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định đều.
20

23. Định lý 2.2.3. (Định lý ổn định tiệm cận đều)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × H → R+ và các hàm
a(.), b(.), c(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện:
(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||).
(ii)
.
V (t, x) ≤ −c(||x||).
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.4) ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh. Tương tự như trong (2.2.2), ta có nghiệm x ≡ 0 là ổn định đều.
Ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận đều.
Do nghiệm x ≡ 0 ổn định đều nên tồn tại δ0 > 0 sao cho với mọi t0 ∈ R+,
||x|| ≤ δ0, ta có:
||x(t, t0, x0)|| < M < +∞, ∀t ≥ t0.
Mặt khác, với mọi ε > 0 tồn tại số δε > 0 sao cho t0 ∈ R+, ||x|| ≤ δε, ta có
||x(t, t0, x0)|| < ε, ∀t ≥ t0.
Giả sử ngược lại tồn tại một nghiệm x(t, t0, x0), t0 ∈ R+, ||x|| ≤ δ0 nhưng
lim
t→+∞
||x(t, t0, x0)|| = 0, khi đó tồn tại dãy {tk} với tk ≥ t0 lim
k→+∞
tk = +∞ sao
cho
δ(ε) ≤ ||xtk || < M.
Kết hợp với điều kiện (ii)
.
V (t, x) ≤ −c(||x||), ta suy ra tồn tại γ > 0 sao cho
.
V (t, x) < −γ.
Do δ(ε) ≤ ||x(tk)|| < M nên
t
t0
.
V (t, x(τ))d(τ) ≤
t
t0
−γd(τ).
Do đó
V (t, x) ≤ V (t0, x0) − γ(t − t0) → −∞ khi t → +∞,
mâu thuẫn với giả thiết (i).
Mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai.
21

24. Do đó lim
t→+∞
||x(t, t0, x0)|| = 0.
Như vậy nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.4) ổn định tiệm cận đều.
Nhận xét. Trong định lý (2.2.3), thay cho điều kiện c(.) ∈ CIP, ta có thể lấy
c(.) là hàm liên tục, xác định dương.
2.3 Sự ổn định theo Lyapunov của một số phương
trình vi phân có dạng đặc biệt trong không gian
Hilbert
2.3.1 Các khái niệm về J-ổn định
Trong không gian Hilbert tách được H ta xét cơ sở trực chuẩn đếm được
{ei}∞
1 . Khi đó với mọi x ∈ H đều viết được dưới dạng x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) với
x =
∞
i=1
xiei.
Giả sử Pn : H → H là phép chiếu được xác định bởi
Pn(x) = Pn
∞
i=1
xiei = x∗
= (x1, x2, . . . , xn, 0, 0 . . .).
Đặt Hn = Pn(H); J = {nj}n
1 là dãy tăng thực sự trong N.
Xét phương trình vi phân
dx
dt
= f(t, x), t ≥ 0; (2.5)
với f : R+ × H → H là toán tử thỏa mãn điều kiện đảm bảo sự tồn tại duy
nhất nghiệm của bài toán Cauchy và kéo dài trên toàn bộ R+ (đã xét trong 2.1),
f(t, 0) = 0 và thỏa mãn điều kiện
f(t, Pmx) = Pmf(t, Pmx); ∀x ∈ H, m ∈ J. (2.6)
Tiếp theo để minh họa cho giả thiết (2.6) chúng ta có thể xét phương trình vi
phân trong l2 viết dưới dạng của một hệ đếm được các phương trình vi phân
như sau:
22

25. 


dx1
dt
= f1(t, x1, x2, . . . , xn1 , . . . , xnj , . . . , xn, . . .)
dx2
dt
= f2(t, x1, x2, . . . , xn1 , . . . , xnj , . . . , xn, . . .)
. . . . . .
dxn1
dt
= fn1 (t, x1, x2, . . . , xn1 , . . . , xnj , . . . , xn, . . .)
dxn1+1
dt
= fn1+1(t, 0, 0, . . . , 0, xn1+1, . . . , xnj , . . . , xnj+1 , . . .)
. . . . . .
dxnj
dt
= fnj (t, 0, 0, . . . , 0, xnj , xnj+1, . . . xn(j+1)
, . . . , xnj , . . . , xn, . . .)
dxnj+1
dt
= fnj+1(t, 0, 0, . . . , 0, xnj+1, . . . xn(j+1)
, . . . , xn(j+2)
, . . . , xn, . . .)
. . . . . .
dxn(j+1)
dt
= fn(j+1)
(t, 0, 0, . . . , 0, xnj+1, . . . xn(j+1)
, . . . , xnj+2 , . . . , xn, . . .)
. . . . . .
Phương trình vi phân dạng này thường được gặp trong mô hình của hệ động
lực các quần thể sinh học. Trước hết chúng ta chứng minh bổ đề sau đây:
Giả sử x0 ∈ H; x∗
0 = Pmx0 ∈ PmH. Bằng cách sử dụng định lý tồn tại duy
nhất nghiệm cho phương trình vi phân (2.5), ta có:
Bổ đề 2.3.1. Giả sử điều kiện (2.6) được thỏa mãn. Khi đó nghiệm x(t) =
x(t, t0, x∗
0) của (2.5) thỏa mãn điều kiện
x(t) = x(t, t0, x∗
0) = Pmx(t, t0, x∗
0),
tức là x(t, t0, Pmx0) = Pmx(t, t0, Pmx0) (∀t ∈ R+, m ∈ J).
Chứng minh. Với mỗi m ∈ J cho trước, ta xét phương trình vi phân
du
dt
= f(t, Pmu), u ∈ H, t ∈ R+
.
Với ξ0 ∈ PmH, nghiệm u(t) = u(t, t0, ξ0) của phương trình vi phân trên cũng
là nghiệm của phương trình tích phân
u(t) = ξ0 +
t
t0
f(τ, Pmu(τ))dτ. (2.7)
23

26. Do (2.6) và kết hợp với Pmξ0 = ξ0, ta có
u(t) = Pmξ0 + Pm
t
t0
f(τ, Pmu(τ))dτ
hay
u(t) = Pm ξ0 +
t
t0
f(τ, Pmu(τ))dτ .
Do đó
u(t) = Pmu(t) ∀t ∈ R+
.
Từ đó chúng ta có thể viết (2.7) dưới dạng:
u(t) = ξ0 +
t
t0
f(τ, u(τ))dτ.
Điều này chứng tỏ u(t) = x(t, t0, ξ0) là một nghiệm của phương trình vi phân
(2.5).
Ký hiệu x(t) = x(t, t0, ξ0) là nghiệm của phương trình vi phân (2.5) thỏa mãn
điều kiện x(t0) = ξ0 thì từ tính duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ta có
x(t) ≡ u(t).
Do đó, với mọi x0 ∈ H nghiệm bất kỳ x(t) = x(t, t0, Pmx0), m ∈ J của phương
trình vi phân (2.5) - (2.6) thỏa mãn điều kiện
x(t) = x(t, t0, Pmx0) ≡ Pmx(t, t0, Pmx0) (∀t ∈ R+
).
Bổ đề được chứng minh.
Nhận xét. Từ bổ đề trên, ta suy ra nếu ξ ∈ PmH thì nghiệm x(t) = x(t, ξ)
của phương trình vi phân (2.5) - (2.6) chỉ có m thành phần đầu, còn tất cả các
thành phần còn lại đều đồng nhất bằng không. Ký hiệu Hm(t) là tập hợp tất cả
các nghiệm của phương trình (2.5) - (2.6) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = ξ,
ξ ∈ PmH thì Hm(t) có thể xem như tập nghiệm của hệ phương trình vi phân
trong không gian hữu hạn chiều.
Tương tự đối với các định nghĩa về tính ổn định nghiệm của Lyapunov, chúng
ta có các định nghĩa sau:
24

27. Định nghĩa 2.3.1. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (2.5) -
(2.6) được gọi là ổn định từng phần theo tập J (gọi tắt là J-ổn định) nếu bất kỳ
m ∈ J, ε > 0 ta tìm được δ(ε, m) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ H , ||Pmx0|| < δ thì
||x(t, Pmx0)|| < ε, ∀t > t0.
Định nghĩa 2.3.2. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (2.5)-
(2.6) được gọi là ổn định đều theo m ∈ J nếu với bất kỳ số δ(ε) > 0 không phụ
thuộc vào m sao cho với mọi x0 ∈ H , ||Pmx0|| < δ thì
||x(t, Pmx0)|| < ε, ∀t > t0.
Định nghĩa 2.3.3. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (2.5)-
(2.6) được gọi là J-ổn định tiện cận nếu:
(i) x ≡ 0 là J-ổn định.
(ii) Với mỗi m ∈ J, tồn tại > 0 sao cho nếu x0 ∈ H mà ||Pmx0|| < thì
lim
t→∞
||x(t, Pmx0)|| = 0.
Định nghĩa 2.3.4. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (2.5)-
(2.6) được gọi là J-không ổn định nếu tồn tại m0 ∈ J và ε0 > 0 sao cho với mọi
δ > 0 luôn luôn tồn tại t1 > t0 và x1 ∈ H thỏa mãn điều kiện ||Pm0 x1|| < δ và
||x(t1, Pm0 x1)|| ≥ ε0.
Hệ quả 2.3.1. Nếu nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (2.5)-
(2.6) được gọi là J-không ổn định thì nó sẽ không ổn định theo Lyapunov theo
nghĩa thông thường, tức là tồn tại ε0 > 0 sao cho với mọi δ > 0, tồn tại t1 > 0
và x1 ∈ H sao cho ||x1|| < δ và ||x(t1, x1)|| ≥ ε0.
Định lý 2.3.1. Điều kiện cần và đủ để nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương
trình vi phân (2.5)-(2.6) ổn định theo Lyapunov là nó J-ổn định đều theo m ∈ J.
25

28. Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên vì bản thân x(t, t0, Pmx0) cũng là
nghiệm của phương trình vi phân (2.5)-(2.6) và x0 ∈ H thì Pmx0 ∈ H (Theo
bổ đề 2.3.1)
Ta chứng minh điều kiện đủ.
Giả sử ngược lại, nghiệm tầm thường là J-ổn định đều theo m ∈ J nhưng
không ổn định theo Lyapunov.
Khi đó tồn tại ε0 > 0, t0 ≥ 0 sao cho với bất kỳ δk =
1
k
(k ∈ N∗
) ta có thể tìm
được x0k và tk sao cho ||x0k|| < δk nhưng
||x(tk, t0, x0k)|| ≥ ε0. (2.8)
Do nghiệm tầm thường ổn định đều theo m ∈ J nên với ε =
ε0
4
, tồn tại δ0 > 0
không phụ thuộc vào m sao cho với mọi x0 ∈ H thỏa mãn ||Pmx0|| < δ0 thì
||x(t, t0, Pmx0)|| <
ε0
4
(∀t ≥ t0, ∀m ∈ J). (2.9)
Chọn k0 đủ lớn sao cho
1
k0
<
δ0
2
.
Khi đó, do (2.8) ta có
||x(tk0
, t0, x0k0
)|| ≥ ε0, ∀k ≥ k0. (2.10)
Mặt khác, do {Hn} là dãy trù mật trong H nên
lim
m→∞
||Pmx0k0
− x0k0
|| = 0.
Do tính liên tục theo điều kiện ban đầu của nghiệm, với
ε0
4
, ta có thể chọn
được M đủ lớn sao cho với mọi m > M thì từ ||Pmx0k0
− x0k0
|| < δ1, ta có
||x(tk0
, t0, x0k0
) − x(tk0
, t0, Pmx0k0
)|| ≤
ε0
4
. (2.11)
(Chọn M đủ lớn để δ1 <
δ0
2
) . Từ (2.9) và (2.11), ta có:
||x(tk0
, t0, x0k0
)|| ≤ ||x(tk0
, t0, x0k0
) − x(tk0
, t0, Pmx0k0
)|| + ||x(tk0
, t0, Pmx0k0
)||
≤
ε0
4
+
ε0
4
≤
ε0
2
Điều này mâu thuẫn với (2.10). Do đó bổ đề được chứng minh.
26

29. Ví dụ 1. Từ tính ổn định theo Lyapunov của nghệm tầm thường thì suy ra
tính J-ổn định của nó, song thí dụ sau sẽ suy ra điều ngược lại không đúng.
Xét hệ H = l2 và hệ:



dx1
dt
= −x1 + x2
dx2
dt
= −x1 − x2
. . . . . .
dx2n−1
dt
= −
x2n−1
n
+ x2n
dx2n
dt
= −
x2n−1
n2
−
x2n
n
. . . . . .
Lấy m ∈ J bất kỳ với J = {2, 4, 6, . . . , 2n, . . .}
Nghiệm x(t) = x(t, t0, Pmx0) có thể xem như là nghiệm của hệ phương trình vi
phân tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều Hm mà số mũ đặc trưng lớn
nhất của nó là λ ≤ −
1
m
.
Suy ra nghiệm tầm thường của hệ là J-ổn định.
Tuy nhiên nghiệm tầm thường của hệ không ổn định theo Lyapunov.
Thật vậy, với ε =
1
2
e−π
2 , chọn dãy δ =
2
n
; n ∈ N. Khi đó với
x0n = (0, 0, . . . ,
1
n
, 0, . . .)
2n số
thì ||x0n || ≤ δn.
Mặt khác x(t, 0, x0n) = (0, . . . , 0, e
−t
n sin
t
n
;
1
n
e
−t
n cos
t
n
; 0, . . .) và do đó tn =
nπ
2
thì
||x(
nπ
2
, 0, x0n)|| = ||e−π
2
sin π
2 || = e−π
2 > ε0.
Rõ ràng nghiệm tầm thường không ổn định theo Lyapunov.
Bổ đề 2.3.2. (Bổ đề Gronwall-Bellman) Giả sử u(t) ≥ 0, f(t) ≥ 0 và u(t), f(t)
là các hàm liên tục trên [t0, +∞),
u(t) ≤ c +
t
t0
f(τ)u(τ)dτ
c > 0 là hằng số nào đó. Khi đó với mọi t ≥ t0 ta có
u(t) ≤ c.exp{
t
t0
f(τ)dτ}
27

30. Chứng minh. Do
u(t) ≤ c +
t
t0
f(τ)u(τ)dτ
nên
f(t)u(t)
c +
t
t0
f(τ)u(τ)dτ
≤ f(t)
mặt khác
d
dt
[c +
t
t0
f(τ)u(τ)dτ] = f(t)u(t)
do đó
ln[c +
t
t0
f(τ)u(τ)dτ] − lnc ≤
t
t0
f(τ)dτ
suy ra
c +
t
t0
f(τ)u(τ)dτ ≤ c.exp{
t
t0
f(τ)u(τ)dτ}
từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 2.3.2. Giả sử tồn tại dãy con J = n1, n2, . . . , nj, . . . của dãy số tự nhiên
N sao cho:
||f(t, x) − Pmf(t, Pmy)|| ≤ φ(t)||x − Pmy||, (2.12)
với φ(t) là một hàm liên tục dương, thì nghiệm tầm thường của (2.5) là ổn định
theo Lyapunov khi và chỉ khi nó là J-ổn định đều theo m ∈ J.
Chứng minh: Từ (2.12), ta có:
||f(t, Pmx) − Pmf(t, Pmx)|| ≤ φ(t)||Pmx − Pmx|| = 0
⇔ f(t, Pmx) = Pmf(t, Pmx).
Do đó vế phải của (2.5) thỏa mãn điều kiện (2.6).
Từ (2.12), ta đi chứng minh
lim
m→∞
||x(t1, t0, x0) − x(t1, t0, Pmx0)|| = 0 với t0 ∈ R+
; x0 ∈ H; t1 > t0. (2.13)
28

31. Thật vậy, do
x(t1, t0, x0) = x0 +
t
t0
f(τ, x(τ, t0, x0))dτ
x(t1, t0, Pmx0) = Pmx0 +
t
t0
f(τ, x(τ, t0, Pmx0))dτ
và chú ý rằng:
x(t1, t0, Pmx0) = Pmx(t1, t0, Pmx0) (Bổ đề(2.3.1))
⇔ f (t, x(t1, t0, Pmx0)) = f t, Pmx(t1, t0, Pmx0) .
Do đó:
||x(t1,t0, x0) − x(t1, t0, Pmx0)||
= ||(x0 − Pmx0) +
t
t0
[f(τ, x(τ, t0, x0)) − Pmf(τ, Pmx(τ, t0, Pmx0))]dτ||
≤ ||(x0 − Pmx0)|| +
t
t0
φ(τ)||x(τ, t0, x0) − Pmx(τ, t0, Pmx0)||dτ.
Áp dụng bổ đề Gronwall - Belman, ta được
||x(t1, t0, x0) − x(t1, t0, Pmx0)|| ≤ ||(x0 − Pmx0)||e
t
t0
−φ(τ)dτ
.
Như vậy từ đây ta suy ra được (2.13).
Tiếp tục chứng minh định lý như trong ( 2.3.1), ta có điều phải chứng minh.
2.3.2 Các định lý về J-ổn định theo Lyapunov
Trong không gian Hilbert tách được H ta xét cơ sở trực chuẩn đếm được
{ei}∞
1 . Khi đó với mọi x ∈ H đều viết được dưới dạng x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) với
x =
∞
i=1
xiei.
Giả sử Pn : H → H là phép chiếu được xác định bởi
Pn(x) = Pn
∞
i=1
xiei = x∗
= (x1, x2, . . . , xn, 0, 0 . . .).
29

32. Đặt Hn = Pn(H); J = {nj}n
1 là dãy tăng thực sự trong N.
Xét phương trình vi phân
dx
dt
= f(t, x), t ≥ 0; (2.14)
với f : R+ × H → H là toán tử thỏa mãn điều kiện đảm bảo sự tồn tại duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy và kéo dài trên toàn bộ R+ (Đã xét trong 2.1) và
thỏa mãn điều kiện
f(t, Pmx) = Pmf(t, Pmx); ∀x ∈ H, m ∈ J. (2.15)
Khi xét hệ đếm được các phương trình vi phân, trong một số trường hợp
người ta thường sử dụng phương pháp rút gọn, trong đó ta có thể đưa việc
nghiên cứu tính chất nghiệm của hệ vô hạn về việc nghiên cứu tính chất nghiệm
của hệ hữu hạn các phương trình vi phân. Dựa trên cơ sở đó, chúng ta có thể xây
dựng phương pháp cụ thể trong việc xây dựng phiếm hàm Lyapunov cho hệ vô
hạn các phương trình vi phân. Trong phần này chúng tôi sẽ sử dụng một số kết
quả trong việc sử dụng hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm
thường của một lớp các phương trình vi phân trong không gian Hilbert có dạng
đặc biệt. Trong trường hợp này các giả thiết đối với hàm Lyapunov V = V (t, x)
được giảm nhẹ hơn so với các điều kiện được xét trong các định lý ở phần 2.2
Trước hết chúng ta có các bổ để sau:
Định nghĩa 2.3.5. Trong không gian Hilbert hàm liên tục W(x) là xác định
dương khi và chỉ khi
W(0) = 0, inf
||x||>0
W(x) ≥ α > 0
Trong trường hợp H là không gian Hilbert hữu hạn chiều, đối với hàm W(x)
ta có tính chất sau:
Bổ đề 2.3.3. Giả sử H0 ⊂ Rn, khi đó nến hàm W : H0 → R+ là hàm liên tục
xác định dương thì
lim
n→∞
W(ξn) = 0 ⇔ lim
n→∞
||ξn|| = 0
30

33. trong đó {ξn} là dãy phần tử bất kỳ của H0.
Chứng minh. Điều kiệu đủ của bổ để được suy ra trực tiếp từ tính liên tục của
W(x).
Ta sẽ chứng minh điều kiện cần bằng phản chứng. Giả sử ngược lại ta có
lim
n→∞
W(ξn) = 0 nhưng lim
n→∞
||ξn|| = 0, trong đó {ξn}∞
1 , ξn ∈ H0. Theo định nghĩa
giới hạn, tồn tại ε0 > 0 và dãy {ξnk} ⊂ {ξn} sao cho ||ξnk|| > ε0 khi nk → ∞.
Như vậy theo định nghĩa của hàm liên tục xác đinh dương ta có
inf{W(ξnk; nk ∈ R)} ≥ inf{W(ξ); ξ ∈ H0 : ||ξ|| ≥ ε0)} > 0.
Mặt khác từ giả thiết ta có lim
n→∞
W(ξnk) = 0, do đó ta có
0 = inf{W(ξnk; nk ∈ R)} ≥ inf{W(ξ); ξ ∈ H0 : ||ξ|| ≥ ε0)} > 0.
Điều này mâu thuẫn. Vậy bổ đề được chứng minh
Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra rằng nếu H0 ∈ H, H là không gian Hilbert vô hạn
chiều thì bổ để trên không còn đúng.
Ví dụ. Trong H = l2, ta xét hàm W(x) và dãy ξn như sau:
W(x) =
∞
n=1
x2
n
2n
với x = (x1, x2, ..., xn, ...), ξn = (0, 0, ...., 1, 0, ....).
Ta thấy lim
n→∞
W(ξn) = 0 nhưng lim
n→∞
||ξn|| = 1 với mọi n ∈ N.
Tiếp theo chúng tôi sẽ chỉ ra một phương pháp dùng hàm Lyapunov để
nghiên cứu tính ổn định nghiệm của một lớp các phương trình vi phân trong
không gian Hilbert vô hạn chiều.
Giả sử H0 là một miền mở chứa điểm 0 của H. Lấy Z0 = R+ × PmH0. Xét
W = W(x) ∈ C(PmH0), V = V (t, x) ∈ Ctx(Z0) là các hàm vô hướng xác định, liên
tục lần lượt trên PmH0 và Z0.
Chúng ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.3.6. i) Hàm V = V (t, x) được gọi là có dấu không đổi nếu
V (t, x) ≥ 0(hocV (t, x) ≤ 0) với (t, x) ∈ Z0.
31

34. ii) Hàm V = V (t, x) được gọi là xác định dương trong Z0 nếu tồn tại hàm W(x) ∈
C(PmH0) sao cho:
V (t, x) ≥ W(x) > 0 với ||x|| = 0
V (t, 0) = W(0) = 0.
iii) Hàm V = V (t, x) được gọi là có giới hạn trên vô cùng bé khi x → 0 trong
Z0 nếu với t0 > 0 nào đó, ta có V (t, x) hội tụ đều theo t đến 0 trên [t0, ∞), khi
||x|| → 0.
iv) Hàm V = V (t, x) được gọi là có đạo hàm dọc theo nghiệm của phương trình
vi phân (2.14)-(2.15) nếu tồn tại giới hạn
.
V = lim
h→0+
1
h
V [t + h, x + hf(t, Pm(x))] − V (t, x). (2.16)
Ta ký hiệu V (t, x) ∈ C
(1,1)
(t,x)
(Z0). Khi đó ta có các định lý về tính J-ổn định của
nghiệm tầm thường của phương trình (2.14)-(2.15) như sau:
Định lý 2.3.3. Giả sử đối với mỗi m ∈ J, tồn tại hàm Lyapunov V (t, x) ∈
C
(1,1)
(t,x)
(Z0), với Z0 ⊂ R+ × PmH0, là hàm xác định dương và có đạo hàm ˙V (t, x)
dọc theo nghiệm của phương trình vi phân (2.14)-(2.15) có dấu không đổi âm.
Khi đó nghiệm tầm thường của (2.14)-(2.15) là J-ổn định.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng nếu lấy m ∈ J bất kỳ, với mọi ε > 0 tồn
tại δ(ε, m) > 0 sao cho
∀ξ ∈ H0, ||Pmξ|| < δ thì ||x(t, t0, Pmξ)|| < ε, ∀t > t0.
Theo giả thiết của định lý, tồn tại hàm W(x) liên tục, xác định dương sao cho
V (t, x) ≥ W(x) > 0 với ||x|| = 0
V (t, 0) = W(0) = 0.
32

35. Trong H0, xét mặt cầu Sε = {x ∈ H0 : ||Pmx|| = ε}. Vì PmH0 ∩ Sε là tập compact,
do đó theo định lý Weierstrass, tồn tại x∗ ∈ PmH0 ∩ Sε mà cận dưới của W(x) là
x∗, Tức là
inf
x∈PmH0∩Sε
W(x) = W(x∗
) = α > 0.
Giả sử t0 ∈ (a, ∞) tùy ý. Hàm V (t0, x) liên tục theo x, và do V (t0, 0) = 0 nên tồn
tại lân cận ||x|| < δ < ε sao cho
0 ≤ V (t0, x) < α với ||x|| < δ.
Xét nghiệm khác 0 tùy ý x = x(t) với điều kiện ban đầu x(t0) = Pmx0 thỏa mãn
||Pmx0|| < δ do x(t, t0, Pmx0) = Pmx(t, t0, Pmx0) (theo bổ đề 2.3.1) nên ta chỉ cần
chứng minh
||Pmx(t, t0, Pmx0)|| < ε, ∀t > t0. (2.17)
Rõ ràng khi t = t0 thì ||Pmx(t0)|| < δ < ε Giả sử (2.17) không thỏa mãn với
mọi t ∈ (t0, ∞) và t1 là giá trị nhỏ nhất sao cho ||Pmx(t1, t0, Pmx0)|| = ε. Ký hiệu
v(t) := V (t, x(t)), vì ˙v(t) = ˙V (t, x(t)) ≤ 0 nên v(t) là hàm không tăng dọc theo
nghiệm x(t). Do đó
α > V (t0, x(t0)) ≥ V (t1, x(t1)) ≥ W(x(t1)) ≥ α.
Điều này vô lý. Vậy nghiệm tầm thường của (2.14)-(2.15) là J-ổn định.
Định lý 2.3.4. Giả sử đối với mỗi m ∈ J, tồn tại hàm Lyapunov V (t, x) ∈
C
(1,1)
(t,x)
(Z0), với Z0 ⊂ R+ ×PmH0, là hàm xác định dương, có giới hạn trên vô cùng
bé khi x → 0 và có đạo hàm ˙V (t, x) dọc theo nghiệm của phương trình vi phân
(2.14)-(2.15) là hàm xác định âm. Khi đó nghiệm tầm thường của (2.14)-(2.15)
là J-ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Từ các giả thiết của định lý ta suy ra nghiệm tầm thường của
(2.14)-(2.15) là J-ổn định (theo định lý 2.3.3). Ta sẽ chứng minh với mỗi m ∈ J,
tồn tại > 0 sao cho nếu ξ ∈ H mà ||Pmξ|| < thì
lim
t→∞
||x(t, t0, Pmξ)|| = 0
33

36. Xét x(t) = x(t, t0, Pmξ), ta có x(t, t0, Pmξ) = Pmx(t, t0, Pmξ)
Đặt v(t) := V (t, Pmx(t)) = V (t, x(t)). Theo giả thiết ˙v(t) < 0 nên v(t) đơn điệu
giảm và bị chặn dưới, nó có giới hạn hữu hạn
lim
t→∞
v(t) = inf
t
v(t) = α ≥ 0. (2.18)
Ta sẽ chứng minh α = 0. Thật vậy, giả sử α > 0, khi đó do (2.18), tồn tại β > 0
sao cho
||x(t, t0, Pmξ)|| ≥ β với t0 ≤ t < ∞. (2.19)
vì nếu không ta sẽ tìm được dãy t1, t2, ....tk, ... → +∞ sao cho lim
k→+∞
x(tk) = 0. Do
đó, nhờ sự tồn tại giới hạn vô cùng bé bậc cao của V (t, x) khi x → ∞, ta có
lim
k→+∞
v(tk) = lim
k→+∞
V (tk, Pmx(tk)) = 0
mâu thuẫn với giả thiết α > 0 trong công thức (2.18).
Như vậy trong trương hợp α > 0 ta có bất đẳng thức (2.19), mặt khác do tính
J-ổn định của nghiệm tầm thường ta có thể giả thiết ||x(t, t0, Pmξ)|| ≤ h < H.
Theo giả thiết của định lý tồn tại hàm W(x) liên tục, xác định dương thỏa mãn
˙V (t, x) ≤ −W(x) suy ra
v(t) = v(t0) +
t
t0
˙V (τ, x(τ, Pmξ))dτ ≤ v(t0) −
t
t0
W(x(τ, Pmξ))dτ
Ký hiệu
γ = inf
β≤||x||≤h
W(x) > 0
ta có
v(t) ≤ v(t0) −
t
t0
γdτ = v(t0) − γ(t − t0)
từ đó ta thấy với t đủ lớn thì v(t) = V (t, Pmx(t)) ≤ 0 (mâu thuẫn).
Vậy
α = lim
t→∞
V (t, Pmx(t)) = 0 (2.20)
34

37. Tiếp theo ta sẽ chứng minh lim
t→∞
||Pmx(t)|| = 0. Thật vậy, giả sử ε > 0 bé tùy ý
và
l = inf
ε≤||Pmx||≤h
W(x) > 0.
Từ (2.20) suy ra tồn tại thời điểm T > t0 sao cho V (T, Pmx(T)) < l. Vì V (t, Pmx(t))
là hàm đơn điệu giảm nên V (t, Pmx(t)) < l với mọi t ≥ T. Và do đó
||Pmx(t)|| < ε, với mọi t ≥ T
Thật vậy, nếu tồn tại t1 > T mà Pmx(t1) ≥ ε thì
l > V (t1, Pmx(t1)) ≥ W(Pmx(t1)) ≥ l.
Điều này vô lý. Vậy lim
t→∞
Pmx(t) = 0.
Định lý được chứng minh.
Định lý 2.3.5. Giả sử đối với mỗi m0 ∈ J, tồn tại hàm Lyapunov V (t, x) ∈
C
(1,1)
(t,x)
(Z0), với Z0 ⊂ R+ × PmH0, là hàm có giới hạn trên vô cùng bé khi x → 0
và có đạo hàm ˙V (t, x) dọc theo nghiệm của phương trình vi phân (2.14)-(2.15)
là hàm có dấu xác định. Khi đó nếu tồn tại t0 > 0 nào đó và trong lân cận
S0 ⊂ Pm0 H0 của điểm 0 tồn tại x0 sao cho
V (t0, x0) ˙V (t0, x0) > 0
thì nghiệm tầm thường của (2.14)-(2.15) là J-không ổn định.
Chứng minh. Giả sử
˙V (t, x) ≥ W(x) > 0 (2.21)
với (t, x) ∈ Z0, W(x) là hàm liên tục mang dấu dương.
Theo giả thiết của định lý, hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0,
nên V (t, x) bị chặn trong hình trụ đủ hẹp, tức là
|V (t, x)| ≤ M
35

38. với t0 ≤ t < ∞, ||x|| < , x ∈ S0.
Giả sử δ > 0 nhỏ tùy ý. Nhờ giả thiết của định lý, tồn tại điểm (t0, x0) trong đó
x0 ∈ S0 sao cho V (t0, x0) = α > 0. Ta đặt
x(t) = x(t, t0, x0).
Do x0 = Pmx0 nên Pm0 x(t) = x(t). xét
v(t) = V (t, Pm0 x(t)) = V (t, x(t))
vì v(t) là hàm đơn điệu tăng theo t, do đó khi t ≥ t0 ta có
V (t, x(t)) ≥ V (t0, x(t0)) = α > 0 (2.22)
suy ra tồn tại t = t1(t1 > t0) sao cho ||x(t1)|| > . Thật vậy, giả sử ||x|| ≤ với
t ≥ t0, khi đó nghiệm x(t) thác triển vô hạn bên phải. Vì hàm V (t, x) có giới hạn
vô cùng bé bậc cao khi x → 0, nên từ bất đẳng thức (2.22) và lý luận tương tự
như trong định lý 2.2.2 suy ra tồn tại β > 0 sao cho
0 < β ≤ ||x(t)|| ≤ với t0 ≤ t < ∞
trong đó β là số dương nào đó. Giả sử
γ = inf
β≤||x||≤
W(x) > 0
do ||x(t)|| ≤ ta có
˙V (t, x(t)) ≥ γ với t0 ≤ t < ∞.
Khi đó
V (t, x(t)) = V (t0, x(t0)) +
t
t0
˙V (τ, x(τ))dτ ≤ V (t0, x(t0)) + γ(t − t0)
điều này trái với tính bị chặn của hàm V (t, x) trong miền t0 ≤ t < ∞, ||x|| < .
Vậy nghiệm tầm thường của (2.14)-(2.15) là J-không ổn định.
36

39. Hệ quả 2.3.2. Nếu tồn tại m0 ∈ J và tồn tại hàm Lyapunov thỏa mãn các điều
kiện của định lý 2.3.5 thì nghiệm tầm thường của (2.14)-(2.15) là không ổn định
theo Lyapunov.
Nhận xét. Chúng ta đã chỉ ra rằng từ tính ổn định theo Lyapunov của nghiệm
tầm thường của phương trình vi phân (2.14)-(2.15) ta có thể suy ra tính J-ổn
định của chúng, tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Và bằng cách chọn hàm
Lyapunov thích hợp chúng ta có thể xác định được sự ổn định của nghiệm tầm
thường đó. Chúng ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 2. Xét hệ H = l2 và hệ:



dx1
dt
= −x1 + x2
dx2
dt
= −x1 − x2
. . . . . .
dx2n−1
dt
= −
x2n−1
n
+ x2n
dx2n
dt
= −
x2n−1
n2
−
x2n
n
. . . . . .
Tương ứng với H2n = P2nX, ta xét V2n = V (t, x) =
2n
1
x2
k
2k−1
.
Ta nhận thấy V (t, x) đạt giới hạn vô cùng bé khi x → 0. Đạo hàm ˙V (t, x) dọc
theo nghiệm của hệ phương trình vi phân là
d
dt
2n
k=1
x2
k
2k−1
=
n
k=1
1
22k−1
x2k−1 ˙x2k−1 +
1
22k
x2k ˙x2k
= −
n
k=1
1
2k
2x2
2k−1 − 2x2k−1.
x2k
k
+
x2
2k
k2
+
x2
2k
k
= −
n
k=1
1
2k
x2
2k−1 +
x2
2k
k
+ x2k−1 −
x2k
k
2
rõ ràng ˙V (t, x) là hàm xác định âm, do đó nghiêm tầm thường của hệ là J-ổn
định tiệm cận. Tuy nhiên trong ví dụ 1 chúng ta đã chỉ ra nghiệm tầm thường
của hệ không ổn định theo Lyapunov.
37

40. 2.4 Phương pháp xây dựng hàm Lyapunov
Trong một số trường hợp đơn giản chúng ta có thể xác định được hàm
Lyapunov dưới dạng một phiếm hàm toàn phương. Trong phần tiếp theo chúng
tôi xin giới thiệu phương pháp xây dựng hàm Lyapunov cho các hệ phương trình
vi phân tuyến tính với hệ số hằng.
1. Xét hệ hai phương trình với hệ số hằng
˙x1 = a11x1 + a12x2,
˙x2 = a21x1 + a22x2.
(2.23)
Cho trước dạng toàn phương
w = w11x2
1 + 2w12x1x2 + w22x2
2
và tìm dạng toàn phương
v = v11x2
1 + 2v12x1x2 + v22x2
2, (2.24)
sao cho đẳng thức sau, tính theo hệ (2.23), được thỏa mãn
dv
dt
= w. (2.25)
Lấy vi phân v theo hệ (2.23) và đồng nhất các hệ số trong (2.25) của x2
1, x1x2, x2
2,
ta thu được hệ ba phương trình



a11v11 + a21v12 = w11,
a12v11 + (a11 + a22)v12 + a21v22 = 2w12,
a12v12 + a22v22 = w22.
(2.26)
Định thức của hệ phương trình này có dạng
∆ =
a11 a21 0
a12 a11 + a22 a21
0 a12 a22
= (a11 + a22)(a11a22 − a12a21). (2.27)
38

41. Giải hệ (2.26) theo công thức Cramer và thay các hệ số vik tìm được vào (2.24),
ta có
v =
1
∆
w11 a21 0
2w12 a11 + a22 a21
w22 a12 a22
x2
1 + 2
a11 w11 0
a12 2w12 a21
0 w22 a22
x1x2+
+
a11 a21 w11
a21 a11 + a22 2w12
0 a12 w22
x2
2 ,
từ đó suy ra
v = −
1
∆
0 x2
1 2x1x2 x2
2
w11 a11 a21 0
2w12 a12 a11 + a22 a21
w22 0 a12 a22
. (2.28)
Lấy hàm V = ∆v làm hàm Lyapunov. Trong trường hợp này ta có
˙V = 2∆w. (2.29)
2. Ta sẽ tìm công thức tương tự cho hệ ba phương trình



˙x1 = a11x1 + a12x2 + a13x3,
˙x2 = a21x1 + a22x2 + a23x3,
˙x3 = a31x1 + a32x2 + a33x3.
(2.30)
Cho dạng toàn phương
w =
3
i,k=1
wikxixk, wik = wki,
ta sẽ tìm dạng toàn phương
v =
3
i,k=1
vikxixk, vik = vki,
thỏa mãn phương trình
˙v = 2w.
39

42. Hệ phương trình tương ứng để xác định các hệ số có dạng



a11v11 + a21v12 + a31v13 = w11,
a12v11 + (a11 + a22)v12 + a32v13 + a21v22 + a31v23 = 2w12,
a13v11 + a23v12 + (a11 + a33)v13 + a21v23 + a31v33 = 2w13,
a12v12 + a22v22 + a32v23 = w22,
a13v12 + a12v13 + a23v22 + (a22 + a33)v23 + a32v33 = 2w23,
a13v13 + a23v23 + a33v33 = w33.
(2.31)
Định thức của hệ phương trình này có dạng
a11 a21 a31 0 0 0
a12 a11 + a22 a32 a21 a31 0
a13 a23 a11 + a33 0 a21 a31
0 a12 0 a22 a32 0
0 a13 a12 a23 a22 + a33 a32
0 0 a13 0 a23 a33
. (2.32)
Ở đây, a(ik, jl) biểu diễn hệ số của vik trong phương trình của hệ (2.31), thu
được bằng cách đồng nhất các hệ số của xjxi. Dễ thấy các quan hệ sau là đúng
đắn:
a(ik, jl) = a(ki, jl) = a(ki, lj), (2.33)
a(ik, jl) =



0 với i = j, k = l,
akl với i = j, k = l,
aii + akk với i = j, k = l, i = k,
aii với i = j = k = l.
(2.34)
Giải hệ phương trình (2.31) theo công thức Cramer, ta thu được vik = ∆ik
∆ và
v = 1
∆
3
i,k=1 ∆ikxixk, trong đó ∆ik biểu diễn định thức thu được từ ∆ bằng cách
thay các hệ số của vik trong hệ (2.31) bởi vế phải của hệ này.
Dễ dàng chứng minh được rằng trong trường hợp này công thức sau là đúng,
40

43. tương tự như công thức (2.28):
v = −
1
∆
0 x2
1 2x1x2 2x1x3 x2
2 2x2x3 x2
3
w11 a11 a21 a31 0 0 0
2w12 a12 a11 + a22 a32 a21 a31 0
2w13 a13 a23 a11 + a33 0 a21 a31
w22 0 a12 0 a22 a32 0
2w23 0 a13 a12 a23 a22 + a33 a32
w33 0 0 a13 0 a23 a33
. (2.35)
Nếu lấy vẫn lấy dạng toàn phương là V = ∆v, thì ta thu được
˙V = 2∆w. (2.36)
Ví dụ xét phương trình
...
x + a¨x + b ˙x + cx = 0, (2.37)
tương đương với hệ
˙x1 = x2, ˙x2 = −ax2 + x3, ˙x3 = −cx1 − bx2, x1 = x. (2.38)
Dễ dàng tính được trong trường hợp này ∆ = c(ab − c). Ta sẽ tìm dạng toàn
phương v sao cho nó thỏa mãn điều kiện ˙v = 2∆x2
2.
Dễ thấy, từ (2.35) ta có
v =
0 x2
1 2x1x2 2x1x3 x2
2 2x2x3 x2
3
0 0 0 −c 0 0 0
0 1 −a −b 0 −c 0
0 0 1 0 0 0 −c
1 0 1 0 −a −b 0
0 0 0 1 1 −a −b
0 0 0 0 0 1 0
,
từ đó suy ra
v = −c(acx2
1 + 2cx1x2 + bx2
2 + x2
3).
Thuận tiện hơn trong trường hợp này, ta xét
V =
ac
2
x2
1 + cx1x2 +
b
2
x2
2 +
x2
3
2
, (2.39)
41

44. khi đó
˙V = (c − ab)x2
2.
3. Cuối cùng ta xét trường hợp chung, khi hệ phương trình vi phân có dạng
˙xi =
n
k=1
aikxk (i = 1, . . . , n). (2.40)
Bằng cách lại xét dạng toàn phương w =
n
i,k=1 wikxixk và v =
n
i,k=1 vikxixk,
thỏa mãn phương trình
˙v = 2w,
và lập luân tương tự, dễ dàng thu được công thức
v = −
1
∆
0 x2
1 . . . 2xixk . . . x2
n
w11 a11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2wjl a(11, jl) . . . a(ik, jl) . . . a(nn, jl)
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
wnn a(11, nn) . . . a(ik, nn) . . . ann
, (2.41)
trong đó các phần tử a(ik, jl) được xác định hoàn toàn từ quan hệ (2.33) và (2.34).
2.5 Toán tử tiến hóa của phương trình vi phân
Trong không gian Hilbert H xét phương trình vi phân
dx
dt
= A(t)x + f(t) (2.42)
Chúng ta sẽ giả thiết rằng t thuộc khoảng vô hạn hoặc hữu hạn J nào đó,
f : J → H và A : J → L(H) là các hàm đo được và khả tích Bochner, trong đó
J ⊂ R+.
Cùng với phương trình vi phân (2.42) chúng ta xét phương trình tích phân
x(t) = x0 +
t
t0
A(τ)x(τ)dτ +
t
t0
f(τ)dτ (2.43)
42

45. với x(t0) = x0. Chúng ta có nhận xét nếu hàm x : J → H là nghiệm của bài
toán Cauchy tương ứng với phương trình (2.42). Khi đó x(t) cũng là nghiệm của
(2.43).
Trong trường hợp riêng chúng ta xét bài toán Cauchy



dx
dt
= A(t)x
x(t0) = x0
(2.44)
Cùng với phương trình (2.44) ta có phương trình tương đương
x(t) = x0 +
t
t0
A(τ)x(τ)dτ (2.45)
Chú ý. Nếu A(t) là liên tục mạnh thì nghiệm x(t) là khả vi liên tục.
Kí hiệu U(t) ∈ L(H) là toán tử được xác định bởi
U(t) = I +
t
t0
A(t1)dt1 +
∞
n=2
t
t0
tn
t0
· · ·
t2
t0
A(tn) · · · A(t1)dt1 · · · dtn (2.46)
Khi đó nghiệm của (2.44) và (2.45) có thể viết dưới dạng
x(t) = U(t)x0.
và có đánh giá :
||U(t)|| ≤ exp{
t
t0
||A(τ)||dτ} (2.47)
và nghiệm của bài toán Cauchy tương ứng với phương trình (2.42) được viết
dưới dạng:
x(t) = U(t)x0 +
t
t0
U(t)U−1
(τ)f(τ)dτ (2.48)
Đặt U(t, τ) = U(t)U−1(τ). Toán tử U(t, τ) được gọi là toán tử tiến hoá (hoặc toán
tử giải) của phương trình (2.42) hoặc phương trình
dx
dt
= A(t)x
Họ các toán tử tiến hoá có các tính chất :
a) U(t, t) = I.
43

46. b) U(t, s)U(s, τ) = U(t, τ).
c) U(t, τ) = [U(τ, t)]−1.
Ngoài ra ta luôn có :
d) ||U(t, τ)|| ≤ exp[
t
τ
||A(τ)||dτ](t ≥ τ).
Giả sử J = [0, +∞), xét các phương trình sau
dx
dt
= Ak(t)x (k = 1, 2) (2.49)
Bổ đề 2.5.1. (xem [3]). Giả sử
φ(t) ≤ αe−ν(t−t0)
+ β
t
t0
e−ν(t−τ)
p(τ)φ(τ)dτ t ≥ t0
trong đó α, β là các hằng số dương, φ(t), p(t) là các hàm liên tục không âm. Khi
đó
φ(t) ≤ αe
−ν(t−t0)+β
t
t0
p(τ)dτ
.
Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm của các phương trình tiến hóa
trong không gian Banach chúng ta cần sử dụng mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.5.1. (Về so sánh các toán tử tiến hoá) Giả sử Uk(t, s), (k = 1, 2) (a ≤
s, t ≤ b) là các toán tử tiến hóa của các phương trình (2.49). Khi đó nếu tồn tại
hằng số N > 0 và số thực ν1 sao cho
||U1(t, s)|| ≤ Ne−ν1
(t − s) (a ≤ s, t ≤ b), (2.50)
thì với s ≤ t ta có
||U2(t, s) − U1(t, s)|| ≤ Ne−ν1
(t − s)(eN
t
s
||A2(τ)−A1(τ)||dτ
− 1), (2.51)
và do đó
||U2(t, s)|| ≤ Ne−ν1
(t − s)eN
t
s
||A2(τ)−A1(τ)||dτ
. (2.52)
44

47. Chứng minh. Giả sử s = 0, khi đó toán tử U2(t) = U2(t, 0) là nghiệm của hệ
phương trình: 


dU2
dt
− A1U2 = (A2 − A1)U2,
U2(0) = I.
Bài toán Cauchy (2.5) có nghiệm là:
U2(t) = U1(t, 0) +
t
0
U1(t, τ)[A2(τ) − A1(τ)]U2(τ)dτ. (2.53)
Đặt φ(t) := ||U2(t)||, theo bất đẳng thức (2.50) ta có
φ(t) ≤ Ne−ν1t
+ N
t
0
e−ν1(t−τ)
p(τ)φ(τ)dτ,
ở đó p(t) = ||A2(t) − A1(t)||. Từ đó theo bổ để 2.5.1 suy ra
||U2(t)|| ≤ Ne−ν1
teN
t
0
||A2(τ)−A1(τ)||dτ
do đó ta có (2.52).
Từ (2.52) và (2.53) suy ra
||U2(t) − U1(t)|| ≤
t
0
||U1(t, τ)||.||A2(τ) − A1(τ)||.||U2(τ)||dτ
≤ N
t
0
e−ν1(t−τ)
p(τ)Ne−ν1τ
eN
τ
0
p(s)ds
dτ
= Ne−ν1t
t
0
Np(τ)eN
τ
0
p(s)ds
dτ
= Ne−ν1t
(eN
t
0
p(s)ds
− 1).
Từ đó suy ra (2.51). Mệnh đề được chứng minh.
2.6 Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương
pháp xấp xỉ thứ nhất
Xét phương trình
dx
dt
= A(t)x + R(t, x) (2.54)
45

48. trong đó A(t) là toán tử tuyến tính giới nội, liên tục theo t, còn hàm R(t, x) thỏa
mãn trong miền G = {x : x ∈ H, ||x|| ≤ h ≤ r < +∞} điều kiện
||R(t, x)|| ≤ L||x|| (2.55)
Ký hiệu U(t, τ) là toán tử Cauchy của phương trình
dx
dt
= A(t)x; (2.56)
và giả sử có bất đẳng thức
||U(t, t0)|| ≤ Be−α(t−t0)
, (2.57)
trong đó B, α là những hằng số dương, không phụ thuộc vào t0 thì đây là điều
kiện để nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (2.56) ổn định mũ.
Định lý 2.6.1. (Về sự ổn định theo xấp xỉ thứ nhất)
Nếu điều kiện (2.55) và (2.57) được thỏa mãn và ngoài ra nếu các hằng số
α, B, L thỏa mãn bất đẳng thức
λ = α − BL > 0 (2.58)
thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (2.54) sẽ ổn định mũ.
Chứng minh: Thậy vậy, xét phương trình tích phân tương đương với phương
trình (2.54)
x(t) = U(t, t0)x0 +
t
t0
U(t, τ)R(τ, x)dτ. (2.59)
Từ các điều kiện (2.55) và (2.57) ta có đánh giá
||x(t)|| ≤ B.e−α(t−t0)
||x0|| +
t
t0
BL.e−α(t−s)
||x(s)||ds. (2.60)
Nếu đưa vào ký hiệu ϕ(t) = eαt||x(t)|| thì từ (2.60) ta suy ra
ϕ(t) ≤ Be−αt0
||x0|| + BL
t
t0
ϕ(s)d(s),
46

49. từ đó theo bổ đề Gronwall-Bellman ta nhận được
ϕ(t) ≤ eBL(t−t0)
Be−αt0
||x0||.
Vậy ta có:
||x(t)|| ≤ Be(BL−α)(t−t0)
||x0||. (2.61)
Vì BL − α < 0 nên ta có sự ổn định mũ cần chứng minh.
Cùng với toán tử tuyến tính A(t) bây giờ ta xét toán tử tuyến tính F(t) khác.
Hệ quả 2.6.1. Nếu có bất đẳng thức (2.57) được thỏa mãn và có bất đẳng thức
||F(t)|| ≤ L (0 ≤ t < ∞).
Ngoài ra, nếu các đại lượng α, B, L thỏa mãn điều kiện (2.58) thì nghiệm tầm
thường x ≡ 0 của phương trình
dx
dt
= (A(t) + F(t))x (2.62)
ổn định mũ.
Bây giờ xét sự ổn định của nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (2.54)
với những điều kiện nhiễu loạn tác dụng thường xuyên.
Cùng với phương trình (2.54) ta xét phương trình
dx
dt
= A(t)x + R(t, x) + q(t, x). (2.63)
Trước tiên, giả sử trong miền G, các điều kiện (2.55), (2.57) và (2.58) được
thỏa mãn. Ngoài ra giả sử rằng trong miền G, hàm q(t, x) thỏa mãn bất đẳng
thức
||q(t, x)|| ≤ r(t)||x(t)||, (2.64)
trong đó r(t) là hàm thỏa mãn
∞
0
||r(t)|| = γ < +∞, (2.65)
R(t, 0) = 0, q(t, 0) = 0. (2.66)
Khi đó ta có định lý sau:
47

50. Định lý 2.6.2. Giả sử các điều kiện (2.55), (2.57), (2.64), (2.65), (2.66) được
thỏa mãn. Khi đó, với L đủ nhỏ (cL < α) thì nghiệm tầm thường của phương
trình (2.63) là ổn định mũ, ngoài ra chúng ta có đánh giá
||x(t)|| ≤ c.exp{cγ − (α − cL)(t − τ)}||x(τ)||.
Chứng minh. Giả sử x(t) là nghiệm của (2.63) khi đó
x(t) = U(t, τ)x(τ) +
t
τ
U(t, s)[R(s, x(s)) + q(s, x(s))]ds,
do đó
||x(t)|| ≤ c.e−α(t−τ)
||x(τ)|| +
t
τ
c.e−α(t−s)
(L + r(s))||x(s)||ds,
suy ra
||x(t)||eα(t−τ)
≤ c||x(τ)|| +
t
τ
[cL + cr(s)]eα(s−τ)
||x(t)||ds.
Theo bổ đề Gronwall-Bellman ta có
||x(t)||eα(t−τ)
≤ c||x(τ)||e
t
τ
[cL+cr(s)]ds
,
suy ra
||x(t)|| ≤ c||x(τ)||e−α(t−τ)
e
t
τ
[cL+cr(s)]ds
||x(t)|| ≤ c||x(τ)||e[cγ−(α−cL)](t−τ)
.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
48

51. Chương 3
Phương trình tiến hoá đặt chỉnh và
bài toán ứng dụng
3.1 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh
Trong phần này chúng tôi giới thiệu lại một cách tóm tắt các kết quả về
phương trình tiến hóa đặt chỉnh và đặt chỉnh đều trong không gian Banach, với
mục đích để tiện lợi trong phần tiếp theo về mô hình ứng dụng cho bài toán dân
số phụ thuộc tuổi. Các nội dung trong phần này được trích dẫn trong [4] và [6].
Xét bài toán Cauchy trừu tượng
(ACP)
.
u(t) = Au(t) ∀t ≥ 0,
u(0) = x,
trong đó t là biến độc lập, biểu diễn cho thời gian, u(.) là hàm nhận giá trị trong
không gian Banach X, A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính, x ∈ X là giá
trị ban đầu.
Định nghĩa 3.1.1. Hàm u : R+ → X được gọi là nghiệm (cổ điển) của bài toán
(ACP) nếu u khả vi liên tục, u(t) ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và thỏa mãn (ACP).
Mệnh đề 3.1.1. (xem [4], tr.145) Cho (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm
liên tục mạnh (T(t))t≥0. Khi đó với mọi x ∈ D(A), hàm u : t → T(t)x là nghiệm
(cổ điển) duy nhất của bài toán (ACP).
49

52. Chứng minh. Dễ dàng suy ra từ mệnh đề 1.4.4, ii.
Định nghĩa 3.1.2. Hàm u : R+ → X được gọi là nghiệm yếu (mild solution)
của bài toán (ACP) nếu
t
0
u(s)ds ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và
u(t) = A
t
0
u(s)ds + x.
Định lý 3.1.1. (xem [4], tr.146) Cho (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm
liên tục mạnh (T(t))t≥0. Khi đó với mọi x ∈ X, hàm u : t → T(t)x là nghiệm yếu
duy nhất của bài toán (ACP).
Định lý 3.1.2. (xem [5], tr.112) Cho A : D(A) ⊂ X → X là toán tử đóng. Xét
bài toán Cauchy trừu tượng
(ACP)
.
u(t) = Au(t) ∀t ≥ 0,
u(0) = x.
Khi đó các tính chất sau tương đương
(i) A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh.
(ii) Với mọi x ∈ D(A), tồn tại duy nhất nghiệm u(., x) của bài toán (ACP) và
ρ(A) = ∅.
(iii) Với mọi x ∈ D(A), tồn tại duy nhất nghiệm u(., x) của bài toán (ACP), A
có miền xác định trù mật và với mọi dãy { xn}
+∞
n=1 ⊂ D(A) : lim
n↓+∞
xn = 0 tồn tại
nghiệm u(t, xn) sao cho: lim
n↓+∞
u(t, xn) = 0 đều trên [0, t0].
Định nghĩa 3.1.3. (Bài toán Cauchy đặt chỉnh)
Bài toán Cauchy trừu tượng
(ACP)
.
u(t) = Au(t) ∀t ≥ 0,
u(0) = x,
.
với toán tử đóng A : D(A) ⊂ X → X được gọi là đặt chỉnh nếu với mọi x ∈ D(A),
tồn tại nghiệm duy nhất u(t, x) của (ACP), A có miền xác định trù mật, đồng
50

53. thời với mọi dãy {xn}∞
n=0 ⊂ D(A) : lim
n→∞
xn = 0, ta có lim
n→∞
u(t, xn) = 0 đều trên
mỗi khoảng compact [0, t0]
Mệnh đề 3.1.2. (xem [4]) Cho toán tử đóng A : D(A) ⊂ X → X, bài toán
(ACP) là đặt chỉnh khi và chỉ khi A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
trên X. Trong trường hợp này nghiệm của bài toán (ACP) cho bởi u(t) = T(t)x,
t ≥ 0.
Tương tự, sau đây chúng ta sẽ xét bài toán đặt chỉnh đều cho phương trình
vi phân tuyến tính không autonom
.
x(t) = A(t)x 0 ≤ t ≤ T, (3.1)
ở đây A(t) là toán tử tuyến tính không giới nội. Giả sử rằng với mọi t ∈ [0, T]
toán tử A(t) có miền xác định D(A(t)) = D(A) là miền đóng và trù mật trong
X. Với mỗi t0 ∈ [0, T] chúng ta sẽ xét bài toán Cauchy tìm nghiệm x = x(t) của
(3.1) trên [t0, T] thỏa mãn điều kiện ban đầu
x(t0) = x0 ∈ D(A) (3.2)
Chúng ta có khái niệm về bài toán Cauchy đặt chỉnh đều như sau:
Định nghĩa 3.1.4. Bài toán Cauchy (3.1)-(3.2) được gọi là đặt chỉnh đều nếu
1) Với mỗi t0 ∈ [0, T] và mỗi x0 ∈ D(A) tồn tại duy nhất nghiệm x(t) của (3.1)
trên [t0, T] và thỏa mãn phương trình (3.2).
2) Nghiệm x(t) và đạo hàm ˙x(t) của nó là các hàm liên tục theo t và t0, ở đó
0 ≤ t0 ≤ t ≤ T.
3) Nghiệm phụ thuộc liên tục và điều kiện ban đầu theo nghĩa như sau: nếu x0,n ∈
D(A) hội tụ về 0 thì nghiệm xn(t) tương ứng hội tụ đều về 0 theo t, t0 ∈ [0, T].
Cùng với phương trình (3.1) chúng ta xét phương trình vi phân có nhiễu
dạng
.
x(t) = A(t)x + B(t)x, (3.3)
51

54. trong đó B(t) và A(t)B(t)A−1(t) là giới nội và liên tục mạnh với t ∈ [0, T]. Trong
([6]) đã chứng minh định lý sau:
Định lý 3.1.3. (xem [6], tr.198) Giả sử bài toán Cauchy đối với phương trình
(3.1) là đặt chỉnh đều và các điều kiện sau được thỏa mãn:
1) ||A(0)A−1(s)|| ≤ M 0 ≤ s ≤ t
2) B(t) và A(t)B(t)A−1(t) là giới nội và liên tục mạnh với t ∈ [0, T].
Khi đó bài toán Cauchy đối với phương trình (3.3) là đặt chỉnh đều.
3.2 Mô hình chung của bài toán dân số
Trong nhiều năm gần đây lý thuyết nửa nhóm có rất nhiều ứng dụng trong
lý thuyết định tính của phương trình vi phân và trong các mô hình ứng dụng
(xem [5, 7]). Để chỉ ra khả năng ứng dụng của phương pháp này chúng ta xét
mô hình dân số phụ thuộc vào tuổi sau đây:
Ký hiệu L1 := L1([0, ∞); Rn) là không gian Banach các hàm khả tích Lebesgue
hầu khắp nơi từ [0, ∞) vào Rn, với chuẩn
||φ||L1 =
∞
0
|φ(a)|da, φ ∈ L1
Giả sử T > 0 và LT := C([0, T]; L1) là không gian Banach các hàm liên tục từ
[0, T] vào L1 với chuẩn:
||l||LT
= sup
0≤t≤T
||l(t)||L1 , l ∈ LT .
Giả sử 0 ≤ t ≤ T, a > 0, với mỗi l ∈ LT chúng ta sẽ ký hiệu l = l(a, t) là số lượng
của các cá thể có tuổi a tại thời điểm t. Chú ý rằng trong ([7]) đã chỉ ra rằng
mỗi phần tử của LT đồng nhất với một phần tử của L1((0, ∞) × [0, T]; Rn)
Ký hiệu P(t) là tổng số các cá thể của quần thể tại thời điểm t. Ta có
P(t) =
∞
0
l(a, t)da.
52

55. Xét sự thay đổi dân số trong khoảng thời gian [t, t + h] ta có
P(t + h) − P(t)
h
=
1
h
∞
0
l(a, t + h)da −
∞
0
l(a, t)da
=
1
h
h
0
l(a, t + h)da +
1
h
∞
h
l(a, t + h)da −
1
h
∞
0
l(a, t)da
=
1
h
h
0
l(a, t + h)da +
1
h
∞
0
l(a + h, t + h) − l(a, t)da.
Cho h → 0+, và đặt
F(l(a, t)) =
1
h
h
0
l(a, t + h)da,
G(l(a, t)) =
1
h
(l(a + h, t + h) − l(a, t)).
Ta có
d
dt
P(t) = F(l(a, t)) +
∞
0
G(l(a, t))da, (3.4)
Ở đây hàm F là tốc độ sinh trưởng (birth function) và hàm G là hàm lão hóa
(aging function). Theo luật cân bằng dân số ta lại có
lim
h→0+
∞
0
|h−1
[l(a + h, t + h) − l(a, t)] − G(l(a, t))|da = 0, 0 ≤ t ≤ T (3.5)
theo luật sinh trưởng (birth law) ta có
lim
h→0+
h−1
h
0
|l(a, t + h) − F(l(a, t))|da = 0, 0 ≤ t ≤ T (3.6)
sự phân bố tuổi mô hình được cho bởi
l(., 0) = φ.
Khi đó, ta có định nghĩa nghiệm của bài toán dân số (ADP) như sau:
Định nghĩa 3.2.1. Giả sử T > 0 và l ∈ LT , chúng ta gọi l là nghiệm của bài
toán (ADP) trên [0, T] nếu l thỏa mãn (3.4), (3.5), (3.6).
Giả sử toán tử vi phân D được xác định bởi
Dl(a, t) = lim
h→0+
h−1
[l(a + h, t + h) − l(a, t)].
53

56. Chú ý rằng nếu giả thiết l = l(a, t) là khả vi liên tục thì ta có
Dl(a, t) =
∂l
∂t
(a, t) +
∂l
∂a
(a, t).
Từ lý luận trên ta thấy rằng nghiệm l = l(a, t) của bài toán dân số có thể được
xác định bởi
Dl(a, t) = G(l(a, t)), t ∈ [0, T], a ≥ 0 (3.7)
l(0, t) = F(l(a, t)), t ∈ [0, T]. (3.8)
Trong ([7]) G.F.Webb đã sử dụng phương pháp nửa nhóm phi tuyến để nghiên
cứu bài toán dân số trên. Sau đây chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt các kết quả
chính của phương pháp này như sau: Giả sử hàm sinh F và hàm lão hóa G là các
hàm liên tục trên tập bị chặn trong không gian L1 thỏa mãn điều kiện Lipshitz,
tức là:
i) F : L1 → Rn thỏa mãn điều kiện:
|F(φ1) − F(φ2)| ≤ c1(r)||φ1 − φ2||L1 ,
với mọi φ1, φ2 ∈ L1, trong đó c1 : [0, ∞) → [0, ∞) là hàm liên tục không tăng.
ii) G : L1 → L1 thỏa mãn điều kiện:
||G(φ1) − G(φ2)|| ≤ c2(r)||φ1 − φ2||L1 ,
với mọi φ1, φ2 ∈ L1, trong đó c2 : [0, ∞) → [0, ∞) là hàm liên tục không tăng.
Để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ (ADP) chúng ta cần sử dụng
các mệnh đề sau:
Mệnh đề 3.2.1. Giả sử các hàm F và G thỏa mãn các điều kiện i), ii) trên.
Với T > 0 và φ ∈ L1. Khi đó nếu l ∈ L1 là nghiệm của (3.7)-(3.7) trên [0, T] thì
l là nghiệm của bài toán ADP trên [0, T].
Chứng minh. xem trang 29 tài liệu ([7])
54

57. Mệnh đề 3.2.2. Giả sử các hàm F và G thỏa mãn các điều kiện i), ii) trên,
và r > 0. Khi đó tồn tại T > 0 sao cho nếu φ ∈ L1 và ||φ||L1 ≤ r thì tồn tại duy
nhất hàm l ∈ LT sao cho l là nghiệm của (3.7)-(3.8) trên [0, T].
Chứng minh. Xem trang 31 tài liệu ([7])
Từ các mệnh đề trên ta có thể chứng minh định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
của bài toán ADP như sau
Định lý 3.2.1. Giả sử các hàm F và G thỏa mãn các điều kiện i), ii) trên, và
φ ∈ L1. Khi đó tồn tại T > 0 và l ∈ LT sao cho l là nghiệm duy nhất của ADP
trên [0, T].
Chứng minh. Xem trang 39 tài liệu ([7]).
3.3 Mô hình cụ thể
Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ xét một ứng dụng của phương pháp nửa
nhóm các toán tử tuyến tính trong không gia Banach để nghiên cứu mô hình
dân số phụ thuộc vào tuổi dạng đơn giản (xem [5], tr.216) như sau:
(APE)



∂l
∂t
(a, t) +
∂l
∂a
(a, t) + µ(a)l(a, t) = 0 với a, t ≥ 0,
l(0, t) =
∞
0
β(a)l(a, t)da với t ≥ 0,
l(a, 0) = l0(a) với a ≥ 0.
trong đó t và a là các biến thực không âm, l(., t) mô tả cấu trúc tuổi của một tập
hợp các cá thể tại thời điểm t, l0 là cấu trúc tuổi ban đầu tại thời điểm t = 0,
µ, β là các hàm dương, giới nội, lần lượt biểu thị tỉ lệ tử và tỉ lệ sinh tương ứng.
Trong ([5]) người ta đã chỉ ra rằng nếu trong không gian L1(R+) chúng ta xét
các không gian con X := W1,1(R+) (xem [5]), đồng thời trong X ta xét toán tử
tuyến tính A đóng, xác định trù mật như sau:
Al = −l − µl, l ∈ D(A) := l ∈ W1,1(R+) : l(0) =
∞
0
β(a)l(a)da
55

58. thì bài toán dân số (APE) tương đương với bài toán Cauchy trừu tượng sau:
(ACP)
˙x(t) = Ax(t) với t ≥ 0,
x(0) = l0,
với x(t) := l(., t). Theo ([5]) thì (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục
mạnh (T(t))t≥0 và do đó (ACP) là bài toán Cauchy đặt chỉnh. Trong trường hợp
này nghiệm duy nhất của bài toán (APE) là l(a, t) = (T(t)l0)(a).
Chú ý rằng trong mô hình dân số (APE) này chúng ta đã xét trường hợp
đơn giản khi mà hàm G(l(a, t)) trong biểu thức (3.7) chúng ta đã lấy G(l(a, t)) =
−µ(a)l(a, t). Bây giờ chúng ta sẽ xét mô hình phức tạp hơn trong đó
G(l(a, t)) = −µ(a)l(a, t) + α(t)l(a, t).
Khi đó tương ứng với bài toàn (APE) ta có bài toán Cauchy có nhiễu tương
ứng sau:
(ACP(b))
˙u(t) = Au(t) + α(t)u(t) với t ≥ 0,
u(0) = l0.
trong đó u ∈ X, α(t) ∈ C1(R+) thỏa mãn điều kiện sau đây:
∞
0
|α(t)|dt < +∞.
Theo ([6]) thì (ACP(b)) là bài toán Cauchy đặt chỉnh. Tương ứng với bài toán
này ta có thể xác định họ các toán tử tiến hóa (U(t, s))t≥s≥0 thỏa mãn phương
trình:
U(t, s) = T(t − s) +
t
s
T(t − τ)α(τ)U(t, τ)dτ, t ≥ s ≥ 0.
Sử dụng bổ để Gronwall-Bellman và bằng phương pháp chứng minh tương tự
như trong định lý 2.6.2 ta sẽ nhận được kết quả sau:
Định lý 3.3.1. Giả sử (T(t))t≥0 và (U(t, s))t≥s≥0 lần lượt là C0-nửa nhóm và họ
các toán tử tiến hóa tương ứng với bài toán (ACP) và (ACP(b)). Khi đó ta có
các mệnh đề sau:
56

59. a) Nếu (T(t))t≥0 là C0-nửa nhóm ổn định mũ thì (U(t, s))t≥s≥0 là ổn định mũ,
nghĩa là tồn tại các hằng số dương C, λ sao cho
||U(t, s)|| ≤ Cexp{−λ(t − s)} với t ≥ s ≥ 0
b) Nếu (T(t))t≥0 là C0-nửa nhóm giới nội đều thì (U(t, s))t≥s≥0 là giới nội đều,
tức là
||U(t, s)|| ≤ M với t ≥ s ≥ 0
Nhận xét.
a) Định lý trên chỉ ra một bức tranh về dáng điệu tiệm cận của bài toán dân
số phụ thuộc tuổi. Cụ thể hơn khi có tác động của nhiễu không quá lớn thì cấu
trúc dân số phân bố theo tuổi là không có sự thay đổi đáng kể.
b) Bằng cách sử dụng phương pháp nửa nhóm chúng ta có thể xét thêm một
số bài toán tiếp theo về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình tiến
hóa, chẳng hạn sự tương đương tiệm cận, sự cân bằng tiệm cận hoặc bài toán
về phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu ở dạng phức tạp hơn.
57

60. Kết luận
Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày được những nội dung sau:
Phương trình vi phân trong không gian Hilbert và các phương pháp nghiên
cứu tính ổn định theo Lyapunov: phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp
xấp xỉ thứ nhất và phương pháp xây dựng hàm Lyapunov cho một số hệ phương
trình vi phân dạng đơn giản.
Phương trình tiến hóa đặt chỉnh và sử dụng phương pháp nửa nhóm để
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của mô hình dân số phụ thuộc tuổi.
58

61. Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Kỳ Anh - Trần Đức Long, Giáo trình hàm thực và giải tích hàm ,
NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội (2001)
[2] E.A.Barbasin, Mở đầu về lý thuyết ổn định (dịch từ nguyên bản tiếng Nga),
NXB khoa học và kỹ thuật (1967).
[3] Ju.L,Daleckii and M.G.Krein, Stability of solutions of differential Equations
in Banach Space,American Mathematical Society Providence, Rhode Island
(1974).
[4] K.J. Engel-R.Nagel, One-Parameter Semigroups for linear evolution Equa-
tions, Springer verlog NewYork(2000).
[5] K.-J. Engel and R. Nagel (2005), A short course on operator Semigroups,
Springer-Verlag New York Berlin London Paris Tokyo Hong kong Barcelona
Heidelberg Milan Singapore.
[6] S. G. Krein (1971), Linear differential equations in Banach space, American
Mathematical society, Providence, Rhode Island 02904.
[7] G.F.Webb, Theory of nonlinear age-dependent population dynamics, Pure
and applied mathematics, a program of monographs, text books, and Lec-
ture Notes (1982).
[8] T.Yosizawa, Stability theory by Lyapunov’s second method, Copyright by
mathematical Sociery of japan (1966).
59