Ôn thi Cao h c năm 2010 môn Gi i tích (Cơ b n)         Bài 3 - LÝ THUY T CHU I                 PGS TS. Lê Hoàn Hóa        ...
Nội Dung           PGS TS. Lê Hoàn Hóa   Ôn thi Cao học Giải tích
Nội Dung           PGS TS. Lê Hoàn Hóa   Ôn thi Cao học Giải tích
Định nghĩa  Cho (an )n là dãy số (có thể thực hay phức), chuỗi tương ứng ký          ∞          ∑︁                        ...
Định nghĩa  Cho (an )n là dãy số (có thể thực hay phức), chuỗi tương ứng ký          ∞          ∑︁                        ...
Định nghĩa  Cho (an )n là dãy số (có thể thực hay phức), chuỗi tương ứng ký          ∞          ∑︁                        ...
Định nghĩa  Cho (an )n là dãy số (có thể thực hay phức), chuỗi tương ứng ký          ∞          ∑︁                        ...
Tính chất   1   Tính hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi nếu thay đổi       thứ tự của một số hữu hạn số hạng.        ...
Tính chất   1   Tính hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi nếu thay đổi       thứ tự của một số hữu hạn số hạng.        ...
Tính chất   1   Tính hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi nếu thay đổi       thứ tự của một số hữu hạn số hạng.        ...
Tính chất   1   Tính hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi nếu thay đổi       thứ tự của một số hữu hạn số hạng.        ...
Nội Dung           PGS TS. Lê Hoàn Hóa   Ôn thi Cao học Giải tích
Chuỗi không âm » Tính chất                                              ∞                                              ∑︁ ...
Chuỗi không âm » Tính chất                                              ∞                                              ∑︁ ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh                                                              ∞                          ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh                                                              ∞                          ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh                 an   2   Giả sử lim   = k. Khi đó:             n→∞ bn                   ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh                 an   2   Giả sử lim   = k. Khi đó:             n→∞ bn                   ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh                 an   2   Giả sử lim   = k. Khi đó:             n→∞ bn                   ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh                 an   2   Giả sử lim   = k. Khi đó:             n→∞ bn                   ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh                 an   2   Giả sử lim   = k. Khi đó:             n→∞ bn                   ...
Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân  Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N,  đặt an = f (n). ...
Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân  Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N,  đặt an = f (n). ...
Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân  Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N,  đặt an = f (n). ...
Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân  Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N,  đặt an = f (n). ...
Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân  Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N,  đặt an = f (n). ...
Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân  Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N,  đặt an = f (n). ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số)                       ∞                       ∑︁                             ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số)                       ∞                       ∑︁                             ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số)                       ∞                       ∑︁                             ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số)                       ∞                       ∑︁                             ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số)                       ∞                       ∑︁                             ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số)                       ∞                       ∑︁                             ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số)                       ∞                       ∑︁                                ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số)                       ∞                       ∑︁                                ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số)                       ∞                       ∑︁                                ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số)                       ∞                       ∑︁                                ...
Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số)                       ∞                       ∑︁                                ...
Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz                           ∞                           ∑︁                      ∞         ...
Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz                           ∞                           ∑︁                      ∞         ...
Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz                           ∞                           ∑︁                      ∞         ...
Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz                           ∞                           ∑︁                      ∞         ...
Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz                           ∞                           ∑︁                      ∞         ...
Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz                           ∞                           ∑︁                      ∞         ...
Chuỗi bất kì » Các định nghĩa                              ∞                              ∑︁  Chuỗi bất kì có dạng        ...
Chuỗi bất kì » Các định nghĩa                              ∞                              ∑︁  Chuỗi bất kì có dạng        ...
Chuỗi bất kì » Các định nghĩa                              ∞                              ∑︁  Chuỗi bất kì có dạng        ...
Chuỗi bất kì » Các định nghĩa                              ∞                              ∑︁  Chuỗi bất kì có dạng        ...
Chuỗi bất kì » Các định nghĩa                              ∞                              ∑︁  Chuỗi bất kì có dạng        ...
Chuỗi bất kì » Tính chất              ∞              ∑︁  Nếu chuỗi        an hội tụ tuyệt đối thì chuỗi có được bằng cách ...
Chuỗi bất kì » Tính chất              ∞              ∑︁  Nếu chuỗi        an hội tụ tuyệt đối thì chuỗi có được bằng cách ...
Chuỗi bất kì » Tính chất              ∞              ∑︁  Nếu chuỗi        an hội tụ tuyệt đối thì chuỗi có được bằng cách ...
Chuỗi bất kì » Định lí  Cho (an )n là dãy giảm, an ≥ 0, lim an = 0. Cho (bn )n là dãy bất                                 ...
Chuỗi bất kì » Định lí  Cho (an )n là dãy giảm, an ≥ 0, lim an = 0. Cho (bn )n là dãy bất                                 ...
Chuỗi bất kì » Định lí  Cho (an )n là dãy giảm, an ≥ 0, lim an = 0. Cho (bn )n là dãy bất                                 ...
Chuỗi bất kì » Định lí  Cho (an )n là dãy giảm, an ≥ 0, lim an = 0. Cho (bn )n là dãy bất                                 ...
Nội Dung           PGS TS. Lê Hoàn Hóa   Ôn thi Cao học Giải tích
Ví dụ » Ví dụ 1  Ví dụ 1                                 ∞                                 ∑︁      1  Xét tính hội tụ của ...
Ví dụ » Ví dụ 1  Ví dụ 1                                 ∞                                 ∑︁      1  Xét tính hội tụ của ...
Ví dụ » Ví dụ 1  Ví dụ 1                                 ∞                                 ∑︁      1  Xét tính hội tụ của ...
Ví dụ » Ví dụ 1  Ví dụ 1                                 ∞                                 ∑︁      1  Xét tính hội tụ của ...
Ví dụ » Ví dụ 1  Ví dụ 1                                 ∞                                 ∑︁      1  Xét tính hội tụ của ...
Ví dụ » Ví dụ 1  Ví dụ 1                                 ∞                                 ∑︁      1  Xét tính hội tụ của ...
Ví dụ » Ví dụ 1  Ví dụ 1                                 ∞                                 ∑︁      1  Xét tính hội tụ của ...
Ví dụ » Ví dụ 2  Ví dụ 2                            ∞                            ∑︁ √  Xét tính hội tụ của chuỗi   ( n a −...
Ví dụ » Ví dụ 2  Ví dụ 2                            ∞                            ∑︁ √  Xét tính hội tụ của chuỗi   ( n a −...
Ví dụ » Ví dụ 2  Ví dụ 2                            ∞                            ∑︁ √  Xét tính hội tụ của chuỗi   ( n a −...
Ví dụ » Ví dụ 2  Ví dụ 2                            ∞                            ∑︁ √  Xét tính hội tụ của chuỗi   ( n a −...
Ví dụ » Ví dụ 2  Ví dụ 2                            ∞                            ∑︁ √  Xét tính hội tụ của chuỗi   ( n a −...
Ví dụ » Ví dụ 3  Ví dụ 3                                 ∞                                ∑︁ [︂ 1             (︂        )︂...
Ví dụ » Ví dụ 3  Ví dụ 3                                 ∞                                ∑︁ [︂ 1             (︂        )︂...
Ví dụ » Ví dụ 3  Ví dụ 3                                 ∞                                ∑︁ [︂ 1             (︂        )︂...
Ví dụ » Ví dụ 3  Ví dụ 3                                 ∞                                ∑︁ [︂ 1             (︂        )︂...
Ví dụ » Ví dụ 3  Ví dụ 3                                 ∞                                ∑︁ [︂ 1             (︂        )︂...
Ví dụ » Ví dụ 3  Ví dụ 3                                 ∞                                ∑︁ [︂ 1             (︂        )︂...
Ví dụ » Ví dụ 3  Ví dụ 3                                 ∞                                ∑︁ [︂ 1             (︂        )︂...
Ví dụ » Ví dụ 3  Ví dụ 3                                 ∞                                ∑︁ [︂ 1             (︂        )︂...
Ví dụ » Ví dụ 4  Ví dụ 4                               ∞                              ∑︁ [︂ 1        (︂      )︂]︂         ...
Ví dụ » Ví dụ 4  Ví dụ 4                               ∞                              ∑︁ [︂ 1        (︂      )︂]︂         ...
Ví dụ » Ví dụ 4  Ví dụ 4                               ∞                              ∑︁ [︂ 1        (︂      )︂]︂         ...
Ví dụ » Ví dụ 4  Ví dụ 4                               ∞                              ∑︁ [︂ 1        (︂      )︂]︂         ...
Ví dụ » Ví dụ 4  Ví dụ 4                               ∞                              ∑︁ [︂ 1        (︂      )︂]︂         ...
Ví dụ » Ví dụ 4  Ví dụ 4                               ∞                              ∑︁ [︂ 1        (︂      )︂]︂         ...
Ví dụ » Ví dụ 4  Ví dụ 4                               ∞                              ∑︁ [︂ 1        (︂      )︂]︂         ...
Ví dụ » Ví dụ 5  Ví dụ 5                              ∞                              ∑︁ (︂ 1                    )︂        ...
Ví dụ » Ví dụ 5  Ví dụ 5                              ∞                              ∑︁ (︂ 1                    )︂        ...
Ví dụ » Ví dụ 5  Ví dụ 5                              ∞                              ∑︁ (︂ 1                    )︂        ...
Ví dụ » Ví dụ 5  Ví dụ 5                              ∞                              ∑︁ (︂ 1                    )︂        ...
Ví dụ » Ví dụ 5  Ví dụ 5                              ∞                              ∑︁ (︂ 1                    )︂        ...
Ví dụ » Ví dụ 5  Ví dụ 5                              ∞                              ∑︁ (︂ 1                    )︂        ...
Ví dụ » Ví dụ 6  Ví dụ 6                                    ∞                                    ∑︁  Xét sự hội tụ của chu...
Ví dụ » Ví dụ 6  Ví dụ 6                                    ∞                                    ∑︁  Xét sự hội tụ của chu...
Ví dụ » Ví dụ 6  Ví dụ 6                                    ∞                                    ∑︁  Xét sự hội tụ của chu...
Ví dụ » Ví dụ 6  Ví dụ 6                                    ∞                                    ∑︁  Xét sự hội tụ của chu...
Ví dụ » Ví dụ 6                  1 n          [︂  (︂    )︂ ]︂                    (︂         )︂               2            ...
Ví dụ » Ví dụ 6                  1 n          [︂  (︂    )︂ ]︂                    (︂         )︂               2            ...
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Nguyen le chi quyet
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Nguyen le chi quyet

6,654 views

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
6,654
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5,054
Actions
Shares
0
Downloads
84
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Nguyen le chi quyet

  1. 1. Ôn thi Cao h c năm 2010 môn Gi i tích (Cơ b n) Bài 3 - LÝ THUY T CHU I PGS TS. Lê Hoàn Hóa Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm TP HCM http://math.hcmup.edu.vn Ngày 3 tháng 1 năm 2010 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  2. 2. Nội Dung PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  3. 3. Nội Dung PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  4. 4. Định nghĩa Cho (an )n là dãy số (có thể thực hay phức), chuỗi tương ứng ký ∞ ∑︁ k ∑︁ hiệu là an . Với mỗi k ∈ N, đặt sk = an là tổng riêng phần 1 1 thứ k. Khi k thay đổi trên N, có dãy tổng riêng phần (sk )k . ∞ ∑︁ Nếu lim sk tồn tại hữu hạn, ta nói chuỗi an hội tụ và đặt k→∞ 1 ∞ ∑︁ S = lim sk là tổng của chuỗi, S = an . k→∞ 1 Nếu lim sk không tồn tại hoặc lim sk = +∞ hay k→∞ k→∞ ∞ ∑︁ lim sk = −∞, ta nói chuỗi an phân kỳ. k→∞ 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  5. 5. Định nghĩa Cho (an )n là dãy số (có thể thực hay phức), chuỗi tương ứng ký ∞ ∑︁ k ∑︁ hiệu là an . Với mỗi k ∈ N, đặt sk = an là tổng riêng phần 1 1 thứ k. Khi k thay đổi trên N, có dãy tổng riêng phần (sk )k . ∞ ∑︁ Nếu lim sk tồn tại hữu hạn, ta nói chuỗi an hội tụ và đặt k→∞ 1 ∞ ∑︁ S = lim sk là tổng của chuỗi, S = an . k→∞ 1 Nếu lim sk không tồn tại hoặc lim sk = +∞ hay k→∞ k→∞ ∞ ∑︁ lim sk = −∞, ta nói chuỗi an phân kỳ. k→∞ 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  6. 6. Định nghĩa Cho (an )n là dãy số (có thể thực hay phức), chuỗi tương ứng ký ∞ ∑︁ k ∑︁ hiệu là an . Với mỗi k ∈ N, đặt sk = an là tổng riêng phần 1 1 thứ k. Khi k thay đổi trên N, có dãy tổng riêng phần (sk )k . ∞ ∑︁ Nếu lim sk tồn tại hữu hạn, ta nói chuỗi an hội tụ và đặt k→∞ 1 ∞ ∑︁ S = lim sk là tổng của chuỗi, S = an . k→∞ 1 Nếu lim sk không tồn tại hoặc lim sk = +∞ hay k→∞ k→∞ ∞ ∑︁ lim sk = −∞, ta nói chuỗi an phân kỳ. k→∞ 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  7. 7. Định nghĩa Cho (an )n là dãy số (có thể thực hay phức), chuỗi tương ứng ký ∞ ∑︁ k ∑︁ hiệu là an . Với mỗi k ∈ N, đặt sk = an là tổng riêng phần 1 1 thứ k. Khi k thay đổi trên N, có dãy tổng riêng phần (sk )k . ∞ ∑︁ Nếu lim sk tồn tại hữu hạn, ta nói chuỗi an hội tụ và đặt k→∞ 1 ∞ ∑︁ S = lim sk là tổng của chuỗi, S = an . k→∞ 1 Nếu lim sk không tồn tại hoặc lim sk = +∞ hay k→∞ k→∞ ∞ ∑︁ lim sk = −∞, ta nói chuỗi an phân kỳ. k→∞ 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  8. 8. Tính chất 1 Tính hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi nếu thay đổi thứ tự của một số hữu hạn số hạng. ∞ ∑︁ ∑︁ 2 Chuỗi an và an cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 1 n≥n0 ∞ ∑︁ 3 Điều kiện cần: nếu chuỗi an hội tụ thì lim an = 0. k→∞ 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  9. 9. Tính chất 1 Tính hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi nếu thay đổi thứ tự của một số hữu hạn số hạng. ∞ ∑︁ ∑︁ 2 Chuỗi an và an cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 1 n≥n0 ∞ ∑︁ 3 Điều kiện cần: nếu chuỗi an hội tụ thì lim an = 0. k→∞ 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  10. 10. Tính chất 1 Tính hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi nếu thay đổi thứ tự của một số hữu hạn số hạng. ∞ ∑︁ ∑︁ 2 Chuỗi an và an cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 1 n≥n0 ∞ ∑︁ 3 Điều kiện cần: nếu chuỗi an hội tụ thì lim an = 0. k→∞ 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  11. 11. Tính chất 1 Tính hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi nếu thay đổi thứ tự của một số hữu hạn số hạng. ∞ ∑︁ ∑︁ 2 Chuỗi an và an cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 1 n≥n0 ∞ ∑︁ 3 Điều kiện cần: nếu chuỗi an hội tụ thì lim an = 0. k→∞ 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  12. 12. Nội Dung PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  13. 13. Chuỗi không âm » Tính chất ∞ ∑︁ Chuỗi không âm là chuỗi có dạng: an , a n ≥ 0 1 Tính chất ∞ ∑︁ Cho an , an ≥ 0. Khi đó dãy tổng riêng phần (sk )k là dãy tăng 1 ∞ ∑︁ và nếu (sk )k bị chặn thì chuỗi an hội tụ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  14. 14. Chuỗi không âm » Tính chất ∞ ∑︁ Chuỗi không âm là chuỗi có dạng: an , a n ≥ 0 1 Tính chất ∞ ∑︁ Cho an , an ≥ 0. Khi đó dãy tổng riêng phần (sk )k là dãy tăng 1 ∞ ∑︁ và nếu (sk )k bị chặn thì chuỗi an hội tụ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  15. 15. Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh ∞ ∑︁ 1 Giả sử 0 ≤ an ≤ bn , ∀n ≥ n0 . Khi đó, nếu bn hội tụ thì 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ an hội tụ, nếu an phân kỳ thì bn phân kỳ. 1 1 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  16. 16. Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh ∞ ∑︁ 1 Giả sử 0 ≤ an ≤ bn , ∀n ≥ n0 . Khi đó, nếu bn hội tụ thì 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ an hội tụ, nếu an phân kỳ thì bn phân kỳ. 1 1 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  17. 17. Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh an 2 Giả sử lim = k. Khi đó: n→∞ bn ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu 0 < k < ∞ thì an , bn cùng hội tụ hoặc cùng phân 1 1 kỳ. ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu k = 0 và bn hội tụ thì an hội tụ, nếu an phân 1 1 1 ∞ ∑︁ kỳ thì bn phân kỳ. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu k = ∞ và an hội tụ thì bn hội tụ, nếu bn phân 1 1 1 ∞ ∑︁ kỳ thì an phân kỳ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  18. 18. Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh an 2 Giả sử lim = k. Khi đó: n→∞ bn ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu 0 < k < ∞ thì an , bn cùng hội tụ hoặc cùng phân 1 1 kỳ. ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu k = 0 và bn hội tụ thì an hội tụ, nếu an phân 1 1 1 ∞ ∑︁ kỳ thì bn phân kỳ. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu k = ∞ và an hội tụ thì bn hội tụ, nếu bn phân 1 1 1 ∞ ∑︁ kỳ thì an phân kỳ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  19. 19. Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh an 2 Giả sử lim = k. Khi đó: n→∞ bn ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu 0 < k < ∞ thì an , bn cùng hội tụ hoặc cùng phân 1 1 kỳ. ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu k = 0 và bn hội tụ thì an hội tụ, nếu an phân 1 1 1 ∞ ∑︁ kỳ thì bn phân kỳ. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu k = ∞ và an hội tụ thì bn hội tụ, nếu bn phân 1 1 1 ∞ ∑︁ kỳ thì an phân kỳ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  20. 20. Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh an 2 Giả sử lim = k. Khi đó: n→∞ bn ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu 0 < k < ∞ thì an , bn cùng hội tụ hoặc cùng phân 1 1 kỳ. ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu k = 0 và bn hội tụ thì an hội tụ, nếu an phân 1 1 1 ∞ ∑︁ kỳ thì bn phân kỳ. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu k = ∞ và an hội tụ thì bn hội tụ, nếu bn phân 1 1 1 ∞ ∑︁ kỳ thì an phân kỳ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  21. 21. Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh an 2 Giả sử lim = k. Khi đó: n→∞ bn ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu 0 < k < ∞ thì an , bn cùng hội tụ hoặc cùng phân 1 1 kỳ. ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu k = 0 và bn hội tụ thì an hội tụ, nếu an phân 1 1 1 ∞ ∑︁ kỳ thì bn phân kỳ. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu k = ∞ và an hội tụ thì bn hội tụ, nếu bn phân 1 1 1 ∞ ∑︁ kỳ thì an phân kỳ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  22. 22. Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N, đặt an = f (n). Khi đó: ∞ ∫︁ ∞ ∑︁ Tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi an hội tụ. 1 1 Chuỗi cơ bản ∞ ∑︁ 1 1 hội tụ khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1. ns 1 ∞ ∞ ∑︁ ∑︁ 1 2 t n , |t| < 1, hội tụ và tổng S = tn = 1−t 0 0 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  23. 23. Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N, đặt an = f (n). Khi đó: ∞ ∫︁ ∞ ∑︁ Tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi an hội tụ. 1 1 Chuỗi cơ bản ∞ ∑︁ 1 1 hội tụ khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1. ns 1 ∞ ∞ ∑︁ ∑︁ 1 2 t n , |t| < 1, hội tụ và tổng S = tn = 1−t 0 0 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  24. 24. Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N, đặt an = f (n). Khi đó: ∞ ∫︁ ∞ ∑︁ Tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi an hội tụ. 1 1 Chuỗi cơ bản ∞ ∑︁ 1 1 hội tụ khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1. ns 1 ∞ ∞ ∑︁ ∑︁ 1 2 t n , |t| < 1, hội tụ và tổng S = tn = 1−t 0 0 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  25. 25. Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N, đặt an = f (n). Khi đó: ∞ ∫︁ ∞ ∑︁ Tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi an hội tụ. 1 1 Chuỗi cơ bản ∞ ∑︁ 1 1 hội tụ khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1. ns 1 ∞ ∞ ∑︁ ∑︁ 1 2 t n , |t| < 1, hội tụ và tổng S = tn = 1−t 0 0 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  26. 26. Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N, đặt an = f (n). Khi đó: ∞ ∫︁ ∞ ∑︁ Tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi an hội tụ. 1 1 Chuỗi cơ bản ∞ ∑︁ 1 1 hội tụ khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1. ns 1 ∞ ∞ ∑︁ ∑︁ 1 2 t n , |t| < 1, hội tụ và tổng S = tn = 1−t 0 0 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  27. 27. Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N, đặt an = f (n). Khi đó: ∞ ∫︁ ∞ ∑︁ Tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi an hội tụ. 1 1 Chuỗi cơ bản ∞ ∑︁ 1 1 hội tụ khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1. ns 1 ∞ ∞ ∑︁ ∑︁ 1 2 t n , |t| < 1, hội tụ và tổng S = tn = 1−t 0 0 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  28. 28. Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số) ∞ ∑︁ an+1 Cho chuỗi số dương an , an > 0. Giả sử lim = k. Khi đó: n→∞ an 1 ∞ ∑︁ 1 Nếu k < 1 thì an hội tụ. 1 ∞ ∑︁ 2 Nếu k > 1 thì an phân kỳ. 1 3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ. ∞ an+1 ∑︁ Ghi chú. Nếu có ≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi an phân kỳ. an 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  29. 29. Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số) ∞ ∑︁ an+1 Cho chuỗi số dương an , an > 0. Giả sử lim = k. Khi đó: n→∞ an 1 ∞ ∑︁ 1 Nếu k < 1 thì an hội tụ. 1 ∞ ∑︁ 2 Nếu k > 1 thì an phân kỳ. 1 3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ. ∞ an+1 ∑︁ Ghi chú. Nếu có ≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi an phân kỳ. an 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  30. 30. Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số) ∞ ∑︁ an+1 Cho chuỗi số dương an , an > 0. Giả sử lim = k. Khi đó: n→∞ an 1 ∞ ∑︁ 1 Nếu k < 1 thì an hội tụ. 1 ∞ ∑︁ 2 Nếu k > 1 thì an phân kỳ. 1 3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ. ∞ an+1 ∑︁ Ghi chú. Nếu có ≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi an phân kỳ. an 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  31. 31. Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số) ∞ ∑︁ an+1 Cho chuỗi số dương an , an > 0. Giả sử lim = k. Khi đó: n→∞ an 1 ∞ ∑︁ 1 Nếu k < 1 thì an hội tụ. 1 ∞ ∑︁ 2 Nếu k > 1 thì an phân kỳ. 1 3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ. ∞ an+1 ∑︁ Ghi chú. Nếu có ≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi an phân kỳ. an 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  32. 32. Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số) ∞ ∑︁ an+1 Cho chuỗi số dương an , an > 0. Giả sử lim = k. Khi đó: n→∞ an 1 ∞ ∑︁ 1 Nếu k < 1 thì an hội tụ. 1 ∞ ∑︁ 2 Nếu k > 1 thì an phân kỳ. 1 3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ. ∞ an+1 ∑︁ Ghi chú. Nếu có ≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi an phân kỳ. an 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  33. 33. Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số) ∞ ∑︁ an+1 Cho chuỗi số dương an , an > 0. Giả sử lim = k. Khi đó: n→∞ an 1 ∞ ∑︁ 1 Nếu k < 1 thì an hội tụ. 1 ∞ ∑︁ 2 Nếu k > 1 thì an phân kỳ. 1 3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ. ∞ an+1 ∑︁ Ghi chú. Nếu có ≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi an phân kỳ. an 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  34. 34. Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số) ∞ ∑︁ √ Cho chuỗi không âm an , an ≥ 0. Giả sử lim n an = k. Khi đó: k→∞ 1 1 Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ. 2 Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ. 3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  35. 35. Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số) ∞ ∑︁ √ Cho chuỗi không âm an , an ≥ 0. Giả sử lim n an = k. Khi đó: k→∞ 1 1 Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ. 2 Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ. 3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  36. 36. Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số) ∞ ∑︁ √ Cho chuỗi không âm an , an ≥ 0. Giả sử lim n an = k. Khi đó: k→∞ 1 1 Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ. 2 Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ. 3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  37. 37. Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số) ∞ ∑︁ √ Cho chuỗi không âm an , an ≥ 0. Giả sử lim n an = k. Khi đó: k→∞ 1 1 Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ. 2 Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ. 3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  38. 38. Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số) ∞ ∑︁ √ Cho chuỗi không âm an , an ≥ 0. Giả sử lim n an = k. Khi đó: k→∞ 1 1 Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ. 2 Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ. 3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  39. 39. Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Chuỗi đan dấu có dạng (−1)n an hoặc (−1)n an , an ≥ 0. 1 0 Dấu hiệu Leibnitz ∞ ∑︁ Cho chuỗi đan dấu (−1)n an , an ≥ 0. Giả sử (an )n là dãy giảm 1 và lim an = 0 thì chuỗi hội tụ.Gọi S là tổng của chuỗi. Khi đó: k→∞ |S| ≤ a1 . PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  40. 40. Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Chuỗi đan dấu có dạng (−1)n an hoặc (−1)n an , an ≥ 0. 1 0 Dấu hiệu Leibnitz ∞ ∑︁ Cho chuỗi đan dấu (−1)n an , an ≥ 0. Giả sử (an )n là dãy giảm 1 và lim an = 0 thì chuỗi hội tụ.Gọi S là tổng của chuỗi. Khi đó: k→∞ |S| ≤ a1 . PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  41. 41. Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Chuỗi đan dấu có dạng (−1)n an hoặc (−1)n an , an ≥ 0. 1 0 Dấu hiệu Leibnitz ∞ ∑︁ Cho chuỗi đan dấu (−1)n an , an ≥ 0. Giả sử (an )n là dãy giảm 1 và lim an = 0 thì chuỗi hội tụ.Gọi S là tổng của chuỗi. Khi đó: k→∞ |S| ≤ a1 . PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  42. 42. Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Chuỗi đan dấu có dạng (−1)n an hoặc (−1)n an , an ≥ 0. 1 0 Dấu hiệu Leibnitz ∞ ∑︁ Cho chuỗi đan dấu (−1)n an , an ≥ 0. Giả sử (an )n là dãy giảm 1 và lim an = 0 thì chuỗi hội tụ.Gọi S là tổng của chuỗi. Khi đó: k→∞ |S| ≤ a1 . PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  43. 43. Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Chuỗi đan dấu có dạng (−1)n an hoặc (−1)n an , an ≥ 0. 1 0 Dấu hiệu Leibnitz ∞ ∑︁ Cho chuỗi đan dấu (−1)n an , an ≥ 0. Giả sử (an )n là dãy giảm 1 và lim an = 0 thì chuỗi hội tụ.Gọi S là tổng của chuỗi. Khi đó: k→∞ |S| ≤ a1 . PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  44. 44. Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Chuỗi đan dấu có dạng (−1)n an hoặc (−1)n an , an ≥ 0. 1 0 Dấu hiệu Leibnitz ∞ ∑︁ Cho chuỗi đan dấu (−1)n an , an ≥ 0. Giả sử (an )n là dãy giảm 1 và lim an = 0 thì chuỗi hội tụ.Gọi S là tổng của chuỗi. Khi đó: k→∞ |S| ≤ a1 . PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  45. 45. Chuỗi bất kì » Các định nghĩa ∞ ∑︁ Chuỗi bất kì có dạng an với an có thể âm hay dương. 1 ∞ ∑︁ Xét chuỗi không âm |an |. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu chuỗi |an | hội tụ thì chuỗi an hội tụ và ta nói 1 1 ∞ ∑︁ chuỗi an hội tụ tuyệt đối. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu chuỗi an hội tụ nhưng chuỗi |an | phân kỳ, ta nói 1 1 ∞ ∑︁ chuỗi an là bán hội tụ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  46. 46. Chuỗi bất kì » Các định nghĩa ∞ ∑︁ Chuỗi bất kì có dạng an với an có thể âm hay dương. 1 ∞ ∑︁ Xét chuỗi không âm |an |. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu chuỗi |an | hội tụ thì chuỗi an hội tụ và ta nói 1 1 ∞ ∑︁ chuỗi an hội tụ tuyệt đối. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu chuỗi an hội tụ nhưng chuỗi |an | phân kỳ, ta nói 1 1 ∞ ∑︁ chuỗi an là bán hội tụ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  47. 47. Chuỗi bất kì » Các định nghĩa ∞ ∑︁ Chuỗi bất kì có dạng an với an có thể âm hay dương. 1 ∞ ∑︁ Xét chuỗi không âm |an |. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu chuỗi |an | hội tụ thì chuỗi an hội tụ và ta nói 1 1 ∞ ∑︁ chuỗi an hội tụ tuyệt đối. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu chuỗi an hội tụ nhưng chuỗi |an | phân kỳ, ta nói 1 1 ∞ ∑︁ chuỗi an là bán hội tụ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  48. 48. Chuỗi bất kì » Các định nghĩa ∞ ∑︁ Chuỗi bất kì có dạng an với an có thể âm hay dương. 1 ∞ ∑︁ Xét chuỗi không âm |an |. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu chuỗi |an | hội tụ thì chuỗi an hội tụ và ta nói 1 1 ∞ ∑︁ chuỗi an hội tụ tuyệt đối. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu chuỗi an hội tụ nhưng chuỗi |an | phân kỳ, ta nói 1 1 ∞ ∑︁ chuỗi an là bán hội tụ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  49. 49. Chuỗi bất kì » Các định nghĩa ∞ ∑︁ Chuỗi bất kì có dạng an với an có thể âm hay dương. 1 ∞ ∑︁ Xét chuỗi không âm |an |. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu chuỗi |an | hội tụ thì chuỗi an hội tụ và ta nói 1 1 ∞ ∑︁ chuỗi an hội tụ tuyệt đối. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu chuỗi an hội tụ nhưng chuỗi |an | phân kỳ, ta nói 1 1 ∞ ∑︁ chuỗi an là bán hội tụ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  50. 50. Chuỗi bất kì » Tính chất ∞ ∑︁ Nếu chuỗi an hội tụ tuyệt đối thì chuỗi có được bằng cách thay 1 đổi thứ tự các số hạng cũng hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi. Ghi chú ∞ ∑︁ Nếu bằng dấu hiệu D’Alembert hoặc Cauchy mà chuỗi |an | hội 1 ∞ ∑︁ tụ (phân kỳ) thì chuỗi an cũng hội tụ (phân kỳ) 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  51. 51. Chuỗi bất kì » Tính chất ∞ ∑︁ Nếu chuỗi an hội tụ tuyệt đối thì chuỗi có được bằng cách thay 1 đổi thứ tự các số hạng cũng hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi. Ghi chú ∞ ∑︁ Nếu bằng dấu hiệu D’Alembert hoặc Cauchy mà chuỗi |an | hội 1 ∞ ∑︁ tụ (phân kỳ) thì chuỗi an cũng hội tụ (phân kỳ) 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  52. 52. Chuỗi bất kì » Tính chất ∞ ∑︁ Nếu chuỗi an hội tụ tuyệt đối thì chuỗi có được bằng cách thay 1 đổi thứ tự các số hạng cũng hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi. Ghi chú ∞ ∑︁ Nếu bằng dấu hiệu D’Alembert hoặc Cauchy mà chuỗi |an | hội 1 ∞ ∑︁ tụ (phân kỳ) thì chuỗi an cũng hội tụ (phân kỳ) 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  53. 53. Chuỗi bất kì » Định lí Cho (an )n là dãy giảm, an ≥ 0, lim an = 0. Cho (bn )n là dãy bất n→∞ kỳ (không cần ⃒dương). Giả sử có hằng số C > 0 sao cho với mọi ⃒ n ⃒∑︁ ⃒ n ∈ N, ⃒ bk ⃒ ≤ C . ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Khi đó, chuỗi an bn hội tụ và tổng S = an bn thỏa mãn 1 1 |S| ≤ Ca1 . Sau đây là một vài ví dụ "Xét tính hội tụ của chuỗi". PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  54. 54. Chuỗi bất kì » Định lí Cho (an )n là dãy giảm, an ≥ 0, lim an = 0. Cho (bn )n là dãy bất n→∞ kỳ (không cần ⃒dương). Giả sử có hằng số C > 0 sao cho với mọi ⃒ n ⃒∑︁ ⃒ n ∈ N, ⃒ bk ⃒ ≤ C . ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Khi đó, chuỗi an bn hội tụ và tổng S = an bn thỏa mãn 1 1 |S| ≤ Ca1 . Sau đây là một vài ví dụ "Xét tính hội tụ của chuỗi". PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  55. 55. Chuỗi bất kì » Định lí Cho (an )n là dãy giảm, an ≥ 0, lim an = 0. Cho (bn )n là dãy bất n→∞ kỳ (không cần ⃒dương). Giả sử có hằng số C > 0 sao cho với mọi ⃒ n ⃒∑︁ ⃒ n ∈ N, ⃒ bk ⃒ ≤ C . ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Khi đó, chuỗi an bn hội tụ và tổng S = an bn thỏa mãn 1 1 |S| ≤ Ca1 . Sau đây là một vài ví dụ "Xét tính hội tụ của chuỗi". PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  56. 56. Chuỗi bất kì » Định lí Cho (an )n là dãy giảm, an ≥ 0, lim an = 0. Cho (bn )n là dãy bất n→∞ kỳ (không cần ⃒dương). Giả sử có hằng số C > 0 sao cho với mọi ⃒ n ⃒∑︁ ⃒ n ∈ N, ⃒ bk ⃒ ≤ C . ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Khi đó, chuỗi an bn hội tụ và tổng S = an bn thỏa mãn 1 1 |S| ≤ Ca1 . Sau đây là một vài ví dụ "Xét tính hội tụ của chuỗi". PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  57. 57. Nội Dung PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  58. 58. Ví dụ » Ví dụ 1 Ví dụ 1 ∞ ∑︁ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi n ln n 2 1 Đặt f : [2, ∞) → R, f (x) = thì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f x ln x 1 giảm. Khi đó, f (n) = , n ≥ 2. n ln n ∞ ∫︁ ∞ ∫︁ dx dt Xét tích phân suy rộng = (đổi biến t = ln x) x ln x t 2 ln 2 Tích phân hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. ∞ ∑︁ 1 Vậy chuỗi hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. n ln n 2 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  59. 59. Ví dụ » Ví dụ 1 Ví dụ 1 ∞ ∑︁ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi n ln n 2 1 Đặt f : [2, ∞) → R, f (x) = thì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f x ln x 1 giảm. Khi đó, f (n) = , n ≥ 2. n ln n ∞ ∫︁ ∞ ∫︁ dx dt Xét tích phân suy rộng = (đổi biến t = ln x) x ln x t 2 ln 2 Tích phân hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. ∞ ∑︁ 1 Vậy chuỗi hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. n ln n 2 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  60. 60. Ví dụ » Ví dụ 1 Ví dụ 1 ∞ ∑︁ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi n ln n 2 1 Đặt f : [2, ∞) → R, f (x) = thì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f x ln x 1 giảm. Khi đó, f (n) = , n ≥ 2. n ln n ∞ ∫︁ ∞ ∫︁ dx dt Xét tích phân suy rộng = (đổi biến t = ln x) x ln x t 2 ln 2 Tích phân hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. ∞ ∑︁ 1 Vậy chuỗi hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. n ln n 2 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  61. 61. Ví dụ » Ví dụ 1 Ví dụ 1 ∞ ∑︁ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi n ln n 2 1 Đặt f : [2, ∞) → R, f (x) = thì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f x ln x 1 giảm. Khi đó, f (n) = , n ≥ 2. n ln n ∞ ∫︁ ∞ ∫︁ dx dt Xét tích phân suy rộng = (đổi biến t = ln x) x ln x t 2 ln 2 Tích phân hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. ∞ ∑︁ 1 Vậy chuỗi hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. n ln n 2 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  62. 62. Ví dụ » Ví dụ 1 Ví dụ 1 ∞ ∑︁ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi n ln n 2 1 Đặt f : [2, ∞) → R, f (x) = thì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f x ln x 1 giảm. Khi đó, f (n) = , n ≥ 2. n ln n ∞ ∫︁ ∞ ∫︁ dx dt Xét tích phân suy rộng = (đổi biến t = ln x) x ln x t 2 ln 2 Tích phân hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. ∞ ∑︁ 1 Vậy chuỗi hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. n ln n 2 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  63. 63. Ví dụ » Ví dụ 1 Ví dụ 1 ∞ ∑︁ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi n ln n 2 1 Đặt f : [2, ∞) → R, f (x) = thì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f x ln x 1 giảm. Khi đó, f (n) = , n ≥ 2. n ln n ∞ ∫︁ ∞ ∫︁ dx dt Xét tích phân suy rộng = (đổi biến t = ln x) x ln x t 2 ln 2 Tích phân hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. ∞ ∑︁ 1 Vậy chuỗi hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. n ln n 2 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  64. 64. Ví dụ » Ví dụ 1 Ví dụ 1 ∞ ∑︁ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi n ln n 2 1 Đặt f : [2, ∞) → R, f (x) = thì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f x ln x 1 giảm. Khi đó, f (n) = , n ≥ 2. n ln n ∞ ∫︁ ∞ ∫︁ dx dt Xét tích phân suy rộng = (đổi biến t = ln x) x ln x t 2 ln 2 Tích phân hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. ∞ ∑︁ 1 Vậy chuỗi hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. n ln n 2 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  65. 65. Ví dụ » Ví dụ 2 Ví dụ 2 ∞ ∑︁ √ Xét tính hội tụ của chuỗi ( n a − 1) với a 1 1 √ (︁ 1 )︁ ln a Đặt an = ( n a − 1) = e n ln a − 1 và bn = thì n an lim =1 n→∞ bn ∞ ∑︁ ln a Chuỗi hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. n 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  66. 66. Ví dụ » Ví dụ 2 Ví dụ 2 ∞ ∑︁ √ Xét tính hội tụ của chuỗi ( n a − 1) với a 1 1 √ (︁ 1 )︁ ln a Đặt an = ( n a − 1) = e n ln a − 1 và bn = thì n an lim =1 n→∞ bn ∞ ∑︁ ln a Chuỗi hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. n 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  67. 67. Ví dụ » Ví dụ 2 Ví dụ 2 ∞ ∑︁ √ Xét tính hội tụ của chuỗi ( n a − 1) với a 1 1 √ (︁ 1 )︁ ln a Đặt an = ( n a − 1) = e n ln a − 1 và bn = thì n an lim =1 n→∞ bn ∞ ∑︁ ln a Chuỗi hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. n 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  68. 68. Ví dụ » Ví dụ 2 Ví dụ 2 ∞ ∑︁ √ Xét tính hội tụ của chuỗi ( n a − 1) với a 1 1 √ (︁ 1 )︁ ln a Đặt an = ( n a − 1) = e n ln a − 1 và bn = thì n an lim =1 n→∞ bn ∞ ∑︁ ln a Chuỗi hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. n 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  69. 69. Ví dụ » Ví dụ 2 Ví dụ 2 ∞ ∑︁ √ Xét tính hội tụ của chuỗi ( n a − 1) với a 1 1 √ (︁ 1 )︁ ln a Đặt an = ( n a − 1) = e n ln a − 1 và bn = thì n an lim =1 n→∞ bn ∞ ∑︁ ln a Chuỗi hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. n 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi 1, phân kỳ khi ≤ 1. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  70. 70. Ví dụ » Ví dụ 3 Ví dụ 3 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi ln 2 − ln sin 2 1 n5 n5 1 ⎛ ⎞ [︂ 1 (︂ 1 )︂]︂ sin 2/5 Đặt an = ln 2/5 − ln sin 2/5 = − ln ⎝ ⎜ n ⎟ n n 1 ⎠ n2/5 t 3 sin t t 2 Do sin t = t − + o(t 3 )nên =1− + o(t 2 ) 6 t 6 1 ln(1 + t) an 1 Đặt bn = 4/5 , dùng lim = 1,ta có lim = n t→0 t n→∞ bn 6 ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ. 1 n4/5 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  71. 71. Ví dụ » Ví dụ 3 Ví dụ 3 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi ln 2 − ln sin 2 1 n5 n5 1 ⎛ ⎞ [︂ 1 (︂ 1 )︂]︂ sin 2/5 Đặt an = ln 2/5 − ln sin 2/5 = − ln ⎝ ⎜ n ⎟ n n 1 ⎠ n2/5 t 3 sin t t 2 Do sin t = t − + o(t 3 )nên =1− + o(t 2 ) 6 t 6 1 ln(1 + t) an 1 Đặt bn = 4/5 , dùng lim = 1,ta có lim = n t→0 t n→∞ bn 6 ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ. 1 n4/5 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  72. 72. Ví dụ » Ví dụ 3 Ví dụ 3 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi ln 2 − ln sin 2 1 n5 n5 1 ⎛ ⎞ [︂ 1 (︂ 1 )︂]︂ sin 2/5 Đặt an = ln 2/5 − ln sin 2/5 = − ln ⎝ ⎜ n ⎟ n n 1 ⎠ n2/5 t 3 sin t t 2 Do sin t = t − + o(t 3 )nên =1− + o(t 2 ) 6 t 6 1 ln(1 + t) an 1 Đặt bn = 4/5 , dùng lim = 1,ta có lim = n t→0 t n→∞ bn 6 ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ. 1 n4/5 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  73. 73. Ví dụ » Ví dụ 3 Ví dụ 3 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi ln 2 − ln sin 2 1 n5 n5 1 ⎛ ⎞ [︂ 1 (︂ 1 )︂]︂ sin 2/5 Đặt an = ln 2/5 − ln sin 2/5 = − ln ⎝ ⎜ n ⎟ n n 1 ⎠ n2/5 t 3 sin t t 2 Do sin t = t − + o(t 3 )nên =1− + o(t 2 ) 6 t 6 1 ln(1 + t) an 1 Đặt bn = 4/5 , dùng lim = 1,ta có lim = n t→0 t n→∞ bn 6 ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ. 1 n4/5 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  74. 74. Ví dụ » Ví dụ 3 Ví dụ 3 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi ln 2 − ln sin 2 1 n5 n5 1 ⎛ ⎞ [︂ 1 (︂ 1 )︂]︂ sin 2/5 Đặt an = ln 2/5 − ln sin 2/5 = − ln ⎝ ⎜ n ⎟ n n 1 ⎠ n2/5 t 3 sin t t 2 Do sin t = t − + o(t 3 )nên =1− + o(t 2 ) 6 t 6 1 ln(1 + t) an 1 Đặt bn = 4/5 , dùng lim = 1,ta có lim = n t→0 t n→∞ bn 6 ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ. 1 n4/5 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  75. 75. Ví dụ » Ví dụ 3 Ví dụ 3 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi ln 2 − ln sin 2 1 n5 n5 1 ⎛ ⎞ [︂ 1 (︂ 1 )︂]︂ sin 2/5 Đặt an = ln 2/5 − ln sin 2/5 = − ln ⎝ ⎜ n ⎟ n n 1 ⎠ n2/5 t 3 sin t t 2 Do sin t = t − + o(t 3 )nên =1− + o(t 2 ) 6 t 6 1 ln(1 + t) an 1 Đặt bn = 4/5 , dùng lim = 1,ta có lim = n t→0 t n→∞ bn 6 ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ. 1 n4/5 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  76. 76. Ví dụ » Ví dụ 3 Ví dụ 3 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi ln 2 − ln sin 2 1 n5 n5 1 ⎛ ⎞ [︂ 1 (︂ 1 )︂]︂ sin 2/5 Đặt an = ln 2/5 − ln sin 2/5 = − ln ⎝ ⎜ n ⎟ n n 1 ⎠ n2/5 t 3 sin t t 2 Do sin t = t − + o(t 3 )nên =1− + o(t 2 ) 6 t 6 1 ln(1 + t) an 1 Đặt bn = 4/5 , dùng lim = 1,ta có lim = n t→0 t n→∞ bn 6 ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ. 1 n4/5 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  77. 77. Ví dụ » Ví dụ 3 Ví dụ 3 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi ln 2 − ln sin 2 1 n5 n5 1 ⎛ ⎞ [︂ 1 (︂ 1 )︂]︂ sin 2/5 Đặt an = ln 2/5 − ln sin 2/5 = − ln ⎝ ⎜ n ⎟ n n 1 ⎠ n2/5 t 3 sin t t 2 Do sin t = t − + o(t 3 )nên =1− + o(t 2 ) 6 t 6 1 ln(1 + t) an 1 Đặt bn = 4/5 , dùng lim = 1,ta có lim = n t→0 t n→∞ bn 6 ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ. 1 n4/5 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  78. 78. Ví dụ » Ví dụ 4 Ví dụ 4 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi sin − ln 1 + n n 1 (︂ )︂ 1 1 Đặt an = sin − ln 1 + n n Dùng khai triển Taylor: t3 t2 sin t = t − + o(t 3 ), ln(1 + t) = t − + o(t 2 ) 6 2 t2 Suy ra: sin t − ln(1 + t) = + o(t 2 ) 2 1 an Đặt bn = 2 , ta có lim =1 2n n→∞ bn ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2n2 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  79. 79. Ví dụ » Ví dụ 4 Ví dụ 4 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi sin − ln 1 + n n 1 (︂ )︂ 1 1 Đặt an = sin − ln 1 + n n Dùng khai triển Taylor: t3 t2 sin t = t − + o(t 3 ), ln(1 + t) = t − + o(t 2 ) 6 2 t2 Suy ra: sin t − ln(1 + t) = + o(t 2 ) 2 1 an Đặt bn = 2 , ta có lim =1 2n n→∞ bn ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2n2 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  80. 80. Ví dụ » Ví dụ 4 Ví dụ 4 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi sin − ln 1 + n n 1 (︂ )︂ 1 1 Đặt an = sin − ln 1 + n n Dùng khai triển Taylor: t3 t2 sin t = t − + o(t 3 ), ln(1 + t) = t − + o(t 2 ) 6 2 t2 Suy ra: sin t − ln(1 + t) = + o(t 2 ) 2 1 an Đặt bn = 2 , ta có lim =1 2n n→∞ bn ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2n2 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  81. 81. Ví dụ » Ví dụ 4 Ví dụ 4 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi sin − ln 1 + n n 1 (︂ )︂ 1 1 Đặt an = sin − ln 1 + n n Dùng khai triển Taylor: t3 t2 sin t = t − + o(t 3 ), ln(1 + t) = t − + o(t 2 ) 6 2 t2 Suy ra: sin t − ln(1 + t) = + o(t 2 ) 2 1 an Đặt bn = 2 , ta có lim =1 2n n→∞ bn ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2n2 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  82. 82. Ví dụ » Ví dụ 4 Ví dụ 4 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi sin − ln 1 + n n 1 (︂ )︂ 1 1 Đặt an = sin − ln 1 + n n Dùng khai triển Taylor: t3 t2 sin t = t − + o(t 3 ), ln(1 + t) = t − + o(t 2 ) 6 2 t2 Suy ra: sin t − ln(1 + t) = + o(t 2 ) 2 1 an Đặt bn = 2 , ta có lim =1 2n n→∞ bn ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2n2 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  83. 83. Ví dụ » Ví dụ 4 Ví dụ 4 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi sin − ln 1 + n n 1 (︂ )︂ 1 1 Đặt an = sin − ln 1 + n n Dùng khai triển Taylor: t3 t2 sin t = t − + o(t 3 ), ln(1 + t) = t − + o(t 2 ) 6 2 t2 Suy ra: sin t − ln(1 + t) = + o(t 2 ) 2 1 an Đặt bn = 2 , ta có lim =1 2n n→∞ bn ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2n2 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  84. 84. Ví dụ » Ví dụ 4 Ví dụ 4 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi sin − ln 1 + n n 1 (︂ )︂ 1 1 Đặt an = sin − ln 1 + n n Dùng khai triển Taylor: t3 t2 sin t = t − + o(t 3 ), ln(1 + t) = t − + o(t 2 ) 6 2 t2 Suy ra: sin t − ln(1 + t) = + o(t 2 ) 2 1 an Đặt bn = 2 , ta có lim =1 2n n→∞ bn ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2n2 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  85. 85. Ví dụ » Ví dụ 5 Ví dụ 5 ∞ ∑︁ (︂ 1 )︂ n+1 Xét tính hội tụ của chuỗi − ln n n 1 1 n+1 Đặt an = − ln n n t2 1 an Do t − ln(1 + t) = + o(t 2 ), đặt bn = 2 ,ta có: lim =1 2 2n n→∞ bn ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2n2 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  86. 86. Ví dụ » Ví dụ 5 Ví dụ 5 ∞ ∑︁ (︂ 1 )︂ n+1 Xét tính hội tụ của chuỗi − ln n n 1 1 n+1 Đặt an = − ln n n t2 1 an Do t − ln(1 + t) = + o(t 2 ), đặt bn = 2 ,ta có: lim =1 2 2n n→∞ bn ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2n2 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  87. 87. Ví dụ » Ví dụ 5 Ví dụ 5 ∞ ∑︁ (︂ 1 )︂ n+1 Xét tính hội tụ của chuỗi − ln n n 1 1 n+1 Đặt an = − ln n n t2 1 an Do t − ln(1 + t) = + o(t 2 ), đặt bn = 2 ,ta có: lim =1 2 2n n→∞ bn ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2n2 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  88. 88. Ví dụ » Ví dụ 5 Ví dụ 5 ∞ ∑︁ (︂ 1 )︂ n+1 Xét tính hội tụ của chuỗi − ln n n 1 1 n+1 Đặt an = − ln n n t2 1 an Do t − ln(1 + t) = + o(t 2 ), đặt bn = 2 ,ta có: lim =1 2 2n n→∞ bn ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2n2 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  89. 89. Ví dụ » Ví dụ 5 Ví dụ 5 ∞ ∑︁ (︂ 1 )︂ n+1 Xét tính hội tụ của chuỗi − ln n n 1 1 n+1 Đặt an = − ln n n t2 1 an Do t − ln(1 + t) = + o(t 2 ), đặt bn = 2 ,ta có: lim =1 2 2n n→∞ bn ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2n2 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  90. 90. Ví dụ » Ví dụ 5 Ví dụ 5 ∞ ∑︁ (︂ 1 )︂ n+1 Xét tính hội tụ của chuỗi − ln n n 1 1 n+1 Đặt an = − ln n n t2 1 an Do t − ln(1 + t) = + o(t 2 ), đặt bn = 2 ,ta có: lim =1 2 2n n→∞ bn ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2n2 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  91. 91. Ví dụ » Ví dụ 6 Ví dụ 6 ∞ ∑︁ Xét sự hội tụ của chuỗi dương an thỏa điều kiện: 1 √ (︂ )︂ 1 ∀n ≥ n0 , n an ≤ 1 − với ∈ (0, 1). n 1 n (︂ )︂ Ta có: 0 an ≤ 1 − , ∀n ≥ n0 )︂ n 1 n (︂ Xét lim n2 1 − n→∞ n PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  92. 92. Ví dụ » Ví dụ 6 Ví dụ 6 ∞ ∑︁ Xét sự hội tụ của chuỗi dương an thỏa điều kiện: 1 √ (︂ )︂ 1 ∀n ≥ n0 , n an ≤ 1 − với ∈ (0, 1). n 1 n (︂ )︂ Ta có: 0 an ≤ 1 − , ∀n ≥ n0 )︂ n 1 n (︂ Xét lim n2 1 − n→∞ n PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  93. 93. Ví dụ » Ví dụ 6 Ví dụ 6 ∞ ∑︁ Xét sự hội tụ của chuỗi dương an thỏa điều kiện: 1 √ (︂ )︂ 1 ∀n ≥ n0 , n an ≤ 1 − với ∈ (0, 1). n 1 n (︂ )︂ Ta có: 0 an ≤ 1 − , ∀n ≥ n0 )︂ n 1 n (︂ Xét lim n2 1 − n→∞ n PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  94. 94. Ví dụ » Ví dụ 6 Ví dụ 6 ∞ ∑︁ Xét sự hội tụ của chuỗi dương an thỏa điều kiện: 1 √ (︂ )︂ 1 ∀n ≥ n0 , n an ≤ 1 − với ∈ (0, 1). n 1 n (︂ )︂ Ta có: 0 an ≤ 1 − , ∀n ≥ n0 )︂ n 1 n (︂ Xét lim n2 1 − n→∞ n PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  95. 95. Ví dụ » Ví dụ 6 1 n [︂ (︂ )︂ ]︂ (︂ )︂ 2 1 Ta có ln n 1 − = 2 ln n − n ln 1 − n n [︂ (︂ )︂]︂ 1− 2 ln n 1 =n − n ln 1 − n1− n (︂ )︂ ln n 1 Do lim 1− = 0, lim n ln 1 − = −1nên n→∞ n n→∞ n 1 n (︂ )︂ 2 lim n 1 − =0 n→∞ n Dẫn đến lim n2 .an = 0 n→∞ ∞ ∞ ∑︁ 1 ∑︁ Do chuỗi hội tụ nên an hội tụ. n2 1 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích
  96. 96. Ví dụ » Ví dụ 6 1 n [︂ (︂ )︂ ]︂ (︂ )︂ 2 1 Ta có ln n 1 − = 2 ln n − n ln 1 − n n [︂ (︂ )︂]︂ 1− 2 ln n 1 =n − n ln 1 − n1− n (︂ )︂ ln n 1 Do lim 1− = 0, lim n ln 1 − = −1nên n→∞ n n→∞ n 1 n (︂ )︂ 2 lim n 1 − =0 n→∞ n Dẫn đến lim n2 .an = 0 n→∞ ∞ ∞ ∑︁ 1 ∑︁ Do chuỗi hội tụ nên an hội tụ. n2 1 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

×