Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620 Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van Download luận văn thạc sĩ ngành giáo dục với đề tài: Nghiên cứu didactic về công cụ vectơ trong hình học không gian lớp 11, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
____________________
NGUYỄN VŨ HOÀNG TRÂM
NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ CÔNG
CỤ VECTƠ TRONG HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN LỚP 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
____________________
NGUYỄN VŨ HOÀNG TRÂM
NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ CÔNG
CỤ VECTƠ TRONG HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN LỚP 11
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

3. LỜI CẢM ƠN.
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến
Tiến sĩ Trần Lương Công Khanh, người đã tận tình giảng dạy,
hướng dẫn và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình nghiên
cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn cô Lê Thị Hoài Châu, thầy Lê
Văn Tiến, thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, những người đã tận
tâm, nhiệt tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ
Chí Minh, các anh chị chuyên viên phòng sau đại học đã tạo
thuận lợi cho chúng tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận
văn.
Cảm ơn tất cả các bạn trong khóa Didactic 21 đã giúp đỡ,
chia sẽ những khó khăn, kinh nghiệm trong thời gian học tập và
làm luận văn.
Cuối cùng, con vô cùng biết ơn bố mẹ và những người thân
trong gia đình đã luôn bên cạnh động viên và chia sẽ trong suốt
quá trình con học tập và làm luận văn.

4. 1
Mục lục
Mục lục...........................................................................................................................1
Mở đầu ...........................................................................................................................3
1. Lý do chọn đề tài .....................................................................................................3
2. Phương pháp luận nghiên cứu ................................................................................4
3. Cấu trúc luận văn....................................................................................................5
Chương 1. Công cụ vectơ được thể hiện trong sách giáo khoa.................................7
1. Vai trò công cụ của vectơ trong dự định của tác giả sách giáo khoa.....................8
2. Vai trò công cụ của vectơ trong khối logos.............................................................9
3. Vai trò công cụ của vectơ trong khối praxis .........................................................13
4. Kết luận. ................................................................................................................26
Chương 2. Công cụ vectơ trong tri thức soạn giảng và tri thức thực dạy.................28
1. Vai trò công cụ của vectơ trong tri thức soạn giảng và thực dạy.........................28
1.1. Liên quan đến công nghệ - lý thuyết ..............................................................28
1.2. Liên quan tới kỹ thuật.....................................................................................30
1.3. Điều kiện ràng buộc để học sinh sử dụng công cụ vectơ. ..............................34
1.4. Kết luận...........................................................................................................35
2. Đánh giá của giáo viên đối với lời giải dùng kỹ thuật vectơ. ...............................36
2.1. Giới thiệu thực nghiệm...................................................................................36
2.1.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................36
2.1.1.1. Thực nghiệm dành cho giáo viên ......................................................36
2.1.1.2. Thực nghiệm dành cho học sinh .......................................................36
2.1.2. Kế hoạch thực nghiệm .............................................................................36
2.1.2.1. Phiếu xin ý kiến giáo viên.................................................................36
2.1.2.2. Phiếu điều tra học sinh ......................................................................36
2.2. Phiếu xin ý kiến giáo viên ở trường phổ thông ..............................................37
2.2.1. Phân tích tiên nghiệm...............................................................................37
2.2.2. Phân tích hậu nghiệm...............................................................................39
2.2.2.1. Chấm điểm lời giải của học sinh.......................................................39
2.2.2.2. Nhận xét của giáo viên về lời giải.....................................................40
 Lý do giáo viên chọn lời giải 2 ..............................................................41
2.2.3. Kết luận....................................................................................................42
2.3. Phiếu điều tra học sinh....................................................................................43
2.3.1. Phân tích tiên nghiệm...............................................................................43
2.3.1.1. Câu hỏi thực nghiệm .........................................................................43
2.3.1.2. Kiến thức liên quan ...........................................................................43
2.3.1.3. Phân tích tiên nghiệm câu 1 ..............................................................43
Biến dạy học ...............................................................................................43
Những chiến lược có thể quan sát được trong câu 1 ..................................43
2.3.1.4. Phân tích tiên nghiệm câu 2 ..............................................................44
Biến dạy học ...............................................................................................44
Những chiến lược có thể quan sát được trong câu 2 ..................................44
2.3.2. Phân tích hậu nghiệm...............................................................................46
2.3.2.1. Phân tích hậu nghiệm câu 1...............................................................46
Kết quả của học sinh...................................................................................46

5. 2
Phân tích kết quả thu được .........................................................................46
2.3.2.2. Phân tích hậu nghiệm bài toán 2 .......................................................47
Kết quả của học sinh...................................................................................47
Phân tích kết quả thu được .........................................................................48
2.3.3. Kết luận....................................................................................................48
3. Kết luận..............................................................................................................49
Kết luận........................................................................................................................50
Tài liệu tham khảo ......................................................................................................52
Phụ lục..........................................................................................................................54
1. Lời giải bài tập 5, sách Hình học 11 nâng cao, trang 91 .....................................54
2. Các bài tập có thể dùng phương pháp vectơ nhưng tác giả không sử dụng.........54
3. Các kiểu nhiệm vụ trong nhóm 2...........................................................................55
4. Phiếu xin ý kiến giáo viên......................................................................................61
5. Phiếu thực nghiệm học sinh ..................................................................................64
6. Kết quả của phiếu thực nghiệm học sinh. .............................................................65
7. Kết quả của câu 4 trong phiếu xin ý kiến giáo viên. .............................................66

6. 3
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Sách Hình học 11 nâng cao có bài tập sau:
Bài tập 5, trang 91
Trong không gian cho tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao
cho

OM = x.

OA + y.

OB + z.

OC với mọi điểm O.
b) Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho

OM = x.

OA + y.

OB + z.

OC , trong đó
x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).
Bài tập trên là một điều kiện cần và đủ để bốn điểm đồng phẳng phát biểu bằng
ngôn ngữ vectơ. Nó cho thấy ngoài quan hệ vuông góc trong không gian, vectơ còn có
thể can thiệp hiệu quả vào các quan hệ khác. Trong chương trình hiện hành, vectơ
được giảng dạy ở lớp 10 (vectơ trong mặt phẳng) và lớp 11 (vectơ trong không gian).
Đặc biệt ở lớp 11, vai trò công cụ của vectơ được nhấn mạnh:
“Thông qua một số ví dụ và bài toán, giáo viên cần giúp học sinh thấy được vectơ và các
phép toán vectơ có vai trò nhất định trong việc giải một số bài toán hình học không gian”.
(Sách giáo viên hình học 11, trang 83).
Đó là ý định của tác giả sách giáo khoa. Ý định này được thể hiện như thế nào trong
phần bài học và phần bài tập của sách giáo khoa? Trong thực tế dạy học, giáo viên và
học sinh thực hiện ý định đó như thế nào?
Ở Việt Nam những năm gần đây, nhiều công trình nghiên cứu đã đề cập đến việc
dạy và học khái niệm vectơ dưới những góc độ khác nhau: nghiên cứu didactic và
khoa học luận việc dạy học vectơ ở Việt Nam và Pháp của Lê Thị Hoài Châu1
(1997),
nghiên cứu vai trò công cụ của vectơ trong dạy học một số khái niệm hình học của
nhiều học viên cao học2
từ 2002 đến 2011. Điều này vừa chứng tỏ tầm quan trọng của
khái niệm vectơ trong chương trình toán trung học phổ thông, vừa mở ra hướng nghiên
cứu tác động của vectơ (với tư cách là đối tượng hoặc công cụ) đến việc xây dựng một
số khái niệm toán học khác.
1
Lê Thị Hoài Châu (1997), Étude didactique et épistémologique sur l’enseignement des vecteurs dans deux
institution: la classe de dixième au Vietnam et la classe de seconde en Françe, luận án tiến sĩ, đại học Joseph
Fourier, Grenoble I, Cộng hòa Pháp.
2
Sớm nhất là các luận văn của Võ Hoàng và Hoàng Hữu Vinh (khóa 11) và gần đây nhất là luận văn của Đỗ Thị
Hoàng Linh (khóa 19).

7. 4
Những vấn đề trên dẫn chúng tôi đến đề tài: “Nghiên cứu didactic về công cụ vectơ
trong hình học không gian lớp 11”.
2. Phương pháp luận nghiên cứu
Ý định nghiên cứu vai trò công cụ của vectơ trong sách giáo viên, sách giáo khoa và
thực tế dạy học buộc chúng tôi phải quay lại các khái niệm tổ chức toán học và chuyển
hóa sư phạm trong lý thuyết nhân học sư phạm của Chevallard (1985, 1989, 1992,
1998).
Theo lý thuyết nhân học sư phạm, mỗi hoạt động bất kỳ của con người đều nhằm
hoàn thành một nhiệm vụ t nào đó. Nhiều nhiệm vụ t có thể xếp vào một kiểu nhiệm vụ
T nếu chúng được giải quyết bằng cùng một kỹ thuật τ. Công nghệ θ là những gì cho
phép nghĩ đến, tạo ra hoặc lý giải cho kỹ thuật τ. Đến lượt mình, công nghệ θ được
giải thích, biện minh bằng lý thuyết Θ. Bộ bốn phần tử [T/ τ/ θ/ Θ] gọi là một
praxéologie, vốn được cấu thành bởi hai từ Hy Lạp là praxis (thực hành) và logos (lý
lẽ, lập luận). Thật vậy, trong một praxéologie, khối [T/ τ] thuộc về thực hành và khối
[θ/ Θ] thuộc về lý lẽ, lập luận. Nếu T là một kiểu nhiệm vụ toán học, praxéologie liên
quan sẽ gọi là một tổ chức toán học.
Khi nghiên cứu về chuyển hóa sư phạm, Ravel (2003) đặc biệt quan tâm đến tri
thức soạn giảng: “Chúng tôi quan niệm tri thức soạn giảng của một giáo viên là tri
thức do giáo viên này soạn ra từ những lựa chọn toán học và sư phạm của mình nhằm
mục đích giảng dạy. Tri thức soạn giảng này nằm ở giao diện của hai “thế giới”: nó
vừa đặc trưng cho hoạt động của giáo viên trước khi thực hiện tiết dạy, vừa là động lực
của hoạt động dạy học trong tiết dạy” (Tài liệu đã dẫn, trang 107). Như thế, chúng ta
có sơ đồ chi tiết dưới đây:
Tri thức bác học
Chuyển hóa sư phạm nội tại
Tri thức cần dạy
Tri thức thực dạy
Đứng trên quan điểm tổ chức toán học và chuyển hóa sư phạm, chúng tôi phát biểu
lại câu hỏi ban đầu thành câu hỏi nghiên cứu như sau:
Tri thức soạn
giảng

8. 5
Q1. Khi soạn sách giáo khoa lớp 11, các tác giả dự định hình thành những vai trò
công cụ nào của vectơ trong hình học không gian?
Q2. Cấu trúc của sách giáo khoa lớp 11 thể hiện dự định đó như thế nào? Với các
yếu tố công nghệ - lý thuyết trong sách giáo khoa, vectơ có thể giải quyết các kiểu
nhiệm vụ nào của hình học không gian?
Q3. Trong thực tế dạy học hình học không gian lớp 11, những vai trò công cụ nào
của vectơ thường được giáo viên và học sinh huy động; những vai trò công cụ nào có
thể huy động nhưng lại không được huy động?
Khác với các luận văn trước chỉ khảo sát vai trò công cụ của vectơ trong việc giải
quyết một số kiểu nhiệm vụ xác định, chúng tôi cho rằng vai trò công cụ của vectơ cần
được xét trong một phạm vi rộng hơn: vectơ có thể được huy động để giải bài tập hoặc
để chứng minh một số tính chất3
toán học. Nói theo ngôn ngữ tổ chức toán học, vai trò
công cụ của vectơ được thể hiện không chỉ trong khối praxis [T, τ] mà còn trong khối
logos [θ, Θ].
Xuất phát từ nhận xét của hội đồng chấm luận văn các khóa trước về việc phát biểu
không chặt chẽ giả thuyết nghiên cứu (dẫn đến việc tầm thường hóa giả thuyết nghiên
cứu), chúng tôi mạnh dạn không phát biểu giả thuyết nghiên cứu trong luận văn này.
Bù lại, chúng tôi cố gắng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu, đi tìm những yếu tố trả lời
các câu hỏi đó và đặt ra nhiều câu hỏi khác trong quá trình phân tích.
Luận văn không đưa vào chỉ một thực nghiệm duy nhất. Trong suốt quá trình
nghiên cứu, nhiều câu hỏi được đưa ra và chúng tôi sẽ tiến hành các thực nghiệm
tương ứng hoặc các phân tích cần thiết để có thể trả lời các câu hỏi đã đặt. Để đi theo
hướng nghiên cứu này, chúng tôi dựa vào Castella và Jullien (1991): “Một biến quan
trọng của mọi thực nghiệm là độ tốn kém [hay giá thành] của nó. Không hề vô ích khi
nhắc lại rằng giá thành cao tự nó không bảo đảm cho chất lượng [của thực nghiệm],
nghĩa là một thực nghiệm giá thành rất thấp có thể hoàn toàn đầy tính thuyết phục”
(Tài liệu đã dẫn, trang 176).
3. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm hai chương, đặt giữa phần mở đầu và phần kết luận:
3
Chúng tôi dùng từ tính chất để chỉ chung các mệnh đề toán học đúng. Trong sách giáo khoa, các mệnh đề này
có thể được trình bày dưới dạng chú ý, tính chất, định lý…, thậm chí đôi khi không có tên loại cụ thể.

9. 6
Phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, phương pháp luận nghiên cứu và cấu trúc
luận văn
Chương 1. Công cụ vectơ trong tri thức cần dạy
Nội dung chính của chương này là:
- Phân tích sách giáo viên để xác định vai trò công cụ của vectơ trong dự định của
tác giả sách giáo khoa.
- Phân tích sách giáo khoa và sách bài tập để xác định vai trò công cụ có thể có và
vai trò công cụ được ưu tiên của vectơ trong khối logos lẫn khối praxis.
- Rút ra độ lệch giữa ý định của tác giả trong sách giáo viên với tri thức cần dạy
trong sách giáo khoa, đặc biệt là giữa vai trò công cụ có thể có và vai trò công cụ được
ưu tiên trong sách giáo khoa.
Chương 2. Công cụ vectơ trong tri thức soạn giảng và tri thức thực dạy
Kết quả của chương 1 giúp dự đoán những điều kiện và ràng buộc để giáo viên và
học sinh lớp 11 huy động công cụ vectơ trong giải toán hình học không gian. Chương
này khảo sát ý kiến giáo viên và học sinh để làm rõ vai trò công cụ của vectơ trong tri
thức soạn giảng và tri thức thực dạy.
Phần kết luận tóm tắt kết quả chính của luận văn và nêu hướng nghiên cứu mới.

10. 7
Chương 1.
Công cụ vectơ được thể hiện trong sách giáo khoa
Trong chương trình toán trung học phổ thông, vectơ4
được đưa vào với tư cách là
đối tượng lẫn công cụ. Là một đối tượng, khái niệm vectơ được định nghĩa và hình
thành những tính chất mà chương trình quy định. Là một công cụ, vectơ được sử dụng
để chứng minh một số tính chất khác hoặc để giải bài tập. Khi tham gia vào việc xây
dựng một định nghĩa hoặc chứng minh một tính chất toán học, vectơ có mặt trong khối
logos [θ, Θ] và trở thành yếu tố công nghệ (hoặc yếu tố công nghệ - lý thuyết). Khi
được huy động để giải bài tập, vectơ có mặt trong khối praxis [T, τ] và trở thành kỹ
thuật (hoặc một phần của kỹ thuật).
Chúng tôi sẽ chú ý đặc biệt đến những bài tập mà kết quả được sách giáo khoa
khuyến khích sử dụng để giải một số bài tập khác. Khi đó, dù được trình bày trong
khối praxis, những bài tập này có vai trò kép: chúng vừa là một thành phần tường
minh của khối praxis do cách trình bày của sách giáo khoa, vừa là một thành phần của
khối logos do vai trò công nghệ - lý thuyết của nó trong ứng dụng giải bài tập.
Do đó, chúng tôi sẽ không phân tích vai trò công cụ của vectơ theo thứ tự “truyền
thống” (phần bài học, phần bài tập) như một số luận văn trước đây đã làm vì cách phân
loại này gặp trở ngại ít nhiều với những bài tập mang vai trò kép. Đổi lại, chúng tôi sẽ
tiếp cận vai trò công cụ của vectơ theo hai hướng: vai trò công nghệ - lý thuyết, vai trò
kỹ thuật.
Chương này nghiên cứu vai trò công cụ của vectơ theo cách tiếp cận trên để trả lời
các câu hỏi dưới đây:
Q1. Khi soạn sách giáo khoa, các tác giả dự định hình thành những vai trò công cụ
nào của vectơ?
Q2. Cấu trúc của sách giáo khoa thể hiện dự định đó như thế nào? Với các yếu tố
công nghệ - lý thuyết trong sách giáo khoa, vectơ có thể giải quyết các kiểu nhiệm vụ
nào?
4
Thuật ngữ vectơ ở đây được hiểu là vectơ hình học chứ không phải vectơ tổng quát trong không gian vectơ trên
trường K. Nói theo ngôn ngữ không gian vectơ, vectơ được đề cập trong chương này là các phần tử của không
gian các vectơ thông thường trên trường R với phép cộng các vectơ thông thường và phép nhân một số thực với
một vectơ.

11. 8
Để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi chọn sách giáo viên và sách Hình học 11 nâng
cao do Đoàn Quỳnh làm tổng chủ biên làm tư liệu phân tích chính vì hai lý do: vectơ
trong không gian xuất hiện ở chương trình hình học lớp 11; hệ thống bài tập trong sách
Hình học 11 nâng cao phong phú hơn trong sách Hình học 11 cơ bản.
Trong trường hợp cần thiết, chúng tôi sẽ đối chiếu với sách Hình học 11 cơ bản,
tham khảo thêm sách Bài tập Hình học 11 nâng cao, đề kiểm tra, đề thi học kỳ, đề thi
tuyển vào đại học, cao đẳng để làm rõ những điều kiện và ràng buộc của công cụ vectơ
trong chương trình hình học lớp 11.
1. Vai trò công cụ của vectơ trong dự định của tác giả sách giáo khoa
Trong phân môn hình học 11, vectơ không được trình bày thành một chủ đề riêng
mà được gắn vào chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc.
2. Ta chỉ dùng vectơ để giới thiệu quan hệ vuông góc mà không xét vectơ thành một chủ đề riêng.
3. Sau khi xây dựng quan hệ vuông góc nhờ vectơ, ta tiếp tục trình bày một số vấn đề Hình học
theo phương pháp truyền thống. (Sách giáo viên, trang 79)
Như vậy, vai trò công cụ của vectơ được các tác giả sách Hình học 11 nâng cao xác
định rõ ràng: vectơ được đưa vào để phục vụ cho việc xây dựng quan hệ vuông góc
trong không gian. Sách giáo viên còn giải thích ưu thế của công cụ vectơ so với các
công cụ khác:
Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt một số
nội dung hình học được gọn gàng hơn. Mặt khác, các kiến thức về vectơ trong không gian còn
dùng để xây dựng khái niệm tọa độ trong chương trình Hình học lớp 12, một công cụ hữu ích để
giải nhiều bài toán Hình học. (Tài liệu đã dẫn, trang 79)
Vectơ sẽ tham gia xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian ở mức độ nào, chỉ
hiện diện trong khối logos hay tiếp tục can thiệp vào khối praxis? Sách giáo viên ghi
rõ:
Học xong chương này, học sinh phải đạt được các yêu cầu:
1. Bước đầu biết sử dụng vectơ vào việc thiết lập quan hệ vuông góc và giải một số bài toán hình
học không gian. [...] (Tài liệu đã dẫn, trang 79)
Như vậy, các tác giả sách Hình học 11 nâng cao đưa vectơ vào chương III nhằm
phục vụ cho việc xây dựng quan hệ vuông góc và cung cấp cho học sinh một công cụ
giải toán hình học không gian. Ưu thế của công cụ vectơ là giúp diễn đạt một số nội
dung hình học lớp 11 gọn gàng hơn và còn được kế thừa để xây dựng khái niệm tọa độ
ở hình học lớp 12.

12. 9
Công cụ vectơ tham gia chứng minh những tính chất hình học nào, can thiệp vào
những kiểu nhiệm vụ nào? Nó có ưu thế gì so với những công cụ khác? Để trả lời các
câu hỏi này, chúng tôi sẽ phân tích sách Hình học 11 nâng cao để làm rõ vai trò công
cụ của vectơ về mặt công nghệ - lý thuyết lẫn kỹ thuật.
2. Vai trò công cụ của vectơ trong khối logos
Sách Hình học 11 nâng cao được chia thành ba chương:
- Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
- Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
- Chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian
Cấu trúc này thể hiện đúng ý định mà các tác giả đã đề cập trong sách giáo viên:
- Vectơ trong không gian không được trình bày thành một chương riêng như đã làm
đối với vectơ trong mặt phẳng ở sách Hình học 10 nâng cao5
.
- Ngược lại, vectơ trong không gian được đưa vào cùng một chương với quan hệ
vuông góc trong không gian nhưng được trình bày ở đầu chương nhằm phục vụ cho
việc xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian.
Vì vậy, chúng tôi sẽ tập trung phân tích chương III của sách Hình học 11 nâng cao.
Như đã trình bày ở đầu chương, chúng tôi phân biệt hai hình thức thể hiện của công
cụ vectơ với tư cách là yếu tố công nghệ - lý thuyết:
- vectơ tham gia vào việc xây dựng một định nghĩa hoặc chứng minh một tính chất
được trình bày trong phần bài học;
- vectơ biện minh cho một kỹ thuật được huy động để giải một bài tập6
.
Đối với hình thức thể hiện thứ nhất, trong toàn chương III, vectơ chỉ tham gia duy
nhất vào việc chứng minh định lý về điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng. Đây là một định lý cơ bản của quan hệ vuông góc nói chung và là định lý
thường được sử dụng nhất khi chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Đối
với hình thức thể hiện thứ hai, chúng tôi tìm thấy bài tập 5, trang 91, sách Hình học 11
nâng cao. Dưới đây, chúng tôi sẽ lần lượt phân tích cả hai hình thức thể hiện này.
5
Chủ đề vectơ chiếm hai trong tổng số ba chương của sách Hình học 10 nâng cao: Vectơ; Tích vô hướng của hai
vectơ và ứng dụng; Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
6
Về mặt bàn chất, một bài tập cũng là một tính chất toán học nhưng mức độ sử dụng không thường xuyên như
các tính chất được trình bày trong phần bài học.

13. 10
b
a
d
P
Định lý về điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu đường thẳng d vuông
góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông
góc với mặt phẳng (P). (Sách Hình học 11 nâng cao, trang 97)
Chứng minh (theo sách Hình học 11 nâng cao, trang 96)
Giả sử a, b, d lần lượt có các vectơ chỉ phương

m ,

n,

u . Do đó

m ,

n
không cùng phương. Gọi c là đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng
(P) và có vectơ chỉ phương

p . Vì

m ,

n ,

p đồng phẳng và

n ,

m
không cùng phương nên ta có hai hệ số x, y sao cho

p = x.

m + y.

n. Do a và b cùng vuông góc
với d nên

m .

u = 0 và

n.

u = 0. Khi đó:

u .

p =

u .(x.

m + y.

n) = x.

u .

m + y.

u .

n = 0.
Vậy, đường thẳng d vuông góc với đường thẳng c bất kì nằm trong mặt phẳng (P), nghĩa là đường
thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
Để đối chiếu, chúng tôi giới thiệu một cách chứng minh khác không dùng vectơ:
Chứng minh (theo sách Hình học 11 chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000, trang 59-60).
Giả sử đường thẳng c thuộc mặt phẳng (P) và gọi O
là giao điểm của a và b.
*Nếu c // a hoặc c // b thì do d⊥a và d⊥b nên d⊥c.
*Nếu c không song song với a và b thì từ O kẻ d’ //
d và c’ // c. Ta cần chứng minh d’ ⊥ c’.
Trên c’ lấy điểm C khác O và kẻ qua C một đường
thẳng cắt a và b lần lượt tại A và B khác O. Trên d’,
về hai phía của O ta lấy hai đoạn OM = ON. Khi đó a và b là đường trung trực của đoạn thẳng MN
nên AM = AN và BM = BN. Suy ra ∆MAB = ∆NAB (ba cạnh tương ứng bằng nhau) do đó MBC =
NBC . Ta có ∆MBC = ∆NBC (có một góc và hai cạnh kề tương ứng bằng nhau). Suy ra CM = CN.
Khi đó ∆CMN cân tại C có trung tuyến CO cũng là đường cao.
Vậy d’ ⊥ c’ suy ra đường thẳng d vuông góc với đường thẳng c bất kỳ thuộc mặt phẳng (P), nghĩa
là d vuông góc với mặt phẳng (P).
Trong hai cách chứng minh trên, cách chứng minh thứ nhất ngắn gọn hơn, không
đòi hỏi phải vẽ thêm nhiều đường phụ và gần như không phụ thuộc vào hình vẽ. Điều
này cho thấy một ưu điểm của công cụ vectơ trong khối logos.
Như đã nói ở trên, định lý về điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
là mệnh đề duy nhất trong chương III được chứng minh bằng công cụ vectơ. Chứng
minh này không những ngắn gọn hơn chứng minh không huy động vectơ mà còn phù
hợp với tinh thần chương trình đã được xác định trong sách giáo viên: kiến thức về
vectơ là cơ sở để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian.
=
N
O
c’
a
b
d’
P
c d
M
C
B
A
.
.
=

14. 11
Trong chương III, tồn tại hay không những tính chất toán học khác mà việc huy
động công cụ vectơ sẽ cung cấp một chứng minh tốt hơn hoặc ít nhất cũng có giá trị
như chứng minh không dùng vectơ? Việc phân tích sách giáo khoa cho chúng tôi câu
trả lời khẳng định. Thật vậy, hai tính chất dưới đây có thể chứng minh bằng vectơ
nhưng sách Hình học 11 nâng cao chỉ phát biểu (trang 97) mà không chứng minh:
Tính chất 1. Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một
đường thẳng a cho trước. (sách Hình học 11 nâng cao, trang 97)
Tính chất 2. Có duy nhất một đường thẳng ∆ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một
mặt phẳng (P) cho trước. (sách Hình học 11 nâng cao, trang 97)
Dưới đây, chúng tôi nêu ra hai cách chứng minh cho mỗi tính chất trên: cách thứ
nhất dựa vào chứng minh của sách Hình học 11 chương trình chỉnh lý hợp nhất năm
2000 và không dùng vectơ, cách thứ hai do chúng tôi đề nghị và có huy động vectơ.
Việc đưa vào lời giải thứ hai nhằm mục đích khẳng định sự tồn tại của lời giải dùng
vectơ và cung cấp một phân tích đối chiếu giữa “sự sống” của công cụ vectơ trong
khối logos với ý định của tác giả sách giáo khoa.
Chứng minh tính chất 1. Cách 1 (không dùng vectơ)
Dựng a’ đi qua O và a’ // a. Dựng hai mặt phẳng (R) và (Q)
phân biệt cùng đi qua O. Gọi b, c là hai đường thẳng lần lượt
nằm trên hai mặt phẳng (R) và (Q) cùng vuông góc với a’. Khi
đó, a cùng vuông góc với b, c nên a’ ⊥ mp(b, c). Vậy mp(b, c)
chính là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với a.
Giả sử có một mặt phẳng (P) cũng đi qua O và vuông góc với
a thì nó phải cắt mp(R) theo một giao tuyến đi qua O và vuông góc với a’, tức là giao tuyến b;
tương tự (P) cũng cắt (Q) theo giao tuyến c. Vậy mp(P) ≡ mp(b, c). Ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh tính chất 1. Cách 2 (dùng vectơ)
Qua O, dựng hai vectơ pháp tuyến của đường thẳng a là

OH ,

HB không cùng phương (H ∈ a).
Khi đó a ⊥ (OHB). Vậy mp(OHB) chính là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với a.
Giả sử có một mặt phẳng (P) cũng đi qua O và vuông góc với a tại K. Khi đó

OH ⊥

HK và

OK ⊥

HK . Do đó

OH .

HK = 0 và

OK .

HK = 0. Suy ra HK 2
=

HK .

HK =

HK (

OK -

OH ) = 0
⇒ H ≡ K. Lấy C, D ∈ (P) và A ∈ (OHB). Giả sử

DA = α

DB + β

DO + γ

DH = α

DB + δ

DC (do
D, C, H, O đồng phẳng). Suy ra:

DA ,

DB ,

DC đồng phẳng nên D, A, B, C cùng thuộc một mặt
phẳng. Vậy mp(P) ≡ mp(OAB). Ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh tính chất 2. Cách 1 (không dùng vectơ)
O
a
bc
Q
R
P
a’

15. 12
Lấy đường thẳng a nằm trong mp(P), theo tính chất 1 có mp(Q) đi
qua O và (Q) ⊥ a. Trong mặt phẳng (Q), ta kẻ đường thẳng ∆ đi qua
điểm O và vuông góc với giao tuyến b của (P) và (Q). Vì a ⊥ (Q) và
∆ ⊂ (Q), nên a ⊥ ∆. Như vậy, ∆ ⊥ (P). Vậy có đường thẳng đi qua
một điểm O cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.
Nếu qua O còn có đường thẳng ∆’ khác với ∆ và vuông góc với (P) thì mp(∆, ∆’) cắt mp(P) theo
giao tuyến c cùng vuông góc với ∆ và ∆’, do đó là điều vô lí. Suy ra điều phải chứng minh.
Chứng minh tính chất 2. Cách 2 (dùng vectơ)
Gọi H là hình chiếu của O lên mp(P) và lấy hai điểm A, B khác H
nằm trong mp(P). Khi đó OH ⊥ HB và OH ⊥ HA, suy ra OH ⊥
(P). Vậy có đường thẳng ∆ đi qua một điểm O cho trước và
vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.
Giả sử qua O còn có đường thẳng ∆’ khác ∆ và vuông góc với mp(P) tại K. Khi đó

OH ⊥

HK và

OK ⊥

HK . Do đó

OH .

HK = 0 và

OK .

HK = 0. Suy ra –

HK .

HK = 0 ⇒ HK 2
= 0 ⇒ H ≡ K.
Suy ra điều phải chứng minh.
Tại sao sách giáo khoa không chứng minh hoặc gợi ý chứng minh hai tính chất trên?
Chúng tôi tìm thấy câu trả lời sau đây trong sách giáo viên:
Vì lý do giảm tải nên sách giáo khoa lần này cho học sinh công nhận các tính chất 1 và 2 trong § 3,
(các vấn đề này được trình bày khá kĩ trong các sách giáo khoa trước đây). (Tài liệu đã dẫn, trang
95)
Như vậy, các tính chất 1 và 2 không được chứng minh vì lý do giảm tải. Đổi lại, tác
giả gợi ý giáo viên xem lại chứng minh trong sách giáo khoa các thời kỳ trước, chẳng
hạn chứng minh không dùng vectơ mà chúng tôi đã giới thiệu ở trên. Chúng tôi ghi
nhận rằng chứng minh dùng vectơ không được sách giáo viên đề cập đến. Điều này có
nghĩa là giáo viên có quyền quyết định không chứng minh hoặc chứng minh hai tính
chất 1 và 2. Trong trường hợp muốn chứng minh, phương pháp không dùng vectơ là
phương pháp duy nhất được sách giáo viên gợi ý. Dù với lý do gì, việc sách giáo khoa
không chứng minh hai tính chất 1 và 2 đã bỏ qua một cơ hội chứng tỏ tính hữu ích của
công cụ vectơ.
Chúng tôi ghi nhận rằng việc sử dụng vectơ trong khối logos dường như được chính
các tác giả tự hạn chế ở mức độ tối thiểu mặc dù sách giáo viên đã xác định ưu thế của
công cụ vectơ so với các công cụ khác trong việc xây dựng quan hệ vuông góc trong
không gian. Đó là thực tế của tri thức cần dạy. Ở tri thức thực dạy, liệu vai trò công cụ
của vectơ có tiếp tục bị hạn chế như vậy không? Giáo viên có chứng minh hai tính chất
O
H
BP
A
O
∆
b
a
Q
P
.

16. 13
1 và 2 không? Nếu có, họ có dùng công cụ vectơ không? Chúng tôi sẽ quay lại các câu
hỏi này trong chương 2 khi phân tích ý kiến giáo viên về việc dạy hai tính chất trên.
Liên quan đến hình thức thể hiện thứ hai (vectơ biện minh cho một kỹ thuật được
huy động để giải một bài tập), sách Hình học 11 nâng cao đưa vào bài tập 5 dưới đây
mà kết quả sẽ là một yếu tố công nghệ - lý thuyết để giải một số bài tập khác:
Bài tập 5, sách Hình học 11 nâng cao, trang 91
Trong không gian cho tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao
cho

OM = x.

OA + y.

OB + z.

OC với mọi điểm O.
b) Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho

OM = x.

OA + y.

OB + z.

OC , trong đó
x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).
Bài tập này chính là điều kiện cần và đủ để bốn điểm đồng phẳng phát biểu bằng
ngôn ngữ vectơ7
. Kết quả của bài tập có thể được sử dụng như yếu tố công nghệ - lý
thuyết giúp giải quyết ba kiểu nhiệm vụ dưới đây mà chúng tôi liệt kê theo thứ tự xuất
hiện trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc tài liệu khác:
- T1. Chứng minh hoặc xác định một điều kiện (cần và đủ/ cần/ đủ) để một điểm
thuộc một mặt phẳng.
- T2. Chứng minh một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài các đoạn thẳng.
- T3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, đường thẳng và đường thẳng.
Do bản chất toán học đã nêu của bài tập 5, vai trò công nghệ - lý thuyết của nó đối
với kiểu nhiệm vụ T1 là hiển nhiên nhưng đối với các kiểu nhiệm vụ T2, T3 lại ít hiển
nhiên hơn. Thật vậy, điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc một mặt phẳng sẽ biện
minh cho kỹ thuật chứng minh một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài các đoạn thẳng
(hoặc tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng) như thế nào? Để trả lời câu hỏi
này, chúng tôi sẽ giới thiệu lần lượt các bài tập thuộc các kiểu nhiệm vụ T1, T2, T3 và
các kỹ thuật giải tương ứng, đồng thời khảo sát vai trò công cụ của vectơ trong khối
praxis.
3. Vai trò công cụ của vectơ trong khối praxis
Trong phần này, chúng tôi khảo sát sự can thiệp của vectơ với tư cách kỹ thuật (và
do đó có yếu tố công nghệ - lý thuyết đi kèm) trong việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ
7
Lời giải của bài tập được trình bày trong phụ lục.

17. 14
trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc sách tham khảo, trong đó có ba kiểu nhiệm vụ
T1, T2, T3 đã đề cập ở trên.
T1. Chứng minh hoặc xác định một điều kiện (cần và đủ/ cần/ đủ) để một điểm
thuộc một mặt phẳng.
Bài tập 6, sách Hình học 11 nâng cao, trang 91
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA =
a.SA’, SB = b.SB’, SC = c.SC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng
(A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
Lời giải mong đợi (của sách giáo viên Hình học 11 nâng cao, trang 90)
Vì A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = a.SA’, SB = b.SB’, SC = c.SC’ nên SA
+ SB + SC = a 'SA + b 'SB + c 'SC . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì

SG =
3
1
( SA +
SB + SC ). Vậy

SG =
3
a
'SA +
3
b
'SB +
3
c
'SC . Mp(A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi bốn điểm
G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo bài tập 5 nêu trên, điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu
3
a
+
3
b
+
3
c
=
1 tức là a + b + c = 3.
Trong lời giải trên, vai trò công nghệ của bài tập 5 được sách giáo viên xác định
tường minh qua nhóm từ “theo bài tập 5 nêu trên”. Liên quan đến vai trò công nghệ
này, chúng tôi có hai nhận xét:
- Không chỉ huy động bài tập 5 như một yếu tố công nghệ trong sách giáo viên, các
tác giả còn tạo thuận lợi cho học sinh sử dụng bài tập 5 để giải bài tập 6 thông qua việc
bố trí bài tập 6 nằm ngay sau bài tập 5 trong sách giáo khoa.
- Bài tập 5 không được đưa vào phần bài học như một tính chất. Bài tập 6 là bài tập
duy nhất trong sách giáo khoa sử dụng bài tập 5 như một yếu tố công nghệ. Các bài
tập khác có huy động bài tập 5 đều nằm trong sách bài tập. Điều này cho thấy các tác
giả đưa bài tập 5 vào phần bài tập sách giáo khoa nhằm giới thiệu một yếu tố công
nghệ để giải quyết kiểu nhiệm vụ T1 mà vẫn không làm tăng dung lượng phần bài học.
Do đó, chúng tôi tự hỏi rằng kỹ thuật liên kết với yếu tố công nghệ của bài tập 5 có
được giáo viên và học sinh ưu tiên sử dụng hay không trong hai kiểu nhiệm vụ T2 và
T3 dưới đây:
T2. Chứng minh một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài các đoạn thẳng.
Bài tập 4, sách bài tập Hình học 11 nâng cao, trang 114

18. 15
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mp(P) bất kì không đi qua S, cắt các cạnh
bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm A1, B1, C1, D1. Chứng minh rằng:
1
SA
SA
+
1
SC
SC
=
1
SB
SB
+
1
SD
SD
.
Để đối chiếu, chúng tôi giới thiệu dưới đây hai lời giải của bài tập này. Lời giải thứ
nhất là lời giải mong đợi, trích từ sách bài tập, huy động bài tập 5 như một yếu tố công
nghệ. Lời giải thứ hai do chúng tôi đề nghị, không huy động công cụ vectơ, dài hơn lời
giải thứ nhất. Việc đưa vào lời giải thứ hai nhằm mục đích làm rõ tính ưu việt của lời
giải thứ nhất.
Lời giải thứ nhất (lời giải mong đợi theo sách bài tập Hình học 11 nâng cao, trang 139)
Vì ABCD là hình bình hành nên

SA +

SC =

SB +

SD hay

SD
=

SA +

SC –

SB . Đặt

SA = a. 1

SA ,

SB = b. 1

SB ,

SC = c. 1

SC ,

SD = d. 1

SD (a, b, c, d là các số lớn hơn 1). Khi đó:
1
SA
SA
+
1
SC
SC
= a + c,
1
SB
SB
+
1
SD
SD
= b + d. Ta có 1

SD =
1
d
.

SD =
1
d
(

SA +

SC –

SB ) =
1
d
(a. 1

SA + c. 1

SC +
b. 1

SB ) =
a
d
. 1

SA +
c
d
. 1

SC –
b
d
. 1

SB . Mặt khác, các điểm A1, B1, C1, D1 thuộc mặt phẳng, nên từ
đẳng thức đó suy ra
a
d
+
c
d
–
b
d
= 1 tức là a + c = b + d.
Như vậy:
1
SA
SA
+
1
SC
SC
=
1
SB
SB
+
1
SD
SD
.
Lời giải thứ hai (do chúng tôi đề nghị)
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD và O1 là giao điểm của đường thẳng SO với mp(P). Dựng
∆1 đi qua O, song song với d và cắt SA tại M, cắt SC tại N. Dựng ∆2 đi qua A, song song với d và
cắt SC tại E. ∆CAE có O là trung điểm AC và ON // AE nên N là trung điểm CE. ∆SAE có MN // AE
nên
MA
SM
=
NE
SN
và ∆SMN có A1C1 // MN nên 1SA
SM
= 1SC
SN
. Suy ra
1
MA
SA
=
1
NE
SC
. Do đó:
1
MA
SA
=
1
NC
SC
(do N là trung điểm CE) (*).
∆SMN có A1C1 // MN nên
1
SO
SO
=
1
SN
SC
=
1
SM
SA
. Suy ra 2
1
SO
SO
=
1
SN
SC
+
1
SM
SA
=
1
SC +CN
SC
+
1
–SA MA
SA
=
1
SC
SC
+
1
NC
SC
+
1
SA
SA
–
1
MA
SA
=
1
SC
SC
+
1
SA
SA
(do *). Vậy
1
SA
SA
+
1
SC
SC
= 2
1
SO
SO
(1).
D
CB
A
S
D1
C1
B1
A1
O
O1
B1
A1
D
C
B
A
S
C1
D1
M
C1A1
O1
O
C
A
S
N
E
d
∆1
∆2

19. 16
Tương tự ta cũng có:
1
SB
SB
+
1
SD
SD
= 2
1
SO
SO
(2).
Từ (1) và (2) ta suy ra
1
SA
SA
+
1
SC
SC
=
1
SB
SB
+
1
SD
SD
.
Trong lời giải mong đợi, bài tập 5 đóng vai trò công nghệ, biện minh cho phương
trình ràng buộc n, giúp đi đến hệ thức cần tìm. Sự can thiệp này thể hiện ở lập luận A1,
B1, C1, D1 thuộc mặt phẳng, nên từ đẳng thức đó suy ra
a
d
+
c
d
–
b
d
= 1 tức là a + c
= b + d. Lập luận này dựa vào điều kiện cần để một điểm thuộc một mặt phẳng đã
được phát biểu và chứng minh trong bài tập 5. Như vậy, trong kiểu nhiệm vụ T2, bản
chất vai trò công nghệ của bài tập 5 là điều kiện cần để một điểm thuộc một mặt phẳng.
Điều kiện cần này cho phép suy ra một hệ thức ràng buộc các hệ số trong biểu diễn
tuyến tính các vectơ và khi đặc biệt hóa, ta được một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài
các đoạn thẳng.
Trong lời giải thứ hai, ta phải dựng thêm đường phụ, sử dụng các tính chất của hình
chóp, đường trung bình của tam giác và một số tính chất khác để thu được đẳng thức
về tỷ số độ dài các đoạn thẳng.
T3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, của hai đường thẳng
Bài tập. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (P) đi qua A và tâm của các hình
vuông A’B’C’D’ và B’C’CB. Xác định vị trí giao điểm E của đường thẳng C’B’ với mặt phẳng (P).
Bài tập trên được chúng tôi trích ra từ sách tham khảo. Giống như đã thực hiện đối
với T2, chúng tôi giới thiệu dưới đây hai lời giải của bài tập này. Lời giải thứ nhất là
lời giải mong đợi, không huy động công cụ vectơ. Lời giải thứ hai do chúng tôi đề
nghị dựa trên yếu tố công nghệ của bài tập 5. Việc đưa vào lời giải thứ hai nhằm mục
đích làm rõ tính ưu việt của lời giải sử dụng công cụ vectơ.
Lời giải thứ nhất (lời giải mong đợi)
Gọi O1, O2 lần lượt là tâm của các hình vuông A’B’C’D’,
B’C’CB . Đầu tiên, ta tìm giao điểm K của O1O2 với mặt phẳng
(A’ADD’). Gọi F là trung điểm của A’D’ và O3 là tâm của hình
vuông AA’D’D. Khi đó O1, O2, O3, F cùng thuộc một mặt phẳng
trung trực của AD. Do đó O1O2 và O3F cắt nhau tại K.
Gọi M là giao điểm của AK và A’D’. Khi đó, giao điểm E của
đường thẳng C’B’ với mặt phẳng (P) chính là giao điểm của hai
đường thẳng MO1 và B’C’. Gọi N là giao điểm của EO2 và BC.
O3
K
N
M O2
O1
E
D'
C'B'
A'
D
CB
A
F

20. 17
Vậy AMEN là thiết diện cần dựng.
Do (A’B’C’D’) ∩ (AMEN) = ME, (ABCD) ∩ (AMEN) = AN, (A’B’C’D’) // (ABCD) ⇒ AN // ME
và (A’D’DA) ∩ (AMEN) = MA, (B’C’CB) ∩ (AMEN) = EN, (A’D’DA) // (B’C’CB) ⇒ AM // EN.
Suy ra AMEN là hình bình hành.
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương và O2, O3 lần lượt là tâm của hình vuông B’C’CB,
AA’D’D nên O2O3 = A’B’ và O2O3 // A’B’. Mặt khác ∆D’B’A’ có FO1 là đường trung bình nên
MO1 // A’B’ và A’B’ = 2FO1. Suy ra FO1 // O2O3 và O2O3 = 2FO1. Khi đó KF = FO3 =
1
2
KO3.
Do ∆AA’D’ có FO3 là đường trung bình nên FO3 =
1
2
AA’ nên KF = FO3 =
1
2
AA’.
Do hai tam giác vuông AA’M, KFM đồng dạng với nhau nên ta có
MF
MA'
=
FK
AA'
=
1
2
⇒ MF =
1
2
MA’ ⇒
A'M
MD'
=
1
2
.
Trong hình vuông A’B’C’D’ có O1 là tâm nên EC’ = A’M và B’E = MD’.
Vậy đường thẳng C’B’ cắt mp(P) tại điểm E thỏa
EC'
B'E
=
A'M
MD'
=
1
2
Lời giải thứ hai (do chúng tôi đề nghị)
Đặt

B'E = n

B'C' . Gọi O1, O2 lần lượt là tâm của các hình vuông
A’B’C’D’, B’C’CB. Khi đó O1, O2 lần lượt là trung điểm của A’C’
và BC’. Suy ra

B'C' +

B'A' = 2 1

B'O và

B'C' +

B'B = 2 2

B'O .
Khi đó 2 1

B'O + 2 2

B'O = 2

B'C' +

B'A' +

B'B ⇔ 2 1

B'O +
2 2

B'O = 2

B'C' +

B'A (do B’BAA’ là hình vuông). Suy ra

B'C'
= 1

B'O + 2

B'O –
1
2

B'A . Khi đó

B'E = n

B'C' = n 1

B'O + n 2

B'O –
1
2
n

B'A . Do E, A, O1, O2
cùng thuộc một mặt phẳng nên n + n –
1
2
n = 1. Suy ra n =
2
3
.
Vậy đường thẳng C’B’ cắt mp(P) tại điểm E thỏa

B'E =
2
3

B'C' .
Trong bài tập trên, lời giải sử dụng vectơ ngắn hơn nhiều so với lời giải còn lại. Đối
với lời giải huy động công cụ vectơ, bài tập 5 đóng vai trò công nghệ, biện minh cho
phương trình ràng buộc n, giúp xác định được giao điểm cần tìm: E ∈ (AO1O2) ⇒ n + n
–
1
2
n = 1. Lập luận này cũng dựa vào điều kiện cần để một điểm thuộc một mặt
phẳng đã được phát biểu và chứng minh trong bài tập 5. Như vậy, trong kiểu nhiệm vụ
T3, bản chất vai trò công nghệ của bài tập 5 là điều kiện cần để một điểm thuộc một
A
B
C
D
A’
B’ C’
D’
E
O1
O2
.

21. 18
mặt phẳng. Điều kiện cần này cho phép suy ra hệ số tỷ lệ giữa hai vectơ cùng phương
và cùng điểm gốc giúp ta xác định được vị trí giao điểm giữa đường thẳng và mặt
phẳng mà không cần chuyển sang đại lượng vô hướng.
Mặt khác, công cụ vectơ huy động trong hai kiểu nhiệm vụ T2 và T3 đã “kéo gần”
hai kiểu nhiệm vụ thoạt nhìn có vẻ “cách xa” nhau. Thật vậy, một kỹ thuật chung được
huy động trong hai kiểu nhiệm vụ này là đặt MN = k MP rồi tìm k từ điều kiện cần để
suy ra tỷ số MN/ MP hoặc xác định vị trí của N trên đoạn MP nhờ tỷ số này. Kỹ thuật
liên kết với yếu tố công nghệ - lý thuyết chung (bài tập 5) cho phép xếp T1, T2 và T3
vào chung một tổ chức toán học địa phương (organisation locale) thay vì vào ba tổ
chức toán học điểm (organisation ponctuelle) khi không huy động vectơ.
Chúng tôi biểu diễn tổ chức toán học địa phương gồm T1, T2, T3 thành sơ đồ dưới
đây, trong đó mũi tên giữa hai kiểu nhiệm vụ mang ý nghĩa: các kiểu nhiệm vụ này có
thể xếp cạnh nhau vì có chung một yếu tố công nghệ - lý thuyết.
Bài tập 5 là một yếu tố công nghệ - lý thuyết biện minh cho kỹ thuật giải các kiểu
nhiệm vụ T1, T2, T3. Tuy nhiên, như chúng tôi đã trình bày, bài tập 5 chiếm một vị trí
khiêm tốn trong phần bài tập (áp dụng giải bài tập 6, trang 91 sách giáo khoa và một số
ít bài tập trong sách bài tập) thay vì có thể trình bày như một ví dụ hoặc một tính chất
của phần bài học. Điều này cho thấy vai trò công nghệ - lý thuyết của bài tập 5 trong
chương III được sách giáo khoa tự giới hạn ở mức độ tối thiểu.
Kể cả ba kiểu nhiệm vụ T1, T2, T3 đã đề cập, chúng tôi tìm thấy 13 kiểu nhiệm vụ
có liên quan đến công cụ vectơ. Chúng tôi liệt kê các kiểu nhiệm vụ này theo trình tự
Tổ chức toán học địa phương xây dựng trên
yếu tố công nghệ - lý thuyết của bài tập 5
T2. Chứng minh
một đẳng thức về
tỷ số giữa độ dài
các đoạn thẳng
T3. Tìm giao
điểm của đường
thẳng và mặt
phẳng
T1. Chứng minh
một điều kiện (cần
và đủ/ cần/ đủ) để
một điểm thuộc
một mặt phẳng

22. 19
xuất hiện của chúng trong sách giáo khoa và sách bài tập.
Các kiểu nhiệm vụ SGK SBT Tổng
T1: Chứng minh hoặc xác định một điều kiện (cần và đủ/
cần/ đủ) để một điểm thuộc một mặt phẳng
2 4 6
T2: Chứng minh một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài các đoạn
thẳng
0 1 1
T3: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, của hai
đường thẳng
0 4 4
T4: Chứng minh một điểm là trọng tâm tứ diện 1 1 2
T5: Chứng minh ba vectơ trong không gian đồng phẳng 1 0 1
T6: Định điều kiện để hai đường thẳng song song 0 1 1
T7: Chứng minh hai đường thẳng song song 1 0 1
T8: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 1 1 2
T9: Tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian 3 7 10
T10: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không
gian
9 4 13
T11: Tính độ dài đoạn thẳng 1 2 3
T12: Điều kiện cần và đủ để một tứ giác là hình bình hành 2 1 3
T13: Chứng minh ba điểm trong không gian thẳng hàng 0 3 3
Tổng cộng 21 29 50
Có những kiểu nhiệm vụ chỉ có một bài tập, thậm chí bài tập này không có trong
sách giáo khoa mà chỉ được xếp vào sách bài tập (T2, T6). Ngược lại, có những kiểu
nhiệm vụ sở hữu một lượng lớn bài tập, xuất hiện cả trong sách giáo khoa lẫn sách bài
tập (T1, T9, T10). Chúng tôi cho rằng số lượng bài tập gắn với mỗi kiểu nhiệm vụ là
một chỉ số thể hiện mức độ ưu tiên của từng kiểu nhiệm vụ trong tri thức cần dạy.
Nhằm mục đích trả lời các câu hỏi nghiên cứu (đặc biệt là câu hỏi Q2), chúng tôi sẽ
phân tích các kiểu nhiệm vụ có thể huy động vectơ nhưng thực tế không được huy
động hoặc có huy động nhưng không được ưu tiên (T1, T2, T3, T9, T10, T11). Các kiểu
nhiệm vụ còn lại (T4, T5, T6, T7, T8, T12, T13) sẽ được trình bày trong phần phụ lục.
Ở trên, chúng tôi đã phân tích một phần kiểu nhiệm vụ T1 với kỹ thuật giải dựa trên
yếu tố công nghệ - lý thuyết của bài tập 5. Dưới đây, chúng tôi giới thiệu thêm một bài

23. 20
tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 và xem xét lời giải mong đợi của nó trong mối liên hệ với
bài tập 5.
*Kiểu nhiệm vụ T1: ‘‘Chứng minh một điều kiện (cần và đủ/ cần/ đủ) để một
điểm thuộc một mặt phẳng’’.
Bài tập 6, (sách Hình học 11 nâng cao, trang 91)
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA =
a.SA’, SB = b.SB’, SC = c.SC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng
(A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
Chứng minh: (theo sách giáo viên Hình học 11 nâng cao, trang 90)
Vì A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = a.SA’, SB = b.SB’, SC = c.SC’ nên

SA
+

SB +

SC = a

SA' + b

SB' + c

SC' . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì

SG =
1
3
(

SA +

SB +

SC ). Vậy

SG =
3
a 
SA' +
3
b 
SB' +
3
c 
SC' .
Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi bốn điểm G, A’ , B’, C’ đồng phẳng, nên theo bài tập 5
nêu trên, điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu
3
a
+
3
b
+
3
c
= 1 tức là a + b + c = 3
Rõ ràng bài tập 5 can thiệp rộng rãi (như một yếu tố công nghệ - lý thuyết) trong kỹ
thuật giải của kiểu nhiệm vụ T1. Tuy nhiên, những bài tập còn lại của T1 chỉ được giới
thiệu trong sách bài tập. Điều này là hạn chế một cách đáng kể môi trường sinh thái
của bài tập 5 trong việc giải quyết T1.
*Kiểu nhiệm vụ T2: ‘‘Chứng minh một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài các đoạn
thẳng’’
Bài tập 4, sách bài tập Hình học 11 nâng cao, trang 114
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mp(P) bất kì không đi qua S, cắt các cạnh
bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm A1, B1, C1, D1. Chứng minh rằng:
1
SA
SA
+
1
SC
SC
=
1
SB
SB
+
1
SD
SD
.
Giải. (theo sách bài tập Hình học 11 nâng cao, trang 139)
Vì ABCD là hình bình hành nên

SA +

SC =

SB +

SD hay

SD =

SA +

SC –

SB .
Đặt

SA = a. 1

SA ,

SB = b. 1

SB ,

SC = c. 1

SC ,

SD = d. 1

SD
(a, b, c, d là các số lớn hơn 1). Khi đó:
1
SA
SA
+
1
SC
SC
= a + c,
1
SB
SB
+
1
SD
SD
= b + d
D
C
B
A
S
D1
C1
B1
A1

24. 21
Ta có 1

SD =
1
d
.

SD =
1
d
(

SA +

SC –

SB ) =
1
d
(a. 1

SA + c. 1

SC + b. 1

SB ) =
a
d
. 1

SA +
c
d
. 1

SC –
b
d
. 1

SB . Mặt khác, các điểm A1, B1, C1, D1 thuộc mặt phẳng, nên từ đẳng thức đó suy ra
a
d
+
c
d
–
b
d
= 1 tức là a + c = b + d.
Như vậy:
1
SA
SA
+
1
SC
SC
=
1
SB
SB
+
1
SD
SD
.
Trong bài tập trên, tỷ số giữa độ dài hai đoạn thẳng được chuyển thành tỷ số giữa
hai vectơ cùng phương8
và việc vận dụng bài tập 5 cho phép suy ra hệ thức cần chứng
minh.
Kỹ thuật τ2: (Cho hình chóp S.A1A2…A2n và một mặt phẳng (P) bất kì không đi
qua S, cắt các cạnh bên SA1, SA2, …, SA2n lần lượt tại các điểm B1, B2, …, B2n.
Chứng minh: a1. 1
1
SA
SB
+ a3. 3
3
SA
SB
+ … + a2n-1. 2 1
2 1
SA
SB
n
n
−
−
= a2. 2
2
SA
SB
+ a4. 4
4
SA
SA
+ …. +
a2n. 2
2
SA
SB
n
n
).
- Đặt SA

i = bi .SB

i (bi ≥ 1, i = 1,2n ). Suy ra
SA
SB
i
i
= bi
- Qua các phép biến đổi ta sẽ có 2SB

n = k1 . 1SB

+ k2 . 2SB

+ …+ k2n-1 . 2 1SB −

n
- Do các điểm B1, B2, …, B2n đồng phẳng nên k1 + k2 + … + k2n-1 = 1.
- Suy ra điều phải chứng minh.
Công nghệ θ2: Hai vectơ cùng phương, cùng hướng;phân tích một vectơ theo các
vectơ không cùng phương; sự đồng phẳng của các vectơ; điều kiện để một điểm thuộc
một mặt phẳng.
Dạng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T2 không có trong sách giáo khoa mà chỉ có duy
nhất một bài tập trong sách bài tập. Khi gặp kiểu nhiệm vụ T2 thì phương pháp vectơ
ưu việt hơn phương pháp tổng hợp và bài tập 5 trở thành yếu tố công nghệ - lý thuyết.
Kiểu nhiệm vụ T2 không được ưu tiên và không xuất hiện trong những phần bài tập
sau đó. Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này không được trình bày tường minh
8
Trong tri thức bác học, nếu

SA = a. 1

SA thì a được gọi là tỷ số giữa hai vectơ cùng phương

SA và 1

SA .

25. 22
*Kiểu nhiệm vụ T3: ‘‘Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, đường
thẳng và đường thẳng’’
Bài tập 71a, sách bài tập Hình học 11 nâng cao, trang 128
Cho M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A1D1 của hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Xác
định giao điểm P của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng B1C1.
*Lời giải (do chúng tôi đề nghị)
Đặt 1

B P = m. 1 1

B C = m.

AD .
Ta có

AD =

AM –

DM =
1
2

DC –

DM và 1

DB =

DC + 1

DD
+

DA ⇔

DP + 1

PB =

DC +

DN +
1
2

AD –

AD ⇔

DP =

DC
+

DN + (m –
1
2
)

AD . Suy ra

DP =
1
4
(2m + 3)

DC +

DN + (
1
2
– m)

DM . Do P ∈ (MNC) nên
1
4
(2m + 3) + 1 + (
1
2
– m) = 1. Suy ra m =
5
2
.
Vậy giao điểm P của B1C1 với mặt phẳng (MNC) thỏa 1

B P =
5
2
1 1

B C .
*Lời giải (theo sách bài tập Hình học 11 nâng cao, trang 196)
Đặt 1

AA =

a ,

AB =

b ,

AC =

c
P là giao điểm của mp(MNC) với đường thẳng B1C1 khi và chỉ khi C, M, N, P thuộc một mặt
phẳng và P thuộc đường thẳng B1C1.
Ta có các điểm C, M, N, P thuộc một mặt phẳng nên tồn tại các số x, y, z sao cho x + y + z = 1 (*)
và

AP = x

AM + y

AN + z

AC =
2
x 
b + y(

a +
1
2

c ) + z(

b +

c ) = y

a + (
2
x
+ z)

b + (
2
y
+ z)

c . (1)
Vì P thuộc đường thẳng B1C1 nên 1

B P = t. 1 1

B C từ đó

AP =

a +

b + t

c (2)
Từ (1), (2) và do

a ,

b ,

c không đồng phẳng nên y = 1,
2
x
+ z = 1 và
2
y
+ z = 1. (**)
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình
1
1
2
2
1
=
+ =
+ =
+ + =








y
x
z
y
z t
x y z
⇔
1
2
2
5
2
=
= −
=







y
x
t =
z
.
Vậy giao điểm P của B1C1 với mặt phẳng (MNC) thỏa 1

B P =
5
2
1 1

B C .
Kỹ thuật τ3-1:
- Giả sử k là tỉ lệ của hai vectơ lập thành từ ba điểm (một là giao điểm và hai điểm
còn lại nằm trên đường thẳng cần tìm giao điểm).
B1
A
B
D
M
C
C1
D1
A1
N

26. 23
- Lập bốn vectơ

d ,

a ,

b ,

c không cùng phương có cùng điểm đầu và có điểm
cuối là M (ứng với

d ) với ba điểm thuộc mp(P) (ba điểm này phải cố định và thuận
lợi cho chứng minh).
- Qua các phép biến đổi ta đưa về dạng

d = m

a + n

b + t

c .
- Do giao điểm thuộc mp(P) nên m + n + t = 1.
- Kết luận.
Công nghệ θ3-1: Hai vectơ cùng phương;phân tích một vectơ theo các vectơ không
cùng phương; sự đồng phẳng các vectơ; điều kiện để một điểm thuộc một mặt phẳng.
Kỹ thuật τ3-2:
- Giả sử k là tỉ lệ của hai vectơ lập thành từ ba điểm (một là giao điểm và hai điểm
còn lại thuộc đường thẳng cần tìm giao điểm).
- Với

d ,

i ,

j ,

f là các vectơ có đểm đầu là một điểm cố định thuận lợi cho chứng
minh và điểm cuối là giao điểm (ứng với

d ) cùng ba điểm thuộc mp(P) cần tìm giao
điểm với đường thẳng. Ta giả sử

d = x

i + y

j + z

f . Sau đó, ta đưa về dạng

d =
m1

a + n1

b + t1

c (

a ,

b ,

c được lập thành từ các đỉnh của hình mà đề bài cho).
- Dựa vào giả thiết, ta đưa về dạng

d = m2

a + n2

b + t2

c .
- Cho các hệ số tương ứng bằng nhau và giải hệ phương trình và tìm được các hệ số.
- Kết luận.
Công nghệ θ3-2: Hai vectơ cùng phương; hai vectơ bằng nhau; phân tích một vectơ
theo các vectơ không cùng phương; sự đồng phẳng của các vectơ; điều kiện để một
điểm thuộc một mặt phẳng và giải hệ phương trình.
Chúng tôi nhận thấy có hai phương pháp để tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt
phẳng nhưng tùy theo yêu cầu đề bài mà ta sẽ lựa chọn phương pháp giải tối ưu. Đối
với đề bài chỉ yêu cầu tìm giao điểm thì ta nên sử dụng phương pháp tổng hợp nhưng
nếu đề bài yêu cầu xác định vị trí giao điểm thì ta nên giải theo phương pháp vectơ. Kỹ
thuật này giúp tìm vị trí giao điểm chính xác hơn là cách dựng hình.
Trong sách giáo khoa và sách bài tập, các kiểu nhiệm vụ T2, T3 được xem là những
bài tập làm thêm. Chúng tôi nhận thấy bài tập 5 được áp dụng một cách hiệu quả, làm
lời giải trở nên ngắn gọn hơn và sử dụng ít kiến thức hình học trong các kiểu nhiệm vụ

27. 24
trên. Nhưng hầu như, ba kiểu nhiệm vụ này không được tác giả sách giáo khoa quan
tâm đến và không được ưu tiên (thể hiện qua số lượng bài tập áp dụng ít).
Bài tập 5 tạo nên yếu tố công nghệ - lý thuyết xung quanh T1, T2, T3 nhưng không
được ưu tiên trong sách giáo khoa. Điều này cho thấy rõ dù các tác giả muốn đưa công
cụ vectơ vào giải toán, sự can thiệp của vectơ trong hai khối logos và praxis vẫn còn
rất khiêm tốn.
*Kiểu nhiệm vụ T9: ‘‘Tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian’’
Ví dụ 1, sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 92
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2 . Tính góc giữa hai đường
thẳng SC và AB.
Giải.
Ta có: cos(

SC ,

AB ) =
.
.
 

SC AB
SC AB
= 2
.( )+
  
SA AC AB
a
= 2
.. +
   
SA AB AC AB
a
=
2
2
2
0− +
a
a
=
1
2
− .
Suy ra (

SC ,

AB ) = 1200
.
Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 600
.
Kỹ thuật τ9:
- Tìm vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng cần tính góc.
- Áp dụng công thức tính góc của hai vectơ cos(

a ,

b ) =
.
.
 
 
a b
a b
. Suy ra góc giữa hai
đường thẳng (luôn là góc nhọn).
Công nghệ θ9: Vectơ chỉ phương (hoặc vectơ pháp tuyến) của đường thẳng, công
thức tính góc giữa hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn, tích vô
hướng của hai vectơ.
*Kiểu nhiệm vụ T10: ‘‘Chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không
gian’’
Ví dụ 2, sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 94
Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và ABC = B'BA = B'BC = 600
.
Tính diện tích tứ giác A’B’CD.
Giải. (theo sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 95)
Trước hết ta dễ thấy A’B’CD là hình bình hành, ngoài ra B’C
= a = CD nên A’B’CD là hình thoi.
C’
C
B’
B
A’
A
D
D’
S
B
C
A

28. 25
Ta sẽ chứng minh A’B’CD là hình vuông. Thật vậy, ta có:

CB' .

CD = (

CB +

BB' ).

CD =

CB .

CD +

BB' .

CD = CB.CD.cos1200
+ BB’.CD.cos600
=
2
2
−
a
+
2
2
a
= 0.
Vậy có CB’ ⊥ CD, do đó A’B’CD là hình vuông. Từ đó diện tích hình vuông A’B’CD bằng a2
.
Bài tập 9, sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 96
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASB = BSC = CSA . Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥
AC, SC ⊥ AB.
Giải.(theo sách giáo viên Hình học 11 nângcao, trang 93)
Ta có:

SA .

BC =

SA .(

SC –

SB ) =

SA .

SC –

SA .

SB = SA.SC.cos ASB – SA.SB.cos CSA .
Mặt khác SA = SB = SC và ASB = CSA nên

SA .

BC = 0 , tức là SA ⊥ BC.
Tương tự như trên ta cũng có SB ⊥ AC và SC ⊥ AB.
Kỹ thuật τ10-1:
- Tìm vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đó.
- Qua phép biến đổi ta sẽ chứng minh tích của hai vectơ đó bằng 0.
- Kết luận.
Công nghệ θ10-1: Vectơ chỉ phương (hoặc vectơ pháp tuyến) của đường thẳng, tích
vô hướng cuả hai vectơ, tích của hai vectơ bằng không thì hai vectơ đó vuông góc.
Kỹ thuật τ10-2:
- Tìm vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đó.
- Sử dụng công thức tính góc hai vectơ và chứng minh góc đó bằng 900
.
- Kết luận.
Công nghệ θ10-2: Vectơ chỉ phương (hoặc vectơ pháp tuyến) của đường thẳng, tích
vô hướng cuả hai vectơ, công thức tính góc giữa hai vectơ.
Học sinh đã được làm nhiều về hai kiểu nhiệm vụ T9, T10 ở lớp 10. Các Kỹ thuật
giải quyết T9, T10 đều yêu cầu trước tiên là tìm vectơ chỉ phương (hoặc vectơ pháp
tuyến) của hai đường thẳng cần tính góc hoặc chứng minh vuông góc và đều sử dụng
tích vô hướng. Chúng tôi nhận thấy T9 và T10 có liên hệ qua lại với nhau. Tác giả ưu
tiên nhiều cho T9, T10 được thể hiện qua số lượng bài tập nhiều trong sách giáo khoa
và sách bài tập.
*Kiểu nhiệm vụ T11 : ‘‘Tính độ dài đoạn thẳng’’
Bài toán, sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 109

29. 26
Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật khi biết độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh là a, b,
c (a, b, c gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật).
Giải. (theo sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 109)
Từ

AC' =

AB +

AD +

AA' và

AB .

AD =

AB .

AA' =

AD .

AA' = 0.
Ta có:
2
AC' = a2
+ b2
+ c2
hay AC’ = 2 2 2
+ +a b c .
Tương tự các đường chéo còn lại cũng bằng 2 2 2
+ +a b c .
Kỹ thuật τ11:
- Từ đoạn thẳng cần tính độ dài, ta tạo thành một vectơ có điểm đầu và điểm cuối là
hai đầu của đoạn thẳng đó.
- Phân tích vectơ đó thành tổng các vectơ không cùng phương (các vectơ này dễ
tính được độ dài và có mối quan hệ đặc biệt về góc với nhau).
- Áp dụng các hằng đẳng thức và một số phép biến đổi để khai triển.
- Kết luận.
Công nghệ θ11: Hằng đẳng thức, tích vô hướng của hai vectơ và độ dài một vectơ.
Chúng tôi ghi nhận sự tồn tại của một số bài tập có thể dùng công cụ vectơ nhưng
lại không dùng. Các bài tập này được chúng tôi trình bày trong phần phụ lục. Vậy có
những điều kiện hoặc ràng buộc nào để giáo viên, học sinh sử dụng phương pháp
vectơ? Chúng tôi sẽ cố gắng trả lời câu hỏi này trong chương 2 của luận văn.
4. Kết luận.
Chương 1 nhằm mục đích trả lời các câu hỏi Q1 và Q2.
Sách giáo khoa và sách bài tập thể hiện không đủ mục đích đưa vectơ vào để xây
dựng mối quan hệ vuông góc và giải một số bài toán nhất định mà các tác giả đã xác
định trong sách giáo viên. Điều này được thể hiện qua phần bài học chỉ có duy nhất
một định lý mà chứng minh có huy động vectơ và phần bài tập có 13 kiểu nhiệm vụ
nhưng phân phối dàn trải (trong đó số lượng bài tập chứng minh sự vuông góc khá ít).
Đặc biệt, trong 13 kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật giải bằng công cụ vectơ không phải
lúc nào cũng được ưu tiên. Điều này cho thấy có độ lệch giữa ý định của tác giả (thể
hiện trong sách giáo viên) với sự thể hiện của sách giáo khoa. Một vấn đề được đặt ra
là độ lệch này sẽ biến động thế nào trong tri thức thực dạy. Những điều kiện và ràng
buộc nào để giáo viên, học sinh sử dụng phương pháp vectơ? Giáo viên sẽ chấp nhận
lời giải vectơ như thế nào?
C’
D’
C
B’
B
A’
A

30. 27
Chúng tôi sẽ đi tìm các yếu tố trả lời trong chương 2.

31. 28
Chương 2.
Công cụ vectơ trong tri thức soạn giảng và tri thức thực dạy
Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu sự quan tâm của giáo viên đến vectơ với vai
trò công nghệ - lý thuyết và kỹ thuật. Quá trình phân tích chia làm hai phần:
- Vai trò công cụ của vectơ trong tri thức soạn giảng và thực dạy;
- Đánh giá của giáo viên đối với lời giải dùng kỹ thuật vectơ.
1. Vai trò công cụ của vectơ trong tri thức soạn giảng và thực dạy
1.1. Liên quan đến công nghệ - lý thuyết
Trong việc chứng minh định lý về điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng, tác giả đã không chứng minh mà chỉ phát biểu và xem như là một hoạt động.
Ngoài ra, tác giả ít quan tâm đến bài tập 5 nhưng bài tập 5 được ứng dụng rất nhiều và
hiệu quả trong một số kiểu nhiệm vụ. Điều này sẽ ảnh hưởng đến thực tế dạy học của
giáo viên như thế nào?
Chúng tôi đã tham khảo và xin ý kiến của 25 giáo viên để biết giáo viên có quan
tâm và cho học sinh giải bài tập 5 đồng thời hướng dẫn học sinh áp dụng bài tập 5 để
giải một số bài tập với câu hỏi sau:
Câu hỏi 2. Sách Hình học 11 nâng cao lớp 11, trang 91 có bài tập 5 liên quan đến điều kiện cần và
đủ để một điểm thuộc một mặt phẳng. Quý thầy, cô có cho học sinh của mình làm bài tập này
không? (Vui lòng đánh dấu vào ô tương ứng và chỉ đánh dấu một ô duy nhất)
Có và còn cho thêm một số bài tập vận dụng
Có nhưng không cho thêm bài tập vận dụng
Có, nếu có thời gian cho phép
Không
Trường hợp khác (vui lòng ghi rõ): ………………………………………………....................
Xin quý thầy, cô vui lòng giải thích lý do lựa chọn của mình: ………………………………………
Chúng tôi đã thu được kết quả như sau:
Sự lựa chọn Số lượng
Có và còn cho thêm một số bài tập vận dụng (A) 0
Có nhưng không cho thêm bài tập vận dụng (B) 5
Có, nếu có thời gian cho phép (C) 12
Không (D) 7

32. 29
Trường hợp khác: Học sinh giỏi có và cho thêm
bài tập; học sinh bình thường thì không (E)
1
Không có giáo viên nào chọn “Có và còn cho thêm một số bài tập vận dụng”. Điều
này thể hiện giáo viên không tạo điều kiện và hướng dẫn cho học sinh biết khả năng
vận dụng của bài tập 5 đối với một số bài toán hình học không gian lớp 11.
Có 19 giáo viên không cho học sinh làm bài tập 5 và 5 giáo viên cho học sinh làm
nhưng chỉ với mục đích hoàn thành các bài tập trong phần bài tập của sách giáo khoa.
Vậy 24 giáo viên không chú ý đến vai trò công nghệ - lý thuyết của bài tập 5.
Qua những gì đã phân tích trong sách giáo khoa, chúng tôi đã phần nào có thể lý
giải cho việc không để ý đến bài tập 5 của 19 giáo viên. Một phần là do cách trình bày
bài tập 5 trong sách giáo khoa, sau đó chỉ cho một bài tập nhỏ vận dụng trong sách
giáo khoa và có ít bài tập áp dụng bài tập 5 trong sách bài tập. Sự bố trí này của tác giả
sách giáo khoa trong tri thức cần dạy đã làm cho bài tập 5 trở thành kém quan trọng.
Dẫn đến, trong tri thức soạn giảng của giáo viên cũng cho rằng bài tập này ít vận dụng.
Đồng thời, đề thi đại học không có những dạng bài tập này nên giáo viên không quan
tâm và không hướng dẫn học sinh.
Ngoài ra chúng tôi tổng hợp sự giải thích của giáo viên cho sự lựa chọn này như sau:
Sự lựa chọn
Lý do
A B C D E
Tồng
cộng
Không đủ thời gian 3 1 4
Giảm tải của Bộ 1 1
Khó hoặc khó nên để học sinh tự tìm hiểu thêm 2 3 2 1 8
Không đưa ra lý do 1 2 2 5
Ít phổ biến hoặc ít vận dụng hoặc ít hưng thú 1 1 2
Tùy đối tượng học sinh 1 2 3
Mang tính chất tham khảo 1 1
Không cần thiết ở chương trình phổ thông 1 1
Học sinh ít nắm vững phương pháp vectơ 1 1
Là phần nội dung bài học nhưng không quan trọng 1 1
Không chấp nhận áp dụng kết quả một bài tập
trong sách giáo khoa để giải các bài tập khác, muốn
sử dụng phải chứng minh.
1 1
Tổng cộng 0 5 12 10 1 28

33. 30
Lý do nhiều nhất là bài tập 5 khó nhưng rõ ràng bài tập 5 hoàn toàn không khó vì
chỉ áp dụng sự đồng phẳng vừa mới học trong phần bài học.
Có 4 giáo viên trả lời không đủ thời gian, 1 giáo viên cho rằng do giảm tải của Bộ
và 10 giáo viên chọn “Có, nếu có thời gian cho phép”. Điều này cho ta thấy quỹ thời
gian hoặc ràng buộc của chương trình là một tác động đến sự lựa chọn của giáo viên
trong việc soạn giảng. Nhưng có còn lý do nào khác?
Theo phân phối chương trình, §1 được dạy trong 2 tiết lý thuyết và có 1 tiết luyện
tập; nghĩa là vẫn có thời gian để giáo viên giải bài tập tại lớp hoặc hướng dẫn học sinh
làm bài tập ở nhà. Trong trường hợp thứ hai, giáo viên sẽ ưu tiên chọn những bài tập
mà họ cho là quan trọng để giải tại lớp. Như vậy, cách trả lời “không có thời gian”
chứng tỏ giáo viên xem bài tập 5 là kém quan trọng so với những bài tập khác.
Vì các kiểu nhiệm vụ T1, T2 xuất hiện nhiều trong hình học không gian lớp 11, sự
vắng bóng của bài tập 5 trong tri thức soạn giảng và tri thức thực dạy chứng tỏ kỹ
thuật giải các kiểu nhiệm vụ này sẽ không dựa trên yếu tố công nghệ - lý thuyết của
bài tập 5.
Đặc biệt, có 5 giáo viên chọn phương án thứ ba hoặc phương án thứ tư nhưng
không đưa ra lý do. Điều này cũng có thể chứng tỏ giáo viên cho rằng bài tập 5 không
quan trọng, không vận dụng.
Như vậy, đa số giáo viên không muốn quan tâm và hướng dẫn cho học sinh biết sự
ứng dụng kết quả bài tập 5 trong lời giải của một số bài tập trong sách bài tập nên dẫn
đến học sinh cũng không để ý đến vai trò công nghệ - lý thuyết của vectơ. Vậy, giáo
viên và học sinh ít quan tâm đến vai trò công nghệ - lý thuyết của công cụ vectơ khi
giải các bài toán hình học không gian lớp 11.
Dù tác giả quan niệm rằng kiến thức vectơ quan trọng trong hình học không gian,
chúng tôi nhận thấy sự sống của vectơ trong chương 3 rất hạn hẹp. Cụ thể, trong cấu
trúc sách giáo khoa, tác giả chỉ dùng vectơ để chứng minh một định lý. Về mặt công
cụ, vectơ có nhiều tiềm năng công nghệ - lí thuyết nhưng chưa được huy động triệt để
trong chứng minh tính chất và lời giải bài tập. Điều này tiếp tục cho thấy độ lệch giữa
tri thức cần dạy và tri thức thực dạy liên quan đến vai trò công nghệ - lý thuyết của
vectơ.
1.2. Liên quan tới kỹ thuật
Chúng tôi ghi nhận đối với một số bài toán đơn giản hay các bài toán bắt buộc phải

34. 31
dùng vectơ thì thể chế mới sử dụng công cụ vectơ để giải. Vậy, giáo viên chỉ huy động
công cụ vectơ để giải những dạng toán nào trong hình học không gian? Điều kiện và
ràng buộc để học sinh huy động công cụ vectơ trong lời giải của một số bài toán hình
học không gian lớp 11?
Chúng tôi đã tham khảo và xin ý kiến 25 giáo viên với câu hỏi sau:
Câu hỏi 1. Theo quý thầy, cô, trong giảng dạy, giáo viên có thể sử dụng vectơ để giải những loại
toán hình học không gian nào ở lớp 11?
Kết quả thu được các dạng toán hình học không gian mà giáo viên sẽ sử dụng vectơ
để giải bao gồm:
Số giáo viên chọn
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 22
Tính góc giữa hai đường thẳng 7
Chứng minh ba điểm thẳng hàng 1
Chứng minh hai đường thẳng song song 1
Tính độ dài đoạn thẳng 1
Chứng minh bốn điểm đồng phẳng 1
Chứng minh ba vectơ trong không gian đồng phẳng 1
Chứng minh tứ giác là hình bình hành 1
Cùng phương 1
Chứng minh các đường thẳng đồng quy 1
Toán chứng minh 1
Bỏ trống 2
Có 22 giáo viên nghĩ đến vectơ đối với bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông
góc trong không gian. Theo kinh nghiệm bản thân và hỏi thăm một số giáo viên, chúng
tôi đã tìm hiểu lý do của việc lựa chọn này là:
- Vectơ chỉ hiệu quả khi chứng minh tính vuông góc là do có tích vô hướng.
- Để chứng minh tính vuông góc đó thì giáo viên cố gắng lợi dụng yếu tố vuông góc
trong đề bài như: đề bài cho hình hộp chữ nhật; hình lập phương; hình chóp SABCD có
đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD); ….
Nhưng những lập luận trên không hoàn toàn đúng vì có những bài toán mà dữ liệu
cũng như yêu cầu trong bài không cho thấy có bất kỳ một quan hệ vuông góc nào như
các kiểu nhiệm vụ T1, T2, T3 nhưng sử dụng vectơ vẫn hiệu quả và tối ưu.

35. 32
Vì giáo viên chỉ nghĩ đến việc dùng vectơ trong quan hệ vuông góc nên hai kiểu
nhiệm vụ T2 và T3 gần như nằm ngoài quan hệ vuông góc (nằm ngoài thể chế). Mối
quan hệ kiểu nhiệm vụ T2, T3 đối với vectơ là một điều lạ nên tuyệt đại đa số giáo viên
không hề nghĩ đến việc sẽ dùng vectơ để giải quyết kiểu nhiệm vụ T2, T3.
Vậy, chúng tôi nhận thấy giáo viên chỉ nghĩ đến vectơ đối với những bài chứng
minh vuông góc. Đồng thời, giáo viên chỉ quan tâm đến các dạng bài tập mà kỹ thuật
giải có sử dụng công cụ vectơ khi giáo viên đang giảng dạy phần bài học có liên quan
đến vectơ (§1 và §2) và phần bài tập áp dụng phần bài học đó, nhưng sau đó giáo viên
không quan tâm đến công cụ vectơ để giải các bài toán hình học không gian.
Chúng tôi ghi nhận có 2 giáo viên không trả lời (để trống). Điều này chứng tỏ giáo
viên chưa sẵn sàng để trả lời câu hỏi. Nói cách khác, lợi ích hay hiệu quả hay phạm vi
ứng dụng của vectơ không phải lúc nào cũng được giáo viên đặt ra khi giáo viên đi dạy,
điều đó có nghĩa là họ không bao giờ nghĩ tới vectơ để giải các bài toán hình học
không gian lớp 11.
Có 1 giáo viên trả lời hết sức chung chung là “Toán chứng minh”. Câu trả lời chung
chung này không nói lên điều gì hết. Dẫn đến hai việc sau:
- Trả lời như vậy nghĩa là không trả lời gì.
- Đa số giáo viên từng nghĩ vectơ chỉ có thể giải những bài toán chứng minh do đó
sẽ hạn chế những bài toán tính toán, dựng hình, quỹ tích,…
Không có giáo viên nào liệt kê đủ hết các dạng bài tập hình học không không lớp
11 có sử dụng lời giải vectơ. Đặc biệt dạng toán chứng minh một điều kiện (cần và đủ/
cần/ đủ) để một điểm thuộc một mặt phẳng, chứng minh một đẳng thức về tỷ số giữa
độ dài các đoạn thẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Có đến 10 giáo viên chỉ nêu 1 dạng toán có sử dụng công cụ vectơ để giải. Điều này
chứng tỏ giáo viên ít chú ý đến việc sử dụng công cụ vectơ trong các dạng bài tập hình
học không gian lớp 11 hay đứng trước một bài toán hình học không gian, giáo viên ít
nghĩ đến lời giải vectơ đầu tiên.
Trong 13 kiểu nhiệm vụ chúng tôi đã liệt kê từ sách giáo khoa và sách bài tập thì
mỗi kiểu nhiệm vụ có số lượng bài tập ít. Mặt khác, chúng tôi xin ý kiến giáo viên liệu
giáo viên có cho học sinh làm hết 13 kiểu nhiệm vụ không và những kiểu nhiệm vụ
nào giáo viên bỏ qua?
Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ mà giáo viên chọn để hướng dẫn cho học sinh:

36. 33
Kiểu nhiệm vụ
T
1
T
2
T
3
T4 T5 T6 T7 T8 T9
T1
0
T11
T1
2
T1
3
Giáo viên chọn 0 0 0 8 17 2 5 3 21 21 7 13 14
Trong bảng thống kê trên, chúng tôi ghi nhận đa số giáo viên không hướng dẫn và
yêu cầu học sinh làm hết 13 kiểu nhiệm vụ; không để ý đến các kiểu nhiệm vụ T1, T2,
T3 với lý do không đủ thời gian, dạng bài tập này không phổ biến hay chương trình
không yêu cầu; chỉ tập trung hướng dẫn làm các kiểu nhiệm vụ T5, T9, T10, T12, T13 vì
là những dạng toán cơ bản học sinh dể tiếp thu, bổ trợ cho lớp 12; rất ít giáo viên quan
tâm đến các kiểu nhiệm vụ T6, T7, T8. Đa số giáo viên không cho học sinh làm hết các
bài tập trong sách bài tập vì lý do không đủ thời gian và giảm tải chương trình.
Đối với câu hỏi 1, giáo viên phải huy động để trả lời. Nhưng qua câu hỏi 3 thì có
sẵn để giáo viên lựa chọn. Mục đích của việc này là để ý xem có giáo viên chỉ nêu ra
một dạng toán ở câu hỏi 1 nhưng qua câu hỏi 3 thì giáo viên chọn nhiều hơn. Điều này
cho chúng tôi nhận thấy giáo viên biết rất rõ sự ứng dụng của vectơ trong các bài toán
hình học không gian nhưng do chương trình và cách trình bày của sách giáo khoa làm
giáo viên bỏ quên phương pháp vectơ.
Như vậy, khi giáo viên cho học sinh làm một bài tập mà lời giải đúng có thể được
học sinh trình bày bằng công cụ vectơ thì giáo viên có cho điểm tối đa không? Qua
những gì chúng tôi xin ý kiến giáo viên, chúng tôi nhận thấy 3 trường hợp: giáo viên
chấp nhận lời giải bằng phương pháp vectơ nhưng không ưu tiên cách giải này, giáo
viên không cho điểm và giáo viên cho điểm thấp. Dẫn đến, học sinh sẽ không nghĩ đến
công cụ vectơ để giải nếu đề bài không có kí hiệu vectơ hoặc yêu cầu giải bằng
phương pháp vectơ. Chúng tôi sẽ kiểm chứng bằng thực nghiệm được trình bày rõ
trong phần 2.
Trên thực tế, ý đồ của sách giáo khoa là chỉ đưa vectơ vào để chứng minh định lý cơ
bản ngắn hơn. Từ đó, chúng tôi cho rằng giáo viên và học sinh ít huy động công cụ
vectơ như là một công cụ kỹ thuật.
Dựa vào kinh nghiệm bản thân và xin ý kiến giáo viên, chúng tôi nhận thấy một số
giáo viên vẫn biết sự tối ưu của lời giải vectơ nhưng vẫn không chọn với bốn lý do :
- Giáo viên nghĩ đã là hình học không gian thì phải vẽ hình. Một số giáo viên đòi
hỏi, yêu cầu học sinh phải huy động kiến thức để vẽ hình trong không gian nhưng

37. 34
vectơ lại giúp cho học sinh tránh được vẽ hình. Như vậy, giáo viên muốn ưu tiên hình
học tổng hợp.
- Nếu giáo viên dạy cả hai phương pháp thì học sinh sẽ bị nhiễu. Họ chọn một trong
hai để học sinh không bị nhiễu. Đây là sự lựa chọn sư phạm của giáo viên
- Công cụ vectơ làm lời giải ngắn gọn nhưng quá trình tìm ra lời giải bằng vectơ
mất nhiều thời gian, tức là vectơ cho phép biến đổi rất nhiều nhưng nó có một nhược
điểm là việc biến đổi đó không giúp cho học sinh định hướng là học sinh phải làm gì,
phải làm như thế nào? Trong khi đó phương pháp tổng hợp có quy trình giải rõ ràng.
- Do thể chế ưu tiên cho kỹ thuật hình học tổng hợp.
Nhưng nếu ta bồi dưỡng, dành nhiều thời gian cho học sinh làm các dạng bài tập
trên thì học sinh sẽ có kỹ năng.
Trong phần bài tập, chúng tôi nhận thấy tác giả sách giáo khoa chỉ muốn học sinh
hiểu và biết sử dụng vectơ vào giải một số bài toán hình học không gian ở mức độ giới
thiệu (có 13 kiểu nhiệm vụ nhưng mỗi kiểu nhiệm vụ có ít bài tập áp dụng) mà không
khai thác hết lợi ích của vectơ sau đó. Đặc biệt, dự định của tác giả muốn đưa vectơ
vào xây dựng mối quan hệ vuông góc nhưng số bài tập liên quan đến sự vuông góc chỉ
có 8 câu nhỏ và nó không còn xuất hiện về sau. Do số lượng bài tập sử dụng công cụ
vectơ vào giải một số bài toán hình học không gian không nhiều và các đề thi Cao
đẳng, Đại học cũng không có câu nào tạo điều kiện sử dụng công cụ vectơ để giải nên
giáo viên và học sinh ít quan tâm đến vectơ và không tạo thói quen vận dụng vectơ vào
giải các bài toán hình học không gian lớp 11.
Vậy, vấn đề đặt ra là khi nào vectơ được chấp nhận và không được chấp nhận trong
hình học không gian lớp 11, nghĩa là điều kiện ràng buộc để học sinh sử dụng công cụ
vectơ trong giải toán hình học không gian lớp 11 là gì?
1.3. Điều kiện ràng buộc để học sinh sử dụng công cụ vectơ.
Qua những gì đã phân tích và khảo sát ở trên, chúng tôi ghi nhận những điều kiện
ràng buộc để học sinh sử dụng công cụ vectơ trong giải các bài toán hình học không
gian lớp 11 như sau:
Đa số giáo viên chỉ huy động công cụ vectơ để chứng minh quan hệ vuông góc. Do
đó, khi gặp những dạng bài tập liên quan đến vuông góc và trong đề bài phải có ít nhất
một vectơ thì học sinh mới quan tâm đến công cụ vectơ để giải.

38. 35
Do thể chế ít quan tâm đến công cụ vectơ và các đề thi học kì, cao đẳng, đại học
cũng không tạo điều kiện để những dạng bài tập có thể giải bằng phương pháp vectơ
trong hình học không gian lớp 11 xuất hiện. Dẫn đến, giáo viên ít quan tâm đến công
cụ vectơ, ít để ý và ít hướng dẫn học sinh làm hết các bài tập trong sách giáo khoa và
một số bài tập trong sách bài tập có liên quan đến vectơ. Do đó, học sinh cũng không
có kỹ năng và không quan tâm đến công cụ vectơ khi giải các bài toán hình học không
gian.
1.4. Kết luận.
Qua những gì đã phân tích ở trên, chúng tôi đã đưa ra được bốn kết luận sau:
Mục đích của tác giả sách giáo khoa đưa vectơ vào để xây dựng mối quan hệ vuông
góc và biết sử dụng vectơ giải một số bài toán nhất định nhưng sự thể hiện trong sách
giáo khoa và sách bài tập không đủ với mục đích đó. Điều đó được thể hiện qua phần
bài học chỉ hướng dẫn duy nhất một chứng minh định lý về điều kiện cần và đủ để
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và có đến 13 kiểu nhiệm vụ nhưng mỗi kiểu
nhiệm vụ có số lượng bài tập ít (trong đó số lượng bài tập chứng minh sự vuông góc
cũng ít). Dẫn đến, giáo viên cũng không tạo điều kiện thuận lợi cho vectơ xuất hiện
trong các bài toán hình học không gian lớp 11. Vậy, có độ lệch giữa ý đồ của tác giả
với sự thể hiện của sách giáo khoa, sách bài tập và thực tế giảng dạy của giáo viên.
Khi xin ý kiến giáo viên xem giáo viên nghĩ đến công cụ vectơ để giải những dạng
bài tập nào thì kết quả lựa chọn nhiều nhất là chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Điều này chứng tỏ, gần như có một quan hệ mặc định giữa giáo viên với khái niệm
vectơ là giáo viên chỉ nghĩ đến quan hệ vuông góc.
Do giáo viên và học sinh ít quan tâm đến công cụ vectơ khi giải các bài toán hình
học không gian lớp 11 nên để học sinh sử dụng công cụ vectơ giải thì đề bài phải có
các kí hiệu vectơ hoặc yêu cầu giải bằng phương pháp vectơ. Như vậy, khi dùng
ngôn ngữ biểu đạt là ngôn ngữ tổng hợp thì gần như là giáo viên và học sinh sẽ
không nghĩ đến công cụ vectơ.
Mặc dù giáo viên vẫn biết công cụ vectơ sẽ làm lời giải của một số bài toán hình
học không gian lớp 11 ngắn gọn, đơn giản hơn nhưng giáo viên không huy động dẫn
đến học sinh cũng không huy động vectơ giải. Lời giải huy động công cụ vectơ có
thể được chấp nhận nhưng không được uư tiên.

39. 36
2. Đánh giá của giáo viên đối với lời giải dùng kỹ thuật vectơ.
Để làm rõ hơn những điều vừa phát biểu trong phần kết luận ở trên, chúng tôi đã
tiến hành thực nghiệm với hình thức xin ý kiến giáo viên và phát phiếu học tập cho
học sinh.
2.1. Giới thiệu thực nghiệm
2.1.1. Mục đích thực nghiệm
2.1.1.1. Thực nghiệm dành cho giáo viên
Thông qua phiếu xin ý kiến giáo viên, chúng tôi muốn tìm hiểu xem trong quá trình
giảng dạy thì giáo viên
- đánh giá và chấp nhận lời giải vectơ đối với một số dạng toán lạ ở mức độ nào;
- sẽ ưu tiên phương pháp tổng hợp hay phương pháp vectơ để giải một bài toán hình
học không gian lớp 11.
2.1.1.2. Thực nghiệm dành cho học sinh
Thông qua bài tập trong phiếu điều tra, chúng tôi muốn biết học sinh
- sẽ ưu tiên phương pháp tổng hợp hay phương pháp vectơ trong lời giải của các bài
toán hình học không gian lớp 11 mà đề bài cho theo ngôn ngữ tổng hợp;
- hiểu, biết và sử dụng công cụ vectơ ở mức độ nào trong một số bài toán hình học
không gian lớp 11.
2.1.2. Kế hoạch thực nghiệm
2.1.2.1. Phiếu xin ý kiến giáo viên
Chúng tôi nhận thấy giáo viên có ảnh hưởng nhiều đến học sinh nên chúng tôi đã
gửi phiếu thăm dò ý kiến đến 25 giáo viên ở các trường trung học khác nhau ở Bình
Thuận, Thành phố Hồ Chí Minh để khẳng định và làm rõ việc trong thực tế dạy học lời
giải huy động công cụ vectơ có thể được chấp nhận nhưng không được uư tiên.
2.1.2.2. Phiếu điều tra học sinh
Chúng tôi đã thực nghiệm đối với 60 học sinh lớp 11 ở trường THPT chuyên Trần
Hưng Đạo, tỉnh Bình Thuận sau khi học xong chương “Vectơ trong không gian. Quan
hệ vuông góc trong không gian”.
Học sinh làm bài cá nhân trên giấy có sẵn đề bài do chúng tôi phát sẵn. Bài làm của
học sinh sẽ được thu lại để phân tích (kèm theo giấy nháp). Học sinh làm 2 bài toán
trong 30 phút dưới sự giám sát của người làm thực nghiệm.

40. 37
2.2. Phiếu xin ý kiến giáo viên ở trường phổ thông
2.2.1. Phân tích tiên nghiệm
Trong phiếu xin ý kiến giáo viên, bài toán được cho kèm theo hai lời giải. Giáo
viên được đề nghị cho điểm và nhận xét về lời giải đó; sau đó giáo viên đưa ra sự lựa
chọn lời giải ưu tiên.
Câu hỏi. Xét bài toán sau:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và A’D’. Xác định vị trí
giao điểm K của đường thẳng B’D và mặt phẳng (CMN).
Dưới đây là hai lời giải của hai học sinh:
Lời giải 1.
Ta có:

DA =

DM +

MA =

DM –
1
2

DC (do M là trung điểm AB )

DD' =

DN +

ND' =

DN –
1
2

DA =

DN –
1
2

DM +
1
2

DC (do N là trung điểm AD)
Đặt

DK = n

DB' . Theo qui tắc hình hộp ta có:

DK = n

DB' = n(

DA +

DC +

DD' ) =
n(

DM –
1
2

DC +

DC +

DN –
1
2

DM +
1
2

DC ) = n(
3
4

DC +

DN +
1
2

DM ).
Vì K ∈ (MNC) nên ta suy ra n.(
3
4
+ 1 +
1
2
) = 1 ⇔ n =
4
9
. Do đó

DK =
4
9

DB'
Vậy, K là điểm thuộc đoạn thẳng B’D với
KD
B'D
=
4
9
.
Lời giải 2.
C’B’
A’
D
CM
B
A
D’N
K
CB
A’
D
C
M
B
A
DN
K
I
O
O
F
EJ
H