Download luận văn thạc sĩ ngành giáo dục học với đề tài: Khả năng phát triển bài toán mới của học sinh khi học hình học ở trường phổ thông 50000617

1. ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
HÀ THỊ NI NA
KHẢ NĂNG PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN MỚI
CỦA HỌC SINH KHI HỌC HÌNH HỌC
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thừa Thiên Huế, 2016

2. i
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
HÀ THỊ NI NA
KHẢ NĂNG PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN MỚI
CỦA HỌC SINH KHI HỌC HÌNH HỌC
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Chuyên ngành: Lí luận và Phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 01 11
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TS ĐÀO TAM
Thừa Thiên Huế, 2016

3. ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực,
được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố
trong bất kỳ một công trình nào khác.
Họ tên tác giả
(Chữ ký)
Hà Thị Ni Na

4. iii
Lời Cảm Ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
GS.TS Đào Tam đã tận tình hướng dẫn, hết lòng
giúp đỡ trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn
thành luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô
giáo trong khoa Toán, đặc biệt các thầy cô trực tiếp
giảng dạy chuyên ngành Lí luận và phương pháp dạy
học bộ môn Toán của trường Đại học sư phạm Huế
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập,
thực hiện và hoàn thành luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới Ban giám hiệu
cùng gia đình bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện
giúp đỡ trong quá trình thực hiện đề tài.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể
tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được sự
góp ý của quý thầy cô và các bạn.
Huế, tháng 10 năm 2016
Tác giả
Hà Thị Ni Na

5. 1
MỤC LỤC
Trang bìa phụ ...........................................................................................................i
Lời cam đoan...........................................................................................................ii
Lời cảm ơn.............................................................................................................iii
Mục lục ...................................................................................................................1
Danh mục những từ viết tắt trong luận văn ..............................................................3
Danh mục bảng .......................................................................................................4
MỞ ĐẦU................................................................................................................5
1. Tầm quan trọng và cơ sở của đề tài:.................................................................5
2. Mục tiêu nghiên cứu: .......................................................................................8
3. Câu hỏi nghiên cứu:.........................................................................................9
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:......................................................................................9
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: ...................................................................9
6. Giả thuyết khoa học: ........................................................................................9
7. Phương pháp nghiên cứu:...............................................................................10
8. Ý nghĩa nghiên cứu:.......................................................................................10
9. Cấu trúc luận văn:..........................................................................................11
Chương 1. THỰC TRẠNG VỀ HOẠT ĐỘNG PHÁT TRIỂN KIẾN THỨC
SGK HÌNH HỌC THPT HIỆN NAY. ................................................................12
1.1. Bối cảnh hiện tại của việc dạy học một bài toán mới trên cơ sở thuyết kiến
tạo Toán học. ....................................................................................................12
1.2. Mục tiêu của việc khảo sát: .........................................................................13
1.3. Đối tượng khảo sát:.....................................................................................13
1.4. Nội dung khảo sát: ......................................................................................13
1.5. Phương thức khảo sát:.................................................................................13
1.6. Kết quả: ......................................................................................................13
1.7. Ghi nhận và đặt vấn đề................................................................................14
1.8. Các thuật ngữ chính. ...................................................................................15
Chương 2. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC DẠNG
HOẠT ĐỘNG PHÁT TRIỂN KIẾN THỨC......................................................16
2.1. Lí thuyết nền tảng của việc dạy học phát triển khả năng tư duy Toán học
trong dạy học giải quyết vấn đề liên quan đến phát triển kiến thức Toán học: ....16
2.1.1. Nguyên lí về sự phát triển.....................................................................16
2.1.2. Quy luật lượng và chất:.........................................................................17

6. 2
2.1.3. Quy luật mâu thuẫn...............................................................................19
2.1.4. Các cặp phạm trù của triết học duy vật biện chứng: ..............................22
2.2. Một số vấn đề tâm lí học liên quan đến phát triển kiến thức toán học:.........28
2.2.1. Tâm lí học hoạt động:...........................................................................28
2.2.2. Hoạt động nhận thức của học sinh trong dạy học Toán: ........................28
2.2.3. Hoạt động nhận thức theo quan điểm thích nghi trí tuệ .........................30
2.2.4. Các tri thức thuộc phạm trù triết học duy vật biện chứng: .....................30
2.3. Một số phương pháp dạy học gắn liền với hoạt động phát triển kiến thức: ..32
2.3.1. Một số kiến thức về lí thuyết kiến tạo trong dạy học:............................32
2.3.2. Một số vấn đề dạy học khám phá:.........................................................40
2.3.3 Khảo sát Toán học:................................................................................42
Chương 3. TỔ CHỨC CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG THỨC HOẠT
ĐỘNG PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN MỚI CHO HỌC SINH TRONG CHƯƠNG
TRÌNH PHỔ THÔNG.........................................................................................45
3.1. Cơ sở đề ra các phương thức:......................................................................45
3.2. Một số phương thức hoạt động phát triển bài toán mới cho học sinh trong
chương trình phổ thông......................................................................................45
3.2.1. Xây dựng bài toán mới bằng cách sử dụng khái quát hóa......................45
3.2.2. Xây dựng bài toán mới bằng cách sử dụng tương tự hóa.......................49
3.2.3. Xây dựng bài toán mới bằng cách sử dụng hoạt động liên tưởng. .........52
3.2.4. Xây dựng bài toán mới bằng cách sử dụng hoạt động thay đổi giả thiết và
kết luận của bài toán.......................................................................................58
3.2.5. Xây dựng bài toán mới bằng cách phát triển quy luật từ những hoạt động
thực tiễn ( các bài toán trong chương trình đánh giá PISA).............................66
3.2.6. Xây dựng bài toán mới bằng cách chuyển hóa toán cao cấp sang ngôn
ngữ toán phổ thông.........................................................................................68
Chương 4. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM............................................................79
4.1. Mục đích thí nghiệm: ..................................................................................79
4.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm: ..............................................................79
4.3. Kết quả thực nghiệm:..................................................................................82
4.3.1. Phân tích tiên nghiệm: ..........................................................................82
4.3.2. Phân tích hậu nghiệm: ..........................................................................83
KẾT LUẬN CHUNG...........................................................................................84
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................85
PHỤ LỤC.............................................................................................................P1

7. 3
DANH MỤC NHỮNG TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt Viết đầy đủ
CM Chứng minh
GV Giáo viên
HS Học sinh
THPT Trung học phổ thông
TN Thực nghiệm
Tr Trang
SGK Sách giáo khoa

8. 4
DANH MỤC BẢNG
Bảng 4.1 Bảng thống kê điểm số của bài kiểm tra số 1 và 2...................................82

9. 5
MỞ ĐẦU
1. Tầm quan trọng và cơ sở của đề tài
Dạy toán là tổ chức một hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán
là công việc chủ yếu. Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, ngoài việc trang
bị tốt hệ thống kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, giáo viên cần
hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng kết quả những bài toán đơn giản và
xây dựng bài toán gốc để giải một loạt các bài toán liên quan. Điều này giúp học
sinh tự tìm tòi suy nghĩ ra những bài toán mới và có những cách giải sáng tạo.
Theo quan điểm của Jean Piaget (1997) các tri thức phát sinh từ hoạt động,
không theo nghĩa những liên tưởng đáp lại giản đơn, mà phải theo một nghĩa sâu
sắc hơn nhiều, nghĩa đồng hóa thực tại vào những phối hợp cần thiết và tổng quát
của hoạt động. Biết một đối tượng là tác động lên nó và thay đổi nó để nắm bắt
những cơ chế của những biến đổi gắn liền với chính những hoạt động biến đổi đó.
Hơn thế nữa, vẻ đẹp của Toán học không chỉ dừng lại ở đó. Gorge Polya (1944) cho
rằng một phát minh khoa học lớn cho phép giải quyết một vấn đề lớn, nhưng ngay
cả trong việc giải một bài toán cũng có ít nhiều phát minh. Bài toán mà anh giải có
thể là bình thường, nhưng nếu nó khơi gợi được trí tò mò và buộc anh phải sáng tạo,
và nếu tự mình giải quyết được bài toán đó thì anh có thể biết được cái quyến rũ của
sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi. Vậy bằng cách nào? Chúng ta nhờ một “liên
hệ” hay là “liên tưởng”, có nghĩa là điều mà chúng ta đang suy nghĩ quan tâm tới
trong lúc này có khuynh hướng gợi lại trong trí nhớ của ta, cái có liên quan với nó
trước kia. Bằng cách biến đổi bài toán, chúng ta mang lại những chi tiết mới, những
khả năng mới làm sống lại trong trí nhớ những cái gì liên quan đến bài toán của ta.
Trong chương trình đổi mới sách giáo khoa và phương thức giảng dạy hiện
nay , học sinh chủ động trong mọi hoạt động học tập và lĩnh hội tri thức, việc kích
thích tính học tập chủ động của học sinh là rất cần thiết trong từng tiết dạy lý thuyết
và đặc biệt là tiết luyện tập , ôn tập đòi hỏi người giáo viên luôn luôn sáng tạo trong
từng bài dạy từng tiết dạy để tránh việc " thông báo kiến thức " , ''chữa bài tập'' qua
đó học sinh thấy hứng thú và chủ động tìm tòi cái mới từ cái đã có.

10. 6
Để làm được điều này người giáo viên phải tạo ra được cái mới từ những cái
đã có bằng việc đào sâu mở rộng khai thác một cách triệt để từ những cái ban đầu , có
thể khó thì ta làm dễ đi để đơn giản hoặc từ dễ ta tổng hợp lên để nó thích ứng được với
từng đối tượng ,hoặc tạo ra những bài toán có nhiều tình huống gắn được với thực tế .
Để đáp ứng những yêu cầu trên nghiên cứu sau đây sẽ đưa ra một vài phương
pháp , vài ví dụ nhằm dẫn đến những tình huống mới , những bài toán mới trong các
tiết dạy lý thuyết đặc biệt là tiết luyện tập, ôn tập.
Giải toán là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ logic giữa cái đã
cho và cái chưa biết (giữa giả thiết và kết luận). Mỗi bài toán có một cách giải, cách
suy luận riêng nên khi đứng trước một bài toán học sinh thường không biết bắt đầu
từ đâu? Phải làm như thế nào? Trong quá trình giảng dạy cho học sinh, chúng ta
không thể dạy hết cho học sinh tất cả các bài tập cũng như các em không thể làm
hết các bài tập đó. Vì vậy để tạo mối liên hệ giữa các bài tập, khi hướng dẫn cho
học sinh giải một bài toán, giáo viên không nên chỉ dừng lại ở một bài toán cụ thể,
mà sau khi giảng dạy bài toán này, học sinh có thể giải quyết được một loạt các vấn
đề liên quan. Quá trình này phải bắt đầu từ các bài toán đơn giản đến phức tạp để
rèn luyện kĩ năng tư duy cho học sinh. Như nhà toán học Đề- các đã nói “ Mỗi vấn
đề mà tôi giải quyêt đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề
khác”. Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học khi phân tích, định hướng tìm lời giải
cho các bài toán khác và đặc biệt là củng cố cho các em lòng tin vào khả năng giải
toán của mình.
Trong chương trình phổ thông hiện nay, với khối lượng kiến thức khá lớn,
các em học sinh đang ở độ tuổi phát triển, khả năng tư duy, khái quát còn hạn chế,
do đó đứng trước cái bài toán không quen biết thường gây khó khăn cho các em. Vì
vậy người giáo viên phải có phương pháp phù hợp giúp mỗi học sinh có thể tự tin
trong học tập và sáng tạo. Nhưng phần lớn khi hướng dẫn cho học sinh giải toán
giáo viên thường dừng lại ở việc tìm ra kết quả. Chúng ta chưa có thói quen khai
thác một bài toán thành một chuỗi các bài toán liên quan hoặc hướng dẫn học sinh
xây dựng các bài toán mới từ bài toán ban đầu. Điều này làm cho học sinh khó tìm
được mối liên hệ trong các kiến thức đã học, cho nên khi bắt đầu giải một bài toán,

11. 7
học sinh không biết bắt đầu từ đâu? Cần vận dụng kiến thức nào? Bài toán có liên
quan đến những bài toán nào đã gặp?
Với niềm đam mê toán học và mong muốn nâng cao hiệu quả công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi, việc đưa ra một bài toán đơn giản trong sách giáo khoa để giới
thiệu cách khai thác kết quả, mở rộng bài toán và cách xây dựng bài toán gốc để
giải một loạt các bài toán liên quan là điều thú vị và bổ ích. Nhận thấy đây là một
phương pháp khoa học và hiệu quả. Quá trình này bắt đầu từ các bài toán đơn giản
đến phức tạp, là bước đi phù hợp để rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh.
Hơn nữa, Việc đổi mới giáo dục Toán học hiện nay coi trọng hướng phát
triển năng lực người học. Môt số năng lực được nhấn mạnh hàng đầu như: Năng lực
phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực tư duy Toán học( tư duy logic, tư duy độc
lập, tư duy sáng tạo ...vv),năng lực tự học, năng lực giao tiếp,vv… Việc nghiên cứu
Đề tài nhằm vào việc luyện tập các hoạt động góp phần phát triển các năng lực nêu
trên, các hoạt động như vậy, chẳng hạn: họat động khảo sát các trường hợp
riêng,thông qua phân tích, tổng hợp. so sánh , khái quát hóa, tổng quát hóa để đề
xuất giả thuyết, đề xuất các phán doán mới. Việc tìm tòi phát hiện bài toán mới đòi
hỏi giáo viên tạo cơ hội rèn luyện cho HS các loại suy luận như: Suy luận có lý suy
luận quy nạp, suy luận ngoại suy, suy luận diễn dịch. Ngoài ra nếu được tổ chức cho
HS hoạt động theo nhóm tiến hành tương tác với các tình huống để phát triển bài
toán mới do GV thiết kế thì sẽ góp phần phát triển năng lực giao tiếp cho HS. Khi
HS hoạt động có hiệu quả và được sự đánh giá khích lệ của GV thì sẽ gây hứng thú
học tập cho các em, tạo cho các em niềm tin vào khả năng của mình.. Nếu tổ chức
tốt các hoạt động phát triển BT mới thì sẽ góp phần cài đặt vào hoạt động ôn tập
chương, cuối năm, tổ chức ngoại khóa Toán tốt hơn .
Mặc dù đã có nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến việc xác định và luyện
tập cho học sinh phát triển kiến thức trong sách giáo khoa, nhưng đây là vấn đề cần
được tiếp tục nghiên cứu về cả phương diện lí luận và triển khai trong thực tiễn dạy
học. Từ những lý do trên đây, tôi quyết định lựa chọn đề tài nghiên cứu luận văn là:
“ Khả năng phát triển bài toán mới của học sinh khi học hình học ở trường
phổ thông”.

12. 8
2. Mục tiêu nghiên cứu
Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ môn hình học nói
riêng thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài toán cơ bản dưới nhiều góc độ khác
nhau nhiều khi cho ta những kết quả khá thú vị. Ta biết rằng ở trường phổ thông,
việc dạy toán học cho học sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho họ.
Cụ thể như khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học
sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việc không kém phần quan
trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào các hoạt động toán học. Đây là một
hoạt động mà theo tôi, thông qua đó dạy cho học sinh phương pháp tự học - Một
nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên đứng lớp . Xuất phát từ quan điểm trên,
vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác một bài toán cơ bản trong sách giáo
khoa để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao đến bài
toán khó là một hoạt động không thể thiếu đối với người giáo viên. Từ những bài
toán chuẩn kiến thức, giáo viên không dừng ở việc giải toán. Việc khai thác một số
bài toán hình học cơ bản trong SGK không những góp phần rèn luyện tư duy cho
HS khá giỏi mà còn tạo chất lượng, phù hợp với giờ học, gây hứng thú cho HS ở
nhiều đối tượng khác nhau.
Từ mục tiêu chung lâu dài trên, trong nghiên cứu này, tôi xin hướng đến các
mục tiêu cụ thể sau:
BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG SÁCH GIÁO KHOA THPT
KHÁIQUÁTHÓA
TƯƠNGTỰHÓA
LIÊNTƯỞNG
THAYĐỔIGIẢITHIẾT
PHÁTTRIỂNQUY
LUẬTTỪHOẠTĐỘNG
THỰCTIỄN
CHUYỂNHÓATOÁNCAOCẤP
SANGNGÔNNGỮTOÁN
PHỔTHÔNG
BÀI TOÁN MỚI

13. 9
 Xác định các dạng hoạt động phát triển bài toán mới.
 Tạo cơ hội để học sinh có động cơ bên trong cho hoạt động giải quyết,
phát triển bài toán mới.
 Giúp học sinh tiếp cận, phát hiện vấn đề, cách giải quyết một bài toán
hình học mới từ các bài tập trong sách giáo khoa THPT.
3. Câu hỏi nghiên cứu
3.1. Như thế nào là phát triển kiến thức SGK?
3.2. Có những hoạt động nào để phát triển kiến thức SGK?
3.3. Các phương thức, hình thức tổ chức các hoạt động phát triển kiến thức SGK
hình học phổ thông?
3.4. Giáo viên và học sinh găp những khó khăn gì khi tổ chức các hoạt động phát
triển kiến thức SGK?
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
4.1 Nghiên cứu những cách thức, những hướng tạo cơ hội giúp học sinh hoạt động
phát triển kiến thức SGK hình học phổ thông.
4.2 Nghiên cứu, khai thác tiềm năng SGK trong việc mở rộng tri thức hình học phổ
thông.
4.3 Luyện tập cho học sinh các hoạt động phát triển kiến thức trong chương trình
SGK hình học phổ thông.
4.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi, tính hiện thực, tính
hiệu quả của đề tài.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
5.1 Đối tượng nghiên cứu: Xác định các dạng hoạt động phát triển kiến thức SGK
và đề xuất phương thức tổ chức các hoạt động đó.
5.2 Phạm vi nghiên cứu: Cụ thể hóa quá trình dạy học Toán thông qua tác động
của giáo viên và học sinh với nội dung dạy học hướng vào việc khai thác nội dung
SGK hình học phổ thông theo hướng khắc sâu.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định và luyện tập cho học sinh các hoạt động phát triển kiến thức
SGK hình học phổ thông thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở trường
THPT theo hướng đổi mới giáo dục hiện nay.

14. 10
7. Phương pháp nghiên cứu
Đây là một đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ, thể hiện vẻ đẹp của Toán
học, mà đặc biệt là hình học, nó giúp học sinh phát triển khả năng tư duy sáng tạo.
Nếu vấn đề này được quan tâm thường xuyên trong dạy học thì chắc chắn rằng việc
đào tạo học sinh sẽ có nhiều hiệu quả. Trong thực tế, có rất nhiều bài toán mà trong
khi giải có thể tìm ra được nhiều ý tưởng hay, độc đáo để có thể từ đó sang tạo nên
chuỗi những bài toán liên quan với nhau. Từ sơ đồ nêu trên kết hợp với nền tàng lí
thuyết cơ bản của kiến tạo toán học để tiến hành nghiên cứu thiết kế các chuỗi bài
tập mới suy ra từ các bài tập có sẵn trong sách giáo khoa THPT, đồng thời tạo môi
trường học tập thúc đẩy tính tích cực chủ động để học sinh dần dần hình thành thói
quen tư duy sáng tạo và giải quyết bài toán mới,… Cụ thể, thiết kế nghiên cứu của
tôi bao gồm:
 Tổ chức khung lí thuyết tham chiếu và thiết kế hệ thống một số bài toán
mới từ các bài toán hình học có sẵn trong sách giáo khoa THPT theo các
hướng nghiên cứu khác nhau.
 Thực nghiệm quan sát lớp học: việc tổ chức buổi thực nghiệm dựa trên
chu trình dạy học với hệ thống bài toán đã xây dựng ở trên.
 Bảng hỏi cá nhân, phiếu nhận xét, đánh giá việc học các bài toán hình học
mới từ bài toán đã có trong sách giáo khoa.
8. Ý nghĩa nghiên cứu
Đổi mới phương pháp dạy học là một quá trình, mỗi giáo viên cần có ý thức tìm
tòi những phương pháp dạy học mới, lấy học sinh làm trung tâm, tích cực hóa các
hoạt động của học sinh trong từng quá trình học tập. Và việc mở rộng tìm tòi các
bài toán quen thuộc trong sách giáo khoa phổ thông để thành các bài toán mới sẽ
giúp học sinh: củng cố hệ thống kiến thức cơ bản và nâng cao, phát triển tư duy, khả
năng sáng tạo; gây hứng thú trong quá trình học tập; cho học sinh niềm tin khi phải
đối mặt với bài toán khó và lạ; giúp học sinh có thái độ tích cực khi học toán, không
xem thường các bài toán đơn giản vì nó là bắt đầu của sự sáng tạo, để tìm tòi khám
phá bài tập mới, từ đó kiến thức toán học được nâng cao.

15. 11
“ Trong cuộc sống không có cái tầm thường cũng như trong toán học không có
bài toán nào là tầm thường cả, trước mỗi bài toán hãy nắm bắt nhanh các yếu tố và
định hướng trong suy nghĩ”
Có lẽ đó là một kinh nghiệm hay cho dạy học môn toán!
9. Cấu trúc luận văn:
Ngoài phần mở đâu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có 4 chương.

16. 12
Chương 1
THỰC TRẠNG VỀ HOẠT ĐỘNG PHÁT TRIỂN KIẾN THỨC
SGK HÌNH HỌC THPT HIỆN NAY
1.1. BỐI CẢNH HIỆN TẠI CỦA VIỆC DẠY HỌC MỘT BÀI TOÁN MỚI
TRÊN CƠ SỞ THUYẾT KIẾN TẠO TOÁN HỌC
Với mục tiêu tìm hiểu nhận thức của giáo viên về những hoạt động phát triển
kiến thức SGK, tập duyệt cho học sinh một số cách thức hoạt động phát triển kiến
thức SGK. Trên cơ sở đó, đề xuất các phương thức phát triển kiến thức SGK hình
học THPT nhằm phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh và mở rộng
tiềm năng SGK.
Đã có một số bộ phận giáo viên xác định và tổ chức các phương thức hoạt
động phát triển kiến thức cho học sinh. Chuẩn bị chu đáo về giáo án, đồ dùng dạy
học, sử dụng các phần mềm hỗ trợ trong dạy học... tạo được sự hứng khởi và thích
thú trong học tập môn Toán. Nhưng về số lượng các tiết học như vậy không nhiều.
Căn cứ vào kết quả khảo sát thấy rằng, đa số giáo viên có một số hiểu biết nhất định
về việc xác định các hoạt độngg phát triển kiến thức SGK nên dẫn đến việc luyện
tập cho học sinh các hoạt động phát triển kiến thức SGK chưa nhiều. Phần lớn giáo
viên cho rằng khó khăn về mặt thời gian và trình độ Toán học của học sinh không
đồng đều. Thực tế cho thấy rằng đa số giáo viên còn chưa thật chu đáo trước khi lên
lớp giảng bài cụ thể là việc xây dựng câu hỏi gợi vấn đề chưa thật phù hợp với kiến
thức vốn có của học sinh, cũng như chưa phát huy tính chủ động và sáng tạo của
học sinh.
Chương trình SGK có những dạng bài tập thì giáo viên cố gắng giải càng
nhiều càng tốt. Vì thế để có đủ thời gian cho giáo viên thuyết trình nhiều mà ít tổ
chức cho học sinh hoạt động kiến tạo. Dẫn đến học sinh lười suy nghĩ, tiếp thu kiến
thức mọt cách thụ động, yếu kĩ năng kiến tạo kiến thức, yếu kĩ năng phát hiện vấn
đề, học sinh chưa có thói quen tìm tòi, khai thác các vấn đề mới từ những cái đã biết
đã học,... Đối với những bài toán mới , giáo viên thường áp đặt cách giải quyết vấn
đề, không đưa ra những cơ sở của lời giải, không tập luyện cho học sinh hoạt động

17. 13
tìm tòi, tương tự hóa, khái quát hóa,... Vì vậy học sinh thường áp dụng một cách
máy móc hoặc bế tắc không giải được những bài toán tương tự khi các bài toán thay
đổi các dữ kiện.
1.2. MỤC TIÊU CỦA VIỆC KHẢO SÁT
-Tìm hiểu nhận thức của đội ngũ GV, HS ở trường THPT đối với vị trí, vai
trò, tầm quan trọng của việc khắc sâu kiến thức SGK, rèn luyện khả năng phát triển
bài toán mới trong SGK hình học THPT.
-Tìm hiểu thực trạng các hình thức hoạt động của GV và HS đối với việc
phát trển bài toán mới trong SGK hình học THPT.
1.3. ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT
Đối tượng khảo sát là GV dạy Toán bậc THPT và học sinh ở trường THPT
trên địa bàn tỉnh Thừa Thiên Huế.
1.4. NỘI DUNG KHẢO SÁT
Tìm hiểu thức trạng vấn đề nghiên cứu trên các phương diện:
-Mức độ giáo dục ý thức tự giác trong học tập của học sinh;
-Mức độ vận dụng phương pháp dạy học theo hướng khắc sâu kiến thức của
giáo viên;
-Thực trạng các hình thức tổ chức hoạt động phát triển bài toán mới từ SGK
hình học THPT.
1.5. PHƯƠNG THỨC KHẢO SÁT:
-Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm cho giáo viên.
-Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh.
1.6. KẾT QUẢ:
*) Đối với giáo viên:
-Về mặt nhận thức: Nhìn chung các GV nhận thức được rằng hướng dẫn học
sinh tự học, khắc sâu và phat triển kiến thức là rất quan trọng và cần thiết. Bởi vì
thông qua hoạt động này sẽ góp phần nâng cao chất lượng học tập ở HS.
-Về mặt thực tiễn: Tuy nhiên thực tiễn lại chưa đạt được như mong đợi. Điều
này một phần nguyên nhân do nội dung chương trình ôm đồm, hạn hẹp về thời gian,
kiến thức dạy học hợp tác của GV nhìn chung còn yếu. Khẳng định rằng để việc học

18. 14
tập đạt hiệu quả tốt, GV cần có sự định hướng và giao nhiệm vụ cụ thể cho HS đồng
thời có biện pháp nhằm động viên, khích lệ HS học tập một cách chủ động, tích cực
và hứng thú.
*)Đối với học sinh:
Bên cạnh một số HS có phương pháp tự học, có mục đích học tập đúng đắn,
tích cực hứng thú trong việc tiếp cận và giải quyết vấn đề mớ thì còn một bộ phận
không nhỏ HS thụ động trong việc học, chưa tìm ra phương pháp học tập phù hợp.
1.7. GHI NHẬN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ
Theo chúng tôi: Khắc sâu một kiến thức SGK có nghĩa là làm cho học sinh
hiểu rõ được bản chất và ghi nhớ và ghi nhớ sâu sắc một nội dung kiến thức trong
SGK chẳng hạn, một khái niệm, một định lí hay một tính chất, một phương pháp. Có
các cách sau để khắc sâu kiến thức:
1)Hoạt động thể hiện: là hoạt động tạo một đối tượng thỏa mãn nội dung
khái niệm, định lí, hay tính chất, một phương pháp.
2)Hoạt động nhận dạng: là phát triển xem một đối tượng cho trước có thỏa
mãn nội dung khái niệm, định lí hay tính chất, một phương pháp đang nghiên cứu
hay không.
3)Hoạt động ngôn ngữ: phát biểu một khái niệm, giải thích một định lí, trình
bày một lời giải,... hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác, chẳng hạn từ
dạng kí hiệu toán sang dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngược lại.
4)Hoạt động trí tuệ chung, hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học: Khái
quát hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa, xét tương tự, lật ngược vấn đề, phân chia
trường hợp, chứng minh,...
*)Khái quát hóa: là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho
đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn.
*)Đặc biệt hóa: là việc chuyển từ nghiên cứu một tập hợp đối tượng nghiên
cứu đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp nêu trên.
5)Vận dụng.
Trên cơ sở đã khắc sâu kiến thức SGK chúng ta có thể phát triển kiến thức
SGK. Chúng tôi quan niệm: Phát triển kiến thức SGK có nghĩa là từ một nội dung

19. 15
kiến thức trong SGK mà mở rộng thêm, khái quát thêm hay đào sâu khai thác thêm,
từ đó đưa ra những kết quả mới. đẹp, thú vị, hoặc tìm tòi những cách chứng minh
khác với SGK nhưng ngắn gọn và hay. Nói cách khác khắc sâu và phát triển kiến
thức giúp HS hiểu rõ bản chất các vấn đề toán học trong SGK nên ghi nhớ kiến thức
SGK Toán một cách có hiệu quả. Khắc sâu và phát triển các kiến thức SGK thông
qua bài toán mới làm cho các phẩm chất tư duy của HS được bối dưỡng, rèm luyện
và tạo điều kiện cho sự phát triển trí tuệ. Từ đó giúp HS có thể học tập Toán một
cách chủ động, độc lập và sáng tạo; hình thành một sự kích thích bên trong đối với
việc học tập, mang lại cho học sinh nguồn vui, niềm hứng thú, say mê trong học tập
và nghiên cứu toán.
1.8. CÁC THUẬT NGỮ CHÍNH
- Bài toán mới (đối với học sinh) là bài toán kết quả của việc tìm tòi, chứng
minh bởi các hoạt động tư duy ( hoạt động phân tích, so sánh, khái quát hóa, đặc
biệt hóa,...) trên cở sở nền tảng kiến thức trong sách giáo khoa có trước. Bài toán đó
không có sẵn trong tài liệu giáo khoa và sách bài tập.
- Phát triển kiến thức SGK: kiến thức SGK là hệ thống các kiến thức khoa
học, chính xác được coi là kiến thức chuẩn, cơ bản nhất trong chương trình giáo dục
phổ thông. Việc dạy và học đều dựa vào đó làm nền tảng, làm chuẩn mực để tiến
hành các hoạt động giáo dục. Từ những kiến thức SGK, bằng các hoạt động dạy học
của mình, người giáo viên tổ chức, xây dựng, hình thành, phát triển kiến thức mới
ngoài chương trình.

20. 16
Chương 2
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC DẠNG
HOẠT ĐỘNG PHÁT TRIỂN KIẾN THỨC
2.1. LÍ THUYẾT NỀN TẢNG CỦA VIỆC DẠY HỌC PHÁT TRIỂN KHẢ
NĂNG TƯ DUY TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
LIÊN QUAN ĐẾN PHÁT TRIỂN KIẾN THỨC TOÁN HỌC
2.1.1. Nguyên lí về sự phát triển
a) Khái niệm:
Phép biện chứng duy vật cho rằng: Phát triển là quá trình vận động từ thấp
đến cao, từ đơn giản đến phức tạp, từ chưa hàn thiện đến hoàn thiện và phát triển là
khuynh hướng chung trong sự vận động của các sự vật và hiện tượng... Khái niệm
phát triển không khái quát mọi sự vận động nói chung. Nó chỉ khái quát những vận
động đi lên, sự xuất hiện cái mới theo chiều hướng chung là từ đơn giản đến phức
tạp, từ chưa hoàn thiện đến hoàn thiện. Không nên hiểu phát triển bao giờ cũng là
một quá trình đơn giản, thẳng tắp mà là con đường quanh co, phức tạp. Xét từng
trường hợp cá biệt thì có những vận động là đi lên tuần tự và đồng thời có những
vận động đi xuống hoặc thụt lùi. Nhưng về quá trình và trong phạm vi rộng lớn thì
vận động đi lên là khuynh hướng tất yếu. Chính vì vậy, phát triển là khuynh hướng
chung trong sự vận động của các sự vật và hiện tượng.
b) Tính chất của sự phát triển:
- Tính khách quan của sự phát triển: các sự vật, hiện tượng trong thế giới, dù thể
hiện dưới hình thức nào cũng là quá trình giải quyết mâu thuẫn vốn có của các sự vật,
hiện tượng, độc lập và không phụ thuộc vào ý thức con người. Con người chỉ có thể
nhận thức và vận dụng khuynh hướng chung của sự phát triển trên cơ sở phân tích, giải
quyết các mâu thuẫn của sự vật, hiện tượng trong hoạt động thực tiễn xã hội.
- Tính phổ biến của sự phát triển: không có sự vật, hiện tượng nào của thế giới
là không vận động và phát triển, đó là khuynh hướng chung. Vì vậy phát triển là một
quá trình vận động đi lên diễn ra trong tự nhiên, xã hội và tư duy của con người. Trong
đó sự xuất hiện của con người cũng chỉ là một quá trình lịch sử tự nhiên.

21. 17
- Tính đa dạng phong phú của sự phát triển: các sự vật hiện tượng đều gắn
liền với những điều kiện khách quan nhất định. Căn cứ tính đa dạng phong phú của
sự phát triển có thể phân chia sự phát triển như một quá trình xuất hiện cái mới có
tính giai đoạn, có tính lịch sử của nó. Sự xuất hiện cái mới luôn gắn liền với những
điều kiện khách quan nhất định. Trong đó, cái mới phù hợp với quy luật vận động
của sự phát triển của các sự vật và hiện tượng trong tự nhiên, xã hội và tư duy là
tiêu chuẩn của sự phát triển. Bởi, có những cái mới là cái khác với cái cũ hoặc quá
trình trước đó, nhưng không là tiêu chuẩn của sự phát triển vì nó không phù hợp
với quy luật vận động của các sự vật, hiện tượng trong tự nhiên, xã hội và tư duy.
2.1.2. Quy luật lượng và chất
Quy luật chuyển hóa từ sự thay đổi về lượng dẫn đến sự thay đổi về chất và
ngược lại ( gọi tắt là quy luật lượng- chất). Quy luật lượng – chất vạch ra cách thức
của sự vận động phát triển sự vật.
a)Khái niệm:
Chất dùng để chỉ những thuộc tính cơ bản , vốn có của sự vật, hiện tượng,
tiêu biểu cho sự vật hiện tượng đó, phân biệt nó với các sự vật hiện tượng khác.
Lượng : là khái niệm dùng để chỉ những thuộc tính cơ bản, vốn có của sự
vật, hiện tượng, biểu thị trình độ phát triển (cao, thấp), quy mô (to, nhỏ), vận động
(nhanh, chậm), số lượng (ít, nhiều) của sự vật, hiện tượng.
b) Mối quan hệ biện chứng giữa lượng và chất:
- Từ sự thay đổi về lượng dẫn đến sự thay đổi vầ chất.
Bất kì sự vật hiện tượng nào cũng là sự thống nhất giữa chất và lượng.
Chúng tác động qua lại lẫn nhau. Sự thống nhất hữu cơ giữa tính quy định về chất
và tính quy định về lượng gọi là độ. Độ là phạm trù dùng để chỉ sự thống nhất giữa
chất và lượng. Độ là giới hạn mà trong đó sự thay đổi về lượng của sự vật chưa làm
thay đổ căn bản về sự vật ấy. Trong độ, sự vật vẫn còn là nó chứ chưa biến thành
cái khác. Tại điểm giới hạn mà sự thay đổi về lượng đã đủ làm thay đổi về chất của
sự vật được gọi là điểm nút. Điểm nút là phạm trù để chỉ thời điểm mà tại đó sự
thay đổi về lượng đã làm thay đổi về chất của sự vật. Quá trình biến đổi của sự vật
được gọi là bước nhảy. Bước nhảy là phạm trù dùng để chỉ sự chuyển hóa về chất

22. 18
của sự vật do sự thay đổi về lượng của sự vật trước đó gây ra. Bước nhảy là sự kết
thúc một giai đoạn phát triển của sự vật và là khở đầu của một giai đoạn khác. Cứ
như vậy, quá trình vận động, phát triển của sự vật diễn ra theo cách thức từ sự thay
đổi về lượng dẫn đến thay đổi về chất một cách vô tận.
- Sự tác động trở lại của chất đối với lượng
Khi chất mới ra đời sẽ tác động trở lại lượng. Sự tác động ấy thể hiện: chất
mới có thể làm thay đổi kết cấu, quy mô, trình độ, nhịp điệu của sự vận động phát
triển của sự vật hiện tượng. Nghĩa là tạo điều kiện cho lượng mới xuất hiện. Như
vậy không chỉ những thay đổi mới về lượng mới dẫn đến sự thay đổi về chất, mà
những thay đổi về chất cũng dẫn đến sự thay đổi về lượng.
c) Những hình thức của bước nhảy vọt
Sự thay đổi về chất của sự vật hiện tượng hết sức đa dạng, phong phú với
nhiều hình thức khác nhau. Có thể quy thành hai hình thức cơ bản:
- Căn cứ vào nhịp điệu bước nhảy có đột biến và bước nhảy dần dần.
Bước nhảy đột biến: là bước nhảy thực hiện trong một thời gian rất ngắn làm
thay đổi chất của toàn bộ kết cấu cơ bản của sự vật.
Bước nhảy dần dần là bước nhảy thực hiện từ từ, bằng cách lích lũy dần dần
những nhân tố của chất mới và mất đi dần dần những nhân tố của chất cũ.
- Căn cứ vào quy mô thực hiện bước nhảy của sự vật có bước nhảy toàn bộ
và bước nhảy cục bộ. Bước nhảy toàn bộ là bước nhảy làm thay đổi chất của toàn
bộ các mặt, các yếu tố cấu thành sự vật. Bước nhảy cục bộ là bước nhảy làm thay
đổi chất của những mặt, những yếu tố riêng lẻ của sự vật, hiện tượng.
Kết luận:
Mọi sự vật hiện tượng là sự thống nhất giữa lượng và chất. Sự thay đổi dần
dần về lượng trong khuôn khổ của độ tới điểm nút sẽ dẫn đến sự thay đổi về chất
thông qua bước nhảy. Chất mới ra đời tác động lại đối với sự thay đổi của lượng.
Quá trình đó diễn ra liên tục làm cho sự vật không ngừng phát triển, biến đổi.
Trong quá trình dạy học Toán, nếu coi trọng đúng mức việc xây dựng và sử
dụng quy trình dạy học giải bài tập toán, người giáo viên sẽ tạo điều kiện cho học
sinh từng bước tích lũy kiến thức, hình thành các kĩ năng, kĩ xảo qua đó tạo ra nhận
thức mới cho bản thân. Giáo viên cần nắm vững quy luật biện chứng này nhằm phát

23. 19
hiện những bước chuyển hóa từ sự biến đổi về lượng dẫn tới sự biến đổi về chất.
Qua đó giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa “lượng” và “chất” của sự vật hiện
tượng, thấy được sự chuyển hóa của đối tượng Toán học cũng như trình độ nhận
thức của mình.
Ví dụ 2.1: Khi dạy về phần vecto trong mặt phẳng (Hình học 10) khi xây dựng
phần trọng tâm của hệ điểm, giáo viên cho các em khái quát hóa bài toán như sau:
Với hai điểm A, B thì có duy nhất điểm I sao cho: 0IA IB 
  
Với ba điểm A, B, C thì có duy nhất điểm I sao cho: 0IA IB IC  
   
Với bốn điểm A, B, C, D thì có duy nhất điểm I sao cho: 0IA IB IC ID   
    
Từ đó với học sinh khá, giỏi ta có thể mở rộng hệ n điểm: Với n điểm
1 2, ,... nA A A thì có duy nhất điểm I sao cho: 1 2 ... 0nIA IA IA   
   
Như vậy khi thay đổi sô lượng điểm (tức lượng đổi) thì bài toán chuyển hẳn
sang một bài toán khác (tức chất đổi) và quá trình giải chúng đã làm thay đổi nhận
thức của học sinh.
2.1.3. Quy luật mâu thuẫn
Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập (quy luật mâu thuẫn)
a) Nội dung:
- Mặt đối lập biện chứng:
+ Đó là hai mặt đối lập của nhau.
+ Cả hai mặt đối lập đó cùng tồn tại trong một sự vật, hiện tượng.
+ Cả hai mặt đối lập cùng tham gia tạo nên bản chất của sự vật hiện tượng.
-Mâu thuẫn biện chứng: là mối quan hệ của hai mặt đối lập biện chứng mà ở
đó có ba quá trình diễn ra:
+ Quá trình thống nhất: làm cho sự vật hiện tượng nào đó, ra đời và tồn tại,
sự vật hiện tượng vẫn là nó.
+ Quá trình đấu tranh trong sự vật hiện tượng xuất hiện và phát triển những
xung đột dẫn đến đỉnh điểm không thể điều hòa được.
+ Quá trình chuyển hóa: có thể một mâu thuẫn nào đó mất đi, mâu thuẫn mới
hình thành chứa đựng sự hình thành chất mới. Do đó không bao giờ hết mâu thuẫn.
Mâu thuẫn là nguồn gốc, là động lực của sự vận động, phát triển. Đấu tranh là tuyệt
đối, thống nhất là tương đối.

24. 20
b) Quan niệm biện chứng về thống nhất và đấu tranh
- Thống nhất là tương đối: sự vật hiện tượng “nó vẫn là nó” nghĩa là sự cùng
tồn tại bên nhau của hai mặt đối lập để xác định một sự vật hiện tượng cụ thể.
- Đấu tranh là tuyệt đối: sự đấu tranh của các mặt đối lập, bài trừ lẫn nhau là
tuyệt đối, cũng như sự vận động phát triển là tuyệt đối.
Khi hai mặt đối lập xung đột gay gắt đã đủ điều kiện, chúng sẽ chuyển hóa
cho nhau, mâu thuẫn được giải quyết. Nhờ đó mà thể thống nhất cũ được thay thế
băng thể thống nhất mới, sựu vật cũ mất đi và được thay thế bằng thể thống nhất
mới. Lênin viết: “Sự phát triển là cuộc đấu tranh của các mặt đối lập”. Tuy nhiên
không có sự đối lập thì không có sự đấu tranh giữa chúng. Thống nhất và đấu tranh
không thể tách rời trong mâu thuẫn biện chứng.
c) Một số loại mâu thuẫn:
- Căn cứ vào quan hệ đối với sự vật được xem xét, người ta phân biệt các
mâu thuẫn thành mâu thuẫn bên trong và mâu thuẫn bên ngoài.
- Căn cứ vào ý nghĩa với sự tồn tại và sự phát triển của toàn bộ sự vật, mâu
thuẫn được chia thành mâu thuẫn cơ bản và mâu thuẫn không cơ bản.
- Căn cứ vào vai trò của mâu thuẫn với sự tồn tại và phát triển của sự vật
trong một giai đoạn nhất định, các mâu thuẫn được chia thành mâu thuẫn chủ yếu
và mâu thuẫn thứ yếu.
- Căn cứ vào tính chất của các quan hệ lợi ích, người ta chia các mâu thuẫn
trong xã hội thành mâu thuẫn đối kháng và mâu thuẫn không đối kháng.
Kết luận:
Mọi sự vật đều chứa đựng những mặt có khuynh hướng biế đổi ngược chiều
nhau gọi là những mặt đối lập. Mối quan hệ của hai mặt đối lập tạo nên mâu thuẫn.
Các mặt đối lập vừa thống nhất với nhau vừa chuyển hóa lẫn nhau làm cho mâu
thuẫn được giải quyết, sự vật biến đổi và phát triển, cái mới ra đời thay thế cái cũ.
d) Ý nghĩa phương pháp:
Việc nghiên cứu quy luật mâu thuẫn có ý nghĩa phương pháp luận quan trọng
trong nhận thức và thực tiễn. Muốn phát hiện ra mâu thuẫn phải tìm trong thể thống
nhất những mặt, những khuynh hướng trái ngược nhau. Tìm ra mâu thuẫn bản chất

25. 21
thứ yếu để có hướng tác động vào trọng tâm sự vật, sự việc. Nắm rõ hình thức mâu
thuẫn giúp ta tác động làm cho quá trình biến đổi diễn ra nhanh hơn. Để thúc đẩy sự
phát triển phải dùng nhiều hướng tác động nhằm giải quyết mâu thuẫn, không được
điều hòa mâu thuẫn. Cần có quan điểm lịch sử cụ thể trong quá trình xem xét và giải
quyết mâu thuẫn.
Ví dụ 2.2:
1) Xét điểm A và 0k  khi đó ta có: 0k AA 
 
2) Xét hai điểm 1 2,A A và 1 2,k k thỏa 1 2 0k k  . Lấy điểm G thỏa mãn
2
1 1 2
1 2
k
GA A A
k k
 

 
, khi đó ta có: 1 1 2 2 0k GA k GA 
  
3) Xét ba điểm 1 2 3, ,A A A và 1 2 3, ,k k k thỏa 1 2 3 0k k k   . Lấy điểm G thỏa
mãn 32
1 1 2 1 3
1 2 3 1 2 3
kk
GA A A A A
k k k k k k
  
   
  
, khi đó ta có: 1 1 2 2 3 3 0k GA k GA k GA  
   
Đưa đến bài tóan tổng quát như sau: Cho n điểm 1 2, ,... nA A A và n số thực
1 2, ,... nk k k thỏa 1 2 ... 0nk k k    . Lấy điểm G thỏa mãn
32
1 1 2 1 3 1
1 2 1 2 1 2
...
... ... ...
n
n
n n n
k kk
GA A A A A A A
k k k k k k k k k
   
        
   
, khi đó ta có:
1 1 2 2 ... 0n nk GA k GA k GA   
   
Nếu cho các em giải quyết ngay bài tập tổng quát thì sẽ gây nhiều khó khăn
bởi học sinh gặp mâu thuẫn. Mâu thuẫn giữa yêu cầu, nhiệm vụ nhận thức với kinh
nghiệm có sẵn, mâu thuẫn được tạo nên bởi hệ thống tri thức và phương pháp đã có
với tình huống tri thức mới.
Do vậy, thay vì làm bài toán tổng quát, giáo viên cho học sinh xét các bài
toán cụ thể, để từ đó thông qua hoạt động khái quát học sinh định hướng được cách
giải quyết vấn đề.
1’) Cho hai điểm 1 2,A A và 1 2,k k thỏa 1 2 0k k  . Chứng minh rằng tồn tại G
sao cho 1 1 2 2 0k GA k GA 
  
.
1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1
2
1 2 1 2 1 2 1 1 2
1 2
0 0
( ) 0
k GA k GA k GA k GA k GA k GA
k
k k GA k A A GA A A
k k
      
      

       
    

26. 22
Vậy G là điểm thỏa mãn 2
1 1 2
1 2
k
GA A A
k k
 

 
.
2’) Cho ba điểm 1 2 3, ,A A A và 1 2 3, ,k k k thỏa 1 2 3 0k k k   . Chứng minh rằng
tồn tại điểm G sao cho: 1 1 2 2 3 3 0k GA k GA k GA  
   
.
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 1 3 1 2 1 3 1
32
1 2 3 1 2 1 2 3 1 3 1 1 2 1 3
1 2 3 1 2 3
0 0
( ) 0
k GA k GA k GA k GA k GA k GA k GA k GA k GA k GA
kk
k k k GA k A A k A A GA A A A A
k k k k k k
          
         
   
           
       
Vậy G là điểm thỏa mãn 32
1 1 2 1 3
1 2 3 1 2 3
kk
GA A A A A
k k k k k k
  
   
  
.
Từ đó tìm cách giải quyết bài toán tổng quát:
3’)
1 1 2 2
1 1 2 2 2 1 1 2 1 1
1 2 1 2 1 2 1
2
1
1 2
... 0
... ... ... 0
( ... ) ... 0
...
n n
n n n n
n n n
k GA k GA k GA
k GA k GA k GA k GA k GA k GA k GA
k k k GA k A A k A A
k
GA
k k
   
          
       
  
  
   
       
   

3
1 2 1 3 1
1 2 1 2
...
... ...
n
n
n n n
k k
A A A A A A
k k k k k k k
 
     
  
Vậy G là điểm thỏa mãn
32
1 1 2 1 3 1
1 2 1 2 1 2
...
... ... ...
n
n
n n n
k kk
GA A A A A A A
k k k k k k k k k
   
        
   
2.1.4. Các cặp phạm trù của triết học duy vật biện chứng
2.1.4.1. Cặp phạm trù cái chung và cái riêng
Phép biện chứng duy vật của Triết học Mác- Lênin cho rằng: cái riêng, cái
chung và cái đơn giản nhất đều tồn tại khách quan, giữa chúng có mối liên hệ hữu
cơ với nhau. Phạm trù cái riêng được dùng để chỉ một sự vật, hiện tượng , một quá
trình riêng lẻ nhất định, còn phạm trù cái chung được dùng để chỉ những mặt,
những thuộc tính chung không những có ở một kết cấu vật chất nhất định, mà còn
được lặp lại trong nhiều sự vật, hiện tượng hay quá trình riêng lẻ khác. Cụ thể là:
- Cái chung chỉ tồn tại và biểu hiện thông qua cái riêng. Cái chung chỉ tồn tại
trong cái riêng, thông qua cái riêng mà biểu hiện sự tồn tại của mình, không có cái
chung tồn tại thuần túy bên ngoài cái riêng. Cái chung tồn tại thực sự, nhưng không
tồn tại ngoài cái riêng mà phải thông qua cái riêng.

27. 23
- Cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung. Không có cái riêng
nào tồn tại tuyệt đối độc lập, không có liên hệ với cái chung. Sự vật, hiện tượng
riêng nào cũng bao hàm cái chung.
- Cái riêng là cái toàn bộ, phong phú hơn cái chung. Cái chung là cái bộ
phận, nhưng sâu sắc hơn cái riêng. Cái riêng phong phú hơn cái chung vì ngoài
những đặc điểm chung, cái riêng còn có cái đơn chất. Cái chung sâu sắc hơn cái
riêng vì cái chung phản ánh những thuộc tính, những mối liên hệ ổn định, tất nhiên,
lặp lại ở nhiều cái riêng cùng loại. Do vậy cái chung là cái gắn liền với cái bản chất,
quy định phương hướng tồn tại và phát triển của cái riêng.
- Cái đơn chất và cái chung có thể chuyển hóa lẫn nhau trong quá trình phát
triển của sự vật. Cái đơn chất là phạm trù để chỉ những nét, những mặt, những thuộc
tính,... chỉ có ở một sự vật, một kết cấu vật chất, mà không lặp lại ở sự vật, hiện
tượng, kết cấu vật chất khác. Trong hiện thực, cái mới không bao giờ xuất hiện đầy
đủ ngay, mà lúc đầu xuất hiện dưới dạng cái đơn giản nhất. Về sau theo quy luật,
cái mới hoàn thiện dần và thay thế cái cũ, trở thành cái chung, cái phổ biến nhưng
về sau do không phù hợp với điều kiện mới nên dần mất đi và trở thành cái đơn
nhất. Như vậy, sự chuyển hóa từ cái đơn nhất thành cái chung là biể hện của quá
trình cái mới ra đời thay thế cái cũ. Ngược lại sự chuyển hóa từ cái chung thành cái
đơn nhất là biểu hiện của quá trình cái cũ, cái lỗi thời bị phủ định.
Ví dụ 2.3:Khi nói cái chung là điểm G tâm tỉ cự của hệ n điểm 1 2, ,... nA A A
gắn liền với các hệ số 1 2, ,... nk k k luôn tồn tại và biểu hiện thông qua cái riêng là trọng
tâm của hệ n điểm 1 2, ,... nA A A , trọng tâm của tam giác, trung điểm của đoạn thẳng. Cái
chung tâm tỉ cự sâu sắc hơn cái riêng trọng tâm tam giác, trung điểm đoạn thẳng, cái
gắn liền với cái bản chất, quy định hướng tồn tại và phát triển của cái riêng. Cái riêng
trọng tâm, trung điểm phong phú hơn cái chung tâm tỉ cự của hệ n điểm.
2.1.4.2. Cặp phạm trù nội dung và hình thức
Nội dung và hình thức là một trong những cặp phạm trù trong phép biện
chứng duy vật và là một trong những nội dung của nguyên lí về mối liên hệ phổ
biến, dùng để chỉ mối quan hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức.
Nội dung tức là phạm trù chỉ tổng hợp tất cả những mặt, những yếu tố,
những quá trình tạo nên sự vật.

28. 24
Hình thức là một phạm trù chỉ phương thức tồn tại và phát triển của sự vật, là
hệ thống các mối liên hệ tương đối bền vững giữa các yếu tố của sự vật đó.
Theo chủ nghĩa Mác- Lê nin thì bất cứ sự vật nào cũng có hình thức bề ngoài
của nó, nhưng phép biện chứng duy vật chú ý chủ yếu đến hình thức bên trong của
sự vật, nghĩa là cơ cấu bên trong của nội dung. Trong cặp phạm trù này, phép biện
chứng duy vật chủ yếu muốn nó đến hình thức bên trong gắn liền với nội dung , là
cơ cấu của nội dung chứ không chỉ nói đến hình thức bên ngoài của sự vật.
- Sự thống nhất.
Nội dung và hình thức thống nhất với nhau vì nội dung là những mặt, những
yếu tố, những quá trình tạo nên sự vật, có hình thức là hệ thống các mối liên hệ
tương đối bền vững giữa các yếu tố của nội dung. Nội dung và hình thức luôn gắn
bó chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất. Không có hình thức nào tồn tại
thuần túy không chứa đựng nội dung. Ngược lại, không có nội dung nào không tồn
tại trong một hình thức xác định. Nội dung nào có hình thức đó. Nội dung và hình
thức không tồn tại tách rời nhau, nhưng không hẳn lúc nào nội dung và hình thức
cũng phù hợp với nhau. Không phải một nội dung bao giờ cũng chỉ được thể hiện ra
trong một hình thức nhất định, và một hình thức luôn chỉ chứa một nội dung. Một
nội dung trong quá trình phát triển có thể có nhiều hình thức thể hiện. Ngược lại,
một hình thức thể hiện và chứa đựng nhiều nội dung khác nhau.
- Nội dung quyết định hình thức
Nội dung giữ vai trò quyết định đối với hình thức trong quá trình vận động
phát triển của sự vật. Vì khuynh hướng chủ đạo của nội dung là biến đổi, còn
khuynh hướng chủ đạo của hình thức là tương đối bền vững, chậm biến đổi hơn so
với nội dung.
Sự tác động lẫn nhau của những mặt trong sự vật, hoặc giữa các sự vật với
nhau làm cho các yếu tố của nội dung biến đổi trước, còn những mối liên kết giữa
các yếu tố của nội dung, tức hình thức thì chưa biến đổi ngay. Vì vậy, hình thức sẽ
trở nên lạc hậu hơn so với nội dung và sẽ trở thành nhân tố kìm hãm nội dung phát
triển. Do xu hướng chung của sự phát triển, hình thức không thể kìm hãm mãi sự
phát triển của nội dung mà sẽ phải thay đổi cho phù hợp với nộ dung mới.

29. 25
Điều này, theo Ph. Ăng- ghẹn thì: Mỗi lần có một phát minh vạch thừ đại,
ngay cả trong lĩnh vực khoa học tự nhiên thì chủ nghĩa duy vật không tránh khỏi
phải tự thay đổi hình thức của nó.
- Sự tác động của hình thức
Hình thức do nội dung quyết định nhưng hình thức có tính độc lập tương đối và
tác động ngược trở lại nội dung. Sự tác động của hình thức đến nội dung thể hiện ở chỗ:
+ Nếu phù hợp với nội dung thì hình thức sẽ tạo điều kiện thuận lợi thúc đẩy
nội dung phát triển.
+ Nếu không phù hợp với nội dung thì hình thức sẽ ngăn cản, kìm hãm sự
phát triển của nội dung.
+ Trong hoạt động thực tiễn, cần phải chủ động sử dụng nhiều hình thức
khác nhau, đáp ứng với yêu cầu thực tiễn trong những giai đoạn nhất định. Vì cùng
một nội dung nhưng trong quá trình phát triển của sự vật có thể có nhiều hình thức.
Ngược lại, một hình thức có thể chứa đựng nhiều nội dung.
+ Để nhận thức và cải tạo được sự vật, trước hết phải căn cứ vào nội dung vì
nội dung quyết định hình thức. Nhưng hình thức có tính độc lập tương đối và tác
động trở lại nội dung. Do vậy trong hoạt động thực tiễn cũng phải thường xuyên đối
chiếu giữa nội dung và hình thức và làm cho hình thức phù hợp với nội dung để
thúc đẩy nội dung phát triển.
Ví dụ 2.4: Ứng với nội dung là điểm G là tâm tỉ cự của hệ n điểm 1 2, ,... nA A A
gắn với các hệ số 1 2, ,... nk k k là hình thức với 1 2 ... 0nk k k k     , G thỏa mãn
1 1 2 2 ... 0n nk GA k GA k GA   
   
.
Hình thức cho nội dung quyết định nhưng hình thức có tính độc lập tương
đối và tác động ngược trở lại nội dung. Với hình thức 1 2 1 20: 0k k GA GA   
  
ta có
nội dung G là trung điểm 1 2A A . Với hình thức 1 2 1 2 30: 0k k GA GA GA    
   
ta có
nội dung G là trọng tâm 1 2 3A A A . Cùng một nội dung có thể tồn tại dưới nhiều hình
thức khác nhau. Với nội dung G là tâm tỉ cự của hệ n điểm 1 2, ,... nA A A cũng tồn tại
dưới nhiều hình thức khác nhau như:
1 1 2 2
1
, ( ... )n nO OG k OA k OA k OA
k
    
   

30. 26
2.1.4.3. Cặp phạm trù nguyên nhân và kết quả
Nguyên nhân và kết quả là một cặp phạm trù trong phép biện chứng duy vật và
là một trong những nội dung của nguyên lí về mối liên hệ phổ biến. Nguyên nhân là
phạm trù chỉ sự tác động lẫn nhau giữa các mặt trong một sự vật hoặc giữa các sự vật
với nhau, gây ra một biến đổi nhất định nào đó. Kết quả là một phạm trù chỉ những
biến đổi xuất hiện do tác động lẫn nhau giữa các mặt trong một sự vật hoặc giữa các sự
vật với nhau gây ra. Qua đó phản ánh mối quan hệ hình thành của sự vật, hiện tượng
trong hiện thực khách quan. Nguyên nhân xuất hiện trước và sinh ra kết quả.
Cái phân biệt quan hệ nhân quả với quan hệ kế tiếp về mặt thời gian là ở chỗ
nguyên nhân và kết quả có quan hệ sản sinh ra nhau. Nguyên nhân sinh ra kết quả
rất phức tạp, bởi vì nó còn phụ thuộc vào nhiều điều kiện và hoàn cảnh khác nhau.
Một kết quả có thể do nhiều nguyên nhân khác nhau cũng có thể sinh ra những kết
quả khác nhau. Nếu nhiều nguyên nhân cùng tồn tại và tác động cùng chiều trong
một sự vật thì chúng sẽ gây ảnh hưởng đến sự hình thành kết quả, làm cho kết quả
xuất hiện nhanh hơn. Ngược lại, nếu những nguyên nhân tác động đồng thời theo
nhiều hướng khác nhau, thì sẽ cản trở tác dụng của nhau, thậm chí triệt tiêu tác dụng
của nhau. Điều đó sẽ ngăn cản sự xuất hiện của kết quả.
Phép biện chứng duy vật của triết học Mác- Lênin khẳng định mối liên hệ
nhân quả có tính khách quan, tính phổ biến, tính tất yếu:
- Tính khách quan: mối quan hệ nhân quả là cái vốn có của bản thân sự vật,
không phụ thuộc vào ý thức con người. Dù con người biết hay không biết, thì các sự
vật vẫn tác động lẫn nhau và sự tác động đó tất yếu gây nên biến đổi nhất định. Con
người chỉ phản ánh vào trong đầu óc mình những tác động và những biến đổi, tức là
mối liên hệ nhân quả của hiện thực, chứ không sáng tạo ra mối liên hệ nhân quả của
hiện thực từ trong đầu mình.
- Tính phổ biến: mọi sự vật, hiện tượng trong tự nhiên và trong xã hội đều có
nguyên nhân nhất định gây ra. Không có hiện tượng nào không có nguyên nhân, chỉ
có điều nguyên nhân đó đã được nhận thức hay chưa mà thôi. Không nên đồng nhất
vấn đề nhận thức của con người về mối liên hệ nhân quả với vấn đề tồn tại của mối
liên hệ đó trong hiện thực.

31. 27
- Tính tất yếu: cùng một nguyên nhân nhất định, trong những điều kiện giống
nhau sẽ gây ra kết quả như nhau. Tuy nhiên trong thực tế không thể có sự vật nào
tồn tại trong những điều kiện, hoàn cảnh hoàn toàn giống nhau. Do vậy tính tất yếu
của mối liên hệ nhân quả trên thực tế phải được hiểu là: Nguyên nhân tác động
trong những điều kiện càng ít khác nhau bao nhiêu thì kết quả do chúng gây ra càng
giống nhau bấy nhiêu.
- Ý nghĩa của phương pháp luận:
Từ việc phát hiện ra mối quan hệ biện chứng giữa nguyên nhân và kết quả,
triết học Mác- Lênin nêu ra một số ý nghĩa phương pháp luận cho mối quan hệ này
để ứng dụng vào thực tiễn và tư duy, cụ thể là:
+ Mối liên hệ nhân quả có tính khách quan và tính phổ biến. Nghĩa là không
có sự vật, hiện tượng nào trong thế giới vật chất lại tồn tại không có nguyên nhân,
nhưng không phải con người có thể nhận thức ngay được mọi nguyên nhân. Nhiệm
vụ của nhận thức khoa học là phải tìm ra nguyên nhân của những hiện tượng trong
tự nhiên, xã hội và tư duy để giải thích được hiện tượng đó. Muốn tìm nguyên nhân
phải tìm trong thế giới hiện thực, trong bản thân các sự vật, hiện tượng tồn tại trong
thế giới vật chất chứ không được tưởng tượng ra từ trong đầu óc của con người,
tách rời thế giới hiện thực.
+ Vì nguyên nhân luôn có trước kết quả nên muốn tìm nguyên nhân của một
hiện tượng nào đấy cần tìm trong những sự kiện mối liên hệ xảy ra trước khi hiện
tượng đó xuất hiện.
+ Một kết quả có thể do nhiều nguyên nhân gây ra. Những nguyên nhân này
có vai trò khác nhau đối với việc hình thành kết qủa. Vì vậy trong hoạt động thực
tiễn, chủ thể cần phân loại các nguyên nhân, tìm ra nguyên nhân cơ bản, nguyên
nhân chủ yếu, nguyên nhân khách quan... Đồng thời phải nắm được chiều hướng tác
động của các nguyên nhân, từ đó có biện pháp thích hợp tạo điều kiện cho nguyên
nhân có tác động tích cực đến hoạt động và hạn chế sự hoạt động của nguyên nhân
có tác động tiêu cực.
Trong toán học cặp phạm trù nguyên nhân và kết quả thường xuyên xuất
hiện trong giả thiết và kết luận của mỗi bài toán , mỗi định lí, tính chất. Giả thiết
của bài toán hoàn chỉnh là nguyên nhân, còn kết luận của bài toán chính là hệ quả.

32. 28
Ví dụ 2.5: Xét bài toán tam giác ABC cạnh AB=c, BC=a, AC=b. Với nguyên
nhân I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Cho ta các kết quả như sau:
i) 0(*)aIA bIB cIC  
   
ii)
1 1 1
0
a b c
IA IB IC
h h h
  
   
iii) sin . sin . sin . 0A IA B IB C IC  
   
iv) 0a b cS IA S IB S IC  
   
Đây chính là tính tất yếu của cặp phạm trù này, cùng một nguyên nhân nhất
định, trong những điều kiện giống nhau sẽ gây ra kết quả như nhau. Mặc khác một
nguyên nhân trong những điều kiện khác nhau cũng có thể sinh ra những kết quả khác
nhau. Với nhuyên nhân I là điểm M bất kì trong tam giác ta lại có kết quả khác:
Xét bài toán tam giác ABC cạnh AB=c, BC=a, AC=b. Với nguyên nhân I là
điểm bất kì nằm trong tam giác ABC, đặt , ,MBC a MAC b MAC cS S S S S S   . Cho ta kết
quả như sau:
0a b cS MA S MB S MC  
   
Nếu M nằm ngoài tam giác ABC, chẳng hạn M nằm trong góc BAC ta có kết
quả sau: 0a b cS MA S MB S MC  
   
2.2. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TÂM LÍ HỌC LIÊN QUAN ĐẾN PHÁT TRIỂN KIẾN
THỨC TOÁN HỌC
2.2.1. Tâm lí học hoạt động
Trường phái này do nhà tâm lí học Liên Xô cũ như L.X.Vugoxky, X.L
Lubinstein, A. Leochiep cùng với nhà tâm lí Đức, Pháp, Bungary sáng lập. Trường
phái này lấy triết học Mác- Lênin làm cơ sở lí luận và phương pháp luận, coi tâm lí
và sự phản ánh hện thực khách quan vào não thông qua hoạt động. Tâm lí con
người được hình thành trong hoạt động, giao tiếp và trong các mối quan hệ xã hội.
2.2.2. Hoạt động nhận thức của học sinh trong dạy học Toán
a) Khái niệm về hoạt động nhận thức toán học:
Trên cơ sở phân tích các quan điểm của triết học duy vật biện chứng, tâm lí
học và phương pháp luận, có thể hiểu khái niệm hoạt động nhận thức của học sinh

33. 29
như sau: hoạt động nhận thức là quá trình tư duy dẫn tới lĩnh hội các tri thức toán
học, nắm được ý nghĩa của các tri thức đó, xác định được các mối quan hệ nhân quả và
mối quan hệ khác của đối tượng toán học được nghiên cứu (khái niệm, quan hệ, quy
luật toán học,...). Từ đó vận dụng được tri thức toán học giả quyết các vấn đề thực tiễn.
b) Mục tiêu của hoạt động nhận thức trong dạy học toán
Mục tiêu chủ yếu của việc tăng cường hoạt động nhận thức trong dạy học toán
là phát triển trí tuệ và nhân cách của học sinh. Ở đây sự phát triển trí tuệ được hiểu là
làm thay đổi về chất trong hoạt động nhận thức, bao gồm năng lực thu nhận thông tin
toán học, năng lực chế biến thông tin toán học, năng lực tư duy logic, tư duy biện
chứng, tư duy phê phán, tư duy định lượng, năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi
các đối tượng, các quan hệ, các mối liên hệ trong toán học, có tính chất mềm dẻo trong
quá trình tư duy; năng lực thay đổi nhanh chóng, chuyển giải quyết vấn đề thành hành
động tư duy mới hướng suy nghĩ từ trạng thái này sang trạng thái khác. Chẳng hạn
năng lực lưu trữ thông tin toán học, có trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, về các
đặc điểm điển hình. Đối với mục tiêu giáo dục nhân cách, đạo đức cho học sinh thể
hiện ở chỗ bồi dưỡng cho các em thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện tính kiên
nhẫn, cần cù, sự sáng tạo, năng nổ trong học tập.
c) Đặc thù của hoạt động nhận thức toán học
Trên thực tế, người giáo viên cần quan tâm tới sự khác biệt của hoạt động
này với hoạt động nhận thức trong các khoa học khác, nhằm tăng cường hoạt động
nhận thức cho học sinh. Do đối tượng toán học tuy có nguồn gốc thực thiễn nhưng
được trừu tượng hóa nên các hoạt động nhận thức toán học cần được chú trọng giải
quyết đúng đắn mâu thuẫn giữa trực quan và trừu tượng. Mâu thuẫn chủ yếu bộc lộ
trong lĩnh vực chứng minh các định lí, các mệnh đề và định nghĩa, mâu thuẫn giữa
một mặt là hiện thực, trực quan và mặt khác là tính chặt chẽ, logic. Các mặt đối lập
này là biện chứng và liên hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ cho nhau, được thể hiện
trong sách giáo khoa môn Toán, đặc biệt là sách giáo khoa hình học. Từ các đặc
điểm nêu trên và dựa vào đặc trưng tâm lí, nhận thức của học sinh trung học phổ
thông, giáo viên cần quan tâm tổ chức hoạt động nhận thức của học sinh trong dạy
học toán sao cho đảm bảo thống nhất giữa các mặt đối lập, đồng thời không quá lạm

34. 30
dụng trực quan, xác định đúng mức độ trực quan để học sinh nhận thức được cái
trừu tượng, đảm bảo tính chặt chẽ logic và từ đó các định nghĩa, các chứng minh lại
bổ sung cho trực quan chính xác hơn.
d) Mối quan hệ giữa hoạt động nhận thức và hoạt động học tập
Hoạt động nhận thức trong dạy học Toán là hạt nhân của hoạt động học. Từ
đó, việc tổ chức cho học sinh hoạt động nhận thức một cách tự giác, tích cực sáng
tạo là tâm điểm của nhiệm vụ dạy học Toán ở trường phổ thông hiện nay. Chúng ta
có thể làm sáng tỏ mục tiêu phát triển trí tuệ và nhân cách hoạt động nhận thức toán
học cũng như gắn kết các hoạt động đó trong các lí thuyết dạy học và các phương
pháp dạy học.
2.2.3. Hoạt động nhận thức theo quan điểm thích nghi trí tuệ
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lí học nổi tiếng J. Piaget vầ cấu trúc của
quá trình nhận thức: “Quá trình nhận thức của người học về thực chất là quá trình
người học xây dựng nên những kiến thức bản thân thông qua hoạt động đồng hóa
và điều ứng các kiến thức và kĩ năng đã có để thích ứng với môi trường học tập”.
Đồng hóa là quá trình chủ thể tái lập lại một số đặc điểm của khách thể được
nhận thức, đưa chúng vào sơ đồ đã có.
Điều ứng là quá trình thích ứng của chủ thể đối với những đòi hỏi muôn màu
muôn vẻ của môi trường, bằng cách tái thiết lập những đặc điểm của khách thể vào
cái đã có. Qua đó biến đổi sơ đồ đã có tạo ra sơ đồ mới dẫn tới trạng thái cân bằng
giữa chủ thể và môi trường. Sơ đồ nhận thức là sự cân bằng giữa hai quá trình đồng
hóa và điều ứng.
Như vậy, bản chất của việc dạy học theo quan điểm này là các hoạt động tổ
chức và xử lí thông tin, biến đổi để tiếp nhận thông tin mới, kiến thức đã có hoặc
bác bỏ chúng, làm thay đổi cấu trúc diễn dịch để phù hợp với kiến thức mới cần
dạy, tạo lập bước thích nghi mới.
2.2.4. Các tri thức thuộc phạm trù triết học duy vật biện chứng
Hoạt động nhận thức được thực hiện thông qua phát hiện và giải quyết các
mâu thuẫn, chướng ngại. Theo quan điểm của triết học duy vật biện chứng, mâu
thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển. Một vấn đề được gợi ra cho học sinh

35. 31
học tập chính là mâu thuẫn giữa yêu cầu, nhiệm vụ nhận thức với tri thức và kinh
nghiệm có sẵn. Chướng ngại có thể hiểu là những rào cản làm chậm quá trình tiếp
thu tri thức mới của người học. Nếu có thể khắc phục và vượt qua khó khăn,
chướng ngại đó thì học sinh sẽ tích lũy được những kiến thức, kinh nghiệm quý báu
góp phần nâng cao nhận thức bản thân.
Ví dụ: Cho 8 số thực 1 2 3 4 5 6 7 8, , , , , , ,x x x x x x x x . Chứng minh rằng có ít nhất
trong 6 số sau không âm:
1 3 2 4 1 5 2 6 1 7 2 8
5 3 6 4 3 7 4 8 5 7 6 8
; ;
; ;
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
  
  
Khi tiếp cận bài toán này, học sinh thường nghĩ đến việc phân tích các tích
trên để xét dấu và gặp khó khăn. Mâu thuẫn ở đây xảy ra không chỉ hình thức che
lấp nội dung, hình thức biểu thị không bình thường. Để khắc phục mâu thuẫn dạng
trên và tăng cường hoạt động nhận thức hiệu quả cần chú ý cho học sinh một số vấn
đề sau:
- Khai thác càng nhiều càng tốt mối quan hệ bên trong giữa nội dung toán
học bằng cách biểu đạt nội dung đó qua những hình thức khác nhau và tăng cường
khai thác ứng dụng của kiến thức đó vào trong các môn học.
- Coi trọng đúng mức sự nắm vững cân đối giữa cú pháp và ngữ nghĩa khi
dạy học khái niệm, quy tắc, định lí.
- Khi gặp những tình huống nội dung và hình thức không tương thích với
kiến thức đã có của học sinh cần phân tich, cố gắng làm nổi bật từng phần nội dung,
gạt bỏ phần hình thức.
Để hướng dẫn học sinh nhận thức phát hiện cách giải, giáo viên có thể yêu
cầu học sinh xem xét các tích trên gợi nhớ đến biểu thức cho ta liên tưởng tới biểu
thức tọa độ của tích vô hướng của các vecto:
Hướng dẫn: Xét 4 vecto: 1 1 2 2 3 4 3 5 6 4 7 8( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; )v x x v x x v x x v x x
   
1 2 1 3 2 4 1 3 1 5 2 6 3 4 5 7 6 8. ; . ; .v v x x x x v v x x x x v v x x x x     
     
Do ít nhất một trong các góc của 4 vecto không vượt quá 0
90 nên ít nhất một
trong 6 tích vô hướng trên là không âm.

36. 32
2.3. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC GẮN LIỀN VỚI HOẠT ĐỘNG
PHÁT TRIỂN KIẾN THỨC
2.3.1. Một số kiến thức về lí thuyết kiến tạo trong dạy học
2.3.1.1. Quan điểm kiến tạo trong dạy học
Khoa học luận coi bản chất của quá trình học tập của học sinh là quá trình
phản ánh thế giới quan vào ý thức của người học. Quá trình nhận thức của học sinh
trong dạy học môn toán tuân thủ theo phương pháp luận nhận thức. Từ trực quan
sinh động đến tư duy trừ tượng và từ trừu tượng trở về với thực tiễn. Trong đó để
nhận thức toán học , con đường đi từ trực quan đến trừu tượng thường được diễn
ra bằng quá trình mô hình hóa các quan hệ, hiện tượng của thế giới khách quan.
Cần nhấn mạnh rằng, quá trình nhận thức của học sinh có những nét khác biệt
với các nhà khoa học. Quá trình đó được tổ chức và hình thành bằng các phương
pháp sư phạm. Sản phẩm được học sinh tìm ra là cái mới đối với họ được lấy từ
kho tàng tri thức của nhân loại. có nhiều quan hệ khác nhau về dạy học theo
quan điểm kiến tạo, tuy nhiên, đứng trên quan điểm dạy học toán cần nhấn mạnh
hai khái niệm: Dạy và Học.
- Học theo quan điểm kiến tạo là hoạt động của học sinh dựa vào những kinh
nghiệm của bản thân, huy động chúng và quá trình tương tác với những tình huống,
điều ứng chúng và rút ra được điều cần hình thành. Theo quan điểm của lý thuyết
kiến tạo, các tri thức nhất thiết là một sản phẩm của một hoạt động nhận thức của
chính con người. Bằng cách xây dựng trên các kiến thức đã có, học sinh có thể nắm
bắt tốt hơn các khái niệm, các quy luật đi từ nhận biết sự vật sang hiểu nó và phát
hiện kiến thức mới. Kiến thức kiến tạo giúp khuyến khích tư duy phê phán, cho
phép học sinh tích hợp được các khái niệm, các quy luật theo nhiều cách khác nhau.
Khi đó, họ có thể trình bày khái niệm, quan hệ, kiểm chứng chúng, bảo vệ hoặc phê
phán các khái niệm, các quan hệ được xây dựng.
- Dạy theo quan điểm kiến tạo là thầy không đọc bài giảng, giải thích hoặc
nỗ lực chuyển tải kiến thức toán học mà là người tạo và thiết lập các tình huống cho
học sinh, thiết lập các cấu trúc cần thiết. Thầy là người xác nhận kiến thức, là người
thể chế hóa kiến thức cho học sinh.

37. 33
2.3.1.2. Một số luận điểm về dạy học theo quan điểm kiến tạo
Việc dạy học theo quan điểm kiến tạo dựa trên 5 luận điểm sau:
- Tri thức được tạo nên một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức học sinh chứ
không phải được tiếp thu một cách thụ động từ bên ngoài. Quan điểm trên hoàn toàn
phù hợp với thực tiễn nhận thức toán học.
- Nhận thức nói chung (nói riêng là nhận thức toán học) là quá trình thích
nghi chủ động với môi trường, nhằm tạo nên các sơ đồ nhận thức của chính chủ thể
chứ không khám phá một thế giới tồn tại độc lập bên ngoài chủ thể. Nói như vậy có
nghĩa là người học không phải thụ động tiếp thu kiến thức do người khác áp đặt lên
mà chính bản thân họ hoạt động kiến tạo kiến thức mới.
Theo Jean Piaget:
- Đồng hóa: khi tương tác với môi trường, với các thông tin mới, nếu bằng
kiến thức cũ, kĩ năng đã có của họ sinh tiếp nhận được thông tin vào sơ đồ nhận
thức đã có gọi là đồng hóa.
- Điều ứng: khi tiếp nhận tình huống mới học sinh gặp khó khăn (chướng
ngại) thì chủ thể cần cấu trúc lại kiến thức đã có (tạo sơ đồ nhận thức mới) cho phù
hợp với môi trường, hay nói cách khác để gải thích thông tin mới và chiếm lĩnh kiến
thức. Sơ đồ nhận thức: là sự cân bằng giữa hai quá trình đồng hóa và điều ứng (hiểu
biết về một nội dung).
Khi gặp khó khăn về chướng ngại giải thích tình huống mới dẫn tới sự mất
cân bằng và điều ứng đi đến cái cân bằng mới dẫn đến thích nghi. Quá trình nhận
thức của học sinh ở trường phổ thông phát triển nhờ thay đổi sơ đồ nhận thức dẫn
tới sự phát triển trí tuệ, đi từ trạng thái cân bằng này đến trạng thái cân bằng khác là
sự chuyển từ thích nghi sang sự thích nghi dẫn đến sự phát triển năng lực thích
nghi, đồng hóa được thông tin mới.
- Kiến thức và kinh nghiệm mà cá nhân học sinh thu nhận được phải phù hợp
với những yêu cầu mà tự nhiên, xã hội đặt ra. Luận điểm này hướng việc dạy cần
gắn với các nội dung thực tiễn, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, đáp
ứng những nhu cầu của xã hội đặt ra. Kiến thức và kinh nghiệm sẽ có là nền tảng
làm nảy sinh kiến thức mới. Quan điểm này dựa trên ý tưởng tư duy phù hợp với

38. 34
kiến thức đã có. Trên cơ sở kiến thức kinh nghiệm đã có, học sinh thực hiện các
phán đoán, nêu giả thuyết và tiến hành hoạt động kiểm nghiệm kết quả bằng con
đường suy diễn logic. Nếu giả thuyết, phán đoán không đúng thì phải tiến hành điều
chỉnh lại phán đoán và giả thuyết đó, sau đó kiểm nghiệm lại và đi đến kết quả
mong muốn, dẫn đến sựu thích nghi với tình huống và tạo ra kiến thức mới, thực
chất là tạo ra sơ đồ nhận thức mới cho bản thân. Theo sơ đồ này thì việc kiến tạo
kiến thức là hoạt động độc lập sáng tạo của học sinh.
- Song song với việc hình thành kiến thức là sự hình thành các hành động trí tuệ.
Mỗi một kiến thức được hình thành đồng thới với việc học sinh chiếm lĩnh được cách
thức tạ ra kiến thức đó (tri thức về phương pháp). Nghĩa là hình thành các thao tác trí tuệ
tương ứng. Điều đó nói lên rằng, mỗi khái niệm toán học, mỗi quy luật toán học cần
được lí giải tường minh trước khi tiến hành tổ chức ở học sinh để họ hành động với từng
nhiệm vụ cụ thể để giải quyết cho tới khi hoàn thành nhiệm vụ.
2.3.1.3. Một số năng lực kiến tạo kiến thức trong dạy học toán
Việc xác định các năng lực cơ bản kiến tạo kiến thức trong dạy học toán dựa
trên các cơ sở nhận thức sau:
- Xuất phát từ cách hiểu mô hình dạy học theo quan điểm kiến tạo:
Lí thuyết (đã có)- dự đoán- thử nghiệm- thất bại- thích nghi- lí thuyết mới
(kiến thức mới).
- Từ cách hiểu nhận thức là quá trình điều ứng và tổ chức lại thế giới quan của
chính mỗi người, trong đó điều ứng là sự thay đổi những sơ đồ nhận thức hiện có sao cho
tương hợp với những thông tin mới (có thể trái ngược với kiến thức đã có).
- Từ cách hiểu bản chất của quá trình thích nghi trí tuệ của Jean Piaget.
Từ nhận thức về khả năng sinh sản cái mới của Jerome Bruner là khả năng
chuyển di các nguyên tắc, các thái độ đã có vào các tình huống mới khác nhau. Sau đây
là một số năng lực cơ bản kiến tạo các kiến thức toán học của học sinh phổ thông.
a) Năng lực dự đoán phát hiện vấn đề, phương pháp dựa trên cơ sở các quy
luật tư duy biện chứng, tư duy tiền logic, khả năng liên tưởng và di chuyển các liên
tưởng. Để có năng lực dự đoán, phát hiên vấn đề, học sinh cần được rèn luyện các
năng lực thành tố như: năng lực xem xét các đối tượng toán học, các quan hệ toán
học trong mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng. Học sinh cần nắm mối quan hệ

39. 35
nhân quả , cần có các năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, tổng quát
hóa, năng lực liên tưởng các đối tượng, quan hệ đã biết với các đối tượng tương tự .
Những năng lực vừa nêu trên thuộc phạm trù năng lực tư duy tiền logic và năng lực
tư duy biện chứng.
b) Năng lực định hướng tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm lời giải các
bài toán
Năng lực định hướng tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm tòi lời giải các
bài toán được xác định trên cơ sở các khả năng sau đây của học sinh:
Khả năng phát hiện các đối tượng và quan hệ trong mối liên hệ tương tự.
Khả năng phát hiện ý tưởng nhờ nắm quan hệ giữa kết quả và nguyên nhân. Khả
năng nhìn nhận một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau. Khả năng nhận dạng
các đối tượng và các phương pháp.
c) Các năng lực huy động kiến thức để giải quyết các vấn đề toán học, các
thành tố của năng lực này chủ yếu là
- Năng lực lựa chọn các công cụ thích hợp để giải quyết một vấn đề.
- Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ.
- Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi các vấn đề, biến đổi các bài toán về
dạng tương tự.
Năng lực huy động kiến thức đòi hỏi ở mức độ cụ thể cao hơn so với năng
lực định hướng. Học sinh cần lựa chọn công cụ thích hợp để giải quyết vấn đề.
Chẳng hạn, để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, người ta dùng phép dời hình
hoặc tích vô hướng. Tuy nhiên, trong trường hợp cụ thể, nếu hai đoạn thẳng đó khác
phương thì người ta chọn phép quay là thích hợp. Học sinh huy động kiến thức để
giải quyết tốt các vấn đề còn tùy thuộc vào khả năng chuyển đổi ngôn ngữ trong
nội tại một nội dung toán học và chuyển đổi từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác
để diễn đạt cùng một nội dung toán học. Khi xác định năng lực huy động kiến thức,
chúng tôi cho rằng khả năng biến đổi vấn đề , biến đổi các bài toán đóng vai trò rất
quan trọng. Nhờ quá trình biến đổi vấn đề, biến đổi các bài toán, học sinh có thể
quy các vấn đề trong tình huống mới , các bài toán lạ về các vấn đề quen thuộc, các
bài toán tương tự để giải. quá trình biến đổi chính là quá trình điều ứng để học sinh
thích nghi chuyển đến sơ đồ nhận thức mới, tương hợp với tình huống mới.

40. 36
d)Năng lực lập luận logic, lập luận có căn cứ giải quyết chính xác các vấn đề
đặt ra:
e)Năng lực đánh giá, phê phán
2.3.1.4. Các biện pháp rèn luyện năng lực kiến tạo
Biện pháp 1: Quan tâm dạy học các khái niệm, quy tắc, định lí theo hướng
luyện tập nhạn dạng, phát hiện các thể khác nhau, từ đó đề xuất càng nhiều càng tốt
các ứng dụng khác nhau của chúng.
Biện pháp 2: Thông qua dạy học chứng minh các định lí toán học, dạy học
giải các bài tập toán, luyện tập cho học sinh các biến đổi tương đương, nhìn nhận
định lí, bài toán theo nhiều cách khác nhau dẫn đến các cách chứng minh, giải toán
khác nhau. Từ đó tập luyện cho học sinh cách huy động các kiến thức khác nhau.
Khi thực hiện các biện pháp này cần quan tâm các đối tượng quan hệ trong bài toán
được xem xét, cài đặt trong các mô hình khác nhau. Chẳng hạn, xem tứ diện là bộ
phận của hình hộp, tùy theo các loại tứ diện để có các loại hình hộp tương ứng
ngoại tiếp nó. Đặc biệt chú trọng diễn đạt các định lí, các bài toán theo các cách
tương đương, tương thích với cách giải khác nhau.
Biện pháp 3:Luyện tập cho học sinh cách chuyển đổi ngôn ngữ trong một nội
dung toán học hoặc chuyển đổi ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác thông qua dạy
học các tình huống điển hình. Từ đó dẫn đến các cách lập luận chứng minh, giải
quyết các vấn đề khác thôi.
Biện pháp 4: Thông qua dạy học các tình huống điển hình, chú trọng cài đặt
thích hợp cách luyện tập cho học sinh các quan điểm biện chứng của tư duy toán
học. Khi thực hiện biện pháp này chú trọng giáo dục cho học sinh các mối liên hệ
giữa cái chung và cái riêng; quan hệ giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, xem xét sự
vật trong trạng thái vận động biến đổi.
Biện pháp 5:Quan tâm đúng mức luyện tập cho học sinh thói quen khai thác
tiềm năng sách giáo khoa, khắc sâu mở rộng kiến thức, phát triển các bài toán từ
nền kiến thức chuẩn đã được quy định.
Ví dụ minh họa vận dụng dạy học kiến tạo trong dạy học giải bài tập toán
Ví dụ 2.6: Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Một đường thẳng d
cắt cạnh AB, AC và AM lần lượt tại B’, C’, M’. Chứng minh rằng:

41. 37
2 (1*)
' ' '
AB AC AM
AB AC AM
 
Hướng dẫn: Ta đặt: ; ;
' ' '
AB AC AM
k n m
AB AC AM
  
1 1 1
' ; ' ; ' (1)AB AB AC AC AM AM
k n m
   
     
Do các điểm B’. C’, M’ thẳng hàng nên:
1
(2)
' ' 'AM AB AC
 
 
 

 
  
Và
1 1
(3)
2 2
AM AB AC 
  
Từ (1), (2), (3):
1 1
( )
2
1 1 1
0
2 2
AB AC AB AC
m k n
AB AC
m k n n
 
 

  
   
       
   
   
  
Do ,AB AC
 
không cùng phương nên :
1
0
2 2
2 ( )
1 1
0 1
2 2
k
m k m
k n m dpcm
n
n n m




 
    
    
    
  
- Phát hiện các thể khác nhau của bài toán:
Xét các giao điểm của đường thẳng d đối với các cạnh của tam giác ABC
hoặc đoạn thẳng AM dựa trên giao điểm đã xét trong bài toán. Từ đó rút ra nhận xét
sự biến đổi của đẳng thức (1*) tạo ra đẳng thức mới, khi d đi qua các điểm đặc biệt
của tam giác chẳng hạn như trên cạnh, hoặc AM, hoặc điểm ngoài cạnh.
- Khi d đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi đó M’ là trọng tâm của tam giác và
(1*) trở thành:
3(1.1*)
' '
AB AC
AB AC
 
-Khi Đường thẳng d đi qua đỉnh B và cắt cạnh AC của tam giác hoặc đi qua đỉnh C
và cắt cạnh AB của tam giác, (1*) trở thành:
Hình 2.1

42. 38
E'
G'
G
M
A C
B
S
A'
B'
C'
E
B'
M
C'
M
A
B C
A
B C
M'
M'
Hình 2.2
1 2 (1.2*)
' '
1 2 (1.2*)
' '
AC AM
AC AM
AB AM
AB AM
 
 
-Khi đường thẳng d đi qua trung điểm M của cạnh BC khi đó (1*) sẽ thành:
2(1.3*)
' '
AB AC
AB AC
 
Giáo viên có thể tập luyện một số cách huy động kiến thức khác nhau cho
học sinh. Khi thực hiện cần quan tâm các đối tượng quan hệ trong bài toán được
xem xét, cài đặt trong các mô hình khác nhau. Từ hình phẳng sang không gian và
ngược lại. Quan tâm đúng mức luyện tập cho học sinh thói quen khắc sâu và mở
rộng kiến thức, phát triển các bài toán từ nền kiến thức chuẩn đã có.
Ví dụ 2.2: Cho hình chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Một mặt
phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC và SG lần lượt tại A’, B’, C’ và G’. Chứng minh
rằng: 3 (2*)
' ' ' '
SA SB SC SG
SA SB SC SG
  
Giải:
Gọi M là trung điểm BC, điểm E đối xứng G qua M, SM cắt B’C’ tại M’, SE cắt
A’M’ tại E’.
Áp dụng (1*) đối với các tam giác ABC ta có:
Trong tam giác SBC và tam giác SGE
2 (2)
' ' ' ' '
SM SB SC SG SE
SM SB SC SG SE
   
Trong tam giác SAE, G là trung điểm AE nên
Hình 2.3

43. 39
O'
O
D
C
A B
S
D'
A'
B'
C'
O'
O
D
C
A B
S
D'
B'
M
S
C
B
A
N
M
O K
2 2 (3)
' ' ' ' ' '
SA SE SG SE SG SA
SA AE SG AE SG SA
    
Thay (3) vào (2) ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (P)
cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng:
' ' ' '
SA SC SB SD
SA SC SB SD
  
Giải:
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. O’ là giao điểm của SO với (P).
Trong tam giác SAC và SBD ta có:
2
' ' ' ' '
SO SA SC SB SD
SO SA SC SB SD
   
Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là
điểm di động trên SC. Mặt phẳng (P) qua AM cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’,
D’. Chứng minh rằng
' '
SB SD SC
SB SD SM
  có giá trị không đổi.
Giải:
Ta có SO, B’D’, AM đồng quy tại O’.
Trong tam giác SBD áp dụng (1*) 2. (2)
' ' '
SB SD SO
SB SD SO
 
Trong tam giác SAC áp dụng (1.2*) 1 2. (3)
'
SC SO
SM SO
 
Kết hợp (2) và (3): 1
' '
SB SD SC
SB SD SM
  
Ví dụ 2.9: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2 3 / 3a
và O là tâm của đáy. Mặt phẳng (P) thay đổi chứa SO và cắt đoạn AB, AC lần lượt
tại M và N (M, N khác A). Chứng minh rằng:
1 1 3
AM AN a
 
Giải:
Tam giác ABC đều nên O là trọng tâm tam giác, áp dụng
(1.1*) ta có:
1 1 3
3 3
AB AC a a
AM AN AM AN AM AN a
       
Hình 2.4
Hình 2.5
Hình 2.6