Luận văn: Nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu toán học trong mệnh đề

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------
Phan Sĩ Đức
MỘT NGHIÊN CỨU
VỀ NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC
TRONG VIỆC DIỄN ĐẠT
MỘT MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành Phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------
Phan Sĩ Đức
MỘT NGHIÊN CỨU
VỀ NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC
TRONG VIỆC DIỄN ĐẠT
MỘT MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG
Thành Phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Vũ Như Thư Hương,
người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan
trọng vào việc hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn
Tiến, TS.Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình
giảng dạy, truyền thụ kiến thức Didactic Toán.
Tôi xin trân trọng cám ơn: PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent
đã nhiệt tình góp ý hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp những thắc mắc cần thiết
cho chúng tôi.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH trường ĐHSP TP.
HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi khi học tập tại trường.
- Hiệu trưởng cùng Ban Giám hiệu Trường THPT Đateh – Lâm Đồng và
quý Thầy (Cô) đồng nghiệp trong tổ Toán – tin đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
trong lúc học tập tại trường ĐHSP TP. HCM, cũng như khi làm thực nghiệm tại
trường.
Xin gởi lời cảm ơn chân thành đến các thành viên trong lớp Didactic toán
khóa 21 đã cùng tôi chia xẻ những vui, buồn cũng như những khó khăn trong khóa
học.
Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, luôn động
viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt.
Phan Sĩ Đức

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC BẢNG
DANH MỤC VIẾT TẮT
MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát..................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu .......................................3
2.1. Mục đích nghiên cứu..........................................................................................3
2.2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu..............................................................................3
3. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................4
4. Cấu trúc của luận văn ............................................................................................5
CHƯƠNG 1 VAI TRÒ CỦA NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC Ở CẤP ĐỘ
TRI THỨC CẦN DẠY ..................................................................................................6
1.1. Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc tiểu học ......................................6
1.1.1. Lớp 1 ...............................................................................................................6
1.1.2. Lớp 2 ...............................................................................................................8
1.1.3. Lớp 3 .............................................................................................................10
1.1.4. Lớp 4 .............................................................................................................11
1.1.5. Lớp 5 .............................................................................................................12
1.2. Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc THCS.......................................14
1.2.1. Lớp 6 .............................................................................................................14
1.2.2. Lớp 7 .............................................................................................................19
1.2.3. Lớp 8 .............................................................................................................23
1.2.4. Lớp 9 .............................................................................................................27
1.3. Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc THPT.......................................30
1.3.1. Lớp 10 nâng cao ............................................................................................30
1.3.1.1. Đại số 10 nâng cao..................................................................................30
1.3.1.2. Hình học 10 nc........................................................................................35
1.3.2. Lớp 10 cơ bản................................................................................................37
1.3.2.1. Đại số 10 cơ bản......................................................................................37
1.3.2.2. Hình học 10 cơ bản .................................................................................37
1.3.3. Lớp 11 nâng cao ............................................................................................38
1.3.3.1. Đại số và giải tích 11 nâng cao...............................................................38

1.3.3.2. Hình học 11 nâng cao .............................................................................38
1.3.3.2.1. Chương I: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng 38
1.3.3.2.2. Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan
hệ song song.....................................................................................................39
1.3.3.2.3. Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc.........43
1.3.4. Lớp 11 cơ bản................................................................................................44
1.3.4.1. Đại số và giải tích 11 cơ bản...................................................................44
1.3.4.2. Hình học 11 cơ bản .................................................................................45
1.3.4.2.1. Chương I: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng 45
1.3.4.2.2. Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan
hệ song song.....................................................................................................45
1.3.4.2.3. Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong
không gian .......................................................................................................47
Chương 2 VAI TRÒ CỦA NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC TRONG DẠY –
HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11........................................................................49
2.1. Trong vở ghi chép của học sinh........................................................................49
2.1.1. Học sinh 11nc................................................................................................50
2.1.2. Học sinh lớp 11cb..........................................................................................61
2.2. Biên bản thực hành giảng dạy của Giáo viên..................................................64
2.2.1. Bài “Đường thẳng vuông góc với Mặt phẳng”, chương trình nâng cao. (TA)
.................................................................................................................................65
2.2.2. Bài “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng”, chương trình cơ bản. (TB) ..73
Chương 3 THỰC NGHIỆM.......................................................................................87
3.1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm ...............................................................88
3.2. Phân tích tiên nghiệm các bài toán thực nghiệm............................................88
3.2.1. Bài toán thực nghiệm ....................................................................................88
3.2.2. Các biến dạy học ...........................................................................................89
3.2.3. Phân tích chi tiết các bài toán........................................................................91
3.3. Phân tích hậu nghiệm các bài toán thực nghiệm............................................98
KẾT LUẬN.................................................................................................................105
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1: Bảng thống kê lời giải câu 1 của bài tập 1 ...................................................99
Bảng 3.2: Bảng thống kê lời giải câu 2 của bài tập 1 .................................................100
Bảng 3.3: Bảng thống kê lời giải câu 3 của bài tập 1 .................................................100
Bảng 4.4: Bảng thống kê lời giải câu hỏi 4 của bài tập 1 ...........................................101
Bảng 3.5: Bảng thống kê lời giải bốn câu hỏi của bài tập 1 .......................................101
Bảng 3.6: Bảng thống kê lời giải của bài tập 2 ...........................................................102
Bảng 3.7: Bảng thống kê lời giải của bài tập 3 ...........................................................103

DANH MỤC VIẾT TẮT
CB : cơ bản
GV : giáo viên
HS : học sinh
NC : nâng cao
NXB : nhà xuất bản
NXBGD : nhà xuất bản giáo dục
SBT : sách bài tập
SGK : sách giáo khoa
SGV : sách giáo viên
THCS : trung học cơ sở
THPT : trung học phổ thông
TP. HCM : thành phố Hồ Chí Minh
tr : trang

1
Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Việc hiểu và vận dụng linh hoạt một mệnh đề toán học vào giải quyết các bài toán
được thành thục là một việc làm không dễ. Nhưng, việc trình bày các mệnh đề toán học
đó như thế nào cho thật ngắn gọn, xúc tích, làm nổi bật nội dung của mệnh đề đó để
thuận lợi cho việc vận dụng chúng vào suy luận toán học … còn khó hơn rất nhiều.
Là giáo viên toán, chúng tôi luôn mong muốn mọi bài giảng của mình được trình
bày sao cho thật ngắn gọn, sáng sủa, xúc tích nhưng hợp logic và học sinh có thể hiểu
và vận dụng được. Nhưng có một thực tế là, trong quá trình giảng dạy của mình nhất là
khi dạy về hình học không gian, việc học sinh diễn dịch lại các mệnh đề toán học (định
nghĩa, định lí, phân tích yêu cầu của một bài toán…) từ ngôn ngữ thông thường sang
ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngược lại nhằm mục đích củng cố kiến thức thì học sinh
gặp rất nhiều lúng túng và sai lầm, chẳng hạn:
Hay
Hay

2
Hay
Hay
Hay
Những sai lầm này xuất phát từ đâu? Chính những điều này đã ảnh hưởng lên việc
học hình học không gian nói riêng và suy luận toán học nói chung, cũng như sự phát
triển tư duy logic sau này của học sinh. Xuyên suốt cả hệ thống dạy học toán phổ
thông, chúng tôi nhận thấy kí hiệu toán học được đưa vào một cách ngầm ẩn dần dần
trong quá trình giảng dạy sao cho phù hợp với trình độ hiểu biết của học sinh, nhằm
phục vụ việc suy luận toán học cũng như vận dụng vào các môn khoa học khác (vật lí,
hóa học, sinh học v v …). Điều này cho thấy kí hiệu toán học không những quan trọng
đối với bộ môn toán mà còn quan trọng đối với những môn khoa học khác.
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi nhận thấy việc nghiên cứu đề tài này là cần thiết
với những câu hỏi xuất phát sau:

3
- Kí hiệu toán học được đưa vào giảng dạy nhằm mục đích gì? Giải quyết vấn đề
gì? Những kí hiệu đó có vai trò như thế nào đối với việc dạy – học toán học?
Việc diễn dịch lại các mệnh đề toán học bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học có lợi
ích ra sao trong suy luận toán học?
- Những ràng buộc của hệ thống dạy học toán ở phổ thông có ảnh hưởng như thế
nào đối với hiểu biết của giáo viên và học sinh về các kí hiệu toán học? Cách
trình bày của sách giáo khoa đã ảnh hưởng như thế nào đến việc tiếp thu tri thức
của học sinh?
- Trong thực tế dạy học, kí hiệu toán học đã được vận dụng vào giảng dạy như thế
nào? Có sự khác biệt, tương đồng nào giữa cách trình bày của sách giáo khoa
với cách trình bày của giáo viên? Sự chênh lệch đó có ảnh hưởng đến việc tiếp
thu tri thức toán ở học sinh? Học sinh vận dụng kí hiệu toán học vào việc diễn
dịch lại các mệnh đề toán học cũng như vào suy luận toán học cụ thể ra sao?
Giáo viên mong đợi điều gì ở học sinh?
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của chúng tôi là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra ở trên. Chúng
tôi quan tâm đến mọi kí hiệu toán học xuất hiện trong chương trình toán phổ thông
hiện hành. Tuy nhiên, do hạn chế về nguồn tài liệu tham khảo lịch sử các kí hiệu toán
học cũng như thời gian không cho phép chúng tôi thực hiện một nghiên cứu với quy
mô lớn nên trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi giới hạn lại một số kí hiệu
toán học “đặc biệt” như: { } [; ; ; ; ; ; ; ; ; ;∈∉ ⊂ ⊄ ⇒ ⇔ ⊥ trong việc dạy – học hình học
không gian lớp 11.
2.2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của didactic toán. Cụ thể, chúng
tôi vận dụng một số khái niệm của lí thuyết nhân chủng học như: mối quan hệ thể chế,

4
mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức, tổ chức toán học, chuyển đổi didactic và
của lí thuyết tình huống như: khái niệm hợp đồng didactic.
Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên
cứu như sau:
Q1: Ở cấp độ tri thức cần dạy, kí hiệu toán học được đưa vào giảng dạy như thế
nào, dưới hình thức nào? Vai trò của nó? Những ràng buộc của thể chế dạy học ảnh
hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân của giáo viên và của học sinh đối với đối
tượng là kí hiệu toán học?
Q2: Trong thực hành giảng dạy, Giáo viên sử dụng ngôn kí hiệu toán học như thế
nào? Cách thức sử dụng? Cách thức đó tạo ra những thuận lợi, và gây ra khó khăn gì
cho học sinh trong việc tiếp thu tri thức toán? Kĩ năng sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán
học được giáo viên quan tâm ra sao? Có những quy tắc nào của hợp đồng didactic được
hình thành khi sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học để diễn đạt các định lí, định nghĩa và
trong suy luận giải toán.
3. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi tiến hành phân tích các sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập toán
của ba bậc học trong chương trình toán phổ thông hiện hành, để tìm hiểu kí hiệu toán
học được đưa vào giảng dạy như thế nào. Vai trò của nó trong dạy học toán nói chung,
trong hình học không gian 11 nói riêng. Nhằm trả lời cho câu hỏi Q1. Nghiên cứu này
cho phép chúng tôi dự đoán những gì có thể tồn tại trong lớp học, những điều kiện,
ràng buộc trên hoạt động dạy của giáo viên, hoạt động học của học sinh và đưa ra các
giả thuyết nghiên cứu. Kết quả sẽ được trình bày trong chương 1.
Ngoài ra, chúng tôi còn phân tích vở ghi chép của học sinh, một số tiết dạy của giáo
viên nhằm tìm hiểu xem có những sai lầm nào thường xảy ra đối với học sinh trong quá
trình học hình học không gian, cũng như những quan tâm của giáo viên đối với việc sử
dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học khi diễn đạt một mệnh đề toán học. Nghiên cứu này
cũng cho phép chúng tôi dự đoán những sai lầm của học sinh trong việc sử dụng ngôn

5
ngữ kí hiệu toán học để diễn đạt một mệnh đề toán học. Kết quả được trình bày trong
chương 2.
Với những giả thuyết cần kiểm chứng. Chúng tôi xây dựng và tiến hành thực
nghiệm trên đối tượng học sinh qua các phiếu học tập. Các kết quả nhận được cho phép
chúng tôi trả lời cho câu hỏi Q2 và được trình bày trong chương 3.
Sơ đồ thực hiện:
4. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm có phần mở đầu, kết luận và ba chương.
Phần mở đầu trình bày lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát, mục đích nghiên cứu,
lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn.
Chương 1: Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở cấp độ tri thức cần dạy.
Chương 2: Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở cấp độ tri thức được dạy.
Chương 3: Thực nghiệm.
Phần kết luận là những kết quả đạt được qua nghiên cứu chương 1, chương 2,
chương 3 và hướng nghiên cứu khác mở ra từ luận văn.
Nghiên cứu ngôn ngữ kí hiệu
toán học ở cấp độ tri thức cần
dạy (phân tích sách giáo khoa,
sách bài tập, sách giáo viên…)
Nghiên cứu ngôn ngữ kí hiệu toán học ở
cấp độ tri thức được dạy (nghiên cứu thực
hành của giáo viên, phân tích vở ghi của
học sinh, phỏng vấn giáo viên …)
Kết luận

6
CHƯƠNG 1
VAI TRÒ CỦA NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC
Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN DẠY
Mục đích
Mục đích chúng tôi muốn tìm hiểu kí hiệu toán học, được đưa vào chương trình
toán phổ thông như thế nào? Mang những giá trị nào? Được thể chế dạy học toán phổ
thông sử dụng chúng ra sao trong việc diễn đạt một mệnh đề toán học (định nghĩa, định
lí, chứng minh định lí, giải toán…)? Có những ràng buộc nào trong việc sử dụng chúng
khi diễn đạt một mệnh đề toán học? Có những quy tắc ngầm ẩn nào được hình thành từ
việc sử dụng chúng trong diễn đạt một mệnh đề toán học. Đồng thời, nhằm trả lời cho
câu hỏi Q1.
Đối với bậc tiểu học, Chương trình toán không có sự phân biệt giữa số học và hình
học. Do đó, chúng tôi không phân tích riêng từng phân môn.
Để giúp việc trình bày được thuận lợi, chúng tôi sử dụng hình thức viết tắt sau:
Mi, Gi, Ei (Với i = 1, 2, …,9), tương ứng là sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài
tập ở các lớp: 1, 2,…, 9.
1.1. Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc tiểu học
1.1.1. Lớp 1
Chúng tôi chọn bộ sách toán 1 hiện hành – Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) – 2006 – nhà
xuất bản giáo dục (NXBGD) để phân tích.
Kí hiệu toán học xuất hiện đầu tiên trong sách toán 1 (kí hiệu M1) là những con số,
chẳng hạn:
Các số 1, 2, 3,… (M1, tr. 11)
Kí hiệu “→” thay cho cụm từ “dẫn đến” khi trình bày thứ tự các con số, chẳng hạn:
→ → (M1, tr. 13)
Kí hiệu “<” thay cho cụm từ “bé hơn”; kí hiệu “>” thay cho cụm từ “lớn hơn” khi so
sánh hai số, chẳng hạn:
1 2 3

7
1 < 2 (M1, tr. 17)
Hay
2 > 1 (M1, tr. 19)
Kí hiệu “=” thay cho cụm từ “bằng nhau” khi diễn đạt sự bằng nhau của hai số, chẳng
hạn:
5 = 5 (M1, tr. 22)
Kí hiệu “+” thay cho từ “cộng” hay cụm từ “thêm vào”, “phép cộng” khi tính toán,
chẳng hạn:
1+1 = 2 (M1, tr.44)
Kí hiệu “−” thay cho từ “trừ” hay cụm từ “bớt đi”, “phép trừ” khi tính toán, chẳng hạn:
2 - 1 = 1 (M1, tr.54)
Kí hiệu “cm” thay cho cụm từ “xăng – ti – mét” khi đo độ dài đoạn thẳng, chẳng hạn:
1. Vẽ đoạn thẳng có độ dài:
5cm; 7cm; 2cm; 9cm. (M1, tr.123)
Kí hiệu: A, B, C,…chỉ một “điểm” cho trước.
Ngoài ra, còn xuất hiện hình thức đọc những con số (kí hiệu toán học) thành lời
(ngôn ngữ thông thường) và ngược lại, chẳng hạn:
1. Viết (theo mẫu): a)
Đọc số Viết số
Sáu mươi 60
Tám mươi
Năm mươi
Ba mươi
(M1, tr.127)
Đây được xem là “tiền đề” cho hoạt động diễn dịch một mệnh đề toán học, từ ngôn ngữ
thông thường sang ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngược lại sau này.
Đối với các bài toán có lời văn, lời giải được trình bày có sự kết hợp giữa ngôn ngữ
kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông thường, chẳng hạn:
Viết số Đọc số
20 Hai mươi
10
90
70

8
Bài toán: Nhà An có 9 con gà, mẹ đem bán 3 con gà. Hỏi nhà An còn lại mấy con gà?
Tóm tắt Bài giải
Có: 9 con gà Số gà còn lại là:
Bán: 3 con gà 9 – 3 = 6 (con)
Còn lại:… con gà? Đáp số: 6 con gà. (M1, tr.148)
Kí hiệu “}” thay cho từ “và” trong hoạt động tóm tắt nội dung bài toán, chẳng hạn:
3. Hà có 35 que tính, Lan có 43 qua tính. Hỏi hai bạn có tất cả bao nhiêu que tính?
Tóm tắt
Hà có:35 que tính
Lan có: 43 que tính
� ? que tính. (M1, tr.162)
Kí hiệu này chỉ xuất hiện một lần trong M1. Vậy, liệu HS có hiểu nghĩa của kí hiệu
toán học đó? Xuất hiện với mục đích gì?
Chúng tôi không tìm thấy một sự giải thích nào trong thể chế dạy học toán 1 cho việc
sử dụng kí hiệu toán học này.
Từ những ghi nhận trên cho thấy, thể chế dạy học toán 1 quan tâm việc
hình thành và rèn luyện các kĩ năng thực hành: đọc, viết, đếm, so sánh […], bước đầu
biết diễn đạt bằng lời, bằng kí hiệu một số nội dung đơn giản của bài học và thực hành.
(G1, tr. 3)
Hay
Trong quá trình dạy học toán, phải quan tâm đúng mức đến rèn luyện cho học sinh
cách diễn đạt ngắn, gọn, rõ ràng, vừa đủ nội dung của một thông tin bằng lời hoặc
bằng kí hiệu, sơ đồ. (G1, tr.12)
Như vậy, ngay từ lớp 1 đã có những ràng buộc nhất định trong việc diễn đạt nội dung
bài học, bài thực hành bằng ngôn ngữ thông thường và ngôn ngữ kí hiệu toán học.
1.1.2. Lớp 2
Chúng tôi chọn bộ sách toán 2 hiện hành – Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) – 2006 –
NXBGD để phân tích.
Kí hiệu “dm” thay cho cụm từ “Đề – xi – mét” khi đo hoặc tính độ dài của đoạn
thẳng, chẳng hạn:

9
Tính (theo mẫu):
a) 1dm +1dm = 2dm 3dm + 2dm =
8dm + 2dm = 9dm + 10dm =
[…] . (M2, tr.7)
Kí hiệu “−” thay cho cụm từ “ít hơn” hay “kém” trong bài toán có lời văn, chẳng hạn:
Bài toán: hàng trên có 7 quả cam, hàng dưới có ít hơn hàng trên 2 quả cam. Hỏi hàng
dưới có mấy quả cam? (M2, tr. 30)
Kí hiệu “kg” thay cho cụm từ “kí –lô –gam”. Kí hiệu “l” thay cho từ ‘lít” trong đơn vị
đo, khi tính toán chẳng hạn:
Tính (theo mẫu): a) 9 l + 8 l = 17 l 15 l + 5 l = […] (M2, tr.41)
Kí hiệu “𝓍” thay cho cụm từ “số chưa biết” trong bài toán “Tìm 𝓍”, chẳng hạn:
1. Tìm 𝓍 (theo mẫu):
a) 𝓍 + 3 = 9 b) 𝓍 + 5 = 10 c) 𝓍+ 2 = 8 […]
𝓍 = 9 – 3
𝓍 = 6
(M2, tr.45)
Ngoài ra, kí hiệu “𝓍” còn thay cho cụm từ “số trừ” trong bài toán tìm số trừ, chẳng hạn:
Số bị trừ:10 10 – 𝓍 = 6
Số trừ: 𝓍 𝓍 = 10 – 6
Hiệu: 6 𝓍 = 4 (M2, tr.72)
Kí hiệu “×” thay cho cụm từ “phép nhân” hay “tích” khi tính toán về số, chẳng hạn:
2 × 5 = 10 (M2, tr.94)
Kí hiệu “:” thay cho cụm từ “phép chia” khi tính toán về số, chẳng hạn:
Tính nhẩm: 6 : 2 = 2 : 2 = 20 : 2 = […] (M2, tr.109)
Kí hiệu “Đoạn thẳng” xuất hiện không tường minh trong M2, được ngầm ẩn qua cạnh
của tam giác, chẳng hạn:
Hình tam giác ABC có ba cạnh là: AB, BC và CA. (M2, tr. 130)
Ngoài ra, hình thức “đọc số”, “viết số” tiếp tục được thể chế dạy học toán 2 chú
trọng rèn luyện, chẳng hạn:

10
(M2, tr.149)
Bên cạnh đó còn có ràng buộc là thông qua
Giải một số dạng bài toán đơn về cộng, trừ, nhân, chia, bước đầu biết diễn đạt bằng lời,
bằng kí hiệu một số nội dung đơn giản của bài học và bài thực hành. (G2, tr. 4)
1.1.3. Lớp 3
Xuất hiện các kí hiệu về đơn vị đo như: “dam”, “hm”, “km”, “m”, “mm”, “cm2
”
thay cho những cụm từ tương ứng là: “Đề – ca mét”, “héc – tô – mét”, “kí – lô – mét”,
“mét”, mi – li – mét”, “xăng – ti mét - vuông” khi tính toán, chẳng hạn:
1dam = 10m, […], 1hm = 100m. (M3, tr. 44)
Kí hiệu “Đoạn thẳng” còn xuất hiện ngầm thông qua độ dài của nó, chẳng hạn:
Độ dài đoạn thẳng AM bằng độ dài đoạn thẳng MB viết là AM = MB. (M3, tr. 98)
Hay
Độ dài đoạn AB bằng 4 viết là AB = 4. (M3, tr. 99)
Tức là, khi cho AM = MB hay AB = 4, thì các kí hiệu AM, MB hay AB tương ứng
được hiểu là các đoạn thẳng.
Đối với hoạt động diễn dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ kí
hiệu toán học và ngược lại tiếp tục được thể chế dạy học toán 3 rèn luyện. Cụ thể, cần:
Giúp học sinh phát triển trình độ tư duy và khả năng diễn đạt bằng lời, bằng hình ảnh,
bằng kí hiệu, …(G3, tr. 19)
Viết số Trăm Chục Đơn vị Đọc số
116 1 1 6 Một trăm mười sáu
815 … … … …………………….
307 … … … …………………….
… 4 7 5 …………………….
… … … … Chín trăm
… 8 0 2 …………………….

11
Với những kết quả phân tích được từ các lớp 1, 2, 3 cho thấy ngôn ngữ kí hiệu toán
học có một vai trò to lớn trong việc tiếp thu tri thức toán và hình thức diễn đạt nội dung
bài học và bài thực hành của HS.
1.1.4. Lớp 4
NXBGD, để phân tích.
Theo G4, trang 4 thì:
Giai đoạn các lớp 1, 2, 3 có thể coi là giai đoạn học tập cơ bản vì giai đoạn này học
sinh được chuẩn bị những kiến thức, những kỉ năng cơ bản nhất về đếm, đọc, so
sánh,… (G4, tr. 4)
Hay
Giai đoạn lớp 4, 5 có thể coi là giai đoạn học tập sâu (so với giai đoạn trước).
(G4, tr. 4)
Có sự khác biệt nào trong giai đoạn sau này so với giai đoạn trước? Chúng tôi tiến
hành phân tích để tìm hiểu.
Hoạt động diễn dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ kí hiệu toán
học xuất hiện sớm như: “đọc” và “viết” các số. Hoạt động này không khác biệt so với
các lớp ở giai đoạn trước (lớp 1, 2, 3). Ngoài ra, có xuất hiện hình thức khái quát hóa
các quy tắc thành những công thức và ngược lại, chẳng hạn:
a+b = b+a
Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi. (M4, tr. 42)
Với hoạt động này của M4, giúp HS dễ dàng học thuộc các quy tắc trên nhờ hình thức
phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường. Thật vậy, theo G4, trang 5 thì:
Nhờ khái quát hóa bằng các công thức (hoặc khái quát hóa bằng lời) trong số học mà
học sinh có điều kiện tự lập một số công thức tính chu vi, tính diện tích của một số
hình đã và đang học […] (G4, tr. 5)
Đây là điểm khác biệt của toán 4 so với các lớp dưới về việc diễn dịch các quy tắc
(bằng ngôn ngữ thông thường) sang công thức (bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học).

12
Bên cạnh đó, còn xuất hiện thêm những kí hiệu về đơn vị đo như: “dag” thay cho cụm
từ “đề – ca – gam”; “hg” thay cho cụm từ “héc – tô – gam”; “dm2
” thay cho cụm từ “đề
– xi – mét – vuông”; “m2
” thay cho “mét – vuông”,… khi đo đạc hoặc tính toán, chẳng
hạn:
Viết số thích hợp vào chỗ chấm:
1m2
= …dm2
400dm2
= …m2
[…] (M4, tr. 65)
1.1.5. Lớp 5
Tiếp tục giới thiệu các kí hiệu về đơn vị đo như: “dam2
” thay thế cho cụm từ “đề –
ca – mét – vuông”; “hm2
” thay thế cho “héc – tô – mét – vuông”; “ha” thay thế cho
“héc – ta”, …để đo đạc hay tính toán, chẳng hạn:
2 2 2 2 223 23
5 23 5 5
100 100
dam m dam dam dam= + = . (M5, tr. 27)
Kí hiệu “%” xuất hiện trong lời giải của một bài toán, chẳng hạn:
Ta viết:
25
25%
100
= ;
Đọc là: hai mươi lăm phần trăm. (M5, tr. 73)
Ngoài ra, còn xuất hiện nhiều kí hiệu khác như: “S” thay cho cụm từ “diện tích”; “h”
thay cho cụm từ “chiều cao”; “C” thay cho cụm từ “chu vi”; “V” thay cho cụm từ “thể
tích”; “r” thay cho “bán kính đường tròn” khi giải toán, chẳng hạn:
C = r × 2 × 3,14 (M5, tr.98)
Kí hiệu “r” còn được thay thế cho cụm từ “số dư” trong phép chia có dư, chẳng hạn:
Phép chia có dư: a : b = c (dư r), ta có a = b × c + r (0 < r < b). (M5, tr. 163)
Vậy, liệu có sự nhập nhằng nào cho HS khi sử dụng kí hiệu “r” trong giải toán?
Bên cạnh đó, các công thức tính “diện tích”, “chu vi”, “thể tích”,… được diễn đạt bằng
ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông thường. Hình thức diễn đạt này không

13
những giúp HS dễ thuộc các công thức đó mà còn dễ dàng vận dụng chúng vào tính
toán. Theo G5, trang 5 thì HS cần phải:
Biết diễn đạt một số nhận xét, quy tắc, tính chất,…bằng ngôn ngữ (nói, viết dưới dạng
công thức,…) ở dạng khái quát. (G5, tr. 5)
Đối với hình thức trình bày lời giải bài toán, thể chế dạy học toán 5 có ràng buộc sau:
SGK chưa yêu cầu giải thích cách làm nên không yêu cầu học sinh trình bày phần giải
thích cách làm vào bài làm. (G5, tr.18)
Chẳng hạn:
Chuyển các phân số thập phân sau thành hỗn số (theo mẫu):
162 734 5608 603
; ; ;
10 10 100 100
.
Mẫu: 162/10 =16
2
10
(M5, tr. 38)
Qua phân tích vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc tiểu học, chúng tôi có
những nhận định sau:
- Kí hiệu toán học được thể chế dạy học toán ở các lớp bậc tiểu học, thường
xuyên cung cấp nhằm giúp cho việc diễn đạt nội dung bài học, bài thực hành
được thuận tiện hơn, ngắn gọn hơn,…
- Thể chế dạy học toán ở tiểu học coi trọng việc diễn đạt nội dung bài học, bài
thực hành (tính chất, quy tắc, công thức, lời giải bài toán,…) bằng ngôn ngữ kí
hiệu toán học và hoạt động diễn dịch từ hình thức diễn đạt này sang hình thức
diễn đạt kia và ngược lại.
- Việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học vào diễn đạt nội dung bài học, bài thực
hành cũng có sự tiến triển theo từng giai đoạn (từ chưa sử dụng kí hiệu bằng chữ
sang có sử dụng kí hiệu bằng chữ, từ chưa có khái quát thông tin thành công
thức sang có khái quát thành công thức).
- Có sự nhập nhằng trong việc sử dụng kí hiệu toán học trong diễn đạt nội dung
bài học, bài thực hành.

14
1.2. Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc THCS
Chương trình toán ở bậc THCS đã có sự phân biệt rõ giữa các phân môn: số học,
hình học, đại số. Vì vậy, chúng tôi sẽ phân tích theo từng phân môn riêng trong các bộ
sách toán hiện hành.
1.2.1. Lớp 6
Chúng tôi chọn bộ sách toán 6 hiện hành của Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) –
2006 – NXBGD để phân tích.
A. Phần số học
Lí thuyết “tập hợp” được đưa vào giảng dạy một cách tường minh, phép toán
“logic” cũng được ngầm ẩn đưa vào. Vì vậy, sẽ xuất hiện các kí hiệu toán học liên
quan như: kí hiệu “∈” thay cho từ “Thuộc”; kí hiệu “∉” thay cho cụm từ “Không
thuộc” để “diễn tả quan hệ giữa một phần tử với một tập hợp”. (G6, tập 1, tr. 35)
Chẳng hạn:
1 ∈ A, đọc là 1 thuộc A hoặc 1 là phần tử của A;
5 ∉ A, đọc là 5 không thuộc A hoặc 5 không là phần tử của A. (M6, tập 1, tr. 5)
Kí hiệu “⊂” thay cho từ “Con” hay cụm từ “Chứa trong”; kí hiệu “⊃” thay cho từ
“Chứa” khi “diễn tả một quan hệ giữa hai tập hợp”. (G6, tập 1, tr. 35) chẳng hạn:
Ta kí hiệu: A ⊂ B hay B ⊃ A và đọc là: A là tập hợp con của tập hợp B, hoặc A được
chứa trong B, hoặc B chứa A. (M6, tập 1, tr. 13)
Kí hiệu “∅” thay cho Tập rỗng: tập không có phần tử nào.
Kí hiệu “∩” thay cho từ “Giao” khi diễn đạt phép toán giao của hai tập hợp, chẳng hạn:
Ư(4) ∩ Ư(6) = ƯC(4, 6); B(4) ∩ B(6) = BC(4, 6). (M6, tập 1, tr. 53)
Tuy nhiên, có ràng buộc là:
Giáo viên không nên khai thác sâu các nội dung về tập hợp. (G6, tập 1, tr. 21)
Kí hiệu “≤” thay cho cụm từ “Bé hơn hoặc bằng”; kí hiệu “≥” thay cho cụm từ “Lớn
hơn hoặc bằng” khi diễn đạt biểu thức chứa chữ, chẳng hạn:
Viết a ≤ b để chỉ a < b hoặc a = b, viết b ≥ a để chỉ b > a hoặc b = a.(M6, tập1, tr. 7)

15
Kí hiệu “.” đầu tiên xuất hiện ngầm ẩn với vai trò công cụ, thay cho cụm từ “Phép
nhân” trong một ví dụ, chẳng hạn:
Ví dụ: 222 = 200+20+2
.10ab a b= + với a ≠0
.100 .10abc a b c= + + với a ≠0. (M6, tập 1, tr.9)
Sau đó nó xuất hiện với vai trò đối tượng trong §5. Phép cộng và phép nhân của M6,
chẳng hạn:
[…] dùng dấu “×” hoặc “∙” để chỉ phép nhân. (M6, tập 1, tr. 15)
Như vậy, đến thời điểm này đã có hai kí hiệu thay cho cụm từ “phép nhân”, để diễn đạt
một mệnh đề toán học.
Kí hiệu “≠” cũng xuất hiện với vai trò công cụ trong M6, thay cho cụm từ “Khác
nhau” khi diễn đạt một số khác không, chẳng hạn:
[…], .100 .10abc a b c= + + , với a ≠ 0. (M6, tập 1, tr. 9)
Kí hiệu “⋮” thay cho cụm từ “Chia hết cho”; kí hiệu “⋮” thay cho cụm từ “Không chia
hết”, khi diễn đạt quan hệ chia hết của hai số hay biểu thức chứa chữ, chẳng hạn:
a ⋮ m và b ⋮ m ⇒ (a + b) ⋮ m (M6, tập 1, tr. 35)
Sự xuất hiện của một số kí hiệu: “=”, “≠”, “∈”, “∉”, “⋮”, “ ⋮ ”. Liệu có hình thành nơi
HS quy tắc: “dùng dấu “/” đè chồng lên những kí hiệu toán học mang giá trị khẳng
định để tạo nên những kí hiệu mang giá trị phủ định?”
Kí hiệu “⇒” thay cho cụm từ “Suy ra” hoặc “Kéo theo”. Kí hiệu “⇔” thay cho cụm từ
“tương đương” và đều xuất hiện với vai trò công cụ khi diễn đạt một mệnh đề toán học,
chẳng hạn:
Nếu a ⋮ m và b ⋮ m ⇒ (a + b) ⋮ m (M6, tập 1, tr. 34)
Hay
A ⊂ B ⇔ với mọi x ∈ A thì x ∈ B (G6, tập 1, tr. 36)

16
Với
Ghi chú: trong sách này, dấu “⇔” (tương đương) đã quen thuộc đối với giáo viên. Khi
giải thích cho học sinh, giáo viên nên thay bằng hai dấu “⇒” và “⇐”.
(G6, tập 1, tr. 36)
Kí hiệu “ − ” xuất hiện không chỉ thay cho cụm từ “phép trừ” mà còn thay cho từ “âm”
hay “trừ” trong hệ thống số nguyên, chẳng hạn:
Trong thực tế, bên cạnh các số tự nhiên, người ta còn dùng các số với dấu “−” đằng
trước, như: - 1, - 2, - 3,… (đọc là âm 1, âm 2, âm 3,… hoặc trừ 1, trừ 2, trừ 3,…
(M6, tập 1. Tr. 66)
Liệu có khó khăn nào khi sử dụng kí hiệu “−” trong tính toán các số nguyên âm?
Để trả lời cho câu hỏi này, theo G6, tập 1, trang 96 thì:
Sử dụng kí hiệu dấu “−” với ba nghĩa khác nhau. Dấu “−” trong phép trừ […], dấu
“−” của số nguyên âm […], dấu “−” của số đối. (G6, tập 1, tr. 96)
Với giải thích:
Để thuận tiện, người ta thường dùng dấu “−” (trùng với dấu của phép trừ) để kí hiệu
cho cả số âm và số đối. (G6, tập 1, tr.96)
Và
Giáo viên không nên khai thác sâu điểm này mà chỉ giới thiệu như trong SGK là đủ.
(G6, tập 1, tr.96)
Kí hiệu “ ” thay cho cụm từ “giá trị tuyệt đối” khi diễn đạt giá trị tuyệt đối của một
“số” hoặc “chữ” hoặc “biểu thức”, chẳng hạn:
13 13, 20 20, 75 75, 0 0= − = − = = . (M6, tập 1, tr. 72)
Kí hiệu “:” xuất hiện với vai trò mới đó là thay cho cụm từ “tỉ số” và đã ngầm đồng
nhất kí hiệu của “phép chia” với “tỉ số” là một, chẳng hạn:
Tỉ số của a và b kí hiệu là a : b (cũng kí hiệu là
a
b
). (M6, tập 2, tr. 56)
Với việc đồng nhất này của thể chế dạy học toán 6, liệu có gây ra khó khăn gì cho
HS khi sử dụng hai kí hiệu này, để diễn đạt một mệnh đề toán học?

17
Trong Phần số học này, hầu hết các tính chất trong bài học đều được khái quát hóa
thành những công thức hoặc quy tắc và được diễn đạt bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học
hoặc kết hợp giữa ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông thường (thường là các
liên từ liên kết của phép logic như: và, nếu… thì, hoặc,…), chẳng hạn:
x ∈ ƯC(a, b) nếu a ⋮ x và b ⋮ x (M6, tập 1, tr. 52)
Hay
Tính chất kết hợp của phép cộng các số nguyên:
(a + b) + c = a + (b + c). (M6, tập 1, tr. 78)
Điều đó cho thấy, thể chế dạy học toán 6 quan tâm rèn luyện cách diễn đạt một mệnh
đề toán học bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học. Tuy nhiên, hoạt động diễn dịch một mệnh
đề toán học từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngược lại
không còn mang tính bắt buộc bằng một kiểu nhiệm vụ như ở các lớp bậc tiểu học.
Phần hình học.
Mở đầu phần hình học, thể chế dạy học toán 6 đã đề cập
Mỗi hình phẳng là một tập hợp điểm của mặt phẳng […] (M6, tập 1, tr. 102)
Hay
Bất cứ hình nào cũng là một tập hợp điểm. (M6, tập 1, tr. 103)
Là một thuận lợi cho việc sử dụng những kí hiệu của lí thuyết tập hợp vào diễn đạt các
quan hệ hình học như: quan hệ “Thuộc”, quan hệ “bao hàm”, chẳng hạn:
Điểm A thuộc đường thẳng d kí hiệu là A ∈ d; điểm B không thuộc đường thẳng d kí
hiệu là B ∉ d. (M6, tập 1, tr. 104)
Ngoài ra:
Cần rèn luyện cho học sinh sử dụng thành thạo các cách diễn đạt trực quan “nằm trên”,
“nằm ngoài”, “đi qua”, “không đi qua”, “chứa”, “không chứa”. (G6, tập 1, tr. 136)
Nhưng, chúng tôi không thấy thể chế dạy học toán 6 sử dụng kí hiệu toán học để thay
thế những thuật ngữ trên. Phải chăng thể chế dạy học toán 6 ngầm ủy thác cho GV
làm công việc này khi giảng dạy?

18
Theo M6, tập 1, trang 103 thì “Người ta thường dùng các chữ cái thường a, b,…, m,
p,…để đặt tên cho các đường thẳng”. Đối với đường thẳng đi qua hai điểm, chẳng hạn
A, B thì không kí hiệu là AB mà luôn có cụm từ “Đường thẳng” đứng trước nó, chẳng
hạn:
Ta gọi đường thẳng đi qua hai điểm A và B là đường thẳng AB hoặc đường thẳng BA.
(M6, tập 1, tr. 108)
Cũng tương tự như vậy đối với kí hiệu của một “Tia”, chẳng hạn:
Tia Ax (M6, tập 1, tr. 111)
Kí hiệu của “Đoạn thẳng” vẫn còn ngầm ẩn thông qua độ dài của nó, như đã phân tích
ở các lớp tiểu học, chẳng hạn:
Ta nói độ dài đoạn thẳng AB bằng 17 mm và kí hiệu AB = 17mm. (M6, tập 1, tr. 117)
Kí hiệu “∠” hoặc “∧”, thay cho từ “Góc” khi diễn đạt góc tạo bởi hai tia hay góc trong
tam giác, chẳng hạn:
Góc xOy, hoặc yOx, hoặc góc O. Các kí hiệu tương ứng là:   , ,xOy yOx O . Cũng còn
kí hiệu là ∠xOy, ∠yOx, ∠O. (M6, tập 2, tr. 74)
Tuy nhiên, kí hiệu “∠” thể chế dạy học toán 6 không ưu tiên sử dụng.
Kí hiệu số đo của góc trùng với kí hiệu của góc tương ứng, chẳng hạn:
Ta cũng kí hiệu số đo của góc xOy là xOy . (M6, tập 2, tr. 77)
Kí hiệu “R” thay cho cụm từ “Bán kính” của đường tròn. Như chúng tôi đã phân tích, ở
lớp 5, kí hiệu “r” cũng thay cho cụm từ “Bán kính” của đường tròn. Như vậy, đã có sự
nhập nhằng trong việc sử dụng kí hiệu bán kính của đường tròn.
Kí hiệu “∆” thay cho cụm từ “tam giác” khi diễn đạt tên gọi một tam giác, chẳng hạn:
Tam giác ABC được kí hiệu là ∆ABC. (M6, tập 2, tr.94)
Tuy nhiên, nó không đứng độc lập khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn ta
không thể ghi: Vẽ ∆ biết độ dài ba cạnh […]?

19
Đối với hai kí hiệu: “{” và “}”. Chúng tôi thống kê như sau:
Kí
hiệu
Thay thế cho
“từ”
Giá trị công cụ
diễn đạt
Ví dụ minh họa
}
“và” Có
M là trung điểm của AB}⇔ MA = MB =
AB/2
(G6, tập 1, tr. 168)
hoặc không
thay thế cho
từ nào cả
Không
{ “và” Có
MA MB AB
MA MB
+ =

=
(G6, tập 1, tr. 168)
Hầu hết các nhận xét, quy tắc đều được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường hoặc kết
hợp với ngôn ngữ kí hiệu toán học, chẳng hạn:
Nhận xét: Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì   xOy yOz xOz+ =. Ngược lại,
nếu   xOy yOz xOz+ = thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz. (M6, tập 2, tr. 81)
Từ những ghi nhận trên cho thấy, thể chế dạy học toán 6 coi trọng việc diễn đạt nội
dung bài học bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học. Theo G6, tập 1, trang 3 thì cần:
Rèn luyện khả năng suy luận hợp lí & hợp logic […], rèn luyện khả năng sử dụng
ngôn ngữ chính xác […], diễn đạt chính xác và sáng sủa ý tưởng của mình và hiểu
được ý tưởng của người khác. (G6, tập 1, tr. 3)
Tuy nhiên, vẫn còn nhập nhằng trong việc sử dụng kí hiệu “bán kính” đường tròn.
1.2.2. Lớp 7
A. Phần Đại Số
Trong phần này, học sinh được làm quen với “Số hữu tỉ, số thực”, “Hàm số và đồ
thị”, “Thống kê” và “Biểu thức đại số”.

20
Vậy có những kí hiệu nào được cung cấp, hình thức diễn đạt nội dung bài học có
tính đến vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học?
Kí hiệu “≈” thay cho cụm từ “gần bằng” hoặc “xấp xỉ” khi làm tròn các số thập phân,
chẳng hạn:
4,9 ≈ 5 (M7, tập 1, tr. 35)
Kí hiệu “√” thay cho cụm từ “căn bậc hai” khi diễn đạt căn bậc hai của một số dương,
chẳng hạn:
√4 = 2 (M7, tập 1, tr. 41)
Kí hiệu “⇒” và “⇔” tiếp tục xuất hiện với vai trò “công cụ”, chẳng hạn:
x + y = xy ⇒ x = xy – y = y(x – 1) ⇒ x : y = x – 1. (E7, tập 1, tr. 27)
Hay
1
1 2
2
x
x
x
> −
⇔ − < <
<
. (E7, tập 1, tr. 27)
B. Phần Hình Học
Giai đoạn lớp 7, là giai đoạn HS bắt đầu làm quen với phương pháp suy luận toán
học. Đây là một bước ngoặt đầy khó khăn của HS. Làm thế nào để HS nắm vững nội
dung bài học (định lí, định nghĩa, chứng minh và giải toán)? Có tính đến vai trò của
ngôn ngữ kí hiệu toán học?
Xuất hiện kí hiệu “⊥” thay cho cụm từ “Vuông góc” khi diễn đạt quan hệ vuông
góc của hai đường thẳng, chẳng hạn:
Hai đường thẳng xx’, yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được
gọi là hai đường thẳng vuông góc và được kí hiệu là xx’ ⊥ yy’. (M7, tập 1, tr. 84)
Hai đường thẳng vuông góc thì chúng phải cắt nhau. Theo G7, tập 1, trang 87 thì:
yêu cầu “cắt nhau” là thừa nhưng cần phát biểu như vậy để bảo đảm tính trực quan.
(G7, tập 1, tr. 87)
Ngoài ra, nó còn được dùng để diễn đạt quan hệ vuông góc giữa “đường thẳng với
đoạn thẳng”, “đoạn thẳng với đoạn thẳng”, “hai tia với nhau”, “tia với đoạn thẳng”, “tia
với đường thẳng”, chẳng hạn:

21
OA ⊥ AB (M7, tập 1, tr. 109)
Theo G7, tập 1, trang 88, 89 giải thích:
Trong SGK không có định nghĩa tường minh khái niệm “đường thẳng vuông góc với một đoạn
thẳng” […] Đường thẳng xy vuông góc với đường thẳng AB tại I (đường thẳng xy vuông góc
với đoạn thẳng AB tại I). Cũng thế, các khái niệm “hai tia vuông góc với nhau” (hai cạnh góc
vuông), “hai đoạn thẳng vuông góc với nhau”(trong tam giác vuông),…không được định nghĩa
trong SGK (để tránh phức tạp) nhưng vẫn được sử dụng khi cần thiết.(G7, tập 1, tr. 88, 89)
Kí hiệu “//” thay cho cụm từ “song song” khi diễn đạt quan hệ song song của hai
đường thẳng, chẳng hạn:
Hai đường thẳng a, b song song với nhau được kí hiệu là a // b. (M7, tập 1, tr. 90)
Và nó cũng được dùng để diễn đạt quan hệ song song của “hai tia”, “đường thẳng với
đoạn thẳng”, “hai đoạn thẳng”, “tia với đoạn thẳng”, “tia với đường thẳng”, chẳng hạn:
O’x’ // Ox (M7, tập 1, tr. 92)
Cũng tương tự, theo G7, tập 1, trang 94 thì mặc dù:
Trong SGK không có các khái niệm “hai đoạn thẳng song song” (trong hình bình
hành), “hai tia song song” (hai góc có cạnh tương ứng song song),…nhưng các khái
niệm đó vẫn được sử dụng khi cần thiết. (G7, tập 1, tr. 94)
Trong đoạn trích trên còn cho thấy không còn xuất hiện từ “tia” khi diễn đạt một tia
cho trước. Như vậy, thể chế dạy học toán 7 đã ngầm bỏ đi từ “tia” trước kí hiệu của nó.
Đặc biệt, ở đây có sự đồng nhất giữa khái niệm “Đoạn thẳng” với “Đường thẳng”,
chẳng hạn:
Đoạn AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc […] (M7, tập 2, tr. 57)
Đây là một khác biệt so với các lớp dưới. Liệu có gây ra sự nhập nhằng nào cho HS
khi giải toán?
Để trả lời cho câu hỏi này, theo G7, tập 2, trang 64 thì
[…] lưu ý rằng ta đã coi các đoạn thẳng là đường và đôi khi cũng xét cả các đường
thẳng chứa các đoạn thẳng này. Tùy từng tình huống cụ thể mà GV yêu cầu HS xét
đường thẳng hay đoạn thẳng. Hay, Tùy từng tình huống mà GV nhắc nhở HS khỏi lầm
lẫn. (G7, tập 2, tr. 72)

22
Kí hiệu “⇔” còn xuất hiện thay cho cụm từ “khi và chỉ khi” khi diễn đạt nội dung định
lí, chẳng hạn:
Với mọi ∆ABC: AB = AC ⇔  B C= . (M7, tập 1, tr. 128)
Kí hiệu “≡” thay cho cụm từ “Trùng nhau” hay từ “Trùng”, khi diễn đạt vị trí tương
đối của hai điểm cho trước, chẳng hạn:
M ≡ O. (M7, tập 2, tr. 70)
Kí hiệu “≠” và kí hiệu “≢” cùng thay thế cụm từ “không trùng nhau” hoặc “khác
nhau”, khi diễn đạt hai điểm khác nhau, chẳng hạn:
C’ ≠ C. (E7, tập 2, tr. 41)
Hay
O ≢ O’. (G7, tập 2, tr. 78)
Ngoài ra, kí hiệu “≢” còn thay cho cụm từ “phân biệt” khi diễn đạt hai đường thẳng
phân biệt, chẳng hạn:
A’B’ ≢ AB. (G7, tập 2, tr. 76)
Kí hiệu “∀” thay cho cụm từ “với mọi” trong diễn đạt các tính chất hình học, chẳng
hạn:
Nếu a > b thì a + c > b + c; ∀ a, b, c ∈ R. (G7, tập 2, tr. 80)
Kí hiệu “r” còn được thay cho cụm từ “Bán kính đường tròn nội tiếp” của một tam
giác, chẳng hạn:
Gọi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r […] (G7, tập 2, tr. 99)
Lại có sự chồng chéo liên quan đến kí hiệu ‘r”. Vậy liệu có gây ra khó khăn gì cho
HS, khi sử dụng chúng trong giải toán?
Tất cả những định nghĩa, định lí, tính chất trong bài học được diễn đạt bằng ngôn ngữ
thông thường. Có khi có mặt kí hiệu toán học, chẳng hạn:
Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho
trước. (M7, tập 1, tr. 85)
Riêng chương II: Tam giác, hầu hết các định lí có diễn đạt lại bằng ngôn ngữ kí hiệu
toán học, theo các cấu trúc logic như: “A ⇒ B”, “Nếu…thì…”, “A ⇔ B”. Chẳng hạn:

23
  0 0
, 90 90ABC A B C∆ = ⇒ + = . (M7, tập 1, tr. 107)
Với sự xuất hiện hoạt động diễn đạt lại bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học như thế này,
liệu có giúp cho HS mã hóa những tính chất khác từ ngôn ngữ thông thường sang
ngôn ngữ kí hiệu toán học được thuận tiện hơn?
Xuất hiện kiểu nhiệm vụ “phát biểu tính chất từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ
kí hiệu toán học”, chẳng hạn:
37. Hãy phát biểu các tính chất có liên quan đến tính chất vuông góc và tính chất song
song của hai đường thẳng […] và ghi các tính chất đó bằng kí hiệu. (E7, tập 1, tr. 80)
Ngoài ra, thể chế dạy học toán 7 có ràng buộc là khi giảng dạy GV phải:
Hướng dẫn HS trả lời qua nhiều chặng […] và sử dụng nhiều hình thức ngôn ngữ khác
nhau để diễn đạt nội dung. (G7, tập 1, tr. 84)
1.2.3. Lớp 8
Chúng tôi chọn bộ sách toán 8 hiện hành – Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) – 2006
– NXBGD để phân tích.
A. Phần Đại số
Trong phần này, có sự xuất hiện kí hiệu “∪” thay cho từ “Hợp” khi diễn đạt tập xác
định của phân thức, chẳng hạn:
R {x1, x2,…, xm} ∪ {y1, y2, …, yn} […] (G8, tập 1, tr. 47)
Mặc dù kí hiệu này không xuất hiện trong SGK hay SBT của toán 8. Nhưng, liệu GV
có giới thiệu cũng như sử dụng kí hiệu này khi giảng dạy?
Hình thức diễn đạt những định nghĩa, định lí, tính chất trong bài học không có sự khác
biệt so với toán 7. Vì vậy, chúng tôi không phân tích thêm để tránh sự trùng lặp.
B. Phần Hình học
Phần này gồm có bốn chương. Chương I, chương II, chương III, tiếp tục giới thiệu
kiến thức về hình học phẳng. Chương IV giới thiệu sơ lược về hình học không gian.
Trong ba chương đầu, những định nghĩa, định lí hoàn toàn được diễn đạt bằng ngôn
ngữ thông thường. Tuy nhiên, có một số ít trong đó được mã hóa lại theo cấu trúc

24
logic: “A ⇔ B”, “A ⇒ B” bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học hoặc kết hợp với ngôn ngữ
thông thường, chẳng hạn:
Hệ quả của định lí Ta – lét.
Cho tam giác ABC. ' ' ' 'AB AC B C
a BC
AB AC BC
⇒ = = . (M8, tập 2, tr.90)
Ngoài ra, có nhiều định lí được tóm tắt dưới hình thức: Nêu “Giả thiết”, “Kết luận” của
bài toán dưới hình thức mã hóa bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học, chẳng hạn:
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy
thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
. (M8, tập 1, tr. 78)
Kí hiệu “[” xuất hiện với vai trò công cụ, thay cho từ “hoặc” trong lời giải bài toán,
chẳng hạn:
' '
' '
' '
' '
AB AC
AB AC
AB AC
a BC
BB CC
BB CC
AB AC

=

⇔ =


 =


. (M8, tập 2, tr. 90)
Kí hiệu “∽” thay cho cụm từ “đồng dạng” khi diễn đạt quan hệ đồng dạng của hai tam
giác, chẳng hạn:
∆A’B’C’ ∽ ∆ABC. (M8, tập 2, tr. 70)
Kí hiệu “±” thay cho cụm từ “cộng – trừ”, mang tính hình thức khi diễn đạt hai biểu
thức thành một, chẳng hạn:
. ' ' . ' '
' ' ' ' ' '
' ' ' '
' ' ' '
' ' ' '
AB C D CD A B
AB A B AB CD A B C D
CD C D CD C D
AB A B AB A B
CD C D CD C D

 =

± ±
= ⇒ =

±
= = ±
. (M8, tập 2, tr. 89)

25
Trong chương IV, theo G8, tập 2, trang 108 thì:
Trong chương trình THCS thì chương IV là một chương hoàn toàn mới đối với HS lớp
8. Ở chương này, […] Trên cơ sở quan sát hình hộp chữ nhật, HS nhận biết được một
số khái niệm cơ bản của hình học không gian:
- Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
- Hai đường thẳng song song với nhau.
- Đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song […]
(G8, tập 2, tr. 108)
Hơn nữa, theo G8, tập 1, trang 9 thì:
không dạy hình học không gian mà chỉ giúp HS nhận biết một số vật thể trong không
gian, qua đó dần hình thành một số khái niệm cơ bản của hình học không gian.
(G8, tập 1, tr. 9)
Vì vậy không có định nghĩa, tính chất nào được đưa vào giảng dạy. Các kí hiệu của
“Điểm”, “Đường thẳng”, “Mặt phẳng” trong không gian được ngầm giới thiệu, thông
qua việc “quan sát hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ ”. (M8, tập 2, tr. 96) Chẳng
hạn:
Các đỉnh A, B, C,…như là các điểm;
Cạnh AD, DC, CC’,…như là các đoạn thẳng. (M8, tập 2, tr. 96)
Hay
mp(ABCD). (M8, tập 2, tr. 99)
Rõ ràng, kí hiệu của “Điểm”, “Đoạn thẳng” trong không gian không khác trong hình
học phẳng. Tuy nhiên, cần phải hiểu các “Điểm”, “Đoạn thẳng” ở đây có thể không
cùng nằm trong một mặt phẳng. Đó là điều mà mọi HS cần phải quan tâm.
Kí hiệu “//” thay cho cụm từ “song song” khi diễn đạt quan hệ song song giữa các đối
tượng “Đường thẳng” và “Mặt phẳng” trong không gian, chẳng hạn:
AA’ // DD’. (M8, tập 2, tr. 98)
Hay
AB // mp(A’B’C’D’). (M8, tập 2, tr. 99)
Hay
mp(ABCD) // mp(A’B’C’D’). (M8, tập 2, tr. 99)

26
Tương tự, kí hiệu “⊥” thay cho cụm từ “vuông góc” khi diễn đạt quan hệ “vuông góc”
giữa các đối tượng “Đường thẳng”, “Mặt phẳng” trong không gian, chẳng hạn:
A’A ⊥ mp(ABCD). ( M8, tập 2, tr. 101)
Hay
mp(ADD’A’) ⊥ mp(ABCD). ( M8, tập 2, tr. 102)
Ở đây cũng có sự ngầm thống nhất giữa “Đường thẳng” và “Đoạn phẳng” như trong
hình học phẳng. Vì vậy, kí hiệu “//” và “⊥” còn dùng để diễn đạt quan hệ “song song”,
“vuông góc” giữa các đối tượng là “Đoạn thẳng” và “Mặt phẳng”, chẳng hạn:
Cạnh
Mặt
AA’ CC’ BB’ A’C’ B’C’ A’B’ AC CB AB
ACB ⊥ //
A’C’B’
ABB’A’
(M8, tập 2, tr.109)
Ngoài ra, ở đây có sự nhập nhằng trong việc sử dụng “thuật ngữ” toán học, khi diễn đạt
quan hệ bao hàm giữa “Đường thẳng” và “Mặt phẳng” trong không gian, chẳng hạn:
AC không thuộc mp(A1C1B1). (E8, tập 2, tr. 161)
Kí hiệu “⊄” xuất hiện, thay cho cụm từ “Không nằm trong”, “Không chứa trong” khi
diễn đạt một đường thẳng không nằm trong mặt phẳng, chẳng hạn:
a ⊄ (P) (G8, tập 2, tr. 115)
Xuất hiện hình thức tóm tắt định lí bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học, chẳng hạn:
Có thể cho hs ghi tóm tắt:
(G8, tập 2, tr.115)
Tuy nhiên, nó không được giới thiệu trong SGK cũng như SBT toán 8 hiện hành.

27
Từ những ghi nhận trên cho thấy, những kí hiệu toán học được giới thiệu và sử
dụng trong chương IV này được xem như những “Viên gạch” đầu tiên, làm nền móng
vững chắt giúp HS học tốt hình học không gian sau này.
1.2.4. Lớp 9
A. Phần Đại Số
Kí hiệu “√” xuất hiện, thay cho cụm từ “Căn bậc hai số học” của một số không âm,
cụm từ “Căn thức bậc hai” của một biểu thức A, chẳng hạn:
Căn bậc hai số học của 16 là 16 . (M9, tập 1, tr. 4)
Hay
3x là căn thức bậc hai của 3x. (M9, tập 1, tr. 8)
Kí hiệu “ 3
” thay cho cụm từ “Căn bậc ba” của một số, chẳng hạn:
3
7 (M9, tập 1, tr. 35)
Kí hiệu “≥” còn diễn đạt giá trị không âm của một “Biểu thức”, chẳng hạn:
3x ≥ 0 (M9, tập 1, tr.8)
Kí hiệu “{” xuất hiện thay cho từ “Hệ” khi diễn đạt một hệ phương trình, chẳng hạn:
2 3
2 4
x y
x y
+ =

− =
. (M9, tập 2, tr. 9)
Kí hiệu “∆” thay cho cụm từ “biệt thức” khi giải một phương trình bậc hai, chẳng hạn:
∆ = b2
– 4ac. (M9, tập 2, tr. 44)
Như vậy, ở đây đã có sự nhập nhằng trong việc sử dụng kí hiệu “∆”. Vì như đã phân
tích ở trên, kí hiệu này được thay thế cho cụm từ “tam giác” khi trình bày tên gọi của
một tam giác.
Hầu hết các định nghĩa, tính chất trong phần này đều được diễn đạt bằng ngôn ngữ
thông thường kết hợp với ngôn ngữ kí hiệu toán học, chẳng hạn:
Định lí: Với hai số a và b không âm, ta có a < b ⇔ a b< . (M9, tập 1, tr. 5)

28
B. Phần Hình Học
Hình học 9 cũng có bốn chương. Chương I, II, III, tiếp tục giới thiệu kiến thức hình
học phẳng. Chương IV tiếp tục giới thiệu sơ lược về các hình trong không gian.
Trong chương I, II, III: hầu hết các định lí được mã hóa lại bằng ngôn ngữ kí hiệu
toán học và không trình bày chứng minh, chẳng hạn:
Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh
huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Cụ thể, trong tam giác ABC vuông tại A, ta có b2
= ab’, c2
= ac’ . (M9, tập 1, tr. 65)
Có những định lí được mã hóa theo cấu trúc logic: A1∧ A2∧…∧An ⇒ B, dưới dạng
“hội” của các mệnh đề toán học, chẳng hạn:
�
AB là đường kính
AB cắt CD tại I
I ≢ O, CI = ID
⇒ AB ⊥ CD. (G9, tập 1, tr. 128)
Tuy nhiên, phép “hội” các mệnh đề toán học không được giảng dạy trong chương trình
toán THCS. Vậy, phải chăng hình thức diễn đạt này của thể chế dạy học toán 9 chỉ
mang tính hình thức hay phép hội được ngầm sử dụng?
Xuất hiện kí hiệu các “tỉ số lượng giác” của một góc α, chẳng hạn:
sinα, cosα, tgα (hay tanα), cotgα (hay cotα). (M9, tập 1, tr. 72)
Kí hiệu “ᴖ” thay cho từ “Cung” khi diễn đạt cung của một đường tròn, chẳng hạn:
Cung AB được kí hiệu là AB . (M9, tập 2, tr. 67)
Kí hiệu số đo của một cung được sử dụng từ viết tắt “sđ” đứng trước kí hiệu của cung
cần tính số đo, chẳng hạn:
[…]   sđ AB sđ AC sđCB= + . (M9, tập 2, tr. 68)
Liệu HS có nhầm lẫn giữa kí hiệu cung và số đo cung của một đường tròn?
Để trả lời cho câu hỏi này, theo G9, tập 2, trang 80 thì
cần phân biệt hai kí hiệu AB và sđ AB . (G9, tập 2, tr. 80)
Tuy nhiên, chúng tôi không thấy trình bày cách thức phân biệt giữa hai kí hiệu này như
thế nào.

29
Kí hiệu “R”, còn được thay cho cụm từ “Bán kính đường tròn ngoại tiếp” khi diễn đạt
bán kính đường tròn ngoại tiếp một đa giác. Kí hiệu “r” thay cho cụm từ “Bán kính
đường tròn nội tiếp” khi diễn đạt bán kính đường tròn nội tiếp một đa giác, chẳng hạn:
[…] đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R. (M9, tập 2, tr. 91)
Hay
[…]đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r. (M9, tập 2, tr. 91)
Như vậy, ở đây đã có sự nhập nhằng giữa kí hiệu của bán kính đường tròn, bán kính
đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ngoài ra, thể chế dạy học toán 9
cũng quan tâm rèn luyện kĩ năng diễn đạt các mệnh đề toán học bằng ngôn ngữ kí hiệu
toán học, chẳng hạn:
Hãy diễn đạt hệ thức sau đây bằng kí hiệu: số đo của cung AB = số đo của cung AC +
số đo của cung CB. (G9, tập 2, tr. 81)
Trong chương IV, kí hiệu “r” tiếp tục xuất hiện với vai trò mới, thay cho cụm từ
“Bán kính đáy” của hình trụ khi tính diện tích, thể tích của hình trụ, chẳng hạn:
V = S h = π r2
h. (M9, tập 2, tr. 109)
Tóm lại: qua phân tích vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc THCS, cho thấy:
+ Có sự tiến triển về mặt “nghĩa” của các kí hiệu toán học qua từng lớp học, ở những
giai đoạn khác nhau.
+ Nhập nhằng trong việc sử dụng kí hiệu toán học khi diễn đạt một mệnh đề toán học.
+ Tồn tại một quy tắc ngầm ẩn liên quan việc sử dụng kí hiệu của bán kính đường tròn:
“tùy điều kiện bài toán mà sử dụng kí hiệu “r” hay “R” cho phù hợp?”.
+ Hoạt động mã hóa các định nghĩa, định lí, tính chất bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học
được quan tâm rèn luyện dưới những hình thức khác nhau như: nêu giả thiết, kết luận
của bài toán; theo cấu trúc logic A ⇒ B; A ⇔ B; A1∧ A2∧…∧An ⇒ B,…
+ Phép “hội”, “tuyển” của các mệnh đề toán học được ngầm sử dụng trong hình thức
mã hóa các định lí trong bài học.

30
1.3. Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc THPT
Trong khuông khổ luận văn này, chúng tôi chỉ phân tích vai trò của ngôn ngữ kí
hiệu toán học ở các lớp 10 và 11 mà không phân tích lớp 12, vì trọng tâm của luận văn
nghiên cứu về hình học không gian 11.
Để giúp cho việc trình bày được thuận lợi, chúng tôi sử dụng hình thức viết tắt sau:
MĐsnc10, GĐsnc10, EĐsnc10, MĐscb10, GĐscb10, EĐscb10, tương ứng là sách giáo khoa, sách
giáo viên và sách bài tập: Đại số10 nâng cao, Đại số 10 cơ bản.
MHHnc10, GHHnc10, EHHnc10, MHHcb10, GHHcb10, EHHcb10, tương ứng là sách giáo khoa, sách
giáo viên và sách bài tập: hình học 10 nâng cao, hình học 10 cơ bản.
MĐsGtnc11, GĐsGtnc11, EĐsGtnc11, MĐsGtcb11, GĐsGtcb11, EĐsGtcb11, tương ứng là sách giáo
khoa, sách giáo viên và sách bài tập: Đại số và giải tích 11 nâng cao, Đại số và giải tích
11 cơ bản.
MHHnc11, GHHnc11, EHHnc11, MHHcb11, GHHcb11, EHHcb11, tương ứng là sách giáo khoa, sách
giáo viên và sách bài tập: hình học 11 nâng cao, hình học 11 cơ bản.
1.3.1. Lớp 10 nâng cao
Chúng tôi chọn bộ sách toán 10 nâng cao hiện hành của Đoàn Quỳnh (Tổng chủ
biên) – 2006 – NXBGD để phân tích.
1.3.1.1. Đại số 10 nâng cao
Lí thuyết “Tập hợp” và “Mệnh đề” được đưa vào giảng dạy tường minh ở chương
đầu tiên của Đại số 10 nâng cao. Theo GĐsnc10, tập 1, trang 3, 4 thì:
Chủ đề thứ nhất gồm hai phần Mệnh đề và Tập hợp, trong đó phần mệnh đề chỉ nhằm
cung cấp cho học sinh những hiểu biết sơ lược về mệnh đề, qua đó giới thiệu các kí
hiệu logic […]. Yêu cầu chủ yếu của phần này là học sinh phải biết cách sử dụng đúng
lúc, đúng chỗ, đúng cách các kí hiệu logic cũng như phải hiểu đúng các ý được diễn
đạt theo cách đã học trong các tình huống cụ thể. (GĐsnc10, tập 1, tr. 3, 4)
Đối với kí hiệu logic có:
Kí hiệu “ P ” thay cho cụm từ “không phải P” khi diễn đạt phủ định của một mệnh đề P
cho trước, chẳng hạn:

31
: 2P là số vô tỉ. (MĐsnc10, tr. 5)
Kí hiệu “⇒” thay cho cụm từ “Suy ra”, “Kéo theo”, “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ”,
“Nếu…thì…” hoặc “Vì…nên…” khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn:
[…] Mệnh đề “ Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P ⇒ Q.
(MĐsnc10, tr. 5)
Kí hiệu “⇔” thay cho cụm từ “Khi và chỉ khi”, “Nếu và chỉ nếu”, “Điều kiện cần và
đủ” hoặc “Tương đương” khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn:
[…] Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí
hiệu là P ⇔ Q. (MĐsnc, tr. 6)
Hai kí hiệu này xuất hiện với vai trò là đối tượng dạy học.
Kí hiệu “∀” thay cho cụm từ “Với mọi”. Mặc dù đã xuất hiện trước đây, tuy nhiên
trong lần xuất hiện này nó là một đối tượng dạy học, chẳng hạn:
∀x ∈ X, P(x). (MĐsnc, tr. 7)
Kí hiệu “∃” thay cho cụm từ “Tồn tại”, “có một” hay “có ít nhất một” khi diễn đạt một
mệnh đề toán học. Nó cũng xuất hiện với vai trò là đối tượng dạy học, chẳng hạn:
∃x ∈ X, P(x). (MĐsnc, tr. 8)
Mặt khác, theo GĐsnc10, trang 41, thì:
Ngoài các phép toán phủ định, kéo theo và tương đương, ta còn dùng hai phép toán
logic khác là phép hội và phép tuyển để tạo ra mệnh đề mới từ các mệnh đề hiện có.
(GĐsnc10, tr. 41)
Theo đó, xuất hiện kí hiệu “∧” thay thế cho từ “Hội” hay “Và”; kí hiệu “∨” thay thế
cho từ “Tuyển” hay “Hoặc” khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn:
[…] P ∧ Q là mệnh đề “20 chia hết cho 4” và chia hết cho 5. (GĐsnc10, tr. 41)
Tuy nhiên trên thực tế, hai phép toán này không được đưa vào giảng dạy trong chương
trình toán 10 nâng cao hiện hành. Vậy, liệu có khó khăn gì cho HS trong việc hiểu
một mệnh đề toán học được cho dưới dạng “hội” hay “tuyển” các mệnh đề? (chẳng
hạn: khi học về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình hay các mệnh đề
toán học trong hình học…)

32
Để trả lời cho câu hỏi này, theo GĐsnc10, tr. 106 thì
Vì lí do sư phạm, SGK đã không đưa vào khái niệm tuyển phương trình, cũng không
sử dụng kí hiệu “[”. Khi gặp trường hợp cần đến khái niệm tuyển phương trình, SGK
dùng từ “hoặc” để thay thế. Chẳng hạn, ta viết (x – 1)(x – mx +2) = 0 ⇔ x – 1 = 0
hoặc x – mx +2 = 0 để thay cho (x – 1)(x – mx +2) = 0 ⇔
1 0
2 0
x
x mx
− =
 − + =
.
(GĐsnc10, tr. 106)
Tuy nhiên, nó đã được giới thiệu ở các lớp dưới và cả trong GĐsnc10, chẳng hạn:
[…] (1) ⇔
1
2
( )
( )
...
g x u
g x u
=
 =

. (GĐsnc10, tr. 112)
Hay, cách giải của phương trình dạng ax b cx d+ = + . Theo GĐsnc10, trang 116 thì
Cách đơn giản nhất theo chúng tôi là cách đưa về tuyển:
( )
ax b cx d
ax b xc d
ax b cx d
+ = +
+ = + ⇔  + =− +
. Do đó, cách này đã được trình bày đầy đủ
trong sách. (GĐsnc10, tr. 116)
Nhưng, cũng theo GĐsnc10, trang 136 thì khi
Giải hệ phương trình, trong đó có một phương trình tích […] không nên sử dụng kí
hiệu tuyển phương trình. (GĐsnc10, tr. 136)
Như vậy, ở đây có sự nhập nhằng trong việc dùng kí hiệu “[” để diễn đạt lời giải của
phương trình và hệ phương trình. Phải chăng việc sử dụng hay không sử dụng kí
hiệu này, thể chế dạy học toán 10 nc đã ủy thác cho GV, căn cứ hoàn cảnh thực tế
để sử dụng cho phù hợp?
Đối với kí hiệu “Tập hợp”:
Ngoài những kí hiệu: “∈”, ∉”, “⊂”, “∩”, “∪” đã được giới thiệu tường minh ở lớp 6.
Còn xuất hiện kí hiệu “∖” thay cho từ “Hiệu”; kí hiệu “ A
EC ” thay cho cụm từ “Phần
bù”; kí hiệu “(;)” thay cho từ “Khoảng”; kí hiệu “[;]” thay cho từ “Đoạn”; kí hiệu “(; ]
hay [; ) thay cho cụm từ nửa khoảng khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn:

33
A ∩ B = [1; 2]. (MĐsnc10, tr. 19)
Theo GĐsnc10, trang 34 thì phải:
Biết dùng ngôn ngữ và kí hiệu của lý thuyết tập hợp để diễn đạt các bài toán, trình bày
các suy luận toán học một cách sáng sủa, mạch lạc. (GĐsnc10, tr. 34)
Đối với hoạt động “diễn dịch” một mệnh đề toán học từ ngôn ngữ thông thường
sang ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngược lại, được thể chế dạy học Đại số 10 quan tâm
rèn luyện, chẳng hạn:
Dùng kí hiệu logic để diễn tả mệnh đề […] (EĐsnc10, tr. 9)
Theo GĐsnc10, trang 44 thì:
Thông thường, mỗi định lí là một mệnh đề đúng có cấu trúc như sau: “∀x ∈ X, P(x) ⇒
Q(x)”[…]. Trong nhiều trường hợp, phát biểu định lí không có lượng từ “với mọi”
nhưng ta ngầm hiểu là có lượng từ “với mọi” trong đó. Chẳng hạn, “Nếu n chia hết cho
3 thì n2
chia hết cho 9. (GĐsnc10, tr. 44)
Ngoài ra, còn có những kí hiệu toán học khác như:
Kí hiệu “±” mang tính hình thức khi diễn đạt sai số tuyệt đối của một số gần đúng,
chẳng hạn:
a a d= ± . (MĐsnc10, tr. 25)
Tuy nhiên, kí hiệu này còn xuất hiện trong hình thức trình bày nghiệm của phương
trình bậc hai, chẳng hạn:
[…] có hai nghiệm
2 4m m
x
m
− ± −
= . (MĐsnc10, tr. 74)
Phải chăng ở đây, các nhà viết sách toán 10 nc đã lạm dụng kí hiệu này để diễn đạt
nghiệm của phương trình?
Kí hiệu “ ” không chỉ thay cho cụm từ “giá trị tuyệt đối” của một số hay một biểu
thức như đã giới thiệu. Nó còn thay cho cụm từ “Số phần tử” của một tập hợp cho
trước hay thay cho cụm từ “Định thức” khi giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số,
chẳng hạn:

34
Kí hiệu A là số phần tử của tập . (EĐsnc10, tr. 11)
Hay
D =
b
' b'
a
a
(MĐsnc10, tr. 90)
Kí hiệu “ a ” thay cho cụm từ “Số đúng” của số gần đúng a; kí hiệu “ x ” thay cho cụm
từ “Số trung bình”; kí hiệu “ P ” thay cho cụm từ “Phủ định của mệnh đề P”; kí hiệu
“ AB ” thay cho cụm từ “độ dài đại số” của vectơ AB

.
Vậy, liệu có sự nhập nhằng nào liên quan đến việc sử dụng các kí hiệu này để diễn
đạt một mệnh đề toán học hay giải toán?
Kí hiệu của góc lượng giác tạo bỡi hai tia, chẳng hạn Ou, Ov được kí hiệu là (Ou, Ov).
Kí hiệu “↷” thay cho cụm từ “cung lượng giác” khi diễn đạt một cung lượng giác,
chẳng hạn:
UV

(MĐsnc10, tr. 189)
Hơn nữa, ở đây có sự đồng nhất giữa kí hiệu góc (cung lượng giác) với kí hiệu số đo
của góc (cung lượng giác) tương ứng, chẳng hạn:
[…] đôi khi ta cũng viết AM α=

và (OA, OM) = α. (MĐsnc10, tr. 193)
Kí hiệu “±∞” theo GĐsnc10, tr. 70 thì “cũng rất hình thức”.
Dấu “|” theo GĐsnc10, tr. 167 thì “chỉ có ý nghĩa dóng cho thẳng cột, ngoài ra nó không
mang một nội dung nào khác”. (GĐsnc10, tr. 167)
Kí hiệu “∥” thay cho cụm từ “không xác định” khi xét dấu biểu thức đại số, chẳng hạn:
x
−∞ 2
7
2
5 +∞
-2x +7 + | + 0 − | −
x2
– 7x
+10
+ 0 − | − 0 +
f(x) + ∥ − 0 + ∥ −
(MĐsnc10, tr. 143)

35
1.3.1.2. Hình học 10 nc
Ở cấp THCS học sinh đã biết một số kiến thức về hình học trên mặt phẳng […]
Chương trình hình học 10 nâng cao nhằm bổ sung thêm […] hai phương pháp mới: đó
là phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ. (GHHnc10, tr. 5)
Với sự bổ sung hai phương pháp mới này, liệu có những thú vị nào trong việc sử
dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học?
Trước hết, quay lại kí hiệu “ ” ngoài những giá trị của nó đã được giới thiệu ở trên.
Nó còn thay cho cụm từ “độ dài” của vectơ; “khoảng cánh” giữa hai điểm, chẳng hạn:
a

(MHHnc10, tr. 7)
Hay
Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm M(xM, yM) và N(xN, yN) là MN =
MN

. (MHHnc10, tr. 50)
Như vậy, một lần nữa chúng ta thấy kí hiệu toán học này mang khá nhiều nghĩa. Do đó,
việc sử dụng kí hiệu này càng trở nên nhập nhằng hơn.
Kí hiệu tích của một vectơ a

với số thực k không có dấu “.” hay “×” ở giữa k và a

,
chẳng hạn:
k a

. (MHHnc10, tr. 19)
Kí hiệu “∥” không được thể chế dạy học hình học 10 nc sử dụng để thay cho cụm từ
“không xác định” như trong Đại số nâng cao 10 mà sử dụng cụm từ viết tắt “kxđ” của
nó để thay thế trong bảng “Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt”, chẳng hạn:
Góc 00
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
sin … … … … … … … … …
cos … … … … … … … … …
tan … … … … kxđ … … … …
cot kxđ … … … … … … … kxđ
(MHHnc10, tr. 42)

36
Kí hiệu “⊥” còn dùng để diễn đạt quan hệ vuông góc của hai vectơ, chẳng hạn:
a b⊥
 
(MHHnc10, tr. 44)
Kí hiệu góc giữa hai vectơ không có dấu “∧”, chẳng hạn:
( ),a b
 
(MHHnc10, tr. 44)
Kí hiệu “.” thay cho cụm từ “tích vô hướng” khi diễn đạt tích vô hướng của hai vectơ,
chẳng hạn:
.a b
 
(MHHnc10, tr. 45)
Liệu HS có ngầm bỏ dấu “.” hay thay bằng kí hiệu “×” khi diễn đạt tích vô hướng
của hai vectơ như diễn đạt tích của hai số thực hay tích của một vectơ với một số?
Để trả lời cho câu hỏi này, theo GHHnc10, trang 59 thì “cần chú ý kí hiệu tích vô hướng
.a b
 
nhất thiết phải có dấu “.” giữa hai vectơ”.
Hơn nữa, không thấy thể chế dạy học hình học 10 nâng cao sử dụng kí hiệu “×” để
diễn đạt tích vô hướng của hai vectơ.
Kí hiệu khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng ∆ cho trước và giữa hai đường
thẳng ∆1 và ∆2 là giống nhau, chẳng hạn:
d(M; ∆) (MHHnc10, tr. 85)
Và
d(∆1; ∆2) (EHHnc10, tr.145)
Theo MHHnc10, trang 88 thì:
Góc giữa hai đường thẳng a và b được kí hiệu là 
( ),ba , hay đơn giản là (a, b).
(MHHnc10, tr. 88)
Hầu hết các định nghĩa, tính chất được trình bày bằng ngôn ngữ thông thường hoặc kết
hợp với ngôn ngữ kí hiệu toán học như thường thấy ở các lớp trước, chẳng hạn:
Với mọi tam giác ABC, ta có 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = = , trong đó R là bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (MHHnc10, tr. 56)

37
Tuy nhiên, hoạt động mã hóa các tính chất được thể chế dạy học hình học 10 nc, quan
tâm rèn luyện, chẳng hạn:
Biết phát biểu một số sự kiện cơ bản của hình học bằng ngôn ngữ vectơ.
(GHHnc10, tr.28)
1.3.2. Lớp 10 cơ bản
Chúng tôi chọn bộ sách toán 10 cơ bản (chuẩn) hiện hành của Trần Văn Hạo (Tổng
chủ biên) – 2006 – NXBGD để phân tích.
1.3.2.1. Đại số 10 cơ bản
Không như trong MĐsnc10. Ở đây, kí hiệu “[” được giới thiệu tường minh trong SGK,
thay cho từ “hoặc” khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn:
x A
x A B
x B
∈
∈ ∪ ⇔  ∈
(MĐscb10, tr. 14)
Ngoài ra, kí hiệu “±” cũng xuất hiện, mang tính hình thức khi diễn đạt nghiệm của
phương trình bậc hai, chẳng hạn:
1,2
1 17
4
x
±
= (EĐscb10, tr. 47)
1.3.2.2. Hình học 10 cơ bản
Kí hiệu “∥” được sử dụng để thay cho cụm từ “không xác định” trong bảng giá trị
lượng giác của các góc đặc biệt, chẳng hạn:
α
Giá trị
lượng giác
00
300
450
600
900
1800
Sinα 0 ... … … … …
cos α 1 … … … … …
tan α 0 … … … … …
cot α ∥ … … … … …
(MHHcb10, tr.37)
Ngoài ra, còn xuất hiện kí hiệu “}” thay cho từ “Hội” các điều kiện của bài toán khi
giải bài tập, chẳng hạn:

38
3
3
33 2
2
r h
a
ra
h
= 

⇒ =
= 

. (EHHcb10, tr. 119)
Kí hiệu tích một số với một vectơ, không như trong hình học 10 nâng cao. Ở đây có
dấu ‘.” ở giữa số thực và vectơ, chẳng hạn:
1.a a=
 
. (MHHcb10, tr. 14)
1.3.3. Lớp 11 nâng cao
Chúng tôi chọn bộ sách toán 11 nâng cao hiện hành của Đoàn Quỳnh (Tổng chủ
biên) – 2006 – NXBGD để phân tích.
1.3.3.1. Đại số và giải tích 11 nâng cao
Kí hiệu “[” xuất hiện tường minh trong SGK Đại số và giải tích 11nc, thay cho từ
“hoặc” khi giải phương trình lượng giác, chẳng hạn:
2
1 6
sin
2
2
6
x k
x
k
π
π
π
π π

= +
= ⇔ 
 − +

(MĐsGtnc11, tr. 20)
Tuy nhiên, như phân tích ở trên, phép “tuyển” không được giảng dạy trong chương
trình toán phổ thông. Vậy, liệu HS có khó khăn gì khi sử dụng kí hiệu này để giải
toán?
1.3.3.2. Hình học 11 nâng cao
1.3.3.2.1. Chương I: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
Xuất hiện kí hiệu phép biến hình là “F”. Liệu kí hiệu này có gây ra sự nhập nhằng
nào liên quan đến kí hiệu điểm F?
Phép tịnh tiến theo vectơ u

được kí hiệu là u
T , phép đối xứng qua đường thẳng a kí
hiệu là Đa,… Ngoài ra, có sự xuất hiện của kí hiệu tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài,
chẳng hạn:
1O+
và 1O−
lần lượt là tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong […]. (EHHnc11, Tr. 14)

39
Bên cạnh đó, ở đây có sự nhập nhằng trong việc sử dụng kí hiệu góc giữa hai đường
thẳng và góc lượng giác, chẳng hạn:
Cho tam giác đều ABC với (AB, AC) = […] = 600
. (EHHnc11, Tr. 11)
Phải chăng, ở đây đã có sự ngầm ẩn rằng: kí hiệu góc giữa hai cạnh của một tam
giác trong bài toán phép biến hình được hiểu là góc lượng giác?
1.3.3.2.2. Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song
song
Trước đây HS đã có những hiểu biết nhất định về hình học không gian, thông qua
mô tả trực quan một số hình như: hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình chóp đều,
hình lăng trụ đều,…
Hơn nữa, đối với bộ môn hình học không gian thì việc sử dụng kí hiệu toán học để diễn
đạt nội dung bài học là cần thiết. Vì vậy:
Việc hiểu hình là một “tập hợp điểm” tạo thuận lợi giúp chúng ta hiểu thêm một số
khái niệm có liên quan như giao của hai hình, hợp của hai hình và do đó trong khi lập
luận chúng ta có thể dùng các kí hiệu của lí thuyết tập hợp. ([2], tr. 86)
Tuy nhiên, Chúng tôi muốn tìm hiểu kí hiệu toán học được giới thiệu trong bài học như
thế nào? Có nhập nhằng nào trong việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học?
Đối với kí hiệu “Mặt phẳng”, theo MHHnc11, tr. 40 thì:
Người ta thường […] dùng một chữ cái đặt trong dấu ngoặc ( ) để đặt tên cho mặt
phẳng ấy. Ví dụ: mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q), mặt phẳng (α), mặt phẳng (β) … và
viết tắt là mp(P), mp(Q), mp(α), mp(β) … hoặc (P), (Q), (α), (β) …. (MHHnc11, tr. 40)
Thực ra, kí hiệu này học sinh đã được làm quen ở lớp 8. Tuy nhiên nó không được giới
thiệu tường minh.
Kí hiệu “∈” thay cho từ “thuộc” khi biểu diễn “Điểm” thuộc “Mặt phẳng”, chẳng hạn:
[…] điểm A thuộc mp(P), khi đó ta kí hiệu A ∈ mp(P) hay A ∈ (P). (MHHnc11, tr. 40)
Kí hiệu “∉” thay cho cụm từ “không thuộc” hay “ở ngoài” khi biểu diễn “Điểm” không
thuộc “Mặt phẳng”, chẳng hạn:

40
[…] điểm A không thuộc mp(P), ta còn nói điểm A ở ngoài mp(P) và kí hiệu A ∉
mp(P) hay A ∉ (P). (MHHnc11, tr. 40, 41)
Ngoài ra, theo MHHnc11, tr. 41 thì:
Khi điểm A thuộc mặt phẳng (P), ta còn nói:“điểm A nằm trên mặt phẳng (P)” hay
“điểm A nằm trong mặt phẳng (P)”, hoặc còn nói “mặt phẳng (P) đi qua điểm A” hay
“mặt phẳng (P) chứa điểm A. (MHHnc11, tr. 41)
Như vậy, kí hiệu “∈” còn thay cho các cụm từ “nằm trên”, “nằm trong”. Bên cạnh đó,
thể chế dạy học hình học 11 nâng cao không sử dụng kí hiệu “∋” để thay cho cụm từ
“đi qua” hay “chứa” khi diễn đạt “Mặt phẳng” chứa “Điểm”, tức là không xuất hiện
hình thức diễn đạt: mp(P) ∋ A hay (P) ∋ A mà đều sử dụng hình thức A ∈ (P).
Kí hiệu “⊂” thay cho cụm từ “nằm trong”, “nằm trên” hay “đi qua”; kí hiệu “⊃” thay
cho từ “chứa” khi diễn đạt quan hệ bao hàm giữa đường thẳng và mặt phẳng, chẳng
hạn:
Nếu đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) thì ta còn nói a nằm trên (P), hoặc (P) đi
qua a, hoặc (P) chứa a và kí hiệu là a ⊂ (P), hoặc (P) ⊃ a. (MHHnc11, tr. 44)
Như vậy, ở đây đã có sự nhập nhằng trong việc sử dụng hai kí hiệu “∈” và “⊂” thay
cho cụm từ “nằm trong” hay “nằm trên”. Vậy, liệu HS có mắc sai lầm khi sử dụng hai
kí hiệu này khi “mã hóa” định nghĩa, định lí bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học hay
giải toán?
Ngoài ra, còn có kí hiệu mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C cho trước,
mặt phẳng chứa một đường thẳng a và một điểm A không nằm trên a, mặt phẳng chứa
hai đường thẳng a, b song song hoặc cắt nhau, chẳng hạn:
Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định duy nhất một mặt phẳng […] được kí hiệu
là mặt phẳng (ABC) hay mp(ABC) hay ngắn gọn là (ABC). (MHHnc11, tr. 42)
Hay
Mặt phẳng đi qua đường thẳng a và điểm A không nằm trên a là mp(A, a) hoặc
mp(a, A), còn mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau a và b được kí hiệu là
mp(a, b). (MHHnc11, tr. 46)

41
Kí hiệu mặt phẳng qua nhiều hơn ba điểm đồng phẳng và có ít nhất ba điểm không
thẳng hàng được ngầm sử dụng như kí hiệu mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng.
Kí hiệu “//” thay cho cụm từ “song song” khi diễn đạt quan hệ song song giữa hai
đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng trong không gian, chẳng
hạn:
a // b (MHHnc11, tr. 52)
Hay
a // (P) hoặc (P) // a (MHHnc11, tr. 56)
Hay
(P) // (Q) (MHHnc11, tr. 60)
Kí hiệu “∩” thay cho cụm từ “cắt nhau” khi diễn đạt sự cắt nhau giữa hai đường thẳng,
giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng trong không gian, chẳng hạn:
a ∩ b = {I} hoặc a ∩ b = I. (MHHnc11, tr. 52)
Hay
[…] a và (P) cắt nhau tại A và viết a ∩ (P) = {A} hoặc a ∩ (P) = A. (MHHnc11, tr. 56)
Ngoài ra, ở đây có sự đồng nhất giữa tập một phần tử với chính phần tử của tập đó.
Liệu HS có lạm dụng kí hiệu “∩” để thay thế cho từ “cắt nhau”, trong hình thức
diễn đạt nội dung bài học bằng ngôn ngữ thông thường?
Kí hiệu “⊄” thay cho cụm từ “không nằm trong” hay “không nằm trên” hay “không
chứa trong” khi diễn đạt đường thẳng không nằm trong mặt phẳng, chẳng hạn:
b ⊄ (P). (GHHnc11, tr. 41)
Hình thức trình bày các định nghĩa, định lí, tính chất trong bài học ở chương này
đều bằng ngôn ngữ thông thường (hoàn toàn bằng ngôn ngữ thông thường hoặc có kí
hiệu toán học trong lời phát biểu). Và hầu hết được diễn đạt dưới hình thức của một
mệnh đề kéo theo, đúng. Có khi còn nguyên dạng “Nếu… thì…”, có khi thiếu từ
“Nếu”, hoặc thiếu từ “thì” và ít được chứng minh (3/24 tính chất, không tính các tính
chất thừa nhận). Riêng định nghĩa hiểu theo nghĩa của mệnh đề tương đương, chẳng
hạn:

42
Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. (MHHnc11, tr. 61)
Trong chứng minh, giải toán, thể chế dạy học hình học 11 nc cũng ưu tiên lựa chọn
hình thức diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường, chẳng hạn:
[…] điểm H thuộc cả hai đường thẳng A’B’ và AB […], đường thẳng AB nằm trong
mp(ABC). (MHHnc11, tr. 45)
Phải chăng thể chế dạy học hình học 11 nc, ưu tiên lựa chọn hình thức diễn đạt
bằng ngôn ngữ thông thường để diễn đạt định nghĩa, định lí, tính chất cũng như
trong chứng minh giải toán?
Tuy nhiên, có xuất hiện một vài bài toán với lời giải được diễn đạt gọn bằng ngôn ngữ
kí hiệu toán học, theo cấu trúc logic “A1 ∧ A2 ∧…∧ An ⇒ B”, chẳng hạn:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
P SAB
P ABCD MN MN AB
SAB ABCD AB


∩ = ⇒
∩ =

 . (EHHnc11, tr. 92)
Tuy vậy, hình thức diễn đạt này chỉ xuất hiện trong SBT mà không xuất hiện trong
SGK và SGV hình học 11nc. Liệu HS có hiểu và giải mã được hình thức diễn đạt
này sang ngôn ngữ thông thường? Để áp dụng được hình thức diễn đạt này vào giải
toán, HS phải biết mã hóa các định nghĩa, định lí, tính chất bằng ngôn ngữ kí hiệu
toán học? Có những khó khăn và sai lầm nào khi mã hóa chúng?
Ngoài ra, còn có sự nhập nhằng trong việc sử dụng thuật ngữ toán học, chẳng hạn:
[…] Khi đó I thuộc a, mà a lại thuộc mp(P) suy ra I ∈ (P)[…]. (GHHnc11, tr. 45)
Lẽ ra các nhà viết sách sử dụng thuật ngữ “chứa trong” hay “nằm trong” khi diễn đạt
quan hệ bao hàm giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) thì sẽ phù hợp hơn. Tuy nhiên ở
đây đã sử dụng thuật ngữ “thuộc” để diễn đạt quan hệ đó.
Phải chăng đây là sai sót trong việc in ấn của các nhà viết sách hình học 11 nc?
Liệu học sinh có mắc phải sai lầm này như trong GHHnc11, tr.45. Nhất là khi mã hóa
một mệnh đề toán học bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học?
Trong hoạt động giải toán, có sự không đồng bộ trong việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu
toán học và ngôn ngữ thông thường, chẳng hạn:

43
Mặt phẳng (ABC) chứa BC và BC // (P) nên (ABC) cắt (P) theo giao tuyến ME // BC
(E ∈ AC) […] (EHHnc11, tr. 86)
Tức là, lúc thì dùng các thuật ngữ toán học: “chứa”, “cắt” để diễn đạt, lúc thì dùng
ngôn ngữ kí hiệu toán học (kí hiệu “//” để diễn đạt quan hệ song song của đường thẳng
BC và (P)).
1.3.3.2.3. Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Kí hiệu “⊥” thay cho cụm từ “vuông góc” khi diễn đạt quan hệ vuông góc của hai
đường thẳng bất kì, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng trong không gian, chẳng
hạn:
a ⊥ b (MHHnc11, tr. 94)
Hay
a ⊥ (P) (MHHnc11, tr. 97)
Hay
(P) ⊥ (Q) (MHHnc11, tr. 105)
Không xuất hiện kí hiệu góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian, cũng
như góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
Kí hiệu khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng trong
không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song,
giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian đều giống nhau, chẳng hạn:
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được kí hiệu là d(M, (P)).
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ được kí hiệu là d(M, ∆). (MHHnc11, tr.113)
Kí hiệu khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nó là
d(a, (P)).
Kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là d((P), (Q)) .
(MHHnc11, tr. 114)
Tất cả các định nghĩa, định lí trong chương này cũng được diễn đạt bằng ngôn ngữ
thông thường như trong chương II. Tuy nhiên, ở đây có sự khác biệt đó là: có một số
tính chất được mã hóa theo cấu trúc logic “A1 ∧ A2 ∧…∧ An ⇒ B” bằng ngôn ngữ kí
hiệu toán học, chẳng hạn:

Luận văn: Nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu toán học trong mệnh đề

Luận văn: Nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu toán học trong mệnh đề

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Luận văn: Nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu toán học trong mệnh đề

Similar to Luận văn: Nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu toán học trong mệnh đề (20)

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Luận văn: Nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu toán học trong mệnh đề