Dạy học nội dung hàm số và đồ thị ở lớp 10 góp phần phát triển năng lực ngôn ngữ toán học cho học sinh 6831409

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
NGUYỄN THỊ HẠNH
DẠY HỌC NỘI DUNG HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Ở LỚP 10 GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
NGÔN NGỮ TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
HÀ NỘI – 2020

2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
NGUYỄN THỊ HẠNH
DẠY HỌC NỘI DUNG HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Ở LỚP 10 GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
NGÔN NGỮ TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
CHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 8.14.01.11
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TS. Bùi Văn Nghị
HÀ NỘI – 2020

3. i
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu nhà trường, cùng các
thầy cô giáo trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình
giảng dạy, trang bị tri thức chuyên môn, tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình
học tập và thực hiện luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học
GS.TS. Bùi Văn Nghị đã tận tình hướng dẫn, hết lòng giúp đỡ tác giả trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn Ban giám hiệu trường trung học phổ thông
Vạn Xuân, Hoài Đức, Hà Nội và các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Toán đã tạo
điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn.
Dù đã rất cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác
giả mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy, cô giáo và các bạn.
Hà Nội, tháng 02 năm 2020
Tác giả
Nguyễn Thị Hạnh

4. ii
MỤC LỤC
MỤC LỤC............................................................................................................ii
DANH MỤC BẢNG, SƠ ĐỒ, HÌNH................................................................iv
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài............................................................................................. 1
2. Lịch sử nghiên cứu......................................................................................... 2
3. Mục đích nghiên cứu...................................................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu..................................................................................... 2
5. Đối tượng và khách thể nghiên cứu............................................................... 3
6. Giả thuyết khoa học ....................................................................................... 3
7. Phương pháp nghiên cứu................................................................................ 3
8. Cấu trúc luận văn ........................................................................................... 4
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.......................................... 5
1.1. Năng lực ngôn ngữ...................................................................................... 5
1.1.1. Khái niệm năng lực và năng lực toán học................................................ 5
1.1.2. Năng lực ngôn ngữ Toán học................................................................... 6
1.1.3. Sự phát triển tư duy và ngôn ngữ của học sinh trung học phổ thông.... 17
1.2. Nội dung Hàm số và Đồ thị trong chương trình môn Toán lớp 10 .......... 18
1.2.1. Nội dung chương Hàm số và Đồ thị ...................................................... 18
1.2.2. Đặc điểm ngôn ngữ toán học trong chương hàm số bậc nhất và hàm số
bậc hai sách giáo khoa Đại số lớp 10............................................................... 19
1.3. Một số thực trạng về dạy học nội dung Hàm số và Đồ thị và vấn đề phát
triển năng lực ngôn ngữ Toán học ................................................................... 20
1.3.1. Mục đích khảo sát .................................................................................. 20
1.3.2. Đối tượng khảo sát................................................................................. 21
1.3.3. Cách thức điều tra khảo sát.................................................................... 21
1.3.4. Nội dung khảo sát .................................................................................. 21
1.3.5. Đánh giá kết quả khảo sát thăm dò ........................................................ 23
Tiểu kết chƣơng 1.............................................................................................. 27

5. iii
Chƣơng 2: BIỆN PHÁP DẠY HỌC NỘI DUNG HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
THEO HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC NGÔN NGỮ TOÁN HỌC .. 28
2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp dạy học nội dung Hàm
số và Đồ thị theo hướng phát triển năng lực ngôn ngữ toán học..................... 28
2.2. Một số biện pháp phát triển năng lực ngôn ngữ Toán học cho học sinh
trong dạy học Hàm số và Đồ thị ...................................................................... 28
2.2.1. Biện pháp 1. Tổ chức các hoạt động tạo cơ hội cho học sinh sử dụng đa
dạng ngôn ngữ Toán học trong mỗi giờ học về Hàm số và Đồ thị.................. 28
2.2.2. Biện pháp 2. Tổ chức dạy học hợp tác để học sinh vận dụng ngôn ngữ
Toán học trao đổi, thảo luận............................................................................. 44
2.2.3. Biện pháp 3. Tăng cường các bài toán áp dụng thực tiễn về Hàm số và
Đồ thị tạo thuận lợi cho việc chuyển đổi giữa ngôn ngữ đời thường và ngôn
ngữ Toán học, phát triển năng lực ngôn ngữ cho học sinh.............................. 55
Tiểu kết chƣơng 2.............................................................................................. 67
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM........................................................ 68
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm........................................... 68
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm...................................................... 68
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm ..................................................... 68
3.2. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................. 68
3.3. Phương pháp thực nghiệm ........................................................................ 70
3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm .................................................................. 70
3.4.1. Đánh giá định tính.................................................................................. 70
3.4.2. Đánh giá định lượng............................................................................... 71
Tiểu kết chƣơng 3.............................................................................................. 73
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 74
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 75
PHỤ LỤC

6. iv
DANH MỤC BẢNG, SƠ ĐỒ, HÌNH
Bảng 1. 1. Một số kí hiệu Toán học và ý nghĩa...............................................................7
Bảng 1. 2. Ví dụ về thuật ngữ và biểu tượng Toán học...................................................8
Bảng 1. 3. Đặc trưng của ngôn ngữ Toán học...............................................................10
Bảng 1. 4. Các thành tố của năng lực giao tiếp Toán học.............................................15
Bảng 1. 5. Các thành tố của năng lực biểu diễn Toán học ............................................16
Bảng 3. 1. Thống kê kết quả học tập của học sinh lớp thực nghiệm và lớp đối chứng
trước khi thực nghiệm sư phạm ...................................................................69
Bảng 3. 2.Kết quả thực nghiệm ở nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng...................71
Bảng 3. 3. Phương sai và độ lệch chuẩn........................................................................72
Bảng 3.4. Phân phối tần suất luỹ tích hội tụ lùi của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng
......................................................................................................................72
Biểu đồ 3.2. Chất lượng học tập của nhóm nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng sau
khi thực nghiệm sư phạm.............................................................................73
Biểu đồ 1. 1. Mối liên hệ về nội dung giữa các chương................................................19
Biểu đồ 1. 2. Kết quả điều tra câu 1 ..............................................................................24
Biểu đồ 1. 3. Kết quả điều tra câu 2 ..............................................................................24
Biểu đồ 1. 4. Kết quả điều tra câu 3 ..............................................................................25
Biểu đồ 1. 5. Kết quả điều tra câu 4 ..............................................................................25
Biểu đồ 1. 6. Kết quả điều tra câu 5 ..............................................................................26
Hình 2. 1. Cổng Ac-xơ ..................................................................................................39
Hình 2. 2. Cầu cổng vàng ..............................................................................................43
Hình 2. 3. Cầu Parabol ..................................................................................................53
Hình 2. 4. Đài phun nước ..............................................................................................54
Hình 2. 5. Vườn xoài .....................................................................................................59
Hình 2.6. Ca - nô ...........................................................................................................61
Hình 2.7. Death Valley (Thung Lũng Chết), California ...............................................61
Hình 2.8. Bóng chuyền..................................................................................................62
Hình 2.9. Người chơi golf .............................................................................................63
Hình 2.10. Trực thăng cứu hộ........................................................................................63
Hình 2.11. Miếng nhôm.................................................................................................64
Hình 2. 12. Cầu thủ đá bóng..........................................................................................65
Hình 2. 13. Thác Thiên Thần ở Venezuela....................................................................65
Biểu đồ 3. 1.Chất lượng học tập trước khi thực nghiệm sư phạm của nhóm thực
nghiệm và nhóm đối chứng..........................................................................69

7. 1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
+ Giáo dục phổ thông trong giai đoạn hiện nay theo định hướng phát triển
năng lực người học.
Thế giới bước sang thế kỉ XXI, nhiều quốc gia đã chuyển hướng giáo dục,
xây dựng lại chương trình giáo dục phổ thông, chuyển từ chương trình tiếp cận
nội dung sang chương trình tiếp cận năng lực người học. Chuyển mạnh quá trình
giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và
phẩm chất người học. Giáo dục dựa trên năng lực phát huy tối đa năng lực riêng
của mỗi học sinh, giúp học sinh tự tìm tòi, khám phá tri thức dựa trên sở thích và
mối quan tâm riêng của chúng, giúp học sinh làm chủ tri thức và vận dụng nó
vào thực tế cuộc sống. Vì thế phương pháp dạy học theo hướng tiếp cận năng
lực người học là nhu cầu thực tiễn.
+ Năng lực ngôn ngữ là một trong những năng lực rất cần thiết không chỉ
trong Toán học mà còn trong nhiều lĩnh vực khác trong cuộc sống.
Trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể [1] năm 2017 đã định
hướng: “Chuyển nền giáo dục từ chủ yếu là truyền thụ kiến thức sang phát triển
năng lực cho người học”. Đối với môn Toán: “Giáo dục toán học hình thành và
phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực
toán học với các thành tố cốt lõi là: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng
lực mô hình hóa toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao
tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển
kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp
dụng toán học vào đời sống thực tiễn.” [2]
+ “Hàm số và Đồ thị” ở lớp 10 là một nội dung hết sức quan trọng
trong chương trình môn Toán. Đồng thời môn Toán có sử dụng nhiểu dạng
ngôn ngữ, “Hàm số và Đồ thị” cũng là một trong những nội dung có nhiều
cơ hội để phát triển năng lực ngôn ngữ cho học sinh. Vì vậy, việc nghiên

8. 2
cứu nội dung dạy học “Hàm số và Đồ thị” ở lớp 10 theo hướng phát triển
năng lực ngôn ngữ Toán học cho học sinh là một nghiên cứu cần thiết, góp
phần vào công cuộc đổi mới giáo dục.
+ Mặc dù đã có một số công trình nghiên cứu về phát triển năng lực ngôn
ngữ cho học sinh, nhưng chưa có công trình nào nghiên cứu về phát triển năng
lực ngôn ngữ thông qua dạy học “Hàm số và Đồ thị”.
Với những lí do trên đề tài được chọn là “Dạy học nội dung Hàm số và Đồ
thị ở lớp 10 góp phần phát triển năng lực ngôn ngữ Toán học cho học sinh”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Đã có một số công trình nghiên cứu gần gũi với đề tài, chẳng hạn những
công trình sau:
- Nguyễn Quang (2016), Từ năng lực ngôn ngừ đến năng lực liên văn hoá, Tạp
chí Khoa học Đại học Quốc Gia Hà Nội: Nghiên cứu Nước ngoài, Tập 32, Số 3.
- Bùi Thị Hạnh Lâm và Nguyễn Thị Kim Chung (2018), Quan niệm về các
thành tố của năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học của sinh viên sư phạm toán,
Tạp chí Giáo dục, Số 427 (Kì 1 - 4/2018).
- Vũ Thị Bình (2016), Bồi dưỡng năng lực biểu diễn toán học và năng lực
giao tiếp toán học cho học sinh trong dạy học môn toán lớp 6, lớp 7, Luận án
Tiến sĩ.
3. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất những biện pháp dạy học nội dung Hàm số và Đồ thị ở lớp 10 nhằm
góp phần phát triển năng lực ngôn ngữ Toán học cho học sinh, hiện thực hóa các yêu
cầu của chương trình phổ thông môn Toán trong dạy học nội dung này.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận về dạy học phát triển năng lực nói chung, năng
lực ngôn ngữ Toán học nói riêng.
- Khảo sát một phần thực trạng dạy học Hàm số và Đồ thị theo hướng phát
triển năng lực ngôn ngữ Toán học cho học sinh lớp 10 Trung học phổ thông.

9. 3
- Đề xuất một số biện pháp dạy học nội dung Hàm số và Đồ thị ở lớp 10
theo hướng phát triển năng lực ngôn ngữ Toán học cho học sinh.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm về tính khả thi và hiệu
quả của các biện pháp đã đề xuất.
5. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là những biện pháp dạy học nội dung Hàm số và Đồ
thị ở lớp 10 theo hướng phát triển năng lực ngôn ngữ Toán học cho học sinh.
5.2. Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
5.3. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung Hàm số và Đồ thị lớp 10 ban cơ bản ở trường Trung học phổ
thông.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng những biện pháp dạy học một số nội dung Hàm số và Đồ thị
ở lớp 10 đã được đề xuất trong luận văn thì vừa giúp học sinh hiểu được và vận
dụng những kiến thức về Hàm số và Đồ thị tốt hơn, vừa phát triển năng lực ngôn
ngữ Toán học cho học sinh.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách báo, tài liệu, các công
trình có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo
viên và việc học tập của học sinh trong quá trình dạy học nội dung hàm số và đồ
thị nhằm rèn luyện các năng lực cho học sinh.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Dạy học thực nghiệm cho học sinh
lớp 10 trung học phổ thông nội dung Hàm số và Đồ thị, để bước đầu kiểm tra
tính khả thi, hiệu quả của đề tài.

10. 4
8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn được chia thành 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2. Biện pháp dạy học nội dung Hàm số và Đồ thị lớp 10 theo
hướng phát triển năng lực ngôn ngữ toán học.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

11. 5
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực ngôn ngữ
1.1.1. Khái niệm năng lực và năng lực toán học
Năng lực là một thuật ngữ thuộc tâm lý học có nguồn gốc từ tiếng La tinh.
Khái niệm năng lực cho tới ngày nay vẫn còn rất nhiều cách hiểu, cách suy diễn
và biểu đạt khác nhau, phụ thuộc vào các lĩnh vực khác nhau. Theo nghiên cứu
một số khái niệm về năng lực phổ biến như sau:
Theo Nguyễn Quang Uẩn, Trần Hữu Luyến, Trần Quốc Thành (2013) “Năng
lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của
một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả” [31, tr.178]. Như
vậy theo phạm trù tâm lý thì năng lực phụ thuộc vào cá nhân và phải phù hợp với
một số yêu cầu đặc trưng nào đó để hoạt động đảm bảo được hiệu quả.
Tác giả [26] định nghĩa “Năng lực là khả năng vận dụng những kiến thức,
kinh nghiệm, kỹ năng, thái độ và hứng thú để hành động một cách phù hợp và có
hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống”
“Năng lực là một tích hợp những kĩ năng cho phép nhận biết một tình
huống và đáp ứng với tình huống đó tương đối thích hợp và một cách tự nhiên”.
(theo Xavier Roegiers, 1996) [30].
Mặc dù có nhiều khái niệm khác nhau về năng lực nhưng đều có sự thống
nhất về đặc điểm hình thành và mối liên hệ với tri thức và kĩ năng. Đó là quá
trình hình thành năng lực gắn liền với hoạt động, luyện tập, thực hành, trải
nghiệm và chịu sự chi phối của nhiều yếu tố, đặc biệt năng lực tạo điều kiện
thuận lợi phát triển tri thức, kĩ năng.
Năng lực Toán học cũng có nhiều cách xem xét từ những bình diện khác
nhau dựa vào mục tiêu và định hướng chương trình giáo dục mà khái niệm năng
lực Toán học có những thay đổi và phát triển. Theo [9, tr.14] thì “Năng lực toán
học phổ thông là khả năng của cá nhân biết lập công thức, vận dụng và giải

12. 6
thích toán học trong nhiều ngữ cảnh.” Năng lực Toán học được hình thành gắn
liền với những hoạt động của học sinh giúp học sinh có những phán đoán và
quyết định để giải quyết những nhiệm vụ học tập môn Toán.
Năng lực Toán học bao gồm các năng lực Toán học đặc thù sau:
- Năng lực tư duy là tổng hợp khả năng so sánh, phân tích, khái quát hóa,
trừu tượng hóa…trong quá trình giải quyết vấn đề.
- Năng lực ngôn ngữ Toán học là khả năng sử dụng ngôn ngữ nói, viết hoặc
khả năng thuyết trình để làm sáng tỏ các vấn đề…thể hiện qua lập luận bài toán,
đặt câu hỏi và trả lời câu hỏi...
- Năng lực giải quyết vấn đề là khả năng nhận biết được tình huống có vấn
đề, đưa ra các biện pháp giải quyết, có thể đánh giá giải pháp và tìm ra giải pháp
chung cho các vấn đề tương tự.
- Năng lực mô hình hóa là khả năng chuyển đổi từ một tình huống thực tế
sang mô hình toán học, giải quyết được mô hình toán học và đánh giá lời giải
trong ngữ cảnh của tình huống thực tế.
- Năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học Toán là khả năng sử
dụng các công cụ trực quan trong lĩnh vực công nghệ thông tin, biết các ưu
nhược điểm của các phương tiện hỗ trợ và cách sử dụng hợp lý.
Định hướng đổi mới giáo dục hiện nay ngày càng chú trọng bồi dưỡng các
năng lực Toán học trên cho học sinh. “Bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh là
quá trình tổ chức cho học sinh vận dụng các kiến thức, kĩ năng toán học để thực hiện
các hoạt động học tập tương thích với các thành tố và các biểu hiện đặc trưng của
từng năng lực. Qua đó, năng lực của học sinh được phát triển cao hơn” [3].
1.1.2. Năng lực ngôn ngữ Toán học
a. Khái niệm về ngôn ngữ toán học
Theo [27, tr.885] thì “Ngôn ngữ là hệ thống những âm, những từ và những
quy tắc kết hợp chúng, làm phương tiện để giao tiếp chung cho một cộng đồng”.
Từ các nghiên cứu, tác giả [3] đã đưa ra khái niệm ngôn ngữ Toán học như sau
“Ngôn ngữ Toán học trong dạy học toán phổ thông là ngôn ngữ của khoa học toán
học, bao gồm các thuật ngữ toán học (từ, cụm từ), các kí hiệu toán học, biểu tượng

13. 7
toán học (như hình vẽ, sơ đồ, đồ thị...) và các quy tắc kết hợp chúng dùng để diễn đạt
các đối tượng và các mối quan hệ toán học trong khi nói, viết hoặc tư duy”. Theo tác
giả [11], “Ngôn ngữ Toán học là một hệ thống các thuật ngữ, kí hiệu toán học chủ
yếu ở dạng ngôn ngữ viết. Các kí hiệu này có tính chất quy ước để diễn đạt nội dung
toán học đảm bảo tính lôgic, chính xác và ngắn gọn.”
Trên cơ sở trên, chúng tôi quan niệm: Ngôn ngữ Toán học là hệ thống các
kí hiệu, thuật ngữ, biểu tượng và các quy tắc kết hợp chúng để có thể biểu thị và
diễn đạt các nội dung của Toán học đảm bảo tính chính xác, rõ ràng và linh hoạt.
Hệ thống ngôn ngữ Toán học bao gồm từ vựng (tập hợp các kí hiệu, biểu tượng
dùng trong toán học) , ngữ nghĩa (nghĩa của các kí hiệu và biệu tượng Toán học), và
cú pháp (các quy tắc về trật tự từ, cách kết hợp các kí hiệu Toán học…).
Từ vựng của ngôn ngữ Toán học bao gồm:
- Kí hiệu Toán học là các chữ số, chữ cái, kí hiệu, dấu các phép toán…Kí
hiệu Toán học có vai trò quan trọng nhất trong ngôn ngữ Toán học, thông qua hệ
thống kí hiệu Toán học thống nhất mà những ngôn ngữ khác nhau có thể trao
đổi các vấn đề Toán học với nhau.
Ví dụ 1.1. Một số kí hiệu Toán học dùng trong nội dung “Hàm số và Đồ thị
lớp 10”:
Bảng 1. 1. Một số kí hiệu Toán học và ý nghĩa
Kí hiệu Ý nghĩa
 
;
a b Tập hợp các số thực x sao cho .
a x b
 
 
;
a b Tập hợp các số thực x sao cho .
a x b
 
 
;
a  Tập hợp các số thực x sao cho .
x a

 
;b
 Tập hợp các số thực x sao cho .
x b

 
f x Hàm số một biến f theo biến .
x
 
,
f x y Hàm số hai biến f theo biến , .
x y
 
, 0
y ax b a
   Hàm số bậc nhất.
 
2
, 0
y ax bx c a
    Hàm số bậc hai.
……………………… ………………………………………………….

14. 8
- Thuật ngữ toán học là các từ hay cụm từ dùng để diễn đạt nội dung cụ thể
của Toán học, ví dụ như một khái niệm mang ý nghĩa nhất định (hàm số bậc
nhất, hàm số bậc hai, tập xác định của hàm số, đồ thị của hàm số…), những từ
ngữ đóng vai trò dẫn dắt (tìm, xác định, có bao nhiêu…), những từ ngữ có nhiều
nghĩa nhưng trong Toán học lại có ý nghĩa đặc thù (cộng, hai, năm, hàm…).
Do đó ngôn ngữ Toán học không chỉ khác ngôn ngữ tự nhiên ở những kí
hiệu Toán học ngắn gọn mà còn ở tính cô đọng, chính xác vì mỗi ngôn ngữ Toán
học đều có ý nghĩa xác định và duy nhất.
- Biểu tượng Toán học biểu diễn đối tượng cụ thể về các thuật ngữ Toán
học thông qua các hình vẽ, đồ thị, mô hình…
Ví dụ 1.2. Một số thuật ngữ và biểu tượng Toán học dùng trong nội dung “Hàm
số và Đồ thị lớp 10”:
Bảng 1. 2. Ví dụ về thuật ngữ và biểu tượng Toán học
Kí hiệu Toán học
Thuật ngữ
Toán học
Biểu tƣợng Toán học
y ax b
 
Hàm số
bậc nhất
2
y ax bx c
  
Hàm số
bậc hai
Thông thường trong Toán học, chúng ta thường đan xen giữa ngôn ngữ tự
nhiên và ngôn ngữ Toán học:

15. 9
Ví dụ 1.3. “Hàm số có dạng 2
y ax bx c
   , trong đó , ,
a b c là các số thực và
0
a  được gọi là hàm số bậc hai”. Ở đây đã sử dụng các kí hiệu Toán học như
2
y ax bx c
   , 0
a  ; các thuật ngữ như hàm số bậc hai, hàm số và các ngôn
ngữ tự nhiên. Do đó để diễn đạt một nội dung toán học, người ta thường kết hợp
các kí hiệu, thuật ngữ với các ngôn ngữ tự nhiên.
Có những kí hiệu và thuật ngữ được sử dụng thống nhất trên thế giới, tuy
nhiên do các nhà toán học hoặc do vấn đề ngôn ngữ của mỗi quốc gia, có những
kí hiệu và thuật ngữ giống nhau nhưng lại mang ý nghĩa khác nhau, ví dụ như ở
nước ta quy ước số 0 là số tự nhiên, nhưng toán học của nước anh Anh lại quy
ước số 0 không phải số tự nhiên. Kí hiệu tập các số nguyên dương là
 
1;2;3;4;...
  , tuy nhiên ở châu Âu, kí hiệu này là khái niệm các số nguyên
không âm, tức là  
0;1;2;3;4;...
  . Tuy vậy ngôn ngữ toán học có vai trò quan
trọng trong việc giao lưu toán học giữa các quốc gia trên thế giới do tính ngắn
gọn, chính xác cao và hầu hết các kí hiệu đều được sử dụng thống nhất.
Phương diện cú pháp Toán học là những cấu trúc hình thức và các quy tắc
để xác định và biến đổi, cách kết hợp các kí hiệu Toán học. Trong phương diện
này học sinh hay mắc phải những sai lầm, có nhiều học sinh cho rằng: 2
a a

thay vì 2
a a
 ,  2 2 2
x y x y
   thay vì  2 2 2
2
x y x xy y
    ,… đây đều
là những sai lầm do việc không hiểu rõ cú pháp toán học.
b. Đặc trưng của ngôn ngữ Toán học
Ngôn ngữ Toán học có tính ngắn ngọn, trực quan, không mang sắc thái
biểu cảm, có khả năng diễn đạt những nội dung, vấn đề toán học một cách cô
đọng…mang các đặc trưng của ngôn ngữ khoa học như: tính xác định về nghĩa
và xu hướng một nghĩa, tính trừu tượng, tính hệ thống, tính quốc tế. Các đặc
trưng đó được biểu hiện như sau:

16. 10
Bảng 1. 3. Đặc trưng của ngôn ngữ Toán học
Đặc trƣng Biểu hiện Ví dụ
Tính xác định về nghĩa
và xu hướng một nghĩa
- Trong ngôn ngữ Toán
học, các thuật ngữ Toán
học có tính duy nhất và
bất biến, tức là trong
những hoàn cảnh diễn
đạt khác nhau thì nghĩa
của từ đó vẫn không
thay đổi.
- Đây chính là điểm
khác biệt nhất giữa ngôn
ngữ Toán học và ngôn
ngữ tự nhiên. Điều này
làm ngôn ngữ Toán học
trở nên ngắn gọn, xúc
tích và có tính chính xác
cao.
- Ngôn ngữ Toán học
không mang các sắc thái
biểu cảm.
Từ “góc” theo định
nghĩa là những gì nằm
giữa hai đoạn thẳng như
góc của tam giác, góc
của hình vuông, góc của
hình chữ nhật, góc của
hai vectơ… Nhưng
trong ngôn ngữ tự nhiên,
góc có thể hiểu theo
nhiều nghĩa khác nhau
trong những hoàn cảnh
khác nhau như một góc
Hà Nội, góc thư giãn,
góc nhìn, góc khuất….
Tính trừu tượng
Ngôn ngữ Toán học có
tính trừu tượng cao,
được biểu hiện thông
qua các kí hiệu toán học,
mỗi kí hiệu toán học
mang ý nghĩa riêng biệt
và phải thông qua quá
trình tư duy để hiểu rõ ý
nghĩa.
“x” là kí hiệu của phép
nhân.
 là kí hiệu của tam
giác…
Tính hệ thống - Trong ngôn ngữ Toán Từ “cộng”, trong ngôn

17. 11
học, các kí hiệu và thuật
ngữ có mối quan hệ với
nhau trong một hệ thống
nhất định, nếu tách ngôn
ngữ Toán học ra khỏi hệ
thống đó thì nghĩa của từ
sẽ thay đổi.
- Tính hệ thống của
ngôn ngữ toán học còn
thể hiện ở mối quan hệ
của các kí hiệu và thuật
ngữ Toán học.
ngữ Toán học kí hiệu là
“+” là một phép toán cơ
bản biểu thị phép lấy
tổng của hai hay nhiều
biểu thức toán học.
Nhưng trong ngôn ngữ
tự nhiên có thể hiểu theo
nhiều nghĩa khác như
cộng sinh, cộng sản,…
Tính quốc tế
- Thông qua các kí hiệu
và thuật ngữ mà ngôn
ngữ Toán học có tính
chất quốc tế.
- Ngôn ngữ Toán học
góp phần thuận lợi trong
việc giao lưu Toán học
với các nước trên thế
giới.
Ví dụ: Tập các số tự
nhiên, số nguyên, số hữu
tỉ, số thực, số phức lần
lượt có kí hiệu quốc tế
là:
, , , ,
c. Chức năng của ngôn ngữ Toán học
Ngôn ngữ Toán học có hai chức năng chính, đó là chức năng giao tiếp và
chức năng tư duy.
- Chức năng giao tiếp:
Trong dạy học, hoạt động giao tiếp, trao đổi thông tin là nhu cầu thiết yếu
giữa người dạy và người học. Hoạt động giao tiếp giúp giáo viên truyền đạt nội
dung kiến thức cho học sinh nhằm đạt mục đích truyền đạt tri thức. Thông qua
giao tiếp giữa học sinh với giáo viên, học sinh với học sinh, học sinh với tập thể
lớp học…tạo ra sự hợp tác, kết nối, giúp học sinh tiếp nhận nội dung thông tin

18. 12
một cách rõ ràng và hiệu quả. Theo [7, tr.11] và [6, tr.44], ngôn ngữ là phương
tiện giao tiếp hiệu quả nhất thông qua hệ thống kí hiệu ngôn ngữ. Các vấn đề
Toán học rất khó trao đổi với nhau nếu chỉ dùng ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ
Toán học giúp việc truyền tải trở nên chính xác, xúc tích.
Khi gặp phải tình huống có vấn đề cần, học sinh cần phải huy động kiến
thức, tìm giải pháp và sử dụng ngôn ngữ Toán học để lập luận chứng minh. Bên
cạnh đó, giáo viên cần biên soạn hệ thống câu hỏi để tương tác với học sinh,
giúp học sinh nhận biết và giải quyết vấn đề một cách tối ưu. Giáo viên có thể
xây dựng nhiều câu hỏi khác nhau vào cùng một vấn đề để phát triển sự hiểu
biết về ngôn ngữ Toán học cho học sinh. Ví dụ có nhiều cách phát biểu định
nghĩa hình vuông như “hình vuông là hình tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và có 4
góc vuông” hay “hình vuông là hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau”. Thông qua
đó học sinh vừa hiểu sâu sắc hơn về khái niệm, vừa tăng cường vốn kí hiệu và
thuật ngữ của ngôn ngữ Toán học.
Ví dụ 1.4. Hai phương trình sau có tương đương hay không?
  2
1 4 0
x   và   2 1 1
2 4
2 2
x
x x
  
 
Trong ví dụ này, học sinh không để đưa ra câu trả lời theo cảm tính như
“do hai phương trình khác nhau nên không tương đương với nhau”, mà phải
dùng lập luận toán học, kết hợp ngôn ngữ toán học và ngôn ngữ tự nhiên để giải
thích một cách chặt chẽ chính xác như sau:
Ta có:   2 2
1 4 0
2
x
x
x


     

Do đó phương trình  
1 có tập nghiệm là  
1 2;2
S   .
  2
2
2
2
1 1
2 4 2
2
2 2 4
2
x
x
x x
x
x x x
x
 

 

 
      


 
  
 
   


.
Do đó phương trình  
2 có tập nghiệm là  
2 2
S  .

19. 13
Do 1 2
S S
 nên hai phương trình trên không tương đương nhau.
Từ ví dụ trên chính ta thấy được mối quan hệ của ngôn ngữ Toán học và
ngôn ngữ tự nhiên. Ngôn ngữ toán học giúp thể hiện các lập luận và quan điểm
chứng minh một cách ngắn gọn, logic.
- Chức năng tư duy:
Ngôn ngữ toán học là hiện thực trực tiếp của tư tưởng, ý thức và tham gia
vào quá trình hình thành tư tưởng Toán học. Mọi kí hiệu hay thuật ngữ Toán học
đều biểu hiện một khái niệm, tư tưởng nào đó. Ngôn ngữ Toán học là công cụ
của tư duy, nhờ có ngôn ngữ Toán học mà giáo viên có thể tổ chức có hiệu quả
hoạt động dạy học và hoạt động tư duy trong dạy học. Ngôn ngữ Toán học giúp
biểu đạt chính xác và rõ ràng mọi ý tưởng toán học.
Theo [24] “Trong quá trình học tập môn Toán, học sinh có thể được trang
bị và rèn luyện các loại hình tư duy sau: tư duy logic, tư duy trừu tượng, tư duy
độc lập, tư duy biện chứng, tư duy phê phán và tư duy sáng tạo…”. Ngôn ngữ
Toán học có vai trò quan trọng trong tư duy biện chứng và tư duy phê phán.
Thông qua các quá trình phân tích, tổng quan, so sánh và nhận thức, kết hợp với
lập luận chứng minh bằng ngôn ngữ Toán học, học sinh rèn luyện tư duy phê
phán thông qua việc đưa ra những đánh giá về nội dung, đặt câu hỏi, tự đánh giá,
rút ra kết luận…về các vấn đề Toán học.
d. Năng lực ngôn ngữ Toán học
Năng lực ngôn ngữ vừa có những đặc điểm chung là năng lực Toán học,
vừa có những tính chất đặc thù chuyên biệt, đặc thù của ngôn ngữ Toán học.
Theo [3] quan niệm “Năng lực ngôn ngữ Toán học của học sinh là khả năng
làm chủ và vận dụng hiệu quả ngôn ngữ Toán học để thực hiện thành công các
hoạt động ngôn ngữ trong quá trình học tập và nghiên cứu toán học, cũng như
trong đời sống xã hội nói chung”. Do đó năng lực ngôn ngữ Toán học có mục
đích làm phương tiện cho giảng dạy, tương tác và giao tiếp.
Năng lực ngôn ngữ Toán học bao gồm ba khả năng sau:
- Khả năng nắm được các kí hiệu Toán học, ý nghĩa của các thuật ngữ Toán
học và biểu tượng Toán học, nắm được mối liên hệ giữa các ngôn ngữ Toán học
trong một hệ thống thống nhất.

20. 14
- Khả năng sử dụng ngôn ngữ Toán học hiệu quả trong giao tiếp và tư duy.
- Khả năng biểu diễn, chuyển đổi ngôn ngữ Toán học giữa các bài toán
thực tiễn và mô hình Toán học.
Từ đó, theo chúng tôi, năng lực ngôn ngữ Toán học là khả năng vận dụng,
thu thập và xử lý thông tin ngôn ngữ Toán học trong quá trình học tập nhằm
tăng khả năng giao tiếp và tư duy, đồng thời vận dụng ngôn ngữ Toán học trong
học tập cũng như các lĩnh vực trong đời sống thực tiễn.
Theo [12], Lê Văn Hồng (2006) đã phân chia năng lực ngôn ngữ Toán học thành
hai phạm trù cơ bản là năng lực biểu diễn toán học và năng lực giao tiếp toán học.
- Năng lực giao tiếp toán học là khả năng học sinh có thể diễn đạt lại được
nội dung, ý tưởng các thông tin thông qua nghe, hiểu, ghi chép, phân tích và lựa
chọn các thông tin cần thiết, kết nối với các thông tin khác. Học sinh sử dụng
hiệu quả ngôn ngữ Toán học và biết kết hợp giữa ngôn ngữ Toán học và ngôn
ngữ tự nhiên một cách hợp lí để biểu đạt suy nghĩ, trình bày và chứng minh các
vấn đề Toán học.
Năng lực giao tiếp toán học có các biểu hiện như sau:
+ Tóm tắt được các thông tin toán học cơ bản, các ý chính trong cuộc thảo luận.
+ Biết phân tích, lựa chọn các thông tin đầy đủ, chính xác và biết kết nối
các thông tin với nhau.
+ Trình bày mạch lạc, rõ ràng lời giải của bài toán bằng ngôn ngữ Toán học
(các kí hiệu và các thuật ngữ, biểu tượng…) kết hợp với ngôn ngữ tự nhiên .
+ Phát biểu được một định nghĩa theo nhiều cách thức khác nhau, sử dụng
ngôn ngữ Toán học.
+ Có khả năng phản biện về quan niệm bằng quy tắc suy luận và liên kết logic.
+ Thể hiện sự tự tin khi trình bày cách giải quyết một vấn đề Toán học với
tư duy rõ ràng, liền mạch.
Các thành tố và tiêu chí đặc trưng của năng lực giao tiếp toán học:

21. 15
Bảng 1. 4. Các thành tố của năng lực giao tiếp Toán học
Thành tố Tiêu chí
Nghe hiểu và ghi nhớ các thông tin
cần thiết
- Nghe, đọc hiểu và tóm tắt các thông
tin trọng tâm.
- Phân tích và lựa chọn các thông tin
cần thiết.
- Kết nối các thông tin với nhau và
tổng hợp thông tin.
Trình bày được nội dung, ý tưởng
toán học.
- Trình bày mạch lạc, chính xác,
logic, đầy đủ các nội dung.
- Tham gia thảo luận, trả lời câu hỏi
về nội dung vừa thảo luận.
- Giải đáp thắc mắc và lập luận toán
học chặt chẽ.
Kết hợp ngôn ngữ Toán học và ngôn
ngữ tự nhiên.
- Sử dụng hiệu quả ngôn ngữ Toán
học (các kí hiệu, biểu tượng, thuật
ngữ…) với ngôn ngữ tự nhiên để lập
luận suy luận một cách chặt chẽ,
chứng minh các định lí toán học.
- Giải thích được ý tưởng Toán học
khi tương tác với người khác.
- Biết phân tích, so sánh lựa chọn
những phương pháp hay và tối ưu.
Thái độ tự tin khi thuyết trình, diễn
đạt nội dung toán học.
- Giải thích nội dung Toán học một
cách rõ ràng, chặt chẽ, logic.
- Tự tin trong diễn đạt và tranh luận.
- Năng lực biểu diễn toán học là một thành phần của năng lực ngôn ngữ, là
khả năng sử dụng thành thạo ngôn ngữ Toán học để biểu diễn các đối tượng,
khái niệm, định nghĩa Toán học theo nhiều cách khác nhau.
Theo [35], năng lực biểu diễn Toán học bao gồm: “Giải thích và phân biệt
các dạng biểu diễn khác nhau của các đối tượng Toán học, mối quan hệ giữa các
cách biểu diễn khác nhau. Có khả năng chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác
nhau phụ thuộc vào tình huống và mục đích”.
Năng lực biểu diễn toán học có các biểu hiện như sau:

22. 16
+ Nắm được cách biểu diễn ngôn ngữ Toán học thông qua biểu tượng, vẽ
hình, đồ thị, lập biểu đồ…
+ Chuyển đổi từ bài toán thực tế sang mô hình toán học, từ đó giải quyết
bài toán thực tế thông qua giải quyết mô hình toán học.
+ Biến đổi từ biểu diễn Toán học này tạo ra các cách biểu diễn ngôn ngữ
toán học khác nhau để giải quyết các vấn đề.
+ Lựa chọn cách biểu diễn toán học phù hợp và tối ưu tùy thuộc vào mục
đích và hoàn cảnh tình huống.
Các thành tố và tiêu chí đặc trưng của năng lực biểu diễn toán học:
Bảng 1. 5. Các thành tố của năng lực biểu diễn Toán học
Thành tố Tiêu chí
Sử dụng hiệu quả hệ thống biểu diễn
toán học để trình bày nội dung Toán
học.
- Nhận biết được các biểu diễn Toán
học, phân biệt được các đối tượng và
nắm rõ mối quan hệ của các biểu diễn
Toán học.
- Sử dụng hệ thống biểu diễn Toán
học trong trình bày nội dung vấn đề
toán học.
Tìm ra các biểu diễn toán học có mối
liên hệ với nhau phù hợp với phương
án giải quyết vấn đề Toán học.
- Nắm được mối liên hệ giữa các biểu
diễn Toán học để liên kết, kết nối các
lập luận, tìm giải pháp giải quyết vấn
đề.
- Tìm ra biểu diễn toán học phù hợp
để biểu thị mối quan hệ của các vấn
đề trong những tình huống khác nhau.
Lựa chọn và chuyển đổi giữa các
dạng biểu diễn toán học khác nhau
thuận lợi cho việc thực hành, ghi
nhớ… tùy theo tình huống và mục
đích
- Sử dụng biểu diễn mô hình hóa toán
học các bài toán thực tế.
- Chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn
toán học tùy thuộc vào mục đích nhận
thức, ghi nhớ hay thực hành.

23. 17
1.1.3. Sự phát triển tư duy và ngôn ngữ của học sinh trung học phổ thông
Lứa tuổi học sinh trung học phổ thông là giai đoạn quan trọng trong quá
trình phát triển tư duy. Trong lứa tuổi này học sinh đã có khả năng tư duy trừu
tượng, tư duy lý luận một cách độc lập và sáng tạo. Các năng lực về giải quyết
vấn đề, tư duy, so sánh, lập luận, phân tích đều phát triển mạnh giúp cho học
sinh có thể lĩnh hội và hiểu được những khái niệm phức tạp, mang tính trừu
tượng cao. Đồng thời ở độ tuổi này phát triển nhu cầu giao tiếp với bạn bè và
với tập thể. Học sinh có ý thức về vai trò của mình trong tập thể và cảm thấy có
trách nhiệm hơn trong việc xây dựng tập thể. Quá trình phát triển ngôn ngữ gắn
liền với quá trình phát triển tư duy. Như [34, tr.217] đã khẳng định “Ngôn ngữ
đóng vai trò trung tâm, là người dẫn đường cho các chức năng tâm lí văn hóa
trong quá trình chuyển vào trong”.
Ở độ tuổi này học sinh thường nảy sinh những câu hỏi nghi vấn về những
điều chưa biết và có sự phản hồi đối với các vấn đề chưa hiểu rõ. Thông qua
hoạt động học tập, hoạt động ngôn ngữ và tư duy phát triển rõ rệt, đặc biệt là
thông qua những hoạt động toán học gắn liền với thực tiễn. Lứa tuổi trung học
phổ thông đã có hệ thần kinh phát triển toàn diện, do đó đã có khả năng nhận
thức những kí hiệu toán học trừu tượng hơn nên trong giai đoạn này cần bồi
dưỡng năng lực biểu diễn toán học và năng lực giao tiếp toán học để phát triển
năng lực ngôn ngữ.
Ở độ tuổi này, học sinh có khả năng phán đoán giải quyết vấn đề rất nhanh, tuy
vậy khả năng quan sát còn chưa tập trung cao. Khả năng quan sát bắt đầu phát triển
gắn liền với năng lực tư duy và năng lực ngôn ngữ. Do đó cần khắc phục cho học
sinh tính phiến diện, đại khái, phân tán không tập trung khi quan sát một đối tượng
toán học và vội vàng đi tới kết luận mà không có cơ sở vững chắc.
Trong dạy toán ở lớp 10, học sinh có sự chuyển giao giữa trung học cơ sở
và trung học phổ thông, năng lực tiếp nhận và thích ứng với sự đổi mới môi
trường học tập tăng cao. Học sinh có nhu cầu khám phá các quan điểm về xã

24. 18
hội, quan tâm nhiều hơn tới vấn đề xây dựng lý tưởng sống. Tuy vậy học sinh
lớp 10 sẽ chịu áp lực từ môi trường mới, bạn bè xung quanh do vậy giáo viên
cần hướng dẫn giúp đỡ để học sinh dễ thích ứng với môi trường mới, xây dựng ý
thức lớp học để học sinh cảm thấy thoải mái, trao đổi, động viên học sinh để các
em có thể thoải mái diễn đạt ý tưởng của bản thân, tổ chức các hoạt động bồi
dưỡng năng lực biểu diễn toán học và năng lực ngôn ngữ để phát triển năng lực
ngôn ngữ gắn liền với năng lực tư duy cho học sinh.
1.2. Nội dung Hàm số và Đồ thị trong chƣơng trình môn Toán lớp 10
1.2.1. Nội dung chương Hàm số và Đồ thị
Ở lớp 7, học sinh được giới thiệu về hàm số thông qua đại tượng tỉ lệ thuận
và tỉ lệ nghịch và sự tương quan phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên này.
Định nghĩa hàm số, mặt phẳng tọa độ và biết vẽ đồ thị hàm số  
, 0
y ax a
 
và  
, 0
a
y a
x
  trên trục tọa độ. Học sinh biết cách biểu diễn một cặp số và
cách xác định tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ.
Ở lớp 9, học sinh được học về hàm số bậc nhất  
, 0
y ax b a
   và hàm
số bậc hai  
2
, 0
y ax a
  , cách vẽ đồ thị hàm số trên trục tọa độ và sử dụng đồ
thị giải các bài toán liên quan đến phương trình. Do đó về nội dung hàm số và
đồ thị, học sinh đã có nền tảng nhất định ở lớp dưới.
Ở lớp 10, học sinh được giới thiệu về đồ thị và hàm số ở chương 2 - Hàm
số bậc nhất và bậc hai thuộc Đại số 10. Ở chương này trình bày lại một cách
chính xác hơn về định nghĩa hàm số, các khái niệm về tập xác định và tập giá trị
của hàm số, tính chẵn lẻ của hàm số, tính đơn điệu (đồng biến và nghịch biến)
của hàm số. Học sinh được giới thiệu về cách lập bảng biến thiên và khảo sát sự
biến thiên của hàm số.
Ngoài việc ôn lại hàm số bậc nhất và bậc hai dạng cơ bản lớp 9, nội dung
chương trình đi sâu vào khảo sát hàm số bậc nhất  
, 0
y ax b a
   và cách vẽ

25. 19
hàm số chứa dấu trị tuyệt đối y x
 . Về hàm số bậc hai
 
2
, 0
y ax bx c a
    học về cách khảo sát đồ thị hàm số, các dạng bài tập
về tìm các ẩn số a, b và c, cách xác định Parabol và các dạng bài tập ứng dụng
hàm số trong các bài toán thực tiễn.
Nội dung Hàm số và đồ thị ở lớp 10 mang tính ôn lại và khái quát hơn về
các khái niệm cơ bản của hàm số, do đó là cơ hội để rèn luyện năng lực giao tiếp
và năng lực biểu diễn toán học nhằm phát triển năng lực ngôn ngữ.
Mối liên hệ với các chương khác: Sơ đồ sau đây thể hiện mối liên hệ về nội
dung giữa các chương.
Biểu đồ 1. 1. Mối liên hệ về nội dung giữa các chương
1.2.2. Đặc điểm ngôn ngữ toán học trong chương hàm số bậc nhất và hàm số
bậc hai sách giáo khoa Đại số lớp 10
Trong chương 2, hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai bao gồm các thuật
ngữ: hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, tính đồng biến nghịch biến, tính chẵn lẻ,
đồ thị hàm số, tập xác định của hàm số, các kí hiệu về hàm số
 
, 0
y ax b a
   ,  
2
, 0
y ax bx c a
    , y x
 .
Trong sách giáo khoa Đại số 10 có nhiều biểu diễn trực quan được sử dụng, như:
Hàm số bậc nhất
và hàm số bậc
hai
Bất đẳng thức và
bất phương trình
Phương trình và
hệ phương trình

26. 20
- Đồ thị hàm số.
- Các biểu đồ dạng cột.
- Bảng chữ nhật để mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng.
- Các biểu diễn trực quan hỗ trợ các khái niệm, định nghĩa.
Ngoài ra còn có các hình ảnh khai thác những ứng dụng về nội dung toán
học trong thực tiễn ví dụ như hình ảnh quỹ đạo bay của quả bóng rổ vào rổ là
hình ảnh của một Parabol chính là đồ thị của hàm số bậc hai hay hình ảnh đài
phun nước cho thấy những hình ảnh tuyệt đẹp của parabol trong thực tế, từ đó
những hình ảnh về parabol được ứng dụng trong các công trình kiến trúc…để
tăng vẻ đẹp của công trình. Các hình vẽ này nhằm gợi trí tò mò của học sinh, tạo
động cơ học tập.
Thống kê cụ thể trong sách giáo khoa Đại số lớp 10, chương 2 hàm số bậc
nhất và hàm số bậc hai có 27 hình biểu diễn, trong đó có 25 hình về vẽ về đồ thị
hàm số, 2 bảng chữ nhật diễn tả mối quan hệ giữa các đại lượng biến số và hàm
số. Ngoài ra còn có 4 tranh vẽ là những hình ảnh có chứa những nội dung toán
học gắn liền với thực tế cuộc sống, thể hiện ứng dụng và mối liên hệ với thực
tiễn của nội dung hàm số nhằm tạo động cơ hứng thú, gây kích thích tò mò cho
người học.
Việc nghiên cứu nội dung đồ thị và hàm số trong chương trình Toán 10 để
thấy được vai trò của ngôn ngữ Toán học trong dạy học toán. Sách giáo khoa
môn Toán nói chung và sách Đại số 10 nói riêng đã thể hiện được tính nhất
quán, bám sát mục tiêu hình thành cho học sinh những yếu tố quan trọng để phát
triển các năng lực của bản thân, chú trọng tới việc phát triển năng lực biểu diễn
toán học và góp phần phát triển năng lực ngôn ngữ.
1.3. Một số thực trạng về dạy học nội dung Hàm số và Đồ thị và vấn đề phát
triển năng lực ngôn ngữ Toán học
1.3.1. Mục đích khảo sát
Tìm hiểu thực trạng sử dụng ngôn ngữ Toán học trong nội dung hàm số và
đồ thị ở trường Trung học phổ thông.

27. 21
1.3.2. Đối tượng khảo sát
Giáo viên môn Toán Trung học phổ phổ thông, bao gồm 10 giáo viên môn
Toán của trường trung học phổ thông Vạn Xuân – Hoài Đức, 40 học viên lớp
cao học: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán thuộc trường Đại học
Giáo dục – ĐHQG Hà Nội.
Số phiếu phát ra là 50 phiếu, thu về 50 phiếu.
1.3.3. Cách thức điều tra khảo sát
- Điều tra bằng phiếu hỏi.
- Phương pháp phỏng vấn trực tiếp, quan sát và dự giờ môn Toán ở trường
Trung học phổ thông.
- Phương pháp xử lí số liệu: tính tỉ lệ phần trăm.
1.3.4. Nội dung khảo sát
- Nhận xét của giáo viên về năng lực ngôn ngữ toán học trong sách giáo
khoa môn Toán lớp 10.
- Khả năng hiểu, áp dụng ngôn ngữ toán học của học sinh.
- Tình hình rèn luyện và phát triển năng lực ngôn ngữ cho học sinh hiện nay.
- Việc tổ chức các hoạt động phát triển năng lực ngôn ngữ trong nội dung
Hàm số và đồ thị lớp 10.
- Những khó khăn trong dạy học phát triển năng lực ngôn ngữ Toán học.
Cụ thể, mẫu phiếu điều tra giáo viên như sau:
MẪU PHIẾU ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN
Hiện nay, chúng tôi đang thực hiện đề tài nghiên cứu “Dạy học nội dung
Hàm số và Đồ thị ở lớp 10 góp phần phát triển năng lực ngôn ngữ Toán học cho
học sinh”. Chúng tôi gửi đến thầy, cô phiếu tham khảo ý kiến này. Kính mong
thầy cô vui lòng cho biết ý kiến của mình về các vấn đề sau bằng cách đánh dấu
X vào những ý lựa chọn. Những thông tin thu thập từ phiếu này vì mục đích
khoa học, không vì mục đích nào khác.
Thầy cô vui lòng cho biết những thông tin cá nhân (có thể ghi hoặc không)

28. 22
Họ và tên:............................................ Điện thoại:...............................
Đơn vị công tác: ...................................................................................
Câu 1: Trong quá trình dạy học, thầy cô có chú ý phát triển năng lực ngôn ngữ
cho học sinh không?
1) Có
2) Không quá chú trọng
3) Không
Câu 2: Thầy cô có những hiểu biết ở mức độ thế nào về năng lực ngôn ngữ?
1) Hiểu
2) Chưa hiểu đầy đủ
3) Chưa hiểu
Câu 3: Theo thầy cô thì việc phát triển năng lực ngôn ngữ cho học sinh trong
quá trình dạy học Toán có quan trọng không?
1) Quan trọng
2) Không quan trọng
Câu 4: Khi soạn bài giảng về nội dung đồ thị và hàm số, các thầy cô có chú
trọng phát triển năng lực ngôn ngữ cho học sinh hay không?
1) Có
2) Có nhưng không chú trọng
3) Không
Câu 5: Các thầy cô có gặp khó khăn khi thiết kế bài giảng định hướng phát triển
năng lực ngôn ngữ cho học sinh nội dung đồ thị và hàm số hay không?
1) Có
2) Không
Câu 6: Các thầy cô thường áp dụng những biện pháp nào để rèn luyện năng lực
ngôn ngữ cho học sinh trong quá trình dạy học (Có thể chọn nhiều đáp án).

29. 23
Rèn luyện cho học sinh sử dụng đúng những kí hiệu và thuật ngữ toán
học.
Khuyến khích học sinh sử dụng và tạo ra các kí hiệu, hình vẽ… khác
nhau trong quá trình học.
Hệ thống câu hỏi gợi ý học sinh trả lời.
Yêu cầu học sinh đọc sách, thảo luận, đặt câu hỏi và trả lời câu hỏi.
Tạo môi trường hoạt động giao tiếp đa dạng, sử dụng các câu hỏi và
bài tập với dụng ý rèn luyện năng lực ngôn ngữ cho học sinh.
Ý kiến khác:…………….………………………………………………………....
……………………………..……………………………………………………...
Câu 7. Theo các thầy cô trong dạy học phát triển năng lực ngôn ngữ cho học
sinh thông qua nội dung Hàm số và Đồ thị và lớp 10 gặp những khó khăn gì?
(Có thể chọn nhiều đáp án).
Học sinh không tích cực giao lưu và tham gia hoạt động học tập.
Không có kinh nghiệm dạy học phát triển năng lực ngôn ngữ
Hoạt động học tập không đa dạng.
Không đủ thời gian trên lớp.
Ý kiến khác:………….…………………………………………………………....
……………………………..…..…………………………………………………
1.3.5. Đánh giá kết quả khảo sát thăm dò
Câu 1. Có 8 giáo viên (chiếm 16%) chọn có, 10 giáo viên (chiếm 20%) chọn
không quá chú trọng, có 32 giáo viên (chiếm 64%) chọn không.

30. 24
Biểu đồ 1. 2. Kết quả điều tra câu 1
Nhận xét: Hầu hết giáo viên trung học phổ thông đều không chú trọng tới
việc phát triển năng lực ngôn ngữ cho học sinh.
Câu 2. Có 18 giáo viên (chiếm 36%) chọn hiểu, có 27 giáo viên (chiếm 54%) chọn
chưa hiểu đầy đủ, có 5 giáo viên (chiếm 10%) chọn chưa hiểu.
Biểu đồ 1. 3. Kết quả điều tra câu 2
Nhận xét: Giáo viên đã có tìm hiểu về năng lực ngôn ngữ, tuy nhiên số
lượng giáo viên hiểu nhưng chưa đầy đủ vẫn chiếm tỉ lệ cao.
Câu 3. Có 45 giáo viên (chiếm 90%) chọn quan trọng, có 5 giáo viên (chiếm 10%)
chọn không quan trọng.
16%
20%
64%
Có Không quá chú trọng Không
36%
54%
10%
Hiểu Chưa hiểu đầy đủ Chưa hiểu

31. 25
Biểu đồ 1. 4. Kết quả điều tra câu 3
Nhận xét: Hầu hết giáo viên có hiểu biết về tầm quan trọng của dạy học
phát triển năng lực.
Câu 4. Có 7 giáo viên (chiếm 14%) chọn có, 8 giáo viên (chiếm 16%) chọn có
nhưng không chú trọng, 35 giáo viên (chiếm 70%) chọn không.
Biểu đồ 1. 5. Kết quả điều tra câu 4
Nhận xét: Trong dạy học nội dung phần Đồ thị và hàm số, có rất ít giáo
viên chú trọng tới những bài giảng thiết kế các tình huống phát triển năng lực
ngôn ngữ cho học sinh.
Câu 5. Có 42 giáo viên (chiếm 84%) chọn có, 8 giáo viên (chiếm 16%)
chọn không.
90%
10%
Quan trọng Không quan trọng
14%
16%
70%
Có Có nhưng không chú trọng Không

32. 26
Biểu đồ 1. 6. Kết quả điều tra câu 5
Nhận xét: Hầu hết giáo viên trung học phổ thông đều gặp khó khăn khi
thiết kế những tình huống dạy học phát triển năng lực ngôn ngữ cho học sinh.
Câu 6. Thống kê số lượng các đáp án như sau:
84% Rèn luyện cho học sinh sử dụng đúng những kí hiệu và thuật ngữ toán
học.
28% Khuyến khích học sinh sử dụng và tạo ra các kí hiệu, hình vẽ… khác
nhau trong quá trình học.
94% Hệ thống câu hỏi gợi ý học sinh trả lời.
72% Yêu cầu học sinh đọc sách, thảo luận, đặt câu hỏi và trả lời câu hỏi.
82% Tạo môi trường hoạt động giao tiếp đa dạng, sử dụng các câu hỏi và
bài tập với dụng ý rèn luyện năng lực ngôn ngữ cho học sinh.
Câu 7. Thống kê số lượng các đáp án như sau:
46% Học sinh không tích cực giao lưu và tham gia hoạt động học tập.
40% Không có kinh nghiệm dạy học phát triển năng lực ngôn ngữ
68% Hoạt động học tập không đa dạng.
54% Không đủ thời gian trên lớp.
Thông qua những phân tích ở trên, có thể thấy rằng, tổ chức dạy học phát
triển năng lực đã được biết đến nhưng trong quá trình dạy học thì giáo viên còn
chưa chú trọng tới phát triển năng lực ngôn ngữ và gặp nhiều khó khăn khi thiết
kế các hoạt động tổ chức.
84%
64%
Có Không

33. 27
Tiểu kết chƣơng 1
Từ việc nghiên cứu cơ sở lí luận về năng lực, năng lực toán học, năng lực
ngôn ngữ toán học, năng lực giao tiếp và năng lực biểu diễn toán học trong dạy
học môn Toán nói chung và trong dạy học Đại số 10 về Hàm số và Đồ thị nói
riêng luận văn đã đạt được một số kết quả sau đây:
- Trình bày quan niệm về các nội dung năng lực toán học, năng lực ngôn
ngữ toán học. Phân tích năng lực toán học và các biểu diễn ngôn ngữ toán học
trong nội dung Hàm số Đồ thị lớp 10. Kết quả phân tích cho thấy sách giáo khoa
Đại số 10 có nội dung chú trọng tới phát triển ngôn ngữ toán học.
- Thực trạng sử dụng ngôn ngữ toán học trong nội dung dạy học môn Toán
nội dung đồ thị hàm số ở trường trung học phổ thông cho thấy việc bồi dưỡng
năng lực ngôn ngữ cho học sinh còn chưa hiệu quả. Học sinh còn gặp nhiều khó
khăn trong việc hiểu và phân biệt ngữ nghĩa với cú pháp của ngôn ngữ Toán
học, học sinh chưa nắm vững cách biểu diễn các kí hiệu toán học trong hệ thống
ngôn ngữ toán học, còn hạn chế trong khả năng giao tiếp bằng ngôn ngữ Toán
học.
Từ những kết quả nghiên cứu trên cho thấy để góp phần nâng cao chất
lượng dạy học nội dung Hàm số và Đồ thị lớp 10 nhằm mục đích phát triển năng
lực ngôn ngữ, việc nghiên cứu và đề xuất các biện pháp giúp học sinh nắm chắc
hệ thống ngôn ngữ, đọc hiểu và sử dụng thành thạo các kí hiệu và thuật ngữ
Toán học; luyện tập cho học sinh các sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học
trong những hoàn cảnh cụ thể nhằm giải quyết những vấn đề của Toán học; tìm
những biện pháp phát triển kĩ năng giao tiếp của học sinh là cần thiết và có ý
nghĩa khoa học.

34. 28
Chƣơng 2
BIỆN PHÁP DẠY HỌC NỘI DUNG HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ THEO
HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC NGÔN NGỮ TOÁN HỌC
2.1. Định hƣớng xây dựng và thực hiện các biện pháp dạy học nội dung
Hàm số và Đồ thị theo hƣớng phát triển năng lực ngôn ngữ toán học
Việc phát triển năng lực ngôn ngữ Toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy
học nội dung hàm số và đồ thị cần được thực hiện theo các định hướng sau:
- Định hướng 1: Đảm bảo sự phù hợp với cơ sở lý luận của ngôn ngữ toán
học với nội dung dạy học bộ môn Toán.
- Định hướng 2: Đảm bảo tính liên hệ, mối quan hệ mật thiết giữa ngôn ngữ
toán học và ngôn ngữ tự nhiên.
- Định hướng 3: Các biện pháp chỉ ra những sai lầm của học sinh trong
việc sử dụng ngôn ngữ toán học và cách khắc phục để phát triển năng lực ngôn
ngữ một cách toàn diện.
- Định hướng 4: Các biện pháp đảm bảo tính liên hệ với thực tiễn, giúp học
sinh phát triển năng lực ngôn ngữ thông qua các bài toán gắn với thực tiễn.
2.2. Một số biện pháp phát triển năng lực ngôn ngữ Toán học cho học sinh
trong dạy học Hàm số và Đồ thị
2.2.1. Biện pháp 1. Tổ chức các hoạt động tạo cơ hội cho học sinh sử dụng đa
dạng ngôn ngữ Toán học trong mỗi giờ học về Hàm số và Đồ thị
a. Mục đích của biện pháp
Biện pháp này nhằm mục đích:
- Rèn luyện cho học sinh sử dụng ngôn ngữ toán học hiệu quả trong các hoạt
động dạy học như dạy học khái niệm, định lý, quy tắc và dạy học giải toán…
- Giúp học sinh hình thành được văn bản viết và nói sử dụng ngôn ngữ toán
học, hiểu đúng và sử dụng hợp lí các kí hiệu, biểu tượng, thuật ngữ toán học và
các cú pháp của ngôn ngữ toán học.

35. 29
- Giúp học sinh biết cách chuyển từ ngôn ngữ tự nhiên, các hình vẽ trực
quan sang ngôn ngữ toán học.
- Khắc phục những sai lầm thường gặp về ngôn ngữ toán học nói chung và
ngôn ngữ tự nhiên nói riêng trong dạy học giải toán có lời văn.
b. Cơ sở của biện pháp
Trong các hoạt động dạy học môn toán như dạy học giải toán, dạy học định
lý, dạy học khái niệm…, giáo viên cần quan tâm đến việc hình thành ngôn ngữ
toán học cho học sinh thông qua dạy học khái niệm, giúp vốn từ của học sinh
tăng lên cả về ý nghĩa và số lượng thông qua các hoạt động học tập điển hình.
Hoạt động giải toán là một trong những hoạt động cơ bản nhất của học sinh
trong quá trình học tập môn Toán, đồng thời giải toán cũng là hoạt động phức
tạp nhất, có ảnh hưởng lớn tới sự phát triển năng lực ngôn ngữ và tư duy. Nếu
hoạt động dạy học định lý, khái niệm để tăng cường ngôn ngữ toán học thì hoạt
động giải toán giúp học sinh củng cố, rèn luyện và phát triển ngôn ngữ toán học.
Trong hoạt động giải toán đòi hỏi học sinh phải huy động những kiến thức đã
biết, phân tích, so sánh, tổng hợp để tìm ra phương pháp giải và sử dụng ngôn
ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ tự nhiên để có cách trình bày bài làm logic,
hợp lí và chính xác. Đồng thời cần chú ý tới những dạng bài toán sử dụng nhiều
phương pháp khác nhau, thông qua đó tăng cường vốn ngôn ngữ toán học cho
học sinh, đồng thời giúp học sinh nhìn nhận vấn đề dưới các góc độ khác nhau
nhằm phát triển khả năng tư duy.
Trong môn toán trung học phổ thông, các quy tắc và phương pháp thường
được hình thành dưới dạng tổng quát, do đó học sinh có thể luyện tập vận dụng
ngôn ngữ toán học từ bài toán tổng quát vào các bài toán cụ thể và ngược lại.
Trong quá trình dạy học phương pháp và các quy tắc, giáo viên yêu cầu học sinh
giải thích quá trình dẫn tới phương pháp làm tổng quát, từ đó tạo cơ hội hình
thành các kĩ năng giao tiếp. Ngoài ra, giáo viên có thể đưa ra những nhiệm vụ
học tập như tóm tắt lại đề bài, vẽ hình, biểu diễn dưới dạng đồ thị..., tăng cường
hỏi đáp các câu hỏi ngắn để giúp học sinh luyện tập cách sử dụng ngôn ngữ toán

36. 30
học trong “nói”, tăng cường các hoạt động giao tiếp trong dạy học để rèn luyện,
giúp học sinh tự tin, nói năng lưu loát, mạch lạc.
c. Nội dung và cách tiến hành
Cách 1. Tổ chức các hoạt động trong dạy học khái niệm Toán học tập luyện cho
học sinh sử dụng những thuật ngữ và kí hiệu toán học, biểu tượng toán học mới
trong giờ học.
Trong dạy học khái niệm, học sinh được tiếp xúc với những thuật ngữ và kí
hiệu toán học mới, do vậy trong giờ học giáo viên cần phải xác định rõ các thuật
ngữ và kí hiệu mới của bài học để luyện tập cho học sinh.
Ví dụ 2.1. Trong dạy học bài “Đại cương về Hàm số”, thuật ngữ mới là: Tính
đồng biến, nghịch biến, tính chẵn lẻ của hàm số, tập giá trị của hàm số.
Trong dạy học bài “Hàm số bậc nhất”, thuật ngữ mới là: chiều biến thiên,
bảng biến thiên; biểu tượng toán học mới là: Đồ thị hàm y x
 (hình 1).
Hình 1
Cách 2. Cho học sinh quan sát các hình ảnh trực quan, sơ đồ, đồ thị, biểu
tượng, mô hình…; yêu cầu học sinh đưa ra những đặc điểm của đối tượng đó
trong mối quan hệ với khái niệm toán học, dẫn dắt, gợi ý học sinh cảm nhận, có
ý thức về đối tượng và quan hệ toán học mới.
Ví dụ 2.2. Dạy học khái niệm “Tính chẵn lẻ của hàm số”.
Quan sát các đồ thị các hàm số 2
,
y x
x y
  và đưa ra nhận xét về đặc
điểm chung về đồ thị của hai hàm số này, đề xuất định nghĩa và dấu hiệu đặc
trưng của hàm số chẵn và hàm số lẻ thông qua các hoạt động sau:

37. 31
Hoạt động 1. Quan sát hai đồ thị và yêu cầu:
Hình 2 Hình 3
Giáo viên: So sánh giá trị của hàm số tại 1
x  và 1
x   của đồ thị Hình 2 và
đồ thị Hình 3?
Học sinh:
- Trong đồ thị Hình 2:  
1 1
f  và  
1 1
f   nên    
1 1
f f
 
- Trong đồ thị Hình 3:  
1 1
f  và  
1 1
f    nên    
1 1
f f
  
Giáo viên: So sánh giá trị của hàm số tại 2
x  và 2
x   của hai đồ thị?
Học sinh:
- Trong đồ thị Hình 2:  
2 4
f  và  
2 4
f   nên    
2 2
f f
 
- Trong đồ thị Hình 3:  
2 4
f  và  
2 2
f    nên    
2 2
f f
  
Giáo viên: Có nhận xét gì về giá trị của hàm số tại hai giá trị đối nhau của
đối số x .
Học sinh: Trong đồ thị Hình 2, giá trị của hàm số bằng nhau tại hai giá trị
đối nhau của đối số x . Trong đồ thị Hình 3, giá trị của hàm số đối nhau tại hai
giá trị đối nhau của đối số x .
- Trong bước này giáo viên đã cho học sinh quan sát các hình ảnh trực quan
về đồ thị, đưa ra các yêu cầu gợi ý học sinh tìm ra những đặc điểm của hàm số
chẵn và hàm số lẻ, giúp học sinh có ý thức về đối tượng và đặc điểm đặc trưng
của đối tượng đó.
- Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ.

38. 32
Hàm số  
y f x
 có tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu x D

thì x D
  và    
f x f x
  .
Hàm số  
y f x
 có tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu x D
 thì
x D
  và    
f x f x
   .
Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu khái niệm theo cách khác. Chẳng hạn:
“Hàm số chẵn là hàm số có các giá trị của hàm số bằng nhau tại hai giá trị đối
nhau bất kì của đối số x .” Việc làm này giúp học sinh chuyển đổi được ngôn
ngữ kí hiệu sang thuật ngữ.
Giáo viên tiếp tục cho học sinh quan sát và đặt câu hỏi:
- Quan sát hai đồ thị để nhận xét về trục đối xứng và tâm đối xứng?
Học sinh: Đồ thị Hình 2 nhận Oy làm trục đối xứng, đồ thị Hình 3 nhận gốc tọa
độ O làm tâm đối xứng.
Giáo viên: Nêu cách nhận dạng đồ thị hàm số chẵn và đồ thị hàm số lẻ?
Học sinh: Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận
gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
- Trong bước này giáo viên đã yêu cầu học sinh sử dụng ngôn ngữ toán học
để diễn đạt khái niệm được hình thành. Thông qua hoạt động vấn đáp để học
sinh sử dụng ngôn ngữ toán học mới và gợi ý giúp học sinh tìm ra đặc điểm
nhận dạng của khái niệm mới.
- Tổ chức dùng ngôn ngữ toán học để thực hành vận dụng khái niệm.
Giáo viên sử dụng các hình ảnh trực quan về các đồ thị để học sinh quan sát
và nhận dạng các hàm số chẵn, hàm số lẻ và hàm số không chẵn, không lẻ.
Giáo viên cho hình ảnh 6 đồ thị, yêu cầu học sinh nhận dạng hàm số chẵn
lẻ và giải thích lý do:

39. 33
Hình 4a Hình 4b Hình 4c
Hình 4d Hình 4e Hình 4f
Học sinh nhận dạng hàm số chẵn là: hình 4b, hình 4d vì nhận Oy làm trục
đối xứng. Hàm số lẻ là hình 4c, hình 4e vì nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng,
và đồ thị hình 4a và 4f là các hàm số không chẵn không lẻ.
- Trong bước này giáo viên đã tổ chức các hoạt động thực hành giúp học
sinh nhận dạng khái niệm, giúp học sinh hiểu sâu và nắm chắc khái niệm, tạo cơ
hội cho học sinh luyện tập sử dụng ngôn ngữ toán học mới.
Thông qua ví dụ trên ta có thể thấy từ những hình ảnh đồ thị tạo nên tính
chất liên tưởng ban đầu, học sinh luyện tập khả năng quan sát biểu tượng toán
học, đưa ra nhận định, so sánh, nhận xét và thông qua giáo viên chính xác hóa
bằng lời ngôn ngữ toán học. Học sinh được luyện tập bằng lời và vận dụng thực
hành nói và viết nhằm giúp việc ghi nhớ các thuật ngữ mới một cách chính xác,
rõ ràng, tự nhiên và đầy đủ.
Cho học sinh luyện tập các quá trình như trên trong dạy học khái niệm sẽ
giúp học sinh hiểu vững chắc nghĩa của từ vựng, ngữ pháp và mối quan hệ giữa
các kí hiệu, thuật ngữ. Đồng thời cho học sinh phát biểu khái niệm theo các cách

40. 34
khác nhau giúp học sinh chuyển đổi linh hoạt giữa ngôn ngữ toán học và ngôn
ngữ tự nhiên.
Cách 3. Định hướng cho học sinh nhận ra những đặc điểm của khái niệm, quan
hệ toán học mới, sử dụng ngôn ngữ toán học để diễn đạt khái niệm được hình
thành, có thể phát biểu theo nhiều cách khác nhau. Tổ chức để học sinh biết các
cách mô tả khái niệm, thông qua đó nhận ra được sự tương đồng của ngôn ngữ
toán học với ngôn ngữ tự nhiên.
Ví dụ 2.3. Hãy trình bày khái niệm Hàm số đồng biến và Hàm số nghịch biến
trên một khoảng bằng ba dạng ngôn ngữ khác nhau: Ngôn ngữ thông thường,
ngôn ngữ Đại số, ngôn ngữ Hình học.
- Theo ngôn ngữ thông thường:
Hàm số đồng biến trên một khoảng  
;
a b khi giá trị của đối số x tăng thì
giá trị của hàm số y cũng tăng và ngược lại.
Hàm số nghịch biến trên một khoảng  
;
a b khi giá trị của đối số x tăng thì
giá trị của hàm số y giảm và ngược lại.
- Theo ngôn ngữ Đại số:
Hàm số  
y f x
 đồng biến trên một khoảng  
;
a b nếu như với mọi
 
1 2
, ;
x x a b
 thì    
1 2 1 2
x x f x f x

  .
Hàm số  
y f x
 nghịch biến trên một khoảng  
;
a b nếu như với mọi
 
1 2
, ;
x x a b
 thì    
1 2 1 2
x x f x f x

  .
- Theo ngôn ngữ Hình học:
Hàm số  
y f x
 đồng biến trên một khoảng  
;
a b nếu như đồ thị của nó
(hình vẽ) trên khoảng (a; b) có hướng tăng từ trái sang phải, từ dưới lên trên.
Hàm số  
y f x
 nghịch biến trên một khoảng  
;
a b nếu như đồ thị của nó
(hình vẽ) trên khoảng (a; b) có hướng giảm từ trái sang phải, từ trên xuống dưới.

41. 35
Cách 4. Thiết kế những tình huống giúp học sinh nhận biết sai lầm trong việc sử
dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học trong những hoàn cảnh cụ thể.
Ví dụ 2.4. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
Hàm số
1
y
x
 nghịch biến trên từng khoảng xác định là  
;0
 và  
0;
Học sinh thường mắc sai lầm khi viết hàm số nghịch biến trên  
0 hay
   
;0 0;
   vì theo cách viết như vậy, các khoảng là không liên tục nên
hàm số không đơn điệu trên hai tập đó.
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm trên do không nắm vững định nghĩa về tính
đơn điệu của hàm số, không chú ý tới các điểm tới hạn của hàm số.
Giáo viên chỉ ra lỗi sai khi viết là    
;0 0;
   bằng cách chọn
   
1 2
, ;0 0;
x x     sao cho 1 2
x x
 thì    
1 2
f x f x
 . Cụ thể:
   
2
1 ;0 ; 3 0;
1
x x
 
 
  
   
1 2
1
1;
2
f x f x
  
Ta thấy 1 2
x x
 thì    
1 2
1
1
2
f x f x
    , điều này mâu thuẫn với định
nghĩa hàm số nghịch biến.
Từ đó giáo viên rút ra chú ý cho học sinh: “Nếu một hàm số đồng biến
(nghịch biến) trên hai khoảng thì sẽ không suy ra được hàm số đó đồng biến
(nghịch biến) trên hợp của các khoảng đó”.
Trong quá trình thiết kế những tình huống, giáo viên cần chú ý tạo cơ hội
để học sinh nhận xét, kiểm tra tính đúng sai, nhận xét về cách lập luận và trình
bày, thông qua đó nắm được năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học của học sinh
dùng trong lời giải. Giáo viên cần chú ý thiết kế hình thức kiểm tra đánh giá
thông qua những bài tập trắc nghiệm, phiếu học tập để kiểm tra, củng cố mức độ
vận dụng ngôn ngữ toán học trong việc lĩnh hội quy tắc và phương pháp.

42. 36
Cách 5. Tổ chức các hoạt động trong dạy học định lý, quy tắc, thuật giải nhằm
tập luyện cho học sinh sử dụng ngôn ngữ toán học trong giờ học.
Ví dụ 2.5. Tổ chức dạy học quy tắc “Xét tính chẵn lẻ của hàm số”
Hoạt động 1: Sử dụng nhiều dạng ngôn ngữ Toán học để diễn đạt một nội dung
toán học.
Giáo viên: Hãy nhắc lại khái niệm hàm số chẵn, lẻ.
Học sinh:
Hàm số  
y f x
 có tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi
x D
 thì x D
  và    
f x f x
  .
Hàm số  
y f x
 có tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi
x D
 thì x D
  và    
f x f x
   .
Giáo viên: Hãy đề xuất quy trình các bước xét tính chẵn lẻ của hàm số.
Học sinh:
Diễn đạt cách 1: “Để xét tính chẵn lẻ, ta cần tìm tập xác định của hàm số,
sau đó tính các giá trị của hàm số tại x
 và so sánh với giá trị của hàm số tại x ”
Diễn đạt cách 2: Sử dụng các kí hiệu toán học “Để xét tính chẵn lẻ, ta xét
tập giá trị D thỏa mãn với mọi x D
 thì x D
  và tính giá trị  
f x
 , so sánh
 
f x
 và  
f x ”.
Diễn đạt cách 3: Giáo viên hướng dẫn học sinh tạo lập quy tắc bằng ngôn
ngữ kí hiệu x D
 , x D
  ,  
f x
 ,  
f x
 và phát biểu quy tắc bằng thuật
ngữ toán học.
Hoạt động 2: Yêu cầu học sinh đề xuất quy trình thuật giải xét tính chẵn lẻ
của hàm số.
Giáo viên yêu cầu học sinh đề xuất quy trình thuật giải để xét tính chẵn lẻ
của hàm số. Học sinh luyện tập các hoạt động tương ứng với quy tắc xét tính
chẵn lẻ của hàm số thông qua bài tập cụ thể như sau:

43. 37
Cho học sinh bài toán sau:
Cho hàm số 2
2
y x
 .
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Tính  
f x
 .
c) So sánh  
f x
 và  
f x .
d) Xét tính chẵn lẻ của hàm số.
Học sinh thực hiện các thao tác sau:
- Tìm tập xác định của hàm số là D  .
- Tính    
2 2
2 2
f x x x
    .
- So sánh  
f x
 và  
f x ta có    
f x f x
  .
Do đó theo định nghĩa hàm số trên là hàm số chẵn.
Giáo viên hướng dẫn học sinh quan sát, thông qua đó xây dựng lên các
bước xét tính chẵn lẻ của một hàm số bất kì.
Quy tắc xét tính chẵn lẻ của hàm số gồm hai bước chính như sau:
- Tìm tập xác định, xét xem tập xác định có phải tập đối xứng hay không, tập đối
xứng là tập D thỏa mãn với mọi x D
 thì x D
  . Nếu tập xác định không
phải tập đối xứng thì hàm số không chẵn không lẻ.
- Tính giá trị  
f x
 , so sánh  
f x
 và  
f x . Nếu hai giá trị này bằng nhau thì
là hàm số chẵn, đối nhau thì là hàm số lẻ, không bằng, không đối nhau thì không
chẵn không lẻ.
Giáo viên yêu cầu học sinh lấy ví dụ về những tập xác định có tính chất đối
xứng và không đối xứng:
- Tập đối xứng: D  ,  
0
D  ,  
1;0;1
D   ,  
2;2
D   …
- Tập không đối xứng:  
1
D  ,  
1;0
D   ,  
2;2
D   ,  
5;5
D   …
Thông qua việc này giúp học sinh dễ dàng nhận dạng được tính đối xứng
của một hàm số bất kì.

44. 38
Hoạt động 3: Sau khi cả lớp đã thống nhất một (một số) quy trình, thuật
giải để xét tính chẵn lẻ của hàm số, giáo viên tổ chức cho học sinh tự vận dụng
quy trình, thuật giải để xét tính chẵn lẻ của các hàm số cụ thể:
Chẳng hạn bài tập xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Mệnh đề Đ/S
Hàm số 2
2 3
y x x
   là hàm số chẵn.
Hàm số 4 2
2
y x x
   là hàm số lẻ.
Hàm số 2 8
5 3
y x x
  là hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
Hàm số
1
x
y
x

 là hàm số không chẵn không lẻ.
Hàm số
2 4
2x x
y
x

 là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.
Hàm số 2
y x
  là hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối
xứng.
Nhận xét: Các hoạt động xây dựng lên quy tắc như ví dụ trên rèn luyện khả
năng sử dụng ngôn ngữ toán học xây dựng lên các văn bản được rèn luyện dần
dần từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Học sinh sử dụng ngôn ngữ toán
học để tạo lập các văn bản toán học giúp trình bày tính toán, so sánh trong một
trường hợp cụ thể quen thuộc.
Cách 6. Tổ chức các hoạt động trong dạy học giải bài toán nhằm tập luyện cho
học sinh sử dụng ngôn ngữ toán học trong giờ học.
Trong nội dung Hàm số và Đồ thị có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, giáo
viên thiết kế các hoạt động để học sinh rèn luyện năng lực mô hình hóa toán
học. Đồng thời trong quá trình tổ chức cần chú ý tạo ra môi trường thân thiện,
hợp tác giúp học sinh thoải mái bày tỏ quan điểm của bản thân, tăng khả năng
giao tiếp, phản hồi lại những nhận xét của học sinh, giúp quá trình giải bài toán

45. 39
trở nên tự nhiên, dễ tiếp thu hơn. Học sinh hiểu sâu hơn kiến thức và được luyện
tập sử dụng ngôn ngữ toán học một cách hiệu quả nhất.
Một số chú ý khi dạy học mô hình hóa toán học trong dạy học giải bài toán
như sau:
- Yêu cầu học sinh xác định những từ, cụm từ, biểu tượng, kí hiệu toán học
mang thông tin của bài toán.
- Giáo viên hướng dẫn học sinh dùng các công cụ trực quan để mô tả bài
toán như vẽ đồ thị, hình ảnh, lập bảng chữ nhật…
- Học sinh cần tóm tắt lại đề bài, chuyển đổi giữa ngôn ngữ tự nhiên sang
mô hình toán học thông qua các kí hiệu, thuật ngữ, sơ đồ… để học sinh có cái
nhìn chính xác hơn về nội dung của bài toán.
Trình bày lời giải thoả mãn các yêu cầu của một lời giải bài toán: đúng,
logic và đủ.
Ví dụ 2.6. Dạy học giải bài toán “Bài toán về cổng Ac-xơ (Arch)” sử dụng mô
hình hóa toán học.
Hình 2. 1. Cổng Ac-xơ
(Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/Gateway_Arch)

46. 40
Tình huống đặt ra là: “Khi du lịch đến thành phố Xanh lu-i (Mĩ) bạn sẽ thấy
một cái cổng lớn hình parabol hướng bề lõm về phía dưới. Đó là cổng Ac-xơ.
Giả sử lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như hình vẽ
dưới đây (x, y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí  
162; 0 . Biết một điểm
M trên cổng có tọa độ là  
10; 43 .
a) Tìm hàm số có đồ thị là parabol nói trên (các hệ số chính xác đến hàng
phần nghìn).
b) Tính chiều cao của cổng (Tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt
đất, tính chính xác đến hàng đơn vị).” (Bài 38 trang 61 sách giáo khoa đại số 10
– nâng cao).”
Đây là một bài toán có yếu tố thực tế, do đó trước hết cần xác định những
thông tin cần thiết, những từ mang ý nghĩa toán học để học sinh có thể tóm tắt
đề bài, giúp học sinh biết cách chuyển đổi giữa bài toán thực tế sang mô hình
toán học. Bản thân đề bài đã hướng dẫn học sinh chuyển đổi từ bài toán thực tế
sang mô hình toán học dựa trên việc coi cổng như một Parabol và gắn vào đó
một hệ trục tọa độ.
Trong tình huống này giáo viên có thể tổ chức cho học sinh thảo luận để
xác định các từ mang ý nghĩa toán học, sau đó giáo viên gọi học sinh trình bày,
các học sinh khác nhận xét.
Trước hết giáo viên cần chuẩn bị hệ thống câu hỏi gợi ý giúp học sinh xác
định các từ, cụm từ mang thông tin của bài toán:

47. 41
Giáo viên: Hàm số bậc hai ở dạng tổng quát có dạng nào?
Học sinh: ( 2
(a 0)
y ax bx c
    )
Giáo viên: Để tìm ra được a, b, c cần thiết lập bao nhiêu phương trình?
Học sinh: (3 phương trình).
Giáo viên: Để thiết lập được phương trình, cần dùng gì?
Học sinh: (Tọa độ các điểm).
Giáo viên: Bài toán cho biết tọa độ những điểm nào?
Học sinh: (Tọa độ chân cổng và tọa độ một điểm M bất kì).
Giáo viên: Từ hình vẽ có thể nhìn ra được tọa độ điểm nào nữa?
Học sinh: (Tọa độ gốc tọa độ O).
Giáo viên: Chiều cao của cổng tương ứng với đại lượng nào trong đồ thị hàm
bậc hai?
Học sinh: (Tương ứng với tung độ đỉnh của đồ thị hàm bậc hai)
Giáo viên yêu cầu học sinh tóm tắt lại nội dung bài toán theo ngôn ngữ toán học,
đây chính là hoạt động chuyển từ ngôn ngữ tự nhiên sang mô hình toán học.
Giáo viên: Mô hình toán học của vấn đề thực tế này là gì?
Học sinh: Bài toán sau khi chuyển sang ngôn ngữ toán học, sẽ trở thành:
“Cho đồ thị hàm bậc hai như hình vẽ, đồ thị hàm bậc hai đi qua các điểm
 
162; 0 ,  
10; 43 và  
0;0 . Tìm tung độ đỉnh của đồ thị đó.”
Thông qua hoạt động này, học sinh đã biết tóm tắt lại đề bài, chuyển đổi
giữa ngôn ngữ tự nhiên sang mô hình toán học thông qua các kí hiệu, thuật ngữ,
sơ đồ… đơn giản hóa nội dung bài toán và đưa một bài toán phức tạp về dạng
bài tìm đồ thị hàm bậc hai cơ bản.
Giáo viên: Hãy sử dụng kiến thức về phương pháp tìm hàm bậc hai bằng cách
đưa về hệ phương trình để giải quyết của bài toán. Hãy chú ý các thuật ngữ xuất
hiện trong bài toán để chuyển đổi ngôn ngữ lập các phương trình từ dữ kiện đề
bài. Giáo viên có thể gọi vấn đáp để học sinh luyện tập sử dụng ngôn ngữ toán
học trong giao tiếp.

48. 42
Học sinh: Giả sử hàm số bậc hai có dạng: 2
y ax bx c
   .
Do đồ thị hàm bậc hai đi qua các điểm  
162; 0 nên thay vào hàm bậc hai
2
y ax bx c
   ta được phương trình 2
0 162 162
a b
  .
Tương tự như vậy thay các tọa độ điểm còn lại ta được:
43 100 10
a b
  và 0
c 
Từ đó thành lập được hệ phương trình
0
162 162 0
100 10 43
c
a b c
a b c



  

   

Để giải hệ phương trình trên , giáo viên có thể khuyến khích học sinh giải
theo nhiều cách khác nhau, thông qua đó phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ
toán học để giải toán. Học sinh có thể giải hệ trên bằng các phương pháp thế,
phương pháp cộng đại số hay bấm máy tính. Thông qua đó học sinh tìm được
phương án tối ưu để giải bài toán.
Ta có:
2 2
0
0 0
43
162 162 0 162 162 0
1520
100 10 43 100 10 43
3483
760
c
c c
a b c a b a
a b c a b
b

 
 
  
  
        
  
  
    
  



Do đó hàm số bậc hai là: 2
43 3483
1520 760
y x x
   .
Chiều cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabol, tức là:
   
0 81 186
2
b
y f f m
a
 
   
 
 
.
Giáo viên yêu cầu học sinh suy nghĩ và lên bảng trình bày lời giải, yêu cầu học
sinh nhận xét, kiểm tra tính đúng sai.
Giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác bài toán:
Tải bản FULL (104 trang): https://bit.ly/3fQM1u2
Dự phòng: fb.com/KhoTaiLieuAZ

49. 43
Để phát triển năng lực ngôn ngữ toán học và phát triển tư duy cho học sinh, sau
khi học xong, giáo viên có thể gợi ý cho học sinh cách lập đề toán mới từ bài
toán này. Chẳng hạn, có thể đề xuất bài toán sau:
Bài toán về cầu cổng vàng
Hình 2. 2. Cầu cổng vàng
(Nguồn: https://hangkhongmy.vn/cau-cong-vang-bieu-tuong-cua-long-
dam-me-va-su-huy-hoang-cua-nuoc-my.html)
Chiều cao h (feet) tính từ mặt cầu của chiếc Cầu Cổng Vàng (Golden Gate
Bridge) được xác định bởi công thức   2
1 7
500,
9000 15
h x x x
   trong đó x
(feet) là khoảng cách từ cột trụ bên trái
a) Xác định độ cao của trụ cầu
b) Xác định khoảng cách giữa hai trụ cầu, biết rằng hai trụ cầu này có độ
cao bằng nhau
d. Lưu ý khi sử dụng biện pháp
- Việc tổ chức các hoạt động rèn luyện năng lực ngôn ngữ toán học cần
được thực hiện một cách liên tục, xuyên suốt trong suốt quá trình dạy học.
Trong quá trình dạy học phát triển năng lực ngôn ngữ đòi hỏi giáo viên phải sử
dụng ngôn ngữ toán học một cách khoa học và chính xác. Giáo viên cần lựa
chọn những từ ngữ ngắn gọn, rõ ràng và dễ hiểu, thông qua đó rèn luyện cho học
sinh kĩ năng nghe, nói, đọc, viết trong quá trình dạy học môn toán.
Tải bản FULL (104 trang): https://bit.ly/3fQM1u2
Dự phòng: fb.com/KhoTaiLieuAZ

50. 44
- Trong việc hình thành và phát triển vốn từ vựng cho học sinh thì dạy học
khái niệm là hình thức cần được chú ý hơn cả. Do đó giáo viên cần nắm vững
các bước trong dạy học khái niệm để thiết kế bài giảng hình thành con đường
dẫn tới khái niệm, giúp học sinh ghi nhớ lâu hơn.
- Giáo viên cần chú ý khai thác những tình huống trong mối quan hệ giữa
ngôn ngữ toán học và ngôn ngữ tự nhiên, đồng thời khuyến khích học sinh sử
dụng ngôn ngữ toán học để trao đổi cách làm, trình bày miệng, luyện tập sử
dụng ngôn ngữ toán học trong nói và viết.
e. Hiệu quả biện pháp mang lại
- Thông qua tổ chức các hoạt động trong dạy học khái niệm, dạy học định lý,
quy tắc, phương pháp và dạy học giải bài toán khuyến khích học sinh sử dụng ngôn
ngữ toán học trong mỗi giờ học. Đối với mỗi hoạt động riêng biệt có những cách
riêng để giáo viên chú trọng khai thác ở phương diện ngôn ngữ toán học, xác định
được quy tắc ngữ pháp và ý nghĩa toán học của ngôn ngữ toán học.
- Giáo viên khai thác các tình huống học tập để tạo môi trường giúp học
sinh thực hành ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ tự nhiên.
- Giáo viên tạo các hoạt động để học sinh hình thành được các văn bản nói
và viết, hiểu và vận dụng đúng các thuật ngữ, kí hiệu toán học, nắm được ngữ
nghĩa và cú pháp liên hệ giữa các kí hiệu và thuật ngữ toán học. Thông qua đó
học sinh có thể sử dụng ngôn ngữ tự nhiên rõ ràng, ngắn gọn, chính xác và logic.
2.2.2. Biện pháp 2. Tổ chức dạy học hợp tác để học sinh vận dụng ngôn ngữ
Toán học trao đổi, thảo luận
a. Mục đích của biện pháp
Biện pháp này nhằm mục đích thông qua hoạt động học tập hợp tác để giải
quyết các nhiệm vụ học tập, thúc đẩy học sinh chủ động tích cực trao đổi vào
thảo luận, sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học (kí hiệu, thuật ngữ, cú pháp…)
kết hợp với ngôn ngữ tự nhiên để giải thích, lập luận, phân tích, so sánh các vấn
6831409