dạy học hệ thức lượng trong tam giác theo các bước khảo sát toán học.pdf

1. 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
ĐỒ ÁN HỌC PHẦN: PHÁT TRIỂN LÝ LUẬN DẠY HỌC MÔN TOÁN
TÊN ĐỒ ÁN: THIẾT KẾ VÀ SỬ DỤNG TÌNH HUỐNG TRONG DẠY
HỌC CHỦ ĐỀ “HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. ĐỊNH LÝ
CÔSIN. ĐỊNH LÝ SIN. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC.
GIẢI TAM GIÁC” THEO CÁC BƯỚC KHẢO SÁT TOÁN HỌC.
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 8140111.
NHÓM THỰC HIỆN:
1. Nguyễn Thị Ngọc Sương (Nhóm trưởng)
2. Lương Thị Hồng Liên (Thư ký)
3. Phan Quốc Cường
4. Ngô Hồng Huấn
5. Võ Thị Kim Thùy
6. Phan Văn Trí.
Lớp: LL và PP dạy học Toán. Khóa: 30 (2022-2024).
GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: PGS-TS NGUYỄN CHIẾN THẮNG.
Nghệ An, tháng 8 năm 2023.

2. 2
LỜI CẢM ƠN
Nhóm thành viên thực hiện đồ án bày tỏ lòng kính trọng và tri ân sâu sắc tới TS.
Nguyễn Chiến Thắng là giảng viên trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn làm đồ án học
phần Phát triển lý luận chương trình Toán, đã dành nhiều thời gian và công sức
giảng dạy, định hướng và hướng dẫn để nhóm hoàn thành Đồ án.
Nhóm thực hiện Đồ án gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo thuộc Bộ môn Lí luận
và phương pháp dạy học bộ môn toán Trường Sư phạm - Trường Đại học Vinh đã
nhiệt tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho nhóm học tập và nghiên cứu.
Do tính mới của đồ án và khả năng còn hạn chế, chắc chắn sẽ có nhiều thiếu sót
trong quá trình thực hiện đồ án. Nhóm làm đồ án rất mong nhận được sự góp ý từ các
thầy, cô để đồ án được hoàn chỉnh hơn.
NHÓM ĐỒ ÁN 1

3. 3
MỤC LỤC
MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG ĐỒ ÁN.........................................................................................4
PHẦN MỞ ĐẦU......................................................................................................................................5
1. Lý do chọn đề tài......................................................................................................................5
2. Mục đích nghiên cứu....................................................................................................................7
3. Đối tượng nghiên cứu...................................................................................................................7
PHẦN NỘI DUNG ..................................................................................................................................9
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .........................................................................9
1.1. Những vấn đề chung của khảo sát toán học. .............................................................................9
1.2. Mô hình dạy học lấy khảo sát làm trung tâm. .........................................................................11
1.3. Những bước thực hiện khảo sát toán học................................................................................13
1.4. Vấn đề KTM trong khảo sát toán học......................................................................................15
1.5 Thực trạng dạy học ứng dụng khảo sát toán học ở trường phổ thông hiện nay. ................20
CHƯƠNG 2. THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC ỨNG DỤNG KHẢO SÁT TOÁN
HỌC TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. ĐỊNH LÝ
COSIN. ĐỊNH LÝ SIN. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC. GIẢI TAM GIÁC” ....22
2.1. Thiết kế tình huống gợi động cơ học tập cho HS thông qua khảo sát toán học. ....................22
2.2. Thiết kế tình huống dạy học định lý cosin, định lý sin thông qua khảo sát toán học..............24
2.3 Thiết kế tình huống xây dựng các công thức tính diện tích tam giác thông qua khảo sát toán
học. 28
2.4 Thiết kế tình huống giải bài toán thông qua khảo sát toán học................................................31
CHƯƠNG 3: THỬ NGHIỆM ........................................................................................................34
3.1 Tổ chức và nội dung thực nghiệm............................................................................................34
3.2 Khảo sát, đánh giá kết quả đề tài..............................................................................................43
3.3 Kết luận ....................................................................................................................................49
PHẦN KẾT LUẬN................................................................................................................................51

4. 4
MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG ĐỒ ÁN
Thứ tự Ký hiệu Tên gọi
1. BTM Bài toán mở
2. BT Bài toán
3. HS Học sinh
4. KTTX Kiểm tra thường xuyên
5. KTM KTM
6. GV Giáo viên
7. THPT Trung học phổ thông

5. 5
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, trong bối cảnh kinh tế hội nhập toàn cầu, nhu cầu của mọi quốc
gia trong đó có Việt Nam là cần phải có những công dân năng động, sáng tạo, có
khả năng độc lập giải quyết vấn đề, biết vận dụng những kiến thức đã học vào
cuộc sống. Vì lẽ đó, mục tiêu giáo dục trong chương trình giáo dục phổ thông
2018 đã có sự thay đổi. Thực tế những năm gần đây, dạy học toán vẫn còn nặng
về rèn luyện các kĩ năng giải toán hơn là việc dạy cho HS hiểu rõ về nghĩa của
khái niệm. Hơn nữa, chính vì tâm lý học để thi cử đã làm cho GV và HS lúng
túng trong việc lựa chọn cách dạy và cách học. HS chỉ học những gì sẽ ra trong
đề thi, chỉ chú trọng rèn luyện các kĩ năng giải toán thuộc các chủ đề được quy
định trong "cấu trúc đề thi". Do đó, để đáp ứng yêu cầu đổi mới trong chương
trình giáo dục phổ thông 2018, người dạy và người học cần có những phương
pháp, cách thức dạy và học phù hợp đáp ứng yêu cầu đang đặt ra.
Nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới đã chỉ ra tầm quan trọng của bài toán
mở đối với dạy học toán. Theo Pehkonen (1999) “Bài toán KTM: Một phương
pháp để đổi mới giáo dục”. Theo Mathieu (2010): “Ai gieo bài toán mở thì gặt
hái niềm vui ở trường” (trích từ tạp chí khoa học Scientific Journal of Saigon
University, Số 70. Tháng 04/2020). Đây là hai kết luận cho thấy lợi ích cũng như
tầm quan trọng của việc tìm hiểu và đưa bài toán mở vào dạy học.
Toán học là môn học của tư duy. Dạy học toán là nhằm trang bị và phát
triển ở HS khả năng và phương pháp tư duy trước một vấn đề toán học hoặc
vấn đề từ thực tiễn cuộc sống. Học toán không chỉ học các khái niệm, các kĩ
năng giải toán mà còn phải biết nghĩa của nó và biết vận dụng vào trong cuộc
sống bình thường. Vì vậy, việc dạy học toán theo chương trình môn Toán 2018
chú trọng tính ứng dụng, gắn kết với thực tiễn hay các môn học, hoạt động
giáo dục khác, đặc biệt với các môn học nhằm thực hiện giáo dục STEM, gắn

6. 6
với xu hướng phát triển hiện đại của kinh tế, khoa học, đời sống xã hội và
những vấn đề cấp thiết có tính toàn cầu (như biến đổi khí hậu, phát triển bền
vững, giáo dục tài chính,...). Điều này còn được thể hiện qua các hoạt động
thực hành và trải nghiệm trong giáo dục toán học với nhiều hình thức như:
thực hiện những đề tài, dự án học tập về Toán, đặc biệt là những đề tài và dự
án về ứng dụng toán học trong thực tiễn; tổ chức trò chơi học toán, câu lạc bộ
toán học, diễn đàn, hội thảo, cuộc thi về Toán,...Những hoạt động này giúp học
sinh vận dụng những tri thức, kiến thức, kĩ năng, thái độ đã được tích luỹ từ
giáo dục toán học và những kinh nghiệm của bản thân vào thực tiễn cuộc sống
một cách sáng tạo; phát triển cho học sinh năng lực tổ chức và quản lí hoạt
động, năng lực tự nhận thức và tích cực hoá bản thân.
Chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác. Định lí côsin. Định lí sin. Các
công thức tính diện tích tam giác. Giải tam giác” là một trong những nội dung
quan trọng chương trình Toán lớp 10. Theo chương trình giáo dục môn toán
2018, khi dạy chủ đề này mục tiêu cần đạt là HS phải giải thích được các hệ
thức lượng cơ bản trong tam giác: định lí côsin, định lí sin, công thức tính diện
tích tam giác. HS phải mô tả được cách giải tam giác và vận dụng được vào
việc giải một số bài toán có nội dung thực tiễn (ví dụ: xác định khoảng cách
giữa hai địa điểm khi gặp vật cản, xác định chiều cao của vật khi không thể đo
trực tiếp,...). Nội dung chủ đề có tính thực tiễn cao, có rất nhiều bài toán thực
tiễn gần gũi thường gặp trong đời sống hằng ngày. Tuy nhiên thực tế những
năm qua, HS rất e ngại khi giải các bài toán ứng dụng, những bài toán thực
tiễn. Vì vậy, để đáp ứng mục tiêu đề ra của chương trình cũng như các yêu cầu
về phát triển năng lực, phẩm chất của HS, khi dạy học chủ đề này GV phải thật
khéo léo trong thiết kế bài giảng và dạy học. Mặt khác, nhóm đã nhận thấy
việc dạy học theo mô hình khảo sát toán học có nhiều ưu điểm trong dạy, có
thể đáp ứng các yêu cầu đặt ra của chương trình giáo dục phổ thông 2018. Đó

7. 7
là lí do nhóm chọn đề tài: Thiết kế và sử dụng tính huống trong dạy học chủ
đề “Hệ thức lượng trong tam gác. Định lý cosin. Định lý sin. Các công
thức tính diện tích tam giác. Giải tam giác” theo các bước khảo sát toán
học.
2. Mục đích nghiên cứu.
Đề tài được thực hiện nhằm giới thiệu các tình huống dạy học bằng cách
ứng dụng khảo sát toán học, cũng như làm rõ việc vận dụng mô hình khảo sát
toán học và bài toán KTM vào dạy học toán.
Vận dụng các bước khảo sát toán học vào dạy học chủ đề “Hệ thức lượng
trong tam giác. Định lý côsin. Định lý sin. Giải tam giác” nhằm giúp HS nắm
vững tri thức, phát triển các năng lực toán học đặc biệt năng lực giải quyết vấn
đề cũng như bước đầu làm quen việc vận dụng tri thức vào hoạt động thực tiễn,
vào giải quyết các bài toán thực tiễn thường gặp trong đời sống.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Vấn đề nghiên cứu là vận dụng mô hình khảo sát toán học và bài toán
KTM vào dạy học toán cụ thể là vào chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác.
Định lí côsin. Định lí sin. Các công thức tính diện tích tam giác. Giải tam
giác”. Khách thể nghiên cứu là HS lớp 10 năm học 2023-2024.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện đề tài, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu, thu thập các
thông tin từ các tài liệu trong và ngoài nước về các vấn đề có liên
quan đến đề tài.
- Phương pháp thử nghiệm sư phạm: chúng tôi sẽ tiến hành áp dụng đề
tài vào dạy một tiết học cho HS lớp 10.

8. 8
- Phương pháp thống kê, đánh giá: dựa vào kết quả thu được khi áp
dụng đề tài, chúng tôi tiến hành phân tích đánh giá kết quả từ đó đánh
giá tính khả thi của giải pháp.

9. 9
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Những vấn đề chung của khảo sát toán học.
Thuật ngữ khảo sát đôi khi nói đến những việc khác nhau đối với những
người khác nhau. Nó có thể bắt đầu từ việc giải bài toán ngắn trong giải trí toán
học đến việc tiến hành một đề tài gắn liền với sự khám phá trong tình huống mở
có vấn đề.
1.1.1 Khái niệm khảo sát toán học.
Khảo sát toán học chỉ một tình huống phức tạp liên quan đến toán học mà
HS cần phải tìm tòi, khám phá thông qua:
- Thắc mắc;
- Thử nghiệm;
- Nghiên cứu;
Tính phức tạp của bất kì một bài toán là ở chỗ:
- Một phần được xác định bởi chính vấn đề đang học

10. 10
- Một phần chịu ảnh hưởng của sự hứng thú của HS và sự sẵn sàng
cũng như khả năng của các em để đào sâu vấn đề đó.
Khi tham gia khảo sát toán học, HS sẽ:
- Bị cuốn hút vào bài toán đòi hỏi các em phải đặt ra được câu hỏi, thu
thập dữ kiện và tiến hành nghiên cứu.
- Tích cực vào quá trình khám phá và học tập để trả lời những câu hỏi
trọng tâm vào kiến thức toán học nào sẽ được học và những câu hỏi
chỉ có thể được trả lời khi các em tích cực vào quá trình khám phá và
học tập.
- Khảo sát toán học là rất cần thiết trong dạy học môn toán thể hiện qua
sơ đồ sau:

11. 11
1.2. Mô hình dạy học lấy khảo sát làm trung tâm.
Thành phần 1 (Bài toán có KTM): Khi chuẩn bị lên lớp, GV suy nghĩ và chọn
những bài toán có KTM với xác suất có vấn đề cao cho HS. Những nhiệm vụ

12. 12
này có thể sẽ tạo ra một môi trường trong đó HS có mong muốn đặt và theo đuổi
các vấn đề được đặt ra bởi chính HS.
Thành phần 2 (Khảo sát toán học): GV đề nghị HS thảo luận bằng một vài chỉ
dẫn chính của quá trình khảo sát toán học cho một nhiệm vụ cụ thể. Vai trò của
GV trong thành phần này là dám phiêu lưu trong giải quyết vấn đề và trợ giúp
HS làm sáng tỏ câu hỏi để có những khám phá xa hơn.
Thành phần 3 (Làm việc cá nhân và hợp tác): HS sẽ làm việc với những nhiệm
vụ cụ thể theo cá nhân hoặc theo nhóm nhỏ. Tại thời điểm này GV cố gắng tổ
chức các em làm việc hợp tác như là một mục đích của giờ dạy. Khi HS làm
việc từng cặp hay trong nhóm nhỏ để tìm lời giải của các bài toán đòi hỏi suy
luận, các em sẽ tìm ra nhiều cách giải hơn là khi làm việc một mình. Như vậy,
khi cùng nhau làm việc sẽ ý nghĩa thiết thực đối với HS.
Thành phần 4 ( Thảo luận và trao đổi): Toàn lớp sẽ được tổ chức thảo luận,
từng nhóm trình bày công việc và kết quả của mình cho lớp, chứ không phải cho
GV, nhằm chia sẻ ý tưởng và cách trả lời. Vai trò của người thầy trong giai đoạn
này là thúc đẩy và nổ lực động viên các em tham gia thảo luận.
SƠ ĐỒ MÔ HÌNH DẠY HỌC LẤY KHẢO SÁT LÀM TRUNG TÂM

13. 13
1.3. Những bước thực hiện khảo sát toán học.
Thái độ tích cực trong khảo sát rất cần thiết vì:
- Rất quan trọng khi HS phát triển thái độ học tập tích cực môn Toán thông
qua các hoạt động có mục đích và thú vị.
- Nó tạo ra các cơ hội cho HS để phát triển tính tập trung, kiên nhẫn khi
điều khiển quá trình học tập của mình ở mức độ phù hợp.
- Nhiều HS cảm thấy sợ toán là do chúng ta quá chú trọng đến lời giải
đúng. Trong quá trình khảo sát chúng ta động viên thái độ để học, thao
tác, thực nghiệm và mô phỏng các sự kiện mà chúng ta đang cố gắng để
hiểu và sử dụng chúng.
- Nó cũng cho phép đặt vấn đề và giải quyết vấn đề:
 Về thực chất giải quyết vấn đề nói về cái gì trong bài toán này?
Điều gì sẽ xảy ra nếu ta xét phần này hoặc phần kia của bài toán?
 Sau khi bài toán đã được giải, phải chăng sẽ nảy sinh ra nhiều câu
hỏi? Điều đó có đúng không? Kết quả của bài toán là gì?
 Trong trường hợp nào HS có thể tiến hành theo cách khác?
SƠ ĐỒ NHỮNG BƯỚC THỰC HIỆN KHẢO SÁT
TOÁN HỌC
h

14. 14
Lưu ý. Không có một sự phân biệt rạch ròi giữa giải quyết vấn đề và khảo
sát, nhưng nhiều nhà giáo dục nói chung đồng ý với nhau là:
- Giải quyết vấn đề là hoạt động hội tụ, ở đó HS phải tìm ra được lời giải
cho một bài toán xác định rõ.
- Khảo sát là hoạt động phân kì hơn vì HS được khuyến khích nghĩ về các
phương pháp giải toán linh hoạt; để xét xem điều gì sẽ xảy ra nếu một
hướng khảo sát được theo đuổi; hoặc để thấy từ những thay đổi nhất định
của bài toán thì có đưa đến những kết quả gì khác hơn không.
Như vậy có thể nói rằng:
- Một bài toán là một kết thúc mà không có bắt đầu.
- Một khảo sát là một bắt đầu mà không có kết thúc.
- Một hoạt động giáo dục tốt thường có các đặc trưng sau được biểu hiện
qua sơ đồ:

15. 15
1.4. Vấn đề KTM trong khảo sát toán học.
Vấn đề KTM có nội dung toán học cụ thể cho phép HS trả lời một cách
phù hợp tùy theo mức độ của HS. Hầu hết các vấn đề KTM đòi hỏi sự nhập cuộc
trí tuệ của HS. Nhiều vấn đề loại này cũng cho cơ hội thành lập các tổng quát
hóa từ những kết quả đạt được.
1.4.1. Câu hỏi kết thúc đóng.
Câu hỏi kết thúc đóng là dạng câu hỏi có cấu trúc hoàn chỉnh, ở đây một
câu trả lời đúng luôn được xác định rõ ràng theo một cách cố định nào đó từ
những giả thiết cần thiết được cho trong tình huống của bài toán.
1.4.2. Câu hỏi KTM
Câu hỏi KTM là câu hỏi mà với nó HS được một tình huống và được yêu
cầu thể hiện bài làm của mình. Các câu hỏi có thể mở ít hay nhiều phụ thuộc vào
việc có bao nhiêu hạn chế hoặc yếu tố được tính đến. Câu hỏi KTM thường có
cấu trúc thiếu như thiếu dữ liệu hoặc thiếu các giả thiết và không có thuật toán
cố định. Điều đó dẫn đến có nhiều lời giải đúng cho một câu hỏi. Giải quyết bài
toán mà không biết lời giải trước và không phải tất cả dữ liệu đều cho trước đòi

16. 16
hỏi sự kiến tạo của chính bản thân HS, chẳng hạn thêm giả thiết vào dữ liệu bị
mất.
Trong thực hành dạy học, đã có nhiều cách tiếp cận và áp dụng khác nhau
về “ bài toán KTM”. Những tiếp cận khác nhau đó đã có sử dụng những thuật
ngữ liên quan đến bài toán KTM sau đây: các khảo sát, đặt vấn đề, các tình
huống thực tế, mô hình hóa toán học, các đề tài, các bài toán không có câu hỏi,
các câu hỏi mở, các dạng của bài toán.
BẢNG SO SÁNH
BÀI TOÁN KTM VÀ BÀI TOÁN KẾT THÚC ĐÓNG
Tình huống kết
thúc
Tình huống xuất phát
Đóng
(được giải thích
chính xác)
Mở
(không được giải thích
chính xác)
Đóng
(được giải thích chính xác)
Các bài toán đóng - Các bài toán KTM
- Các tình huống thực tế
- Các khảo sát
- Các mảng bài toán
Mở
(không được giải thích
chính xác)
- Các tình huống
thực tế
- Các dạng khác của
bài toán
- Các tình huống thực tế
- Các dạng khác của bài
toán
- Các đề tài
- Đặt vấn đề
Về mặt thực hành trong lớp học, chúng ta có thể xem bài toán KTM là các
tình huống thực tế, các dạng khác nhau của bài toán, các đề tài nghiên cứu của
HS và các vấn đề do HS đặt ra mà có tình huống kết thúc không được giải thích
một cách chính xác.

17. 17
1.4.3. Đặc trưng của câu hỏi KTM.
Không có phương án giải cố định, không có lời giải cố định, có thể có
nhiều lời giải.
Ví dụ 1: Hãy nêu các hình ảnh minh họa về hình trụ?
Trong bài này HS có thể đưa ra nhiều ví dụ khác nhau có bạn có thể đưa hình
ảnh hộp snack, hộp sữa… .
Ví dụ 2: Hãy vẽ tam giác trong các trường hợp sau: Biết số đo 3 cạnh, biết số
đo 2 góc và 1 cạnh.
Trong trường hợp này, HS có thể cho nhiều số đo khác nhau và vẽ được nhiều
tam giác khác nhau, có HS cho số đo 3 cạnh không thỏa mãn bất đẳng thức tam
giác sẽ không vẽ được tam giác.
Được giải quyết theo nhiều cách khác nhau và trên nhiều mức độ .
Ví dụ 3: Một mảnh vườn hình tam giác người ta muốn thiết kế một vòi tưới
phun tự động. Hỏi phải lắp vòi phun ở đâu để có thể phun đều khắp khu
vườn. HS sẽ tìm nhiều cách khác nhau nhưng ít HS tìm ra vị trí chính xác.
Tạo cho HS cơ hội tự quyết định và cách suy nghĩ toán học một cách tự
nhiên.
Ví dụ 4: Làm thế nào để đo chiều cao của một tòa nhà ở những thời điểm
khác nhau trong ngày.
Để giải quyết yêu cầu này HS cần có kiến thức vật lí lẫn toán học để có câu
trả lời chính xác.
Phát triển những kỹ năng giao tiếp.

18. 18
HS có cơ hội để giao tiếp những lời giải của mình với các bạn trong lớp.
Có nhiều lời giải khác nhau. HS phải giải thích lời giải của mình để thuyết
phục các bạn.
1.4.4. Ưu điểm và hạn chế của câu hỏi KTM.
Ưu điểm:
- Hầu hết các HS không giống nhau về tư duy và cách tiếp thu toán. Có HS
hứng thú xoay sở các bài toán và tìm ra những lời giải hay, những cách
tiếp cận không quen thuộc, có HS chỉ muốn ở trong môi trường có cảm
giác thoải mái, thích ghi lại những ví dụ trên bảng, thực hành ở nhà và rồi
lặp lại các bước giải đó trong các bài kiểm tra. Các HS này không thích
những sự ngạc nhiên, một khi nắm bắt được quy trình giải toán họ không
muốn quan tâm đến cách tiếp cận khác. Ngoài ra, cũng có HS không giải
được toán nếu không có những hướng dẫn theo từng bước giải một cách
cụ thể. HS học theo nhiều cách và các em thể hiện kiến thức của mình
cũng khác nhau.
- Do đó một cách đánh giá đáp ứng nhu cầu của HS và sử dụng câu hỏi
KTM bản chất của câu hỏi KTM cho phép HS tiếp cận giải quyết vấn đề
theo các cách mà các em tự chọn.
- Những câu hỏi KTM cũng giúp chúng ta chú trọng đến một nhu cầu khác.
Thông thường chúng ta dành nhiều thời gian cho việc làm thế nào để thực
hiện các quy trình có tính thuật toán hơn là khi nào thực hiện chúng.
Chúng ta giải toán theo những phần riêng lẻ, còn HS học một quy trình cụ
thể cho một loại bài kiểm tra và rồi nhanh chóng quên đi nó, tình huống
toán học bao quanh các quy trình cũn sẽ mất đi khi HS tiến hành các quy
trình. Điều đó, dẫn đến các em biết dùng nó nhưng không biết phải dùng
nó như thế nào.

19. 19
- Vấn đề KTM thường đòi hỏi HS phải giải thích tư duy của mình và như
vậy sẽ cho phép GV thu được những nét chính về phong cách học của HS,
những chỗ hỏng trong việc hiểu của HS. GV sẽ biết những kỹ năng nào
HS đạt và chưa đạt và từ đó GV có được một cách nhìn tốt hơn về năng
lực toán học của HS.
- Trong dạy học, đôi khi HS có thể làm cho chúng ta nhầm lẫn rằng các em
hiểu một tí gì đó nhưng thật ra các em không hiểu gì cả. Do đó việc sử
dụng câu hỏi KTM có thể khắc phục được điều này. Các câu trả lời của
vấn đề KTM cho phép chúng ta nhìn nhận sâu sắc về việc HS tư duy như
thế nào và HS biết gì về toán. HS phát triển các phương pháp riêng cho
mình để đạt được lời giải đúng.
- Những câu hỏi có KTM yêu cầu HS xây dựng các ví dụ phù hợp với các
tiêu chí nào đó, cho phép HS có một cách nhìn tốt hơn về việc hiểu của
mình đối với các chủ đề toán.
- Hơn nữa những câu hỏi KTM đi đôi với thảo luận trước lớp về các cách
giải có thể giúp HS phát triển sự tự tin về khả năng của mình để làm toán
và có thể chỉ ra cho HS vẻ đẹp và sự sáng tạo vốn có ở trong Toán học.
Việc đi đến một lời giải mới lạ, độc đáo là rất đáng khen thưởng. Nếu GV
chỉ đưa ra những bài toán mà chỉ mong đợi HS bắt chước lại quy trình đã
dạy ở lớp thì nó sẽ làm mất cơ hội để HS đi đến những giải pháp của riêng
mình khi giải toán.
- GV sử dụng câu hỏi KTM trong quá trình dạy học sẽ giúp HS khám phá
được khả năng toán học tiềm tàng ở trong chính bản thân các em, giúp HS
nâng cao thái độ và thực hiện tốt hơn những bài kiểm tra có tính mở so
với những HS không được GV sử dụng phương pháp này.
Nhược điểm:

20. 20
- Nếu GV không khéo léo thì việc sử dụng câu hỏi KTM khi dạy sẽ mất
nhiều thời gian có thể dẫn đến việc không cung cấp đủ kiến thức cho HS
trong mỗi tiết học.
- Nếu sử dụng câu hỏi KTM không phù hợp với trình độ HS thì không
những không phát huy được tư duy của HS mà còn làm cho HS không
hiểu bài.
1.5 Thực trạng dạy học ứng dụng khảo sát toán học ở trường phổ thông
hiện nay.
Theo bài báo “Hai cách tiếp cận bài toán mở” của Lê Văn Tiến, Phạm Hoài
Thương trích trong tạp chí khoa học đại học Sài Gòn năm 2020: Vào những năm
1980, ý tưởng sử dụng một số dạng BTM trong lớp học lan rộng khắp thế giới
và việc nghiên cứu về khả năng vận dụng nó xuất hiện ở nhiều quốc gia, thể hiện
qua các công trình như Nohda (1988), Pehkonen (1989, 1995), Silver &
Mamona (1989), Williams (1989), Mason (1991), Nohda (1991, 1995), Stacey
(1991, 1995), Zimmermann (1991), Clarke & Sullivan (1992), Silver
(1993,1995). Ở một số quốc gia, người ta sử dụng một tên khác cho các BTM;
chẳng hạn ở Hà Lan, gọi là "toán học thực tế" (Treffers, 1991).
Tư tưởng sử dụng các BTM trong dạy học toán ở trường phổ thông đã được
đưa vào trong chương trình ở một số nước, dưới hình thức này hay hình thức
khác. Ví dụ, trong chương trình toán của trường Polyvalente ở Hamburg (Đức),
khoảng 1/5 thời gian giảng dạy được để trống nhằm khuyến khích sử dụng các
hoạt động toán học dưới dạng BTM (Anon, 1990). Ở California (Mỹ), chương
trình yêu cầu: ngoài các bài kiểm tra trắc nghiệm thông thường, nên sử dụng các
BTM trong đánh giá (Anon, 1991). Ở Úc, một số BTM (ví dụ, các dự án khảo
sát) đã được sử dụng trong đánh giá cuối kì kể từ cuối những năm 1980 (Stacey,
1995).

21. 21
Ở Việt Nam, theo tìm hiểu của Lê Văn Tiến, Phạm Hoài Thương chưa có
một nghiên cứu nào về BTM có tính khái quát và hệ thống. Dạy học ứng dụng
khảo sát toán học ở trường phổ thông hiện nay là một hình thức dạy học khá
mới đối với GV. Thực tế những năm gần đây, dạy học toán vẫn còn nặng về rèn
luyện các kĩ năng giải toán hơn là việc dạy cho HS hiểu rõ về nghĩa của khái
niệm cũng như bản chất của định lý. Hơn nữa, chính vì tâm lý học để thi cử đã
làm cho GV và HS lúng túng trong việc lựa chọn cách dạy và cách học. HS chỉ
học những gì sẽ ra trong đề kiểm tra, chỉ chú trọng rèn luyện các kĩ năng giải
toán thuộc các chủ đề được quy định trong "cấu trúc đề thi".
Trong chương trình GDPT 2018, hoạt động dạy học trải nghiệm, dạy học
theo hướng vận dụng vào giải bài toán thực tiễn đang được chú trọng và đưa
vào áp dụng. Thực tế trong giảng dạy các năm qua, tôi nhận thấy HS rất lúng
túng và e ngại khi giải các bài toán thực tế. Học sinh khi gặp các bài toán này
thường không biết chuyển bài toán thực tế thành bài toán đã biết cách giải trong
toán học. Đặc biệt với chủ đề “Hệ thức lượng trong tam giác. Định lý côsin.
Định lý sin. Các công thức tính diện tích tam giác. Giải tam giác” là chủ đề
được ứng dụng rất nhiều trong thực tiễn cuộc sống. Do đó, việc nghiên cứu và
áp dụng dạy học theo các bước khảo sát toán học vào dạy chủ đề này rất cần
được quan tâm.

22. 22
CHƯƠNG 2. THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC ỨNG
DỤNG KHẢO SÁT TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “HỆ
THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. ĐỊNH LÝ COSIN. ĐỊNH LÝ SIN.
CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC. GIẢI TAM GIÁC”
2.1. Thiết kế tình huống gợi động cơ học tập cho HS thông qua khảo sát
toán học.
2.1.1. Mục đích
Đối với chủ đề trên, việc xây dựng tình huống gợi động cơ học tập cho HS
thông qua 5 bước khảo sát toán học là rất cần thiết. Nó giúp HS biết được điều
kiện cần và đủ để một tam giác hoàn toàn được xác định là khi nào? Hay cần
biết 3 yếu tố bất kì nào về độ dài cạnh, số đo góc của tam giác thì ta hoàn toàn
vẽ được tam giác đó, hoàn toàn có thể tìm được độ dài cạnh còn lại hay góc còn
lại của tam giác thông qua đo đạc. Từ đó giúp HS có thái độ tích cực, chủ động
tìm tòi giải pháp để có thể tính chính xác độ dài cạnh và số đo góc còn lại của
tam giác đó cũng như tính toán các đại lượng khác có liên quan đến tam giác
như bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, diện tích, độ dài các đường cao…
2.1.2. Cách thực hiện
Bước 1: Giới thiệu bài toán
Có thể vẽ được một tam giác khi biết ba yếu tố bất kì về độ dài cạnh và số
đo góc của tam giác đó hay không? Làm sao có thể tìm được độ dài cạnh hay số
đo các góc còn lại của tam giác.
Bước 2: Làm sáng tỏ bài toán.
HS tự cho ví dụ cụ thể về các số đo góc, độ dài cạnh rồi vẽ hình tam giác
đó và xác định các số đo (độ dài) các cạnh góc còn lại,
a. Hãy vẽ tam giác khi biết trước độ dài hai cạnh và số đó một góc của tam
giác đó.

23. 23
b. Hãy vẽ tam giác khi biết trước độ dài ba cạnh của tam giác đó.
c. Hãy vẽ tam giác khi biết trước số đo hai góc và độ dài một cạnh của tam
giác.
d. Hãy vẽ tam giác khi biết số đo ba góc tam giác.
Bước 3: Thiết kế khảo sát
- Yêu cầu HS làm việc theo nhóm.
- Đại diện các nhóm cho ví dụ cụ thể về độ dài cạnh và số đo góc của tam
giác ABC trong các trường hợp được yêu cầu.
- Phân công từng nhóm thực hiện các nhiệm vụ tương ứng với từng yêu
cầu. Chẳng hạn: nhóm 1,2: thực hiện nhiệm vụ a và d. Nhóm 3,4: thực
hiện nhiệm vụ b và c.
- Yêu cầu HS vẽ các tam giác và xác định độ dài các cạnh và số đo các góc
còn lại.
Bước 4: Tiến hành khảo sát.
- HS thực hiện nhiệm vụ.
- GV quan sát theo dõi.
Bước 5: Tổng kết việc học
- HS trình bày sản phẩm.
- Rút ra nhận xét.
Từ các kết quả qua thực hành vẽ tam giác và đo tìm các đại lượng về số đo
góc và độ dài cạnh chưa biết HS sẽ đưa ra dự đoán như sau:
Một tam giác hoàn toàn xác định được (vẽ được, tìm được độ dài cạnh, số
đo góc còn lại của tam giác đó) khi biết

24. 24
+ Độ dài ba cạnh (thỏa điều kiện tổng độ hai cạnh phải lớn hơn độ dài
cạnh thứ ba).
+ Độ dài hai cạnh và số đo một góc.
+ Độ dài một cạnh và số đo hai góc.
2.2. Thiết kế tình huống dạy học định lý cosin, định lý sin thông qua khảo
sát toán học.
2.2.1. Nội dung định lý cosin, định lý sin
, ,
a b c
Định lý cosin: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC, AC, AB lần lượt là .
Khi đó ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 .cos .
2 .cos .
2 .cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
  
  
  
Định lý sin: , ,
a b c
Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC, AC, AB lần lượt là và R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
  
2.2.2. Mục đích thiết kế
Giúp hình thành tư duy sáng tạo cho HS thông qua bài toán mở. Việc có
nhiều giải pháp trình bày cho lời giải giúp HS tư duy độc lập trong hoạt động
học tập.
Giúp HS phát triển tư duy sáng tạo, phát triển kĩ năng giao tiếp toán học
thông qua làm việc thảo luận nhóm, thông qua tình huống có vấn đề.
Giúp HS tìm tòi khám phá và hình thành nội dung định lý cosin và định lý
sin.

25. 25
2.2.3 Cách thực hiện
Bước 1: Giới thiệu bài toán
Một tam giác khi biết 3 yếu tố bất kì (biết độ dài 2 cạnh, 1 góc hoặc biết độ
dài 3 cạnh hoặc biết độ dài 1 cạnh, 2 góc) thì các yếu tố về số đo góc và độ dài
cạnh còn lại của tam giác đó có mối liện hệ như thế nào với các yếu tố đã cho.
Bước 2: Làm sáng tỏ bài toán.
Bài toán 1: Tam giác ABC biết độ dài cạnh ,
AB c AC b
  và số đo góc A (giả sử
0
A 
 ). Tìm biểu thức liên hệ giữa đại lượng chưa biết là cạnh cạnh BC theo ,
b c
và A .
Bài toán 2: Tam giác ABC biết độ dài cạnh ,
AB c AC b
  và số đo góc B (giả
sử 0
B 
 ). Tìm biểu thức liên hệ giữa đại lượng chưa biết là cạnh cạnh BC theo
,
b c và B .
Bài toán 3 : Tam giác ABC biết độ dài cạnh ; ;
BC a AC b AB c
   . Tìm biểu
thức liên hệ giữa đại lượng chưa biết là góc A theo theo , ,
a b c .
Bài toán 4: Tam giác ABC biết độ dài cạnh AB c
 và số đo góc A, B. Tìm biểu
thức liên hệ giữa đại lượng chưa biết là cạnh cạnh BC theo c và ,
A C .
Bước 3: Thiết kế khảo sát
Bài toán 1
Giải pháp 1: Dùng định lý pitago
- GV gợi ý: Kẻ đường cao BH hoặc CK,
rồi tính độ dài các cạnh của các tam giác
vuông đó trong hai trường hợp tam giác
ABC nhọn và tam giác ABC tù.
Giải pháp 2: Dùng tích vô hướng
- GV gợi ý:
+ Phân tích BC thành tổng/hiệu 2
vectơ.
+ Áp dụng
2
2
BC BC


26. 26
- Yêu cầu HS làm việc theo nhóm. - Yêu cầu HS làm việc theo nhóm.
Bước 4: Tiến hành khảo sát.
- Phân công HS làm theo nhóm: Xét bài toán với trường hợp tam giác nhọn,
tam giác tù.
- HS thực hiện nhiệm vụ.
- GV quan sát theo dõi và tiếp tục gợi ý.
Bước 5: Tổng kết việc học
HS trình bày sản phẩm.
Xét tam giác vuông AHB có:
.sin
BH c A
 ; .cos
AH c A

Xét tam giác vuông BHC có:
. os
HC b c c A
  .
Xét tam giác vuông AHB có:
 
0
.sin 180 .sin
BH c A c A
   ;
 
0
.cos 180 .cos
AH c A c A
   

27. 27
 
2 2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
sin . os
sin . os 2 .cos
2 .cos
BC HB HC
c A b c c A
c A b c c A bc A
b c bc A
 
  
   
  
Xét tam giác vuông BHC có:
. os
HC b c c A
  .
 
2 2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
sin . os
sin . os 2 .cos
2 .cos
BC HB HC
c A b c c A
c A b c c A bc A
b c bc A
 
  
   
  
Giải pháp 2: (HS thực hiện giải pháp nếu các em đã học về vecto và tich vô
hướng).
BC AC AB
 
 
2
2
BC AC AB
  
2 2 2
2 2 2
2 .
2 .cos
BC AC AB AC AB
a b c bc A
  
  
Bài toán 2, 3: Tương tự bài toán 1 ta được: 2 2 2
2 .cos
b a c ac B
  
2 2 2
.
cos
2
b c a
A
bc
 
 ;
2 2 2
.
cos
2
a c b
B
ac
 

Bài toán 4: Tam giác ABC biết độ dài cạnh AB c
 và số đo góc A, góc C. Tìm
biểu thức liên hệ giữa đại lượng chưa biết là độ dài cạnh BC theo c và ,
A B .
Xét tam giác vuông AHB ta có:
sin (1)
BH c A

Xét tam giác vuông BHC ta có:
Xét tam giác vuông AHB ta có:
sin (1)
BH c A

(vì 0
sin(180 ) sin )
A A
 

28. 28
sin (2)
BH a C

Từ (1) và (2) ta được
sin sin
a c
A C

Tương tự kẻ đường cao CK ta cũng
được:
sin sin
a b
A B

Vậy
sin sin sin
a b c
A B C
 
Xét tam giác vuông BHC ta có:
sin (2)
BH a C

Từ (1) và (2) ta được
sin sin
a c
A C

Tương tự kẻ đường cao CK ta cũng
được:
sin sin
a b
A B

Vậy
sin sin sin
a b c
A B C
 
+ GV tiếp tục yêu cầu HS so sánh tỉ số
sin
a
A
với R là bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC. Đây lại là bài toán mở đòi hỏi HS phải tìm tòi đưa ra cách
giải quyết. HS có thể vẽ tam giác với độ dài hoặc số đo góc, xác định tâm bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Sau đó, tính tỉ số
sin
a
A
và đo độ dài
bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó để so sánh. Một cách giải
quyết khác HS có thể tìm hiểu tham khảo lời giải từ SGK lớp 10. Từ đó HS hình
thành được hai kết quả là định lý cosin, định lý sin trong tam giác.
2.3 Thiết kế tình huống xây dựng các công thức tính diện tích tam giác
thông qua khảo sát toán học.
2.4.1 Nội dung công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác .
ABC Ta kí hiệu
, ,
a b c
h h h là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB.
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
p là nửa chu vi tam giác.

29. 29
S là diện tích tam giác.
Ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:

1 1 1
. .
2 2 2
a b c
S a h bh ch
  

1 1 1
.sin sin sin .
2 2 2
S ab C bc A ac B
  
 .
4
abc
S
R
 .
S pr
 S p p a p b p c (công thức Heron).
2.4.2 Mục đích thiết kế
- Giúp HS có cơ hội trải nghiệm, thảo luận về cách giải thích công thức tính diện
tích tam giác bằng cách sử dụng giá trị lượng giác và định lý sin.
- Giúp HS có cơ hội trải nghiệm, thảo luận về cách giải thích công thức tính diện
tích tam giác bằng cách chia nhỏ tam giác.
2.4.3 Cách thực hiện
Bước 1: Giới thiệu bài toán
Bài toán 1 : Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC, AC, AB lần lượt là 𝑎, 𝑏, 𝑐 và
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ công thức tính diện tích
tam giác ABC: 𝑆 =
1
2
𝑎. ℎ𝑎 ta có thể tính được diện tích tam giác qua công thức
,
1
.sin
2
S ab C
 hoặc công thức
4
abc
S
R
 được không? Tại sao.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC và  
,
I r là đường tròn nội tiếp tam giác như hình

30. 30
a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác
, , .
IBC ICA IAB
b) Tính công thức tính diện tích tam giác ABC theo , , , .
r a b c
Bước 2: Làm sáng tỏ bài toán.
Bài toán 1.
- HS nhắc lại công thức tính diện tích tam giác khi biết chiều cao và độ dài cạnh
đáy tương ứng. (còn công thức nào để tính diện tích tam giác nửa hay không?)
- Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác và định lý sin.
Bài toán 2.
- HS quan sát hình ảnh và chỉ liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích
các tam giác , , .
IBC ICA IAB
Bước 3: Thiết kế khảo sát
HS thảo luận theo nhóm và phân công nhau cùng viết các kiến thức trên
phiếu học tập theo hoạt động cá nhân, sau đó thống nhất trong nhóm để
ghi ra kết quả.
Bước 4: Tiến hành khảo sát.
- GV đi đến các nhóm quan sát các nhóm hoạt động, đặt câu hỏi gợi ý cho
các nhóm khi cần thiết.
- HS thực hiện nhiệm vụ.

31. 31
Bước 5: Tổng kết việc học
- HS trình bày sản phẩm.
- Rút ra nhận xét.
Bài toán 1 Bài toán 2
Ta có
1
2
a
S ah mà .sin
a
h b C

nên ta được
1 1
. .sin
2 2
a
S a h ab C
 
.
Theo hệ quả của định lý sin ta có
sin
2
c
C
R
 . Khi đó
1 1
.sin .
2 2 2 4
c abc
S ab C ab
R R
   .
a) Diện tích tam giác ABC bằng tổng diện
tích ba tam giác , , .
IBC ICA IAB
1
.
2
IBC
S a r
 ,
1
.
2
IAC
S b r
 ,
1
.
2
IAB
S c r

b) Ta có:
 
1 1 1
. . .
2 2 2
.
2
IBC IAC IAB
S S S S a r b r c r
r a b c
     
 

Từ những bài toán trên ta rút ra được các công thức tính diện tích tam giác.
2.4 Thiết kế tình huống giải bài toán thông qua khảo sát toán học
2.3.1 Mục đích thiết kế
Rèn luyện HS vận dụng kiến thức toán vào giải các vấn đề đặt ra trong
thực tiễn cuộc sống là một yêu cầu cần đạt được trong chương trình giáo dục
phổ thông 2018. Do đó, thiết kế tình huống giải bài toán thông qua khảo sát toán
học giúp rèn luyện HS phát triển tư duy mô hình hóa toán học, giúp HS hiểu rõ
được ứng dụng của toán học trong cuộc sống và sẽ yêu thích học toán hơn.
2.3.2 Cách thực hiện

32. 32
Bước 1: Giới thiệu bài toán
Ví dụ 1: Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn
bị, làm thế nào để xác định khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa?
Ví dụ 2: Một đường hầm được dự kiến xây dựng xuyên qua một ngọn núi. Để
ước tính chiều dài của đường hầm, một kĩ sư đã thực hiện các phép đo. Theo em,
kĩ sư đó đã thực hiện các phép đo và tính toán như thế nào để xác định được
chiều dài của đường hầm. (Ví dụ 2, SGK toán 10, trang 75)
Bước 2: Làm sáng tỏ bài toán
GV đưa ra yêu cầu cụ thể hơn: Dùng thước đo độ dài và đo góc (giác kế).
Chuyển yêu cầu thành bái toán giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.
Bước 3: Thiết kế khảo sát
HS đưa ra cách giải quyết cho bài toán 1.
Bước 1: Chọn điểm A, B trên bờ làm mốc mục tiêu. Gọi C là 1 vị trí tại tháp
Rùa.
Bước 2: Dùng thước đo khoảng cách từ A đến B.
Bước 3: Dùng dụng cụ đo góc ,
CAB CBA.

33. 33
Bước 4: Tính độ dài cạnh AC trong tam giác ABC khi biết độ dài cạnh AB, số
đo góc ,
CAB CBA.
Tương tự Hs có xác định được cách giải quyết bài toán 2.
Bước 4: Tiến hành khảo sát.
- HS thực hiện nhiệm vụ: minh họa hình ảnh trên giấy, đưa ra cách tính.
- GV quan sát theo dõi.
Bước 5: Tổng kết việc học
- HS trình bày sản phẩm: Trong tam giác khi biết độ dài một cạnh và số đo hai
góc ta sẽ áp dụng định định lý sin trong tam giác để giải bài toán.
- GV nhận xét, đánh giá.

34. 34
CHƯƠNG 3: THỬ NGHIỆM
3.1 Tổ chức và nội dung thực nghiệm
Thử nghiệm sư phạm dự kiến được tiến hành tại trường THPT Nguyễn
Thông huyện Châu Thành tỉnh Long An.
Lớp thử nghiệm: 40 HS lớp 10A2 năm học 2023-2024. GV dạy thực
nghiệm: Nguyễn Thị Ngọc Sương.
Trước khi dạy lớp thực nghiệm chúng tôi đã thu thập kết quả học tập, kết
quả đầu vào môn Toán của HS lớp thử nghiệm và tìm lớp đối chứng có trình độ
tương đương trong năm học 2022-2023.
Phương pháp thực nghiệm: sau khi chọn hai lớp: thử nghiệm và đối chứng
có trình độ như nhau tại cùng một trường THPT. Nhóm sẽ tiến hành sử dụng kế
hoạch bài dạy có áp dụng khảo sát toán vào dạy học lớp thực nghiệm. Cụ thể
dạy1 tiết tại lớp thực nghiệm với nội dung định lý cosin và định lý sin. Sau đó
tiến hành khảo sát, phân tích đánh giá kết quả.
Minh họa kế hoạch bài dạy sử dụng khảo sát toán học.
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Môn học: Toán; Lớp: 10
Thời gian thực hiện: 1 tiết
I. Mục tiêu
1. Về kiến thức: Trong bài này, HS được học về: định lí côsin, định lí sin, một
số công thức tính diện tích tam giác, giải tam giác và cần đạt được các yêu cầu
sau:
– Giải thích được các hệ thức lượng cơ bản trong tam giác: định lí côsin, định lí
sin, công thức tính diện tích tam giác.

35. 35
– Mô tả được cách giải tam giác và vận dụng được vào việc giải một số bài toán
có nội dung thực tiễn (ví dụ: xác định khoảng cách giữa hai địa điểm khi gặp vật
cản, xác định chiều cao của vật khi không thể đo trực tiếp,...).
- HS phát hiện được một tam giác hoàn toàn được xác định khi biết độ dài ba
cạnh hoặc độ dài hai cạnh, số đo một góc, hoặc độ dài một cạnh, số đó hai góc
của tam giác.
- HS khám phá được công thức biểu diễn mối liên hệ giữa các cạnh và góc tam
giác. Biết được định lí côsin, định lí sin; giải thích được cách chứng minh định lí
cosin, định lí sin;
- Nhận diện được khái niệm giải tam giác; vận dụng được các định lí và công
thức tính diện tích trong các bài toán gắn với thực tiễn.
- Vận dụng được kiến thức và kĩ năng đã học để đo đạc thực tế khoảng cách
(chiều cao) từ xa.
2. Về năng lực
- Bước đầu giúp HS phát triển 5 năng lực cốt lõi của toán học: năng lực tư duy
và lập luận (biết phân tích, tổng hợp), biết tìm cách giải quyết vấn đề, năng lực
mô hình hóa toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ
toán học.
- Năng lực tự học: HS xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh
giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc
phục sai sót.
- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc
đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.
- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân
đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.

36. 36
- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua
hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong
giao tiếp. HS nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.
- Năng lực sử dụng công cụ và phương tiện toán học: HS biết sử dụng thước
đo vẽ tam giác, biết sử dụng công cụ toán học giải quyết bài toán thực tế.
2. Về phẩm chất
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách
lôgic và hệ thống.
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh
thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.
- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự
hướng dẫn của GV.
- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy
nghĩ.
II. Thiết bị dạy học và học liệu
- Hệ thống các bài toán mở.
- Kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông.
- Thước đo góc và thước đo độ dài.
- Tài liệu học tập: Phiếu học tập các các câu hỏi GV chuẩn bị; Sách giáo
khoa 10 theo CT2018.
- Google Classroom: sử dụng để giao phiếu học tập gồm các câu hỏi.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG 1: HOẠT ĐỘNG MỞ ĐẦU (7 phút)
a/ Mục tiêu: Giúp HS có thái độ, động cơ tích cực tìm tòi kiến thức mới.
b/ Nội dung:

37. 37
Bài toán 1: Có thể vẽ được một tam giác khi biết ba yếu tố bất kì về độ dài cạnh
và số đo góc của tam giác đó hay không? Làm sao có thể tìm được độ dài cạnh
hay số đo các góc còn lại của tam giác.
c/ Sản phẩm: Video vẽ hình và xác định độ dài cạnh hoặc số đo góc còn lại của
tam giác.
d/ Cách thực hiện
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
- GV tạo nhóm zalo lớp dạy
- GV giao nhiệm vụ cho các nhóm trước khi dạy trên lớp.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- Mõi nhóm sẽ quay video minh họa về cách vẽ tam giác theo yêu cầu
và xác định số đo góc và độ dài cạnh còn lại của tam giác.
- GV tổ chức cho HS xem video các nhóm trước khi lên lớp dạy.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận
- Khi dạy trực tiếp GV chiếu minh họa vài video của nhóm
Bước 4: Tổng kết, nhận xét.
- HS nhận xét đánh giá chéo giữa các nhóm
- GV tổng kết.
Một tam giác hoàn toàn xác định được (vẽ được, tìm được độ dài cạnh, số đo
góc còn lại của tam giác đó) khi biết
+ Độ dài ba cạnh (thỏa điều kiện tổng độ hai cạnh phải lớn hơn độ dài cạnh thứ
ba).
+ Độ dài hai cạnh và số đo một góc.
+ Độ dài một cạnh và số đo hai góc.
HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC (15 phút)

38. 38
a/ Mục tiêu: Giúp HS tìm tòi khám phá và hình thành nội dung định lý Cosin và
định lý Sin.
b/ Nội dung
Bài toán 2: Một tam giác khi biết 3 yếu tố bất kì (biết độ dài 2 cạnh, 1 góc hoặc
biết độ dài 3 cạnh hoặc biết độ dài 1 cạnh, 2 góc) thì các yếu tố về số đo góc và
độ dài cạnh còn lại của tam giác đó có mối liện hệ như thế nào với các yếu tố đã
cho.
Bài toán 2.1: Tam giác ABC biết độ dài cạnh ,
AB c AC b
  và số đo góc A (giả
sử 0
A 
 ). Tìm biểu thức liên hệ giữa đại lượng chưa biết là cạnh cạnh BC theo
,
b c và A .
Bài toán 2.2: Tam giác ABC biết độ dài cạnh ,
AB c AC b
  và số đo góc B (giả
sử 0
B 
 ). Tìm biểu thức liên hệ giữa đại lượng chưa biết là cạnh cạnh BC theo
,
b c và B .
Bài toán 2.3 : Tam giác ABC biết độ dài cạnh ; ;
BC a AC b AB c
   . Tìm biểu
thức liên hệ giữa đại lượng chưa biết là góc A theo theo , ,
a b c .
Bài toán 2.4: Tam giác ABC biết độ dài cạnh AB c
 và số đo góc A, B. Tìm
biểu thức liên hệ giữa đại lượng chưa biết là cạnh cạnh BC theo c và ,
A C .
c/ Sản phẩm: Phiếu học tập của HS.
Bài toán 1: 2 2 2
2 .cos
BC b c bc A
  
Bài toán 2, 3: Tương tự bài toán 1 ta được: 2 2 2
2 .cos
b a c ac B
  
2 2 2
.
cos
2
b c a
A
bc
 
 ;
2 2 2
.
cos
2
a c b
B
ac
 


39. 39
Bài toán 4: Tam giác ABC biết độ dài cạnh AB c
 và số đo góc A, góc C. Tìm
biểu thức liên hệ giữa đại lượng chưa biết là độ dài cạnh BC theo c và ,
A B .
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
  
Định lý cosin , ,
a b c .
: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC, AC, AB lần lượt là
Khi đó ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 .cos .
2 .cos .
2 .cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
  
  
  
Định lý Sin: , ,
a b c
Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC, AC, AB lần lượt là
và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
  
d/ Tổ chức thực hiện
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
o GV giao nhiệm vụ cho HS trước khi dạy trực tiếp.
o GV giao nhiệm vụ 4 nhóm ứng với 4 trường hợp: tam giác biết 2
cạnh và 1 góc tạo bởi hai cạnh đó; tam giác biết 2 cạnh và 1 góc bất
kì (khác góc tạo bởi hai cạnh); tam giác biết 2 góc và 1 cạnh; tam
giác biết 3 cạnh.
Bước 2: HS thực hiện nhiệm vụ
o HS tổ chức nhóm trao đổi qua zalo.
o GV hỗ trợ hướng dẫn các nhóm khi cần thiết.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận

40. 40
o HS báo cáo sản phẩm: GV thu thập sản phẩm của HS trước khi dạy
trực tiếp. Khi dạy trên lớp, GV tổ chức các trình bày qua sản phẩm
nhóm.
Bước 4: Tổng kết, nhận xét.
o HS nhận xét đánh giá chéo giữa các nhóm.
o GV nhận xét, đánh giá từng nhóm. Phân tích, rút ra kết luận định lý
côsin và định lý sin.
HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP (15 phút)
a/ Mục tiêu: rèn luyện cho HS cách vận dụng định lý cosin, định lý sin vào giải
tam giác.
b/ Nội dung
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có 0
120
A  và AB = 5, AC = 8. Tính độ dài cạnh
BC.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là 15 ; 20 ; 30
a cm b cm c cm
  
a. Tính số đo góc lớn nhất của tam giác ABC.
b. Gọi M là trung điểm của BC tính độ dài đường trung tuyến AM.
c/ Sản phẩm
Gợi ý lời giải:
a/ Cạnh AC lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất. Áp dụng công thức
2 2 2
Cos
2
a c b
B
ac
 
 Góc B
b/ Xét tam giác ABM có độ dài cạnh AB, BM và góc B. Từ đó áp dụng
định lý cosin 2 2 2
2 . .cos
AM AB BM AB BM B
  
d/ Tổ chức thực hiện

41. 41
Bước 1: Chuyển giao nhiêm vụ
- GV phân công nhóm 1,2 giải ví dụ 1 và ví dụ 2 câu a; nhóm 3,4 giải ví dụ
1 và ví dụ 2 câu b.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS thảo luận và ghi lời giải vào vở.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận
- Đại diện các nhóm lên viết và trình bày lời giải.
Bước 4: Nhận xét, tổng kết.
- GV và HS nhận xét đánh gá.
HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG (7 phút)
a/ Mục tiêu: Biết cách đề xuất cách giải quyết và giải được các bài toán thực tế
bằng cách áp dụng định lý cosin và định lý sin.
b/ Nội dung
Ví dụ 3: Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị,
làm thế nào để xác định khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa?
Ví dụ 4: Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù
lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B
có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo được khoảng cách 40m
AB  ,

42. 42
45 , 70
CAB CBA
    .Vậy sau khi đo đạc và tính toán khoảng cách AC gần
nhất với giá trị nào sau đây?
A. 53m. B. 30m . C. 41,5m . D. 41m .
c/ Sản phẩm
Gợi ý lời giải: Tam giác biết số đo hai góc và độ dài 1 cạnh: tính số đo góc còn
lại , áp dụng định lý sin ta tính được độ dài cạnh AC gần bằng 41,5m.
c/ Tổ chức thực hiện
GV cho HS thảo luận 2 phút. Sau đó trình bày ý kiến.
GV nhận xét, đánh giá, hoàn chỉnh câu trả lời của HS.
IV. GIAO BÀI TẬP, NHIỆM VỤ VỀ NHÀ. (1 phút)
a) Mục tiêu: HS rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học thông qua giải các
bài tập trong SGK;
b) Nội dung: Giải các bài tập 1, 2, 3 trong SGK .
c) Sản phẩm: Bài làm được nộp trên classroom.
d) Tổ chức thực hiện
- GV giao nhiệm vụ cho HS như mục Nội dung và yêu cầu HS nghiêm túc
thực hiện.
- HS thực hiện nhiệm vụ ở nhà.

43. 43
- GV yêu cầu HS nộp bài qua hệ thống quản lí học tập; GV nhận xét vào bài
làm, chấm điểm.
- GV trả bài, chọn một số bài làm tốt của HS để giới thiệu trước lớp vào tiết
sau.
3.2 Khảo sát, đánh giá kết quả đề tài
+ Mục đích khảo sát
Phiếu khảo sát được thực hiện nhằm đánh giá HS về khả năng biết nhận
dạng bài toán và biết chọn lựa công thức để giải. HS cần biết được khi biết 3
yếu tố bất kì về độ dài cạnh hoặc số đo góc của tam giác (trừ biết 3 góc) thì
sẽ tìm được các số đo góc hoặc độ dài cạnh còn lại; biết được khi nào sẽ
dùng định lý sin, khi nào dùng định lý cosin đồng thời biết liên hệ kiến thức
đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Thông qua phiếu khảo sát GV cho điểm HS (KTTX): Đánh giá theo thang
điểm 10 phiếu khảo sát trên cụ thể: Chọn đúng “có/không” được 0,5điểm/1
câu. Giải thích đúng vì sao 0,5 điểm/1 câu.
Sau đó GV sẽ ghi nhận điểm KTTX cho HS và thống kê bảng điểm để
phân tích đánh giá tính khả thi của đề tài.
+ Nội dung phiếu khảo sát
Có thể tính được độ dài cạnh, số đo các góc chưa biết của tam giác ABC
không nếu biết các đại lượng sau?

44. 44
Câu
hỏi
Có tính
được
Không
tính
được
Giải thích vì
sao không,
nếu có thì
tìm các đại
lượng chưa
biết đó.
Câu 1 Ch 3; 5
AB AC
  0
60
A 
; .
Tính BC.
Câu 2 3; 5
AB AC
  0
60
A  . Tính
;
bán kính R của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 3 3; 5; 7
AB AC BC
   .Tính
góc A.
Câu 4 0 0
30 ; 120
A B C
   . Tính
cạnh AB.
Câu 5 1
3; 5;cos
3
AB AC A
   .
Tính BC.
Câu 6
Tam giác ABC có
1
sin ;
3
A 
bán kính đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC là 4
R  . Tính
BC.

45. 45
Câu 7 0 0
12; 45 ; 30
AC B C
   . Độ
dài lớn nhất của tam giác là
bao nhiêu?
Câu 8 0
5; 4; 60
AB AC C
   .
Tính BC.
Câu 9 Cho tam giác ABC có
2 2 2
0
a b c
   . Khi đó có thể
kết luận góc C là góc nhọn
không?
Câu
10
Khoảng cách từ A đến B
không thể đo trực tiếp được vì
phải qua một đầm lầy. Người
ta xác định được một điểm C
mà từ đó có thể nhìn được A
và B dưới một góc 60. Biết
 
200 m
CA  ,  
180 m
CB  .
Tính khoảng cách AB?
Phân tích, dự đoán kết quả
Có thể tính được độ dài cạnh, số đo các góc chưa biết của tam giác ABC
không nếu biết các đại lượng sau?
Câu
hỏi
Phân tích, dự đoán kết quả
Câu 1 Ch 3; 5
AB AC
  ; Từ bài toán 1 trong hoạt động khởi
động HS đã biết một tam giác hoàn

46. 46
0
60
A  . Tính BC. toàn xác định khi biết độ dài 2 cạnh
và số đo 1 góc nên câu hỏi này HS
dễ dàng trả lời CÓ. Tương tự ví dụ
1, hoạt động luyện tập HS biết sử
dụng định lý cosin tìm được BC.
Câu 2 3;
AB  0
60
C  . Tính
;
bán kính R của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Với bài toàn tìm bán kinh R của
đường tròn ngoại tiếp tam giác, HS
sẽ liên tưởng ngay đến định lý sin,
viết được định lý sin. Và tìm được
bán kính R.
Câu 3 3; 5; 7
AB AC BC
  
.Tính góc A.
Tương ứng với bài toán là 1 trường
hợp trong hoạt động hình thành kiến
thức, khi biết độ dài 3 cạnh HS đã
tìm được công thức mối liên hệ giữa
3 cạnh và góc tam giác. Công thức
tính góc được suy ra từ định lý cosin
được HS thảo luận báo cáo, được
GV tổng kết cho ghi nhận từ đó HS
sẽ nhớ được công thức và biết vận
dụng vào giải.
Câu 4 0 0
30 ; 120
A B C
   .
Tính cạnh AB.
Tam giác biết 3 góc, trường hợp này
đã được HS kiểm chứng trong hoạt
động 1, vì vậy HS sẽ trả lời không
xác định được.

47. 47
Câu 5 1
3; 5;cos
3
AB AC A
   .
Tính BC.
Câu hỏi này nhằm rèn luyện cho HS
tính cẩn thận, đọc kĩ đề nhận dạng
được các yếu tố đã biết để thế vào
công thức . HS có thể có sai lầm, cụ
thể HS thế vào công thức sai:
2 2 2 1
2 .cos 3.5.cos
3
a b c bc A
   
Đây cũng là câu hỏi nhầm khắc phục
những sai lầm HS hay gặp. Trường
hợp này sẽ có vài bạn sai.
Câu 6 Tam giác ABC có
1
sin ;
3
A  bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác
ABC là 4
R  . Tính BC.
HS sẽ nhận dạng được với giả thiết
cho sẽ áp dụng định lý sin và tìm
được BC.
Câu 7 0 0
12; 45 ; 30
AC B C
   .
Độ dài lớn nhất của tam
giác là bao nhiêu?
Trường hợp tam giác biết số đo 2
góc và độ dài 1 cạnh, HS sẽ biết
chọn định lý sin để giải toán. Tuy
nhiên, câu hỏi đòi hỏi HS phải nhận
biết được góc nào lớn nhất để tìm
cạnh ứng với góc đó. Đây là câu hỏi
mức độ thông hiểu dành cho HS khá
trở lên. Vì đã được nhắc đến trong
Ví dụ 2 trong bài giảng nên HS cũng
sẽ xác định được góc A lớn nhất nên
BC là cạnh lớn nhất.

48. 48
Câu 8
0
7; 3; 60
AB AC C
   .
Tính BC.
Dự đoán: 1 số HS sẽ sai do thiếu
trường hợp. Tuy nhiên, đây là trường
hợp tương ứng với bài toán 2 trong
hoạt động 2 trong bài giảng nên HS
sẽ áp dụng định lý cosin và giải
phương trình bậc hai tìm được hai
giá trị của BC. Do đó, HS đã tránh
được sai lầm hay gặp như áp dụng
định lý sin và xét thiếu trường hợp
0
1
sin 30
2
A A
  
của góc ( thiếu
0
150
A 
trường hợp )
Câu 9 Cho tam giác ABC có
2 2 2
0
a b c
   . Khi đó có
thể kết luận góc C là góc
nhọn không?
Mục đích câu hỏi đưa ra nhằm đánh
giá HS có biết liên kết các kiến thức
đã học với việc vận dụng linh hoạt
định lý cosin trong suy luận. HS khá
trở lên sẽ trả lời được câu hỏi.
Câu
10
Khoảng cách từ A đến B
không thể đo trực tiếp
được vì phải qua một đầm
lầy. Người ta
xác định được một điểm
C mà từ đó có thể
nhìn được A và B dưới
một góc 60. Biết
 
200 m
CA  ,
HS biết chuyển BT thực tế thành BT
trong toán học và áp dụng định lý
Cosin để giải. HS đã được làm quen
qua các ví dụ nên việc giải bài toán
không quá khó khăn với HS.

49. 49
 
180 m
CB  . Tính
khoảng cách AB?
Đánh giá:
- Câu 1,2,3,4,5,6,7: HS sẽ nhận biết được 1 tam giác hoàn toàn được xác
định nếu biết 3 số đo về cạnh, góc (trừ trường hợp tam giác không xác
định được khi biết số đo 3 góc). HS hoàn toàn có thể trả lời được các
câu hỏi này vì các nội dung câu hỏi đều liên quan các dạng bài toán
được thiết kế trong hoạt động của bài giảng. Câu hỏi này đánh giá mức
độ tập trung ghi nhớ kiến thức đã học trong bài giảng, đánh giá mức độ
HS về việc nhận dạng bài toán và chọn lựa công thức áp dụng cho phù
hợp. HS trả lời được chứng tỏ các em có tập trung và hiểu nội dung
bài học. Và việc áp dụng các bước khảo sát toán học giúp HS hình
thành, khám phá ra tri thức mới đã giúp HS ghi nhớ và vận dụng tốt
kiến thức vào giải các bài tập.
- Với các các ví dụ về bài toán mở, bài toán thực tế trong bài giảng HS
được tiếp cận và làm quen nên với câu hỏi số 10, HS cũng hoàn toàn
có thể giải được.
3.3 Kết luận
Qua việc tổ chức tình huống dạy học khảo sát toán học vào 1 tiết dạy trên
lớp với nội dung định lý côsin và định lý sin. Chúng tôi đã tiến hành khảo sát
đánh giá kết quả học tập của HS và nhận thấy việc thiết kế các tình huống áp
dụng khảo sát toán học trong dạy học đã giúp HS tiếp cận kiến thức theo nhiều
hướng khác nhau, bằng cách tự tìm tòi khám phá khi đứng trước tình huống có
vấn đề HS đã chủ động trao đổi và học hỏi với nhau. Từ đó, HS sẽ khắc sâu kiến
thức đã khám phá và vận dụng tốt các kiến thức đó vào giải bài tập liên quan

50. 50
cũng như biết vận dụng kiến thức vào giải các bài toán, các vấn đề đặt ra trong
thực tiễn hay gặp trong cuộc sống.

51. 51
PHẦN KẾT LUẬN
Thông qua việc tìm hiểu về đề tài, chúng tôi đã có thêm nhiều kiến thức
bổ ích về việc áp dụng 5 bước khảo sát toán học vào dạy học. Đặc biệt, hiểu rõ
cách thiết kế và sử dụng được các bài toán mở trong dạy học. Đề tài nghiên cứu
đã khẳng định được rằng việc tăng cường thiết kế và sử dụng các tình huống có
áp dụng các bước khảo sát toán học vào giảng dạy đã góp phần giúp HS phát
triển tốt hơn về kĩ năng làm việc nhóm, sử dụng ngôn ngữ toán học, khả năng tư
duy lập luận cũng như năng lực giải quyết vấn đề, kĩ năng sử dụng công cụ toán
học cũng được rèn luyện thành thạo hơn.

52. 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Mathieu. A. (2010). Qui sème le problème ouvert récolte le plaisir
scolaire. Retrieved from http://irem.univ-reunion.fr/spip.php?article114.
2. Pehkonen. E. (1997). Use of Open-Ended Problems in Mathematics
Classroom. Research Report 176. University of Helsinki, Finland.
3. Nguyễn Sơn Hà. (2014). Phát triển tu duy độc lập và tu duy sáng tạo của
học sinh thông qua dạy học bài toán mở ở truờng trung học phổ thông.
Luận án tiến sĩ Giáo dục học, Đại học Sư phạm Hà Nội.
4. Nguyễn Văn Bàng. (1997). “Lại bàn về bài toán mở”. Tạp chí Nghiên cúu
giáo dục, số 1 .
5. Bùi Huy Ngọc. (2004). “Bài toán mở về phía giả thiết và bài toán mở về
phía kết luận”. Tạp chí Nghiên cứu giáo dục số 5 .
6. Trương Khánh Phương. (2011). “Tiềm năng của các bài toán KTM trong
việc hỗ trợ HS phát triển năng lực suy luận ngoại suy”. Tạp chí Giáo dục,
số 276, kì 2.
7. Lê Văn Tiến, Phạm Hoài Thương. (2020). “Hai cách tiếp cận bài toán
mở”. Tạp chí khoa học đại học Sài Gòn.
8. Phạm Văn Tánh. (2012). Sử dụng bài toán KTM nhằm nâng cao hiểu biết
toán của HS đối với thống kê. SKKN trường THPT Sông Rai Sở giáo dục
đào tạo Đồng Nai.
9. Tôn Thân. (1995). “Bài tập mở, một dạng bài tập góp phần bồi dưỡng tư
duy sáng tạo cho HS”. Tạp chí Nghiên cứu giáo dục, số 6.
10. Trần Vui. (2014). Giải quyết vấn đề thực tế trong học toán. NXB Đại học
Huế.