depleksi

1. 1
DEFLEKSI ELASTIS
DARI BALOK
(Elastic Deflection of Beams)
Ahmad Tusi
Jurusan Teknik Pertanian UNILA
DEFLEKSI ELASTIS DARI BALOK
(Elastic Deflection of BeamS)
Definisi defleksi: adalah deformasi balok berupa simpangan titik-titik penampang
sepanjang balok pada arah tegak lurus sumbu longitudinal
balok yang dinyatakan sebagai defleksi y
O x
R1 R2
x
P
L
P
O
x
y
A. Metoda Integrasi Ganda (Double Integration Method)
O x
y
R
M = EI/R → 1/R = M/EI dimana 1/R mewakili kurva lengkungan dari
permukaan netral
Dari kalkulus, rumus kurva lengkungan dengan jari-jari R adalah:
1 d2y/dx2 1 d2y M
---- = -----------------------, karena (dy/dx)2 sangat kecil, maka ---- = ----- = -----
R [1 + (dy/dx)2]x/2 R dx2 EI
d2y
EI ----- = M
dx2
dy
EI ---- = ∫ M + C1
dx
EIy = ∫ ∫ M + C1x + C2
Didapat persamaan Euler-Bernoulli, kemudian diintegrasikan dua kali:

2. 2
Beban terpusat:
0 < x < 1
Mx = R1x = 15x (4)
EI(d2y/dx2) = 15x (5)
EI(dy/dx) = 15x2/2 + C1 (6)
EIy = 15x3/6 + C1x + C2 (7)
Reaksi-reaksi:
R1 + R2 = 20 kN (1)
R2 = (20)(1)/4 = 5 kN (2)
R1 = 20 – 5 = 15 kN (3)
1 < x < 4
Mx =1 5x – 20(x – 1) (8)
EI(d2y/dx2) = 15x – 20(x - 1) (9)
EI(dy/dx) =1 5x2/2 + 20(x – 1)2 /2 + C3 (10)
EIy = 15x3/6 + 20(x – 1)3/6 + C3x + C4 (11)
O
x
x
R1 R2
1 3
20 kN
4 m
x
Pada x = 0, y = 0
Pers. (7):
0 = 0 + 0 + C2 = 0 → C2 = 0 (12)
Pada x = 4, y = 0
Pers. (11):
0 = (15)(4)3/6 + (20)(4 – 1)3/6 + 4C3 + C4
4C3 + C4 = - 160 – 90 = - 250 (13)
Pada x = 1, pers. (6) = pers. (10):
15/2+ C1 = 15/2 + C3 → C1 = C3 (14)
Pada x = 1, pers. (7) = pers. (11):
15/6 + C1 = 15/6 + C3 + C4 → C4 = 0 (15)
Maka C1 = C3 = - 250/4 = 62.5
B. Metoda Momen Luasan (Moment-Area Method)
A
xB
∆θ
dx x
Digram momen lentur
dibawah kurva AB
Teorema momen luasan pertama:
Sudut antara tangen di A dan di B
sama dengan luas diagram momen
lentur antara ke dua titik dibagi
dengan perkalian EI.
Mdx
θ = ∫ -------
EI
A
B
Teorema momen luasan kedua:
Jarak vertikal titik B pada kurva defleksi
dari tangen di A (∆) sama dengan momen
terhadap garis vertikal melalui B dari
luasan diagram momen lentur antara A
dan B dibagi dengan perkalian EI.
Mxdx
∆ = ∫ --------
EI
A
B
Penurunan Teorema Momen Luasan Pertama dan Kedua:
A
dθ
B
dx x
Digram momen lentur
dibawah kurva AB
b
R
xdθ
M
ds
dθ
M
EI
M = ------ (1)
R
ds = Rdθ → R = ds/dθ
Substitusi ke pers. (1):
M
dθ = ---- ds
EI
Elemen ds = dx, maka:
M
dθ = ---- dx
EI
B Mdx
θ = ∫ dθ = ∫ -----
A EI
Mxdx B Mxdx
xdθ = ------- → Bb = ∫ ------- = ∆
EI A EI

3. 3
Perhitungan luasan dibawah kurva x pangkat dua dan pangkat tiga:
y
x
h
y = ax2
y
b
x dx
O
x
y
h
y = ax3
b
O
Luas elemen dA = ydx
b b
A = ∫ ydx = ∫ ax2 dx = (1/3) a[x3]
o o
A = (1/3)ab3
Pada x = b → y = h, maka a = h/b2
Jadi: A = bh/3
Jarak centroid: x = (3/4)b
Dengan cara yang sama, untuk
persamaan pangkat tiga didapat:
A = bh/4
x = (4/5)b
P
A
B
L
tangen di A
tangen di B
θ
∆
-PL
EI ∆ = ∫ Mxdx
EI ∆ = [(-PL)(L/2)][(2/3)(l)]
EI ∆ = -PL3/3
∆ = - PL3/3EI
EI θ = ∫ Mdx
EI θ = [(-PL)(L/2)]
EI θ = -PL2/2
θ = - PL2/2EI
Momen luasan diambil
terhadap garis vertikal
melalui ttk B (dibawah garis
kerja gaya P)
wL2
2
A
B
L
tangen di A
∆
w Nm-1
EI ∆ = ∫ Mxdx
EI ∆ = [(-wL2/2)(L/3)][(3/4)(L)]
EI ∆ = -wL4/8
∆ = -wL4/8EI
Momen luasan diambil terhadap
garis vertikal melalui ttk B
(dibawah garis kerja gaya P)
CATATAN UMUM:
• Rumus umum untuk ∆
adalah:
EI ∆ = Σ[ A ][ x ]
• ∆ belum tentu menunjukkan
nilai defleksi suatu balok

4. 4
C. Metoda Fungsi Singularitas (Method of Singularity Function)
dV
w = -------
dx
dM
V = -------
dx
d2y
M = EI -----
dx2 d4y
w = -------
dx4
d3y
V = EI -----
dx3
Tipe Pembebanan Fungsi Singularitas Gambaran Piktorial
Momen terpusat w(x) = Wo‹x - a›-2 O x
a Mo
Gaya terpusat w(x) = Fo‹x - a›-1
Fo
O x
a
Beban tersebar merata w(x) = wo‹x - a›0
wo
O x
a
Beban bervariasi linier w(x) = dw/dx‹x - a›1
dw/dx
O x
a
Beban bervariasi
kwadratis
w(x) = C‹x - a›2/2
C = d2w/dx2
O x
a
O x
R1 R2
a b
P
L
y
Reaksi-reaksi:
R1 = Pb/L (1)
R2 = Pa/L (2)
Dari pembebanan yang ada, momen lentur Mx dapat dicari berdasarkan
perhitungan momen sepanjang balok:
Mx = Pb/L‹x›1 - P‹x - a›1 + Pa/L‹x - L›1 (1)
EI(d2y/dx2) = M = Pb/L‹x›1 - P‹x - a›1 + Pa/L‹x - L›1 (2)
Kemudian dilakukan integrasi dua kali untuk mendapatkan persamaan defleksi:
EI(dy/dx) = Pb/2L‹x›2 – P/2‹x - a›2 + Pa/2L‹x - L›2 + C1 (3)
EIy = Pb/6L‹x›3 – P/6‹x - a›3 + Pa/6L‹x - L›3 + C1x + C2 (4)
Pada x = o dan x = L, y = 0 → C2 = 0 dan C1 = - PbL/6 + Pb3/6L (5)
Pers. Defleksi:
EIy = Pb/6L‹x›3 – P/6‹x - a›3 + Pa/6L‹x - L›3 + (- PbL/6 + Pb3/6L)x (6)

5. 5
Atau dengan cara lain berdasarkan persamaan singularitas dari tipe
pembebanan tertentu adalah sebagai berikut:
w(x) = Pb/L‹x›-1 - P‹x - a›-1 + Pa/L‹x - L›-1 (1)
V(x) = Pb/L‹x›0 - P‹x - a›0 + Pa/L‹x - L›0 (2)
M(x) = Pb/L‹x›1 - P‹x - a›1 + Pa/L‹x - L›1 (3)
Momen M(x) pada persamaan (3) sama dengan persamaan momen
sebelumnya. Selanjutnya prosedur integrasi anda dilakukan seperti metode
sebelumnya:
EI(d2y/dx2) = M = Pb/L‹x›1 - P‹x - a›1 + Pa/L‹x - L›1 (4)
EI(dy/dx) = Pb/2L‹x›2 – P/2‹x - a›2 + Pa/2L‹x - L›2 + C1 (5)
EIy = Pb/6L‹x›3 – P/6‹x - a›3 + Pa/6L‹x - L›3 + C1x + C2 (6)
Pada x = o dan x = L, y = 0 → C2 = 0 dan C1 = - PbL/6 + Pb3/6L (7)
Pers. Defleksi:
EIy = Pb/6L‹x›3 – P/6‹x - a›3 + Pa/6L‹x - L›3 + (- PbL/6 + Pb3/6L)x (8)