構造型モデル（Mertonモデル）の解説と実装した結果について。

1. 第25回R勉強会＠東京(#TokyoR)
で学ぶ
『構造型モデル de 倒産確率推定』
@teramonagi

2. 自己紹介
• @teramonagi
• 金遊系
• 算盤弾くだけの簡単なお仕事
• C++・R・python・F#
やぁ、こんにちは！
2

3. CAUTION
本資料は個人的な勉強会のために作成したもの
です。本情報の内容については万全を期しており
ますが、その内容を保証するものではありません。
これらの情報によって生じたいかなる損害につい
ても、情報提供者は一切の責任を負いません。な
お、本資料における意見、見解等はすべて筆者の
個人的なものであり、筆者の属する組織の意見、
見解等ではないことをあらかじめご了承ください。
3

4. もくじ
• まえふり
• 構造型モデルとは
• R言語で分析
• まとめ
• 省略した数学的なお話
4

5. 色々と”リスク”の種類ある
• 市場リスク
– 株価・為替等が変動する事に伴うリスク
• 流動性リスク
– 売買する際の売値・買値の開き。売買コスト
• オペレーショナルリスク
– 3個でいいのに100個発注しちゃった（ﾃﾍﾍﾟﾛ
• 信用リスク
– お金を貸した先の信用力低下に伴うリスク
5

6. 信用リスク
• 取引先の企業が期限日までに債務を
履行しないリスク
• 倒産（デフォルト）、及びその可能性の
増大に伴う資産価値の減少リスク
信用リスク量評価のための
倒産確率推定が必要
6

7. 倒産確率推定モデルの分類
倒産確率推定モデル
統計 誘導型 構造型
モデル モデル モデル
7

8. 統計モデル
• 過去の財務指標をつかってデフォルト企
業・非倒産企業に分類（Not 倒産確率）
–判別分析、2値判別、教師あり学習
• ロジットモデル
–信用力を表わせると期待される量を使っ
てロジスティック回帰、倒産確率とする
• ハザードモデル
–生存時間解析、Cox比例ハザードモデル
8

9. 誘導型モデル
• デフォルトの原因は特定しない
• 企業のデフォルトを外生的に確率過
程でモデリング
• デフォルトは外的な要因によって引
き起こされる
• 数学がしんどい
9

10. もくじ
• まえふり
• 構造型モデルとは
• R言語で分析
• まとめ
• 省略した数学的なお話
10

11. 構造型モデル
• 別名“企業価値モデル”
• 今回は一番初めに提唱された
“Mertonモデル”というもの
• 企業価値がある閾値を下回った（債務
超過）の場合、倒産と判定
• このモデル由来の商用モデル
–KMVモデル（Moody’s KMV）
–CreditMetricsモデル（J.P. Morgan）
11

12. 企業価値ってそも
そもどうやって評
価すんの？
12

13. 『企業の通信簿』
を使う
13

14. 企業の通信簿： “決算書”
• 貸借対照表
–資金の調達先と運用先
• 損益計算書
–稼ぎの内訳
• （キャッシュフロー計算書）
–実際の資金の流出入
• （株主資本等変動計算書）
–貸借対照表の純資産の変動状況を表す
14

15. 貸借対照表
負債
資産
資本
資金の運用 資金の調達
15
※今の会計ルールだと資本は純資産と呼ぶのが正しい。

16. またの名をバランスシート
資産 資本負債
資産と資本＋負債が釣り合う
16

17. ポンチ絵 De
負債
資 借金
産
資本
使い道 株主
17

18. 実際の貸借対照表（例）
資産の部 負債の部
流動資産 101,958 流動負債 53,870
現金及び預金 57,607 買掛金 664
売掛金 29,849 未払金 25,370
未収入金 9,378 未払法人税等 15,200
繰延税金資産 1,882 前受金 3,457
その他 3,435 預り金 6,743
貸倒引当金 -196 賞与引当金 298
固定資産 50,528 その他 2,136
有形固定資産 1,753 固定負債 254
建物及び構築物 191 その他 254
工具、器具及び備品 1,491 負債合計 54,125
機械装置及び運搬具 7
土地 62 純資産の部
無形固定資産 36,741 株主資本 93,989
ソフトウエア 3,322 資本金 10,396
のれん 32,512 資本剰余金 10,897
その他 906 利益剰余金 88,321
投資その他の資産 12,033 自己株式 -15,626
投資有価証券 5,397 その他有価証券評価差額金 -1,187
繰延税金資産 932 新株予約権 1,812
その他 5,845 少数株主持分 3,747
貸倒引当金 -141 純資産合計 98,361
資産合計 152,486 負債純資産合計 152,486
※某ソーシャル系企業の決算書より筆者作成、単位（100万円） 18

19. 実際の貸借対照表（例）
資産の部 負債の部
流動資産 101,958 流動負債 53,870
現金及び預金 57,607 買掛金 664
売掛金 29,849 未払金 25,370
未収入金 9,378 未払法人税等 15,200
ちゃんとバラン
繰延税金資産 1,882 前受金 3,457
その他 3,435 預り金 6,743
貸倒引当金 -196 賞与引当金 298
固定資産 50,528 その他 2,136
スしている
有形固定資産 1,753 固定負債 254
建物及び構築物 191 その他 254
工具、器具及び備品 1,491 負債合計 54,125
機械装置及び運搬具 7
土地 62 純資産の部
無形固定資産 36,741 株主資本 93,989
ソフトウエア 3,322 資本金 10,396
のれん 32,512 資本剰余金 10,897
その他 906 利益剰余金 88,321
投資その他の資産 12,033 自己株式 -15,626
投資有価証券 5,397 その他有価証券評価差額金 -1,187
繰延税金資産 932 新株予約権 1,812
その他 5,845 少数株主持分 3,747
貸倒引当金 -141 純資産合計 98,361
資産合計 152,486 負債純資産合計 152,486
※某ソーシャル系企業の決算書より筆者作成 19

20. 実際の貸借対照表（例）
資産の部 負債の部
流動資産 101,958 流動負債 53,870
現金及び預金 57,607 買掛金 664
売掛金 29,849 未払金 25,370
未収入金 9,378 未払法人税等 15,200
繰延税金資産
その他
貸倒引当金
固定資産
毎年の儲け（の余
1,882
3,435
-196
50,528
前受金
預り金
賞与引当金
その他
3,457
6,743
298
2,136
有形固定資産
建物及び構築物
り）が加算される
工具、器具及び備品
機械装置及び運搬具
1,753
191
1,491
7
固定負債
その他
負債合計
254
254
54,125
土地 62 純資産の部
無形固定資産 36,741 株主資本 93,989
ソフトウエア 3,322 資本金 10,396
のれん 32,512 資本剰余金 10,897
その他 906 利益剰余金 88,321
投資その他の資産 12,033 自己株式 -15,626
投資有価証券 5,397 その他有価証券評価差額金 -1,187
繰延税金資産 932 新株予約権 1,812
その他 5,845 少数株主持分 3,747
貸倒引当金 -141 純資産合計 98,361
資産合計 152,486 負債純資産合計 152,486
※某ソーシャル系企業の決算書より筆者作成 20

21. 企業の成長過程
利益
利益
１年目 ２年目 ３年目
21

22. 貸借対照表を
適切に膨らませる事こそ
ビジネスのゴール！！！
22

23. 脱線気味なのでそ
ろそろ本線に戻り
たいと思います。
23

24. 今回のモデリング対象
• 資産価値＝企業価値と見做す
• これの変動を確率過程でモデリング
１年目 ２年目 ３年目
24

25. モデル概要
• 資産価値が負債満期時点で負債額
面を下回った場合“倒産“と判定
儲かってる！ 存続
倒産
儲からなかった！
現在 （時間の流れ） 負債満期 25

26. モデル概要
26

27. モデル概要
企業価値を
シミュレーション
27

28. モデル概要 負債
満期
負債
額面
28

29. モデル概要 負債
満期
企業価値が負債額
面を下回ったものを
倒産と判定
負債
額面
29

30. 企業価値が負債額面を
下回った割合を数えれば
それ即ち倒産確率 30

31. シミュレーションに
必要なパラメー
ターってどうやって
用意するの？
31

32. 企業価値は頻繁に
観測可能ではない
32

33. 頻繁に観測可能な
株価から推定する
33

34. 株価と企業価値の関係
企業が負債
を返済し終え
た残りの価
値って誰のも
のだろう？
34

35. 株価と企業価値の関係
そう！
株主のものね！
35

36. 株価と企業価値の関係
• 負債満期時点において…
株主の貰える分
負債
額面
４５度
企業価値 36

37. 株価と企業価値の関係
株主の貰える分
||
株価×発行株数
※株価は負債満期時点のもの！！！将来予測値！！！ 37

38. 金融派生商品（デリバティブ）
の価格付け理論が使える
38

39. 後は金融工学の枠組みに突っ
込むだけの簡単なお仕事
39

40. 計算の手順
１：貸借対照表から負債簿価を推定
２：株価を使って
– 企業価値（各時点）
– 企業価値の変動率（各時点？）
を“株価と企業価値の関係”から推定 （＊）
３：推定された企業価値パラメーターを
使って倒産確率を推定する
※この辺の推定は実務者依存かも 40

41. もくじ
• まえふり
• 構造型モデルとは
• R言語で分析
• まとめ
• 省略した数学的なお話
41

42. とりあえず・・・
• モデルの数学の話をするのは結構
だるいので後回し
• 分析用スクリプトを用意
• おもちゃモデルで分析
42

43. 作成した関数群
• default.probability：倒産確率推定
• stock.price ：株価推定
• bond.price：負債時価推定
• stock.volatility：株価変動率推定
• firm.volatility：企業価値変動率推定
• firm.price：企業価値推定
43

44. 各種計算の条件
• 株価（時価総額）：100円
• 株価変動率：20%
• 負債額面（簿価）：100円
• 負債満期：3（年）
• 企業価値平均成長率：1%
※発行済株式数は１だとしている
44

45. お試し実行
> #株価変動率 > #現在の企業価値推定
> v0 <- firm.price(S0, B, R, T, SIGMA.S)
> SIGMA.S <- 0.2
> v0
> #株価 [1] 171.2644
> S0 <- 100 > #現在の企業価値変動率推定
> sigma.v <- firm.volatility(v0, S0, B, R, T,
> #負債額面 SIGMA.S)
> B <- 100 > sigma.v
> #企業価値平均成長率 [1] 0.36015
> #v0, sigma.vは当然現在の株価・株価
> R <- 0.1 変動率を再現
> #負債満期 > stock.price(v0, B, R, T, sigma.v)
> T <- 3 [1] 100
> stock.volatility(v0, S0, B, R, T, sigma.v)
[1] 0.2
45

46. 企業価値-株価 PLOT
46

47. 企業価値-株価・負債 PLOT
47

48. 企業価値-株価・負債 PLOT
• 前頁のグラフより
–株価＋負債価格＝企業価値
が成り立っている
モジリアニ・ミラーの定理
完全市場（無税、かつ無リスクに資金の借入・貸付がで
き、不均衡は瞬時に解消される市場）を仮定すれば、企
業の資本構成は企業価値に影響を与えない
48

49. 企業価値変動率-株価・負債PLOT
49

50. 企業価値変動率-株価・負債PLOT
資産代替問題
株主がリスクの高い投資計画を選考す
る事で、債権者の富を株主に移転（代
替）してしまう事。株主がより高いリスク
の事業を選択することで株価の上昇に
つながる一方、負債価値は低下する。
50

51. 株価-倒産確率 PLOT
51

52. ケーススタディ
• 実際の企業（ぽい）データを分析
• 分析のための材料
–株価
–株価変動率（ボラティリティ）
–負債額面（簿価）
–負債満期
–企業価値の平均成長率
52

53. サンプルデータ
• RFinanceYJパッケージを使用して、
株価を取得。手元で加工して本デー
タもどき化
• 負債データは頑張って決算書から
手入力・・・
RFinanceYJ開発者
※負債データは某ソーシャル系企業の決算書より筆者作成 53

54. 倒産確率推移（2012年1月～）
コンプガチャ
ショック
54

55. 全てのコードはBLOGで
55

56. もくじ
• まえふり
• 構造型モデルとは
• R言語で分析
• まとめ
• 省略した数学的なお話
56

57. まとめ
• 倒産確率推定モデルの１つである構
造型モデルについて解説
• R言語で実際に分析してみた
–モデルの意味する内容を解釈
–実際のデータ（もどき）で分析
⇒数学のお話は次のスライドから
57

58. もくじ
• まえふり
• 構造型モデルとは
• R言語で分析
• まとめ
• 省略した数学的なお話
58

59. 記号一覧
St : 時点tでの株価
Vt : 時点tでの企業価値
B: 負債額面
r: 無リスク金利
T: 負債満期
59

60. 記号一覧
v : 企業価値の平均成長率
 v : 企業価値の変動率
 s : 株価の変動率
: 標準正規分布の分布関数
Wt : 標準ブラウン運動
60

61. 企業価値の確率微分方程式
dVt
  v dt   v dWt
Vt
幾何ブラウン運動を仮定
61

62. 株価の算出式
St  V0d1  Be  rT
d 2

 log
 B

 v 
V0   r  0.5σ 2 T 

 d1  , d 2  d1   v T 
 σv T 
 
 
企業価値を原資産としたCallオプション
※導出は適当な市販テキストのブラックショールズ公式を参照のこと
62

63. 企業価値・株価変動率間の関係
 s S0
v 
V0 d1
63

64. 倒産確率
 B  1 2 
 log    r   v T 
V  
  0 2  
PrVT  B    
 v T 
 
 
※リスク中立確率測度下
64

65. 証明
dSt   s St dt   s St dWt とおく。
伊藤の定理より
  St  1   2 St  
dSt Vt     v    vVt 2
dt   St


 vVt dWt
  Vt  2  Vt 2    V 
      t 
dWt の項を比較して
 St 
 s S t  
 V  vVt  d1  vVt

 t 
65

66. 倒産確率
 B  1 2 
 log     v   v T 
V  
  0 2  
PrVT  B    
 v T 
 
 
※実確率測度下
66

67. デフォルト確率（証明）
※logの単調増加性を利用し、両辺から適当な数を引く＆割るして変形
   Vt   1 2    B   1 2  
  log     v   v T   log     v   v T  
   V0  
  2     V0  
  2  
PrVT  B   Pr   
 v T   v T 
   
    
 Vt   1 2
log     v   v T
V  
 0 2 
は標準正規分布に従うので、
v T
 B  1 2 
 log     v   v T 
  V0  
  2  
  
 v T 
 
 
※実確率測度下での証明。リスク中立確率測度下も同様 67

68. 参考文献
• Merton, R.C. (1974):On the pricing of corporate debt: The risk structure
of interest rates, Journal of Finance, 29, 449-470.
• Kealhofer, S. and Bohn, J.R. (2001): Portfolio management of default
risk. KMV working paper
• Crosbie, P.J and Bohn, J.R. (2002):Modeling default risk. KMV working
paper
• RiskMetrics Group (1997): Creditmetrics – technical document. The
benchmark for understanding credit risk
• Alexander J. McNeil, Ruediger Frey, Paul Embrechts :定量的リスク管理
-基礎概念と数理技法
• Philipp J. Sch¨onbucher :クレジット・デリバティブ―モデルと価格評価
68