1. Artikel ini membahas tentang teori peluang dan konsep-konsep dasar seperti ruang sampel, peluang suatu kejadian, kaidah penjumlahan peluang, peluang bersyarat, dan kaidah Bayes. 2. Beberapa contoh soal diberikan untuk mengilustrasikan konsep-konsep tersebut seperti menghitung peluang hasil lemparan dadu dan mengambil kartu. 3. Kaidah-kaidah peluang digunakan untuk menyelesa

1. PROBABILITAS
(LANJUTAN)

2. PELUANG SUATU KEJADIAN
Teori peluang bagi ruang sampel terhingga memberikan segugus
bilangan nyata yang disebut pembobot atau peluang, dengan nilai
dari 0 sampai 1, yang memungkinkan menghitung peluang terjadinya
suatu kejadian.
Peluang himpunan Ø adalah nol dan peluang S adalah 1.
0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Ø) = 0; P(S) = 1

3. Contoh 1 :
Sekeping uang logam dilemparkan dua kali. Berapa peluang
sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali?
Penyelesaian :
Ruang contoh bagi percobaan ini adalah : S = {GG, GA, AG, AA}
Bila uang itu setimbang, setiap kejadian mempunyai peluang yang
sama untuk terjadi. Dengan demikian, kita berikan peluang yang
sama w pada setiap titik contoh. Maka 4w = 1 atau w = ¼. Bila B
adalah kejadian bahwa sekurang-kurangnya sisi gambar muncul
sekali maka P(B) = 3/4.

4. Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yang berbeda, dan
masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi, dan
bila tepat n di antara hasil percobaan ini menyusun kejadian A, maka
peluang kejadian A adalah:
N
n
AP )(

5. KAIDAH PENJUMLAHAN
Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka
P(A Ս B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Bila A dan B saling terpisah, maka
P(A Ս B) = P(A) + P(B)
Bila A1, A2, …, An saling terpisah, maka
P(A1 Ս A2 Ս … Ս An ) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)
Bila A dan A’ adalah dua kejadian yang satu merupakan komplemen
P(A) + P(A’) = 1

6. Contoh :
Peluang seorang mahasiswa lulus Matematika adalah 2/3, dan peluang
lulus Bahasa Inggris adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya
satu mata kuliah di atas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata
kuliah itu?
Penyelesaian :
Bila M adalah kejadian “lulus matematika” dan E adalah kejadian
“lulus Bahasa Inggris”, maka dapat diperoleh :
P(A Ս B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 2/3 + 4/9 – 4/5 = 14/45
Soal :
Berapa peluang mendapatkan jumlah 7 atau 11 bila sepasang dadu
dilemparkan?

7. PELUANG BERSYARAT
Peluang terjadinya kejadian B bila diketahui bahwa suatu kejadian lain
A telah terjadi disebut peluang bersyarat, dilambangkan dengan
P(B | A), dan didefinisikan sebagai :
)(
)(
)|(
AP
BAP
BAP

8. Contoh :
Peluang suatu penerbangan reguler berangkat tepat waktu adalah P(D) =
0,83; peluang penerbangan itu mendarat tepat waktu adalah P(A) = 0,92;
dan peluang penerbangan itu berangkat dan mendarat tepat waktu adalah
P(D Ç A) = 0,78. Hitung peluang bahwa suatu pesawat pada penerbangan
itu :
a. Mendarat tepat waktu bila diketahui bahwa pesawat itu berangkat
tepat waktu.
b. Berangkat tepat waktu bila diketahui bahwa pesawat itu mendarat
tepat waktu
94,0
83,0
78,0
)(
)(
)|(
DP
ADP
DAP
85,0
92,0
78,0
)(
)(
)|(
AP
ADP
ADP

9. KAIDAH PENGGANDAAN
Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat
terjadi sekaligus, maka P(A ∩ B) = P(A) P(B | A)
Bila dua kejadian A dan B bebas, maka P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Bila dalam suatu percobaan kejadian-kejadian A1, A2, …, Ak
dapat terjadi, maka
P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak)
= P(A1) P(A2 | A1) P(A3 | A1 ∩ A2) ... P(Ak | A1 ∩ A2 ∩ … ∩ Ak-1)
Bila kejadian-kejadian A1, A2, …, Ak bebas, maka
P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak) = P(A1) P(A2) P(A3) … P(Ak)

10. Contoh :
Tiga kartu diambil berturut-turut dan tanpa pemulihan. Tentukan peluang bahwa
kartu yang pertama terambil adalah as merah, yang kedua sepuluh atau jack, dan
yang ketiga lebih besar dari 3 tetapi kurang dari 7.
Penyelesaian :
Pertama-tama kita definisikan kejadian :
A1 = kartu pertama adalah kartu as merah
A2 = kartu kedua adalah sepuluh atau jack
A3 = kartu ketiga adalah lebih besar dari 3 tetapi kurang dari 7
P(A1) = 2/52
P(A2 | A1) = 8/51
P (A3 | A1 ∩ A2) = 12/50
Sehingga
P (A-1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1) P(A2 | A1)P(A3 | A1 ∩ A2)
= (2/52) (8/51) (12/50) = 8/5525

11. KAIDAH BAYES
Dalil Peluang Total yaitu Bila kejadian-kejadian B1, B2, …, Bk ≠ 0 untuk
i = 1, 2, …, k, maka untuk sembarang kejadian A yang merupakan
himpunan bagian S berlaku :
P(A) = P(B1)P(AB1) + P(B2)P(AB2) + … + P(Bk)P(ABk)
KAIDAH BAYES
bila kejadian-kejadian B1, B2, …, Bk merupakan sekatan dari ruang
sampel S dengan P(Bi) ¹ 0 untuk i = 1, 2, …, k, maka untuk
sembarang kejadian A yang bersifat P(A) ≠ 0,
)B)P(AP(B+…+)B)P(AP(B+)B)P(AP(B=P(A)
)()(
)(
kk2211
rr
r
BAPBP
ABP

12. Contoh :
Tiga anggota sebuah organisasi telah dicalonkan menjadi ketua. Peluang
Tuan Adams terpilih adalah 0,3; peluang Tuan Brown terpilih adalah 0,5;
dan peluang Nyonya Cooper terpilih adalah 0,2. Seandainya Tuan Adams
terpilih, peluang terjadinya kenaikan iuran anggota adalah 0,8.
Seandainya Tuan Brown atau Nyonya Cooper terpilih, peluang kenaikan
iuran anggota masing-masing adalah 0,1 dan 0,4. Berapa peluang
terjadinya kenaikan iuran anggota?

13. Penyelesaian :
Perhatikan kejadian-kejadian berikut :
A = iuran anggota dinaikkan
B1 = Tuan Adams terpilih
B2 = Tuan Brown terpilih
B3 = Nyonya Cooper terpilih
Dengan menerapkan kaidah eliminasi, dipeoleh :
P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)
Dari diagram pohon dalam gambar dibawah ini, ketiga cabang itu
memberikan peluang-peluang
P(B1)P(A|B1) = (0.4)(0.8) = 0.24
P(B2)P(A|B2) = (0.5)(0.1) = 0.05
P(B3)P(A|B3) = (0.2)(0.4) = 0.08
Sehingga :
P(A) = 0.24 + 0.05 + 0.08 = 0.37

14. Contoh :
Untuk masalah pada soal sebelumnya, misalnya seseorang bermaksud
menjadianggota organisasi tersebut, tetapi ia menunda keputusannya
beberapa minggu. Ternyata iuran anggotanya telah dinaikkan. Berapa
peluang Nyonya Cooper menjadi ketua terpilih bagi organisasi tersebut?
Penyelesaian :
Dengan menggunakan kaidah bayes didapatkan :
37
8
08.005.024.0
08.0
)B)P(AP(B+)B)P(AP(B+)B)P(AP(B=P(A)
)()(
)(
332211
3
3
BAPBP
ABP r