5. 1. Pengertian Polinomial
Polinomial atau disebut juga suku banyak,
merupakan pernyataan matematika yang melibatkan
perjumlahan, perkalian, dan pangkat dalam satu atau lebih
variabel dengan koefisien.
Polinomial (suku banyak) biasa dinyatakan dalam bentuk
f(x).
Pangkat tertinggi pada suatu polinomial menunjukkan
orde atau derajat dari polinomial tersebut.
home
6. 2. Bentuk Polinomial
Sebuah polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan
memiliki bentuk seperti berikut :
Bentuk umum:
an xn + an-1 xn-1 + …+ an-2 x n-2+…+…a2x2 + a1x + a0
Ket :
n = derajat suku banyak
a0 = konstanta
an, an-1, an-2, … = koefisien dari xn, x n-1, x n-2, …
pangkat merupakan bilangan cacah.
7.
Bentuk Polinomial dalam Pembagian Suku Banyak
Bentuk umum :
F(x) = P (x). H (x) + S (x)
Dimana :
F(x) = suku banyak
P(x) = pembagi
H(x) = hasil bagi
S(x) = sisa
8.
Contoh : f(x) = X3 - 8x2 + 17 x -10 merupakan suku banyak :
- Berderajat 3
- Koefisien x3 = 1
- Koefisien x2 = -8
- Koefisien x = 17
- Suku tetap = -10
9.
Contoh lain : koefisien X2 dan suku tetap dari suku banyak
f(x) = (4x2 - 6x + 2) (x-1) + 3x2 +2 adalah…
Jawab : f(x) = (4x2 - 6x+2) (x-1) + 3x2 + 2
= 4x3 – 6x2 + 2x – 4x2 + 6x – 2 + 3x2 + 2
= 4x3 – 7x2 + 8x
Jadi, koefisien X2 adalah -7 dan sukunya tetap 0
10.
Nilai suku banyak adalah nilai yang diperoleh jika variabel x
disubstitusikan dengan nilai tertentu.
Nilai suku banyak f(x) untuk x=h adalah f(h)
Contoh : nilai suku banyak f(x) = x3 – 8x2 + 17x – 10 untuk x = 2
adalah…
F(2) = 23 – 8(2)2 + 17 (2) – 10
F(2) = 8-32 +34 -10 = 0
11.
3. Operasi Suku Banyak
Contoh: Penjumlahan/Pengurangan
Diberikan polinomial - polinomial p(x) = 4x3 + x2 – 3x + 5, Q(x) = x3 + 5x
-6 , dan R(x) = 2x4 -3x3. Tentukan bentuk paling sederhana dari tiap
operasi polinomial:
a. P(x) + Q (x)
b. Q(x) – R (x)
Penyelesaian:
Menjumlah atau mengurangkan polinomial bisa dilakukan dengan cara
mejumlahkan ke samping (metode 1) ataupun dengan cara menjumlahkan
ke bawah (metode 2).
a. metode 1
p (x) + Q (x) = (4x3 +x2 + 3x + 5) + (x3 + 5x – 6)
p (x) + Q (x) = (4x3(x2) + (-3x +5x) + (5-6)
P(x) +Q(x) = 5x3 + x2 + 2x – 1
Jadi , P(x) = Q (x) = 5x3 + x2 + 2x – 1
home
13. Contoh perkalian
Jika suku banyak f(x) = x2 + 4x + 11
g (x) = x – 2
Hasil perkalian f(x) . g(x) adalah…
Jawab : (x2 + 4x + 11) (x-2)
X3 – 2X2 + 4X2 – 8X + 11x – 22
X3 + 2x2 + 3x -22
14.
Contoh kesamaan Polinomial
Diket : Suku banyak f(x) = 2x2 - 5x + 4
g (x) A ( X2 + 2x – 1 ) + B (3x –C )
Tentukan nilai A, B, dan C agar f(x) ekuivalen dengan g (x) !
Jawab : 1. Kedua suku banyak tersebut mempunyai suku-suku yang sama atau
2. Nilai ke dua suku banyak tersebut sama untuk setiap X € R
F(X) = G(X)
2x2 – 5x + 4 = A (x2 +2x-1) + B (3x – C)
2X2 – 5x + 4 = Ax2 + 2Ax – A +3Bx – BC
2X2 – 5x + 4 = Ax2 = (2A + 3B) x + (-A-BC)
2X2 = Ax2
A= 2
-5x = (2A + 3B) x 4 = -A -BC
-5 = 2A + 3B 4 = -2 – (-3)C
-5 = 2(2) + 3B 4 = -2 + 3C
-5 = 4 + 3B 6 = 3C
B= -3 C = 2
15.
Pembagian suku banyak dengan metode Horner
Metode ini lebih efektif jika bila dibandingkan dengan metode konvensional.
Contoh : jika (x5 – 3x4 + 5x3 + 6x2 – 7x + 2) dibagi oleh x-2 maka hasil bagi dan
sisanya…
Jawab : kita akan menggunakan metode horner yaitu dengan menuliskan
koefisiennya.
2 1 -3 5 6 -7 2
2 -2 6 24 34
1
1 -1 3 12 17 36
Maka x =2
Akibatnya : hasil bagi berada pada baris ketiga: tanda menunjukkan
X4 – x3 + 3x2 + 12x +17 bilangan dikali dengan 2
Bilangan ini diperoleh nol
pembagi x-2 = 0
Maka x = 2
16. 4. Pengertian Teorema Sisa dan Teorema Faktor
Teorema Sisa
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh (x-k) maka sisanya adalah f(K)
Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n-1
Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil
bainya berderajat m-n
Teorema Faktor
Teorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor linear dari suku
banyak. Perhatikan teorema faktor berikut ini.
Jika f(x) suatu suku banyak, maka (x-k) merupakan faktor dari f(x) jika
dan hanya jika f(x) = 0
home
17.
5. Faktorisasi dan Persamaan Polinomial
1. faktorisasi Polinomial
F(x) = an xn + an-1 xn-1 + …+ an-2 x n-2+…+…a2x2 + a1x + a0
Dengan tiap koefisien dari suku-suku adalah bilangan bulat. Secara
umum, faktorisasi polinomial bisa dikerjakan dengan
menggunakan teorema akar rasional
2. Menyelesaikan Persamaan Polinomial
(dengan teorema Rasional)
3. Persamaan Kubik
home
18.
Contoh
Pemfaktoran dengan menggunakan Jumlah kubik dan selisih Kubik
Tentukan akar-akar rasional dari
X3 + 8 = 0
Jawab :
X3 + 8 = 0
(x)3 + (2)3 = 0 jumlah kubik
[(x) + (2)] [(x)2 – (x)(2) + (2)2] = 0
(x+2) (x2 – 2x + 4) = 0
X + 2 = 0 atau x2 – 2x +4 = 0
X = -2 D= (-2)2 – 4(1)(4)
D = 4 – 16 = -12 ˂ 0
Jadi, akar-akar rasional dari X3 + 8 = 0 hanya ada satu, yaitu x = -2
