PGSD matematika SD dasar

1. SUKU BANYAK
Oleh:
IKE YULI MESTIKA DEWI
STKIP PGRI Sumenep
PGSD’II
KONSEP DASAR
MATEMATIKA

2. A. PENGERTIAN SUKUBANYAK
Polinom atau suku banyak adalah ungkapan
matematika yang berbentuk variabel x yang
berderajat n. Secara umum dapat digambarkan:
+ + . . . . . + + +

3. Dengan:
, , , . . . , , ,
Adalah bilangan-bilangan real dengan ≠ 0.
Adalah koefisien dari dan adalah koefisien
dari dan seterusnya.
Disebut suku tetap (konstan).
n adalah bilangan cacah yang menyatakan suku
banyak.

4. B. NILAI SUKU BANYAK
1. Fungi Suku Banyak
+
Tentukan: P(a), P(y), dan P(r)
Contoh:
Diketahui P(x) = + - x - 6

5. 2. Menentukan Nilai Suatu Suku Banyak
Metode
Substitusi
Metode Horner

6. 1. Metode Substitusi
Contoh: f(x) = + - x +5 ; nilai x = 3
Jawab:
f(x) = +  3 + 5
= 27 + 27 -3 + 5
= 56

7. 2. Metode Horner
Contoh: f(x) = +  x – 6 ; untuk x = k
Dengan cara horner, sukubanyak ditulis:
f(x) = ((5x + 6)x – 1)x – 6

8. 1. Tulislah koefisien-koefisien peubah mulai dari
yang pangkatnya tertinggi.
k 5 6 -1 -6
2. Buat tanda panah sebagai berikut:
k 5 6 -1 -6

9. 3. Lakukan perhitungan berikut:
a.Panah ke bawah : tambahkan keofisien
b.Panah diagonal : kalikan dengan k
Sehingga kita peroleh:
k 5 6 -1 -6
5k (5k + 6)k ((5k + 6)k – 1)k
5 5k + 6 (5k + 6)k – 1 ((5k + 6)k – 1)k - 6

10. C. OPERASI ANTAR SUKU
BANYAK
1. Penjumlahan Dan Pengurangan Suku Banyak
Contoh:
Diketahui:
P(x) = + 4x – 5 dan Q(x) =   5x + 6
Tentukan:
a. P(x) + Q(x)
b. P(x) – Q(x)

11. 2. Perkalian Suku Banyak
Pada perkalian sukubanyak berlaku sifat-sifat
perkalian bilangan real, yaitu sifat komutatif, asosiatif,
dan distributif.
Contoh:
P(x) = + x  5 dan Q(x) = 6x – 5
Tentukan:
P(x) . Q(x)

12. 3. Kesamaan Dua Suku Banyak
Untuk memahami kesamaan antara dua
sukubanyak, perhatikan suku banyak berikut.
x3 – 4x2 – x + 6 dan (x + 1) (x – 2) (x – 3)
Jawab
(x + 1) (x – 2) (x – 3) = (x2 – x – 2) (x – 3)
= x3 – x2 – 2x – 3x2 + 3x + 6
= x3 – 4x2 + x + 6

13. D. PEMBAGIAN SUKU BANYAK
1. pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagian
Secara umum, jika suatu sukubanyak P(x) dibagi
dengan sukubanyak lain Q(x), maka akan diperoleh
hasil bagi H(x) dan sisa.
P(x) = Q(x) . H(x) + S(x)

14. 6x - 12
4x3 – 8x2
2x2 + 2x
2x2 – 4x
6x + 1
13
Hasil bagi
Sukubanyak yang
dibagi
Sisa pembagian
pembagi
4x2 + 2x + 6

15. 2. Pembagian suku banyak dengan (x  a)
dan (ax + b)
a. Pembagian dengan (x a)
Contoh:
 + 2x + 1 dibagi x – 2
4x3 6x2
2 4 -6 2 1
8 4 12
4 2 6 13

16. P(x) = 4x3 – 6x2 + 2x + 1
Q(x) = x – 2
H(x) = 4x2 + 2x + 6
S(x) = 13

17. b. Pembagian dengan (ax+b)
Pembagian cara horner hanya dapat dipakai apabila
pembagi berbentuk (x-k). Untuk dapat menghitung P(x)
: (ax + b) melalui cara horner, kita tuliskan ax + b
sebagai a (x + ). Misalkan P(x) : (ax + b) menghasilkan
hasil bagi H(x) dan sisa S, maka:
P(x) = (ax + b) . H(x) + S
= a (x + ) . H(x) + S
= (x + ) . aH(x) + S

18. Contoh:
P(x) =  + 2x -8
Dengan menggunakan cara horner:
2x  1 = 2 (x  ), maka kita hitung P(x) : x –
1 -4 2 -8
1
x3
4x2

19. c. Pembagian Suatu Sukubanyak oleh Bentuk Kuadrat
ax2 + bx +c, a ≠0
x3 – x2 + 1
x2 + x + 1 x5 – 7x + 11
x5 + x4 + x3
-x4 – x3 – 7x + 11
- x4 – x3 –x2
x2 – 7x + 11
x2 + x + 1
- 8x + 10

20. C. Teorema Sisa
Algoritma Pembagian
Jika P(x) dan Q(x) adalah sukubanyak dengan Q(x) 0
dan derajat Q(x) lebih kecil dari derajat P(x), maka
terdapat sukubanyak H(x) dan S(x) sehingga
P(x) = Q(x) . H(x) + S(x)
Dengan derajat S(x) lebih kecil dari derajat Q(x) atau
S(x) = 0
Teorema Sisa
Jika sukubanyak P(x) dibagi oleh (x – k), maka sisanya
adalah S = P(a)

21. Bukti:
Berdasarkan algoritma pembagian, kita peroleh
P(x) = (x – a) . H(x) + S(x)
Dan karena derajat S(x) harus lebih kecil dari 1,
maka kita ketahui bahwa S(x) adalah suatu
konstanta dan selanjutnya kita sebut S. kemudian
dengan menghitung nilai P(x) untuk x = a, maka
kita peroleh
P(a) = (a – a) . H(a) + S
= 0 +S
= S (terbukti)

22. 1. Teorema sisa untuk pembagian dengan
pembagian berbentuk (x - a)
Untuk lebih mudah memahaminya perhatikan contoh berikut:
Suatu sukubanyak f(x) = x5 – 3x3 – 8 dibagi x – 2
f(x) = x5 – 3x3 – 8
f(2) = 25 – 3.23 – 8 = 32 – 24 – 8 = 0

23. 2. Teorema sisa untuk pembagian dengan
pembagian berbentuk (ax + b)
Sukubanyak P(x) dibagi oleh (ax + b), maka menurut
algoritma pembagian terdapat H(x) dan S sehingga
P(x) = (ax + b) . H(x) + S
Apabila (ax + b) kita tuliskan dalam bentuk a (x + ) maka
kita peroleh
P(x) = a (x + ) . H(x) + S
dan P( ) = a ( ) + . H ( ) + S
= a . 0 . H ( ) + S
= S

24. 3. Teorema sisa untuk pembagian dengan pembagi
berbentuk ax2 + bx + c
Pembagian suatu sukubanyak P(x) dengan suatu
sukubanyak Q(x) yang berderajat 2 dapat dilakukan
dengan cara horner apabila Q(x) dapat difaktorkan
menjadi hasil kali dua buah sukubanyak berderajat 1.
Sisa pembagian dapat kita hitung dengan menggunakan
teorema sisa.
Misal Q(x) = (x – a) (x – b) dan hasil bagi P(x) : Q(x)
adalah H(x), maka
P(x) = (x – a) (x – b) . H(x) + S
Jika x = a, maka P(a) = 0 (x – b) . H(x) + S = S
Jika x = b, maka P(b) = (x – a) . 0 . H(x) + S = S

25. Contoh
Tentukan sisa pembagian –2x4 + 5x2 – 3x + 2 oleh
x2+2x
Cara 1. Cara subtitusi
x2 + 2x = x (x + 2)
= (x – 0) (x + 2)
= (x – 0) (x – (-2))
Diperoleh a = 0 dan b = - 2
f(x) = -2x4 + 5x2 – 3x + 2
a = 0 => f(x) = -2(0)4 + 5(0)2 – 3(0) +2 = 2
b = -2 => f(-2) = -2(-2)4 +5(-2)2 – 3(-2) + 2
= -32 + 20 + 6 + 2
= -4

26. Sisa pembagian S adalah px + q
p =  p =
p = = 3
q = ↔ q =
q = = 2

27. E. Teorema Faktor
Jika suatu sukubanyak P(x) dibagi oleh
suatu pembagi Q(x)dan hasil baginya H(x)
serta sisanya S adalah nol, maka pembagi
Q(x) disebut faktor dari sukubanyak P(x).

28. Teorema
Jika P(x) suatu sukubanyak,
maka (x – a) merupakan
faktor dari P(x) jika dan
hanya jika p(a) = 0
Pernyataan teorema faktor
di atas dapat diartikan
sebagai berikut:
1. Jika (x – a) merupakan
faktor dari P(x), maka
P(a) = 0
2. Jika p(a) = 0 maka (x –
a) merupakan faktor dari
P(x)

29. Bukti:
1. Jika (x – a) merupakan faktor dari P(x), maka
P(x) = (x – a) H(x) atau sisa S = 0 dan untuk x = a
diperoleh P(a) = (a – a) H(x) = 0.
Terbukti bahwa jika (x – a) merupakan faktor
dariP(x) maka P(a) = 0
2. Menurut teorema sisa, sisa suatu sukubanyak
sama dengan nilai sukubanyak itu, dituliskan S =
P(a) pada x = a

30. Karena sisanya 0 maka S = P(x) = 0 artinya P(x)
habis dibagi (x – a) ini menunjukkan bahwa
(x – a) merupakan faktor dari P(x)
Terbukti jika P(x) = 0 maka (x – a) merupakan
faktor dari P(x)