1. Ανάλυση τριωνύμου σε
γινόμενο πρώτων
παραγόντων

2. Ποια από τα πιο κάτω είναι
τριώνυμα β’ βαθμού;
χ2
+ 6χ - 3 χ4
+ χ2
+ 5 3ω2
+ ω – 1
α2
– 7α + 6 45χ2
+ 8χ + 1 χ2
+ 1
χ2
ψ + 3χ + 2 χ3
+ 2χ + 1
Εμείς θα ασχοληθούμε με τα τριώνυμα της
μορφής αχ2
+ βχ + γ όπου α=1
√
√
√
√

3. Θα αναλύσουμε τώρα τα πιο
κάτω
τριώνυμα

4. Να αναλύσετε σε γινόμενο τα
τριώνυμα
•χ2
+ (α + β) χ + α β = χ2
+ αχ + βχ + αβ
=χ ( χ + α ) + β ( χ + α )
=(χ + α ) ( χ + β)
•χ2
+ ( γ + δ)χ + γ δ= χ2
+ γ χ + δ χ + γδ
= χ ( χ + γ ) + δ ( χ + γ)
= (χ + γ ) ( χ + δ )

5. Οι επιστήμες έχουν προοδεύσει ακριβώς
γιατί ο άνθρωπος κάνει παρατηρήσεις σ’
αυτά που συμβαίνουν γύρω του☺
• Εσείς τι παρατηρήσεις έχετε να κάνετε στις
προηγούμενες δυο ασκήσεις;
Ο συντελεστής του
πρωτοβάθμιου όρου
είναι το άθροισμα των
δυο παραγόντων του
σταθερού όρου.

6. Ας δουλέψουμε λοιπόν τώρα στηριζόμενοι
στις παρατηρήσεις μας
( χωρίς να κάνουμε τις πράξεις)
• χ2
+ ( 4 + α ) χ + 4 α =(χ + 4)(χ+ α)
 χ2
+ ( 2 + 3 ) χ + 2 . 3 = (χ + 2)(χ+ 3)
χ2
+ ( 7+ 2 ) χ + 7. 2 = (χ + 7)(χ+ 2)

7. Συνεχίζουμε λοιπόν για
περισσότερη εξάσκηση
• Να συμπληρώσετε τα πιο κάτω κενά:
χ2
+ 5χ + 6 = (χ......)(χ.....)+3 +2
χ2
+ 7χ + 12 = (χ.....)(χ.....)+3 +4
χ2
– 5χ +6 = (χ......)(χ.....)– 3 – 2

8. Άρα ;
• Ψάχνουμε για δυο αριθμούς που να έχουν γινόμενο
τον σταθερό όρο και άθροισμα τoν συντελεστή του
πρωτοβάθμιου όρου.
• πολλαπλασιάζω δυο παρενθέσεις όπου στην μια
προσθέτω την μεταβλητή με τον ένα αριθμό και
στην άλλη προσθέτω την μεταβλητή με τον άλλο
αριθμό

9. Εφαρμόστε λοιπόν αυτά που μόλις
μάθατε, αναλύοντας σε γινόμενο τα πιο
κάτω τριώνυμα
• α2
+8α +15 = (α +3)(α +5)
•χ2
– 18 χ + 45 = (χ – 3 )(χ – 15)
•χ2
+ 6χ + 9 =(χ + 3 )( χ + 3)=(χ+3)2

10. Και για να μην
τεμπελιάζουμε!!!!!!!!!!!
Διαβάζουμε από το βιβλίο σελίδες 69, 70, 71
Να λύσουμε όμως και μερικές ασκήσεις για
να εμπεδώσουμε καλύτερα αυτά που
μάθαμε
σελ. 71 ασκ. 1 – 5 , 12, 15,
18, 20
Είμαι σίγουρη πως θα τα πάτε
πολύ καλά!!!!!!!!!!!!!

11. • Ένας
ευκολότερος
τρόπος πλήρους
ανάλυσης ενός
τριωνύμου σε
γινόμενο
πρώτων
παραγόντων
φαίνεται πιο
κάτω!!!!!!!

12. • χ2
+ 6χ + 8 •Γράφουμε το χ2
σαν γινόμενο
χ . χ αλλά κατακόρυφα
χ
χ
•Βρίσκουμε δυο παράγοντες
του +8
+2
+4
•Πολλαπλασιάζουμε διαγωνίως
το χ . (+ 4) και το χ . (+2 )και
προσθέτουμε τα δυο γινόμενα
+4χ+2χ = +6χ+4χ + 2χ = +6χ
Τότε το τριώνυμό μας γράφεται σαν
γινόμενο
χ2
+6χ +8 =( χ + 2 ) ( χ + 4)

13. 3χ
3χ
+1
+1
+3χ + 3χ = +6χ
Ας δοκιμάσουμε τώρα να αναλύσουμε το τριώνυμο
 9χ2
+ 6χ + 1
9χ2
+ 6χ + 1 = ( 3χ + 1)(3χ+1)
= (3χ + 1 )2

14. Ακόμα ένα παράδειγμα το οποίο
θα μας βοηθήσει να
καταλάβουμε καλύτερα!
2χ
χ
- 1
- 4
- 8χ - 1χ = - 9χ
2χ2
- 9χ + 4
2χ2
- 9χ + 4 = ( 2χ - 1)(χ - 4)
Δηλαδή ενώ πολλαπλασιάζουμε διαγώνια,
στις παρενθέσεις οι όροι μπαίνουν όπως
φαίνονται οριζόντια.
(
(
)
)

15. Ελπίζουμε να διασκεδάσατε
μαθαίνοντας
Η παρουσίαση ετοιμάστηκε από...
• Κλεάνθους Πολυξένη
• Καουτζάνη Μάχη
• Σαλλούμη Σοφία