1. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΕΡΟΣ 1ο
ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
kgaveras@sch.gr

2. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1
Έχουμε τις ισότητες:
• 1. (χ + 2)2
= 9χ
• 2. (χ + 3)2
= χ2
+ 9
• 3. (χ + 3)2
= χ2
+ 9 + 6χ
• 4. (χ + ψ)2
= 9χ + ψ
• 5. (χ + ψ)2
= χ2
+ ψ2
• 6. (χ + ψ)2
= χ2
+ ψ2
+ 2χψ
Υπάρχουν τιμές των μεταβλητών χ, ψ που τις
επαληθεύουν;
ΑΝΟΙΞΤΕ:ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1.ggb

3. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1
• Οι ισότητες όπως οι: 4 και 6 που
επαληθεύονται για κάθε τιμή των
μεταβλητών λέγονται ταυτότητες

4. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
• ΟΡΙΣΜΟΣ:
Ταυτότητα λέμε κάθε ισότητα που
περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για
όλες τις τιμές των μεταβλητών της.
Π.χ. α(α+2) = α2
+ 2α
χ2
– 4 = (χ-2)(χ+2)

5. Οι ταυτότητες…..
…έρχονται από πολύ παλιά.
Αναφέρονται στα Στοιχεία του Ευκλείδη .
«Το ΙΙ βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη
….περιέχει την εφαρμογή της γεωμετρίας στην
Άλγεβρα και αποδίδεται κατά το μέγιστο στους
Πυθαγορείους . Τα πρώτα 10 θεωρήματα
αφορούν εις αλγεβρικάς ταυτότητας , τας
οποίας δυνάμεθα να παραστήσωμεν ως
ακολούθως αν δια των γραμμάτων α,β,γ ,…
νοήσωμεν τμήματα ευθειών γραμμών» Ε. Σταμάτης
(1975,σελ.17)

6. Προσοχή…
• Δεν πρέπει να συγχέουμε τις ταυτότητες με τις
εξισώσεις. Οι ταυτότητες όπως είπαμε είναι
ισότητες που ισχύουν για κάθε τιμή των
μεταβλητών τους όπως π.χ.
χ2
-9 = (χ-3)(χ+3)
ενώ οι εξισώσεις είναι ισότητες που ψάχνουμε να
βρούμε για ποια τιμή της μεταβλητής της ισχύει
π.χ. η 3χ-4 = 2 ισχύει μόνο για χ=2
Βέβαια μια εξίσωση μπορεί να είναι και ταυτότητα
π.χ 3(χ-1)-4 = 3χ - 7

7. Η 1η
ταυτότητα….
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2:
Ανοίξτε το αρχείο..ταυτοτητα 1.ggb ,
ακολουθήστε τις οδηγίες και
συμπληρώστε το φύλλο εργασίας
βάσει των ενεργειών σας…

8. Η 1η
ταυτότητα….
(ανάπτυγμα τετραγώνου του αθροίσματος)
• Έχουμε λοιπόν ανακαλύψει την 1η
ταυτότητα που είναι:
(α + β)2
= α2
+2αβ + β2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
(α+β)2
= (α+β)(α+β) =
= α2
+ αβ + βα + β2
=
= α2
+ 2αβ + β2

9. 1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.
Το ανάπτυγμα του (x + α)2
είναι:
α) x2
+α2
β) x2
-2xα+α2
γ) x2
+ xα + α2
δ) x2
+ 2xα + α2
Το ανάπτυγμα του (2α + 1)2
είναι:
α) 2α2
+4α + 1 β) 4α2
+ 1 γ) 4α2
+ 4α + 1 δ) 4α2
+2α+ 1
Το ανάπτυγμα του (y + 2)2
είναι:
α) y2
+ 2y + 4 β) y2
+ 4 γ) y2
+ 4y + 4 δ) y2
- 4y + 4

10. 2. Υπολογίστε τις ταυτότητες
• (2χ + 3)2
= …………………………………………………..
• (2χ + 4ψ)2
= …………………………………………………
• (2χψ + 5)2
= …………………………………………………

11. Η 1η
ταυτότητα….
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3:
Ανοίξτε το αρχείο..ταυτοτητα 2.ggb ,
ακολουθήστε τις οδηγίες και
συμπληρώστε το φύλλο εργασίας
βάσει των ενεργειών σας…

12. Η 2η
ταυτότητα….
(ανάπτυγμα τετραγώνου της διαφοράς)
(α-β)2
= α2
- 2αβ + β2
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Στην ταυτότητα:
(α + β)2
= α2
+2αβ + β2
Θέτουμε όπου β το –β όποτε έχουμε
(α-β)2
= α2
+ 2α(-β) + (-β)2 =
= α2
- 2αβ + β2

13. προσοχή!!!
• ΔΕΝ ΓΡΑΦΟΥΜΕ ΠΟΤΕ ΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ
(α + β)2
= α2
+ β2
ή
(α – β)2
= α2
– β2
είναι
ΛΑΘΟΣ
π.χ
(3+4)2
= 72
= 49 ενώ 32
+ 42
= 9 + 16 = 25

14. 1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.
Το ανάπτυγμα του (x - α)2
είναι:
α) x2
+α2
β) x2
-2xα+α2
γ) x2
+ xα + α2
δ) x2
- 2xα + α2
Το ανάπτυγμα του (2α - 1)2
είναι:
α) 2α2
+4α + 1 β) 4α2
+ 1 γ) 4α2
- 4α + 1 δ) 4α2
-2α+ 1
Το ανάπτυγμα του (y - 3)2
είναι:
α) y2
+ 6y + 9 β) y2
- 9 γ) y2
- 6y + 9 δ) y2
- 4y + 9

15. 2. Υπολογίστε τις ταυτότητες
• (2χ - 3)2
= ………………………………………………….
• (2χ - ψ)2
= …………………………………………………
• (2χψ - 5)2
= ………………………………………………

16. Η 3η
ταυτότητα…
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3:
Ανοίξτε το αρχείο..ταυτοτητα 3.ggb ,
ακολουθήστε τις οδηγίες και
συμπληρώστε το φύλλο εργασίας
βάσει των ενεργειών σας…

17. Η 3η
ταυτότητα…
(διαφορά τετραγώνων)
• Έχουμε λοιπόν ανακαλύψει την 3η
ταυτότητα που είναι:
α2
- β2
= (α +β)(α-β)
ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
(α+β)(α-β) =
= α2
- αβ + βα - β2
=
= α2
- β2

18. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1. Υπολογίστε τις παραστάσεις:
•(χ – 2ψ)(χ + 2ψ) = ……………………………
•(3 + α)(3 – α) = ………………………………
•(2χ – 4ψ)(2χ + 4ψ) = ………………………

19. 1. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες:
• (2χ-3ψ)2
=……………………………………
• (χ2
+2)2
= ………………………………………
• (√χ - √ψ)2
=……………………………………
• (2χ-3)(2χ+3)=………………………………
4χ2
– 12χψ + 9ψ2
χ4
+ 4χ2
+ 4
χ – 2 √χψ + ψ
4χ2
- 9
ΑΣΚΗΣΕΙΣ

20. 2. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες:
• (χ … ….)2
= ….. - …… + 16
• (3χ -….)(…. +….) = …. – 16ψ2
• (….. + …..)2
= 25χ2
+ 20χ + …….
• ω2
- ……. +……. = (…. … 2φ)2

21. ΛΥΣΗ
• (χ - 4)2
= χ2
– 8χ + 16
• (3χ – 4ψ)(3χ + 4ψ) = 9 χ2
– 16ψ2
• (5 χ2
+ 2)2
= 25χ2
+ 20χ + 4
• ω2
- 4ωφ + 4φ2
= (ω - 2φ)2

22. Άλλες ταυτότητες θα δούμε
στο επόμενο μάθημα…..
ΤΕΛΟΣ