Vetor

1. P a g e | 1www.MathsBankTutor.com
รวมข้อสอบ PAT1 เวกเตอร์
1) กําหนดให้ ABCD M เป็นจุดบนด้าน AD ADAM
5
1
 และ N เป็นจุดบน
เส้นทแยงมุม AC ACAN
6
1
 ถ้า ADbABaMN  แล้ว a + b (PAT 1 มี
นา 52)
1)
15
2
2)
5
1
3)
3
1 4) 1
2) กําหนดให้ u และ v vu 2 vu 2
แล้ว vu  PAT 1 มีนา 52)
1)
5
4

2) 0
3)
5
1
4)
5
3

2. P a g e | 2www.MathsBankTutor.com
3) กําหนดให้ u และ v vu 3 vu 3
แล้วเวกเตอร์ vu 5 PAT 1 กรกฎาคม 52)
1) 3 หน่วย 2) 23 หน่วย
3) 4 หน่วย 4) 24 หน่วย
4) กําหนดให้ u และ v vuvu  ถ้า    vubuuva  232 แล้วค่าของ a
(PAT 1 กรกฎาคม 52)
1) 




2
1
,0 2) 




1,
2
1
3) 




2
3
,1 4) 




2,
2
3

3. P a g e | 3www.MathsBankTutor.com
5) กําหนดให้ u และ v เป็ u v และ vu  vu 
ก. vu 
ข. vu 2 vu 2
(Pat 1 ตุลาคม 2552)
1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด
3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก .ผิด และ ข. ผิด
6) กําหนดให้ ABC D เป็นจุดบนด้าน AC และ F เป็นจุดบนด้าน BC ถ้า ACAD
4
1
 ,
BCBF
3
1
 และ BCbABaDF  แล้ว
b
a
มีค่าเท่าใด (Pat 1 ตุลาคม 2552)

4. P a g e | 4www.MathsBankTutor.com
7) ให้ a และ b เป็นเวกเตอร์ กําหนดโดย kpjia 3
2
1
 และ kpjipb  22 p เป็นจํานวน
จริง ถ้า a b และขนาดของ b เท่ากับ 3 แล้ว ค่าของ p (Pat มีนาคม 2553, 6
คะแนน)
1) 






2
3
,3 2) 





 0,
2
3
3) 





2
3
,0 4) 





3,
2
3
8) ให้ vu, และ w เป็นเวกเตอร์ กําหนดโดย kjdivkjiu  2,32 kcjbiaw  a,
b, c และ d เป็นจํานวนจริง
ถ้า   krjqiwvwvuwu  ,3,2 q, r เป็นจํานวนจริง และ w ขนานกับ
kji
3
1
2
1
3
2
 แล้วค่าของ cba 24  เท่ากับเท่าใด (Pat มีนาคม 2553, 6 คะแนน)

5. P a g e | 5www.MathsBankTutor.com
9) กําหนด u และ v เป็นเวกเตอร์ 3,3  vjiu และ 4 vu ค่าของ vu 
(Pat 1 กรกฎาคม 53, 5 คะแนน)
1) 6 2) 10
3) 13 4) 4
10) กําหนดให้ jiu 52  และ jiv 2 ให้ w 11wu และ 8wv ถ้า 
w ทํามุมกับเวกเตอร์ ji 5 แล้ว  2sintan  เท่ากับเท่าใด (Pat 1 กรกฎาคม 53,
7 คะแนน)

6. P a g e | 6www.MathsBankTutor.com
11) กําหนดให้ u , v และ w เป็นเวกเตอร์ในระนาบและ x, y เป็นจํานวนจริง
u = x i + jy , jiv 34  และ w = 2i + j
ถ้า
2
vu  =
22
vu  และ 5x+5y= 21
แล้วหาค่าของ u w (Pat 1 ตุลาคม 2553 5 คะแนน)
1) 5 2) 6
3) 10 4) 14
12) กําหนดให้ u , v และ w เป็นเวกเตอร์ในระนาบ ถูกต้อง (Pat 1 ตุลาคม 2553 5 คะแนน)
1)     vvuuvu 
2
2) ถ้า    22
vuvu  แล้ว u v
3) ถ้า 4,3,0  vuwvu และ w =7 แล้ว 12vu
4)
222
vuvu 

7. P a g e | 7www.MathsBankTutor.com
13) กําหนดให้ u

และ v

3,1  vu

และ u

ทํามุม 60 กับ v

ค่าของ
vu
vu




2
(Pat 1 มีนาคม 2554 5 คะแนน)
1)
19
13
2)
7
13
3) 1 4)
19
7
14) กําหนดให้ )6,4(),,( BbaA และ )4,1( C ABC ถ้า P เป็นจุดบนด้าน AB
A เท่ากับ
5
3
ของระยะระหว่าง A และ B และเวกเตอร์ jiCP

2 แล้ว a + b เท่ากับเท่าใด
(Pat 1 มีนาคม 2554 7 คะแนน)

8. P a g e | 8www.MathsBankTutor.com
15) กําหนดให้ ba, , และ c 0 cba
เวกเตอร์ b ทํามุม 125 กับเวกเตอร์ a และ เวกเตอร์ c ทํามุม 110 กับเวกเตอร์ a ดังรูป
(แนว Pat 1ต.ค. 54/ 5 คะแนน)
1. 








35cot
20cot
135cos ceca 2. 








20cot
35cot
120cos ceca
3. 








35tan
20tan
135cos ceca 4. 








20tan
35tan
120cos ceca
16) ให้ ABC P AC
และ Q เป็นจุดบนด้าน AB โดยแบ่งส่วนของเส้นตรง AB ตามอัตราส่วน AQ:QB = 1:2
ถ้าให้ jiAB 36  และ jiBC 32  แล้ว PQ (Pat 1ต.ค. 54/ 5 คะแนน)
1. ji 2 2. ji 2
3. ji  2 4. ji 2

9. P a g e | 9www.MathsBankTutor.com
17) ให้จุด A จุด B และจุด C มีพิกัดเป็น (3,0),(3+ 3 , 1) และ (a, b) ตามลําดับ ถ้าจุด C เป็นจุด
4 เวกเตอร์ AC ทํามุม 60 กับ เวกเตอร์ AB และขนาดของเวกเตอร์ AC เป็น
32 เท่าของขนาดของ AB เวกเตอร์ แล้ว 22
ba  เท่ากับเท่าใด (แนว Pat 1ต.ค. 54/ 7 คะแนน)
18) กําหนดให้จุด A(-1, 1), B(2, 5) และ C(2, -3) ABC ให้ L เป็น
A และจุด B ลากส่วนเส้นตรง CD L D แล้วเวกเตอร์
AD (แนว Pat 1มี.ค. 55/ 5 คะแนน)
1.  ji 43
25
7
 2.  ji 43
25
7

3.  ji 43
25
7
 4.  ji 43
25
7


10. P a g e | 10www.MathsBankTutor.com
19) กําหนดให้ u และ v
(ก)
222
vuvu 
(ข) ถ้า u v แล้ว 222
vuvu 
(แนว Pat 1มี.ค. 55/ 5 คะแนน)
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด
3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
20) กําหนดให้ vu, และ w 0 wvu , 8wu และ
2wv ถ้าเวกเตอร์ w ทํามุม
3
1
arcsin กับเวกเตอร์ u และเวกเตอร์ w ทํามุม
3
2
arcsin
กับเวกเตอร์ v แล้ว ค่าของ
22
vu  (แนว Pat 1ต.ค. 55/ 5 คะแนน)
1. 6 2. 10
3. 14 4. 18

11. P a g e | 11www.MathsBankTutor.com
21) A(-3, 2) มีแกนสมมาตรขนานแกน x และโฟกัส F อยู่บนเส้นตรง L
01434  yx L  baB , 0a
แล้วผลคูณของเวกเตอร์ FBAF  เท่ากับเท่าใด (แนว Pat 1ต.ค. 55/ 7 คะแนน)
22) กําหนดให้ O เป็นจุดกําเนิด A = (1, – 4, – 3) และ B = (3, – 6, 2) ถ้า C เป็นจุดบน OB AC
กับ OB แล้ว OC ยาวเท่าใด (แนว 7 วิชาสามัญ 55, 2 คะแนน)

12. P a g e | 12www.MathsBankTutor.com
23) กําหนดให้ u และ v
มุมเป็น u และ v มีค่าเท่ากับ 3 ตารางหน่วย ถ้า u และ v มีขนาด 1 และ 5 หน่วย ตามลําดับ แล้ว
  )(2 vuvu  (แนว 7 วิชาสามัญ 55, 4 คะแนน)
1. –27 2. –19
3. 0 4. 19
5. 27
24) ถ้า kjiu 32  และ kjiwv 42  แล้วค่าของ   wuv  เท่ากับเท่าใด (แนว 7 วิชาสามัญ
56, 2 คะแนน)

13. P a g e | 13www.MathsBankTutor.com
25) กําหนดให้ A, B และ C เป็นจุดในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ
จงพิจารณาข้อความ 4
(1) 0 CABCAB
(2) BCABBCAB 
(3) BACABCAB 
(4)    BCABCACABCAB 
(แนว 7 วิชาสามัญ 56, 4 คะแนน)
1. 0 (ไม่มีข้อความใดถูก) 2. 1
3. 2 4. 3
5. 4
26)
(ก) ให้เวกเตอร์ kcjbiaw  ba, และ c เป็นจํานวนจริง และให้เวกเตอร์ kjiu  2
และ kjiv  ถ้าเวกเตอร์ w u และเวกเตอร์ v แล้ว 1 cba
(ข) ให้เวกเตอร์ jiu  2 และ jbiav  เป็นเวกเตอร์ในระนาบ ถ้า
5
3
v และ 3vu
แล้วเวกเตอร์ u ทํามุม 60 กับเวกเตอร์ v
(แนวจริง PAT1 มี.ค. 56, 5 คะแนน)
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

14. P a g e | 14www.MathsBankTutor.com
27) กําหนดให้ ba, และ c
jixa
5
12
 , jyib  6 และ jic  2 x และ y เป็นจํานวนจริง
ถ้า 5 cb ,เวกเตอร์ a b และ 0ca แล้วค่าของ
2
5 ba  เท่ากับเท่าใด (แนว
PAT1 มี.ค. 56, 7 คะแนน)

15. P a g e | 15www.MathsBankTutor.com
เฉลย
1) 1
2) 1
3) 4
4) 2
5) 1
6) 9
7) 2
8) 3
9) 2
10) 2
11) 2
12) 3
13) 2
14) 3
15) 4
16) 3
17) 93
18) 3
19) 3
20) 4
21) 3
22) 3
23) 2
24) 8
25) 4
26) 4
27) 144

16. P a g e | 16www.MathsBankTutor.com
รวมข้อสอบสอบเข้ามหาวิทยาลัย
1) ถ้า jbiau  โดย a > 0 ถ้า u ji 2 แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์ u กับเวกเตอร์
ji 3 (มุมแหลม) (ต.ค.41/3)
2) ถ้า 25 vu

และ 26 vu

แล้ว vu

 (มี.ค.42/3)
1) 3 2) 6 3) 8 4) 12

17. P a g e | 17www.MathsBankTutor.com
3) กําหนดให้ ABC E BACE 2 ถ้า CAbCBaBE  a, b
เป็นค่าคงตัวแล้ว b – a (มี.ค.42/3)
1) -1 2) 2 3) 3 4) 5
4) กําหนดให้ O เป็นจุดกําเนิด jiOBjiOA 25,43  จากจุด A OB D
แล้ว OD (ต.ค.42/3)
1) )25(
29
7
ji  2) )25(
29
7
ji 
3) )25(
29
8
ji  4) )25(
29
8
ji 

18. P a g e | 18www.MathsBankTutor.com
5) ถ้า u และ v ทํามุมกัน 60 และ 13,37  vuvu

แล้ว vu


(ต.ค.42/3)
1) 5 2) 7 3) 37 4) 50
6) ให้ jivjiu

 2,3 ถ้า  เป็นมุมระหว่าง )( vu

 และ )( vu

 แล้ว cos มีค่าเท่ากับข้อใด
(มี.ค.43/3)
1)
5
1
2)
5
2
3)
5
1
4)
5
2

19. P a g e | 19www.MathsBankTutor.com
7) กําหนดให้ 3 vu

และ 2vu

ก. vu

 ข. 3
22
 vu

(มี.ค.43/3)
1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด
3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด
8) ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ และ  เป็นมุมระหว่าง u และ v ถ้า u + v u - 2v และ
u + 2v 2u - v และ 2u แล้ว cos (ต.ค.43/ 1)
1)
10
1
2)
6
1
3)
4
1
4)
2
1

20. P a g e | 20www.MathsBankTutor.com
9) กําหนดจุด A(3, -2) , B(9, 4) และ O(0, 0) ถ้าแบ่งส่วนของเส้นตรง AB เป็น 3 C และ D
แล้ว ODOC  มีค่าเท่าใด (ต.ค.43/ 2)
10) ให้ jbiau  a > 0 และ b > 0 และ 14)25(  jiu ถ้า u ทํามุม  กับเวกเตอร์ i และ
5
3
cos  แล้ว a + b (มี.ค.44/3)
1) 7 2) 14 3) 18 4) 21

21. P a g e | 21www.MathsBankTutor.com
11) ให้A, B , C เป็นจุดในระนาบ และ O jiOA 23  และ jiOB 52  ถ้า
ABAC
3
2
 แล้ว
2
OC (มี.ค.44/3)
1)
9
113
2)
9
98
3)
9
193
4)
9
153
12) กําหนดให้ 4,5,
2
2
 vuvuu ถ้า  เป็นมุมระหว่าง u และ v แล้ว 
(ต.ค.44/3)
1) 





6
,0

2) 





4
,
6

3) 





3
,
4

4) 





2
,
3


22. P a g e | 22www.MathsBankTutor.com
13) กําหนดจุด A(1, 1), B(4, 10), C(7, 9) และ D AB
3
2

AB
AD
ถ้า  คือมุม
ระหว่าง CA และ DC แล้ว cos  (ต.ค.44/3)
1)
5
2
2)
10
2
3)
5
2
4)
10
2
14) กําหนดจุด P(-1, 2), R(3, 3), O(0, 0) และ Q เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง PR PRPQ
3
1
 ถ้า
A(x, y) 2 OA OQ และ 5OA หน่วย แล้ว x + y เท่ากับข้อใด
(มี.ค.45/3)
1)
10
6
2)
2
6
3)
10
6
4)
2
6

23. P a g e | 23www.MathsBankTutor.com
15) กําหนดให้ ABC CABCAB 5 ถ้า M และ N BC
และ AC ตามลําดับแล้ว
พิจารณ
ก. )(
2
1
ACBCMN  ข. 0 BNAM
ถูก (มี.ค.45/3)
1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด
3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด
16) กําหนดให้ ABC 2,1  CABC ถ้า ),2(
3
1
CBCAu  เป็นมุมระหว่าง u
และ CB และ
4
1ˆcos ACB แล้ว cos (ต.ค.45/3)
1)
4
5
2)
2
5
3)
24
5
4)
22
5

24. P a g e | 24www.MathsBankTutor.com
17) กําหนดให้ ABC bCAaBCcAB  ,, ถ้า a2
+ b2
+c2
= 13 แล้ว
ABCACABCBCAB  (ต.ค.45/3)
1)
2
13
2)
2
13
 3)
3
13
4)
3
13

18) ถ้า uvjiu

 ,34 และ 8 vu

แล้ว vu

 มีค่าเท่าใด (มี.ค.46/2)

25. P a g e | 25www.MathsBankTutor.com
19) ให้A, B เป็นจุดสองจุดบนเส้นตรง y = 2x ถ้าจุด C(-2, 1) ทําให้ 0CBCA และ CBCA  แล้ว รูป
ABC (มี.ค.46/3)
1) 52 ตารางหน่วย 2) 10 ตารางหน่วย
3) 5 ตารางหน่วย 4) 10 ตารางหน่วย
20) กําหนดเวกเตอร์ cba

,,
jia

24  , jiba

46 
และ jcicc

21  0,0 21  cc และ 172c

ถ้า c

)( ba

 แล้ว 21 cc  มีค่าเท่ากับเท่าใด (ต.ค.46/2)

26. P a g e | 26www.MathsBankTutor.com
21) กําหนดให้ ABC D เป็นจุดบนด้าน BC 3:1: BCBD พิจารณา
ก. BCABAD  23
ข.
2
6
1
BCBCAD 
ถูก (ต.ค.46/2)
1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด
3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด
22) ให้A, B, C D เป็นจุดบนเส้นตรง BC BD : DC = 2 : 1
ถ้า ACABcACbABaAD 
222
a, b, c เป็นจํานวนจริง และ 0 ACAB แล้ว
222
cba  (Ent’มี.ค.47: 3 คะแนน)
1)
81
31
2)
81
32
3)
27
10
4)
27
11

27. P a g e | 27www.MathsBankTutor.com
23) กําหนดให้เวกเตอร์ 





4
1






a
8
และ 





3
5
= b 





4
1
+ c 





a
8
ถ้า  เป็นมุมระหว่าง
เวกเตอร์ 





0
a
และ 





c
b
แล้ว 2
cos เท่ากับเท่าใด (Ent’มี.ค.47: 2 คะแนน)
24) ถ้า j
n
i
n
vn 2
1
1
1
 n = 1, 2, 3, … , 99
แล้วค่าของ 
 
99
1
1
n
nn vv (Ent’ต.ค.47: 3 คะแนน)
1) (1, 1.2) 2) (1.2, 1.4) 3) (1.4, 1.6) 4) (1.6, 1.8)

28. P a g e | 28www.MathsBankTutor.com
25) ให้A, B, C
ก. 0 CABCAB
ข.      222
ABCABC 
ถูก (Ent’ต.ค.47: 3 คะแนน)
1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด
3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด
26) กําหนดให้ wvu ,, 025  wvu jiu 43  และ u
ฉากกับ v ถ้า  เป็นมุมระหว่าง u และ w แล้วค่าของ cosw เท่ากับเท่าใด (Ent’มี.ค.48: 2 คะแนน)

29. P a g e | 29www.MathsBankTutor.com
27) กําหนดให้ jiu 43 
jbiaw  w มีทิศทางเดียวกันกับ u
และ 10w แล้ว a + b เท่ากับเท่าใด (A-NET’ก.พ.49: 2 คะแนน)
28) กําหนดให้ kiu 3
kxjv  2 x เป็นจํานวนจริง
และ kjiw  3
ถ้า vu, และ w อยู่บนระนาบเดียวกัน แล้ว x (A-NET’ก.พ.49: 3 คะแนน)
1) -12 2) -8 3) 8 4) 16
.

30. P a g e | 30www.MathsBankTutor.com
29) ให้ kjbiau

2 และ jbiav

32  a, b เป็นจํานวนเต็มบวก และ  เป็นมุมระหว่าง u

และ
v

ถ้า 3u

และ
3
1
cos  แล้ว vu

 (A-NET’มีค.50: 3 คะแนน)
1) kji

1086  2) kji

1086 
3) kji

10412  4) kji

10412 
30) กําหนดให้ P(-8, 5), Q(-15, -19), R(1, -7) เป็นจุดบนระนาบ ถ้า jbiav

 (a, b เป็นจํานวนจริง) เป็น
RPˆQ แล้ว
b
a
(A-NET’มีค.50:
3 คะแนน)
1) 2 2) -2
3)
11
2
4)
11
2


31. P a g e | 31www.MathsBankTutor.com
31) O(0, 0, 0), A(1, 5, 7), B(2a, -b, -1) และ C(a, 3b, 2) โดย
a และ b เป็นจํานวนเต็ม ถ้า OA OB และ OC และ  เป็นมุมระหว่าง OB
และ OC ถูก (A-NET’มี.ค.51: 3 คะแนน)
1)
73
5
sin 
2) 21OCOB
3)
2
35
หน่วย
4) 75 ลูกบาศก์หน่วย
32) กําหนดให้ u และ v ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์และ vuvu  ถ้า uv
3
1
 แล้ว มุมระหว่างเวกเตอร์
vu  และเวกเตอร์ vu  (A-NET’ มี.ค.52 : 3 คะแนน)
1) 30
2) 45
3) 60
4) 90

32. P a g e | 32www.MathsBankTutor.com
เฉลย
1. ตอบ 45
2. ตอบ 2)
3. ตอบ 4)
4. ตอบ 2)
5. ตอบ 2)
6. ตอบ 1)
7. ตอบ 2)
8. ตอบ 1)
9. ตอบ 35
10. ตอบ 2)
11. ตอบ 1)
12. ตอบ 2)
13. ตอบ 1)
14. ตอบ 2)
15. ตอบ 2)
16. ตอบ 4)
17. ตอบ 2)
18. ตอบ 7
19. ตอบ 3)
20. ตอบ 10
21. ตอบ 3)
22. ตอบ 4)
23. ตอบ 0.8
24. ตอบ 3)
25. ตอบ 2)
26. ตอบ 2.5
27. ตอบ 14
28. ตอบ 4)
29. ตอบ 1)
30. ตอบ 4)
31. ตอบ 4)
32. ตอบ 3)