More Related Content More from Gawewat Dechaapinun
More from Gawewat Dechaapinun (20) 1. šš¸É1
พีชคณตเวกเตอร์และระบบพกัดิ ิ
‡ªµ¤¦ ¼oÁ„¸É¥ª„´Áª„Á˜°¦ r¨ ³¦ ³¡ ·„´—™º°ÁžÈœÁ‡¦ ºÉ°Š¤º° ε‡´Äœ„µ¦ «¹„¬µª ·µ¢· ·„ r
×¥ÁŒ¡ µ³Â¤nÁ®¨ È„Å¢¢µÄœšœ¸Ê‹³«¹„¬µÁª„Á˜°¦ r¡ ºÊœ“µœÃ—¥Á¦ ·É¤‹µ„¡ ¸‡–·˜Áª„Á˜°¦ r้
การบวก การลบเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ การคูณเวกเตอร์ ผลคูณเป็นเวกเตอร์
และผลคูณเป็นสเกลาร์ การคูณของสามเวกเตอร์ การอ้างอิงปริมาณเวกเตอร์ ในระบบพิกัด
ต่าง ๆ เช่น ระบบพิกัดฉาก พิกัดทรงกระบอก และพิกัดทรงกลม „µ¦ Áž¨ ¸É¥œ¦ ³¡ ·„´—จาก
ระบบ®œ¹ÉŠÅžเป็น° ¸„¦ ³®œ¹ÉŠ
1.1 ปรมาณเวกเตอร์ และปรมาณสเกลาร์ิ ิ
ในทางฟิสิกส์แบ่งปริมาณออกเป็น 2 ประเภท ได้แก่ สเกลาร์ และเวกเตอร์
‡ªµ¤®¤µ¥…°Šž¦ ·¤µ–š´ÊŠ °Š‹³°›·µ¥Å—o—´Šœ¸Ê
1.1.1 สเกลาร์ (scalar) ®¤µ¥™¹Šž¦ ·¤µ–š¸É„ε®œ—¨ ´„¬–³…°Šž¦ ·¤µ–Å—o°¥nµŠ
สมบูรณ์เพียงบอกเฉพาะขนาดของปริมาณ เช่น มวล 20 กิโลกรัม, อุณหภูมิ 20 องศาเซลเซียส
˜´ª°¥nµŠ° ºÉœÇ…°Šž¦ ·¤µ– Á„¨ µ¦ rÁnœ¡ ¨ ´ŠŠµœ° ´˜¦ µÁ¦ ȪÁª¨ µ² ¨ ² ž¦ ·¤µ– Á„¨ µ¦ rœ¸Ê¥´Š
¦ ª¤Åž™¹Šž¦ ·¤µ–š¸ÉÁžÈœ¢Š„r´œ…°Š˜ÎµÂ®œnŠš¸ÉÁ¦ ¸¥„ªnµ œµ¤ Á„¨ µ¦ rั (scalar field) และเลข
จํานวนจริง ด้วย
1.1.2 เวกเตอร์ (vector) ®¤µ¥™¹Šž¦ ·¤µ–š¸É„ε®œ—¨ ´„¬–³…°Šž¦ ·¤µ–š´ÊŠ…œµ—¨ ³
ทิศทางของปริมาณ จึงจะมีความหมายสมบูรณ์ เช่น แรง 20 นิวตัน ไปทางซ้าย ความเร็ว 20
เมตรต่อวินาที ไปทางทิศตะวันออก ตัวอย่างของปริมาณเวกเตอร์ เช่น การกระจัด ความเร็ว
œµ¤Å¢¢µ œµ¤Â¤nÁ®¨ Ȅ¦ Š² ¨ ² ž¦ ·¤µ–œ¸Ê¦ ª¤™¹Š œµ¤Áª„Á˜°¦ r้ (vector field) Ž¹ÉŠÁžÈœ
¢Š„r´œ…°Š˜ÎµÂ®œnŠš¸É°„˜ÎµÂ®œnŠš´ÊŠ…œµ—¨ ³š·«šµŠั
ž¦ ·¤µ–Áª„Á˜°¦ r µ¤µ¦ ™š¸É‹³แสดงปริมาณได้โดยใช้การเขียนรูปลูกศร โดยความยาว
ของเส้นตรง šœ…œµ—…°ŠÁª„Á˜°¦ r¨ ³®´ª¨ ¼„«¦ š¸Éž¨ µ¥Á oœ˜¦ Š‹³Âšœš·«šµŠ…°ŠÁª„Á˜°¦ r
เช่น ถ้า R
เป็นเวกเตอร์บอกตําแหน่ง จาก P ไป Q จะเขียนเวกเตอร์ ได้ดัง¦ ¼žš¸É1.1
2. 2
P
R
Q
¦ ¼žš¸É1.1 ลูกศรแทนเวกเตอร์จาก P ไป Q
เวกเตอร์ใด ๆ อาจจะเขียนสัญลักษณ์แสดงในเทอมของขนาด และทิศทางได้ ตัวอย่าง
ดังสมการ
A
= aAˆ = aA ˆ
(1.1)
Á¤ºÉ°A
= A เป็นขนาดของเวกเตอร์ A
aˆ เป็œÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥(unit vector)š¸É¤¸š·«šµŠÅžšµŠÁ—¸¥ª„´A
—´Šœ´Êœ aˆ =
A
A
=
A
A
(1.2)
1.2 การบวกเวกเตอร์
ให้ A
และ B
ÁžÈœÁª„Á˜°¦ rš¸É¤¸…œµ—¨ ³š·«šµŠตาม¦ ¼žš¸É1.2 ก. การบวก
เวกเตอร์ ของ A
และ B
‹³®µÅ—oª ·›¸®œ¹ÉŠ‡º°„µ¦ Á…¸¥œ¦ ¼žÁ¦ ·É¤‹µ„Á…¸¥œA
กําหนดสเกล
ความยาวให้มีอัตราส่วนเหมาะสมกับขนาด และเขียนทิศตา¤š¸É„ε®œ—Ä®oÁ¤ºÉ°Á…¸¥œÁª„Á˜°¦ r
A
แล้ว เขียน เวกเตอร์ B
โดยเอาหางของ B
มาต่อเข้าš¸É®´ª¨ ¼„«¦ …°ŠÁª„Á˜°¦ r¦ „
เวกเตอร์ลัพธ์จะลากจากหางของเวกเตอร์แรก ( A
) Åžš¸É®´ª…°ŠÁวกเตอร์สุดท้าย (B
)
ให้ C
เป็นเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ A
+ B
จะแสดงได้ —´Š¦ ¼žš¸É1.2 ข.
C
= BA
(1.3)
3. 3
A
B
B
A
BAC
A
B
ก.
ข.
¦ ¼žš¸É1.2 การบวกเวกเตอร์ ก. เวกเตอร์ A
และ B
ข. BAC
การหาเวกเตอร์ลัพธ์จากการเขียนรูป อาจจะเขียนรูปเวกเตอร์ B
ก่อน แล้วเอาหาง
เวกเตอร์ A
¤µ˜n°š¸É®´ª¨ ¼„«¦ …°ŠÁª„Á˜°¦ rB
ผลลัพธ์š¸ÉÅ—o‹³เท่ากัน แสดงได้ดังเส้นปะ ของ
¦ ¼žš¸É 1.2 ®¦ º°„¨ nµªÅ—oªnµ „µ¦ ª„Áª„Á˜°¦ r‹³¤¸ ¤´˜·„µ¦ ¨ ´š¸É 宦 ´„µ¦ ª„
(commutative law of addition)
BA
= AB
(1.4)
เวกเตอร์ A
และ B
ÁžÈœ—oµœš´ÊŠ °Š…°Š ¸ÉÁ®¨ ¸É¥¤—oµœ…œµœ—´Šœ´ÊœC
จะเป็นเส้น
šÂ¥Š¤»¤…°Š—oµœš´ÊŠ °Š—´Š¦ ¼žš¸É1.2
ถ้าเวกเตอร์ 3 เวกเตอร์ A
B
และ C
นํามาบวกกัน ผลบวกของสามเวกเตอร์ จะ
ÁžÈœÅž˜µ¤„‘„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ®¤¼n 宦 ´„µ¦ ª„(associative law of addition)
)( CBA
= CBA
)( (1.5)
1.3 การลบเวกเตอร์
ถ้า B
ÁžÈœÁª„Á˜°¦ rÄ—Ç—´Šœ´ÊœÁª„Á˜°¦ r B
(ลบ B
) ‹³ÁžÈœÁª„Á˜°¦ rš¸É¤¸…œµ—
เท่ากับ B
แต่มีทิศทางตรงกันข้ามกับ B
หรือกล่าวได้ว่า B
จะเป็นนิเสธของ B
การลบเวกเตอร์ ของ BA
จะหมายถึง เวกเตอร์ A
บวก กับเวกเตอร์ B
หรือ [ )( BA
]Áª„Á˜°¦ r¨ ´¡ ›r…°Š„µ¦ ¨ Áª„Á˜°¦ r —Š—´Š¦ ¼žš¸É1.3
C
= BA
= )( BA
(1.6)
4. 4
B
B
A
C
¦ ¼žš¸É1.3 การลบเวกเตอร์ BAC
1.4 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์
กําหนดให้ B
เป็นผลคูณของการคูณเวกเตอร์ A
ด้วยสเกลาร์ m จะเขียนสมการ ได้
B
= Am
(1.7)
Ÿ¨ ‡¼–‹³Á„·—…¹ÊœÅ—o3 กรณี
1. ถ้า 0m ขนาดของเวกเตอร์ B
เท่ากับ m เท่าของขนาดเวกเตอร์ A
มี
ทิศทางเดียวกัน
2. ถ้า 0k ขนาดของเวกเตอร์ B
เท่ากับ m เท่าของขนาดเวกเตอร์ A
มีทิศ
ทางตรงข้าม
3. ถ้า 0m —´Šœ´ÊœB
จะเป็นเวกเตอร์ศูนย์
1.5 ผลคูณเชงสเกลาร์ิ
ผลคูณเชิงสเกลาร์ (scalar product) หรือผลคูณจุด (dot product) ของ 2 เวกเตอร์ A
และ B
จะเขียนเป็น BA
อ่านว่า “ A
ดอต B
”Ž¹ÉŠÁšnµ„´ผลคูณของขนาดของเวกเตอร์
š´ÊŠ °Šกับโคไซด์ (cosine) …°Š¤»¤¦ ³®ªnµŠÁª„Á˜°¦ rš´ÊŠ °ŠÂ —Š—´Š¦ ¼žš¸É1.4 และผลคูณจะ
เป็นปริมาณสเกลาร์
BA
= cosAB (1.8)
จากสมการ (1.8) จะได้ผลคูณของ A
และ B
‹³¤¸‡nµ ¼Š »—Á¤ºÉ°Áª„Á˜°¦ rš´ÊŠ °Š
ขนานกัน และถ้าผลคูณของสองเวกเตอร์เป็นศูนย์ แต่ขนาดของÁª„Á˜°¦ rš´ÊŠ °ŠÅ¤nÁžÈœ«¼œ¥r
 —ŠªnµÁª„Á˜°¦ rš´ÊŠ °Š˜´ÊŠŒµ„„´œ
5. 5
cosB
A
B
¦ ¼žš¸É1.4 แสดงการผลคูณเชิงสเกลาร์
¤´˜·¡ ºÊœ“µœµŠž¦ ³„µ¦ …°ŠŸ¨ ‡¼–Á·Š Á„¨ µ¦ r
1. BA
= AB
2. )( CBA
= CABA
3. )( BAk
= BAk
)( = )( BkA
Á¤ºÉ°k เป็นปริมาณสเกลาร์
1.6 ผลคูณเชงเวกเตอร์ิ
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (vector product) หรือผลคูณไขว้ (cross product) ของ 2
เวกเตอร์ A
และ B
จะเขียนเป็น BA
อ่านว่า “ A
ครอส B
” มีนิยามว่าเป็นเวกเตอร์
Ž¹ÉŠÁ„·—‹µ„Ÿ¨ ‡¼–…°Š…œµ—…°Š °ŠÁª„Á˜°¦ r„´ÅŽ—r(sine) …°Š¤»¤¦ ³®ªnµŠÁª„Á˜°¦ rš´ÊŠ °Š
BA
= nAB ˆsin (1.9)
Á¤ºÉ°nˆ ÁžÈœÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥Â —Šš·«…°ŠŸ¨ ‡¼–…°ŠÁª„Á˜°¦ rš´ÊŠ °ŠŽ¹ÉŠ‹³˜´ÊŠŒµ„
กับระนาบ ของ A
และ B
หรือทิศของ nˆ จะหาได้จากกฎการหมุนสกรูเกลียวขวา จาก A
ไป B
ดังรูžš¸É1.5 ก. ®¦ º°®µ‹µ„„µ¦ Äoœ·Êª¤º°…ªµ—´Š¦ ¼žš¸É1.5 ข. ץĮoœ·Êª¸Êšœš·«…°Š
เวกเตอร์ A
œ·Êª„¨ µŠÂšœš·«Áª„Á˜°¦ rB
®´ªœ·Êª¤º°‹³Âšœš·«…°ŠÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥nˆ
ให้ C
เป็นผลคูณเชิงเวกเตอร์ของสองเวกเตอร์ A
และ B
จะได้
C
= BA
(1.10)
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ แสดงในเทอมของการคูณเวกเตอร์ของขนาด และทิศทางในรูป
Áª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥เขียนได้เป็น
nCˆ = )ˆ()ˆ( bBaA = ABba )ˆˆ(
Á¤ºÉ° nˆ = aˆ bˆ (1.11)
สมบัติบางประการของผลคูณเชิงเวกเตอร์
1. BA
= AB
2. )( CBA
= BA
+ CA
3. BAk
)( = )( BAk
= )( BkA
Á¤ºÉ°k เป็นปริมาณสเกลาร์ ใด ๆ
6. 6
ก. ข.
¦ ¼žš¸É1.5 แสดงทิศของผลคูณเชิงเวกเตอร์ ของ BAC
ก. กฎสกรูขวา ข. กฎมือ
ขวา
ตัวอยาง่ 1.1 ถ้า A
และ B
เป็นเวกเตอร์ใด ๆ จงแสดงว่า
2
BA
= 222
)( BABA
วธีทําิ จากผลคูณเชิงสเกลาร์ BA
= nAB ˆsin
2
BA
= 222
sinBA
= )cos1( 222
BA
= 22222
cosBABA
2
BA
= 222
)( BABA
ตอบ
1.7 ผลคูณของสามเวกเตอร์
Ÿ¨ ‡¼–…°Š µ¤Áª„Á˜°¦ rŸ¨ ‡¼–‹³ÁžÈœÅ—oš´ÊŠž¦ ·¤µ–Áª„Á˜°¦ r¨ ³ Á„¨ µ¦ r
1.7.1 ผลคูณเชิงสเกลาร์ของสามเวกเตอร์
ผลคูณเชิงสเกลาร์ของสามเวกเตอร์ (scalar triple product ) A
, B
และ
C
‹³Å—oŸ¨ ¨ ´¡ ›rÁžÈœ Á„¨ µ¦ rÁ¤ºÉ°„µ¦ ‡¼–ÁžÈœ
)( BAC
= cossinABC (1.12)
„µ¦ ‡¼–…°Š µ¤Áª„Á˜°¦ rÁ¤ºÉ°Å—oŸ¨ ¨ ´¡ ›rÁžÈœ Á„¨ µ¦ r‹³Á…¸¥œÅ—oในรูปของกฎการสลับ
š¸É 宦 ´„µ¦ ‡¼–เป็น
7. 7
C
B
A
nˆ
)( BAC
= )( CBA
= )( ACB
(1.13)
™oµÁª„Á˜°¦ rš´ÊŠ µ¤ÁžÈœ—oµœ…°Šš¦ Š ¸ÉÁ®¨ ¸É¥¤—oµœ…œµœ—´Š¦ ¼žš¸É1.6 ผลเชิงสเกลาร์
…°Š µ¤Áª„Á˜°¦ r‹³ÁžÈœž¦ ·¤µ˜¦ …°Š¦ ¼žš¦ Š ¸ÉÁ®¨ ¸É¥¤—oµœ…œµœ และถ้าเวกเตอร์ A
, B
และ
C
อยู่ในระนาบเดียวกัน )( CBA
= 0
¦ ¼žš¸É1.6 —Šž¦ ·¤µ–¦ ¼žš¦ Š ¸ÉÁ®¨ ¸É¥¤—oµœ…œµœ…°Š3 เวกเตอร์
1.7.2 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของสามเวกเตอร์
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของสามเวกเตอร์ (vector triple product ) ของสามเวกเตอร์ A
,
B
และ C
‹³Å—oŸ¨ ¨ ´¡ ›rÁžÈœÁª„Á˜°¦ rÁ¤ºÉ°„µ¦ ‡¼–ÁžÈœ )( CBA
และผลคูณเชิง
Áª„Á˜°¦ r…°Š µ¤Áª„Á˜°¦ r‹³Å¤n¤¸ ¤´˜·…°Š„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ®¤¼nของ การคูณ (associative)
CBACBA
)()( (1.14)
1.8 ระบบพกัดิ
การบอกตําแหน่งของปริมาณเวกเตอร์ โดยใช้ระบบพิกัดในการอ้างอิง จะช่วยให้เข้าใจ
‡ªµ¤®¤µ¥Å—oŠnµ¥…¹Êœและสะดวกในการคํานวณ®µž¦ ·¤µ–š¸ÉÁ„¸É¥ª…o°ŠÄœÁ°„ µ¦ œ¸Ê‹³„ล่าวถึง
¦ ³¡ ·„´—š¸Éž¦ ³„°—oª¥Â„œ 3 „œ˜´ÊŠŒµ„Ž¹ÉŠกันและกัน ในระบบพิกัดฉาก ระบบพิกัด
ทรงกระบอก และระบบพิกัดทรงกลม
8. 8
Y
y
X
Z
),,( ZYXP
r
kˆ
iˆ
jˆ
O
z
x
1.8.1 ระบบพิกัดฉาก
ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วยเส้นตรง 3 Á oœ˜´ÊŠŒµ„Ž¹ÉŠ„´œÂ¨ ³„´œÁ¦ ¸¥„ªnµÂ„œ(axis)
‹³nŠ°„„œš´ÊŠ µ¤—oª¥ ´¨ ´„¬–rx , y , และ z ตามลําดับ จุดตัดของแกน เรียกว่าจุด
กําเนิด (origin) ¨ ³‹³ÄoÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥ kji ˆ,ˆ,ˆ แสดงทิศทางของเวกเตอร์องค์ประกอบ
ตามแนวแกน zyx ,, ตามลําดับ
¦ ¼žš¸É1.7 ภาพฉายของจุดในระบบพิกัดฉาก
ถ้า ),,( ZYXP เป็นจุดอยู่ในปริภูมิของระบบพิกัดฉาก ค่าของภาพฉายของจุด P
¨ ŠœÂ„œš´ÊŠ3 แกน จะแสดงค่าองค์ประกอบตามแนวแกนของจุด P ดัง¦ ¼žš¸É1.7
เวกเตอร์บอกตําแหน่ง r
จากจุดกําเนิด o ไปยังจุด P จะแสดงได้ในเทอมของ
เวกเตอร์องค์ประกอบ ได้เป็น
r
= kZjYiX ˆˆˆ (1.15)
Á¤ºÉ°X , Y และ Z เป็นค่าสเกลาร์ของภาพฉายของ r
ลงบนแกน x , y และ z
ตามลําดับ
ถ้า xA , yA และ zA เป็นค่าสเกลาร์ของภาพฉายของ A
ลงบนแกน x , y และ z
—´Š¦ ¼žš¸É1.7 —´Šœ´ÊœÁª„Á˜°¦ rA
จะเขียนในรูปของเวกเตอร์องค์ประกอบ ได้เป็น
A
= kAjAiA zyx
ˆˆˆ (1.16)
ทํานองเดียวกัน เวกเตอร์ B
จะเขียน ได้เป็น
B
= kBjBiB zyx
ˆˆˆ (1.17)
9. 9
ให้ C
= BA
จะแสดงการบวกเวกเตอร์ เป็น
C
= kBAjBAiBA zzyyxx
ˆ)(ˆ)(ˆ)(
C
= kCjCiC zyx
ˆˆˆ (1.18)
Á¤ºÉ°xC = )( xx BA , yC = )( yy BA และ zC = )( zz BA
และ xC , yC และ zC เป็นเวกเตอร์องค์ประกอบของ C
ตามทิศของเวกเ˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥
kji ˆ,ˆ,ˆ ตามลําดับ แสดง ดัง¦ ¼žš¸É1.8
¦ ¼žš¸É1.8 การบวกเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
Áª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥˜µ¤Â„œš´ÊŠ µ¤‹³˜´ÊŠŒµ„Ž¹ÉŠ„´œÂ¨ ³„´œŸ¨ ‡¼–Á·Šสเกลาร์ของ
Áª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥‹³Å—o
1ˆˆ ii , 1ˆˆ jj , 1ˆˆ kk
และ ikkjji ˆˆˆˆˆˆ = 0
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ ของเวกเตอร์®œ¹ÉŠ®œnª¥ÁžÈœ
kkjjii ˆˆˆˆˆˆ = 0
kji ˆˆˆ , ikj ˆˆˆ , jik ˆˆˆ
ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์ A
กับ B
แสดงในเทอมของเวกเตอร์องค์ประกอบ
ในระบบพิกัดฉาก เป็น
BA
= zzyyxx BABABA (1.19)
จาก สมการ (1.19) จะหาขนาดของเวกเตอร์ A
ในเทอมของเวกเตอร์องค์ประกอบ ได้เป็น
AAA
= 222
zyx AAA (1.20)
10. 10
ตัวอยาง่ 1.2 ให้ A
= kji ˆˆ2ˆ3 และ B
= kji ˆ2ˆ3ˆ จงหา
ก. C
= BA
32
ข. Áª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥…°ŠÁª„Á˜°¦ rC
ค. มุมของเวกเตอร์ C
กระทํากับแกน z
วธีทําิ ก. C
= BA
32
A
2 = )ˆˆ2ˆ3(2 kji
B
3 = )ˆ2ˆ3ˆ(3 kji
C
= BA
32 = kji ˆ8ˆ13ˆ3
ข. Áª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥…°ŠÁª„Á˜°¦ rC
Áª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥
cˆ =
C
C
C
= 222
)8(133 = 6.15
cˆ =
6.15
ˆ8ˆ13ˆ3 kji
= kji ˆ51.0ˆ85.0ˆ19.0
ค. มุมของเวกเตอร์ C
กระทํากับแกน z
z =
C
Cz1
cos =
6.15
8
cos 1
z = 51.0cos 1
ตอบ
1.8.2 ระบบพิกัดทรงกระบอก
ให้ ),,( zyxP เป็นจุดในปริภูมิ ระบบพิกัดฉาก สามารถจะบอกตําแหน่ง ของ
P ได้ ในเทอมของ , และ z แสดง—´Š¦ ¼žš¸É1.9 ให้ เป็นภาพฉายของ
เวกเตอร์บอกตําแหน่ง OP บนระนาบ xy , เป็นมุมจากแกน x ในทิศทวนเข็ม
นาฬิกา ถึงระนาบ OTPM และ z เป็นภาพฉายของ OP ลงบนแกน z —´Šœ´Êœ‡nµ
, และ z เป็นค่าพิกัดในระบบพิกัดทรงกระบอก ของจุด ),,( zP แสดงดัง¦ ¼žš¸É
1.10 จะเป็น
11. 11
ˆ
ˆ
kˆ
¦ ¼žš¸É1.9 แสดงภาพฉายของจุด P ในระบบพิกัดทรงกระบอก
x = cos (1.21)
y = sin (1.22)
ค่าพิกัดเชิงผิว ตามแนวรัศมี เป็น
= 22
yx = ค่าคงตัว (1.23)
ค่า เป็นรัศมีของทรงกระบอก เทียบกับแกน z โดย z เป็นแกนของ
ทรงกร³°„—´Šœ´Êœ‹³¤¸‡nµ˜´ÊŠÂ˜n0 ถึง ( 0 )
ค่าพิกัดเชิงผิวในแนวระนาบ =
x
y1
tan = ค่า‡Šš¸É
Á¤ºÉ° เป็นมุมระนาบรอบแกน z ดัง¦ ¼žš¸É1.10
z = ‡nµ‡Šš¸É
ค่าพิกัดเชิงผิว z จะขนานกับระนาบ xy …¹ÊœÅž˜µ¤แนวแกน z —´Šœ´Êœผิวของ
¦ ³œµš´ÊŠ3 จะตัดกันเป็นมุมฉาก ทําให้สร้างแกน 3 „œ˜´ÊŠŒµ„Ž¹ÉŠ„´œÁžÈœÂ„œ , และ
z ¤¸Áª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥Âšœ—oª¥ˆ , ˆ และ kˆ ˜µ¤Â„œš´ÊŠ3 ตามลําดับ ค่าของมุม
วัดเทียบกับแกน x ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา มีค่า อยู่ระหว่าง 0 ถึง 2
12. 12
= รัศมีทรงกระบอก
z = ระนาบตามแนวแกน z
= ระนาบของตามมุม
y
z
x
¦ ¼žš¸É1.10 Ÿ·ªš´ÊŠ3 ˜´ÊŠŒµ„Ž¹Éงกันและกันในระบบพิกัดทรงกระบอก
ถ้า A
เป็นเวกเตอร์บอกตําแหน่งในพิกัดทรงกระบอก จะแสดงค่าของ A
ในรูป
ของเวกเตอร์องค์ประกอบ ได้เป็น
A
=
ˆA +
ˆA + kAz
ˆ
Á¤ºÉ°ˆ , ˆ และ kˆ ÁžÈœÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥˜µ¤Â„œ , , z ตามลําดับ
ถ้าเวกเตอร์ A
=
ˆA +
ˆA + kAz
ˆ และ B
=
ˆB +
ˆB + kBz
ˆ
เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดทรงกระบอก
¡ ¸‡–·˜…°ŠÁª„Á˜°¦ rš´Êงสอง จะเขียนสมการได้เป็น
BA
= ( A + B )ˆ + A( + )B ˆ + kBA zz
ˆ)(
ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเว„Á˜°¦ rš´ÊŠ °Š
BA
= zz BABABA
Ÿ¨ ‡¼–Á·Š Á„¨ µ¦ r…°ŠÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥ จะได้
ˆˆ = 1 ˆˆ = 1 kk ˆˆ = 1
ˆˆ = 0 kˆˆ = 0 ˆˆ k = 0
และ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์ ของ BA
BA
=
z
z
BBB
AAA
k
ˆˆˆ
Ÿ¨ ‡¼–Á·ŠÁª„Á˜°¦ r…°ŠÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥
0ˆˆ 0ˆˆ 0ˆˆ kk
13. 13
sinˆj
cosˆi
ˆ
ˆ
cosˆj
sinˆi
x
y
kˆˆˆ ˆˆˆ k ˆˆˆ k
„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ¦ ¼ž…°ŠÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®น่วย จากระบบพิกัดทรงกระบอกเป็น ระบบพิกัดฉาก
จะหาÅ—o‹µ„£µ¡ Œµ¥…°ŠÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥ˆ และ ˆ ในระบบพิกัดทรงกระบอก ลงบน
Áª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥iˆ และ jˆ Äœ¦ ³¡ ·„´—Œµ„—´Š¦ ¼žš¸É1.11 จะได้
ˆ = ji ˆsinˆcos
ˆ = ji ˆcosˆsin
Á¤ºÉ° cosˆˆ i , sinˆˆ j , ˆˆ i = sin และ cosˆˆ j
¦ ¼žš¸É1.11 องค์ประกอบของ ˆ และ ˆ ตามทิศของ iˆ และ jˆ
„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ¦ ¼žÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥‹µ„¦ ³¡ ·„´—Œµ„ไปเป็นระบบพิกัดทรงกระบอก
จะหาได้ในรูปของเมตริกซ์ เป็น
kˆ
ˆ
ˆ
=
k
j
i
ˆ
ˆ
ˆ
100
0cossin
0sincos
„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ¦ ¼ž…°ŠÁª„Á˜°¦ r
เวกเตอร์ A
ในระบบพิกัดทรงกระบอกจะแสดงในระบบพิกัดฉาก ได้โดยภาพฉายลง
บนแกน x , y , และ z จะได้ ภาพฉายสเกลาร์ของเวกเตอร์ A
ลงบนแกน x เป็น
xA = iA ˆ
= sincos AA
ทํานองเดียวกัน ภาพฉายสเกลาร์ของเวกเตอร์ A
ลงบนแกน y เป็น
yA = jA ˆ
= cossin AA
และ ภาพฉายสเกลาร์ของเวกเตอร์ A
ลงบนแกน z เป็น
zA = kA ˆ
= zA
14. 14
—´Šœ´Êœ„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ‹µ„¦ ³š¦ Š„¦ ³°„ÁžÈœ¦ ³¡ ·„´—Œµ„สมการจะเขียนในรูปเมตริกซ์ ได้
เป็น
z
y
x
A
A
A
=
zA
A
A
100
0cossin
0sincos
ÄœšµŠ„¨ ´„´œ„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ‹µ„¦ ³¡ ·„´—Œµ„ÁžÈœ¦ ³š¦ Š„¦ ³°„Äœ¦ ¼žÁ¤˜¦ ·„Žr‹³Å—o
zA
A
A
=
z
y
x
A
A
A
100
0cossin
0sincos
ตัวอยาง่ 1.3 ให้เวกเตอร์ A
= k
k ˆ2sin5ˆ2
จงหาค่าของ A
ในระบบพิกัดฉาก
วธีทําิ ×¥ÄoÁ¤˜¦ ·„ŽrÁž¨ ¸É¥œ¦ ¼ž‹³Å—o
2
k
A , 0A และ 2sin5zA
จะได้ 2
cos
k
Ax , 2
sin
k
Ay และ zA sincos10
โดยการแทนค่า = 22
yx ,
x
cos และ sin =
y
Á¤ºÉ°Áž¨ ¸É¥œÁžÈœ¦ ³¡ ·„´—Œµ„‹³Å—o
A
= k
yx
xy
j
yx
kx
i
yx
kx ˆ
)(
10ˆ
)(
ˆ
)( 222/3222/322
ตอบ
1.8.3 ระบบพิกัดทรงกลม
ให้ P เป็นจุดในปริภูมิในระบบพิกัดทรงกลม จะบอกตําแหน่งของ P ในเทอมของ
r , และ Á¤ºÉ°r เป็นขนาดของ เวกเตอร์บอกตําแหน่ง OP มุม เป็นค่ามุมของ
เวกเตอร์บอกตําแหน่ง OP เทียบกับแกน z และ เป็นมุมระหว่างแกน x กับระนาบ
OMPN และภาพฉายของ r ลงบนระนาบ xy เป็น OM = sinr ‹µ„¦ ¼žš¸É1.12 จะได้
15. 15
¦ ¼žš¸É1.12 แสดงภาพฉายของจุดในระบบพิกัดทรงกลม
x = cossinr (1.24)
y = sinsinr (1.25)
z = cosr (1.26)
จะได้ 222
zyxr (1.27)
=
r
z1
cos (1.28)
=
x
y1
tan (1.29)
มุม เป็นมุมในระนาบจาก การหมุนจาก x ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา รอบแกน
z —´Šœ´Êœ‡nµ…°Š ‹³¤¸‡nµ˜´ÊŠÂ˜n0 ถึง 2 มุม จาก แกน z ถึงแนวของเวกเตอร์บอก
˜ÎµÂ®œnŠ‹³¤¸‡nµÁž¨ ¸É¥œÂž¨ Š‹µ„0 ถึง และ r เป็นระยะจากจุดกําเนิดตามแนวรัศมี โดย
r0
เวกเตอร์บอกตําแหน่งเป็น A
= rAr ˆ +
ˆA +
ˆA Á¤ºÉ°rˆ ,ˆ , ˆ เป็น
Áª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥ในทิศทาง ตามแกน r , ,
ระบบแกนในพิกัดทรงกลมจะประกอบด้วย r , และ ¨ ³¤¸Áª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥
˜µ¤Â„œš´ÊŠ µ¤ÁžÈœrˆ ,ˆ และ ˆ ตามลําดับ
ผลคูณเชิŠ Á„¨ µ¦ r…°ŠÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥‹³Å—o
1ˆˆ rr 1ˆˆ 1ˆˆ
0ˆˆ r 0ˆˆ 0ˆˆ r
Ÿ¨ ‡¼–Á·ŠÁª„Á˜°¦ r…°ŠÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥‹³Å—o
ˆˆˆ r rˆˆˆ ˆˆˆ r
16. 16
„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ¦ ¼ž…°ŠÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥
°Š‡rž¦ ³„°…°ŠÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥Äœ¡ ·„´—š¦ Š„¨ ¤ÁžÈœrˆ ,ˆ และ ˆ Áž¨ ¸É¥œÁžÈœ
iˆ, jˆ , และ kˆ ในระบบพิกัดฉาก ตาม¦ ¼žš¸É1.13 จะได้
ir ˆˆ = cossin sinsinˆˆ jr cosˆˆ kr
coscosˆˆ i sincosˆˆ j sinˆˆ k
sinˆˆ i cosˆˆ j 0ˆˆ k
จะเขียนสมการในรูปเมตริกซ์ ได้เป็น
k
j
ir
ˆ
ˆ
ˆ
0cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
ˆ
ˆ
ˆ
„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ¦ ¼ž…°ŠÁª„Á˜°¦ r
ถ้าเวกเตอร์ A
ในระบบพิกัดทรงกลม เป็น
A
=
ˆˆˆ AArAr
องค์ประกอบของ A
ตามแกน x จากภาพฉายของ A
ลงบนแกน x จะได้
iAAx
ˆ
= iAiAirAr
ˆˆˆˆˆˆ
= sincoscoscossin AAAr
ทํานองเดียวกัน ตามแนวแกน y และ z จะได้
yA = cossincossinsin AAAr
zA = sincos AAr
¨ ³„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ¡ ·„´—‹µ„¡ ·„´—š¦ Š„¨ ¤ÁžÈœ¡ ·„´—Œµ„Á…¸ยนในรูปเมตริกซ์ จะเป็น
A
A
A
A
A
A r
z
y
x
0sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
šÎµœ°ŠÁ—¸¥ª„´œ„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ‹µ„¡ ·„´—Œµ„ÅžÁžÈœ¡ ·„´—š¦ Š„¨ ¤‹³Å—o
A
A
A
A
A
A rr
0cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
17. 17
ก. ข.
ค.
¦ ¼žš¸É1.13 ภาพฉายของ ก. rˆ ข. ˆ และ ค. ¨ ŠœÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥ ji ˆ,ˆ และ kˆ
ตัวอยาง่ 1.4 เวกเตอร์ A
= kyxjyix ˆ25.0ˆ5.0ˆ3 222
š¸É‹»— )12,4,3(P ในระบบพิกัด
ฉาก จงหาค่า A
ในระบบพิกัดทรงกลม
วธีทําิ เวกเตอร์ A
š¸É‹»— )12,4,3(P เป็น kjiA ˆ36ˆ8ˆ9
และ =
1.53
3
4
tan 1
=
6.22
13
12
cos 1
xˆcossin
yˆsinsin
ˆsin
rˆ
kˆcos
sinˆx
ˆ
ˆ
ˆ
coscosˆx
cosˆ
sincosˆy
cosˆ
ˆ
zˆsin
18. 18
แทนค่า จะได้
77.37rA , A = 95.2 และ A = 40.2
เวกเตอร์ A
ในระบบพิกัดทรงกลม
A
= ˆ40.2ˆ95.2ˆ77.37 r š¸Éจุด )1.53,6.22,13(
P
ตอบ
1.9 บทสรุป
ปริมาณแบ่งได้เป็น 2 ž¦ ³Á£š‡º°ž¦ ·¤µ–š¸É¤¸š´ÊŠ…œµ—¨ ³š·«šµŠÁ¦ ¸¥„ªnµž¦ ·¤µ–
Áª„Á˜°¦ r¨ ³ž¦ ·¤µ–š¸É¤¸ÁŒ¡ µ³…œµ—Á¦ ¸¥„ªnµž¦ ·¤µ– Á„¨ µ¦ r
ปริมาณเวกเตอร์ แสดงได้ด้วยขนาดคูณกับÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥Ã—¥š¸ÉÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ
หน่วยจะ —Šš·«šµŠ…°ŠÁª„Á˜°¦ rœ´ÊœÇÁnœaAˆ
ปริมาณเวกเตอร์เขียนรูปแทนได้โดยเขียนเส้นตรงแทนขนาดและหัวลูกศร แทน
ทิศทาง
การบวกเวกเตอร์ ของ 2 เวกเตอร์หรือมากกว่า หาเวกเตอร์ลัพธ์หาª ·›¸®œ¹ÉŠ‡º°เขียน
รูปเวกเตอร์ และเวกเตอร์ BA
= AB
การลบเวกเตอร์ BA
= )( BA
เวกเตอร์ B
ÁžÈœÁª„Á˜°¦ rš¸É¤¸…œµ—Ášnµ„´
B
แต่มีทิศทางตรงกันข้าม
การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ AmB
Ÿ¨ ‡¼–‹³ÁžÈœÁª„Á˜°¦ rš¸É¤¸…œµ—ÁžÈœmA
จะมีทิศตามทิศ A
มีทิศตรงข้ามกับ A
และ เป็น 0 Á¤ºÉ° 0,0 mm และ 0m
ตามลําดับ
การคูณเชิงสเกลาร์ ของสองเวกเตอร์ได้ผลลัพธ์ของการคูณเป็นสเกลาร์
BA
= cosAB
„µ¦ ‡¼–Á·ŠÁª„Á˜°¦ r…°Š °ŠÁª„Á˜°¦ rÅ—oŸ¨ ¨ ´¡ ›rÁžÈœÁª„Á˜°¦ rÁ¤ºÉ°
BA
= nAB ˆsin
ระบบพิกัดฉาก บอกตําแหน่งของเวกเตอร์ ด้วย r
= kZjYiX ˆˆˆ Á¤ºÉ°iˆ, jˆ และ
kˆ ÁžÈœÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥˜µ¤Â„œx , y ,z ตามลําดับ
ระบบพิกัดทรงกระบอก บอกตําแหน่งเวกเตอร์ด้วย A
= kAAA z
ˆˆˆ
Á¤ºÉ°ˆ , ˆ และ kˆ ÁžÈœÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥˜µ¤Â„œ , , z ตามลําดับ
ระบบพิกัดทรงกลม บอกตําแหน่งเวกเตอร์ด้วย เป็น A
= rAr ˆ +
ˆA +
ˆA
Á¤ºÉ°rˆ ,ˆ, ˆ ÁžÈœÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥˜µ¤Â„œ r , ,
„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ¦ ³¡ ·„´—‹µ„š¦ Š„¦ ³°„ÁžÈœ¡ ·„´—Œµ„®µÄœ¦ ¼žÁ¤˜¦ ·„ŽrÅ—o
19. 19
z
y
x
A
A
A
=
zA
A
A
100
0cossin
0sincos
„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ¦ ³¡ ·„´—‹µ„š¦ Š„ลม เป็นพิกัดฉาก หาในรูปเมตริกซ์ ได้
A
A
A
A
A
A r
z
y
x
0sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
1.10 คําถามท้ายบท
1. ให้ เวกเตอร์ A
= kji ˆˆ2ˆ4 และเวกเตอร์ B
= kji ˆ4ˆ4ˆ จงแสดงว่า
Áª„Á˜°¦ rš´ÊŠ °Š˜´ÊŠŒµ„Ž¹ÉŠ„´œÂ¨ ³กัน
2. กําหนดให้ เวกเตอร์ A
= ji 4ˆ2 และเวกเตอร์ B
= kj ˆ4ˆ6 จงหามุมระหว่าง
Áª„Á˜°¦ rš´ÊŠ °ŠÁ¤ºÉ°
ก. ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (
9.41 )
ข. ผลคูณเชิงสเกลาร์ (
9.41 )
3. กําหนดให้ kjA ˆ10ˆ4
และ jiB ˆ3ˆ2
จงหาภาพฉายของเวกเตอร์ A
ลงบน B
13/12( )
4. ‹Š®µÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥š¸É¤¸š·«‹µ„‹»— )2,5,2( ไปในทิศทางของจุด )3,5,14(
)ˆ
13
5ˆ
13
12
ˆ( jir
5. จงแสดงว่า )()( DCBA
= ))(())(( CBDADBCA
6. จงหาระยะห่างระหว่างจุด ( 0,
6
,2
) และ )2,,1( Á¤ºÉ°‹»—š¸É„ε®œ—Ä®o°¥¼nÄœ¦ ³¡ ·กัด
ทรงกระบอก
)53.3(
7. จงหาระยะห่างระหว่างจุด ( 0,
4
,1
) และ ),
4
3
,1(
Á¤ºÉ°‹»—š¸É„ε®œ—Ä®o°¥¼nÄœ¦ ³¡ ·„´—
ทรงกระบอก
)2(
8. กําหนดให้ kjiA ˆ3ˆ2ˆ4
และ kjiB ˆˆ4ˆ3
จงหา
ก. ขนาดของ BA
25 )1.31(
ข. Áª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥Äœš·«šµŠ…°Š ABA
/)25( )ˆ55.0ˆ06.0ˆ84.0( kji
20. 20
ค. เวกเตอร์องค์ประกอบของ A
ในทิศทางขนานกับ B
)ˆ27.0ˆ08.1ˆ81.0( kji
ง. เวกเตอร์องค์ประกอบของ A
Äœš·«šµŠ˜´ÊŠŒµ„„´B
)ˆ73.2ˆ08.3ˆ19.3( kji
9. กําหนดให้ระนาบ 12234 zyx ‹Š®µÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥š¸É˜´ÊŠŒµ„„´¡ ºÊœŸ·ªÄœ
š·«šµŠš¸É¡ »nŠ°°กจากจุดกําเนิด
[ 29/)ˆ2ˆ3ˆ4( kji ]
10. จงแปลง k
yx
x
jxiyA ˆˆˆ
22
2
จากเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากไปเป็นเวกเตอร์
ในระบบพิกัดทรงกระบอก
11. จงแปลงเวกเตอร์ ˆcossinˆtanˆ rrrrA
จากระบบพิกัดทรงกลมเป็น
พิกัดฉาก
12. จงแสดงค่าของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
ก. A
= ˆcosˆsin
ข. H
=
ˆ
1
