Il documento fornisce una panoramica di concetti geometrici chiave, inclusi definizioni di asse radicale, concavità, perpendicolarità tra rette e discriminante di equazioni quadratiche. Descrive anche proprietà di figure geometriche come coniche, simmetria assiale e centrale, traslazione e il ruolo del vertice nelle parabole. Infine, esplora la distanza tra punti e rette, e la classificazione delle intersezioni tra rette e coniche.

1. Glossario
ASSE RADICALE
E’ una retta che passa per i due punti di intersezione di due circonferenze ed è perpendicolare
alla retta che unisce i centri delle due circonferenze. su
CENTRO
In una figura piana è il punto d’incontro , se esiste, degli assi di simmetria della figura stessa.
Nella circonferenza è il punto equidistante da ciascun punto della linea chiusa.
 a b
In geometria analitica le coordinate del centro di una circonferenza sono C  − ,−  su
 2 2
CONCAVITA’
Diremo che una curva presenta una concavità verso il basso quando, tracciando una qualunque
tangente la curva si trova sotto la tangente
Diremo che una curva presenta una concavità verso l’alto quando, tracciando una qualunque
tangente la curva si trova sopra la tangente su
CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITA’
Consideriamo due rette r e r' perpendicolari tra loro e non parallele agli assi. Le loro equazioni,
in forma esplicita, saranno rispettivamente:
r : y = mx + q
r ': y = m ' x + q '
1
dove m, m' sono discordi; le relazioni: m ⋅ m' = −1 o m' = −
m
esprimono la condizione di perpendicolarità tra rette in forma esplicita. Se le equazioni delle
due rette sono in forma implicita, la condizione di perpendicolarità può scriversi nel modo
seguente: aa' + bb' = 0 su
CONDIZIONE DI APPARTENENZA
In geometria analitica la condizione necessaria e sufficiente perché un punto appartenga ad un
luogo f(x;y) = 0 è che l’ascissa e l’ordinata del punto, sostituite rispettivamente al posto della
x e della y nell’equazione del luogo, rendano vera l’equazione su
DIRETTRICE
Data una conica C e fissato un suo fuoco F, si chiama direttrice relativa ad F la retta d tale che
il rapporto fra le distanze da F e da d è costante per tutti i punti P della conica. su
DISCRIMINANTE – DELTA - ∆
Si definisce discriminante o Δ (delta) il termine che si trova sotto radice nella formula risolutiva
−b± ∆
dell'equazione di secondo grado x1, 2 = con ∆ = b 2 − 4ac .
2a
Si possono aver tre situazioni:
 -il discriminante e' maggiore di zero ∆ = b 2 − 4ac > 0 in tal caso si avranno due
soluzioni reali e distinte
 il discriminante e' uguale a zero ∆ = b 2 − 4ac = 0 , in tal caso le due radici sono reali e
−b
coincidenti; si ha una soluzione la doppia che vale x1, 2 = ; l’equazione di secondo
2a
grado è il quadrato di un binomio
 il discriminante e' minore di zero ∆ = b 2 − 4ac < 0 in tal caso l’equazione non ammette
soluzioni reali su

2. DISTANZA
La distanza tra due punti è il segmento che li congiunge.
La distanza di una punto da una retta o da un piano è la lunghezza del segmento avente per
estremi il punto dato e la proiezione ortogonale del punto sulla retta o piano.
axP + by p + c
In geometria analitica la distanza punto retta è data da d = = r dove P ( xP , y P ) e
a 2 + b2
ax + by + c = 0 equazione retta su
FASCIO DI RETTE
Fascio di rette proprio è l'insieme di tutte le rette che passano per un punto R( x0 , y0 ) detto
centro del fascio.
L’equazione del fascio è y − y0 = m( x − x0 )
Fascio improprio un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente angolare, cioè sono
tutte parallele y = m0 x + k su
FUOCO
Per una qualunque conica C, si dice fuoco un punto F del suo piano tale che per ogni punto P di
C sia costante il rapporto tra la distanza di P dal fuoco F e quella da una retta fissa detta
direttrice. L'ellisse e l'iperbole hanno due fuochi, che coincidono nel caso della circonferenza.
La parabola ha un solo fuoco. I fuochi sono sempre interni alla conica. su
LUOGO DEI PUNTI
Una figura F si dice luogo geometrico dei punti che godono di una proprietà P se sono verificate
le seguenti due condizioni:
•tutti i punti della figura godono della proprietà
•se un punto gode della proprietà P allora esso appartiene alla figura F su
RAGGIO
In una circonferenza, si dice raggio uno qualsiasi degli infiniti segmenti congruenti che
congiungano un punto qualsiasi dalla circonferenza con il centro della circonferenza stessa. In
2 2
geometria analitica la misura del raggio è data da r =
 a  b
 −  +  −  − c su
 2  2
RETTA ESTERNA
Una retta r si dice esterna rispetto ad una conica C se non ha punti reali comuni con essa. su
RETTA SECANTE
Si chiama secante di una conica una retta che ha in comune con la conica due punti distinti.
Precisamente una retta r seca una curva C in un punto P, se P è un punto comune ad r e a C se
con P non coincidono altri punti comuni ad r e a C su
RETTA TANGENTE
Una retta r si dice tangente in un punto P ad una conica C se, r e C hanno in comune due punti
coincidenti.
Una retta r può essere tangente ad una curva (diversa da una conica) in un punto P se in quel
punto ha con la curva due punti coincidenti comuni (si dice anche un contatto del secondo
ordine), ma può essere anche secante in un punto Q su
SIMMETRIA ASSIALE
Due punti distinti A e B si dicono simmetrici rispetto ad una retta r se il loro punto medio
appartiene alla retta r e se il segmento AB è perpendicolare alla retta stessa. Si chiama
simmetria assiale, di retta r, la trasformazione del piano in sé che ad ogni punto del piano
associa il suo simmetrico rispetto alla retta r. In una simmetria assiale tutti i punti dell’asse di

3. simmetria sono punti uniti nella trasformazione. Una simmetria assiale conserva l’allineamento
fra i punti, la distanza e il parallelismo su
SIMMETRIA CENTRALE
La simmetria centrale è una trasformazione isometrica. Le proprietà invarianti di tale
trasformazione sono:
t Distanza
DAngoli
AParallelismo.
La simmetria centrale è ottenuta dalla composizione di due simmetrie assiali ad assi
perpendicolari. su
TRASLAZIONE
La traslazione è una trasformazione isometrica del piano o dello spazio, avente come
invarianti:
i Distanza
DAngoli
AParallelismo
P Orientamento dei punti.
La traslazione è ottenuta dalla composizione di due simmetrie assiali ad assi paralleli. su
VERTICE
Il vertice di una parabola è il punto d’intersezione della parabola con il suo asse di simmetria.
Il vertice è il punto equidistante dal fuoco e dalla direttrice
Se la parabola ha l’asse di simmetria parallelo all’asse delle y e la sua equazione è
 b ∆
y = ax 2 + bx + c ha coordinate  − ;−  , se la parabola ha l’asse parallelo all’asse delle x e
 2a 4a 
 ∆ b 
la sua equazione è x = ay + by + c il vertice ha coordinate  − ;−  su
2
 4a 2a 