Breve spiegazione delle funzioni lineari

1. LE FUNZIONI
LINEARI
RETTE NEL PIANO CARTESIANO

2. DISTANZA TRA DUE PUNTI
AVENTI LA STESSA ASCISSA
Dati due punti A(x1;y1) e B(x2;y2), la loro
distanza è data dal valore assoluto delle
loro ordinate
AB=│y2-y1│
A(2;3) B(2;8)
AB=│8-3│=5
AVENTI LA STESSA ORDINATA
Dati due punti A(x1;y1) e B(x2;y2), la
loro distanza è data dal valore
assoluto delle loro ascisse
AB=│x2;x1│
A(-3;3) B(4;3)
AB=│4-(-3)│=7

3. CASO GENERALE
Dati due punti A(x1;y1) e B(x2;y2), la
loro distanza è data dalla seguente
formula:
𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + y2 − 𝑦1
2
A(2;3) B(6;6)
𝐴𝐵 = 6 − 2 2 + 6 − 3 2 = 13

4. PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
Siano A(xa;ya) e B(xb;yb) due punti del
piano cartesiano e M il punto medio del
segmento AB. L’ascissa di M è la media
aritmetica delle ascisse di A e B;
l’ordinata di M è la media aritmetica
delle ordinate di A e B
𝑀
𝑥1 + 𝑥2
2
;
𝑦1 + 𝑦2
2
Dato un segmento, conoscendo le coordinate di un
estremo e del suo punto medio, posso calcolare le
coordinate dell’altro estremo sostituendo i dati noti
nelle equazioni del seguente sistema:
𝑥 𝑀 =
𝑥1+𝑥2
2
𝑦 𝑀 =
𝑦1+𝑦2
2
oppure utilizzo le formule
𝑥2 = 2𝑥 𝑀 − 𝑥1
𝑦2 = 2𝑦 𝑀 − 𝑦1

5. LE FUNZIONI LINEARI
Le funzioni in cui a Δx costanti
corrispondono Δy costanti si chiamano
FUNZIONI LINEARI.
Il grafico corrispondente a questo tipo di
funzioni è una retta.
L’equazione di una funzione lineare ha due
diverse forme:
FORMA ESPLICITA
y = mx + q
FORMA IMPLICITA
ax + by + c = 0

6. IL RAPPORTO INCREMENTALE
Il rapporto incrementale di
una funzione è dato dal
rapporto tra la variazione
delle ordinate di due punti
appartenenti al grafico della
funzione e la variazione
delle ascisse dei due punti
Δ𝑦
Δ𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1

7. IL SIGNIFICATO DI m
Nell’equazione di una funzione
lineare y=mx+q, m è il coefficiente
angolare della retta. Il coefficiente
angolare m è uguale al rapporto
incrementale
Δ𝑦
Δ𝑥
ed è sempre
costante qualsiasi siano i punti
appartenenti alla retta presi in
considerazione .
Il coefficiente angolare m è legato alla
pendenza della retta, quindi è legato all’angolo
α che essa forma con l’asse x. Infatti m è
uguale alla tangente dell’angolo α.
Δ𝑦
Δ𝑥
= 𝑚 = 𝑘 = tg 𝛼

8. RETTE CRESCENTI E DECRESCENTI
CRESCENTE
m>0  α<90°
le variabili x e y hanno
segni concordi
DECRESCENTE
m<0  90°<α<180°
Le variabili x e y hanno
segni discordi

9. IL SIGNIFICATO DI q
Nell’equazione y=mx+q, il termine noto
q è «l’intercetta», ovvero l’ordinata del
punto in cui la retta interseca l’asse y.
Ogni retta non parallela all’asse y
interseca l’asse y nel punto P(0;q).
 se q>0 allora la retta interseca
l’asse y nella parte positiva
(sopra lo zero)
 Se q=0 allora la retta è passante
per l’origine (y=mx)
 Se q<0 allora la retta interseca
l’asse y nella parte negativa
(sotto lo zero)

10. RETTE PARALLELE
Due rette non parallele all’asse y, aventi equazioni 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 e
𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑞 , sono PARALLELE se e solo se hanno lo stesso
coefficiente angolare
𝑟1//𝑟2  𝑚1 = 𝑚2
𝑚1 = 𝑚2  𝛼1 = 𝛼2