4. Sommario
SOMMARIO
SOMMARIO .................................................................................................... 2
LA CIRCONFERENZA ................................................................................... 4
Equazione della circonferenza .................................................................... 4
Raggio e centro della circonferenza ........................................................... 5
Retta tangente alla circonferenza ................................................................ 9
Procedimenti per trovare la tangente ........................................................ 10
1 – metodo ................................................................................................. 10
2 – metodo ................................................................................................. 10
3 – metodo ................................................................................................. 11
Condizioni generali per determinare l’equazione di una circonferenza . 11
Posizioni di due circonferenze nel piano
Antonella Greco
Rosangela Mapelli
5. Circonferenza
LA CIRCONFERENZA
Il contorno del cerchio è chiamato circonferenza, tutti i punti che stanno su questa linea chiusa
hanno la caratteristica di avere la stessa distanza dal centro.
Vogliamo trovare l’equazione della circonferenza,curva che fa parte di un insieme di curve
chiamate coniche.
Definizione
Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto
fisso detto centro.
Equazione della circonferenza
Fissiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali e consideriamo un punto generico P(x,y),
vogliamo determinare l’equazione della circonferenza di raggio r e di centro C(α,β). Dalla
definizione di circonferenza deduciamo che il segmento PC deve essere uguale al raggio r.
PC=r calcoliamo la distanza
d ( PC ) = ( x − α ) 2 + ( y − β ) 2 e poniamo uguale a r
( x − α ) 2 + ( y − β ) 2 = r da cui
(x − α )2 + ( y − β )2 = r 2
che rappresenta l’equazione della circonferenza.
Raggio e centro della circonferenza
Data l’equazione ( x − α ) + ( y − β ) = r della circonferenza, sviluppando i calcoli otteniamo
2 2 2
x 2 + α 2 − 2αx + y 2 + β 2 − 2β y − r 2 = 0 poniamo a = −2α ; −2β=b b = −2 β ; c = α 2 + β 2 − r 2
troviamo l’equazione scritta in modo canonico:
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 con a, b.c ∈ ℜ
Possiamo ricavare le coordinate del centro e l’espressione del raggio in funzione dei parametri
a,b,c :
ricaviamo da:
a
a = −2α → α = −
2
b
b = −2 β → β = −
2
2 2
c =α + β −r
2 2 2
→ a b 1 2
r = − + − − c = a + b 2 − 4c
2 2 2
Generalizzazione
L’equazione x + y + ax + by + c = 0 di secondo grado nelle incognite x e y è l’equazione di
2 2
una circonferenza di:
2 2
a b
centro C −,− e raggio r = − a + − b − c .
2 2 2 2
Nell’equazione di una circonferenza manca, sempre, il termine in xy e i coefficienti dei
2
termini x 2 e y sono uguali.
6. Attenzione
Un’equazione di tipo x + y + ax + by + c = 0 è un’equazione della circonferenza se e solo se
2 2
il raggio è una quantità reale positiva, cioè se:
2 2 2 2
a b a b
r = − + − − c > 0 → − + − − c > 0
2 2 2 2
a b
Se il raggio è nullo la circonferenza degenera nel punto C − ,− .
2 2
Circonferenza
Posizioni particolari della circonferenza nel piano
a=b=0
La circonferenza ha equazione: x + y + c = 0
2 2
a b
essendo − = 0 ∧ − = 0 il centro ha coordinate
2 2
C(0,0) e coincide con l’origine degli assi cartesiani, il
raggio r = − c
a=c=0
La circonferenza ha equazione: x + y + bx = 0 , il
2 2
2
raggio è r =
b b
− =| − | , il centro appartiene
2 2
a
all’asse delle y e ha coordinate C(0,r) essendo − = 0 ∧
2
b
r =| − | ed è tangente all’asse delle x nell’origine
2
degli assi
b=c=0
La circonferenza ha equazione: x + y + ax = 0 , il
2 2
2
raggio è r =
a a
− =| − | , il centro appartiene
2 2
b
all’asse delle x e ha coordinate C(r,0) essendo − = 0
2
a
∧ r =| − | ed è tangente all’asse delle y nell’origine
2
degli assi
7. Circonferenza
a=0
La circonferenza ha equazione: x + y + bx + c = 0 ,
2 2
centro appartiene all’asse delle y e ha coordinate
b a
C = 0,− , essendo − = 0 e il raggio
2 2
2
b
r = − − c .
2
b=0
La circonferenza ha equazione: x + y + ax + c = 0 , il
2 2
centro appartiene all’asse delle x e ha coordinate
a b
C = − ,0 , essendo − = 0 e il raggio
2 2
2
a
r = − − c .
2
c=0
La circonferenza ha equazione: x + y + ax + by = 0 ,
2 2
passa per l’origine degli assi, il centro ha coordinate
2 2
a b
C = − ,− e il raggio r = − a + − b
2 2 2 2
8. Circonferenza
Retta e circonferenza nel piano.
Una retta e una circonferenza nel piano possono incontrarsi: in due punti, in un solo punto o in
nessun punto. Il verificarsi di uno qualsiasi di questi casi dipende dalla distanza a cui si trova
la retta rispetto al centro della circonferenza.
Osserviamo le immagini:
La retta è secante, incontra la circonferenza in due punti, e la distanza CH è minore
del raggio CA = r cioè CH < r
La retta è esterna, non incontra la circonferenza (caso 2), se la distanza CH è maggiore del
raggio CA = r cioè → CH > r
La retta è tangente, incontra la circonferenza in un punto doppio (caso 3), se la distanza CH è
uguale del raggio CA = r cioè → CH = r
Per trovare i punti che hanno in comune la circonferenza e la retta dobbiamo risolvere il
seguente sistema:
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
y = mx + q
L’equazione risolvente è un’equazione di secondo grado nella variabile x, le cui soluzioni
dipendono dal delta o discriminante :
♦Se ∆ > 0 ammette due soluzioni reali distinte e quindi la retta è secante
♦Se ∆ < 0 non ammette soluzioni reali e quindi la retta è esterna
♦Se ∆ = 0 ammette due soluzioni reali coincidenti e quindi la retta è tangente
•Retta secante 2 punti in comune con la circonferenza , distanza retta raggio d < r
nell’equazione risolvente ∆ > 0
9. •Retta esterna nessuna punto in comune con la circonferenza , distanza retta raggio d > r
nell’equazione risolvente ∆ < 0
•Retta tangente 1 solo punto in comune con la circonferenza , distanza retta raggio d = r
nell’equazione risolvente ∆ = 0
Circonferenza
Esercizio 1
Retta tangente alla circonferenza
Vogliamo calcolare le equazioni delle rette condotte per un punto P( x p , y p ) , tangenti ad una
circonferenza x + y + ax + by + c = 0 .
2 2
il punto P è esterno alla il punto P appartiene alla il punto P è intrno alla
circonferenza C, due tangenti circonferenza C, una sola circonferenza C, nessuna
tangente tangente
Stabiliamo innanzitutto se il punto è esterno, interno o appartiene alla circonferenza:
conoscendo dove si trova il punto possiamo individuare quante sono le tangenti alla
circonferenza che passano per quel punto.
Dato il punto P( x p , y p ) sostituiamo le sue coordinate nell’equazione della circonferenza C:
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
Possiamo ottenere:
•un’identità → P∈ C
•un valore maggiore di zero → P è esterno alla C
•un valore minore di zero → P è interno alla C
Procedimenti per trovare la tangente
Per trovare l’equazione della retta passante per P( x p , y p ) tangente alla circonferenza
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 possiamo procedere in diversi modi:
1 – metodo
metodo algebrico: imponendo la condizione di tangenza
•Troviamo l’equazione del fascio proprio di rette che hanno come punto di sostegno il punto
P( x p , y p ) y − y p = m( x − x p )
•Mettiamo l’ equazione del fascio in sistema con l’equazione della circonferenza,
10. 2
x + y + ax + by + c = 0
2
y − y p = m( x − x p )
•Troviamo l’ equazione risolvente che è un’equazione di secondo grado in x o in y,
[ ] 2
[
x 2 + m( x − x p ) + y p + ax + b m( x − x p ) + y p + c = 0 ]
•Applichiamo la condizione di tangenza, cioè poniamo il ∆ = 0
•Ricaviamo i valori del coefficiente angolare, che saranno:
a) due distinti se il punto è esterno alla circonferenza
b) due coincidenti in uno se il punto appartiene alla circonferenza
•Sostituiamo i valori trovati nell’equazione del fascio e determiniamo l’equazione delle
tangenti.
2 – metodo
metodo geometrico: la distanza della retta dal centro è uguale al raggio della circonferenza
•Scriviamo l’equazione del fascio che passa per il punto P ( x p , y p ) : y − y p = m( x − x p )
•Calcoliamo le coordinate del centro della circonferenza C e il raggio:
2 2
C(α,β); r =
a b
− + − − c > 0 .
2 2
•Calcoliamo la distanza del centro dal fascio, utilizzando la proprietà che la distanza tra la retta
tangente e il centro della circonferenza è uguale al raggio
•Poniamo la distanza trovata uguale al raggio della circonferenza:
| mα − β − mx p + y p |
d= =r
m2 + 1
•Ricaviamo i valori del coefficiente angolare, che saranno:
a) due distinti se il punto è esterno alla circonferenza;
b) due coincidenti in uno se il punto appartiene alla circonferenza
•Sostituiamo i valori trovati nell’equazione del fascio e determiniamo l’equazione delle
tangenti.
3 – metodo
metodo geometrico: tangente e raggio sono perpendicolari
•Scriviamo l’equazione del fascio che passa per il punto P ( x p , y p ) : y − y p = m( x − x p )
•Calcoliamo le coordinate del centro della circonferenza C(α,β)
•Calcoliamo il coefficiente angolare mPC della retta che passa per il punto P ( x p , y p ) ,
appartenete alla circonferenza, e per il centro C(α,β)
•Ricordando che la retta su cui giace il raggio e la retta tangente alla circonferenza sono
1
perpendicolari calcoliamo il coefficiente angolare della retta tangente m = −
m PC
1
Sostituiamo il coefficiente trovato nel fascio passante per P( x p , y p ) y − y p = − (x − xp )
m PC
4 – metodo
metodo della regola dello sdoppiamento
Scrivere l’equazione della circonferenza C: x + y + ax + by + c = 0 , Sia P ( x p , y p ) ∈ C
2 2
x + xp y + yp
Sostituire x → xx p , y → yy p , x →
2 2
, y→ ,
2 2
x + xp y + yp
si applica la regola dello sdoppiamento xx p + yy p + a +b +c=0
2 2
11. Attenzione
Il 3 e 4 metodo per la ricerca dell’equazione della retta tangente alla circonferenza valgono
solo se il punto appartiene alla circonferenza stessa
12. Condizioni generali per determinare l’equazione di una circonferenza
L'equazione di una circonferenza x + y + ax + by + c = 0 dipende dai tre parametri a,b,c quindi
2 2
per ricavare l'equazione dobbiamo avere tre relazioni indipendenti fra loro che ci permettano di
determinare i parametri.
Alcuni casi che possono presentarsi più frequentemente:
1.La conoscenza delle coordinate degli estremi del diametro equivale a tre condizioni
2.La conoscenza delle coordinate di un punto appartenente alla circonferenza rappresenta una
condizione
3.La conoscenza delle coordinate del centro rappresenta due condizioni
4.La conoscenza delle coordinate di un punto di tangenza rappresenta due condizioni
Posizioni di due circonferenze nel piano
Due circonferenze in un piano possono essere: secanti, tangenti sia internamente che
esternamente, esterne, interne sia concentriche che non concentriche. Se conosciamo la
posizione dei centri e la misura del raggio di ciascuna circonferenza possiamo stabilire la loro
posizione.
Le circonferenze sono esterne, non hanno Le circonferenze sono esterne e tangenti
punti in comune in un punto in comune
Le circonferenze sono esterne e secanti Le circonferenze sono tangenti
in due punti. internamente, hanno un punto in
comune D
Le circonferenze sono tangenti
Le circonferenze sono secanti,hanno un punto in
esternamente, hanno due
punti in comunecomune D
13. Le circonferenze sono una interna Le circonferenze sono una interna
all’altra e concentriche, non hanno punti all’altra, ma non concentriche, non hanno
in comune punti in comune
Per stabilire se due circonferenze C: x + y + ax + by + c = 0 e C1: x + y + a1 x + b1 y + c1 = 0 si
2 2 2 2
intersecano dobbiamo mettere in sistema le loro equazioni
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
2
x + y 2 + a1 x + b1 y + c1 = 0
se a ≠ a1 e b ≠ b1 possiamo applicare il metodo della riduzione sottraendo membro a membro e
otteniamo l’equazione di una retta ( a − a1 ) x + (b − b1 ) y + (c − c1 ) = 0 . Questa retta è chiamata
asse radicale ed è perpendicolare alla retta congiungente i centri delle due circonferenze.
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
Il sistema iniziale si è quindi ridotto a
(a − a1 ) x + (b − b1 ) y + (c − c1 ) = 0
• Se il sistema ammette due soluzioni distinte le circonferenze si intersecano
• Se il sistema ammette una soluzione le circonferenze sono tangenti
• Se il sistema non ammette soluzioni le circonferenze si non si intersecano
14. Formulario
FORMULARIO
CIRCONFERENZA
Equazione canonica della circonferenza
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 con a, b.c ∈ ℜ
Equazione della circonferenza
(x − α )2 + ( y − β )2 = r 2
Coordinate del centro della circonferenza
a b
C (α ; β ) ) o C − ,−
2 2
Raggio della circonferenza
2 2
a b
r = − + − − c
2 2
Equazione retta tangente in un punto appartenente alla circonferenza (regola sdoppiamento)
x + xP y + yP
xxP + yyP + a +b +c=0
2 2
