Il documento tratta della simmetria centrale, spiegando come determinare le coordinate di un punto b rispetto a un punto a e al punto medio m, che funge da centro di simmetria. Vengono fornite le equazioni necessarie per calcolare il simmetrico di un punto rispetto a un centro di simmetria, così come le relazioni per la traslazione in un sistema di coordinate cartesiane. Infine, viene generalizzato il concetto di traslazione di un sistema di assi cartesiani.

1. Simmetria centrale
Consideriamo il punto A,estremo del segmento AB ed M, punto medio di AB. Conosciamo il
punto A di coordinate A( x A ; y A ) e il punto M di
 x A + xB y A + y B 
coordinate M  ;  , vogliamo
 2 2 
determinare le coordinate di B. Il punto B si
troverà rispetto ad A, dalla parte opposta di M,
e alla medesima distanza di A da M.
M e' centro di simmetria tra A e B, cioè B è il
simmetrico di A rispetto ad M.
Le equazioni di una simmetria centrale si
possono quindi dedurre dalle equazioni per
determinare il punto medio di un segmento.
 xB + x A
 xM =
 2 2 x = x B + x A  x = 2 xM − x A
 ⇒ M ⇒ B
 yM = y B + y A 2 y M = y B + y A  y B = 2 yM − y A

 2
Generalizziamo
Dato un punto A e un centro O di simmetria si può determinare il simmetrico di A rispetto ad
O, tramite le equazioni di una simmetria centrale:
 x A' = 2 xO − x A
A → A' ⇒ 
SO
 y A' = 2 yO − y A
Traslazione
Dimostrazione:
Consideriamo un sistema di assi cartesiani xOy,
un punto P di coordinate ( xP , y P ) e un punto O’
di coordinate (a,b).
Trasliamo l’ origine O del sistema di assi
cartesiani in O’ e otteniamo il sistema x’O’y’.
Determiniamo le coordinate di P nel sistema
traslato.
Osservando la figura possiamo dedurre che:
x ' P = xP − a e y ' P = y P − b .
Il punto P nel nuovo sistema di assi cartesiani
avrà coordinate ( xP − a, y P − b)
Le equazioni della traslazione sono:
 x ' = xP − a
P τ O ' P ' ⇒  P
→
 y 'P = y P − b
Generalizziamo
Se l'origine del nuovo sistema x'Oy ' ha,
rispetto al primo, le coordinate O ( a, b) , valgono le relazioni:
 x = x '+ a  x' = x − a
τ → o anche τ → 
 y = y '+b  y' = y − b
 x = x '+ a
La traslazione di vettore v( a, b) è data, quindi, dalle seguenti relazioni τ →
 y = y '+b