La Retta nel piano cartesiano

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La retta nel piano cartesiano, rette parallele, rette perpendicolari, retta come luogo geometrico

La Retta nel piano cartesiano

  1. 1. LA RETTA Creato da: Rosangela Mapelli Licenza Cretive Commons: Sei libero di modificare e pubblicare questa Presentazione a patto di indicare l'autore, non trarne guadagno e devi condividere i derivati sotto la stessa licenza.
  2. 2. <ul><li>Piano Cartesiano </li></ul><ul><li>Assi cartesiani e rette ad essi parallele </li></ul><ul><li>Retta passante per l'origine </li></ul><ul><li>Coefficiente angolare </li></ul><ul><li>Equazione delle bisettrici </li></ul><ul><li>Equazione della retta in forma esplicita </li></ul><ul><li>Coefficiente angolare di una retta generica </li></ul><ul><li>Equazione delle retta in forma implicita </li></ul><ul><li>Rette parallele – Rette perpendicolari </li></ul><ul><li>Fasci di rette </li></ul><ul><li>Retta passante per due punti </li></ul><ul><li>Test di verifica </li></ul>Prof.Rosangela Mapelli
  3. 3. <ul><li>La retta orizzontale è chiamata asse delle ascisse (o asse x) </li></ul><ul><li>la retta verticale è chiamata asse delle ordinate (o asse y) </li></ul><ul><li>Su ogni retta è fissato un verso di percorrenza e una unità di misura : se sulle due rette è fissata la stessa unità di misura si dice che il sistema è monometrico </li></ul>IL PIANO CARTESIANO Il sistema di riferimento cartesiano ortogonale (o piano cartesiano ) è formato da due rette perpendicolari e orientate che si incontrano in un punto O chiamato origine . Prof.Rosangela Mapelli Asse delle ascisse Asse delle ordinate y x
  4. 4. I PUNTI DEL PIANO CARTESIANO Quando nel piano si fissa un riferimento cartesiano ortogonale si viene a stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali Ogni punto del piano è individuato da una coppia ordinata di numeri reali(x, y) Si dice che A ha coordinate (x,y) e si scrive A(x; y) Il primo numero di chiama ascissa del punto, il secondo ordinata . Prof.Rosangela Mapelli
  5. 5. <ul><li>Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti che vengono indicati in senso antiorario </li></ul><ul><li>Le coordinate dei punti sono negative o positive a seconda del quadrante in cui i punti si trovano </li></ul>Prof.Rosangela Mapelli
  6. 6. ASSI CARTESIANI Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa variabile e ordinata nulla. L'equazione dell'asse delle ascisse allora è: y = 0 Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla. L'equazione dell'asse delle ordinate è: x = 0 <ul><li>Tali rette possono anche essere considerate il luogo geometrico dei punti che hanno: </li></ul><ul><li>ordinata nulla y = 0 equazione asse delle ascisse </li></ul><ul><li>ascissa nulla x = 0 equazione asse delle ordinate </li></ul>Prof.Rosangela Mapelli O X Y . . . . . . . . . . . . . . . . . O x y
  7. 7. Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è, ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla. Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso . Ogni punto dell'asse ha uguale distanza dagli estremi A e B del segmento. Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad esso perpendicolare passante per il suo punto medio. LUOGO GEOMETRICO Prof.Rosangela Mapelli A M B
  8. 8. RETTE PARALLELE AGLI ASSI I punti di una retta parallela all'asse x hanno ascissa variabile, ma ordinata costante, che possiamo indicare con k Pertanto l'equazione di tale retta è: y = h I punti di una retta parallela all’asse y hanno ordinata variabile ma ascissa costante, che possiamo indicare con h. Pertanto la sua equazione è: x = K Prof.Rosangela Mapelli y h O x y O x k
  9. 9. RETTA PASSANTE PER L'ORIGINE <ul><li>In un sistema di assi cartesiani disegnano una retta r che passa per l’origine degli assi </li></ul><ul><li>Consideriamo su tale retta tre punti A B C </li></ul><ul><li>l rapporto tra l’ordinata y e l’ascissa x di ogni punto è costante : y A /x A = y B /x B =y C /x C </li></ul>In generale chiamiamo m il rapporto tra le ordinate e le ascisse di ciascun punto appartenente alla retta cioè y/x =m da cui si ricava y = mx c he è l’equazione della retta che passa per l’origine degli assi Prof.Rosangela Mapelli
  10. 10. Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse di tutti i punti appartenenti alla retta è costante. Possiamo così ricavare l’equazione della retta passante per l’origine cioè y = mx dove m indica il coefficiente angolare Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi con- sideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determi- nare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '. Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinata- mente uguali, e perciò possiamo scrivere: Prof.Rosangela Mapelli R' R = Q' Q = P' P O R' O Q' O P' y 1 = y 2 = y 3 = m x 1 x 2 x 3 Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive ascisse. Indicate quindi con y 1 , y 1 , y 3 e x 1 , x 2 , x 3 tali coordinate, possiamo scrivere: Dato che i punti P, Q, R sono scelti in modo arbitrario, si può dire che in generale è: y = m x
  11. 11. L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela ad essi è data da: y = m x La costante m è detta coefficiente angolare della retta r. COEFFICIENTE ANGOLARE E' così chiamata perché dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo delle x, rappresentando quindi l’inclinazione della retta Prof.Rosangela Mapelli
  12. 12. VARIAZIONE DELL’INCLINAZIONE DELLA RETTA AL VARIARE DEL COEFFCIENTE ANGOLARE m Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso. Se m = 0, la retta coincide con l’asse x. m=1/8 m=1/4 m=1/2 m=1 m=3 m=5 m= -5 m= -3 m= -1 m=-1/2 m=- 1/4 m= -1/8 Prof.Rosangela Mapelli
  13. 13. Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: - la bisettrice del primo e terzo quadrante che ha equazione y = x (si ottiene per m = 1) - la bisettrice del secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1). y = x y = - x EQUAZIONE DELLE BISETTRICI Prof.Rosangela Mapelli
  14. 14. EQUAZIONE DELLA RETTA GENERICA IN FORMA ESPLICITA <ul><li>Data la retta r passante per l’origine e di equazione y = 3x </li></ul><ul><li>Scegliamo su tale retta due punti O(0;0) A(1;3) </li></ul><ul><li>Aumentiamo di 2 l’ordinata dei due punti </li></ul><ul><li>Otteniamo P(0;2) Q(1;5) </li></ul><ul><li>Il quadrilatero OAPQ è un parallelogramma perché ha i lati opposti OP e AQ paralleli e congruenti </li></ul><ul><li>Quindi la retta s passante per P e Q è parallela alla retta r </li></ul><ul><li>Le coordinate dei punti P e Q e quelle di tutti i punti della retta s soddisfano l’equazione y = 3x + 2 </li></ul><ul><li>Il valore 2 è l’ordinata del punto in cui la retta interseca l’asse delle y </li></ul>Prof.Rosangela Mapelli
  15. 15. EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA y = m x y = m x + q Quindi y = m x + q è l’equazione di una generica retta in forma esplicita o anche equazione della funzione lineare Consideriamo una retta r non parallela agli assi cartesiani e non passante per l'origine. Indichiamo con s la retta parallela a r che passa per l’origine, di equazione y = m x Prof.Rosangela Mapelli Possiamo pensare che i punti di r corrispondano a quelli di s in una traslazione di vettore v ( 0 ; q ), dove q rappresenta l’ordinata del punto di intersezione di r con l’asse delle ordinate y q v (0 ; q ) O x
  16. 16. <ul><li>y = m x + q </li></ul><ul><li>è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela agli assi e non passante per l’origine : </li></ul><ul><li>m è il coefficiente angolare </li></ul><ul><li>il termine noto q è detto ' 'ordinata all'origine '' , in quanto è l'ordinata </li></ul><ul><li>del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y. </li></ul><ul><li>Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine. </li></ul>y ( 0 ; q ) Q O x q = ordinata all'origine CONCLUDENDO Prof.Rosangela Mapelli
  17. 17. Sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo qualsiasi punto è costante e uguale a m. P 1 P 2 Il coefficiente angolare di una retta di equazione y = mx +q è il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti distinti della retta COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA GENERICA y 2 y 1 } ∆ x = x 2 - x 1 O x y x 1 r ∆ y = y 2 – y 1 ∆ x <ul><li>Passando dal punto P 1 al punto P 2 si verifica </li></ul><ul><li>un incremento ∆x dell’ascissa del punto </li></ul><ul><li>un incremento ∆y dell’ ordinata del punto </li></ul>Consideriamo ora su una retta r non passante per l’origine e non parallela all’asse y due punti P 1 ( x 1 ;y 1 ) e P 2 (x 2 ;y 2 ) con x 1 ≠ x 1 x 2 ∆ y Prof.Rosangela Mapelli m = = ∆ y ∆ x incremento y incremento x y 2 – y 1 x 2 – x 1
  18. 18. Se m > 0 la retta è crescente Se m < 0 la retta è decrescente Se m = 0 la retta è parallela all’asse delle ascisse Il coefficiente angolare di una retta parallela all’asse delle ordinate non è definibile m = ∞ Prof.Rosangela Mapelli
  19. 19. EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma : a x + b y + c = 0 Se b ≠ 0 possiamo esplicitare tale equazione rispetto alla variabile y : y a x c b b Indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b, tale equazione diventa del tipo : y = m x + q ( equazione di una retta generica ) . m q Possiamo dedurre che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione di una retta generica del piano espressa in forma implicita. In tale equazione il coefficiente angolare è: m = - a / b e l’ordinata all'origine : q = - c / b Prof.Rosangela Mapelli
  20. 20. Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ha ax+by = 0 che è l'equazione di una retta passante per l'origine . b = 0 a = 0 N.B . Questa equazione , in forma implicita , è anche detta generale in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita. a = 0 con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazione del tipo y = k, equazione della retta parallela all’asse x b = 0 con a e c diversi da zero, si ha a x + c = 0 ossia: x = - c / a, che è del tipo x = h. che è l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate c = 0 Prof.Rosangela Mapelli
  21. 21. Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0 , ossia y = 0, cioè l’equazione dell’asse x. y o x Se è b = 0 e c = 0 , si ottiene ax = 0 , ossia x = 0 , cioè l’equazione dell’asse y. y o x Prof.Rosangela Mapelli
  22. 22. Due rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’, m = m’ y = m x + q y = m’ x + q’ Esempio : y = 2 x + 3 y = 2 x + 2 Sono perpendicolari se il prodotto dei coefficienti angolari è uguale a -1 cioè se il coefficiente angolare di una è l’opposto del reciproco dell’altro, cioè: m = -1/ m’ y = m x + q y = ( -1/m )x + q’ Sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI Esempio : y = 3 x +2 y = ( - 1/3 )x +4 Prof.Rosangela Mapelli
  23. 23. POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE RETTE Nel Piano Cartesiano due rette di equazione y = m 1 + q 1 e y = m 2 + q 2 possono essere INCIDENTI se m 1 ≠ m 2 PARALLELE se m 1 = m 2 e q 1 ≠ q 2 COINCIDENTI se m 1 = m 2 e q 1 = q 2 q 1 q 2 q 1 q 2 q 1 =q 2 Prof.Rosangela Mapelli
  24. 24. Si chiama FASCIO IMPROPRIO di rette l’insieme formato dalla retta r e da tutte le rette ad essa parallele r L’equazione Rappresenta , al variare di q, tutte le rette del pano che hanno coefficiente angolare uguale a m cioè l’equazione di un fascio improprio di rette L’equazione y = 2x + q Rappresenta l’insieme delle rette del piano che hanno coefficiente angolare uguale a 2 FASCI DI RETTE Prof.Rosangela Mapelli y = mx + q
  25. 25. dove A( x 0 ;y 0 ) è il centro del fascio Si chiama FASCIO PROPRIO di rette di centro P l’insieme di tutte le rette che passano per uno stesso punto P Sia dato un punto P( x 0; y 0 ) <ul><li>Se una generica retta y = mx + q deve </li></ul><ul><li>passare per A , le coordinate di A devono </li></ul><ul><li>soddisfare l’equazione , ossia: </li></ul>y 0 = m x 0 + q <ul><li>da cui ricaviamo q </li></ul><ul><li>Sostituendo tale espressione a q nell’equazione generica otteniamo </li></ul>y = mx + y 0 – m x 0 che riscriviamo: y – y 0 = m (x – x 0 ) Al variare di m si ottengono tutte le rette del fascio passanti per A , tranne la parallela all’asse y , che ha equazione x = x 0. L’equazione del fascio proprio di rette è: Prof.Rosangela Mapelli q = y 0 - m x 0 y – y 0 = m( x – x 0 ) e x = x 0
  26. 26. <ul><li>Sostituiamo l’espressione ottenuta a m nel il fascio di rette di centro P: </li></ul>y – y 1 = y 2 – y 1 x 2 – x 1 (x - x 1 ) che nel caso sia anche y 1 ≠y 2 possiamo scrivere nella forma: Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x 1 = x 2 , l’equazione è: x = h , dove si è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y = k . EQUAZIONE RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI m Vogliamo determinare l’equazione della retta passante per due punti distinti del Piano Cartesiano P(x 1 ; y 1 ) e Q(x 2 ;y 2 ) con x 1 ≠ x 2 <ul><li>Poiché la retta passa per il punto P essa deve appartenere al fascio di rette passanti per P cioè: y- y 1 = m(x- x 1 ) </li></ul>EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI <ul><li>Calcoliamo il coefficiente angolare della retta </li></ul>Prof.Rosangela Mapelli y – y 1 y 2 – y 1 = x – x 1 x 2 – x 1 y 2 – y 1 x 2 – x 1 m =
  27. 27. I punti appartenenti alla bisettrice del I e III hanno coordinate uguali pertanto la sua equazione è y = x I punti appartenenti alla bisettrice del II e IV hanno coordinate opposte pertanto la sua equazione è y = - x Prof.Rosangela Mapelli
  28. 28. <ul><li>Dell’insieme di rette parallele all’asse x </li></ul><ul><li>Dell’insieme di rette parallele all’asse y </li></ul><ul><li>Dell’insieme di rette cui appartiene l’origine </li></ul><ul><li>Del punto di ascissa k di una rette orientata </li></ul>1 .L’equazione x = k considerata in due incognite, è il modello algebrico: METTITI ALLA PROVA 2 . Relativamente alla rappresentazione grafica delle soluzioni delle equazioni y=1, y=2 considerate in due incognite. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? È l’insieme unione di due <ul><li>Rette parallele all’asse x </li></ul><ul><li>Rette parallele all’asse y </li></ul><ul><li>Punti sull’asse delle y </li></ul><ul><li>Insiemi diversi dai precedenti </li></ul>Prof.Rosangela Mapelli
  29. 29. <ul><li>- 2 </li></ul><ul><li>2/3 </li></ul><ul><li>- 2/3 </li></ul><ul><li>2 </li></ul>1 . Il coefficiente angolare della retta di equazione 2x + 3y – 2 = 0 è: 2 . Il coefficiente angolare della retta cui appartengono i punti A( -4;0), B( -1;- ¾) è: <ul><li>- ¼ </li></ul><ul><li>¼ </li></ul><ul><li>- 4 </li></ul><ul><li>Non si può determinare </li></ul>Prof.Rosangela Mapelli METTITI ALLA PROVA
  30. 30. <ul><li>x – 1 = 0 </li></ul><ul><li>2y + 3 =0 </li></ul><ul><li>2y + 3x =0 </li></ul><ul><li>2x +xy =0 </li></ul>1 . Tra le seguenti equazioni in due incognite, quale non è l’equazione di una retta? 2 . Una retta interseca l’asse y nel punto (0;- 2) e forma con “la direzione positiva dell’asse x” un angolo la cui ampiezza è di 45°. La sua equazione è: <ul><li>y = -2x +1 </li></ul><ul><li>y = x +2 </li></ul><ul><li>y = x – 2 </li></ul><ul><li>y = -2 </li></ul>Prof.Rosangela Mapelli METTITI ALLA PROVA

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