LA PARABOLA..DEFINIZIONE.EQUAZIONE.INTERSEZIONI CON UNA RETTA.PROBLEMI
DEFINIZIONE:La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un puntodato e da una retta data. Il punto si chiam...
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LA SCELTA DEGLI ASSI CARTESIANI DETERMINA :LE COORDINATE DEL FUOCO E L’EQUAZIONE DELLA DIRETTRICE.il fuoco ha coordinate: ...
1 CLIC  Preso un punto P(x;y)                                        y  calcolo la distanza PF  (1clic)                   ...
Eguaglio le due distanze:                        ____________                      (x – 0)2 + (y – c )2 =y –(-c)Elevand...
Equazione della parabola• Siccome 2c è dato anche 1/4c è dato,poniamolo uguale ad a;allora l’equazione                    ...
Viceversa                                                                     1clic  Se si tiene conto della sostituzione ...
Proprietà algebriche•    L’equazione della parabola,              y = a·x2,che abbiamo ottenuta, presenta leseguenti carat...
PROPRIETA’ GRAFICHE (1/2)   Quando nell’equazione y = a·x2 alla variabile x si assegnanotutti i valori reali positivi e ne...
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Esempi di grafici di parabole y = ax2      Caso a > 0 (1clic)            a = 3/2          a=2   a=1       a=1/2 a =1/2; a ...
Prima generalizzazione dell’equazione Possiamo generalizzare l’equazione che si è ottenuta,                           y = ...
Grafici di parabole con a < 0       1clic  a =-1/2  a = -1  a =-3/2  a = -2.                                              ...
Equazione generale  In un piano cartesiano Oxy consideriamo una parabola il cui graficoabbia il vertice in un punto V(x0;y...
Per ottenere l’equazione della parabola riferita al sistema Oxyoccorre applicare le equazioni della traslazione inversa   ...
In conclusione si è dimostrato che una qualsiasi parabola, con asse di     simmetria parallelo all’asse y , ha equazione d...
Le coordinate del vertice:Tenendo presente che x0 ed y0 sono le coordinate del vertice, si conclude:(1clic)               ...
3. Le coordinate del FUOCO FPer effetto della traslazione t le coordinate del fuoco F(0; 1/4a)diventano:                  ...
4. L’equazione della direttricePer effetto della traslazione inversa t -1 , l’equazione delladirettrice                   ...
RELAZIONI TRA V, F,d                                                1clic               y                                 ...
ViceversaViceversa, ogni equazione del tipo                                y = ax2 + bx + crappresenta, per a ≠ 0, una par...
y = ax2 + bx + c                             y = a[x2 + (b/a)x ] + cMetodo del completamento dei quadrati:                ...
Dati della parabolaVertice:                         Asse di simmetria:                                           b   V(_ b...
Esempio di grafico di una parabola di data equazione: 1clic y = x2 – 4x + 6                                 FDi vertice V(...
Problemi relativi alla ricerca dell’equazione di una parabola soddisfacente a date condizioni.Premessa:Siccome le equazion...
CASO : assegnati tre punti non allineati        A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3)                                (1 clic)   Si...
Si ottiene un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite a, b, c                         y1 = ax12+ bx1+ c         ...
CASO :       assegnati il vertice V e un puntoSiano dati: il vertice V(xV;yV) e           il punto A(x1;y1)    1) si impon...
Dati concernenti                      il Vertice, il Fuoco, la DirettriceCasi in cui sono noti 2 dei seguenti 3 dati:il ve...
Primo caso:        noti il fuoco F e la direttrice dDati:    F(xF;yF)   e d: y = hSi perviene subito all’equazione della p...
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Secondo caso: noti il Vertice e               la direttrice d.   Dati:      V(xV;yV) e d: y = hPer via algebrica. Si impos...
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Risoluzione del problema per via algebrica.Per via algebrica. Si imposta il sistema, di tre equazioni in tre incognite,uti...
Intersezione tra Retta e Parabola        Per ricercare gli eventuali punti di intersezione tra una      data retta ed una ...
Nel primo caso la retta e la conica hanno due punti distinti incomune e si dice che la retta è secante; (1clic)           ...
nel secondo caso hanno due punti coincidenti in comune e si diceche la retta e la parabola sono tangenti; (1clic)         ...
In questo caso la tangente e la parabola hanno due punti coincidenti in                            comune 1 clic          ...
nel terzo caso non hanno punti in comune e si dice che laretta è esterna alla parabola.
In conclusione:                                1 clic                    secante                  tangente                ...
Caso particolare di rette secanti Si deve tenere conto del casoparticolare relativo alle retteparallele all’asse di simmet...
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Per studenti ed insegnanti scuole secondarie

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  1. 1. LA PARABOLA..DEFINIZIONE.EQUAZIONE.INTERSEZIONI CON UNA RETTA.PROBLEMI
  2. 2. DEFINIZIONE:La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un puntodato e da una retta data. Il punto si chiama fuoco, la rettadirettrice.I DATI DELLA PARABOLA SONO : il punto F che costituisce ilfuoco e la retta d che costituisce la direttrice;Se il punto e la retta sono dati, allora si conoscono: la distanza traF e d, indicata con 2c. 1clic F• 2c d
  3. 3. introduciamo un opportuno sistema di assi cartesiani ortogonali …… y 1 clicasse y la retta per F eperpendicolare a d (orientatoin modo che l’intersezione cond preceda il fuoco F); 1clic F• O xasse x l’asse del segmentoche rappresenta la ddistanza di F dalladirettrice d. 1clic
  4. 4. LA SCELTA DEGLI ASSI CARTESIANI DETERMINA :LE COORDINATE DEL FUOCO E L’EQUAZIONE DELLA DIRETTRICE.il fuoco ha coordinate: F(0;c) y P(x;y)e la direttrice ha equazione: y=–c. F• c OPer ottenere l’ equazione cartesiana xdel luogo considero un generico punto -cP(x;y) e impongo che soddisfi lacondizione di equidistanza dal fuoco e d y=–cdalla retta direttrice. 1CLIC
  5. 5. 1 CLIC Preso un punto P(x;y) y calcolo la distanza PF (1clic) P(x;y) ______________ PF =  (x – 0)2 + (y – c)2 F(0;c) O1 CLIC xCalcolo la distanza dalla y=-cdirettrice: PH (1clic) d H PH =y- (-c)
  6. 6. Eguaglio le due distanze: ____________  (x – 0)2 + (y – c )2 =y –(-c)Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene: x2 + (y – c)2 = | y + c|2e, sviluppando i calcoli, si ha lequazione: 1 y = ·x2 4c
  7. 7. Equazione della parabola• Siccome 2c è dato anche 1/4c è dato,poniamolo uguale ad a;allora l’equazione 1 y = ·x2 4cdiventa y = a·x2
  8. 8. Viceversa 1clic Se si tiene conto della sostituzione fatta, dall’equazione dellaparabola nella forma: y = a·x2,confrontata con l’equazione ottenuta dalla def.: y = [1/(4c)] x2, si ha:a = [1/(4c)] , quindi: c = 1/(4a)si ottengono le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice,espresse in funzione di a: F(0; 1/(4a)) y = - 1/(4a)
  9. 9. Proprietà algebriche• L’equazione della parabola, y = a·x2,che abbiamo ottenuta, presenta leseguenti caratteristiche algebriche:1. è di primo grado in y.2. è di secondo grado in x;
  10. 10. PROPRIETA’ GRAFICHE (1/2) Quando nell’equazione y = a·x2 alla variabile x si assegnanotutti i valori reali positivi e negativi, i corrispondenti valori della yrisultano, con a > 0, non negativi (y > 0).Quindi il grafico della parabola appartiene al 1 e 2 quadrante.
  11. 11. PROPRIETA’ GRAFICHE (2/2)se una retta, parallelaall’asse delle ascisse,incontra il grafico,allora ciò avviene indue punti simmetrici rispetto all’asse y:i grafici presentano simmetria assialeavente come asse di simmetria l’asse y.
  12. 12. Esempi di grafici di parabole y = ax2 Caso a > 0 (1clic) a = 3/2 a=2 a=1 a=1/2 a =1/2; a = 1; a = 3/2; a = 2.L’origine O è detta vertice dellaparabola x
  13. 13. Prima generalizzazione dell’equazione Possiamo generalizzare l’equazione che si è ottenuta, y = a·x2Se il parametro a è negativo, le ordinate dei punti dellaparabola sono sempre non positivi. Il grafico sta nel 3 e 4quadrante: y < 0
  14. 14. Grafici di parabole con a < 0 1clic a =-1/2 a = -1 a =-3/2 a = -2. a =-3/2L’origine O è dettavertice della parabola a=-2 a=-1 a=-1/2 Ritorno all’indice
  15. 15. Equazione generale In un piano cartesiano Oxy consideriamo una parabola il cui graficoabbia il vertice in un punto V(x0;y0), diverso dall’origine. y Y Eseguiamo la traslazione che porta l’origine O’ nel vertice della parabola. Le equazioni della traslazione sono: x = X + x0 y = Y + y0 (1clic)rispetto a tale sistema di riferimento,la parabola risulta avere equazione: O’= V (x0;y0) X O Y = a X2. x
  16. 16. Per ottenere l’equazione della parabola riferita al sistema Oxyoccorre applicare le equazioni della traslazione inversa X = x - x0 t-1 : Y = y - y0 L’equazione diventa: y - y0 = a·(x - x0)2 Che è l’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y e con il vertice in V(x0;y0) . Se si sviluppano i calcoli, si ottiene: y = ax2 –2ax0x + ax02 + y0 ; Ponendo -(2ax0) = b e ax02 +y0= c Si ha : y = ax2 + bx + c
  17. 17. In conclusione si è dimostrato che una qualsiasi parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse y , ha equazione del tipo: y = ax2 + bx + cLe informazioni relative:1. alle coordinate del Vertice,2. all’equazione dell’asse di simmetria ,3. alle coordinate del Fuoco e4. all’equazione della Direttricerisultano contenute nei tre coefficienti: a, b, c.
  18. 18. Le coordinate del vertice:Tenendo presente che x0 ed y0 sono le coordinate del vertice, si conclude:(1clic) V ( _ b ; _ b2- 4ac ) 2a 4a 2. Equazione dell’asse di simmetria Se si tiene conto che l’asse di simmetria della parabola y = ax2 coincide con l’asse y, di equazione x = 0, per effetto della traslazione operata, l’equazione diventa: x = - b/(2a)
  19. 19. 3. Le coordinate del FUOCO FPer effetto della traslazione t le coordinate del fuoco F(0; 1/4a)diventano: xF = 0 + (b/(2a)) e yF = 1/(4a) + (b2+4ac)/(4a) 1clicIn conclusione: b  1 F ( -  ; -  +  ) 2a 4a 4a
  20. 20. 4. L’equazione della direttricePer effetto della traslazione inversa t -1 , l’equazione delladirettrice y= - 1/(4a)diventa: y = (b2+4ac)/(4a) - 1/(4a)cioè:  1 y = -  -  4a 4a
  21. 21. RELAZIONI TRA V, F,d 1clic y F-/4a+1/(4a) 1/(4a) -/(4a) V 1/(4a) d-/(4a)-1/(4a) x
  22. 22. ViceversaViceversa, ogni equazione del tipo y = ax2 + bx + crappresenta, per a ≠ 0, una parabola con asse di simmetria parallelo all’assey.[N.B. in realtà un’equazione generale di 1 grado in y e di 2 in x èdel tipo: mx2 + nx + py + q= 0Se si esplicita rispetto ad y si ha: y = -(m/p)x2 –(n/p)x –(q/p)e sostituendo: - (m/p) = a; -(n/p) = b; - (q/p) = csi ottiene l’equazione nella forma canonica: y = ax2 + bx + c ]
  23. 23. y = ax2 + bx + c y = a[x2 + (b/a)x ] + cMetodo del completamento dei quadrati: y = a[x2 + (b/a)x + (b/2a )2 - (b/2a )2] + c y = a[x + (b/2a )]2 – b2/4a + cy = a[x + (b/2a )]2 – [(b2 - 4ac)/4a] , sostituendo: (b2 -4ac) = ∆ y + ∆ /4a = a[x + (b/2a )]2se si pone: ∆ /4a = -y0 e b/2a = -x0,L’equazione diventa: y - y0 = a·(x - x0)2Che coincide con l’equazione di una parabola con asse disimmetria parallelo all’asse y e con il vertice in V(x0;y0) .
  24. 24. Dati della parabolaVertice: Asse di simmetria: b V(_ b ;_ b2-4ac ) x = -  2a 4a 2aFuoco direttrice: b -1 +1 F ( -  ; -  ) y = -  2a 4a 4a
  25. 25. Esempio di grafico di una parabola di data equazione: 1clic y = x2 – 4x + 6 FDi vertice V(2;2) 1clic VDi direttrice d y =7/4 1clic ODi fuoco F(2; 9/4) x 1clic
  26. 26. Problemi relativi alla ricerca dell’equazione di una parabola soddisfacente a date condizioni.Premessa:Siccome le equazioni di una parabola con asse di simmetriaparallelo ad un asse cartesiano dipendono da tre parametrioccorrono tre condizioni .
  27. 27. CASO : assegnati tre punti non allineati  A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) (1 clic) Si imposta il sistema costituito dalle tre condizioni di appartenenza dei tre punti dati alla parabola: y = ax2 + bx +c (1 clic)Appartenenza di A alla parabola y = ax2 += ax c + bx + c y bx + 2 (1 clic) 1 1 1 (1 clic)Appartenenza di B alla parabola y = ax22 = ax2c + bx2+ c y + bx + 2 (1 clic) (1 clic) y 2 = ax3 + bx3+ Appartenenza di C alla parabola: y = ax3 + bx +2c (1 clic) c
  28. 28. Si ottiene un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite a, b, c y1 = ax12+ bx1+ c y2 = ax22+ bx2+ c y3 = ax32+ bx3+ cche ammette una ed una sola soluzione (per il teorema di Cramer) Fine problema
  29. 29. CASO : assegnati il vertice V e un puntoSiano dati: il vertice V(xV;yV) e il punto A(x1;y1) 1) si impone il passaggio per il punto A(x1;y1) y1 = ax12+ bx1+ c 2) Il passaggio per V(xV;yV) yV = axV2+ bxV+ c 3) Si impone che l’asse di simmetria x = -(b/2a) coincida con l’ascissa del vertice: -(b/2a) = xV Ritorno al problema
  30. 30. Dati concernenti il Vertice, il Fuoco, la DirettriceCasi in cui sono noti 2 dei seguenti 3 dati:il vertice V, il fuoco F, la direttrice d.Dalle combinazioni dei tre dati, presi a due a due, si possono presentare iseguenti TRE casi: (1clic)Il fuoco F e la direttrice Il vertice V e la Il vertice V e ild direttrice d fuoco F
  31. 31. Primo caso: noti il fuoco F e la direttrice dDati: F(xF;yF) e d: y = hSi perviene subito all’equazione della parabola utilizzando F e y = hnella definizione di parabola: equidistanza da F e da d di un genericopunto P(x;y):
  32. 32. _____________  (x – xF)2 + (y – yF)2 = | y  h |Da cui, sviluppando i calcoli, si perviene all’equazione richiesta. Fine problema
  33. 33. Secondo caso: noti il Vertice e la direttrice d. Dati: V(xV;yV) e d: y = hPer via algebrica. Si imposta il sistema, di tre equazioni in tre incognite,utilizzando i dati del problema: (1clic)l’ascissa del vertice: -b/(2a) = xV ;L’ordinata del vertice: - /(4a) = yV ;L’equazione della direttrice: - /(4a) –1/(4a) = h;
  34. 34. Parabola di dato Fuoco e per un Punto dato Dati: il fuco F(xF;yF) e un punto P(xo;yo)Osservazione: da unaprima analisi si deduce Pche vi sono DUE F P Fparabole che soddisfanole condizioni delproblema. 1 CLIC
  35. 35. (1clic) (1clic) P F P F
  36. 36. Risoluzione del problema per via algebrica.Per via algebrica. Si imposta il sistema, di tre equazioni in tre incognite,utilizzando i dati del problema: (1clic)l’ascissa del fuoco: -b/(2a) = xF ;L’ordinata del fuoco: - /(4a) –1/(4a) = yF ;Appartenenza di P: axo2+bxo+c = yo -b/(2a) = xF -b2 +4ac – 1 = yF 4a axo2+bxo+c = yo Fine problema
  37. 37. Intersezione tra Retta e Parabola Per ricercare gli eventuali punti di intersezione tra una data retta ed una data parabola ,cioè quei punti le cui coordinate soddisfano contemporaneamente l’equazione della retta e della conica, si mettono a sistema le rispettive equazioni formando così un sistema di 2 grado : y = mx + q y = ax2 + bx + c Dal punto di vista algebrico il sistema ammette due soluzioni (x1;y1) e (x2;y2), che possono essere: (1clic)due reali e distinte, due reali e coincidenti, due complesse coniugate
  38. 38. Nel primo caso la retta e la conica hanno due punti distinti incomune e si dice che la retta è secante; (1clic) (x2;y2) (x1;y1)
  39. 39. nel secondo caso hanno due punti coincidenti in comune e si diceche la retta e la parabola sono tangenti; (1clic) (x1;y1)
  40. 40. In questo caso la tangente e la parabola hanno due punti coincidenti in comune 1 clic Mentre la retta secante s viene ‘spostata ’ s parallelamente a se stessa verso la posizione di retta tangente, le coppie di punti di intersezione si ‘avvicinano’ sempre più fino a ‘sovrapporsi’ in due punti coincidenti. 1 clic
  41. 41. nel terzo caso non hanno punti in comune e si dice che laretta è esterna alla parabola.
  42. 42. In conclusione: 1 clic secante tangente esterna
  43. 43. Caso particolare di rette secanti Si deve tenere conto del casoparticolare relativo alle retteparallele all’asse di simmetria,di equazione: x = k.Queste rette intersecano in unsolo punto la parabola.

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