Tutorialmod1fis

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la fisica delle coniche

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  1. 1. LE CONICHE IN FISICA SINTESI E APPUNTI
  2. 2. Introduzione alla geometria analitica <ul><li>Le coniche che vengono prese in considerazione in questo modulo sono la </li></ul><ul><li>circonferenza e la parabola dato che descrivono in modo esaustivo il moto </li></ul><ul><li>circolare uniforme e il moto parabolico di un grave. </li></ul><ul><li>Si definisce conica quella curva che si ottiene intersecando un cono rotondo </li></ul><ul><li>indefinito con un piano non passante per il vertice del cono. </li></ul><ul><li>Consideriamo un cono rotondo indefinito di vertice V, asse k e sia a l'angolo </li></ul><ul><li>formato dalla generatrice del cono con l'asse. Sia p un piano generico non </li></ul><ul><li>passante per il vertice del cono, indichiamo con b l'angolo acuto che p forma </li></ul><ul><li>con l'asse del cono. </li></ul>
  3. 3. Introduzione alla geometria analitica <ul><li>Tipi di sezioni coniche : i piani, </li></ul><ul><li>intersecando il cono, descrivono una </li></ul><ul><li>circonferenza ( in giallo ), un' ellisse </li></ul><ul><li>( in rosso ), una parabola ( in blu ) e </li></ul><ul><li>un' iperbole ( in verde ) </li></ul>
  4. 4. Le coniche in generale <ul><li>Le ellissi si ottengono intersecando il cono con piani che con il suo asse formano angoli maggiori di θ e minori o uguali a π/2; ciascuna di tali intersezioni appartiene ad una sola delle due falde del cono ed è una curva chiusa . Le circonferenze sono casi particolari di ellissi ottenute dalla intersezione del cono con un piano perpendicolare al suo asse. Il fatto di essere curve chiuse rende le ellissi e le circonferenze facilmente visualizzabili. </li></ul>
  5. 5. Le coniche in generale <ul><li>Il grafico di ogni equazione quadratica in due variabili reali, se i coefficienti soddisfano </li></ul><ul><li>determinate condizioni che preciseremo, individua una sezione conica di un piano </li></ul><ul><li>cartesiano, cioè di un piano riferito ad un sistema di coordinate cartesiane . Si trova inoltre </li></ul><ul><li>che tutte le sezioni coniche si possono ottenere in questo modo. </li></ul><ul><li>Se si considera l'equazione quadratica nella forma </li></ul><ul><li> </li></ul><ul><li> </li></ul><ul><li>Si ha la seguente casistica: </li></ul><ul><li>se 2 b = 4 ac , l'equazione rappresenta una parabola ; </li></ul><ul><li>se 2 b < a c e a c e/o b 0, l'equazione determina una ellisse ; </li></ul><ul><li>se a = c e b = 0, l'equazione esprime una circonferenza ; </li></ul><ul><li>se 2 b > a c , l'equazione rappresenta una iperbole ; </li></ul><ul><li>se a + c = 0, l'equazione rappresenta una iperbole rettangolare . </li></ul>
  6. 6. La circonferenza <ul><li>Circonferenza nel piano cartesiano </li></ul><ul><li>In geometria analitica una circonferenza in un piano può essere descritta </li></ul><ul><li>utilmente sia mediante le coordinate cartesiane, sia mediante le coordinate </li></ul><ul><li>polari, sia in forma parametrica. </li></ul>In un sistema di assi cartesiani Oxy , la circonferenza di centro (α,β) e raggio r è il luogo dei punti caratterizzati dall'equazione: ( x − α) 2 + ( y − β) 2 = r 2 cioè è l'insieme di tutti e soli i punti che distano r da (α,β). <ul><li>All'equazione più generale si dà spesso la forma canonica: </li></ul><ul><ul><li>x 2 + y 2 + ax + by + c = 0, </li></ul></ul>
  7. 7. La parabola <ul><li>In geometria analitica, il piano è </li></ul><ul><li>dotato di coordinate cartesiane </li></ul><ul><li>ortogonali, e una parabola può essere </li></ul><ul><li>descritta come luogo di punti che </li></ul><ul><li>soddisfa un'equazione di un certo tipo. </li></ul><ul><li>Una parabola è l'insieme dei punti ( x , y ) del piano cartesiano che soddisfano una equazione quadratica del tipo </li></ul><ul><ul><li>         </li></ul></ul><ul><li>dove: </li></ul>
  8. 8. Applicazione in fisica delle coniche <ul><li>Moto nel piano </li></ul><ul><li>Descrizione del moto nel piano con coordinate cartesiane polari – intrinseche </li></ul><ul><li>Moto circolare </li></ul><ul><li>Moto parabolico </li></ul>
  9. 9. Sistemi di riferimento <ul><li>Il moto è relativo </li></ul><ul><li>Ogni moto va studiato dopo avere fissato un sistema di riferimento, cioè un punto di vista da cui osservare il fenomeno. </li></ul><ul><li>Un sistema di riferimento è rappresentato da una terna di assi cartesiani </li></ul>
  10. 10. Sistemi di riferimento In genere noi studiamo i fenomeni prendendo come sistema di riferimento la Terra
  11. 11. Moto nel piano Concetto di vettore che individua il punto nel piano. Posizione individuata anche da coordinate (cartesiane o polari)
  12. 12. Moto nel piano <ul><li>Vettore spostamento / Vettore posizione </li></ul>Posizione: r(t)=OP= x(t) ux+ y(t) uy Velocità istantanea Analogamente per l’accelerazione:
  13. 13. Moto nel piano coordinate cartesiane <ul><li>Posizione: r(t)=OP= x(t) ux+ y(t) uy </li></ul>
  14. 14. Moto nel piano coordinate polari <ul><li>Posizione: r(t)=OP= x(t) ux+ y(t) uy= r(t) ur </li></ul>x y O  u r u 
  15. 15. Coordinate intrinseche : accelerazione Accelerazione tangenziale Accelerazione normale o centripeta
  16. 16. LA VELOCITA’ La velocità è una grandezza vettoriale definita come rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato a percorrerlo V = D s/D t = (s – s0)/(t – t0) Dove s0 è lo spazio percorso all’istante t0 ed s lo spazio percorso all’istante t. L’unità di misura nel S.I. è il m/s
  17. 17. Accelerazione <ul><li>L’ accelerazione è una grandezza vettoriale definita come la </li></ul><ul><li>variazione di velocità in un certo intervallo di tempo </li></ul><ul><li>a = Δ v/ Δ t (1) </li></ul><ul><li>L’unità di misura è il m/s 2 </li></ul><ul><li>Ricorda che: spostamento, velocità ed accelerazione </li></ul><ul><li>hanno nel moto rettilineo la stessa direzione </li></ul>v s a
  18. 19. Moto circolare R costante! Moto circolare uniforme ha accelerazione normale alla traiettoria Moto periodico con periodo x y O u n u t  s
  19. 20. <ul><li>Che si può anche scrivere: </li></ul><ul><li>v =2  r  </li></ul><ul><li>Dove  è la frequenza </li></ul><ul><li>La velocità angolare è definita come: </li></ul><ul><li>Dove  è l’angolo spazzato dal raggio nel tempo t, quindi: </li></ul>
  20. 21. <ul><li>La velocità angolare è un vettore perpendicolare al piano della traiettoria e verso testa-punta di una vite destrorsa che si avvita nel verso del moto </li></ul><ul><li>v =  r </li></ul><ul><li>L’accelerazione centripeta, cioè diretta verso il centro del moto è data da: </li></ul><ul><li>a c =   r =v 2 /r </li></ul> v a c
  21. 22. MOTO PARABOLICO <ul><li>è la composizione di un moto rettilineo uniforme orizzontale e di un moto uniformemente accelerato verticale </li></ul><ul><li>La sua equazione oraria è </li></ul>v 0
  22. 23. <ul><li>Se il lancio avviene con una velocità iniziale obliqua , il moto orizzontale sarà rettilineo uniforme con velocità v 0x costante e quello verticale sarà uniformemente decelerato con accelerazione -g costante e velocità iniziale v 0y </li></ul>v 0 v 0x v 0y v 0x v 0x v 0y
  23. 24. Se v x e v y sono le componenti della velocità in un generico istante t <ul><li>Le componenti dello spazio lungo gli assi saranno </li></ul>
  24. 25. Ricavando t dalla prima e sostituendo nella seconda si ottiene l’equazione oraria del moto <ul><li>Che rappresenta l’equazione di una parabola </li></ul><ul><li>Ponendo y = 0 si ottiene la distanza tra il punto di lancio e quello di arrivo, cioè la gittata: </li></ul>
  25. 26. FINE

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