Retta e circonferenza nel piano cartesiano

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Nel piano come possono trovarsi la retta e la circonferenza:tangenti, secanti, esterne

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Retta e circonferenza nel piano cartesiano

  1. 1. RETTA E CIRCONFERENZA NEL PIANO Creato da: Rosangela Mapelli Licenza Cretive Commons: Sei libero di modificare e pubblicare questa Presentazione a patto di indicare l'autore, non trarne guadagno e devi condividere i derivati sotto la stessa licenza.
  2. 2. Una retta e una circonferenza nel piano : Si intersecano, si incontrano in due punti Sono tangenti, si incontrano in un punto doppio Sono esterne, non hanno punti in comune Prof. Rosangela Mapelli
  3. 3. Distanza dal centro e raggio <ul><li>Una retta è tangente alla circonferenza quando la distanza d tra la retta e il centro è uguale alla misura del raggio r della circonferenza stessa, cioè d = r </li></ul><ul><li>Una retta è secante alla circonferenza quando la distanza d tra la retta e il centro è minore della misura raggio r della circonferenza stessa, cioè d < r </li></ul><ul><li>Una retta è esterna alla circonferenza quando la distanza d tra la retta e il centro è maggiore della misura raggio r della circonferenza stessa, cioè d > r </li></ul>Prof. Rosangela Mapelli
  4. 4. Per trovare, nel piano cartesiano, le coordinate degli eventuali punti di intersezione di una circonferenza con una retta, si deve risolvere un sistema di secondo grado con le equazioni della circonferenza e della retta cioè: Punti comuni Ricaviamo l’equazione risolvente di secondo grado e studiamo il discriminate  Prof. Rosangela Mapelli
  5. 5. Se  è il discriminante dell’equazione di 2° grado risolvente il sistema si ha: Discriminante retta secante se  >0 retta esterna se  <0 retta tangente se  =0 Prof. Rosangela Mapelli
  6. 6. Esempio Stabilire se hanno punti in comune la retta di equazione x + 3y + 4 = 0 e la circonferenza di equazione x 2 + y 2 + 4x – 2y = 0. Risolviamo il sistema: Il discriminante è maggiore di zero, cioè  >0 la retta è secante alla circonferenza si incontrano in due punti. Prof. Rosangela Mapelli
  7. 7. Punto e circonferenza Un punto appartiene alla circonferenza se le sue coordinate soddisfano l’equazione della circonferenza cioè se sostituite danno un’identità Considero la circonferenza  di equazione x 2 + y 2 - 3x +2y - 3 = 0 il punto P(- 1 ; - 1)   infatti sostituendo si ottiene: Se un punto non appartiene ala circonferenza può essere esterno o interno Essendo – 2 < 0 il punto A è interno alla circonferenza ES. Data l’equazione della circonferenza x 2 + y 2 - 4x = 0 e i punti A(3;1) e B(1;- 5). Sostituiamo nell’equazione della circonferenza prima il punto A e poi il punto B e troviamo: Essendo 22 > 0 il punto B è esterno alla circonferenza Prof. Rosangela Mapelli
  8. 8. Punti e tangenti <ul><li>In una circonferenza possiamo avere punti interni, esterni e appartenenti alla circonferenza. </li></ul><ul><li>Da un punto appartenente alla circonferenza si ha una sola tangente </li></ul><ul><li>Da un punto esterno alla circonferenza si hanno due tangenti </li></ul><ul><li>Da un punto interno alla circonferenza non si hanno tangenti </li></ul>P appartiene alla circonferenza P esterno alla circonferenza P interno alla circonferenza Prof. Rosangela Mapelli
  9. 9. Tangente alla circonferenza Ci sono diversi modi per calcolare l’equazione della retta tangente alla circonferenza. In tutti i casi per prima cosa bisogna calcolare il fascio di rette passanti per il punto P(x P ;y P ) dato usando l’equazione del fascio: y – y P = m ( x – x P ) Prof. Rosangela Mapelli I metodi si possono riassumere: Primo : metodo algebrico, imponendo la condizione di tangenza  =0 Secondo : metodo geometrico, la distanza della retta dal centro è uguale al raggio della circonferenza Terzo : metodo geometrico, il punto appartiene alla circonferenza, tangente e raggio sono perpendicolari Quarto : metodo della regola dello sdoppiamento
  10. 10. Primo metodo Metodo algebrico : Sia che il punto appartenga o sia esterno alla circonferenza, possiamo sempre applicare la condizione di tangenza :  =0 Prof. Rosangela Mapelli 2 si mette a sistema l’equazione della circonferenza e del fascio di retta <ul><li>5 Ricaviamo i valori del coefficiente angolare, che saranno: </li></ul><ul><ul><li>a) due distinti se il punto è esterno alla circonferenza b) due coincidenti in uno se il punto appartiene alla circonferenza </li></ul></ul>1 Troviamo l’equazione del fascio proprio di rette che hanno come punto di sostegno il punto P(x P ;y P ) cioè y – y P = m ( x – x P ) 4 Applichiamo la condizione di tangenza, cioè poniamo il discriminante  =0 6 Sostituiamo i valori trovati nell’equazione del fascio e determiniamo l’equazione delle tangenti 3 si trova l’ equazione risolvente che è un’equazione di secondo grado in x o in y
  11. 11. Esempio 1 Prof. Rosangela Mapelli Data l’equazione della circonferenza  x 2 + y 2 + 2x - 4y + 3 = 0 trovare le equazioni delle rette tangenti passanti per il punto P(2,3). Il punto P è esterno alla circonferenza infatti sostituendo le coordinate troviamo Sicuramente si avranno due tangenti alla circonferenza uscenti da P. Scriviamo il fascio di rette che ha come sostegno P e lo mettiamo a sistema con l’equazione della circonferenza Troviamo l’equazione risolvente Applichiamo la condizione di tangenza  =0 Troviamo i coefficienti angolari delle due rette Sostituiamo nell’ equazione del fascio otteniamo le equazioni delle rette
  12. 12. Secondo metodo Metodo geometrico : Sia che il punto appartenga o sia esterno alla circonferenza, possiamo sempre ricordare che la distanza della retta dal centro è uguale al raggio della circonferenza Prof. Rosangela Mapelli 2 Calcoliamo le coordinate del centro della circonferenza C(x C ;y C ) e il raggio 3 Calcoliamo la distanza del centro dal fascio, utilizzando la proprietà che la distanza tra la retta tangente e il centro della circonferenza è uguale al raggio e poniamola uguale al raggio della circonferenza <ul><li>5 Ricaviamo i valori del coefficiente angolare, che saranno: </li></ul><ul><ul><li>a) due distinti se il punto è esterno alla circonferenza b) due coincidenti in uno se il punto appartiene alla circonferenza </li></ul></ul>1 Troviamo l’equazione del fascio proprio di rette che hanno come punto di sostegno il punto P(x P ;y P ) cioè y – y P = m ( x – x P ) 6 Sostituiamo i valori trovati nell’equazione del fascio e determiniamo l’equazione delle tangenti
  13. 13. Esempio 2 Prof. Rosangela Mapelli Data l’equazione della circonferenza  x 2 + y 2 + 2x - 4y + 3 = 0 trovare le equazioni delle rette tangenti passanti per il punto P(2,3). Il punto P è esterno alla circonferenza infatti sostituendo le coordinate troviamo Sicuramente si avranno due tangenti alla circonferenza uscenti da P. Scriviamo il fascio di rette che ha come sostegno P Calcoliamo le coordinate del centro e la misura del raggio della circonferenza Poniamo la misura del raggio uguale alla distanza del fascio di rette dal centro della circonferenza Troviamo i coefficienti angolari delle due rette Sostituiamo nell’ equazione del fascio otteniamo le equazioni delle rette
  14. 14. Terzo metodo Metodo geometrico : Il punto deve appartenere alla circonferenza, ricordiamo che tangente e raggio sono perpendicolari Prof. Rosangela Mapelli 2 Calcoliamo le coordinate del centro della circonferenza C(x C ;y C ) 3 Calcoliamo il coefficiente angolare m PC della retta che passa per il punto P(x P ;y P ) appartenete alla circonferenza, e per il centro C(x C ;y C ) 5 Ricordando che la retta su cui giace il raggio e la retta tangente alla circonferenza sono perpendicolari calcoliamo il coefficiente angolare della retta tangente 1 Troviamo l’equazione del fascio proprio di rette che hanno come punto di sostegno il punto P(x P ;y P ) cioè y – y P = m ( x – x P ) 6 Sostituiamo il coefficiente trovato nel fascio passante per P(x P ;y P ) e troviamo l’equazione della retta tangente alla circonferenza
  15. 15. Esempio 3 Prof. Rosangela Mapelli Data l’equazione della circonferenza  x 2 + y 2 + 2x - 4y + 3 = 0 trovare le equazioni delle rette tangenti passanti per il punto P(0,1). Il punto P appartiene alla circonferenza infatti sostituendo le coordinate troviamo Sicuramente si avrà una sola tangenti alla circonferenza uscenti da P. Scriviamo il fascio di rette che ha come sostegno P Calcoliamo le coordinate del centro e la misura del raggio della circonferenza Calcoliamo il coefficiente angolare della retta che passa per A e per C Troviamo il coefficiente della retta perpendicolare e sostituiamolo nel fascio Otteniamo l’ equazione della retta Dato che A   sappiamo che la retta tangente che passa per A è perpendicolare alla retta su cui giace il raggio.
  16. 16. Quarto metodo Metodo algebrico : Della regola dello sdoppiamento, il punto deve appartenere alla circonferenza Prof. Rosangela Mapelli 2 Sostituire 3 L’equazione della retta tangente è data da: 1 Scrivere l’equazione della circonferenza
  17. 17. Esempio 4 Prof. Rosangela Mapelli Data l’equazione della circonferenza  x 2 + y 2 + 2x - 4y + 3 = 0 trovare le equazioni delle rette tangenti passanti per il punto P(0,1). Il punto P appartiene alla circonferenza infatti sostituendo le coordinate troviamo Scriviamo il fascio di rette che ha come sostegno P Otteniamo l’ equazione della retta Dato che A   possiamo usare la regola dello sdoppiamento: Sicuramente si avrà una sola tangenti alla circonferenza uscenti da P. Sostituiamo le coordinate del punto A e otteniamo
  18. 18. FINE Prof. Rosangela Mapelli

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