PIANO CARTESIANO e RETTE                                                                                        classi 2 A...
y 2                                                               esempio    punto P1 (1,2)       = =2                    ...
6) RETTE ORIZZONTALI E RETTE VERTICALIuna retta orizzontale è l’insieme di tutti i punti che hanno una y fissataper es. tu...
c) dati due punti del piano                                    determinare la pendenza del segmento che li unisce         ...
Esercizi da svolgere                                                                               3                      ...
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  1. 1. PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/20101) PIANO CARTESIANOserve per indicare, identificare, “chiamare” .... ogni PUNTO del piano (ente geometrico) con una coppia di valori numerici (dettiCOORDINATE).La prima coordinata è chiamata ASCISSA -- La seconda coordinata è chiamata ORDINATAe solitamente vengono indicate con x e y2) Una retta ( una parabola, una curva .......) nel piano cartesiano sono un INSIEME DI PUNTIL’EQUAZIONE di una retta (di una parabola, di una curva...) nel piano cartesiano rappresenta una relazione tra la x e y coordinate deipunti della rettacioè tutti i punti della retta hanno coordinate (x e y) i cui valori numerici soddisfano l’equazione della retta,quindi se si sostituiscono nella equazione i valori numerici di x e y si ottiene una uguaglianza vera.3) EsempioLa mia tariffa telefonica è di 0,10 cent. al minuto più 0,12 cent. di scatto alla risposta.Quanto mi costa una telefonata di 1 minuto? Spesa = 0,10 • 1 + 0,12= 0,22 cent.Quanto mi costa una telefonata di 2 minuti? Spesa = 0,10 • 2 + 0,12= 0,32 centQuanto mi costa una telefonata di 3 minuti? Spesa = 0,10 • 3 + 0,12= 0,42 centQuanto mi costa una telefonata di 4 minuti? Spesa = 0,10 • 4 + 0,12= 0,52 centQuanto mi costa una telefonata di x minuti? (dove x è un numero qualunque) Spesa = 0,10 • x + 0,12= ..........Chiamato “y” il costo della telefonata e “x” il numero di minuti durata della telefonata, l’operazione per calcolare il costo della telefonataè espressa dalla formula y=0,10 x+0,12Questa formula, che indica la relazione tra il costo e la durata della telefonata, è una equazione in x e y e può essereRAPPRESENTATA sul piano cartesiano.Individuando sul piano cartesiano tutti i punti le cui coordinate x e y sono legate dalla relazione, cioè tutte le coordinate che compaiononella tabella seguente in cui, noto il valore della x posso calcolare, con la formula indicata, il valore della y numero dei minuti costo della telefonata x y=0,10x+0,12 1 0,22 2 0,32 3 0,42 4 0,52 5 0,62 6 0,72 10 1,12 15 1,62 20 2,124) RETTA PER L’ORIGINEOsserva i punti della retta nel prossimo grafico e considera le loro coordinate.Per il teorema di Talete - oppure considerando la similitudine dei triangoli in figura POA e P’OA’ - si può dimostrare che PA P A yP yP = cioè = OA OA xP xP Quindi tutti i punti di questa retta hanno coordinate x e y per cui y = valore costante = numero fisso x yin questo caso = valore costante = 2 xPiano cartesiano e rette speciale 2A/D – 3B 2009/2010
  2. 2. y 2 esempio punto P1 (1,2) = =2 x 1 y 6 punto P2 (3,6) = =2 x 3 y 10 punto P3 (5,10) = =2 x 5 Se questo rapporto costante viene indicato con la lettera m y =m si può scrivere y = mx x Questa è la condizione che soddisfano tutte le coordinate dei punti della retta cioè y = mx è la EQUAZIONE della RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE m viene chiamato coefficiente angolare della retta Se un punto appartiene alla retta allora le sue coordinate soddisfano la equazione y = mx --- se si sostituiscono nella equazione i valori numerici di x e y si ottiene una uguaglianza vera.Significato geometrico del coefficienteangolarem indica la pendenza della retta, cioèl’angolo con cui la retta interseca l’assedelle xse m>0 la retta è crescentese m<0 la retta è decrescentese m=1 la retta è la bisettrice del I e IIIquadrantese m=-1 la retta è la bisettrice del II e IVquadrantecondizione di parallelismodue rette con lo stesso coefficiente angolaresono parallelecondizione di perpendicolaritàdue rette i cui coefficienti angolari soddisfano 1la seguente relazione m1 = ! sono m2perpendicolari5) RETTE OBLIQUE non PASSANTI per L’ORIGINELa loro equazione sarà del tipo y = mx + qcon m e q valori numericiIl valore di q (detto “intercetta”) rappresenta l’ordinata ( la y) del punto in cuila retta interseca l’asse delle yDue rette con lo stesso coefficiente angolare m sono paralleleDue rette con la stessa intercetta q si intersecano nel punto (0,q)La retta in figura è la retta di equazione y=x+2Nota: il punto in cui interseca l’asse delle y è (0,2) infatti vale la uguaglianza 2=0+2 il punto in cui interseca l’asse delle x è (-2,0) infatti vale la uguaglianza 0=1•(-2)+2Piano cartesiano e rette speciale 2A/D – 3B 2009/2010
  3. 3. 6) RETTE ORIZZONTALI E RETTE VERTICALIuna retta orizzontale è l’insieme di tutti i punti che hanno una y fissataper es. tutti i punti che hanno la y=-1 si trovano sulla retta orizzontaledisegnata in figura, quindi y=-1 è l’equazione di quella rettain generale tutte le rette orizzontali avranno una equazionedel tipo y=q dove q è un valore numericole rette orizzontali possono essere pensate come rette del tipo y=mx+q concoefficiente angolare m=0una retta verticale è l’insieme di tutti i punti che hanno una x fissataper es. tutti i punti che hanno la x=+1 si trovano sulla retta verticaledisegnata in figura, quindi x=+1 è l’equazione di quella rettain generale tutte le rette verticali avranno una equazionedel tipo x=k dove k è un valore numericole rette verticali non possono essere scritte come rette del tipo y=mx+q 7) ESERCIZI ( esempi di esercizi standard)a) data l’equazione disegnare la rettabasta trovare una coppia di punti che soddisfino l’equazione dellaretta e poi tracciare la retta per i due punties. y=2x+1 x=1 ----> y=2•1+1=3 x=3 ----> y=2•3+1=7Una richiesta che può essere fatta per il rappresentaregraficamente una funzione, può essere quella di determinare i Esempiopunti di intersezione del grafico della funzione con gli assicartesiani. y = 2x ! 6L’intersezione con l’asse delle ordinate (y) se x = 0si trova dalla condizione x=0 y = -6L’intersezione con l’asse delle acsisse (x)si trova dalla condizione y=f(x)=0 se y = 0(tali punti si chiamano anche zeri della funzione – una funzione x=3lineare avrà al massimo un solo zero)es. y=2x+1 x=1 ----> y=2•1+1=3 x=3 ----> y=2•3+1=7b) dato un punto sapere se appartiene ad una retta di equazione data oppure nobasta sostituire le coordinate del punto nella equazione della retta : es. y=2x+1 x=1, y=3 ----> 3=2•1+1 VERO (1,3) è sulla rettase si ottiene una uguaglianza vera --> il punto appartiene alla retta x=2, y=4 ----> 4=2•2+1 FALSO (2,4) non è sulla rettase si ottiene una uguaglianza falsa --> il punto NON appartiene alla rettaPiano cartesiano e rette speciale 2A/D – 3B 2009/2010
  4. 4. c) dati due punti del piano determinare la pendenza del segmento che li unisce determinare il coeff. ang. della retta per i due puntiEsiste una formula da ricordare, legata alla definizione di m vista nel Es.paragrafo 4 Punto A (x=1, y=3) Punto B (x=2, y=4) y !ym= 2 1 dove (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) sono le coordinate dei 2 punti y !y 4!3 1 x2 ! x1 m= 2 1 = = =1 x2 ! x1 2 !1 1d) dati due punti del piano determinare l’equazione della retta per i due puntiL’equazione della retta ( se i due punti non sono sulla stessa verticale) è Es. Determinare l’equazione della retta y = mx + qdel tipo y = mx + q , per cui, per determinarla, bisogna determinare i passante per i due punti :valori di m e di q Punto A (x=1, y=3)Per trovare m si usa il procedimento di cui all’esercizio 3) Punto B (x=2, y=4)Si calcola y !y 4!3 1 y2 ! y1 m= 2 1 = = =1m= dove (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) sono le coordinate dei 2 punti x2 ! x1 2 !1 1 x2 ! x1 Quindi l’equazione sarà y = 1x + qPer trovare q si sfrutta l’informazione che la retta passa per uno qualsiasi Dovendo la retta passare per il punto A deve esseredei 2 punti (equivalente a dire che i punti appartengono alla retta) per cui verificata l’equazione 3 = 1•1+ q ottenuta sostituendo ledeve valere la condizione di cui all’esempio 2)Cioè, sostituendo le coordinate del punto nella equazione della retta coordinate (x,y)=(1,3) nell’equazione y = 1x + qy=mx+q (dove ora si conosce il valore di m già calcolato) si deve ottenere 3 = 1•1+ q 3=1+quna uguaglianza vera. Da cui si ricava 3-1=q q=2Questa sostituzione conduce ad una equazione con il parametro q comeincognita. La sua risoluzione permette di trovare q La retta cercata è y=x+2NB: come per molti esercizi di geometria analitica esistono più modi per risolvere questo problema. Ne segnaliamo rapidamente tre,che saranno approfonditi nelle lezioni in classea) uso della formula per determinare l’equazione della retta per due punti Soluzione con il metodo C y ! y1 x ! x1 = Scrivo l’equazione del fascio di rette proprio per il punto y2 ! y1 x2 ! x1 A(1,3)b) Scritta l’equazione generale della retta y=mx+q , imporreil passaggio y ! y A = m(x ! x A ) " y ! 3 = m(x !1) " y = mx + 3 ! mdella retta per i due punti, sostituendo le loro coordinate nell’equazione , e Imporre il passaggio per B(2,4) significa sostituire nellarisolvere il sistema così ottenuto nelle variabili m e q. equazione del fascio le coordinate di B y = mx + 3 ! m " 4 = 2m + 3 - m " m = 1c) Utilizzare la formula del fascio di rette per un punto (scegliendo uno dei quindi l’equazione della retta cercata saràdue punti dati come centro del fascio) y ! y0 = m(x ! x0 ) y = mx + 3 ! m con m=1 " y = x + 2e poi imporre il passaggio per l’altro punto per determinare il valore di me) determinare l’equazione di una retta parallela ad una retta nota e passante per un puntoIl problema è analogo al precedente . Es. Determinare l’equazione della retta y = mx + qSi tratta di determinare l’equazione della retta del tipo y = mx + q , per parallela alla retta y=2x-1 e passante per il punto :cui, per determinarla, bisogna determinare i valori di m e di q Punto A (x=1, y=3)Per trovare m si usa la regola per cui due rette parallele hanno lo stesso m= coefficiente angolare della retta nota y=2x-1coeff. angolare, per cui m si ricava subito dalla equazione della retta nota. cioè m=2Per trovare q si fa esattamente come primaSi sfrutta l’informazione che la retta passa per il punto indicato Quindi l’equazione sarà y = 2x + q(equivalente a dire che il punto appartiene alla retta) per cui deve valere lacondizione di cui all’esempio 2) Dovendo la retta passare per il punto A deve essereCioè, sostituendo le coordinate del punto nella equazione della retta verificata l’equazione 3 = 2 •1+ q ottenuta sostituendoy=mx+q (dove ora si conosce il valore di m già calcolato) si deve ottenere le coordinate (x,y)=(1,3) nell’equazione y = 2x + quna uguaglianza vera.Questa sostituzione conduce ad una equazione con il parametro q come 3 = 2 •1+ q 3=2+q Da cui si ricavaincognita. La sua risoluzione permette di trovare q 3-2=q q=1 La retta cercata è y=2x+1NB . anche in questo caso si può risolvere l’esercizio con altri metodi, adesempio utilizzando la già citata formula y ! y0 = m(x ! x0 ) - in cui m siutilizza m ricavato dalla condizione di parallelismo e il punto dato comecentro del fascioPiano cartesiano e rette speciale 2A/D – 3B 2009/2010
  5. 5. Esercizi da svolgere 3 y= x 2 y = !2 31) Disegnare le rette 3 y = x +1 x= 2 2 y = !2x !12) Stabilire quali dei seguenti punti appartengono alla retta y=2x-1 A(1,1) B(2,3) C(-1;-1) D( 2; -5)3) Trovare l’equazione della retta che passa per i punti A(0,0) e B(3,2)4) Trovare l’equazione della retta che passa per il punto A(2,3) parallela alla retta y=2x+1 e l’equazione della retta che passa per ilpunto A(2,3) perpendicolare alla retta y=2x+1 e5) Trovare la equazione (la formula, la relazione....) che permette di calcolare il prezzo di una vacanza di n gg al mare, se il viaggiocosta 240€ e l’albergo 50€ a notte, dove n è un numero variabile tra 1 e 14 giorni.....Disegnare la retta corrispondente nel piano cartesiano avente in ascissa il numero di giorni ed in ordinata il prezzo totale.Piano cartesiano e rette speciale 2A/D – 3B 2009/2010

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