Introduzione alla parabola. Con macro e links..da inserire manualmente

1. La parabola
Sintesi
esperienze con Geogebra
esempi
approfondimenti

2. La parabola
Un corpo pesante da una torre.
Galileo Galilei (1564-1642) in
“Discorsi e dimostrazioni
matematiche sopra due Nuove
Scienze”
 prima osservò che un corpo
lasciato cadere ad esempio da una
torre aveva come traiettoria una
retta
 poi prese lo stesso corpo, ritornò
sulla torre e “lanciò” il corpo
(imprimendo quella che
chiameremo velocità iniziale); il
corpo cadeva ma con una traiettoria
diversa: una parabola.
Se vuoi provare con Geogebra
http://geogebratube.org/student/m23632

3. La parabola
Un altro esempio di traiettorie
lo possiamo trovare nel calcio.
Propongo come curiosità:
 un video;
http://www.youtube.com/v/fch08LxzAG8
 un link ad un blog
http://www.ilpost.it/2012/02/23/come-fare-gol-sucalcio-dangolo/
 un titolo di un libro
http://online.scuola.zanichelli.it/chiavidilettura/lascienza-nel-pallone/
per coloro che volessero
approfondire.
E se non piace il calcio?!
Proviamo con il basket
http://vimeo.com/44572572

4. La parabola
L’immagine è tratta dal film “Tutti
pazzi per Mary”
• Un raggio, colpendo una superficie piana
con un certo angolo, viene riflesso con lo
stesso angolo. Se ora prendiamo lo
specchio “abbronzante” possiamo provare a
vedere dove vanno i raggi. Se pieghiamo
questo specchio affinché tutti i raggi
convergano in un punto….il profilo dello
specchio risulterà una curva particolare che
chiameremo parabola (o meglio un pezzo
di parabola).
Se i raggi sono molto forti e la signora è di
carnagione molto chiara…..dopo un po’ di
tempo la signora andrà a “fuoco”!!!!
• Analogamente per i segnali, ad esempio
televisivi, raccolti dalle parabole e
convogliati in un ricevitore che è posto
proprio in quel punto dove si concentrano i
raggi riflessi: il fuoco.

5. La parabola
Archimede (III a.C.) aveva capito tutto questo
e si racconta che con specchi parabolici bruciò
le navi romane. Questo tipo di specchio si
chiama ustorio.
Ed uno specchio era anche messo in cima agli
85mt del faro Alessandria, visibile a 50km di
distanza. (280 a.C.)
Sullo stesso principio funzionano gli impianti
solari a concentrazione.

6. La parabola
Prima di passare alla definizione della parabola soffermiamoci su un ultima considerazione:
• pensiamo di sospendere una catena (o un filo pesante) come in figura. La
curva individuata dal filo sembra una parabola, ma non lo è si chiama
catenaria. (ne riparleremo fra qualche mese).
Ha una proprietà molto importante dal punto di vista dell'equilibrio:
soggetta ad un carico, distribuisce il peso uniformemente lungo la curva
stessa (ogni punto è sottoposto allo stesso peso!).
•se ora pensiamo di appendere, ad esempio con delle
funi, alla catena dei pesi distribuiti uniformemente
(come nel caso di un ponte sospeso); la curva che si
crea è una parabola.
Tale curva ha la proprietà: se su tale curva agisce una
forza peso, questa si distribuisce lungo la parabola in
modo che gli sforzi risultino equamente distribuiti
lungo la direttrice.
E’ quello che accade in alcuni ponti sospesi:alla
catena sono appesi tiranti che sostengono il
piano del ponte: il peso è uniforme per unità
orizzontale di lunghezza, e la curva risultante è
una parabola.

7. La parabola
• E’ possibile provare che le due
curve (filo pesato con o senza carico
distribuito) sono differenti. Per il
momento accontentiamoci di questo
grafico.
Elementi architettonici, archi e loghi:
• Sagrada Familia – Barcellona – A. Gaudi
• Gateway arch St. Louis (USA)

Se ora pensiamo di prendere il ponte
precedente e farne una simmetria
otteniamo questa altra situazione.
•Mc Donald

8. La parabola
Dagli esempi alla definizione di parabola
parabola come luogo di posizioni assunte da un punto che si
muove sotto certe ipotesi (definizione cinematica).
Parabola come luogo di punti del piano che verificano
determinate proprietà geometriche (espresse utilizzando altri
oggetti del piano e relazioni tra questi oggetti) (definizione
metrica)
Parabola come coppie di numeri (e quindi punti nel piano
cartesiano) che soddisfano una equazione f(x,y)=0.
(definizione analitica)
Poiché la parabola è sempre lo stesso oggetto….le tre definizioni dovranno essere equivalenti; cioè scelta
una definizione, le altre (definizioni) seguiranno come proprietà (o proposizioni).

9. La parabola
Definizione di parabola.
Noi abbiamo scelto la definizione metrica
Assegnati nel piano un punto F e una retta d, si chiama parabola la curva
piana luogo geometrico dei punti equidistanti da F e da d
F è detto fuoco, la retta d è detta direttrice
E con alcuni
calcoli
ricaveremo
L’equazione
y  ax 2
ovvero la definizione analitica

10. La parabola
 definizione metrica: assegnati nel piano un punto F e una retta d, si chiama
parabola la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da F e da d
 Vediamo di ricavare la curva con alcune esperienze:
1)
Ad esempio piegando la carta
2)
Ripercorriamo questa esperienza con Geogebra
http://geogebratube.org/student/m93631
3) Vediamo una costruzione diversa della parabola come luogo di
punti … (ripercorreremo la definizione metrica)
http://geogebratube.org/student/m93636

11. La parabola
Sfruttando Geogebra è possibile chiarire
le seguenti affermazioni:
 La retta passante per il fuoco e
perpendicolare alla direttrice si
chiama asse della parabola;
 Il punto V in cui la parabola incontra
l’asse è detto Vertice della parabola
ed l’unico punto della parabola
simmetrico a se stesso
 Preso un punto della parabola esiste
sempre un punto della parabola
stessa che è simmetrico del punto
dato. Diremo che la parabola è una
figura con asse di simmetria
 Variando la distanza tra fuoco e
direttrice si ottengono parabole più o
meno aperte
 La parabola si trova sempre nel
semipiano, individuato dalla
direttrice, e contente il fuoco
http://geogebratube.org/student/m93641

12. La parabola
Si può dimostrare (vedere libro) che
L’equazione di una parabola che ha vertice nell’origine degli assi O e
asse coincidente con l’asse y è del tipo
y  ax 2
Con
(a  0)
1
Fuoco
F  (0; )
4a
Vertice
V (0;0)
asse
x0
1
direttrice y  
4a

13. La parabola
Vediamo brevemente alcuni esempi/esercizi
(a  0) :
Si consideri la parabola y  ax
1) si determini a affinché passi per P(-2;8);
2) Si determini a affinché il fuoco abbia coordinate (0;-4)
2
1) Ricordiamo che se P appartiene alla curva, allora le coordinate di
P soddisfano l’equazione. Quindi sostituiamo ad x e y le coordinate di
P e ricaviamo a. 8  a 22  8  4a  a  2
2) Dalla relazione tra ordinata del fuoco e coefficiente dell’equazione ricaviamo a
F (0,
1
1
1
)
 4  a  
4a
4a
16
Soffermiamoci sul risultato al punto (2): poiché sappiamo che il vertice (0;0) è punto
medio tra direttrice e fuoco, poiché il fuoco ha ordinata -4 possiamo ricavare che la
direttrice avrà equazione y=4. Inoltre la parabola è contenuta nel semipiano contenente il
fuoco e quindi nel III e IV quadrante. Infine poiché la parabola non interseca la direttrice,
allora dovrà essere rivolta verso il basso e quindi a<0.
Il risultato ottenuto e le considerazioni sopra possono essere verificate con Geogebra
(vediamo come)

14. La parabola
1.
2.
3.
4.
Apriamo Geogebra e nella riga di
inserimento digitiamo
l’equazione della parabola. Nella
stessa riga digitiamo le
coordinate del fuoco e
4
l’equazione della direttrice
Scegliamo un punto sulla
parabola
e con lo strumento distanza
valutiamo la distanza tra il punto
e il fuoco e il punto e la direttrice
Muoviamo il punto scelto e
verifichiamo che la condizione di
equidistanza è rispettata
2
3
1

15. La parabola
 Costruiamo ora un foglio di Geogebra per rappresentare la generica
parabola di equazione
y  ax
(a  0)
2
2)
Utilizziamo uno slider, al quale daremo nome a
digitiamo nella riga di inserimento l’equazione
3)
ydi inserimento le 0)
 ax (a coordinate del Fuoco e del
Digitiamo nella riga
1)
2
4)
vertice
Facciamo variare a con lo slider
Cosa possiamo osservare?

Sulla concavità?

Sulla posizione di F?

Sulla forma della curva?

16. La parabola
 Possiamo provare che tutte le parabole
y  ax 2
sono tra loro omotetiche
(a  0)
Ovvero hanno la stessa forma
Consideriamo due parabole di equazione
y  ax

 x'  kx  x 


 y '  ky  y 

2
y  a' x
2
x'
k Sostituendo nell’equazione e
y ' svolgendo i calcoli otteniamo
k
a 2
y '  x'
k
Poniamo
a
a' 
k
E ricaviamo k

17. La parabola
 Utilizziamo adesso Geogebra per traslare la parabola
 Poi carta e penna ricaviamo l’equazione della
generica parabola con asse parallelo alle y e le sue
caratteristiche principali.
 x'  x  xv

 y'  y  yv
Ricaviamo le inverse e sostituiamo nell’equazione
y  ax
2
(a  0)
y  yv  ax  xv   y  ax 2  2axv x  axv  yv
2
Assegniamo : b  2axv ; c  axv  yv
2
2
E otteniamo l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse y:
y  ax  bx  c (a  0)
2

18. La parabola
l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse y:
y  ax  bx  c (a  0)
2
Osserviamo:
1. Le considerazioni su a varranno ancora
2. Il vertice della parabola :
• Ascissa : la otteniamo da b  2axv
b
 xv 
2a
• Ordinata: la otteniamo sostituendo l’ascissa nell’equazione
3. L’asse avrà equazione
4. La direttrice avrà equazione
5. Il fuoco avrà coordinate