1. Simmetria centrale
Consideriamo il punto A,estremo del segmento AB ed M, punto medio di AB. Conosciamo il
punto A di coordinate A( x A ; y A ) e il punto M di
 x A + xB y A + y B 
coordinate M  ;  , vogliamo
 2 2 
determinare le coordinate di B. Il punto B si
troverà rispetto ad A, dalla parte opposta di M,
e alla medesima distanza di A da M.
M e' centro di simmetria tra A e B, cioè B è il
simmetrico di A rispetto ad M.
Le equazioni di una simmetria centrale si
possono quindi dedurre dalle equazioni per
determinare il punto medio di un segmento.
 xB + x A
 xM =
 2 2 x = x B + x A  x = 2 xM − x A
 ⇒ M ⇒ B
 yM = y B + y A 2 y M = y B + y A  y B = 2 yM − y A

 2
Generalizziamo
Dato un punto A e un centro O di simmetria si può determinare il simmetrico di A rispetto ad
O, tramite le equazioni di una simmetria centrale:
 x A' = 2 xO − x A
A → A' ⇒ 
SO
 y A' = 2 yO − y A
Traslazione
Dimostrazione:
Consideriamo un sistema di assi cartesiani xOy,
un punto P di coordinate ( xP , y P ) e un punto O’
di coordinate (a,b).
Trasliamo l’ origine O del sistema di assi
cartesiani in O’ e otteniamo il sistema x’O’y’.
Determiniamo le coordinate di P nel sistema
traslato.
Osservando la figura possiamo dedurre che:
x ' P = xP − a e y ' P = y P − b .
Il punto P nel nuovo sistema di assi cartesiani
avrà coordinate ( xP − a, y P − b)
Le equazioni della traslazione sono:
 x ' = xP − a
P τ O ' P ' ⇒  P
→
 y 'P = y P − b
Generalizziamo
Se l'origine del nuovo sistema x'Oy ' ha,
rispetto al primo, le coordinate O ( a, b) , valgono le relazioni:
 x = x '+ a  x' = x − a
τ → o anche τ → 
 y = y '+b  y' = y − b
 x = x '+ a
La traslazione di vettore v( a, b) è data, quindi, dalle seguenti relazioni τ →
 y = y '+b