Dott.ssa Donatella Cocca           Introduzione alla trigonometriaDef. (Angolo piano) Si consideri una superficie piana, è...
Introduzione alla trigonometria                      Il punto O si chiama vertice dellangolo e le due                     ...
Introduzione alla trigonometriaIn tutte le questioni di matematica viene presa come unitàfondamentale non il grado bensì i...
Introduzione alla trigonometriaEs. (Passaggio da gradi a radianti)Si trasformi da gradi a radianti langolo:   α = 34°22 23...
Le funzioni goniometrichePrima di descrivere le funzioni fondamentali che variano aseconda del variare di un dato valore a...
Le funzioni goniometricheEs. (Potenze dispari di x ) Tutte le potenze dispari di x sono funzionidispari,infatti:    f(x) =...
Le funzioni goniometricheDef. (Seno) il seno dell`angolo , indicato con sin , è il rapporto tra ilsegmento RO , proiezione...
Le funzioni goniometricheIl sin e il cos sono funzioni limitate e in particolare il loro modulonon può mai essere superior...
Le funzioni goniometriche derivate da sin e cosDef. (Tangente) Si definisce tangente dellangolo α il rapporto tra ilsin e ...
Le funzioni goniometricheProprietà della funzione cotangente:    Il dominio della funzione cotangente non è tutto lasse re...
Valori notevoli delle funzioni goniometriche            0       π/6                    π/6                    π/6         ...
Relazioni notevoli tra le funzioni goniometriche   Noti seno, coseno e tangente ricavare la cotangente:           1 − sin ...
Formule di addizione, sottrazione, bisezione,            duplicazione e prostaferesi                 Equazioni trigonometr...
Equazioni trigonometricheEsempio 2: Risolvere la seguente equazione                          sin 4x = cos 2xApplico le for...
Equazioni trigonometricheponiamo ora uguali a zero entrambe i fattori: devo risolvere le dueequazioni:  1 + 2 cos x = 0 ; ...
Equazioni trigonometricheEsempio 5: Risolvere la seguente equazione  3 (1 - sinx cosx) + 2 sinx = sinx sin 2xApplico le fo...
Disequazioni trigonometrichea)   sin x > aSe a ≥ 1 : impossibile (la funzione sin x è limitata tra -1 e + 1) .Se a < -1 : ...
Disequazioni trigonometrichee)   tan x > aScelto α in modo che tan α = a , con α compreso tra -π/2 e π/2, lesoluzioni sono...
Disequazioni trigonometricheEsempio 2: Risolvere la seguente disequazionesin x - cos x < 0                        Per riso...
Disequazioni trigonometricheMettendo assieme le soluzioni si avrà chela soluzione del sistema è:         0 <x< π/4 e 3π/2 ...
Disequazioni trigonometricheEsempio 3: Risolvere la seguente disequazionecos2x + 3 sinx - 3 > 0                    Poiché ...
Disequazioni trigonometriche    risolvo la seconda sin x > ½    so che il seno e superiore ad 1/2 per gli    angoli tra 30...
Disequazioni trigonometriche    risolvo la prima cos x - 1 > 0    cos x > 1 so che il coseno non e‘ mai    maggiore di 1 q...
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Trigonometria

  1. 1. Dott.ssa Donatella Cocca Introduzione alla trigonometriaDef. (Angolo piano) Si consideri una superficie piana, èdetta angolo ciascuna delle due parti di piano delimitate dadue semirette uscenti da uno stesso punto appartenente allasuperficie.Def. (Origine dellangolo) Si dice origine dellangolo pianoil punto di intersezione delle due semirette che generanolangolo stesso.
  2. 2. Introduzione alla trigonometria Il punto O si chiama vertice dellangolo e le due semirette s1 e s2 si dicono lati dellangolo. I due angoli che si formano (parte celeste e parte verde) si dicono esplementari poiché sono distinti e hanno il contorno comune. Langolo celeste si dice concavo in quanto contiene al suo interno i prolungamenti delle semirette (le linee tratteggiate). Langolo verde al contrario si dice convesso poiché non contiene al suo interno i prolungamenti delle semirette. Si chiama arco la parte di circonferenza inclusa in un angolo al centro della circonferenza stessa. La linea curva rossa è lintersezione tra la circonferenza di centro in O e langolo convesso ^AOB. La linea rossa è detta arco sotteso dallangolo ^AOB alla circonferenza. Introduzione alla trigonometriaPer misurare un angolo occorre fissarne lunità di misura. Ununitàspesso usata è il grado.Def. (Grado) Si definisce grado lampiezza di un angolo chesottende un arco di circonferenza pari ad 1/360 dellalunghezza totale della circonferenza stessa.Dunque abbiamo: Il grado è la 360ma parte dellangolo giro. La 60ma parte del grado si dice minuto primo e la 6ma parte del minuto primo si dice minuto secondo.Dunque per un generico angolo vale la formula: o  a °b c =  a + b c  +   60 3600 
  3. 3. Introduzione alla trigonometriaIn tutte le questioni di matematica viene presa come unitàfondamentale non il grado bensì il radiante.Def. (Radiante) Si dice misura in radianti di un angolo ilrapporto tra la lunghezza dellarco di circonferenza sottesodallangolo e il raggio della circonferenza stessa. Siano,dunque, α langolo da misurare, L la lunghezza dellarcodunque, α langolo da misurare, L la lunghezza dellarcocorrispondente e R il raggio della circonferenza valelimportante relazione: L α= RDalla seguente definizione si ottengono le seguenti importantirelazioni: Introduzione alla trigonometria Angolo giro: Larco sotteso da un angolo giro corrisponde a tutta la circonferenza e dunque ha lunghezza pari a L = 2R dove R è il raggio della circonferenza, dunque si ha: 2π R α giro = R = 2π ⇒ α giro = 2π Lunghezza dellarco di circonferenza: La lunghezza di un arco L = αR di circonferenza è:Un metodo di passaggio da un sistema di unità di misura ad un altroconsiste in una semplice proporzione che si basa sul fatto che è noto ilvalore dellangolo giro sia in gradi che in radianti. La proporzione è laseguente: α rad : 2π = α gradi : 360°
  4. 4. Introduzione alla trigonometriaEs. (Passaggio da gradi a radianti)Si trasformi da gradi a radianti langolo: α = 34°22 23 o α ° = 34 ° 22 23 =  34 + 22 23  +  ≅ 34 , 373 °   60 3600  60 3600 Dalla proporzione precedente si ha:  34,373  α = 34,373° =  2π rad ≅ 0,6rad  360  Introduzione alla trigonometriaLe relazioni notevoli tra gradi e radianti sono riassunte nellaseguente tabella: Gradi Radianti 0 0 30° π/6 45° 45° π/4 π/4 60° π/3 90° π/2 180° π 270° 3π/2 360° 2π
  5. 5. Le funzioni goniometrichePrima di descrivere le funzioni fondamentali che variano aseconda del variare di un dato valore angolare è opportunoricordare che cosè esattamente una funzione:Def. (Funzione) una funzione è una legge che mette inrelazione due insiemi, siano A e B, in modo che ad unelemento di A corrisponda uno e un solo elemento di B. Taleelemento di A corrisponda uno e un solo elemento di B. Talelegge si scrive: f ( x) : A → B x∈A (2.1)Nel nostro caso l`insieme A sarà quello dei possibili valori diun angolo mentre l`insieme B varierà caso per caso. Le funzioni goniometricheDef. (Funzione pari) Una funzione si dice pari se non varia al variaredel segno del proprio argomento x. Ovvero se vale la seguenterelazione: f(-x) = f(x) ∀x ∈ D (2.2)dove con D abbiamo indicato il dominio della funzione.Es. (Potenze pari di x ) Tutte le potenze pari di x sono funzioni pari, infatti: f(x) = x ⇒ f(-x) = (-x) = (-1) x = x = f(x) k ∈ Z f(x) = x2k ⇒ f(-x) = (-x)2k = (-1)2kx2k = x2k = f(x) k ∈ Zdove la penultima uguaglianza è data dal fatto che il -1 è elevato ad unapotenza pari.Def. (Funzione dispari) Una funzione si dice dispari se varia solo perun segno meno (- ) globale al variare del segno del proprio argomentox. Ovvero se vale la seguente relazione: f(-x) = -f(x) ∀x ∈ D (2.3)dove con D abbiamo indicato il dominio della funzione.
  6. 6. Le funzioni goniometricheEs. (Potenze dispari di x ) Tutte le potenze dispari di x sono funzionidispari,infatti: f(x) = x2k+1 ) f(-x) = (-x)2k+1 = (-1)2k+1x2k+1 = -x2k+1 = -f(x) k 2 Zdove la penultima uguaglianza è data dal fatto che il -1 è elevato ad unapotenza dispari.Def. (Funzione periodica ) Una funzione f(x) si dice periodica severifica laseguente proprietà: f(x + kT) = f(x) ∀x ∈ Z (2.4)per un dato valore della costante T che prende il nome di periodo dellafunzione.La caratteristica fondamentale di una funzione periodica è, dunque, cheassume gli stessi valori ogni qual volta il proprio argomento aumenta odiminuisce di un periodo T. Le funzioni goniometricheLe due funzioni che stanno alla base di tutta la trigonometriasono chiamate sin letto seno e cos letto coseno.La definizione di queste due funzioni è data a partire da unacirconferenza C il cui centro O sia anche lorigine di unsistema di assi cartesiani x e y. Sia dato un angolo α con origine in O e formato da due semirette di cui O e formato da due semirette di cui una coincidente con lasse x e laltra che interseca la circonferenza nel punto P come in figura, posso costruire le due proiezioni del punto P sullasse x e y, tali proiezioni corrisponderanno rispettivamente allascissa e allordinatadel punto P.
  7. 7. Le funzioni goniometricheDef. (Seno) il seno dell`angolo , indicato con sin , è il rapporto tra ilsegmento RO , proiezione del punto P sull`asse y, e il raggio dellacirconferenza PO . Ovvero: RO sin α = PODef. (Coseno) il coseno dellangolo , indicato con cos, è il rapporto trail segmento RO , proiezione del punto Q sullasse x, e il raggio dellacirconferenza PO . Ovvero: QO cos α = PO Le funzioni goniometricheProprietà del seno e coseno: Non vi sono valori che un angolo non può assumere, siano essi positivi o negativi, inoltre dato qualsiasi angolo è sempre possibile costruire le proiezioni RO e QO. Quindi sia α il generico argomento della funzione si può quindi avere: ∈ ∈ ∈ α∈R sin e cos sono funzioni periodiche: questo significa che assumono gli stessi valori periodicamente allaumentare della loro variabile gli stessi valori periodicamente allaumentare della loro variabile indipendente, nel nostro caso: α. Valgono, dunque, le relazioni: ∈ ∈ sin(α +2kπ) = sinα k ∈ N ∈ ∈ ∈ cos(α +2hπ) = cosα h∈ N ∈ Dato un angolo α qualsiasi tra il suo sin e il suo cos vale la relazione: sinα 2 + cosα 2 = 1 (Teorema fondamentale della trigonometria)
  8. 8. Le funzioni goniometricheIl sin e il cos sono funzioni limitate e in particolare il loro modulonon può mai essere superiore allunità, ovvero (sia α il genericoangolo argomento delle funzioni): ≤1 ≤1 |sinα| ≤1 ≤1 ∪ ∪ ∪ ∪ ≤1 ≤1 |cosα| ≤1 ≤1 ∀ ∈R ∀ ∈R ∀ α∈ R ∀ ∈R(Limitatezza di sin e cos) Le funzioni goniometricheIl sin è una funzione dispari, ovvero, qualunque sia il suoargomento, vale la relazione: sin(- α) = -sin(α)Il cos è una funzione pari, ovvero, qualunque sia il suo argomento,vale la relazione: cos(- α) = cos(α)sen αsen α cos α cos α
  9. 9. Le funzioni goniometriche derivate da sin e cosDef. (Tangente) Si definisce tangente dellangolo α il rapporto tra ilsin e il cos dellangolo stesso. In formula questa relazione si esprimecon: sin α tan α = cos αDef. (Cotangente) Si definisce cotangente dellangolo α il rapporto trail cos e il sin dellangolo stesso, ovvero linverso della tangente. Informula questa relazione si esprime con:formula questa relazione si esprime con: 1 cos α cot α = = tan α sin αDef. (SecanteCosecante) Si definisce secantecosecante dellangolo αlinverso del sincos dellangolo stesso, ovvero: 1 1 sec α = cscα = sin α cos α Le funzioni goniometricheProprietà della funzione tangente: Il dominio della funzione tangente non è tutto lasse reale, infatti i punti in cui cosα = 0 sono singolarità del denominatore e mandano a ∞ la funzione. Quindi il dominio della funzione tangente risulta: Dtanα ={α| α≠π/2+kπ, k∈Ζ} La tangente di un angolo α è una funzione periodica di è una funzione periodica di π π periodo π ovvero: π tan(α + kπ)=tanα k ∈ Z La funzione tangente è dispari nel proprio argomento, ovvero vale la relazione: tan(-α) = -tanα ∀α∈Dtan
  10. 10. Le funzioni goniometricheProprietà della funzione cotangente: Il dominio della funzione cotangente non è tutto lasse reale, infatti i punti in cui sinα = 0 sono singolarità del denominatore e mandano a ∞ la funzione. Quindi il dominio della funzione cotangente risulta: Dcotα ={α| α≠π+kπ, k∈Ζ} La cotangente di un angolo α è una funzione periodica di è una funzione periodica di periodo π ovvero: π π π cot(α + kπ) = cotα k ∈ Z La funzione cotangente è dispari nel proprio argomento, ovvero vale la relazione: cot(-α) = -cotα ∀α∈DtanComportamenti delle funzioni goniometricheLa tabella che segue mostra il segno delle funzioni goniometriche neivari quadranti:Funzione Quadrante I Quadrante II Quadrante III Quadrante IV Seno Positivo crescente Positivo decrescente Negativo decrescente Negativo crescente Coseno Positivo decrescente Negativo decrescente Negativo crescente Positivo crescente Tangente Positivo crescente Negativo crescente Positivo crescente Negativo crescenteCotangenteCotangente Positivo decrescente Positivo decrescente Negativo decrescente Negativo decrescente Positivo decrescente Positivo decrescente Negativo decrescente Negativo decrescente Valori notevoli delle funzioni goniometricheIn genere il seno di un angolo è un numero irrazionale non esprimibilemediante un espressione finita tantè che si ricorre allapprossimazione;per alcuni angoli tuttavia le funzioni goniometriche restituisconorisultati esprimibili mediante unespressione più o meno semplice. Eccoqui di seguito un elenco di angoli notevoli:
  11. 11. Valori notevoli delle funzioni goniometriche 0 π/6 π/6 π/6 π/6 π/4 π/4 π/4 π/4 π/3 π/3 π/3 π/3 π/2 π/2 π/2 π/2 π π π π π π 3/2 π π π π π 2πAngoli 0° 30° 30° 30° 30° 45° 45° 45° 45° 60° 60° 60° 60° 90° 90° 90° 90° 180° 180° 180° 180° 270° 270° 270° 270° 360° 360° 360° 360° sin 0 1/2 2 /2 3/2 1 0 -1 0 cos 1 3/2 2 /2 1/2 0 -1 0 1 tan 0 3/3 1 3 +∞ 0 -∞ 0 cot +∞ 3 1 3/3 0 -∞ 0 +∞ Relazioni notevoli tra le funzioni goniometrichePer come sono state definite è evidente che le funzioni seno e cosenonon sono indipendenti tra loro, ma in qualche modo legate. Si possonodefinire formule che permettano di passare alla prima nota la seconda eviceversa. Valgono le seguenti relazioni: Relazioni notevoli tra le funzioni goniometriche Noto il seno ricavare il coseno e viceversa: sin α = ± 1 - cos 2α ∧ cos α = ± 1 - sin 2α Nota la tangente ricavare seno e coseno: tan α 1 sin α = ± ∧ cos α = ± 1 + tan α 1 + tan 2α 1 + tan α 1 + tan 2α Nota la cotangente ricavare seno e coseno: 1 cot α sin α = ± ∧ cos α = ± 1 + cot 2 α 1 + cot 2 α Noti seno, coseno e cotangente ricavare la tangente: sin α 1 − cos 2α 1 tan α = ± ∨ tan α = ± ∨ tan α = 1 − sin 2α cos α cot α
  12. 12. Relazioni notevoli tra le funzioni goniometriche Noti seno, coseno e tangente ricavare la cotangente: 1 − sin 2α cos α 1 cot α = ± ∨ cot α = ± ∨ cot α = sin α 1 − cos 2α tan α Archi associatiNella tabella seguente possiamo vedere come le funzionitrigonometriche variano quando gli angoli variano di quantità notevolitrigonometriche variano quando gli angoli variano di quantità notevolinella come π, π/2, 2π, etc. Siano α e β due angoli: Formule di addizione, sottrazione, bisezione, duplicazione e prostaferesiLe tabelle successive sintetizzano le formule che legano sommealgebriche e prodotti di angoli o funzioni goniometriche:
  13. 13. Formule di addizione, sottrazione, bisezione, duplicazione e prostaferesi Equazioni trigonometricheEsempio 1: Risolvere la seguente equazione  π   π  3 2sin  x -  = 3 ; sin  x -  =  6   6  2Sappiamo che langolo α nel primo quadrante verifica la seguenterelazione:α = (x-π/6)= π/3 ⇒ α = x = π/6 + π/3 ⇒ α = x = π/2α = (x-π/6)= π/3 ⇒ α = x = π/6 + π/3 ⇒ α = x = π/2per la periodicità (T = 2π) del seno una soluzione più generale è: π x = + 2k π k ∈ Ζ 2Per la formula degli angoli supplementari (sin(π-α) = sin α), cioèl’angolo (π-π/3=2π/3) ha lo stesso seno dell’angolo π/3. In definitivale due soluzioni sono: π 5 x = + 2k π ∨ x = + 2k π k∈Ζ 2 6
  14. 14. Equazioni trigonometricheEsempio 2: Risolvere la seguente equazione sin 4x = cos 2xApplico le formule di duplicazione (cioè: sin 2x=2sinxcosx) 2 sin 2x cos 2x = cos 2x ⇒ 2 sin 2x cos 2x - cos 2x = 0Raccogliamo cos 2x a fattor comune ⇒ cos 2x (2 sin 2x - 1)= 0poniamo ora uguali a zero entrambe i fattori: devo risolvere le dueequazioni : cos 2x = 0 ; 2 sin 2x - 1 = 0 cos 2x = 0 so che il coseno vale zero per langolo di 90° (π/2), quindi 2x = 90° + k 360° però io cerco langolo x e quindi dividiamo per 2 x = 45° + k180° essendo 180 - 45 = 135 x = 45° + k180° v x = 135° + k180° cioè x = π/4 + kπ v x = 3π/4 + kπ 2 sin 2x - 1 = 0 ricavo sin 2x; 2 sin 2x = 1 ⇒ sin 2x = 1/2 Equazioni trigonometricheso che il seno vale 1/2 per gli angoli 30°, π/6, e 150°, 5π/6, (Per laformula degli angoli supplementari) quindi posso scrivere: 2x = 30° + k 360° v 2x = 150° + k 360° 2x = π/6 + 2kπ v 2x = 5π/6 + 2kπperò io cerco langolo x e quindi dividiamo per 2 x= 15° + k 180° v x = 75° + k 180° x = π/12 + 2kπ v x = 5π/12 + 2kπEsempio 3: Risolvere la seguente equazione sin x - cos x = 2 cos2x - sin 2xApplico le formule di duplicazione (cioè: sin 2x=2sinxcosx) sin x - cos x = 2 cos2x - 2 sin x cos x ⇒ sin x - cos x - 2 cos2x + 2 sin x cos x = 0raccolgo sin x fra il primo ed il quarto e - cos x fra il secondo ed il terzo sin x (1 + 2 cos x) - cos x ( 1 + 2 cos x) = 0 ⇒ (1 + 2 cos x) (sin x - cos x) = 0
  15. 15. Equazioni trigonometricheponiamo ora uguali a zero entrambe i fattori: devo risolvere le dueequazioni: 1 + 2 cos x = 0 ; sin x - cos x =0 1 + 2 cos x = 0 ⇒ 2cos x = -1 ⇒ cos x = - 1/2 ⇒ x= 2π/3+2kπ cioè x = 120° + k 360° sin x - cos x =0 divido tutto per cos x ottengo: tan x - 1 = 0 ⇒ tan x = 1 ⇒ x = π/4 + kπ cioè x = 45° + k 180°controllo che cos x = 0 non sia soluzione:cos x = 0 corrisponde a x= 90° cioè x=π/2 sostituisco nellequazionesin 90° - cos 90° = 0 cioè 1 + 0 = 0 impossibileEsempio 4: Risolvere la seguente equazione 4 sin2x cos2x = 14 sin2x cos2x - 1 = 0 cioè una differenza di quadrati (ricordo che se hoa2-b2=(a-b)(a+b) infatti (a-b)(a+b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2) quindi ottengo Equazioni trigonometriche(2 sinx cosx + 1)(2 sinx cosx - 1) = 0 dunque devo risolvere le dueequazioni: 2 sinx cosx + 1=0 ; 2 sinx cosx – 1=0 2 sinx cosx + 1=0 poiché so che cos2x + sin2x =1 sostituendo 2 sin x cos x + sin2x + cos2x = 0 divido tutti i termini per cos2x ottengo 2 tan x + tan2x + 1 = 0 ⇒ tan2x + 2 tan x + 1 = 0 (tan x + 1)2 = 0 ⇒ tan x + 1 = 0 ⇒ tan x = -1 ⇒ x = 135° + k 180° cioè x = 3π/4 + k π tan x = -1 ⇒ x = 135° + k 180° cioè x = 3π/4 + k π 2 sinx cosx – 1=0 2 sin x cos x - sin2x - cos2x = 0 divido tutti i termini per -cos2x ottengo -2 tan x + tan2x + 1 = 0 ⇒ tan2x - 2 tan x + 1 = 0 (tan x - 1)2 = 0 ⇒ tan x - 1 = 0 ⇒ tan x = 1 ⇒ x = 45° + k 180° cioè x = π/4 + k π
  16. 16. Equazioni trigonometricheEsempio 5: Risolvere la seguente equazione 3 (1 - sinx cosx) + 2 sinx = sinx sin 2xApplico le formule di duplicazione (cioè: sin 2x=2sinxcosx) ottengo: 3 (1 - sinx cosx) + 2 sinx = sinx (2 sinx cosx) ⇒ 3 (1 - sinx cosx) + 2 sinx = 2 sin2x cosx ⇒ 3 (1 - sinx cosx) + 2 sinx - 2 sin2x cosx = 0 ⇒ 3 2 3 (1 - sinx cosx) + 2 sin x (1 - sinx cosx) = 0 ⇒(1- sinx cosx) ( 3 + 2 sin x ) = 0 dunque devo risolvere le dueequazioni: 1 - sinx cosx = 0 ; 3 + 2 sin x = 0 1 - sinx cosx = 0 cambio segno ⇒ sinx cosx - 1 = 0 poiché so che cos2x + sin2x =1 sostituendo ottengo: sin x cos x - sin2x - cos2x = 0 divido tutti i termini per - cos2x ottengo -tan x + tan2x + 1 = 0 ordino ⇒ Equazioni trigonometriche ⇒ tan x = 1± 1−4 1± −3tan2x - tan x + 1 = 0 = 2 3il termine sotto radice e minore di zero quindi nessuna soluzione 3 + 2 sin x = 0 ⇒ sin x = − 3 quindi ottengo la soluzione: 2 x = 240° + k 360° x = 300° + k 360° cioè x = 4π/3 + 2kπ x = 5π/3 + 2kπ
  17. 17. Disequazioni trigonometrichea) sin x > aSe a ≥ 1 : impossibile (la funzione sin x è limitata tra -1 e + 1) .Se a < -1 : sempre vera (qualunque valore di x soddisfa la disequazione;la funzione sin x è sempre > -1) : ∀x ∈R .Se a = -1 : vera ∀ x ≠ 3π/2 + 2 k π [infatti : sin (3π/2 + 2 k π) = -1] ∀Se -1< a <1 : scelto α tale che sin α =a con 0 ≤ α < 2 π, le soluzionisono : α + 2 kπ < x < π – α + 2 kπ, ∀ k ∈Zsono : α + 2 kπ < x < π – α + 2 kπ, ∀ k ∈Zb) sin x < aSe a > 1 disequazione sempre vera, qualunque valore di x la soddisfa ,la funzione sin x è sempre <1 : ∀ x ∈R .Se a ≤ -1 impossibile, nessuna soluzione, la funz. sin x è sempre ≥ -1Se a = 1 vera ∀ x ≠ π/2 +2 kπ [ infatti sin (π/2 +2 kπ ) = 1]Se -1 < a < 1 scelto α tale che sin α = a con 0< α ≤ 2π, le soluzionisono : 2 kπ < x < α +2 kπ e π –α +2k1 π < x < 2π + 2k1 , ∀ k, k1∈Z Disequazioni trigonometrichec) cos x > aSe a ≥ 1 : impossibile (la funzione cos x è limitata tra -1 e + 1) .Se a < -1 : sempre vera (qualunque valore di x soddisfa la disequazione;la funzione cos x è sempre > -1) : ∀x ∈R .Se a = -1 : vera ∀ x ≠ π + 2 k π [infatti : cos (π + 2 k π ) = -1]Se -1< a <1 : scelto α tale che cosα =a con 0 ≤ α < π, le soluzioni sono :-α + 2 kπ < x < α + 2 kπ, ∀ k ∈Zd) cos x < aSe a > 1 disequaz. sempre vera: ∀ x ∈R, la funzione cos x è sempre <1.Se a < -1 impossibile, nessuna soluzione, la funz. cos x è sempre ≥ -1Se a = 1 vera ∀ x ≠ π +2 kπ [ infatti cos (π +2 kπ ) = 1]Se -1 < a < 1 scelto α tale che cos α = a con 0< α ≤ π, le soluzionisono : α + 2 kπ < x < 2π-α +2 kπ ∀ k∈Z
  18. 18. Disequazioni trigonometrichee) tan x > aScelto α in modo che tan α = a , con α compreso tra -π/2 e π/2, lesoluzioni sono : α + kπ <x<π/2+ kπ , ∀ k ∈Zf) tan x < aScelto α in modo che tan α = a , con α compreso tra -π/2 e π/2, leScelto α in modo che tan α = a , con α compreso tra -π/2 e π/2, lesoluzioni sono : -π/2 + kπ <x< α + kπ , ∀ k ∈ ∀ ∈Z Disequazioni trigonometricheEsempio 1: Risolvere la seguente disequazione si tracciano la circonferenza trigonometrica e 2 la retta y = − 2 / 2 sin x > − 2 Si cercano tutti gli angoli per cui l’ordinata dei punti di intersezione con la circonferenza è maggiore di − 2 / 2 Ricordando che gli angoli ( compresi tra 0 e 2 π ) aventi per seno − 2 / 2 sono − 2/2 5π/4 e 7π/4 si ottengono le soluzioni: 2k π < x < 5π/4 +2kπ e 7π/4 +2kπ <x< 2 π + 2kπ , ∀ k ∈Z. ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ Facendo uso degli angoli negativi le soluzioni si possono anche esprimere così : π/4+ 2 kπ <x< 5π/4 +2 kπ
  19. 19. Disequazioni trigonometricheEsempio 2: Risolvere la seguente disequazionesin x - cos x < 0 Per risolverla come equazionebasterebbe dividere tutti i termini per cos x essendo una disequazionenon posso dividere immediatamente per cos x perché non ne conosco ilsegno (ricordo che moltiplicando una disequazione per un terminenegativo il verso cambia). Allora per risolvere la disequazionedistinguiamo due casi: cos x > 0 in questo caso, dividendo per cos x, il verso della disequazione resta lo stesso cos x < 0 in questo caso, dividendo per cos x, cambieremo il verso alla disequazioneNel 1° caso: divido per cos x>0 ottengo: Disequazioni trigonometriche  cos x > 0   cos x > 0  sin x ⇒   −1< 0  tan x- 1 < 0  cos xcosx>0 per 0 <x< π/2 e 3π/2 <x< 2π a lato possiamo vedere graficamente la soluzione: graficamente la soluzione:tanx<1 per 0 <x< π/4 eπ/2<x< 5π/4 e 3π/2 <x< 2π a latopossiamo vedere graficamente la soluzione:
  20. 20. Disequazioni trigonometricheMettendo assieme le soluzioni si avrà chela soluzione del sistema è: 0 <x< π/4 e 3π/2 <x< 2πa lato possiamo vedere graficamente lasoluzione.Nel 2° caso: divido per cos x<0 ottengo: cos x < 0 cos x < 0  cos x < 0  sin x ⇒   −1 > 0 tan x − 1 > 0  cos xcosx<0 per π/2 <x< 3π/2 a lato possiamovedere graficamente la soluzione: Disequazioni trigonometrichetanx>1 per π/4 <x< π/2 e 5π/4<x< 3π/2a lato possiamo vedere graficamente la soluzione:Mettendo assieme le soluzioni si avrà che laSoluzione del sistema è: 0 <x< π/4 e5π/4<x< 3π/2 e 3π/2 <x< 2π a lato5π/4<x< 3π/2 e 3π/2 <x< 2π a latopossiamo vedere graficamente lasoluzione
  21. 21. Disequazioni trigonometricheEsempio 3: Risolvere la seguente disequazionecos2x + 3 sinx - 3 > 0 Poiché abbiamo cos2x cerchiamodi trasformare le funzioni in un unico tipo ricordando la prima relazionefondamentale (cos2x = 1 - sin2x) dunque la nostra disequazione diventa:2 (1 - sin2x) + 3 sinx - 3 > 0 ⇒ 2 - 2sin2x + 3 sinx - 3 > 0 ⇒ - 2sin2x + 3 sinx - 1 > 0 Cambio di segno e di verso 2sin2x - 3 sinx + 1 < 0 considero lequazione associata 2sin2x - 3 sinx + 1 = 0 E unequazione di secondo grado insin x; la risolvo: 3± 9−8 3±1 sin x = = 4 4le cui due soluzioni sono: sin x = 1 e sin x = ½Quindi la mia disequazione diventa:2(sin x - 1)(sin x - 1/2) < 0 cioè (sin x - 1)(sin x - 1/2) < 0 Disequazioni trigonometricheE un prodotto: sarà minore di zero quando i fattori avranno segnodiscorde (cioè quando il primo fattore sarà positivo ed il secondonegativo o viceversa). Pongo in un sistema entrambe i fattori maggioridi zero e trovo gli intervalli dove i segni sono discordi: sin x > 1   1 sin x > sin x > 2   risolvo la prima sin x > 1 so che il seno e sempre compreso fra -1 ed 1, quindi la disequazione non e mai verificata a destra la rappresentazione grafica
  22. 22. Disequazioni trigonometriche risolvo la seconda sin x > ½ so che il seno e superiore ad 1/2 per gli angoli tra 30° e 150° quindi posso scrivere π/6 < x < 5π/6 a destra la rappresentazione grafica.Ora cerco le soluzioni discordi della prima e della secondadisequazione: ho quindi la soluzioni π/6 < x < 5π/6 (cioè angolicompresi tra 30° e 150°)che graficamente diventa: Disequazioni trigonometricheEsempio 4: Risolvere la seguente disequazione2 sin x cos x - 2sin x > 2 cos x - 2Porto tutti i termini prima della disuguaglianza:2 sin x cos x - 2sin x - 2 cos x + 2 > 0 raccolgo a fattor comune:sin x (cos x - 1) - 2 ( cos x - 1) > 0 ⇒ (cos x - 1) (2 sin x - 2 ) > 0E un prodotto: sarà maggiore di zero quando i fattori avranno segnoE un prodotto: sarà maggiore di zero quando i fattori avranno segnoconcorde (cioè quando entrambe i fattori sono positivi oppure sonoentrambe negativi).Pongo in un sistema entrambe i fattori ponendoli maggiori di zero etrovo gli intervalli dove i segni sono concordi:  cos x − 1 > 0   2 sin x − 2 > 0
  23. 23. Disequazioni trigonometriche risolvo la prima cos x - 1 > 0 cos x > 1 so che il coseno non e‘ mai maggiore di 1 quindi nessuna soluzione a destra la rappresentazione grafica risolvo la seconda 2 sin x - 2 > 0 ricavo sin x ⇒ 2 sin x > 2 ⇒ sin x > 2 2 so che il seno e superiore a 2 2 per gli angoli tra 45° e 135° quindi posso scrivere π/4 < x < 3π/4 a destra la soluzione grafica Disequazioni trigonometricheOra cerchiamo le soluzioni concordi della prima e della secondadisequazione (cioè dove entrambe le disequazioni sono verificateoppure dove sono entrambe non verificate): riporto allinterno i duegrafici trovati.La soluzione è: 0 < x < π/4 e 3π/4< x < 3π/4che graficamente diventa:che graficamente diventa:

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