Trigonometria

Dott.ssa Donatella Cocca
Introduzione alla trigonometria
Def. (Angolo piano) Si consideri una superficie piana, è
detta angolo ciascuna delle due parti di piano delimitate da
due semirette uscenti da uno stesso punto appartenente alla
superficie.
Def. (Origine dell'angolo) Si dice origine dell'angolo piano
il punto di intersezione delle due semirette che generano
l'angolo stesso.

Il punto O si chiama vertice dell'angolo e le due
semirette s1 e s2 si dicono lati dell'angolo. I due
angoli che si formano (parte celeste e parte
verde) si dicono esplementari poiché sono
distinti e hanno il contorno comune. L'angolo
celeste si dice concavo in quanto contiene al suo
interno i prolungamenti delle semirette (le linee
tratteggiate). L'angolo verde al contrario si dice
convesso poiché non contiene al suo interno i
prolungamenti delle semirette.
Si chiama arco la parte di circonferenza inclusa
in un angolo al centro della circonferenza stessa.
La linea curva rossa è l'intersezione tra la
circonferenza di centro in O e l'angolo convesso
^AOB. La linea rossa è detta arco sotteso
dall'angolo ^AOB alla circonferenza.
Per misurare un angolo occorre fissarne l'unità di misura. Un'unità
spesso usata è il grado.
Def. (Grado) Si definisce grado l'ampiezza di un angolo che
sottende un arco di circonferenza pari ad 1/360 della
lunghezza totale della circonferenza stessa.
Dunque abbiamo:
Il grado è la 360ma parte dell'angolo giro. La 60ma parte del
grado si dice minuto primo e la 6ma parte del minuto primo
si dice minuto secondo.
Dunque per un generico angolo vale la formula:
o

a °b ' c ' ' =  a +
b c 
+ 
 60 3600 

In tutte le questioni di matematica viene presa come unità
fondamentale non il grado bensì il radiante.
Def. (Radiante) Si dice misura in radianti di un angolo il
rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza sotteso
dall'angolo e il raggio della circonferenza stessa. Siano,
dunque, α l'angolo da misurare, L la lunghezza dell'arco
dunque, α l'angolo da misurare, L la lunghezza dell'arco
corrispondente e R il raggio della circonferenza vale
l'importante relazione:
L
α=
R
Dalla seguente definizione si ottengono le seguenti importanti
relazioni:
Angolo giro: L'arco sotteso da un angolo giro corrisponde a tutta
la circonferenza e dunque ha lunghezza pari a L = 2R dove R è il
raggio della circonferenza, dunque si ha:
2π R
α giro
=
R
= 2π ⇒ α giro
= 2π
Lunghezza dell'arco di circonferenza: La lunghezza di un arco
L = αR
di circonferenza è:
Un metodo di passaggio da un sistema di unità di misura ad un altro
consiste in una semplice proporzione che si basa sul fatto che è noto il
valore dell'angolo giro sia in gradi che in radianti. La proporzione è la
seguente:
α rad
: 2π = α gradi : 360°

Es. (Passaggio da gradi a radianti)
Si trasformi da gradi a radianti l'angolo: α = 34°22 '23 ' '
o

α ° = 34 ° 22 ' 23 ' ' =  34 +
22 23 
+  ≅ 34 , 373 °

 60 3600 
60 3600 
Dalla proporzione precedente si ha:
 34,373 
α = 34,373° =  2π rad ≅ 0,6rad
 360 
Le relazioni notevoli tra gradi e radianti sono riassunte nella
seguente tabella:
Gradi Radianti
0 0
30° π/6
45°
45° π/4
π/4
60° π/3
90° π/2
180° π
270° 3π/2
360° 2π

Le funzioni goniometriche
Prima di descrivere le funzioni fondamentali che variano a
seconda del variare di un dato valore angolare è opportuno
ricordare che cos'è esattamente una funzione:
Def. (Funzione) una funzione è una legge che mette in
relazione due insiemi, siano A e B, in modo che ad un
elemento di A corrisponda uno e un solo elemento di B. Tale
elemento di A corrisponda uno e un solo elemento di B. Tale
legge si scrive:
f ( x) : A → B x∈A (2.1)
Nel nostro caso l`insieme A sarà quello dei possibili valori di
un angolo mentre l`insieme B varierà caso per caso.
Def. (Funzione pari) Una funzione si dice pari se non varia al variare
del segno del proprio argomento x. Ovvero se vale la seguente
relazione:
f(-x) = f(x) ∀x ∈ D (2.2)
dove con D abbiamo indicato il dominio della funzione.
Es. (Potenze pari di x ) Tutte le potenze pari di x sono funzioni pari, infatti:
f(x) = x ⇒ f(-x) = (-x) = (-1) x = x = f(x) k ∈ Z
f(x) = x2k ⇒ f(-x) = (-x)2k = (-1)2kx2k = x2k = f(x) k ∈ Z
dove la penultima uguaglianza è data dal fatto che il -1 è elevato ad una
potenza pari.
Def. (Funzione dispari) Una funzione si dice dispari se varia solo per
un segno meno (- ) globale al variare del segno del proprio argomento
x. Ovvero se vale la seguente relazione:
f(-x) = -f(x) ∀x ∈ D (2.3)
dove con D abbiamo indicato il dominio della funzione.

Es. (Potenze dispari di x ) Tutte le potenze dispari di x sono funzioni
dispari,infatti:
f(x) = x2k+1 ) f(-x) = (-x)2k+1 = (-1)2k+1x2k+1 = -x2k+1 = -f(x) k 2 Z
dove la penultima uguaglianza è data dal fatto che il -1 è elevato ad una
potenza dispari.
Def. (Funzione periodica ) Una funzione f(x) si dice periodica se
verifica la
seguente proprietà:
f(x + kT) = f(x) ∀x ∈ Z (2.4)
per un dato valore della costante T che prende il nome di periodo della
funzione.
La caratteristica fondamentale di una funzione periodica è, dunque, che
assume gli stessi valori ogni qual volta il proprio argomento aumenta o
diminuisce di un periodo T.
Le due funzioni che stanno alla base di tutta la trigonometria
sono chiamate sin letto seno e cos letto coseno.
La definizione di queste due funzioni è data a partire da una
circonferenza C il cui centro O sia anche l'origine di un
sistema di assi cartesiani x e y.
Sia dato un angolo α con origine in
O e formato da due semirette di cui
O e formato da due semirette di cui
una coincidente con l'asse x e l'altra
che interseca la circonferenza nel
punto P come in figura, posso
costruire le due proiezioni del punto
P sull'asse x e y, tali proiezioni
corrisponderanno rispettivamente all'ascissa e all'ordinata
del punto P.

Def. (Seno) il seno dell`angolo , indicato con sin , è il rapporto tra il
segmento RO , proiezione del punto P sull`asse y, e il raggio della
circonferenza PO . Ovvero: RO
sin α =
PO
Def. (Coseno) il coseno dell'angolo , indicato con cos, è il rapporto tra
il segmento RO , proiezione del punto Q sull'asse x, e il raggio della
circonferenza PO . Ovvero: QO
cos α =
PO
Proprietà del seno e coseno:
Non vi sono valori che un angolo non può assumere, siano essi
positivi o negativi, inoltre dato qualsiasi angolo è sempre possibile
costruire le proiezioni RO e QO. Quindi sia α il generico argomento
della funzione si può quindi avere: ∈
∈
∈
α∈R
sin e cos sono funzioni periodiche: questo significa che assumono
gli stessi valori periodicamente all'aumentare della loro variabile
gli stessi valori periodicamente all'aumentare della loro variabile
indipendente, nel nostro caso: α. Valgono, dunque, le relazioni:
∈
∈
sin(α +2kπ) = sinα k ∈ N
∈
∈
∈
cos(α +2hπ) = cosα h∈ N
∈
Dato un angolo α qualsiasi tra il suo sin e il suo cos vale la
relazione: sinα 2 + cosα 2 = 1
(Teorema fondamentale della trigonometria)

Il sin e il cos sono funzioni limitate e in particolare il loro modulo
non può mai essere superiore all'unità, ovvero (sia α il generico
angolo argomento delle funzioni):
≤1
≤1
|sinα| ≤1
≤1 ∪
∪
∪
∪ ≤1
≤1
|cosα| ≤1
≤1 ∀ ∈R
∀ ∈R
∀ α∈ R
∀ ∈R
(Limitatezza di sin e cos)
Il sin è una funzione dispari, ovvero, qualunque sia il suo
argomento, vale la relazione:
sin(- α) = -sin(α)
Il cos è una funzione pari, ovvero, qualunque sia il suo argomento,
vale la relazione:
cos(- α) = cos(α)
sen α
sen α cos α
cos α

Le funzioni goniometriche derivate da sin e cos
Def. (Tangente) Si definisce tangente dell'angolo α il rapporto tra il
sin e il cos dell'angolo stesso. In formula questa relazione si esprime
con: sin α
tan α =
cos α
Def. (Cotangente) Si definisce cotangente dell'angolo α il rapporto tra
il cos e il sin dell'angolo stesso, ovvero l'inverso della tangente. In
formula questa relazione si esprime con:
formula questa relazione si esprime con:
1 cos α
cot α = =
tan α sin α
Def. (SecanteCosecante) Si definisce secantecosecante dell'angolo α
l'inverso del sincos dell'angolo stesso, ovvero:
1 1
sec α = cscα =
sin α cos α
Proprietà della funzione tangente:
Il dominio della funzione tangente non è tutto l'asse reale, infatti i
punti in cui cosα = 0 sono singolarità del denominatore e mandano
a ∞ la funzione. Quindi il dominio della funzione tangente risulta:
Dtanα ={α| α≠π/2+kπ, k∈Ζ}
La tangente di un angolo α
è una funzione periodica di
π
π
periodo π ovvero:
π
tan(α + kπ)=tanα k ∈ Z
La funzione tangente è
dispari nel proprio argomento,
ovvero vale la relazione:
tan(-α) = -tanα ∀α∈Dtan

Proprietà della funzione cotangente:
Il dominio della funzione cotangente non è tutto l'asse reale, infatti i
punti in cui sinα = 0 sono singolarità del denominatore e mandano a
∞ la funzione. Quindi il dominio della funzione cotangente risulta:
Dcotα ={α| α≠π+kπ, k∈Ζ}
La cotangente di un angolo α
periodo π ovvero:
π
π
π
cot(α + kπ) = cotα k ∈ Z
La funzione cotangente è
dispari nel proprio argomento,
ovvero vale la relazione:
cot(-α) = -cotα ∀α∈Dtan
Comportamenti delle funzioni goniometriche
La tabella che segue mostra il segno delle funzioni goniometriche nei
vari quadranti:
Funzione Quadrante I Quadrante II Quadrante III Quadrante IV
Seno Positivo crescente Positivo decrescente Negativo decrescente Negativo crescente
Coseno Positivo decrescente Negativo decrescente Negativo crescente Positivo crescente
Tangente Positivo crescente Negativo crescente Positivo crescente Negativo crescente
Cotangente
Cotangente Positivo decrescente
Positivo decrescente Negativo decrescente
Negativo decrescente Positivo decrescente
Positivo decrescente Negativo decrescente
Negativo decrescente
Valori notevoli delle funzioni goniometriche
In genere il seno di un angolo è un numero irrazionale non esprimibile
mediante un espressione finita tant'è che si ricorre all'approssimazione;
per alcuni angoli tuttavia le funzioni goniometriche restituiscono
risultati esprimibili mediante un'espressione più o meno semplice. Ecco
qui di seguito un elenco di angoli notevoli:

Valori notevoli delle funzioni goniometriche
0 π/6
π/6
π/6
π/6 π/4
π/4
π/4
π/4 π/3
π/3
π/3
π/3 π/2
π/2
π/2
π/2 π
π
π
π π
π
3/2 π
π π
π
π
2π
Angoli
0° 30°
30°
30°
30° 45°
45°
45°
45° 60°
60°
60°
60° 90°
90°
90°
90° 180°
180°
180°
180° 270°
270°
270°
270° 360°
360°
360°
360°
sin 0 1/2 2 /2 3/2 1 0 -1 0
cos 1 3/2 2 /2 1/2 0 -1 0 1
tan 0 3/3 1 3 +∞ 0 -∞ 0
cot +∞ 3 1 3/3 0 -∞ 0 +∞
Relazioni notevoli tra le funzioni goniometriche
Per come sono state definite è evidente che le funzioni seno e coseno
non sono indipendenti tra loro, ma in qualche modo legate. Si possono
definire formule che permettano di passare alla prima nota la seconda e
viceversa. Valgono le seguenti relazioni:
Noto il seno ricavare il coseno e viceversa:
sin α = ± 1 - cos 2α ∧ cos α = ± 1 - sin 2α
Nota la tangente ricavare seno e coseno:
tan α 1
sin α = ± ∧ cos α = ±
1 + tan α
1 + tan 2α 1 + tan α
1 + tan 2α
Nota la cotangente ricavare seno e coseno:
1 cot α
sin α = ± ∧ cos α = ±
1 + cot 2 α 1 + cot 2 α
Noti seno, coseno e cotangente ricavare la tangente:
sin α 1 − cos 2α 1
tan α = ± ∨ tan α = ± ∨ tan α =
1 − sin 2α cos α cot α

Noti seno, coseno e tangente ricavare la cotangente:
1 − sin 2α cos α 1
cot α = ± ∨ cot α = ± ∨ cot α =
sin α 1 − cos 2α tan α
Archi associati
Nella tabella seguente possiamo vedere come le funzioni
trigonometriche variano quando gli angoli variano di quantità notevoli
trigonometriche variano quando gli angoli variano di quantità notevoli
nella come π, π/2, 2π, etc. Siano α e β due angoli:
Formule di addizione, sottrazione, bisezione,
duplicazione e prostaferesi
Le tabelle successive sintetizzano le formule che legano somme
algebriche e prodotti di angoli o funzioni goniometriche:

Formule di addizione, sottrazione, bisezione,
duplicazione e prostaferesi
Equazioni trigonometriche
Esempio 1: Risolvere la seguente equazione
 π   π  3
2sin  x -  = 3 ; sin  x -  =
 6   6  2
Sappiamo che l'angolo α nel primo quadrante verifica la seguente
relazione:
α = (x-π/6)= π/3 ⇒ α = x = π/6 + π/3 ⇒ α = x = π/2
α = (x-π/6)= π/3 ⇒ α = x = π/6 + π/3 ⇒ α = x = π/2
per la periodicità (T = 2π) del seno una soluzione più generale è:
π
x = + 2k π k ∈ Ζ
2
Per la formula degli angoli supplementari (sin(π-α) = sin α), cioè
l’angolo (π-π/3=2π/3) ha lo stesso seno dell’angolo π/3. In definitiva
le due soluzioni sono:
π 5
x = + 2k π ∨ x = + 2k π k∈Ζ
2 6

sin 4x = cos 2x
Applico le formule di duplicazione (cioè: sin 2x=2sinxcosx)
2 sin 2x cos 2x = cos 2x ⇒ 2 sin 2x cos 2x - cos 2x = 0
Raccogliamo cos 2x a fattor comune ⇒ cos 2x (2 sin 2x - 1)= 0
poniamo ora uguali a zero entrambe i fattori: devo risolvere le due
equazioni : cos 2x = 0 ; 2 sin 2x - 1 = 0
cos 2x = 0 so che il coseno vale zero per l'angolo di 90° (π/2),
quindi 2x = 90° + k 360° però io cerco l'angolo x e quindi
dividiamo per 2 x = 45° + k180° essendo 180 - 45 = 135
x = 45° + k180° v x = 135° + k180° cioè
x = π/4 + kπ v x = 3π/4 + kπ
2 sin 2x - 1 = 0 ricavo sin 2x; 2 sin 2x = 1 ⇒ sin 2x = 1/2
so che il seno vale 1/2 per gli angoli 30°, π/6, e 150°, 5π/6, (Per la
formula degli angoli supplementari) quindi posso scrivere:
2x = 30° + k 360° v 2x = 150° + k 360°
2x = π/6 + 2kπ v 2x = 5π/6 + 2kπ
però io cerco l'angolo x e quindi dividiamo per 2
x= 15° + k 180° v x = 75° + k 180°
x = π/12 + 2kπ v x = 5π/12 + 2kπ
sin x - cos x = 2 cos2x - sin 2x
Applico le formule di duplicazione (cioè: sin 2x=2sinxcosx)
sin x - cos x = 2 cos2x - 2 sin x cos x ⇒
sin x - cos x - 2 cos2x + 2 sin x cos x = 0
raccolgo sin x fra il primo ed il quarto e - cos x fra il secondo ed il terzo
sin x (1 + 2 cos x) - cos x ( 1 + 2 cos x) = 0 ⇒
(1 + 2 cos x) (sin x - cos x) = 0

poniamo ora uguali a zero entrambe i fattori: devo risolvere le due
equazioni: 1 + 2 cos x = 0 ; sin x - cos x =0
1 + 2 cos x = 0 ⇒ 2cos x = -1 ⇒ cos x = - 1/2 ⇒
x= 2π/3+2kπ cioè x = 120° + k 360°
sin x - cos x =0 divido tutto per cos x ottengo: tan x - 1 = 0
⇒ tan x = 1 ⇒ x = π/4 + kπ cioè x = 45° + k 180°
controllo che cos x = 0 non sia soluzione:
cos x = 0 corrisponde a x= 90° cioè x=π/2 sostituisco nell'equazione
sin 90° - cos 90° = 0 cioè 1 + 0 = 0 impossibile
4 sin2x cos2x = 1
4 sin2x cos2x - 1 = 0 cioè una differenza di quadrati (ricordo che se ho
a2-b2=(a-b)(a+b) infatti (a-b)(a+b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2) quindi ottengo
(2 sinx cosx + 1)(2 sinx cosx - 1) = 0 dunque devo risolvere le due
equazioni: 2 sinx cosx + 1=0 ; 2 sinx cosx – 1=0
2 sinx cosx + 1=0 poiché so che cos2x + sin2x =1
sostituendo 2 sin x cos x + sin2x + cos2x = 0 divido tutti i termini
per cos2x ottengo 2 tan x + tan2x + 1 = 0 ⇒
tan2x + 2 tan x + 1 = 0 (tan x + 1)2 = 0 ⇒ tan x + 1 = 0 ⇒
tan x = -1 ⇒ x = 135° + k 180° cioè x = 3π/4 + k π
tan x = -1 ⇒ x = 135° + k 180° cioè x = 3π/4 + k π
2 sinx cosx – 1=0 2 sin x cos x - sin2x - cos2x = 0
divido tutti i termini per -cos2x ottengo
-2 tan x + tan2x + 1 = 0 ⇒ tan2x - 2 tan x + 1 = 0
(tan x - 1)2 = 0 ⇒ tan x - 1 = 0 ⇒ tan x = 1 ⇒
x = 45° + k 180° cioè x = π/4 + k π

3 (1 - sinx cosx) + 2 sinx = sinx sin 2x
Applico le formule di duplicazione (cioè: sin 2x=2sinxcosx) ottengo:
3 (1 - sinx cosx) + 2 sinx = sinx (2 sinx cosx) ⇒
3 (1 - sinx cosx) + 2 sinx = 2 sin2x cosx ⇒
3 (1 - sinx cosx) + 2 sinx - 2 sin2x cosx = 0 ⇒
3 2
3 (1 - sinx cosx) + 2 sin x (1 - sinx cosx) = 0 ⇒
(1- sinx cosx) ( 3 + 2 sin x ) = 0 dunque devo risolvere le due
equazioni: 1 - sinx cosx = 0 ; 3 + 2 sin x = 0
1 - sinx cosx = 0 cambio segno ⇒ sinx cosx - 1 = 0
poiché so che cos2x + sin2x =1 sostituendo ottengo:
sin x cos x - sin2x - cos2x = 0 divido tutti i termini per - cos2x
ottengo -tan x + tan2x + 1 = 0 ordino ⇒
⇒ tan x =
1± 1−4 1± −3
tan2x - tan x + 1 = 0 =
2 3
il termine sotto radice e' minore di zero quindi nessuna soluzione
3 + 2 sin x = 0 ⇒ sin x = − 3 quindi ottengo la
soluzione: 2
x = 240° + k 360° x = 300° + k 360° cioè
x = 4π/3 + 2kπ x = 5π/3 + 2kπ

Disequazioni trigonometriche
a) sin x > a
Se a ≥ 1 : impossibile (la funzione sin x è limitata tra -1 e + 1) .
Se a < -1 : sempre vera (qualunque valore di x soddisfa la disequazione;
la funzione sin x è sempre > -1) : ∀x ∈R .
Se a = -1 : vera ∀ x ≠ 3π/2 + 2 k π [infatti : sin (3π/2 + 2 k π) = -1]
∀
Se -1< a <1 : scelto α tale che sin α =a con 0 ≤ α < 2 π, le soluzioni
sono : α + 2 kπ < x < π – α + 2 kπ, ∀ k ∈Z
sono : α + 2 kπ < x < π – α + 2 kπ, ∀ k ∈Z
b) sin x < a
Se a > 1 disequazione sempre vera, qualunque valore di x la soddisfa ,
la funzione sin x è sempre <1 : ∀ x ∈R .
Se a ≤ -1 impossibile, nessuna soluzione, la funz. sin x è sempre ≥ -1
Se a = 1 vera ∀ x ≠ π/2 +2 kπ [ infatti sin (π/2 +2 kπ ) = 1]
Se -1 < a < 1 scelto α tale che sin α = a con 0< α ≤ 2π, le soluzioni
sono : 2 kπ < x < α +2 kπ e π –α +2k1 π < x < 2π + 2k1 , ∀ k, k1∈Z
c) cos x > a
Se a ≥ 1 : impossibile (la funzione cos x è limitata tra -1 e + 1) .
Se a < -1 : sempre vera (qualunque valore di x soddisfa la disequazione;
la funzione cos x è sempre > -1) : ∀x ∈R .
Se a = -1 : vera ∀ x ≠ π + 2 k π [infatti : cos (π + 2 k π ) = -1]
Se -1< a <1 : scelto α tale che cosα =a con 0 ≤ α < π, le soluzioni sono :
-α + 2 kπ < x < α + 2 kπ, ∀ k ∈Z
d) cos x < a
Se a > 1 disequaz. sempre vera: ∀ x ∈R, la funzione cos x è sempre <1.
Se a < -1 impossibile, nessuna soluzione, la funz. cos x è sempre ≥ -1
Se a = 1 vera ∀ x ≠ π +2 kπ [ infatti cos (π +2 kπ ) = 1]
Se -1 < a < 1 scelto α tale che cos α = a con 0< α ≤ π, le soluzioni
sono : α + 2 kπ < x < 2π-α +2 kπ ∀ k∈Z

e) tan x > a
Scelto α in modo che tan α = a , con α compreso tra -π/2 e π/2, le
soluzioni sono :
α + kπ <x<π/2+ kπ , ∀ k ∈Z
f) tan x < a
soluzioni sono :
-π/2 + kπ <x< α + kπ , ∀ k ∈
∀ ∈Z
Esempio 1: Risolvere la seguente disequazione
si tracciano la circonferenza trigonometrica e
2 la retta y = − 2 / 2
sin x > −
2 Si cercano tutti gli angoli per cui
l’ordinata dei punti di intersezione con
la circonferenza è maggiore di − 2 / 2
Ricordando che gli angoli ( compresi tra
0 e 2 π ) aventi per seno − 2 / 2 sono
− 2/2
5π/4 e 7π/4 si ottengono le soluzioni:
2k π < x < 5π/4 +2kπ e
7π/4 +2kπ <x< 2 π + 2kπ , ∀ k ∈Z.
∀ ∈
∀ ∈
∀ ∈
Facendo uso degli angoli negativi le
soluzioni si possono anche esprimere
così :
π/4+ 2 kπ <x< 5π/4 +2 kπ

sin x - cos x < 0 Per risolverla come equazione
basterebbe dividere tutti i termini per cos x essendo una disequazione
non posso dividere immediatamente per cos x perché non ne conosco il
segno (ricordo che moltiplicando una disequazione per un termine
negativo il verso cambia). Allora per risolvere la disequazione
distinguiamo due casi:
cos x > 0 in questo caso, dividendo per cos x, il verso della
disequazione resta lo stesso
cos x < 0 in questo caso, dividendo per cos x, cambieremo il
verso alla disequazione
Nel 1° caso: divido per cos x>0 ottengo:
 cos x > 0
  cos x > 0
 sin x ⇒ 
 −1< 0  tan x- 1 < 0
 cos x
cosx>0 per 0 <x< π/2 e
3π/2 <x< 2π a lato possiamo vedere
graficamente la soluzione:
graficamente la soluzione:
tanx<1 per 0 <x< π/4 e
π/2<x< 5π/4 e 3π/2 <x< 2π a lato
possiamo vedere graficamente la soluzione:

Mettendo assieme le soluzioni si avrà che
la soluzione del sistema è:
0 <x< π/4 e 3π/2 <x< 2π
a lato possiamo vedere graficamente la
soluzione.
Nel 2° caso: divido per cos x<0 ottengo:
cos x < 0
cos x < 0
 cos x < 0
 sin x ⇒ 
 −1 > 0 tan x − 1 > 0
 cos x
cosx<0 per π/2 <x< 3π/2 a lato possiamo
vedere graficamente la soluzione:
tanx>1 per π/4 <x< π/2 e 5π/4<x< 3π/2
a lato possiamo vedere graficamente la soluzione:
Mettendo assieme le soluzioni si avrà che la
Soluzione del sistema è: 0 <x< π/4 e
5π/4<x< 3π/2 e 3π/2 <x< 2π a lato
5π/4<x< 3π/2 e 3π/2 <x< 2π a lato
possiamo vedere graficamente la
soluzione

cos2x + 3 sinx - 3 > 0 Poiché abbiamo cos2x cerchiamo
di trasformare le funzioni in un unico tipo ricordando la prima relazione
fondamentale (cos2x = 1 - sin2x) dunque la nostra disequazione diventa:
2 (1 - sin2x) + 3 sinx - 3 > 0 ⇒ 2 - 2sin2x + 3 sinx - 3 > 0 ⇒
- 2sin2x + 3 sinx - 1 > 0 Cambio di segno e di verso
2sin2x - 3 sinx + 1 < 0 considero l'equazione associata
2sin2x - 3 sinx + 1 = 0 E' un'equazione di secondo grado in
sin x; la risolvo: 3± 9−8 3±1
sin x = =
4 4
le cui due soluzioni sono: sin x = 1 e sin x = ½
Quindi la mia disequazione diventa:
2(sin x - 1)(sin x - 1/2) < 0 cioè (sin x - 1)(sin x - 1/2) < 0
E' un prodotto: sarà minore di zero quando i fattori avranno segno
discorde (cioè quando il primo fattore sarà positivo ed il secondo
negativo o viceversa). Pongo in un sistema entrambe i fattori maggiori
di zero e trovo gli intervalli dove i segni sono discordi:
sin x > 1

 1
sin x >
sin x > 2


risolvo la prima sin x > 1
so che il seno e' sempre compreso fra
-1 ed 1, quindi la disequazione non
e' mai verificata a destra la rappresentazione
grafica

risolvo la seconda sin x > ½
so che il seno e' superiore ad 1/2 per gli
angoli tra 30° e 150° quindi posso scrivere
π/6 < x < 5π/6 a destra la rappresentazione
grafica.
Ora cerco le soluzioni discordi della prima e della seconda
disequazione: ho quindi la soluzioni π/6 < x < 5π/6 (cioè angoli
compresi tra 30° e 150°)
che graficamente diventa:
2 sin x cos x - 2sin x > 2 cos x - 2
Porto tutti i termini prima della disuguaglianza:
2 sin x cos x - 2sin x - 2 cos x + 2 > 0 raccolgo a fattor comune:
sin x (cos x - 1) - 2 ( cos x - 1) > 0 ⇒ (cos x - 1) (2 sin x - 2 ) > 0
E' un prodotto: sarà maggiore di zero quando i fattori avranno segno
E' un prodotto: sarà maggiore di zero quando i fattori avranno segno
concorde (cioè quando entrambe i fattori sono positivi oppure sono
entrambe negativi).
Pongo in un sistema entrambe i fattori ponendoli maggiori di zero e
trovo gli intervalli dove i segni sono concordi:
 cos x − 1 > 0

 2 sin x − 2 > 0

risolvo la prima cos x - 1 > 0
cos x > 1 so che il coseno non e‘ mai
maggiore di 1 quindi nessuna soluzione
a destra la rappresentazione grafica
risolvo la seconda 2 sin x - 2 > 0
ricavo sin x ⇒ 2 sin x > 2 ⇒ sin x > 2 2
so che il seno e' superiore a 2 2 per gli
angoli tra 45° e 135° quindi posso scrivere
π/4 < x < 3π/4 a destra la soluzione grafica
Ora cerchiamo le soluzioni concordi della prima e della seconda
disequazione (cioè dove entrambe le disequazioni sono verificate
oppure dove sono entrambe non verificate): riporto all'interno i due
grafici trovati.
La soluzione è:
0 < x < π/4 e 3π/4< x < 3π/4

Trigonometria

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