1. `TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2011- 2012
TỈNH THANH HÓA Môn thi: Toán; Khối: D
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 ĐIỂM)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2
3 2y x x (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2
3x x m .
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình 2
2sin cos 2cos 3sin cos 0x x x x x .
2. Giải phương hệ trình:
2 2
22 2
x xy y 3 x y
x xy y 7 x y
.
Câu III(1,0 điểm)
Tìm giới hạn: 30
1 t anx 1 sinx
lim
x x
.
Câu IV (1,0 điểm)
Cho khối lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, điểm A' cách đều ba
điểm A, B, C, cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy một góc 0
60 . Tính thể tích khối lăng trụ và
chứng minh mặt bên BCC'B' là hình chữ nhật.
Câu V (1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
1 3 2y x x x .
PHẦN RIÊNG (3,0 ĐIỂM): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a(2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC,
đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC.
2. Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đường thẳng 1 : 3 9 0d x y và 2 : 2 2 0d x y . Lập phương
trình đường tròn (C) tiếp xúc với 1d và cắt 2d tại A và B sao cho 20AB . Biết tâm đường tròn
nằm trên trục Ox và có hoành độ dương.
Câu VII.a(1,0 điểm) Tìm hệ số của 4
x trong khai triển: 5 2 10
(1 2 ) (1 3 )P x x x x .
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b(2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho (E): 9x2
+ 16y2
= 144. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2 ;
1) và cắt elip (E) tại A và B sao cho M là trung điểm của AB
2. Trong mặt phẳng Oxy, xét tam giác ABC có A(1;5), đường thẳng BC có phương trình: x – 2y – 6
= 0, điểm I(1;0) là tâm đường tròn nội tiếp. Hãy tìm tọa độ các đỉnh B, C.
Câu VII.b(1,0 điểm)
Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 0 1 2 3 2
2 2 2 2 22 3 4 ... (2 1) 0n
n n n n nC C C C n C
-------Hết-------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh:…………………………………..; Số báo danh……………………..
Thi thử Đại học www.toanpt.net
2. 2
TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2011- 2012
Môn thi: Toán; Khối: A
(Đáp án gồm 4 trang)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu Đáp án Điểm
1.(1.0 điểm)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2
3 2y x x
Tập xác định: R.
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: 2
' 3 6y x x ;
0
' 0
2
x
y
x
0.25
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2); đồng biến trên các khoảng( ;0) và (2; )
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCT = 2, đạt cực tiểu tại x = 2; yCĐ = -2.
- Giới hạn: lim
x
y
; lim
x
y
0.25
- Bảng biến thiên:
x 0 2
y' - 0 + 0 -
y
2
1 -2
0.25
Đồ thị:
6
4
2
-2
-4
-6
-5 5 1
f x = x3-3x2 +2
0.25
2.(1.0 điểm)Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2
3x x m .
I
(2.0)
Từ. 3 2 3 2
3 3 2 2(*)x x m x x m
- Số nghiệm của phương trình (*) = Số gaio điểm của đồ thị hàm số 3 2
3 2y x x và
đường thẳng y= m+2
- Nêu cách vẽ đồ thị hàm số 3 2
3 2y x x từ đồ thị hàm số (1)
0.25
3. 3
6
4
2
-2
-4
-6
-5 5 10
f x = x3 -3x2 +2
0.25
-Nếu 2 2 4m m thì phương trình vô nghiệm
-Nếu
2 2 4
2 2 0
m m
m m
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
-Nếu 2 2 2 4 0m m thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt
-Nếu 2 2 0m m thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt
0.5
1.(1.0 điểm)Giải phương trình 2
2sin cos 2cos 3sin cos 0x x x x x .
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
2
2sin cos cos 2sin 3sin 2 0
cos (2sin 1) (2sin 1)(sinx+2) 0
x x x x x
x x x
0.5
(2sin 1)(cos sinx 2) 0
1
sinx
2
2
6
( )
5
2
6
x x
x k
k Z
x k
0.5
2.(1.0 điểm)Giải phương hệ trình:
2 2
22 2
x xy y 3 x y
x xy y 7 x y
.
Từ 22 2 2 2 x 2y
x xy y 7 x y 2x 5xy 2y 0
2x y
0.5
II
(2.0điểm)
x 2y (x;y) (0;0),(2;1)
2x y (x;y) (0;0),( 1; 2)
Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm (x; y)=(2; 2)
0.5
4. 4
(1.0điểm)Tìm giới hạn: 30
1 t anx 1 sinx
lim
x x
.
3 30 0
1 t anx 1 sinx t anx sinx
lim lim
( 1 t anx 1 sinx)x xx x
0.25
= 30
sinx(1-cos )
lim
cos ( 1 t anx 1 sinx)x
x
x x
Đặt
0.25
=
2
20
2sinx.sin
12lim
cos ( 1 t anx 1 sinx)
4 .
2
x
x
xx
x
0.25
III
(1.0điểm)
=
1
4 0.25
Gọi G, M là trọng tânm của tam giác ABC và trung điểm của BC suy ra A'G là
đường cao của hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C (Vì hình chóp A'.ABC là hình chóp
đều)và góc 0
AA' 60G .
0.25
Ta có
3
3 3 3
A' ' .
2 3 3 4
ABC
a a a a
AM AG G V A G S .
0.25
IV
(1.0điểm)
(AMA') AA'
'
BC AM
BC BC
BC A G
0.25
Do AA' song song với BB' nên BB'BC Suy ra hình bành hành BCC'B' là hình chưc
nhật 0.25
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
1 3 2y x x x .
0. 5
V
(1.0điểm)
Tập xác định 3;1D
2
1
' 1
4 ( 1)
x
y
x
; ' 0 1 2y x
Giá trị lớn nhất của hàm số = ( 2 1) 2 1y
Giá trị nhỏ nhất của hàm số = ( 3) 2y
0. 5
0.5
1 (1.0điểm)Cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường
trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
ABC
C thuộc trung tuyến CC' nên ( ;2 3)C m m , suy ra B là điểm đối xứng với C qua
trung trực x + y – 6 = 0
2 11 5
( 2 6; 3) ' ;
2 2
m m
B m m C
0.5
VI.a
(2.0điểm)
C' thuộc CC' nên
23 23 55 28 14
; , ;
3 3 3 3 3
m C B
0.5
A' B'
A
C'
C
B
M
H
G
5. 5
2(1.0điểm)Cho 2 đường thẳng 1 : 3 9 0d x y và 2 : 2 2 0d x y . Lập phương trình
đường tròn (C) tiếp xúc với 1d và cắt 2d tại A và B sao cho 20AB . Biết tâm đường tròn
có hoành độ dương.
Gọi I(a; 0) là tâm đường tròn (C)
(C) tiếp xúc với 1 : 3 9 0d x y nên
9
10
a
R
Gọi H là trung điểm của AB, ta có:
22
2 2 22 2
5
4 5
AB a
IH R R
0.5
Giải tìm được
17 15 2 80 15 2
,
7 7 10
a R
Phương trình đường tròn
2 2
217 15 2 80 15 2
7 7 10
x y
0.5
Tìm hệ số của 4
x trong khai triển: 5 2 10
(1 2 ) (1 3 )P x x x x .
5 10
2
5 10
0 0
(2 ) (3 )k k k k
k k
P x C x x C x
0.25
Số hạng chứa 4
x của P là: 3 3 2 2 2 4 3 2
5 10 5 10(2 ) (3 ) (8 9 )xC x x C x x C C
0.55
VII.a
(1.0điểm)
Hệ số của 4
x là 485
0.25
1(1.0điểm)Trong mặt phẳng Oxy, cho (E): 9x2
+ 16y2
= 144. Viết phương trình đường thẳng
đi qua M(2 ; 1) và cắt elip (E) tại A và B sao cho M là trung điểm của AB
Đường thẳng qua M(2; 1) nên có phương trình:
2
1
x mt
y nt
Thay vào (E) ta được 2 2 2
(9 16 ) 2(18 16 ) 92 0m n t m n t
0.5
M là trung điểm của AB nên 18 16 0 9 8 0m n m n 0.25
Chọn n=-9 suy ra m=8,
2 8
1 9
x t
y t
0.25
2(1.0điểm)Trong mặt phẳng Oxy, xét tam giác ABC có A(1;5), đường thẳng BC có phương
trình: x – 2y – 6 = 0, điểm I(1;0) là tâm đường tròn nội tiếp. Hãy tìm tọa độ các đỉnh B, C.
Bán kính đường tròn nội tiếp ( , ) 5r d I BC
AB, AC qua A nên có phương trình dạng 2 2
( 1) ( 5) 0( 0)m x n y m n
0.25
AB, AC tiếp xúc với đường tròn nên 2 2
2 2
5
5 4
n
m n
m n
Chọn 1 2n m dẫn đến AB, AC có phương trình 2 7 0;2 3 0x y x y
0.25
VI.b
(2.0điểm)
Cho AB, AC giao với BC ta được B, C có tọa độ 4; 1 ; 4; 5 0.5
Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 0 1 2 3 2
2 2 2 2 22 3 4 ... (2 1) 0n
n n n n nC C C C n C
Xét hàm số 2 2 2 1
( ) (1 ) '( ) (1 ) 2 (1 ) (1)n n n
f x x x f x x nx x
0.25
Theo công thức khai triển nhị thức, ta có:
0 1 2 2 2 2
2 2 2 2
0 1 2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ...
'( ) 2 3 ... (2 1) (2)
n n
n n n n
n n
n n n n
f x x C C x C x C x
f x C C x C x n C x
0.5
VII.b
(1.0điểm)
Thay x= -1 vào (1) và (2) ta được đẳng thức cần chứng minh
0.25
