1. Thi thử Đại học www.toanpt.net
TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI
NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số
3 2 2
2 1y x mx m x m có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
2. Tìm m để đồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành.
Câu 2: (2 điểm)
1. Giải phương trình
1 2(cos sin )
cot 2 cot 1
x x
tgx g x gx
.
2. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2
2 4 3
x y x y
x y x y
.
Câu 3: (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :
2 2
1x y . Tìm các giá trị thực của m
sao cho trên đường thẳng 0x y m có duy nhất một điểm mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp
tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến này bằng 900
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4 0x y z và đường thẳng
(d):
3 1 2
2 1 1
x y z
. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;0;-1) và cắt đường
thẳng (d) tại điểm A, cắt mặt phẳng (P) tại điểm B sao cho M là trung điểm của AB.
Câu 4: (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S; mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 450
.
Gọi M, N, E là trung điểm của các cạnh CD, SC và AD. Gọi F là hình chiếu của E lên cạnh SD. Tính thể
tích hình chóp S.ABCD và chứng minh rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (CEF).
Câu 5: (2 điểm)
1.Tính tích phân
2
8
3
1
1
dx
x x
2.Tính tổng:
1 3 52010 2008 2006 2011
2011 2011 2011 2011
.2 .2 .2 ...C C C C
Câu 6: (1 điểm)
Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn 3x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
3 3 3
P xy yz zx
x y z
------------------------HẾT----------------------
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:…………………………………………………SBD:…………………………………
2. Thi thử Đại học www.toanpt.net
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI
NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN
Câu ý Nội dung Điểm
1
(2điểm)
1 Với m=1 ta có
3 2
2y x x x
TXĐ: R
2
' 3 4 1 0y x x .
1
' 0 1
3
x
y
x
0,25
Giới hạn: limx
y
bảng biến thiên
x
-∞
1
3
1 +∞
y’ + 0 - 0 +
y
0,25
Hàm số đồng biến trên khoảng
1
( ; );(1; )
3
Hàm số nghịch biến trên khoảng
1
( ;1)
3
Điểm cực đại
1 4
( ; )
3 27
; điểm cực tiểu (1;0)
0,25
Đồ thị
Điểm uốn I
2 2
( ; )
3 27
2
-2
-5 5
Nhận xét: đồ thị nhận điểm I
2 2
( ; )
3 27
là tâm đối xứng
0,25
2 Đồ thị hàm số
3 2 2
2 1y x mx m x m tiếp xúc với trục hoành
3 2 2
2 2
2 1 0
3 4 0
x mx m x m
x mx m
có nghiệm
0,25
O
y
x
+∞
-∞ 0
4
27
3. Thi thử Đại học www.toanpt.net
3 2 2
2 1 0(1)
3
x mx m x m
x m
x m
0,25
Với x = m thế vào (1) ta được : m=1 0,25
Với 3x = m thế vào (1) ta được :
3 3 3 3
6 9 3 1 0 4 3 1 0
1 3
1 3
2 2
x x x x x x
x m
x m
Vậy m = 1; m= -3; m =
3
2
0,25
2
(2điểm)
1
Điều kiện :
02cot
1cot
02sin
xgtgx
gx
x
0,25
Pt
xx
xxx
xgtgx sincos
sin)sin(cos2
2cot
1
x
x
x
x
x
sin2
2sin
2cos
cos
sin
1
sin2x = 2 sinx
0,25
sinx(2cosx – 2 ) = 0
2cosx – 2 = 0 (vì sin2x 0)
cosx =
2
2
x = )(2
4
Zkk
0,25
với x = )(2
4
Zkk
thì cotgx = 1 (loại)
với x = )(2
4
Zkk
thỏa mãn điều kiện
Vậy nghiệm của phương trình là : x = )(2
4
Zkk
0,25
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 4 3 2 1 4 4 0
x y x y x y x y
x y x y x x y y
2 2
2 2
2 2
2(1)
2
1
( 1) ( 2) 0
3
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
0,5
Với x = y+1 thế vào (1) ta được :
2
0 1
2 4 0
2 1
y x
y y
y x
0,25
Với 3x y thế vào (1) ta được :
2
1 2
2 6 4 0
2 1
y x
y y
y x
Vậy hệ có 3 nghiệm là (1;0) ; (-1;-2); (-2;-1)
0,25
4. Thi thử Đại học www.toanpt.net
O
B
A
M
3
(2điểm)
1
Gọi M(a;a+m) là điểm thuộc đường thẳng d
Goi A ,B là hai tiếp điểm
Vì 2 tiếp tuyến kẻ từ M vuông góc với nhau nên ∆ MAB vuông cân tại M
0,25
Vì ∆MAB vuông cân tại M nên suy ra ∆MAO vuông cân tại A ta có:
2 2 2
2MO OA AM 0,25
2 2 2 2
( ) 2 2 2 2 0a a m a am m (1)
Trên đường thẳng d tìm được duy nhất một điểm M⇔ phương trình (1) có
nghiệm duy nhất ⇔∆’=0 ⇔ m = ±2.
Vậy m =±2 thoả mãn đầu bài
0,5
2
Phương trình tham số của (d)
3 2
3 1 2
1
2 1 1
2
x k
x y z
y k
z k
Gọi A(3+2k;1-k;2+k) thuộc đường thẳng (d).
Vì M là trung điểm của AB nên tọa độ của B(-1-2k;-1+k;-4-k)
Vì B thuộc mặt phăng (P) suy ra :
1 2 1 4 4 0 1k k k k
0,25
0,25
Suy ra A(1;2;1) (0; 2; 2) / /(0;1;1)AM
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
1
1
x
y k
z k
0,5
4
(1điểm)
N
H
M
E
F
D
C
A
B
S
Gọi H là hình chiếu của S lên AB.
Vì ( ) ( ) ( )SAB ABCD SH ABCD mà ∆SAB cân tại S nên H là trung 0,25
5. Thi thử Đại học www.toanpt.net
điểm của AB. Vì ( )SH ABCD
Ta có
2 2 2 25 5
4 2
DH AD AH a SH DH a
Vậy
31 5
.
3 6
SABCD ABCD
V SH S a
0,25
Vì ∆CDE=∆DAH suy ra
Mà SH ⊥ CE ⟹CE⊥(SDH) ⟹CE⊥SD mà EF⊥SD ⟹SD⊥(CEF)
0,25
Mặt khác ta có SD//MN nên SD//(AMN)
Suy ra (AMN)⊥(CEF)
0,25
5
(2điểm)
1 Đặt
2 2 2
1 1t x t x tdt xdx
3 2
8 3
x t
x t
0,25
3
2
2
8 3
2
3 2
1 1 1 1 1
( )
2 1 11 1
dx dt dt
t tx x t
0,25
3
2
1 1
ln
2 1
1 3
| ln
2 2
t
t
0,5
2 1 3 52010 2008 2006 2011
2011 2011 2011 2011
.2 .2 .2 ...C C C C
Ta có
1 20 2011 2010 2009 2011 2011 2011
2011 2011 2011 2011
.2 .2 .2 ... (1 2) 3C C C C
1 20 2011 2010 2009 2011 2011
1
2011 2011 2011 2011
.2 .2 .2 ... (2 1)C C C C
Vậy
1 3 5
2011
2010 2008 2006 2011
2011 2011 2011 2011
3 1
.2 .2 .2 ...
2
C C C C
0,25
0,5
0,25
6
(1điểm)
Ta có: 33 1x y z xyz xyz
Ta có 2 2 23 3
3 3 3 1
3 9xy yz zx x y z
x y z xyz
Mà 2 2 23 3 3
1 1
3 3 3 9x y z
xyz xyz
Và 3
1
3 3
xyz
Suy ra 2 2 23 3
3 3 3 1
3 9 12P xy yz zx x y z
x y z xyz
Vậy Pmin =12 khi x=y=z=1
0,25
0,25
0,25
0,25
Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
