Μερικές απλές οδηγίες για τη δημιουργία γραφικών παραστάσεων με το Mathematica.

1. MATHEMATICA
ΓΡΑΦΙΚΕ΢ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢ΕΙ΢
ΜΕ ΣΟ
ΜΑΣΗΕΜΑΣICA
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
ΦΥΣΙΚΟΣ
MSc. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ
ΑΘΗΝΑ 2011

2. 2
PLOTS IN MATHEMATICA
ΑΛΣΗ ΠΡΟΙΟΓΟΤ
Όια ηα παξαδείγκαηα πνπ αλαθέξνληαη ζηηο επόκελεο ζειίδεο, κπνξείηε λα ηα
κεηαθέξεηε ζην θύιιν εξγαζίαο ηνπ Mathematica:
i)
Πιεθηξνινγώληαο ηελ εληνιή πνπ βιέπεηε ζην θείκελν. Απηό βνεζάεη ζηε
ζηαδηαθή εμνηθείωζε κε ηελ «ζύληαμε» ηνπ Mathematica
ii)
Θάλνληαο Copy & Paste ηελ εληνιή από ην θείκελν ζην θύιιν ηνπ
Mathematica. ΢ηελ πεξίπηωζε απηή «θεξδίδνπκε» ρξόλν.
iii)
Θπκόκαζηε πάληα όηη ε εληνιή εθηειείηαη είηε παηώληαο δηαδνρηθά ηα
γεηηνληθά πιήθηξα SHIFT θαη ENTER (θόθθηλν θπθιάθη ζηε θωηνγξαθία) ή
(θαιύηεξα) παηώληαο ην πιήθηξν ENTER (πξάζηλν θπθιάθη) ζηελ θάηω
δεμηά γωλία ηνπ πιεθηξνινγίνπ.
΢ε θάζε πεξίπηωζε «πεηξακαηηδόκαζηε» κεηαβάιινληαο αλάινγα ηα νξίζκαηα ηεο
πξνο ζρεδίαζε ζπλάξηεζεο (πρ ην πεδίν νξηζκνύ) ή θαη ηελ ίδηα ηε ζπλάξηεζε,
πξνθεηκέλνπ λα δνύκε ηηο κεηαβνιέο πνπ επέξρνληαη, ώζηε λα θαηαλνήζνπκε πωο
επηδξά θάζε επηινγή καο ζην γξαθεκα ηεο ζπλάξηεζεο.
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

3. 3
PLOTS IN MATHEMATICA
ΓΡΑΦΗΘΔ΢ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢ΔΗ΢ ΢ΣΟ ΔΠΗΠΔΓΟ
TWO DIMENSIONAL GRAPHICS
Βαζηθή εληνιή γηα λα ζρεδηάζεη θαλείο κηα ζπλάξηεζε (ζε δύν δηαζηάζεηο) είλαη
ε εληνιή Plot. (Όιεο νη εληνιέο πξέπεη λα γξάθνληαη κε ην πξώην γξάκκα θεθαιαίν).
Ζ «ζύληαμε» ηεο εληνιήο είλαη:
Plot[f[x],{x,xmin,xmax}]
Κε ηελ παξαπάλω εληνιή παίξλνπκε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f(x)
ζην δηάζηεκα [xmin,xmax]. Πξνζνρή ηα νξίζκαηα ηόζν ηωλ εληνιώλ όζν θαη ηωλ ζπλαξηήζεωλ κπαίλνπλ πάληα ζε αγθύιεο [ ], θαη όρη ζε παξελζέζεηο( ).
΢΄όιεο ηηο πεξηπηώζεηο νη εληνιέο εθηεινύληαη πιεθηξνινγώληαο δηαδνρηθά SHIFT,
ENTER
ή (θαιύηεξα) παηώληαο απιά ην
ENTER ζηελ πιεπξά ηωλ αξηζκώλ
(θάηω δεμηά γωλία ηνπ πιεθηξνινγίνπ).
ΠΑΡΑΓΔΗΓΚΑΣΑ
Plot[x^2-1,{x,-4,4}]
15
12.5
10
7.5
5
2.5
-4
-2
2
4
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

4. 4
PLOTS IN MATHEMATICA
Plot[x*Sin[x],{x,-2*Pi,2*Pi}]
1
-6
-4
-2
2
4
-1
-2
-3
-4
Α΢ΘΖ΢ΔΗ΢
Πξνζπαζήζηε λα ζρεδηάζεηε ηηο παξαθάηω ζπλαξηήζεηο:
Plot[x^2-2*x+5,{x,-3,5}]
Plot[Sin[x],{x,-2*Pi,2*Pi}]
Plot[Tan[x], {x, -Pi, Pi}]
Plot[Cosh[x], {x, -5, 5}]
Plot[Tanh[x],{x,-3,3}]
Plot[ArcTan[x],{x,-10,10}]
Plot[Exp[x],{x,-2,4}]
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
6

5. 5
PLOTS IN MATHEMATICA
Plot[Sin[x]/x,{x,-3*Pi,3*Pi}]
(Γείηε όηη καο δίλεη,ζωζηά,ηελ ηηκή 1 ζην x=0)
Plot[Sin[x]*Cos[30*x],{x,-2*Pi,2*Pi}]
(΢αο ζπκίδεη θάηη;)
Φπζηθά ζ΄όια ηα παξαδείγκαηα κπνξνύκε ζαλ αλεμάξηεηε
κεηαβιεηή εθηόο ηνπ x, λα ρξεζηκνπνηήζνπκε π.ρ. ην y
ΠΑΡΑΓΔΗΓΚΑΣΑ
Plot[Exp[-y]*y^2,{y,0,10}]
Plot[Exp[-y^2]*y^2,{y,0,3}]
Πξνθεηκέλνπ λα ζρεδηάζνπκε δύν ζπλαξηήζεηο ζηελ ίδηα
γξαθηθή παξάζηαζε παξάζηαζε, ρξεζηκνπνηνύκε ηελ εληνιή:
Plot[{f[x],g[x]},{x,xmin,xmax}]
Ζ παξαπάλω εληνιή γεληθεύεηαη γηα ηξεηο, ή θαη
πεξηζζόηεξεο ζπλαξηήζεηο. Παξαηεξήζηε όηη νη ζπλαξηήζεηο
κπαίλνπλ ζε { , } (Θεωξνύληαη ζαλ ζηνηρεία ιίζηαο.
ΠΑΡΑΓΔΗΓΚΑ
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

6. 6
PLOTS IN MATHEMATICA
Plot[{x,x^2,Sin[x]},{x,-2*Pi,2*Pi}]
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
Α΢ΘΖ΢ΔΗ΢
Πξνζπαζήζηε λα ζρεδηάζεηε ηηο παξαθάηω ζπλαξηήζεηο:
Plot[{x^2-3,x^2+2*x-5},{x,-4,4}]
Plot[{x,x^2,x^3,x^4},{x,-2,2}]
θιπ
Πιεθηξνινγώληαο:
Plot//Options
Παίξλνπκε όιε ηηο δηαζέζηκεο επηινγέο γηα ηε ζπλάξηεζε Plot.
Αο πνύκε ηώξα όηη ζέινπκε λα κάζνπκε ηη ζεκαίλεη ε επηινγή:
AspectRatio
Πιεθηξνινγνύκε:
?AspectRatio
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

7. 7
PLOTS IN MATHEMATICA
ΠΑΡΑΓΔΗΓΚΑΣΑ
Γείηε πρ. ηε δηαθνξά ζηελ ζρεδίαζε κεηαμύ ηωλ εληνιώλ:
Plot[x^2,{x,-4,4}]
15
12.5
10
7.5
5
2.5
θαη
-4
-2
2
4
Plot[x^2,{x,-4,4},AspectRatio->Automatic]
15
12.5
10
7.5
5
2.5
-4
-2
2
4
Δπίζεο (Πξνζπαζήζηε κόλνη ζαο):
Plot[{-Sqrt[16-x^2],Sqrt[16-x^2]},{x,-4,4}]
θαη
Plot[{-Sqrt[16-x^2],Sqrt[16-x^2]},{x,-4,4},
AspectRatio->Automatic]
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

8. 8
PLOTS IN MATHEMATICA
ΠΑΡΑΚΔΣΡΗΘΖ ΢ΥΔΓΗΑ΢Ζ
Πιεθηξνινγήζηε:
?ParametricPlot
Γηα λα δείηε όιεο ηηο δηαζέζηκεο επηινγέο ηεο εληνιήο:
H Δληνιή
ParametricPlot
ParametricPlot
ζπληάζζεηαη:
ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,tmin,tmax}]
θαη καο δίλεη ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηωλ παξακεηξηθώλ εμηζώζεωλ
x=x(t) θαη
y=y(t) ζην δηάζηεκα: [tmin,tmax].
ΠΑΡΑΓΔΗΓΚΑ
ParametricPlot[{Cos[5t],Sin[3t]},{t,0,2[Pi]},AspectRat
io->Automatic]
1
0.5
-1
-0.5
0.5
-0.5
-1
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
1

9. 9
PLOTS IN MATHEMATICA
Α΢ΘΖ΢ΔΗ΢
Πξνζπαζήζηε λα ζρεδηάζεηε ηηο παξαθάηω ζπλαξηήζεηο:
ParametricPlot[{t^2, t}, {t, -2, 2}]
ParametricPlot[{t - Sin[t], 1 - Cos[t]}, {t, 0, 4*Pi}]
(Θπθινεηδήο)
ParametricPlot[{Cos[t]^3, Sin[t]^3}, {t, 0, 2*Pi}]
(Τπνθπθινεηδήο 4 θνξπθώλ).
ParametricPlot[{2*Sin[t]^2, 2*Sin[t]^3/Cos[t]}, {t, 0,
2*Pi}]
(Θηζζνεηδήο ηνπ Γηνθιή)
ParametricPlot[{(3*t)/(1 + t^3), (3*t^2)/(1 + t^3)},
{t, -5, 5}]
(Φύιιν ηνπ Descartes)
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

10. 10
PLOTS IN MATHEMATICA
ΠΟΙΗΘΔ΢ ΢ΤΛΣΔΣΑΓΚΔΛΔ΢
Γηα ζρεδίαζε ζε πνιηθέο ζπληεηαγκέλεο ρξεζηκνπνηνύκε ηελ εληνιή:
PolarPlot
H Δληνιή
PolarPlot
ζπληάζζεηαη:
PolarPlot[f[ζ],{ζ,ζmin,ζmax}]
ΠΑΡΑΓΔΗΓΚΑΣΑ
PolarPlot[{1,Sin[5*Theta]},{Theta,0,2*Pi}
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Φπζηθά αληί ηνπ ζ κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε πρ ην t:
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

11. 11
PLOTS IN MATHEMATICA
Α΢ΘΖ΢ΔΗ΢
Πξνζπαζήζηε λα ζρεδηάζεηε ηηο παξαθάηω ζπλαξηήζεηο:
PolarPlot[{1,Sin[5*t]},{t,0,2*Pi}]
PolarPlot[1-Cos[t],{t,0,2*Pi}]
(Θαξδηνεηδήο)
PolarPlot[t, {t, 0, 8*Pi}]
(΢πείξα ηνπ Αξρηκήδε)
PolarPlot[Sqrt[Cos[2*t]], {t, 0, 2*Pi}]
PolarPlot[Cos[3*t], {t, 0, 2*Pi}]
(Ιεκλίζθνο)
(Σξίθπιιν)
PolarPlot[Cos[15*t], {t, 0, 2*Pi}] (Γεθαπεληάθπιιν)
PolarPlot[Cos[2*t], {t, 0, 2*Pi}]
(Σεηξάθπιιν)
PolarPlot[Cos[6*t], {t, 0, 2*Pi}]
(Γωδεθάθπιιν)
Ζ εμίζωζε r=cos(nt),ζε πνιηθέο, έρεη n θύιια αλ n=πεξηηηόο θαη 2n θύιια αλ
n=άξηηνο. Δπηβεβαηώζηε ην «πεηξακαηηθά» κε ην Mathematica.
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

12. 12
PLOTS IN MATHEMATICA
ΠΔΠΙΔΓΚΔΛΔ΢ ΢ΤΛΑΡΣΖ΢ΔΗ΢
Γηα ηελ γξαθηθή παξάζηαζε «πεπιεγκέλωλ» ζπλζξηήζεωλ ρξεζηκνπνηνύκε ηελ
εληνιή:
ImplicitPlot
H Δληνιή
ImplicitPlot ζπληάζζεηαη:
ImplicitPlot[equation,{x,xmin,xmax}]
ΠΑΡΑΓΔΗΓΚΑ
ImplicitPlot[x^3+y^3==6*x*y,{x,-4,4}] (Φύιιν ηνπ Descartes)
Παπαηηπήζηε όηι η εξίζωζη «θέλει» διπλό ίζον: ==
2
-4
-2
2
4
-2
-4
Α΢ΘΖ΢ΔΗ΢
-6
Πξνζπαζήζηε λα ζρεδηάζεηε ηελ παξαθάηω ζπλάξηεζε:
ImplicitPlot[x^3 + y^2 - 3*x^2 == 0, {x, -4, 4}]
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

13. 13
PLOTS IN MATHEMATICA
Ζ ΔΛΣΟΙΖ MANIPULATE
Κηα εμαηξεηηθά ρξήζηκε εληνιή, πνπ ππάξρεη ζηηο λεώηεξεο εθδόζεηο ηνπ Mathematica (κεηά ην Mathematica 6), είλαη ε εληνιή Manipulate. Κε ηε βνήζεηα απηήο
ηεο εληνιήο κπνξνύκε λα ζρεδηάζνπκε κηα ζπλάξηεζε, ζηελ νπνία έρνπκε εηζάγεη κηα
παξάκεηξν έζηω α, πνπ κπνξεί λα παίξλεη ηηκέο ζε θάπνην δηάζηεκα πνπ έρνπκε
πξνθαζνξίζεη, παξαηεξώληαο έηζη πωο αιιάδεη ε κνξθή ηεο ζπλάξηεζεο κε ηελ
αιιαγή ηεο παξακέηξνπ α. Παίξλνπκε θαη΄απηό ηνλ ηξόπν κηα νιόθιεξε «νηθνγέλεηα»
ζπλαξηήζεωλ, πνπ ηα κέιε ηεο εμαξηώληαη από ηελ ηηκή ηνπ α. Ζ ελ ιόγω εληνιή έρεη
θαη άιιεο ρξήζεηο θαη γηα λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα γξαθηθέο παξαζηάζεηο πξέπεη λα
δερζεί ζαλ όξηζκα ηελ εληνιή Plot
H Δληνιή
Manipulate γηα γξαθηθέο παξαζηάζεηο
ζπληάζζεηαη:
Manipulate[Plot[f[x],{x,xmin,xmax}],{a,amin,amax}]
θαη καο δίλεη ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο
θαη γηα ηηκέο ηεο παξακέηξνπ a ζην δηάζηεκα
f(x) ζην δηάζηεκα [xmin,xmax]
[amin,amax]
ΠΑΡΑΓΔΗΓΚΑΣΑ
Manipulate[Plot[Sin[a*x], {x, -3*Pi, 3*Pi}], {a, 1,
10}]
Κε ηελ παξαπάλω εληνιή ζρεδηάδνπκε ηε ζπλάξηεζε sin(ax), ζην δηάζηεκα [-3π,3π]
θαη βιέπνπκε ηελ «αιιαγή» ηεο αιιάδνληαο ην a από 1 έωο 10
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

14. 14
PLOTS IN MATHEMATICA
ΠΑΡΑΓΔΗΓΚΑΣΑ ΑΠΟ ΣΖ ΦΤ΢ΗΘΖ
Πξώηε δηεγεξκέλε ζηάζκε ηνπ αξκνληθνύ ηαιαληωηή:
Plot[(4/Pi)^(1/4)*x*Exp[-x^2/2], {x, -5, 5}]
0.6
0.4
0.2
-4
-2
2
4
-0.2
-0.4
-0.6
Γπλακηθό Lennard – Jones
Plot[(1/r)^12 - (1/r)^6, {r, 0.01, 3}, PlotRange -> {0.3, 0.7}]
0.6
0.4
0.2
0.5
1
1.5
-0.2
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
2
2.5
3

15. 15
PLOTS IN MATHEMATICA
Δηθόλα Lissajous
ParametricPlot[{Cos[t + Pi/2], Cos[3*t]}, {t, 0, 2*Pi}]
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Δηθόλα Lissajous
ParametricPlot[{Cos[4 t + Pi/2], Cos[3*t]}, {t, 0,
2*Pi}]
1
0.5
-1
-0.5
0.5
-0.5
-1
(Παξαηεξήζηε ην ιόγν 4/3)
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
1

16. 16
PLOTS IN MATHEMATICA
Σαιαληωηήο κε απόζβεζε:
Plot[Exp[-0.1 x] Cos[x], {x, 0, 10 Pi}]
1
0.75
0.5
0.25
5
10
15
20
25
30
-0.25
-0.5
-0.75
Σα πξώηα 6 Πνιπώλπκα Legendre:
Plot[{LegendreP[0, x], LegendreP[1, x], LegendreP[2,
x], LegendreP[3, x], LegendreP[4, x], LegendreP[5, x]},
{x, -1, 1}]
1
0.5
-1
-0.5
0.5
-0.5
-1
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
1

17. 17
PLOTS IN MATHEMATICA
Σα πξώηα 6 Πνιπώλπκα Hermite:
(Σα ζπλαληάκε ζηε ιύζε ηνπ αξκνληθνύ ηαιαληωηή, ζηε Θβαληνκεραληθή)
Plot[{HermiteH[0, x], HermiteH[1, x], HermiteH[2, x],
HermiteH[3, x], HermiteH[4, x], HermiteH[5, x]}, {x, 5, 5}]
200
150
100
50
-4
-2
2
-50
-100
-150
Ζ εληνιή:
Series[f[x],{x,0,n}]
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
4

18. 18
PLOTS IN MATHEMATICA
Καο δίλεη ηνπο πξώηνπο όξνπο – ηάμεωο κέρξη n -από ηελ αλάιπζε ζε ζεηξά Taylor ηεο
f(x) γύξω από ην κεδέλ
Έηζη πιεθηξνινγώληαο:
Series[Sin[x],{x,0,5}]
Παίξλνπκε ην απνηέιεζκα:
x - x^3/6 + x^5/120 + Ο[ρ]6
Δλώ πιεθηξνινγώληαο:
Series[Sin[x],{x,0,10}]
Παίξλνπκε ην απνηέιεζκα:
x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + x^9/362880+ Ο[ρ]11
Ζ εληνιή :
Plot[{Sin[x], x - x^3/6 + x^5/120,
x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + x^9/362880}, {x, 2*Pi, 2*Pi}]
καο ζρεδηάδεη ην sin(x) καδί κε ηηο δύν π0ιπωλπκηθέο ηνπ πξνζεγγίζεηο.
4
2
-6
-4
-2
2
-2
-4
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
4
6

19. 19
PLOTS IN MATHEMATICA
...ΙΗΓΖ ΕΩΓΡΑΦΗΘΖ
ParametricPlot[{Sin[3 t] Sin[4 t], Cos[3 t] Sin[4 t]},
{t, 0, 2 Pi}]
0.75
0.5
0.25
-0.75 -0.5 -0.25
-0.25
-0.5
-0.75
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
0.25
0.5
0.75

20. 20
PLOTS IN MATHEMATICA
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ - ΑΝΑΦΟΡΕ΢
1. Theory and Problems of Mathematica, Eugene Don,
Schaum’s Outline Series,McGraw-Hill, 2001
2. Μαθημαηικό Τσπολόγιο,Murray R. Spiegel, Μεηάθραζη
Σωηήριος Περζίδης, ΕΣΠΙ, Αθήνα 1976
3. Οδηγός για ηο Mathematica, Κων. Ε. Παπαδάκης,
Εκδόζεις Τζιόλα, Θεζζαλονίκη 2000
4. The Mathematica Book Edition 5, Stephen
Wolfram,Wolfram Research Inc, 2003 (O Stephen
Wolfram είναι ο ¨δημιοσργός» ηοσ Mathematica
5. Mathematica Navigator, Heikki Ruskeepaa, Elsevier
Academic Press,2004
6. Mathematical Methods Using Mathematica, Sadri
Hassani, Springer-Verlag New York Inc.2003
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ