Submit Search
Upload
11 εξισωσεισ ζητουν λυσεισ ζανταριδησ3
•
1 like
•
349 views
Christos Loizos
Follow
11 eksiswseis pou zhtoun lyseis
Read less
Read more
Education
Report
Share
Report
Share
1 of 17
Download now
Download to read offline
Recommended
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 3.4-3.5-3.7 (2020)
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 3.4-3.5-3.7 (2020)
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
Lyseis sxolikou
Lyseis sxolikou
Christos Loizos
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
ασκηση 23
ασκηση 23
Παύλος Τρύφων
5 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ του 2020
5 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ του 2020
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
Λύσεις 51 _ 95 - Μπάρλας
Λύσεις 51 _ 95 - Μπάρλας
Μάκης Χατζόπουλος
Φεβρουαριος 16
Φεβρουαριος 16
Παύλος Τρύφων
λυση ασκ. 17
λυση ασκ. 17
Παύλος Τρύφων
Recommended
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 3.4-3.5-3.7 (2020)
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 3.4-3.5-3.7 (2020)
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
Lyseis sxolikou
Lyseis sxolikou
Christos Loizos
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
ασκηση 23
ασκηση 23
Παύλος Τρύφων
5 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ του 2020
5 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ του 2020
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
Λύσεις 51 _ 95 - Μπάρλας
Λύσεις 51 _ 95 - Μπάρλας
Μάκης Χατζόπουλος
Φεβρουαριος 16
Φεβρουαριος 16
Παύλος Τρύφων
λυση ασκ. 17
λυση ασκ. 17
Παύλος Τρύφων
Math themata lyseis_om_(neo)_epanaliptikes_2020_l
Math themata lyseis_om_(neo)_epanaliptikes_2020_l
Christos Loizos
Bglykeioy2014teliko
Bglykeioy2014teliko
Christos Loizos
λυση ασκ 13
λυση ασκ 13
Παύλος Τρύφων
λύση ασκ. 29
λύση ασκ. 29
Παύλος Τρύφων
Bg lykeioy 2014_teliko
Bg lykeioy 2014_teliko
Σωκράτης Ρωμανίδης
Ekfoniseis liseis 1-200
Ekfoniseis liseis 1-200
Μάκης Χατζόπουλος
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis
Christos Loizos
Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200
Μάκης Χατζόπουλος
Trapeza themata20 38_2016
Trapeza themata20 38_2016
Christos Loizos
ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ , ΠΡΟΟΔΟΙ- Α.Π Γ.Π 2020
ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ , ΠΡΟΟΔΟΙ- Α.Π Γ.Π 2020
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
B thet math_themata_plus_lyseis_17_04_16
B thet math_themata_plus_lyseis_17_04_16
Christos Loizos
Δεκεμβριος 15
Δεκεμβριος 15
Παύλος Τρύφων
μαθηματικό τυπολόγιο
μαθηματικό τυπολόγιο
Christos Loizos
λυση ασκ. 30
λυση ασκ. 30
Παύλος Τρύφων
Gp alg b_themata_plus_lyseis
Gp alg b_themata_plus_lyseis
Christos Loizos
Trapeza themata01 19_2016
Trapeza themata01 19_2016
Christos Loizos
Της παραμονης
Της παραμονης
Θανάσης Δρούγας
3ο επαναληπτικο-διαγωνισμα apantiseis
3ο επαναληπτικο-διαγωνισμα apantiseis
Athanasios Kopadis
15η ανάρτηση
15η ανάρτηση
Παύλος Τρύφων
μιγαδικοί
μιγαδικοί
Μάκης Χατζόπουλος
Διαγώνισμα ΕΠΑΛ 2017
Διαγώνισμα ΕΠΑΛ 2017
Μάκης Χατζόπουλος
Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη
Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη
Μάκης Χατζόπουλος
More Related Content
What's hot
Math themata lyseis_om_(neo)_epanaliptikes_2020_l
Math themata lyseis_om_(neo)_epanaliptikes_2020_l
Christos Loizos
Bglykeioy2014teliko
Bglykeioy2014teliko
Christos Loizos
λυση ασκ 13
λυση ασκ 13
Παύλος Τρύφων
λύση ασκ. 29
λύση ασκ. 29
Παύλος Τρύφων
Bg lykeioy 2014_teliko
Bg lykeioy 2014_teliko
Σωκράτης Ρωμανίδης
Ekfoniseis liseis 1-200
Ekfoniseis liseis 1-200
Μάκης Χατζόπουλος
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis
Christos Loizos
Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200
Μάκης Χατζόπουλος
Trapeza themata20 38_2016
Trapeza themata20 38_2016
Christos Loizos
ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ , ΠΡΟΟΔΟΙ- Α.Π Γ.Π 2020
ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ , ΠΡΟΟΔΟΙ- Α.Π Γ.Π 2020
General Lyceum "Menelaos Lountemis"
B thet math_themata_plus_lyseis_17_04_16
B thet math_themata_plus_lyseis_17_04_16
Christos Loizos
Δεκεμβριος 15
Δεκεμβριος 15
Παύλος Τρύφων
μαθηματικό τυπολόγιο
μαθηματικό τυπολόγιο
Christos Loizos
λυση ασκ. 30
λυση ασκ. 30
Παύλος Τρύφων
Gp alg b_themata_plus_lyseis
Gp alg b_themata_plus_lyseis
Christos Loizos
Trapeza themata01 19_2016
Trapeza themata01 19_2016
Christos Loizos
Της παραμονης
Της παραμονης
Θανάσης Δρούγας
3ο επαναληπτικο-διαγωνισμα apantiseis
3ο επαναληπτικο-διαγωνισμα apantiseis
Athanasios Kopadis
15η ανάρτηση
15η ανάρτηση
Παύλος Τρύφων
μιγαδικοί
μιγαδικοί
Μάκης Χατζόπουλος
What's hot
(20)
Math themata lyseis_om_(neo)_epanaliptikes_2020_l
Math themata lyseis_om_(neo)_epanaliptikes_2020_l
Bglykeioy2014teliko
Bglykeioy2014teliko
λυση ασκ 13
λυση ασκ 13
λύση ασκ. 29
λύση ασκ. 29
Bg lykeioy 2014_teliko
Bg lykeioy 2014_teliko
Ekfoniseis liseis 1-200
Ekfoniseis liseis 1-200
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis
Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200
Trapeza themata20 38_2016
Trapeza themata20 38_2016
ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ , ΠΡΟΟΔΟΙ- Α.Π Γ.Π 2020
ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ , ΠΡΟΟΔΟΙ- Α.Π Γ.Π 2020
B thet math_themata_plus_lyseis_17_04_16
B thet math_themata_plus_lyseis_17_04_16
Δεκεμβριος 15
Δεκεμβριος 15
μαθηματικό τυπολόγιο
μαθηματικό τυπολόγιο
λυση ασκ. 30
λυση ασκ. 30
Gp alg b_themata_plus_lyseis
Gp alg b_themata_plus_lyseis
Trapeza themata01 19_2016
Trapeza themata01 19_2016
Της παραμονης
Της παραμονης
3ο επαναληπτικο-διαγωνισμα apantiseis
3ο επαναληπτικο-διαγωνισμα apantiseis
15η ανάρτηση
15η ανάρτηση
μιγαδικοί
μιγαδικοί
Viewers also liked
Διαγώνισμα ΕΠΑΛ 2017
Διαγώνισμα ΕΠΑΛ 2017
Μάκης Χατζόπουλος
Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη
Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη
Μάκης Χατζόπουλος
γενικό διαγώνισμα
γενικό διαγώνισμα
Christos Loizos
Eleftheriou 2h edition
Eleftheriou 2h edition
Christos Loizos
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ / Δ ΘΕΜΑ - ΔΥΝΑΜΙΚΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ / Δ ΘΕΜΑ - ΔΥΝΑΜΙΚΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
HOME
Β΄ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Ευθύγραμμη Ομαλά Μετ...
Β΄ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Ευθύγραμμη Ομαλά Μετ...
HOME
Τράπεζα Θεμάτων Α΄ Λυκείου/Β Θέμα /Κινηματική Βασισμένη σε Πειράματα
Τράπεζα Θεμάτων Α΄ Λυκείου/Β Θέμα /Κινηματική Βασισμένη σε Πειράματα
HOME
Β΄ ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Θέση-Μετατόπιση-Ευθ...
Β΄ ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Θέση-Μετατόπιση-Ευθ...
HOME
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016+απαντήσεις
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016+απαντήσεις
Christos Loizos
Όλα τα Θέματα Φυσικής Α΄ Λυκείου Τράπεζας Θεμάτων
Όλα τα Θέματα Φυσικής Α΄ Λυκείου Τράπεζας Θεμάτων
HOME
26η ανάρτηση
26η ανάρτηση
Παύλος Τρύφων
Β΄ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Ευθύγραμμη Ομαλά Μετ...
Β΄ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Ευθύγραμμη Ομαλά Μετ...
HOME
Andreas patsis
Andreas patsis
trifonpavlos1
Mk ed6 ekf
Mk ed6 ekf
Christos Loizos
Themata panelladikwn me_th_nea_ylh
Themata panelladikwn me_th_nea_ylh
Christos Loizos
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσησ Neo σχ. έτος 2015-16
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσησ Neo σχ. έτος 2015-16
Christos Loizos
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_b
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_b
Christos Loizos
σπαθάρας δημήτριος διδακτικό υλικό γλκατ τεύχος 1
σπαθάρας δημήτριος διδακτικό υλικό γλκατ τεύχος 1
Christos Loizos
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
Christos Loizos
γ λυκειου-τελικό Pagonis 2016
γ λυκειου-τελικό Pagonis 2016
Christos Loizos
Viewers also liked
(20)
Διαγώνισμα ΕΠΑΛ 2017
Διαγώνισμα ΕΠΑΛ 2017
Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη
Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη
γενικό διαγώνισμα
γενικό διαγώνισμα
Eleftheriou 2h edition
Eleftheriou 2h edition
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ / Δ ΘΕΜΑ - ΔΥΝΑΜΙΚΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ / Δ ΘΕΜΑ - ΔΥΝΑΜΙΚΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Β΄ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Ευθύγραμμη Ομαλά Μετ...
Β΄ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Ευθύγραμμη Ομαλά Μετ...
Τράπεζα Θεμάτων Α΄ Λυκείου/Β Θέμα /Κινηματική Βασισμένη σε Πειράματα
Τράπεζα Θεμάτων Α΄ Λυκείου/Β Θέμα /Κινηματική Βασισμένη σε Πειράματα
Β΄ ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Θέση-Μετατόπιση-Ευθ...
Β΄ ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Θέση-Μετατόπιση-Ευθ...
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016+απαντήσεις
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016+απαντήσεις
Όλα τα Θέματα Φυσικής Α΄ Λυκείου Τράπεζας Θεμάτων
Όλα τα Θέματα Φυσικής Α΄ Λυκείου Τράπεζας Θεμάτων
26η ανάρτηση
26η ανάρτηση
Β΄ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Ευθύγραμμη Ομαλά Μετ...
Β΄ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: Ευθύγραμμη Ομαλά Μετ...
Andreas patsis
Andreas patsis
Mk ed6 ekf
Mk ed6 ekf
Themata panelladikwn me_th_nea_ylh
Themata panelladikwn me_th_nea_ylh
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσησ Neo σχ. έτος 2015-16
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσησ Neo σχ. έτος 2015-16
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_b
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_b
σπαθάρας δημήτριος διδακτικό υλικό γλκατ τεύχος 1
σπαθάρας δημήτριος διδακτικό υλικό γλκατ τεύχος 1
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
γ λυκειου-τελικό Pagonis 2016
γ λυκειου-τελικό Pagonis 2016
Similar to 11 εξισωσεισ ζητουν λυσεισ ζανταριδησ3
Epan 1o apan2015
Epan 1o apan2015
Kakanos Giannis
Texnikes oloklirwsis-kwnstantopoulos
Texnikes oloklirwsis-kwnstantopoulos
Σωκράτης Ρωμανίδης
θεματα αναλυσης 1983 2005
θεματα αναλυσης 1983 2005
Παύλος Τρύφων
Θέματα και Λύσεις Μαθηματικά Κατεύθυνσης Επαναληπτικών Πανελλαδικών 2013
Θέματα και Λύσεις Μαθηματικά Κατεύθυνσης Επαναληπτικών Πανελλαδικών 2013
Dimitris Lafkas
Copy of lesson_04_mathjazz.pdf
Copy of lesson_04_mathjazz.pdf
Big Brain's Team Big Brain's Team
1 2743συναρτήσεις κακ μιχ
1 2743συναρτήσεις κακ μιχ
Christos Loizos
Σημειώσεις Γ Λυκείου 2016 - 17 του Κώστα Νικολετόπουλου
Σημειώσεις Γ Λυκείου 2016 - 17 του Κώστα Νικολετόπουλου
Μάκης Χατζόπουλος
Simeioseis nikoletopoulos g_lykeiou
Simeioseis nikoletopoulos g_lykeiou
Christos Loizos
2 θέματα που παραχώρησα στο lisari για το project "Η άσκηση της ημέρας"
2 θέματα που παραχώρησα στο lisari για το project "Η άσκηση της ημέρας"
Fanis Margaronis
2.000 ασκήσεις στη Γ Λυκείου [2018 - 19]
2.000 ασκήσεις στη Γ Λυκείου [2018 - 19]
Μάκης Χατζόπουλος
Στεργίου - Νάκης - Μαργαρώνης ασκήσεις + λύσεις στο lisari [νέα ύλη 2020]
Στεργίου - Νάκης - Μαργαρώνης ασκήσεις + λύσεις στο lisari [νέα ύλη 2020]
Μάκης Χατζόπουλος
λυση ασκ.28
λυση ασκ.28
Παύλος Τρύφων
Κατηγορίες ασκήσεων στα όρια
Κατηγορίες ασκήσεων στα όρια
Μάκης Χατζόπουλος
Hms 06 14-math_kat
Hms 06 14-math_kat
George Apostolou
λυσεις 1 50
λυσεις 1 50
Μάκης Χατζόπουλος
Όρια - γραφικές παραστάσεις - τριγωνομετρία - Υλικό Γ Λυκείου
Όρια - γραφικές παραστάσεις - τριγωνομετρία - Υλικό Γ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
Themata lyseis math_pros_2019
Themata lyseis math_pros_2019
Christos Loizos
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
Christos Loizos
Endeiktikes apantiseis sta_themata
Endeiktikes apantiseis sta_themata
Christos Loizos
Έλεγχος γνώσεων Γ λυκείου
Έλεγχος γνώσεων Γ λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
Similar to 11 εξισωσεισ ζητουν λυσεισ ζανταριδησ3
(20)
Epan 1o apan2015
Epan 1o apan2015
Texnikes oloklirwsis-kwnstantopoulos
Texnikes oloklirwsis-kwnstantopoulos
θεματα αναλυσης 1983 2005
θεματα αναλυσης 1983 2005
Θέματα και Λύσεις Μαθηματικά Κατεύθυνσης Επαναληπτικών Πανελλαδικών 2013
Θέματα και Λύσεις Μαθηματικά Κατεύθυνσης Επαναληπτικών Πανελλαδικών 2013
Copy of lesson_04_mathjazz.pdf
Copy of lesson_04_mathjazz.pdf
1 2743συναρτήσεις κακ μιχ
1 2743συναρτήσεις κακ μιχ
Σημειώσεις Γ Λυκείου 2016 - 17 του Κώστα Νικολετόπουλου
Σημειώσεις Γ Λυκείου 2016 - 17 του Κώστα Νικολετόπουλου
Simeioseis nikoletopoulos g_lykeiou
Simeioseis nikoletopoulos g_lykeiou
2 θέματα που παραχώρησα στο lisari για το project "Η άσκηση της ημέρας"
2 θέματα που παραχώρησα στο lisari για το project "Η άσκηση της ημέρας"
2.000 ασκήσεις στη Γ Λυκείου [2018 - 19]
2.000 ασκήσεις στη Γ Λυκείου [2018 - 19]
Στεργίου - Νάκης - Μαργαρώνης ασκήσεις + λύσεις στο lisari [νέα ύλη 2020]
Στεργίου - Νάκης - Μαργαρώνης ασκήσεις + λύσεις στο lisari [νέα ύλη 2020]
λυση ασκ.28
λυση ασκ.28
Κατηγορίες ασκήσεων στα όρια
Κατηγορίες ασκήσεων στα όρια
Hms 06 14-math_kat
Hms 06 14-math_kat
λυσεις 1 50
λυσεις 1 50
Όρια - γραφικές παραστάσεις - τριγωνομετρία - Υλικό Γ Λυκείου
Όρια - γραφικές παραστάσεις - τριγωνομετρία - Υλικό Γ Λυκείου
Themata lyseis math_pros_2019
Themata lyseis math_pros_2019
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
Endeiktikes apantiseis sta_themata
Endeiktikes apantiseis sta_themata
Έλεγχος γνώσεων Γ λυκείου
Έλεγχος γνώσεων Γ λυκείου
More from Christos Loizos
Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
Christos Loizos
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
Christos Loizos
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_up
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_up
Christos Loizos
Ektimhsh vasevn 4oy_ep
Ektimhsh vasevn 4oy_ep
Christos Loizos
Ektimhsh vasevn 3oy_ep
Ektimhsh vasevn 3oy_ep
Christos Loizos
Ektimhsh vasevn 2oy_ep
Ektimhsh vasevn 2oy_ep
Christos Loizos
Ektimhsh vasevn 1oy_ep
Ektimhsh vasevn 1oy_ep
Christos Loizos
Lyseis panel 2021
Lyseis panel 2021
Christos Loizos
Odhgies panelladikwn sta_mathimatika
Odhgies panelladikwn sta_mathimatika
Christos Loizos
Prosomoiwsh kalamari sarafis
Prosomoiwsh kalamari sarafis
Christos Loizos
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
Christos Loizos
Prosomoiwsh maios sarafis
Prosomoiwsh maios sarafis
Christos Loizos
Prosomoiwsh 1 xenos
Prosomoiwsh 1 xenos
Christos Loizos
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
Christos Loizos
451themataxristostsatsos
451themataxristostsatsos
Christos Loizos
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
Christos Loizos
Epanaliptika themata stergiou_2021
Epanaliptika themata stergiou_2021
Christos Loizos
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
Christos Loizos
Mathimatika prosanatolismou papanikolaou
Mathimatika prosanatolismou papanikolaou
Christos Loizos
Nikos koumantos prosomoiosh_2021
Nikos koumantos prosomoiosh_2021
Christos Loizos
More from Christos Loizos
(20)
Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_up
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_up
Ektimhsh vasevn 4oy_ep
Ektimhsh vasevn 4oy_ep
Ektimhsh vasevn 3oy_ep
Ektimhsh vasevn 3oy_ep
Ektimhsh vasevn 2oy_ep
Ektimhsh vasevn 2oy_ep
Ektimhsh vasevn 1oy_ep
Ektimhsh vasevn 1oy_ep
Lyseis panel 2021
Lyseis panel 2021
Odhgies panelladikwn sta_mathimatika
Odhgies panelladikwn sta_mathimatika
Prosomoiwsh kalamari sarafis
Prosomoiwsh kalamari sarafis
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
Prosomoiwsh maios sarafis
Prosomoiwsh maios sarafis
Prosomoiwsh 1 xenos
Prosomoiwsh 1 xenos
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
451themataxristostsatsos
451themataxristostsatsos
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
Epanaliptika themata stergiou_2021
Epanaliptika themata stergiou_2021
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
Mathimatika prosanatolismou papanikolaou
Mathimatika prosanatolismou papanikolaou
Nikos koumantos prosomoiosh_2021
Nikos koumantos prosomoiosh_2021
Recently uploaded
Οι μικροί αρτοποιοί της Γ τάξης και το ψωμί τους.pptx
Οι μικροί αρτοποιοί της Γ τάξης και το ψωμί τους.pptx
36dimperist
7. 3. ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ.pdf
7. 3. ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ.pdf
ssuser3e0dbe
Έκθεση μαθητικής Ζωγραφικής- Η μαγεία των μοτίβων.pptx
Έκθεση μαθητικής Ζωγραφικής- Η μαγεία των μοτίβων.pptx
7gymnasiokavalas
Παρουσίαση ομάδας ECOMOBILITY Σχολείου Δεύτερης Ευκαιρίας Άρτας
Παρουσίαση ομάδας ECOMOBILITY Σχολείου Δεύτερης Ευκαιρίας Άρτας
sdeartas
Στο μουσείο
Στο μουσείο
Dimitra Mylonaki
Παρουσίαση καλλιτεχνικού θεάματος
Παρουσίαση καλλιτεχνικού θεάματος
Dimitra Mylonaki
Εξερευνώντας τα μυστήρια του ουρανού-Παρουσίαση.pptx
Εξερευνώντας τα μυστήρια του ουρανού-Παρουσίαση.pptx
ntanavara
Ξενάγηση στο ιστορικό κέντρο των Ιωαννίνων.pptx
Ξενάγηση στο ιστορικό κέντρο των Ιωαννίνων.pptx
DimitraKarabali
Λαπμπουκ .pdf
Λαπμπουκ .pdf
Dimitra Mylonaki
Η εποχή του Ιουστινιανού-Η ελληνοχριστιανική οικουμένη
Η εποχή του Ιουστινιανού-Η ελληνοχριστιανική οικουμένη
Evangelia Patera
Επίσκεψη μαθητών στην Έκθεση Η Μαγεία των Μοτίβων.pptx
Επίσκεψη μαθητών στην Έκθεση Η Μαγεία των Μοτίβων.pptx
7gymnasiokavalas
Παρουσίαση καλλιτεχνικού θεάματος
Παρουσίαση καλλιτεχνικού θεάματος
Dimitra Mylonaki
Ημέρα Επιστημών – Επίδειξη πειραμάτων από τους μαθητές.pptx
Ημέρα Επιστημών – Επίδειξη πειραμάτων από τους μαθητές.pptx
36dimperist
Κωνσταντής σημειώσεις κείμενα νεοελληνικής
Κωνσταντής σημειώσεις κείμενα νεοελληνικής
ssuser44c0dc
B2 TΑΞΗ -ΜΗΝΥΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΑΔΕΣΠΟΤΑ.pdf-ΜΑΡΚΕΛΛΑ ΤΣΑΤΣΑΡΩΝΗ
B2 TΑΞΗ -ΜΗΝΥΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΑΔΕΣΠΟΤΑ.pdf-ΜΑΡΚΕΛΛΑ ΤΣΑΤΣΑΡΩΝΗ
Chrisa Kokorikou
ΣΠΑΣΕ ΤΗ ΣΙΩΠΗ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ/ΤΡΙΕΣ ΤΟΥ Β2.pdf
ΣΠΑΣΕ ΤΗ ΣΙΩΠΗ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ/ΤΡΙΕΣ ΤΟΥ Β2.pdf
Chrisa Kokorikou
Η κυρία Αλφαβήτα και τα παιδιά της. Της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η κυρία Αλφαβήτα και τα παιδιά της. Της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Σάσα Καραγιαννίδου - Πέννα
ΣΤ2 -ΕΓΩ ΚΑΙ ΣΥ ΜΑΖΙ-ΦΙΛΟΙ ΠΑΝΤΟΤΙΝΟΙ .pdf
ΣΤ2 -ΕΓΩ ΚΑΙ ΣΥ ΜΑΖΙ-ΦΙΛΟΙ ΠΑΝΤΟΤΙΝΟΙ .pdf
Chrisa Kokorikou
ΝΕΕΣ ΚΟΥΡΤΙΝΕΣ ΜΕ ΔΩΡΕΑ ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΓΟΝΕΩΝ.pptx
ΝΕΕΣ ΚΟΥΡΤΙΝΕΣ ΜΕ ΔΩΡΕΑ ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΓΟΝΕΩΝ.pptx
41dimperisteriou
Πρόγραμμα - Πάμε μια βόλτα στο φεγγάρι.pptx
Πρόγραμμα - Πάμε μια βόλτα στο φεγγάρι.pptx
ntanavara
Recently uploaded
(20)
Οι μικροί αρτοποιοί της Γ τάξης και το ψωμί τους.pptx
Οι μικροί αρτοποιοί της Γ τάξης και το ψωμί τους.pptx
7. 3. ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ.pdf
7. 3. ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ.pdf
Έκθεση μαθητικής Ζωγραφικής- Η μαγεία των μοτίβων.pptx
Έκθεση μαθητικής Ζωγραφικής- Η μαγεία των μοτίβων.pptx
Παρουσίαση ομάδας ECOMOBILITY Σχολείου Δεύτερης Ευκαιρίας Άρτας
Παρουσίαση ομάδας ECOMOBILITY Σχολείου Δεύτερης Ευκαιρίας Άρτας
Στο μουσείο
Στο μουσείο
Παρουσίαση καλλιτεχνικού θεάματος
Παρουσίαση καλλιτεχνικού θεάματος
Εξερευνώντας τα μυστήρια του ουρανού-Παρουσίαση.pptx
Εξερευνώντας τα μυστήρια του ουρανού-Παρουσίαση.pptx
Ξενάγηση στο ιστορικό κέντρο των Ιωαννίνων.pptx
Ξενάγηση στο ιστορικό κέντρο των Ιωαννίνων.pptx
Λαπμπουκ .pdf
Λαπμπουκ .pdf
Η εποχή του Ιουστινιανού-Η ελληνοχριστιανική οικουμένη
Η εποχή του Ιουστινιανού-Η ελληνοχριστιανική οικουμένη
Επίσκεψη μαθητών στην Έκθεση Η Μαγεία των Μοτίβων.pptx
Επίσκεψη μαθητών στην Έκθεση Η Μαγεία των Μοτίβων.pptx
Παρουσίαση καλλιτεχνικού θεάματος
Παρουσίαση καλλιτεχνικού θεάματος
Ημέρα Επιστημών – Επίδειξη πειραμάτων από τους μαθητές.pptx
Ημέρα Επιστημών – Επίδειξη πειραμάτων από τους μαθητές.pptx
Κωνσταντής σημειώσεις κείμενα νεοελληνικής
Κωνσταντής σημειώσεις κείμενα νεοελληνικής
B2 TΑΞΗ -ΜΗΝΥΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΑΔΕΣΠΟΤΑ.pdf-ΜΑΡΚΕΛΛΑ ΤΣΑΤΣΑΡΩΝΗ
B2 TΑΞΗ -ΜΗΝΥΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΑΔΕΣΠΟΤΑ.pdf-ΜΑΡΚΕΛΛΑ ΤΣΑΤΣΑΡΩΝΗ
ΣΠΑΣΕ ΤΗ ΣΙΩΠΗ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ/ΤΡΙΕΣ ΤΟΥ Β2.pdf
ΣΠΑΣΕ ΤΗ ΣΙΩΠΗ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ/ΤΡΙΕΣ ΤΟΥ Β2.pdf
Η κυρία Αλφαβήτα και τα παιδιά της. Της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η κυρία Αλφαβήτα και τα παιδιά της. Της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
ΣΤ2 -ΕΓΩ ΚΑΙ ΣΥ ΜΑΖΙ-ΦΙΛΟΙ ΠΑΝΤΟΤΙΝΟΙ .pdf
ΣΤ2 -ΕΓΩ ΚΑΙ ΣΥ ΜΑΖΙ-ΦΙΛΟΙ ΠΑΝΤΟΤΙΝΟΙ .pdf
ΝΕΕΣ ΚΟΥΡΤΙΝΕΣ ΜΕ ΔΩΡΕΑ ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΓΟΝΕΩΝ.pptx
ΝΕΕΣ ΚΟΥΡΤΙΝΕΣ ΜΕ ΔΩΡΕΑ ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΓΟΝΕΩΝ.pptx
Πρόγραμμα - Πάμε μια βόλτα στο φεγγάρι.pptx
Πρόγραμμα - Πάμε μια βόλτα στο φεγγάρι.pptx
11 εξισωσεισ ζητουν λυσεισ ζανταριδησ3
1.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 1 ΘΕΜΑ 1. Να ιπζεί ε εμίζωζε 2 2x lnx =e , x>0 ΛΥΣΗ Έρνπκε : 2x lnx =e, x >0 e 2lnx = , x >0 x e 2lnx - =0, x >0 x 2 2 2 Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε f(x)=2lnx- e , x >0 x2 Δίλαη θαλεξό όηη ε εμίζωζε 2x2 lnx=e, x>0, είλαη ηζνδύλακε κε ηελ εμίζωζε f(x)=0 , x>0. Δίλαη 1 2e f΄(x)=2 + >0 x x3 ,γηα θάζε x>0. Δπνκέλωο ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην (0,+) , νπόηε ε f είλαη ζπλάξηεζε 1-1. Με x>0 έρνπκε : f(x)=0 e 1 e f(x)= f( e) ( αθνύ f( e ) =2ln( e)- =2 - =0 ) 2 2 e( e) x = e (αθνύε f είλαη1-1) Δπνκέλωο ε δνζείζα εμίζωζε έρεη αθξηβώο κηα ιύζε ζην (0,+),ηνλ αξηζκό xo= e
2.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 2 ΘΕΜΑ 2. Να ιπζεί ε εμίζωζε 2 2 1+2-x-23 = , x IR 1+4 2 X x x ΛΥΣΗ Έρνπκε : 22 2 2 2 2 X+2 X X X+2 X 2 x x1+2 3 1+2 1+2 1+2x -x-23 = = = x+2 x+21+4 2 3 33 1+2 1+2 1 2 f(x+2)= f(x ),όπνπ f(x)= = + , x IR 3 3 3 X XX X x Δίλαη f΄(x)= 1 1 2 2 ln + ln <0 3 3 3 3 X X γηα θάζε xIR. Οπόηε ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην IR. Η f ωο γλεζίωο κνλόηνλε ζην IR είλαη ζπλάξηεζε 1-1 . Δηζη έρνπκε : f(x+2)= f(x ) x+2= x ( f ΄1-1΄ ) x - x -2=0 x =-1ή x =2 2 2 2 Άξα ε εμίζωζε 2x2 1+2-x-23 = 1+4 2 x x έρεη αθξηβώο δπν ιύζεηο ζην R νη νπνίεο είλαη 1 2x =-1,x =2
3.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 3 ΘΕΜΑ 3. Να ιπζεί ε εμίζωζε x x x x x 10 +11 +12 =13 +14 ,x IR (ADREESCU 101 PROBLEMS) ΛΥΣΗ ... x x x x x 10 +11 +12 =13 +14 (1) x x x x x x x x x x x x x x 10 +11 +12 13 +14 Έρνπκε : 1 = 13 13 10 11 12 14 + + - =1 13 13 13 13 10 11 12 14 f(x)=1 ,όπνπ f(x)= + + - 13 13 13 13 x ,x IR Δίλαη x x x x 10 10 11 11 12 12 14 14 f΄(x)= ln + ln + ln - ln 13 13 13 13 13 13 13 13 <0 γηα θάζε xIR, νπόηε ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην IR Άξα ε f είλαη ζπλάξηεζε 1-1 παξαηεξνύκε όηη f(2)=….=1 έηζη έρνπκε : (1) f(x)=1 f(x)=f(2) x =2 (αθνύ ε f είλαη ”1-1”) επνκέλωο ε εμίζωζε (1) έρεη κνλαδηθή ιύζε ζην R ηνλ αξηζκό xo=2
4.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 4 ΘΕΜΑ 4. Να ιπζεί ε εμίζωζε x x x x 4 +2 +2=5 +3 , xR ΛΥΣΗ … x x x x 4 +2 +2=5 +3 :( 1) Δίλαη θαλεξό όηη ν αξηζκόο xo=1 είλαη ιύζε ηεο εμίζωζεο (1) ,αθνύ 1 1 1 1 4 +2 +2=5 +3 Θα εμεηάζνπκε αλ ε εμίζωζε (1) έρεη ιύζε δηαθνξεηηθή ηνπ xo=1 Θεωξώ ηηο ζπλαξηήζεηο x x x x 4 1 2 1 f(x)= + θαη g(x)= + 5 5 3 3 x x 4 4 1 1 Δίλαη f΄(x)= ln + ln <0 5 5 5 5 γηα θάζε xIR θαη x x 2 2 1 1 g'(x)= ln + ln <0 3 3 3 3 γηα θάζε xIR. .Άξα νη f θαη g είλαη γλεζίωο θζίλνπζεο ζην IR. Δηζη έρνπκε : X X X X x x x x X XX X f(x)< f(1) x >1 (f,g IR) g(x)<g(1) 4 1 + <1 4 +1<55 5 4 +2 +2<5 +3 2 +1<32 1 + <1 3 3 Άξα ε εμίζωζε (1) δελ έρεη ιύζε ζην (1,+)
5.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 5 X X X X X X X X X XX X Αθόκε γηα θάζε <1 έρνπκε f(x)> f(1) x <1 (f,g IR) g(x)>g(1) 4 1 + >1 4 +1>55 5 4 +2 +2>5 +3 2 +1>32 1 + >1 3 3 x Δπνκέλωο ε εμίζωζε (1) δελ έρεη ιύζε ζην (-,1) Από ηα παξαπάλω πξνθύπηεη όηη ε εμίζωζε (1) έρεη αθξηβώο κηα ιύζε ζην IR, ηνλ αξηζκό xo=1
6.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 6 ΘΕΜΑ 5. Α. Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα Γ θαη ε εμίζωζε f(x)=0 έρεη ζην Γ , n2 ξίδεο λα απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε f΄(x)=0 έρεη ζην Γ ηνπιάρηζηνλ n-1 ξίδεο Β. Να ιπζεί ζην IR ε εμίζωζε x x 3 +2 4 =19 x+3 ΛΥΣΗ Έζηω 1 2 nξ ,ξ ,...,ξ Γ κε 1 2 nξ <ξ <...<ξ (n2) νη ξίδεο ηεο εμίζωζεο f(x)=0 Δπεηδή ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα Γ έπεηαη όηη ε f είλαη ζπλερήο ζηα δηαζηήκαηα 1 2 n-1 nξ ,ξ ,..., ξ ,ξ θαη παξαγωγίζηκε ζηα δηαζηήκαηα 1 2 n-1 nξ ,ξ ,..., ξ ,ξ Αθόκε είλαη 1 2 nf(ξ )=f(ξ )=...=f(ξ )=0 ,αθνύ νη αξηζκνί 1 2 nξ ,ξ ,...,ξ είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζωζεο f(x)=0. Άξα ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Rolle ζε θαζέλα από ηα δηαζηήκαηα 1 2 n-1 nξ ,ξ ,..., ξ ,ξ , νπόηε ππάξρνπλ 1 1 2 n-1 n-1 nμ (ξ ,ξ ),...,μ (ξ ,ξ ) ώζηε 1 n-1f΄(μ )=0,...,f΄(μ )=0 Άξα ε εμίζωζε f΄(x)=0 έρεη ηνπιάρηζηνλ n-1 ξίδεο ζην δηάζηεκα Γ. Β. x x ...3 +2 4 =19 x+3 :(ε) Έρνπκε : (ε) x x 3 +2 4 -19 x-3=0 f(x)=0 , όπνπ x x f(x)=3 +2 4 -19 x-3, x IR
7.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 7 Άξα ε εμίζωζε (ε) είλαη ηζνδύλακε κε ηελ εμίζωζε f(x)=0 Παξαηεξνύκε όηη 0 0 f(0)=3 +2 4 -19 0-3=0 θαη 2 2 f(2)=3 +2 4 -19 2-3=0 Άξα νη αξηζκνί 1 2x =0,x =2 είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζωζεο f(x)=0 Γηα ηελ ζπλάξηεζε f έρνπκε : x x x 2 x 2 f΄(x)=3 ln3+2 4 ln4-19 θαη f΄΄ (x)=3 (ln3) +2 4 (ln4) >0 γηα θάζε x R Υπνζέηνπκε όηη νη εμίζωζε f(x)=0 έρεη ηνπιάρηζηνλ ηξείο πξαγκαηηθέο ξίδεο, ηόηε: 1. Η εμίζωζε f(x)=0 έρεη ηξείο ηνπιάρηζηνλ ξίδεο ζην IR. 2. Η εμίζωζε f΄(x)=0 έρεη δπν ηνπιάρηζηνλ ξίδεο ζην IR. 3. Η εμίζωζε f΄΄(x)=0 έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην IR. Άηνπν, αθνύ είλαη f΄΄ (x)>0 γηα θάζε xIR. Από ηα παξαπάλω πξνθύπηεη όηη ε εμίζωζε f(x)=0, νπόηε θαη ε εμίζωζε (ε) έρεη αθξηβώο δπν ιύζεηο ζην IR νη νπνίεο είλαη x1=0,x2=2
8.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 8 ΘΕΜΑ 6. Να ιπζεί ε εμίζωζε x x x 3 +5 =2 4 , xR ΛΥΣΗ … x x x 3 +5 =2 4 : (1) Δίλαη θαλεξό όηη νη αξηζκνί x1=0 θαη x2=1 είλαη νη ιύζεηο ηεο εμίζωζεο (1) (αθνύ 0 0 0 1 1 1 3 +5 =2 4 θαη 3 +5 =2 4 ) Έζηω ηώξα όηη ε εμίζωζε (1) έρεη άιιε ιύζε ox IR- 0,1 ηόηε ζα ηζρύεη o o o o o o o o o o o x x x x x x x x x x x 3 +5 =2 4 5 - 4 4 -3 f(5)- f(4) f(4)- f(3) 5 - 4 = 4 -3 = = :(2) 5- 4 4-3 5- 4 4-3 όπνπ ox f(t)=t , t >0 Η ζπλάξηεζε f(t)= ox t ,t>0 είλαη παξαγωγίζηκε ζην (0,+) κε f΄(t)=xo ox -1 t , oπόηε ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Μ.Τ. ζε θαζέλα από ηα δηαζηήκαηα 3,4 θαη 4,5 , επνκέλωο ππάξρνπλ μ1(3,4)θαη μ2(4,5) ώζηε 1 2 f(4)- f(3) f(5)- f(4) f΄(μ )= :(α)θαη f΄(μ )= :(β) 4-3 5- 4 Από ηελ (2) ιόγω ηωλ (α) θαη (β) έρνπκε f΄(μ1)=f΄(μ2) xo ox -1 1ξ = xo ox -1 2ξ o ox -1 x -1 1 2μ =μ (αθνύ xo0)
9.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 9 o ox -1 x -1 0 1 1 1 2 2 2 1 o 2 o μ μ μ =1 = μ μ μ μ x -1=0 (αθνύ 0< 1) μ x =1 Άηνπν αθνύ xo1 Δπνκέλωο ε εμίζωζε (1) έρεη αθξηβώο δπν ιύζεηο ζην R νη νπνίεο είλαη : x1=0 ,x2=2
10.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 10 ΘΕΜΑ 7. Αλ ε ζπλάξηεζε f:IRR είλαη παξαγωγίζηκε ζην IR κε ηελ f΄ λα είλαη ζπλάξηεζε 1-1 , λα ιπζεί ε εμίζωζε f(x)+f(4x -3) = f(2x -1)+f(3x - 2) , xR ΛΥΣΗ ... f(x)+f(4x -3) = f(2x -1)+f(3x - 2):(1) Παξαηεξνύκε όηη ν αξηζκόο xo=1 είλαη ε ιύζε ηεο εμίζωζεο (1) αθνύ f(1)+f(4 1-3) = f(2 1-1)+f(3 1- 2) Έζηω ηώξα x>1 ηόηε είλαη x < 2x -1< 3x - 2 < 4x -3 επεηδή ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην IR έπεηαη όηη ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Μ.Τ ζε θαζέλα από ηα δηαζηήκαηα x,2x -1 θαη 3x - 2,4x - 3 νπόηε ππάξρνπλ μ1(x,2x-1) θαη μ2(3x-2,4x-3) ώζηε : 1 2 f(2x -1)- f(x) f(2x -1)- f(x) f(4x - 3)- f(3x - 2) f΄(μ ) = = θαη f΄(μ ) = = (2x -1)- x x -1 (4x - 3)-(3x - 2) f(4x - 3)- f(3x - 2) = x -1 Έρνπκε όκωο 1 2 1 2 1 2x < μ < 2x -1< 3x - 2 < μ < 4x - 3 μ μ f΄(μ ) f΄(μ ),(f΄ ζπλάξηεζε ΄΄1-1΄΄) f(2x -1)- f(x) f(4x - 3)- f(3x - 2) x -1 x -1 f(2x -1)- f(x) f(4x - 3)- f(3x - 2) f(x)+ f(4x - 3) f(2x -1)+ f(3x - 2) Δπνκέλωο ζην (1,+) ε εμίζωζε (1) δελ έρεη ιύζε
11.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 11 Οκνίωο απνδεηθλύεηαη θαη ζην (-,1) ε εμίζωζε (1) δελ έρεη ιύζε Δπνκέλωο ε εμίζωζε (1) έρεη αθξηβώο κηα ιύζε ζην IR,ηνλ αξηζκό xo=1
12.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 12 ΘΕΜΑ 8. Αλ ε ζπλάξηεζε f: IRIR είλαη γλεζίωο αύμνπζα , λα ιπζεί ε εμίζωζε X X X X f(7 5 )+ f(4 3 ) = f(3 4 )+ f(5 7 ) , xR ΛΥΣΗ … x x x x f(7 5 )+f(4 3 ) = f(3 4 )+f(5 7 ) :(1) Παξαηεξνύκε όηη ν αξηζκόο xo=1 απνηειεί ιύζε ηεο εμίζωζεο (1), αθνύ 1 1 1 1 1 1 1 1 f(7 5 )+ f(4 3 ) = f(35)+ f(12) θαη f(3 4 )+ f(5 7 ) = f(12)+ f(35), νπόηε f(7 5 )+ f(4 3 ) = f(3 4 )+ f(5 7 ) Γηα x>1 έρνπκε xx 1 x x xx x xx 1 xx x 77 7 7 7R> , 55 5 5 7 7 55 5 3 4 4 34 44 4 4 > , R 3 33 3 3 X X X X f(5 7 ) > f(7 5 ) (f IR) f(3 4 ) > f(4 3 ) X X X X f(7 5 )+ f(4 3 ) < f(3 4 )+ f(5 7 ) Δπνκέλωο ζην (1,+) ε εμίζωζε (1)δελ έρεη ιύζε ,όκνηα απνδεηθλύεηαη όηη θαη ζην (-,1) ε εμίζωζε (1) δελ έρεη ιύζε . Δπνκέλωο ε εμίζωζε (1) έρεη κηα κόλν ιύζε ζην IR ,ηνλ αξηζκό xo=1
13.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 13 ΘΕΜΑ 9. Γηα ηελ δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f:IRI * R ηζρύεη 2 f(x)f΄΄(x) > (f΄(x)) γηα θάζε xIR α) Να κειεηεζεί ωο πξνο ηελ κνλνηνλία ε ζπλάξηεζε f΄(x) g(x) = ,x IR f(x) β) Να ιπζεί ε εμίζωζε f(x) xf΄(x)f(2x) = e f(x) , xR ΛΥΣΗ α) Η g είλαη παξαγωγίζηκε ζην IR ωο πειίθν παξαγωγίζηκωλ ζπλαξηήζεωλ κε 2 2 2 ' f΄(x) (f΄(x)) f(x)- f΄(x)f΄(x) f(x)f΄΄(x)-(f΄(x)) g΄(x) = = = > 0 f(x) (f(x)) (f(x)) ΄ γηα θάζε xIR (αθνύ γηα θάζε xIR έρνπκε: 2 2 2 22 2 f(x)f΄΄(x) > (f΄(x)) f(x)f΄΄(x)-(f΄(x)) > 0 f(x)f΄(x)-(f΄(x)) > 0 (f(x))(f(x)) > 0 (f(x)) > 0 Άξα ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR
14.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 14 f(x) xf΄(x) f(x) xf΄(x) f(2x) β)... = e : (1) f(x) f(2x) έρνπκε : (1) ln = ln(e ) f(x) f(2x) f(x) ln = xf΄(x) f(x)(ln(f(2x))-ln(f(x))) = xf΄(x) f(x) xf΄(x) n(f(2x))-ln(f(x)) = h(2x)-h(x) = x h΄(x):(Δ) f(x) l Όπνπ h(x)=ln(f(x)) γηα ηελ νπνία είλαη h΄(x)= f΄(x) = g(x) f(x) νπόηε ε h΄ είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR. Έηζη ε εμίζωζε (1)είλαη ηζνδύλακε κε ηελ εμίζωζε (Δ) Δίλαη θαλεξό όηη ν αξηζκόο xo=0 είλαη ιύζε ηεο εμίζωζεο (Δ) αθνύ h(20)-h(0)=0h΄(0) Έζηω ηώξα x>0 επεηδή ε h είλαη παξαγωγίζηκε ζην IR έπεηαη όηη ε h ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Μ.Τ ζην x,2x νπόηε ππάξρεη μ(x,2x) ώζηε h(2x)-h(x) h(2x)-h(x) h΄(μ) = = : (α) 2x - x x Έρνπκε όκωο x<μ<2xh΄(x)<h΄(μ) (h΄ IR) x>0 h(2x)-h(x) h΄(x) < h(2x)-h(x) > x h΄(x) x Δπνκέλωο ζην (0,+) ε εμίζωζε (Δ) , νπόηε θαη ε ηζνδύλακε ηεο εμίζωζε (1) δελ έρεη ιύζε . Οκνίωο εξγαδόκελνη απνδεηθλύεηαη όηη θαη ζην (-,0) ε εμίζωζε (1) δελ έρεη ιύζε .Έηζη ε εμίζωζε (1)έρεη αθξηβώο κηα ιύζε ζην R ηνλ αξηζκό xo=0
15.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 15 ΘΕΜΑ 10. Γηα ηε ζπλάξηεζε f:RR ηζρύεη f(x+ey )>f(x) γηα θάζε x,yR α) λα απνδείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R β) λα ιπζεί ε εμίζωζε f(x2 )+lnx=f(x) , x>0 ΛΥΣΗ α) …f(x+ey )>f(x) : (1) Δζηω x1,x2R κε x1<x2 Από ηελ (1) γηα x=x1R θαη y=ln(x2-x1)R ( αθνύ x2-x1>0 ) έρνπκε όηη ηζρύεη f(x1+ 2 1ln(x -x ) e )>f(x1) f(x1+(x2-x1))>f(x1) f(x1)<f(x2) Δπνκέλωο γηα θάζε x1,x2R κε x1<x2 ηζρύεη f(x1)<f(x2) , νπόηε ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R. β) …f(x2 )+lnx=f(x) :(ε) είλαη θαλεξό όηη ε (ε) έρεη ωο ιύζε ηνλ αξηζκό xo=1 , αθνύ f(12 )+ln1=f(1) Αθόκε γηα θάζε x>1 έρνπκε : x>1 2 2(lnx ) x x f(x ) f(x) , (f R) lnx ln1 lnx 0 f(x2 )+lnx>f(x) Δπνκέλωο ζην (1,+) ε εμίζωζε (ε) δελ έρεη ιύζε
16.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 16 Δπίζεο γηα θάζε x(0,1) έρνπκε : 0<x<1 2 2(lnx ) x x f(x ) f(x) , (f R) lnx ln1 lnx 0 f(x2 )+lnx<f(x) Δπνκέλωο ζην (0,1) ε εμίζωζε (ε) δελ έρεη ιύζε Από ηα παξαπάλω πξνθύπηεη όηη ζην (0,+) ε εμίζωζε (ε) έρεη αθξηβώο κία ιύζε ην xo=1.
17.
Master Class 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΟΥΝ ΛΥΣΗ ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ ΝΙΚΟΣ 17 ΘΕΜΑ 11. Η ζπλάξηεζε f:RR είλαη παξαγωγίζηκε θαη θπξηή ζην R θαη είλαη f(1)=2 , f΄(1)=1. Να βξεζνύλ νη α,βR ώζηε λα ηζρύεη f(α+β-5)+f(α-β-1)=2α-4 ΛΥΣΗ Η εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο (ε) ηεο Cf ζην ζεκείν Α(1,f(1)) είλαη y-f(1)=f΄(1)(x-1)y-f(1)=f΄(1)(x-1)y-2=1(x-1)y=x+1 Δπεηδή ε f είλαη θπξηή ζην R έπεηαη όηη ε Cf βξίζθεηαη πάλω από ηελ εθαπηνκέλε ηεο επζεία ε:y=x+1 ζε όιν ην R κε εμαίξεζε ην θνηλό ζεκείν επαθήο ηνπο Μ(1,f(1)) . Άξα γηα θάζε xR ηζρύεη f(x)x+1 : (Σ) κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα x=1. Έηζη ιόγω ηεο (Σ) έρνπκε : f(α+β-5)(α+β-5)+1 f(α+β-5)α+β-4 : (2) κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν όηαλ α+β-5=1 Αθόκε ιόγω ηεο (Σ) έρνπκε f(α-β-1)(α-β-1)+1 f(α-β-1)α-β : (3) κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν όηαλ α-β-1=1 Από (1) θαη (2) έρνπκε όηη ηζρύεη f(α+β-5)+f(α-β-1)2α-4 κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν όηαλ ηζρύνπλ α+β-5=1 θαη α-β-1=1 Δπνκέλωο γηα λα ηζρύεη f(α+β-5)+f(α-β-1)=2α-4 πξέπεη θαη αξθεί λα είλαη α+β - 5 =1 α+β = 6 α = 4 α -β -1=1 α -β = 2 β = 2 Άξα είλαη α=4 , β=2
Download now