Γιορτή της μητέρας-Φύλλα εργασιών για όλες τις τάξεις
1 7513kolegio athinon
1. www.askisopolis.gr
1
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
Θέματα εξετάσεων
1. α) Να απλοποιήσετε την παράσταση
53 2 64
10
52 35
, όπου α > 0
β) Να λύσετε την εξίσωση
1 2| 2x 1| 2
2 x 6x 3 2
2 3
2. α) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση 2 2
x x 1 3x έχει δύο ρίζες πραγματικές και
άνισες.
β) Αν 1 2x , x οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε για ποιες τιμές του οι ρίζες αυτές
ικανοποιούν τη σχέση
2
2 2
1 2 1 2
3
x x x x
3
.
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει 2 2
x x 1 3x για κάθε πραγματικό x.
3. Να λύσετε την ανίσωση 2
x 4x 4 4 2x 1 .
4. Δίνονται τα τριώνυμα 2
f x 2x 1 x 1 και 2
g x x 6x 4 2 .
α) Αν το f x έχει ρίζα τον αριθμό –1, να αποδείξετε ότι το g x έχει πραγματικές ρίζες και άνισες.
β) Για λ = - 4, αν 1 2x , x είναι οι ρίζες του g x , να βρείτε την τιμή της παράστασης
1 2
1 2
2x 1 2x 1
x 1 x 1 36
.
5. Δίνεται η εξίσωση 2 2
x 2 1 x 0
α) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές;
β) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και αντίστροφες;
γ) Αν x1 και x2 είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθούν τα ώστε να ισχύει
2 2
1 2 1 2x x x x 4 .
δ) Αν x1 και x2 είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί η εξίσωση που έχει ρίζες
1
1
1
x
και 2
2
1
x
.
6. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ για τους οποίους ισχύει: 3 10 2 0 (1).
α) Να βρείτε τους αριθμούς κ και λ.
β) Για κ=3 και λ=5 να λύσετε την ανίσωση x k 1 (2)
7. Δίνεται η εξίσωση 2
x 3 x 6 0, .Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε:
α) Η εξίσωση να έχει δύο πραγματικές ρίζες.
β) Να ισχύει 2
x 3 x 6 0 για κάθε x
2. www.askisopolis.gr
2
γ) Αν η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες τις 1 2x , x , να ισχύει:
1 2
1 1
2
x x
.
8. α) Αν
63 4
3 12 5
2 2 2 2
A
2 2 2 2
, να αποδείξετε ότι A 2 .
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε 2
x A η παράσταση 2
B x 2 A 3x 2 A x
είναι ανεξάρτητη του x.
9. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 2 2
f x x 2 2 x 3 1 ,x
α) Για ποιες τιμές της παραμέτρου ισχύει f x 0 για κάθε x ;
β) 1. Για ποιες τιμές της παραμέτρου η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον
άξονα x΄x σε δυο διαφορετικά σημεία;
2. Αν 1 2x ,x αποτελούν δυο άνισες ρίζες της εξίσωσης f x 0 , να βρείτε για ποιες τιμές της
παραμέτρου ισχύει : 1 2x x 3 .
10.Δίνεται η εξίσωση 2
x 1 x 6 0 , (1) με παράμετρο .
α) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το 1, να βρείτε το λ.
β) Για λ = 2 να λύσετε την εξίσωση (1).
11.α) Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις:
2
2 x 1
A ,x 1
x 2x 1
και
3
8 2 3
B 2 3 3 3
.
β) Αν οι αριθμοί , 201| x |4 4, B είναι οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου, να
βρείτε τον αριθμό x, τον ν-οστό όρο της προόδου καθώς και το άθροισμα των τριάντα πρώτων όρων
της.
12.Οι πλευρές 1 2x , x ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης:
2 1
x 4 x 16 0, 0,4
.
α) Να βρείτε :
i) Την περίμετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ.
ii) Το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου.
β) Να αποδείξετε ότι 16, για κάθε 0 , 4 .
γ) Για ποια τιμή του λ η περίμετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 16; Τι
μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;
13.Δίνεται η εξίσωση 2 2
x x 3 0 . Να βρείτε για ποιες τιμές του :
α) Η εξίσωση είναι αδύνατη στο .
β) Η εξίσωση έχει δύο αρνητικές ρίζες.
γ) Ισχύει η ανισότητα 1 1 2 1 2 2x x x 3x x 3 x όπου 1 2x ,x οι ρίζες της πιο πάνω εξίσωσης.
14.Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
2 2
3x x 1
f x
x 2
και το σημείο 610 1133
27, 2 4 2 .
α) Να δείξετε ότι 3,4
β) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, έτσι ώστε η γραφική παράσταση της f να
3. www.askisopolis.gr
3
διέρχεται από το σημείο Μ.
γ) Αν 2 να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να δείξετε ότι η f παίρνει τη μορφή
3x 1
f x
2
.
15.Δίνεται η εξίσωση 2
x 1 x 2 3 0 με παράμετρο (1).
α) Να βρείτε τα ώστε η εξίσωση (1) να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
β) Να βρείτε τα ώστε η εξίσωση (1) να έχει δύο θετικές πραγματικές και άνισες ρίζες.
γ) Αν 1 2x ,x οι άνισες πραγματικές ρίζες της (1), να εξετάσετε αν υπάρχουν που να ικανοποιούν
τη σχέση 2 2 2
1 2 1 2x x 8 x x .
5. www.askisopolis.gr
5
α) 2 2 2 2 2
x x 1 3x x x 3x 0 3 x x 0
Πρέπει η εξίσωση να είναι 2ου βαθμού δηλαδή 3 0 3 και
(: 3)
2 2 2 2
0 4 3 0 4 12 0 3 12 0
2
4 0 4 0 0,4
β) Από τις σχέσεις Vietta έχουμε 1 2S x x
3 3
και 1 2P x x
3
Οπότε
2 2
22 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 3
x x x x x x 2x x x x
3 3
22 2 2 3
2 2
3 9
2 2
3 3 3 3 3 33 3
2 2
2 3 3 9 2 2
2 6 3 9 2
2 9 9 0
2
9 4 2 9 81 72 9 και
1
9 3 6 3
2 2 4 2
δεκτή ,
2
9 3 12
3
2 2 4
απορρίπτεται
γ) 2 2 2
x x 1 3x 3 x x 0 .
Πρέπει 0 .... ( ,0) (4, ) και 3 0 3
Άρα για ( ,0) ισχύει 2 2
x x 1 3x για κάθε πραγματικό x.
ΙI
3. Να λύσετε την ανίσωση 2
x 4x 4 4 2x 1 .
Λύση
2
x 4x 4 4 2x 1 2
(x 2) 2x 4 1 x 2 2 x 2 1 x 2 1
1 x 2 1 1 x 3 x 1,3
ΘΕΜΑ ΙΙΙ
4. Δίνονται τα τριώνυμα 2
f x 2x 1 x 1 και 2
g x x 6x 4 2 .
α) Αν το f x έχει ρίζα τον αριθμό –1, να αποδείξετε ότι το g x έχει πραγματικές ρίζες και άνισες.
β) Για λ = - 4, αν 1 2x , x είναι οι ρίζες του g x , να βρείτε την τιμή της παράστασης
1 2
1 2
2x 1 2x 1
x 1 x 1 36
.
Λύση
α) Αφού το f(x) έχει ρίζα τον αριθμό –1 ισχύει ότι
2
f( 1) 0 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 0 2 1 1 0 4
Οπότε 2
f(x) 2x 3x 1 και 2
g(x) x 6x 18 .
Δ= 2
6 4 18 ( 1) 36 72 108 0 άρα το τριώνυμο g(x) έχει πραγματικές ρίζες και άνισες.
β) Για 4 : 2
g(x) x 6x 18 .
Από τις σχέσεις Vieta έχουμε 1 2
6
S x x 6
1
και 1 2
18
P x x 18
1
.
6. www.askisopolis.gr
6
1 2 1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2x 1 2x 1 4x x 2 x x 14x x 2x 2x 1
x 1 x 1 36 x x x x 1 36 x x x x 1 36
4 18 2 6 1 72 12 1 59
1
18 6 1 36 59 59
5. Δίνεται η εξίσωση 2 2
x 2 1 x 0
α) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές;
β) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και αντίστροφες;
γ) Αν x1 και x2 είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθούν τα ώστε να ισχύει
2 2
1 2 1 2x x x x 4 .
δ) Αν x1 και x2 είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί η εξίσωση που έχει ρίζες
1
1
1
x
και 2
2
1
x
.
Λύση
α) Πρέπει
2 2
0 2 1 4 1 0 2
4 2
4 1 4
1
0 4 1
4
β) Πρέπει
1
0
4
και
1
4
2
1 2P x x 1 1 1
γ) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε 1 2
2 1
S x x 2 1
1
και 2
1 2P x x .
22 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2x x x x 4 x x 2x x x x 4
2 2 2 2
2 1 2 2 1 4 4 4 1 2 2 5
(:2)
2 2
2 2 4 0 2 0 1,2
δ) 1 2
1 2 2
1 2 1 2
x x1 1 2 1
S
x x x x
1 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1
x x x x
Η ζητούμενη εξίσωση είναι η
2 2 2 2
2 2
2 1 1
x S x P 0 x x 0 x (2 1)x 1 0
6. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ για τους οποίους ισχύει: 3 10 2 0 (1).
α) Να βρείτε τους αριθμούς κ και λ.
β) Για κ=3 και λ=5 να λύσετε την ανίσωση x k 1 (2)
Λύση
α) (1) 3 0 3 και 10 2 0 2 10 5
β) Για κ=3 και λ=5: (2) x 3 5 1 1 x 3 5 1 4 x 3 6 (3)
Για x 3 : (3) 4 x 3 6 1 x 3
Για x 3 : (3) 4 x 3 6 6 x 3 4 9 x 7
7. www.askisopolis.gr
7
Άρα οι λύσεις της ανίσωσης είναι η ένωση των διαστημάτων 9, 7 1,3
7. Δίνεται η εξίσωση 2
x 3 x 6 0, . Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε:
α) Η εξίσωση να έχει δύο πραγματικές ρίζες.
β) Να ισχύει 2
x 3 x 6 0 για κάθε x
γ) Αν η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες τις 1 2x , x , να ισχύει:
1 2
1 1
2
x x
.
Λύση
α) Πρέπει
2
0 3 4 1 6 0
2
6 9 4 24 0
2
2 15 0 5,3
β) Πρέπει 0 , 5 3,
γ) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε 1 2
3
S x x 3
1
και 1 2
6
P x x 6
1
.
Πρέπει 0 5,3
5,3
1 2
( 6 )
1 2 1 2
x x1 1 3
2 2 2
x x x x 6
3 2 6 3 9 3
Άρα 3,3 .
8. α) Αν
63 4
3 12 5
2 2 2 2
A
2 2 2 2
, να αποδείξετε ότι A 2 .
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε 2
x A η παράσταση 2
B x 2 A 3x 2 A x
είναι ανεξάρτητη του x.
Λύση
α)
1 1 1
63 64 4 12 6 4 12
3 4 123 53 12 5 3 122 5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 12 2 3 1 18
1 18 6 16 4 12 12 12 1
12 12 2
12 12 127 5 12
2 2 2
2 2 2 2
22 2 2
.
β) Για A 2 :
2
x 2 2 και
2
B x 2 2 3x 2 2 x x 3x 2 2x x 3x 2 2x 2
αφού x 2 3x 6 3x 2 6 2 4 0
λ - 5 3
2
2 15 + +
8. www.askisopolis.gr
8
9. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 2 2
f x x 2 2 x 3 1 ,x
α) Για ποιες τιμές της παραμέτρου ισχύει f x 0 για κάθε x ;
β) 1. Για ποιες τιμές της παραμέτρου η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον
άξονα x΄x σε δυο διαφορετικά σημεία;
2. Αν 1 2x ,x αποτελούν δυο άνισες ρίζες της εξίσωσης f x 0 , να βρείτε για ποιες τιμές της
παραμέτρου ισχύει : 1 2x x 3
Λύση
Α. Πρέπει
2 2
0 2 2 4 1 3 1 0
2 2
4 2 12 4 4 0
2 2
4 4 4 12 4 4 0 2 2
4 16 16 12 4 4 0
:( 4)
2 2
8 12 20 0 2 3 5 0
1 2 5 0
5
,1
2
Β. 1. Πρέπει να έχει 2 ρίζες πραγματικές και άνισες δηλαδή Δ > 0 άρα
5
,1
2
2. Επειδή έχει δύο ρίζες άνισες, είναι
5
0 ,1
2
.
Από τις σχέσεις Vieta έχουμε
2
2
1 2
3 1
P x x 3 1
1
2
1 2x x 3 3 1 3
2 2 4
3 1 3 3 4 0 , 1 ,
3
ή
2 2
3 1 3 3 2 0 ύ ί 0
Επομένως 1 2x x 3 για
4
, 1 ,
3
10.Δίνεται η εξίσωση 2
x 1 x 6 0 , (1) με παράμετρο .
α) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το 1, να βρείτε το λ.
β) Για λ = 2 να λύσετε την εξίσωση (1).
Λύση
α) Αφού έχει η εξίσωση έχει λύση το 1, ο αριθμός 1 την επαληθεύει, δηλαδή
2
1 1 1 6 0 1 1 6 0 8
β)
2
2
(1) x x 6 0
.
2
1 4 1 6 1 24 23 0 οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
λ - 5/2 1
2
2 3 5 + +
9. www.askisopolis.gr
9
11.α) Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις:
2
2 x 1
A ,x 1
x 2x 1
και
3
8 2 3
B 2 3 3 3
.
β) Αν οι αριθμοί , 201| x |4 4, B είναι οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου, να
βρείτε τον αριθμό x, τον ν-οστό όρο της προόδου καθώς και το άθροισμα των τριάντα πρώτων όρων
της.
Λύση
α)
x 1
2 2
2 x 12 x 1 2 x 1 2 x 1
A
x 1x 2x 1 x 1
x 1
2
333 3
68 88 3 62 2 3 2 4 2 43 8 6
B 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 3
16
B 2 3
3
48
3
3
3
2 3 2 3 6
β) Για Α=2 και Β=6 έχουμε ότι οι αριθμοί 2, 201| x |4 4, 6 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
άρα 2 x 2014 4 2 6 2 x 2014 8 8 2 x 2014 0
x 2014 0 x 2014 0 x 2014 .
1 2 12, 4 2 2 .
2 1 2 2 2 2 2 , 30 2 30 60 , 30
30
S 2 60 15 62 930
2
12.Οι πλευρές 1 2x , x ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης:
2 1
x 4 x 16 0, 0,4
.
α) Να βρείτε :
i) Την περίμετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ.
ii) Το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου.
β) Να αποδείξετε ότι 16, για κάθε 0 , 4 .
γ) Για ποια τιμή του λ η περίμετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 16; Τι
μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;
Λύση
Από τις σχέσεις Vieta έχουμε 1 2
1
4
1
S x x 4
1
και 1 2
16
x x 16
1
α) i) 1 2 1 2
1 8
2x 2x 2 x x 2 4 8
ii) 1 2E x x 16
β)
0 :8
2 28
16 8 16 8 8 16 8 16 8 0
22
2 1 0 1 0 ισχύει.
10. www.askisopolis.gr
10
γ)
2
16 1 0 1 0 1 .
Για την τιμή αυτή έχουμε τότε την εξίσωση
22
x 8x 16 0 x 4 0 x 4 0 x 4 .
Άρα 1 2 1 2x x 4 2x 2x 8 οπότε το ορθογώνιο έχει ίσες πλευρές .
Επομένως στην περίπτωση αυτή έχουμε τετράγωνο.
13.Δίνεται η εξίσωση 2 2
x x 3 0 . Να βρείτε για ποιες τιμές του :
α) Η εξίσωση είναι αδύνατη στο .
β) Η εξίσωση έχει δύο αρνητικές ρίζες.
γ) Ισχύει η ανισότητα 1 1 2 1 2 2x x x 3x x 3 x όπου 1 2x ,x οι ρίζες της πιο πάνω εξίσωσης.
Λύση
α) Η εξίσωση είναι 2ου βαθμού, οπότε είναι αδύνατη όταν 2 2
0 4 3 0
2 2 2 2
4 12 0 12 3 4 2 2 ή 2
β) Από τους τύπους του Vietta έχουμε: 1 2S x x
και 2
1 2x x 3
.
Η εξίσωση έχει δύο αρνητικές ρίζες όταν:
2 2
2 ή 20 2 ή 2 2 ή 2
P 0 3 0 3 3 ή 3
S 0 0 0 0
Με συναλήθευση προκύπτει 2
γ) 2 2 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2x x x 3x x 3 x x x x 3x 3x x x x x x 3 x x 0 (1)
Είναι 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2x x x x x x 2x x x x 2 3 6 (2)
Από τις (1),(2) έχουμε: 2 2 2 2
6 3 3 0 6 3 3 0
2 2
2 3 9 0 2 3 9 0 (3)
Το τριώνυμο 2
2 3 9 έχει ρίζες το -3 και το
3
2
, οπότε η ανίσωση (3) αληθεύει όταν 3, 2 .
14.Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
2 2
3x x 1
f x
x 2
και το σημείο 610 113 3
27, 2 4 2 .
α) Να δείξετε ότι 3,4 .
β) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, έτσι ώστε η γραφική παράσταση της f να
διέρχεται από το σημείο Μ.
γ) Αν 2 να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να δείξετε ότι η f παίρνει τη μορφή
3x 1
f x
2
.
Λύση
α) Είναι 3 33
27 3 3 και
11. www.askisopolis.gr
11
5
11 2 11 2 11 5 11 11 5 113110 10 10106 310 11 23 6 3 6 3 6 3 6 10 6 30 6
2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 11 1 11
26 6 6 6
2 2 2 2 4
άρα 3,4 .
β) Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το Μ αν και μόνο αν: f 3 4
2 2 :3
22 23 3 3 1
4 27 3 1 12 8 0 3 12 36 4 12 0
3 2
(1)
Θέτουμε 0 και η (1) γίνεται 2
4 12 0 6 απορρίπτεται ή 2 .
Άρα 2 2 .
γ) Αν 2 είναι
2
3x 4x 1
f x
2x 2
. Πρέπει 2x 2 0 2x 2 x 1 .
Οπότε το πεδίο ορισμού της f είναι f 1 .
Το τριώνυμο 2
3x 4x 1 έχει διακρίνουσα 4 και ρίζες 1 2
1
x , x 1
3
, οπότε:
2
1
3 x x 1
3x 4x 1 3
f x
2x 2
2 x 1
3x 1
2
15.Δίνεται η εξίσωση 2
x 1 x 2 3 0 με παράμετρο (1).
α) Να βρείτε τα ώστε η εξίσωση (1) να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
β) Να βρείτε τα ώστε η εξίσωση (1) να έχει δύο θετικές πραγματικές και άνισες ρίζες.
γ) Αν 1 2x ,x οι άνισες πραγματικές ρίζες της (1), να εξετάσετε αν υπάρχουν που να ικανοποιούν
τη σχέση 2 2 2
1 2 1 2x x 8 x x
Λύση
α) Η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες όταν 0 .
Είναι
2
1 4 2 3 2 2
1 2 8 12 10 11
0 2
10 11 0 1 ή 11 (-1,11 ρίζες του τριωνύμου 2
10 11 )
β) Η εξίσωση έχει δύο ρίζες θετικές πραγματικές και άνισες όταν:
1 ή 11
0 1 ή 11 1 ή 11
3
P 0 2 3 0 2 3
2
S 0 1 0 1 0
1
.
Με συναλήθευση προκύπτει 11 .
γ) Από τους τύπους του Vietta έχουμε: 1 2S x x 1 1 και 1 2x x 2 3
.
Είναι
2 2 22 2
1 2 1 2 1 2 1 2x x 1 x x 1 x x 2x x 1
2 2 2 2
1 2x x 2 1 2 3 4 5
Οπότε 2 2 2 2
1 2 1 2x x 8 x x 1 2
8 4 5 1 4 5 0 (1)