25 askiseis algebra_a_lykeiou

ΓΕΝΙΚΕΣ-ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ
www.mathematica.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΙΧΑΛΗΣ ΝΑΝΝΟΣ
ΑΠΡΙΛΙΟΣ - ΜΑΪΟΣ 2011

Ασκήσεις 1. Μίλτος Παπαγρηγοράκης
www.mathematica.gr | Επιμέλεια: Μιχάλης Νάννος | Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις Άλγεβρας Α΄ Λυκείου | 3
Προτείνουν οι καθηγητές: Λύνουν οι καθηγητές:
1. Στάθης Κούτρας
2. Ηλίας Καμπελής
3. Χρήστος Κανάβης
4. Μάριος Γκούρης
5. Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης
6. Μίλτος Παπαγρηγοράκης
7. parmenides51
Αφιερωμένο σε όλα τα μέλη του
mathematica.gr
2. Μάκης Χατζόπουλος
3. Χρήστος Κανάβης
4. Μάριος Γκούρης
5. Σπύρος Καρδαμίτσης
6. parmenides51

Άσκηση 3: Προτάθηκε από τον Μίλτο Παπαγρηγοράκη
Κυριακή 24 Απριλίου 2011 - 22:37
Δίνεται η συνάρτηση f ^ x h = m x 2 - 2 ^m + 2 h x + 8 με m ! R.
1) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του m η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα yly σε
σταθερό σημείο A.
2) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του m, η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει τουλάχιστον ένα κοινό
σημείο με τον άξονα xlx με σταθερή τετμημένη.
3) Να βρείτε τις τιμές του m για τις οποίες τη εξίσωση f^xh = 0 έχει δύο ομόσημες ρίζες.
4) Να βρείτε τις τιμές του m, για τις οποίες η γραφική παράσταση της f εφάπτεται στην ευθεία y = 0.
5) Έστω m ! R -"0,2, και B, C είναι τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον
xlx τότε:
α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι 8 2
E
- .
m
m
=
β) Να βρείτε τις τιμές του m για τις οποίες είναι E = 24.
6) Αν m = 2 να κάνετε πίνακα μονοτονίας και ακροτάτων της f .
Λύση: Στάθης Κούτρας
Δίνεται η συνάρτηση : f (x)
x
) με m d R
x
x
x
-
1
6
0
0
<
ao
ao
2 m m $
=
+ -
Κυριακή 24 Απριλίου 2011 - 23:33
Δευτέρα 25 Απριλίου 2011 - 13:59
1) Να βρεθούν οι τιμές του m ώστε f (0) = f^-8h.
2) Αν m = 3 τότε:
α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 33 f^18h .
β) Να βρείτε την απόσταση των σημείων ^-3, f^-3hh και ^0, f ^0hh.
γ) Να βρείτε τα σημεία όπου η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες xlx και yly.
δ) Να λύσετε την ανίσωση f^xh # 9.
ε) Να βρείτε τη μονοτονία της f σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της.
στ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f .
Σάββατο 23 Απριλίου 2011 - 16:33
Έστω η συνάρτηση f x 2 x 2 x 2 2 ^ h =^m - h - m + m + με m ! R -"2,.
1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f^xh = 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε m ! R -"2,.
2) Να βρεθεί η τιμή του m ώστε η συνάρτηση f (x) με m ! R -"2, να έχει ελάχιστο στο x0 2 = .
3) Αν m = 4:
α) Να λύσετε την ανίσωση 8
^ h .
f x
2
x
#-
β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες xlx και yly.
γ) Να λύσετε την εξίσωση f^xh = 2x - 2.
δ) Να βρείτε τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από την ευθεία y = 6.
ε) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή της παραβολής f^xh και το σημείο στο
οποίο η f^xh τέμνει τον yly.
^ h .
Δίνεται η συνάρτηση f x
x
-
2 =
x
1
x
1
-
1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της.
2) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.
3) Να βρείτε τη μονοτονία της f σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της.
4) Να βρείτε (εφ΄ όσον υπάρχουν) τα σημεία όπου η Cf τέμνει τις ευθείες x = 0, x =- 1, x = 1 ή y = 0.
5) Να λύσετε την ανίσωση f^xh $ 1.
6) Να αποδείξετε ότι τα σημεία ^-2, f^-2hh, O^0,0h και ^2, f^2hh είναι συνευθειακά.
7) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f .
4 | Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις Άλγεβρας Α΄ Λυκείου | Επιμέλεια: Μιχάλης Νάννος | www.mathematica.gr www.mathematica.gr | Επιμέλεια: Μιχάλης Νάννος | Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις Άλγεβρας Α΄ Λυκείου | 5

Δίνεται η συνάρτηση f x
= 1
^ h .
-
x 4 x
Τρίτη 26 Απριλίου 2011 - 15:24
1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f .
3) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης f (2) 1 f ( 2) 1 2 2 ^ - h + ^ - - h .
4) Να βρείτε τα σημεία (εφ όσον υπάρχουν) στα οποία η Cf τέμνει τους άξονες.
5) Να αποδείξετε ότι το σημείο O ^0,0h είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία
A^-1, f (- 1)h και B^1, f (1)h.
^ h = 1 .
6) Να λύσετε την εξίσωση f x
x
7) Να αποδείξετε ότι η Cf δεν έχει κοινά σημεία με τη διχοτόμο της 2ης και 4ης γωνίας των αξόνων.
Άσκηση 8: Προτάθηκε από τον Χρήστο Κανάβη
2 2
Δίνεται η συνάρτηση g ^ h
= 1 - x + x + , a
1
2 a a !
- +
a a
4 8 4
1) Να λυθεί ως προς x η εξίσωση g(a) = 0.
2) Να λυθεί ως προς x η εξίσωση g^2h = g^-1h.
3) Να δείξετε ότι ισχύει g^ah > 0 6x d R.
4) Να αποδείξετε ότι 1
- +
+ , για κάθε πραγματικό αριθμό a ! 1.
a 1 > 0
1
1
a
-
5) Να λυθεί η παραπάνω ανίσωση.
Δίνεται η συνάρτηση f x 2x 1 x 2 2 2 ^ h = -^m + h +^l - lh με x d R και l,m ! R.
Γνωρίζουμε ότι για x = 1 η f έχει ελάχιστο το -3.
1) Να βρείτε τα l και m.
2) Αν l = 1 και m = 3 τότε:
α) Να λύσετε την εξίσωση f x 2x 2x f x 2 2 ^ h- = - ^ h.
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με g x x f x 4 2 ^ h = - ^ h+ .
γ) Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f .
δ) Να αποδείξετε ότι f^1 - xh = f^1 + xh.
ε) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της g τέμνει τους άξονες.
στ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή της παραβολής f^xh και το σημείο που
η γραφική παράσταση της g τέμνει το θετικό ημιάξονα Ox .
Λύση: Στάθης Κούτρας, Χρήστος Κανάβης
Δευτέρα 25 Απριλίου 2011 - 21:55 / 22:08
Άσκηση 6: Προτάθηκε από τους: Μάκη Χατζόπουλο, Μίλτο Παπαγρηγοράκη
Τρίτη 26 Απριλίου 2011 - 01:35 / 15:16
Δίνεται το τριώνυμο f ^ x h = 2x 2 - 2 ^m - 5 h x -^m - 5 h, όπου m d R.
1) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου ισούται με D = 4^m - 5h^m - 3h.
2) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού m το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
3) Αν x1,x2 είναι οι άνισες ρίζες του τριωνύμου, να βρείτε το m αν ισχύει: x1 2
+ x
2 .
2
4) Να βρείτε τις τιμές του m ! R ώστε: f^xh = f^xh 6 x d R.
5) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2x1x2 x1 x
{^mh = + 2
+ 2 .
2
1
6) Αν η συνάρτηση f^xh έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία 2
x = τότε:
α) Να βρείτε το m.
β) Να αποδείξετε ότι η κορυφή της παραβολής f^xh και τα σημεία ^1,0h και ^2, f (2)h είναι συνευθειακά.
Τρίτη 26 Απριλίου 2011 - 02:01 / 16:43

Άσκηση 11: Προτάθηκε από τον Μάριο Γκούρη (irakleios)
Τετάρτη 27 Απριλίου 2011 - 13:16
Δίνεται η εξίσωση 3x 4 x 12 2 2 -^l - h = (1)
1) Δείξτε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι 8 160 4 2 D = l - l + .
2) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε τιμή του πραγματικού l.
3) Να δείξετε ότι για τις τιμές του l που η διακρίνουσα παίρνει την ελάχιστη τιμή της, οι ρίζες της εξίσωσης
(1) είναι αντίθετες. Ποιές είναι αυτές;
4) Έστω x1, x2 οι δύο άνισες ρίζες της. Για ποιές θετικές τιμές του πραγματικού l ισχύει x1 1 x2 x2 0 ^ + h+ 1 ;
Έστω η συνάρτηση f ^ x h = m x 2 +^m - 1 h x + m - 1 με m ! R.
1) Να βρείτε το m ώστε η εξίσωση f^xh = 0 να έχει μοναδική ρίζα.
2) Για m ! 0 να βρείτε τις τιμές του m, για τις οποίες η ανίσωση f^xh > 0 είναι αληθής για κάθε x ! R.
3) Αν η εξίσωση f^xh = 0 έχει δύο πραγματικές ρίζες x1, x2 τότε:
α) Να βρείτε συναρτήσει του m τα x1 + x2 και x1 $x2 .
β) Να αποδείξετε ότι x1 2
$ x + x $ x 2 .
2 1 2
# 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση x x x x
1
2 $ + $ # ως προς m.
4
2
1
2 1 2
2 {^mh = - $ - $ .
4) Αν m < 0, να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης x1 2
x x x
2 1 2
5) Να βρείτε το m ώστε η συνάρτηση f^xh να εφάπτεται στον άξονα xlx.
^ = 1
6) Να βρείτε τις τιμές του m ώστε η συνάρτηση h x
^
f x
h
h
να έχει πεδίο ορισμού το R.
Δίνεται η συνάρτηση f με f x
+ - -
x x
1 1
^ h .
+ + -
x x
1 1
=
1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
2) Να αποδείξετε ότι f x
ao #
ao
x x
1
x
x
1
> 1
^ h = *
4) Να λύσετε την ανίσωση f^xh $ 1.
1 ^ h+ ` j $ για κάθε x ! 0.
5) Να αποδείξετε ότι f x f 2
x
6) Να βρείτε τη μονοτονία της f σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της.
7) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f^xh.
8) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) .
2 1
2 ^ h = + + ! .
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f x 1 , 0
x x
x
1) Να λυθεί η εξίσωση x f x 7 x 1 8 2 ^ h- + = .
2) Να λυθούν οι εξισώσεις α) f^xh = 0, β) f^xh = 1 και γ) f^xh =- 1.
^ + 1 =
3) Να λυθεί η εξίσωση f x 0
^
f x
h
h .
4) Να δείξετε ότι f
1 2 ` j = ^ h για κάθε x ! 0.
x
x f x
5) Να λυθούν οι ανισώσεις α) f^ x h $ 0 και β) f^ x h $ 4.
Λύση: Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης

Πέμπτη 28 Απριλίου 2011 - 16:59
Δίνεται η εξίσωση: x x 0 (1) 2 a + b + c = με a + b + c = 0 και a ! 0.
1) Δείξτε ότι η εξίσωση (1) δεν είναι ποτέ αδύνατη.
2) Πότε η εξίσωση (1) έχει μια διπλή λύση και ποια είναι;
3) Eξηγήστε γιατί η εξίσωση 1 x 1 x 2 2 2 ^l + h =^l - l + h + l με άγνωστο το x έχει, για κάθε τιμή του
πραγματικού l, δύο άνισες λύσεις.
4) Έστω x1, x2 oι λύσεις της (1).
α) Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: x1 $ x2 -^x1 + x2h.
β) Αν και το άθροισμα x1 x2 + είναι λύση της (1), υπολογίστε την τιμή της παράστασης:
A = x1 ^ x2 2011
- 1 h+ x ^ x 2011 - 1
h.
2 1
Λύση: Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Στάθης Κούτρας
Πέμπτη 28 Απριλίου 2011 - 18:28 / 21:28
Παρασκευή 29 Απριλίου 2011 - 04:16
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f x 1 x x 1, R 2 ^ h =^a - h + a + a + a d και a ! 1.
1) Να προσδιοριστεί ο πραγματικός a ώστε α) η εξίσωση f^xh = 0 να μην έχει πραγματικές λύσεις, β) η
εξίσωση f^xh = 0 να έχει τουλάχιστον μία ρίζα.
2) Αν S, P το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της f^xh = 0 για D > 0, να βρεθεί ο πραγματικός a ώστε
S = P.
2 3
3) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, με τύπο g^xh = f^xh , όταν 3
a > .
4) Να λυθούν οι εξισώσεις α) f 1 f 1 0 2011 6 ^ h ^- h@ = , β) ^ f^1h- 1hf^1h = 0, γ) f 1 81 0 2 2^ h- a = .
5) Για x ! 0 να υπολογίσετε α) το 1
` j, β) Να λυθεί η εξίσωση 1
f
x
x 2 ` j = a .
x f
x
γ) Να λυθεί ως προς x η εξίσωση: 1
f x 2 ` j = ^ h.
x f
x
Δίνονται οι συναρτήσεις f x x x 2 ^ h = a + b + c και g x f 0 x f 1 x 2 ^ h = ^ h +^ ^ h- bh + a, όπου a, b, c ! R με
a ! c ! 0.
1) Να δείξετε ότι η εξίσωση g^xh = 0 (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες λύσεις.
a
2) Να δείξετε ότι οι λύσεις της (1) είναι x1 1 =- και x2 c
=- .
3) Αν η εξίσωση f^xh = 0 έχει δύο ρίζες αντίθετες τότε: α) να βρεθούν οι λύσεις αυτές και β) να βρεθεί το
πρόσημο της λύσης x2 της εξίσωσης (1).
4) Αν η εξίσωση f^xh = 0 έχει δυο πραγματικές και άνισες λύσεις τις t1,t2 , τότε να δείξετε ότι
b
t1 t2
+ = και t1 t2
a
D
- = .
a
Λύση: Μάριος Γκούρης (irakleios)
Δίνεται η συνάρτηση f^xh = a 2 - x, a ! R, η οποία διέρχεται από το σημείο ^-1, 3 h.
1) Να αποδείξετε ότι a = 1.
2) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.
3) Να αποδείξετε ότι: f^3 4h > f^ 3 h.
4) Να βρείτε την απόσταση των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες.
5) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων f^xh = x και f^xh = x.
6) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g^xh = f^xh+ f^-xh έχει άξονα συμμετρίας τον yly.
2 2 + -
^ ^ hh ^ - ^ -
hh
7) Να αποδείξετε ότι 1 f 1
f
4
1 1
4
3
+
=
.

Δίνεται η συνάρτηση f x x 3x 1 2 ^ h = - + και η εξίσωση f^xh = 0 ^1h.
1) Να αποδείξετε ότι η ^1h έχει δύο ρίζες x1, x2 άνισες και ομόσημες.
2 2
2) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: A , ,
= + = + C = 1 - 2 .
x x
2
2
B x x x x
1 2
1
2
3) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία Ax + By + C = 0 τέμνει τους άξονες xlx και yly.
4) Να αποδείξετε ότι τα σημεία ^A, Bh, ^B, Ah και ^C,Ch είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου.
5) Αν οι ρίζες της εξίσωσης 2x 5 x 6 0 2 - b + c = είναι κατά μία μονάδα μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες
ρίζες της ^1h, να βρείτε τους αριθμούς b,c.
6) Να αποδείξετε ότι:
+
^
h
0 2
^
h
- +
f
f
5 0 2
1
f
^
-
^
h
h
- +
1 3
4
f
+
=
.
Δίνεται η συνάρτηση g x x 1 x 1, R 2 ^ h = m -^m - h - me με m !- 1, m ! 0 και η συνάρτηση
f x x1 x x2 ^ h = - , όπου x1, x2 οι λύσεις της εξίσωσης g^xh = 0.
1) Να βρεθούν οι λύσεις x1, x2 .
2) Αν x1 < x2 και me^-1,0h:
α) Να λυθεί ως προς m η εξίσωση f^0h = f^1h.
β) Να λυθεί ως προς m η ανίσωση f^0hf^1h > 0.
γ) Να λυθεί η εξίσωση f^xh+ f^-xh = g(1) + 4.
δ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g και η γραφική παράσταση της f τέμνονται σε δύο σημεία.
ε) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία (f):y = x1 x + x2 με τους άξονες xlx και
yly.
Δίνεται η εξίσωση: x a 4 x 4a 0 2-^ - h - = (1), όπου a παράμετρος.
1) Υπολογίστε την διακρίνουσά της.
2) Δείξτε ότι η εξίσωση έχει πάντα πραγματικές λύσεις. Για ποια τιμή του a αυτές οι λύσεις είναι άνισες;
3) Αν t1 = 2^1 - 3kh, t2 = 3^1 + 2kh είναι οι ρίζες της (1):
α) Υπολογίστε την τιμή της παραμέτρου a.
β) Υπολογίστε το γινόμενο ^1 + 2kh^1 - 3kh.
γ) Υπολογίστε τις τιμές του k.
δ) Να λυθεί η εξίσωση (1)
4) Να λυθούν οι εξισώσεις:
α) 1 x 5 x 41 2 ^ + h - = .
β) 2 x x5 26 2 2 2 ^ + h + = .
Άσκηση 20: Προτάθηκε από τον Σπύρο Καρδαμίτση
Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (l - 1)x + m, με k, m ! R.
1) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία A(0,7) και B^1, 5h, να προσδιορίσετε
τα k, m ! R.
2) Για k =- 1 και m = 7 τότε:
α) Nα λύσετε την εξίσωση: f (x) = 5.
β) Να λύσετε την ανίσωση: f (x) < 3.
f x
( )
γ) Να λύσετε την ανίσωση: 2 3
#
0
.
2 + - x x
Λύση: Χρήστος Κανάβης, Στάθης Κούτρας
Σάββατο 30 Απριλίου 2011 - 22:16 / 22:18

Δίνεται η συνάρτηση {^ x h = x 2 - m x + m - 1, m ! R .
1) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση {^xh = 0 έχει πραγματικές ρίζες για κάθε m ! R.
2) Aν x1,x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης της εξίσωσης {^xh = 0 τότε:
α) Να εκφράσετε συναρτήσει του m την παράσταση x1 2
+ x
2 .
2
$ 1 2 + - 14 $ 1 2 2
- - - .
x x x x
4 3 2
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του m ισχύει ότι: 5
3
4
+ =
2 m= + - + .
γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ( ) 3 x1 2
x 2
5 2012
δ) Να ελέγξετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή.
1
3) Αν η συνάρτηση { έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία 2
x = τότε:
α) Να αποδείξετε ότι m = 1.
^
-
h
{ x
β) Να λύσετε την εξίσωση 1
3
h .
= +
2 2
x
{
^
Κυριακή 01 Μαΐου 2011 - 19:07
Δίνεται η εξίσωση m 1 x mx 1 0 2 ^ - h - + = (1).
1) Αποδείξτε ότι η εξίσωση (1) έχει λύση για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού m.
2) Για ποιές τιμές του m η εξίσωση (1) έχει δύο λύσεις x1, x2 με x1 x2 0 - ! ;
3) Έστω m !! 1 και S, P το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της (1) αντίστοιχα. Να δείξετε ότι
m $ S $ P + 1.
4) Για ποιές τιμές του m η εξίσωση (1) έχει λύση το 1;
5)Αν m 20112012 = , δείξτε ότι η εξίσωση (1) θα έχει δύο άνισες λύσεις, από τις οποίες μόνο μία θα είναι
ακέραια.
2 ^f h = m + και ^f2h:y =^5m - 6hx + 8, όπου m d R.
Δίνονται οι ευθείες 1 :y x 6
1) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του m ώστε οι ευθείες να ταυτίζονται.
2) Αν οι ευθείες ^f1h και ^f2h δεν είναι οριζόντιες τότε:
α) Να βρείτε τα σημεία J και K στα οποία οι ^f1h και ^f2h τέμνουν τους άξονες yly και xlx αντίστοιχα.
β) Να βρείτε το m ώστε για την απόσταση ^JKh να ισχύει ότι ^JKh = 10.
3) Για m = 1: α) Να βρείτε το κοινό σημείο M της ευθείας ^f1h με τον άξονα xlx.
β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο JKL είναι σκαληνό.
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου JKL.
δ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ^f3h που διέρχεται από τα J και K.
ε) Να βρείτε αν υπάρχει σημείο της ^f1h που να είναι συμμετρικό κάποιου σημείου της ^f3h ως προς άξονα
συμμετρίας τον yly.
Δύο ποδηλάτες ο Μίλτος και ο Στάθης (τυχαίο;...δε νομίζω) έχουν να διανύσουν από 5 διαδρομές ο καθένας.
Ο Μίλτος τις διαδρομές Am και ο Στάθης τις διαδρομές Bm , όπου m ! "1,2,3,4,5,. Αν “προσομοιώσουμε”
τις διαδρομές με τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ^
m - 1 h 2 x + m
-
1
Am,Bm f ^
x
h
=
και
20
h αντίστοιχα, όπου -10 1 x 1 10, να απαντήσετε στα εξής:
x 2m m
- + +
7 1
20
^
g x
=
^
h
α) Για ποιες τιμές του m οι διαδρομές Am,Bm είναι ανηφορικές;
β) Για ποια τιμή του m δε θα συναντηθούν ποτέ ο Μίλτος και ο Στάθης;
γ) Για ποιά τιμή του m ο Μίλτος θα κουραστεί περισσότερο απο το Στάθη;
δ)Αν οι δυο μας φίλοι θέλουν να ξεδιψάσουν στη μοναδική πηγή που βρίσκεται στο σημείο ^1, 6h, ποια
διαδρομή πρέπει να ακολουθήσει ο καθένας;
ε) Αν ο Μίλτος ακολουθησει τη διαδρομή A2 και ο Στάθης τη διαδρομή B3, ποιο θα είναι το σημείο
συνάντησης τους;
Παρατηρήσεις: Οι αποστάσεις ^xh εκφράζονται σε χιλιόμετρα και το ^-h δηλώνει αντίθετη κατεύθυνση.
Λύση: Χρήστος Κανάβης
Λύση: parmenides51
Δευτέρα 02 Μαΐου 2011 - 20:27

Άσκηση 25: Προτάθηκε από τον parmenides51
Δίνεται η συνάρτηση f ^ x h = m x 2 + 2 ^m - 1 h x + m + 1 με m ! R.
1) Να βρείτε το πλήθος των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της f^xh με τους άξονες για τις
διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού m.
2) Να βρείτε τις πραγματικές τιμές του m ώστε η η εξίσωση f^xh = 0 να έχει δυο άνισες πραγματικές ρίζες
t1, t2 , με t1 + t2 =-t1 - t2 .
3) Αν ονομάσουμε g^xh και h^xh τις συναρτήσεις που προκύπτουν από την f^xh για m = 0 και m =- 1
αντίστοιχα, να λυθεί η ανίσωση h ^
x
1
^
g x
^
$ f -
h
h
h.
4) Για m = 2 να λυθεί η ανίσωση f x 8x 12x 29 2 3 ^ h # + + .
5) Να βρείτε τα σημεία τομής των ευθειών ^f1h: f^-1hx + f^0hy = f^1h και ^f2h: f^0hx - f^1hy = 3f^-1h,
όταν ισχύει ότι f^1h = f^-1h.
Λύσεις
Λύση: Χρήστος Κανάβης

Λύση Άσκησης 1: Στάθης Κούτρας
1) Έχουμε:
Εκφώνηση Εκφώνηση
Σάββατο 23 Απριλίου 2011 - 21:56 2 4 2 2 4 4 4 4 4 16 16 > 0 2 2 2 2 2 D =^- m h - ^m - h $ ^m + h = m - ^m - h = m - m + = για κάθε m ! R -"2,,
οπότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
2) Για να έχει η f ελάχιστο πρέπει:
m
> > >
2 0
* 2
*
b
m
-
+ +
m
-
b
m
-
= = =- =-
x = x =- =-
x x
0 min 0 min
a
^ h ^ h
2 2 2
2
2 0
2
a
2 2 2
2
m
m
-
-
=
> 2 > 0
> > > >
m
* m
) )
3) α) Για m = 4 έχουμε: f ^ x h = 2x 2 - 8x + 6 , οπότε από την ανίσωση έχουμε:
m
m m
+ + +
= = - =
- m
2
2
2 0
2 4
2 0
4
m
m
f ^ x
h ^ h
* * * *
x
x
2 2 2
- +
x x
2 8 6
-
- +
- +
G- G G -
G
-
+ + ++ +
x
! ! ! !
x
x x
2 4 3
x
x
x x
4 3
x
x
2
8
0
2
8
0
2
8
0
8
0
2 2 2
- +
x x
4 3
- ++ + +
G G G
8 0
+
* * *
+ + + +
! ! !
0
x 4 x 3 8
x
0
0
x x
4 3
0
0
x
x
x
x
x
x
^ 2
^ ^
h h h
+ + + +
G G
$ $ $
x x x
x
4 3 0
) ) @ 6 h
! 0
!
3) β) Για x = 0 & f^0h = 6 & Cf + yly = K^0, 6h .
Για f ^ x h = 0 + 2x 2 - 8x + 6 = 0 + 2 ^ x 2 - 4x + 3 h = 0 + x 2 - 4x + 3 = 0 +
+ Cf + x l x =" A1 ^ 1, 0 h , A2 ^ 3,0 h, .
3) γ) Είναι:
f ^ x h = 2x - 2 + 2x 2 - 8x + 6 = 2x - 2 + 2 $ x 2 - 4x + 3 = 2 $ ^ x - 1 h +
x 2 - 4x + 3 = x - 1 +
x x x
x
1 3 0
!
^
- - -
f 3 ,
+ + +
0
, 3 1,0
x
2
- + = -
x x x
x
4 3 1
^
Z
]]]
]]
Z
]]]
]]
)
)
@ 6 @ 6 @ 6
- +
- + =
^
- +
= =
^
h
h
! 3 , 1 ,
3
,
3
3 3 3 3
2
Z
)
0
- + - = -
x x x
x
4 3 1
1 ,
3
5 4 0
,
, ,
2
x x
x
0
f
!
[
+ +
2
- + =
x x
x
3 2 0
1 ,
3
x ,
x
x
1 4
- +
,
, ,
1 3
0
!
= =
ar t
x o x
x
1 ( .),
2
1 ,
3
1 3
!
!
!
^
^
^
h
h
h
h
]]]
]]
[
]

]

[
]

)
)
)
3) δ) Πρέπει: f ^ x h > 6 + 2x 2 - 8x + 6 > 6 + 2x 2 - 8x > 0 + 2x ^ x - 4 h > 0 + x ! ^-3 ,0 h,^ 4, +3h
3) ε) Η κορυφή της παραβολής είναι b
b
M c- ,
f c- mm " ^ 2, f ^ 2 hh " M ^ 2, - 2
h
2
a
2
a
και το σημείο που κόβει τον άξονα yly είναι (όπως βρήκαμε) το K^0,6h.
Είναι προφανές (με διαφορετικές τετμημένες) ότι η ζητούμενη ευθεία (ε) είναι της μορφής:
^fh:y = ax + b:^1h
Με M^2, - 2h ! ^fh + 2a + b =- 2:^3h και με K^0,6h ! ^fh + b = 6:^3h.
Το σύστημα των (2) και (3) δίνει (εύκολα) b = 6 και a =- 4. Άρα η ζητούμενη ευθεία θα έχει εξίσωση
y =- 4x + 6 .
1) Περιορισμοί:
) ) ) = -"- ,
, ,
x
x
x
x
x
x
A R
!
0
1 0
0
1
0
1
!
!
!
2 2 f 1 0 1 + + & &
!
- !
!
& Af =^-3, - 1h,^-1,0h,^0,1h,^1, + 3h και για
-
^ h ^ h ^ h ^ h ^ h =
2 ! -3 - , - , , + 3 & =
x , 1 1,0 0,1 1,
fx
1
x
1
x
x
-
-
-
!!
^
h
= !
,
x
x
x
x
2
2 1
&
=
=
2 f
$
^
x x
1 1 x
f x
x
x A
1
1
1
2
-
-
h
όπου Af παριστάνει το πεδίο ορισμού της f .
2) Επειδή το πεδίο ορισμού της f είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν, αν x ! Af &- x ! Af και
1 1
f ^ - x
h = =- =- f ^ x
h, η f είναι περιττή.
-
x x
3)
• Για κάθε x1,x2 ! ^-3, - 1h με 1 0
1 1
x x
1 2 - & & ^ h ^ h & γνησίως φθίνουσα στο
1 < 2 < < > f x > f x f
x x
1 2
^-3, - 1h.
• Ομοίως για κάθε x1,x2 ! ^-1,0h με 0
1 1
x x
1 2 & & ^ h ^ h & γνησίως φθίνουσα στο
1 < 2 < > f x > f x f
x x
1 2
^-1,0h.
* Παρατήρηση: Αν 1 0 0
1
1 2 - & - & ^ h ^ h & , οπότε η f
1 < < 2 < > > 1
> f x > f x f
1
x x
x x
1 2
είναι γνησίως φθίνουσα στο ^-3, - 1h,^-1,0h .
• για κάθε x1,x2 ! ^0,1h με 0
1 1
1 2 & & ^ h ^ h & γνησίως φθίνουσα στο ^0,1h.
< x 1 < x
2 > f x > f x f
x x
1 2
• και τέλος για κάθε x1,x2 ! ^1, + 3h με 0 1
1 1
1 2 & & ^ h ^ h & γνησίως φθίνουσα στο
< < x 1 < x
2 > f x > f x f
x x
1 2
^1, + 3h.
** Παρατήρηση: Αν 0 1
1
1 2 & & ^ h ^ h & , οπότε η f είναι
< 1 < < 2 > 1
> f x > f x f
1
x x
x x
1 2
γνησίως φθίνουσα στο ^0,1h,^1, + 3h .
*** Προσοχή!!! Η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της αλλά κατά διαστήματα (στα
!
1
^-3, - 1h,^-1,0h και ^0,1h,^1, + 3h ), αφού αν 1
1
x 1 < 0
< x
& < 0
< &
f ^ x h 1 < f ^ x
h.
2 x x
2
1 2

Κυριακή 24 Απριλίου 2011 - 23:33 4) Εφόσον -1,0,1 ! Af προφανώς η Cf δεν τέμνει τις κατακόρυφες ευθείες με εξισώσεις
x =- 1,x = 0,x = 1, αλλά και επειδή f ^ x h = 1
! 0,
6x ! Af , η Cf δεν τέμνει ούτε την
x
οριζόντια ευθεία με εξίσωση y = 0 (τον άξονα xlx).
5)
1
^ h H
* * )
f x 1
x
1
H H G
x
x
x
x
1
1
+ + + +
! , ! ! ! , ! ,
!
x
0 1
0 1
1
0 1
- 1 G x
G
1
-
) ) ^- h ^ h .
+ + +
! !
!
0 1
,
,
, ,
x
x
1 1
x
x
< <
0
1 0 0 1
!
1
^
f x
x
=
h
6) Έστω 2, 2 2,
1
hh j
2
^ ^ `
- - & - -
A f A
1
^
f x
x
=
h
, 2, 2 2,
1
hh j
2
^ ^ `
B f &
B
και O^0,0h .
Θεωρούμε την ευθεία (ε) που διέρχεται από το O^0,0h και από το σημείο 2,
1
B` j.
2
Προφανώς η εξίσωση της (ε) επειδή διέρχεται από το O^0,0h και δεν είναι παράλληλη στον yly (τα O και B
έχουν διαφορετικές τετμημένες) είναι της μορφής ^fh:y = mx:^1h
1
1
1
1
^
1
h
Επειδή B 2, 2 :y x :
` ! ^f & = m & m = & ^f = ^
2
j h h h
2
4
4
2
1
Επειδή 2
1
- = ^- h +- =- οι συντεταγμένες και του A επαληθεύουν την
4
2
1
2
1
2
εξίσωση της ^fh ) OB, οπότε το σημεία O, A, B είναι συνευθειακά.
6) 2ος Τρόπος - Ηλίας Καμπελής: Επειδή η f είναι περιττή τα σημεία A^-2, f^-2hh, B^2, f^2hh είναι
συμμετρικά ως προς το O^0,0h, γιατί f^-2h =- f^2h. Έτσι τα A, O, B είναι συνευθειακά.
7) Η γραφική της παράσταση:
1) Είναι f^0h = 8 & Cf + yly = A^0, 8h = ct .
2) Είναι 2 2 32 4 2 32 4 2 8 4 2 0, R 2 2 2 2 D = 6- ^m + h@ - m = ^m + h - m = 6^m + h - m@ & fD = ^m - h H 6m !
Οπότε η εξίσωση f^xh = 0 θα έχει ρίζες τις
x1 ,
x2
^ + h ^ -
h ^ + h ^ - h
! !
m
m m
2 2 4 2
2
m m
2 2 2 2
m
2
2
&
=
=
4
h h
* $ .
^ ^ ^ `
h h B , h , C
,
j
Z
[

x
1
x
x
x
=
=
& & +
l =
C xx
^ ^
+ - -
m m
2 2 2 2
m
2
+ + -
m m
2 2 2 2
m
2
4
m
2
f 2 0
0
2
1
2
m
=
=
]]
]]
άρα η γραφική παράσταση της f θα τέμνει τον άξονα xlx στο σημείο με σταθερή τετμημένη 4.
c
3) Για να έχει η εξίσωση f^xh = 0 ρίζες ομόσημες πρέπει: 0
8
m .
> " > 0 & > 0
a
m
4) Για να εφάπτεται η γραφική παράσταση της f στον άξονα xlx πρέπει και αρκεί:
D = 0 + 4 ^m - 2 h 2 = 0 + m = 2 .
5)
α) Είναι 1
8 x x 4 4
-
^ h ^ h ^ h ^ h
ABC = OA BC = - = - = ABC
2
1
m
=
2 1 $ $ $ $ $ & f $
2
2
4 2 4
8
2
m m
-
m
m
β) Αν είναι:
m
-
2 2
m
=-
= ) *
- =
- =-
m m
m m
m
m
-
=
= - =
+ $ + + + + 1
24 8 24 3
m m
2 3
2 3
2 3
1
2
m
m
E =
6
b
6) Για m = 2 έχουμε: f x 2x 6x 8 2 ^ h = - + με 2 4
3
- = = , οπότε για m > 0 έχουμε:
2
a
`-3 B και
• Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ,
3
2
3
8 , + 3j
• Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 2
3
• Έχει ελάχιστο στο 2
3
x0 = το 2
7
f` j = f .
2

Δευτέρα 25 Απριλίου 2011 - 21:55 1) f 0 f 8 6 9 6 9 0 3 0 3 0 3 2 2 2 ^ h = ^- h + m - m = + m - m + = +^m - h = + m - = + m = .
x x
-
+
2) Για m = 3 έχουμε: 1 , 0
^ h ) , οπότε:
x x
<
H
9, 0
f x
=
α) f^18h = 18 + 9 = 27 & 3 f^18h = 3 27 = 3 & 3 $ 3 f^18h = 9 = 3.
β) Αν A^-3, f^-3hh " A^-3, 4h και B^0, f^0hh " B^0, 9h θα είναι
AB 3 0 9 4 AB 34 2 2^ h = ^- - h +^ - h & f^ h =
γ) Έχουμε: f^0h = 9 & Cf + yly = K^0, 9h και
^ h 0
) )
δηλαδή η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα xlx.
- =
+ =
x x
1 0, 0
+ +
x x
ar t
=
=-
< > <
H H
9 0, 0
x o x
x o x
1 0( .), 0
9 0 ( .), 0
f x
< <
ar t
=
δ) Έχουμε: 9
x
G
-
1 9
H
Z
]]]
]]
)
< <
0
x
x
x
x
6 h
6 @
Z
]]]
]]
[
[
)
*
^ h -
x
!
-
-
G + 0 + 0 + 0 +
!
f x 8,0
G
9 9
0
8
0
0
0
8,0
0
x
x
x
x
x
+
H
G
H
=
]

]

)
)
ε) Για x < 0 επειδή ο τύπος της f είναι τύπος ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης -1, η f θα είναι γνησίως
φθίνουσα στο ^-3,0h.
Για x H 0 επειδή ο τύπος της f είναι τύπος ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης 1 η f θα είναι γνησίως
αύξουσα στο 60, + 3h.
στ) Η γραφική της παράσταση:
b m =
m
+ +
1) Είναι: 2 4
1
1
xmin
=- = m
= =
" & & f
x x 1 3
4
1
min min
a
και
m= =-
3
^ h ^ h 2
.
3
2
minf
= = = fl - l - & l - l - =-
min f f x min
f 1 2 2 2 2 3
2) α) Για 1, 3 f x 2x 4x 1 2 l = m = & ^ h = - - , οπότε για την ανίσωση έχουμε:
f ^ x h= 2x 2
- 4x -
1 f x 2x 2x f x f x 2x f x 2x 0 2 2 2 2 ^ h- = - ^ h =-^ ^ h- h + ^ h- G 4 1 0
1
4
+ f- x - G + f x
H-
β) Είναι: g x x 2x 4x 1 4 g x x 4x 5 2 2 2 ^ h = -^ - - h+ & f ^ h = - + +
Για να ορίζεται η g πρέπει και αρκεί το υπόριζο να είναι μη αρνητικός αριθμός, δηλαδή:
x 4x 5 0 x 1,x 5 2
- + + = + =- =
6 @
x 4x 5 0 x 1,5 2
- + + H + ! -
c- - E ^- @ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα
γ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ,
b
3 " 3,1
2
a
b
;- , + 3 m " 6 1, + 3
h .
2
a
δ) Είναι: f ^ x h = 2x 2 - 4x - 1 = 2x 2 - 4x + 2 - 3 = 2 ^ x - 1 h 2 - 3 &
2 2 2
^ ^ ^
^ ^
h h h
h h
- = - - - = - - = -
+ = + - - = -
f x x x x
f x x x
1 21 1 3 2 3 2 3
1 21 1 3 2 3
& ) &
f ^ 1 - x h = f ^
1 + x h = 2 x
2 -
3
.
2 2
ε) Είναι g^0h =f 5 & Cg + yly = K^0, 5h και
2 2
- x + x
+ =
-
- x + x
+ =
-
^ h ) ) =- =
x x
=
g x 0
1, 5
4 5 0
+ + + &
G G G G
x
1 5
4 5 0
x
1 5
& Cg + xlx = "K^-1,0h,M^5,0h, .
στ) Η κορυφή της παραβολής είναι N^1, - 3h
Άρα ζητάμε φανερά την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία N και M.
Είναι προφανώς της μορφής ^fh:y = ax + b:^1h (λόγω διαφορετικών τετμημένων των σημείων N και M).
Έχουμε:
b
^ - h ^ h + =-
^
-
^ h ^
h
!
!
f
f
+ =-
=
=-
h
N 1, 3
a b
3
^
h
= -
15
M
5,0
a b
) ) ) *
+ + + f & y x
+ =
5 0
3
a b
a
4 3
15
4
f
3 :
4
3
4
4
a
=

Λύση Άσκησης 5: Χρήστος Κανάβης
Τρίτη 26 Απριλίου 2011 - 02:01 / 16:43 Εκφώνηση Εκφώνηση
1) Αφού η f παρουσιάζει ελάχιστο για x = 1 το -3 είναι f^1h =- 3.
b
Η συνάρτηση f x x x 2 ^ h = a + b + c παρουσιάζει ακρότατο στη θέση 2a
D
- το 4a
- . Άρα
+
4
1
= 1 & m
= 3
και - 2 + l 2 - 2 l =- 3 & ^l - 1 h 2 = 0 & l =
1. m
2)
α) Για l = 1 και m =- 3 είναι f x 2x 4x 1 2 ^ h = - - . Επομένως
f x 2x 2x f x 4x 1 4x 1 2 2 ^ h- = - ^ h & + = + , το οποίο ισχύει για 4
- 1
.
x $
β) Είναι g x x 4x 5 2 ^ h = - + + . Πρέπει x 4x 5 0 x 1,5 2 - + + $ & d6- @.
γ) Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (- 3,1] , γνησίως αύξουσα στο [1, + 3)
και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το ^1, - 3h.
δ) Είναι f x 1 f 1 x 2x 3 2 ^ + h = ^ - h = - .
ε) Για x = 0 είναι g^0h = 5 . Άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης g τέμνει τον άξονα yly στο
σημείο ^0, 5h.
Για y = 0 είναι x 4x 5 0 x 4x 5 0 x 1 x 5 2 2 - + + = &- + + = & =- 0 = . Άρα η γραφική παράσταση
της συνάρτησης g τέμνει τον άξονα xlx στα σημεία ^-1,0h,^5,0h.
στ) Έστω y = ax + b η ζητούμενη ευθεία. Τα σημεία A^1,- 3h και B^5, 0h ανήκουν στην ευθεία, οπότε
επαληθεύουν την εξίσωση της. Λύνοντας το σύστημα 3
+ =-
+ =
a b
a b
3
,
) 3 προκύπτουν 4
5 0
- 15
.
4
a = b =
1) 2 5 4 2 5 4 5 3 2 D = 6- ^m - h@ - $ $ 6-^m - h@ = f = ^m - h^m - h.
2) Για να έχει το τριώνυμο ρίζες πραγματικές και άνισες πρέπει και αρκεί να είναι :
^ ^
h h
m - m - = +m = m
=
=
4 5 3 0 3, 5
a
^ ^
h h
D + m - m - +
> 0 4 5 3 > 0
4> 0
fm ! ^-3,3h,^5, +3h .
3) Είναι: x1 2
+ x 2
= 0,75 +^ x + x h 2
- 2
1 2
2x 1 x =
2 0,75
b
+ =- + = -
m
x x "
x x 5
1 2 1 2
a
c m
= =-
$ " $
x x x x
-
2
5
1 2 1 2
a
2 3 ^m - h + m - = +
+ 5 5
4
3
m- =n ^ h
2 2 + n + n - = + n + n - = +
4
0 4 4 3 0
5 :1
3
* m- =n 2
* * .
n
m
=-
- =-
f + + f
1
2
5
3
2
- =
5
1
2
7
2
11
2
5
n
m
m
m
=
=
=
4) Για να είναι:
2 0
= +
m = m
=
=
D
a
> 4> 0
a
=
f ^ x h = f ^ x h + f ^ x h H 0, 6 x ! R + D G 0 + 4 ^ m - 3 h^ m - 5 h G 0
+
fm ! 63,5@
5) 2x1x2 x1 x x x x x
0 3, 5
z^mh = + 2
+ 2
& z^mh = ^ + h 2
& z^mh = + &^ h = - & = .
2
1 2
1 2 z m m 5 A R z 6) α) Είναι γνωστό ότι ο άξονας συμμετρίας της γραφικής παράστασης της f είναι η ευθεία με εξίσωση
b m
- =
-
b 2 a
2
m
5
-
=- m
= =
& &f
x 6
a
2 2
5
1
2
.
b
β) Για 6 f x 2x 2x 1 2 m = & ^ h = - - με κορυφή το σημείο 2
1
b
`
j
- = =-
a
2 2
1
2
3
2
f
"
b
&
c c `
mm j
= - - = -
K ,
f K
1
,
a
2 2
3
2
a
Ας ονομάσουμε λοιπόν K^1,0h,M^2, f^2hh " M^2,3h .
Θεωρούμε την ευθεία (ε) που διέρχεται από τα σημεία K και M.
Προφανώς η (ε) έχει εξίσωση της μορφής y = ax + b:^1h (αφού οι τετμημένες των K και M είναι
διαφορετικές μεταξύ τους).
^ h ^
h ^
- - = $ - ^ h ^
h
K + =
Τότε θα έχουμε: 1,0
) ) ) )
2,3
0
a b
a b
^ ^
h = -
h
f f
+ =
=
=-
=
h
+ + + & &
+ =
2 3
0
a b
a
3
3
3
5
2
3
1
2
3
y x K
: 3 3
M
b
a
!
!
!
f
f
Αρα τα σημεία Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά.

Τρίτη 26 Απριλίου 2011 - 22:17 Εκφώνηση Εκφώνηση
-
- -
! ! ! ! !
H # ##
$ ! ! ,
x x
1) Πρέπει: 4 0
) ) ' =^- h ^ h .
x
4 0
x x
x
0& 4
4
x x
0& 4
4 4
4,0 0,4
+ + & Af
x
=^- 4,0 h,^ 0,4
h
A
f
2) Έστω x ! A - f
& x !
A
f
και
1
- =
^ - h = &
^ h ^ h,
- --
x 4
x
1
-
x 4
x
f x
- =-
f x
f x
x x
=-
άρα η f είναι περιττή.
3) K f 2 1 f 2 1 f 2 1 f 2 1 f 2 1 f 2 1 2 2 = ^ ^ h- h + ^ ^- h- h = ^ h- + ^- h- = ^ h- + - ^ h- =
2
1 K f 2 1 f 2 1 2 2 2 = - + - - = - + + & = ^ ^ h- h + ^ ^- h- h = .
4
1
2
4
1 1
2
4
2
4
4) Επειδή 0 g Af & Cf δεν τέμνει τον άξονα yly. Επίσης είναι φανερό ότι ^ f^xh ! 0,6x ! Af & Cfh δεν
τέμνει ούτε τον άξονα xlx.
5) Επειδή η f είναι περιττή τα σημεία A^-1, f^-1hh,B^1, f^1hh θα είναι συμμετρικά ως προς το O^0,0h και
συνεπώς τα σημεία A, O, B θα είναι συνευθειακά και μάλιστα το O είναι το μέσο του τμήματος AB.
6) Έχουμε: 1
1 1
= - = - = =
^ h * ) ) ) =
x x x
x
x
x
x
x
!
= -
f x 3
+ + + + + x
4
! ! !
! ! ! !
0, 4
4 1
0, 4
4 1
0, 4
3
0, 4
x
x
x
!
7) Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f^xh =- x είναι αδύνατη στο ^-4,0h,^0,4h.
1
^ h * * ^ h .
Είναι 4
=- -
f x x x x
!
=- - - !
=-
+ + &
!
! 0, ! 4
!
x 0
< f x x 2
x x
x
4 0 1
0, 4
x
x
Είναι αδύνατη στο πεδίο ορισμού της f .
1) 0 1
2
^ h =
g x x x x 0 2
2 a + a $ + $ +
2
- +
a a
4 8 4
= - + +
0 1
2 1
2
a
a
= - + +
-
1
1 1 1 0 1 2 2 2 + a $ + $ $
= - + - + = ^ h
- + + a a
1 x x 0 x x :
1
a
-
Με a ] 1 έχουμε: 1 4 1 3 1 < 0 2 2 2 D = - a - - a =- - a , οπότε η δοσμένη εξίσωση είναι αδύνατη
στο R.
2) Είναι ισοδύναμα:
g ^ 2 h = g ^- 1 h + x 2 + x + 1 = 2
x 2 + x + + x 2 + x + = x 2 + x + + f x 2 = + x =!
1
2
2 2 2 4 2 1 2 1
2
2
3) Η ανίσωση:
2
a!
1
1 x x x x x x 1 0
2 2 a + f +
> > 1 1 > 2
- + - a a
2
- +
a a
4 8 4
1
2 1
2
2
- + -
a
a
-
- + - +
Όμως δείξαμε ότι f x 1 x 1 x 1 2 2 ^ h = - a + - a + έχει με a ] 1
1
a!
D = 1 - a 2 - 4 1 - a 2 =- 3 1 - a 2 < 0 , οπότε f^xh > 0,6x ! R αφού 1 - a
2
> 0 .
4) 1
a- a- = -a -a =~
- + a a ~ ~
+ - + - + + +
a + +
1
1
1 0, 1 1
> >
2
1 0
2
1 > 0 1 1 1 > 0 1 > 0
a
-
που ισχύει αφού:
D=- a=
3 < 0 ,
1 > 0
^ ~ h = ~ 2
+ ~ + & ^ ~ h 6~ ! ^ +3 h 3
.
f 1 f > 0, 0, R
5) Η ανίσωση 1
- +
+ ισχύει προφανώς για κάθε τιμή του R e a ! 1 όπως δείξαμε πιο
a 1 > 0
1
1
a
-
πάνω.
Mία διαφορετική αντιμετώπιση του 4 και 5 (Μάριος Γκούρης). Έχουμε μόνο θετικούς όρους. Mάλιστα από
γνωστή εφαρμογή ξέρουμε ότι για κάθε x > 0 ισχύει 1
+ x $ 2
. Παίρνοντας a - 1 = x > 0 έχουμε ότι:
x
1
- +
+ .
a 1 $ 3 > 0
1
1
a
-

Τετάρτη 27 Απριλίου 2011 - 02:34 Εκφώνηση Εκφώνηση
1) Πρέπει x + 1 + x - 1 ! 0 + x ! R αφού για να είναι:
+ H - H
x 1 0, x 1 0
+ + - = + + = - = + f =-
x 1 x 1 0 x 1 x 1 0 1 1
άτοπο άρα
6x ! R & x + 1 + x - 1 > 0 & x + 1 + x - 1 ! 0, οπότε είναι Af R =
2) Αν:
x
x
+ = +
- = -
x x
x x
^
+ - -
x x
H
G
-
+
-
h
) ) ^ h =
^ h =
^
h
G + G G & & & & f f x x
x 1 1 x 1
: 1
1 0
1 0
1 1
1 1
f x
1 1 1 1
+ + -
x x
1
-
> >
< <
1 1
1 1
- +
+ -
x x
x x
1 0, 1 0
1 0, 1 0
- = - + = +
+ =- - - = -
x 1 x 1, x 1 x
1
x 1 x 1, x 1 1
x
x
x
x
>
> >
< <
) ) )
+ + & &
-
^
+ - -
x x
h
1 1 1
+ + -
x x
1 1
x
h h h
^ ^ ^
- - - -
x x
=
1 1 1
- - + -
x 1 1
x
1
, 1: 2
^
f x
^
f x
x
=
& f x
x >
x
=
=
=
h
h
Z
[

]]
]]
Τέλος από τις σχέσεις ^1h, ^2h προκύπτει ότι:
ao G
ao
x x
, 1
1
, 1
^ h = * .
f x
x
x >
3) Επειδή το πεδίο ορισμού της f είναι το R =^-3, +3h «συμμετρικό ως προς το μηδέν» για κάθε
x ! R &- x ! R και
- + - - -
x x
1 1
- + = - - - = +
^ h =
^ h ^ h
η f είναι περιττή.
Σημείωση (2ος τρόπος): Θα μπορούσαμε να έχουμε από τον απλοποιημένο τύπο:
• Αν x ! 6-1,1@ &- x ! 6-1,1@ και f^-xh =- x =- f^xh
• Αν 1 1
x ! ^-3, - 1h,^1, +3h &- x ! ^-3, - 1h,^1, +3h και - - +
=-
+ - -
- = &
- + + - -
x x
1 1
x x
1 1
- + +
x x
1 1
x x
1 1
+ + -
x x
1 1
f x
- =-
f x f x
x 1 x 1 , x 1 x 1
^ - h = =- =- f ^ x
h, οπότε
f x
x x
-
τελικά για κάθε x ! R &- x ! R και f^-xh =- f^xh .
4)
x
x
x
Z
"
= =
x
H
G
Z
]]]
]]]
Z
]]
]]
]]
]]
)
"
^ h =
H x
!
!
f x 1
1
1
1
+ + + +
1
H
1
1
1
[

G G
1
1
1
1
1
adyoax
o
( )
x
x
x
x
x
x
>
)
> >
[

[

*
)
5) Αν 1
1 1
H & ^ h = & ^ h+ ` j = + αλλά και για
x fx x f x f
x
x
x
< x < & f ^ x
h = & ^ h+ ` j = + = + ,
0 1
1 1 1 1
x
f x f
x x
x x
x
δηλαδή για κάθε x R* ! ισχύει 1 1
^ h+ ` j = + .
f x f
x
x
x
Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι:
> 2 =
2
1 1 1 2 2 x 0, x x
x
+ +
x
2 2
+ H + H + H + + H + +-
H +
x x x x
x 2 2 2 1 2 1 2 0
x x
x
x 1 0: 3 2 + ^ - h H ^ h . Η (3) όμως ισχύει άρα και η ισοδύναμή της αρχική.
6)
• Αν x G 1 & f^xh = x που είναι γνησίως αύξουσα (τμήμα της διχοτόμου 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων),
δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο 6-1,1@.
• Αν 1
1
a
> & ^ h = που είναι (υπερβολή της μορφής g x , 1
x fx
x
^ h = a = ) οπότε είναι γνησίως φθίνουσα
x
στα διαστήματα ^-3, - 1h και ^1, + 3h (Προσοχή!!! Κατά διαστήματα η μονοτονία).
7) και 8) Στο Σχήμα 1 και στο Σχήμα 2 αντίστοιχα.

Λύση Άσκησης 10: Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης
Η συνάρτηση f γράφεται ως εξής: ( )
2 2
+ +
x x
` x
+ j .
2 1 1
= =
$ !
x 2
f x 0, 0
x
x
x
+
2 2 1
2
1) x f (x) 7 | x 1 | 8 x ` j - 7 | + 1 | =
8
- + = + +
x
x
+ (x + 1) 2 - 7 | x + 1 | - 8 = 0 + | x + 1 | 2 - 7 | x + 1 | - 8 =
0 Η παραπάνω εξίσωση θέτοντας όπου y = x + 1 γίνεται: y 2- 7y - 8 = 0 , η οποία έχει δύο λύσεις τις
y = 8 ή y =- 1. Άρα ή x + 1 = 8 + x + 1 =! 8 + x = 7 ή x = 9 ή x + 1 =- 1 που είναι αδύνατη.
2)α)
Η εξίσωση f (x) = 0 ορίζεται για κάθε x ! 0 αφού f (x) $ 0,6x ! 0
+
+
f (x) 0 0 0 1
` j = =- .
= + + +
x
x
1 2 1
x
x
x
=
β) ( ) 1
1
x
x
2
+
+
` j = + = + = αδύνατη ή
= + =
+ + +
f x 1
1 | 1 | | | 1
1
x
x
x x x x
x + 1
=- x + x =- .
γ)Η εξίσωση f (x) =- 1 είναι αδύνατη.
1
2
3) f x
+
1 x
x
j j . Για να ορίζεται η εξίσωση πρέπει x ! 0 και x !- 1.
h ` `
^ + = +
=
0
f x x
2 2
x
1
1
0
+
+
^
h
Όμως η παραπάνω εξίσωση για να έχει λύση πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα:
1
x
+
= 0
και 1
x +
x
= 0
δηλαδή x =- 1 και x = 0, αδύνατο.
x
4)
1
1
N
2
2 2
+
+
J
KKK
^
OOO
1 1
h
f c x m =
^
h
x 2 f x 1
x
x
= + =
x
x x
x
1
2
2
=
L
^
P
h
5) α) Για κάθε x ! 0 έχουμε:
^ x
h c m , η οποία όμως ισχύει για κάθε x ! 0.
β)Για κάθε x ! 0 έχουμε:
2
+
$ + $
0 0
x
x
f
1
1
2
+
2 2 2 $ + $ + $ + #
f x x x x
^ h c m ^ + h - -
x
4 4 1 4 3 2 1 0
x
x
-1 , άρα: | x |
Η παραπάνω έχει λύσεις τις 1 και 3
1
- # # 1, δηλαδή αρκεί x # 1 +- 1 # x # 1.
3
Όμως για να ορίζεται η ανίσωση πρέπει και x ! 0, οπότε τελικά η λύση είναι: x ! [- 1,0) , (0,1]
1) Δίνεται η εξίσωση 3x k 4 x 12 1 2 2 -^ - h = ^ h
3x k 4 x 12 3x k 4 x 12 0: 2 2 2 2 2 -^ - h = + -^ - h - = ^ h
Είναι:
k 4 4 3 12 k 4 144 k 8k 16 144 k 8k 160 2 2 2 2 4 4 D = 6-^ - h@ - $ $ ^- h =^ - h + = - + + & D = - +
2) Επειδή
k 2 4 h
2
0, k R - H 6 !
^
k 4 8k 160 k 4 8k 16 144 ^
k 2 4 h
2
144 144 > 0 D = - + = - + + = - + & D H
, οπότε η (2) έχει δύο
ρίζες άνισες στο R.
3) Είναι:
minD = 144, όταν k 4 0 k 4 0 k 4 k 2 2 2 2 2 ^ - h = + - = + = + =! και για k =! 2 η εξίσωση γίνεται
ισοδύναμα 3x 12 0 x 4 x 2 2 2 - = + f = + =! αντίθετες.
4) Έχουμε:
k
4
^
k2
&
=- -
=
3
2
b
b
a
h
c ^
m h
+ =- + =
-
x x x x : 3
3
4
1 2
1 2
a
=-
=
12
3
c
c
a
και x1 x2 x x 4: 4
` j ^ h.
= =-
1 2 $ & $
a
Είναι:
^ ^
h h
$ ^ + h + + + + +^ + h
+ +
x1 1 x2 x2 < 0 x1 x1x2 x2 < 0 x1 x2 x1x2 < 0
3 , 4
2 2
-
k k
-
-
- .
+ + + + + +
3
4
2 2 2
k > 0
< < k < k < k < k <
4 0
3
4
4 4 12 16 16 4

1) Για να έχει η εξίσωση f^xh = 0 μοναδική ρίζα πρέπει:
=
^
h
f x 0
• Με m = 0 θα είναι f ^
x h
=- x - 1 + - x - 1 = 0 + x =-
1
, οπότε μια ζητούμενη τιμή του m είναι το
μηδέν.
• Με m ! 0 αρκεί (να έχει διπλή ρίζα)
0 1 4 1 0 1 1 4 0 2 D = +^m - h - m^m - h = +^m - h $ ^m - - mh = +
m
m
^ - h ^ - - h =
* .
=
=-
+ m 1 $ 3 m 1 0
+ f 1
1
3
2) Για m ! 0 για να είναι
m m
>
>
>
m
Z
[

]]
]]
* * .
6 ! f
m
^
h
f x > 0,
x R 1
0
&
+ + + + >
^ ^
h h
D 0
- - - -
0
&
$
m m
1 3 1 0
0
&
1
1
3
<
<
m m
> <
3) Αφού η εξίσωση f^xh = 0 έχει δύο πραγματικές ρίζες είναι:
^ ^
h h
- - -
* 8 j @ και
D m
0
$
H
m m
1 3 1 0
!
-
f ,
^
+ &
+ ,0 0,1
0
1
3
!
H
m
b
- a
m
-
-
α) 1 1
m
+ =-
+ =
c
- a
m
m
-
^ h και 1 1
x1 x2 x1 x2 : 1 &
m
m
=
=
^ h
x1 x2 x1 x2 : 2 $ & $
m
m
h h m 8 j @
^ 1 , ^ 2 c ^
h m
- m
-
m
-
2
m
β) 2
2
1 1 1
1
-
H 0,
6 ! ,
1
,0 0,1
3
2
2
2
^ c
+ = + =-
=-
+
-
m
m
m
$ $ $ & $ $ G
x1 x 2 x 1 x 1
x 1 x 2 x 1 x 2
x 1
x 2 x 1 x 1
0
m
m
m
1
1
-
m
m
-
c
Z
]]
]]
γ) Είναι: &
Z
2 2
1
4
G
G
G
G
-
m
m
-
m
m
+
c
^
m
m
h
[

]]
]]
[

Z
]]
]]
[

$ $ + + + +
8 , 0 j
, ^
01
,
@ !
8 -
j
, ^
@ !
8 -
j ,
@
1
1
4
&
, ,
1
1
2
2
&
, ,
2
x x x x
4
1
3
1
3
0 01
2
1
3
^
0 01
1
2
2 1 1
!
m
m
m
-
Z
[

Z
[

2 2 2 2
- +
m m m
2 4 2
G
&
, ,
G
- +
m m
4 2 0
&
, ,
G
- +
m m
4 4 2
&
, ,
Z
[

]]
]]
]]
]]
]]
]]
+ + + +
1
8 j ^ @ 8 j ^ @ 8- j ^ @
3
!
!
-
, , ,
0 01
1
3
0 01
1
3
0 01
!
m
m
m
-
Z
[

2 2
G
h
2 2
&
G
G
m
m
m
-
-
-
^
^
h
Z
[

]]
]]
]]
]]
Z
[

]]
]]
+ + + +
1
,0 0,1
8 @ 8 j @ 8 j @
3
2 2
&
1
,0 0,1
!
^ ^
!
-
-
^
, , ,
3
2 2
&
1
,0 0,1
3
!
m
m
m
-
j
Z
[

- -
G m
G
2 2 2
&
- +
G G
G G
m
m
-
]]
]]
Z
[

]]
]]
+ + + 2 2 1
1
,0 0,1
8 j ^ @ 8 j ^ @
3
2 2 2 2
&
1
,0 0,1
!
-
, ,
3
!
m
m
-
.
4) Η συνάρτηση
^ ^
h 2
2
2
h
+ =-
$ $
z m = - x1 $ x - x $ x = - x $ x + x $ x
&
2 1 1
1
2
2 1 1
1
2
x1 x x x
2
2 1 1
2
-
m
m
c
m
m
m
-
-
8 j j
@ @
` m! - , ^ m &m!
^
^ h = c m ^ h =
^ h
= -
m
^
& z m & & !
1 , 01
,
1
2 , , , , 3
0 0 1 > 0 0 1
1 1 1
m
z m
m
z m
m
@
και επειδή η συνάρτηση z^mh προκύπτει από την κατακόρυφη (κατά μία μονάδα μεταφορά της γνησίως
αύξουσας 1
^ h = ) θα είναι και αυτή γνησίως φθίνουσα.
z1 m
m
5) Για να εφάπτεται η γραφική παράσταση της f στον xlx πρέπει 0 1,
1
D = + fm = m =- .
3
6) Για να ορίζεται ^ =
1
h x
^
f x
h
h
ft~x
. 2
^
h
στο R αρκεί να ισχύει: f ^ x > 0, x R ^
1,
h h
6 ! + m ! +3
.

Λύση Άσκησης 13: Μάριος Γκούρης (irakleios)
Εκφώνηση
Εκφώνηση Πέμπτη 28 Απριλίου 2011 - 12:14
Πέμπτη 28 Απριλίου 2011 - 15:20 1) Είναι f (0) = c και f (1) - b = a + b + c - b = a + c ,οπότε g(x) x (a )x a 2 = c + + c + .
Η εξίσωση g^xh = 0 έχει διακρίνουσα (a ) 4a (a ) > 0 2 2 D = + c - c = - c αφού a ! c, άρα η εξίσωση
g^xh = 0 έχει δύο άνισες λύσεις.
- + - (*)
! !
D c c
b a a
( ) ( )
-
2) Για να τις βρούμε κάνουμε αντικατάσταση στον γνωστό τύπο x
2 2
a
1,2
c
=
=
- + + -
c c
a a
( ) ( )
και παίρνουμε 2
c
=
=
-
- + - -
c c
a a a a
( ) ( )
=- και 2
x 1
1 c
c
2
-
2
x
=
2 c
=-
c c
=
(*) ισχύει !| x |=! x.
Ενας άλλος τρόπος για να διαπιστώσουμε ότι είναι ρίζες, είναι να κάνουμε αντικατάσταση στην εξίσωση.
3) Αφού οι ρίζες της (1) είναι αντίθετες, από Vieta έπεται ότι b = 0 οπότε η εξίσωση γίνεται ax2 =-c άρα
c
c
x
= - , δηλαδή αντίθετες. Επίσης απο εδώ φαίνεται ότι 0
a
!
- , άρα η x2 είναι θετική.
a
>
Για να μην υπάρξουν αμφιβολίες για το πρόσημο του a $ c, μπορούμε να το δείξουμε και με τη διακρίνουσα.
Αφού δηλαδή η εξίσωση έχει δύο λύσεις αντίθετες θα έχει δύο λύσεις άνισες, οπότε D > 0 και απο εκεί
καταλήγουμε στο -a $ c > 0.
b
4) Από Vieta είναι a
b
t1 + t2 =- , άρα a
b
t1 + t2 = - = .
a
D
- = αρκεί να δείξουμε ότι: 2
Για να δείξουμε ότι a t1 t2
2
+ 2
- = . Αυτό γράφεται
D
1 2 2 t t t t
1
2
a b
+ 2
- = - και από Vieta παίρνουμε S 2 - 4P = S 2 - 4P , το οποίο ισχύει.
2
t t t t
( ) 4 4
c
1 2
1 2 2
a a
=a -
^
h
f x 2
x
1) ^ - 1, 3 h ! C + f ^
- 1 h
= f
3 + a 3 = 3 + a =
1
.
2) Πρέπει: 2 - x H 0 + x G 2 + Af =^-3,2@ . Έστω x1, x2 ! ^-3,2@ και
x1 < x2 2 x1 > x2 2 2 x1 > 2 x2 0 2 x1 > 2 x2 f x1 > f x2 G &- - H- & - - H & - - & ^ h ^ h .
Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα (στο πεδίο ορισμού της).
f
.
3) 16 < 27 & 4 2 < 3 3 & 6 4 2 < 6 3 3 & 3 4 < 3 &
f 3
4 > f 3 ^ h ^ h .
4) Για a = 1 & f^xh = 2 - x είναι f^0h = 2 & Cf + yly = M^0, 2h και
f^xh = 0 + 2 - x = 0 + x = 2 & Cf + xlx = N^2,0h .
Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΝΜ, όπου Ο η αρχή του συστήματος των αξόνων (ή
από τον τύπο της απόστασης) βρίσκουμε: MN 2 2 MN 6 2 2 ^ h = ^ h + & f^ h = .
=
^
h
f x x
- =
x x
2
Z
2
- =
]]
]]
* *
5) & & &
=
^
h
f x x
- =
)
+ + + +
- =
x x
x x
2
- =
x x
x
x x
x
2
2
0
2
0
2
2
H
H
[

)
2
+ - = = =-
x x ,
+ ) + ) +
=
x
6) Είναι: f^xh = 2 - x, x G 2,& f^-xh = 2 + x, x H- 2 & Ag = 6-2,2@ (συμμετρικό ως προς το
μηδέν).
Άρα αν x ! 6-2,2@ +- x ! 6-2,2@ και g^-xh = f^-xh+ f^xh = f^xh+ f^-xh & g^-xh = g^xh , δηλαδή η
g είναι άρτια άρα έχει άξονα συμμετρίας τον yly.
x x
1 2
H H
x
x
2 0
0
0
1
1 1 2 2 + -
^ ^ hh ^ - ^ -
hh + ^ -
h - ^ -
h
7) Είναι: 1 f 1
f f f
4
1 1
4
1 1
2
2
+
=
+
=
+
1 3
-
+
-
= .
= f 3
2
1 3
2
1 3
2
3 1
2
+
=
+

Λύση Άσκησης 15: Μίλτος Παπαγρηγοράκης
Πέμπτη 28 Απριλίου 2011 - 21:28 1) Για τη διακρίνουσα της εξίσωσης ισχύει ότι:
D = b2 - 4ac = b2 - 4a^-a - bh = b2 + 4a2 + 4ab =^2a + bh2 $ 0, επομένως η εξίσωση έχει
πραγματικές ρίζες.
2) Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα αν και μόνο αν D = 0 +^ 2 a + bh 2 $ 0 + b =- 2 a.
Τότε η διπλή ρίζα είναι η b
- = 1
.
2
a
3) Για το άθροισμα των συντελεστών της εξίσωσης
( 1)x ( 1)x ( 1)x ( 1)x 0 2 2 2 2 2 2 l + = l - l + + l + l + - l - l + - l = ισχύει ότι
( 1) ( 1) 0 2 2 l + - l - l + - l = , ενώ είναι 1 0 2 l + ! . Σύμφωνα με το 1o ερώτημα η εξίσωση αυτή δεν είναι
ποτέ αδύνατη.
Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι όταν
l 2 - l + 1 =- 2 ^l 2 + 1 h + l 2 - l + 1 =- 2 l 2 - 4 l - 2 + 3 l 2 + 3 l + 3 = 0 που είναι αδύνατη.
Επομένως η εξίσωση ( l 2 + 1)x 2 = ( l 2 - l + 1)x + l έχει δύο άνισες ρίζες για κάθε πραγματική τιμή του l.
4) α) Παρατηρούμε ότι το 1 είναι η μία λύση της εξίσωσης (1), έστω η x1 αφού την επαληθεύει. Τότε για τη
ζητούμενη παράσταση θα ισχύει x1x2 - (x1 + x2) = x1x2 - x1 - x2 = x2 - 1 - x2 =- 1 .
β) Εφόσον οι x1,x2 είναι λύσεις της (1) και το άθροισμα x1 + x2 είναι λύση της (1), τότε θα είναι είτε
x1 = x1 + x2 + x2 = 0 είτε x2 = x1 + x2 + x1 = 0 .
Δηλαδή η αρχική εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα το μηδέν. Έτσι θα είναι c = 0 και λόγω του ότι b =-a
η εξίσωση γίνεται a x 2 - a x = 0 + a x ^ x - 1 h = 0 , που έχει εκτός από το μηδέν ρίζα και το ένα. Επομένως
θα είναι x1 = 0 και x2 = 1 ή x1 = 1 και x2 = 0 .
Σε κάθε περίπτωση για την παράσταση A = x1 (x2 2011
- 1) + x (x 2011 - 1)
με απλή αντικατάσταση βρίσκουμε
2 1
A =- 1.
0
a+b+c=
1) Έστω f x x x , 0 f 1 f 1 0 2
^ h = a + b + c a ! & ^ h = a + b + c & ^ h =
, άρα το 1 είναι ρίζα της (1) και
συνεπώς η (1) δεν είναι ποτέ αδύνατη.
2) Για να έχει η (1) μια διπλή ρίζα (αφού το 1 είναι ρίζα έτσι και αλλιώς) το 1 θα είναι η διπλή ρίζα άρα θα
πρέπει να ισχύει:
x x x 1 , x R x x x 2 x 0, x R 2 2 2 2 a + b + c = a^ - h 6 ! + a + b + c = a - a + a = 6 !
+ f^b + 2ah $ x = a - c:^2h,6x ! R
Επομένως η (2) πρέπει να είναι ταυτότητα ως προς x, δηλαδή πρέπει:
+ =
- =
+ + =
b a
a c
a b c
2 0
* 0
) )
0
+ =
=
b a
a c
=-
=
b a
c a
2 0 2
+ +
3) Ας λύσουμε την εξίσωση…
1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ^l + h =^l - l + h + l +^l + h =^l + h - l + l +^l + h -^l + h - l^ - h =
^ 2 h x ^ x h ^ x h ^ x h 6^ 2
h x @ * και επειδή
=
=
l + ! 6l!
+ - - - = - + - = l
+ l 1 1 l 1 0 + 1 $ l 1 l 0
+
1
1
R 2
t
t
1 0, 1
2 2
l
+
> R 2 2
h
l- 1 H 0, l + 1 0,
6l!
^
2 ^ 2 1 h 2 2 2 1 2 1 ^ 1 h 2 2
1 2 ^
2
1 h
2 > 0 l + - l = fl - l + + l + = l - + l + & l + - l
> 2
1 0
l
l +
> > > 2
+ t t t t
+ fl 1 l & 1
& & !
2 1 2 1 2
1
l
+
. Άρα η εξίσωση 1 x 1 x 2 2 2 ^l + h =^l - l + h + l έχει δύο
ρίζες άνισες για κάθε πραγματική τιμή του l.
4) Έστω x1 1 = οπότε:
1
x1
=
^ h , ομοίως αν είναι x2 1 = .
α) x1x2 - x1 + x2 = x - 2 1 - x =-
2
1
β) Αφού το άθροισμα x1 + x2 & 1 + x2 είναι λύση της (1) τότε θα ισχύει υποχρεωτικά ότι
1 + x2 = 1 + x2 = 0 , διότι αν 1 + x2 = x2 + 1 = 0 ... (άτοπο).
**Ας σημειωθεί ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση δεν μπορεί να έχει περισσότερες από δύο πραγματικές
διαφορετικές ρίζες.
Άρα η εξίσωση θα έχει ρίζες τις x1 = 1, x2 = 0 , οπότε σε κάθε περίπτωση (όπως αναφέρει και ο φίλος
Μίλτος) η παράσταση Α ( λόγω της συμμετρίας της ως προς x1, x2 ) θα δίνει το ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή:
x1 = 1, x2
=
0
A = - x =-
1
1
.

Παρασκευή 29 Απριλίου 2011 - 15:43 1) Είναι D = a2 - 4â - 1h $ â + 1h = a2 - 4â2 - 1h & fD = 4 - 3a2 .
α) Για να μην έχει η εξίσωση f^xh = 0 πραγματικές ρίζες πρέπει και αρκεί να είναι:
D < 0 + 4 - 3 a 2 < 0
+ fa 2 > + a 2 > + a > + a < - a > +
4
3
4
3
2 3
3
2 3
3
2 3
3
+ a ! c-3 ,
- m , c , +3m .
β) Πρέπει
2 3
3
2 3
3
0
2 2 2
- - ) * * * *
a H G G G G G
4 3 0
a
a
a
a
a
a
a
+ + f + + + +
! 1
! ! ! !
4
3
1
4
3
1
2 3
3
1
2 3
3
2 3
3
1
H
a
a
D
2 3
+ a ! ;- m , c E .
3
,1 1,
2 3
3
a
D > + fa ! c- m , c m θα είναι 1
2) Για 0
2 3
3
,1 1,
2 3
3
= + =-
S x1 x2 S &
a
- και
+ 1
.
1
= =
p x1 x2 p $ &
a
a
-
Για να είναι τώρα
1
a
a
=
+
-
1 1
c
H
+
h
h -
h
H
a
a
a
a
a
a
-
a
^
^ ^
a
a
a
a
-
=
h h
^ ^
c c
+ -
-
a a
-
-
-
=
+
-
+
m
Z
[

]]
]]
Z
]]]
]]]
[
Z
]]]
]]
[
+ + + +
c c
m m
,
1 1
, ,
1
2
1 1
1
1
0
2
2 3
1
2
1 1
2
2
1 1 0
2
2 3
!
m m
]
, a
,
, , , ,
=
S p
2 3
3
2 3
3
a
-
2 3
c c
3
m m
1 1
3
3
1 1
2 3
3
!
!
a
a
-
-

2 2
1
^
= +
-
a a
a
= +
a a
= +
+ =-
a a
a a
h
Z
[

]]
]]
Z
[

]]
]]
Z
]]]
]]
[
)
2 2 + + + +
H
1 0
H
c c c c c c
m m !
m m m m
H
a
a
-
, , ,
1 1
2 3
1
1
2 3
2 3
1
1
1
2 3
a
, , , , , ,
2 3
3
3
3
1 1
3
3
1 1
2 3
3
!
!
a
a
-
-
]

adyo
=
=-
0 1( .)
1
2
a
Z
]]]
]]]
[
*
+ +
^ ^
c c
h h
m m
- - +
-
3 3
,
,
, 1 1,
2 3
3
,1 1,
2 3
3
1
( .)
=-
a ar t
2
2 3
c ^
m h
- - +
3
o
,
, 1 1,
3
!
!
!
a
a
a

*
*
άρα δεν υπάρχει τιμή του πραγματικού αριθμού a ώστε να ισχύει S = p.
2 3
3) Με 3
a > + a ! c-3 ,
- m , c , +3m όπως είδαμε στο 1o ερώτημα είναι D < 0, οπότε
2 3
3
2 3
3
για κάθε x d R θα είναι f x 1 x x 1 2 ^ h =â - h + a + a + ομόσημο του a - 1.
Για το πεδίο ορισμού της g πρέπει:
2 3
> < 0
2 3
3 , 3
+ + + a +D
3
c c
m m
- - +
H a
! 3
a !
a
f x > ,
* * m .
h c
0 3
>
1 0
,
2 3
3
2 3
3
,
^
1,
2 3
3
3
!
a
a
-
+
+
^
h
4) α) f^1h = a - 1 + a + a + 1 = 3a και f^-1h = a - 1 - a + a + 1 = a, οπότε η εξίσωση
f 1 f 1 0 3 0 3 0 0 2011 2 2011 2 6 ^ h $ ^- h@ = +^ a h = + a = + a = .
=
= ^ ^ h h ^ h ^ h * .
β) 1 1 1 0 3 1 3 0
0
a
a
- = - =
f $ f + a $ a + 1
3
1 2 2
a = a a!
^ h ^ h ) .
γ) 1 81 0 9 9 0 9 9 0 9 1 0
=
=-
0
1
f2 2 2 2
- = - = - = - =
a + a a + a a + a a +
a
a
5) α) Για 0
-
a a
1 1
` j = + + a
+ .
x x x 2 ! &
x f 1
-
a a
β) 1 1
` j c + + + m = - + +^ + h =
x x x x 2 2
$ = a + a a + a a a 2 a
+
x f 1 1 1
x
x x
2
x x
6
Z
[

]]
]]
* .
h h
+ = -
a a
x
2
1 1
=- =
f
aoa adyo
i x
2
) 1 &
0 2( .)
2 +
!
ao a
- =
ii ) 1
x
- =
iia x
iib
1 a
)
+ +
1
1
1
6
!
a
-
, 1,1
!
a
a
!
-
+
^ ^
h h
- - +
6 3 ,
3
adyo a
) ( .), , 1 1,
a
+
^
-
a a
γ) 1 1
` j ^ h c + + + m =^ - h + + +
x x 2 2
$ = + a a 2 a a
+
x f 1 1 1
x
f x x
2
x x
1 x 1 x 1 x x 1 1 x 1 x 2 2 2 2 2 + a - + a +â + h =â - h + a + a + +â + h -â - h = +
1 1 x 2 1 1 x 2 2x 2 x 1 x 1 2 2 2 2 + 6â + h-â - h@ = + 6a + - a + @ = + f = + = + =! .

Εκφώνηση
Εκφώνηση Σάββατο 30 Απριλίου 2011 - 01:49
Σάββατο 30 Απριλίου 2011 - 18:04 c
a
1) Είναι D = 9 - 4 = 5 > 0 & η εξίσωση f^xh = 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες με x1 $ x2 = 1 > 0
,
άρα οι x1, x2 είναι ομόσημες.
2) 2 2 2
+ =
3
1
x x
x x
1 2
1 2
^ x +
x
h 2 $
3
, B x1 x x x 2x x B 7
1 2& &
$
= + = f
= =
A 6
A A
1
x x x x
1 2 1 2
2
2
$
=
^ h και
= + = + - $ & =
2
1 2
2
1 2
2
^ h 2
.
2
2
= + =
B x x
7
x x = = x -
x >
$ 1
C
!
x1 x2
0
1
2
1 2 1 2
x x x x x x 2x x 5 5 2
C = - = - = + - $ & C = & C =
1 2
1 2
2
1
2
2
1 2
2
= = C=
A 3, B 7, 5
3) Η ευθεία με εξίσωση :Ax By 0 :3x 7y 5 0: 1
^ f h + + C = + ^ f h + + =
^ h
^
1
h
Για 0 7 5 0
5
= & + = & =- & ^f + l = c -
h m
x y y yy K
7
0,
5
7
^
1
h
Για 0 3 5 0
5)
= & + = & =- & ^f + l = Kc -
h m
y x x xx
3
0,
5
3
4) Έστω A1 A,B , A2 B,A , A3 , A1 6,7 , A2 7,6 , A3 5, 5 " ^ h ^ h ^C Ch, " " ^ h ^ h ^ h,
τότε : A1A3 6 5 7 5 7 5 6 5 A A
^ h = ^ - h 2 +^ - h 2 = ^ - h 2 +^ - h 2
=^ h ,
2 3 οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το A3 .
5) Έστω t1, t2 οι ρίζες της εξίσωσης 2x 5 x 6 0 2 - b + c = , τότε:
5
= + = + + =
t t
x 1, x 1
x x
b 1 1 2 2 b b 1 2
b
= + = ++ + = + + = = =
t t
Z
S x x x x
2
1 1
5
f
& & & &
1 2 1 2
2
2
5
2
5
2
b
5 5
6
1 2
= + = +
t t
x x
1, 1
1 1 2 2
+ =
$
=
^ ^h h
= = + + = + + += =
f
c
$ & & $ & &
t t
c c c
p x x xx x x
2
1 1 3 1 3
5
3
3
1 2
1 2 1 2 1 2
3
1
x x
x x
1 2
1 2
]]]
]]
[
]

6) Έχουμε:
+
^
h
0 2
^
h
- +
f
f
5 0 2
^ -
^ ^
h h h
= - =
f 1
f 0 1, f 1 5
^
h
- +
1 3
3
-
5 3
5
+
5 3
f
+
=
+
=
4
$
+
^
3 5 3
^ ^
h
h h
- +
$
5 3 5 3
$
-
^
5 5 3
^ ^
h
h h
- +
$
5 3 5 3
+
15 3
2
-
5 15
2
+ + -
15 3 5 15
2
=
+
=
+
=
=
+
^
h
0 2
^
h
- +
f
f
5 0 2
1
f
^
-
^
h
h
- +
1 3
4
f
&
+
=
.
Λύση Άσκησης 18: Μάριος Γκούρης (irakleios)
1) Παρατηρούμε ότι το x = 1 είναι λύση της εξίσωσης.
- .
‘Εστω x2 η άλλη ρίζα. Τότε απο το γινόμενο των ριζών προκύπτει =
1
x2 m
2) α) Eπειδή m ! (- 1,0) έπεται ότι 1
1
<
- , άρα 1,
m
1
= =- .
x1 x2 m
Τότε ( ) 1
1 1
= -
-
= + , αφού -m θετικός.
f x x x
m m
= = + .
f (0)
f
1
& (1) 1
1
m m
H εξίσωση f^0h = f^1h γράφεται 1
= 1
+ , δηλαδή 1 = 0 (Αδύνατη).
1
m m
β) Iσχύει f (0) f (1) $ 0 και εμείς θέλουμε f (0) f (1) > 0. Ουσιαστικά θέλουμε f (0) f (1) ! 0, αυτό όμως
από το ερώτημα 2) α) ισχύει για κάθε επιτρεπόμενη τιμή του m. Δηλαδή m ! (- 1,0) .
γ) Επειδή g^1h = 0 η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: 1 1
+ - + = = , απ’ όπου παίρνουμε
x x 4
+ 4
2
m m m
1
-1 .
m =! , δεκτό μόνο το 2
2
δ) Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση g^xh- f^xh = 0 έχει δύο άνισες λύσεις.
Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: 1
1
+ - - = με διακρίνουσα ( 2) > 0 2 D = m + για κάθε
x x 0 2 m m
m
m ! (- 1,0) , άρα έχει δύο άνισες λύσεις.
ε) Τα σημεία τομής με τους άξονες είναι 0,
1
1
-
` j `- j, άρα το εμβαδόν θα είναι E . .
A ,
B ,0
1
m m
= =
x n
2 2 m

Σάββατο 30 Απριλίου 2011 - 22:16 1) Είναι: 4 4 1 4 4 16 8 16 16 4 2 2 2 2 D = 6-â - h@ - $ $ ^- ah =â - h + a = a - a + + a & fD =â - h .
2) Προφανώς για κάθε R 4 0 2 a ! & D =â + h H η εξίσωση (1) έχει πραγματικές ρίζες για κάθε a ! R.
Για να έχει η (1) ρίζες ίσες πρέπει και αρκεί 0 4 0 4 0 4 2 D = +â + h = + a + = + a =- .
3) α) Με p1 2 1 3k , p2 3 1 2k p1 p2 2 1 3k 3 1 2k = ^ - h = ^ + h & + = ^ - h+ ^ + h &
b
-
+ = a-a
p1 p2 4
& + = - + + & + = & a - = & fa =
p1 p2 2 6k 3 6k p1 p2 5 4 5 9
.
β) Είναι 1 3 1 2
36
$
p p p p
9
c
a
a=
`
j
$ =- a & $ =-
p1 p2 4 p 1 p 2
36
-
k k 1 2 1 2
^ ^ ^ ^
h h h h
- $ + = $ = = &
f $
- + =-
k k 1 3 1 2 6
2 3 6 6
.
γ) Με 1 3 1 2 6 1 2 3 6 6 6 7 0
1
k
k
^ - h ^+ h =- + + - - 2 =- + f 2 + - = + f
* - .
=
=
k k k k k k k 7
6
δ) Για 1
^
^
h
h
= - =-
= + =
$
$
2 1 3 1 4
3 1 2 1 9
k
p
p
7
) 1
και για 6
2
&
=
` `
` `
jj
jj
= - - =
2 1 3
7
6
9
* .
= + - =-
3 1 2
7
6
4
k
p
p
1
2
&
$
$
=-
4) α)
1 x 5 x 41 1 x 5 x 41 0 1 x 5 x 5 36 0 2 2 2 ^ + h - = +^ + h - - = +^ + h - - - = +
2
^ ^
h h
+ - + - =
+ =
+ =-
=
) ) =
.
^
h
cka a= & " +
+ x x
+ f + + f !
1 9
1 4
8
x x
1
9 1
1 5 1 36 0
x
=-
G adyo
( .)
x
x
x
x
0 5
8
β)
0
2 2
x2
=~H
2 x 5x 26 2 5 26 4 4 5 26 0 2 2 2
^ h ^ h
+ + = + + ~ + ~ = + ~ + ~ + + ~ - = +
2
G
=-
~ ar t
=~
) .
2 2
+ - = ~
= = =
+ ~ 9 ~
22 0
+ f + & + !
o
( .)
x x
x
2 2
0 11
2
2
~
=
Mία διαφορετική αντιμετώπιση του 4) β) - (Μάριος Γκούρης): Είναι
(2 x ) 5x 26 ( 2 x ) 5( 2 x ) 36 0 2 2 2 22 2 + + = + - - - - - - = που είναι η αρνητική λύση της (1) δηλαδή το
-4, οπότε x 2 4 x 2 2 + = + =! .
Συνοπτική λύση:
1) Είναι f^0h = 7, άρα m = 7 και f^1h = 5 δηλαδή l =- 1.
2) α) f^xh = 5 + -2x + 7 = 5.
Επομένως -2x + 7 = 5 + x = 1 ή -2x + 7 = 5 + x = 6.
β) f^xh < 5 + -2x + 7 < 5.
Επομένως -3 < - 2x + 7 < 3 +- 10 < - 2x < - 4 + 2 < x < 5.
γ) Είναι:
- +
x
2 7
^- + h^ + - h ^- + h^ - h^ + h 6- @ + .
2 # + # + # + e , 3
x x x x x x x 2
+ -
x x
2 3
0 2 7 2 3 0 2 7 1 3 0 3,1 [
7
, )
2

^ ^
h h
!
A C f
^ ^ ^
h h h
= - + =
f
l m m
f x x f
1 &
0
Σάββατο 30 Απριλίου 2011 - 23:15 Εκφώνηση Εκφώνηση
= =
m
l m
1) 0,7 0 7 7
* ) )
^ h ^ h ^ h ^
h ^ ^ ^
h h h
!
B C f
+ +
= - + = - +
f
l m l m
f x x f
1 1 1
f
&
= -+ =
1,5 1 5 1 5
7
m
=
+ +f
h
- + =
1 7 5
=
=-
7
1
f
+ +
l
m
l
^
2) Για l =- 1,m = 7 & f^xh =- 2x + 7:
α)
- + =
x
x
=
2 7 5 1
* * .
6
=- +
^
h
f x 2x 7
^ +
= - + = + 0 + 0
h
f x x
- + =-
x
x
5 2 7 5
2 7 5
=
=- + -
^
h
f x 2x 7 7
β) f x < 3 2x 7 < 3 3 < 2x 7 < 3 3 7 < 2x < 3 7
+ - + +- - + +- - - - +
^
h
- -^ h
x
: 2 < 0
-
-
- - - + + f
< < > > < x <
x 2 5
10 2 4
10
2
2
2
4
2
-
-
-
.
^ h - + + - = + = =- ^- + h ^ + - h
f x
2 2 3 0 1 3 2
$
! !
x x x x
G
2 7 x x x , x
2 7 2 3 0
γ) G 0 G
0
)
+ + +
2 2
+ - + -
x x x x
&
2 3 2 3 x x
1 3
^ ^
h h
- + $ + - = +f = =- =
^
8 .
h j
+ ff x ! - 3,1
, ,
+3
7
2
x x x x x x 2
2 7 2 3 0 1, 3,
7
2
1) Είναι 4 1 4 4 1 0, R 2 2 2 D =^-mh - ^m - h = m - m + =^m - h & D H 6m ! .
b -
m
1
- =-
a
2) Επειδή x1, x2 είναι ρίζες της εξίσωσης z^xh = 0 τότε: x1 + x2 = m
: 1
-
1
1
c m
=
a
^ h και x1 $ x2 = m -
1 : 2
^ h.
^ ^
h h
1 , 2
α) Είναι x1 2
+ x 2
=^ x + x h 2
- 2x x & x 2
+ x 2 = m 2
- 2 ^- h
& 2
+ 2 = 2 - +
2
1 2
1 2
1
2
m 1 f x 1
x 2
m 2 m 2
.
β) Είναι
- - - = + + + + ^ h ^ h
- -- +-
x1 x2 2 x1 x2 2
1 , 2
$ + -
x1 x2 x1 x2 x x 14 x x 2
4 3 2
3
+ =
5
14 2
4
4 3 2
1 2 1 2
+ =
+ +
3
5
4
m - + - m m m ~ ~
4 1 3 2
+ =
+ + -
+ =
+ -
+ =
m+ =~H
+ + + +
3
5
14 2
4
4 2 2
3
5
14 2
4
2 0
4 2
14 3
5
4
m+ =~
2
+ ~ - + = ~ + ~ - ~ = + ~ = + ~ = H + m + = +
16 8 60 42 42 16 52 26 52 2 0 2 2
- =
- =-
2 2
2 2
4
0
m
m
) ) .
+ +
m
m
=
=
2
+ =m - m+
x x
2 2
1
2 2
2
γ) Είναι: f ^ h 3 x 2
x 5 2012 f ^ h
3 2 2 5 2012
m = + - + & m = m - m + - + &
1
2
2
2
f 3 2 3 2012 2 & ^mh = m - m - + .
Για να ορίζεται η f πρέπει και αρκεί:
m - m- = +m=- m=
2 3 0 1, 3
2
^ @ 6 h .
m 2
- 2 m - 30 H + fm G- 1 0 m H 3 & A = -3 , - 1 , 3, + 3
f
δ) Επειδή το πεδίο ορισμού της f δεν είναι «συμμετρικό ως προς το μηδέν» (δηλαδή επιλέγοντας το τυχαίο
x του πεδίου ορισμού δεν ανήκει και το -x στο πεδίο ορισμού) η f δεν είναι ούτε άρτια, ούτε περιττή.
3) α) Επειδή η { έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία με εξίσωση:
b m
- = ap o vynn =
b m m
1
a
2 2
o . .
x
1
2
=- = = m =
x & x & &
1
a
2 2 2
2
.
^ ^
h h
= - - =
2 { & {
3) β) Για m = 1 έχουμε: x x x 1 2
) οπότε η δοσμένη εξίσωση γίνεται ισοδύναμα:
=
^
h
2 2
{
x
= k 6 x
!
=
>
0 ,
0
+ + + + +
2
x
3 1
= + = + = + - - =
k
2 2
k k k k
k
2
3
2 0
1
>
*
2 2 3 2 3 2 0 x
2 2
k
2
0
k =-
( ar o
t
.) 2
<
= = =
x
x
x
x
2
= k > 6 x
!
0, 0
x
!
=
* ) ) =
.
k 2
x 1
2
2
0
1
0
1
0
+ + + + +
x
x
!
! ! !

Εκφώνηση
Εκφώνηση Κυριακή 01 Μαΐου 2011 - 19:54
Κυριακή 01 Μαΐου 2011 - 23:24 1) Για m - 1 ! 0 + m ! 1 + m !! 1 εχουμε m 4 m 1 m 2 0 2 2 D = - ^ - h =^ - h $ . Άρα η (1) έχει
τουλάχιστον μια λύση.
Για m = 1 η (1) δίνει x = 1, ενώ για m =- 1 η (1) δίνει x =- 1.
Άρα για όλες τις τιμές του πραγματικού m η (1) έχει λύση.
2) Η (1) έχει δύο λύσεις για m ! 2 + m !! 2, όπου τότε D 2 0 και για
x x
+ - - + και m !- 2.
m m m m
1 2 2 4 2 ! + ! + ! + !
m m
2
2
2
2
m
3) Για m !! 1 είναι 1
,
- .
1
1
S
m
P
m
=
-
=
Άρα 1
2 2
1
m
m
$ + + $ +
+ -
-
$ +
mS P 1 0
- -
m m
1 1
1
1
m
-
1 1
m
-
1 2
^ - h , που ισχύει και κάθε πραγματικό m.
m m
- + -
+ $ + $ + $
m
0 0 0
m m
m
m
1
1 1
1
-
-
4) Για x = 1 η (1) γίνεται m - 1 - m + 1 = 0 + m = m, η οποία ισχύει για κάθε m $ 0.
!
^ - h .
m m
5 )Για m 20112012 = είναι D 2011 2 > 0 2012 = - , άρα η (1) έχει δύο λύσεις άνισες τις 2
2
x
1,2
=
^ h .
2012 2012
- -
2011 2011 2
Για m 20112012 = έχουμε την ακέραια λύση 2
2
=
= =
x 1
2
1) Για να ταυτίζονται οι ευθείες αρκεί το σύστημα των εξισώσεών τους να έχει άπειρες λύσεις
(Παρατήρηση: Αν βέβαια ένα γραμμικό σύστημα 2x2 έχει δύο διακεκριμένες λύσεις τότε θα έχει άπειρες)
Έχουμε:
2 2
= +
m
m
y x
6
) )
^ h + =^ - h +
= - +
y x
= +
m
y x
6
2 + +
m m
x x
5 6 8
6 5 6 8
6
2
= +
m
y x
+ ) +
)
m x + 6 - ^ 5 m
- 6 h x
- 8 =
0
^ 2 - + h = ^ h
Για να συμβεί ^f1h / ^f2h αρκεί η εξίσωση (1) να είναι ταυτότητα, πράγμα που είναι αδύνατο (αφού είναι της
μορφής ax = b με b = 2 ! 0 ).
2) Αφού οι ευθείες ^f1h,^f2h δεν είναι οριζόντιες οι συντελεστές διεύθυνσής τους είναι διάφοροι του μηδενός,
δηλαδή ισχύει:
6
2
= +
m
y x
x
m m
5 6 2: 1
2
0
!
* &
.
2
!
m
m
-
5 6 0
! !
m m
0&
6
5
+
α) Είναι:
2
=
x 0
h
f =m + & =
1 :y x 6 y 6
^
^ l ^
h h
= f + &
K 1 y y K 0,6
8
6
= m!
0 5
y
^ ^ ^
h h h
= - + - + = =-
f m & m +
2 : y 5 6 x 8 5 6 x 8 0
x
8
m
-
5 6
και ^ l c
5 6
h m
K = K -
f + &
2 x x ,0
m
-
.
β) Είναι:
O K ti c
^
OK o o O
( .), 0,0
2 2 2 2
h
K 10 K 10 OK O 100 y x 100 2 2
^ h ^ h ^ h ^
h
K K = + K = + + K = + K + = +
* 6
* * *
= m- 8
m
m
-
5 6
2 2 2
100
6
m
m
-
m
m
=
-
= -
-
=
! ! ! !
5
8
5 6
100 36
+ + + +
6
5
8
5 6
64
6
5
8
5 6
8
6
5
2
8
5 6
> 0
m
m
+ -
8
-
m
m
5 6
8
6
-
m
m
=
Z
[

]]
]]
! !
5
1
5 6
= 1
- =
m
m
- =
- =-
m
m
m
m
m
m
=
= = =
Z
[

]]
]]
Z
]]
]]
) *
[

*
+ + + + + f , 1
6
5
5 6 1
6
5
5 6 1
5 6 1
6
! !
5
7
5
1
6
5
7
m m
5
!
Z
[

]]
]]
Παρατήρηση: Προσπαθώ να αποφύγω τον τύπο της απόστασης σημείων γιατί είναι εκτός ύλης.

Δευτέρα 02 Μαΐου 2011 - 20:27 Εκφώνηση Εκφώνηση
3) Για m = 1 έχουμε: ^f1h: y = x + 6 και ^f2h: y =- x + 8 .
0
y
=
α) Είναι: 1 : y x 6 0 x 6 x 6 x
^ f h = + " = + + =- & ^ f h +
.
1
8
β) Για m = 1 είναι: K^0,6h, M^-6,0h και 5 6
m=
1
"
c m ^ h , οπότε ^KKh = 10 όπως βρήκαμε
K - K
,0 8,0
m
-
(μην ξεχνάμε ότι και η τιμή m = 1 προέκυψε με την απαίτηση ^KKh = 10).
^ KM h = x 2 + y 2
& f^ KM h = 36 + 36 = 36 $ 2 & f^ KM h = 6 2 και
M K KM = x - xM = 8 - -6 & f KM = 14 K ^ h ^ h ^ h .
Είναι ^KKh ! ^KMh ! ^MKh ! ^KKh, οπότε το τρίγωνο ΚΛΜ είναι σκαληνό.
1
γ) Είναι 2
1
^KKMh = $ ^KMh $ ^OKh = $ $ yK = $ 14 $ 6 & ^KKMh = 42 x.n , όπου παριστάνει το
2
14
1
2
εμβαδόν του τριγώνου ΚΛΜ.
δ) Επειδή τα Κ και Λ έχουν διαφορετικές τετμημένες η ζητούμενη ευθεία ^f3h θα είναι της μορφής:
^f3h: y = ax + b. Είναι:
= +
= +
$
$
^ ^
^ ^
h h
h h
!
!
f a b
f a b
0,6 6 0
8,0 0 8
=
6
+ =
+
+
b
a
b
a
=
=-
) ) * h .
3
+ + &
y x 3
8 6 0
6
f
^
3 :
4
3
=- +
4
6
K
3
K
h
f = +
1 y x
: 6
^
ε) Έστω x ,y y x 6: 3 0 0 0 1
M ! f & = +
^ ^ ^
h h h
0 0
. Τότε και το συμμετρικό του x ,y M0^ 0 0h ως προς τον yly
^
f 3 h
:
y =- x
+
h 3
h
3
4
6
Ml ^- 0 0h, το οποίο για να ανήκει στην 4
θα είναι το σημείο x ,y
0
^ f & = +
^
3 y 0 x 0
6: 4
.
Επομένως αν υπάρχει τέτοιο σημείο θα πρέπει το σύστημα των εξισώσεων (3) και (4) να έχει λύση (η οποία
θα αποτελεί και τις συντεταγμένες του ζητούμενου σημείου).
Έχουμε:
= +
= +
6
y 0 x
0
y x
* 3
* ) ) ) .
0 0
4
6
6
= +
= -
y x
= +
= -
= +
=
=
^ ^ ^
h =
h h
^
-
h
0 1 3 + + + + & f + f
0
3
0 0
x x
0 0
4
6
y x
0 0
x x
0 4 3
6
0
6
0
0,6
y x
x
y
x
M
0 0
0 0
0
0
0
=
Λύση Άσκησης 24: parmenides51
1) Επειδή οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f^xh,g^xh είναι ευθείες, θα είναι ανηφορικές εάν είναι
γνησίως αύξουσες σαν συναρτήσεις, εάν δηλαδή έχουν θετικό συντελεστή διεύθυνσης, οπότε:
2
Ο μεν Μίλτος ανηφορίζει όταν ^
m
-
1
h
> 0 + ^
m - 1 h 2 > 0 + m -
1 ! 0 + m
!
1
και επειδή
20
m ! "1,2,3,4,5,, άρα όταν m ! "2,3,4,5,.
2
m
-
Ο δε Στάθης ανηφορίζει όταν 20
7
> 0 7 > 0 > 7 > 7 > 4 2
- = και επειδή
2 2 + + +
m m m
m ! "1,2,3,4,5,, άρα όταν m ! "3,4,5,.
2) Ο Μίλτος κι ο Στάθης που κινούνται πάνω σε ευθείες δε θα συναντηθούν εφόσον οι ευθείες που κινούνται
είναι παράλληλες, όταν δηλαδή έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, οπότε:
-
h
m 1
m
20
2 2
-
20
7
h , δεκτή λύση.
2 2 2 2 + + + f +
- = - - + = - =
m m m m m m
1 7 2 1 7 4
=
^
^
Δηλαδή όσο κινείται ο Μίλτος στη A4 και ο Στάθης στηνB4 , οι τροχιές των κινήσεών τους ποτέ δεν
συναντιούνται.
3) Ο Μίλτος θα κουραστεί περισσότερο από τον Στάθη όταν για την ίδια απόσταση διανύει πιο ανηφορικές
διαδρομές, δηλαδή διαδρομές με μεγαλύτερη κλίση οπότε όταν:
- -
m m
( 1)
20
2 2
2 2 2 2 + + + +
- - - + - - - -
m m m m m m m
> ( 1) > 7 2 1 > 7 2 > 1 8 < 4
20
7
και επειδή m ! "1,2,3,4,5, τότε m ! "1,2,3,,.
Άρα σε καθεμία από τα διαδρομές A1, A2, A3 κουράζεται περισσότερο ο Μίλτος σε σχέση με τον Στάθη στις
διαδρομές B1, B2, B3 αντίστοιχα.
` 6 j θα πρέπει οι συντεταγμένες της πηγής να επαληθεύουν
4) Για να ξεδιψάσουν στην πηγή στο σημείο 1,
20
τις γραφικές παραστάσεις των διαδρομών των ποδηλατών.
Ο Μίλτος:
6
( m - 1 )
2
+ m
-
1
, (1) 6
` j =
=
! + + +
1 C f 6
20
20
f
- + + -
m m m
2 1 1
= - - = =- = και επειδή m ! "1,2,3,4,5, τότε m = 3.
2 + + +
20
6
20
m m m m
6 0 2 3
2
Ο Στάθης:
6
1,
` j =
20
- + -
m m
=
! g + + +
(1)
6
20
7 1
20
6
20
C g
2
12 0 3 4 2 + m + m - = + m = m =- και επειδή m ! "1,2,3,4,5, τότε m = 3.

25 askiseis algebra_a_lykeiou

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 25 askiseis algebra_a_lykeiou

Similar to 25 askiseis algebra_a_lykeiou (20)

More from Σωκράτης Ρωμανίδης

More from Σωκράτης Ρωμανίδης (20)

25 askiseis algebra_a_lykeiou