1. ___________________________________________________________________________
24η
ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr
1
1η
προτεινόμενη λύση (Χρήστος Κουστέρης)
α) Εφόσον το υπόλοιπο της διαίρεσης του P x με το x 1 είναι 2 τότε :
P 1 2
Εφόσον το υπόλοιπο της διαίρεσης του P x με το x 0 είναι
1
2
τότε :
1
P 0
2
β) Η ταυτότητα της διαίρεσης του P x με το 2
x x είναι :
2
P x x x π x υ x (1)
Το υ x θα είναι πολυώνυμο βαθμού μικρότερου του 2 και δε μπορεί να είναι
σταθερό πολυώνυμο διότι P 1 2 και
1
P 0
2
με βάση το ερώτημα (α).
Επομένως
υ x κx λ κ,λ R , κ 0
Για x 0 η (1) γίνεται:
1
P 0 κ 0 λ λ
2
Για x 1 η (1) γίνεται:
1
λ
2 1 3
P 1 κ 1 λ 2 κ λ 2 κ κ
2 2
Άρα
3 1
υ x x
2 2
γ) Η δοσμένη ανισότητα γίνεται :
3 2
3 23x 14x 13x 6
0 3x 14x 13x 6 3x 1 0
2υ x
,
1
με x
3
¨Έστω 3 2
Q x 3x 14x 13x 6 3x 1
Mε τη βοήθεια του σχήματος Horner παραγοντοποιούμε το 3 2
3x 14x 13x 6
3 14 13 6 2
6 16 6
3 8 3 0
Η ημερομηνία αποστολής των λύσεων καθορίζει και τη σειρά καταγραφής τους
2. ___________________________________________________________________________
24η
ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr
2
Αρα :
4 2 2
3x 14x 13x 6 0 x 2 3x 8x 3 0 άρα
x 2 0 x 2
2 1
3x 8x 3 0 x 3 ή x=
3
To πρόσημο φαίνεται στον παρακάτω πίνακα :
x
1
3
2 3
x 2
2
3x 8x 3
3x 1
Q x
Άρα
1 1
x , ,2 3,
3 3
δ) i) Ισχύει:
ημ 3π θ ημ(2π π θ) ημ π θ ημθ
συν 14π θ συν 2 7π θ συν θ συνθ
9π π π
ημ θ ημ 4π θ ημ θ συνθ
2 2 2
ημ θ π ημ π θ ημ π θ ημθ
Με βάση τα παραπάνω το σύστημα γίνεται
ημθ x συνθ y 1
συνθ x ημθ y 1
2 2 2 2ημθ συνθ
D ημ θ συν θ ημ θ συν θ 1 0
συνθ ημθ
Εφόσον D 0 το σύστημα έχει μοναδική λύση την yx
DD
x,y ,
D D
Υπολογίζουμε τα x yD ,D
x
1 συνθ
D ημθ συνθ
1 ημθ
, y
ημθ 1
D ημθ συνθ
συνθ 1
3. ___________________________________________________________________________
24η
ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr
3
Επομένως
xD ημθ συνθ
x συνθ ημθ
D 1
yD ημθ συνθ
y συνθ ημθ
D 1
Άρα η λύση του συστήματος είναι x,y (συνθ ημθ, ημθ συνθ)
ii) H δοσμένη εξίσωση γίνεται
x y 4 P 0 7συνθ P 1
1
συνθ ημθ συνθ ημθ 4 7συνθ 2
2
2 2
συν θ ημ θ 2 7συνθ 2 0
2 2
συν θ 1 συν θ 7συνθ 4 0
2
2συν θ 7συνθ 3 0
Στην τελευταία εξίσωση θέτουμε συνθ y με 1 y 1 οπότε :
2
2y 7y 3 0
2
Δ 7 4 2 3 49 24 25 ,
y 3 απορρίπτεται
7 5
y 1
4 y
2
Επομένως :
π
θ 2κπ
1 π 3
συνθ συνθ συν ,κ
π2 3
θ 2κπ
3
ε) Η ανίσωση:
2
log log x 10P 1 1 x 100 0
2
log log x 19x 100 0 (1)
H ανίσωση έχει νόημα για :
4. ___________________________________________________________________________
24η
ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr
4
2
x 19x 100 0 , η οποία ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό x αφού Δ 0
και
2 2 2
log x 19x 100 0 x 19x 100 1 x 19x 99 0 η οποία ισχύει για
κάθε πραγματικό αριθμό x αφού Δ 0
Άρα η (1) γίνεται :
2 2 2
log x 19x 100 1 x 19x 100 10 x 19x 90 0
Η τελευταία ανίσωση ισχύει για κάθε x 9,10
στ) H συνάρτηση f x x ln x 2 ορίζεται για x 0
i)
Για οποιαδήποτε 1 2x ,x 1, με
1 2x x ισχύει 1 20 ln x ln x
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δύο ανισότητες προκύπτει:
1 1 2 2 1 2x ln x x ln x f x f x
Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
Οπότε :
x x
f e e 1 e 2 f e e 1 f e
*
x x
e e 1 e e 1 x 0
* f είναι γνησίως αύξουσα και για x 1 είναι
x x x x
e e e e 2e 2 e e 2 0 e e 1 1
ii) Από την σχέση
α β γ 2018 α β γ 2018
α β γ e ln α β γ lne
α β γ
lnα lnβ ln γ 2018 lne
αlnα βlnβ γln γ 2018
αlnα 2 βlnβ 2 γln γ 2 2018 6
f α f β f γ 2024 (1)
Επομένως :
5. ___________________________________________________________________________
24η
ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr
5
3
11 3ln3lnP 0 2
3(ln1 ln2) 3ln2 ln2
ln8
A f α f β f γ e 2024 e
2024 e 2024 e 2024 e
2024 e 2024 8 2016
2η
προτεινόμενη λύση (Κώστας Δεββές)
Α) Από θεωρία 1( ) 1 ( ) 2P x x x και 2
1
( ) ( )
2
P x x x , άρα (1) 2P και
1
(0)
2
P .
Β) Η ταυτότητα της διαίρεσης 2
( ):( )P x x x είναι: 2
( ) ( ) ( )P x x x x x . Για
0x και 1x έχω:
3
2
2
1
1
2
2
a
, άρα
3 1
( )
2 2
x .
Γ) Ισοδύναμα έχω:
23 2
3 14 13 6 3 1 0 2 3 3 1 0
11
33
1 1
, ,2 3,
3 3
Horner
x x x x x x x
xx
x
Δ) i) Ισοδύναμα έχω:
1
1
x y
x y
με
1 0, ,x yD D D και μοναδική λύση την
,x y .
ii) Ισοδύναμα έχω: 2 2 2
2 7 2 2 7 3 0 με
ρίζες
3 απορρίπτεται ή
1
2 ,
2 3
.
Ε) Πρέπει
2
2 2
19 100 0 , 0
log 19 100 0 log1 19 99 0
x x x
x
x x x x
.
Η ανίσωση ισοδύναμα γράφεται:
2 2
log( 19 100) 1 log10 19 90 0 9,10x x x x x .
6. ___________________________________________________________________________
24η
ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr
6
ΣΤ) i) Έστω
1 2 1 2 1 1 2 2 1 21 0 ln ln ln 2 ln 2 ( ) ( )x x x x x x x x f x f x f στο
1, .
Η ανίσωση ορίζεται στο ( 1 0)x
e e και ισοδύναμα γράφεται:
1 1 1 0
x
f e
x x x
f e e f e e e e e x .
ii) Λογαριθμίζοντας τη δεδομένη ισότητα έχω:
ln 2018 ln ln ln 2018 ln ln ln 2018
ln 2 ln 2 ln 2 2024 ( ) ( ) ( ) 2024
a a
a a
f a f f
Τότε η ζητούμενη παράσταση Α γράφεται:
3
1
3ln
3ln2 ln22
2024 2024 2024 2024 8 2016e e e
.