pagonis_shmeiwseis_g_lykeiou

1. Θεόδωρος Παγώνης
μαθηματικός
2016-2017
γ΄ λυκείου
μαθηματικά κατεύθυνσης

2. Κσκλοθορούν
επίζης
 Μαθημαηικά Β΄ Λσκείοσ
Γενικής Παιδείας Αλγεβρα
 Μαθημαηικά Β΄ Λσκείοσ
Καηεύθσνζης
 Μαθημαηικά Β΄ Λσκείοσ
Γενικής Παιδείας Γεωμεηρία
 Μαθημαηικά Α΄ Λσκείοσ
Άλγεβρα
Μαθημαηικά Α΄ Λσκείοσ
Γεωμεηρία
Θεόδωρος Παγώνης
e-mail: theomath@yahoo.gr
https://www.facebook.com.theodoros.pagones
http://lisari.blogspot.gr/
2016-2017

3. - 1 -
2016-2017
Όριο – Συνέχεια συνάρτησης
Παγώνης Θεόδωρος
Μαθηματικός

4. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 2 -
§1. τύποσ ςυνάρτηςησ
1) Να γξάςεηε ρσξίο ην ζύκβνιν ηεο απόιπηεο
ηηκήο ηνπο ηύπνπο ησλ ζπλαξηήζεσλ :
α. ( ) | ln 1| f x x β. ( ) 2| | | 1|  f x x x
γ. 4 2
( ) | | f x x x δ. ( ) | 2| f x x
2) Σε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αμόλσλ ζεσξνύκε ηα
ζεκεία  1, 0 ,  , 0 x θαη  0 , 3 κε 1x .
Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο ζπλάξηεζεο f πνπ
εθθξάδεη ηελ πεξίκεηξν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ζε
ζπλάξηεζε ηνπ x .
3) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 
 x x
f x ae e κε
, a  . Αλ (0) 10f θαη 1
(1) 
f e , λα βξείηε
ηηο ζηαζεξέο a θαη  .
4) Αλ 2
( ) 2 3  f x x x λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε
   1 2 2 3 ( 1) 14 0     f x f x f .
5) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
4
( ) 1
2 3

 

x
f x
x
. Να
δείμεηε όηη
4
1
2 3
 
  
 
x
f x
x
, γηα θάζε
3
2
x .
6) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f γηα ηελ νπνία ηζρύεη
 2 2
1 2 2 3    f x x x x , γηα θάζε x . Να
ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο (3)f , (1)f θαη (13)f .
7) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 3 2 4
( ) ( ) ( ) 4    f x f x f x x x , γηα θάζε
x . Να ππνινγίζεηε ην (1)f .
§2. πεδίο οριςμού
ςυνάρτηςησ
8) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο κε
ηύπν  2
2
2
( ) ln 81
9 8

  
 
x
f x x
x x
.
9) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ:
α.
3 2
2
2 1
( )
3 4
 

 
x x
f x
x x
β.
2
3 2
3 1
( )
2
 

 
x x
f x
x x x
γ. 2
2
( )
3 2


x
f x
x x
10) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ:
α. ( ) 3 7 2  f x x β. 2
( ) 4 2009  f x x
γ. 2 2
( ) 1 4 5 2 3    f x x x x
11) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ:
α.
2
2
( )
1
 


x x
f x
x
β.
1 2 3
( )
2 4 4
 

 
x
f x
x
12) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ:
α.    ( ) ln 2 1 ln 2f x x x   
β.    2
( ) ln 3ln 1 ln 2    f x x x x
13) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ:
α. 2
( )
1


x
f x
x


β.
1
( )
1



x
f x
x


γ. 2
( ) 

x
f x
x x

 
14) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ:
α.  
2 1
( ) 3

 
x
f x x β.  
2
12
( ) 2

  
x
f x x x
γ.  
| |
( ) | 2 | 1   
x
f x x x

5. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 3 -
15) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ:
α. 2
8
( )
8 7


 
x
f x
x x
β.  2
3
6
( ) ln 9
1
  

f x x
x
γ.
3
8
( )
2 16


x
x
f x δ. 31
( ) 1 ln
2 ln
  

f x x
x
16) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ:
α.
1
( ) 

f x
x x
β. 21
( ) 1
3 1
  

f x x
x
γ.
 2
2
ln 2 3
( )
25
 


x x
f x
x
δ. 2
( ) 2   f x x x x
ε. ( ) 5 5  f x x ζη. ( ) 2 1  f x x
17) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο
 
3
2 22
( ) 2

   f x x x x .
18) Να βξείηε ην ππνζύλνιν ηνπ  0 , 2 εληόο
ηνπ νπνίνπ νξίδνληαη νη ζπλαξηήζεηο :
α.
1
( ) 2 1  f x x
x


β.
1
( )
2 1


f x
x
19) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ:
α.
1
( )
1



x
f x
x
β.  ( ) ln lnf x x
γ.
 2
2
ln 2 3
( )
25
 


x x
f x
x
δ.
4
2 1
( )
1
3 ln 1
 

 
  
 
x x
f x
x
ε. ( ) f x x
ζη.
  
 
| | 1 2
( )
ln | | 1
 


x x
f x
x
20) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
| | , 3 6
( )
2 2 , 6 12
   
 
  
x a x
f x
x x
. Να βξείηε:
α. ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f ,
β. ηνλ αξηζκό a ,
γ. ηηο ηηκέο ( 2)f θαη  (11)f f .
21) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
3 , 5 1
( )
4 2 , 1 15
    
 
  
x x
f x
x x
.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να βξείηε ηηο ηηκέο ( 2)f , (3)f , (1)f θαη  ( 4)f f
γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε ( ) 6f x .
22) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( )  f x x a γηα ηελ
νπνία ηζρύεη (13) ( 3) 4  f f . Να βξείηε:
α. ηνλ αξηζκό a ,
β. ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f ,
γ. ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο
  
 2
ln (33)
( )
( 2) | |


  
x f f
g x
x f f x
.
23) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε  ( ) 3 lnf x x a   , γηα
ηελ νπνία ηζρύεη 2
( 1) 1f e   . Να βξείηε:
α. ηνλ αξηζκό a ,
β. ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f ,
γ. ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο
 
1
( ) ln (2)
e
g x f f x f
e
   
    
  
.
24) Γίλεηαη ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ ην
 0 , 8  . Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο
ζπλάξηεζεο  2
( ) 1 g x f x .
25) Να βξείηε ην a ώζηε ην πεδίν νξηζκνύ
ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ λα είλαη όιν ην :
α.
2
2
1
( )
1


 
x
f x
x ax
β. 2
( ) 4 3   f x ax x a
γ.
2
( )
2 1
 
  
 
x
a
f x
a
δ.  2
( ) ln ( 1) 2 1f x ax a x a    
26) Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηεο παξακέηξνπ  , λα
βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ ζπλαξηήζεσλ:
α. 2
2012
( )
4

 
f x
x x
β. 2
( ) 2   f x x x 
27) Σην παξαθάησ ζρήκα είλαη ( ) 3  ,
( ) 7  θαη ( ) 4  . Να εθθξάζεηε ην
εκβαδόλ ηνπ γξακκνζθηαζκέλνπ ρσξίνπ σο
ζπλάξηεζε ηνπ ( ) x , όηαλ ην Μ θηλείηαη
πάλσ ζην επζύγξακκν ηκήκα ΑΓ.

6. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 4 -
§3. άρτια περιττή
ςυνάρτηςη
ςυναρτηςιακέσ ςχέςεισ
28) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
4
( ) 3 5
3
 
x
f x  , κε
πεδίν νξηζκνύ ην . Να απνδείμεηε όηη ε f
είλαη άξηηα θαη πεξηνδηθή κε πεξίνδν
3
2
 

.
29) Να εμεηάζεηε αλ ε ζπλάξηεζε
   ( ) 13 2 3 13 2 3   
x x
f x είλαη άξηηα ή
πεξηηηή.
30) Έζησ ζπλάξηεζε : f , γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 3 2 3 2
( ) ( ) 7 ( ) 2 4     f x af x f x x x x , γηα
θάζε x .
α. Αλ (2) 3f , λα βξείηε ηελ ζηαζεξά a .
β. Να ππνινγίζεηε ην (1)f .
31) Έζησ ζπλάξηεζε : f κε (0) 0f πνπ
ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε
    2 ( ) ( )   f x y f x y f x f y , γηα θάζε
, x y .
α. Να ππνινγίζεηε ην (0)f .
β. Να απνδείμεηε όηη, αλ ( ) 0f  , ηόηε (2 ) 1 f  .
32) Έζησ ζπλάξηεζε : f , γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 2
5 ( ) 3 ( )   f x f x x x, γηα θάζε x .
Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .
33) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f γηα ηελ νπνία ηζρύεη
( ) 2 ( ) 3 3   f x xf x x , γηα θάζε x . Να
βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .
34) Αλ γηα ηελ ζπλάξηεζε f ηζρύεη
1 1 1
( ) 2 3
   
      
   
xf x f x
x x x
, γηα θάζε *
x ,
ηόηε λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .
35) Αλ γηα ηελ ζπλάξηεζε f ηζρύεη
 ( ) 1 ( ) 1    xf x x f x x , γηα θάζε x , ηόηε:
α. λα βξεζεί ην (0)f ,
β. λα απνδεηρζεί όηη ( ) ( ) 2 (0)  f x f x f ,
γ. λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .
36) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f ηέηνηα ώζηε
λα ηζρύεη   2
1 2 5   f x x x , γηα θάζε x .
Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο f .
37) Γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύεη
  ( )  f x y f x y γηα θάζε , x y θαη
(0) 2012f . Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .
38) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f ηέηνηα ώζηε
γηα θάζε , x y λα ηζρύεη
    3 2
2 6 4 10      f x y f x y x xy x .
α. Να βξεζεί ην (0)f ,
β. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .
39) Έζησ ζπλάξηεζε f , ε νπνία δελ είλαη ε
κεδεληθή ζπλάξηεζε, γηα ηελ νπνία ηζρύεη
    2 ( ) ( )   f x y f x y f x f y , γηα θάζε
, x y .
α. Να ππνινγίζεηε ην (0)f .
β. Να απνδείμεηε όηη ( ) ( ) f x f x , γηα θάζε x .
γ. Να απνδείμεηε όηη 2
(2 ) 2 ( ) 1 f x f x .
40) Έζησ ζπλάξηεζε : f , γηα ηελ νπνία
ηζρύεη ( ) ( )  f x f y y x  , γηα θάζε
, x y . Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f , αλ
(0) 1f .
41) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο : f ,
όηαλ ηζρύεη 2 2 4
( ) 10 ( ) 25 f x x f x x , γηα θάζε
x .
42) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
1
( ) log
1



x
f x
x
.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο.
β. Να δεηρζεί όηη ( ) ( )  f x f x , γηα θάζε  fx D .
γ. Να δεηρζεί όηη, γηα θάζε 1 2,  fx x D ηζρύεη
1 2
1 2
1 2
( ) ( )
1
 
   
 
x x
f x f x f
x x
.

7. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 5 -
43) Έζησ ζπλάξηεζε *
: f , γηα ηελ νπνία
ηζρύεη
1
2 ( ) ( ) ( ) 5
5
 xf x xyf x f y , γηα θάζε
*
, x y . Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .
44) Η ζπλάξηεζε : f ηθαλνπνηεί , γηα θάζε
ηηκή ησλ πξαγκαηηθώλ x , y , ηηο ηαπηόηεηεο
  ( ) ( ) 8   f x y f x f y θαη
 ( ) ( ) 5 8 ( ) 8 ( ) 104    f x f y f xy f x f y .
α. Πνηα ζηαζεξή ζπλάξηεζε ηθαλνπνηεί ηηο ηαπηόηεηεο
απηέο;
β. Υπνζέηνπκε όηη ε ζπλάξηεζε f δελ είλαη ζηαζεξή
γηα x .
i. Να ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο (0)f θαη (1)f .
ii. Να βξείηε πνιπσλπκηθή ζπλάξηεζε 1νπ
βαζκνύ ε
νπνία λα ηθαλνπνηεί ηηο δνζκέλεο ηαπηόηεηεο.
§4. γραφική
παράςταςη
ςυνάρτηςησ
45) Να βξείηε ηα θνηλά ζεκεία ηεο fC κε ηνπο
άμνλεο x x θαη y y :
α. 2
( ) 5 6  f x x x β. ( ) 
 x x
f x e e
γ. ( ) 1  f x x x δ. ( ) 1 2 f x x
46) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ θαη ηα ζεκεία
ηνκήο κε ηνπο άμνλεο ηεο ζπλάξηεζεο f κε
ηύπν 21
( )
4 4
 
x
f x  .
47) Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ κε ηνπο άμνλεο x x θαη y y .
α.
2
2
( ) 1 
 x x
f x e β. ( ) 1 2 f x x ,  0 ,x 
γ.  ( ) ln ln 3f x x 
δ.
2
6
( )
2
 


x x
f x
x
ε.
2
2 3
( )
2 1
 


x x
f x
x
ζη. ( ) 3 4  f x x
48) Να βξείηε ηα θνηλά ζεκεία ησλ ζπλαξηήζεσλ
2
( ) 5 8  f x x x θαη ( ) 1 g x x .
49) Να βξείηε ηα θνηλά ζεκεία ησλ γξαθηθώλ
παξαζηάζεσλ ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ:
α. 2
( ) 3 f x x x θαη 3 2
( ) 3 g x x x
β. ( ) ln 2 f x x x x θαη ( ) g x x
γ. 2 5
( ) 3 
 x
f x θαη 2
( ) 3 2
 x
g x
δ.  ( ) ln 1 f x x θαη  ( ) 2ln 2 g x x
50) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x ε γξαθηθή
παξάζηαζε ηεο f βξίζθεηαη θάησ από ηελ
γξαθηθή παξάζηαζε ηεο g , όηαλ:
α. 3
( )  f x x x θαη 2
( ) 3 2 g x x
β. ( ) 10f x x θαη ( ) 5g x ,  0 , 2x 
γ.
1
( )
2



x
f x
x
θαη
3 1
( )
2 2
 

g x
x
δ.
3
( ) ln
1


f x
x
θαη  ( ) ln 5 g x x
ε.
2
2
( ) 5 x
f x θαη 6 8
( ) 5 
 x
g x
ζη. 2
( ) lnf x x θαη ( ) ln 2 g x x
51) Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα ηνπ x ζηα νπνία:
α. ε επζεία 4 6 y x είλαη πάλσ από ηελ γξαθηθή
παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο 3 23
( )
2
 f x x x .
β. ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο
3 2
( ) 7  f x x x βξίζθεηαη πάλσ από ηελ επζεία
7y x .
γ. ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο
2
( ) ln ln 1  f x x x βξίζθεηαη θάησ από ηελ γξαθηθή
παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο ( ) 2ln 3 g x x .
52) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε
2
( ) 3 5 2  f x x x .
α. Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να απνδεηρζεί όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f
ηέκλεηαη από ηελ επζεία 2 1 y a ζε δπν αθξηβώο
ζεκεία γηα θάζε
1
2
a .
53) Γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύεη
  3
2 1 2 (2 )xf x f x x   , γηα θάζε x . Να
απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε
δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.

8. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 6 -
54) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε *
: f ηέηνηα ώζηε
γηα θάζε *
x λα ηζρύεη
21
2 ( ) 3 4
 
    
 
xf x xf x x
x
.
α. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .
β. Να βξείηε ηα ζεκεία ζηα νπνία ε fC ηέκλεη ηνπο
άμνλεο.
γ. Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε fC δελ
βξίζθεηαη πάλσ από ηνλ άμνλα x x .
55) Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο
 2
( ) ln 2  f x x x a κε a δηέξρεηαη από
ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. Να βξείηε:
α. ηνλ αξηζκό a ,
β. ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f ,
γ. ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε fC βξίζθεηαη θάησ από
ηνλ άμνλα x x ,
δ. ηα ζεκεία ηνκήο ηεο fC κε ηελ επζεία 2ln3y .
56) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( )  kx
f x ae . Αλ ε fC
δηέξρεηαη από ηα ζεκεία  0 , 5 θαη  2
1, 5 e ,
λα βξείηε ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο a , k .
57) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε  ( ) ln 2  f x a x x ,
2 x . Αλ ε fC ηέκλεη ηνλ y y ζην ln 4 θαη ηνλ
x x ζην 2e , λα βξείηε ηα , a  .
58) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο
2 3 2
( ) ( ) 4   f x x x   θαη
6 2 4
5 3
2 2
( )
( ) 3
  

  
x x x
g x
x x
 
  
. Να βξεζνύλ νη
πξαγκαηηθνί αξηζκνί  ,  ώζηε νη γξαθηθέο
παξαζηάζεηο ηνπο λα ηέκλνληαη ζε ζεκεία Α, Β
κε ηεηκεκέλεο – 1 θαη 0 αληίζηνηρα.
59) Να απνδείμεηε όηη νη θνξπθέο ηεο παξαβνιήο
2
4 1  y x x βξίζθνληαη πάλσ ζε κηα
παξαβνιή.
60) Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηηο παξαθάησ
ζπλαξηήζεηο:
α. ( )  f x x β. ( ) ln( 2) f x x
γ. ( ) | |f x x δ. 3
( ) 1 f x x
ε.  
2
( ) 2 1  f x x ζη. ( ) 2f x x
61) Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ
ζπλαξηήζεσλ:
α.
2
| 4 |
, 2
2( )
2
, 2
 
  
 

x
x
xf x
x
x
β.
1
, 0
( ) 2
1 , 2

  
 
   
x x
g x
x x
 
  
62) Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ
ζπλαξηήζεσλ:
α.
2 , 2
( ) 4
, 2


 

x x
f x
x
x
β. 3
ln , 1
( )
, 1

 

x x
g x
x x
63) Να βξείηε, κε γξαθηθή κέζνδν , ην πιήζνο ησλ
πξαγκαηηθώλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο ln 0x .
64) Να εμεγήζεηε γξαθηθά αλ ε αλίζσζε ln  x
x e ,
γηα θάζε 0x είλαη αιεζήο.
§5. ιςότητα
ςυναρτήςεων
65) Να εμεηάζεηε αλ είλαη ίζεο νη ζπλαξηήζεηο
3
2
8
( )
2 4


 
x
f x
x x
θαη  
2 2
( ) 3 5 11    g x x x x
66) Να εμεηάζεηε αλ είλαη ίζεο νη ζπλαξηήζεηο
2
( ) 2 f x x x θαη ( ) 3g x x γηα θάζε 0x .
67) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο
3
( ) ln
1



x
f x
x
θαη
   ( ) ln 3 ln 1   g x x x . Δίλαη νη ζπλαξηήζεηο
απηέο ίζεο ; Υπάξρεη ππνζύλνιν ηνπ ζην
νπνίν απηέο λα είλαη ίζεο;

9. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 7 -
68) Να εμεηάζεηε αλ νη παξαθάησ ζπλαξηήζεηο f
, g είλαη ίζεο:
α.
1
( )
| 1|



x
f x
x
θαη
2
2
| 9 |
( )
9



x
g x
x
β.
2
| |
( )
| | 1



x x
f x
x
θαη
3
2
( )
1



x x
g x
x
γ.
1
( )
1


f x
x
θαη
2
( )
2


 
x
g x
x x
δ.
2
9
( ) ln
3



x
f x
x
θαη    2
( ) ln 9 ln 3   g x x x
69) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο
2 2
( ) 14 49 14 49     f x x x x x θαη
( ) 2g x x .
α. Να δείμεηε όηη f g θαη λα βξείηε ην επξύηεξν
ππνζύλνιν ηνπ ζην νπνίν είλαη f g .
β. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά, ζην ίδην ζύζηεκα
αμόλσλ, ηηο f , g .
70) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο
( ) 2 1 2 1     f x x x x x θαη
2 , 1 2
( )
2 1 , 2
 
 
 
x
g x
x x
. Να δείμεηε όηη νη
ζπλαξηήζεηο f , g είλαη ίζεο.
71) Γίλνληαη ζπλαξηήζεηο , : f g γηα ηηο
νπνίεο ηζρύεη  
2
( ) ( ) 4 ( ) ( )f x g x f x g x  , γηα θάζε
x . Να απνδείμεηε όηη νη ζπλαξηήζεηο f θαη g
είλαη ίζεο.
72) Γίλνληαη ζπλαξηήζεηο , : f g γηα ηηο
νπνίεο ηζρύεη
 2 2 2
( ) ( ) 8 4 ( ) ( )   f x g x x x f x g x , γηα θάζε
x . Να απνδείμεηε όηη νη ζπλαξηήζεηο f θαη
g είλαη ίζεο.
73) Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ηηκέο ησλ πξαγκαηηθώλ
αξηζκώλ a ,  γηα ηηο νπνίεο είλαη ίζεο νη
ζπλαξηήζεηο 2
2 5
( )
7 10


 
x
f x
x x
θαη
( )
2 5
 
 
a
g x
x x

.
74) Να πξνζδηνξίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξακέηξνπ
k , ώζηε νη ζπλαξηήζεηο
 2
3 1 1
( )
3
  

 
k x k
f x
x k
θαη
7 4
( )
4 10



x k
g x
x
λα είλαη ίζεο.
75) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο  : 5 , 5 f κε
2
( ) 4 f x a x θαη  : , g   κε
3 2
200 8 16 2000
( )
2 20
  


x x x
g x
x

. Να
πξνζδηνξίζεηε ηηο ηηκέο ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ
a ,  γηα ηηο νπνίεο είλαη f g .
76) Να βξεζνύλ νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί a ,  , 
ώζηε νη ζπλαξηήζεηο
  2
( ) 2 1     f x a x x a   θαη
   2
( ) 3 2 3 2      g x a x x a  λα είλαη ίζεο.
77) Έζησ , : f g ζπλαξηήζεηο ηέηνηεο
ώζηε (0) 0g θαη γηα θάζε , x y ηζρύεη
   
2
2 ( ) 1 ( ) ( ) 3 1 6      f x f y g x g y x y . Να
δείμεηε όηη f g .
78) Έζησ , : f g ζπλαξηήζεηο ηέηνηεο
ώζηε (0) 0g θαη γηα θάζε , x y ηζρύεη
  2
2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 6 3f x f y g x g y x x y        .
α. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε x ηζρύεη
  2
2 ( ) 1 2 7 3    f x f x x x .
β. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .
γ. Να απνδείμεηε όηη f g .
79) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
| | 1 , 2
( )
, 2
 
 

x x
f x
a x
θαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο g ,
όπσο απηή θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα . Να
βξείηε ηνλ a ώζηε λα ηζρύεη f g .
80) Έζησ , : f g ζπλαξηήζεηο ηέηνηεο
ώζηε (0) 0g θαη γηα θάζε , x y ηζρύεη
       2 2
4 4 8 0        f x y f x y g y x g y x .
Να δείμεηε όηη f g .

10. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 8 -
§6. πράξεισ
ςυναρτήςεων
81) Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο f g θαη
f
g
ζηηο
παξαθάησ πεξηπηώζεηο:
α.
2
( )
1



x
f x
x
θαη
2
2
4
( )
1



x
g x
x
β.  ( ) ln 3 f x x θαη ( ) 1 g x x
82) Αλ ( ) 1  f x x x , ( ) 1  g x x x θαη
 ( ) 1 h x x x , λα βξείηε ηελ ζπλάξηεζε
2
f
h
g
.
83) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) ln 3 f x x ,
( ) 2 x
g x e . Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε
( ) 0
 
 
 
f
x
g
.
84) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2
( ) 2 1  f x x x θαη
1 , 0
( )
2 3 , 0
 
 
 
x x
g x
x x
. Να βξείηε ηηο
ζπλαξηήζεηο 2
f g θαη
2 f
g
.
85) Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε f g , ζηηο
παξαθάησ πεξηπηώζεηο:
α.
 
 
, , 5
( )
4 , 5 , 7
  
 

x x
f x
x x
θαη
 
 
2
, 3 , 5
( )
5 , 5 ,
 
 
  
x x
g x
x x
β.
 
 
2 3 , 2 , 5
( )
3 1 , 5 , 7
   
 
 
x x
f x
x x
θαη
 
 
2 3 , 3 , 6
( )
3 1 , 6 , 8
  
 
 
x x
g x
x x
86) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) | 3| 2  f x x θαη
( ) 3 | 2 1|   g x x x . Να γίλεη ε γξαθηθή
παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f g .
87) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο
3 4 , 0
( )
2 , 0
 
 
 
x x
f x
x x
θαη
1 , 3
( )
2 3 , 3
  
 
  
x x
g x
x x
. Να ιπζεί ε εμίζσζε
2 ( ) ( ) 1 f x g x .
88) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο : f κε
4
2 ( ) ( )  f x f x x θαη *
: g κε
2
1
3 ( ) 4 ( )  g x g x
x
.
α. Να βξεζνύλ νη ηύπνη ησλ ζπλαξηήζεσλ f θαη g .
β. Να νξηζηεί ε ζπλάξηεζε f g .
γ. Να γίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f g .
89) Υπνζέηνπκε όηη κηα ζπλάξηεζε f έρεη πεδίν
νξηζκνύ  0 , 5fD θαη κηα άιιε ζπλάξηεζε g
έρεη πεδίν νξηζκνύ  1, 4 gD . Δπηπιένλ ε g
έρεη ξίδα ηνλ αξηζκό 2. Να βξείηε ην πεδίν
νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο    
f
h f g g
g
.
90) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g , νη
νπνίεο είλαη πεξηηηέο. Να απνδείμεηε όηη:
α. ε f g είλαη άξηηα,
β. ε f g είλαη πεξηηηή.
91) Αλ νη ζπλαξηήζεηο f , g έρνπλ πεδίν νξηζκνύ
ην θαη γηα θάζε x ηζρύεη
     ( ) ( ) 2 2 ( ) 1            f g x f g x f g x , λα
δείμεηε όηη f g .

11. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 9 -
§7. σύνθεση
συναρτήσεων
92) Αλ ( ) 3 f x x θαη ( ) | |g x x , λα βξεζεί ε
ηηκή  (5)g f .
93) Να βξεζνύλ νη ζπλαξηήζεηο g f θαη f g
ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο:
α. 2
( ) 9 f x x , ( ) 2 1 g x x
β. ( ) logf x x , 2
( ) 1 g x x
94) Αλ ( ) f x x θαη  ( ) ln 1 g x x , λα βξείηε :
α. ηε g f θαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο g f ,
β. ηε f g θαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f g .
95) Αλ 2
( ) 1 f x x θαη ( ) ln2g x x , λα βξείηε :
α. ηε g f θαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο g f
β. ηε f g θαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f g .
96) Αλ ( ) 1 f x x θαη  ( ) ln 1 g x x , λα
βξείηε:
α. ηε g f θαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο g f
β. ηε f g θαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f g .
97) Αλ ( ) f x x θαη 2
( ) 3 2  g x x x , λα βξείηε:
α. ηε g f θαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο g f
β. ηε f g θαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f g .
98) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο
3 , 0 3
( )
4 , 3 6
x x
f x
x x
  
 
  
θαη
2 , 1 4
g( )
5 , 4 8
x x
x
x x
  
 
  
.
Να νξίζεηε ηελ ζπλάξηεζε f g .
99) Να βξεζεί ε g f ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο:
α. 2
( ) f x x ,
1 , 4
( )
2 1 , 4
 
 
 
x x
g x
x x
β.
1 , 0
( )
1 , 0
 
 
  
x x
f x
x x
,
2 , 2
( )
2 , 2
 
 
  
x x
g x
x x
100) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
( )
1


x
f x
x
. Να
βξεζεί ε ζπλάξηεζε f f .
101) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
2
6
( )
4
x x
f x
x
 


.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f θαη λα
απινπνηήζεηε ηνλ ηύπν ηεο.
β. Να νξίζεηε ηελ ζπλάξηεζε f f .
102) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( )



ax
f x
x a

κε
2
 a θαη ( ) 4 4  g x x x . Να δείμεηε όηη:
α.  ( ) f f x x , γηα θάζε    x a
β.  ( ) g g x x , γηα θάζε  0 , 4x
103) Αλ ( )
1 | |


x
f x
x
θαη ( )
1 | |


x
g x
x
, ηόηε λα
απνδείμεηε όηη γηα θάζε x ηζρύεη  ( ) g f x x .
104) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) 2 1 f x x θαη
 2
( ) ln 9 g x x . Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε
 ( ) 0g f x .
105) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g κε
 (2) 2g f θαη   2
( ) 3 4  f g x x x , γηα θάζε
x . Να δείμεηε όηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ
ζπλαξηήζεσλ f θαη g έρνπλ έλα ηνπιάρηζηνλ
θνηλό ζεκείν.
106) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) 4f x x   θαη
( ) 4 2 4g x x     κε   . Αλ νη ζπλαξηήζεηο
f f θαη g g είλαη ίζεο, λα βξείηε ηνλ αξηζκό  .
107) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε  2
( ) ln 1  f x x x .
Να δεηρζεί όηη:
α. Η f έρεη πεδίν νξηζκνύ ην .
β. Αλ ( )  g x x , ηόηε  f g f .

12. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 10 -
108) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
3
( )
2



ax
f x
x
. Να βξεζεί
ν a ώζηε γηα θάζε  2 x λα ηζρύεη
 ( ) f f x x .
109) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) 2 3 f x x ,
2
( )   g x ax x  θαη 2
( ) 4 2  h x x x  . Να
πξνζδηνξίζεηε ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο a ,  ,
 γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη g f h .
110) Δίλεηαη ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ  0 ,1
Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ ζπλαξηήζεσλ:
α.  2
f x β.  4f x γ.  lnf x δ.  1x
f e
111) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2
( ) 4 f x x x ,
2
( ) 1 g x x θαη ( ) 2 h x x . Να νξίζεηε ηελ
ζπλάξηεζε f g h .
112) Δίλεηαη ζπλάξηεζε  : 16 , 5 f θαη νη
ζπλαξηήζεηο ( ) 3 4 g x x θαη 2
( ) 9 h x x . Να
βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο
   ( ) ( ) ( ) x f g x f h x .
113) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( )  x
f x e , 2
( ) g x x
θαη ( ) h x x . Να γξάςεηε θαζεκία από ηηο
παξαθάησ ζπλαξηήζεηο σο ζύλζεζε ησλ f , g θαη
h :
α.
2
( )  x
x e
 β. 2
( )  x
x e 
γ.
4
( )  x
x e
 δ. 4 2
( )  x
x e 
114) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2
( ) 4  f x x ax θαη
( ) 1 g x x .
α. Να βξεζεί ν a ώζηε ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο
f g λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν  , a a .
β. Να βξεζεί ν a ώζηε ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο
f g λα βξίζθεηαη πάλσ από ηνλ άμνλα x x , γηα θάζε
x .
115) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : *f  θαη ε
ζπλάξηεζε
1
( ) ln
1
x
g x
x



.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f g .
β. Αλ επηπιένλ ηζρύεη  ( ) 1x f g x   , λα βξείηε ηε
ζπλάξηεζε f .
γ. Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f
είλαη ζπκκεηξηθή σο πξνο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.
116) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο
2
2
1
( )
2



x
f x
x
θαη
( ) 3 g x x a . Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ
πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ a γηα ηηο νπνίεο δελ νξίδεηαη
ε ζύλζεζε g f .
117) Θεσξνύκε ζπλάξηεζε : f ηέηνηα
ώζηε λα ηζρύεη   2
( ) 3 4  f f f x x x , γηα θάζε
x . Να δείμεηε όηη (2) 2f .
118) Αλ   2
( )  f f x x x , γηα θάζε x , λα
βξείηε ην (0)f .
119) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύνπλ  ( ) 4 9 f f x x θαη
 ( ) 8 f f f x x a γηα θάζε x , όπνπ a
πξαγκαηηθόο αξηζκόο.
α. Να απνδείμεηε όηη  4 9 4 ( ) 9  f x f x γηα θάζε
x .
β. Να δείμεηε όηη (3) 3f .
γ. Να βξείηε ηνλ αξηζκό a .
δ. Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε f .
120) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο g ζηηο παξαθάησ
πεξηπηώζεηο:
α. ( ) 3 2 f x x ,   2
( ) 4 2 g f x x x , x
β. ( ) 2 7 f x x ,   2
( ) 1  g f x x x , x
121) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g κε
( ) 2 1 f x x θαη   2
( ) 4 4g f x x  . Να νξίζεηε
ηελ ζπλάξηεζε g .
122) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο f θαη g γηα ηηο
νπνίεο ηζρύνπλ  ( ) 2 1f g x x  θαη
3 2
( )
1
x
g x
x



.
Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο ζπλάξηεζεο f .
123) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 2 x
f x e θαη ε
ζπλάξηεζε  : 2 ,  g .
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο g f .
β. Αλ επηπιένλ ηζρύεη   3
( ) 
  x
g f x x e , λα βξείηε
ηελ ζπλάξηεζε g .

13. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 11 -
124) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g κε
( ) 3 2 g x x θαη   2
( ) 3 6 10  g f x x x . Να
βξείηε:
α. ηελ ζπλάξηεζε f ,
β. ηα x γηα ηα νπνία ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f
βξίζθεηαη πάλσ από ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο g .
125) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g κε
( ) 2 3 g x x θαη    ( ) 2 1 15  x x
g f x e e . Να
βξείηε:
α. ηελ ζπλάξηεζε f ,
β. ηα ζεκεία ηνκήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f
κε ηνπο άμνλεο.
126) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο g εάλ ( ) 5 3 f x x
θαη  
2 1 , 2
( )
4 , 2
 
 
 
x x
g f x
x x
.
127) Αλ νη ζπλαξηήζεηο f θαη g είλαη άξηηεο θαη ε
ζπλάξηεζε g f νξίδεηαη ζην , λα απνδείμεηε όηη
ε g f είλαη άξηηα.
§8. μονοτονία
συνάρτησης
128) Να βξεζεί ε κνλνηνλία ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ:
α. 5 3
( ) 3 2 5 7   f x x x x β. ( ) 4 1  g x x
γ. 3
( ) 2 2 ln  h x x x δ. 3 2
( ) 2 8 
   x
x x e
129) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
( ) 2 3ln f x x x είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην
δηάζηεκα  0 ,  .
130) Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηηο
παξαθάησ ζπλαξηήζεηο:
α. ( ) 1 | |  f x x x β. ( ) 1 | |  g x x x
γ.
5
2 , 0
( )
1 , 0
  
 
 
x x
h x
x x
δ.
 
2
, 1
( )
3 ln 1 , 1
   
 
   
x
e x x
x
x x

131) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
2 2
( ) 4 4 10 25     f x x x x x είλαη ζηαζεξή
ζην  2 , 5 .
132) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε θαη
γλεζίσο αύμνπζα ζην Δ, ηόηε λα απνδείμεηε όηη ε
ζπλάξηεζε  f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην Δ.
133) Έζησ f , g δπν ζπλαξηήζεηο κε θνηλό πεδίν
νξηζκνύ ην δηάζηεκα Δ, νη νπνίεο παίξλνπλ ζεηηθέο
ηηκέο γηα θάζε x θαη νη νπνίεο είλαη γλεζίσο
αύμνπζεο ζην Δ. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
1 1

f g
είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην Δ.
134) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε θαη
γλεζίσο αύμνπζα ζην Δ θαη ( ) 0f x , γηα θάζε
x ηόηε λα απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
1
f
είλαη
γλεζίσο θζίλνπζα ζην Δ.
135) Έζησ ζπλάξηεζε f νξηζκέλε θαη γλεζίσο
κνλόηνλε ζην Δ. Αλ γηα θάζε x ηζρύεη ( ) 0f x ,
λα απνδείμεηε όηη θαη ε ζπλάξηεζε ( ) ( )g x f x
είλαη γλεζίσο κνλόηνλε ζην Δ κε ην ίδην είδνο
κνλνηνλίαο.
136) Έζησ νη ζπλαξηήζεηο f θαη g νξηζκέλεο ζε
έλα δηάζηεκα Δ θαη γηα θάζε x ηζρύεη ( ) 0f x
θαη ( ) 0g x . Να απνδείμεηε όηη:
α. αλ νη f , g είλαη γλεζίσο αύμνπζεο ζην Δ, ηόηε ε
ζπλάξηεζε f g είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην Δ.
β. αλ νη f , g είλαη γλεζίσο θζίλνπζεο ζην Δ, ηόηε ε
ζπλάξηεζε f g είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην Δ.
137) Έζησ νη ζπλαξηήζεηο f θαη g κε Δ πεδίν
νξηζκνύ ηεο g f . Να απνδείμεηε όηη ε g f
είλαη:
α. γλεζίσο αύμνπζα ζην Δ, όηαλ νη f θαη g έρνπλ ην
ίδην είδνο κνλνηνλίαο ζην Δ,
β. γλεζίσο θζίλνπζα ζην Δ, όηαλ νη f θαη g έρνπλ
δηαθνξεηηθό είδνο κνλνηνλίαο ζην Δ.

14. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 12 -
138) Μηα ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο
κνλόηνλε ζην θαη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε
δηέξρεηαη από ηα ζεκεία  1, 3 θαη  7 ,11 . Να
απνδείμεηε όηη:
α. (0) (3) 14 f f .
β. Γηα θάζε  6 , 7a ηζρύεη    1 3 22   f a f a .
139) Δίλεηαη γλεζίσο κνλόηνλε ζπλάξηεζε
: f , ηεο νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε
δηέξρεηαη από ηα ζεκεία  1, 5 θαη  2 , 7  .
α. Να βξείηε ην είδνο ηεο κνλνηνλίαο ηεο f .
β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε   | | 4 6 5 0   f f x .
140) Έζησ ζπλάξηεζε : f γλεζίσο
θζίλνπζα.
α. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε ( ) ( ) g x f x x είλαη
γλεζίσο θζίλνπζα.
β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε
2
4 5 20 2
9 20x x x
a a x x 
    ,
0 1 a .
141) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
  3
( ) 1 ln 1     x
f x x x e .
α. Να κειεηεζεί ε κνλνηνλία ηεο ζπλάξηεζεο f .
β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε   3
ln 1 1   x
x x e .
142) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
6 8
( ) 1
10 10
   
     
   
x x
f x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα.
β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε 6 8 10 x x x
.
γ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε
2 2 1 2 1 2
6 8 6 8
10 10 10 10
   
       
         
       
x x x x
.
143) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2
( ) ln f x x x .
α. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε f σο πξνο ηελ
κνλνηνλία.
β. Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x ε fC βξίζθεηαη
θάησ από ηελ επζεία 1y .
γ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε
   
2 2 4 4
2 1 4 4 ln
2 1
x
x x
x

   

.
144) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 2 x
f x x .
α. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε f σο πξνο ηελ
κνλνηνλία.
β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε
2
3 2 6 2
2 2 5 6 
   x x x
x x .
145) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 1  x
f x a x ,
0 1 a .
α. Να κειεηήζεηε ηελ κνλνηνλία ηεο ζπλάξηεζεο.
β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε
2
2
1 0  x
a x , 0 1 a .
γ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε
2
1 7 2
6 
   x x
a a x x ,
0 1 a .
146) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
1
( ) ln 1f x x
x
   .
Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:
α.
1
ln 1x
x
  .
β.
2 1 3
ln
2 2 1
a a
a a
  

 
.
γ.
  
2 1 3
ln
2 2 1 2
a a
a a a
  

  
.
147) Δίλεηαη γλεζίσο θζίλνπζα ζπλάξηεζε
: f , ηεο νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε
δηέξρεηαη από ην ζεκείν  2 , 2 . Θεσξνύκε
επίζεο θαη ηελ ζπλάξηεζε
 ( ) 3 ( ) ( ) g x f x f f x .
α. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε g σο πξνο ηελ
κνλνηνλία.
β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε
     3 | | 1 | | 1  f x f f x .
148) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g , γηα
ηηο νπνίεο ηζρύεη    ( ) 2 5 4   g x f x f x , γηα
θάζε x θαη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο
θζίλνπζα.
α. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε g σο πξνο ηελ
κνλνηνλία.
β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε  2 0 x
g e .
149) Η ζπλάξηεζε : f είλαη γλεζίσο
κνλόηνλε θαη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε
δηέξρεηαη από ηα ζεκεία  0 , 2 θαη  2 , 0 .Να
ιύζεηε ηελ αλίζσζε
       2 3 1 5 3 6      f x f x f x f x .
150) Δίλεηαη ζπλάξηεζε  : 0 ,f   γηα ηελ
νπνία ηζρύεη ( )
ln ( )f x
e f x x
  γηα θάζε x .
Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο
θζίλνπζα.

15. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 13 -
151) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 3
( ) ( )f x f x x  γηα θάζε x .
α. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο
αύμνπζα.
β. Να βξείηε ην (0)f .
γ. Να βξείηε ην πξόζεκν ηεο ζπλάξηεζεο
3
( ) ( )g x xf x .
152) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
   
2009 2011
( ) 2010 1 1 2009   f x x x .
α. Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία.
β. Να βξείηε ην (0)f .
γ. Να βξείηε ην πξόζεκν ηεο f .
153) Η ζπλάξηεζε : f είλαη γλεζίσο
αύμνπζα κε (1) 0f .
α. Να βξείηε ην πξόζεκν ηεο f .
β. Να ιύζεηε ηηο αληζώζεηο  2
5 0 f  θαη
   2
5 7 5  f f  .
γ. Να δείμεηε όηη: αλ , a  κε 0
2
  a

 , ηόηε
   f a f  .
δ. Να βξείηε ην πξόζεκν ηεο ζπλάξηεζεο
( )
( )
1


f x
g x
x
.
154) α. Δίλνληαη ζπλαξηήζεηο , : f g
ηέηνηεο, ώζηε ε g λα είλαη γλεζίσο θζίλνπζα
θαη ε g f λα είλαη γλεζίσο αύμνπζα. Να
απνδείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα.
β. Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f ηέηνηα,
ώζηε ε ζπλάξηεζε ( ) 3
( ) ( ) 2
  f x
h x e f x , λα
είλαη γλεζίσο αύμνπζα.
i. Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία.
ii. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε
   2
4
1 1
0
2 2
 
   
    
   
f x x f x
.
155) Να ιπζεί ε αλίζσζε 3 2
9 x
x e 
  .
156) Δίλεηαη ζπλάξηεζε    : 0 , 0 ,f   
γηα ηελ νπνία ηζρύεη
( ) 3 2
( ) 2 ( ) ln 1f x
e f x f x x x x      , γηα θάζε
0x  . Να κειεηεζεί ε ζπλάξηεζε f σο πξνο ηελ
κνλνηνλία.
157) Υπνζέηνπκε όηη κηα ζπλάξηεζε f είλαη
γλεζίσο αύμνπζα ζην θαη γηα θάζε , x y
ηζρύεη ( ) ( ) ( ) f x f y f xy . Να ιπζεί ε αλίζσζε
       2 5 4 2 4 1      f x f x f x f x .
158) α. Αλ ε ζπλάξηεζε : ( )    f f είλαη
γλεζίσο αύμνπζα , λα απνδείμεηε όηη γηα
θάζε  x ηζρύεη ε ηζνδπλακία
 ( ) ( )  f f x x f x x .
β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε
   
55 5
1 1 1      x x x x x .
§9. ακρότατα
συνάρτησης
159) Να βξεζνύλ ηα αθξόηαηα ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ:
α. ( ) 3| 2| 5   f x x β. 2
( ) 4 1  f x x x
γ. 2 1
( )
2
  f x x x
160) Να βξεζνύλ, αλ ππάξρνπλ, ηα αθξόηαηα ηεο
ζπλάξηεζεο
3 2 , 3
( )
14 , 3
 
 
  
x x
f x
x x
.
161) Δίλεηαη ε πεξηηηή ζπλάξηεζε : f , ηεο
νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε δηέξρεηαη από ην
ζεκείν  5 ,1 . Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
2
( ) ( ) 2 ( ) 4  g x f x f x έρεη ειάρηζην, ην νπνίν θαη
λα βξείηε.
162) Δίλεηαη ε πεξηηηή ζπλάξηεζε : f , ηεο
νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε δηέξρεηαη από ην
ζεκείν  3, 1  . Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
2
2 ( )
( )
1 ( )


f x
g x
f x
έρεη ειάρηζην ην 1 m θαη κέγηζην
ην 1  .

16. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 14 -
163) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
2
2
1
( )
1
 

 
x x
f x
x x
, έρεη ειάρηζην
1
3
m θαη κέγηζην
3  .
§10. 1-1 συνάρτηση
164) Να εμεηαζηνύλ εάλ είλαη 1 – 1 νη παξαθάησ
ζπλαξηήζεηο:
α.
2
( )
1 2


x
x
f x
β. ( ) 3 1  f x x
γ. ( )





x x
x x
e e
f x
e e
δ.
1
( )
1



x
f x
x
165) Να απνδείμεηε όηη είλαη 1 – 1 ε ζπλάξηεζε
1 2
( )
1



x
x
e
f x
e
.
166) Να απνδείμεηε όηη είλαη 1 – 1 ε ζπλάξηεζε
2
( ) f x x x , 0 ,
2
 
 
 
x

.
167) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3 2
( ) 3 4  f x x x .
α. Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο γξαθηθήο
παξάζηαζεο ηεο f κε ηνλ άμνλα x x .
β. Να εμεηάζεηε αλ ε f είλαη 1 – 1.
168) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη      2 3 3 ( ) 1    x f x x f x , γηα θάζε
x .
α. Να βξείηε ηηο ηηκέο (0)f θαη (2)f .
β. Να εμεηάζεηε αλ ε f είλαη 1 – 1.
169) Να απνδείμεηε όηη δελ είλαη 1 – 1 ε
ζπλάξηεζε
2
2
1
( )
1



x
f x
x
, x .
170) Να εμεηαζηνύλ εάλ είλαη 1 – 1 νη παξαθάησ
ζπλαξηήζεηο:
α.
 
 
3 2 , 2 , 3
( )
4 , 4 , 7
   
 
 
x x
f x
x x
β.
3 , 0
( )
2 1 , 0
 
 
  
x x
f x
x x
171) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη  ( )  f f x x , γηα θάζε x . Να
απνδείμεηε όηη:
α. ε f είλαη πεξηηηή,
β. ε f είλαη 1 – 1.
172) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη   3
( ) ( ) 3 2  f f x f x x , γηα θάζε x .
Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.
173) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε  : 0 ,  f κε ηελ
ηδηόηεηα  5
( ) 3 ( ) ln 2 1  f x f x x , γηα θάζε 0x .
Να απνδείμεηε όηη θαη ε f είλαη 1 – 1 ζην  0 ,   .
174) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g κε
  2
( ) 5 9  f f x x x θαη 2
( ) ( ) 3  g x x xf x , γηα
θάζε x . Να απνδείμεηε όηη:
α. (3) 3f .
β. Η g δελ είλαη 1 – 1.
175) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f , γηα ηελ
νπνία ηζρύεη   2
( ) 3 4  f f x x x , γηα θάζε x
Να απνδείμεηε όηη:
α. (2) 2f .
β. Η ζπλάξηεζε 2
( ) ( ) 4  g x x xf x δελ είλαη 1 – 1.
176) Να ιπζνύλ νη παξαθάησ εμηζώζεηο:
α. 7
1 x
e x β.  ln 1 2  x x
177) Να απνδείμεηε ε ζπλάξηεζε ( )  x
f x a x ,
0 1 a είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην . Σηε
ζπλέρεηα λα ιύζεηε σο πξνο  ηελ εμίζσζε
   
2
4 2 2
4 2 
    a a 
  .
178) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3
( )  f x x x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.
β. Να ιπζεί ε εμίζσζε    
3 3
1 1    x x
e x e x .

17. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 15 -
179) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) ln f x x x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.
β. Να ιπζεί ε εμίζσζε 2
2
1
ln
1

 

x
x x
x
.
180) Η ζπλάξηεζε : f ηθαλνπνηεί ηελ
ζρέζε   3
( ) ( ) 2 3  f f x f x x , γηα θάζε x .
α. Να δείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.
β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε    3
2 4  f x x f x .
181) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f , ηέηνηα ώζηε
γηα θάζε x , λα ηζρύεη 3 3
( ) ( ) 27 8  f x f x x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.
β. Να ιπζεί ε εμίζσζε ( ) 0f x .
γ. Να ιπζεί ε εμίζσζε    2
ln 2ln 3f x f x  .
182) Δίλεηαη ζπλάξηεζε *
: f , γηα ηελ νπνία
ηζρύεη    ( ) 2 ( ) f f x x f x , γηα θάζε x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.
β. Να βξείηε ηελ ηηκή (3)f .
γ. Να ιπζεί ε εμίζσζε
    1 | | 1 2 0     f x f x f x .
183) Γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύνπλ
 ( ) 9 4 f f x x θαη  ( ) 27 13   f f f x x , γηα
θάζε x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.
β. Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε f .
γ. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα.
184) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε
       
7 75 5
ln 4 1 ln 3 5 2 3 5 2 4 1
4 1 3 5
        
 
x x x x
x x
185) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3
( ) 8  x
f x x , x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.
β. Να ιπζεί ε εμίζσζε    2
3 3
1 8 1 8 
  x x x
x x .
γ. Να ιπζεί ε αλίζσζε 3 3
8 27 9 0  x
x .
186) Αλ ε ζύλζεζε f g είλαη 1 – 1 ζην ζύλνιν
Α, λα απνδείμεηε όηη θαη ε g είλαη 1 – 1 ζην Α.
187) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g γηα ηηο
νπνίεο ηζρύεη   3
( ) 3 ( ) 2  g f x x f x , γηα θάζε
x . Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.
188) Να απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη ζπλάξηεζε
: f ε νπνία είλαη 1 – 1 θαη ηθαλνπνηεί ηελ
ζρέζε    4 2 2
2 1 f x f x .
189) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:
α.    
5 31 1 1
3 3 0  
       x x x
e x e x e x .
β.    
2 23 32 2 2
2 1 2 2 3 4 2 2
          x x x x
x x x x .
190) Αλ ε ζπλάξηεζε : f είλαη γλεζίσο
κνλόηνλε θαη ηζρύεη    ( ) 2   f x f y f x y , γηα
θάζε , x y , λα δείμεηε όηη ( ) 2 f x x .
191) Έζησ    : 0 , 0 ,  f ζπλάξηεζε
ηέηνηα ώζηε  ( ) ( )f f x xf x . Να δείμεηε όηη:
α. ε f είλαη 1 – 1,
β. (1) 1f ,
γ. Αλ     0 , 0 ,    f , ηόηε
( ) 
 
 
f x
f x
x
, γηα
θάζε  0 , x .
192) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε * *
: f ηέηνηα
ώζηε γηα θάζε , x y λα ηζρύεη ( ) ( ) ( )f xy f x f y .
Αλ ε εμίζσζε ( ) 1f x έρεη κνλαδηθή ξίδα, λα
απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη 1 – 1.
§11. αντίστροφη
συνάρτηση
193) Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε
3 4
7 5
( )
2



x
e
f x έρεη αληίζηξνθε θαη λα ηελ βξείηε.

18. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 16 -
194) Να βξεζεί, αλ ππάξρεη, ε αληίζηξνθε ησλ
παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ:
α. ( ) 3 2  f x x β.
3 1
( )
1



x
g x
x
γ. ( ) 8 3 h x x δ.  ( ) 5 ln 2x x   
ε.
2 , 3
( )
2 5 , 3
 
 
 
x x
f x
x x
ζη.
ln 2 , 0 1
( )
1 , 1
x x
g x
x x
  
 
 
195) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
3
2 1
( )
5


x
f x .
α. Να κειεηεζεί σο πξνο ηελ κνλνηνλία.
β. Να δείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα βξείηε ηελ
1
f .
196) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε  : 2 ,  f κε
2
( ) 4 5  f x x x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.
β. Να βξείηε ηελ 1
f .
197) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε  : , 4 f κε
2
( ) 8 10  f x x x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.
β. Να βξείηε ηελ 1
f .
198) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
3
3
1
( ) ln
8



x
f x
x
.
α. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη ε 1
f .
β. Να βξείηε ηελ 1
f .
γ. Να βξείηε ηα ζύλνια ηηκώλ ησλ ζπλαξηήζεσλ f
θαη 1
f .
199) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3
( ) 2 1
 x
f x e .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.
β. Να βξείηε ηελ 1
f .
γ. Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο γξαθηθήο
παξάζηαζεο ηεο 1
f κε ηνπο άμνλεο.
200) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
1
( )
1



x
f x
x
. Να
εμεηάζεηε αλ ηζρύεη 1
f f .
201) Να βξεζνύλ ηα θνηλά ζεκεία ηεο γξαθηθήο
παξάζηαζεο ηεο ( ) 2 1 f x x θαη ηεο 1
f .
202) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) 1 f x x ,
 1, x θαη 2
( ) g x x ,  , 0 x . Να
απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g f είλαη γλεζίσο
αύμνπζα θαη λα ιπζεί ε εμίζσζε  
1
( )

g f x x .
203) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) 1 x
f x e θαη
1
( )
1



x
x
e
g x
e
.
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη «1 – 1» θαη λα βξείηε
ηελ 1
f .
β. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη πεξηηηή.
γ. Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε 1
g f .
204) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε  ( ) 2  f x a x  ,
, a  . Να βξεζνύλ ηα a ,  ώζηε ε f λα
αληηζηξέθεηαη θαη λα ηζρύεη 1
f f .
205) Δίλεηαη ζπλάξηεζε  : 0,f   γηα ηελ
νπνία ηζρύεη ln ( ) 1
x
f x f x
e
 
   
 
γηα θάζε
 0,x 
α. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f .
β. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1 θαη λα νξίζεηε
ηελ 1
f 
.
206) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f , ηέηνηα
ώζηε γηα θάζε x , ηζρύεη 3
( ) 6 ( ) 3 0  f x f x x .
Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα
βξεζεί ε 1
f .
207) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f , ε νπνία έρεη
ζύλνιν ηηκώλ ην θαη ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε
3
( ) 2 ( ) 0  f x f x x , γηα θάζε x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f
δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.
β. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη αληηζηξέςηκε.
γ. Να νξίζεηε ηελ 1
f .
208) Δίλεηαη ζπλάξηεζε *
: f γηα ηελ
νπνία ηζρύεη 3
( ) ( ) 1 0  f x xf x , γηα θάζε *
x .
α. Να απνδείμεηε όηη ( ) 0f x , γηα θάζε *
x .
β. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.
γ. Να βξείηε ηελ αληίζηξνθε ηεο f .
209) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g κε
( ) f θαη  ( ) f f g f x x γηα θάζε x .
Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη όηη ηζρύεη
1
( ) ( ) ( )
 f x f x g x , γηα θάζε x .

19. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 17 -
210)Οη ζπλαξηήζεηο , : f g έρνπλ ηελ
ηδηόηεηα   3
( ) 3 ( ) 3  g f x x f x , γηα θάζε x
Να δείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη.
211)Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο ( ) 4 2 f x x θαη
1
( ) 2 ( ) 1
 g x f x . Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε 1
g .
212)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη (2) 10f θαη  ( ) 3 5 f f x x , γηα θάζε
x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη αληηζηξέςηκε.
β. Να ππνινγίζεηε ην 1
(2)
f .
γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε   1
| | 2 5 2
  f f x .
213)Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3
( ) 2 10  f x x x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη αληηζηξέςηκε.
β. Να βξεζεί ε ηηκή 1
( 10)
f .
γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε 1
( ) ( )
f x f x .
δ. Να ιπζεί ε αλίζσζε 1 3 1
2
1
  
 
 
x
f
x
.
214)Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 5
( ) 1  f x x x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη αληηζηξέςηκε.
β. Να ππνινγίζεηε ην 1
(1)
f .
γ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε    1 2 1
2 3 5 
 f x f x .
215)Η ζπλάξηεζε : f είλαη γλεζίσο
κνλόηνλε θαη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε δηέξρεηαη
από ηα ζεκεία  1, 5 θαη  3 , 8 .
α. Να ιπζεί ε εμίζσζε  1 2
3 3 3 3
     f f x x .
β. Να ιπζεί ε αλίζσζε 1 2 10
2 8
1
   
     
x
f f
x
.
216)Η ζπλάξηεζε : f είλαη γλεζίσο
κνλόηνλε θαη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε δηέξρεηαη
από ηα ζεκεία  3, 2 θαη  5 , 9 .
α. Να ιπζεί ε εμίζσζε  1 2
2 9
    f f x x .
β. Να ιπζεί ε αλίζσζε  1 2
8 2 2
    f f x x .
217)Δίλεηαη ζπλάξηεζε f γηα ηελ νπνία ηζρύεη
 ( ) 3 2 f f x x , γηα θάζε x .
α. Να δείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη.
β. Να δείμεηε όηη  3 2 3 ( ) 2  f x f x .
γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε ( ) f x x .
218)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 5 3
2 ( ) ( )    f x f x x x x , γηα θάζε x .
α. Να δείμεηε όηη ε f είλαη πεξηηηή.
β. Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηελ κνλνηνλία.
219)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 3
( ) 2 ( ) 4 0  f x f x x , γηα θάζε x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 - 1.
β. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο 1
f .
γ. Να ππνινγίζεηε ην (0)f θαη ην
3
4
 
 
 
f .
δ. Να ιπζεί ε εμίζσζε 1
( ) ( )
f x f x .
220)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f κε ζύλνιν
ηηκώλ ην γηα ηελ νπνία ηζρύεη
3
( ) 2 ( ) 0  f x f x x .
α. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη 1 – 1.
β. Να νξίζεηε ηελ ζπλάξηεζε 1
f .
γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε ( 9 15) 1f x x    .
221)Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε f ε νπνία είλαη
γλεζίσο θζίλνπζα ζην θαη ζπλάξηεζε g γηα
ηελ νπνία ηζρύεη ( ) ( ) g x f x x , γηα θάζε x .
α. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη γλεζίσο
θζίλνπζα ζην .
β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε
       2 2
2 2 2 2      f x x x f x x x .
γ. Αλ ( ) 2 2f x x   , γηα θάζε  0 , x λα
εμεηάζεηε αλ νξίδεηαη ε 1
g . Σηελ πεξίπησζε πνπ
νξίδεηαη, λα βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ θαη ηνλ ηύπν ηεο.
222)Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g γηα
ηηο νπνίεο ε g f θαη ε g είλαη 1 - 1 ζην θαη
επηπιένλ  ( ) 3 2f f x x  , γηα θάζε x .
α. Να δείμεηε όηη θαη ε f είλαη 1 - 1.
β. Να δείμεηε όηη (1) 1f .
γ. Αλ επηπιένλ ηζρύεη    3
1 1  x
g f e x , γηα θάζε
x κε 1
(1) 5
g , λα ππνινγίζεηε ηελ ηηκή 1
(5)
f .

20. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 18 -
223)Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g θαη ε
ζπλάξηεζε g f ε νπνία είλαη 1 - 1.
α. Να δείμεηε όηη θαη ε f είλαη 1 - 1.
β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε    2 2
2 1 3 1   f x f x x .
γ. Αλ ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα λα ιύζεηε ηελ
αλίζσζε    1 2 1
1 1 
  f x f x .
224)Θεσξνύκε f , g ζπλαξηήζεηο ηέηνηεο ώζηε
γηα θάζε x λα ηζρύεη  ( ) 3 2 2 ( )  f x f x g x .
α. Απνδείμηε όηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ f , g
έρνπλ έλα ηνπιάρηζηνλ θνηλό ζεκείν.
β. Αλ γηα θάζε x ηζρύεη   2
( ) 2 1   f x f x x x
λα βξεζνύλ νη ηύπνη ησλ f , g θαη ην θνηλό ζεκείν
ησλ fC , gC .
γ. Να εμεηάζεηε αλ νξίδνληαη νη ζπλαξηήζεηο 1
f θαη
1
g .
§12. πεπεραςμένο
όριο ςτο χο
225)Να γίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ησλ
παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ θαη ζηε ζπλέρεηα λα βξείηε
ηα δεηνύκε όξηα:
α.
1
( ) f x
x
,
0
( )lim
x
f x
β. 3
( ) f x x ,
0
( )limx
f x
γ.
2
1
( )
1



x
f x
x
,
1
( )limx
f x
δ. ( ) | | 1 f x x ,
0
( )limx
f x
ε.
| 1|
( )
1



x
f x
x
,
1
( )limx
f x
ζη.
2 1 , 2
( ) 6
, 2
 

 

x x
f x
x
x
,
2
( )limx
f x
226)Με βάζε ην παξαθάησ ζρήκα, λα
ππνινγηζηεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο
0 3 3
( ) ( ) ( )lim lim lim   
   
x x x
f x f x f x .
227)Σην παξαθάησ ζρήκα δίλεηαη ε γξαθηθή
παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο f . Να βξείηε ηα
παξαθάησ όξηα:
α.
0
( )lim
x
f x ,
0
( )lim
x
f x ,
0
( )limx
f x
β.
2
( )lim
x
f x ,
2
( )lim
x
f x ,
2
( )limx
f x
γ. (2)f
228)Σην παξαθάησ ζρήκα δίλεηαη ε γξαθηθή
παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο f . Να βξείηε ηα
παξαθάησ όξηα:
α.
0
( )lim
x
f x ,
0
( )lim
x
f x ,
0
( )limx
f x
β.
2
( )lim
x
f x ,
2
( )lim
x
f x ,
2
( )limx
f x
γ. (2)f

21. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 19 -
229)Δίλεηαη ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζην
   0 0, ,a x x  γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ
0
3
( ) 4lim

 
x x
f x  θαη  
0
( ) 3 4lim

 
x x
f x   , όπνπ
 . Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ  , ώζηε λα
ππάξρεη ην
0
( )limx x
f x .
230)Δίλεηαη ζπλάξηεζε f γηα ηελ νπνία ην
πεδίν νξηζκνύ ηεο πεξηέρεη έλα ζύλνιν ηεο
κνξθήο    0 0, ,a x x  . Αλ
2
0
( )lim


x x
f x e
θαη
0
2
( )lim



x x
f x e
λα βξεζεί ν  , ώζηε λα
ππάξρεη ην
0
( )limx x
f x .
231)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύνπλ
2
( ) 2lim

 
x
f x   θαη
2
( ) 2lim

 
x
f x   ,
όπνπ ,   . Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ  θαη 
γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη
2
( ) 5lim

x
f x .
232)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη  
0
2 4lim
 
h
f h . Να βξείηε ηα όξηα:
α.
2
( )limx
f x β.  
2
( ) 4lim

x
f x
γ.  
2
( ) 1lim

x
f x δ.  
2
( ) 6lim

x
f x
233)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύνπλ  
2
( ) 1lim

 
x
f x   θαη
2
( ) 5 9lim

 
x
f x  ,
όπνπ  . Αλ ππάξρεη ην όξην
2
( )limx
f x , ηόηε
λα βξείηε:
α. ηελ ηηκή ηνπ  ,
β. ην όξην  
0
2lim

h
f h ,
γ. ην όξην  
2
( ) 5lim

x
f x .
234)Αλ
2
( ) 5lim

x
f x θαη
2
( ) 3lim

x
g x , λα
ππνινγίζεηε ην όξην
3
2
2
( ) 5 ( )
( ) 1lim

x
f x g x
g x
.
235)Αλ
1
( )lim
 
x
f x θαη 2
1
5 ( )
2
( ) 1lim


x
f x
f x
,
λα βξείηε ην .
236)Να βξεζεί, αλ ππάξρεη, ην όξην ηεο
ζπλάξηεζεο f ζην ζεκείν 0x , όηαλ:
α. ( ) f x x , 0 0x β. ( ) f x x , 0
2
3
x

γ. ( ) f x x , 0
97
6
x

237)Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ όξηα:
α.  
2012
1lim

x
x β.  
22
2
16lim
 
x
x x
γ.  5 4 3 2
1
1lim
   
x
x x x x δ.  400
1lim

x
x
ε.
3 2
2 2 2lim
 
x
x x x
x
ζη.
 
2
0
5 25
2 1lim
 
x
x
x
238)Αλ
1
( )lim

x
f x ,
1
( )lim

x
g x m ,
 
1
5 ( ) 2 ( ) 60lim
 
x
f x g x θαη
 
1
7 ( ) 3 ( ) 85lim
 
x
f x g x , λα βξείηε ηνπο
πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο θαη m .
239)Έζησ ζπλαξηήζεηο f , g γηα ηηο νπνίεο
ηζρύεη
2
[ ( ) 2 ( )] 3lim
 
x
xf x g x θαη
2
[ ( ) 1 4 ( )] 5lim
   
x
f x x g x . Να βξεζνύλ ηα
2
( )limx
f x θαη
2
( )limx
g x .
240)Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ όξηα:
α.
2
1
2
1lim
 
x
x x
x
β. 2
2
2
6lim

 x
x
x x
γ.
2
2
1
2
3 2lim
 
 x
x x
x x
δ.
 
2
0
5 25
lim
 
x
x
x
ε.
3 2
3
2
3 9 2
3 2limx
x x x
x x
  
 
ζη.
3 2
2
2
2
4lim
  
x
x x x
x
δ.
3
4
2
8
16lim

x
x
x
ε.
2
5
1
2
1lim
 
x
x x
x
ζ.
3 2
2
3
2 5 4 3
6lim
  
 x
x x x
x x
η. 2 3
1
2 3
1 1lim
 
 
  x x x
241)Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ όξηα:
α.
0
4 16
lim
 
x
x
x
β.
0 1 3 1
lim  x
x
x
γ.
0
1 1
lim
 
x
x
x
δ.
1
5 2
1lim
 
x
x
x

22. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 20 -
242)Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ όξηα:
α.
5
2 10
5 5
lim

x
x
x
β.
4
4
3 5
lim

 x
x
x
γ.
0
2 2
lim
 
x
x
x
δ.
20
5 5
4 4
lim
 
 x
x
x
ε.
2
2
2
1 2 1 6
5 7
lim
  
  x
x x
x x
ζη. 3
0
1 1
1 1
lim
 
 x
x
x
243)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη
2
( ) 2lim

x
f x . Να βξείηε ην όξην
3
2
2
( ) 8
4 ( ) 12
lim

 x
f x
f x
.
244)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη
3
( ) 2lim

x
f x . Να βξείηε ηα όξηα:
α.
2
3
( ) 4
( ) 7 3
lim

 x
f x
f x
β.
2
3
( ) 2 ( )
( ) 5 3
lim
 
 x
f x f x
f x
245)Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
9
, 3
( ) 3
3 5 , 3
 
 
 
   
x
x
f x x
x x
. Να βξείηε, αλ ππάξρνπλ,
ηα όξηα:
α.
4
( )limx
f x β.
2
( )limx
f x γ.
3
( )limx
f x
246)Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
2
1
, 1
3 2
( )
3 5 2
, 0 1

  
 
   
 
x
x
x
f x
x x
x
x x
. Να βξείηε, αλ
ππάξρεη, ην όξην
1
( )limx
f x .
247)Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
2
2
2
, 4 0
4 2
( ) 1 , 0 2
2
, 2
3 2
 
  
 
   

  
  
x x
x
x
f x x x
x x
x
x x
.
α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .
β. Να βξείηε, αλ ππάξρνπλ, ηα όξηα:
i.
0
( )limx
f x ii.
2
( )limx
f x
248)Να βξείηε ηα δεηνύκελα όξηα ησλ παξαθάησ
ζπλαξηήζεσλ:
α.
1
( )limx
f x ,
2
3
2
, 1
1
( )
8
, 1
3
  
 
 
 

x x
x
x
f x
x
x
β.
0
( )limx
f x , 2
1 1
, 1 0
( )
, 0
   
  

 
 
x x
x
xf x
x x
x
x
249)Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ όξηα:
α.
2
2
0
3 2 | |
3| |lim

x
x x
x x
β.
2 2
5
| 5 | 7 10
5lim
   
x
x x x x
x
γ.
1
9 | 2 | 3| |
1limx
x x
x
 

δ. 2
3
| 3| 10 | 4 | 10
9lim

   
x
x x
x
ε.
2
2
| 2 | 2
2lim
   
x
x x x
x
ζη.
2
2
| 3| 2 | 1| 7
2lim
   
x
x x
x
δ.
2 2 3
2 3
| |lim
 
x a
ax a x a
x a
ε.
2
2
4 | 2 | | 7 | 3
| | 2lim

   
x
x x
x
ζ. 2
1
| 1|
1lim

x
x
x
250)Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ όξηα:
α.
6
2 4 4
| 6 |lim
 
x
x
x
β.
2
3| 1| 2 | 4 | 7
1 1
lim
   
 x
x x
x
γ.
2
2
2
| 5 11 |
4lim
  
x
x x
x
ε.
2
2
1
2 3 1
3 8 10
lim
   
  x
x x x
x x
δ.
2
1
| 13| 13
1lim
  
x
x x
x
ζη.
2 3
2
3
3 9
9
limx
x x x x
x
  

251)Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ όξηα:
α.   2
1
1
1lim

x
x
x
x
β.
3 4
5
1
3
lim
  
x
x x x
x x
γ.
2
3
1
1
1
lim

x
x
x
δ.
3 5
64
1
3
3
lim
  
  x
x x x
x x x
ε.
5 3
3 50
lim

x
x x
x x
ζη.
  2
4
4 8 16
12 5 4
lim
  
  x
x x x
x x
δ.
3 2
2
1
2
3 2
lim
 
 x
x x x
x x
ε.
3
2
2
4 1 25
4lim
  
x
x x
x
ζ.
44
33
2
2
2
lim

x
x
x
η. 3 2
2
1 2 1
lim
 
  
 x x x x x
ηα.
2
1
1 1
1
lim
  
x
x x
x
ηβ.
 
2
2
1
1
1
lim
 

v v
x
x x
x

23. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 21 -
252)Δίλεηαη ζπλάξηεζε  : 1,  f , γηα
ηελ νπνία ηζρύεη
2
( ) 3lim

x
f x . Να βξείηε ην όξην
2
2
( ) 2 ( ) 5 ( ) 5
( ) 1 2
lim
   
 x
f x f x f x
f x
.
253)Δίλεηαη πνιπώλπκν ( ) x , ηνπ νπνίνπ ε
γξαθηθή παξάζηαζε δηέξρεηαη από ην ζεκείν
 1, 3 . Να βξείηε ην όξην
2 2
2
1
( ) 2 ( ) 2
3 2lim
      
 x
x x x x x
x x
.
254)Αλ  
1
2 ( ) 5 2 2lim
  
x
f x x , λα βξεζεί ην
1
( )limx
f x .
255)Αλ γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύεη
2
5 ( ) 1
8
( ) 3lim


x
f x
f x
, λα βξείηε ην
2
( )limx
f x .
256)Αλ γλσξίδνπκε όηη
0
( )
0
( )lim


x x
f x a
f x a
, λα
βξείηε ην
0
( )limx x
f x .
257)Αλ
0
( ) 1
lim

 
x
f x
m
x
, λα απνδείμεηε όηη
0
( ) 1lim

x
f x .
258)Αλ γηα ηελ ζπλάξηεζε : f ηζρύεη
0
( )
4
1 1
lim


 x
f x x
x
, ηόηε λα βξεζεί ην
0
( )limx
f x
259)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη όηη 2
2
( ) 8 6lim
    
x
xf x x . Να βξείηε, αλ
ππάξρνπλ, ηα όξηα
2
( )limx
f x θαη
2
2
( ) 5 ( )
( ) 1 2
lim

 x
f x f x
f x
.
260)Αλ
1
( ) 1
1
1lim

 
x
f x
x
, λα βξείηε ην
2
1
( ) 1
1
lim

x
x f x
x
.
261)Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε : f ηέηνηα
ώζηε 2
2
( ) 2 3lim
     
x
f x x x . Να απνδείμεηε
όηη
2
2
2
( ) 2 ( ) 3
2
( ) 1lim
 

x
f x f x
f x
.
262)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη όηη 2
2
( ) 5
2
4lim
 

x
f x x
x
. Να βξείηε, αλ
ππάξρνπλ, ηα όξηα:
α.
2
( )limx
f x
β.
2
( ) 3
2lim

x
f x
x
γ.
2
2
2
( ) 2 ( ) 3
6 8lim
 
 x
f x f x
x x
263)Αλ
1
( ) 2
2
1limx
f x
x



λα βξείηε ηα όξηα:
α.
1
( ) 2
( ) 2 2
lim

 x
f x
f x
β.
1
( ) 2 ( ) 7 5
( ) 2lim
   
x
f x f x
f x
γ.
1
1
( ) 7 ( ) 2 5
limx
x
f x f x

   
264)Αλ
2
( ) 1
3
2lim


x
f x
x
, λα βξείηε ην
2
( ) 2
2lim


v v
x
x f x
x
.
265)Αλ γηα ηηο ζπλαξηήζεηο , : f g ,
ηζρύνπλ
0
( ) 1
3lim


x
f x
x
θαη
0
( ) 2
1lim

 
x
g x
x
,
ηόηε λα βξείηε ηα παξαθάησ όξηα:
α.
0
( )limx
f x β.
0
( )limx
g x
γ. 2
0
( ) ( ) 4
lim
  
x
f x g x x
x x
266)Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g γηα
ηηο νπνίεο ηζρύεη όηη
   2
2
( ) 2 ( ) 4
12
2 5 3
lim
  

 x
f x x g x x
x
θαη
   2
2
( ) 2 ( ) 2
8
2 2
lim
  

 x
f x x g x x x
x
. Να βξείηε, αλ
ππάξρνπλ, ηα όξηα
2
( )limx
f x θαη
2
( )limx
g x .

24. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 22 -
267)Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g . Αλ
2
1
( )
5
3 2lim

 x
f x
x x
θαη
 2
1
( ) 1
2
1
lim


x
g x x
x
, λα
βξεζεί ην  
1
( ) ( )lim

x
f x g x .
268)Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , : f g γηα
ηηο νπνίεο ηζρύεη όηη
 2
3
( ) 7 4 6lim
   
  x
f x x θαη
 3
( ) 2 1 2lim
    
 x
g x x . Να βξείηε ην όξην
3
( )
( )limx
f x
g x
.
269)Να βξείηε ην a αλ ηζρύεη
 3 2 2
2
7 8 16 26lim
    
x
ax a x x a .
270)Να βξείηε ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο 
θαη  , ώζηε λα ηζρύεη
2
2
1
2
5
3 2lim
 

 x
x x
x x
 
.
271)Αλ
2
1
4
5
1lim
 

x
ax x
x

λα βξείηε ηα
, a  .
272)Αλ
2
2 3 5
( )
2
 


ax x
f x
x

, λα βξεζνύλ ηα
, a  ώζηε
2
( ) 6lim

x
f x .
273)Να βξεζνύλ ηα , a  , ώζηε :
α.
  3 2
2
1
2 3 8 1
21lim
   

x
a x x x
x

β.
  3 2
2
1 1
2
2limx
a x x x
x


   


γ. 2
2
| 1| | 3| 4
6
3 2lim
   

 x
a x x
x x

274)Να βξείηε ηα , a  , ώζηε
2
2
5 5
2 3lim
  

x
x ax
x

.
275)Αλ
10 15
5
( )
1
 


ax x
f x
x

, λα βξεζνύλ νη
, a  ώζηε
1
( ) 20lim

x
f x .
276)Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
3 2
2
( )
3 2
 

 
x ax x
f x
x x

κε , a  , γηα ηελ νπνία ηζρύεη
1
( ) 2lim

x
f x .
Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ a θαη  θαζώο θαη ην
όξην
1
( ) 2
1lim

x
f x
x
.
277)Τν όξην
3
2
1
3
1lim
 
x
x x a
x
, ππάξρεη θαη είλαη
πξαγκαηηθόο αξηζκόο.
α. Να βξείηε ηνλ πξαγκαηηθό αξηζκό a .
β. Να ππνινγίζεηε ην παξαπάλσ όξην.
278)Να βξεζεί ν a ώζηε ε ζπλάξηεζε
 2
2
5 3
( )
9
  


x a x a
f x
x
λα έρεη όξην πξαγκαηηθό
αξηζκό ζην ζεκείν 0 3x . Γηα ηελ ηηκή ηνπ a πνπ
βξήθαηε λα ππνινγίζεηε ην
3
( )limx
f x .
279)Να βξείηε ηα , a  , ώζηε ην όξην ηεο
ζπλάξηεζεο
2
2
2 2
( )
1
 


ax x
f x
x
, ζην ζεκείν 0 1x
, λα είλαη ίζν κε 1.
280) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
2 , 1
( )
2 , 1
 
 
  
ax x
f x
x x a x


. Να βξεζνύλ ηα
, a  , ώζηε ε fC λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν
 2 , 2 θαη λα ππάξρεη ην
1
( )limx
f x .
281)Αλ 3
2
, 2
2
( )
8
, 2
2
 
 
 
 
 
ax
x
x
f x
x
x
x

, λα βξεζνύλ
ηα , a  , ώζηε ε ζπλάξηεζε f λα έρεη όξην
ζην 0 2x πξαγκαηηθό αξηζκό.
282)Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
2
2 , 1
( ) 3 1 , 1 2
2 , 2
    

    

   
x ax x
f x x x
x x a x


. Να βξεζνύλ ηα
, a  , ώζηε λα ππάξρνπλ ηα
1
( )limx
f x θαη
2
( )limx
f x .

25. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 23 -
283)Να βξεζνύλ ηα , a  , ώζηε λα ππάξρεη
ην
4
( )limx
f x , όπνπ
2
2
, 4
( ) 2
2 , 4
  

 
   
x a
x
f x x
x x x


.
284)Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
2
2 , 1
( )
, 1
1
    

   
 

x ax a x
f x ax x
x
x
  . Να βξεζνύλ ηα
, , a   ώζηε ε fC λα ηέκλεη ηνλ άμνλα y y
ζην ζεκείν κε ηεηαγκέλε 2 θαη λα ππάξρεη ην
1
( )limx
f x .
285)Να βξεζεί ν m , ώζηε λα ππάξρεη ην
1
( )limx
f x , όπνπ
3
1 10
, 1
31( )
1
, 1
1
 
 
  

 
m
x
x x
xf x
x
x
x
.
286)Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
2
( )
2
  


a x x
f x
x

όπνπ , a  , γηα ηελ νπνία ππάξρεη ην
2
( )limx
f x θαη είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο. Να
βξείηε ηνπο αξηζκνύο a θαη  , θαζώο θαη ην
2
( )limx
f x .
287)Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
( )
3
 


x ax
f x
x

όπνπ , a  , γηα ηελ νπνία ππάξρεη ην
3
( )limx
f x θαη είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο. Να
βξείηε ηνπο αξηζκνύο a θαη  , θαζώο θαη ην
3
( )limx
f x .
288)Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε
 2
2 2 1
( )
3
  


x a x a
f x
x
όπνπ a , γηα ηελ
νπνία ηζρύεη
3
( )lim
 
x
f x  . Να βξείηε:
α. ηνπο αξηζκνύο a θαη  ,
β. ην όξην
2
2
3
2 ( ) 50
( ) 6 ( ) 5lim

 x
f x
f x f x
.
289)Έζησ ζπλαξηήζεηο f , g γηα ηηο νπνίεο
ηζρύεη 2 2
0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2     f x g x g x g x θαη
2
( ) 0lim

x
g x . Να βξεζεί ην
2
( )limx
f x .
290)Έζησ ζπλαξηήζεηο f , g γηα ηηο νπνίεο
ηζρύεη 2
| ( ) ( ) | f x g x x θαη
0
( ) 0lim

x
g x . Να
βξεζεί ην
0
( )limx
f x .
291)Αλ ηζρύεη
2 2 3
( )
1 4
 
 

x x x
f x
x
, γηα
θάζε 1x , λα βξείηε ην
1
( )limx
f x .
292)Αλ ηζρύεη  
3 5
3 1 1 ( ) 2
4

    
x
x x f x ,
γηα θάζε 0x  , λα βξείηε ην
1
( )limx
f x .
293)Να βξείηε ην
2
( )limx
f x , αλ γηα θάζε x ,
ηζρύεη  4 1 3 2 ( ) 4 7 12      x x f x x .
294)Αλ 2
2 | 1| ( ) 2 2 3      x f x x x x , γηα
θάζε x , λα βξείηε ην
1
( )limx
f x .
295)Αλ  2
( ) 5 3 4  f x x , γηα θάζε x , λα
βξείηε ην
2
( )limx
f x .
296)Αλ 2
2 5 ( ) 2  x x f x x , γηα θάζε x , λα
βξείηε ην
0
( )limx
f x θαη ην
0
( )
limx
f x
x
.
297)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 2
( ) ( ) 2 3   xf x f x x x , γηα θάζε x
θαη ην
1
( )limx
f x ππάξρεη θαη είλαη πξαγκαηηθόο
αξηζκόο. Να βξείηε ην
1
( )limx
f x .
298)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 2 2
2 7 5 ( ) 4     x x f x x x , γηα θάζε
 2 , 6x . Να βξείηε ηα όξηα:
α.
3
( )limx
f x
β.
3
( ) 2
3lim

x
f x
x

26. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 24 -
299)Έζησ : f ζπλάξηεζε ηέηνηα ώζηε
2 2
3 ( ) 3   x x f x x x , γηα θάζε x . Να
δείμεηε όηη 2
0
( ) (0)
3lim


x
f x f
x x
.
300)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 2
( ) 12 3 22    x x f x x , γηα θάζε x
Να βξείηε ηα όξηα:
α.
1
( )limx
f x
β.
1
( ) (1)
1lim

x
f x f
x
301)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 2
( ) 2f x x  , γηα θάζε x . Να βξείηε ηα
όξηα:
α.
0
( )limx
f x
β.
0
( ) 4
lim
 
x
f x x
x
302)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 2 2
( ) 2 ( ) 4 4 4     xf x f x x x x , γηα θάζε
x . Να βξείηε ην όξην
2
( )limx
f x .
303)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη
2
2( ) 6 ( )
3
3
f x xf x
x x
x

 

, γηα θάζε 3 x .
Να βξείηε ην όξην
0
( )limx
f x .
304)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 2
( ) 6 ( )f x xf x , γηα θάζε x . Να βξείηε
ην όξην
0
( )limx
f x .
305)Δίλεηαη ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία
ηζρύεη 2
( ) 3 xf x x x , γηα θάζε x θαη ην όξην
0
( )limx
f x ππάξρεη θαη είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο.
Να βξείηε ηα όξηα:
α.
0
( )limx
f x
β.
2
0
( ) 3 ( ) 1 ( ) 4
( ) 1 2
lim
   
 x
f x f x f x
f x
306)Αλ , : f g θαη ηζρύεη
0
2 2
( ) ( ) 0lim
   
x x
f x g x , λα απνδείμεηε όηη
0 0
( ) ( ) 0lim lim 
 
x x x x
f x g x .
307) Αλ , : f g θαη ηζρύεη
 
0
( ) ( ) 0lim
 
x x
f x g x θαη  
0
( ) ( ) 0lim
 
x x
f x g x ,
λα απνδείμεηε όηη:
α.
0
2 2
( ) ( ) 0lim
   
x x
f x g x
β.
0 0
( ) ( ) 0lim lim 
 
x x x x
f x g x
308) Αλ γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύεη
( ) ( 3)f x f x  , γηα θάζε x θαη
2
[ ( ) 2 5] 4lim
  
x
f x x , λα βξείηε ην
1
( )limx
f x .
309) Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη άξηηα θαη
2
[ ( ) 3 4] 5lim
  
x
f x x , λα βξείηε ην
2
( )limx
f x .
310) Γηα ηελ ζπλάξηεζε f ηζρύεη
  ( )  f a x f x x , γηα θάζε x θαη
[2 ( ) 2 ] 1lim
  
x a
f x x a , λα βξείηε ην
0
( )limx
f x .
311) Αλ γηα ηελ πεξηηηή ζπλάξηεζε f ηζρύεη
2
( ) 3lim

x
f x , ηόηε λα βξεζεί ην
   
4
2 2lim
    
x
f x f x .
312) Δίλεηαη άξηηα ζπλάξηεζε : f ώζηε
λα ηζρύεη 2
3
( )
2
9lim


x
f x x
x
. Να βξείηε ηα όξηα:
α.
3
( )limx
f x β.
3
( )limx
f x
313) Έζησ  : 0 ,  f ζπλάξηεζε γηα ηελ
νπνία ηζρύεη   ( ) ( ) f xy f x f y , γηα θάζε
, 0x y θαη επηπιένλ
1
( )
1
1lim

x
f x
x
. Αλ a
ζεηηθόο αξηζκόο, λα βξείηε ην
( ) ( )
lim

x a
xf x af a
x a
.
314) Δίλεηαη ζπλάξηεζε :f  γηα ηελ νπνία
ηζρύνπλ
3
( ) 3
2
3limx
f x
x



θαη
3
3
( ) ( )
40
3limx
f x af x
x


 


, όπνπ ,a   . Να
βξείηε:
α. ην όξην
3
( )limx
f x

β. ηνπο αξηζκνύο ,a  

27. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 25 -
315) Δίλεηαη ζπλάξηεζε : *f  γηα ηελ
νπνία ηζρύεη
2
( )
4
2limx
f x
x


. Θεσξνύκε επίζεο
ζπλάξηεζε g γηα ηελ νπνία ηζρύεη
2
( ) ( ) ( )
2 ( )4 4
f x f x g x
x f xx x
 
 
γηα θάζε 2x  . Να
βξείηε, αλ ππάξρνπλ, ηα όξηα:
α.
2
( )limx
f x

β.
2
( )limx
g x

316) Αλ γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύεη
  ( ) ( )   f x y f x f y xy , γηα θάζε , x y
θαη επηπιένλ ηζρύεη
0
( ) 0lim

x
f x , λα απνδείμεηε
όηη ηζρύεη
0
0( ) ( )lim

x x
f x f x .
317)Αλ ηζρύεη   ( ) ( )   f x y f x f y xy , γηα
θάζε , x y θαη
0
( ) 1
1lim


x
f x
x
, ηόηε λα
ππνινγίζεηε ην
2
1
( ) (1)
1lim

x
x f x f
x
.
318) Έζησ : f ζπλάξηεζε γηα ηελ νπνία
ηζρύεη   ( ) ( )   f x y f x f y xy , γηα θάζε
, x y θαη
0
( )
4lim

x
f x
x
. Να βξείηε ην
( ) ( )
lim

x a
f x f a
x a
, a .
319) Δίλεηαη ζπλάξηεζε  : 0 ,  f γηα ηελ
νπνία ηζρύεη   ( ) ( ) f xy f x f y , γηα θάζε
, 0x y θαη επηπιένλ
1
( ) 0lim

x
f x . Να
απνδείμεηε όηη:
α. (1) 0f .
β.
0
0( ) ( )lim

x x
f x f x , γηα 0 0x θαη 0 1x .
320) Δίλεηαη ζπλάξηεζε  : 0 , f γηα ηελ
νπνία ηζρύεη   ( ) ( ) f x y f x f y , γηα θάζε
, x y θαη επηπιένλ
0
( ) 1lim

x
f x . Να
απνδείμεηε όηη:
α. (0) 1f .
β.
0
0( ) ( )lim

x x
f x f x , γηα 0 x .
321) Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ όξηα:
α.
0
6
1lim

x
x
x


β. 2
4
3 2
lim


x
x
x


γ.
2
2
3lim


x
x x
x
 

δ.
2
1
lim


x
x
x


ε. 3
0
lim

x
x x
x
 
ζη. 3
0
lim

x
x x
x
 

322) Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ όξηα:
α. 2
0
lim x
x
x x

β.
0 4 2
lim  x
x
x

γ.
2
0 9 3
lim
 
 x
x x x
x
  
δ.
2
0 4 2
lim

 x
x x
x

ε.
2
2
0
9 3
lim
 
x
x x
x
 ζη.
2
0 4 2
lim
 
 x
x x x
x
  
323) Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ όξηα:
α.
0
limx
x
x

β.
0
limx
x
x
γ. 2
0
1
lim

x
x
x

δ. 2
0
1 2
limx
x
x



ε.
2
1lim x
x
x


ζη.
2 2
2
0
1
4 2
lim
 
 x
x x
x
 
δ. 2
0
1
lim

x
x
x

ε.
2
1
1lim

x
x
x


324) Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ όξηα:
α.
0
1
1lim
 
x
x x x
x
 

β. 2
0
1
limx
x x
x
 

 
γ.
2
0
4 4
3lim
  
x
x x
x x


325) Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ όξηα:
α.
3
5 3
0 2lim x
x
x x

β.
 
3
0
1
lim

x
x x
x
 
γ.
2
2
0
2 1
lim
 
x
x x
x

326) Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ όξηα:
α.
0
limx
ax
x

β.
0
limx
ax
x


, 0a 
γ.
0
limx
ax
x


, 0a 

28. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 26 -
327)Να βπεθούν ηα παπακάηω όπια:
α.
0
3
limx
x
x

β.
0
4
limx
x
x

γ.
2
2
0
5
limx
x
x

δ.
0
9
3limx
x
x


ε.
0
4
5limx
x
x


ζη.
0
3 5
lim

x
x x
x
 
328) Να βπεθούν ηα παπακάηω όπια:
α.
0
9 3
4lim
 
x
x
x
β.
0
2
lim

x
x x
x
 
γ.
2009
1972
0
limx
x
x

δ.
0
3
4 2
lim  x
x
x

ε.
2
2
0
limx
x
x


ζη.
 
3
3
0 2
lim x
x
x x x


329) Να ςπολογιζηεί ηο όπιο lim

x a
x a
x a
 
.
330) Να βπεθούν ηα παπακάηω όπια:
α. lim x
x
x


β.
 
1
1
1
lim

x
x
x

γ.
 
3 2
1
1 2 1
2lim
 
 x
x
x x x

δ.
2
2
lim
 x
x
x


ε.
4
4
lim


x
x x
x
 

ζη.
2 2lim x
x
x

331) Να βπεθούν ηα παπακάηω όπια:
α.
0 2 3lim

x
x x
x x


β.
 
2 3
2
0
3 5
5 1
lim

 x
x x
x x x

 
γ.
0 2 5lim

x
x x
x x


δ.
2
0
2
lim

x
x x
x x


ε.
2 2
2
0
2
3lim

x
x x
x x x

 
ζη.
3 4
2 2
0
3 4
lim

x
x x
x x


332) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη
2
2
, 0
1 1( )
5 9
, 0
3 4
 

    
 
 
x x
x
x xf x
x x
x
x x



. Να βπείηε, αν
ςπάπσει, ηο
0
( )limx
f x .
333) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη
3 2
3
, 0
( )
3 3 5
, 0
3


 
  
 
x x
x
x
f x
x x x x
x
x x
 
  
. Να βπείηε,
αν ςπάπσει, ηο
0
( )limx
f x .
334) Να ςπολογιζηεί ηο όπιο
0
2 ...
lim
  
x
x x vx
x
  
, v , 3v .
335) Δίνεηαι ζςνάπηηζη : f για ηην οποία
ιζσύει
0
( )
6
1 1
lim


 x
f x x
x

. Να βπείηε ηα όπια:
α.
0
( )limx
f x
β.
0
( )
limx
f x
x
γ.
2
2
0
( )
4 2
lim

 x
xf x x
x

336) Δίνεηαι ζςνάπηηζη : f για ηην οποία
ιζσύει
0
( )
3lim

x
xf x
x x
. Να βπείηε ηα όπια:
α.
0
( )limx
f x
β. 2
0
( ) 3
lim

x
xf x x
x x


337) Δίνεηαι ζςνάπηηζη : f για ηην οποία
ιζσύει
0
( )
2lim

x
f x
x
. Να βπείηε ηα όπια:
α.
0
( )limx
f x
β.
 
0
5
6 3lim

x
f x x
x x


338) Δίνεηαι ζςνάπηηζη : f για ηην οποία
ιζσύει 2
0
( ) 3
2lim


x
f x x
x x

. Να βπείηε ηα όπια:
α.
0
( )
limx
f x
x β.
 
0
2 1 1
5lim
  
x
f x x
x
339) Δίνεηαι ζςνάπηηζη : f για ηην οποία
ιζσύει 2
0
( ) 5
4
2lim


x
f x x
x x

. Να βπείηε ηα όπια:
α.
0
( )
limx
f x
x
β.
2
0
( ) 3
1 1
lim
 
 x
f x x x x x
x
 

29. όριο - συνέχεια συνάρτησης κεφάλαιο 2
- 27 -
340) Δίνονηαι ζςναπηήζειρ , : f g για ηιρ
οποίερ ιζσύοςν
0
( )
2
5lim


x
f x x
x
και
0
( ) 7
3lim


x
g x x
x

. Να βπείηε ηα όπια:
α.
0
( )limx
f x και
0
( )limx
g x
β.
2
0
( ) ( ) 3
1lim

x
f x g x x
x


341) Να βπείηε ηοςρ ππαγμαηικούρ απιθμούρ a
και  , ώζηε να ιζσύει:
α.
2
0
2
3lim
 

x
x ax
x


β.
0
3 4
1
5lim
  

x
x a x
x
 

342) Για μια ζςνάπηηζη f ιζσύει
0
( )
1lim

x
f x
x
,
να βπείηε ηο
 
2 2
0
2 ( ) 3
2lim
 
x
xf x f x x
x x


.
343) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη : f ηέηοια
ώζηε
 
1
1
( ) 1
2
21
lim

 

x
x
f x
x



. Να
ςπολογιζθούν ηα όπια:
α.
1
( )limx
f x
β.
1
( ) 1
1lim

x
f x
x
344) Δίνεηαι ζςνάπηηζη : f για ηην οποία
ιζσύει
0
( )
lim
 
x
f x
x
. Να βπείηε ηα όπια:
α.
 
0
limx
f x
x

β.
 
0
2 ( )
lim

x
f x f x
x

345) Έζηω : f ζςνάπηηζη για ηην οποία
ιζσύει   ( ) ( )    f x y f x f y x y  , για κάθε
, x y , (0) 0f και
0
( ) 1
0lim


x
f x
x
. Να
βπείηε ηο
( ) ( )
lim

x a
f x f a
x a
, a .
346) Να βπεθούν ηα παπακάηω όπια:
α.
0
1
limx
x
x
 β. 3
0
5
limx
x
x

γ. 2
0
1
limx
x
x
 δ.  2
0
1
3lim
 
 
 x
x x
x

ε. 2
0
1
3 2lim
  
  
  x
x
x
 ζη.
2
0
1
1 1
lim
 
 
  x
x
xx

347) Να βπεθούν ηα παπακάηω όπια:
α.
0
1
lim

x
x
x
 
β.
2
0
1
lim

x
x
x
x
 
γ.
0
1
lim


x
x x
x x


348) Αν ιζσύει 2 3
5 3 ( ) 3   x x f x x x , για
κάθε x , να βπείηε ηα
0
( )limx
f x και
0
( )
limx
f x
x
.
349) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη : f , ηέηοια
ώζηε για κάθε x , ιζσύει
2 | | ( ) 2 | |   x x x f x x x x . Να βπείηε:
α. (0)f β.
0
( )limx
f x
γ.
0
( )
limx
f x
x
350) Αν ιζσύει   2
( ) 1 2 1    f x x x x , να
δείξεηε όηι:
α.
1
( ) (1)lim

x
f x f
β.
1
( ) (1)
1
1lim


x
f x f
x
351) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη : f , για ηην
οποία ιζσύει ( ) 3  f x x x x , για κάθε
x . Να βπείηε ηα όπια:
α.
0
( )
limx
f x
x
β.
 
0
5
3limx
f x
x
352) Αν : f ζςνάπηηζη για ηην οποία για
κάθε x , ιζσύει 2
( ) 3  f x x x x , να
ςπολογιζηούν ηα όπια:
α.
0
( )limx
f x
β.
0
6 2
( )lim

x
x x
xf x x


353) Αν ιζσύει 41
( )   f x x x
x
  , για κάθε
1 1
, 0 0 ,
2 2
   
    
   
x , να βπείηε ηο
0
( )limx
f x .
354) Αν ιζσύει 2 21
( )   xf x x x
x
  , για κάθε
*
x , ηόηε να βπεθεί ηο
0
( )lim
x
f x .