基礎強化数学　第10回

1. 第10回
数列①
～習ってから慣れよ！～

2. 数学ⅠA・ⅡB(第５回～第２０回）
第5回 平方根、指数、指数関数、対数関数（Ⅰ、Ⅱ）
第6回 絶対値、一元不等式、展開・因数分解（Ⅰ、Ⅱ）
第7回 場合の数と確率、二項定理（Ａ、Ⅱ）
第8回 2次関数のグラフ、2次方程式と2次不等式、解と係数の関係（Ⅰ、Ⅱ）
第9回 微分係数と導関数、3次関数のグラフ、積分法（Ⅱ）
第10回 数列①（Ｂ）：基本、等差数列、等比数列、階差数列、和の記号、階差数列
第11回 数列②（Ｂ）
第12回 整式の割り算、分数式、剰余定理、因数定理（Ⅱ、Ⅰ）
第13回 三角比、三角形への応用、三角方程式・不等式、加法定理（Ⅰ、Ⅱ）
第14回 平面図形、空間図形、集合と命題（Ａ、Ⅰ）
第15回 距離、内分・外分、点と直線の距離、円と直線、2つの円、軌跡と領域（Ⅱ）
第16回 平面上のベクトル（Ｂ）
第17回 空間のベクトル（Ｂ）
第18回 ユークリッドの互除法、整数の性質の活用（Ａ）
第19回 データの分析（Ⅰ）
第20回 恒等式、等式と不等式の証明、複素数（Ⅱ）

3. 基本 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ⋯
第1項
（初項）
第2項
𝑎1
𝑎2
➡第𝑛項は𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1
一般項
等差数列
3, 8, 13, 18, ⋯
+5 +5 +5
隣り合う２項の差（公差）が一定
𝑎1 = 3
𝑎2 = 3 + 5
𝑎3 = 3 + 5 + 5
𝑎4 = 3 + 5 + 5 + 5
3 × 5
−1
一
般
項
𝑎𝑛 = +(𝑛 − 1)
初 差
和 𝑆 =
1
2
( + )
初
項 末 𝑎𝑛 = 3 + 𝑛 − 1 ∙ 5
= 5𝑛 − 2
初 差

4. 3, 8, 13, 18, 23 , 28の和は？
𝑆 = 3 + 8 + 13 + 18 + 23 + 28
𝑆 = 28 + 23 + 18 + 13 + 8 + 3
ex
+)
2𝑆 = 31 + 31 + 31 + 31 + 31 + 31
2𝑆 = 31 × 6
𝑆 =
1
2
× 31 × 6 =
1
2
∙ 6 ∙ 3 + 28 = 93
初項3、公差5、項数6の等差数列
項 初 末

5. 等比数列
2, 6, 18, 54, ⋯
× 3 × 3 × 3
隣り合う２項の比（公比）が一定
𝑎1 = 2
𝑎2 = 2 × 3
𝑎3 = 2 × 3 × 3
𝑎4 = 2 × 3 × 3 × 3
33
−1
一
般
項
𝑎𝑛 = ∙ 𝑛−1
初 比
和
𝑆 =
(1 − )
1 −
初
比
項
比 𝑎𝑛 = 2 ∙ 3𝑛−1
初 比

6. 2, 6, 18, 54, 162の和は？
𝑆 = 2 + 2 ∙ 3 + 2 ∙ 32 + 2 ∙ 33 + 2 ∙ 34
3𝑆 = 2 ∙ 3 + 2 ∙ 32
+ 2 ∙ 33
+ 2 ∙ 34
+ 2 ∙ 35
ex
−)
𝑆 − 3𝑆 = 2 − 2 ∙ 35
1 − 3 𝑆 = 2 1 − 35
𝑆 =
2(1 − 35
)
1 − 3
= 242
初項2、公比3、項数5の等比数列
比
比 項
初

7. 和の記号Σ
①
ex (3𝑘 − 2) = 1 + 4 + 7 + ⋯ + (3𝑛 − 2)
𝑘 = 1
𝑛
𝑘 = 1
𝑛
定
② 𝑘 =
1
2
𝑛(1 + 𝑛)
𝑘 = 1
𝑛
項 初 末
③ 𝑘2 =
1
6
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
𝑘 = 1
𝑛
④ 𝑘3 =
1
2
𝑛 𝑛 + 1
2
𝑘 = 1
𝑛
⑤ 𝑟𝑘➡等比数列の和を考える
𝑘 = 1
𝑛
初項1、末項𝑛、項数𝑛の
等差数列の和
2乗
初項𝑟、公比𝑟、項数𝑛の
等比数列の和
7 = 7 + 7 + 7 + 7
= 7 ∙ 4 = 28
𝑘 = 1
4
定 = × 𝑛

8. 階差数列
ex 1, 4, 11, 22, 37, 56, ⋯ の一般項は？
+3 +7 +11 +15 +19
𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑏5 ➡𝑏𝑛 = 4𝑛 − 1
𝑛 ≧ 2のとき
𝑎𝑛 = 1 + 𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 + ⋯ + 𝑏𝑛−1
𝑎1 = 1
𝑎2 = 1 + 𝑏1
𝑎3 = 1 + 𝑏1 + 𝑏2
𝑎4 = 1 + 𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3
−1
= 1 + (4𝑘 − 1) = 2𝑛2
− 3𝑛 + 2
𝑘 = 1
𝑛 − 1
𝑎1 = 2 ∙ 12 − 3 ∙ 1 + 2 = 1なので𝑛 = 1のときも成立。
よって 𝑎𝑛 = 2𝑛2 − 3𝑛 + 2
階差数列